数学习作_空间概念

空间矢量

1-1 空间概念

重点一 直线与直线的关系

例题1

右图为一长方体，各边所决定的线段中，下列何者正确？（6 分）

(A) //AB HG ，//BC EH

(B) AF 与CH 歪斜

(C) AB 与CE 歪斜

(D) AB 与CH 歪斜

(E) BH 与DF 恰交于一点。

解：(A) ○：//////AB DC HG EF ，//////BC AD EH FG

(B) ○：AF 与CH 歪斜

(C) ○：AB 与CE 歪斜

(D) ○：AB 与CH 歪斜

(E) ○：BH 与DF 恰交于一点

故选(A)(B)(C)(D)(E)

例题2

如右图，四面体 D －ABC 中，M 、N 分别为AB 与CD 之中点，试问

下列哪些直线互为歪斜？（10 分）

(A)直线AD 与直线BC 互为歪斜

(B)直线AB 与直线CD 互为歪斜

(C)直线AC 与直线BD 互为歪斜

(D)直线BC 与直线MN 互为歪斜

(E)直线BC 与直线DN 互为歪斜

解：(A) ○：直线AD 与直线BC 互为歪斜

(B) ○：直线AB 与直线CD 互为歪斜

(C) ○：直线AC 与直线BD 互为歪斜

(D) ○：直线BC 与直线MN 互为歪斜

(E) × ：直线BC 与直线DN 相交于 C

故选(A)(B)(C)(D)

重点二 直线与平面的关系

例题3

下列哪些叙述是正确的？（10分）

(A)垂直同一平面的两相异直线必平行

(B)垂直同一直线的两相异平面必平行

(C)垂直同一直线的两相异直线必平行

(D)平行同一直线的两相异直线必平行

(E)平行同一平面的两相异直线必平行

解：考虑右图之长方体，可得

选项(C)之反例：EA su r ⊥AB su u r 且BC suu r ⊥AB su u r ， 但EA su r 与BC suu r 不平行 选项(E)之反例：EF su u r 与FG suu r 平行平面ABCD ， 但EF su u r 与FG suu r 不平行

故选(A)(B)(D)

例题4

下列有关空间的叙述，哪些是正确的？（10分）

(A)过已知直线外一点，「恰有」一平面与此直线垂直

(B)过已知直线外一点，「恰有」一平面与此直线平行

(C)过已知平面外一点，「恰有」一直线与此平面平行

(D)过已知平面外一点，「恰有」一平面与此平面垂直

(E)过已知平面外一点，「恰有」一平面与此平面平行

解：(B) ×：无限多个 (C) ×：无限多个 (D) ×：无限多个

故选(A)(E)

重点三 平面与平面的关系

例题5（两面角）

如右图，正四面体 ABCD 中，各边长为 4，若相邻两平面的夹角为 θ，则

cos θ＝ 。（10 分）

解：如右图，AB ＝4，

若平面 ACD 与平面 BCD 所形成的两面角的大小为 θ， 取CD 中点 M ，连接AM ，BM

∴AM ⊥CD ，BM ⊥CD ，AB ＝4，

AM ＝BM

∴cos θ

＋－＝13

例题6

右图是底部为正方形，侧面为正三角形且每边长为2的方锥，

若两相邻侧面之夹角为θ，则cos θ＝ 。（10分）

解：取OB 中点H ，连接AH ，CH ∴AH ⊥OB ，CH ⊥OB AH

CH ，AC ＝

cos θ＝cos ∠AHC

222＋－26－＝13－ 例题7

右图中ABCD 为正四面体，M 为CD 的中点，试问下列哪些叙述是正确

的？（10分）

(A)直线CD 与平面ABM 垂直 (B)矢量AB uu u v 与矢量CD uuu v 垂直 (C)∠AMB ＞∠ADB (D)平面ACD 与平面BCD 的两面角（锐角）大于60°

(E)BA ＝BM

解：(A)○：CD ⊥AM ，CD ⊥BM

∴CD ⊥平面ABM

(B)○：承(A) ∵CD ⊥平面ABM ，又AB ∈平面ABM ∴AB uu u v ⊥CD uuu v

(C)○：设平面ACD 与平面BCD 的两面角为θ，且正四面体的边长为2a

则cos θ222＝13 又∠ADB ＝60°

∴cos θ＜cos60° ⇨∠

AMB ＞∠ADB

(D)○：承(C) ∴θ＞60°

(E)×：BA ＝CD ，BM ＝2

CD ∴BA ＞BM 故选(A)(B)(C)(D)

重点四 三垂线定理

例题 8

如右图，若OA ⊥平面

E ，AB ⊥BC ，

已知AC ＝10，BC ＝6，OC ＝，

试求AB ＝ ，OA ＝ ，OB ＝

。（12分）

解：由三垂线定理知：OB ⊥

BC

∴△OBC 为直角三角形 ⇨AB

8 ⇨OA

＝6

⇨

OB

10

例题9

四面体A －BCD ，若AD ⊥平面BCD 且BC ⊥BD 。已知BC ＝12，AD ＝3，BD ＝4，试求： (1) AC 的长度为 。（7分）

(2) 设∠BAC ＝θ，求sin θ＝ 。（5分）

解：(1) ∵AD ⊥BD ，BC ⊥BD ，利用三垂线定理得AB ⊥BC

∴△ABC 为直角三角形

∴AC 13

(2) s in θ＝BC AC ＝1213

例题10

如右图，平面E 与平面F 交于一直线L ，且E ⊥F ，点P 、Q 分别在E 、

F 上，且P 、Q 在L 之正射影各为R 、S ，已知PR ＝3，RS ＝4，QS

＝12，试求PQ ＝ 。（10分）

解：如右图，由三垂线定理知：PS ⊥SQ

则∠PSQ ＝90°

PS ＝5

PQ 13