2017届四川省成都七中高三上学期入学考试文数试题 扫描版
2017成都七中高三数学(文)入学试题
高2017届2016～2017学年度下期入学考试数学（文科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1、已知集合{}12A x x =-<<，{}03B x x =<<，则A B = ( ) A ．(1,3)- B ．(1,0)- C ．(0,2)D ．(2,3) 2、复数z 满足，则z 等于（）A．1 C3A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．2xy -=4、将函数3sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为（ ） A.3sin(2)4y x π=+B.3sin(2)3y x π=+C.3sin(2)4y x π=-D.3sin(2)3y x π=- 5、下列命题中正确的是（ ）A ．“1x <-”是“220x x -->”的必要不充分条件B ．对于命题p ：0x R ∃∈，使得20010x x +-<，则p ⌝：x R ∀∈，均有210x x +-> C ．命题“2230ax ax -+>恒成立”是假命题，则实数a 的取值范围是：0a <或3a ≥D ．命题“若2320x x -+=，则2x =”的否命题为“若2320x x -+=，则2x ≠”6、若α为锐角，，则cos 2β等于（ ） A7、已知平面直角坐标系中的区域由不等式组若为上的动点，点的坐标为z OM OA =⋅的最大值为（ ）A． D ．xOy D (),M x y D A 438、设函数sin cos y x x x =+的图象在点(),()t f t 处切线的斜率为k ,则函数()k g t =的部分图象为（ ）9、如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC =，1AC ⊥1A B ，M ，N 分别是11A B ，AB 的中点，下列结论错误．．的是（ ） A ．1C M ⊥平面11A ABB B ．1AB ⊥1NBC ．平面1AMC ∥平面1CNBD ．平面1A BC ⊥平面1ABC10、棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体各表面面积的最大值为（ ）A.4B.5C.11、过曲线的左焦点F 作曲线2222:C x y a +=的切线，设切点为M ，延长FM 交曲线于点N ，其中曲线C 1与C 3有一个共同的焦点，若OF ON =(O 为坐标原点)，则曲线C 1的离心率为（） A ．BD12、设函数321()3(8)53f x x x a x a =-+---，若恰好存在两个正整数12x x ，，使得()0i f x <，1,2i =，则a 的取值范围是（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13、设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数1()2y f x =-的零点所构成的集合为________．)0,0(1:22221>>=-b a by a x C )0(2:23>=p px y C 215+14、执行如图所示的程序框图，输出的k 值为．15、若A 、B 、C 、D 四点共圆，1AB =，3BC =，2CD DA ==，则BD 等于．16、已知ABC ∆中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB = ，AN yAC=（0xy ≠），则4x y +的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本小题满分12分）某校高二年级十二个班级安全教育平台作业得分情况如下面茎叶图 所示：已知得分在80到90之间为良好(大于等于80，小于90)，得分不小于90为优秀. （Ⅰ）求高二年级得分的极差和平均数； （Ⅱ）教育局将得分良好以上的班级随机抽取两个进行问卷调查，求抽到的班级至少有一个得分优秀的概率.18、（本小题满分12分）如图，四棱柱11ABCD A -菱形，AC BD O = ，11A B A D ===AA AB （Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （Ⅱ）若60BAD ∠=，求点1A 到平面1BCB19、（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足21*123222(1)21()n n n a a a a n n N -++++=-⋅+∈ . （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若1tan tan n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .20、（本小题满分122y 轴上一点Q 的坐标为(0,5).（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）若对于直线:l y x m =+，椭圆C 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，求QAB ∆面积的最大值，及取得最大值时直线l 的方程.21、(本小题满分12分）已知函数(1)()ln a x f x x x-=-，已知 2.71828e =...是自然对数的底数.（Ⅰ）当4a =时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值集合； （Ⅲ）证明：13211113e<（）. 22、4-4：坐标系与参数方程,曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）.（Ⅰ）设l 与1C 相交于,A B 两点,（Ⅱ）若把曲线1C 上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得到2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求点P 到直线l 的距离的最大值.。
2017届高三上学期期中(文科)数学试卷-答案
四川省成都七中实验学校2017届高三上学期期中（文科）数学试卷答 案1~5．DACDB 6~10．ABDDA 11~12．BD 13．1714．2 15．[)2,+∞ 16．()[),01,-∞+∞U17．解：（1）函数()()()sin cos cos sin sin f x m n x x x x x x ωωωωωω==+-+u r rg gπ=cos22sin 2,6x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 相邻两对称轴间的距离不小于π2π,T ∴≥则2ππ,2ω≥解得0<1ω≤； （2）Q 当1ω=时，()π2sin 216f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭且()0,π,A ∈22222π41,cos ,3222b c a b c A A bc bc +-+-∴====224,b c bc ∴+=+又222,b c bc ≥+42,bc bc ∴+≥即4,bc ≤当且仅当2b c ==时，4,bc =1πsin 2sin 23ABC S bc A ∴=≤=△18．解：（1）由茎叶图得众数是：8.6，中位数是8.78.8:8.752+=． （2）（i ）现从这16人中幸福指数为“极幸福”和“不够幸福”的人中任意选取2人，幸福指数为“不够幸福”的两人设为,,A B 幸福指数为“极幸福”的4人设为,,,,a b c d 所有结果为()()()()()()()()():,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c A d B a B b B c B d()()()()()(),,,,,,,c ,,,,a b a c a d b b d c d 共有15个．（ii ）选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 共有6个，∴选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的概率62155P ==． 19．（1）证明：由三视图可知：平面ABCD ⊥平面,ABFE AD ⊥平面ABFE ．四边形ABCD 是边长为2的正方形，底面ABFE 是边长为4的正方形，,M N 分别为,AF BC 的中点． 取BF 的中点,P 连接,MP NP ． 又,M N 分别为,AF BC 的中点．∴,NP CF ∥,MP AB ∥又,AB EF ∥ 可得MP EF ∥．又,MP NP P MP =⊄I 平面,CDEF NP ⊄平面CDEF ．∴平面MNP ∥平面CDEF ； ∴MN ∥平面CDEF ．（2）解：MNF △中,,NM MF MF ⊥=MN 12MNF S =⨯=△设点B 到平面MNF 的距离为,h 则1112,332⨯=⨯⨯∴h =20．解：（Ⅰ）由右焦点到直线10:34l x y +=的距离为353,5=解得1,c = 又1,2c e a ==所以2222,3,a b a c -=== 所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设()()1122,,,,A x y B x y 把直线2:l y kx m =+代入椭圆方程22143x y +=得到：()2224384120,kx kmx m -+++=因此21212228412,,4343km m x x x x k k --+==++所以AB 中点M 2243,,4343kmm k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭又M 在直线1l 上，得2243340,4343km mk k -⨯+⨯=++因为0,m ≠所以1,k =故212128412,,77m m x x x x --+==所以12AB x =-==原点O 到AB 的距离为d =得到()227S 2m m +-==当且仅当272m =取到等号，检验0∆>成立．所以OAB △的面积S ．21．解：（1）()()2ln ,0,f x x bx a x x =+->()2,a f x x b x '=+-()220,af x x''=+>故()f x '在()0,+∞递增，故0x →时，()f x ',→-∞x →+∞时，(),f x →+∞故存在()00,,x ∈+∞使得：()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 递减，()0,x x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 递增，故函数()f x 存在极小值，但不存在极大值； （2）()2,2af x x b x x'=-+=Q 是函数()f x 的极值点， ()2402af b '∴=-+=． 1Q 是函数()f x 的零点，得()111,f b =+=由40,210a b b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得6,1,a b ==- ∴()26ln ,x x f x x --=令()()()()2326210,0,,x x f x x x x x+-'=--=>∈+∞得2x >； 令()0f x '<得02,x <<所以()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增 故函数()f x 至多有两个零点，其中()()010,2,2,,x ∈∈+∞因为()()()()()()2e 210,361ln30,462ln 46ln 0,4f f f f <==-<=-=>所以()03,4,x ∈故3n =．（3）令()[]2ln ,2,1,xb x a x g b b ∈--=+-则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[],2,1,b ∈--都存在()1,e ,x ∈使得()0f x <成立，则()()max 21ln 0g x x a g b x =--=-<在()1,e x ∈有解， 令()2ln ,x x h x a x --=只需存在()01,e x ∈使得()00h x <即可，由于()2221,a x x ax x h x x--=--='令()()22,410,x x x a x x ϕϕ'-=->-=()x ϕ∴在()1,e 上单调递增，()()11,x a ϕϕ>=-①当10,a -≥即1a ≤时，()0,x ϕ>即()()0,h x h x '>在()1,e 上单调递增，()()10,h x h ∴>=不符合题意．②当10,a -<即1a >时，()()2110,e 2e e a a ϕϕ=-<=--．若22e e>1,a ≥-则()e 0,ϕ<∴在()1,e 上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，∴()h x 在()1,e 上单调递减，∴存在0x ∈()1,e 使得()()010,h x h <=符合题意．若2e e>1,a ->则()e 0ϕ>∴在()1,e 上一定存在实数,m 使得()0,m ϕ=∴在()1,m 上()0x ϕ<恒成立，即()00h x '<恒成立，()h x 在()1,m 上单调递减， ∴存在存在0x ∈()1,m 使得()()010,h x h <=符合题意．综上所述，当1a >时，对[]2,1,b ∀∈--都有∃x ∈()1,e （e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立． 22．解：（1）圆1O 的极坐标方程为2,ρ=直角坐标方程224,x y +=2O的极坐标方程为2π,cos 2,4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-直角坐标方程222220y x y x ---+=；（2）两圆的方程相减，可得直线AB 的方程为10,x y ++=参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入224,x y +=可得230t -=AB ∴=四川省成都七中实验学校2017届高三上学期期中（文科）数学试卷解析1．【考点】集合的表示法．【分析】求出∁U A={x|x≤0或x≥1}，即可得出结论．【解答】解：∵∁U A={x|x≤0或x≥1}，B={0，1}，∴B⊆∁U A，故选D．2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案．【解答】解：由===，得，解得a=﹣．故选：A．3．【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p则q”的逆否命题“若￢q则￢p”，写出即可．【解答】解：命题“若x2=1，则x=1或x=﹣1”的逆否命题是“若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1”．故选：C．4．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：①∵l⊥平面α，直线m⊂平面β．若α∥β，则l⊥平面β，有l⊥m，①正确；②如图，由图可知②不正确；③∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂平面β，∴α⊥β，③正确；④由②图可知④不正确．∴正确的命题为①③．故选：D．5．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算满足S=+++…+=的整数p的值，并输出，结合等比数列通项公式，可得答案．【解答】解：由程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算满足S=+++…+=的整数p的值，∵+++…+=1﹣=，故==，故p=5．故选：B．6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据余弦定理求出角A的大小，结合向量投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=1，BC=，∴cosA===﹣，∴A=120°，∴向量在方向上的投影为==﹣，故选：A．7．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．8．【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．【解答】解：由题=，当时，f（x）∈[﹣1，]当时，f（x）∈（﹣1，）故可求得其值域为．故选：D．9．【考点】几何概型．【分析】他能收看到这条新闻的完整报道，播出时间是12：20到12：25，长度为5；12：00到12：30，长度为30，即可求出他能收看到这条新闻的完整报道的概率，【解答】解：他能收看到这条新闻的完整报道，播出时间是12：20到12：25，长度为5；12：00到12：30，长度为30，∴他能收看到这条新闻的完整报道的概率是=，故选D．10．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x1+1，|BF|=x2+1代入答案可得．【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=﹣1．设过F点直线方程为y=k（x﹣1）代入抛物线方程，得k2（x﹣1）2=4x．化简后为：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1x2=1，根据抛物线性质可知，|AF|=x1+1，|BF|=x2+1，∴=+==1，故选A．11．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】先根据题意确定f（x）的周期和奇偶性，进而在同一坐标系中画出两函数大于0时的图象，可判断出x＞0时的两函数的交点，最后根据对称性可确定最后答案．【解答】解：∵f（x+2）=f（x），x∈（﹣1，1）时f（x）=|x|，∴f（x）是以2为周期的偶函数∵y=log3|x|也是偶函数，∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数只要考虑x＞0时的情况即可当x＞0时图象如图：故当x＞0时y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有2个交点∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数为4故选：B．12．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】令AB=3k，AC=2k，在△ABC中，由余弦定理得BC、cosB由∠BAC的平分线交边BC于点D 的DB，在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，解得k即可．【解答】解：如图所示，令AB=3k，AC=2k，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AC2+AB2﹣2AB•ACcosA=7k2．⇒BC=．由余弦定理得AC2=BC2+AB2﹣2AB•BCcosB⇒cosB=．∵∠BAC的平分线交边BC于点D∴，∴DB=．在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB=1，解得k=经验证D满足，故选D．13．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数的基本关系求出cosα和tanα的值，利用两角和的正切公式求出tan的值．【解答】解：∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣．∴tan==，故答案为：17．14．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线的导函数，把x=x0代入即可得到切线的斜率，然后根据过点P0的切线方程为4x﹣y﹣1=0得出切线的斜率从而求出切点的坐标，最后将切点的坐标代入曲线方程即可求出实数k的值．【解答】解：由函数y=3lnx+x+k知y′=3×+1=+1，把x=x0代入y′得到切线的斜率k=+1，因切线方程为：4x﹣y﹣1=0，∴k=4，∴+1=4，得x0=1，把x0=1代入切线方程得切点坐标为（1，3），再将切点坐标（1，3）代入曲线y=3lnx+x+k，得3=3ln1+1+k，∴k=2．故答案为：2．15．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1得到+=1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：∵△ABC中，点O是BC的中点，∴=（+），∵，，∴=+，又∵O，M，N三点共线，∴+=1，∴m+n=（m+n）（+）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当m=n=1时取等号，故m+n的取值范围为[2，+∞），故答案为：[)2,+∞16．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件构造函数g（x）=xf（x），求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系求函数的极值和单调性即可得到结论．【解答】解：∵xf′（x）=（x﹣1）f（x），∴f（x）+xf′（x）=xf（x）设g（x）=xf（x），则g ′（x ）=f （x ）+xf ′（x ），即g ′（x ）=g （x ），则g （x ）=ce x ，∵f （1）=1，∴g （1）=f （1）=1，即g （1）=ce =1，则c =，则g （x ）=xf （x ）=•e x ，则f （x ）=，（x ≠0），函数的导数f ′（x ）==，由f ′（x ）＞0得x ＞1，此时函数单调递增，由f ′（x ）＜0得x ＜0或0＜x ＜1，此时函数单调递减，即当x =1时，函数f （x ）取得极小值，此时f （1）==1，即当x ＞0时，f （x ）≥1，当x ＜0时，函数f （x ）单调递减，且f （x ）＜0，综上f （x ）≥1或f （x ）＜0，即函数的值域为（﹣∞，0）∪[1，+∞），故答案为：()[),01,-∞+∞U17．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；余弦定理．【分析】（1）函数f （x ）==（sinωx +cosωx ） （cosωx ﹣sinωx ）+2cosωx •sinωx =cos2ωx +sin2ωx =2sin （2ωx +），由f （x ）相邻两对称轴间的距离不小于，则，解得ω的范围； （2）当ω=1时，，求得A ，由余弦定理、不等式的性质，得bc 的最大值，【解答】解：（1）函数()()()πsin cos cos sin sin f x n x x x x x x ωωωωωω=•=+-+•r rπ=cos22sin 2,6x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ()f x 相邻两对称轴间的距离不小于π2π,T ∴≥则2ππ,2ω≥解得0<1ω≤； （2）Q 当1ω=时，()π2sin 216f A A ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭且()0,π,A ∈ 22222π41,cos ,3222b c a b c A A bc bc +-+-∴==== 224,b c bc ∴+=+又222,b c bc ≥+42,bc bc ∴+≥即4,bc ≤当且仅当2b c ==时，4,bc =,,NM MF MF ⊥=△1πsin 2sin 23ABC S bc A ∴=≤=△ 18．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由茎叶图能求出众数和中位数．（2）（i ）现从这16人中幸福指数为“极幸福”和“不够幸福”的人中任意选取2人，幸福指数为“不够幸福”的两人设为A ，B ，幸福指数为“极幸福”的4人设为a ，b ，c ，d ，利用列举法能求出所有结果． （ii ）利用列兴举法求出选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的基本事件个数，由此能求出选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的概率．【解答】解：（1）由茎叶图得众数是：8.6， 中位数是8.78.8:8.752+=． （2）（i ）现从这16人中幸福指数为“极幸福”和“不够幸福”的人中任意选取2人，幸福指数为“不够幸福”的两人设为,,A B 幸福指数为“极幸福”的4人设为,,,,a b c d所有结果为()()()()()()()()():,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c A d B a B b B c B d()()()()()(),,,,,,,c ,,,,a b a c a d b b d c d 共有15个．（ii ）选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,c ,,,,a b a c a d b b d c d 共有6个，∴选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的概率62155P ==． 19．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】由三视图可知：平面ABCD ⊥平面ABFE ，AD ⊥平面ABFE ，四边形ABCD 是边长为4的正方形，底面ABFE 是边长为2的正方形，M ，N 分别为AF ，BC 的中点．（1）取BF 的中点P ，连接MP ，NP ．又M ，N 分别为AF ，BC 的中点．利用三角形中位线定理、面面平行的判定定理可得：平面MNP ∥平面CDEF ，即可证明MN ∥平面CDEF ．（2）利用等体积法，求点B 到平面MNF 的距离．【解答】（1）证明：由三视图可知：平面ABCD ⊥平面,ABFE AD ⊥平面ABFE ．四边形ABCD 是边长为2的正方形，底面ABFE 是边长为4的正方形，,M N 分别为,AF BC 的中点． 取BF 的中点,P 连接,MP NP ．又,M N 分别为,AF BC 的中点．∴,NP CF ∥,MP AB ∥又,AB EF ∥可得MP EF ∥．又,MP NP P MP =⊄I 平面,CDEF NP ⊄平面CDEF ．∴平面MNP ∥平面CDEF ；∴MN ∥平面CDEF ．（2）解：MNF △中,,NM MF MF ⊥=MN12MNF S =⨯△ 设点B 到平面MNF 的距离为,h 则1112,332⨯=⨯⨯∴h =20．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由点到直线的距离公式可得，得c 值，由离心率可得a 值，再由b 2=a 2﹣c 2可得b 值；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），把直线l 2：y =kx +m 代入椭圆方程得到：（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2﹣12=0，利用韦达定理及中点坐标公式可得AB 中点横坐标，代入l 2得纵坐标，由中点在直线l 1上可求得k 值，用点到直线的距离公式求得原点O 到AB 的距离为d ，弦长公式求得|AB |，由三角形面积公式可表示出S △OAB ，变形后用不等式即可求得其最大值；【解答】解：（Ⅰ）由右焦点到直线10:34l x y +=的距离为353,5=解得1,c = 又1,2c e a ==所以2222,3,a b a c -=== 所以椭圆C 的方程为22143x y +=； （Ⅱ）设()()1122,,,,A x y B x y 把直线2:l y kx m =+代入椭圆方程22143x y +=得到： ()2224384120,k x kmx m -+++= 因此21212228412,,4343km m x x x x k k --+==++ 所以AB 中点M 2243,,4343km m k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭又M 在直线1l 上，得2243340,4343km m k k -⨯+⨯=++ 因为0,m ≠所以1,k =故212128412,,77m m x x x x --+==所以12AB x =-==原点O 到AB 的距离为d =得到()227S 2m m +-== 当且仅当272m =取到等号，检验0∆>成立．所以OAB △的面积S ．21．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）先求导得到f ′（x ）=2x ﹣+b ，由，f （1）=1+b =0，得到a 与b 的值，继而求出函数的解析式， （3）令g （b ）=xb +x 2﹣alnx ，b ∈[﹣2，﹣1]，问题转化为在x ∈（1，e ）上g （b ）max =g （﹣1）＜0有解即可，亦即只需存在x 0∈（1，e ）使得x 2﹣x ﹣alnx ＜0即可，连续利用导函数，然后分别对1﹣a ≥0，1﹣a ＜0，看是否存在x 0∈（1，e ）使得h （x 0）＜h （1）=0，进而得到结论．【解答】解：（1）()()2ln ,0,f x x bx a x x =+->()2,a f x x b x '=+-()220,a f x x''=+> 故()f x '在()0,+∞递增，故0x →时，()f x ',→-∞x →+∞时，(),f x →+∞故存在()00,,x ∈+∞使得：()00,x x ∈时，()0f x '<，()f x 递减，()0,x x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 递增，故函数()f x 存在极小值，但不存在极大值；（2）()2,2a f x x b x x'=-+=Q 是函数()f x 的极值点， ()2402a fb '∴=-+=． 1Q 是函数()f x 的零点，得()111,f b =+= 由40,210a b b ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩解得6,1,a b ==- ∴()26ln ,x x f x x --=令()()()()2326210,0,,x x f x x x x x+-'=--=>∈+∞得2x >； 令()0f x '<得02,x <<所以()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增故函数()f x 至多有两个零点，其中()()010,2,2,,x ∈∈+∞因为()()()()()()2e 210,361ln30,462ln 46ln 0,4f f f f <==-<=-=> 所以()03,4,x ∈故3n =．（3）令()[]2ln ,2,1,xb x a x g b b ∈--=+-则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[],2,1,b ∈--都存在()1,e ,x ∈使得()0f x <成立，则()()max 21ln 0g x x a g b x =--=-<在()1,e x ∈有解，令()2ln ,x x h x a x --=只需存在()01,e x ∈使得()00h x <即可，由于()2221,a x x a x x h x x--=--=' 令()()22,410,x x x a x x ϕϕ'-=->-=()x ϕ∴在()1,e 上单调递增，()()11,x a ϕϕ>=-① 当10,a -≥即1a ≤时，()0,x ϕ>即()()0,h x h x '>在()1,e 上单调递增，()()10,h x h ∴>=不符合题意．② 当10,a -<即1a >时，()()2110,e 2e e a a ϕϕ=-<=--．若22e e>1,a ≥-则()e 0,ϕ<∴在()1,e 上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，∴()h x 在()1,e 上单调递减，∴存在0x ∈()1,e 使得()()010,h x h <=符合题意．若2e e>1,a ->则()e 0ϕ>∴在()1,e 上一定存在实数,m 使得()0,m ϕ=∴在()1,m 上()0x ϕ<恒成立，即()00h x '<恒成立，()h x 在()1,m 上单调递减，∴存在存在0x ∈()1,m 使得()()010,h x h <=符合题意．综上所述，当1a >时，对[]2,1,b ∀∈--都有∃x ∈()1,e （e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立． 22．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用x =ρcosθ、y =ρsinθ把圆O 1，圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）把2个圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程，再化为参数方程．利用直线AB 的参数方程求两圆的公共弦长|AB |．【解答】解：（1）圆1O 的极坐标方程为2,ρ=直角坐标方程224,x y +=2O的极坐标方程为2π,cos 2,4ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭-直角坐标方程222220y x y x ---+=； （2）两圆的方程相减，可得直线AB 的方程为10,x y ++=参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）， 代入224,x y +=可得230t -=AB ∴=。
2017年四川省成都七中自主招生考试数学试卷(含详细解析)
2017年四川省成都七中自主招生考试数学试卷一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分）1．（6分）有一个角为60°的菱形，边长为2，其内切圆面积为（）A． B． C．D．2．（6分）若方程组的解为（a，b，c），则a+b+c=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．23．（6分）圆O1与圆O2半径分别为4和1，圆心距为2，作圆O2的切线，被圆O1所截得的最短弦长为（）A．﹣1 B．8 C．2 D．24．（6分）如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，记△AOD、△ABO、△BOC的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S3与2S2的大小关系为（）A．无法确定B．S1+S3＜2S2C．S1+S3=2S2D．S1+S3＞2S25．（6分）关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根，则实数k的取值共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（6分）两本不同的语文书、两本不同的数学书和一本英语书排放在书架上，若同类书不相邻，英语书不放在最左边，则排法的种数为（）A．32 B．36 C．40 D．447．（6分）若a=，则的值的整数部分为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（6分）在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E 作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN=（）A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN9．（6分）由若干个边长为1的小正方形组成一个空间几何体（小正方形可以悬空），其三视图如图，则这样的小正方体至少应有（）A．8个 B．10个C．12个D．14个10．（6分）正方体ABCD的边长为1，点E在边AB上，BE=，BF=，动点P 从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，而当碰到正方形顶点时沿入射路径反弹，当点P第一次返回E时，P所经过的路程为（）A． B．C．2D．二、填空题（共8小题，每小题6分，满分48分）11．（6分）对任意实数k，直线y=kx+（2k+1）恒过一定点，该定点的坐标是．12．（6分）如图，圆锥母线长为2，底面半径为，∠AOB=135°，经圆锥的侧面从A到B的最短距离为．13．（6分）设（3x﹣2）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，那么a1+a2+a3+a4+a5+a6=．14．（6分）如图，向正五边形ABCDE区域内均匀掷点，落在五边形FGHJK区域内的概率为．15．（6分）函数y=kx﹣1与y=x2的图象交于两点（x1，y1）（x2，y2），若+=18，则k=．16．（6分）在△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、CA上的点，且BD=AC，AE=CD，BE、AD相交于点P，则∠BPD=．17．（6分）函数y=2+的最大值为．18．（6分）若x≥y≥z，则（2x+1）（2y+1）（2z+1）=13xyz的正整数解（x，y，z）为．三、解答题（共2小题，满分42分）19．（22分）正方形ABCD边长为2，与函数x=（x＞0）的图象交于E、F两点，其中E位于线段CD上，正方形ABCD可向右平移，初始位置如图所示，此时，△DEF的面积为．正方形ABCD在向右平移过程中，位于线段EF上方部分的面积记为S，设C点坐标为（t，0）（1）求k的值；（2）试写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）若S=2，求t的值；（4）正方形ABCD在向右平移过程中，是否存在某些位置，沿线段EF折叠，使得D点恰好落在BC边上？若存在，确定这些位置对应t的值得大致范围（误差不超过0.1）；若不存在，说明理由．20．（20分）（1）求函数y=|x﹣1|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值；（2）求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值；（3）求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的最小值及对应自变量x的取值；（4）求函数y=|x﹣1|+|2x﹣1|+…+|8x﹣1|+|9x﹣1|的最小值及对应自变量x的取值．2017年四川省成都七中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题6分，满分60分）1．（6分）有一个角为60°的菱形，边长为2，其内切圆面积为（）A． B． C．D．【解答】解：过A作AE⊥BC，如图所示：∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC═60°，∴∠BAE=30°，∴BE=AB=1，∴AE=BE=，∴内切圆半径为，∴内切圆面积=π•（）2=；故选：A．2．（6分）若方程组的解为（a，b，c），则a+b+c=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【解答】解：，②×5﹣①得：14y+3z=﹣17④，②×2﹣③得：5y+2z=﹣7⑤④×2﹣⑤×3得：13y=﹣13，解得：y=﹣1，把y=﹣1代入⑤得：z=﹣1，把y=﹣1，z=﹣1代入②得：x=2，则（a，b，c）=（2，﹣1，﹣1），则a+b+c=2﹣1﹣1=0．故选：B．3．（6分）圆O1与圆O2半径分别为4和1，圆心距为2，作圆O2的切线，被圆O1所截得的最短弦长为（）A．﹣1 B．8 C．2 D．2【解答】解：∵圆O1与圆O2半径分别为4和1，圆心距为2，∴4﹣1＞2，故两圆内含，不妨设截得的弦为AB，切点为C，连接O1A，连接O1O2，O2C，∵半径确定，∴弦心距越小，则弦越长，∵AB是⊙O2的切线，∴O2C⊥AB，∴当O1、O2、C在一条线上时，弦AB最短，由题意可知OC1=2+1=3，AO1=4，在Rt△ACO1中，由勾股定理可得AC==，∴AB=2AC=2，故选：C．4．（6分）如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，记△AOD、△ABO、△BOC的面积分别为S1、S2、S3，则S1+S3与2S2的大小关系为（）A．无法确定B．S1+S3＜2S2C．S1+S3=2S2D．S1+S3＞2S2【解答】解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴=，∵△AOD与△AOB等高，∴S1：S2=AD：BC=a：b，∴S1=S2，S3=S2，∴S1+S3=（+）S2=S2，∵a≠b，∴a2+b2＞2ab，∴＞2，∴S1+S3＞2S2，故选：D．5．（6分）关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根，则实数k的取值共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：方程两边都乘x（x+2）得，（2k﹣4）x（x+2）+（k+1）（x+2）=x（k ﹣5），整理得，（k﹣2）x2+（2k﹣1）x+k+1=0．①当k﹣2≠0时，∵△=（2k﹣1）2﹣4（k﹣2）（k+1）=9＞0，∴一元二次方程（k﹣2）x2+（2k﹣1）x+k+1=0有两个不相等的实数根．∵关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根，而x（x+2）=0时，x=0或﹣2，∴x=0时，k+1=0，k=﹣1，此时方程﹣3x2﹣3x=0的根为x=0或﹣1，其中x=0是原方程的增根，x=﹣1是原方程的根，符合题意；x=﹣2时，4（k﹣2）﹣2（2k﹣1）+k+1=0，k=5，此时方程3x2+9x+6=0的根为x=﹣2或﹣1，其中x=﹣2是原方程的增根，x=﹣1是原方程的根，符合题意；即k=﹣1或5；②当k﹣2=0，即k=2时，方程为3x+3=0，解得x=﹣1，符合题意；即k=2．综上所述，若关于x的分式方程2k﹣4+仅有一个实数根，则实数k的取值为﹣1或5或2，共有3个．故选：C．6．（6分）两本不同的语文书、两本不同的数学书和一本英语书排放在书架上，若同类书不相邻，英语书不放在最左边，则排法的种数为（）A．32 B．36 C．40 D．44【解答】解：设从左向右位置为①，②，③，④，⑤，∵英语书不在最左边，∴最左边①有4种取法，∵同类书不相邻，∴②有3种取法，③有两种取法，④有两种取法，⑤有一种取法，共4×3×2×2×1=48，但是英语书排在第②位置时，只能是语文、英语、数学、语文、数学，或者数学、英语、语文、数学、语文，故英语书排在第②位置时只有8种情况，故种情况为48﹣8=40种，故选：C．7．（6分）若a=，则的值的整数部分为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵==﹣=﹣=﹣，∴=﹣+﹣+﹣=﹣∵a=，∴==4，0＜a27＜a3=（）3=＜，∴＜1﹣a27＜1，∴1＜＜2，∴的值的整数部分为2．故选：B．8．（6分）在圆内接四边形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分线交于点E，过E 作直线MN平行于BC，与AB、CD交于M、N，则总有MN=（）A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN【解答】解：如图，在NM上截取NF=ND，连结DF，AF∴∠NFD=∠NDF，∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ADC+∠B=180°，∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∴∠AMN+∠ADN=180°，∴A，D，N，M四点共圆，∴∠MND+∠MAD=180°，∵AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA，∴∠END+2∠DFN=∠END+2∠DAE=180°，∴∠DFN=∠DAE，∴A，F，E，D四点共圆，∴∠DEN=∠DAF，∠AFM=∠ADE，∴∠MAF=180°﹣∠DAF﹣∠MND=180°﹣∠DEN﹣∠MND=∠EDN=∠ADE=∠AFM，∴MA=MF，∴MN=MF+NF=MA+ND．故选：D．9．（6分）由若干个边长为1的小正方形组成一个空间几何体（小正方形可以悬空），其三视图如图，则这样的小正方体至少应有（）A．8个 B．10个C．12个D．14个【解答】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层至少有3个小正方体，第二层至少有3个小正方体，第三层至少有3个小正方体，则这样的小正方体至少应有3+3+3=9个，选项中10是满足条件最小的数字．故选：B．10．（6分）正方体ABCD的边长为1，点E在边AB上，BE=，BF=，动点P 从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，而当碰到正方形顶点时沿入射路径反弹，当点P第一次返回E时，P所经过的路程为（）A． B．C．2D．【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，根据入射角等于反射角及平行关系的三角形的相似可得第二次碰撞点为M，在DA上，且DM=DA，第三次碰撞点为N，在DC 上，且DN=DC，第四次碰撞点为G，在CB上，且CG=BC，第五次碰撞点为H，在DA上，且AH=AD，第六次碰撞点为Z，在AB上，且AZ=AD，第七次碰撞点为I，在BC上，且BI=AD，第八次碰撞点为D，再反方向可到E，由勾股定理可以得出EF=HZ==，FM=GH=ID=，MN=NG=，ZI=，P所经过的路程为（×2+×3+×2+）×2=．故选：B．二、填空题（共8小题，每小题6分，满分48分）11．（6分）对任意实数k，直线y=kx+（2k+1）恒过一定点，该定点的坐标是（﹣2，1）．【解答】解：∵y=kx+（2k+1）∴y=k（x+2）+1，∴图象恒过一点是（﹣2，1），故答案为（﹣2，1）．12．（6分）如图，圆锥母线长为2，底面半径为，∠AOB=135°，经圆锥的侧面从A到B的最短距离为2．【解答】解：如右图所示，是圆锥侧面展开的一部分，∵圆锥母线长为2，底面半径为，∠AOB=135°，∴，作AD⊥SB于点D，∵SA=SB=2，∴展开的扇形所对的圆心角为，∴在Rt△SAD中，AD=SD=，∴BD=SB﹣SD=2﹣，∴AB==，故答案为：2．13．（6分）设（3x﹣2）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，那么a1+a2+a3+a4+a5+a6= 1﹣26．【解答】解：由题意可知a0=（﹣2）6，令x=1，则1=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6，因此a1+a2+a3+a4+a5+a6=1﹣a0=1﹣（﹣2）6=1﹣26．故答案为：1﹣26．14．（6分）如图，向正五边形ABCDE区域内均匀掷点，落在五边形FGHJK区域内的概率为．【解答】解：正五边形ABCDE，∴∠BAE=∠ABC=BCD=∠CDE∠AED=108°，AB=BC=CD=DE=AE，∴△ABC≌△ABE，∴AC=BE，同理：△ABH≌△△BCG≌△AJE，∴AH=CG=JE，∴HJ=HG，同理：FG=FK=JK=HG，∴五边形HGFKJ是正五边形，∴正五边形HGFKJ∽正五边形ACBDE，设HE=CD=a，HJ=x，由题意，△HAB∽△ABE，∴，∴x=∴落在五边形FGHJK区域内的概率为=，故答案为．15．（6分）函数y=kx﹣1与y=x2的图象交于两点（x1，y1）（x2，y2），若+=18，【解答】解：∵函数y=kx﹣1与y=x2的图象交于两点（x1，y1）（x2，y2），∴，消去y得x2﹣kx+1=0，∴x1+x2=k，x1x2=1，∴+====18，∴k（k2﹣2）﹣k=18，解答k=3．故答案为3．16．（6分）在△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、CA上的点，且BD=AC，AE=CD，BE、AD相交于点P，则∠BPD=45°．【解答】解：作AF∥CD，DF∥AC，AF交DF于点F，∴四边形ACDF是平行四边形．∵∠C=90°∴四边形ACDF是矩形，∴CD=AF，AC=DF，∠EAF=∠FDB=∠AFD=90°．∵BD=AC，AE=CD∴△BDF和△AEF是等腰直角三角形，∴∠AFE=∠DFB=45°，∴∠DFE=45°，∴∠EFB=90°．∴∠EFB=∠AFD．∴△BDF∽△AEF，∵∠EFB=∠AFD，∴△ADF∽△EBF∴∠PAF=∠PEF∴∠APE=∠AFE∵∠AFE=45°∴∠APE=45°17．（6分）函数y=2+的最大值为．【解答】解：根据题意得：，解得：1≤x≤2，由柯西不等式得：y=2+≤•=×=（当且仅当2=，即x=时，取等号），故函数y=2+的最大值为．故答案为：．18．（6分）若x≥y≥z，则（2x+1）（2y+1）（2z+1）=13xyz的正整数解（x，y，z）为（45，7，1）或（19，9，1）．【解答】解：∵（2x+1），（2y+1），（2z+1）都是奇数，∴x，y，z都是奇数，∵（2x+1）（2y+1）（2z+1）=13xyz，∴（2+）（2+）（2+）=13，∵x≥y≥z，如果z≥3，那么（2+）（2+）（2+）≤（2+）2=＜13，∴z=1，∴3（2x+1）（2y+1）=13xy，化简得：xy=6（x+y）+3，则x==6+，∵39的因子有：1，3，12，39，∴y﹣6=1，3，13，39，∴y=7，9，19，45，∴x的对应只有：45，19，9，7，∵x＞y，∴正整数解（x，y，z）为：（45，7，1）或（19，9，1）．故答案为：（45，7，1）或（19，9，1）．三、解答题（共2小题，满分42分）19．（22分）正方形ABCD边长为2，与函数x=（x＞0）的图象交于E、F两点，其中E位于线段CD上，正方形ABCD可向右平移，初始位置如图所示，此时，△DEF的面积为．正方形ABCD在向右平移过程中，位于线段EF上方部分的面积记为S，设C点坐标为（t，0）（1）求k的值；（2）试写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）若S=2，求t的值；（4）正方形ABCD在向右平移过程中，是否存在某些位置，沿线段EF折叠，使得D点恰好落在BC边上？若存在，确定这些位置对应t的值得大致范围（误差不超过0.1）；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题设可知S=（2﹣）2=，△DEF解得k=1或7（不合题意，舍去），∴k=1；（2）①如图1，当2≤t≤时，因为C点坐标为（t，0），所以E点坐标为（t，），所以DE=2﹣，而F点坐标为（，2），所以DF=t﹣，所以S=DE•DF=（2﹣）（t﹣）=t+﹣1；②如图2，当t＞时，此时OB=t﹣2，所以F点的坐标为（t﹣2，），所以AF=2﹣，所以S=•2•（DE+AF）=•2•（2﹣+2﹣）=4﹣﹣；（3）当2≤t≤时，DE和DF随t的增大而增大，S也类似，故当t=时S有最大值为＜2，所以S=2只可能发生在t＞时，令4﹣﹣=2，解得t=；（4）①如图3，当2≤t≤时，假设位置存在，由对称性知Rt△FDE∽Rt△DCD1，因为DE=D1E，则有=，其中D1C==，整理得：t（t﹣1）=4，解得t=＞，与假设矛盾，所以当2≤t≤时，不存在；②如图4，当t＞时，假设位置存在，过F作直线FG∥x轴交CD于G，由对称性可知Rt△FGE≌Rt△DCD1，DE=D1E，所以GE=D1C，而GE=﹣，整理可得t（t﹣1）（t﹣2）2=1，设y=t（t﹣1）（t﹣2）2，当t＞2时，y随t的增大而增大，取t=2.5，则y=0.9375＜1，取t=2.6，则y=1.4976＞1，利用试值法可以判断位置存在且唯一，对应的t的取值在2.5和2.6之间．20．（20分）（1）求函数y=|x﹣1|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值；（2）求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值及对应自变量x的取值；（3）求函数y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的最小值及对应自变量x的取值；（4）求函数y=|x﹣1|+|2x﹣1|+…+|8x﹣1|+|9x﹣1|的最小值及对应自变量x的取值．【解答】解：（1）函数y=|x﹣1|+|x﹣3|的最小值的几何意义是数轴上x到1和3两点距离之和的最小值，∵两点之间线段最短，∴当1＜x＜3时，y min=|3﹣1|=2，（2）∵y=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|=（|x﹣1|+|x﹣3|）+|x﹣2|，当x=2时，|x﹣2|有最小值，∴结合（1）的结论得出，当x=2时，y min=2+0=2，（3）当n为偶数时，y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|=（|x﹣1|+|x﹣n|）+（|x﹣2|+|x ﹣（n﹣1）|）+…+（|x﹣|+|x﹣（+1）|），由（1）知，当＜x＜+1时，|x﹣1|+|x﹣n|有最小值n﹣1，|x﹣2|+|x﹣（n﹣1）|有最小值（n﹣1）﹣2=n﹣3，…|x ﹣|+|x ﹣（+1）|有最小值1，∴当＜x ＜+1时，y min=1+3+5+…+（n﹣3）+（n﹣1）=，当n为奇数时，y=|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|=（|x﹣1|+|x﹣n|）+（|x﹣2|+|x﹣（n﹣1）|）+…+（|x ﹣|+|x ﹣（+1）|）+|x ﹣|，由（1）知，当x=时，|x﹣1|+|x﹣n|有最小值n﹣1，|x﹣2|+|x﹣（n﹣1）|有最小值（n﹣1）﹣2=n﹣3，…|x ﹣|+|x ﹣（+1）|有最小值1，|x ﹣|的最小值为0，∴当x=时，ymin=0+2+4+…+（n﹣3）+（n﹣1）=，（4）类似（3）的做法可知，y=|x﹣a1|+|x﹣a2|+…+|x﹣a n|，如果n 为偶数时，当时，y有最小值，如果n为奇数时，当x=时，y有最小值；∵y=|x﹣1|+|2x﹣1|+…+|8x﹣1|+|9x﹣1|=++…++|x﹣1|∴共有9+8+7+…+2+1=45项，为奇数．∴当x=时，ymin=|﹣1|+|﹣1|+…+|﹣1|+|﹣1|=第21页（共21页）。
四川省成都七中2017届高三上学期入学数学试卷(理科) 含解析
2016—2017学年四川省成都七中高三（上）入学数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U=R，若集合A={x∈N|｜x﹣2|＜3｝，B={x｜y=lg（9﹣x2）}，则A∩∁R B（）A．{x|﹣1＜x＜3｝B．｛x｜3≤x＜5｝ C．｛0，1，2} D．｛3,4｝2．已知复数z=x+yi（x,y∈R),且有=1+yi,是z的共轭复数,则的虚部为（）A．B．i C．D．i3．已知x，y取值如表：x01456y 1.3m3m5。
67。
4画散点图分析可知，y与x线性相关,且回归直线方程=x+1,则实数m的值为（）A．1.426 B．1。
514 C．1。
675 D．1.7324．已知函数f（x）的部分图象如图所示．向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数．通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计f（x)dx的值约为( ）A．B．C．D．5．已知点P(3,3)，Q（3，﹣3）,O为坐标原点，动点M（x，y）满足,则点M所构成的平面区域的内切圆和外接圆半径之比为（）A．B． C．D．6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=AD=，若∠A1AD=∠A1AB=45°,∠BAD=60°，则点A1到平面ABCD的距离为（）A．1 B．C．D．7．在△ABC中，若4(sin2A+sin2B﹣sin2C)=3sinA•sinB,则sin2的值为（）A．B． C．D．8．若直线xcosθ+ysinθ﹣1=0与圆（x﹣cosθ）2+（y﹣1）2=相切,且θ为锐角，则这条直线的斜率是（）A． B． C．D．9．定义在R上的函数f（x）满足f(x﹣2）=﹣f(x)，且在区间[0，1]上是增函数,又函数f(x﹣1）的图象关于点（1，0）对称,若方程f（x）=m在区间[﹣4,4]上有4个不同的根,则这些根之和为（）A．﹣3 B．±3 C．4 D．±410．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若=λ+μ（λ，μ∈R）,λ•μ=，则该双曲线的离心率为（）A．B．C． D．11．已知函数f(x）=，g（x）=,则函数h（x)=g（f(x))﹣1的零点个数为（）个．A．7 B．8 C．9 D．1012．若对任意的x1∈[e﹣1，e]，总存在唯一的x2∈[﹣1，1],使得lnx1﹣x1+1+a=x22e x2成立，则实数a的取值范围是（）A．［，e+1] B．（e+﹣2，e］C．［e﹣2,) D．（,2e﹣2]二、填空题13．已知P1（x1,x2),P2（x2,y2）是以原点O为圆心的单位圆上的两点,∠P1OP2=θ（θ为钝角）．若sin（)=，则的x1x2+y1y2值为．14．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法,对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x i（i=1，2，3，4）（单位：立方米）．根据如图所示的程序框图，若知x1，x2,x3,x4分别为1，1.5，1.5，3,则输出的结果S为．15．已知a＜b，二次不等式ax2+bx+c≥0对任意实数x恒成立,则M=的最小值为．16．设x∈R，定义[x]表示不超过x的最大整数，如[］=0，［﹣3。
成都七中高2017届高二上12月考文科数学
成都七中2015-2016学年上期 2017届阶段性考试数学试卷（文科）考试时间：120分钟 总分：150分一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案凃在答题卷上.）1.将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的（ ）倍。
A.1 B.2 C.4 D.82.非零向量a ，b 不共线且b a n 32+=，向量m 同时垂直于a 、b ，则（ ） A.// B.⊥ C.与既不平行也不垂直 D.以上情况均有可能3.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ． 4B ．5C ．6D ．7 4.直线3x-4y+5=0关于y 轴对称的直线方程为（ ） A.3x+4y+5=0 B.3x-4y+5=0 C.3x+4y-5=0 D.3x-4y-5=0 5.在正方体1111D C B A ABCD -中，棱长AB=2，点E 是 棱11D C 的中点，则异面直线E B 1与1BC 所成角的 余弦值为（ ） A.510 B. 515 C.1015 D.1010 6.下图是一个几何体的三视图，根据图中数据， 可得该几何体的表面积是（ ） A ．9π B ．10π C ．11πD ．12π7. 若O 为坐标原点，(2,0),A 点(,)P x y 坐标满足43035251x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则||cos OP AOP ∠的最大值为（ ）A 6B 5C 4D 3(第3题图)8.点E 、F 分别是三棱锥P ABC -的棱AP 、BC 的中点，10PC =，6AB =，EF =7，则异面直线AB 与PC 所成的角为（ ） A.60°B.45°C.30° D .120°9.已知圆C:422=+y x ，直线l :y=-x+b,圆C 上恰有3个点到直线l 的距离为1，则b =（ ） A.2±B.2C.-2D.以上答案都不对10.在棱长为2 的正方体1111D C B A ABCD -中，P 是体对角线1BD 的中点，Q 在棱1CC 上运动，则min PQ =（ ）A.3B.2C.22D.3211.如图，在直二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB=4，AC=6，BD=8，则直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）12.过点P （2，3)的动直线交圆M:422=+y x 于A 、B 两点，过A 、B 作圆M 的切线，如果两切线相交于点Q ，那么点Q 的轨迹为（ ）A.直线B.直线的一部分C.圆的一部分D.以上都不对二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上。
2017届四川省成都七中届高三上期入学考试语文试题
【考试时间：2016 年8 月29 日】成都七中2017 届高三上期入学考试语文试卷本试卷分第I 卷（阅读题）和第II 卷（表达题）两部分，共150 分。
考试时间150 分钟。
两卷答案均应写在答题卡上。
第I 卷阅读题（71 分）一、现代文阅读（9 分，每小题 3 分）阅读下面的文字，完成1-3 题.宋词中的帘，品种繁多，状态各异，就前者言，有珠帘、绣帘、画帘、翠帘等等；就后者言，有卷帘、开帘，低帘、高帘，下帘、上帘，疏帘、重帘，等等。
帘的原始功能在于遮蔽和阻隔，但这种‚遮‛和‚隔‛又有其特殊性，它既不像‚侯门一入深如海‛那样遥不可及，也不像‚墙里秋千墙外道‛那样难以逾越。
可以说，帘之妙处正在于它的隔未全隔，而通未全通，也可以说是隔犹未隔，通犹未通，只看当事人的心态和感觉如何，这便预示帘的阻隔功能具有喜剧性与悲剧性的双重内涵。
以词人常用的‚隔帘看未真‛一句为例，就可以产生两种感受截然相反的心理。
第一，乐观的视角：虽然隔帘看未真，但毕竟是看到了，这是何等的幸福和慰藉；第二，悲观的视角：虽然隐隐约约看到了，然而毕竟得不到真切实在的接触，这又是何等的痛苦和折磨。
当人与人（通常是帘内的女子和帘外的男子）隔帘相对时，二者就入了一种微妙的情境中。
帘内的世界对帘外人言，就成了一种神秘幽深的存在，但这一存在对他而言又是那样的近在咫尺却不可接近，那样地引人入胜却不可触摸。
而帘外的世界对帘内人而言，则隐喻着一种美丽然而难以预测的诱惑，一种与当下生存不同的别一样的激情与热烈。
在她内心深处，不管是接受还是抗拒，那样一种隐密的渴望已经被点燃。
此时的帘，不仅隔开两个人的身，似乎也隔开了他们的心，至少帘外的人是这样认为的。
帘内的人对这帘外人的态度是不很明朗的，道是无情又似声声呼唤，道是有情又似诸多推拒。
有时候，帘内人虽然在场，却未出场，即她只是作为一种现实的存在，却未表现出任何情感的波动，这对帘外人来说，似乎更成为一种‚多情却被无情恼‛的惆怅。
【全国百强校首发】四川省成都市第七中学2017届高三上学期半期考试数学试题(pdf版,暂无答案)
（B） x ( 0 , （D） x ( 0 ,
) ， x ta n x
) ， x ta n x
2
2
2
kx 7 kx 4 kx 3
的定义域为 R ，则实数 k 的取值范围是（
3 , 4
）
3 , 4
成都七中 2016～2017 学年度上期 2017 届半期考试
数学试卷（理科）
考试时间：120 分钟 总分：150 分 一．选择题（每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把 答案凃在答题卷上． ） 1．已知集合 M 1, 0 , 2 , 3 ， N y | y x 3 , x M （A） 1, 0 , 2 , 3 2．在复数范围内，复数 （A） i 3．设命题 p : x ( 0 , （A） x 0 ( 0 , （C） x 0 ( 0 , 4．若函数 f ( x ) （A） 0 ,
请考生在第（22） 、 （23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修 4 4 坐标系和参数方程 已知曲线 C 的参数方程为
x 1 2 cos y 3 2 s in
x 轴 以直角坐标系的原点为极点， ( 为 参 数 ），
的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）若直线 l 的极坐标方程为 ( s in c o s ) 2 ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长．
）
（A）28 （B）1 和 28 （C）7 和 28 （D）1 和 7 10．已知正四棱锥 S A B C D 所有棱长为 4， E 是侧棱 S C 上一点，且 S E 1 ，过点 E 垂 直于 S C 的平面截该正四棱锥，则该平面与这个正四棱锥的截面面积为（ ） （A） 8 2 （B） 6 2 （C） 5 2 （D） 4 2
成都七中2017—2018学年度高三第一学期开学考试数学(理) 精品
成都七中2017—2018学年度高三第一学期开学考试数学试题(理科)注意事项：本试题分为第I 卷和第II 卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
、第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的。
1.已知全集U=R ，集合{|lg 0},{|21},()x U A x x B x A B =≤=≤ 则C =A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(],1-∞D ．[)1,+∞2．设z=1+i （i 是虚数单位），则22z z+=A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i +3．函数)(,0)(,0,)(lim ,)(lim ,),()(x f x f mn n x f m x f b a x f bx ax 则且上连续在>'<==-+→→在),(b a 内A ．没有实根B ．至少有一个实根C ．有两个实根D ．有且只有一个实根 4．关于两条不同的直线m 、n 与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是 A ．m//α，n//β且α//β，则m//n B ．,,m n αβαβ⊥⊥⊥且则m//n;C ．m//α，n β⊥且,//;m n αβ⊥则D ．,////,m n m n αβαβ⊥⊥且则5．若两个非零向量,||||2||a b a b a b a +=-=满足，则向量a b a b +- 与的夹角为A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 6．在数列{}n a 中，*111001,,(),n n a a a n n N a +=-=∈则的值为A ．5050B ．5051C ．4950D ．49517.将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位，再将横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所对应的函数为y ＝cos x ，则f (x )为A ．y ＝cos(2x ＋π3)B ．y ＝cos(2x －π3)C ．y ＝cos(2x ＋23π)D ．y ＝cos(2x －23π)8．设36log (1)(6)()31(6)x x x f x x --+>⎧=⎨-≤⎩的反函数为118(),(),9f x f n ---=若则(4)f n += A ．2 B ．—2 C ．1 D ．—19.已知球的半径为5，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为6，则两圆的圆心距为A ．4B C ．D ．110．将123)(x x +的展开式中各项重新排列，使含x 的正整数次幂的项互不相邻的排法共有多少种？A ．1013313A A ⋅ B ．3111010A A + C ．99413A A ⋅ D ．3111010A A ⋅ 11．如图所示,已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2, 长 为2的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动, 另一端点N 在正方形ABCD 内运动, 则MN 的中点的轨迹的面积为 A ．4π B ．2π C ．π D ．2π12.已知集合{(,),}U x y x R y R =∈∈，{(,)}M x y x y a =+<，{(,)()}P x y y f x ==，现给出下列函数：①x y a =②log a y x =③sin()y x a =+④cos y ax =，若01a <<时，恒有U P C M P ⋂=，则()f x 所有可取的函数的编号是A ． ①②③④B ．①②④C ．①②D ．④第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知2213sin sin 23cos 22ααα-+=，则tan α=______________. 14．已知{}n a 是等比数列，41252==a a ，， 则13221++++n n a a a a a a = ．15．定义在R 上的函数2()(2)3(),[0,2],()2,f x f x f x x f x x x +=∈=-满足且当时若当13[4,2],()()18x f x t t ∈--≥-时恒成立，则实数t 的取值范围是 . 16. 给出定义：若2121+≤<-m x m （其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x =m . 在此基础上给出下列关于函数{}x x x f -=)(的四个命题：①函数y =)(x f 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数y =)(x f 的图像关于直线2kx =（Z k ∈）对称； ③函数y =)(x f 是周期函数，最小正周期为1； ④函数y =)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数. 则所有正确的命题的编号是______________. NMD 1C 1B 1A 1DCBA三、解答题：（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）ABC ∆中内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量2(2s i 3),(c o s 2,2c o s 1)2Bm B n B ==-且//m n （Ⅰ）求锐角B 的大小，（Ⅱ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值18.（本小题共12分）某选手进行实弹射击训练，射击中每次射击的结果是相互独立的.已知他每次射击时，命中环数ξ的分布列如下表：ξ8 9 10 P0.10.50.4该选手在训练时先射击三次，若三次射击的总环数不小于29环，则射击训练停止；若三次射击的总环数小于29环，则再射击三次，然后训练停止. （I ）求该选手在射击训练中恰好射击三次的概率； （II ）求该选手训练停止时，射击的次数η的分布列及期望.19.（本小题满分12分）已知：如图，长方体中，、分别是棱,上的点，,.（1） 求异面直线与所成角的余弦值；（2） 证明平面； （3） 求二面角的正弦值.20．（本题满分12分）已知函数4()log (41)x f x kx =++()k R ∈是偶函数． （1）求k 的值;（2）设44()l o g (2)3xg x a a =⋅-,若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点,求实数a 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足n n b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，证明：{}n b 是等差数列；（Ⅲ）证明：()23111123n n N a a a *++++<∈22．（本题满分14分）已知函数2()ln ()f x ax x a R =+∈． （1）当12a =时，求()f x 在区间[]1,e 上的最大值和最小值； （2）如果函数()g x ，1()f x ，2()f x ，在公共定义域D 上，满足12()()()f x g x f x <<，那么就称为()g x 为12(),()f x f x 的“活动函数”．已知函数2211()()2(1)ln 2f x a x ax a x =-++-，221()22f x x ax =+． ①若在区间()1,+∞上，函数()f x 是1()f x ，2()f x 的“活动函数”，求a 的取值范围； ②当23a =时，求证：在区间()1,+∞上，函数1()f x ，2()f x 的“活动函数”有无穷多个．成都七中2018—2018学年度高三第一学期开学考试数学试题(理科)参考答案一、BDDDC D CBAD DB二、13. 1或-3 14.32(14)3n -- 15. ［-1,0）∪［3,+∞） 16. ①②③ 三、17．解：（1）n m // B B B 2cos 3)12cos2(sin 22-=-∴ B B 2cos 32sin -=∴ 即 32t a n -=B又B 为锐角 ()π,02∈∴B322π=∴B 3π=∴B……………………………………6分 （2）得，由余弦定理acb c a B b B 2cos 2,3222-+===π0422=--+ac c a又ac c a 222≥+ 代入上式得：4≤ac （当且仅当 2==c a 时等号成立。
2017-2018学年四川省成都七中高三(上)零诊模拟数学试卷(文科)
2017-2018学年四川省成都七中高三（上）零诊模拟数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•朝阳区一模）已知集合1{|()1}2x A x =<，集合{|0}B x lgx =>，则(A B =U )A ．{|0}x x >B ．{|1}x x >C ．{|1}{|0}x x x x ><UD ．∅2．（5分）（2017秋•武侯区校级月考）在复平面，复数421(1)i i --对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）（2019•广元模拟）我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约( ) A ．164石B ．178石C ．189石D ．196石4．（5分）（2017•葫芦岛二模）下列选项中说法正确的是( ) A ．命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要条件B ．向量a r ，b r 满足0a b >r r g ，则a r 与b r 的夹角为锐角C ．若22am bm „，则a b „D ．“0x R ∃∈，200x x -„”的否定是“x R ∀∈，20x x -…” 5．（5分）（2013•安徽）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9(a = ) A ．6-B ．4-C ．2-D ．26．（5分）（2014秋•青羊区校级期末）已知双曲线2213y x -=的离心率为2m，且抛物线2y mx =的焦点为F ，点(2P ，00)(0)y y >在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线的准线的距离为( ) A ．52B ．2C ．32D ．17．（5分）（2011•山东）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元）4 2 3 5销售额y （万元） 49 26 39 54根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元8．（5分）（2017•全国模拟）按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M 处条件可以是( )A ．32k >B ．16k …C ．32k …D ．16k <9．（5分）（2017秋•武侯区校级月考）曲线23x y e =-+在点(0,1)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为( ) A ．12B ．112C ．23D ．110．（5分）（2017秋•武侯区校级月考）一个三棱锥的三视图如图所示，其中正方形的边都是1，则该三棱锥的体积为( )A ．14 B ．13C 2D 211．（5分）（2017秋•武侯区校级月考）已知双曲线22:1C mx ny +=，(0,0)m n ><的一条渐近线与圆226290x y x y +--+=相切，则双曲线C 的离心率等于( )A ．43B ．53C ．54D ．3212．（5分）（2020•香坊区校级模拟）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量(AP mAB nAF m =+u u u r u u u r u u u r，n 为实数），则m n +的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．6二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2012春•嘉峪关校级期末）已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +⎧⎪⎨⎪⎩„……则22x y +的最大值为 ．14．（5分）（2017秋•武侯区校级月考）已知数列{}n a 满足11a =，112(2)n n n a a n ---=…，则8a = ．15．（5分）（2017秋•湖南月考）已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，AD ⊥底面ABC ，3AB BC CA ===，2AD =，则球O 的表面积为 ．16．（5分）（2014春•西城区期末）已知函数2()f x xlnx x =+，且0x 是函数()f x 的极值点．给出以下几个问题：①010x e <<； ②01x e >； ③00()0f x x +<； ④00()0f x x +>其中正确的命题是 ．（填出所有正确命题的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2019春•秦州区校级期末）已知函数()f x a b =r r g ，其中(2cos ,2)a x x =r，(cos ,1)b x =r ，x R ∈．（1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，f （A ）1=-，a =(3,sin )m B =r与(2,sin )n C =r共线，求边长b 和c 的值．18．（12分）（2013•新课标Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品．以X （单位：t ，100150)X 剟表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率．19．（12分）（2018春•天津期末）如图，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，PD ⊥平面ABCD ，90BAD ADC ∠=∠=︒，22DC AB a ==，3DA a =，E 为BC 中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（2）线段PC 上是否存在一点F ，使//PA 平面BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由．20．（12分）（2017秋•武侯区校级月考）已知抛物线2:4C y x =，定点(,0)D m （常数0)m >的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点．（1）若点E 的坐标为(,0)m -，求证：AED BED ∠=∠；（2）若4m =，以AB 为直径的圆的位置是否恒过一定点？若存在，求出这个定点，若不存在，请说明理由．21．（12分）（2018春•江岸区校级月考）已知函数1()f x x =，2()x f x e =，3()f x lnx =．（1）设函数13()()()h x mf x f x =-，若()h x 在区间1(,2]2上单调，求实数m 的取值范围；（2）求证：231()()2()f x f x f x '>+．22．（10分）（2018春•大武口区校级期中）已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1(x tt y =+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．（Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换12x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线C '，若点(1,0)P ，直线l 与C '交与A ，B ，求||||PA PB g ，||||PA PB +．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•朝阳区一模）已知集合1{|()1}2x A x =<，集合{|0}B x lgx =>，则(A B =U )A ．{|0}x x >B ．{|1}x x >C ．{|1}{|0}x x x x ><UD ．∅【解答】解：由A 中的不等式变形得：011()1()22x <=，得到0x >，{|0}A x x ∴=>，由B 中的不等式变形得：01lgx lg >=，得到1x >，即{|1}B x x =>，则{|0}A B x x =>U ， 故选：A ．2．（5分）（2017秋•武侯区校级月考）在复平面，复数421(1)i i --对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：42222111()11(1)222i i i i i i i -=-=-=-+---， 则在复平面，复数421(1)i i --对应的点的坐标为：1(1,)2-，位于第二象限．故选：B ．3．（5分）（2019•广元模拟）我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约( ) A ．164石B ．178石C ．189石D ．196石【解答】解：由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为2712168=， 则由此估计总体中谷的含量约为115121898⨯=石．故选：C ．4．（5分）（2017•葫芦岛二模）下列选项中说法正确的是( ) A ．命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要条件B ．向量a r ，b r 满足0a b >r r g ，则a r与b r 的夹角为锐角C ．若22am bm „，则a b „D ．“0x R ∃∈，200x x -„”的否定是“x R ∀∈，20x x -…” 【解答】解：对于A ，若p q ∨为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题，若p q ∧为真命题，则p ，q 都为真命题，则“p q ∨为真命题”是“p q ∧为真命题”的必要不充分条件，正确；对于B ，根据向量数量积的定义，向量a r ，b r 满足0a b >r r g ，则a r与b r 的夹角为锐角或同向，故错；对于C ，如果20m =时，22am bm „成立，a b „不一定成立，故错；对于D ，“0x R ∃∈，2000x x -„”的否定是“x R ∀∈，20x x ->”，故错．故选：A ．5．（5分）（2013•安徽）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9(a = ) A ．6-B ．4-C ．2-D ．2【解答】解：n S Q 为等差数列{}n a 的前n 项和， 834S a =，72a =-，∴1118784(2)262a d a d a d ⨯⎧+=+⎪⎨⎪+=-⎩， 解得110a =，2d =-， 91810166a a d ∴=+=-=-．故选：A ．6．（5分）（2014秋•青羊区校级期末）已知双曲线2213y x -=的离心率为2m ，且抛物线2y mx =的焦点为F ，点(2P ，00)(0)y y >在此抛物线上，M 为线段PF 的中点，则点M 到该抛物线的准线的距离为( ) A ．52B ．2C ．32D ．1【解答】解：Q 双曲线2213y x -=的离心率22m e ===， 4m ∴=，∴抛物线24y mx x ==的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-；又点0(2,)P y 在此抛物线上，M 为线段PF 的中点， ∴点M 的横坐标为：12322+=， ∴点M 到该抛物线的准线的距离35(1)22d =--=， 故选：A ．7．（5分）（2011•山东）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A ．63.6万元 B ．65.5万元 C ．67.7万元 D ．72.0万元【解答】解：Q 42353.54x +++==， 49263954424y +++==，Q 数据的样本中心点在线性回归直线上， 回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4， ˆ429.4 3.5a ∴=⨯+， ∴ˆ9.1a=， ∴线性回归方程是9.49.1y x =+，∴广告费用为6万元时销售额为9.469.165.5⨯+=，故选：B ．8．（5分）（2017•全国模拟）按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M 处条件可以是( )A ．32k >B ．16k …C ．32k …D ．16k <【解答】解：由题意，1k =，0S =，1S S k =+=，2k =，3S =，4k =，7S =，8k =，15S =，16k =，31S =，32k =，符合条件输出，故选：C ．9．（5分）（2017秋•武侯区校级月考）曲线23x y e =-+在点(0,1)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为( ) A ．12B ．112C ．23D ．1【解答】解：23x y e =-+Q ，2x y e ∴'=-，∴切线的斜率0|2x k y =='=-，且过点(0,1)， ∴切线为：12y x -=-，210x y ∴+-=，∴切线与x 轴交点为：1(2，0)，与y x =的交点为1(3，1)3，∴切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为：111123212S =⨯⨯=， 故选：B ．10．（5分）（2017秋•武侯区校级月考）一个三棱锥的三视图如图所示，其中正方形的边都是1，则该三棱锥的体积为( )A ．14 B ．13C ．2 D ．2 【解答】解：如图所示， 该三棱锥可由正方体截割得到， 如图中三棱锥A BCD -， 且正方体的棱长为1； 所以该三棱锥的体积为3111141111323V =-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=．故选：B ．11．（5分）（2017秋•武侯区校级月考）已知双曲线22:1C mx ny +=，(0,0)m n ><的一条渐近线与圆226290x y x y +--+=相切，则双曲线C 的离心率等于( )A ．43 B ．53C ．54D ．32【解答】解：圆226290x y x y +--+=的标准方程为22(3)(1)1x y -+-=， 则圆心为(3,1)M ，半径1R =， 由220mx ny +=，(0,0)m n ><，则双曲线的焦点在x 轴，则对应的渐近线为by x a=±，设双曲线的一条渐近线为by x a=，即0ay bx -=， Q 一条渐近线与圆226290x y x y +--+=相切， ∴即圆心到直线的距离221d a b==+，即|3|a b c -=，平方得2222269a ab b c a b -+==+， 即2860b ab -=， 则430b a -=，则34b a =，平方得2222916b a c a ==-，即222516c a =， 则54c a =，∴离心率54c e a ==， 故选：C ．12．（5分）（2020•香坊区校级模拟）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量(AP mAB nAF m =+u u u r u u u r u u u r，n 为实数），则m n +的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．6【解答】解：由题意可得： AP AE mAB AE nAF AE =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g||||cos 6nAF AE n AF AE FAE n ==∠=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，同理，6AP AC m =u u u r u u u r g ， 两式相加可得：()6()AP AE AC m n +=+u u u r u u u r u u u rg ；Q 2AE AC AO +=u u u r u u u r u u u r ，∴26()AP AO m n =+u u u r u u u rg ．Q ||||cos 3||cos AP AO AP AO PAO AP PAO =∠=∠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg ．∴||cos m n AP PAO +=∠u u u r ，其几何意义就是AP u u u r 在AO u u u r上的投影． ∴求m n +的最大值就转化为求AP u u u r 在AO u u u r上投影最大值．从图形上可以看出：当点Q 和D 点重合时，AP u u u r 在AO u u u r上的投影取到最大值5．故选：C ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2012春•嘉峪关校级期末）已知点(,)P x y 的坐标满足条件41x y y x x +⎧⎪⎨⎪⎩„……则22x y +的最大值为10．【解答】解：满足约束条件件41x y y x x +⎧⎪⎨⎪⎩„……的平面区域如下图所示：因为目标函数所表示的几何意义是动点到原点的距离的平方， 由图得当为A 点时取得目标函数的最大值， 可知A 点的坐标为(1,3)，代入目标函数中，可得223110max z =+=． 故答案为：10．14．（5分）（2017秋•武侯区校级月考）已知数列{}n a 满足11a =，112(2)n n n a a n ---=…，则8a = 255 ． 【解答】解：Q 112(2)n n n a a n ---=…，则88776211()()()a a a a a a a a =-+-+⋯+-+ 762221=++⋯++82121-=- 255=．故答案为：255．15．（5分）（2017秋•湖南月考）已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的球面上，AD ⊥底面ABC ，3AB BC CA ===，2AD =，则球O 的表面积为 16π ．【解答】解：底面ABC ，3AB BC CA ===，∴底面ABC 外接圆的半径r =．AD ⊥Q 底面ABC ，2AD =，∴球半径222()3142AD R r =+=+=， 即2R =．∴球O 的表面积2416S R ππ==．故答案为：16π．16．（5分）（2014春•西城区期末）已知函数2()f x xlnx x =+，且0x 是函数()f x 的极值点．给出以下几个问题： ①010x e <<；②01x e>；③00()0f x x +<； ④00()0f x x +>其中正确的命题是 ①③ ．（填出所有正确命题的序号） 【解答】解：Q 函数2()f x xlnx x =+，(0)x > ()12f x lnx x ∴'=++， 12()0f e e ∴'=>，0x →Q ，()f x '→-∞，010x e∴<<，即①正确，②不正确； 00120lnx x ++=Q220000000000()(1)0f x x x lnx x x x lnx x x ∴+=++=++=-<，即③正确，④不正确．故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2019春•秦州区校级期末）已知函数()f x a b =r r g ，其中(2cos ,2)a x x =r，(cos ,1)b x =r ，x R ∈．（1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，f （A ）1=-，a (3,sin )m B =r与(2,sin )n C =r共线，求边长b 和c 的值．【解答】解：（1）由已知得到2()2cos 2cos2212cos(2)13f x a b x x x x x π===+=++rr g ，所以令2223k x k ππππ++剟，解得63k x k ππππ-+剟，函数()y f x =的单调递减区间[6k ππ-，]3k k Z ππ+∈； （2）f （A ）1=-，得到3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，①又a =(3,sin )m B =r 与(2,sin )n C =r共线，得到3sin 2sin C B =，由正弦定理得到32c b =，② 由①②解得3b =，2c =．18．（12分）（2013•新课标Ⅱ）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品．以X （单位：t ，100150)X 剟表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T 表示为X 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率．【解答】解：()I 由题意得，当[100X ∈，130)时，500300(130)80039000T X X X =--=-， 当[130X ∈，150]时，50013065000T =⨯=， 80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧∴=⎨∈⎩． ()II 由()I 知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X 剟． 由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．19．（12分）（2018春•天津期末）如图，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，PD ⊥平面ABCD ，90BAD ADC ∠=∠=︒，22DC AB a ==，3DA a =，E 为BC 中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；（2）线段PC 上是否存在一点F ，使//PA 平面BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由．【解答】（1）证明：连结BD ，90BAD ADC ∠=∠=︒Q ，AB a =，3DA a =， 2BD DC a ∴==，E Q 为BC 中点，BC DE ∴⊥，又PD ⊥Q 平面ABCD ， BC PD ∴⊥， DE PD D =Q I ，BC ∴⊥平面PDE ， BC ⊂Q 平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PDE ；（2）解：当点F 位于PC 三分之一分点（靠近P 点）时，//PA 平面BDF ． 证明如下：连结AC ，BD 交于O 点， //AB CD Q ，AOB COD ∴∆∆∽，又Q 12AB DC =，∴12AO OC =， 从而在CPA ∆中，13AO AC =， 而13PF PC =，//OF PA ∴，而OF ⊂平面BDF ，PA ⊂/平面BDF ， //PA ∴平面BDF ．20．（12分）（2017秋•武侯区校级月考）已知抛物线2:4C y x =，定点(,0)D m （常数0)m >的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点．（1）若点E 的坐标为(,0)m -，求证：AED BED ∠=∠；（2）若4m =，以AB 为直径的圆的位置是否恒过一定点？若存在，求出这个定点，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当直线l 垂直于x 轴时，根据抛物线的对称性有，AED BED ∠=∠； 当直线l 与x 轴不垂直时，依题意，可设直线l 的方程为()(0y k x m k =-≠，10)(m A x >，1)y ， 2(B x ，2)y ，则A 、B 两点的坐标满足方程组2()4(0)y k x m y x x =-⎧⎨=>⎩，消去x 并整理，得2440ky y km --=．∴124y y k+=，124y y m =-， 设直线AE 和BE 的斜率分别为1k ，2k ，则121212y y k k x m x m+=+++ 22122112122112121214411(4)()()()()4440()()()()()()m m y y y y m y y y x m y x m k k x m x m x m x m x m x m -+++++++====++++++． tan tan()0AED BED π∴∠+-∠=， tan tan AED BED ∴∠=∠，02AED π<∠<Q ，02BED π<∠<，AED BED ∴∠=∠．综合上可知：AED BED ∠=∠； （2）以AB 为直径的圆恒过定点O ．证明如下：当直线l 垂直于x 轴时，可得(4,4)A -，(4,4)B ，此时0OA OB =u u u r u u u r g ；当当直线l 与x 轴不垂直时，依题意，可设直线l 的方程为(4)y k x =-，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则A 、B 两点的坐标满足方程组2(4)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 并整理，得24160ky y k --=．∴124y y k+=，1216y y =-， 则1212121222241616(4)(4)()161616y y y y x x y y k k k k k k-=++=+++=++=． ∴121216160OA OB x x y y =+=-=u u u r u u u rg． ∴以AB 为直径的圆的位置是否恒过一定点(0,0)O ．21．（12分）（2018春•江岸区校级月考）已知函数1()f x x =，2()x f x e =，3()f x lnx =．（1）设函数13()()()h x mf x f x =-，若()h x 在区间1(,2]2上单调，求实数m 的取值范围； （2）求证：231()()2()f x f x f x '>+．【解答】解：（1）由题意得()h x mx lnx =-，所以1()h x m x '=-，因为122x <„， 所以1122x<„， 若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递增，则()0h x '…在1(,2]2上恒成立， 即1m x …在1(,2]2上恒成立，所以2m …， 若函数()h x 在区间1(,2]2上单调递减，则()0h x '„在1(,2]2上恒成立， 即1m x „在1(,2]2上恒成立，所以12m „， 综上，实数m 的取值范围为1(,][2,)2-∞+∞U ． 证明：（2）设231()()()2()2x g x f x f x f x e lnx =--'=--， 则1()x g x e x '=-，设1()x x e x ϕ=-，则21()0x x e xϕ'=+>， 所以1()x x e x ϕ'=-在(0,)+∞上单调递增， 由1()02ϕ<，ϕ（1）0>得，存在唯一的01(,1)2x ∈使得0001()0x x e x ϕ=-=， 所以在0(0,)x 上有0()()0x x ϕϕ<=，在0(x ，)+∞上有0()()0x x ϕϕ>= 所以()g x 在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，)+∞递增，0000000111()()2220x min x g x g x e lnx ln x x x e==--=--=+->， 所以()0g x >，故(0,)x ∀∈+∞，231()()2()f x f x f x '>+．22．（10分）（2018春•大武口区校级期中）已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为1(x t t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线C 经过伸缩变换12x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得到曲线C '，若点(1,0)P ，直线l 与C '交与A ，B ，求||||PA PB g ，||||PA PB +．【解答】解：（Ⅰ）C 的普通方程为224x y +=，:1)l y x =-； （Ⅱ）根据条件可求出伸缩变换后的方程为2214x y +=， 即2244x y +=，直线l的参数方程112(x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪⎪⎩为参数），带入椭圆：221(1))42t ++= 化简得2134120t t +-=，12413t t +=-，121213t t =-， 所以1212||||||13PA PB t t ==g，12||||||PA PB t t +=-。
成都七中实验学校2017届高三上学期期中数学试卷(文科) 含解析
2016-2017学年四川省成都七中实验学校高三(上)期中数学试卷（文科）一、选择题:(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知全集U=R，集合A=｛x｜x2﹣x＜0，x∈R}，B=｛0，1｝，则（）A．A∪B=A B．A∩B=B C．∁U B=A D．B⊆∁U A2．设i是虚数单位，，则实数a=（）A． B．C．﹣1 D．13．命题“若x2=1，则x=1或x=﹣1”的逆否命题为（) A．若x2=1,则x≠1且x≠﹣1 B．若x2≠1，则x≠1且x≠﹣1 C．若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1 D．若x≠1或x≠﹣1，则x2≠1 4．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题正确的是（)①α∥β⇒l⊥m;②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．A．②④B．①②C．③④D．①③5．执行如图的程序框图，若输出的，则输入的整数p的值为（）A．6 B．5 C．4 D．36．在△ABC中，AB=AC=1，,则向量在方向上的投影为（）A．B． C． D．7．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也,又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（) A．B．C．D．8．已知函数，则f（x)的值域是（) A．［﹣1，1] B．C．D．9．中央电视台第一套节目午间新闻的播出时间是每天中午12：00到12：30,在某星期天中午的午间新闻中将随机安排播出时长5分钟的有关电信诈骗的新闻报道．若小张于当天12：20打开电视,则他能收看到这条新闻的完整报道的概率是（)A．B． C． D．10．直线l过抛物线C：y2=4x的焦点F交抛物线C于A、B两点，则的取值范围为( ）A．{1} B．（0，1] C．［1,+∞) D．11．若函数y=f（x）（x∈R)满足f（x+2）=f（x），且当x∈(﹣1，1］时，f（x)=|x|，则函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点的个数是（）A．2 B．4 C．6 D．多于612．在△ABC中，2AB=3AC,∠A=，∠BAC的平分线交边BC于点D,|AD｜=1，则（)A．AB•AC=AB+AC B．AB+AC=AB•AC C．AB•AC=AB+AC D．AB+AC=AB•AC二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（文科）已知α∈（，π),sinα=，则tan= ．14．点P(x0,y0）是曲线y=3lnx+x+k(k∈R）图象上一个定点，过点P 的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则实数k的值为．15．如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若,，则m+n 的取值范围为．16．已知函数f（x）满足xf′（x）=(x﹣1)f（x)，且f（1)=1，则f(x）的值域为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分）17．已知=（sinωx+cosωx，cosωx），=（cosωx﹣sinωx，2sinωx）(ω＞0），函数f（x）=•，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．（1）求ω的取值范围；（2)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边,a=2,当ω最大时，f(A)=1,求△ABC面积的最大值．18．某电视台组织部分记者，用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数，现从调查人群中随机抽取16名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分(以小数点的前一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1)指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福指数不低于9分，则称该人的幸福指数为“极幸福”；若幸福指数不高于8分，则称该人的幸福指数为“不够幸福”．现从这16人中幸福指数为“极幸福”和“不够幸福”的人中任意选取2人，（i）请列出所有选出的结果；(ii）求选出的两人的幸福指数均为“极幸福"的概率．19．一个多面体的直观图（图1）及三视图(图2）如图所示,其中M、N分别是AF、BC的中点，（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求点B到平面MNF的距离．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线l1：3x+4y=0的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l2:y=kx+m（km≠0)与椭圆C交于A、B两点，且线段AB中点恰好在直线l1上，求△OAB的面积S的最大值．（其中O为坐标原点）．21．已知函数f（x)=x2+bx﹣alnx(a≠0）（1)当b=0时,讨论函数f（x）的单调性；(2）若x=2是函数f（x）的极值点，1是函数f(x）的一个零点，求a+b的值；（3）若对任意b∈［﹣2，﹣1］，都存在x∈（1，e），使得f（x）＜0成立，求实数a的取值范围．22．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，ρ2﹣2ρcos（θ﹣）=2．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2）设两圆交点分别为A、B,求直线AB的参数方程,并利用直线AB 的参数方程求两圆的公共弦长｜AB|．2016-2017学年四川省成都七中实验学校高三(上）期中数学试卷(文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知全集U=R，集合A=｛x｜x2﹣x＜0，x∈R｝，B=｛0，1｝，则（)A．A∪B=A B．A∩B=B C．∁U B=A D．B⊆∁U A【考点】集合的表示法．【分析】求出∁U A=｛x｜x≤0或x≥1}，即可得出结论．【解答】解：∵∁U A={x｜x≤0或x≥1｝，B=｛0，1｝，∴B⊆∁U A，故选D．2．设i是虚数单位，，则实数a=（）A． B．C．﹣1 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件计算得答案．【解答】解：由===，得，解得a=﹣．故选：A．3．命题“若x2=1,则x=1或x=﹣1”的逆否命题为（）A．若x2=1，则x≠1且x≠﹣1 B．若x2≠1，则x≠1且x≠﹣1 C．若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1 D．若x≠1或x≠﹣1，则x2≠1【考点】四种命题．【分析】根据命题“若p则q"的逆否命题“若￢q则￢p”,写出即可．【解答】解：命题“若x2=1,则x=1或x=﹣1”的逆否命题是“若x≠1且x≠﹣1，则x2≠1"．故选：C．4．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个命题正确的是（）①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．A．②④B．①②C．③④D．①③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接由空间中的点线面的位置关系逐一核对四个选项得答案．【解答】解：①∵l⊥平面α,直线m⊂平面β．若α∥β,则l⊥平面β,有l⊥m，①正确；②如图,由图可知②不正确;③∵直线l⊥平面α，l∥m，∴m⊥α，又m⊂平面β，∴α⊥β，③正确;④由②图可知④不正确．∴正确的命题为①③．故选:D．5．执行如图的程序框图，若输出的，则输入的整数p的值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算满足S=+++…+=的整数p的值，并输出，结合等比数列通项公式，可得答案．【解答】解：由程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是利用循环计算满足S=+++…+=的整数p 的值，∵+++…+=1﹣=,故==,故p=5．故选：B．6．在△ABC中，AB=AC=1，,则向量在方向上的投影为（) A．B． C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据余弦定理求出角A的大小,结合向量投影的定义进行求解即可．【解答】解:∵△ABC中，AB=AC=1，BC=，∴cosA===﹣，∴A=120°,∴向量在方向上的投影为==﹣，故选：A．7．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之,三十六成一,该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．【解答】解:设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故选:B．8．已知函数,则f(x）的值域是（) A．[﹣1，1］B．C．D．【考点】正弦函数的定义域和值域．【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，在化为分段函数时应求出每一段的定义域，由三角函数的性质求之．【解答】解:由题=,当时，f(x）∈[﹣1,]当时，f（x）∈（﹣1,)故可求得其值域为．故选:D．9．中央电视台第一套节目午间新闻的播出时间是每天中午12：00到12:30,在某星期天中午的午间新闻中将随机安排播出时长5分钟的有关电信诈骗的新闻报道．若小张于当天12:20打开电视,则他能收看到这条新闻的完整报道的概率是（）A．B． C． D．【考点】几何概型．【分析】他能收看到这条新闻的完整报道,播出时间是12：20到12：25,长度为5；12：00到12：30，长度为30，即可求出他能收看到这条新闻的完整报道的概率，【解答】解：他能收看到这条新闻的完整报道，播出时间是12：20到12：25，长度为5;12:00到12：30，长度为30，∴他能收看到这条新闻的完整报道的概率是=，故选D．10．直线l过抛物线C：y2=4x的焦点F交抛物线C于A、B两点,则的取值范围为（）A．｛1} B．(0，1］C．［1，+∞）D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程,与抛物线方程联立，整理后，设A（x1,y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值,又根据抛物线定义可知｜AF｜=x1+1，|BF｜=x2+1代入答案可得．【解答】解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=﹣1．设过F点直线方程为y=k（x﹣1）代入抛物线方程，得k2（x﹣1）2=4x．化简后为:k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．设A(x1,y1）,B（x2，y2），则有x1x2=1，根据抛物线性质可知，｜AF｜=x1+1,｜BF｜=x2+1，∴=+==1，故选A．11．若函数y=f(x)（x∈R)满足f（x+2）=f（x)，且当x∈(﹣1，1]时，f（x）=｜x｜,则函数y=f（x)的图象与函数y=log3｜x｜的图象的交点的个数是( ）A．2 B．4 C．6 D．多于6【考点】对数函数的图象与性质．【分析】先根据题意确定f（x)的周期和奇偶性，进而在同一坐标系中画出两函数大于0时的图象，可判断出x＞0时的两函数的交点,最后根据对称性可确定最后答案．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）,x∈（﹣1,1)时f(x）=|x｜，∴f（x）是以2为周期的偶函数∵y=log3|x|也是偶函数，∴y=f(x）的图象与函数y=log3｜x|的图象的交点个数只要考虑x＞0时的情况即可当x＞0时图象如图：故当x＞0时y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有2个交点∴y=f（x）的图象与函数y=log3|x｜的图象的交点个数为4故选：B．12．在△ABC中，2AB=3AC，∠A=,∠BAC的平分线交边BC于点D，｜AD|=1，则( ）A．AB•AC=AB+AC B．AB+AC=AB•AC C．AB•AC=AB+AC D．AB+AC=AB•AC【考点】平面向量数量积的运算．【分析】令AB=3k，AC=2k，在△ABC中,由余弦定理得BC、cosB 由∠BAC的平分线交边BC于点D的DB，在△ABD中，由余弦定理得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB，解得k即可．【解答】解：如图所示，令AB=3k，AC=2k，在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2﹣2AB•ACcosA=7k2．⇒BC=．由余弦定理得AC2=BC2+AB2﹣2AB•BCcosB⇒cosB=．∵∠BAC的平分线交边BC于点D∴，∴DB=．在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB=1，解得k=经验证D满足，故选D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．(文科）已知α∈(，π），sinα=，则tan= ．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】利用同角三角函数的基本关系求出cosα 和tanα的值，利用两角和的正切公式求出tan的值．【解答】解：∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣．∴tan==，故答案为：．14．点P（x0，y0)是曲线y=3lnx+x+k（k∈R）图象上一个定点,过点P的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则实数k的值为 2 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出曲线的导函数，把x=x0代入即可得到切线的斜率，然后根据过点P0的切线方程为4x﹣y﹣1=0得出切线的斜率从而求出切点的坐标，最后将切点的坐标代入曲线方程即可求出实数k的值．【解答】解：由函数y=3lnx+x+k知y′=3×+1=+1，把x=x0代入y′得到切线的斜率k=+1，因切线方程为：4x﹣y﹣1=0，∴k=4,∴+1=4，得x0=1，把x0=1代入切线方程得切点坐标为（1，3）,再将切点坐标（1，3）代入曲线y=3lnx+x+k，得3=3ln1+1+k，∴k=2．故答案为:2．15．如图,在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则m+n 的取值范围为［2，+∞）．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由三点共线时，以任意点为起点,这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为1得到+=1，然后利用基本不等式求最值【解答】解：∵△ABC中，点O是BC的中点，∴=(+）,∵，，∴=+，又∵O，M,N三点共线，∴+=1，∴m+n=（m+n）(+）=（2++）≥（2+2）=2，当且仅当m=n=1时取等号，故m+n的取值范围为［2，+∞），故答案为:［2，+∞）16．已知函数f(x）满足xf′(x）=（x﹣1)f（x),且f(1）=1,则f（x)的值域为（﹣∞，0）∪［1,+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件构造函数g（x）=xf（x），求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系求函数的极值和单调性即可得到结论．【解答】解：∵xf′（x）=（x﹣1）f(x），∴f(x）+xf′（x）=xf（x）设g（x）=xf（x），则g′（x)=f（x）+xf′（x）,即g′（x)=g（x），则g（x）=ce x，∵f（1）=1，∴g(1）=f（1）=1，即g（1）=ce=1,则c=，则g（x)=xf（x）=•e x，则f（x）=,（x≠0)，函数的导数f′（x）==，由f′（x）＞0得x＞1，此时函数单调递增，由f′（x)＜0得x＜0或0＜x＜1，此时函数单调递减，即当x=1时，函数f（x）取得极小值，此时f(1)==1，即当x＞0时，f（x）≥1，当x＜0时，函数f（x)单调递减，且f（x)＜0,综上f（x）≥1或f（x）＜0,即函数的值域为(﹣∞，0）∪［1，+∞），故答案为：(﹣∞,0）∪［1，+∞）,三、解答题:(本大题共6小题，共70分）17．已知=(sinωx+cosωx，cosωx），=（cosωx﹣sinωx,2sinωx）(ω＞0），函数f（x)=•,若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．（1）求ω的取值范围；（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=2，当ω最大时，f（A)=1,求△ABC面积的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；余弦定理．【分析】（1）函数f（x)==(sinωx+cosωx) （cosωx﹣sinωx)+2cosωx•sinωx=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+），由f（x）相邻两对称轴间的距离不小于,则，解得ω的范围；（2)当ω=1时，，求得A，由余弦定理、不等式的性质，得bc的最大值，【解答】解:(1)函数f（x)==(sinωx+cosωx）(cosωx﹣sinωx）+2cosωx•sinωx=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+），f（x）相邻两对称轴间的距离不小于∴T≥π，则，解得0＜ω≤1;（2）∵当ω=1时，，且A∈（0，π），∴，，∴b2+c2=bc+4，又b2+c2≥2bc，∴bc+4≥2bc，即bc≤4,当且仅当b=c=2时，bc=4，∴．…18．某电视台组织部分记者，用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数，现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分（以小数点的前一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）：（1）指出这组数据的众数和中位数;（2）若幸福指数不低于9分,则称该人的幸福指数为“极幸福";若幸福指数不高于8分，则称该人的幸福指数为“不够幸福”．现从这16人中幸福指数为“极幸福”和“不够幸福”的人中任意选取2人,（i）请列出所有选出的结果;（ii）求选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】(1）由茎叶图能求出众数和中位数．(2）（i)现从这16人中幸福指数为“极幸福"和“不够幸福”的人中任意选取2人，幸福指数为“不够幸福”的两人设为A,B，幸福指数为“极幸福”的4人设为a，b，c，d，利用列举法能求出所有结果．(ii）利用列兴举法求出选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的基本事件个数，由此能求出选出的两人的幸福指数均为“极幸福”的概率．【解答】解：（1)由茎叶图得众数是：8.6，中位数是：=8。
四川省成都市第七中学2017届高三三诊模拟文数试题含答案
成都七中高2017届第三次高考模拟文科数学第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一次硬币一次,设命题p 是“甲抛的硬币正面向上”,q 是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为( ）A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ⌝∨2.已知集合{}{}2|02,|10A x x B x x =<<=-<，则A B =（ )A ． ()1,1-B ．()1,2-C ．()1,2D ．()0,13.若1122ai i i+=++，则a =（ ） A ．5i -- B ．5i -+ C ．5i - D ． 5i +4.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x xx =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭( ） A ．14- B ． 12- C 。
14 D ．125。
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3612π+B ．3616π+ C.4012π+ D ．4016π+ 6.设D 为ABC ∆中BC 边上的中点，且O 为AD 边的中点，则( ）A ．3144BO AB AC =-+ B ． 1144BO AB AC =-+C. 3144BO AB AC =- D ．1124BO AB AC =-- 7。
执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ． 2016B ．1024 C. 12D ．—1 8. 函数()()2sin 4cos1f x x x =-的最小正周期是（ ） A ．23π B ．43π C 。
π D ．2π 9. 等差数列{}n a 中的24030a a 、是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点,则()22016log a =( ）A ．2B ．3 C. 4 D ．510. 已知()00,P x y 是椭圆22:14x C y +=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点,若120PF PF <，则0x 的取值范围是(） A ．2626⎛ ⎝⎭ B ．2323⎛ ⎝⎭ C. 33⎛ ⎝⎭D．,33⎛- ⎝⎭11。