高中数学北师大版选修2-2学案：1.1.1 归纳推理 含解析
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 归纳推理 参考教案1
归纳推理一、教学目标1．知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；（2）能利用归纳进行简单的推理；（3）体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2．方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
3．情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发现事物之间的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。
二、教学重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。
教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、引入新课归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。
归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。
也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。
拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。
由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。
”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。
这里就有着归纳推理的运用。
从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理 (二)、例题探析例1、在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。
解：考察一些多面体，如下图所示：将这些多面体的面数（F ）、棱数（E ）、顶点数（V ）列出，得到下表： 多面体面数（F ）棱数（E ）顶点数（V ）三棱锥 4 6 4 四棱锥 5 8 5 五棱锥 6 10 6 三棱柱 5 9 6 五棱柱 7 15 10 立方体 6 12 8 八面体 8 12 6 十二面体 123020从这些事实中，可以归纳出：Ｖ－Ｅ＋Ｆ＝２例2、如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小，试猜测结论。
高中数学选修2-2 北师大版 1.1 归纳与类比
[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理.2.体会归纳推理与类比推理的思维过程，增强实践与创新能力.知识点一推理的定义与结构形式1.定义：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程.其作用是从已知的知识得到未知的知识，特别是可以得到不可能通过感觉经验掌握的未知知识.2.结构形式：从结构上来说，推理一般分为两部分，一部分是已知的事实(或假设)，叫作前提，另一部分是由已知判断推出的新的判断，叫作结论.思考(1)依据部分对象得到的推理结论可靠吗？(2)推理一般用哪些关联词？答案(1)不一定完全可靠.(2)推理一般可用关联词将“前提”和“结论”联结，常用的关联词有“因为……所以……”“根据……可知……”“如果……那么……”“若……则……”.知识点二归纳推理与类比推理思考 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠. 知识点三 合情推理1.合情推理的含义：合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉，已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式.2.合情推理的过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳、类比→提出猜想 思考 由合情推理得到的结论可靠吗？答案 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了.题型一 归纳推理的应用例1 已知数列{a n }的第1项a 1＝2，且a n ＋1＝a n1＋a n (n ＝1,2，…)，试归纳出这个数列的通项公式.解 ∵a 1＝2，a n ＋1＝a n1＋a n(n ＝1,2，…)，∴a 1＝21，a 2＝21＋2＝23，a 3＝231＋23＝25，a 4＝251＋25＝27.由此发现分母依次为1,3,5,7，…，分子都是2. ∴归纳猜想得a n ＝22n －1(n ↔N ＋).反思与感悟 求数列{a n }的通项公式的一般方法：(1)根据已知条件求出数列的前几项(有时题目已给出)，如a 1，a 2，a 3等；(2)通过这些项找出项与序号之间的一般规律，归纳出数列的一个通项公式.跟踪训练1 已知数列11×3，13×5，15×7，…，1(2n －1)(2n ＋1)(n ↔N ＋)的前n 项的和为S n .(1)求出S 1，S 2，S 3，S 4；(2)猜想该数列的前n 项和S n 并证明. 解 (1)S 1＝13，S 2＝25，S 3＝37，S 4＝49.(2)猜想S n ＝n2n ＋1(n ↔N ＋).证明如下：∵1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝n2n ＋1(n ↔N ＋). 题型二 类比推理的应用例2 在矩形ABCD 中，对角线AC 与两邻边AB ，BC 所成的角分别为α，β，则cos 2α＋cos 2β＝1.在立体几何中，通过类比，给出猜想并证明.解 如图(1)，在矩形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想若其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1. 证明如下：如图(2)，cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝⎛⎭⎫m l 2＋⎝⎛⎭⎫n l 2＋⎝⎛⎭⎫g l 2＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.反思与感悟 类比推理是一种主观的不充分的推理，因此，要确认其猜想的正确性，还必须经过严格的逻辑论证.一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质越相关，那么类比得到的命题就越可靠.类比的关键是能把两个系统之间的某种一致性或相似性确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.跟踪训练2 “若直角三角形两直角边的长分别为a ，b ，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径r＝a2＋b22”.对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a，b，c”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球的半径R＝__________.答案a2＋b2＋c22解析由求直角三角形外接圆的半径的方法，通过类比得出求三条侧棱两两垂直的三棱锥外接球的半径的方法为：首先将该三棱锥补全为长方体，而长方体的体对角线长就是三棱锥的外接球的直径，从而得出该三棱锥的外接球的半径R＝a2＋b2＋c22.合情推理的应用归纳推理、类比推理都是合情推理，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；而类比推理则是通过某两类对象在对比中启发猜想结论.这些结论未必正确，要进一步验证(或证明)其正确性.例3设f(n)＝n2＋n＋41，n↔N＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确.解f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是质数，∴归纳猜想：当n↔N＋时，f(n)＝n2＋n＋41的值都为质数.验证：当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝40×(40＋1)＋41＝41×41.∴f(40)是合数，∴由上面归纳推理得到的猜想不正确.。
优课系列高中数学北师大版选修2-2 1.1.1归纳推理 课件(27张)
2. 归纳推理的一般步骤是什么？
观察分析部分对象
归纳
提出猜想
3.通过本节课学习你有哪些收获，和伙伴交流一下！
【老师寄语】 通过本节的学习，同学们要 正确认识归纳推理在数学中的重要作用， 希望同学们养成认真观察事物、分析事物、 发现事物之间本质的联系的习惯及善于探 求新知识良好品质。
【教学目标】 知识与技能：结合数学实例，了解归纳推理的含义；能利用归纳 进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 方法与过程：归纳推理是从特殊到一般的一种推理方法，通常归 纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越 可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 情感态度与价值观：通过本节学习正确认识合情推理在数学中的 重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析事物、发现事物之间 的质的联系的良好品质，善于发现问题，探求新知识。 【教学重点】了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理。 【教学难点】培养学生“发现—猜想—证明”的归纳推理能力。 【教学方法】探析归纳，讲练结合
括出一般结论的推理方式称为归纳推理。
归纳推理的模式: S1具有P S2具有P …. Sn具有P
归纳A类事物具有P 注（1）归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理。
（2）猜想的思维过程为:
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
统计初步中的用样本估计总体
通过从总体中抽取部分对象进行观测或 试验，进而对整体做出推断. 成语“一叶知秋”
6＝3＋3 8＝3＋5 10＝5＋5 12＝5＋7 14＝7＋7 …… 1 000＝29＋971 1 002＝139＋863 …… 归纳出：偶数（不小于6）＝素数＋素数
9
想一想：上述3个问题的推理有什么共同特征？
北师版数学高二-选修2-2教案归纳推理
1.1 归纳推理学习目标 1.了解归纳推理的含义.2.能用归纳方法进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发展中的作用．知识点归纳推理思考(1)一个人看见一群乌鸦都是黑的，于是说“天下乌鸦一般黑”；(2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电；(3)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？梳理归纳推理的定义及特征根据一类事物中________事物具有某种属性，推断该类事物中________定义事物都有这种属性，我们将这种推理方式称为归纳推理(1)归纳推理是由________到________，由________到________的推理．特征(2)利用归纳推理得出的结论________是正确的类型一归纳推理在数与式中的应用引申探究在本例(2)中，若把“f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))”改为“f n (x )＝f (f n －1(x ))”，其他条件不变，试猜想f n (x ) (n ∈N ＋)的表达式． 例1 (1)观察下列等式： 1－12＝12， 1－12＋13－14＝13＋14， 1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16， …，据此规律，第n 个等式可为____________________________．(2)已知f (x )＝x1－x ，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n >1，且n ∈N ＋)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N ＋)的表达式为________． 反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征； ③提炼出等式(或不等式)的综合特点； ④运用归纳推理得出一般结论．(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． ①通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；②根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．跟踪训练1 (1)已知x >1，由不等式x ＋1x >2；x 2＋2x >3；x 3＋3x >4；…，可以推广为( )A ．x n ＋nx >nB ．x n ＋nx >n ＋1C ．x n ＋n ＋1x>n ＋1D ．x n ＋n ＋1x>n(2)已知：1>12；1＋12＋13>1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17>32；1＋12＋13＋…＋115>2；….根据以上不等式的结构特点，归纳出一般性结论．类型二 归纳推理在数列中的应用引申探究若本例条件不变，求a 2，a 3，a 4，猜想a n (n ≥2)的表达式．例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n ＋2＝a n (n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4并猜想S n 的表达式．反思与感悟 用归纳推理解决数列问题的方法在求数列的通项和前n 项和公式中，经常用到归纳推理得出结论，在得出具体结论后，要注意统一形式，以便寻找规律，然后归纳猜想得出结论．跟踪训练2 S n ＝12(a n ＋1a n )，a n >0，求a 1，a 2，a 3并猜想通项公式a n .类型三 归纳推理在几何图形中的应用例3 如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1，2，3，…)，则第n 个图形中顶点的个数为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n反思与感悟 图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．跟踪训练3 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中黑色地面砖的块数是________．1．有一串彩旗，代表蓝色，代表黄色．两种彩旗排成一行：…，那么在前200个彩旗中黄旗的个数为( ) A ．111B ．89C ．133D ．672．已知a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，则数列{a n }的一个通项公式a n 等于( )A.2(n ＋1)2 B.2n (n ＋1) C.22n －1D.22n －13．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中所示的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A ．6n －2B ．8n －2C ．6n ＋2D ．8n ＋24．按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________．5．由12＝1，112＝121，1112＝12321，…，可得11112＝________.1．归纳推理的四个特点(1)前提：几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包括的范围．(2)结论：具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具．(3)步骤：先搜集一定的事实资料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和实验的基础上进行．(4)作用：具有创造性的推理，通过归纳推理能够发现新事实，获得新结论，是科学发现的重要手段．2．归纳推理解决问题的思维过程 实验、观察→分析概括→猜测总结答案精析问题导学 知识点思考 属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理．梳理 部分 每一个 (1)部分 整体 个别 一般 (2)不一定 题型探究例1 (1)1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n(2)x 1－4x x1－2n －1x 引申探究解 ∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x.又∵f n (x )＝f (f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x＝x1－2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1－2x 1－x 1－2x＝x 1－3x ， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x1－3x 1－x 1－3x＝x 1－4x . 因此，可以猜想f n (x )＝x1－nx . 跟踪训练1 (1)B(2)解 1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左边最后一项的分母为2n －1，而不等式右端依次分别为12，22，32，42，…，n 2.归纳得一般性结论：1＋12＋13＋…＋12n －1>n2(n ∈N ＋)．例2 解 因为S n ＋1S n ＋2＝a n (n ≥2)，所以S n ＋1S n ＋2＝S n －S n －1(n ≥2)，所以1S n ＝－2－S n －1(n ≥2)．当n ＝1时，S 1＝a 1＝－23；当n ＝2时，1S 2＝－2－a 1＝－43，所以S 2＝－34；当n ＝3时，1S 3＝－2－S 2＝－54，所以S 3＝－45；当n ＝4时，1S 4＝－2－S 3＝－65，所以S 4＝－56.由此猜想S n ＝－n ＋1n ＋2.引申探究解 a 2＝S 2－S 1＝－34＋23＝－112，a 3＝S 3－S 2＝－45＋34＝－120，a 4＝S 4－S 3＝－56＋45＝－130，猜想a n ＝－1(n ＋2)(n ＋1)(n ≥2)．跟踪训练2 解 因为S n ＝12(a n ＋1a n )，所以S 1＝12(a 1＋1a 1)．又因为S 1＝a 1， 所以a 1＝12(a 1＋1a 1)，因为a n >0，所以a 1＝1. 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， S n －1＝12(a n －1＋1a n －1)，所以a n ＝12(a n ＋1a n )－12(a n －1＋1a n －1)，所以1a n－a n ＝a n －1＋1a n －1，所以1a 2－a 2＝2，所以a 2＝－1± 2.又因为a n >0，所以a 2＝2－1. 同理，1a 3－a 3＝a 2＋1a 2，所以a 3＝－2± 3.又因为a n>0，所以a3＝3－ 2.所以a1＝1，a2＝2－1，a3＝3－ 2.利用归纳推理，猜测a n＝n－n－1(n∈N＋)．例3B[由已知中的图形我们可以得到：当n＝1时，顶点共有12＝3×4(个)，当n＝2时，顶点共有20＝4×5(个)，当n＝3时，顶点共有30＝5×6(个)，当n＝4时，顶点共有42＝6×7(个)，…，则第n个图形共有顶点(n＋2)(n＋3)个，故选B.]跟踪训练35n＋1当堂训练1．D 2.B 3.C 4.40 5.1234321。
2019-2020学年北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：1.1 归纳与类比1.1.1
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
【做一做】 观察下列不等式:
1+
1 22
<
3 2
,
1
+
1 22
+
1 32
<
5 3
,
1
+
1 22
+
1 32
+
1 42
<
7 4
,
…
…
照此规律,第五个不等式为 .
解析:观察不等式的左边发现,第 n 个不等式的左边为
数是
.
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Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
解析:(1)(方法一)有菱形纹的正六边形地面砖的块数如下表:
由表可以看出有菱形纹的正六边形地面砖的块数依次组成一个
以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三
【变式训练2】 将自然数0,1,2,…按照如下形式进行摆放:
根据以上规律判定,从2 017到2 019的箭头方向是 ( )
解析:本题中的数及箭头方向都有一定的规律.箭头每经过四个 数就要重复出现,即以4为周期变化.2 016恰好是4的倍数,2 017应该 与1的起始位置相同.
=
2×23 23+2
=
1 2
=
24,
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 复习点拨：利用数学归纳法解题举例
利用数学归纳法解题举例归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础；第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数（或n≥n且n∈N）结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，0属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
一、运用数学归纳法证明整除性问题例1.当n∈N,求证:11n+1+122n-1能被133整除。
证明:(1)当n=1时，111+1+1212×1-1=133能被133整除。
命题成立。
(2)假设n=k时，命题成立，即11k+1+122k-1能被133整除，当n=k+1时，根据归纳假设，11k+1+122k-1能被133整除。
又能被133整除。
所以，11(k+1)+122(k+1)-1能被133整除，即n=k+1时，命题成立。
由(1),(2)命题时n∈N都成立。
点评:同数学归纳法证明有关数或式的整除问题时，要充分利用整除的性质，若干个数（或整式）都能被某一个数（或整式）整除，则其和、差、积也能被这个数（或整式）整除。
2020-2021学年北师大版数学选修2-2学案-1.1.1-归纳推理-含解析
|§1归纳与类比1．1归纳推理授课提示：对应学生用书第1页[自主梳理]一、推理推理一般包括______推理和________推理．二、归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中________都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．三、归纳推理的特征归纳推理是由部分到________，由个别到________的推理．[双基自测]1．数列1,5,10,16,23,31，x,50，…中的x等于()A．38B．39C．40 D．412．由集合{a1}，{a1，a2}，{a1，a2，a3}，…的子集个数归纳出集合{a1，a2，a3，…，a n}的子集个数为()A．n B．n＋1C．2n D．2n－13．在数列{a n}中，已知a1＝3，a2＝6，且a n＋2＝a n＋1－a n，则a33为()A．3 B．－3C．6 D．－64．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出________．5．如图(1)，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)…试用n 表示出第(n )个图形的边数a n ＝________.[自主梳理]一、合情 演绎 二、每一个事物 三、整体 一般 [双基自测]1．C 前6项从第2项起每一项与前一项的差分别为4,5,6,7,8，由此可得x ＝31＋9＝40. 2．C 由前三个集合子集的个数分别为21,22,23，可归纳得出{a 1，a 2，…，a n }的子集个数为2n .3．A 由题意可得，a 1＝3，a 2＝6，a 3＝3，a 4＝－3，a 5＝－6，a 6＝－3，a 7＝3，a 8＝6，归纳出每6项一个循环，则a 33＝a 3＝3.4．1＋122＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1(n ∈N ＋) 利用归纳推理，不等号的右边的分母与左边的最后一项的分母的算术平方根相同，而右边的分子的变化遵循规律2n ＋1，n 为正整数．5．3×4n －1 观察图形可知，a 1＝3，a 2＝12，a 3＝48，…，故{a n }是首项为3，公比为4的等比数列，故a n ＝3×4n －1.授课提示：对应学生用书第1页探究一 数、式中的归纳推理[例1] 已知：1＞12；1＋12＋13＞1；1＋12＋13＋14＋15＋16＋17＞32；1＋12＋13＋…＋115＞2；….请你归纳出一个最贴切的一般性结论.[解析] 1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，猜想不等式左边最后一项的分母为2n －1，而不等式右端依次分别为：12，22，32，42，…，n2.归纳得一般结论：1＋12＋13＋…＋12n －1＞n2(n ∈N ＋)．根据给出的数与式，归纳一般结论的思路：(1)观察数与式的结构特征，如数、式与符号的关系，代数式的相同或相似之处等；(2)提炼出数、式的变化规律；(3)运用归纳推理写出一般结论．1．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．解析：由前三个式子可以得出如下规律：每个式子等号的左边是从1开始的连续正整数的立方和，且个数依次多1，等号的右边是一个正整数的平方，后一个正整数依次比前一个大3,4，….因此，第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212.答案：13＋23＋33＋43＋53＋63＝212探究二几何图形中的归纳推理[例2]有两种花色的正六边形地面砖．按下图的规律，拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A．26B．31C．32 D．36[解析]法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案123…个数61116…由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.法二：由图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需6个有菱形纹正六边形围绕外，每增加一块无纹正六边形，只需增加5块有菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的有菱形纹正六边形)，故第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6＋5×(6－1)＝31.[答案] B图形的归纳推理问题，可从图形的变化规律入手求解，一般研究图形中点、线或面等的增加变化数值，结合数列的知识得出规律．2．(1)如图(a)(b)(c)(d)为四个平面图形．数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们分别围成了多少个区域？请将结果填入下表(按填好的例子做)；顶点数边数区域数(a)46 3(b)(c)(d)(2)(3)现已知某个平面图形有1 005个顶点，且围成了1 005个区域，试根据以上关系确定这个图形有多少条边．解析：(1)填表如下：顶点数边数区域数(a)46 3(b)812 5(c)69 4(d)1015 6(2)4＋3－6＝1,8＋5－12＝1,6＋4－9＝1,10＋6－15＝1.所以我们可以推断：任何平面图形的顶点数、边数及区域数之间都有下述关系：顶点数＋区域数－边数＝1.(3)由上面所给的关系，可知所求平面图形的边数．边数＝顶点数＋区域数－1＝1 005＋1 005－1＝2 009.对归纳推理的特征掌握不准确致误[例3]对任意正整数n，猜想2n与n2的大小关系是________．[解析]当n＝1时，21＞12；当n＝2时，22＝22；当n＝3时，23＜32；当n＝4时，24＝42；当n＝5时，25＞52，当n＝6时，26＞62；所以可以猜想当n＝3时，2n＜n2；当n∈N＋且n≠3时，2n≥n2.[答案]当n＝3时，2n＜n2；当n∈N＋且n≠3时，2n≥n2.[错因与防范]本题易错解为n≥3时2n＜n2，错因是只列出了n＝1,2,3时的情况，列出的数据太少，没能得到准确的猜想．防范措施：在进行归纳推理时，为避免出现以偏概全的情形，对于特殊项要多验证几项，再作猜想，以掌握更多归纳特征，同时要根据变化规律和趋势作判断．。
1[1].1.1 归纳推理 教案(北师大版选修2-2)
![1[1].1.1 归纳推理 教案(北师大版选修2-2)](https://img.taocdn.com/s3/m/6a8793365901020207409c5c.png)
§1 归纳与类比1.1 归纳推理(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现归纳推理的特征、概括归纳推理的定义，知道归纳推理是科学发现的重要方法．(2)掌握归纳推理的一般性步骤：“观察——分析——归纳——猜想”，并能利用归纳推理解决简单问题．2．过程与方法通过具体实例的探究，使学生掌握观察问题的角度，培养学生分析问题的能力和抽象概括能力，体会从特殊到一般的认识规律．3．情感、态度与价值观(1)通过对具体实例的分析与探究，体会归纳推理是认识世界、改造世界的重要手段，培养学生探究精神和创新意识．(2)通过本节的学习和运用，体会发现问题、提出问题的方法，树立用数学思维方式创新探究的意识，不断提高自身的数学素养．●重点难点重点：了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理．难点：用归纳进行推理，做出猜想．教学时应引导学生学会观察，例如先整体，再局部；哪些是共同点，哪些是区别？哪些量变化，哪些量不变，变化部分有什么规律？等等．通过不断地观察、分析、归纳提出猜想，从而化解难点．这一过程要让学生多探究、多交流，以便提高学生抽象概括能力．通过对具体问题的简单求解，使学生理解归纳推理是根据一类事物中部分事物具有的特征，推断该事物中每个事物都具有这种属性的推理方式，明确归纳推理的特点，强化重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容属于数学思维方法——归纳法，结合生活实例和学生已学过的数学实例(如数列)，把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并在今后的学习中有意识使用它提出猜想．因此，本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在教师精心准备的具体问题情境下，让学生主动探究，然后通过师生、生生交流归纳、揭示规律，形成概念，获取方法，并在具体问题的求解中，深化规律，形成技能，使知识与思想方法得以升华．●教学流程创设情境，提出问题.在教师结合生活实例、具体数学实例引出推理的前提下，呈现例1.⇒错误!⇒错误!⇒运用规律，解决问题.利用归纳推理解决例2，加深对归纳推理的认识，初步认识归纳推理的特点.⇒变练演编，升华提高.通过习题1和习题2，让学生掌握归纳推理的一般步骤，可作变式训练，让学生学会观察.⇒错误!错误!1．已知数列{a n }的前5项依次为1,3,6, 10,15.这五项的变化是递增还是递减？有什么规律？【提示】 递增；从第2项起，每一项与前一项的差成等差数列．2．猜想问题1中第6项的值． 【提示】 213．猜想出的结论一定正确吗？ 【提示】 不一定． 1．归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理．2．归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理． 利用归纳推理得出的结论不一定是正确的．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n a n ＋1＝n n ＋1(n ＝1,2,3，…)． (1)求a 2，a 3，a 4，a 5，并猜想通项公式a n ； (2)根据(1)中的猜想，有下面的数阵： S 1＝a 1 S 2＝a 2＋a 3 S 3＝a 4＋a 5＋a 6S 4＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10S 5＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15试求S 1，S 1＋S 3，S 1＋S 3＋S 5，并猜想S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的值．【思路探究】→猜想通项公式a n →求解S 1，S 1＋S 3，S 1＋S 3＋S 5并分析结论的特征→猜想S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的值【自主解答】 (1)因为a 1＝1，由a n a n ＋1＝nn ＋1知a n ＋1＝n ＋1n ·a n ，故a 2＝2，a 3＝3，a 4＝4，a 5＝5.可归纳猜想出a n ＝n (n ∈N *)． (2)根据(1)中的猜想，数阵为：S 1＝1 S 2＝2＋3＝5 S 3＝4＋5＋6＝15 S 4＝7＋8＋9＋10＝34 S 5＝11＋12＋13＋14＋15＝65故S 1＝1＝14，S 1＋S 3＝1＋15＝16＝24，S 1＋S 3＋S 5＝1＋15＋65＝81＝34， 可猜想S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1＝n 4.1．本题中通项a n 易于猜想，而猜想S 1＋S 3＋…＋S 2n －1时，应注意将每个式子及其结果同n 的取值对应，并尝试用含n 的代数式f (n )归纳．2．在对数与式进行归纳时，应坚持“先整体，后局部”的原则，先从整体上把握数与式的特征及变化规律，然后着眼局部变化规律的归纳．在数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝2a n2＋a n(n ∈N *)，猜想这个数列的通项公式．【解】 ∵在{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，∴a 2＝2a 12＋a 1＝23；a 3＝2a 22＋a 2＝48＝24；a 4＝2a 32＋a 3＝25；…∴猜想{a n }的通项公式为a n ＝2(n ∈N *).1－1：图1－1－1由于图中1,3,6,10这些数能够表示成三角形，故被称为三角形数，试结合组成三角形数的特点，归纳第n 个三角形数的石子个数．【思路探究】 可根据图中点的分布规律归纳出三角形数的形成规律，如1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3；也可以直接分析三角形数与n 的对应关系，进而归纳出第n 个三角形数．【自主解答】 法一 由1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4，可归纳出第n 个三角形数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.法二归纳：第n 个三角形数的石子数应为：n (n ＋1)2.1．通过图形中石子的排列规律，分析出三角形数的形成规律是解答本题的关键，同时较法二来讲也易于操作；实质上数列1,3,6,10，…中从第2项起，每一项与前一项的差构成一个以2为首项，1为公差的等差数列，故这类数列求通项时，可借鉴三角形数的形成规律．如猜想5,7,10,14,19，…的通项时，可通过5＝5,7＝5＋2,10＝5＋2＋3,14＝5＋2＋3＋4,19＝5＋2＋3＋4＋5，…，得a n ＝5＋2＋3＋4＋…＋n ＝(n ＋2)(n －1)2＋5＝n 2＋n ＋82.2．对于图与形的归纳一般有两种方法，一是通过图形中呈现的规律求解；二是将每个图形对应的数字求出后，分析各数的变化规律(如是增还是减？如何增减？等)后进而猜想，实质上就将问题转化为对数与式的猜想了．(1)如图①，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图②，如此继续下去，得图③…试用n 表示出第n 个图形的边数a n ＝________.图① 图② 图③图1－1－2【解析】 观察图形可知，a 1＝3，a 2＝12，a 3＝48，…，故{a n }是首项为3，公比为4的等比数列，故a n ＝3×4n －1.【答案】 3×4n －1(2)下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n 个图有a n 根树枝，则a n ＋1与a n (n ≥1)之间的关系是________．① ② ③④ ⑤图1－1－3【解析】 由图可得，第一个图形有1根树枝，a 1＝1，第2个图形有3根树枝，即a 2＝3，同理可知：a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31. 归纳可知：a 2＝3＝2×1＋1＝2a 1＋1， a 3＝7＝2×3＋1＝2a 2＋1， a 4＝15＝2×7＋1＝2a 3＋1， a 5＝31＝2×15＋1＝2a 4＋1， 由归纳推理可猜测： a n ＋1＝2a n ＋1.n n (1)试分别计算数列{a n }中落入区间(9,92)和(92,94)内的项的个数；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m,92m )内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的通项公式．【思路探究】 分别令9<a n <92,92<a n <94求解项数n 的范围，并求对应项数；利用(1)中的方法解答(2)．【自主解答】 (1)令9<a n <92，即9<9n －8<92，解得1＋89<n <9＋89，故2≤n ≤9，因此，数列{a n }中落入区间(9,92)内的项的个数为8；同理，令92<a n <94，解得9＋1≤n ≤93，故数列{a n }中落入区间(92,94)中的项的个数为93－9；(2)由题意，令9m <9n －8<92m ，得9m －1＋89<n <92m －1＋89，∴9m －1＋1≤n ≤92m －1，故b m ＝92m －1－9m －1.1．解答本题第(2)问的关键是通过第(1)问中两种特殊情况的求解，归纳出一般性规律从而使问题获解．2．归纳推理是一种从特殊到一般，从实验事实到理论的一种寻找真理和发现真理的手段，是通过归纳得到结论或发现解决问题的途径的有效方法．如图1－1－4所示，点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一动点，由点M 到圆x 2＋y 2＝b 2的两条切点MA ，MB ，切点分别为A ，B .下面是探究当∠AMB ＝π2时，椭圆离心率e 的取值范围的过程．图1－1－4连接OA ，OB ，∵MA ，MB 与圆相切， ∴OA ⊥MA ，OB ⊥MB ，连接OM ，∵∠AMB ＝π2，∴∠AMO ＝π4，|OM |＝2b ，又在椭圆中|OM |∈[b ，a ]， 故2b ≤a ， 即2b 2≤a 2，∴2(a 2－c 2)≤a 2，即a 2≤2c 2，c a ≥22，∴离心率e 的取值范围是[22，1)．(1)若将“∠AMB ＝π2”改为“∠AMB ＝π3”，试探究离心率e 的取值范围．(2)试将本题加以推广，得到一个一般性结论．【解】 连接OA ，OB ，OM ，易知∠AMO ＝π6，在Rt △AOM 中，|OM |＝bsinπ6＝2b ， 又|OM |≤a ， 即2b ≤a .故椭圆的离心率的范围是[32，1)． (2)同上述解法，设∠AMB ＝2α(0<α<π2)，则∠AMO ＝α，在Rt △AOM 中，|OM |＝bsin α，又|OM |∈[b ，a ]，∴b sin α≤a ，即a 2－c 2≤a 2sin 2α， 整理，得a 2cos 2α≤c 2，故ca≥cos α，所以，离心率e 的取值范围是[cos α，1)．忽视“项数n ”与“命题”间的对应关系致误已知2＋23＝223， 3＋38＝338，4＋415＝4415， 5＋524＝5524，……，则第n 个式子为( ) A.n ＋n n 2－1＝n nn 2－1(n ∈N *) B.n ＋n n 2－1＝n nn 2－1(n ≥2) C.(n ＋1)＋n ＋1(n ＋1)2－1＝(n ＋1)n ＋1(n ＋1)2－1(n ∈N *)D.(n ＋1)2＋n ＋1(n ＋1)2－1＝(n ＋1)n ＋1(n ＋1)2－1(n ≥2)【错解】 通过观察知3＝22－1,8＝32－1,15＝42－1,24＝52－1，故第n 个式子为n ＋n n 2－1＝n n n 2－1(n ≥2)，故选B. 【答案】 B【错因分析】 本题解答忽视了“项数n ”与“第n 个命题”间的对应关系，即第1个式子中用1表示为(1＋1)＋1＋1(1＋1)2－1＝(1＋1) 1＋1(1＋1)2－1. 【正解】 n ＝1时，有(1＋1)＋1＋1(1＋1)2－1＝(1＋1)1＋1(1＋1)2－1，n ＝2时，有(2＋1)＋2＋1(2＋1)2－1＝(2＋1)2＋1(2＋1)2－1，n ＝3时，有 (3＋1)＋3＋1(3＋1)2－1＝(3＋1)3＋1(3＋1)2－1，同理n ＝4，n ＝5时，也有相同规律．故猜想第n 个式子为(n ＋1)＋n ＋1(n ＋1)2－1＝(n ＋1)n ＋1(n ＋1)2－1(n ∈N *)．应选C. 【答案】 C1．归纳推理是由特殊到一般的推理，是发现一般性结论或解题方法的重要途径． 2．归纳推理属于不完全归纳，故所得结论不一定可靠，需给出证明． 3．归纳推理的思维过程从具体问题出发→观察、分析、比较、联想→归纳→提出猜想.1．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则a n 是( )A ．2n －2－12B ．2n －2C ．2n －1＋1 D ．2n ＋1－4【解析】 当n ＝1,2,3时，求得a 2＝2，a 3＝6，a 4＝14，观察知a n ＝2n －2. 【答案】 B2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，且a 1＝1通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n ＝( )A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －1【解析】 可以通过S n ＝n 2a n 分别代入n ＝2,3,4求得a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n＝2n (n ＋1). 【答案】 B3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1－1－5所示，则第七个三角形数是________．图1－1－5【解析】 第一个三角形数是1， 第二个三角形数是1＋2＝3， 第三个三角形数是1＋2＋3＝6， 第四个三角形数是1＋2＋3＋4＝10.因此，由归纳推理得第n 个三角形数是1＋2＋3＋4＋…＋n ＝(1＋n )n2.由此可以得出第七个三角形数是28. 【答案】 284．平面内有n 条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数．【解】 n ＝2时，交点个数：f (2)＝1. n ＝3时，交点个数：f (3)＝3. n ＝4时，交点个数：f (4)＝6. n ＝5时，交点个数：f (5)＝10.猜想f (n )＝12n (n －1)(n ≥2)．一、选择题1．已知数列23，1,112，214，338，…，猜想该数列的第6项为( )A ．4516B ．4316C ．5316D ．5116【解析】 将各项均写成假分数的形式为23，11，32，94，278，…，即3－12－1，3020，3121，3222，3323，…，故猜想第6项为3424＝8116＝5116.【答案】 D2．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( ) A ．01 B ．43 C ．07 D ．49【解析】 ∵75＝16 807,76＝117 649，由运算规律知末两位数字以4为周期重复出现，故72 011＝74×502＋3，故其末两位数字为43.【答案】 B 3．(2013·厦门高二检测)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2， 13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…， 根据上述规律第n 个等式为( )A ．13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2B ．13＋23＋…＋n 3＝[1＋2＋3＋…＋(n ＋1)]2C ．13＋23＋33＋…＋(n ＋1)3＝(1＋2＋3＋…＋n )2D ．13＋23＋33＋…＋(n ＋1)3＝[1＋2＋3＋…＋(n ＋1)]2 【解析】 将各等式中的变化规律同n 对应起来可知选D. 【答案】 D4．有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律，拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )图1－1－6A ．26B ．31C ．32D ．36【解析】 设第n 个图案有a n 个菱形花纹的正六边形，则a 1＝6×1－0，a 2＝6×2－1，a 3＝6×3－2，故猜想a 6＝6×6－5＝31.【答案】 B5．把正偶数列{2n }的各项从小到大依次排成如下的三角形状数表，记M (r ，t )表示该表中第r 行的第t 个数，则表中的数2 014对应于( )2 4 6 8 10 12 14 16 18 20……A ．M (45,14)B ．M (45,27)C ．M (46,14)D ．M (46,27)【解析】 由题意2 014是数列{2n }中的第1 007项，而数阵中的前r 行共有1＋2＋3＋…＋r ＝r ·(r ＋1)2，令r ·(r ＋1)2≤1 007知r 最大值为44.当r ＝44时，前44行共有990项，故2 014位于第45行，第1 007－990＝27个数，即M (45,27)．【答案】 B 二、填空题6．如图1－1－7所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点)有n (n >1，n ∈N ＋)个点，每个图形总的点数记为a n ，则a 6＝______________，a n ＝______________.图1－1－7【解析】 依据图形特点可知当n ＝6时，三角形各边上各有6个点，因此a 6＝3×6－3＝15.由n ＝2,3,4,5,6时各图形的特点归纳得a n ＝3n －3(n ≥2，n ∈N ＋)． 【答案】 15 3n －3(n ≥2，n ∈N ＋)7．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．【解析】 由题意f (21)＝32，f (22)>42，f (23)>52，f (24)>62，故一般的结论为f (2n )≥n ＋22.【答案】 f (2n )≥n ＋228．(2013·深圳高二检测)设函数f (x )＝xx ＋2(x ＞0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8，f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________.【解析】 依题意，先求函数结果的分母中x 项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为a n ＝2n －1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为b n ＝2n .所以当n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝x(2n －1)x ＋2n.【答案】 x(2n －1)x ＋2n三、解答题9．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立，在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立，在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立，猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，其不等式为什么？【解】 不等式左边项数分别为3,4,5时，不等式右边的数依次为9π，162π，253π，其分子依次为32,42,52，分母依次为(3－2)π，(4－2)π，(5－2)π，故当不等式左边项数为n 个时，归纳猜想右边应为n 2(n －2)π(n ≥3，n ∈N *)， 故所求为1A 1＋1A 2＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3，n ∈N *)． 10．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32. 观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并证明之．【解】 一般性的命题为sin 2θ＋sin 2(60°＋θ)＋sin 2(120°＋θ)＝32. 证明如下：sin 2θ＋sin 2(60°＋θ)＋sin 2(120°＋θ)＝1－cos 2θ2＋1－cos (120°＋2θ)2＋1－cos (240°＋2θ)2＝32－12[cos 2θ＋cos(120°＋2θ)＋cos(240°＋2θ)] ＝32－12[2cos 60°cos(60°＋2θ)＋cos(180°＋60°＋2θ)] ＝32－12[cos(60°＋2θ)－cos(60°＋2θ)] ＝32. 11．设{a n }是集合{2t ＋2s |0≤s <t ，且s ，t ∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a 1＝3，a 2＝5，a 3＝6，a 4＝9，a 5＝10，a 6＝12，……将数列{a n }各项按照上小下大，左小右大的原则写成如右的三角形数表：35 69 10 12… … … …… … … … …(1)写出这个三角形数表的第四行、第五行；(2)求a 100.【解】 (1)由题意，a 1，对应的有序数对(s ，t )为(0,1)．a 2，a 3对应的有序数对(s ，t )分别为(0,2)，(1,2)；a 4，a 5，a 6对应的有序数对(s ，t )分别为(0,3)，(1,3)，(2,3)，故可归纳出第四行各项对应的有序数对依次为(0,4)，(1,4)，(2,4)，(3,4)．故第四行为17,18,20,24.第五行各项对应的有序数对(s ，t )依次为(0,5)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)故第五行为33,34,36,40,48.(2)将三角形数表中各项对应的有序数对列成下面的数表．(0,1)(0,2) (1,2)(0,3) (1,3) (2,3)(0,4) (1,4) (2,4) (3,4)(0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)可以归纳出行数与t 相等，且各行中的项数与t 相等，故前t 行共有t (t ＋1)2项，令t (t ＋1)2≤100， 得t ≤13，当t ＝13时，t (t ＋1)2＝91. 故a 100位于第14行中第9个数．故a 100对应的有序数对(s ，t )为(8,14)．所以a 100＝28＋214.(教师用书独具)正整数按下表的规律排列则上起第2 005行，左起第2 006列的数应为( )A ．2 0052B ．2 0062C ．2 005＋2 006D ．2 005×2 006【思路探究】 根据本题求结论的要求，只需归纳出第n 行，第n ＋1个数的规律即可．【自主解答】 第1行第2个数为2＝1×2；第2行第3个数为6＝2×3；第3行第4个数为12＝3×4；第4行第5个数为20＝4×5；故归纳出第2 005行第2 006个数为2 005×2 006.【答案】 D1．解答本题的关键是根据结论的要求准确把握归纳的对象是第n 行第n ＋1个数的规律．2．对数归纳时也可借助一些常见数列，如本题中2＝22－2,6＝32－3,12＝42－4,20＝52－5，……第n 行第n ＋1个数为(n ＋1)2－(n ＋1)＝n ·(n ＋1)．就借助了自然数的平方构成的数列和自然数列．观察下列各式：1＝1,2＋3＋4＝9,3＋4＋5＋6＋7＝25,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，…，则由此可归纳出n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝________.【解析】 1＝1＝12＝(2×1－1)2，2＋3＋4＝9＝32＝(2×2－1)2，3＋4＋5＋6＋7＝25＝52＝(2×3－1)2，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49＝72＝(2×4－1)2，…故n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2×n －1)2.【答案】 (2n －1)2。
北师大版数学高二选修2学案 第一章 推理与证明 1.1.1归纳推理
第一章推理与证明1.1.1归纳推理教学设计教学目标1.通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
教学重点了解合情推理的含义，能利用归纳法进行简单的推理。
教学难点用归纳进行推理，做出猜想。
教学过程一、课堂引入从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。
见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理二、新课讲解1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m均为正实数）这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)归纳推理的一般步骤：⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；⑵提出带有规律性的结论，即猜想；⑶检验猜想。
三、例题讲解例1 通过观察下列等式，猜想一个一般性结论，并证明结论的真假。
23130sin 75sin 15sin 222=++ ；23145sin 85sin 25sin 222=++ ； 23150sin 90sin 30sin 222=++ ；23180sin 120sin 60sin 222=++ 。
高中数学：1.1.1 归纳推理(二) 教案 (北师大选修2-2)
1.1.1 归纳推理教学过程：一：创设情景，引入概念师：今天我们要学习第一章：推理与证明。
那么什么是推理呢？下面请大家仔细看这段flash，体验一下flash动画中，人物推理的过程。
（学生观看flash动画）。
师：有哪位同学能描述一下这段flash动画中的人物的推理过程吗？生：flash中人物通过观察，发现7只乌鸦是黑色的于是得到推理：天下乌鸦一般黑。
师：很好！那么能不能把这个推理的过程用一般化的语言表示出来呢？生：这是从一个或几个已有的判断得到一个新的判断的过程。
师：非常好！（引出推理的概念）。
师：推理包括合情推理和演绎推理，而我们今天要学的知识就是合情推理的一种——归纳推理。
那么，什么是归纳推理呢？下面我们通过介绍数学中的一个非常有名的猜想让大家体会一下归纳推理的思想。
（引入哥德巴赫猜想）师：据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，这3个等式。
大家看这3个等式都是什么运算？生：加法运算。
师：对。
我们看来这些式子都是简单的加法运算。
但是哥德巴赫却把它做了一个简单的变换，他把等号两边的式子交换了一下位置，即变为：10=3+7，20=3+17，30=13+17。
大家观察这两组式子，他们有什么不同之处？生：变换之前是把两个数加起来，变换之后却是把一个数分解成两个数。
师：大家看等式右边的这些数有什么特点？生：都是奇数。
师：那么等式右边的数又有什么特点呢？生：都是偶数。
师：那我们就可以得到什么结论？生：偶数=奇数+奇数。
师：这个结论我们在小学就知道了。
大家在挖掘一下，等式右边的数除了都是奇数外，还有什么其它的特点？（学生观察，有人看出这些数还都是质数。
）师：那么我们是否可以得到一个结论：偶数=奇质数+奇质数？（学生思考，发现错误！）。
生：不对！2不能分解成两个奇质数之和。
师：非常好！那么我们看偶数4又行不行呢？生：不行！师：那么继续往下验证。
（学生发现6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7……）师：那我们可以发现一个什么样的规律？生：大于等于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 高考中的合情推理
高考中的合情推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，其主要形式有归纳和类比。
一、归纳推理例1、（2006广东）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)3(f ；=)(n f （答案用n 表示）分析：解决本题的关键之一是找出相邻两项的关系，即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数；其次是求出第一层的通项公式。
解：f （1）＝1，观察图象可知f （2）＝4，f （3）＝10，f （4）＝20，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，……，通项公式是2)1(+n n ，所以f （n ）＝f （n －1）＋2)1(+n n ， 所以有：f （2）－f （1）＝2)12(2+⨯ f （3）－f （2）＝2)13(3+⨯f （4）－f （3）＝2)14(4+⨯ ……………………………………f （n ）－f （n －1）＝2)1(+n n 以上各式相加得：f （n ）＝f （1）＋24433222222n n ++++++++ ＝2)4321()4321(22222n n +++++++++++＝22)1(6)12)(1(++++n n n n n ＝6)2)(1(++n n n 所以应该填：10；6)2)(1(++n n n 点评：求f （n ）的通项公式时运用累差法思想求解。
可见高考题多数依据课本知识、思想或方法的设计题目。
解决问题的关键是找到相邻两项的关系。
二、 类比推理（类比）例2、（2006湖北）半径为r 的圆的面积2)(r r S ⋅=π，周长r r C ⋅=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ⋅=⋅ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 解读归纳推理
解读归纳推理一、归纳推理的定义及理解归纳推理就是根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，它是从特殊到一般的过程。
简而言之，归纳推理是有部分到整体，由个别到一般的推理，例如由“铜、铁、铝、金、银等金属能导电”归纳出“一切金属都能导电”。
由“直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°”，归纳出“所有三角形的内角和都是180°”等等，这些都是归纳推理。
在统计学中，我们总是从所研究的全体对象中抽取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对整体作出判断，这也是归纳推理。
应用归纳推理可以发现新的事实，获得新的结论。
二、归纳推理的步骤：⑴通过观测个别情况发现某些相同性质；⑵从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）。
三、典例剖析例1 如图1所示，在一张方格纸上画折线（用粗线表示的部分），图中每个小方格的边长为1，从A点出发依次给每条直线段编号。
⑴编号为2010的直线长度是多少？⑵长度为2010的直线段的编号是多少？分析：仔细观察表中的编号与长度列出表格，根据表格中的编号与长度的关系归纳出一般规律。
解：通过观察列出编号与长度的关系表：编号1、2 3、4 5、6 7、8 9、10 …长度 1 2 3 4 5 …从表中看出：长度为n的线段编号为2n-1和2n。
⑴编号为2010的线段长为2010÷2=1005。
⑵长度为2010的线段有两条，编号分别为：2010×2-1=4019，2010×2=4020。
点评：本题主要考查识图能力，利用表格将题目中的编号与长度都对应表示出来，从而使题目中的各种关系明朗化，便于解题。
- 1 - / 2四、拓展提高⑴归纳推理的前提是部分的、个别的事实，因此推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的。
⑵归纳具有发现新知识和探索真理的功能，在数学中有预测答案，探索解题思路的作用，对于较为复杂的问题，当难以找到解决问题的方法时，可以通过归纳猜想的办法，预测结论，从而找到解决问题的途径。
高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比1.1.2类比推理教案北师大版选修2
1.2 类比推理精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
高中数学：1.1.1 归纳推理(一) 教案 (北师大选修2-2)
1.1.1 归纳推理教学过程： 1.创设情景：1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理” 思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。
如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7， 16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，…… 2.探求研究:探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。
教师指导，合作交流，归纳：22V V V =棱柱棱台棱锥＝－，32E E E =棱柱棱台棱锥＝，1F F F 棱柱棱台棱锥＝＝＋，F+V-E=2等等，其中“F+V-E=2”为“欧拉公式”。
3.概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。
定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。
4.例题解析例1：在数列{}n a 中，()*1121,,2nn n a a a n N a +==∈+猜想这个数列的通项公式？ 解析：先由学生计算：234521222,,,32456a a a a ===== 归纳：*2()1n a n N n =∈+ 说明（学生完成）：⑴有整数和分数时,往往将整数化为分数；⑵当分子分母都在变化时,往往统一分子(或分母),再寻找另一部分的变化规律.例2、（拓展）问：如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小？试猜测结论。
1.1归纳推理-北师大版选修2-2教案
1.1 归纳推理 - 北师大版选修2-2教案一、教学目标1.了解归纳推理的概念和特点。
2.掌握常见的归纳推理模式。
3.学会运用归纳推理解决实际问题。
二、教学重点1.归纳推理的概念和特点。
2.常见的归纳推理模式。
三、教学难点1.拓宽学生的思维方式，使其能够运用归纳推理解决实际问题。
2.发掘学生的逻辑分析能力。
四、教学方法1.讲授法。
2.问答法。
3.组织学生讨论实际问题，引导他们运用归纳推理解决问题。
五、教学步骤1. 导入通过引入问题，激发学生的思考。
例如：“假设你被困在一个没有地图的密林里，你该如何找到出口？”引导学生尝试推理，展开思考，提高他们的思维敏捷性。
2. 归纳推理的概念和特点1.归纳推理的定义：从部分到整体，由特殊到一般，通过一定形式的推理，得出普遍性结论的思维方法。
2.归纳法的特点：明确事实依据，由此得出一般性结论。
3. 常见的归纳推理模式1.从实例到结论：通过对多个具有相同特点的实例进行比较归纳，得出一般性结论。
2.从对立面到结论：通过对立面间的比较得出结论，常见于对问题进行反证、对照分析、割裂对待等情况。
3.从一般到特殊：已知一般性结论，倒推到特殊的具体实例。
4.从反面到结论：通过分析否定段落和例句，得出一个结论5.从头到尾：按照整体的逻辑序列逐步清晰地推理下去，从而得出结论。
6.从结果到因素：分析问题的成因，推理出可能的结果和解决方案。
4. 教学实践1.提供实际问题：通过组织学生分组讨论解决实际问题的方式，引导他们运用归纳推理模式分析问题和解决问题。
2.分析学生的成果：评估学生的综合能力，思维方式和归纳推理的应用能力。
3.教师点评：巩固学生的成果，教师发表自己对于这个问题所得出的结论，加强学生对归纳推理模型的理解。
5. 结束总结授课内容，强调归纳推理的重要性并提出任务：练习归纳推理并运用于实际问题中。
六、教学评价1.教学效果：检查学生对课堂内容的掌握情况。
2.教学方法：评估教学方式对学生学习的促进作用。
高中数学 北师大选修2-2 1.1.1归纳推理
写一横，告诉是个“一”字； 写两横，告诉是个“二”字； 写三横，告诉是个“三”字. 学到这里，儿子就告诉父亲说： “我已经学会了写字，不用先生再教了.” 于是，财主就把教书先生给辞退了. 一天，财主要邀请一位姓万的朋友，叫儿子写张 请帖.儿子从早晨进入书房，但到中午都没出来。
(4)
(5)
4.观察下列两式： sin230°＋cos260°＋sin30°·cos60°＝43； sin220°＋cos250°＋sin20°·cos50°＝43； sin215°＋cos245°＋sin15°·cos45°＝43. 分析上面的两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，
并证明你的结论．
【解析】推广结论： sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinα·cos(α＋30°)＝34. 证明如下： sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinα·cos(α＋30°) ＝34sin2α＋[cos(α＋30°)＋12sinα]2 ＝34sin2α＋(cosαcos30°－sinαsin30°＋12sinα)2 ＝34sin2α＋43cos2α＝34.
哥德巴赫猜想的过程： 具体的材料 观察分析
猜想出一般性的结论
【2】统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验, 进而对整体作出推断.
【3】成语“一叶知秋”
意思是从一片树叶的凋落,知道秋天将要来到.比 喻由细微的迹象看出整体形势的变化,由部分推知全 体.
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或 者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳 推理(简称归纳).
分别把n=1,2,3,4代入an1
2018学年北师大版高中数学选修2-2课件：1.1.1归纳推理 精品
2 n个1
n个 2
n个3
小结 拓展 回味无穷
同学们自己总结一 下哦！如果需要提 示可点击我！
课后作业
课本7页 练习题1
（3）归纳猜想的思维过程为:
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
例3 应用归纳推理猜测
1111 2222（n N *）的值.
2 n个1
n个 2
分析
n 1, 11 2 3
n 2, 1111 22 33
n 3, 111111 222 333
猜测 1111 2222 333（3 n N *）.
梧桐是树. 结论：梧桐是植物. 问：这三个情境有什么共同特点？
这三个情境各什么特点？
推理 从一个或几个已知命题得出另一个新命
题的思维过程.
说明：
（1）任何推理都包括前提和结论两个部分； （2）前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知什么；
结论是根据前提推得得命题，它告诉我们推出什么.
（3） 问题1是归纳推理；问题2是类比推理
归纳推理
引例
1、对自然数n，考查 n2 n 11
n
n2 n 11
0
11
1
11
2
13
3
17
4
23
5
31
6
41
都是质数
结论：对所有的自然数n， n2 n 11 都是质数.
2、前提：矩方体的对角线的平方等于其长宽
高的平方和. 3、前提：所有的树都是植物，
上述例子均是从某类事物的部分对象具有某 些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理，或者从个别事实中概括出一般的结论,像这样 的推理通常称为归纳推理，简称归纳法或归纳. 注:（1）归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般、
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§1 归纳与类比
1.1 归纳推理
1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理.(重点)
2.了解归纳推理在数学发展中的作用.(难点)
[基础·初探]
教材整理归纳推理
阅读教材P3～P5，完成下列问题.
1.归纳推理的定义
根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理.
2.归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理.( )
(2)由个别到一般的推理称为归纳推理.( )
(3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的.( )
【答案】(1)√(2)√(3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
(1)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，……，则a10＋b10＝( )
【94210000】
A.28
B.76
C.123
D.199
(2)已知f(x)＝
x
1－x
，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n>1，且n∈N＋)，则
f3(x)的表达式为_________________________________________，猜想f n(x)(n∈N ＋
)的表达式为________.
【精彩点拨】(1)记a n＋b n＝f(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论.
(2)写出前n项发现规律，归纳猜想结果.
【自主解答】(1)记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N＋，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.
所以a10＋b10＝123.
(2)f1(x)＝f(x)＝
x
1－x
，
f2(x)＝f1(f1(x))＝
x
1－x
1－
x
1－x
＝
x
1－2x
，
f3(x)＝f2(f2(x))＝
x
1－2x
1－2·
x
1－2x
＝
x
1－4x
，
由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表达式，归纳f n(x)＝
x
1－2n－1x
.。