最新人教A版必修2高中数学 3.1.2两条直线的平行与垂直教案 (1)
教案高一数学人教版必修二 3.1.2两条直线平行与垂直的判定最新修正版
双峰一中高一数学必修二教案
科目：数学
课题
§3.1.2两条直线平行与垂直的判定课型新课Fra bibliotek教学目标
(1)理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.
(2)通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力. (3)通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.
教学过程
教学内容
备注
一、
自主学习
二、
质疑提问
三、
问题探究
四、
课堂检测
五、
小结评价
高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案 新人教A版必修2
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定（一）教学目标1．知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2．过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.3．情感、态度与价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：两条直线平行和垂直的条件.难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.概念形成1．特殊情况下，两条直线平行与垂直.两条直线中有一条直线没有斜率，（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直.由学生讨论得出答案概念深化2．两条直线的斜率都存在时，两直线的平行与垂直.设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的，所以我们下面要研究的问题是：两条互相平行或垂直的直线，它们的斜率有什么关系？首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形.如果l1∥l2（图），那么它们的倾斜角相等；a1 = a2.（借助计算机，让学生通过度量，感知a1，a2的关系）∴tg a1 = tg a2.即k1 = k2.反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1= k2，那么tg a1= tg a2.由于0°≤a1＜180°，0°≤a＜180°，∴a1 = a2又∵两条直线不重合，∴l1∥l2.结论：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2⇔k1 = k2.注意：上面的等价是在两条直借助计算机，让学生通过度量，感知12,αα的关系.通过斜率相等判定两直线平行，是通过代数方法得到几何结论，体现了用代数方法研究几何问题的思想.线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k 1 = k 2那么一定有l 1∥l 2；反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形.如果l 1⊥l 2，这时12a α≠，否则两直线平行.设21αα<（图）甲图的特征是l 1与l 2的交点在x 轴上方；乙图的特征是l 1与l 2的交点在x 轴下方；丙图的特征是l 1与l 2的交点在x 轴上，无论哪种情况下都有1290αα=+.因为l 1、l 2的斜率分别是k 1、k 2，即190α≠，所以20α≠.∴1211(90)tg tg tg ααα=+=-.即121k k =-或k 1k 2 = –1，反过来，如果121k k =-即k 1·k 2= –1不失一般性，设k 1＜0.k 2＞0，那么1221(90)tg tg tg ααα=-=+.可以推出a 1 = 90°+2α.l 1⊥l 2.结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12112211l l k k k k ⊥⇔=-⇔=-注意：结论成立的条件，即如果k 1·k 2 = –1，那么一定有l 1⊥l 2；反之则不一定.借助计算机，让学生通过度量，感知k 1，k 2的关系，并使l 1(或l 2)转动起来，但仍保持l 1⊥l 2，观察k 1，k 2的关系，得到猜想，再加以验证，可使1α为锐角，钝角等.通过计算机的演示，培养学生的观察、猜想，归纳的数学思想方法.应用举例借助计算机作图，使学通过备选例题例1 试确定M 的值，使过点A (m + 1，0)，B (–5，m )的直线与过点C (–4，3)，D (0，5)的直线平行.【解析】由题意得：由于AB ∥CD ，即k AB = k CD ， 所以162m m =--，所以m = –2.例2 已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)，求第四个顶点D 的坐标.【解析】设第四个顶点D 的坐标为(x ，y )因为AD ⊥CD ，AD ∥BC 所以k AD ·k CD = –1，且k AD =k BC12,103120,031y y x x y x --⎧=-⎪⎪--⎨--⎪⎪--⎩所以， 02(),.13x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得舍去 所以第四个顶点D 的坐标为(2，3).例3 已知定点A (–1，3)，B (4，2)，以A 、B 为直径的端点，作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标.【解析】以线段AB 为直径的圆与x 轴交点为C .则AC ⊥BC ，设C (x ，0) 则32,14AC BC k k x x --==+- 所以32114x x --⋅=-+- 所以x = 1或2，所以C (1，0)或(2，0)。
高中数学人教A版必修二：3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件
课堂练习
1.试确定m的值，使过点A(m,1)，B(-1,m)的直 线与过点P(1,2)，Q(-5,0)的直线
（1）平行;
(2)垂直.
2.试确定m的值，使过点A(-1,-1)，B(2m,3m) 的直线与过点P(1,2)，Q(1,0)的直线
（1）平行;
(2)垂直.
1.两条直线平行的判定 l1 / /l2 k1 k 2（两条直线的斜率均存在）
平面上，不重合的两点
l
可以惟一确定一条直线。
平面上，由直线上的一点及它的倾斜角 可以唯一确定一条直线。
直线的斜率
定义：直线的倾斜角α的正切值叫做 这条直线的斜率 k
k tan ( 90)
1.已知点A(1,0)，B(0,1)，C(-2，0)，
D(0,-2)，E(2，1)，F(3，0)．分别求直线
2.两条直线垂直的判定 l1 l2 k1k 1 （两条直线的斜率均存在）
“几何问题代数化”的思想
例题讲授
例4、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状。分析：结合图形可猜想AB⊥BC.
解 : k AB
1 (1) 15
△1ABC为直角三角形.
2
y
C
kBC
3 1 2 1
2
B
k AB • kBC 1
O
x
AB BC 即ABC 900
A
因此ABC是直角三角形.
1 2
1
kCD
2
kBC
3 2
k DA
3 2
kAB kCD , kBC kDA
AB∥ CD, BC∥ DA
y
D
C
A
O
x
B
人教版高中数学必修二教案：3.1.2+两条直线平行与垂直的判定
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定一、教学目标1、知识与技能：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直。
2、过程与方法：通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力。
3、情感态度与价值观：通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点：重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用。
难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题。
关键：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况，在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题。
三、教学过程（一）两条直线平行的条件思考：设两条直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，当l 1 // l 2时，k 1与k 2满足什么关系？探究：21212121tan tan //k k l l =⇔=⇔=⇔αααα。
结论：两条不重合的直线2121//k k l l =⇔（斜率存在）。
应用举例：例1、已知A (2，3)，B (- 4，0)，P (- 3，1)，Q (– 1，2)，试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论。
分析：作出图像如下，猜想BA // PQ ：由斜率公式可得：21==PQ BA k k ，所以直线BA // PQ 。
例2、已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A (0，0)，B (2，– 1)， C (4，2)，D (2，3)，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明。
分析：在直角坐标系作出图形如下，猜想四边形ABCD 为平行四边形：21-==CD BA k k ，所以AB // CD ； 23==AD BC k k ，所以BC // AD ；所以四边形ABCD 为平行四边形。
追问：四边形ABCD 是否为矩形？如何判断直线AB 与BC 垂直？（向量的数量积） 由此，欲判断ABCD 为平行四边形，可以由DC AB =得到。
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 教案(人教A版必修2)
3.1.2两条直线平行与垂直的判定●三维目标1．知识与技能(1)让学生掌握直线与直线的位置关系．(2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法．2．过程与方法(1)利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法．(2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法．3．情感、态度与价值观(1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识．(2)通过这节课的学习，培养学生用“联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣．(3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神．●重点难点重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直．难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明．重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的方式．为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率之积为－1时，它们是相互垂直的即可．【课前自主导学】【问题导思】Array 1．如图，若直线l1∥l2，则其倾斜角α1与α2有什么关系？为什么？反之呢？【提示】α1＝α2，因为两直线平行，同位角相等．反之不成立，当α1＝α2时，直线l 1与l 2可能平行或重合． 2．若直线l 1∥l 2，则其斜率k 1＝k 2.这种说法对吗？【提示】 不对，只有在直线l 1与l 2都存在斜率时，由l 1∥l 2可以得出 k 1＝k 2，如图当直线l 1与l 2都与x 轴垂直时，虽然l 1∥l 2但斜率都不存在． 两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1，l 2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k 1，k 2.则对应关系如下：【问题导思】 1．如图，直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，若l 1⊥l 2， 则α1与α2之间存在什么关系？ 【提示】 α2＝α1＋90°.2．当直线l 1的倾斜角为0°时，若直线l 1⊥l 2，则l 2的斜率应满足什么条件？ 【提示】 直线l 2的斜率不存在，如图，当直线l 1的倾斜角为0°时，若l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为90°，其斜率不存在．两条直线垂直与斜率的关系【课堂互动探究】判断下列各组中的直线l 1与l 2是否平行：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2,1)，l 2经过点M (3,4)，N (－1，－1)；(2)l 1的斜率为1，l 2经过点A (1,1)，B (2,2)；(3)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)． 【思路探究】 依据两条直线平行的条件逐一判断便可． 【自主解答】 (1)k 1＝1－ －2 2－ －1 ＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54，k 1≠k 2，l 1与l 2不平行．(2)k 1＝1，k 2＝2－12－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－ －1＝－1，k 1＝k 2， 而k MA ＝3－1－1－0＝－2≠－1，∴l 1∥l 2.(4)l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(x,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________. 【解析】 ∵直线l 1的斜率不存在，且l 1∥l 2，∴l 2的斜率也不存在． ∴点(2,1)及(x,6)的横坐标相同，∴x ＝2. 【答案】 2判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)．【思路探究】 求出斜率，利用l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断．【自主解答】 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－ －2 1－ －1 ＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－ －1 2－ －2 ＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴．直线l 2的斜率k 2＝40－4010－ －10＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．已知三角形三个顶点的坐标为A (4,2)，B (1，－2)，C (－2,4)，则BC 边上的高的斜率为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12【解析】 BC 边上的高所在的直线与BC 边所在的直线垂直而k BC ＝4＋2－2－1＝－2，所以BC 边上的高的斜率k ＝－1k BC＝12.【答案】 C已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A 、B 、C 、D 四点，试判定图形ABCD 的形状．【思路探究】 先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．【自主解答】 A 、B 、C 、D 四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得 kAB ＝5－32－ －4 ＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－ －4 ＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.∴k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，∴AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行．又k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD . 故四边形ABCD 为直角梯形．1．利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤2．证明两直线平行时，仅k 1＝k 2是不够的，注意排除重合的情况． 3．判断多边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的多边形．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，且有一点D 满足CD ⊥AB ，CB ∥AD ，则D 点的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(0，－1)C ．(1,0)D ．(0,1)【解析】 设D (x ，y )，则k CD ＝y －0x －3＝yx －3，k AD ＝y ＋1x －1， 又k AB ＝2＋12－1＝3，k CB ＝2－02－3＝－2，CD ⊥AB ，CB ∥AD ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k CD ·k AB ＝y x －3·3＝－1 k CB ＝k AD ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝3－xy ＋1x －1＝－2，∴{ x ＋3y ＝3， 2x ＋y ＝1.∴{ x ＝0 y ＝1，即D (0,1)． 【答案】 D 【思想方法技巧】分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用(12分)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值．【思路点拨】 (1)x C ≠x D 斜率存在,l 1∥l 2→k 1＝k 2→a 的值 (2)l 1⊥l 2→分情况讨论→求a 的值 【规范解答】 设直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝2－ a ＋2 1－ －2＝－a3.2分(1)若l 1∥l 2，设直线l 的斜率为k 1，则k 1＝－a3. 又k 1＝2－a a －4，则2－a a －4＝－a3，∴a ＝1或a ＝6. 4分经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2.(2)若l 1⊥l 2，①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意.8分 ②当k 2≠0时，l 2的斜率存在，此时k 1＝2－aa －4. ∴由k 2k 1＝－1，可得a ＝3或a ＝－4.所以，当a ＝3或a ＝－4时，l 1⊥l 2. 12分 【思维启迪】1．由l 1∥l 2比较k 1，k 2时,应首先考虑斜率是否存在，当k 1＝k 2时，还应排除两直线重合的情况． 2．由l 1⊥l 2比较k 1，k 2时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0的情况． 3．在l 1∥l 2及l 1⊥l 2相关问题的处理中，树立分类讨论的意识． 【课堂小结】1．两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行．2．两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于0，则两条直线也垂直．3．在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想． 【当堂达标检测】1．下列说法中正确的是( )A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等C ．垂直的两直线的斜率之积为－1D ．只有斜率相等的两条直线才一定平行【解析】 A 不正确，平行的两条直线可能斜率都不存在；B 正确；C 不正确，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，它们也垂直；D 不正确，斜率都不存在的两条直线也平行．【答案】 B2．已知直线l 1的斜率k 1＝－85，直线l 2的斜率k 2＝58，则l 1与l 2的位置关系为( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．无法确定 【解析】 ∵k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2. 【答案】 C3．直线l 1的斜率为2，直线l 2上有三点M (3,5)，N (x,7)，P (－1，y )，若l 1⊥l 2，则x ＝________，y ＝________.【解析】 ∵l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－12，∴7－5x －3＝y －5－1－3＝－12，∴x ＝－1，y ＝7. 【答案】 －1 74．(1)已知直线l 1经过点M (－3,0)，N (－15，－6)，l 2经过点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，32，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，试判断l 1与l 2是否平行．(2)l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，－6)，问l 1与l 2是否垂直？ 【解】 (1)∵k MN ＝0－ －6 －3－ －15 ＝12，k RS ＝52－320－ －2 ＝12，∴l 1∥l 2.(2)∵k 1＝tan 45°＝1，k 2＝－6－ －13－ －2 ＝－1，∴k 1·k 2＝－1.∴l 1⊥l 2.【课后知能检测】 一、选择题1．下列说法正确的有( )①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】 当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确，故选A.【答案】 A2．(2014·昆明高一检测)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)【解析】 ∵k 1＝2，l 1∥l 2，∴k 2＝2，设P (0，y )则k 2＝y －10＋1＝y －1＝2，∴y ＝3，即：P (0,3)．【答案】 D3．若直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，且l 1⊥l 2，则( ) A ．α1－α2＝90° B ．α2－α1＝90° C ．|α1－α2|＝90° D ．α1＋α2＝180° 【解析】 如图所示．由图(1)可知α1＝α2＋90°，由图(2)可知α2＝α1＋90°，∴|α1－α2|＝90°. 【答案】 C4．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A.1a B ．aC ．－1aD ．－1a 或不存在【解析】 当a ≠0时，直线l 2的斜率k 2为－1a ；当a ＝0时，直线l 2的斜率不存在． 【答案】 D5．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形 【解析】 k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角． 【答案】 C 二、填空题6．(2014·南京高一检测)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)，则两直线l 1与l 2的位置关系是________．【解析】 由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合．【答案】 平行或重合7．经过点M (m,3)和N (2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________． 【解析】 由题意知，直线MN 的斜率存在，∵MN ⊥l ，∴k MN ＝m －32－m ＝14，解得m ＝145.【答案】 1458．已知平行四边形ABCD 中，A (1,1)，B (－2,3)，C (0，－4)，则点D 的坐标为________．【解析】 设D (x ，y )，由题意可知，AB ∥CD 且AD ∥BC . ∴k AB ＝k CD 且k AD ＝k BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－1－2－1＝y ＋4x ， －4－30＋2＝y －1x －1，解得{ x ＝3， y ＝－6，∴D 点的坐标为(3，－6)． 【答案】 (3，－6)三、解答题9．如图所示，在▱OABC 中，O 为坐标原点，点C (1，3)． (1)求OC 所在直线的斜率．(2)过C 作CD ⊥AB 于D ，求直线CD 的斜率．【解】 (1)∵点O (0,0)，C (1,3)，∴OC 所在直线的斜率k OC ＝3－01－0＝3. (2)在▱OABC 中，AB ∥OC ，∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥OC ，∴k OC ·k CD ＝－1，k CD ＝－1k OC ＝－13.故直线CD 的斜率为－13.10．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR 的形状，并给出证明．【解】 OP 边所在直线的斜率k OP ＝t ， QR 边所在直线的斜率k QR ＝t ＋2 －21－2t － －2t＝t ，OR 边所在直线的斜率k OR ＝－1t .PQ 边所在直线的斜率k PQ ＝ 2＋t －t 1－2t －1＝－1t ，∵k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，∴OP ∥QR ，OR ∥PQ ，∴四边形OPQR 是平行四边形． 又k QR ·k OR ＝t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t ＝－1，∴QR ⊥OR .∴四边形OPQR 是矩形． 11．已知A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形(A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列)．【解】 设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图．由于直线AB 的斜率k AB ＝3，直线BC 的斜率k BC ＝0，则k AB ·k BC ＝0≠－1， 即AB 与BC 不垂直．故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边． (1)若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD .∵k BC ＝0，∴CD 的斜率不存在．从而有x ＝3.又∵直线AD 的斜率k AD ＝k BC ，∴y －3x ＝0，即y ＝3.此时AB 与CD 不平行．故所求点D 的坐标为(3,3)， (2)若AD 是直角梯形的直角边，则AD ⊥AB ，AD ⊥CD .∵k AD ＝y －3x ，直线CD 的斜率k CD ＝yx －3，又由于AD ⊥AB ，∴y －3x ·3＝－1.①又∵AB ∥CD ，∴yx －3＝3.② 由①②可得⎩⎨⎧x ＝185， y ＝95.此时AD 与BC 不平行．综上可知，使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，95.。
高中数学 3-1-2 两条直线平行与垂直的判定课件 新人教A版必修(1)
1－1 (4)l1的斜率不存在，k2＝ ＝0，画出图形，如下图所 2－1 示，
已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)， B(1,0)，C(3,2)，则第四个顶点D的坐标为________．
[答案]
(2,3)
[分析]
由长方形的性质知AD⊥CD，AD∥BC，则有
kAD·CD＝－1，kAD＝kBC，解方程组即可． k
[解析]
设第四个顶点D的坐标为(x，y)，
∵AD⊥CD，AD∥BC， ∴kAD·CD＝－1，且kAD＝kBC. k y－1 y－2 · ＝－1 x－0 x－3 ∴ y－1 2－0 x－0＝3－1
作圆与x轴有交点C，求交点C的坐标．
[分析]
本题中有三个点A、B、C，由于AB为直径，C为
圆上的点，所以∠ACB＝90° ，因此，若斜率存在，则必有 kAC·BC＝－1.列出方程求解即可． k
[解析]
以线段AB为直径的圆与x轴交点为C，则AC⊥CB.
据题设条件可知AC，BC的斜率均存在．设C(x,0)，则kAC＝ －3 －2 ，k ＝ . x＋1 BC x－4 －3 －2 ∴ · ＝－1.去分母解得x＝1或2. x＋1 x－4 ∴C(1,0)或C(2,0)．
第三章
直线与方程
第三章
3．1 直线的倾斜角与斜率
第三章
3．1.2 两条直线平行与垂直的判定
课前自主预习 课堂基础巩固 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
课前自主预习
温故知新 1．直线的倾斜角与斜率． 当直线倾斜角α≠90° 时，斜率k＝ tanα .当直线倾斜角α＝90° 时，斜率k 不存在 ． 直线倾斜角的范围是 0° ≤α<180°，直线斜率的取值范围是
湖南省蓝山二中高中数学3.1.2 两条直线的平行与垂直的判定教案 新人教a版必修2
湖南省蓝山二中高一数学《3.1.2 两条直线的平行与垂直的判定》教案新人教A版必修2一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学2》（人教版）第三章直线方程第一节的第二课时。
两条直线的平行与垂直的判定是高中数学重要内容之一，有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面, 与直线的倾斜角与斜率密不可分；另一方面,学习两条直线的平行与垂直的判定也为进一步学习直线方程等内容做好准备。
二、学生学习情况分析本节课学生很容易在以下两个地方产生错误或困惑：1. 两条直线的平行与垂直的判定与斜率的关系,特别注意斜率不存在的情况;2. 两条直线的平行与垂直的判定的运用.三、教学目标1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2.通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．3.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．四、教学重点，难点重点：两条直线平行和垂直的条件;难点：两条直线的平行或垂直问题与两条直线的斜率关系的推导．五、教学过程(一)．复习旧知问题1:直线的倾斜角与斜率的关系是什么?问题2: 斜率的两种计算公式是什么?(二).问题情境问题3: 用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直?(三).探索研究1. 两条直线中有一条直线没有斜率,(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．2.两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直的关系首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．，可以推出: α1=90°+α1⊥L2．(四).归纳总结1.两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.2. 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即(五).应用举例例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3, 直线PQ的斜率k2= (6-3) (-2-0)=－3/2, 因为 k1·k2 = －1 所以 AB⊥PQ.例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.(六).课堂练习教材P89 练习 1. 2.(七).归纳总结1.两条直线平行或垂直的真实等价条件；2.应用条件, 判定两条直线平行或垂直.3.应用直线平行的条件, 判定三点共线.(八).课外作业：《习案》与《学案》。
高中数学3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案(新人教A版必修5)
3.1.2 两条直线的平行与垂直的判定教学目标(一)知识教学理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.(二)能力训练通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．(三)学科渗透通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．教学难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．注意按斜率存在与否分类讨论。
教学方法：引导探究，师生互动.教学用具：多媒体课件教学过程：一、复习引入：上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．二、探究新知：(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直：讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率,(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?1、首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．即k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.2、下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．，可以推出: α1=90°+α 2 1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.三、典例示范：例1已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5,直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5,因为k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3) (-2-0)=－3/2,因为k1·k2 = －1 所以AB⊥PQ.例4已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.四、课堂练习：P89 练习 1. 2.拓展1：已知A(2, 3), B(-4, 0), Ｃ(0, 2), 证明A、B、C三点共线。
人教高一数学教学设计之《3.1.2两条直线平行与垂直的判定》
人教高一数学教学设计之《3.1.2两条直线平行与垂直的判定》一. 教材分析《3.1.2两条直线平行与垂直的判定》是人教高一数学的教学内容，本节课主要让学生掌握两条直线平行的判定方法和两条直线垂直的判定方法。
通过本节课的学习，使学生能够熟练运用这些判定方法解决实际问题，为后续学习更高级的数学知识打下基础。
二. 学情分析学生在初中阶段已经学习了两条直线的基本概念，对直线有一定的了解。
但是，对于直线的平行和垂直的判定方法，他们可能还不是很清楚。
因此，在教学过程中，需要从学生的实际出发，通过生动的实例和直观的图形，引导学生理解和掌握判定方法。
三. 教学目标1.让学生掌握两条直线平行的判定方法。
2.让学生掌握两条直线垂直的判定方法。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：两条直线平行的判定方法，两条直线垂直的判定方法。
2.教学难点：如何引导学生理解和掌握判定方法，如何运用判定方法解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题，引导学生思考和探索。
2.运用多媒体技术和直观的图形，帮助学生形象地理解和记忆判定方法。
3.创设丰富的数学情境，让学生在实践中学习和应用判定方法。
4.采用小组合作学习的方式，培养学生的合作精神和团队意识。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体课件和教学素材。
2.准备练习题和测试题，用于巩固和检验学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出两条直线平行和垂直的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）运用多媒体课件，呈现两条直线平行的判定方法和两条直线垂直的判定方法，让学生直观地理解和记忆。
3.操练（10分钟）让学生通过解决实际问题，运用判定方法进行练习，加深对判定方法的理解和掌握。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生进一步巩固对两条直线平行和垂直的判定方法的掌握。
5.拓展（10分钟）引导学生思考和探索更高级的数学知识，例如两条直线的斜率和平行、垂直的关系。
高中数学人教a版必修二课件：3.1.2《两直线平行与垂直的判定》
两直线垂直的判定
1.如果两直线垂直，这两条直线
用几何画板演示两直线垂直
的倾斜角可能相等吗？
y
2.如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1
l2
l1
与α2，且α1<α2，若l1⊥l2，则α1与α2
之间有什么关系？
O
α1 α2
x
已知
前提: 两条直线斜率都存在
直线l1与l2的斜率k1、k2之间的关系是
特别地：两直线的倾斜角一条为0° ，另一条为90°，
问题引入：
平面内常见的两条直线位置关系是平行与垂直，斜
率反映了直线相对于x轴的倾斜程度，能否用斜率判
断两条直线之间的平行和垂直关系呢？
两直线平行的判定
用几何画板演示两直线平行
1.若两条直线平行,则它们的倾斜角有什么关系？
斜率有什么关系？反之成立吗？
y
l1
前提:两条直线不重合
α1
若两条直线平行，则它们的倾斜角 O
互相垂直.
结论： 或 k1, k2中一个为0, 另一个不存在.
y
l2
l1
O
x
例3.已知A(-6，0)，B(3，6)，P(0，3), Q(6，-6)，判 断直线AB与PQ的位置关系。
例4.已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三点，
试判断△ABC的形状。
y C
B
O
x
A
练习2. 已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2 经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，如果l1⊥l2，则a＝ 5或－6 .
相等，斜率相等或都不存在。
反之，两条不同直线的斜率相等，
倾斜角就相等，则它们平行。
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定高一数学教材配套教学课件(人教A版必修二)
【解题指南】(1)显然斜率存在，根据kPQ=kMN，求m 的值. (2)斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2⇔k1=k2进行 判断(注意两直线重合的情况).两直线斜率都不存在的， 可通过观察并结合图形得出结论.
【解析】(1)当m=-2时，直线PQ的斜率不存在，而直线
MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；
(2)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平 行： ①l1经过点A(2，1)，B(-3，5)，l2经过点C(3，-3)， D(8，-7)； ②l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1， 3 )，N(-2， -2 3 )；
③l1平行于y轴，l2经过点P(0，-2)，Q(0，5)； ④l1经过点E(0，1)，F(-2，-1)，l2经过点G(3，4)， H(2，3).
综上，m的值为0或1.
答案：0或1
(2)①由题意知，k1
5 1 3 2
4 5
，k
2
7 3 83
4， 5
因为k1=k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.
②由题意知，k1=tan 60°= 3，k2= 2 3 3 3，
2 1
因为k1=k2，所以l1∥l2或l1与l2重合.
③由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率
3.设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若k1=k2，则直线 l1，l2一定平行吗？ 提示：若k1=k2，则l1∥l2.
结论：两直线平行的等价条件
如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别 为k1，k2.若两条直线平行，则它们的斜率_相__等__；反 之，若两条直线的斜率相等，则它们_平__行__，即l1∥l2 ⇔_k_1=_k_2_.
4 1 3 m
高中数学2.1.3两条直线的平行和垂直1教案新人教版必修2
1、例1：（1）已知直线方程 证明： ；（2）已知两直线 证明：
证明：把 和 的方程写成斜截式： ，
。
2、P78例1：
分析：说明一组对边所在直线斜率相等，另一组对边所在直Байду номын сангаас不相等
3、例3：求经过点 且与直线 平行的直线方程。
分析：利用平行的条件与点斜式求解即可（答案： ）
思考：能否用一般式解决这个问题？
3、情感态度价值观目标：通过分类讨论、数形结合等数学思想的运用，培养学生思维的严谨性与辩证性。
教学重点斜率与两直线平行或垂直的关系
教学难点运用两条直线的斜率关系判断它们的位置关系
教学过程
一、探究活动：
1、特殊情况下的两直线平行与垂直
当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．
2.1.3两条直线的平行和垂直1
教学目标
1、知识技能目标：1、掌握用斜率判定两条直线平行的方法，理解直线平行的等价条件。
2、掌握用斜率判定两条直线垂直的方法，理解直线垂直的等价条件。
2、过程方法目标：通过对斜率与两直线平行或垂直的关系，向学生渗透判断直线平行和垂直的思想，并在此基础上培养学生的应用能力。
变：求与直线 平行，且与两坐标轴上的截距之和为 的直线 的方程。（答案： ）
4、例4：求过点A(2，1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程．
分析：利用垂直的条件和点斜式求解即可（答案 ）
变：求与直线 垂直，且与两坐标轴围成的三角形周长为10的直线方程。（答案： ）
高中数学两直线平行与垂直的判定教案新课标人教A版必修2
§两直线平行与垂直的判定教学设计一．学生分析:基于初中学生对两直线的位置关系的了解及上堂课学习的直线的倾斜角和斜率，来引进本堂新课。
虽然学生基础不太好，但学习积极性较高。
二．教材分析：1.两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用。
2. 启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题3. 对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好。
三．教学目标:1.知识教学点：掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直。
2.能力训练点：通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．3.学科渗透点：通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．四．教学重点与难点：教学重点：两条直线平行和垂直的条件和应用。
教学难点：两条直线平行和垂直条件的探究过程。
↓六.教学情境设计:1．创设情景，揭示课题上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 并推导出了斜率的坐标计算公式。
现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直？2．探究两直线平行的条件及两直线平行条件的应用.探究1: 如果不重合两条直线互相平行，它们的倾斜角有什么关系？斜率呢？如果L1// L2 (如图)，发现那么它们的倾斜角相等：即α1=α2．∴tanα1=tanα2．那么 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tanα1=tanα2由于0°≤α1＜180°， 0°≤α2＜180°，∴α1=α2．∵两直线不重合，∴L1// L2．要注意，上面的结论是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．因此加上两条直线斜率都不存在的这种特殊情况也平行，有以下结论1.假设直线L1与L2的斜率都存在，分别为k1、k2,那么L1 // L2 k1= k22.假设直线L1与L2的斜率都不存在，其倾斜角为900，那么L1// L2例1：A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论。
人教版高中数学必修2第三章直线与方程-《3.1两条直线平行与垂直的判定》教案(1)
“两条直线平行与垂直的判定”教学设计一、教材分析.本节课内容选自普通高中新课程标准实验教科书人教版数学必修2的3.1.2介绍的两条直线平行与垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别。
值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明。
新课改对必修课程最突出的要求是：“力求体现数学知识中蕴涵的基本思想方法和内在联系，体现数学知识的发生、发展过程和实际应用”.而解析几何本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现数形结合的重要数学思想.对于本节内容是在学习直线的倾斜角与斜率的基础上，重点是通过代数方法得到两条直线的平行与垂直的几何结论，正体现了用代数方法研究几何问题的思想。
本节的知识结构是 ↓二、课标的分析<<普通高中数学课程标准>>明确指出将直线的倾斜角代数化，在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线的几何要素；能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
从课标中这部分内容标准的要求，可看出：在教学中，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时应注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力。
三、教学对象的分析学生在学习本节课之前，已经在初中学过平面内两条直线平行的判定，在前面也学过了空间中直线与直线平行的判定，为本节课的学习奠定了一定的基础。
因此，学生学习本节课的困难不是很大，但是也该预见到学生的基础参差不齐，并且没有形成良好的学习习惯，不愿意动手、动脑，这也给教学带来了一定的难度。
四、教学目标的设计1．知识与技能：掌握斜率存在的两条直线平行或垂直的充要条件；能用解析法解决平面几何问题。
2．过程与方法：在初中平面几何的直线平行或垂直关系的基础上，本节将从新的角度来研究平面内两条直线的平行或垂直关系，理解数形结合的数学思想。
高中数学(3.1.2两条直线平行与垂直的判定)示范教案新人教A版必修2
两条直线平行与垂直的判断整体设计教课剖析直线的平行和垂直是两条直线的重要地点关系，它们的判断，又都是由相应的斜率之间的关系来确立的，而且研究议论的手段和方法也相近似，所以，在教课时采纳对照方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与差别. 值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，简单获得两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.三维目标1. 掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线能否平行. 掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线能否垂直. 培育和提高学生联系、对应、转变等辩证思想能力.2.经过教课，倡导学生用旧知识解决新问题，注意分析几何思想方法的浸透，同时注意思虑要严实，表述要规范，培育学生研究、归纳能力.要点难点教课要点 : 掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线能否平行、垂直.教课难点 : 是斜率不存在时两直线垂直状况的议论（公式合用的前提条件）.课时安排1 课时教课过程导入新课思路 1. 设问（ 1) 平面内不重合的两条直线的地点关系有哪几种？(2) 两条直线的倾斜角相等，这两条直线能否平行？反过来能否建立？(3) “α =β”是“ tan α =tan β”的什么条件？依据倾斜角和斜率的关系, 可否利用斜率来判断两条直线平行呢?思路 2. 上节课我们学习的是什么知识？想想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢 ?你以为可否用斜率来判断. 这节课我们就来特意来研究这个问题.推动新课新知研究提出问题①平面内不重合的两条直线的地点关系有几种？②两条直线的倾斜角相等，这两条直线能否平行？反过来能否建立？③“α =β”是“ tan α =tan β”的什么条件？④两条直线的斜率相等，这两条直线能否平行？反过来能否建立？⑤l1∥ l 2时， k1与 k2知足什么关系？⑥l 1⊥ l 2时， k1与 k2知足什么关系？活动 : ①教师指引得出平面内不重合的两条直线的地点关系有平行和订交，此中垂直是订交的特例 .②数形联合简单得出结论.③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率, 即 tan90 °不存在 .④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率.⑤必需性：假如 l 1∥ l 2，如图 1 所示，它们的倾斜角相等, 即α1=α2，tan α1=tan α2, 即 k1=k2.图 1充足性：假如 k =k , 即 tan α =tan α ,1212∵0°≤α＜180°， 0°≤α ＜ 180°，∴α =α . 于是 l ∥l .121 212⑥学生议论，采纳类比方法得出两条直线垂直的充要条件 .议论结果： ①平面内不重合的两条直线的地点关系有平行和订交，此中垂直是订交的特例.②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来建立 .③“α =β”是“ tan α =tan β”的充要条件 .④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来建立.⑤l ∥ l 2k =k .112⑥l 1⊥ l 2k 1k 2=-1.应用示例例 1 已知 A （ 2，3），B （－ 4， 0）， P （－ 3，１）， Q （－ 1，2），判断直线 BA 与 P Ｑ的地点关系，并证明你的结论 .解: 直线 BA 的斜率 k =3 0=0.5,BA( 4)2 2 1=0.5,直线 PQ 的斜率 k =PQ( 3)1由于 k BA =k PQ . 所以直线 BA ∥ PQ. 变式训练若 A(-2,3),B(3,-2),C(1,m) 三点共线，则m 的值为 ( )A.1B.-2 1C.-2D.22剖析： k AB =k BC ,2 32m2,m= 1 .3 21 3 22答案： A例 2 已知四边形 ABCD 的四个极点分别为 A （0，0），B （ 2，-1 ），C(4,2),D(2,3), 试判断四边形 ABCD 的形状，并给出证明 .12CD 边所在直线的斜率 k CD =- 1, 2 3 BC 边所在直线的斜率 k BC =,2 DA 边所在直线的斜率 k DA = 3.2由于 k AB =k CD ,k BC =k DA , 所以 AB ∥ CD,BC ∥DA.所以四边形 ABCD 是平行四边形 .变式训练直线 l ：ax+3y+1=0，l ：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率挨次分别为α1，α ，k ，1221k 2.（ 1） a=_____________时，α 1=150°； （ 2） a=_____________时， l 2⊥x 轴； （ 3） a=_____________时， l 1∥l 2； （ 4） a=_____________时， l 1、l 2 重合；（ 5） a=_____________时， l 1⊥l 2.答案：（1） 3（2）2 （3） 3 （4）-1（ 5）1.5知能训练 习题 3.1 A 组 6、7.拓展提高问题：已知 P （－ 3，2）， Q （ 3， 4）及直线 ax+y+3=0. 若此直线分别与PQ 的延伸线、 QP 的 延伸线订交，试分别求出a 的取值范围 . （图 2）图 2解：直线 l ：ax+y+3=0 是过定点 A （0，-3 ）的直线系，斜率为参变数 -a ，易知 PQ 、AQ 、AP 、l 的斜率分别为： k PQ = 1 ， k AQ = 7， k AP =5 1 333 ， k =-a.若 l 与 PQ 延伸线订交，由图, 可知 k PQ ＜ k 1＜k AQ ，解得 - 7＜ a ＜- 1；7 3 5 3若 l 与 PQ 订交，则 k ＞k 或 k ＜ k ，解得 a ＜ -或 a ＞ ；1AQ1AP33若 l 与 QP 的延伸线订交，则k PQ ＞ k 1＞ k AP ，解得 -1＜ a ＜ 5.33讲堂小结经过本节学习，要求大家：1. 掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线能否平行 .2. 掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线能否垂直 .3. 注意分析几何思想方法的浸透，同时注意思虑要严实， 表述要规范， 培育学生研究、 归纳能力 .4. 认识事物之间的互相联系，用联系的看法看问题.作业 习题 3.1 A组 4、5.设计感想以及数形联合能力. 经过对两直线平行与垂直的地点关系的研究，培育了学生的成功意识，合作沟通的学习方式, 激发学生的学习兴趣. 组织学生充足议论、研究、沟通，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判断依照，教师要实时指引、实时鼓舞.。
高中数学人教A版必修2导学案：3.1.2两条直线平行和垂直的判定(学生版)
科目：数学课 堂 教 学 导 学 案 课题：两条直线平行与垂直的判定高一年级 部主备人：朱志强 时间：20 年 月 日 任课教师：________【学习目标】1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件；（重点）2.会运用条件判断两直线是否平行或垂直.（难点）【复习回顾】1、取x 轴作为基准，x 轴_____与直线 l_____之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角 ．2、一条直线的倾斜角α的_______叫做这条直线的斜率. 即：k=________3、直线的倾斜角和斜率刻画的是直线的________________【引入新课】1.平面内两条直线有哪些位置关系？2.能否通过斜率来判断两条直线的位置关系？【课堂探究】12121212,,l l k l l k k k 思考1 设两条直线的斜率分别为，∥时，与满足什么关系？1212,l l l l 设两条直线的斜率都思考2 不存在，两直线与有 何位置关系？两条直线平行的判定，的斜率分别为与设两条直线2121,k k l l 12//l l ⇔ 特别地，两直线斜率不存在时，倾斜角都为 时，它们互相平行或重合.例1 已知A(2，3)，B(-4，0)，P(-3，1)，Q(-1，2)，试判断直线BA 与PQ 的位置关系，并证明你的结论.例2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.变式训练1、(市学案P141 T6)经过点P(-2,-1),Q(3,a)的直线与一倾斜角是45°的直线平行，则a=______2、试确定m 的值，使过点A(m,1),B(-1,m)的直线与过点P （1,2），Q （-5,0）的直线平行12121212,,,l l k k l l k k ⊥ 设两条直线的斜率分别为时，与满足什思考3么关系？112120,,l k l l l =⊥设两条直线的斜率的斜率不存在吗？思考4两条直线垂直的判定1212,l l k k 设两条直线与的斜率分别为， 12l l ⊥⇔特别地，一条直线的倾斜角为 ，另一条直线的倾斜角为 ，两直线互相垂直.例3 已知A （-6，0），B （3，6），P （0，3），Q （6，-6），试判断直线AB 与PQ 的位置关系。
人教A版高中数学必修二《两条直线平行与垂直的判定》教学设计
两条直线平行与垂直的判定的教学设计一、教学设计理念新课标把“以学生发展为本”作为基本理念：倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习数学的方式；让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识和数学应用意识；体会数学的文化价值、应用价值。
数学智慧树教学理念阐述了“一二三学数学”的教学原理，即：一指教学目标围绕一个中心：以发展学生智慧为中心，而不是传统的课堂老师“唱戏”，学生“听戏”的局面，而是尊重学生，以学生为主体，围绕“以发展学生智慧为中心”这一中心点来展开智慧教学活动；二指教学坚持两项基本原则：全脑学习原则和数学活动原则；三指促进智慧成长的三大教学策略系统：情意策略系统、会学策略系统和创造策略系统。
因此，在课堂教学中，教师应做到“以人为本”，创造性地开发数学资源，为学生提供丰富多彩的教学环境，激发学生的学习兴趣，学生积极参与课堂教学的每个环节，丰富学生的学习方式，引导学生自己积极思考问题、解决问题，自己探索得出数学结论，让学生不但学到了基本的知识和技能，而且还应经历教学活动知识的探究、产生、验证、应用过程，从中学到数学方法以及培养学生的良好学习习惯并从中得到丰富的情感和体悟，感受到数学的美和生活中数学的重要性，并爱上学数学。
二、学情分析（一）学习的逻辑起点学生在第一节的教学中学习了直线的倾斜角和斜率，奠定了一定的知识、技能和心理基础。
并且学生在初中已经学习过一些一次函数的知识，在教学中引导学生多联系已有的知识来创设问题情境，这样才能更好的降低学习的难度。
（二）学习的经验起点学生在学习了直线的倾斜角和斜率的概念之下，由这些熟悉的知识点出发，引导学生猜想与类比两条直线平行与垂直的斜率关系。
三、教材分析（一）教材的地位与作用本节课是《全日制普通高级中学教科书（必修）·数学》（人民教育出版社中学数学室编著）第二册（上）第三章第二节《两条直线平行与垂直的判定》第一课时。
通过本章知识的学习可以让学生重新认识平面几何的知识，又可以为选修里面的圆锥曲线理论知识的学习打下重要的基础，起到承上启下的作用。
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备课人授课时间
课题§3.1.2两条直线的平行与垂直
教学目标
知识与技能
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两
直线是否平行或垂直.
过程与方法启发引导，合作讨论，探究归纳
情感态度价值观
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识
解决新问题的能力, 以及数形结合能力．培养学生的成功意
识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．
重点两条直线平行和垂直的条件
难点把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．教教学内容教学环节与活动设计
学设计一、创设情景，揭开课题
上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的
概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对
于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式.
现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条
直线的平行或垂直．
二、探究两条直线平行与垂直
(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直
讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条
直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它
们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线
的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线
互相垂直．
(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂
直
设直线
1
l和
2
l的斜率分别为
1
k和
2
k.
l l k k
l l l l
αα
=αα
=
tg tg
αα
∴=k k
=
教学内容教学环节与活动设计
教 学 设 计
即12k k =，则12tg tg αα=．由于10180α︒︒≤<，
20180α︒︒
≤< ，12αα∴=．
又∵两条直线不重合，1l ∴∥2l ．
结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即1l ∥212l k k ⇔=.
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果
12k k =, 那么一定有1l ∥2l ; 反之则不一定.
用斜率证明三点共线时，就需要用到这个结论. 例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA 与PQ 的位置关系, 并证明你的结论. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA ∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)
解: 直线BA 的斜率1301
2(4)2
k -=
=--,
直线PQ 的斜率2211
1(3)2
k -=
=---,
0.5
k k ==
教学内容
教学环节与活动设计
教学设计
若
12
l l
⊥，这时
12
αα
≠，否则两直线平行．
设
12
αα
>(图1-30)，甲图的特征是
1
l与
2
l的交点
在x轴上方；乙图的特征是
1
l与
2
l的交点在x轴下方；
丙图的特征是
1
l与
2
l的交点在x
轴上，无论哪种情况下都有
12
90
αα
︒
=+．
因为
1
l、
2
l的斜率分别是
1
k、
2
k，即
1
90
α︒
≠，所以2
α︒
≠．由
12
2
1
(90)
tg tg
tg
αα
α
︒
=+=-，得
1
2
1
k
k
=-
或
12
1
k k=-．
反过来，若
12
1
k k=-．不妨设
12
0,0
k k
<>，
则
12
2
1
(90)
tg tg
tg
αα
α
︒
=+=-，可以推出：12
90
αα
︒
=+．即
12
l l
⊥．
结论: 两条直线都有斜率
．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为
负倒数，那么它们互相垂直，即
1212
1
l l k k
⊥⇔=-．
注意: 结论成立的条件. 即如果
12
1
k k=-, 那么一定l l
⊥
教教学内容教学环节与活动设计
学设计
例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.
分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形
ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加
以验证.(图略)
课堂练习
P89 练习 1. 2.
教
学小结(1)两条直线平行或垂直的等价条件；
(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.
(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.
课后反。