09-10高数A2期末卷及答案
高数二期末考试题及答案
高数二期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是？A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \)B. \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \)C. \( y = C_1 x + C_2 \)D. \( y = C_1 \ln(x) + C_2 \)答案：B4. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是多少？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是？A. 3B. 1C. 0D. \( \frac{1}{3} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) 的最小值是 ________。
答案：22. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是 ________。
答案：\( e^x \)3. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 ________。
答案：\( (0, +\infty) \)4. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图像关于 ________ 对称。
答案：原点三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
高等数学A(二)(答案及得分详解)
高等数学A （二）带答案一、单项选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 B B A A D B C C BA 得分1、设三个向量,,a b c 满足关系式0a b c ++= ，则a b ⨯= （ ）。
(A) c b ⨯ (B) b c ⨯ (C) a c ⨯ (D) b a ⨯2、函数()22,y x y x f +=在点)2,1(处沿向量→l =（ ）的方向导数最大。
(A) )2,1( (B) )4,2( (C) )4,4( (D) )2,2(3、函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数都存在且连续是()y x f ,在该点处可微的（ ）条件。
(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D) 既不充分也不必要4、空间曲线3,1,1t z tt y t t x =+=+=在对应于1=t 的点处的切线方程是（ ）。
(A) 12142121-=--=-z y x (B) 121411-=--=z y x (C) 02184=-+-z y x (D) 0284=++-z y x 5、取}01),({22>≤+=x y x y x D ，，则下面二重积分中其值为0的是 （ ）。
(A) ()σd y x D ⎰⎰+22 (B) ()σd xy x D⎰⎰+23(C) ()σd y x D ⎰⎰+33 (D) σd y x D ⎰⎰sin cos6、()=+⎰ds y x L22（ ），其中L 为圆周222=+y x 。
(A) π2- (B) π24 (C) 238π (D) 17、设曲面∑为上半球面2222x y z R ++=0)z ≥（，曲面1∑是曲面∑第一卦限的部分，则下面等式成立的是（ ）。
(A) 14xdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(B)14ydS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (C) 14zdS xdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰(D) 14xyzdS xyzdS ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 8、下列级数中，绝对收敛的是（ ）。
0910高等数学A（二）答案
0910高等数学A（二）答案第一篇：0910高等数学A(二)答案济南大学2009~2010学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学A（二）任课教师：张苏梅等一、填空题（每小题3分，共18分）1.yzez-xy；2.y=2x3-x2；3.2xdx+2ydy；π∞(-1)n(2x)2n4.0；5.2；6..12(1-n∑=0(2n)!)，(-∞,+∞)二、选择题（每小题3分，共18分）C；D；C；B；A；B.三、计算题（每小题8分，共32分）1.解：∂z∂x=1ycosxy；.....4分∂2z1xxx∂x∂y=-y2cosy+y3siny.....8分2.解：⎰⎰xydσ=⎰2dx⎰xxydy.....4分D0=12⎰20x3dx=2.....8分 3.解：dS=+x2x2+y+y2x2+ydxdy=2dxdy.....2分⎰⎰zdS=⎰⎰x2+y22dxdy.....5分∑Dxy=⎰2πdθ⎰2r2dr=π.....8分 4.解：⎰⎰(x2+y2+z2)dxdy=dxdy=πa4...........8分∑D⎰⎰axy四、应用题（每小题8分，共16分）1.解：由椭球的对称性，不妨设(x,y,z)是该椭球面上位于第Ⅰ卦限的任一点，内接长方体的相邻边长为2x,2y,2z(x,y,z>0)，其体积为：V=8xyz构造拉格朗日函数F(x,y,z,λ)=8xyz-λ（x2y2a+b+z2c-1)......4分∂F∂x=8yz-λ2xa2=0令∂F2y∂y=8xz-λb2=0........6分∂F∂z=8xy-λ2zc2=0求得（x，y，z）=⎛a,b,c⎫⎪,V=8xyz=8abc......8分⎝33⎪⎭332.解：Iz=⎰⎰⎰(x2+y2)dv.........3分Ω=⎰2π2430dθ⎰0dr⎰r2rdz.........6分=2π⎰2r3(4-r2)dr=03π.........8分五、（8分）解：因为limana=limn=1，所以收敛半径为1.n→∞n+1n→∞n+1又x=±1时，级数均发散，故级数的收敛域为（-1，1）.....3分n=1∑nx∞n=x∑nxn=1∞n-1=x(∑xn)'......6分 n=1∞xx=x()'=,x∈(-1,1).........8分 21-x(1-x)六、（8分）解：① 设u=x2+y2，则∂zx=f'(u);∂xu∂2zx21x2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)........2分 2uu∂xuy21y2同理，2=()f''(u)+f'(u)-3f'(u)uu∂yu由∂2z∂2z∂x2+∂2z∂y2=0⇒f''(u)+1f'(u)=0.....4分 u② 设f'(u)=p,f''(u)=dp，du则原方程化为：dp1dpdu+p=0⇒=-duupu积分得：p=CC，即f'(u)=,........6分 uu由f'(1)=1,得C=1.于是f(u)=ln|u|+C1代入f(1)=0得：C1=0.函数f(u)的表达式为：f(u)=ln|u|.......8分第二篇：1112高等数学B(二)答案济南大学2011~2012学年第二学期课程考试试卷评分标准（含参考答案）A卷课程名称：高等数学B（二）任课教师：一、填空题（每小题2分，共10分）1、2dx+dy，2、-5，3、1，4、⎰10dy⎰1yf(x,y)dx5、1二、选择题（每小题2分，共10分）1、A2、B3、C4、C5、D三、计算题（每小题8分，共40分）1、解：令F=x2+y2+z2-2z，则Fx=2x,Fz=2z-2.....2分∴∂zFx∂x=-xF=z.....4分z1-∂2z∂x(1-z)2+x2∴∂x2=∂x(1-z)=(1-z)3.....8分2、解：⎰⎰(x+6y)dxdy=⎰1dx5x76D0⎰x(x+6y)dy=3.....8分π3、解：⎰⎰+x2+y2dxdy=D⎰2dθ⎰1+r2rdr=π(22-1).....8分4、解：ux(2,1,3)=4,uy(2,1,3)=5,uz(2,1,3)=3 方向lϖ=(3,4,12)cosα=313,cosβ=413,cosγ=12 .....6分∂z∂l=uu68xcosα+ycosβ+uzcosγ=13.....8分5、解：收敛域为(0,2).....2分∞∞令S(x)=∑(n+1)(x-1)n=(1)n+1)'.....6分n=0∑(x-n=0S(x)=（x-12-x)'=1(2-x)2x∈(0,2).....8分四、解答题（每小11分，共33分）ϖ1、解：交线的方向向量为nϖiϖjkϖ=1-4=(-4,-3,-1).....8分2-1-5所求直线方程为x+3y-2z-54=3=1.....11分2、解：令f(x)=xx-1,则f'(x)=-1-x2x(x-1)<0x>1 所以un单调递减且limn→∞un=0∞所以级数∑(-1)nnn=2n-1.....6分n∞由于limn→∞=1,且∑1发散n=2nn∑∞(-1)n所以级数n.....11分n=2n-13、解：旋转曲面方程为z=x2+y2.....3分投影区域D：x2+y2≤1.....5分V=⎰⎰(1-x2-y2)dxdy=⎰2πdθ⎰1π(1-r)rdr=D.....11分五、证明题（每小题7分，共7分）ff(x,0)-f(0,0)x(0,0)=lim证：x→0x=0f(0,0)=limf(x,0)-f(0,0)xx→0x=0所以函数f(x,y)在(0,0)处可导.....3分lim∆z-fx(0,0)∆x-fy(0,0)∆yρ→0ρ=limf(∆x,∆y)∆x∆yρ→0∆x2+∆y2=limρ→0∆x2+∆y2取∆y=k∆x,得极限为k1+k,说明极限不存在所以函数f(x,y),在(0,0)点不可微.....7分第三篇：专升本高等数学(二)成人高考（专升本）高等数学二第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。
10高数A2试题
解：设平面： ，方向为上，…………………………2分
对于封闭曲面 ，由于
利用高斯公式
…………………………………………6分
从而 ……………………8分
………………………………………………10分
六、[8分]求级数 的和。
解：考虑级数 。设 ，则 ，从而 ， ，由于当 时，
级数发散；当 时， ，级数发散；从而，级数 的收敛域为 。………………………………4分
对于 ，令 ，考虑
，设 ，从而
，故 ，……………6分
从而
故 ， ，…………………………8分
注意：本题方法不唯一，可以不利用幂级数的方法求本题。可以按照总复习十二的第2题的方法来求解本题，请酌情评阅。
显然， ，
由莱布尼兹定理，级数 收敛。………………………………5分
考虑绝对收敛性： ，由于 ，而级数 是发散的，利用正项级数比较原理，得出级数 发散，
从而 是条件收敛的。……………………………………8分
3. [8分]求表面积为 而体积最大的长方体的体积。
解：拉格朗日乘数法：设长方体的三棱长分别为 ，则问题就是在条件
10高数A2试题
A. B.
C． D.
3．极限 ( )．
A B不存在C6D
4．改变积分次序后 =（）。
A Bபைடு நூலகம்
C D
5.若 ， ,则 =( )
A B
C D
三、计算题（每小题8分，共32分）
1.[8分]计算二重积分 ，其中 。
2．[8分]判定级数 是否收敛，如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
3.[8分]求表面积为 而体积最大的长方体的体积。
2009-2010(2)期末考试试卷(A)(高等数学)
9. 计算 zdS ，其中∑是上半球面 z 4 x 2 y 2 介于 z 1, z 2 之间的部分
10. 计算 xzdydz yzdzdx 2zdxdy ，其中∑是 x y z 1与三个坐标面围成区域的整个边界面 的外侧。
11. 已知连续函数 fΒιβλιοθήκη (x) 满足 f (x) e x
ds
=____________.
4．设 D: x2+y2≤1, 则 (4 1 x 2 y 2 )dxdy __________.
D
5. 若 y 1, y x, y x 2 为某个二阶线性非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为 。
二、解答下列各题(1-6 小题每个 6 分，7-13 每题 7 分,总计 85 分)
武汉工业学院 2009 –2010 学年第 2 学期 期末考试试卷(A 卷)
课程名称 高等数学 2
学号：
注：1、考生必须在答题纸的指定位置答题，主观题要有必要的步骤。
2、考生必须在答题纸的密封线内填写姓名、班级、学号。
姓名：
班级：
3、考试结束后只交答题纸。
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------一、填空题(每小题 2 分, 共 10 分)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
南华大学高数a2期末试题及答案
南华大学高数a2期末试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）A. 0B. 1C. 4D. -42. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)（）A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^2+33. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线方程是（）A. y=3x-2B. y=3xC. y=x-2D. y=x4. 已知数列{a_n}满足a_1=1，a_n=3a_{n-1}(n≥2)，则a_5的值为（）A. 243B. 81C. 27D. 95. 计算定积分∫(0,1)x^2dx的值是（）A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 16. 设函数f(x)=x^2-6x+8，求f(2)的值（）A. 0B. 4C. 8D. 107. 已知函数f(x)=x^3+3x^2-9x+1，求f'(x)（）A. 3x^2+6x-9B. x^2+3x-9C. 3x^2+6x+9D. x^2+3x+98. 曲线y=x^3-6x^2+11x-6在点(1,4)处的切线斜率是（）A. -2B. 0C. 2D. 49. 已知数列{a_n}满足a_1=2，a_n=2a_{n-1}(n≥2)，则a_4的值为（）A. 16B. 32C. 64D. 12810. 计算定积分∫(-1,1)(x^2-1)dx的值是（）A. 0B. 2C. -2D. 4二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x^2+4的极值点是______。
2. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f''(x)=______。
3. 曲线y=x^3-6x^2+11x-6在点(2,0)处的切线方程是y=______。
4. 已知数列{a_n}满足a_1=3，a_n=2a_{n-1}+1(n≥2)，则a_3的值为______。
5. 计算定积分∫(0,2)(x^2-2x+1)dx的值是______。
高数期末试题
2 1
f ( x)dx 1 , 证明在(0,3)内存在
, 使 f ( ) f ( ) 0.
九 . (8 分) 设 f ( x) 有连续导数 , 且 lim
x 0
f ( x) f ( x) 2, ex 1
f (0) 0, 证明 x 0 是 f ( x) 的
x 0
____________ .
2.
I1
ln 2 x dx 与 I 2 x
dx 中 收 敛 的 为 _____________, 其 值 等 于 x ln 3 x
___________. 3.
1
1
3 1 x 2 dx _____________,
1
1
x 1 x 2 dx _____________ .
2x 1 x2
( x 1) 是否恒为常数.
y 1 dy d 2 y 2 2 六. (9 分) 设 arctan ln( x y ) 确定函数 y y ( x) , 求 , 2 . x 2 dx dx
信息与电子二学部学生会学习部整理
七. (10 分) 求下列反常积分. (1)
1
二. (9 分) 求极限 lim(cos x x sin x) .
x2 x 0
三. (9 分) 求不定积分 ( x arctan x
1 x e )dx . x2
1
四. (9 分) 求 f ( x) 3 ( x 2 2 x) 2 在区间 [1,3] 上的最大值和最小值.
五. (8 分) 判断 f ( x) arctan x arcsin
0
x
是 f ( x) 的极值点, 并判断 f (0) 是极大值还是极小值.
高等数学A(二)2009-2010(A)解答
《 高等数学A （二）》（A 卷）(答案)一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、(C)2、(A).3、( A )4、 D5、（A ）二、填空题(本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32,31,31 2、dy dx 2- 3、π4、25、062=-+y x三、解答下列各题(本大题共7小题，总计60分)1、(本小题8分)22222222])1()1[()1(2)1()1(1)1()1(1-+----+-=-+--=y x x y x u y x x u ••••xx x 解： 4分 22)1()1(1-+--=y x y u y 222222])1()1[()1(2)1()1(1-+----+-=y x y y x u yy7分u u xx yy +=0。
（8分） 2、(本小题8分)解：由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=06306322y y z x x z yx ，得驻点)2,2(),0,2(),2,0(),0,0( 3分 2xyyy xx z z z D -=)1)(1(36--=y x 5分 06)2,2(,036)2,2(036)2,0(,036)0,2(,06,036)0,0(>=>=<-=<-=<-=>=xx xx z D D D z D点)0,2(),2,0(非极值点；函数z 在点(,)00处取极大值z (,)000=； 7分在点)2,2(处取极小值8)2,2(-=z 。
44= 8分3、(本小题12分)（1）解：,)12(12-+=n n n n u原级数收敛∴<=+==-∞→∞→,141)12(lim 12lim n n n n n n n n u ρ 。
……6分 或nn n u ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-41221012，所以原级数收敛。
09-10高等数学期末试题参考答案(A)
东海科技学院 2009 - 2010学年第 二 学期 《高等数学》课程期末考试卷A 参考答案一、选择题（每小题3分，共计15分）1．二阶齐次线性微分方程06=-'-''y y y 的通解为（ B ） A ．x x e C e C y 3221--+= B ．x x e C e C y 3221+=- C ．x x e C e C y 3221-+= D ．x x e C e C y 3221+=2．过点()10,3-，且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程是（ A ） A ．04573=-+-z y x B ．01573=-+-z y x C ．0423=-+-z y x D ．0123=-+-z y x 3．关于二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在),(00y x 处连续；②),(y x f 在),(00y x 处两偏导数连续； ③),(y x f 在),(00y x 处可微；④),(y x f 在),(00y x 处两偏导数存在. 则下面关系正确的是（ A ）A ．②⇒③⇒①B ．③⇒②⇒①C ．③⇒④⇒①D ．③⇒①⇒④ 4. 平面环形区域D 的边界曲线L 中，为正向边界的是（ C ）A B C D5．下列级数中，收敛的是（ D ） A ．∑∞=11i nB ．∑∞=1321i n C ．∑∞=11i n D ．∑∞=-11)1(i n n二、填空题：（每小题3分，共计15分）1. 一阶微分方程02=-'xy y 的通解为=y ．（答案：2x Ce y =）学院专业班级姓名学2.=+→xy yx y x 2lim)2,1(),( ．（答案：2）3. 222y x z +=表示空间曲面 ．（答案：抛物面）4．⎰⎰=1010xydy dx ．（答案：41）5. 若L 表示抛物线2x y =上点)0,0(与点)1,1(的一段弧，则第一类曲线积分⎰Lds y = ．（答案：)155(121-）三、计算题：（每小题6分，共计48分） 1．设2221y x z +=，求全微分dz . 解：x xz=∂∂ ……………………………………………………………….2分 y yz2=∂∂……………………………………………………………….2分 y d y x d x dz 2+=………………………………………………………2分 2．设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，求b a ⋅和b a ⨯．解：51)2(10)3(1-=⨯-+⨯+-⨯=⋅b a …………………………….3分}1,5,2{52113201=++=--=⨯k j i k j ib a ………………………..3分3．求过点()132,，-且平行于直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的直线方程.解：直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的方向向量为k j i kj i 135251132++=-- …………………………………….4分 所求直线方程为1315312-=-=+z y x ……………………………….2分 4．设z xy x z y x f +-=23),,(，求),,(z y x f 在)0,1,1(0P 的梯度f ∇及f ∇.解：k j i k f j f i f f z y x +-=++=∇22 ………………………………….4分31)2(222=+-+=∇f …………………………………………….2分5．计算二重积分σd xy ⎰⎰D，其中D 是由直线1=y 、2=x 和x y =所围闭区域.解：把D 看成X 型区域{}x y x y x ≤≤≤≤1,21),(………..……………2分89)(21213211D=-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x xydy dx d xy xσ………………………….4分 6．计算三重积分dV x e y )2sin (2⎰⎰⎰Ω+，其中Ω：10,10,11≤≤≤≤≤≤-z y x .解：注意到积分区域Ω关于YOZ 面对称，x e y sin 2为x 的奇函数…….2分4112212sin )2sin (22=⨯⨯⨯=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩdV dV x e dV x ey y …...4分7．L 为封闭正向圆周曲线122=+y x ，求⎰-Lydx x dy xy 22.解：y x P 2-=，2xy Q =………………………………………………….2分由格林公式⎰-Lydx x dy xy 22σσd y x d y Px Q DD⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂=)()(22 ⎰⎰=⋅=ππρρρθ20122d d …..………………4分8．判断级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+的敛散性. 解：注意到πn n n n cos 2)12(12∑∞=+≤∑∞=+122)12(n nn …………………………….2分 而级数∑∞=+122)12(n nn 利用比值审敛法，得 121lim1<=+∞→nn n u u ………………………....2分则由比较审敛法，级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+收敛.…………………....2分四、解答题（每小题8分，共计16分）1. 求二阶非齐次线性微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解.解：注意到右端项为x m e x P x f λ)()(=型（其中2,1)(-==λx P m ）…….2分 且原方程对应的齐次方程的特征方程为0442=++r r ,特征根2-=λ为二重根.......................................................................................2分 设原方程的一个特解为x e ax y 22*-=代入原方程解出21=a ………………....2分 则原方程通解为()xx e x e x C C y 2222121--++=....................................................2分 2．设)(x f 的周期为π2，且在],[ππ-上2)(x x f =，试将)(x f 展开成傅里叶级数. 解：依题)(x f 在],[∞-∞上连续，且满足狄利克雷收敛定理条件，则0=n b ),2,1( =n ,…………………………………………....2分3222020πππ==⎰dx x a ,…………………………………….……2分⎰⎰⎰===ππππππ02020sin 2cos 2cos )(2nx d x n dx nx x dx nx x f a n⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πππππ02002c o s 4s i n 2s i n 2nx xd n dx nx x nx x n 2002)1(4cos cos 4n nxdx nx x n n -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰πππ ),2,1( =n ……2分由收敛性定理可知，∑∞=-+=1222c o s )1(43n n n nx x π …………….……………….……2分 五、应用题（本题6分）某养殖场饲养两种鱼。
安徽大学高数A(二)期末试卷答案
安徽大学 2009—2010 学年第二学期 《高等数学 A（二）、B（二）》考试试卷（A 卷）
（闭卷 时间 120 分钟）
题号 一
二
三
四
五
总分
得分
阅卷人
学号
姓名
专业
一、填空题（本大题共五小题，每小题 2 分，共 10 分）
1．点 (2,1,1) 到平面 x + y − z +1 = 0 的距离为
.
2．极限
f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处取极小值的充分条件的是
（）
A.
fxx (x0 ,
y0 )
>
0,
fxx (x0 ,
y0 )
f yy (x0 ,
y0 ) −
f
2 xy
(
x0
,
y0fxx (x0 ,
y0 )
>
0,
fxx (x0 ,
y0 )
f yy (x0 ,
y0 ) −
f
2 xy
18．将 f (x) = 1 展开为 (x + 2) 的幂级数，并求该幂级数的收敛域. 1+ 2x
四、应用题（本大题共 8 分）
19. 在椭圆 x2 + 4 y2 = 4 上求一点，使该点到直线 2x + 3y −12 = 0 的距离最短.
《高等数学 A（二) 、B（二）》（A 卷） 第 5 页 共 6 页
_________.
2. 设 f (x, y) = x y ，则 lim f (x, y) =_____________ .
xy +1−1
(x, y)→(0,0)
∫ ∫ 3. 累次积分
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案
2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至2010 学年度第2 期高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象：2009 级理科各专业(本科)命题人：考试用时120 分钟答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分）1．已知(2,1,),(1,2,4)a m b==，则当m=时，向量a b⊥．2．(,)(2,0)sin()lim x yxy y→=．3．设区域D为22yx+≤x2，则二重积分D dσ=⎰⎰．4．函数(,),(,)P x y Q x y在包含L的单连通区域G内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-，(2,1,4)(4,2,1)n=- ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。
高数A2期末试卷及答案
浙江理工大学2011—2012学年第2学期 《高等数学A2》期末试卷（A ）卷（本试卷共四页）一、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分） 1. 函数()()224,y x y x y x f ---=的极值为（ ）A .极大值为8B ．极小值为0C .极小值为8D .极大值为02.二元函数(,)f x y 在点00(,)P x y 处 ①连续；②两个偏导数连续；③可微；④两个偏导数都存在，那么下面关系正确的是（ ）A ．③①④ B. ③②① C. ③④① D. ②③①3. 曲线222x y z z x y-+=⎧⎨=+⎩在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 4. 设⎰⎰σ=+Dy x d e I 22, 4:22≤+y x D , 则=I （ ）A.)1(24-πe B. )1(24-πe C. )1(4-πe D. 4e π 5. 设∑是球面2222x y z R ++=，则222dSx y z ∑++⎰⎰＝（ ） A. 24R π B. 4π C. 2R π D. π6. 若1(1)nn n a x ∞=-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）．A. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 敛散性不能确定 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1. 曲面xy z =上点M 处的法线垂直于平面52=--z y x ，则M 的坐标是 ;2. 设22z xy u -=，则u 在)1,1,2(-处的方向导数的最大值为 ;3. 交换积分顺序，有()=⎰⎰--221,y y ydx y x f dy______________________ ;4. 设椭圆L：13422=+y x 的周长为l，则⎰=+Lds y x 2)23(;5. 设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1,1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 .三、解答题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）1．求过点M （4,-3,1）且与两直线：326-==zy x 和⎩⎨⎧=+-=+-+022012z x z y x 都平行的平面方程．2. 设(,)sin xz f xy y y=+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂．3. 将函数1()f x x=展开为3x -的幂级数，并求收敛域. 4. 计算⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ，其中Ω是由柱面122=+y x 及平面0,0,1===y x z 所围成且在第一卦限内的区域.5. 求曲线积分22(2)(sin )Lxy dx x y dy --+⎰，其中L是沿曲线1y =由点（0，1）到点（2，1）的弧段.6. 计算曲面积分2y dzdx zdxdy ∑+⎰⎰，其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧.四、综合题（本题共2小题，每小题8分，满分16分）1. 验证2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++在整个 xoy 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分,并求这样的一个(,)u x y .2. 求幂级数115n n n n x ∞-=∑的收敛域、和函数以及数项级数15n n n∞=∑的和.五、证明题（4分）设∑∞=12n na收敛，证明级数1nn a n∞=∑绝对收敛.2011~2012学年第二学期《高等数学A2》期末试题（A ）卷参考答案一、选择题（本题共6小题, 每小题4分，满分24分）1．A; 2．D ; 3．A; 4．C; 5．B ； 6.B 二、填空题（本题共5小题, 每小题4分，满分20分） 1. (-1,2,-2);2. 3.()()⎰⎰⎰⎰----+11111012,,x xdy y x f dxdy y x f dx ;4. 12l ;5.32三、解答题（本题共6小题，每小题6分，满分36分）1. 1(6,2,3)s =-, 2121(2,1,4)201i j ks =-=----, ………2分取平面的法向量为12623(11,30,2)214ij kn s s =⨯=-=----- ………2分 所以平面方程为：11(4)30(3)(1)0x y z --++--=，即11301350.x y z -+-=…2分 2.121211()0z f y f yf f x y y∂''''=⋅+⋅+=+∂, ……………2分 2111122212222211[()][()]z x xf y f x f f f x f x y y y y y∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂ 111222231.xf xyf f f y y''''''=+-- .………4分 3.解：)3(31)(-+=x x f =)33(1131-+⋅x , ……………2分 因为∑∞=+=-011)1(n n nxx ，)1,1(-∈x , 所以∑∞=-⋅-=-+⋅)33(31)1()33(1131n n n x x =∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x , 其中1331<-<-x ，即60<<x . ……………3分 当0=x 时，级数为∑∞=031n 发散；当6=x 时，级数为∑∞=⋅-031)1(n n 发散,故x 1=∑∞=+--01)3()31()1(n n n n x ，)6,0(∈x . ………1分4. 解：如图，选取柱面坐标系,此时⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤,10,2π0,10:r z θΩ所以π112000d d d d d cos sin d xy x y z r r r r z θθθΩ=⋅⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ………3分=⎰⎰r r d d 2sin 213102πθθ=814)42cos (142π0=⋅-r θ. ………3分5. 解：令22P x y =-，2(sin )Q x y =-+,则2,Py∂=-∂1,Q x ∂=-∂ ………2分 选择:1BA y =由B （2，1）到A （0，1）,则由格林公式得 原式2222(2)(sin )(2)(sin )L BAABx y dx x y dy x y dx x y dy +=--++--+⎰⎰ ………2分22()(2)(sin )AB DQ Pdxdy x y dx x y dy x y∂∂=--+--+∂∂⎰⎰⎰220(2)Ddxdy x dx =-+-⎰⎰⎰2208(2)423Ddxdy x dx π=-+-=-+-⎰⎰⎰. ………2分6. 解：补上221:0 (4)z x y ∑=+≤下侧。
高数下册期末a卷考试题及答案
高数下册期末a卷考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数不是周期函数？A. \( \sin(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( e^x \)D. \( \tan(x) \)答案：C2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x=1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个选项是 \( \int_0^1 x^2 dx \) 的正确计算结果？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A4. 以下哪个选项是 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 以下哪个选项是 \( \int \frac{1}{x} dx \) 的原函数？A. \( \ln|x| + C \)B. \( x + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin x + C \)答案：A6. 以下哪个选项是 \( \int e^x \cos x \, dx \) 的正确积分结果？A. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C \)B. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) + C \)C. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) - C \)D. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) - C \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的定义域是 \( ______ \)。
答案：\( (0, +\infty) \)2. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的导数是 \( ______ \)。
高数a上册期末试题及答案
高数a上册期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20题）1. 设函数 $f(x) = \sqrt{3x-2}$，则其定义域为A. $(-\infty, \frac{2}{3}]$B. $\left[ \frac{2}{3}, \infty \right)$C. $[\frac{2}{3}, \infty)$D. $(-\infty, \frac{2}{3}) \cup [\frac{2}{3}, \infty)$答案：C2. 函数 $y = \sin^2 x + \cos^2 x$ 的值域为A. $(-\infty, 1]$B. $[0, 1]$C. $[1, \infty)$D. $[\frac{1}{2}, 1]$答案：B3. 设函数 $f(x) = e^x \ln x$，则 $f'(x) = $A. $e^x \ln x$B. $e^x \left( \frac{1}{x} + \ln x \right)$C. $e^x \left( \ln x - \frac{1}{x} \right)$D. $e^x \left( \frac{1}{x} - \ln x \right)$答案：B4. 若直线 $y = 3x + b$ 与抛物线 $y = ax^2 + bx + 1$ 相切，则 $a + b = $A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D5. 函数 $f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的渐近线为A. $y = x - 1$B. $y = x + 1$C. $y = -x + 1$D. $y = -x - 1$答案：A6. 函数 $f(x) = \ln(1 + e^{2x})$ 的反函数为A. $f^{-1}(x) = \ln(x) - \ln(1 - x^2)$B. $f^{-1}(x) = \ln(x^2 - 1)$C. $f^{-1}(x) = \frac{e^x - 1}{2}$D. $f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(x) + \ln(1 - x)$答案：D7. 设函数 $f(x) = \arcsin (\sin x)$，则当 $x = \frac{5\pi}{6}$ 时，$f(x) =$A. $\frac{5\pi}{6}$B. $\frac{\pi}{6}$C. $\frac{\pi}{3}$D. $\frac{2\pi}{3}$答案：C8. 函数 $f(x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$ 的最大值为A. 1B. $\sqrt{3}$C. 2D. $2\sqrt{3}$答案：D9. 函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的最大值为A. 0B. 1C. 2答案：D10. 函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ 的图像关于直线 $x = a$ 对称，则 $a = $A. 1B. 0C. -1D. 2答案：B11. 设 $\sin \alpha = \frac{1}{4}$，$\cos \beta = \frac{4}{5}$，且$\alpha$ 和 $\beta$ 都是第二象限角，则下列四个式子中成立的是A. $\sin (\alpha - \beta) = -\frac{3}{4}$B. $\sin (\alpha + \beta) = \frac{3}{8}$C. $\cos (\alpha - \beta) = \frac{1}{5}$D. $\cos (\alpha + \beta) = \frac{2}{5}$答案：C12. 如果点 $A(1, 2)$ 在抛物线 $y = -x^2 + 3x + k$ 上，那么 $k = $A. -3B. -5D. -9答案：B13. 设函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$，则 $f'(x)$ 的零点有A. -2, 2B. -1, 3C. -4, 3D. -1, 4答案：A14. 设点 $P(x, y)$ 满足 $y^2 = px$，其中 $p > 0$ 是常数，则焦点所在的直线方程为A. $y = -\frac{p}{2}$B. $x = -\frac{p}{2}$C. $y = \frac{p}{2}$D. $x = \frac{p}{2}$答案：B15. 函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值为A. -1B. 0D. 2答案：A16. 设直线 $y = 2x + 1$ 与曲线 $y = x^2 + bx + c$ 相切，则 $b + c = $A. 0B. $\frac{1}{2}$C. 1D. 2答案：C17. 设函数 $f(x) = (1 - x^2) \cos x$，则 $f''(x)$ 的一个零点在A. $(0, \frac{\pi}{2})$B. $(0, \pi)$C. $(\pi, 2\pi)$D. $(\pi, 3\pi)$答案：B18. 设函数 $f(x) = \sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x$，则$f(x)$ 的最大值为A. 2B. $2\sqrt{2}$C. 3D. $2 + \sqrt{3}$答案：C19. 设函数 $f(x) = e^x$，$g(x) = x^2$，则 $f(x) \cdot g(x) = $A. $e^{x^2}$B. $x^2 e^x$C. $x^2 e^{x^2}$D. $x^2 + e^x$答案：B20. 设 $a > 0$，则 $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^a}{e^x}$ 的值为A. 0B. $\frac{1}{e}$C. 1D. $+\infty$答案：A二、计算题（每题10分，共4题）1. 求函数 $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ 的极限 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$.解：使用“分子分母可约”的性质，可将函数 $f(x)$ 化简为 $f(x) = 2x - 1$，则 $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$.答案：12. 求曲线 $y = e^x$ 与直线 $y = kx$ 相交的两个点的坐标，其中 $k > 0$ 是常数.解：将曲线 $y = e^x$ 和直线 $y = kx$ 代入方程中，得到 $e^x = kx$，然后可以使用迭代法或图像法求得相交点的坐标.答案：相交点的坐标为 $(x_1, e^{x_1})$ 和 $(x_2, e^{x_2})$，其中$x_1$ 和 $x_2$ 是满足方程 $e^x = kx$ 的两个解.3. 求曲线 $y = \sin x$ 与直线 $y = x$ 相交的点的个数，并说明理由.解：将曲线 $y = \sin x$ 和直线 $y = x$ 代入方程中，得到 $\sin x = x$，然后可以通过分析函数的周期性和图像来确定相交点的个数.答案：方程 $\sin x = x$ 的解存在无穷个，但相交点的个数取决于给定的区间. 在区间 $[0, \pi]$ 上，方程有一个解；在区间 $[2\pi, 3\pi]$ 上，方程又有一个解. 因此，相交点的个数是不确定的.4. 求函数 $y = x^2 + x$ 在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值的点.解：首先求导数 $y' = 2x + 1$，然后令 $y' = 0$，解得 $x = -\frac{1}{2}$，将 $x = -2, -\frac{1}{2}, 2$ 代入函数 $y = x^2 + x$，得到对应的 $y$ 值. 最大值为 $y = y_{\text{max}}$ 对应的点为 $(-\frac{1}{2},y_{\text{max}})$，最小值为 $y = y_{\text{min}}$ 对应的点为 $(-2,y_{\text{min}})$ 和 $(2, y_{\text{min}})$.答案：最大值为 $y_{\text{max}} = \frac{5}{4}$，取得最大值的点为 $(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$；最小值为 $y_{\text{min}} = -2$，取得最小值的点为 $(-2, -2)$ 和 $(2, -2)$.三、证明题（每题20分，共2题）1. 证明函数 $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x$ 的导数 $f'(x)$ 恒大于零.证明：求导数 $f'(x) = x^2 - 2x + 2$，我们可以通过判别式来判断 $f'(x)$ 的正负性.判别式为 $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$，由于 $\Delta < 0$，所以判别式小于零，即 $f'(x)$ 的二次项系数小于零，说明二次项的系数是正的，从而导数 $f'(x)$ 恒大于零.证毕.2. 证明函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证明：要证明函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称，需证明对于任意$x$ 值，函数 $f(x)$ 和 $f(2 - x)$ 的函数值相等.将 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 代入 $f(2 - x)$，得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 -3(2 - x)^2 + 3$，对其进行展开和化简得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 - 3(2 -x)^2 + 3 = x^3 - 3x^2 + 3 = f(x)$，即 $f(x) = f(2 - x)$，证明了函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证毕.四、应用题（每题50分，共1题）1. 求函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值.解：求导函数 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3$，令 $f'(x) = 0$，求得驻点的 $x$ 坐标，然后将其代入原函数求得对应的 $y$ 坐标.求导的一阶导数方程为 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3 = 0$，通过求根公式求得 $x = -1$ 和 $x = \frac{1}{3}$，将其代入原函数 $f(x)$ 得到对应的$y$ 坐标.将 $x = -1$ 代入 $f(x)$，得到 $f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) = -1 + 1+ 3 = 3$，将 $x = \frac{1}{3}$ 代入 $f(x)$，得到 $f(\frac{1}{3}) =(\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} +\frac{1}{9} - 1 = 0$.因此，函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$.答案：驻点为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$，分别对应极大值和极小值.。
高数期末试题 及答案
高数期末试题及答案1. 选择题（每题2分，共40分）
1.1 选择题题干
答案：选项A
解析：解析内容
1.2 选择题题干
答案：选项B
解析：解析内容
......
2. 填空题（每题4分，共40分）
2.1 填空题题干
答案：填空答案
解析：解析内容
2.2 填空题题干
答案：填空答案
解析：解析内容
......
3. 计算题（每题10分，共80分）3.1 计算题题干
解答：
计算过程
3.2 计算题题干
解答：
计算过程
......
4. 证明题（每题20分，共80分）4.1 证明题题干
解答：
证明过程
4.2 证明题题干
解答：
证明过程
......
5. 应用题（每题15分，共60分）5.1 应用题题干
解答：
解题思路和步骤
5.2 应用题题干
解答：
解题思路和步骤
......
综上所述，这是一份高数期末试题及答案，包括选择题、填空题、计算题、证明题和应用题。
每道题目都提供了准确的答案和解析，以帮助同学们检验和巩固他们的数学知识。
请同学们认真阅读每道题目并按照正确的解题思路和步骤进行答题。
祝大家期末考试顺利！
（文章结束，共计xxx字）。
高二数学上学期期末考试试题A2
2021～2021学年度第一学期期末教学质量调研监测高二数学试题〔A 2〕参考答案及评分HY〔必修3、选修1-1〕一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分.二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分 11、3 12、3- 13、68 14、),4[+∞ 15、11三、解答题：本大题一一共6小题，一共75分.解答过程有必要的文字说明、演算步骤及推理过程.16、〔此题满分是12分〕解：假设p 为真命题，那么1<a ；假设q 为真命题，那么42>a ，即：2>a 或者2-<a -------------------4分由条件知：p 与q 一真一假，当p 为真，q 为假时有：⎩⎨⎧≤≤-<221a a ，所以：12<≤-a ， ----------7分当q 为真，p 为假时有：⎩⎨⎧-<>≥221a a a 或，所以：2>a ， -------------10分综上有：实数a 的取值范围为12<≤-a 或者2>a ------------12分 17、〔此题满分是12分〕解：〔1〕由茎叶图可知：甲班身高集中于160179之间，而乙班身高集中于170180 之间.因此乙班平均身高高于甲班；………………………… 3分〔2〕15816216316816817017117917918217010x +++++++++==………… 5分甲班的样本方差为()()()()222221[(158170)16217016317016817016817010-+-+-+-+-()()()()()22222170170171170179170179170182170]+-+-+-+-+-…………………………8 分〔3〕设身高为176cm 的同学被抽中的事件为A ；从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：〔181，173〕 〔181，176〕 〔181，178〕 〔181，179〕 〔179，173〕 〔179，176〕 〔179，178〕 〔178，173〕 (178, 176) 〔176，173〕一共10个根本领件，而事件A 含有4个根本领件； ()42105P A ∴== …………………………12分 18、〔此题满分是12分〕解:〔1〕从这5年中任意抽取两年,所有的事件有:12,13,14,15,23,24,25,34,35,45一共10种 至少有1年多于10人的事件有:14,15,24,25,34,45,45一共7种,那么 至少有1年多于10人的概率为710P =. ………………………5分 〔2〕由数据得8,3==y x552516941,14665442410351251=++++==++++=∑∑==i i i ii x yx ，那么2.036.28ˆ,6.29555835146ˆ=⨯-==⨯-⨯⨯-=ab于是回归直线方程为2.06.2ˆ+=x y………………………10分那么第8年的估计值为2.680.221⨯+=. ……………………………12分19、〔此题满分是12分〕解：〔1〕∵前三组频率和为2＋4＋1750＝2350＜12，前四组频率之和为2＋4＋17＋1550＝3850＞12，∴中位数落在第四小组内． ……………………3分〔2〕频率为：42＋4＋17＋15＋9＋3＝0.08，又∵频率＝第二小组频数样本容量， ∴样本容量＝频数频率＝120.08＝150. …………………… 7分 〔3〕由图可估计所求良好率约为：17＋15＋9＋32＋4＋17＋15＋9＋3×100%＝88%. ……………12分20、〔此题满分是13分〕解：〔1〕()232f x x ax '=-,由'(1)3f =易得0=a ，从而可得曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为320.x y --= .................4分 〔2〕令'()0f x =,得1220,3a x x ==. 当20,3a ≤即0a ≤时,()f x 在[0,2]上单调递增, max ()(2)84f x f a ==-； 当22,3a ≥即3a ≥时,()f x 在[0,2]上单调递减, max ()(0)0f x f ==； 当202,3a <<即03a <<时,()f x 在2[0,]3a 上单调递减,在2[,2]3a 上单调递增,函数)(x f )20(≤≤x 的最大值只可能在0=x 或者2=x 处取到,因为a f f 48)2(,0)0(-==，令)0()2(f f ≥得2≤a ，所以max 84,02;()0,2 3.a a f x a -<≤⎧=⎨<<⎩综上,max 84,2;()0, 2.a a f x a -≤⎧=⎨>⎩.................13分 21、〔此题满分是14分〕解：〔1〕22:20G x y y +--=与x 轴、y 轴交点为()和()0,2c ∴=，2b =，22212a b c ∴=+=∴椭圆方程为：221124x y +=. ...............4分 〔2〕设直线l的方程为：)y x m =-〔m >〕)22312y x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩可得：2210189120x mx m -+-= ()22324409120m m ∆=-->可得：2403m <即m << 设()11,C x y ，()22,D x y ，那么1295m x x +=，21291210m x x -=11221212(3,)(3,)(3)(3)NC ND x y x y x x y y ⋅=-⋅-=-⋅-+()()21212433930x x m x x m =-++++>化简得：22970m m -+>可得：72m >，∴m取值范围为72⎛ ⎝.................14分 励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
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点 x = π 处收敛于（ (A) 1 + π
） 。 (B) 1 − π
第 1
(C) 1
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(D) 0
浙江科技学院考试试卷
二．填空题(每题 3 分，共 21 分)
1． xoz 面上的曲线 z 2 = 2 x 绕 x 轴旋转一周，所生成的曲面方程为 2．交换二次积分顺序， ∫ dx ∫
0 1 1− x 2 0
2．原式 = ∫ dy ∫ y (2 x 2 − y )dx =
0 3
3
y
2 3 26 3 ( y − y 2 )dy = 7 3 ∫ 0 27
3 3 1
或 原式 = ∫ dx ∫
0 1
1
3x
x
(2 x 2 − y )dy + ∫ dx ∫ (2 x 2 − y )dy
x
3
13 2 9 1 22 x − 2 x 3 − )dx = − + =7 0 1 2 2 3 3 3． 记 P = 2 xy 2 − y sin x + π , Q = cos x + 2 x 2 y − 1 ， ∂Q ∂P 得 = = 4 xy − sin x ，故曲线积分在整个平面内与路径无关， ∂x ∂y 选积分路经为折线段： O(0, 0) → A(2, 0) → B(2, 2π ) ，
，
n →∞
级数
∑ (−1)
n =1
∞
n
an 收敛，即原级数收敛，且是条件收敛的。
四．应用题(本题 8 分) 2 2 ⎧ 5 ⎪z = 5 − x − y 由 ⎨ 解得 z = − （舍去） ，z = 1 ， 立体在 xoy 面上的投影为 D : x 2 + y 2 ≤ 4 2 2 4 ⎪ ⎩ 2z = x + y 2π 2 1 1 28π V =∫∫ (5 − x 2 − y 2 − x 2 + y 2 )dxdy = ∫ dθ ∫ (5 − r 2 − r )rdr = 0 0 2 3 2 D
或 V=
∫∫∫ dxdydz = ∫ dθ ∫ rdr ∫1
Ω
0 0
2π
2
5− r 2
2
r
2π 2 1 28π dz = ∫ dθ ∫ (5 − r 2 − r )rdr = 0 0 2 3
五．证明题
（6 分）
因为 0 ≤ un + | un |≤ 2 | un | ，又因为级数 级数 级数
∑| u
浙江科技学院考试试卷
2009-2010 学年第 2 学期期末考试试卷
一．选择题(每题 3 分，共 21 分) 1．下列方程中为柱面方程的是( (A) x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 = 1 (C) x 2 + y 2 = z 2．二次积分 ∫ dy ∫
0 1 1+ 1 − y 2 1− 1− y 2
∞ ∞ 1 1 收敛；当 x = 4 时，原级数为 ∑ 发散； n n =1 n
∞
当 t < 3 ，即 −2 < x < 4 时，原级数收敛， 当 x = −2 时，原级数为 ∑ ( −1)n
n =1
即原级数的收敛域为 [−2, 4)
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浙江科技学院考试试卷
6.
1 = ∑ x n , ( −1 < x < 1) ， 1 − x n= 0 1 1 1 1 1 而 f ( x) = ( + − )=− [ 3 x−2 x+1 3 1 − ( x − 1)
G G x 2y z G 已知平面的法向量 n1 = ( 1, −2, 3 ) ，由题意知 n / / n1 ，故 0 = 0 = 0 = t ， −2 1 3
解得 t = −1 或 t = 1 ， 从而所求切点为 ( −1,1, −3) 或 (1, −1, 3) ， 所以所求平面的方程为 x − 2 y + 3 z + 12 = 0 或 x − 2 y + 3 z − 12 = 0 。
2 2
， zy =
y x + y2
2
∫∫ z ds =
2
Σ
2 ∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy = 2 ∫ dθ ∫ r 3 dr = 8 2π 。
D 0 0
2π
2
5. 令 t = x − 1 原级数变为 ∑
a tn n 1 ，ρ = lim | n +1 | = lim = ， 收敛半径 R = 3 n n →∞ n →∞ 3( n + 1) an 3 n =1 n ⋅ 3
。 。
f ( x , y )dy =
3．设 L : x 2 + y 2 = 1 ( y ≥ 0) ，则 ∫ x 2 ds =
L
。 。
4． 若 ( x 3 − ay 2 )dx + (sin y + 4 xy )dy 在整个 xoy 面内为某一函数的全微分， 则a = 5．若 ∑ (2an + 1) 收敛， 则 lim an =
由于
∞
1 ]， x −1 2(1 + ) 2
，
∞ 1 = ∑ ( x − 1)n , 0 < x < 2 1 − ( x − 1) n= 0 1 1 ∞ x − 1 n ∞ ( −1)n ) = ∑ n+1 ( x − 1)n , -1 < x < 3 = ∑ (− x − 1 2 n=0 2 n= 0 2 2(1 + ) 2 1 ∞ ( −1)n 所以 f ( x ) = − ∑ [1 + n +1 ]( x − 1)n ， (0 < x < 2) 。 3 n= 0 2 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 > 7. ∑ | un |= ∑ ( n + 1 − n ) = ∑ , 因为 n+1+ n n+1 + n 2 n+1 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ 1 发散，由比较审敛法 ，级数 ∑ | un | 发散， 又级数 ∑ n+1 n =1 n =1 ∞ 1 n 记 an = , 原级数为 ∑ ( −1) an , n+1+ n n =1 且 an 满足条件： an > an +1 ， lim an = 0 ， 由莱布尼兹定理知，
1 0
dx ∫ dy ∫
0
1
1− x − 2 y
f ( x , y , z ) dz
4．下列级数收敛的是（ (A)
） 。
∑
n =1
∞
1 n( n + 1)
∞ n
(B)
∑(
n =1
∞
1 1 + 100 ) 2 n 10
∞
(C)
∑ cos2
n =1
∞
1 n
(D)
ห้องสมุดไป่ตู้
∑ sin
n =1
∞
2
1 n
5．若级数 ∑ an x 在 x = −3 处收敛，则 ∑ an ( x − 1)n 在 x = 3 处（
5．求幂级数 ∑
∞
7．判别级数 ∑ ( −1)n ( n + 1 − n ) 的敛散性，如果收敛，请说明是条件收敛， 还是
n =1
∞
绝对收敛。 四、应用题 (本题 8 分) 求由曲面 z = 5 − x 2 − y 2 及 2 z = 五、证明题 (本题 6 分)
x 2 + y 2 所围立体的体积。
n =1 ∞
n →∞
。 ， 其和函数为 。
6. 级数 ∑
n= 0
∞
xn 收敛域为 2n
7. 设 f ( x ) 是以 2π 为周期的函数，且 f ( x ) = x , (-π ≤ x < π ) ，则其傅里叶级数中
系数 b3 = 。
三．计算题(1 —5 题每题 6 分；6、7 每题 7 分，共 44 分 )
= 4 ∫ ( x 3 − x 2 )dx + ∫ (
原式= ∫ π dx + ∫ (cos 2 + 8 y − 1)dy （4 分） = 2π cos 2 + 16π 2 。
0 0
2
2π
（或直接化为定积分计算）
4. Σ 在 xoy 平面内的投影为：D： x 2 + y 2 ≤ 4 ， z x =
x x +y
un+1 < 1 ,则 ∑ un 收敛 n →∞ u n =1 n
(D) 若 lim un = 0 ,
n →∞
则 ∑ un 收敛
n =1
∞
⎧1 − x , − π ≤ x ≤ 0 7.设 f ( x ) = ⎨ , 且 f ( x + 2π ) = f ( x ) ，则 f ( x ) 的傅里叶级数在 ⎩ 1 + x, 0 ≤ x ≤ π
L D
1 其中 L 是曲线 y = π x 2 上从点 O(0, 0) 到 B(2, 2π ) 的一段弧。 2
4.计算曲面积分 ∫∫ z 2 dS ，其中 Σ ： z =
Σ
x 2 + y 2 (0 ≤ z ≤ 2) 。
( x − 1)n 的收敛半径和收敛域。 n n =1 n ⋅ 3 1 6．将 f ( x ) = 2 展开为 x − 1 的幂级数。 x − x−2
)。 (B) z =
x2 + y2
(D) z 2 − 2 y 2 = 1
f ( x , y )dx 可化为（
） 。
2cosθ 0
(A) (C)
∫
π
0
dθ ∫
2cosθ 0
F ( r , θ )dr