湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高二上学期入学考试数学试题

湖南省长沙市长郡中学【最新】高二上学期入学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合214A xx ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣，集合{B yy ==∣，则A B =（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,1]-C ．[0,1]D ．1[0,]22．若等差数列{}n a 各项都是正数，13a =，12321a a a ++=，则345a a a ++=（ ） A ．21B ．45C ．63D ．843．如图是幂函数n y x =的部分图像，已知n 取11,2,2,22--这四个值，则于曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为（ ）A ．112,,,222-- B ．112,,,222--C ．11,2,2,22--D ．112,,2,22--4．已知一组数据1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的平均数是2，方差是13，那么另一组数132x -、232x -、332x -、432x -、532x -的平均数，方差分别是（ ）A ．12,3B ．2,1C ．4,3D ．24,35．阿波罗尼斯是亚历山大时期的著名数学家，“阿波罗尼斯圆”是他的主要研究成果之一：若动点P 与两定点M ，N 的距离之比为λ(0λ>，且1λ≠)，则点P 的轨迹就是圆，事实上，互换该定理中的部分题设和结论，命题依然成立.已知点()2,0M ，点P 为圆O ：2216x y +=上的点，若存在x 轴上的定点()(),04N t t >和常数λ，对满足已知条件的点P 均有PM PN λ=，则λ=（ ） A ．1B ．12C ．13D ．146．若仅存在一个实数0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得曲线:sin (0)6C y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭关于直线x t =对称，则ω的取值范围是（ ）A ．17,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．410,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．410,33⎛⎤⎥⎝⎦7．已知一个正三棱锥的高为3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图，其中O '为B C ''的中点，2O A ''=，则此正三棱锥的体积为（ ）A B ．C D 8．已知向量a b p a b =+，其中a ，b 均为非零向量，则p 的取值范围是（）A ．B ．[0,1]C ．(0,2]D ．[0,2]9．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心O 的距离等于球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球O 的体积为（ ）A ．256π81B ．64π27C ．16π9D ．4π310．如图，直角ABC ∆的斜边BC 长为2，30C ∠=︒，且点,B C 分别在x 轴，y 轴正半轴上滑动，点A 在线段BC 的右上方．设OA xOB yOC =+，（,x y ∈R ），记M OA OC =⋅，N x y =+，分别考察,M N 的所有运算结果，则（ ）A ．M 有最小值，N 有最大值B ．M 有最大值，N 有最小值C ．M 有最大值，N 有最大值D ．M 有最小值，N 有最小值二、多选题11．下列关于函数1||()1||x f x x -=+的说法中正确的是（ ）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在(0,)+∞上单调递减C ．不等式()0f x <的解集为(,1)(1,)-∞-+∞D ．不等式()0f x <的解集为(1,0)(0,1)-12．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，异面直1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则（ ）A ．m =B ．直线1A E 与直线1C F 共面C ．m =D ．直线1AE 与直线1CF 异面13．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()0,6f x f x f x f x +-=+=-，且对[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+，则以下判断正确的是（ ） A ．函数()f x 是偶函数B ．函数()f x 在[]9,6--单调递增C ．3x =是函数()f x 的对称轴D ．函数()f x 的最小正周期是1214．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数ω可能的取值为（ ） A ．23B ．1C ．65D ．215．定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列{}n a ，数列(){}n f a 仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在()(),00,-∞⋃+∞上的四个函数中，是“保等比数列函数”的为（ ）A ．()2f x x =B ．()2xf x =C ．()f x =D ．()ln f x x =三、填空题16．某中学高二年级甲班的学生共有25名女生和35名男生，现以简单随机抽样的方法从甲班全班同学中推选5名学生代表甲班参加全校演讲比赛，则甲班中某女生被抽到的概率是________．17．已知函数831x y a -=-（0a >，且1a ≠）的图像恒过定点(,)A m n ，则log m n =__________．18．若过原点O 的动直线l 将圆22:(1)(2)10E x y -+-=分成的两部分面积之差最大时，直线l 与圆E 的交点记为A 、B ；l 将圆E 分成的两部分面积相等时，直线l 与圆E 的交点记为C 、D ；则四边形ABCD 的面积为_________．19．《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作.其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a b c 、、，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜冥并大斜冥减中斜冥，余半之，自乘于上，以小斜冥乘大斜冥减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写出公式，即若a b c >>，则S =10+ABC ∆满足sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得ABC ∆的面积为__________． 20．已知a ，b 为正实数，且+3a b ab +=，则2a b +的最小值为________．四、解答题21．在ABC 中，,,a b c 分别是三个内角,,A B C 的对边，若3,4,2b c C B ===，且ab .（1）求cos B 及a 的值； （2）求cos 23B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 22．某学校进行体验，现得到所有男生的身高数据，从中随机抽取50人进行统计（已知这50个身高介于155cm 到195cm 之间），现将抽取结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，...，第八组[190,195]，并按此分组绘制如图所示的频率分布直方图，其中第六组[180,185)和第七组[185,190)还没有绘制完成，已知第一组与第八组人数相同，第六组和第七组人数的比为5:2．（1）补全频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图估计这50位男生身高的中位数；（3）用分层抽样的方法在身高为[170,180]内抽取一个容量为5的样本，从样本中任意抽取2位男生，求这两位男生身高都在[175,180]内的概率． 23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()123n n a S n =+对任意*n N ∈都成立. （Ⅰ）求12,a a 的值；（Ⅱ）证明数列{}2n a +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .24．已知两个定点A （0，4），B （0，1），动点P 满足|P A |＝2|PB |，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：y ＝kx ﹣4. （1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒（O 为坐标原点），求直线l 的斜率；（3）若k ＝1，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线QM 、QN ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由. 25．设二次函数()2f x ax bx c =++，(0)a ≠，集合{}()A x f x x ==．（1）若{1,2}A =，(0)0f >，且方程()0f x =的两根都小于1-，求实数a 的取值范围；（2）若{2}A =，求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值M （结果用a 表示）．参考答案1．D 【分析】分别求出集合A 与B ，再求其交集. 【详解】集合2111422A x x x x ⎧⎫⎧⎫==≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∣∣-，集合{{}1B yy y y ===≤≤∣∣0， 则10,2A B ⎡⎤⋂=⎢⎥⎣⎦． 故选：D ． 【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题. 2．B 【分析】先求出公差d ，再用等差数列的通项公式计算． 【详解】设数列的公差为d ，则1231339321a a a a d d ++=+=+=，解得4d =， ∴345139339445a a a a d ++=+=⨯+⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，掌握等差数列通项公式是解题关键． 3．A 【分析】利用特值法将2x =，分别代入121y x =，22y x =，23-=y x ，124-=y x ，得到相应的函数值，再结合图象即可得到答案. 【详解】令2x =，分别代入121y x =，22y x =，23-=y x，124-=y x，得到1y =24y =，314=y ，42=y ，根据图象可知1234,,,C C C C 相对应的n 依次为：112,,,222-- 故选：A 【点睛】本题主要考查幂函数的图象，特值法为解决本题的关键，属于简单题. 4．C 【分析】利用平均数和方差公式可得出结果. 【详解】 由题意可得1234525x x x x x ++++=，()()()()()222221234522222153x x x x x -+-+-+-+-=，则新数据的平均数为()()()()()1234532323232325x x x x x x -+-+-+-+-=()123453232245x x x x x ++++=-=⨯-=，方差为()()()()()222221234523243243243243245x x x x x s --+--+--+--+--=()()()()()222221234592222219353x x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦==⨯=.故选：C. 【点睛】本题考查平均数与方差的计算，熟练利用公式是解答的关键，考查计算能力，属于基础题. 5．B 【分析】作出图形，由已知可得||||||||AM BM AN BN λ==，代入坐标可得选项. 【详解】如下图所示，由于圆上的任意一点P 均有PM PN λ=，所以A ,B 两点也满足该关系式.(4,0)A -，(4,0)B ，(2,0)M ，(,0)N t ，||||62||||44AM BM AN BN t t λ====+-，解得18,2t λ==， 故选：B.【点睛】本题考查曲线的新定义，关键在于理解和运用新定义，属于中档题. 6．D 【分析】首先根据正弦曲线的对称轴得函数的对称轴方程，结合0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，对k 赋值求得结果. 【详解】 函数sin (0)6y x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，其对称轴方程为62x k ππωπ-=+，可得23k x ππω+=． ∵对称轴0,2t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 则当0k =时，可得对称性：232ππω<，解得：43ω>． 当1k =时，可得对称性：232πππω+，解得：103ω， 故得ω的取值范围是410,33⎛⎤⎥⎝⎦，故选：D ． 【点睛】该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有正弦型函数的对称性，根据对称轴所属的区间求参数的取值范围，属于简单题目. 7．A 【分析】根据斜二测画法的知识，求出三棱锥的底面面积，再根据三棱锥的体积公式即可求解. 【详解】由于O '为B C ''的中点且O A ''=，所以2B C ''=， 根据斜二测画法的知识可知，正三棱锥的底面等边三角形的边长为2，22=133=故选：A ． 【点睛】本题考查了斜二测画法的相关知识、锥体的体积公式，考查了基本运算能力，属于基础题. 8．D 【分析】根据向量模的计算公式得22||22cos,a b p p a b==+⋅，再根据三角函数性质即可得答案. 【详解】因为1aa =，1b b=， 则[]22112cos ,22cos,0,4a b a ba bp p a a a b bb==++⋅⋅=+⋅∈，开方可得p 的取值范围为[0,2]. 故选：D ． 【点睛】本题考查向量模的求解方法，考查运算能力，是中档题. 9．A 【分析】由2AB BC CA ===，求得ABC 的外接圆半径为r ，再由221423R R ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求得球的半径，即可求解球O 的体积． 【详解】解：因为2AB BC CA ===，所以ABC 的外接圆半径为r =设球半径为R ，则221423R R ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以43R =， 34256ππ381V R ==．故选A ． 【点睛】本题主要考查球O 的体积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键． 10．B 【分析】设OCB α∠=，用α表示出,M N ，根据α的取值范围，利用三角函数恒等变换化简,M N ，进而求得,M N 最值的情况. 【详解】依题意30,2,90BCA BC A ∠==∠=，所以1AC AB ==.设OCB α∠=，则30,090ABx αα∠=+<<，所以()())30,sin 30Aαα++，()()2sin ,0,0,2cos B C αα，所以()()12cos sin 30sin 2302M OA OC ααα==+=++⋅，当23090,30αα+==时，M 取得最大值为13122+=.OA xOB yOC =+，所以()()30sin 30,2sin 2cos x y αααα++==，所以()()30sin 302sin 2cos N x y αααα++=+=+1=+，当290,45αα==时，N有最小值为12+.故选B. 【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题. 11．BC 【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A ；去绝对值分离常数可判断B ；去绝对值解分式不等式可判断C 、D. 【详解】 由题意1||1||()()1||1||x x f x f x x x ----===+-+,()f x 为偶函数，选项A 错误．当0x >时，12()111x f x x x -==-+++为单调递减函数，选项B 正确． 当0x >时，1()01xf x x-=<+的解集为(1,)+∞， 由偶函数的对称性可知不等式()0f x <的解集为(,1)(1,)-∞-+∞，选项C 正确，选项D 错误． 故选：BC ． 【点睛】本题考查了利用函数奇偶性定义判断奇偶性、解分式不等式以及判断函数的单调性，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 12．BC 【分析】连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，易得11//EF A C ，在三角形1DC F 中，由余弦定理求解1cos DC F ∠，即可得到m .【详解】连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，//EF AC ，根据长方体性质可得11//EF A C ， 所以直线1A E 与直线1C F 共面.根据长方体性质11//AB C D ，所以异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠.设1AA =12AB ==，则DF =1C F 1C D =由余弦定理，得1cos 3m DC F =∠==故选：BC 【点睛】此题考查空间直线的平行关系判断，根据直线平行，求直线的夹角，常用平行直线关系，利用余弦定理求异面直线夹角， 13．BCD 【分析】由奇函数的定义可判断A 选项；由()()6f x f x +=-可求出函数的周期；结合周期和奇偶性即可求出对称轴；由()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+可判断出[]3,0x ∈-的单调性，结合函数的对称性和周期即可判断函数在[]9,6--的单调性. 【详解】由定义域为R ， ()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，则函数为奇函数，故A 错误；因为()()6f x f x +=-，而()()f x f x -=-，所以()()6f x f x +=-， 所以函数的对称轴为6032x +==，故C 选项正确； 因为()()6f x f x +=-，所以()()()126f x f x f x +=-+=，所以()f x 的最小正周期是12，故D 选项正确；因为[]12,3,0x x ∀∈-，当12x x ≠时，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+， 则()()()()12120x x f x f x --<，所以[]3,0x ∈-时，()f x 为减函数. 因为函数为奇函数，所以[]0,3x ∈时，()f x 为减函数，又因为函数()f x 关于3x =对称，所以[]3,6x ∈时，()f x 为增函数.因为()f x 的最小正周期是12，所以[]9,6x ∈--的单调性与[]3,6x ∈时的单调性相同. 故，[]9,6x ∈--时，()f x 单调递增，故B 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，考查了函数对称轴的求解，考查了函数周期性的求解，考查了函数单调性的判断. 14．ABC 【分析】根据图象平移求得函数()y g x =的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得ω的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度，得到函数()sin 12y g x x ωπω⎛⎫==-⎪⎝⎭的图象， 若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则满足1222122ωππωπωππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得605ω<≤，所以实数ω的可能的取值为26,1,35. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 15．AC 【分析】直接利用题目中“保等比数列函数”的性质，代入四个选项一一验证即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q . 对于A ，则2221112()()n n n n nn f a aa q f a aa +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故A 是“保等比数列函数”； 对于B ，则111()22()2n n n n a a a n a n f a f a ++-+==≠ 常数，故B 不是“保等比数列函数”； 对于C，则1()()n n f a f a +=== ，故C 是“保等比数列函数”；对于D ，则11ln ln ln ln ln ()1()ln ln ln ln n n n n n n n n na a q a qq f a f a a a a a ++⋅+====+≠ 常数，故D 不是“保等比数列函数”. 故选：AC. 【点睛】本题考查等比数列的定义，考查推理能力，属于基础题. 16．112【分析】根据简单随机抽样的特点可直接选出答案.【详解】全班共有253560+=名学生，抽取5人，以简单随机抽样的方法，甲班中某女生被抽到的概率是51 6012=．故答案为：1 12【点睛】本题考查的是简单随机抽样，较简单.17．1 3【分析】先根据指数函数的性质求出定点，即可得到m，n的值，再根据对数的运算性质计算即可．【详解】解：令x﹣8＝0，解得x＝8，则y＝3﹣1＝2，即恒过定点A（8，2），∴m＝8，n＝2，∴log m n＝81log23=，故答案为1 3【点睛】本题考查了指数函数的图象和性质以及对数的运算，属于基础题．18．【分析】直线l将圆E分成面积相等的两部分即直线l过圆心E；直线l将圆E分成的两部分面积之差最大，即过点O的弦长最短时，据此求四边形ABCD的面积即可.【详解】直线l将圆E分成面积相等的两部分即直线l过圆心E，可得此时CD为直径，CD=若直线l将圆E分成的两部分面积之差最大，如下图：弓ADB 弓ACB EKBAF EKBAF KBAF 11S S (SS )(SS )2S 22-=+-+=，当过原点O 的弦垂直于过此点直径时，KBAF S 最大，此时AB OE ⊥， 在Rt OEA 中，OA ==||2||AB OA ==那么1122S AB CD =⨯=⨯=四边形ABCD故答案为: 【点睛】此题考查了直线和圆的位置关系，充分利用平面几何中直线和圆性质可以化简问题，属于中档题.19．【解析】∵sin :sin :sin 2:A B C =，∴::2:a b c =又ABC ∆的周长为10+∴4,6,a b c ===∴S ==．即ABC ∆的面积为答案：20．3-【分析】利用(1)(+1)4a b +=结合基本不等式求解即可 【详解】由题(1)(+1)4a b +=则则则()()2=211333a b a b ++++-≥=当且仅当()()()+1+1=42+1=+1a b a b ⎧⎪⎨⎪⎩即11a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩等号成立故答案为3 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题 21．（1）2cos 3B =，73a =;（2）【分析】（1）由正弦定理可得34sin sin 2B B=，再利用二倍角的正弦公式可得2cos 3B =，从而根据余弦定理可得73a =； （2）利用二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式求得sin 2,cos 2B B 的值，再由两角和的余弦公式可得结果. 【详解】（1）在ABC 中，由正弦定理sin sin sin b a cB A C==， 得34sin sin B C=， 2C B =，34sin sin 2B B ∴=，即34sin 2sin cos B B B =， 解得2cos 3B =，在ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-， 得216703a a -+=，解得3a =或73a =．ab ，73a ∴=．（2）2cos ,sin 3B B ==， 41cos 22199B ∴=⨯-=-，2sin 223B =⨯=11cos 232992B π⎛⎫⎛⎫+=⨯--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭118+=-. 【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 22．（1）见解析；（2）174.5cm ；（3）0.3. 【详解】试题分析：（1）先分别算出第六组和第七组的人数，进而算出其频率与组距的比，补全直方图；（2）利用中位数两边频率相等，求出中位数的值；（3）先借助分层抽样的特征求出第四、第五组的人数，再运用列举法列举出所有可能数及满足题设的条件的数，运用古典概型的计算公式求解：解：（1）第六组与第七组频率的和为：∵第六组和第七组人数的比为5：2.∴第六组的频率为0.1，纵坐标为0.02；第七组频率为0.04，纵坐标为0.008.（2）设身高的中位数为，则∴估计这50位男生身高的中位数为174.5（3）由于第4，5组频率之比为2：3，按照分层抽样，故第4组中应抽取2人记为1，2，第5组应抽取3人记为3，4，5则所有可能的情况有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}， {3，4}，{3，5}，{4，5}共10种满足两位男生身高都在[175，180]内的情况有{3，4}，{3，5}，{4，5}共3种， 因此所求事件的概率为．23．（Ⅰ）11a =，252a =（Ⅱ）证明见解析，3222nn a ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭（Ⅲ）()()36121212nn T n n n ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭【分析】（Ⅰ）由数列的递推式，令1n =，2，计算可得所求值；（Ⅱ）运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，计算可得所求通项公式；（Ⅲ）3222nn n b na n n ⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭，运用数列的分组求和和错位相减法求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】解：（Ⅰ）当1n =时，有1132a S =+，得1132a a =+，得11a =.当2n =时，有2234a S =+，得22314a a =++，得252a =. （Ⅱ）由()123n n a S n =+，得32n n S a n =-. 当2n ≥时，()()11132321332n n n n n n n a S S a n a n a a ---=-=----=--⎡⎤⎣⎦. 所以1312n n a a -=+， 得()13222n n a a -+=+. 所以{}2n a +是等比数列，首项为123a +=，公比为32. 所以13232n n a -⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭，所以3222n n a ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. （Ⅲ）3222n n n b na n n ⎛⎫==⨯- ⎪⎝⎭. 记数列{}2n 的前n 项和为n A ，则()()2212n n n A n n +==+. 记数列32n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⨯⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n B ，则 233333123...2222n n B n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 234133333123...22222n n B n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 错位相减，得2313333331...222222n n n B n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭113312233333313332222212n n n n n n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⨯=--⨯=--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 所以()33662n n B n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.所以()()326121212nn n n T B A n n n ⎛⎫=-=-+-+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．24．（1）224x y +=；（2）（3）直线MN 过定点(1,1)-. 【分析】（1）设点P 坐标为（x ，y ），运用两点的距离公式，化简整理，即可得到所求轨迹的方程；（2）由120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1，由点到线的距离公式得直线l 的斜率；（3）由题意可知：O ，Q ，M ，N 四点共圆且在以OQ 为直径的圆上，设(,4)Q t t -，则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫ ⎪⎝⎭运用直径式圆的方程，得直线MN 的方程为(4)40tx t y ，结合直线系方程，即可得到所求定点．【详解】（1）设点P 的坐标为(,)x y ，由||2||PA PB =可得，=整理可得224x y +=，所以曲线E 的轨迹方程为224x y +=.（2）依题意，2OC OD ==，且120COD ︒∠=，则点O 到CD 边的距离为1，即点(0,0)O 到直线:40l kx y --=1=，解得k =所以直线l 的斜率为（3）依题意，,ON QN OM QM ⊥⊥，则M N ，都在以OQ 为直径的圆F 上，Q 是直线:4l y x =-上的动点，设(,4)Q t t -则圆F 的圆心为4,22t t -⎛⎫⎪⎝⎭，且经过坐标原点， 即圆的方程为22(4)0x y tx t y +---=，又因为,M N 在曲线22:4E x y +=上，由22224(4)0x y x y tx t y ⎧+=⎨+---=⎩， 可得(4)40tx t y即直线MN 的方程为(4)40tx t y 由t R ∈且()440t x y y +--=可得，0440x y y +=⎧⎨+=⎩解得11x y =⎧⎨=-⎩， 所以直线MN 是过定点(1,1)-.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查直线和圆相交的弦长公式，考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．25．（1）13226a <-；（2）()max 12,0,,04()1162,4a f x a a ⎧⎛⎫∈⋃-∞ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-≥⎪⎩.【分析】（1）根据题意得1和2是2(1)0ax b x c +-+=的两根，故132b a c a =-⎧⎨=⎩，，，由(0)0f >得0a >，故方程(0)0f =的两根都小于1-等价于24012(1)0b ac b af a b c ⎧-≥⎪⎪-<-⎨⎪-=-+>⎪⎩，解不等式即可得答案.（2）根据题意得2(1)0ax b x c +-+=有两个相等的实根2，故144b a c a =-⎧⎨=⎩，再根据二次函数性质分当0a <时， 当104a <<时，当14a ≥时三种情况求解即可得答案. 【详解】 （1）因为{1,2}A =，所以1和2是2(1)0axb xc +-+=的两根，所以由韦达定理得112,12,b a c a-⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩解得132b a c a =-⎧⎨=⎩，， 因为(0)0f >，所以2c a =，即0a >，此时2222(1)4980b ac a a a ∆=--=-=>，又因为方程(0)0f =的两根都小于1-， 所以24012(1)0b ac b a f a b c ⎧-≥⎪⎪-<-⎨⎪-=-+>⎪⎩，将13b a =-,2c a =代入得22(13)80132(13)20a a a aa a a ⎧--≥⎪->⎨⎪--+>⎩所以26101516a a a a ⎧⎪-+≥⎪⎪<⎨⎪⎪>⎪⎩，解得136a <≤- （2）因为{2}A =，所以2(1)0ax b x c +-+=有两个相等的实根2， 故12222b a c a-⎧-=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，，解得144b a c a =-⎧⎨=⎩．此时222(1)416160b ac a a ∆=--=-=，所以2()(14)4f x ax a x a =+-+，对称轴为411222a x a a -==-, ①当0a <时，则1222a ->，()f x 在[2,2]-上单调递增，所以max ()(2)2f x f ==； ②当104a <<时，则1222022a -+-<=，max ()(2)2f x f ==； ③当14a ≥时，则1222022a -+-≥=，max ()(2)162f x f a =-=-， 综上：()max 12,0,,04()1162,4a f x a a ⎧⎛⎫∈⋃-∞ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-≥⎪⎩．【点睛】本题考查二次函数的根的分布，分类讨论法求函数的最值，考查分类讨论思想和数学运算能力，是中档题.。