高中苏教版 数学同步教学参考课件必修一 第3章-3.3幂函数
幂函数(课件)-高一数学课件(苏教版2019必修第一册)
当 a =3 时, 函数为 y = x3, 三次函数特例.
1
1
当 a = 时, 函数为 y = x 2 =
2
x.
1
当 a = -1 时, 函数为 y =
, 反比例函数特例.
x
思考：这些函数我们已经学习过他们的图形与性质，怎样探究其他
的幂函数的图像与性质呢？
x-1 =
下面我们画出这5个函数的图象:
数学探究
1
2
问题:函数y=x , y=x2 , y=x3 , y= , y=x-1是什么函数?
一般地, 函数 y=xa 叫做幂函数, 其中 x 是自
变量, a 是常数.
即幂函数的底数是自变量, 指数是常数, 函数是自变量 x 的 a 次幂.
练. 在函数 y=
1,
x2
y=2x2, y=x2+x, y=1 中, 哪几个函数是幂函数?
1
答: y = 2 = x -2 和 y=1=x0 是幂函数.
x
1
我们来研究讨论 a =1, 2, 3, , -1 的情况.
2
概念巩固
例1(1)已知幂函数 y=f(x) 的图象过点(2,
2 ), 试求这个函数的解析式.
解: 设幂函数为 y=xa, 其图象过点 (2, 2 ), 则 2 = 2a , 得a = 1 ,
解得： 2<a<4
1
−2
,定义域(0,+∞)且单调递减.
数学应用
例3. 已知幂函数y=
1
−3
(n∈N*)的定义域为(0,+∞),且单调递减,求n的值.
解：因为定义域为(0,+∞)，且单调递减，
所以n-3<0, 即n<3;
苏教版高中数学高一《幂函数》精品课件 苏教
变式训练
③中介比较法；
④利用单调性较．
3
3
⑤图象比较法等。
若a4 0.54，则a的取值范围是:
答案: [0 , 0.5）
22
、求下列幂函数的定义域，并指 出其奇偶性、单调性
y
2
x 3,y
x 0,y
2
x 3,y
x2
24
20
例2．比较下列各组数的大小：
(1)3
5 2
和3.1
5 2
(2)(
2 )
2 3
和(
2
)3
3
6
解：（１）幂函数
5
yx 2
在（０，＋∞）上
为减函数，且
3
3.1,
所以3
5 2
5
3.1 2
2
（２）幂函数 y x 3 在（０，＋∞）上为减函数，
且
(
2
)
2 3
(
2
2
)3
,
(
)
2 3
(
2
)3
，又因为
2
，所以
根据此表, 我们可以得到价格x与需求量y之间近似 地满足关系 y 114.8746x0.3815192 .
求 这 个 函 数 关 系 式 的 方法 将 在 第2.6 节 中 介 绍.
这 个 关 系 式 与 函 数 y x 是 0.3815192 相 关 联 的.
函 数 y x0.3815192 是 指 数 函 数 吗?
上述问题中涉及的函数，都是形如y=xa的函数。
3
经 调 查, 一 种 商 品 的 价 格 和 需 求的 关 系 如 下 表 所 示.
价格/ 元 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 需求量/ t 139.6 135.4 131.6 128.2 125.1 122.2 119.5
苏教版必修一.《幂函数》ppt
因为0 x1 x2 ,所以x1 x2 0, x1 x2 0,
所 以f ( x1 ) f ( x2 ) 即幂函数f ( x) x在[0, )上的增函数.
例3. 利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3-2与 0.30.3-2
（1）y=x
2 5
（2）y=x
1 3
3
（3）y=x 4
（4）y=x-2
2、已知幂函数y f ( x)的图象过点(2, 2),
试 求 出 这 个 函 数 的 解 析式.
解 : 设 所 求 幂 函 数 为y x ,
因 为 函 数 过 点(2, 2 ),所 以 2 2 ,
所 以 log2
幂函数的定义域、奇偶性、单调性，因函数式
中k的不同而各异.
１.所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1);
２.如果k>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1)
并在(0,+∞)上为增函数;
k>1
0<k<1
３.如果k<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在
(0,+∞)上为减函数;
形的边长a
1
S2
1
y x2
(5)如果人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均
速度 V t 1 km / s
y x1
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来 表示,则它们的函数关系式将是: y x
定义
一 般 地,函 数y x叫 做 幂 函 数,其 中x是 自 变 量,
看看未知数x是指数还是底数
苏教版高中数学必修一课件第3章-指数函数、对数函数和幂函数3.1.1+56张
【答案】 (1)－8 (2)10 (3)π－3 (4)m－n
根式与分数指数幂的互化
【思路探究】 各小题中均含有根式，可将根式化为分 数指数幂形式，根据分数指数幂的运算性质求解．
【自主解答】
1．此类问题应熟练应用 ＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)求解．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数， 由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
2．一般来说，应化根式为分数指数幂，利用幂的运算性 质运算．
用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0 ，b>0)：
3 (1)
8－4；(2)4
－260；(3)a33
a2；(4)
a
a；(5)
ab3 ab5.
【解】
利用分数指数幂的运算性质化简求值
【思路探究】 先化简各个分数指数幂，然后再进行四 则运算，注意一般先将小数化为分数．
3．已知 a>0 且 a＋a－1＝2，则 a2＋a－2＝________. 【解析】 a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝4－2＝2. 【答案】 2
【解】
课时作业（十一）
【思路探究】 令 pa3＝qb3＝rc3＝k，用等量代换分别表 示出所证等式左、右两边的量，最后化简判断．
【自主解答】
对于“恒等式”，如本例，我们往往令它等于一个常数 k，然后以 k 为“媒介”化简，这样可以使问题很容易解决．
计算下列各式的值
3 (1)
－83＝________；(2)
－102＝________；
4 (3)
3－π4＝________；(4)
m－n2(m>n)＝________.
【解析】 3 －83＝－8； －102＝ 102＝10；
苏教版高中数学必修一课件第3章-指数函数、对数函数和幂函数3.1.2第2课时+46张
解决实际应用题的步骤： (1)领会题意，并把题中的普通语言转化为数学语言； (2)根据题目要求，分析量与量之间的关系，建立恰当的 函数模型，并注意对变量的限制条件，加以概括； (3)对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理，求 出解； (4)检验：将数学问题的解代入实际问题检查，舍去不符 合题意的解，并作答．
在只有一个中间函数的复合函数中，如 y＝af(x)(a>0 且 a≠1)，其中原函数是 y＝au，中间函数是 u＝f(x)，若原函数 与中间函数单调性相同，则复合函数为增函数；若原函数与 中间函数单调性相异，则复合函数为减函数．
【解析】 外层函数为 y＝(12)u，内层函数为 u＝x2－2x ＋2.
●教学建议 1．关于函数图象变换的教学 建议教师结合教材例 3 总结基本函数图象的变换规律， 即 y＝f(x)的图象通过平移得到 y＝f(x＋a)与 y＝f(x)＋a 的图 象，通过对称可得到 y＝f(－x)，y＝－f(x)与 y＝－f(－x)的图 象，并比较它们变换的不同之处．
2．关于指数函数单调性应用的教学 建议教师在教学时，对学生特别强调底数 a 的范围对于 单调性的影响，以便利用单调性进行数的大小比较以解不等 式，对于含有参数的不等式要注意分类讨论． 3．关于指数函数型模型的应用题的教学 建议教师在加强学生对函数概念的理解和指数函数性质 的运用时，同时要强调面对具体的问题，对其中蕴含的一些 数学模型进行思考和作出判断，建立合理的数学模型，通过 数学的方式解决实际应用题．
∴当 a＝1 时，f(x)为奇函数.
忽略指数函数的值域致误
已知方程 9x－2·3x＋3k－1＝0 有两个实数解，试 求实数 k 的取值范围．
【错解】 令 t＝3x，则原方程可化为 t2－2t＋3k－1＝0， 要使方程有两个实数解，则 Δ＝(－2)2－4(3k－1)≥0， 解得 k≤23. 【错因分析】 换元后 t＝3x>0.Δ≥0 只能保证方程 t2－ 2t＋3k－1＝0 有两个实数解，不能保证原方程有两个实数解．
苏教版数学必修一新素养同步讲义：3.3 幂函数
3.3 幂函数1.了解幂函数的概念．2.掌握y ＝x 、y ＝x 2、y ＝x 3、y ＝x －1、y ＝x －2、y＝x 12的图象和性质．3．会运用幂函数的图象和性质解决问题．[学生用书P58]1．幂函数的概念函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象与性质 (1)五种常见幂函数的图象(2)五类幂函数的性质 幂函数 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪ (0，＋∞) 值 域 R [0，＋∞) R [0，＋∞){y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0，＋∞)，增x ∈(－∞，0]，减增 增 x ∈(0，＋∞)，减x ∈(－∞，0)，减公共点 都经过点(1，1)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x 0(x ≠0)是幂函数．( )(2)幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1)．( ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( ) ★★答案★★：(1)√ (2)× (3)× 2．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3 C ．y ＝2x D ．y ＝x －1★★答案★★：C3．若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________． ★★答案★★：34．若幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，9)，那么函数f (x )的单调增区间是________． ★★答案★★：[0，＋∞)幂函数的概念[学生用书P58](1)下列函数为幂函数的序号是________． ①y ＝－x 2；②y ＝2x ； ③y ＝x π；④y ＝(x －1)3； ⑤y ＝1x 2；⑥y ＝x 2＋1x.(2)若幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (9)＝________．【解析】 (1)①y ＝－x 2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y ＝2x 是指数函数；④y ＝(x －1)3的底数是x －1而不是x ，故不是幂函数；⑥y ＝x 2＋1x 是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．(2)设f (x )＝x α，则2α＝22，所以α＝32，所以f (x )＝x 32.所以f (9)＝932＝33＝27.【★★答案★★】 (1)③⑤ (2)27幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．1.已知函数f (x )＝(m 2＋2m －2)·xm 2－m －1是幂函数，则m ＝( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．1或3解析：选C.由题意知，若f (x )为幂函数， 则m 2＋2m －2＝1.即m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1或m ＝－3.幂函数的图象[学生用书P59]已知幂函数y ＝x m －2(m ∈N )的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m的值，并画出它的图象．【解】 因为图象与x ，y 轴都无交点， 所以m －2≤0，即m ≤2. 又m ∈N ，所以m ＝0，1，2.因为幂函数图象关于y 轴对称，所以m ＝0，或m ＝2. 当m ＝0时，函数为y ＝x －2，图象如图1； 当m ＝2时，函数为y ＝x 0＝1(x ≠0)，图象如图2.(1)幂函数y ＝x α的图象恒过定点(1，1)，且不过第四象限．(2)解决幂函数图象问题，需把握两个原则：①幂指数α的正负决定函数图象在第一象限的升降；②依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，在第一象限内，直线x ＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．2.已知当n 取±2，±12四个值时，幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为________．解析：抓住幂函数图象的特征，在第一象限内当0＜α＜1时，图象平缓上升；当α＞1时，图象陡峭上升；当α＜0时，图象下降，且在(1，＋∞)上，指数大的图象在上方．由题图，知C 1的指数n ＞1，C 2的指数0＜n ＜1，即C 1的指数n 取2，C 2的指数n 取12.再取x ＝2，由2－12＞2－2知C 3的指数n 取－12，C 4的指数n 取－2.★★答案★★：2，12，－12，－2幂值的大小比较问题[学生用书P59]比较下列各组数的大小： (1)1.332，1.432，(－2)13；(2)1.712，0.712，0.72.【解】 (1)考察幂函数y ＝x 32，因为32>0，所以y ＝x 32在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于0<1.3<1.4，所以0<1.332<1.432， 又因为(－2)13<0，所以1.432>1.332>(－2)13.(2)考察幂函数y ＝x 12.因为12>0，所以y ＝x 12在区间[0，＋∞)上是单调增函数．由于0.7<1.7，所以0.712<1.712，再考察指数函数y ＝0.7x ，因为0<0.7<1，所以y ＝0.7x 是R 上的单调减函数．由于0<12<2，所以0.712>0.72，综上1.712>0.712>0.72.当两个值的底数是同一个正数时，用指数函数模型比较两个值的大小；当两个值的指数是同一个实数时，用幂函数模型比较两个值的大小，特别地，当底数是负数时，先利用幂函数的性质，将底数是负数的幂化为底数是正数的幂，再利用指数函数模型或幂函数模型比较两个值的大小．3.比较下列各组数的大小：(1)2.112，2.212，0.213；(2)3.535，0.535，0.545.解：(1)考察幂函数y ＝x 12，因为12>0，所以y ＝x 12在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于1<2.1<2.2，所以1<2.112<2.212，又因为0.213<1，所以2.212>2.112>0.213.(2)考察幂函数y ＝x 35.因为35>0，所以y ＝x 35在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于0.5<3.5，所以0.535<3.535，再考察指数函数y ＝0.5x ，因为0<0.5<1，所以y ＝0.5x 是R 上的单调减函数，由于0<35<45，所以0.535>0.545，综上3.535>0.535>0.545.1．指数函数与幂函数的区别 函数名称 解析式 解析式特征指数函数 y ＝a x (a ＞0， 且a ≠1) 底数是常数，自变量在指数位置上 幂函数y ＝x α(α∈R )指数是常数，自变量在底数位置上2.幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)． (2)α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸； 当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸．(3)α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为________．[解析] 当α＝1，3时，函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数，当α＝－1时，y ＝1x 的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }．当α＝12时，y ＝x 12＝x 的定义域是{x |x ≥0}． [★★答案★★] 1，3(1)y ＝x－1易忽视定义域的限制，其定义域应为{x |x ≠0}．(2)在幂函数的有关问题中，要理解幂函数的概念，掌握好五种幂函数的图象和性质，当α为正奇数时幂函数f (x )＝x α的定义域为R 且为奇函数，解决此类问题，要特别注意α的取值范围．1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝x －3 C ．y ＝2x 3 D ．y ＝x 3－1★★答案★★：B2．下列函数中值域为(－∞，＋∞)的函数是( )A ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xB ．y ＝x 2C ．y ＝1x 2D ．y ＝x 3★★答案★★：D 3．函数y ＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．解析：因为函数y ＝x －3＝1x 3在(－∞，0)上单调递减，所以当x ＝－2时，y min ＝(－2)－3＝1（－2）3＝－18. ★★答案★★：－184．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．解析：因为y ＝x－1图象在第一、三象限，y ＝x 与y ＝x 3图象都经过第一、三象限，y ＝x 12图象仅经过第一象限，故α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，图象不可能经过第二、四象限． ★★答案★★：二、四[学生用书P116(单独成册)])[A 基础达标]1．在下列函数中，定义域和值域不同的是( ) A ．y ＝x 13B ．y ＝x 12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析：选D.A 、C 的定义域和值域都是R ；B 的定义域和值域都是[0，＋∞)；D 的定义域是R ，值域是[0，＋∞)．故选D.2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选A.因为幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，所以k ＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12α＝2，即α＝－12，所以k ＋α＝12.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A.所给选项都是幂函数，其中y ＝x－2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x－1和y ＝x 13不是偶函数，故排除选项B 、D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.4．已知m ＝(a 2＋3)－1(a ≠0)，n ＝3－1，则( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．m 与n 的大小不确定解析：选B.设f (x )＝x －1，已知a ≠0， 则a 2＋3>3>0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 则f (a 2＋3)<f (3)， 即(a 2＋3)－1<3－1， 故m <n .5．函数y ＝x |x |的图象大致是( )解析：选A.由题可得，y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2， x <0，从而可知A 为正确选项，另外，易知函数y ＝x |x |为奇函数．6.如图，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则m ，n 与0的大小关系是________．解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减， 故m ＜0，n ＜0. 取x ＝2，则有2m ＞2n ， 故n ＜m ＜0.★★答案★★：n ＜m ＜07．当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x α的图象在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是________．解析：幂函数y ＝x 12，y ＝x －1，y ＝x 0在区间(1，＋∞)上时图象在直线y ＝x 的下方，一般地，当α<0，α＝0，0<α<1时f (x )＝x α在(1，＋∞)上的图象都在直线y ＝x 下方，故α的取值范围是(－∞，1)．★★答案★★：(－∞，1)8．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________． 解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α， 所以y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α<0. ★★答案★★：α＜0 9．已知函数f (x )＝x －m ＋3(m ∈N *)是偶函数，且f (3)<f (5)，求m 的值，并确定f (x )的函数解析式．解：由f (3)<f (5)，得3－m ＋3<5－m ＋3，所以⎝⎛⎭⎫35－m ＋3<1＝⎝⎛⎭⎫350.因为y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数， 所以－m ＋3>0. 解得m <3. 又因为m ∈N *， 所以m ＝1或2； 当m ＝2时，f (x )＝x －m ＋3＝x 为奇函数，所以m ＝2舍去． 当m ＝1时，f (x )＝x －m ＋3＝x 2为偶函数，所以m ＝1， 此时f (x )＝x 2.10．已知f (x )＝x ，g (x )＝x 13，设F (x )＝f (x )＋g (x )，试判断F (x )的奇偶性与单调性． 解：因为f (x )，g (x )的定义域均为R ， 所以F (x )＝f (x )＋g (x )＝x ＋x 13的定义域为R .又F (－x )＝－x ＋(－x )13＝－(x ＋x 13)＝－F (x )， 所以F (x )是奇函数．因为f (x )与g (x )在R 上均为增函数， 所以F (x )在R 上也为增函数．[B 能力提升]1．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1，0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1解析：选B.在(0，1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0＜m ＜1，n ＜－1.2.给出下列四个函数：①y ＝x 13；②y ＝x －13；③y ＝x －1；④y ＝x 23，其中定义域和值域相同的是________．(写出所有满足条件的函数的序号) 解析：函数y ＝x 13的定义域和值域都为R ；函数y ＝x －13与y ＝x－1的定义域和值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)；函数y ＝x 23的定义域为R ，值域为[0，＋∞)．★★答案★★：①②③ 3.已知幂函数y ＝x m2＋2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求幂函数的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．解：由幂函数的性质可知m 2＋2m －3＜0⇒(m －1)(m ＋3)＜0⇒－3＜m ＜1， 又因为m ∈Z ， 所以m ＝－2，－1，0.当m ＝0或m ＝－2时，y ＝x －3， 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为－3＜0， 所以y ＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，又因为f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )， 所以y ＝x－3是奇函数．当m ＝－1时，y ＝x －4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为f (－x )＝(－x )－4＝1（－x ）4＝1x 4＝x －4＝f (x )， 所以函数y ＝x－4是偶函数．因为－4＜0， 所以y ＝x－4在(0，＋∞)上是减函数．又因为y ＝x －4是偶函数，所以y ＝x－4在(－∞，0)上是增函数．4．(选做题)已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明； (3)试在(－∞，0)上解不等式f (x )<f (2x ＋1)． 解：(1)因为f (4)＝－72，所以24－4m ＝－72，m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上是减函数．证明如下：任取x 1、x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则x 1－x 2<0， 所以f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 2－⎝⎛⎭⎫2x 1－x 1 ＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫2x 2－2x 1＝(x 1－x 2)＋2x 1x 2(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2x 1x 2＋1. 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)． 所以f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上是减函数．(3)因为f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝2－x＋x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．所以f (x )在(－∞，0)上是减函数．所以f (x )<f (2x ＋1)的解满足⎩⎪⎨⎪⎧x <0，2x ＋1<0，x >2x ＋1.解得x <－1.所以f (x )<f (2x ＋1)的解集为{x |x <－1}．。
高中数学(苏教版)必修一讲义：第三章 3.3 幂 函 数
考察以下几个函数： y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x .问题1：这几个函数是指数函数吗？ 提示：不是指数函数． 问题2：它们有什么共同特征？提示：幂的底数是自变量，指数是常数． 问题3：你能举出一个这样的函数的实际例子吗？提示：正方体的棱长为x ，它的体积关于x 的函数关系式是V ＝x 3.幂函数的概念：一般地，我们把形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12，y ＝x －2的图象如图所示．问题1：它们的图象都过同一个定点吗？ 提示：是的．都过定点(1,1)．问题2：这六个函数的图象哪些关于原点对称，哪些关于y 轴对称？ 提示：y ＝x ，y ＝x 3，y ＝x－1关于原点对称，而y ＝x 2，y ＝x－2关于y 轴对称．问题3：通过观察这六个函数的图象，在第一象限内，哪些是增函数，哪些是减函数？ 提示：在第一象限内，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y＝x12是增函数，y ＝x －1，y ＝x －2是减函数．问题4：这几个函数在第四象限有图象吗？ 提示：没有．幂函数y ＝x ，y ＝x2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1，y ＝x －2的性质：函数 特征 性质y ＝xy ＝x 2y ＝x 3y ＝x 12y ＝x －1y ＝x －2定义域 R R R {x |x ≥0} {x |x ≠0} {x |x ≠0} 值域 R {y |y ≥0} R {y |y ≥0} {y |y ≠0} (0，＋∞)奇偶性奇偶 奇非奇非偶奇偶单调性增x ∈[0，＋∞)增， x ∈(－∞，0] 减增增x ∈(－∞，0) 减，x ∈(0，＋∞) 减x ∈(0，＋∞) 减，x ∈(－∞，0) 增 公共点(0,0)，(1,1)(1,1)1．幂函数y ＝x α的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y ＝a x中，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x ＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大到小；在直线x ＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．[例1] 已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是：①幂函数；②正比例函数；③反比例函数；④二次函数？[思路点拨] 根据各相应函数的定义，列出系数、指数满足的方程或不等式求解． [精解详析] ①∵f (x )是幂函数， 故m 2－m －1＝1，即m 2－m －2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1.②若f (x )是正比例函数，则－5m －3＝1， 解得m ＝－45，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－45.③若f (x )是反比例函数，则－5m －3＝－1， 解得m ＝－25，此时m 2－m －1≠0，故m ＝－25.④若f (x )是二次函数，则－5m －3＝2，得m ＝－1. 此时m 2－m －1≠0，故m ＝－1.[一点通] 将正比例函数、反比例函数、二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区别它们之间的不同点，根据各自定义：①正比例函数y ＝kx (k ≠0)；②反比例函数y ＝kx (k ≠0)；③二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；④幂函数y ＝x α(α∈R )，转化为系数和指数的取值问题．1．下列函数中是幂函数的为________．①y ＝1x 2；②y ＝－3x 3；③y ＝x 13＋x 2；④y ＝x π；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝2x 2＋1；⑦y ＝4.解析：具备形式y ＝x α的函数是幂函数，所以①y ＝1x 2＝x －2，④y ＝x π是幂函数，其他都不是幂函数．★答案★：①④2．若函数f (x )＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数，则m 的值为________． 解析：因为函数f (x )＝(2m ＋3)xm 2－3是幂函数， 所以2m ＋3＝1，即m ＝－1. ★答案★：－1[例2] 讨论函数f (x )＝x －23的定义域、值域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象求出函数的单调区间．[思路点拨] 首先将幂函数化成根式的形式，再讨论定义域、值域、奇偶性，作图象． [精解详析] ∵y ＝x －23＝13x 2，∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 令f (x )＝13x 2，∵f (－x )＝13(－x )2＝13x 2＝f (x )．∴y ＝x －23是偶函数．其图象如图所示．由图可知，函数在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．[一点通] 幂函数y ＝x α的图象和性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图象过(0,0)和(1,1)，在第一象限图象上升是增函数；α<0时，图象过(1,1)，不过(0,0)，在第一象限图象下降是减函数，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸，0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．3．下列命题正确的个数是________． ①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线 ②幂函数的图象都经过(0,0)、(1,1)两点③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大 ④幂函数的图象不可能在第四象限⑤图象不经过点(－1,1)的幂函数一定不是偶函数 解析：序号 结论 原因① 错误 直线上不含(0,1)点② 错误 如y ＝1x 在x ＝0处没意义，不过(0,0)③ 错误 如y ＝1x 在(0，＋∞)上随x 增大而减小④ 正确 在x >0时，x α>0⑤正确点(－1,1)与点(1,1)关于y 轴对称★答案★：4．如图，曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α分别取－1,1，12，2四个值，则图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的α依次为________．解析：作直线x ＝x 0(x 0>1)与四条曲线相交，有x －10<x 012<x 0<x 20，由图可知图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的α分别是2,1，12，－1.★答案★：2,1，12，－15．若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(2，12)在幂函数g (x )的图象上，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，求函数h (x )的最大值以及单调区间． 解：设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以(2)α＝2，解得α＝2，所以f (x )＝x 2.又设g (x )＝x β，由点(2，12)在幂函数g (x )的图象上，所以2β＝12，解得β＝－1，所以g (x )＝x －1.在同一坐标系中画出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x－1的图象，由题意及图可知h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x <0或x >1，x 2，0<x ≤1， 根据函数h (x )的解析式及图象可知函数h (x )的最大值为1， 所以h (x )的单调增区间是(0,1]，单调减区间是(－∞，0)和(1，＋∞).[例3] 比较下列各组数中两个值的大小： (1)(23)13与(34)13；(2)(－23)－2与(－34)－2； (3)(a ＋1)3与a 3；(4)31.4与51.5.[思路点拨] 分别构造出相对应的幂函数，然后再利用函数的单调性比较值的大小． [精解详析] (1)函数y ＝x 13在R 上为增函数， ∵23<34，∴(23)13<(34)13. (2)函数y ＝x－2在(－∞，0)为增函数，∵－23>－34，∴(－23)－2>(－34)－2.(3)函数y ＝x 3在R 上为增函数，∵a ＋1>a ，∴(a ＋1)3>a 3.(4)函数y ＝3x 与y ＝x 1.5在(0，＋∞)上均为增函数， ∵1.4<1.5,3<5，∴31.4<31.5,31.5<51.5， ∴31.4<51.5.[一点通] 比较幂式的大小时，首先判断所比较的两个幂式的底数和指数是否相同．若指数相同，底数不同，则考查幂函数；若底数相同，指数不同，则考查指数函数；若底数和指数均不同，要引进中间量，综合考查指数函数和幂函数．6．已知(3－2a )13<(2＋a )13，则a 的取值范围是________． 解析：∵幂函数f (x )＝x 13在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴3－2a <2＋a . 解得a >13.∴a 的取值范围是(13，＋∞)．★答案★：(13，＋∞)7．比较下面各组数的大小： (1)(78)78，(87)78； (2)(－2.1)37，(－2.2)37； (3)(－π)23-，(－23)23-.解：(1)∵78>0，y ＝x 78在[0，＋∞)上是单调增函数，且78<87，∴(78)78<(87)78.(2)∵(－2.1)37＝－2.137，(－2.2)37＝－2.237， 经比较知2.137<2.237，∴(－2.1)37>(－2.2)37. (3)∵(－π)23-＝π23-，(－23)23-＝(23)23-，经比较知π23->(23)23-，∴(－π)23->(－23)23-.简单的幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f (1)＝1，幂函数过定点(1,1)．(2)如果α>0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数． (3)如果α<0，幂函数在x ＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．一、填空题1．已知幂函数f (x )的图象过点(2，2)，则其表达式为f (x )＝________．解析：设f (x )＝x a ，图象过点(2，2)，即2＝2a，则a ＝12，故f (x )＝x 12.★答案★：x 122．设α∈{－2，－1，－12，13，12，1,2,3}，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上是单调增函数的α的值的个数为________．解析：∵f (x )＝x α为奇函数，∴α＝－1，13，1,3.又f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，∴α＝13，1,3.共3个．★答案★：33．函数y ＝x 13的图象是________．解析：当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x .故图象是②. ★答案★：②4．幂函数f (x )的图象过点(2，m )且f (m )＝16，则实数m 的值为________．解析：设幂函数f (x )＝x a ，由图象过点(2，m )，得f (2)＝2a ＝m ，所以f (m )＝m a ＝2a 2＝16，解得a ＝－2或2，所以m ＝22＝4或m ＝2－2＝14.★答案★：4或145．已知x 2>x 13，则x 的取值范围是________． 解析：作出函数y ＝x 2和y ＝x 13的图象(如图所示)． 由图象易知x <0或x >1.★答案★：(－∞，0)∪(1，＋∞)6．给出幂函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x ；⑤f (x )＝1x .其中满足条件f (x 1＋x 22)<f (x 1)＋f (x 2)2(x 1>x 2>0)的函数序号是________．(填入所有正确的序号)解析：结合图象可知满足条件的函数图象在第一象限向下凸起，②③⑤都是向下凸起，①没有凸起，④向上凸起，故满足条件的只有②③⑤.★答案★：②③⑤ 二、解答题7．比较下列各组数的大小． (1)312和3.112；(2)－8－1和－9－1；(3)(12)23，(15)23和(12)13. 解：(1)构造函数f (x )＝x 12，此函数在[0，＋∞)上是增函数，∵3<3.1， ∴312<3.112.(2)构造f (x )＝x －1，此函数在(0，＋∞)上是减函数， ∵8<9，∴8－1>9－1， ∴－8－1<－9－1.(3)构造函数y ＝x 23，此函数在[0，＋∞)上是增函数， 则(12)23>(15)23. 构造函数y ＝(12)x ，此函数在R 上是减函数，则(12)23<(12)13， 故(15)23<(12)23<(12)13. 8.点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )?解：设f (x )＝x α，则由题意得2＝(2)α，∴α＝2，即f (x )＝x 2. 再设g (x )＝x β， 则由题意得14＝(－2)β，∴β＝－2，即g (x )＝x －2，在同一坐标系中作出f (x )与g (x )的图象，如图所示． 由图象可知：①当x >1或x <－1 时，f (x )>g (x )； ②当x ＝±1时，f (x )＝g (x )； ③当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．9．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m3的a 的取值范围．解：∵函数在(0，＋∞)上单调递减， ∴3m －9<0，解得m <3. 又m ∈N *，所以m ＝1,2.∵函数图象关于y 轴对称，∴3m －9为偶数，∴m ＝1. ∴(a ＋1)－13<(3－2a )－13.∵y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减．∴a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ， 解得23<a <32或a <－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32).。
高中数学苏教版高一必修1素材名师导航3.3幂函数
2.4 幂函数 名师导航知识梳理1.幂函数的概念定义：形如___________的函数叫做幂函数，其中___________是自变量，___________是常数.注意：在这里我们只讨论α为有理数时的简单的幂函数.虽然y=x 、y=x 2是幂函数，但并不是所有的一次函数、二次函数都是幂函数，如：y=x+1、y=2x 2+1、y=x-1、y=x 2+2x 、y=2x 都不是幂函数，它们并不满足幂函数的定义，但它们是与幂函数相关联的函数，它们是由幂函数与常数经过算术运算得到的. 2.幂函数的定义域幂函数的定义域就是使幂函数有意义的实数x 的集合.如果幂函数的指数是常数，则幂函数的定义域较好求，若是给 出字母指数，应分四种情况讨论y=x n 的定义域. (1)当指数n 是正整数时，y=x n 的定义域是___________.(2)当指数n 是正分数时，设n=qp (p 、q 是互质的正整数，q>1)，则x n =q p qpx x =.如果q 是奇数，y=x n 的定义域是_____________； 如果q 是偶数，y=x n 的定义域是_____________. (3)当指数n 是负整数时，设n=-k ，则x n =kx 1. 显然x ≠0，y=x n 的定义域是. (4)当指数n 是负分数时，设n=-qp(p 、q 是互质的正整数，q>1),则x n =qpqp xx 11=.如果q 是奇数，y=x n 的定义域是_____________； 如果q 是偶数，y=x n 的定义域是_____________. 3.幂函数的图象描绘幂函数的图象：依幂函数的定义域先列出对应值表，再用描点法作图.列出对应值表是描点法的关键.例如，画出函数y=x -2，y=21-x的图象.-2y=21-x定义域为(0,+∞)(图(2)).(1) (2)4.幂函数的性质当n>0时，幂函数y=x n 有下列性质： (1)图象都通过点(0，0)，(1，1)；(2)在第一象限内，函数值y 随x 的增大而增大. 当n<0时，幂函数y=x n 的性质： (1)图象都过点(1，1);(2)图象以直线x=0，y=0为渐近线;(3)在第一象限内的图象是下降的，即函数值y 随x 的增大而减小;(4)x ∈(0,1)时，n 越大曲线越靠近y 轴,x ∈(1,+∞)时，n 越小曲线越靠近x 轴. 疑难突破1.幂函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=21x ,y=x -1的性质是什么？ 幂函数 y=x y=x 2 y=x 3 y=21x y=x -1 定义域 R R R ［0,+∞) {x|x ∈R 且x ≠0} 值域 R ［0,+∞) R ［0,+∞) {y|y ∈R 且y ≠0}奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇单调性 增x ∈［0,+∞)时,增;x ∈(-∞,0)时,减增增 x ∈(0,+∞)时,减; x ∈(-∞,0)时,减过定点(1,1),(0,0) (1,1),(0,0) (1,1),(0,0)(1,1),(0,0)(1,1)2.当n 取不同的有理数时，幂函数y=x n 的定义域怎样？ 当n ∈N *时，定义域为R ； 当n=0时，定义域为{x|x ≠0}；当n 为负整数时，定义域为{x|x ≠0}； 当n=qp(p 、q ∈N *,q>1且p 、q 互质)时， ①若q 为偶数，则定义域为［0,+∞)； ②若q 为奇数，则定义域为R ； 当n=-qp(p 、q ∈N *,q>1且p 、q 互质)时， ①若q 为偶数，则定义域为(0,+∞)； ②若q 为奇数，则定义域为{x|x ≠0}. 问题探究问题1 幂函数与指数函数有何不同？探究思路：虽然幂函数和指数函数的表达式都是指数式的形式，但二者的定义域不同，即指数函数y=a 2中，指数是自变量，而幂函数y=x α中，底数是自变量.当然，由此可见，二者的对应关系和值域也不同.问题2 分数指数幂可以与根式相互转化.把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性.利用几何画板画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点. (1)y=21x ；(2)y=31x ；(3)y=32x ；(4)y=35x . 探究思路：先将各式化为根式形式：(1)y=x ；(2)y=3x ；(3)y=32x ；(4)y=35x .函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x 的集合；奇偶性直接利用定义进行判断. (1)的定义域为[0，+∞)，(2)(3)(4)的定义域都是R ；其中(1)既不是奇函数也不是偶函数，(2)(4)是奇函数，(3)是偶函数.它们的图象都经过点(0，0)和(1，1)，且在第一象限内函数图象自左而右呈上升趋势，即函数在x ∈[0，+∞)上单调递增. 典题精讲 例1 若21)1(-+a ＜21)23(--a ，则a 的取值范围是______________.思路解析 因为函数y=21x 在[0，+∞)上单调递增，所以y=21-x在[0，+∞)上单调递减.所以⎪⎩⎪⎨⎧>->+->+,023,01,231a a a a 解得32＜a ＜23.答案:(32，23) 例2 已知0＜a ＜1，试比较a a ，(a a )a ，)(a a a的大小.思路解析 为比较a a 与(a a )a 的大小，将它们看成指数相同的两个幂.由于幂函数f(x)=x a (0＜a ＜1＝在区间[0，+∞)上是增函数，因此只需比较底数a 与a a 的大小.由于指数函数y=a z (0＜a ＜1＝是减函数，且a ＜1，所以a ＜a a ，从而a a ＜(a a )a .比较a a 与(a a )a 的大小，也可将它们看成底数相同(都是a a )的两个幂，于是可以利用指数函数y=b x (b=a a ，0＜b ＜1)是减函数，由a ＜1，得到a a ＜(a a )a . 由于a ＜a a ，函数y=a z (0＜a ＜1)是减函数， 因此a a ＞)(a a a.答案:)(a a a＜a a ＜(a a )a .例3 下图中曲线是幂函数y=x α在第一象限的图象，已知α取±2，±21四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( ) A.-2,-21,21,2 B.2,21,-21,-2 C.-21,-2,2,21 D.2,21,-2,-21思路解析 要确定一个幂函数y=x α在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y=x α随着α值的改变图象的变化规律.随着α的变大，幂函数y=x α的图象在直线x=1的右侧从低向高分布.从图中可以看出，直线x=1右侧的图象，由低向高依次为C 1，C 2，C 3，C 4，所以α依次为2，21，-21，-2，故选择答案B. 答案:B例4 画函数y=1+x -3的草图，并求出其单调区间.思路解析 此函数的作图有两个途径，一是根据描点的方法作图，二是利用坐标系的平移来作图.一般说来，作草图时，利用坐标平移较为方便. 解：由y=1+x -3，得y-1=x -3，∴y=)3(--x +1. 此函数的图象可由下列变换而得到：先作函数y=x 的图象，作其关于y 轴的对称图象，即y=x -的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y=1+x -3的图象(如下图所示).知识导学1.幂函数的定义一般地，我们把形如y=x α的函数称为幂函数，其中，x 是自变量，α是常数.幂函数的定义域和值域是由它的幂指数来确定的，幂指数不同，定义域和值域也不同.掌握幂函数的关键一定要明确“形如y=x α的函数”这句话的重要作用. 幂函数的定义域比较复杂，应分类进行掌握： (1)当指数n 是正整数时，定义域是R .(2)当指数n 是正分数时，设n=qp (p 、q 是互质的正整数，q ＞1)，则x n =qpx =q p x .如果q 是奇数，定义域是R ；如果q 是偶数，定义域是[0，+∞). (3)当指数n 是负整数时，设n=-k ，x n =k x1，显然x 不能为零，所以定义域是{x|x ∈R 且x ≠0}.(4)当指数n 是负分数时，设n=-qp(p 、q 是互质的正整数，q ＞1)，则x n =qpqp xx 11=.如果q 是奇数，定义域是{x|x ∈R ，且x ≠0}； 如果q 是偶数，定义域是(0，+∞). 2.幂函数的图象与性质研究幂函数的图象与性质可通过对典型的幂函数y=x 2、y=x 3及y=21x 的图象研究归纳y=x n (n ＞0)的图象特征和函数性质，通过对幂函数y=x -2、y=x -3及y=21-x的图象研究归纳y=x n (n ＜0)的图象特征和函数性质.需要注意的有：(1)研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整数指数幂化为分式形式再去进行讨论.(2)对于幂函数y=x n (n ＞0)，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即n ＜0，0＜n ＜1和n ＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意n=0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛物负双曲，大竖直小横铺”，即n ＞0(n ≠1)时图象是抛物线型；n ＜0时图象是双曲线型；n ＞1时图象是竖直抛物线型；0＜n ＜1时图象是横卧抛物线型. 记忆口诀：如何分析幂函数，记住图象是关键，虽然指数各不同，分类之后变简单，大于0时抛物线，小于0时双曲线，还有0到1之间，抛物开口方向变，不仅开口向右方，原来图象取一半.函数奇偶看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数. 疑难导析1.对于五种常见的幂函数y=x,y=x 2,y=x 3，y=21x ,y=x -1,要熟悉其图象、性质，做题时要明确题目给出的是哪种类型的幂函数，以便应用图象及性质解题.2.在幂函数的定义中没有规定定义域，但这并不意味着定义域不用研究. (1)当n 是正分数时，设y=qp x ，其定义域是使qp x 有意义的x 的集合； (2)当n 是一个负整数或负分数时，设y=qpx-，则其定义域是使p x 1或q p x1有意义的x 的集合.问题导思在第一象限内,图象向上随着a 的减小与y 轴无限的接近,向右与x 轴无限的接近在第一象限内,图象向上随着a 的减小与y 轴无限的接近,向右与x 轴无限的接近 指数函数y=a x 的性质 图象通过点(0,1)图象通过点(0,1)在定义域内,函数单调递增(函数值随x 的增大而增大)在定义域内,函数单调递减(函数值随x 的增大而减小)在定义域内,图象向上与x 轴无限的接近;随着a 的减小而无限靠近y 轴在定义域内,图象向上与x 轴无限的接近;随着a 的增大而无限靠近y 轴典题导考绿色通道 虽然解决恒成立问题的方法很多，但这里由于是选择题，用赋值法较方便. 黑色陷阱 忘记幂函数底数需大于0，将导致解题失误. 典题变式当x ∈(1，+∞)时，函数y=x α的图象恒在直线y=x 的下方，则α的取值范围是( ) A.α＜1 B.0＜α＜1 C.α＞0 D.α＜0 答案:A绿色通道 解以上两个例题的关键都在于适当地选取某一个函数，函数选得恰当，解决问题就简单. 典题变式T 1=32)21(，T 2=32)51(，T 3=31)21(，则下列关系式正确的是( )A.T 1＜T 2＜T 3B.T 3＜T 1＜T 2C.T 2＜T 3＜T 1D.T 2＜T 1＜T 3 答案:D绿色通道 幂函数的图象在第一象限的排列顺序与幂指数的大小之间存在一定的对应关系，幂函数的图象在直线x=1的右侧，由低到高，幂指数α由小变大；在y 轴与直线x=1之间，由低到高，幂指数α由小变大.另外还应注意幂指数的取值对幂函数图象位置的影响：幂指数α＞0时，图象全是“抛物线型”，而幂指数α＜0时，图象全是“双曲线型”. 典题变式图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象，已知n 取±2,±41四个值，则相应于曲线C 1,C 2,C 3,C 4的n 依次为( )A.-2、-21、21、2B.2、21、-21、-2 C.- 21、-2、2、21 D.2、21、-2、-21答案:B黑色陷阱本题容易发生的错误：一是函数概念不清(该函数是以x为自变量的函数)；二是将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数也不再是原有的函数了.典题变式(1)求函数y=(x+2)-2的定义域、值域.讨论当x增大时，函数值如何变化？并画出图象；(2)问上述函数的图象与函数y=x-2的图象有何关系？解答:(1){x|x∈R且x≠-2};R+.当x＜-2时，函数值y随x的增大而增大，当x＞-2时，y随x的增大而减小.图象略. (2)将y=x-2的图象向左平移2个单位，即得到y=(x+2)-2的图象.。
高中数学 3.3幂函数配套课件 苏教版必修1
§3.3
问题 4 观察下列两组函数，说出它们的共同点与不同点：
(1)y＝x2，y＝x3，y＝
x
1 2
，
y＝x－1；
(2)y＝2x，y＝3x，y＝(12)x，y＝0.3x.
答 共同点：均是变量，
第二组：指数是自变量．
第十页，共30页。
研一研•问题(wèntí)探究、课堂更高效
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§3.3
跟踪训练 1 已知 y＝(m2＋2m－2) xm21 ＋2n－3 是定义域为 R
的幂函数，求 m，n 的值．
解
m2＋2m－2＝1 由题意得m2－1≠0
2n－3＝0
m＝－3 ，解得n＝32
，
所以 m＝－3，n＝32.
第十三页，共30页。
研一研•问题探究、课堂(kètáng)更高 效探究点二 幂函数的图象和性质
§3.3
问题 2 仔细观察这五个函数的图象，你能填写表格的内容吗？
y＝x y＝x2 y＝x3
1
y= x 2
y＝x－1
定义域 值域
奇偶性 单调性
定点
第十七页，共30页。
研一研•问题探究、课堂(kètáng)更高 效答
§3.3
定义域 值域 奇偶性
单调性
y＝x y＝x2
R
R
R [0，＋∞)
奇偶
在[0，＋∞) 上增 增 在(－∞，0] 上减
.
第二十四页，共30页。
练一练•当堂检测、目标(mùbiāo)达成落 实处
§3.3
1．已知幂函数 1
f(x)＝ xα
的 图 象 经 过 点 2，
2 2
，
则
f(4) ＝
2019-2020学年苏教版必修一 第3章 3.3 幂函数 课件(38张)
1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( )
A．y＝x－3
B．y＝－x3
C．y＝2x3
D．y＝x3－1.
A [幂函数是形如 y＝xα 的函数，观察四个函数只有 A 中函数是 幂函数．]
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2．已知幂函数 y＝xα 的图象过点(2， 2)，则 f(4)的值是_____．
2 [将点(2， 2)代入幂函数可得 f(2)＝2α＝ 2，解得 α＝12，即
②函数的定义域为 R，且为偶函数，故将 y 轴右侧的图象关于 y
2
轴对称到 y 轴左侧，即得到 y＝x3的图象(略)．
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2．从上述过程能否归纳出作幂函数 y＝xα 的图象的步骤？ [提示] ①先看 α，按 α<0,0<α<1，α>1 来分类(α＝0，α＝1 两种 特殊情况可直接作图)，并确定在第一象限的图象的形状． ②再看定义域以及函数的奇偶性，结合奇偶性利用图象变换得到 函数在 y 轴左侧的图象．
第3章 指数函数、对数函数和幂函数
3.3 幂函数
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学习目标
核心素养
1.了解幂函数的概念，会画出幂函数 y＝x，y＝
x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象．(重点)
通过学习本节内容
2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质．(难 提升学生的数学抽
点)
象和逻辑推理的数
3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．(重点、学核心素养.
1
1
幂函数为 f(x)＝x2，可得 f(4)＝42＝2.]
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3．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是________．(填序号)
1
(1)y＝x2；(2)y＝x4；(3)y＝x－1；(4)y＝x3. (2) [(1)为非奇非偶函数，(3)为不过(0,0)的奇函数，(4)为奇函数， 只有(2)符合题意．]
高中数学必修一课件 3.3 幂 函 数
2，
则 k＋α＝
()
A．12
B．1
C．32
D．2
解析：∵幂函数 f(x)＝kxα(k∈R ，α∈R )的图象过点12，
2，
∴k＝1，f 12＝12α＝ 2，即 α＝－12，∴k＋α＝12. 答案：A
3．若 y＝ax a2＋12 是幂函数，则该函数的值域是________． 解析：由已知 y＝ax a2＋12 是幂函数，得 a＝1，所以
A．y＝x＋2
B．y＝x2
C．y＝ x
D．y＝x3
解析：设幂函数的解析式为 y＝xα，当 x＝2 时，y＝4，
故 2α＝4，即 α＝2.
答案：B
知识点二 五个幂函数的图象与性质 (一)教材梳理填空
解析式 y＝x
y＝x2 y＝x3
1
y＝x 2
图象
y＝1x
定义域 _R__
_R__
__R_ _[0_，___＋__∞__) {_x_|_x_≠__0_}
[精准训练]
1．下列不等式在 a＜b＜0 的条件下不能成立的是 ( )
A．a－1＞b－1
1
1
B．a 3 ＜b 3
C．b2＜a2
-2
-2
D．a 3 ＞b 3
解析：分别构造函数
y＝x－1，y＝x
1 3
，y＝x2，y＝x -
2 3
，其
中函数 y＝x－1，y＝x2 在(－∞，0)上为减函数，故 A、C
成立．而
2．已知函数 f(x)＝(a2－a－1)xa－1 2为幂函数，则 a＝(
)
A．－1 或 2
B．－2 或 1
C．－1
D．1
解析：因为 f(x)＝(a2－a－1)xa－1 2为幂函数，所以 a2－a －1＝1，所以 a＝2 或－1.又 a－2≠0，所以 a＝－1. 答案：C
精美课件 3.3幂函数课件 苏教版必修1
y＝ x
y ＝ x2
y＝x3
y＝ x - 1
y＝x0.5
数学建构：
幂函数的性质： (1)定点： 所有幂函数在区间(0，＋)上都有定义，并且都通过点(1，1)；
当＞0时，幂函数图象还通过定点(0，0)．
(2)单调性：当＞0时，在区间[0，＋)上是增函数， 当＜0时，则在区间(0，＋)上是减函数．
数学建构：
函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x0.5在同一坐标系的图象：
y y＝x2 y＝x y＝x0.5 y＝x-1 O x
y＝x3
数学建构：
幂函数的图象与性质： 分别画出函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x0.5的图象，并根 据图象填写下表：
函数 定义域
单调性 奇偶性
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情境问题：
指数函数与对数函数是我们刚接触的两类函数模型，我们要将 它们与前面所学内容常做比较．我们看下面几个函数问题：
1．某人购买了每千克1元的蔬菜x千克，应付y元，这里x与y的关系是什么？
2．正方形的边长为x，则它的面积y是多少？ 3．如果正方体的棱长为x，那么它的体积y是多少？ 4．如果正方形场地的面积为x，那么它的边长y是多少？ 5．某人在xs内骑车匀速行进了1km，那么他的速度y(km/s)是多少?
6．幂函数y＝x(R)的图象一定不经过第
象限．
小结： 对任意的R，y＝x的图像必将出现在第I象限中； 若y＝x为偶函数，则y＝x的图像必出现在第II象限中； 若y＝x为奇函数，则y＝x的图像必出现在第III象限中； 对任意的R，y＝x的图像都不会出现在第VI象限中．
数学应用：
数学应用：
1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的 函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x件时的成本函数是C(x)＝200 ＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销 售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到 元．
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幂函数的概念
【问题导思】 1．函数 y＝2x，y＝x3 是指数函数吗？
【提示】 y＝2x 是指数函数，而 y＝x3 不是指数函数．
2．函数 y＝x ，y＝
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幂函数的图象和性质
【问题导思】 1 在同一坐标系下，作出幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x2，y＝ x3，y＝x－1 的图象，如图所示：
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(2)结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情 况和性质．
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易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
2．过程与方法 (1)通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和 识图能力． (2)使学生进一步体会数形结合的思想． 3．情感、态度与价值观 (1)通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到数学 在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣． (2)利用计算机，了解幂函数图象的变化规律，使学生认
2
2 ，y＝x5的底数和指数有什么共同
点？ 【提示】 底数是自变量，指数是常数．
一般地，我们把形如 y＝xα 的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 是 常数
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R
R
[0，＋∞)
R R
[0，＋∞)
(0，＋∞)
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识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学 习欲望．
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易 错 易 误 辨 析
●重点、难点 重点：常见幂函数的概念、图象和性质． 难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小．
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Hale Waihona Puke 教 师 备 课 资 源SJ ·数学
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常见幂函数的图象和性质
y＝x 定义 域 值域 奇偶 性 y＝x
2
y＝x
3
y＝x
1 2
y＝x－1 (－∞，0)∪
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
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易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
●教学流程
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易 错 易 误 辨 析 当 堂 双 基 达 标
●教学建议 1．关于幂函数定义的教学 建议教师通过实际问题，引导学生自己归纳这些函数所 具有的共同特征，概括出它们的共性，获得幂函数的定义． 2．关于幂函数的基本性质的教学 建议教师通过画出学生几个熟悉的幂函数图象，让学生 认真观察图象，引导学生类比前面研究指、对数函数的思想、 方法．自己尝试归纳几个幂函数的基本性质．
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演示结束
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课标 解读
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1.上述图象在第一象限内有何共同特点？
【提示】 都过点(1,1)，只有 y＝x－1 随 x 的增大而减小， 其他的都随 x 轴的增大而增大．
2．试判断上述函数的奇偶性．
【提示】 y＝x，y＝x3，y＝x 1 是奇函数；y＝x2 是偶函
－
数；y＝
是非奇非偶函数．
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3.3
幂函数
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)理解幂函数的概念，会画幂函数 y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝x－1，y＝ 的图象．
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