湖南省长郡中学2011届高三第一次模拟考试文科数学试卷
长郡中学2011届高三第三次月考试卷(文科数学)
湖南省长郡中学2011届高三第三次月考试卷（文科数学）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5}A =，{2,5,7}B =，则()UA B ⋂=（ ） A ．{1,2,3,5,7} B ．{2,7} C ． {4,6} D ．{6} 2. 设i 是虚数单位，则复数1i i-的虚部是（ ）A ．2i B ．12C ．12- D ．12-3. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中不正确．．．的是（ ） A. AB →=DC → B. AD →＋AB →＝AC → C. AD →＋CB →＝0 D. AB →－AD →＝BD →4. 已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,12)，则函数()f x 的定义域为（ ）.A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,)-∞+∞5. 在A B C ∆中，已知:p 三内角A B C 、、成等差数列；:q 60B = .则p 是q 的（ ）A ． 充分必要条件B ．必要不充分条件C ． 充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是（ ）A ． 2π B ． 3π C ． 4π D ．6π7. 阅读如右图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A. －10B. 0C. 10D. 20 8. 已知函数1()2f x +为奇函数，设()()1g x f x =+， 则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g ++++⋅⋅⋅+=（ ）A. 1005B. 2010C. 2011D.4020二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上. 9. 若函数2()(1)f x x a x a a =+-+=为偶函数，则______.10. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若819=S ，则=++852a a a ．20n ≤s =0，n =1开始 n=n+1输出s结束NY(1)ns s n=+-11. 已知函数31() 0()2log 0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则1(())3f f = .12. 向量a ＝(cos 15°，sin 15°)，b ＝(sin 15°，cos 15°)，则|a －b |的值是 ．13. 函数()ln f x x =在x n = ()n N *∈处的切线斜率为n a ，则12233420102011a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+= .14. 设函数f (x )＝|3x －1|的定义域是[a ，b ]，值域是[2a ，2b ] (b >a )，则a ＋b ＝ . 15. 给出下面的数表序列：222222122221 表3 表21表1其中表n （n =1,2,3 ）有n 行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n 中所有的数之和为n a ，例如25a =，317a =，449a =.则 （1）5a = .（2）数列{}n a 的通项n a =三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知(2sin ,cos sin )a x x x ωωω=+ ，(cos ,cos sin )b x x x ωωω=-，(0)ω>，函数()f x a b =⋅，且函数()f x 的最小正周期为π.（I ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的单调区间.17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且1313,,a a a 成等比数列. （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设2na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n S .18. （本小题满分12分）在A B C ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.设向量(sin ,cos )m A B = ，(cos ,sin )n A B =（I ）若//m n，求角C ； （Ⅱ）若m n ⊥，15B =，62a =+，求边c 的大小.19. （本小题满分13分） 已知0a ≠，函数23212()33f x a x ax =-+，()1g x ax =-+， x R ∈ .（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若在区间1(0,]2上至少存在一个实数0x ，使00()()f x g x >成立，试求正实数．．．a 的取值范围.20．（本小题满分13分）某鱼塘2009年初有鱼10（万条），每年年终将捕捞当年鱼总量的50%，在第二年年初又将有一部分新鱼放入鱼塘. 根据养鱼的科学技术知识，该鱼塘中鱼的总量不能超过19.5（万条）（不考虑鱼的自然繁殖和死亡等因素对鱼总量的影响），所以该鱼塘采取对放入鱼塘的新鱼数进行控制，该鱼塘每年只放入新鱼b （万条）.（I ）设第n 年年初该鱼塘的鱼总量为n a (年初已放入新鱼b （万条）,2010年为第一年)，求1a 及1n a +与n a 间的关系；（Ⅱ）当10b =时，试问能否有效控制鱼塘总量不超过19.5（万条）？若有效，说明理由；若无效，请指出哪一年初开始鱼塘中鱼的总量超过19.5（万条）.21. 已知函数21()ln 2f x x ax bx =-+（0a >），且(1)0f '=.（Ⅰ）试用含有a 的式子表示b ，并求()f x 的极值；（Ⅱ）对于函数()f x 图象上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，如果在函数图象上存在点00(,)M x y （其中012(,)x x x ∈），使得点M 处的切线//l A B ，则称A B 存在“伴随切线”. 特别地，当1202x x x +=时，又称A B 存在“中值伴随切线”. 试问：在函数()f x 的图象上是否存在两点A 、B 使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A 、B 的坐标，若不存在，说明理由.参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 16. 设全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，集合{1,3,5}A =，{2,5,7}B =，则()UA B ⋂=（ B ） A ．{1,2,3,5,7} B ．{2,7} C ． {4,6} D ．{6} 17. 设i 是虚数单位，则复数1i i-的虚部是（ B ）A ．2i B ．12C ．12- D ．12-18. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中不正确．．．的是（ D ） A. AB →=DC → B. AD →＋AB →＝AC → C. AD →＋CB →＝0 D. AB →－AD →＝BD →19. 已知幂函数()f x x α=的图象经过点(2,12)，则函数()f x 的定义域为（ C ）.A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞+∞D ．(,)-∞+∞【解析】 由已知得122α=，所以1α=-，11()f x xx-==，所以函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ .20. 在A B C ∆中，已知:p 三内角A B C 、、成等差数列；:q 60B = .则p 是q 的（ A ）A ． 充分必要条件B ．必要不充分条件C ． 充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件21. 已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是（ B ）A ． 2π B ． 3π C ． 4π D ．6π【解析】 ∵a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，∴a ·b ＝2＋a 2＝3.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，∴a 与b 的夹角为π3.22. 阅读如图所示的程序框图，则输出的结果是（ C ）A. －10B. 0C. 10D. 20 【解析】由题意得，1234s =-+-+-192010-+= ．20n ≤s =0，n =1开始 n=n+1输出s 结束NY(1)ns s n=+-23. 已知函数1()2f x +为奇函数，设()()1g x f x =+， 则12342010()()()()()20112011201120112011g g g g g ++++⋅⋅⋅+=（ B ）A. 1005B. 2010C. 2011D.4020二、填空题：本大题共7个小题，每小题5分，共35分，把答案填写在题中的横线上. 24. 若函数2()(1)f x x a x a a =+-+=为偶函数，则___1___.25. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若819=S ，则=++852a a a 27 ．26. 已知函数31() 0()2log 0xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则1(())3f f = 2 .27. 向量a ＝(cos 15°，sin 15°)，b ＝(sin 15°，cos 15°)，则|a －b |的值是 1 ．【解析】 由题设，|a |＝1，|b |＝1，a·b ＝sin(15°＋15°)＝12.∴|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝1＋1－2×12＝1.∴|a －b |＝1.28. 函数()ln f x x =在x n = ()n N *∈处的切线斜率为n a ，则12233420102011a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=20102011.29. 设函数f (x )＝|3x －1|的定义域是[a ，b ]，值域是[2a ，2b ] (b >a )，则a ＋b ＝ 1 . 【解析】 因为f (x )＝|3x －1|的值域为[2a ，2b ]， 所以b >a ≥0，而函数f (x )＝|3x －1|在[0，＋∞)上是单调递增函数，因此应有|31|2|31|2a b a b ⎧-=⎨-=⎩，解得01,0a b =⎧⎨=⎩或或1∵0,.1a b a b =⎧>∴⎨=⎩ 所以有a ＋b ＝1.30. 给出下面的数表序列：222222122221 表3 表21表1其中表n （n =1,2,3 ）有n 行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n 中所有的数之和为n a ，例如25a =，317a =，449a =.则 （1）5a =129.（2）数列{}n a 的通项n a =(1)21n n -⨯+【解析】（1）5129a =， （2）依题意，23112232422n n a n -=+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ① 由①⨯2得，2342122232422n n a n =⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ②将①-②得 23411222222n nn a n --=+++++⋅⋅⋅+-⨯1(12)212nn n -=-⨯-212n nn =--⨯所以 (1)21nn a n =-⨯+.三、解答题：本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分）已知(2sin ,cos sin )a x x x ωωω=+ ，(cos ,cos sin )b x x x ωωω=-，(0)ω>，函数()f x a b =⋅，且函数()f x 的最小正周期为π.（I ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的单调区间.【解析】（I ）2()(2cos sin )(cos sin )(cos sin )f x a b x x x x x x ωωωωωω=⋅=++- ………………2分 sin 2cos 2x x ωω=+2sin(2)4x πω=+ ………………4分因为函数()f x 的最小正周期为π，所以212ππωω=⇒=.()2sin(2)4f x x π=+. (6)分 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且成等比数列. （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）设2na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【解析】（I ）设等差数列,}{d a n 的公差为 (0)d ≠由1313,,a a a 成等比数列，得 23113a a a =⋅ ………………2分即2(12)112d d +=+得2d =或0d =（舍去）. 故2d =，所以21n a n =- ……………… 6分 （II ） 2122n a n n b -==，所以数列{}n b 是以2为首项，4为公比的等比数列. ………………8分∴35212222n n S -=+++⋅⋅⋅+2(14)2(41)143nn-==-- ………………… 12分18. （本小题满分12分）在A B C ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、.设向量(sin ,cos )m A B = ，(cos ,sin )n A B =（I ）若//m n，求角C ； （Ⅱ）若m n ⊥，15B =，62a =+，求边c 的大小.【解析】（I ）由//m nsin sin cos cos 0A B A B ⇒-=cos()0A B ⇒+=，因为0180A B <+<，所以90A B +=，180()90C A B =-+=. ………………6分（Ⅱ）由m n ⊥sin cos sin cos 0A A B B ⇒+=sin 2sin 20A B ⇒+=，已知15B = ，所以sin 2sin 300A +=，1sin 22A =-，因为023602330A B <<-= ，所以2210A =，105A =.1801510560C =--=.根据正弦定理sin sin a c AC=62sin 105sin 60c +⇒=(62)sin 60sin 105c +⇒=.因为62sin 105sin(4560)4+=+=，所以3(62)223(62)4c +⨯==+. (12)分19. （本小题满分13分） 已知0a ≠，函数23212()33f x a x ax =-+，()1g x ax =-+， x R ∈ .（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若在区间1(0,]2上至少存在一个实数0x ，使00()()f x g x >成立，试求正实数．．．a 的取值范围.【解析】（I）由23212()33f x a x ax =-+求导得，22()2f x a x ax '=-. ……………………1分①当0a >时，由2222()2()0f x a x ax a x x a'=-=-<，解得20x a<<所以23212()33f x a x ax =-+在2(0,)a上递减. …………3分②当0a <时，由2222()2()0f x a x ax a x x a'=-=-<可得20x a<<所以23212()33f x a x ax =-+在2(,0)a上递减. …………………5分 综上：当0a >时，()f x 单调递减区间为2(0,)a；当0a <时，()f x 单调递减区间为2(,0)a…………………6分（Ⅱ）设23211()()()33F x f x g x a x ax ax =-=-+-1(0,]2x ∈. ……………………8分对()F x 求导，得2222()2(12)F x a x ax a a x a x '=-+=+-， ……………………9分因为1(0,]2x ∈，0a >，所以22()(12)0F x a x a x '=+->，()F x 在区间1(0,]2上为增函数，则m ax 1()()2F x F =.……………………11分 依题意，只需max ()0F x >，即211111038423a a a ⨯-⨯+⨯->，即2680a a +->，解得317a >-+或317a <--（舍去）. 所以正实数a 的取值范围是(317,)-++∞. ……………………13分20．（本小题满分13分）某鱼塘2009年初有鱼10（万条），每年年终将捕捞当年鱼总量的50%，在第二年年初又将有一部分新鱼放入鱼塘. 根据养鱼的科学技术知识，该鱼塘中鱼的总量不能超过19.5（万条）（不考虑鱼的自然繁殖和死亡等因素对鱼总量的影响），所以该鱼塘采取对放入鱼塘的新鱼数进行控制，该鱼塘每年只放入新鱼b （万条）.（I ）设第n 年年初该鱼塘的鱼总量为n a (年初已放入新鱼b （万条）,2010年为第一年)，求1a 及1n a +与n a 间的关系；（Ⅱ）当10b =时，试问能否有效控制鱼塘总量不超过19.5（万条）？若有效，说明理由；若无效，请指出哪一年初开始鱼塘中鱼的总量超过19.5（万条）. 【解析】（I ）依题意，1110(1)52a b b =⨯-+=+， (1)分*11()2n n a a b n N +=+∈ ……………………4分（Ⅱ）当10b =时，11102n n a a +=+，1120(20)2n n a a +⇒-=-，所以{20}n a -是首项为-5，公比为12的等比数列. (7)分 故11205()2n n a --=-⨯，得111205()2010()22n nn a -=-⨯=-⨯ ………………9分若第n 年初无效，则12010()19.52n -⨯>220n⇒>⇒5n ≥.所以5n ≥，则第5年初开始无效. (12)分即2014年初开始无效. …………………………………………13分21. 已知函数21()ln 2f x x ax bx =-+（0a >），且(1)0f '=. （Ⅰ）试用含有a 的式子表示b ，并求()f x 的极值；（Ⅱ）对于函数()f x 图象上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，如果在函数图象上存在点00(,)M x y （其中012(,)x x x ∈），使得点M 处的切线//l A B ，则称A B 存在“伴随切线”. 特别地，当1202x x x +=时，又称A B 存在“中值伴随切线”. 试问：在函数()f x 的图象上是否存在两点A 、B 使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A 、B 的坐标，若不存在，说明理由.【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x ax b x'=-+ ，(1)10f a b '=-+=，1b a ∴=-. ……………2分 代入1()f x ax b x'=-+，得1()f x ax x'=-(1)(1)1ax x a x+-+-=-.当()0f x '>时，(1)(1)0ax x x+-->，由0x >，得(1)(1)0ax x +-<，又0a >，01x ∴<<，即()f x 在(0,1)上单调递增； 当()0f x '<时，(1)(1)0ax x x+--<，由0x >，得(1)(1)0ax x +->， (4)分又0a >，1x ∴>，即()f x 在(1,)+∞上单调递减.()f x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.所以，当1x =时，()f x 的极大值为1(1)ln 1122a f ab =-+=- ………………6分（Ⅱ）在函数()f x 的图象上不存在两点A 、B 使得它存在“中值伴随切线”. 假设存在两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，不妨设120x x <<，则211111ln (1)2y x ax a x =-+-，222221ln (1)2y x ax a x =-+-，2121AB y y k x x -==-22212121211(ln ln )()(1)()2x x a x x a x x x x ---+---211221ln ln 1()12x x a x x a x x -=-++--，在函数图象1202x x x +=处的切线斜率120122()()2x x k f x f a x x +''===-⋅+12(1)2x x a ++-，由211221ln ln 1()12x x a x x a x x --++-=-12122(1)2x x a a x x +-⋅+-+化简得：212112ln ln 2x x x x x x -=-+，21lnx x =221122112(1)2()1x x x x x x x x --=++. 令21x t x =，则1t >，上式化为：2(1)ln 1t t t -==+421t -+，即4ln 21t t +=+，若令4()ln 1g t t t =++， 22214(1)()(1)(1)t g t tt t t -'=-=++，由1t ≥，()0g t '≥，()g t ∴在[1,)+∞在上单调递增，()(1)2g t g >=. 这表明在(1,)+∞内不存在t ，使得4ln 1t t ++=2.综上所述，在函数()f x 上不存在两点A 、B 使得它存在“中值伴随切线”. ……………13分。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高三(上)第一次调研数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第一次调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|x 3−x =0}，B ={x|x 2−x−2<0}，则A ∩B =( )A. {0,1}B. {−1,0}C. {0,1,2}D. {−1,0,1}2.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m//α的一个充分条件是( )A. m//n ，n//αB. m//β，α//βC. m ⊥n ，n ⊥α，m⊄αD. m ∩n =A ，n//α，m⊄α3.(x −2x )2025的展开式中的常数项是( )A. 第673项B. 第674项C. 第675项D. 第676项4.铜鼓是流行于中国古代南方一些少数民族地区的礼乐器物，已有数千年历史，是作为祭祀器具和打击乐器使用的.如图，用青铜打造的实心铜鼓可看作由两个具有公共底面的相同圆台构成，上下底面的半径均为25cm ，公共底面的半径为15cm ，铜鼓总高度为30cm.已知青铜的密度约为8g/cm 3，现有青铜材料1000kg ，则最多可以打造这样的实心铜鼓的个数为(注：π≈3.14)( )A. 1B. 2C. 3D. 45.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)<x(f′(x)−1)(f′(x)为f(x)的导函数)，且f(1)=0，则( )A. f(2)<2B. f(2)>2C. f(3)<3D. f(3)>36.已知过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 且倾斜角为π4的直线交C 于A ，B 两点，M 是AB 的中点，点P 是C 上一点，若点M 的纵坐标为1，直线l ：3x +2y +3=0，则P 到C 的准线的距离与P 到l 的距离之和的最小值为( )A.3 1326B.5 1326C.3 1313 D.9 13267.已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)，对于任意的x ∈R ，f(x +π12)=f(π12−x)，f(x)+f(π2−x)=0都恒成立，且函数f(x)在(−π10,0)上单调递增，则ω的值为( )A. 3B. 9C. 3或9D.38.如图，已知长方体ABCD−A′B′C′D′中，AB =BC =2，AA′= 2，O 为正方形ABCD 的中心点，将长方体ABCD−A′B′C′D′绕直线OD′进行旋转.若平面α满足直线OD′与α所成的角为53°，直线l ⊥α，则旋转的过程中，直线AB 与l 夹角的正弦值的最小值为( )(参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35)A. 43−310B.3 3−410C.3 3+310D. 43+310二、多选题：本题共3小题，共18分。
高三文科数学模拟试题含答案
高三文科数学模拟试题含答案高三文科数学模拟试题本试卷共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1.复数3+ i的虚部是（）。
A。
2.B。
-1.C。
2i。
D。
-i2.已知集合A={-3,-2,0,1,2}，集合B={x|x+2<0}，则A∩(CRB) =（）。
A。
{-3,-2,0}。
B。
{0,1,2}。
C。
{-2,0,1,2}。
D。
{-3,-2,0,1,2}3.已知向量a=(2,1)，b=(1,x)，若2a-b与a+3b共线，则x=（）。
A。
2.B。
11/22.C。
-1.D。
-24.如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为（）。
A。
4π/3.B。
π。
C。
3π/2.D。
2π5.将函数f(x)=sin2x的图像向右平移π/6个单位，得到函数g(x)的图像，则它的一个对称中心是（）。
A。
(π/6,0)。
B。
(π/3,0)。
C。
(π/2,0)。
D。
(π,0)6.执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）。
开始是否输出结束A。
-10.B。
-3.C。
4.D。
57.已知圆C:x^2+2x+y^2=1的一条斜率为1的切线l1，若与l1垂直的直线l2平分该圆，则直线l2的方程为（）。
A。
x-y+1=0.B。
x-y-1=0.C。
x+y-1=0.D。
x+y+1=08.在等差数列{an}中，an>0，且a1+a2+⋯+a10=30，则a5⋅a6的最大值是（）。
A。
4.B。
6.C。
9.D。
369.已知变量x,y满足约束条件2x-y≤2，x-y+1≥0，设z=x^2+y^2，则z的最小值是（）。
A。
1.B。
2.C。
11.D。
3210.定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=2，当x<0时，f(x)=1-|x-3|，则函数F(x)=f(x)-a(0<a<1)的所有零点之和为（）。
2011年高考全国数学试卷(新课标)-文科(含详解答案)
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题．．．卷上作答无效．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U=（M N ）I ð （A ）{}12，（B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U M N M N =∴=ðQ I I(2)函数0)y x =≥的反函数为（A ）2()4xy x R =∈ （B ）2(0)4xy x =≥（C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24yx =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4xy x =≥.(3)设向量,a b 满足||||1a b == ,12a b ⋅=-r r ,则2a b +=（A （B （C （D【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=r r r r r u r ,所以2a b +=r r (4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系.【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，A C l ⊥,C 为垂足,B β∈，B D l ⊥,D 为垂 足,若2,1AB AC BD ===，则C D = （A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, A C l ⊥,∴AC ⊥平面β,A C B C ∴⊥BC ∴=又B D l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -=(A) -12(B)1 4- (C)14(D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值.【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111((2)()()2(12222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12C C = (A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离O M =,在R t O M N ∆中,30OMN ︒∠=, ∴12O N O M ==故圆N 的半径r ==,∴圆N的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年高考湖南卷文科数学试题和答案
正视图 侧视图俯视图2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（湖南卷）参考公式（1）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． （2）球的体积公式343V R π=，其中R 为球的半径． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=M ∪N=﹛1,2,3,4,5﹜,M∩C u N=﹛2,4﹜,则N= A ．{1,2,3} B ． {1,3,5} C ． {1,4,5} D ． {2,3,4} 2．若,a b R ∈，i为虚数单位，且()a i i b i +=+则 A ．1a =，1b =B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==-D ．1,1a b =-=-3．“1x >”是“1x >” 的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 4．设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．942π+ B ．3618π+C ．9122π+ D ．9182π+ 5 由22()()()()()n ad bc K a d c d a c b d -=++++ 算得，22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：参照附表，得到的正确结论是A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关”6．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为A ．4B ．3C ．2D ．17．曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点M （4π，0）处的切线的斜路为A ． 12-B ．12C ．2-D ．28．已知函数2()1,()43xf x eg x x x =-=-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为A ．22⎡⎣ B ．22⎡-+⎣C ． []1,3D ． ()1,3二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题．．卡．中对应题号后的横线上. （一）选做题（请考生在9、10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）9．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线C 2的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则C 1与C 2的交点个数为10．已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是（二）必做题（11～16题）11．若执行如图2所示的框图，输入11x =，2342,4,8x x x ===则输出的数等于 12．已知f （x ）为奇函数，g （x ）=f （x ）+9，g （-2）=3，则f （2）=_________． 13．设向量a ，b 满足b=（2，1），且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．14．设1,m >在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的值为 ．15．已知圆22:12,C x y +=直线:4325.l x y +=（1）圆C 的圆心到直线l 的距离为 ．（2）圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ．16．给定*k N ∈，设函数**:f N N →满足：对于任意大于k 的正整数n ，()f n n k =-（1）设1k =，则其中一个函数f 在1n =处的函数值为 ；（2）设4k =，且当4n ≤时，2()3f n ≤≤，则不同的函数f 的个数为 .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sinA=acosC ． （I ）求角C 的大小；（II （B+4π）的最大值，并求取得最大值时角A 、B 的大小. 18．（本小题满分12分）某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份是我降雨量X （单位：毫米）有关，据统计，当X=70时，Y=460；X 每增加10，Y 增加5．已知近20年X 的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160, 220, 140, 160. （Ⅰ）完成如下的频率分布表概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．19．（本小题满分12分）如图3，在圆锥PO 中，已知PO O =的直径2,,AB C AB D AC =∠点在上,且CAB=30为的中点．（Ⅰ）证明：AC ⊥平面POD ;（Ⅱ）求直线 OC 和平面PAC 所成角的正弦值.20．（本小题满分13分）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%． （Ⅰ）求第n 年初M 的价值n a 的表达式； （Ⅱ）设12...nn a a a A n+++=，若n A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，证明：须在第9年初对M 更新．21．（本小题满分13分）已知平面内一动点P 到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相交于点,D E ，求,AD EB 的最小值.22．（本小题满分13分）设函数1()ln ()f x x a x a R x=--∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性.（Ⅱ）若()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k .问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学试题卷（文史类）参考答案一、选择题(共8小题，每小题5分，满分40分)1、(2011•湖南)设全集U=M∪N=﹛1，2，3，4，5﹜，M∩C u N=﹛2，4﹜，则N=()A、{1，2，3}B、{1，3，5}C、{1，4，5}D、{2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算。
2011年高考数学湖南文(word版含答案)
【选择题】【1】．设全集{}{}1,2,3,4,5,2,4,U U M N M N ==∪∩=ð则N =（ ）. （A ）{}1,2,3 （B ）{}1,3,5 （C ）{}1,4,5（D ）{}2,3,4【2】．若,a b ∈R ，i 为虚数单位，且(i)i i a b +=+，则（ ）. （A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ）1,1a b ==-（D ）1,1a b =-=-【3】．“1x >”是“1x >”的（ ）.（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分又不必要条件 【4】．设下图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）.（A ）942π+ （B ）3618π+（C ）9122π+ （D ）9182π+【5】．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 算得，22110(40302020)7.860506050K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）. （A ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” （B ）有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”（C ）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”（D ）在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【6】．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ）.（A ）4（B ）3（C ）2（D ）1【7】．曲线sin 1sin cos 2x y x x=-+在点M （4π，0）处的切线的斜率为（ ）.（A ） 12-（B ） 12 （C ） 2- （D ）2【8】．已知函数2()e 1,()43x f x g x x x=-=-+-，若有()()f a g b =，则b 的取值范围为（ ）.（A ） 2⎡⎣（B ） (22+（C ）[]1,3 （D ）()1,3【填空题】【9】．（选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=，则1C 与2C 的交点个数为 .【10】．（选做题）已知某试验范围为[10，90]，若用分数法进行4次优选试验，则第二次试点可以是 .【11】．（必做题）若执行如下图所示的框图，输入11x =，2342,4,8x x x ===，则输出的数等于 .【12】．（必做题）已知()f x 为奇函数，()()9g x f x =+，(2)3g -=，则(2)f =_________． 【13】．（必做题）设向量，a b 满足|ab =（2，1），且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 【14】．（必做题）设1,m >在约束条件,,1y x y mx x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≤≤下，目标函数5z x y =+的最大值为4，则m 的值为 ．【15】．（必做题）已知圆2212C xy +=：，直线4325.l x y +=： （1）圆C 的圆心到直线l 的距离为 ．（2）圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为 ． 【16】．（必做题）给定*k ∈N ，设函数**f →N N ：满足：对于任意大于k 的正整数n ，().f n n k =-（1）设1k =，则其中一个函数f 在1n =处的函数值为 ；（2）设4k =，且当n ≤4时，2≤()f n ≤3，则不同的函数f 的个数为 . 【解答题】【17】．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A a C =． （1）求角C 的大小； （2）求cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小.【18】．某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y （单位：万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X （单位：毫米）有关，据统计，当X =70时，Y =460；X 每增加10，Y 增加5．已知近20年X 的值为：140, 110, 160, 70, 200, 160, 140, 160, 220, 200, 110, 160, 160, 200, 140, 110, 160,220, 140, 160.（1）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表：（2）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．【19】．如图1，在圆锥PO 中，已知PO O =的直径2AB =，点C 在AB 上，且∠CAB =30°，D 为AC 的中点.（1）证明：AC ⊥平面POD ;（2）求直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值.【20】．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%． （1）求第n 年初M 的价值n a 的表达式；（2）设12···nn a a a A n+++=，若n A 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新.证明：须在第9年初对M 更新．【21】．已知平面内一动点P 到点(1,0)F 的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线12,l l ，设1l 与轨迹C 相交于点,A B ，2l 与轨迹C 相图1交于点,D E ，求,AD EB 的最小值.【22】．设函数1()ln ()f x x a x a x=--∈R . （1）讨论()f x 的单调性.（2）若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k .问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【参考答案】 【1】．B 提示：由{}1,2,3,4,5U MN ==,{}2,4U MN =ð,得N ={}135，，.故选（B ）. 【2】．C提示：由(i)i i a b +=+得1i i a b -+=+，则1,1a b ==-.故选（C ）. 【3】．A提示：由1x ＞可推出1x ＞，而由1x ＞推不出1x ＞.故选（A ）.【4】．D提示：由已知可得该空间几何体为一球和一四棱柱组成，四棱柱的底面为边长为3的正方形，高为2，体积为23318⨯⨯=，球的体积为3439()322⨯π⨯=π，所以该几何体的体积为9182π+.故选（D ）. 【5】．A提示：26.635K ＞，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”.故选（A ）. 【6】．C提示：令22209x y a -=，则有30x ay ±=，所以2a =.故选（C ）. 【7】．B 提示：：''sin 11()sin cos 21sin 2x y x x x=-=++，所以1121sin(2)4k ==π+⨯.故选（B ）. 【8】．B 提示：()e 11x fx =--＞，若()()f a g b =，则()2431g b b b =-+--＞，解得22b ＜.故选（B ）. 【9】．2提示：将参数方程2cos ,x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩化为普通方程为22143x y +=，将(cos sin )10ρθθ-+=化为直角坐标方程为10x y -+=，联立方程组221,4310,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩消去y 得27880x x +-=，因为0＞Δ，故交点有2个.【10】．40或60提示：区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：则试点可选为1310(9010)408x =+-=或2510(9010)608x =+-=，由对称性可知，第二次试点可以是40或60.故填40或60. 【11】．154提示：先求和123415x x x x x =+++=，然后再求平均数，输出154x =.【12】．6 提示：()()(2)2929g f f -=-+=-+，所以()26f =.【13】．(4,2)--提示：设(,)x y =a ，由a 与b 的方向相反可设(0)λλ=＜a b ，所以2,,x y λλ=⎧⎨=⎩代入2220x y +=，解得2λ=-，则a 的坐标为(4,2)--.【14】．3提示：画出可行域，利用图解法求解；或,,y x y mx =⎧⎨=⎩1,,x y y mx +=⎧⎨=⎩1,,x y y x +=⎧⎨=⎩求出三个区域端点111(0,0),(,),(,)1122m m m ++，当且仅当直线5z x y =+过点1(,)11mm m ++时有最大值5141m z m +==+，解得3m =.【15】．（1）5；（2）16. 提示：（1）圆C 的圆心到直线l 的距离为2555d==；（2）由（1）知圆心到直线l 的距离为5，要使圆上的点到直线l 的距离小于2，即1:4315l x y +=与圆相交所得的劣弧上，由半径为3可知劣弧所对的圆心角为3π，故所求的概率为1326P π==π.【16】．（1）a （a 为正整数）；（2）16. 提示：（1）由题可知()f n ∈*N ，而1k =时，1n >，则()1f n n =-∈*N ，故只须()1f ∈*N ，故(1)f a =（a 为正整数）.（2）由题可知4k =，4n >，则()4f n n =-∈*N ，而n ≤4时，2≤()f n ≤3即(){2,3}f n ∈，即{1,2,3,4}n ∈，(){2,3}f n ∈，则不同的函数f 的个数为4216=.【17】．解：（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0A π＜＜，所以s i n 0A ＞.从而s i n cos .C C =又cos 0C ≠，所以tan 1C =，则4C π=. （2）由（1）知，34B A π=-cos()cos()4A B A A π-+=-π-=πcos 2sin()6A A A +=+.因为304A π＜＜，所以11.6612A πππ+＜＜从而当62A ππ+=，即3A π=时，2sin()6A π+取最大值2.cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==【18】．解：（1）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个，故近20年六月份降雨量频率分布表为（2）P （“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）(490530)(130210)(70)(110)(220)1323.20202010P Y Y P X X P X P X P X =<>=<>==+=+==++=或或故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为310． 【19】．解：（1）如图2，因为OA OC =,D 是AC 的中点，所以AC OD ⊥. 又⊥PO 底面O ，AC ⊂底面O ,所以AC PO ⊥,而OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD .（2）由（1）知，AC ⊥平面POD ，又AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC ，在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，则OH ⊥平面PAC .连结CH ， 则CH 是OC 在平面PAC 上的射影，所以OCH ∠是直线OC 和平面PAC 所成的角．在Rt △ODA 中，1sin 30.2OD OA =⋅=在Rt △POD中，3OH==在Rt △OHC中，sin 3OH OCHOC ∠== 故直线OC 和平面PAC所成角的正弦值为3【20】．解：（1）当n ≤6时，数列{}n a 是首项为120，公差为10-的等差数列，12010(1)13010;n a n n =--=-当n ≥6时，数列{}n a 是以6a 为首项，公比为34的等比数列， 又670a =，所以6370()4n n a -=⨯.因此，第n 年初，M 的价值n a 的表达式为613010,6,370(),7.4n n n n a n --≤⎧⎪=⎨⨯≥⎪⎩ (2)设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得, 当6n 1≤≤时，1205(1),1205(1)1255;nn S n n n A n n =--=--=-当n ≥7时，由于6S =570,故667833()570704[1()]44n n n S S a a a -=++++=+⨯⨯⨯-63780210(),4n -=-⨯ 63780210()4n n A n--⨯=.因为{}n a 是递减数列，所以{}n A 是递减数列，又283780210()4748280,864A -⨯==>393780210()7947680,996A -⨯==< 所以须在第9年初对M 更新．【21】．解：（1）如图，设动点P 的坐标为(,)x y|| 1.x = 化简得222.y x x =+当x ≥0时，24y x =，当0x ＜时，0.y =图2所以，动点P 的轨迹C 的方程为24(0)y x x =≥和0(0).y x =<（2）由题意知，直线1l 的斜率存在且不为0，设为k ，则1l 的方程为(1)y k x =-．由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(24)0.k x k x k -++= 设1122(,),(,),A x y B x y 则12,x x 是上述方程的两个实根，于是1212242,1x x x x k +=+=． 因为12l l ⊥，所以2l 的斜率为1k-．设3344(,),(,),D x y E x y 则同理可得2343424,1x x k x x +=+=.故()()AD EB AF FD EF FB ⋅=+⋅+AF EF AF FB FD EF FD FB =⋅+⋅+⋅+⋅AF FB FD EF =⋅+⋅1234(1)(1)(1)(1)x x x x =+++++ 12123434()+1++()+1x x x x x x x x =+++2241(2)11(24)1k k=+++++++22184()8416k k =+++⨯=≥. 当且仅当221k k =,即1k =±时，AD EB ⋅取最小值16． 【22】．解：（1）()f x 的定义域为(0,),+∞22211'()1a x ax f x x x x-+=+-=． 令2()1,g x x ax =-+其判别式2 4.a -Δ=当0()0.a f x '2≤时，≤，≥Δ故()(0,)f x +∞在内单调递增．当0()0a g x <-2>=时，，Δ的两根都小于0.在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)f x +∞在内单调递增．当0()0a g x >2>=时，，Δ的两根为12x x ==.当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时，'()0f x <；当2x x >时，'()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞内单调递增，在12(,)x x 内单调递减．（2）由（1）知，2a >． 因为1212121212()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--， 所以1212121212()()ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+-⋅--. 又由(1)知，121x x =．于是1212ln ln 2x x k a x x -=-⋅-. 若存在a ，使得2,k a =-则1212ln ln 1x x x x -=-.即1212ln ln x x x x -=-．亦即222212ln 0(1).x x x x --=> (*)再由（1）知，函数1()2ln h t t t t =--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以 222112ln 12ln10.1x x x -->--=这与(*)式矛盾． 故不存在a ，使得2.k a =-【End 】。
湖南省长沙市长郡中学高三数学上学期第一次月考试题 文(含解析)
2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知i是虚数单位，若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i2．已知等比数列{a n}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|4．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A．B．（2﹣，2+）C． D．（1，3）5．若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＜xf′（x），则（）A．2f（1）＜f（2）B．2f（1）＞f（2）C．2f（1）=f（2）D．f（1）=f（2）6．如图是函数y=Asin（ωx+φ）的图象的一段，它的解析式为（）A．B．C．D．7．函数f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域为（）A． B． C． D．8．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+19．若向量与不共线，≠0，且，则向量与的夹角为（）A．0 B．C．D．10．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）A． B． C．D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）11．设集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，B={x|1＜x＜5，x∈R}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是．12．函数的定义域是．13．设向量，且∥，则cos2θ=．14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=4，|BC|=5，O为△ABC的内心，且=λ+μ，则λ+μ=．15．已知函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1，x2，且方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为．三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2015秋•长沙校级月考）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）+2cos2x ﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若α∈且f（α）=，求cos2α．17．（12分）（2012秋•徐汇区校级期中）已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=．（1）求f（x）在上的解析式；（2）证明：f（x）在（0，1）上是减函数．18．（12分）（2015•娄星区模拟）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．19．（13分）（2013•河北）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°（Ⅰ）若，求PA；（Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．20．（13分）（2015•淄博校级三模）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=a，a n+1=S n+3n，n∈N*．由（Ⅰ）设b n=S n﹣3n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n，n∈N*，求a的取值范围．21．（13分）（2015•安庆校级模拟）设函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）=e x ﹣f（0）x+x2（e是自然对数的底数）．（1）求f（0）和f′（1）的值；（2）若g（x）=x2+a与函数f（x）的图象在区间上恰有2两个不同的交点，求实数a的取值范围．2015-2016学年湖南省长沙市长郡中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知i是虚数单位，若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则及其共轭复数的意义即可得出．解答：解：∵=1﹣i，∴===1+2i．∴=1﹣2i．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则及其共轭复数的意义，属于基础题．2．已知等比数列{a n}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：等差数列与等比数列．分析：可举﹣1，，…，说明不充分；举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…说明不必要，进而可得答案．解答：解：可举a1=﹣1，q=，可得数列的前几项依次为﹣1，，…，显然不是递减数列，故由“0＜q＜1”不能推出“{a n}为递减数列”；可举等比数列﹣1，﹣2，﹣4，﹣8，…显然为递减数列，但其公比q=2，不满足0＜q＜1，故由“{a n}为递减数列”也不能推出“0＜q＜1”．故“0＜q＜1”是“{a n}为递减数列”的既不充分也不必要条件．故选D点评：本题考查充要条件的判断，涉及等比数列的性质，举反例是解决问题的关键，属基础题．3．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+4 D．y=2﹣|x|考点：函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．解答：解：对于A．y=2x3，由f（﹣x）=﹣2x3=﹣f（x），为奇函数，故排除A；对于B．y=|x|+1，由f（﹣x）=|﹣x|+1=f（x），为偶函数，当x＞0时，y=x+1，是增函数，故B正确；对于C．y=﹣x2+4，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C；对于D．y=2﹣|x|，有f（﹣x）=f（x），是偶函数，当x＞0时，y=2﹣x，为减函数，故排除D．故选B．点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．4．已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（）A．B．（2﹣，2+）C． D．（1，3）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；压轴题．分析：利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．解答：解：∵f（a）=g（b），∴e a﹣1=﹣b2+4b﹣3∴﹣b2+4b﹣2=e a＞0即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+故选B点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系．5．若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＜xf′（x），则（）A．2f（1）＜f（2）B．2f（1）＞f（2）C．2f（1）=f（2）D．f（1）=f（2）考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据条件f（x）＜xf′（x）可构造函数g（x）=，然后得到函数的单调性，从而得到所求．解答：解：设g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）＜xf′（x），∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上单调递增，∴，即2f（1）＜f（2）故选：A．点评：本题主要考查了导数除法的运算法则，以及利用构造法是解题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．6．如图是函数y=Asin（ωx+φ）的图象的一段，它的解析式为（）A．B．C．D．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：通过函数的图象，求出A，求出周期，得到ω，函数经过（），求出φ，得到函数的解析式．解答：解：由题意与函数的图象可知：A=，T=2×（）=π，∴ω=2，因为函数图象经过，所以==，所以．解得φ=，所以函数的解析式为：．故选D．点评：本题考查函数的图象的应用，函数解析式的求法，考查计算能力．7．函数f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域为（）A． B． C． D．考点：三角函数值的符号；函数的值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：先将函数y=|sinx|+2|cosx|的值域⇔当x∈时，y=sinx+2cosx的值域，利用两角和与差的正弦函数化简，由正弦函数的性质求出函数的值域．解答：解：∵函数y=|sinx|+2|cosx|的值域⇔当x∈时，y=sinx+2cosx的值域，∴y=sinx+2cosx=（其中θ是锐角，、），由x∈得，x+θ∈，所以cosθ≤sin（x+θ）≤1，即≤sin（x+θ）≤1，所以，则函数y=|sinx|+2|cosx|的值域是，故选：D．点评：本题考查两角和与差的正弦函数，正弦函数的性质，将函数y=|sinx|+2|cosx|的值域⇔当x∈时，y=sinx+2cosx的值域，是解题的关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．8．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（）A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：根据已知的a n+1=3S n，当n大于等于2时得到a n=3S n﹣1，两者相减，根据S n﹣S n﹣1=a n，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以得到此数列除去第1项，从第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，由a1=1，a n+1=3S n，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通项公式，把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．解答：解：由a n+1=3S n，得到a n=3S n﹣1（n≥2），两式相减得：a n+1﹣a n=3（S n﹣S n﹣1）=3a n，则a n+1=4a n（n≥2），又a1=1，a2=3S1=3a1=3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以a n=a2q n﹣2=3×4n﹣2（n≥2）则a6=3×44．故选A点评：此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比数列的通项公式，是一道基础题．9．若向量与不共线，≠0，且，则向量与的夹角为（）A．0 B．C．D．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．分析：求两个向量的夹角有它本身的公式，条件中表现形式有点繁琐，我们可以试着先求一下要求夹角的向量的数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向量垂直，不用再做就得到结果，有些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律．解答：解：∵==0∴向量a与c垂直，故选D．点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题使用两个不共线的向量来表示第三个向量，这样解题时运算有点麻烦，但是我们应该会的．10．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）A． B． C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b ﹣1）2+4，0≤b≤2，求出范围即可．解答：解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为：=1，则y=3﹣x，设N（a，3﹣a），M（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴•=（a，3﹣a）•（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9，=2（b2﹣2b+3）=2（b﹣1）2+4，0≤b≤2，∴当b=0或b=2时有最大值6；当b=1时有最小值4．∴•的取值范围为故选B．点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积的坐标运算是解题的关键．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．）11．设集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，B={x|1＜x＜5，x∈R}，若A∩B=∅，则实数a的取值范围是a≤0或a≥6 ．考点：集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：解绝对值不等式|x﹣a|＜1可得集合A，进而分析可得若A∩B=∅，则必有a+1＜1或a﹣1＞5，解可得答案．解答：解：|x﹣a|＜1⇔a﹣1＜x＜a+1，则A={x|a﹣1＜x＜a+1}，若A∩B=∅，则必有a+1≤1或a﹣1≥5，解可得，a≤0或a≥6；故a的取值范围是a≤0或a≥6．故答案为a≤0或a≥6点评：本题考查集合交集的意义，关键是由A∩B=∅，得到a+1＜1或a﹣1＞5．12．函数的定义域是．考点：对数函数的定义域．专题：计算题．分析：欲求函数的定义域，只需找到使函数解析式有意义的x的取值范围，因为函数中有对数，所以真数大于0，因为函数中有二次根式，所以被开方数大于等于0，解不等式组即可．解答：解：要使函数有意义，需满足，解得∴函数的定义域为故答案为点评：本题主要考察了函数定义域的求法，主要是求使函数成立的x的取值范围．13．设向量，且∥，则cos2θ=﹣．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：计算题．分析：由两个向量共线的性质可得cosθ•3cosθ﹣1=0，cos2θ=，再由cos2θ=2cos2θ﹣1 求得结果．解答：解：∵向量，且，则有cosθ•3cosθ﹣1=0，∴cos2θ=，故cos2θ=2cos2θ﹣1=﹣，故答案为．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．14．在△ABC中，|AB|=3，|AC|=4，|BC|=5，O为△ABC的内心，且=λ+μ，则λ+μ=．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：常规题型；高考数学专题．分析：本题首先由内心的相关知识得出AO用基本向量AB，AC来表示，得出系数；从而最后要求的值．解答：解：∵△ABC中，|AB|=3，|AC|=4，|BC|=5，由题意得：三角形的内切圆的半径为r=，==∴λ=，μ=∴则λ+μ是，故选C．点评：平面向量基本定理的使用要注意选择适当的基本向量，得出的系数唯一性，在解题过程中要注意向量加法和减法以及数乘的运用，这样对解题就能做到得心应手．15．已知函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1，x2，且方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为﹣．考点：函数的零点．专题：计算题．分析：函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1，x2，可知x1=，x2=π，因为方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，需要分两种情况进行讨论：m＞0和m＜0，再利用等差数列的性质进行求解；解答：解：函数f（x）=cosx（x∈（0，2π））有两个不同的零点x1，x2，∴x1=，x2=π，∵方程f（x）=m有两个不同的实根x3，x4，若把这个数按从小到大排列构成等差数列，若m＞0则，x3，，π，x4，构成等差数列，可得公差d=﹣=π，则x1=﹣π=﹣＜0，显然不可能；若m＜0则，，x3，x4，π，构成等差数列，可得公差3d=﹣，解得d=，∴x3=+，m=cosx3==﹣，故答案为：﹣；点评：此题主要考查三角函数的性质及三角函数值的求解问题，涉及函数的零点构成等差数列，解题过程中用到了分类讨论的思想，是一道基础题；三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）（2015秋•长沙校级月考）已知函数f（x）=sin（2x﹣）+cos（2x﹣）+2cos2x ﹣1（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若α∈且f（α）=，求cos2α．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简可得解析式f（x）=sin（x+）．利用周期公式即可求得函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由f（α）=，可得sin（2α）=，由a∈，可得，可求cos（2），利用两角差的余弦函数公式即可求得cos2α=cos的值．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣cos2x+cos2x+=sin2x+cos2x=sin（2x+）．…（4分）∴函数f（x）的最小正周期T=．…（6分）（Ⅱ）∵f（α）=，∴，∴sin（2α）=，…（7分）∵α∈，∴，∴cos（2）=﹣，…（9分）∴cos2α=cos=cos（2α）cos+sin（2α）sin=．…（12分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，两角差的余弦函数公式，周期公式，特殊角的三角函数值等知识的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）（2012秋•徐汇区校级期中）已知定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f（x）=．（1）求f（x）在上的解析式；（2）证明：f（x）在（0，1）上是减函数．考点：函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．分析：（1）定义在R上的奇函数f（x），可得f（0）=0，及x∈（﹣1，0）时f（x）的解析式，x=﹣1和1时，同时结合奇偶性和单调性求解．（2）证明单调性可用定义或导数解决．解答：（1）解当x∈（﹣1，0）时，﹣x∈（0，1）．∵f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=由f（0）=f（﹣0）=﹣f（0），且f（1）=﹣f（﹣1）=﹣f（﹣1+2）=﹣f（1），得f（0）=f（1）=f（﹣1）=0．∴在区间上，有f（x）=（2）证明当x∈（0，1）时，f（x）=，设0＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=∵0＜x1＜x2＜1，∴＞0，﹣1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f （x2），故f（x）在（0，1）上单调递减．点评：本题考查奇偶性、周期性的综合应用，及函数单调性的证明，综合性较强．18．（12分）（2015•娄星区模拟）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求a n（II）由==，利用裂项求和即可求解解答：解：（I）设等差数列{a n}的公差为d∵a7=4，a19=2a9，∴解得，a1=1，d=∴=（II）∵==∴s n===点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易19．（13分）（2013•河北）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°（Ⅰ）若，求PA；（Ⅱ）若∠APB=150°，求tan∠PBA．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（I）在Rt△PBC，利用边角关系即可得到∠PBC=60°，得到∠PBA=30°．在△PBA 中，利用余弦定理即可求得PA．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，可得PB=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化简即可求出．解答：解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．点评：熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．20．（13分）（2015•淄博校级三模）设数列{a n}的前n项和为S n．已知a1=a，a n+1=S n+3n，n∈N*．由（Ⅰ）设b n=S n﹣3n，求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）若a n+1≥a n，n∈N*，求a的取值范围．考点：数列递推式；数列的概念及简单表示法．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）依题意得S n+1=2S n+3n，由此可知S n+1﹣3n+1=2（S n﹣3n）．所以b n=S n﹣3n=（a﹣3）2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由题设条件知S n=3n+（a﹣3）2n﹣1，n∈N*，于是，a n=S n﹣S n﹣1=，由此可以求得a的取值范围是上恰有2两个不同的交点，求实数a的取值范围．考点：导数的运算；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）由f（x）=e x﹣f（0）x+x2，可得f′（x）=+x，令x=1，可得f（0），进而得到f′（1）．（2）g（x）=x2+a与函数f（x）的图象在区间上恰有2两个不同的交点⇔y=a与h（x）=﹣x在x∈上有两个不同交点．利用导数研究函数h（x）的单调性极值与最值，结合图象即可得出．解答：解：（1）∵f（x）=e x﹣f（0）x+x2，∴f′（x）=+x，∴f′（1）=f′（1）﹣f（0）+1，∴f（0）=1，∴f（x）=e x﹣x+x2，∴f（0）=f′（1）﹣0+0，∴f′（1）=1．（2）由（1）可得：f（x）=﹣x+，由g（x）=x2+a=f（x），化为a=﹣x=h（x），x∈．∴h′（x）==，令h′（x）＞0，解得1＜x＜2，此时函数h（x）单调递增；令h′（x）＜0，解得﹣1＜x＜1，此时函数h（x）单调递减．∴当x=1时，函数h（x）取得最小值，h（1）=0．而h（﹣1）=，h（2）=e﹣2．∵g（x）=x2+a与函数f（x）的图象在区间上恰有2两个不同的交点，∴0＜a＜e﹣2．∴实数a的取值范围是（0，e﹣2）．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
湖南省长郡中学近年届高三数学下学期第一次模拟考试试题文(含解析)(最新整理)
湖南省长郡中学2019届高三数学下学期第一次模拟考试试题文(含解析)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。
已知集合,，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】现根据题意，求出集合M，再利用交集的定义求出【详解】因为，解得x>0，所以，又因为所以故选C【点睛】本题主要考查了交集的定义，属于简单题.2。
设，则( ）A. 2 B。
3 C。
4 D. 5【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算求出，进而可得到.【详解】，则，故，选B。
【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模，属于基础题。
3。
已知差数列1，，，3成等差数列，1,， 4成等比数列，则的值为（）A。
2 B。
C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式以及性质，转化求解即可．【详解】因为1，a1，a2,3成等差数列，得a1+a2＝4,又因为1，b1，b2，b3，4成等比数列,可得b22＝4，且1，b2，4同号，所以b2＝2，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质与思维的严谨性，属于基础题．4.若,,则的值为（ )A. B。
C. D。
【答案】A【解析】∵,∴∈(，）, 又因为，∴故sinα=sin［（）—]=sin（)cos—cos（）sin== ，故选A。
点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环,通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.5.下列命题中，错误命题是（）A。
“若,则”的逆命题为真B。
线性回归直线必过样本点的中心C。
在平面直角坐标系中到点和的距离的和为2的点的轨迹为椭圆D. 在锐角中，有【答案】C【解析】【分析】利用四种命题是真假判断选项A的正误;回归直线方程的性质判断B的正误；椭圆的定义判断C的正误；三角形的性质以及正弦函数的单调性判断D的正误；【详解】选项A：“若，则”的逆命题为:若，则显然是真命题;选项B：线性回归直线必过样本点的中心，所以B正确;选项C：在平面直角坐标系中到点和的距离的和为2的点的轨迹为线段，所以C不正确；选项D:在锐角中，有，，所以,可得，所以D正确;故选C.【点睛】本题主要考查数学的基本概念：命题、回归直线、轨迹、解三角形，是基本知识的考查,属于基础题.6。
高三数学模拟试卷(文科)
知识改变命运高三数学模拟试卷（文科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知集合A=},21|{+≤≤-a x a x B=},53|{<<x x 则能使A ⊇B 成立的实数a的取值范围是（ ）（A ）}43|{≤<a a （B ）}43|{≤≤a a （C ）}43|{<<a a （D ）Φ 2.使不等式|x +1|＜2x 成立的充分不必要条件是 A.－31＜x ＜1 B.x ＞－31 C.x ＞1D.x ＞33.函数y =(cos x －3sin x )(sin x －3cos x )的最小正周期为 A.4πB.2πC.πD.2π 4. 与双曲线92x －162y ＝１有相同离心率的曲线方程可以是A. 92x +162y ＝１B. 92x －162y ＝１C. 162y －92x ＝１D. 162y +92x ＝１5.已知f(x )=xx++11,a 、b 为两个不相等的正实数，则下列不等式正确的是A.f (2b a +)＞f (ab )＞f (b a ab+2) B.f (2b a +)＞f (ba ab+2)＞f (ab ) C.f (b a ab +2)＞f (ab )＞f (2b a +)D.f (ab )＞f (b a ab +2)＞f (2ba +)6.下列四个函数：y =tg2x ,y =cos2x ,y =sin4x ,y =ctg(x +4π)，其中以点(4π，0)为中心对称点的三角函数有A.1个B.2个C.3个D.4个 7.如图，在正方体ABCD —A １Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF 是异面直线AC 与A １Ｄ的公垂线，则由正方体的八个顶点所连接的直线中，与知识改变命运EF 平行的直线 A.有且仅有一条 B.有二条 C.有四条 D.不存在 8.在轴截面是直角三角形的圆锥内，有一个侧面积最大的内接圆柱，则内接圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值是 A.1∶2B.1∶22C.1∶2D.1∶429.从集合｛1,2,3,…，10｝中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列个数为 A.3 B.4 C.6 D.8 10.若函数f (x )=a x－1的反函数图象经过点(4，2)，则函数g(x )=log a11x 的图象是11.三角形中，三边a 、b 、c 所对应的三个内角分别是A 、B 、C ，若lgsin A 、lgsin B 、lgsin C成等差数列，则直线x sin ２A +y sin A =a 与直线x sin ２B +y sinC ＝c 的位置关系是 A.平行 B.相交但不垂直 C.垂直 D.重合 12.甲、乙两工厂2002年元月份产值相同，甲厂的产值逐月增加，且每月增加的产值相等，乙厂的产值也逐月增加，且每月增长的百分率相等，已知2003年元月份两厂的产值相等，则2002年7月份产值高的工厂是 A.甲厂 B.乙厂 C.产值一样 D.无法确定二、填空题（共16分）13.若(x ２－x1)n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－x +2x ２)n ＝a ０+a １x +a ２x ２+…+a 2n x 2n ，则a １+a ２＋a ３+…+a 2n ＝______.14.已知奇函数f (x )在(0，+∞)内单调递增，且f (2)=0，则不等式(x －1)·f (x )＜0的解集是______.15.已知数列｛a n ｝同时满足下面两个条件：(1)不是常数列；(2) a n ＝a 1，则此数列的知识改变命运一个通项公式可以是______.16. 若过点（)2,m 总可以作两条直线和圆（4)2()122=-++y x 相切，则实数m 的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（12分） 设复数z 满足|2z +5|=|z +10|.(Ⅰ）求|z |的值；（Ⅱ）若z i )21(-在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z .18. （12分）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，各棱长都等于a, E 是BB 1的中点 . （Ⅰ）求直线C 1B 与平面A 1ABB 1所成角的正弦值；（Ⅱ）求证：平面AEC 1⊥平面ACC 1A 1.19.（12分）已知椭圆12+m x +my 2＝１(1≤m ≤4)，过其左焦点F １且倾斜角 为3π的直线与椭圆及其准线分别交于A 、B 、C 、D (如图)，记f (m )=||AB |－|CD ||(Ⅰ)求f (m )的解析式；(Ⅱ)求f (m )的最大值和最小值.20.（12分）某房屋开发公司用128万元购得一块土地，欲建成不低于五层的楼房一幢，该楼每层的建筑面积为1000平方米，楼房的总建筑面积(即各层面积之和)的每平方米的平均建筑费用与楼层有关，若该楼建成x 层时，每平方米的平均建筑费用用f (x )表示，且C 1B知识改变命运f (n )=f (m )(1+20mn -)(其中n ＞m ,n ∈N )，又知建成五层楼房时，每平方米的平均建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的综合费用最省(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，公司应把该楼建成几层?21.（12分）设函数f (x )=222+x x ，数列｛a n｝满足：a １＝3f (1),a n +1＝)(1n a f (Ⅰ)求证：对一切自然数n ，都有2＜a n ＜2+1成立； (Ⅱ)问数列｛a n ｝中是否存在最大项或最小项?并说明理由.22.（14分）已知函数f (x )=a x -－x (Ⅰ)当a =－1时，求f (x )的最值;(Ⅱ)求不等式f (x )＞0的解.文科模拟考参考答案一、1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.D 7.A 8.B 9.D 10.D 11.D 12.A 二、13.255 14.(－2,0)∪(1,2) 15.21nn - 16.），（），（∞+-∞-13 三、17.解：设z=x+yi (x ,y ∈R)，则……1分 （Ⅰ）(2x+5)2+(2y)2=(x+10)2+y 2 (4分)得到x 2+y 2=25 .∴|z|=5 . ( 6分)（Ⅱ）(1－2i)z=(1－2i)(x+yi)=(x+2y)+(y －2x)I 依题意，得x+2y=y －2x∴y=－3x . ① (9分) 由（Ⅰ）知x 2+y 2=25 . ②由①②得.210321021032102103210;2103,210i z i z y x y x +-=-=∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==或或 (12分)知识改变命运18.解：（Ⅰ）取A 1B 1中点M ，连结C 1M ，BM . ∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴C 1M ⊥A 1B 1 C 1M ⊥BB 1 . ∴C 1M ⊥A 1ABB 1 . ∴∠C 1BM 为直线C 1B 与平面A 1ABB 1所成的角 （ 4分）在Rt △BMC 1中，C 1M=23a , BC 1= 2a ,∴sin ∠C 1BM=.4611=BC M C （ 6分） （Ⅱ）取A 1C 1的中点D 1，AC 1的中点F ，连结B 1D 1，EF ，D 1F . 则有D 1F ∥21AA 1 ，B 1E ∥21AA 1. ∴D 1F ∥B 1E . 则四边形D 1FEB 1是平行四边形， ∴EF ∥B 1D 1 （ 8分） 由于三棱柱ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，∴B 1D 1⊥A 1C 1，又平面A 1B 1C 1⊥平面ACC 1A 1于A 1C 1，且B 1D 1⊂平面A 1B 1C 1，∴B 1D 1⊥平面ACC 1A 1 （ 10分）∴EF ⊥平面ACC 1A 1 . ∵EF ⊂平面AEC 1，则平面AEC 1⊥平面ACC 1A 1. （12分） 19.解：(Ⅰ)设A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为x １,x ２，x ３,x ４，则|AB |＝２（x ２－x 1） |CD |＝2(x ４－x ３)∴f (m )=2|x ２＋x ３| (2分)将直线y =3 (x +1)代入12+m x +my 2＝１中(3+4m )x ２+6(m +1)x +(m －1)(3－m )=0 (6分) ∴f (m )＝2|x １＋x ２|＝mm 43)1(12++ (1≤m ≤4) (8分)(Ⅱ)∵f (m )=3+m433+在［1,4］上是减函数C 1B知识改变命运∴f (m )max ＝f (1)＝724；f (m )min =f (4)=1960 (12分) 20.解：设该楼建成x 层，则每平方米的购地费用为x 1000101284⨯＝x 1280(2分)由题意知f (5)＝400, f (x )＝f (5)(1+205-x )＝400(1+205-x ) (6分) 从而每平方米的综合费用为y =f (x )+x1280＝20（x +x 64）+300≥20.264+300＝620（元），当且仅当x =8时等号成立 (10分)故当该楼建成8层时，每平方米的综合费用最省. (12分)21.( Ⅰ)证明：a １＝3f (1)=2，a n +1＝)(1n a f ＝nn a a 222+ (2分)①当n =1时，a １∈(2，2+1)，不等式成立 (3分) ②假设n =k 时，不等式成立，即2＜a k ＜2+1，则0＜a k －2＜1a k +1－2＝k k a a 222+－2＝kk a a 2)2(2-∵0＜(a k －2)２＜1，2a k ＞22＞0∴0＜a k +1－2＜221＜1，∴当n ＝k +1时，不等式也成立由①②可知，2＜a n ＜2+1 对一切自然数n 都成立 (8分)(Ⅱ)解：∵a n ＞2，∴a n +1－a n ＝nna a 222-＞0∴｛a n ｝是递增数列，即｛a n ｝中a １最小，没有最大项 (12分) 22.解：(Ⅰ)f (x )＝1+x －x ＝－(1+x －21)２＋43(x ≥－1)∴f (x )最大值为43(4分) x －a ≥0x -a ≥0 x ＜0知识改变命运当a ≥0时，②无解，当a ＜0时，②的解为a ≤x ＜0(8分)x ≥0２－x +a ＜0， 当Δ＝1－4a ≤0时，①无解，当Δ＝1－4a ＞0时，x ２－x +a ＜0解为2411a--＜x ＜2411a-+ 故a ≥0时①的解为2411a --＜x ＜2411a-+； 当a ＜0时①的解为0≤x ＜2411a-+ (12分) 综上所述，a ≥41时，原不等式无解；当0≤a ＜41时，原不等式解为2411a --＜x ＜2411a -+，当a ＜0时，a ≤x ＜2411a -+ (14分)。
湖南省长沙市一中2011届高三月考(七)数学文
湖南省长沙市一中2011届高三月考（七）2011 届 高 三 月 考（七）数 学 试 题（文）（考试范围：高考文科内容（不含优选法应用））本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z ＝11＋2i （i 为虚数单位）所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤12，m ＝sin20°，则下列关系中正确的是（ ）A ．m ⊆AB ．m ∉AC ．{}m ∈AD ． {}A m ⊂≠3．设命题p ：∀x ∈R ，|x |≥x ；q ：∃x ∈R ，1x＝0．则下列判断正确的是（ ）A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 真q 真D ．p 假q 假4．下列函数中，既是周期为π的周期函数又是偶函数的是 （ ） A ．y ＝10x B ．y ＝tan x C ．y ＝sin2x D ．y ＝|cosx|5．某公司2005～2010年的年利润x （单位：百万元）与年广告支出y （单位：百万元）的统计资料如下表所示：（ ）A ．利润中位数是16，x 与y 有正线性相关关系B ．利润中位数是18，x 与y 有负线性相关关系C ．利润中位数是17，x 与y 有正线性相关关系D ．利润中位数是17，x 与y 有负线性相关关系6．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1（a ，b>0）的渐近线与圆（x －3）2＋y 2＝3相切，则双曲线的离心率为（ ）A ．62B ． 3C ．2 3D ．67．设函数()221log ()x f x a x+=-在区间()0，＋∞内有零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，＋∞）B ．（－∞，1]C ．[1，＋∞）D ．[2，＋∞）8．定义{},,min ,,.b a b a b a a b ≥⎧=⎨<⎩设实数x ，y 满足约束条件2211x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则{}min 2,-z x y x y =+的取值范围为（ ）A ．[－2，12]B ．[－52，－12]C ．[－2,3]D ．[－3，32]二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 9．在极坐标系中，A （1，π6）、B （2，π2）两点的距离为 ．10．设平面向量a ＝（1,2），b ＝（－2，y ），若a ∥b ，则||3a ＋b 等于 ．11．一空间几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是cm 3．12．若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和．且S 11＝22π3，则tan a 6的值为 ．13．直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积最大值为 ．14．直线l ：x －3y ＝0与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ϕ=ϕ+=sin 2cos 2:y a x C （φ为参数，a >0）有两个公共点A ，B ，且||AB ＝2，则实数a 的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ．15．对于三次函数f （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d （a ≠0），定义：设f ″（x ）是函数y ＝f （x ）的导数y ＝f ′（x ）的导数，若方程f ″（x ）＝0有实数解x 0，则称点()x 0，f (x 0)为函数y ＝f （x ）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心；且“拐点”就是对称中心．”请你根据这一发现，求： （1）函数f （x ）＝x 3－3x 2＋3x 对称中心为 ；（2）若函数g （x ）＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则g （12011）＋g （22011）＋g （32011）＋g （42011）＋…＋g （20102011）＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝a sin x ＋b cos （x －π3）的图象经过点（π3，12），（7π6，0）．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数f （x ）在[0，π]上的单调递增区间．17．（本小题满分12分）如图：在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 移到A1点，过点A 1作A 1O ⊥平面BCD ，垂足O 恰好落在CD 上． （1）求证：BC ⊥A 1D ；（2）求直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值． 18．（本小题满分12分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求分数在[50,60）的频率及全班人数；（2）求分数在[80,90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90）间的矩形的高； （3）若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率． 19．（本小题满分13分）工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x （万件）间的关系为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-=c x c x x p ,320,61，（c 为常数，且0<c <6）．已知每生产1件合格产品盈利3元，每出现1件次品亏损1．5元．（1）将日盈利额y （万元）表示为日产量（万件）的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？（注：次品率＝次品数产品总数×100%）20．（本小题满分13分）已知f （x ）＝m x （m 为常数，m >0且m ≠1）． 设f （a 1），f （a 2），…，f （a n ）…（n ∈N ）是首项为m 2，公比为m 的等比数列． （1）求证：数列{a n }是等差数列； （2）若b n ＝a n ·f （a n ），且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ； （3）若c n ＝f （a n ）lg f （a n ），问是否存在m ，使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分13分）已知动圆G 过点F （32，0），且与直线l ：x ＝－32相切，动圆圆心G 的轨迹为曲线E ．曲线E 上的两个动点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）．（1）求曲线E 的方程；（2）已知OA ·OB ＝－9（O 为坐标原点），探究直线AB 是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由．（3）已知线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，其中x 1≠x 2且x 1＋x 2＝4．求△ABC 面积的最大值．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1—5 DDBDC 6—8 ACD二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上． 9．在极坐标系中，A （1，π6）、B （2，π2）两点的距离为．10．设平面向量a ＝（1,2），b ＝（－2，y ），若a ∥b ，则||3a ＋b 等于5． 11．一空间几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是4πcm 3． 12．若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和．且S 11＝22π3，则tan a 6的值为13．直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面14．直线l ：x －3y ＝0与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ϕ=ϕ+=sin 2cos 2:y a x C （φ为参数，a >0）有两个公共点A ，B ，且||AB ＝2，则实数a 的值为 2 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 ρ2－4ρcos θ＋2＝0 ． 15．（1）函数f （x ）＝x 3－3x 2＋3x 对称中心为 （1,1） ；（2）若函数g （x ）＝13x 3－12x 2＋3x －512＋1x －12，则g （12011）＋g （22011）＋g （32011）＋g （42011）＋…＋g （20102011）＝ 2010 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．解：（1）∵函数f （x ）＝a sin x ＋b cos （x －π3）的图象经过点（π3，12），（7π6，0）．∴12102b a +=⎨⎪-=⎪⎩，（4分） 解得：a ＝3，b ＝－1．（5分）（2）由（1）知：f （x ）＝3sin x －cos （x －π3）＝32sin x －12cos x ＝sin （x －π6）．（9分）由2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，解得2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3k ∈Z ．∵x ∈[0，π]，∴x ∈[0，2π3]，∴函数f （x ）在[0，π]上的单调递增区间为[0，2π3]．（12分）17．解：（1）因为A 1O ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴BC ⊥A 1O ，因为BC ⊥CD ，A 1O ∩CD ＝O ，∴BC ⊥面A 1C D ． 因为A 1D ⊂面A 1CD ，∴BC ⊥A 1 D ．（6分）（2）连结BO ，则∠A 1BO 是直线A 1B 与平面BCD 所成的角． 因为A 1D ⊥BC ，A 1D ⊥A 1B ，A 1B ∩BC ＝B ，∴A 1D ⊥面A 1B C ．A 1C ⊂面A 1BC ，∴A 1D ⊥A 1 C ．在Rt △DA 1C 中，A 1D ＝3，CD ＝5，∴A 1C ＝4．根据S △A 1CD ＝12A 1D ·A 1C ＝12A 1O ·CD ，得到A 1O ＝125，在Rt △A 1OB 中，sin ∠A 1BO ＝A 1O A 1B ＝1255＝1225．所以直线A 1B 与平面BCD 所成角的正弦值为1225．（12分）18．解：（1）分数在[50,60）的频率为0．008×10＝0．08，（2分）由茎叶图知：分数在[50,60）之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25，（4分） （2）分数在[80,90）之间的频数为25－2－7－10－2＝4；（6分） 频率分布直方图中[80,90）间的矩形的高为425÷10＝0．016．（8分）（3）将[80,90）之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为5,6， 在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为： （1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6）， （2,3），（2,4），（2,5），（2,6）， （3,4），（3,5），（3,6）， （4,5），（4,6）， （5,6）共15个，（10分）其中，至少有一个在[90,100]之间的基本事件有9个， 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是915＝0．6．（12分）19．解：（1）当x >c 时，p ＝23，y ＝13·x ·3－23·x ·32＝0；（2分）当0<x ≤c 时，p ＝16－x，∴y ＝（1－16－x ）·x ·3－16－x ·x ·32＝32·9x －2x26－x ．（4分）∴日盈利额y （万元）与日产量x （万件）的函数关系为23(92)02(6)0 x x x c y x x c ⎧-<≤⎪=-⎨⎪>⎩．（5分）（2）由（1）知，当x >c 时，日盈利额为0． 当0<x ≤c 时，∵y ＝3(9x －2x 2)2(6－x )，∴y ′＝32·(9－4x )(6－x )＋(9x －2x 2)(6－x )2＝3(x －3)(x －9)(6－x )2，令y ′＝0，得x ＝3或x ＝9（舍去）．∴①当0<c <3时，∵y ′>0，∴y 在区间（0，c ]上单调递增， ∴y 最大值＝f （c ）＝3(9c －2c 2)2(6－c )，此时x ＝c ；②当3≤c <6时，在（0,3）上，y ′>0，在（3，c ）上y ′<0， ∴y 在（0,3）上单调递增，在（3，c ）上单调递减． ∴y 最大值＝f （3）＝92．综上，若0<c <3，则当日产量为c 万件时，日盈利额最大； 若3≤c <6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大．（13分）20．解：（1）由题意f （a n ）＝m 2·m n ＋1，即ma n ，＝m n ＋1．∴a n ＝n ＋1，（2分） ∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列．（4分）（2）由题意b n ＝a n f （a n ）＝（n ＋1）·m n ＋1，当m ＝2时，b n ＝（n ＋1）·2n ＋1∴S n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋（n ＋1）·2n ＋1 ①（6分） ①式两端同乘以2，得2S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋（n ＋1）·2n ＋2 ② ②－①并整理，得S n ＝－2·22－23－24－25－…－2n ＋1＋（n ＋1）·2n ＋2＝－22－（22＋23＋24＋…＋2n ＋1）＋（n ＋1）·2n ＋2＝－22－22(1－2n )1－2＋（n ＋1）·2n ＋2＝－22＋22（1－2n ）＋（n ＋1）·2n ＋2＝2n ＋2·n ．（9分）（3）由题意c n ＝f （a n ）·lg f （a n ）＝m n ＋1·lg m n ＋1＝（n ＋1）·m n ＋1·lg m ，要使c n <c n ＋1对一切n ∈N *成立，即（n ＋1）·m n ＋1·lg m <（n ＋2）·m n ＋2·lg m ，对一切n ∈N *成立， ①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1<m （n ＋2）对一切n ∈N *恒成立；（11分） ②当0<m <1时，lg m <0，所以等价使得n ＋1n ＋2>m 对一切n ∈N *成立，因为n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2的最小值为23，所以0<m <23．综上，当0<m <23或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项．（13分）21．解：（1）依题意，圆心G 到定点F （32，0）的距离与到直线l ：x ＝－32的距离相等，∴曲线E 是以F （32，0）为焦点，直线l ：x ＝－32为准线的抛物线．∴曲线E 的方程为y 2＝6x ．（3分）（2）当直线AB 不垂直x 轴时，设直线AB 方程为y ＝kx ＋b （k ≠0）． 由26y kx b y x=+⎧⎨=⎩消去x 得ky 2－6y ＋6b ＝0，Δ＝36－24kb >0． y 1y 2＝6b k ，x 1x 2＝y 216·y 226＝(y 1y 2)236＝b 2k2．OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2＝b 2k 2＋6bk＝－9，∴b 2＋6kb ＋9k 2＝0，（b ＋3k ）2＝0，b ＝－3k ，满足Δ>0．∴直线AB 方程为y ＝kx －3k ，即y ＝k （x －3）， ∴直线AB 恒过定点（3,0）．（7分）当直线AB 垂直x 轴时，可推得直线AB 方程为x ＝3，也过点（3,0）． 综上，直线AB 恒过定点（3,0）．（8分） （3）设线段AB 的中点为M （x 0，y 0），则 x 0＝x 1＋x 22＝2，y 0＝y 1＋y 22，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2y 216－y 226＝6y 1＋y 2＝3y 0． ∴线段AB 的垂直平分线的方程为y －y 0＝－y 03（x －2）．令y ＝0，得x ＝5，故C （5,0）为定点．又直线AB 的方程为y －y 0＝3y 0（x －2），与y 2＝6x 联立，消去x 得y 2－2y 0y ＋2y 20－12＝0． 由韦达定理得y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝2y 20－12． ∴|AB |＝1＋1k 2AB ·|y 1－y 2|＝(1＋y 209)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝(1＋y 209)[4y 20－4(2y 20－12)]＝23(9＋y 20)(12－y 20)． 又点C 到直线AB 的距离为h ＝|CM |＝9＋y 20，∴S △ABC ＝12|AB |·h ＝13(9＋y 20)2(12－y 20) 令t ＝9＋y 20（t >9），则12－y 20＝21－t ．设f （t ）＝（9＋y 20）2（12－y 20）＝t 2（21－t ）＝－t 3＋21t 2， 则f ′（t ）＝－3t 2＋42t ＝－3t （t －14）．当9<t <14时，f ′（t ）>0；当t >14时，f ′（t ）<0．∴f （t ）在（9,14）上单调递增，在（14，＋∞）上单调递减．∴当t ＝14时，[f （t ）]max ＝142×7．故△ABC 面积的最大值为1437．（13分）注：第（3）问也可由AB 直线方程y ＝kx ＋b 及x 1＋x 2＝4，推出b ＝3k －2k ，然后转化为求关于k 的函数的最值问题．。
2011年全国高中数学联赛模拟卷(9)(一试+二试,附详细解答)
2011年全国高中数学联赛模拟卷(9)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）1、某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节自习共5节课，如果第1节不排生物，最后1节不排物理，那么不同的排课表的方法有__________种.2、函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a , b ]⊆D ，使f (x )在[a , b ]上的值域为[a , b ]，那么y =f (x )叫做闭函数，现有()f x k =是闭函数，那么k 的取值范围是_________3、如图，在△ABC 中，cos 25C=,0,A H B C ⋅=0)(=+⋅CB CA AB ，则过点C ，以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为 _________4、一个单位正方形的中心和一个圆的圆心重合，并且正方形在圆的内部，在圆上随机选一点，则由该点可以看到正方形的两条完整的边的概率为12，则该圆的半径为________5、有一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现用一张正方形包装纸将其完全包住(不能裁剪纸，但可以折叠)，那么包装纸的最小边长应为____________．6、若实数a , b , x , y 满足3,ax by +=227ax by +=，3316ax by +=，4442ax by +=，则55ax by +=________7、设对于任意满足mn <m ，n 有不等式2227m n nλ-≥恒成立，则λ的最大值为__________8、 圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为_______二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）9．已知正实数,x y ，设a x y=+，b =. （1）当1y =时，求b a的取值范围；（2）若以,a b 为三角形的两边，第三条边长为c 构成三角形，求2cxy的取值范围.10. 已知数列{a n }：30,2021==a a ，.311-+-=n n n a a a ⑴ 证明：500112-=-+-n n n a a a )2(≥n⑵ 求出所有的正整数n ，使得151++n n a a 为完全平方数.11. 设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ．证明：22222)(4b a addccbba-+≥+++．(考试时间：150分钟 满分：180分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、（本题满分40分）等腰直角△ABC 中，∠A ＝90°，点D 和E 为边BC 上的点，且∠DAE ＝45°，△ADE 的外接圆分别交边AB 和AC 于点P 和Q ，求证：BP ＋CQ ＝PQ二、（本题满分40分）已知n 为正整数，且)2(,,,,321≥k a a a a k 是集合},,2,1{n 中不同的正整数，其满足n 整除1,,2,1),1(1-=-+k i a a i i ，证明：n 不整除)1(1-a a k .三、（本题满分50分）已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且满足abc ＝).1)(1)(1(2---c b a（1）是否存在边长均为整数的△ABC ？若存在，求出三边长；若不存在，说明理由。
2011年湖南高考数学文科试卷带详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集，，则 ( )A． B． C． D．【测量目标】集合的表示、集合的基本运算，数形结合思想．【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的补集、交集运算．给出全集与交集求．【参考答案】B【试题解析】画出韦恩图可知，2．若，为虚数单位，且则 ( )A． B． C． D．【测量目标】复数代数形式的四则运算．【考查方式】给出复数的等式，进行四则运算，根据实数只有实部没有虚部的特征，判断的的值．【参考答案】C【试题解析】因，根据复数相等的条件可知．3． “”是“” 的 ( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件【测量目标】命题的基本关系，充分条件与必要条件．【考查方式】主要考查命题的基本关系以及充分必要条件．【参考答案】A【试题解析】因，反之或，不一定有．4．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 ( )A． B． C． D．【测量目标】空间几何体三视图的判断，柱、锥、台、及简单组合体的表面积、体积的求法．【考查方式】给出几何体的三视图，直接考查对其三视图的判断，画出立体图形求其体积．【参考答案】D【试题解析】有三视图可知该几何体是一个长方体和球组成的组合体，其体积5．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得，附表：0.0500.0100.0013.841 6.63510.828参照附表，得到的正确结论是 ( )A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关”【测量目标】变量间的相关关系，独立性检验．【考查方式】给出随机变量，根据卡方统计量计算出其观测值，并且的值越大，说明两者有关系成立的可能性越大，可根据表格判断．【参考答案】A【试题解析】由，而，故由独立性检验的意义可知选A．6．设双曲线的渐近线方程为，则的值为 ( )A．4 B．3 C．2 D．1【测量目标】双曲线标准方程，渐近线方程．【考查方式】给出双曲线渐近线方程，求双曲线标准方程的．【参考答案】C【试题解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知．7．曲线在点M(，0)处的切线的斜率为 ( )A． B． C． D．【测量目标】同角三角函数的基本关系式，导数的几何意义．【考查方式】给出曲线方程进行变换，根据在某点的切线的斜率即为在该点的导数值求出结果．【参考答案】B【试题解析】，．8．已知函数，若有，则b的取值范围( )A． B．C． D．【测量目标】指数函数、一元二次函数的值域、定义域，一元二次不等式．【考查方式】给出两个复合函数表达式，结合一元二次不等式求解．【参考答案】B【试题解析】由题意知，，，若有，则，即，解得．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上．（一）选做题（请考生在9、10两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分）9．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为．【测量目标】参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的转化．【考查方式】给出曲线的参数方程与曲线的极坐标方程，将其转化为直角坐标系下的方程，判断两曲线的交点．【参考答案】2个【试题解析】曲线，曲线，联立方程消去得，易知，故有个交点．10．已知某试验范围为，若用分数法进行次优选试验，则第二次试点可以是．【测量目标】分数法．【考查方式】利用分数法解决实际的优选问题．【参考答案】40或60【试题解析】有区间长度为80，可以将其等分8段，利用分数法选取试点：，，由对称性可知，第二次试点可以是40或60。
湖南省十二校2011届高三第一次联考数学(文)试题(扫描版).pdf
第11章 中国区域地理----北方地区 第十一章 中国区域地理 【概述】 “中国区域地理”分六节讲述，每节包含的内容较多，涉及地理位置、地形；气候、河流、植被、物产、民族、工农业生产等各个方面，综合性较强。
教学中可灵活机动地运用多种教学方式，使学生了解我国广大领土因地理位置、自然条件、经济发展等情况的不同，形成的各具特色的若干地理区域，提高学生综合分析地理问题的能力，并使学生体验处理人地关系的重要性，树立因地制宜、可持续发展的思想。
第1节 北方地区 【素质教育目标】 (一)知识教学点 使学生了解北方地区的区域特征，理解形成区域差异的原因。
(二)能力训练点 培养学生分析地理问题的能力和与人协作的能力。
(三)德育渗透点 培养学生因地制宜的思想及环保意识。
(四)美育渗透点 1．通过北方地理环境下出现了与之相适应的人类生产生活，让学生感受到我国北方人民的智慧和人地关系的协调和谐之美。
2．利用北方景观彩图，丰富学生的感性认识，愉悦学生的身心。
【学法指导】 1．引导学生联系旧知获得新知的学习方法。
2．引导学生要分析区域内各要素的相互联系，构建知识链、知识网，形成知识体系。
【重点、难点与对策】 (一)重点 1．黄土地与黑土地的区域差异。
2．兴修水利，防止水患。
(二)难点 分析说明北方地区气候、地形、河流与农业生产、灾害防治、人民生活的关系。
(三)对策 通过阅读分析资料和学生分组讨论，使学生掌握本节的重点内容，解决难点问题。
投影、挂图及四大地区的图表资料。
【教学课时】 2课时。
【师生互动活动设计】 1．教师出示“中国地理区域示意”图、“北方地区的位置和地形”图，引导学生阅读、明确北方地区的位置、范围、主要地形区河流等，并引导学生回顾旧知识，认识当地的自然地理特征。
2．教师引导学生观察阅读彩图、插图等，使学生了解各主要地形区的自然地理特征和人文地理特征，并不断启发学生分析区域内的特征和地理要素之间的联系，初步形成区域特征和地理环境整体性的认识。
湖南省2011届高三、十二校联考文数
18.(本小题满分12分) 设某几何体及其三视图：如图(尺寸的长度单位：m)
(1)O为AC的中点，证明：BO⊥平面APC； (2)求该几何体的体积； (3)求点A到面PBC的距离.
19.(本小题满分13分) 随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型 车、R型车的销量引起市场的关注.已知2010年1月Q型车的销量为a辆， 通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量 都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量Tn大致满足关系 式：Tn＝228a(1.012n－1).(n≤24，n∈N*) (1)求Q型车前n个月的销售总量Sn的表达式； (2)比较两款车前n个月的销售总量Sn与Tn的大小关系； (3)试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的 20%，并说明理由. (参考数据：≈1.09，≈8.66)
湖南省2011届高三·十二校联考 第一次考试 文科数学试卷
总分：150分 时量：120分钟 考试时间：2011年3月6日下午2：30～4：30得分： 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡 中对应位置. 1.已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|x>2}，则 A.AB B.BA C.A∩B＝{x|x≥1} D.A∪B＝{x|x>2} 2.a、b、c、d∈R，则“ad＋bc＝0”是“a＋bi与c＋di(i为虚数单 位)的积为实数”的 条件. A.必要不充分 B.充分不必要 C.充要 D.既不充分也不必要 3.若列联表如右表： 色盲 不色盲 合计 则K2的值约为 男 15 20 35 A.1.4967 B.1.64 女 12 8 20 C.1.597 D.1.71 4.函数y＝－cos2x＋sinx－的 合计 27 28 55 值域为 A.[－1,1] B.[－，1] C.[－，－1] D.[－1，] 5.右图给出的是计算＋＋＋……＋的值的一个程序框图，
湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷(文科)(11)
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）2016年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷（文科）（11）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，2，3，4，5，7}，B={1，2，3，4，6}，C={x|x∈A，x∉B}，则C的元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．若a，b∈R，i是虚数单位，且3b+（2a﹣2）i=1﹣i，则a+b的值为（）A．B．C．D．3．若函数f（x）的定义域为R，则“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．设a，b，l均为直线，α，β均为平面，则下列命题判断错误的是（）A．若l∥α，则α内存在无数条直线与l平行B．若α⊥β，则α内存在无数条直线与β不垂直C．若α∥β，则α内存在直线m，β内存在直线，使得m⊥nD．若a⊥l，b⊥l，则a与b不可能垂直5．根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜06．若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．3 B．5 C．7 D．107．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．8．设数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a3，a2+1，a1成等差数列．若log2a n+1≤71，则n的最大值等于（）A．67 B．68 C．69 D．709．将函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点（，0）对称，则函数g（x）=cos（x+φ）在[﹣，]上的最小值是（）A．﹣B．﹣C．D．10．如图所示，已知||=1，||=，=0，点C在线段AB上，且∠AOC=30°，设=m+n（m，n∈R），则m﹣n等于（）A．B．C．﹣D．﹣11．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（）A． B． C． D．12．设函数f（x）=﹣|x|，g（x）=lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f （x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，4]B．（0，4]C．（﹣4，0] D．[4，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=﹣x3+3x（x＜0）的极值点为x0，则x0=______．14．高一某班有位学生第1次月考数学考了69分，他计划以后每次考试比上一次提高5分（如第2次计划达到74分），则按照他的计划该生数学以后要达到优秀至少还要经过的数学月考的次数为______．15．已知实数x，y满足，则z=4x﹣y的最小值为______．16．已知点A是抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，10）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b=2，cosC=，△ABC的面积为．（1）求a的值；（2）求sin2B的值．18．为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．19．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=4．（1）求证：CE∥平面PAB；（2）若F为PC的中点，求F到平面AEC的距离．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），其长轴的左右两个端点分别为A，B，直线y=x+m交椭圆于两点C，D．（1）求椭圆标准的方程；（2）设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，求m的值．21．已知函数F（x）=﹣ax+lnx+1（a∈R）．（1）讨论函数F（x）的单调性；（2）定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（F（x））+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，求实数a的取值范围．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AC•CP=2AP•BD；（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．选修4-4：坐标系与参数方程方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，圆N的方程为ρ2﹣6ρsinθ=﹣8．（1）求圆N的直角坐标方程；（2）判断直线l与圆N的位置关系．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．2016年湖南省长沙市长郡中学高考数学模拟试卷（文科）（11）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={0，2，3，4，5，7}，B={1，2，3，4，6}，C={x|x∈A，x∉B}，则C的元素的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】元素与集合关系的判断．【分析】利用元素与集合之间的关系即可得出．【解答】解：∵集合A={0，2，3，4，5，7}，B={1，2，3，4，6}，C={x|x∈A，x∉B}，∴C={0，5，7}则C的元素的个数为3．故选：B．2．若a，b∈R，i是虚数单位，且3b+（2a﹣2）i=1﹣i，则a+b的值为（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数相等即可得出．【解答】解：∵a，b∈R，i是虚数单位，且3b+（2a﹣2）i=1﹣i，∴，解得b=，a=．则a+b==．故选：C．3．若函数f（x）的定义域为R，则“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由f（x）为奇函数，可得f（0）=0；而仅由f（0）=0不能推得f（x）为奇函数，可反例说明，然后又充要条件的定义可得答案．【解答】解：由奇函数的定义可知：若f（x）为奇函数，则任意x都有f（﹣x）=﹣f（x），取x=0，可得f（0）=0；而仅由f（0）=0不能推得f（x）为奇函数，比如f（x）=x2，显然满足f（0）=0，但f（x）为偶函数．由充要条件的定义可得：“函数f（x）是奇函数”是“f（0）=0””的充分不必要条件．故选：A．4．设a，b，l均为直线，α，β均为平面，则下列命题判断错误的是（）A．若l∥α，则α内存在无数条直线与l平行B．若α⊥β，则α内存在无数条直线与β不垂直C．若α∥β，则α内存在直线m，β内存在直线，使得m⊥nD．若a⊥l，b⊥l，则a与b不可能垂直【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】根据空间线面位置关系的判定定理或性质进行分析判断，必要时举出反例．【解答】解：对于A，过直线l作平面γ∩α=m，则l∥m，于是平面α所有平行于m的直线都与l平行，故A正确；对于B，设α，β的交线为m，则α内所有与m不垂直的直线都不垂直平面β，故B正确；对于C，以正方体ABCD﹣A′B′C′D′为例，显然平面ABCD∥平面A′B′C′D′，AB⊂平面ABCD，B′C′⊂平面A′B′C′D′，AB⊥B′C′，故C正确；对于D，当a，b，l交于一点且两两垂直时，显然结论错误．故选D．5．根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0【考点】线性回归方程．【分析】通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．【解答】解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0．故选：B．6．若[x]表示不超过x的最大整数，执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．3 B．5 C．7 D．10【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，依次写出每次循环得到的n，S的值，当n=8时，退出循环，输出的S的值为7．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；S=0，n=0，执行循环体，S=0+[]=0，不满足条件n＞6，n=2，S=0+[]=1，不满足条件n＞6，n=4，S=1+[]=3，不满足条件n ＞6，n=6，S=3+[]=5，不满足条件n ＞6，n=8，S=5+[]=7，满足条件n ＞6，退出循环，输出S 的值为7．故选：C ．7．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y=x ，则此双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，由题意可得b=a ，由a ，b ，c 的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y=x ，由题意可得=，即为b=a ，c==a ，可得e==．故选：A ．8．设数列{a n }的前n 项和S n 满足S n =2a n ﹣a 1，且a 3，a 2+1，a 1成等差数列．若log 2a n+1≤71，则n 的最大值等于（ ）A ．67B ．68C ．69D ．70【考点】数列递推式．【分析】S n =2a n ﹣a 1，令n=1，可得：a 1=2a 1﹣a 1；令n=2，可得a 2=2a 1；令n=3，可得：a 3=2a 2=4a 1．由于a 3，a 2+1，a 1成等差数列．可得2（a 2+1）=a 3+a 1，代入解得a 1=2．当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，化为a n =2a n ﹣1．再利用等比数列的通项公式、对数的运算性质即可得出．【解答】解：∵S n =2a n ﹣a 1，令n=1，可得：a 1=2a 1﹣a 1；令n=2，则a 1+a 2=2a 2﹣a 1，可得a 2=2a 1；令n=3，可得：a 3=2a 2=4a 1．∵a 3，a 2+1，a 1成等差数列．∴2（a 2+1）=a 3+a 1，代入可得：2（2a 1+1）=5a 1，解得a 1=2． 当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣a 1﹣（2a n ﹣1﹣a 1），化为a n =2a n ﹣1．∴数列{a n }是等比数列，首项为2，公比为2．∴a n =2n ．∵log 2a n+1≤71，∴n +1≤71，解得n ≤70．则n 的最大值等于70．故选：D ．9．将函数f （x ）=sin （2x +φ）+cos （2x +φ）（0＜φ＜π）图象向左平移个单位后，得到函数的图象关于点（，0）对称，则函数g （x ）=cos （x +φ）在[﹣，]上的最小值是（ ）A ．﹣B ．﹣C ．D ． 【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为f （x ）=2sin （2x +φ+），根据函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律及余弦函数的性质可解得φ的值，求得函数g （x ）的解析式为g （x ）=cos （x +），利用余弦函数值域求得函数g （x ）的最值．【解答】解：∵f （x ）=sin （2x +φ）+cos （2x +φ）=2sin （2x +φ+），∴将函数f （x ）图象向左平移个单位后，得到函数解析式为：y=2sin [2（x +）+φ+]=2cos （2x +φ+），∵函数的图象关于点（，0）对称，∴对称中心在函数图象上，可得：2cos （2×+φ+）=2cos （π+φ+）=0，解得：π+φ+=k π+，k ∈Z ，解得：φ=k π﹣，k ∈Z ，∵0＜φ＜π，∴解得：φ=，∴g （x ）=cos （x +），∵x ∈[﹣，]，x +∈[﹣，]，∴cos （x +）∈[，1]，则函数g （x ）=cos （x +φ）在[﹣，]上的最小值是． 故选：D ．10．如图所示，已知||=1，||=， =0，点C 在线段AB 上，且∠AOC=30°，设=m +n （m ，n ∈R ），则m ﹣n 等于（ ）A．B．C．﹣D．﹣【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据条件便可得出△AOB为Rt△，且∠AOB=90°，从而在Rt△AOB中，可求出∠OAB=60°，进而便得到，从而，带入进行数量积的运算便可得到3n﹣m=0．而由条件容易得出m+n=1，这两式联立即可解出m，n，从而便可求出m﹣n的值．【解答】解：∵；∴；∴∠AOB=90°，且；∴；∴；∴∠OAB=60°；又∠AOC=30°；∴∠OCA=90°；即；∴===0﹣m+3n﹣0=0；即3n﹣m=0①；∵，且A，C，B三点共线；∴m+n=1②；∴①②联立得，；∴．故选：B．11．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（）A． B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，底面为边长为4的正方形如图：其中PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PE⊥AD，DE=1，AE=3，PE=4，PE⊥底面ABCD，连接CE，BE，在直角三角形PBE中，PB===；在直角三角形PCE中，可得PC===；又PA===5；PD===．几何体最长棱的棱长为．故选：C．12．设函数f（x）=﹣|x|，g（x）=lg（ax2﹣4x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f （x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，4]B．（0，4]C．（﹣4，0] D．[4，+∞）【考点】函数的值．【分析】求出f（x），g（x）的值域，则f（x）的值域为g（x）的值域的子集．【解答】解：f（x）=﹣|x|≤0，∴f（x）的值域是（﹣∞，0]．设g（x）的值域为A，∵对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），∴（﹣∞，0]⊆A．设y=ax2﹣4x+1的值域为B，则（0，1]⊆B．显然当a=0时，上式成立．当a＞0时，△=16﹣4a≥0，解得0＜a≤4．当a＜0时，y max=≥1，即1﹣≥1恒成立．综上，a≤4．故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=﹣x3+3x（x＜0）的极值点为x0，则x0=﹣1．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意求导f′（x）=﹣3x2+3=﹣3（x+1）（x﹣1），从而确定函数的单调区间及极值点．【解答】解：f′（x）=﹣3x2+3=﹣3（x+1）（x﹣1）；故当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＜0，当﹣1＜x＜1时，f′（x）＞0；故函数f（x）=﹣x3+3x在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）上单调递增；故函数f（x）=﹣x3+3x的极值点为﹣1，1，∴函数f（x）=﹣x3+3x（x＜0）的极值点为x0=﹣1，故答案为：﹣1．14．高一某班有位学生第1次月考数学考了69分，他计划以后每次考试比上一次提高5分（如第2次计划达到74分），则按照他的计划该生数学以后要达到优秀至少还要经过的数学月考的次数为11．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设每个学生的月考数学成绩形成数列{a n}，a1=69，d=5．可得69+5（n﹣1）≥120，解出即可得出．【解答】解：设每个学生的月考数学成绩形成数列{a n}，a1=69，d=5．则69+5（n﹣1）≥120，解得n≥11+．可得到第12次的数学月考成绩才能超过120分，∴至少还要经过的数学月考的次数为11．故答案为：11．15．已知实数x，y满足，则z=4x﹣y的最小值为1．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线平移即可求出目标函数的最小值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z=4x﹣y得y=4x﹣z，平移直线y=4x﹣z，由图象知，当直线y=4x﹣z经过A时，直线的截距最大，此时z最小，经过点B时，直线的截距最小，此时z最大，由得，即A（1，3），此时z最小值为z=4﹣3=1，故答案为：116．已知点A是抛物线C：x2=2py（p＞0）上一点，O为坐标原点，若A，B是以点M（0，10）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点，且△ABO为等边三角形，则p的值是．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据等等边三角形的性质求出A点坐标，代入抛物线方程计算p．【解答】解：由抛物线的对称性可知A，B关于y轴对称，不妨设A（a，b）在第一象限．∵△ABO为等边三角形，∴∠AOM=30°．∵|MA|=|MO|=10，∴∠OMA=120°．∴|OA|==10．∴A（5，15）．∴（5）2=2p×15，解得p=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b=2，cosC=，△ABC的面积为．（1）求a的值；（2）求sin2B的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，结合三角形面积公式即可求a的值．（2）由（1）及余弦定理可求c的值，利用正弦定理可求sinB，结合大边对大角可得B为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值，进而利用二倍角的正弦函数公式即可计算得解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵，且0＜C＜π，∴，又由，∴a=3．（2）由（1）知，a=3，b=2，∴，∴．∵，即，∴，又∵b＜c，B为锐角，∴，∴．18．为选拔选手参加“中国汉字听写大会”，某中学举行了一次“汉字听写大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国汉字听写大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由样本容量和频数频率的关系易得答案；（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有3人，分数在[90，100]内的学生有2人，抽取的2名学生的所有情况有10种，其中2名同学的分数至少有一名得分在[90，100]内的情况有7种，即可求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==25，y==0.008，x=0.100﹣0.008﹣0.012﹣0.016﹣0.040=0.024．…（2）由题意可知，分数在[80，90）内的学生有3人，分数在[90，100]内的学生有2人，抽取的2名学生的所有情况有10种，其中2名同学的分数至少有一名得分在[90，100]内的情况有7种，∴所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率为．…19．在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA=2AB=4．（1）求证：CE∥平面PAB；（2）若F为PC的中点，求F到平面AEC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）证法一：取AD中点M，连EM，CM，EM∥PA，从而EM∥平面PAB；推导出MC∥AB，从而MC∥平面PAB，由此能证明EC∥平面PAB．法二：延长DC、AB，设它们交于点N，连PN，则EC∥PN，由此能证明EC∥平面PAB．（2）以A为原点，过A作AD的垂线为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出F到平面AEC的距离．【解答】证明：（1）证法一：取AD 中点M ，连EM ，CM ． 则EM ∥PA ．∵EM ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴EM ∥平面PAB ．在Rt △ACD 中，∠CAD=60°，AC=AM=2， ∴∠ACM=60°．而∠BAC=60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， ∴MC ∥平面PAB ．∵EM ∩MC=M ，∴平面EMC ∥平面PAB ． ∵EC ⊂平面EMC ，∴EC ∥平面PAB ．证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ． ∵∠NAC=∠DAC=60°，AC ⊥CD ，∴C 为ND 的中点． ∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN∵EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ，∴EC ∥平面PAB ． 解：（2）以A 为原点，过A 作AD 的垂线为x 轴，以AD 为y 轴，以AP 为z 轴， 建立空间直角坐标系，∵∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60° E 为PD 的中点，PA=2AB=4，F 为PC 的中点，∴C （2，2，0），P （0，0，4），F （，1，2）， A （0，0，0），D （0，8，0），E （0，4，2）=（），=（2，2，0），=0，4，2），设平面AEC 的法向量=（x ，y ，z ），则，取x=1，得=（1，﹣，2），∴F 到平面AEC 的距离d===．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），其长轴的左右两个端点分别为A，B，直线y=x+m交椭圆于两点C，D．（1）求椭圆标准的方程；（2）设直线AD，CB的斜率分别为k1，k2，若k1：k2=2：1，求m的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得2c=2，即c=1，将点（1，）代入椭圆方程，由a，b，c的关系，解得a，b，进而得到椭圆方程；（2）C（x1，y1），D（x2，y2），联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，解方程即可得到所求m的值．【解答】解：（1）由题意得2c=2，a2﹣b2=c2， +=1，解得，可得椭圆由题意标准方程为；（2）C（x1，y1），D（x2，y2），联立方程，得3x2+3mx+m2﹣3=0，即有，由题意知，A（﹣2，0），B（2，0），即有k AD=k1=，k BC=k2=，由k1：k2=2：1，即，得①，又，∴，同理，代入①式，解得，即10（x1+x2）+3x1x2+12=0，可得10（﹣m）+m2﹣3+12=0解得m=1或9，又m2＜12，则m=9（舍去），故m=1．21．已知函数F（x）=﹣ax+lnx+1（a∈R）．（1）讨论函数F（x）的单调性；（2）定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（F（x））+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于2f（﹣ax+lnx+1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，分离参数，得到a≥且a≤对x∈[1，3]同时恒成立，设g（x）=，h（x）=，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）F′（x）=（x＞0），a≤0时，F′（x）＞0，得x∈（0，），由F′（x）＜0，得：x∈（，+∞），故F（x）在（，+∞）递减，在（0，）递增；（2）∵函数f（x）为偶函数，且f（x）在[0，+∞）递减，∴f（x）在（﹣∞，0）递增，又ax﹣lnx﹣1=﹣（﹣ax+lnx+1），∴f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，等价于2f（﹣ax+lnx+1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则﹣1≤﹣ax+lnx+1≤1对x∈[1，3]恒成立，即a≥且a≤对x∈[1，3]同时恒成立，设g（x）=，g′（x）=，则g（x）在[1，e]递增，在（e，3]递减，∴g（x）max=g（e）=，设h（x）=，h′（x）=＜0，则h（x）在[1，3]递减，∴h（x）min=h（3）=，综上，a∈[，]．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，从圆O外一点P引圆的切线PC及割线PAB，C为切点，OD⊥BC，垂足为D．（1）求证：AC•CP=2AP•BD；（2）若AP，AB，BC依次成公差为1的等差数列，且，求AC的长．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）证明△CAP～△BCP，然后推出AC•CP=2AP•BD；（2）设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，求出x，利用（1）即可求解AC的长．【解答】（1）证明：∵PC为圆O的切线，∴∠PCA=∠CBP，又∠CPA=∠CPB，故△CAP～△BCP，∴，即AP•BC=AC•CP．又BC=2BD，∴AC•CP=2AP•BD…（2）解：设AP=x（x＞0），则AB=x+1，BC=x+2，由切割定理可得PA•PB=PC2，∴x（2x+1）=21，∵x＞0，∴x=3，∴BC=5，由（1）知，AP•BC=AC•CP，∴，∴…选修4-4：坐标系与参数方程方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，圆N的方程为ρ2﹣6ρsinθ=﹣8．（1）求圆N的直角坐标方程；（2）判断直线l与圆N的位置关系．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据极坐标和直角坐标的关系进行化简求解即可．（2）消去参数求出直线l的普通方程，求出圆心到直线的距离与半径之间的关系进行判断．【解答】解：（1）∵y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，∴由ρ2﹣6ρsinθ=﹣8得x2+y2﹣6y=﹣8，即x2+（y﹣3）2=1，则圆N的直角坐标方程是x2+（y﹣3）2=1；（2）∵直线l的参数方程为，∴消去参数t得，即3x+4y﹣19=0，则圆心C（0，3）的直线的距离d==＞1，即直线l与圆N的位置关系是相离．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]， +=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．【考点】分段函数的应用；基本不等式．【分析】（1）利用绝对值的应用表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=1，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．即得a=1，即+=a=1，（m＞0，n＞0），则m+4n=（m+4n）（+）=1+2++≥3+2=2+3．当且仅当=，即m2=8n2时取等号，故m+4n≥2+3成立．2016年9月18日。
湖南省长沙市长郡中学高三第一次模拟考试——数学文(
湖南省长沙市长郡中学2017届高三第一次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知全集集合{}31|2,|log 12x A x B x x ⎧⎫=>=<⎨⎬⎩⎭，则 A. B. C. D.2.设复数（为虚数单位），则的虚部为A. B. C. D.3.已知是等比数列，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数的大致图象是5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”其意思是“有一个人走378里里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了”A. 60里B. 48里C. 36里D.24里6.据统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学学习时间与数学成绩进行数据收集如下：由表中样本数据求回归直线方程，则点与直线的位置关系为是A.点在直线左侧B. .点在直线右侧C. .点在直线上D.无法确定7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体最长的棱长为A. B. C. D.A. 向左平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D. .向右平移个单位9.执行如图所示的程序框图，如输入的分别为，则输出的A. B. C. D.10.已知数列的前项和为，，则当时，A. B. C. D.11.已知直线过点且与相切于点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，其一条渐近线平行于，则的方程为A. B. C. D.12.已知函数，若对任意[]()()22,2,30m f ma f a ∈--+>恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若满足约束条件2020220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，则的最小值为 .14.已知点，点在第二象限，且150,4AOC OC OA OB λ∠==-+，则 .15.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，右顶点为，直线与交于点，若，则的离心率等于 .16.函数()4sin 2f x x π=所有零点的和等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分12分）已知函数()sin sin .3f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）求的单调递增区间；（2）在中，角的对边分别为，已知，试判断的形状.18.（本题满分12分）某校卫生所成立了调查小组，调查“按时刷牙”与“不患龋齿的关系”.对该校某年级800名学生进行检查，按含龋齿和不患龋齿分类，得到汇总数据：按时刷牙且不患龋齿的学生有160名，不按时刷牙但不患龋齿的学生有100名，按时刷牙但患龋齿的学生有240.（1）该校4名卫生所工作人员甲、乙、丙、丁被随机分成两组，每组2人，一组负责数据收集，另一组负责数据处理，求工作人员甲乙分到同一组的概率；（2）是否有的把握认为该年级学生的按时刷牙与不患龋齿有关系.19.（本题满分12分）如图，菱形的边长为6，60,BAD ACBD O ∠==将菱形沿对角线折起，得到三棱锥，点是棱的中点，（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积.20.（本题满分12分）已知动圆与圆(22:25E x y +=相切，且与圆都内切，记圆心的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）直线与曲线交于点，点为线段的中点，若，求面积的最大值.21.（本题满分12分）已知函数()21ln ,.2f x x ax x a R =-+∈ （1）当时，求函数在处的切线方程；（2）令()()()1g x f x ax =--，求函数的极值；（3）若，正实数满足()()12120f x f x x x ++=，证明：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
高三长郡中学高三第一次月考数学文试题与答案
长郡中学高三第一次月考数学试卷(文科)时量:120分钟 满分: 150分 命题人 李建刚一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．a 、b 为实数，集合{,1},{,0},:bM N a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则b a +A ．1B ．0C ．－1D ．±12. 设()x f 是定义在R 上的单调递减的奇函数，若,0,0,0133221>+>+>+x x x x x x 则 A . ()()()0321>++x f x f x f B. ()()()0321<++x f x f x f C. ()()()0321=++x f x f x f D. ()()()321x f x f x f >+3.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，称这些函数为—同族函数。
那么，函数的解析式为2x y =，值域为{}9,4的同族函数共有 A. 7个 B. 8个 C. 9个 D.10个4．已知命题P:不等式()[]011lg >+-x x 的解集为{}10<<x x ;命题Q:在三角形ABC 中B A ∠>∠是⎪⎭⎫⎝⎛+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos 42cos 22B B A π成立的必要而非充分条件,则A . P 真Q 假B . P 且Q 为真C . P 或Q 为假D . P 假Q 真 5. 设y x ,都是整数，且满足()y x xy +=+22，则22y x +的最大可能值为 A. 32 B. 25 C. 18 D. 166. 函数()⎩⎨⎧≤<≤=πx x x x x f 0 sin 40 2 ,则集合()(){}0=x f f x 中元素的个数有A .2个B . 3个C .4个 D. 5个 7. 将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin πωx x f 的图像按,14a π⎛⎫= ⎪⎝⎭平移之后得到函数()g x 的图像,若22143+=⎪⎭⎫⎝⎛πg 则5()14g π-的值为A ．C .8. 在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m t m a a =+ 对任意正整数m 均成立，那么就称{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期。
湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷(文科).docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1}D．A⊆B2．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）A． +i B． +i C．﹣﹣i D．﹣﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣ B．C．﹣D．4．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．C．3 D．15．已知=（﹣3，2），=（﹣1，0），向量λ+与﹣2垂直，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（）A．n＞4？B．n＞5？C．n＞6？D．n＞7？7．函数f（x）=x﹣sinx的图象是（）A．B．C．D．8．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC 的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（）A．，2 B．，4 C．，2 D．，410．已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（）A．B．4πC．2πD．11．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值是（）A．1 B．C．D．12．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（）A．[12，+∞]B．[0，3]C．[3，12]D．[0，12]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元）．x 2 4 5 6 8y 30 40 60 t 70根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为．14．过原点的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为．15．已知函数f（x）=（x∈R），正项等比数列{a n}满足a50=1，则f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）等于．16．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是（写出正确命题的编号）．①总存在某内角α，使cosα≥；②若AsinB＞BsinA，则B＞A；③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；④若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若f（）=2，边AC=1，AB=2，求边BC的长及sinB的值．18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？P（K2≥0.100 0.050 0.010 0.001k0）k0 2.706 3.841 6.635 10.828附：K2=．19．如图甲，圆O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点B到平面ACD的距离；（2）如图：若∠DOB的平分线交于一点G，试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k（k≠0））的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3 于M，N两点，线段MN的中点为P．记直线PB的斜率为k′，求证：k•k′为定值．21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，e]，求g （x1）﹣g（x2）的最小值．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0的距离的最小值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．2016年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1}D．A⊆B【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C2．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）A． +i B． +i C．﹣﹣i D．﹣﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由图形可得：z1=﹣2﹣i，z2=i．再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：由图形可得：z1=﹣2﹣i，z2=i．∴====﹣﹣i，故选：C．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D4．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．C．3 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到点D（0，1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，3），此时的最大值为，故选：A．5．已知=（﹣3，2），=（﹣1，0），向量λ+与﹣2垂直，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出λ的值即可．【解答】解：∵=（﹣3，2），=（﹣1，0），∴=13，=1，•=3；又向量λ+与﹣2垂直，∴（λ+）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）•﹣2=0，即13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ=﹣．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（）A．n＞4？B．n＞5？C．n＞6？D．n＞7？【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次得到s，n的值，当n=5时，由题意满足条件，退出循环，输出s的值为98，从而可得判断框内可填入的条件．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：s=0，n=1执行循环体，s=2，n=2不满足条件，执行循环体，s=10，n=3不满足条件，执行循环体，s=34，n=4不满足条件，执行循环体，s=98，n=5此时，由题意，满足条件，退出循环，输出s的值为98，则判断框内可填入的条件为：n＞4？故选：A．7．函数f（x）=x﹣sinx的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据函数的奇偶性排除B，D，再根据特殊值排除C，问题得以解决．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣（x﹣sinx）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，即图象关于原点对称，排除B，D，当x=时，f（）=﹣1＜0，故排除C，故选：A8．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC 的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取BC的中点F，连接EF，AF，得到∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，由此能求出异面直线AE和PB所成角的余弦值．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，∴∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，∵△ABC为正三角形，∴∠BAC=60°．设PA=AB=2a，PA⊥平面ABC，∴，∴．∴异面直线AE和PB所成角的余弦值为．故选：B．9．已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（）A．，2 B．，4 C．，2 D．，4【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意和对数函数的性质得m＜1＜n、log4m＜0、log4n＞0，代入已知的等式由对数的运算性质化简，由f（x）的最大值和对数函数的性质列出方程，求出m、n的值．【解答】解：∵函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），∴m＜1＜n，log4m＜0，log4n＞0，则﹣log4m=log4n，∴，得mn=1，∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，∴f（x）在区间上的最大值为2，∴，则log4m=﹣1，解得，故选B．10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（）A．B．4πC．2πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出棱锥直观图，根据棱锥的结构特征和球的性质找出球心位置计算球的半径．【解答】解：根据三视图作出棱锥D﹣ABC的直观图，其中底面ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，DC⊥底面ABC，DC=，取AB中点E，过E作EH⊥底面ABC，且HE==．连结AH，则H为三棱锥外接球的球心．AH为外接球的半径．∵AE==，∴AH==1．∴棱锥外接球的体积V==．故选D．11．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值是（）A．1 B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】利用椭圆的定义，结合∵的最大值为5，可得当且仅当AB⊥x轴时，|AB|的最小值为3，由此可得结论．【解答】解：由题意： +|AB|=4a=8∵的最大值为5，∴|AB|的最小值为3当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A（﹣c，），B（﹣c，﹣）代入椭圆方程可得：∵c2=4﹣b2∴∴b=故选D．12．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（）A．[12，+∞]B．[0，3]C．[3，12]D．[0，12]【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】判断函数的奇偶性，推出不等式，利用约束条件画出可行域，然后求解数量积的范围即可．【解答】解：函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，所以f（x）为奇函数．∴f（x2﹣2x）≤f（﹣2y+y2）≤0，∴x2﹣2x≥﹣2y+y2，∴即，画出可行域如图，可得=x+2y∈[0，12]．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元）．x 2 4 5 6 8y 30 40 60 t 70根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为50．【考点】线性回归方程．【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，，=40+∵y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，∴40+=6.5×5+17.5∴40+=50∴=10∴t=50故答案为：50．14．过原点的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出P，M，N的坐标，根据直线斜率之间的关系建立方程关系进行求解即可．【解答】解：由双曲线的对称性知，可设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（﹣x1，﹣y1）．由，可得：，即，即，又因为P（x0，y0），M（x1，y1）均在双曲线上，所以，，所以，所以双曲线的离心率为．故答案为：．15．已知函数f（x）=（x∈R），正项等比数列{a n}满足a50=1，则f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）等于．【考点】数列的函数特性．【分析】根据等比数列的性质得到：a49•a51=a48•a52=…=a1•a99=1，所以lna49+lna51=lna48+lna52=…=lna1+lna99=0，由题知f（x）+f（﹣x）=1，得f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）里有49个1和f（lna50），而f（lna50）=代入其中得到即可．【解答】解：由f（x）=，f（﹣x）=，可知f（x）+f（﹣x）=1，∵正项等比数列{a n}满足a50=1，根据等比数列的性质得到：a49•a51=a48•a52=…=a1•a99=1，∴lna49+lna51=lna48+lna52=…=lna1+lna99=0，lna50=ln1=0且f（lna50）=f（ln1）=f（0）=，根据f（x）+f（﹣x）=1得f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）=[f（lna1）+f（lna99）]+[f（lna2）+f（lna98）]+…+[f（lna49）+f（lna51）]+f（lna50）=49+=．故答案是：．16．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是①④（写出正确命题的编号）．①总存在某内角α，使cosα≥；②若AsinB＞BsinA，则B＞A；③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；④若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对于①，可先根据三角形内角和定理判断角α的范围，从而确定cosα的值域；对于②，结合式子的特点，可构造函数y=，研究其单调性解决问题；对于③，利用内角和定理结合两角和的正切公式研究tanA+tanB+tanC的符号即可；对于④，可以利用平面向量的运算方法将给的条件转化为三边a，b，c之间的关系，然后找到最小边，利用余弦定理求其余弦值，问题可获解决．【解答】解：对于①，假设三个内角都大于60°，则三内角和必大于180°，与内角和定理矛盾，故必有一内角小于或等于60°，设为α，则cosα≥cos60°=，故①为真命题；对于②，由题意不妨令，因为，因为时，tanx＞x＞0，所以，所以xcosx﹣sinx＜0，所以f′（x）＜0，即f（x）在x上为减函数，所以题意得AsinB＞BsinA即为，则应有B＜A，故②为假命题；对于③，由题意不妨设C，则A，B皆为锐角，且tanA＞0，tanB＞0，tanC＜0．又，整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＜0，故③为假命题；对于④，由2a+b+c=得2a+b+=（2a﹣c）=，即，而不共线，所以2a﹣c=0，b﹣c=0，解得c=2a，b=2a，则a是最小边，所以A为最小角，所以cosA=，故，故④正确．故答案为①④．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若f（）=2，边AC=1，AB=2，求边BC的长及sinB的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由两角差的正弦化积，最后由周期公式求得周期；（2）由f（）=2求得角A，再由已知结合余弦定理求得BC，最后由正弦定理求得sinB 的值．【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1=，∴，即函数f（x）的最小正周期为π；（2）∵，A∈（0，π），∴，则．在△ABC中，由余弦定理得，，即，∴．由正弦定理，可得．18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？0.100 0.050 0.010 0.001P（K2≥k0）k0 2.706 3.841 6.635 10.828附：K2=．【考点】独立性检验；频率分布直方图．【分析】（1）根据分层抽样原理计算抽取的男、女生人数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；（2）由频率分布直方图计算对应的数据，填写列联表，计算K2值，对照数表即可得出概率结论．【解答】解：（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；…从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；…故所求的概率为P==…（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…据此可得2×2列联表如下：数学尖子生非数学尖子生合计男生15 45 60女生15 25 40合计30 70 100所以得K2==≈1.79；…因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”…19．如图甲，圆O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点B到平面ACD的距离；（2）如图：若∠DOB的平分线交于一点G，试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用等体积方法求点B到平面ACD的距离；（2）BD弧上存在一点G，满足DG=GB，使得FG∥面ACD．通过中位线定理可得面FOG ∥面ACD，再由性质定理，即可得到结论．【解答】解：（1）在图甲中，∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD，AC⊥BC，∵AB=2，∠DAB=，∴AD=1，BD=，=AD•BD=．∴S△ABD∵∠CAB=，∴OC⊥AB，OC=AB=1．在图乙中，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面ABD，==∴V C﹣ABD∵△ACD中，AC=，CD=，AD=1，==，∴S△ACD设点B到面ACD的距离为h，则=，∴h=∴点B到面ACD的距离为．（2）FG∥面ACD，理由如下：连结OF，则△ABC中，F，O分别为BC，AB的中点，∴FO∥AC，又∵FO⊄面ACD，AC⊂面ACD，∴FO∥面ACD，∵OG是∠DOB的平分线，且OD=OB，令OG交DB于M，则M是BD的中点，连结MF，则MF∥CD，又∵MF⊄面ACD，CD⊂面ACD，∴MF∥面ACD，且MF∩FO=F，MF，FO⊂面FOG，∴面FOG∥面ACD．又FG⊂面FOG，∴FG∥面ACD．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k（k≠0））的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3 于M，N两点，线段MN的中点为P．记直线PB的斜率为k′，求证：k•k′为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）利用椭圆的离心率计算公式，顶点A（a，0），及其a2=b2+c2即可得出a，b，c，于是得到椭圆的标准方程；（II）设直线l的方程为y=k（x﹣1）．与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系，利用直线AE，AF的方程即可得到点M，N，及中点P的坐标，再利用斜率的计算公式即可证明．【解答】解：（Ⅰ）依题得解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）根据已知可设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设E（x1，y1），F（x2，y2），则，．直线AE，AF的方程分别为：，，令x=3，则M，N，所以P．所以k•k′====．21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，e]，求g （x1）﹣g（x2）的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，令g′（x）=0，设出方程的两根为x1，x2，得到，得到，，确定a的符号，求出g（x1）﹣g（x2）的表达式，根据函数的单调性求出其最小值即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域（0，+∞），，令f′（x）=0，得x2﹣ax+1=0，①当0＜a≤2时，△=a2﹣4≤0，此时，f′（x）≥0恒成立，所以，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；②当a＞2时，△=a2﹣4＞0，解x2﹣ax+1=0的两根为：，，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；综上得，当0＜a≤2时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间；当a＞2时，f（x）的递增区间为，，递减区间为；（2），定义域为（0，+∞），，令g′（x）=0，得x2+ax+1=0，其两根为x1，x2，且，所以，，，∴a＜0．∴=，设，x∈（0，e]，则（g（x1）﹣g（x2））min=h（x）min．∵，当x∈（0，e]时，恒有h′（x）≤0，∴h（x）在（0，e]上单调递减；∴，∴．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此==4；（2）根据切割线定理证出AB2=AD•AE，所以AC2=AD•AE，证出=，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【解答】解：（1）∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．因此△CGF∽△CDE，可得=，又∵CG=1，CD=4，∴=4；证明：（2）∵AB与⊙O的相切于点B，ADE是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AC2=AD•AE，可得=，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠ADC=∠EGF，因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0的距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）P点的极坐标为（2，），利用互化公式可得：点P的直角坐标．由，利用平方关系可得普通方程．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），对于直线l的极坐标利用互化公式可得直线l的普通方程．设，则，利用点到直线的距离公式可得点M到直线l的距离，再利用三角函数的值域即可得出．【解答】解：（1）P点的极坐标为（2，），利用互化公式可得：点P的直角坐标，由，得，∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0可得直线l的普通方程为x+2y+1=0，设，则，则点M到直线l的距离，∴点M到直线l的最小距离为．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 ＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．2016年10月16日。
湖南省示范性中学高三联考试卷文科数学(一).doc
湖南省示范性中学高三联考试卷文科数学(一)命题人:长沙市长郡中学高级教师 姜海平本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共21小题,满分150分,时量1参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n P k C p p -=-第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题 共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合M ＝{}R x y y x∈=,2|，N ＝{})3lg(|x y x -=，且全集I=R ，则(C I M)N⋂（ ）A.[)+∞,3B.()1，－∞ C.[)3,1 D.φ2、在一次歌手大赛上，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ） A. 9.4, 0.484 B. 9.4, 0.016 C. 0.95, 0.04 D. 9.5, 0.0163、 从8名女生，4名男生中选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为 ( )A ．2448C C ⋅B ．3438C C ⋅C ．612CD ．2448A A ⋅4、曲线53123+-=x x y 在1=x 处的切线的倾斜角为 （ ） A ．3π B ．4π C ．6πD ．4π35、在等差数列{}n a 中，,12031581=++a a a 则=-1092a a （ ） A ．24 B.22 C. D.-86、某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为101，响第二声时被接的概率为103，响第三声时被接的概率为52，响第四声时被接的概率为101，则电话在响前四声内被接的概率为（ ） A.21 B. 109 C. 103 D.547、若不等式a x <-|1|成立的充分非必要条件是40<<x ，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．),3[+∞B ．),1[+∞C ．)3,(-∞D ．]1,(-∞8、已知函数⎪⎪⎨⎧>≤=1log 12)(21x xx x f x，则f （1－x ）的图象是 （ ）ABCD9、已知函数y ＝f （x ）是偶函数，且y ＝f （x －2）在[0,2]上是单调递减函数，则 ( ) A. f(-1)<f(2)<f(0) B. f(-1)<f(0)<f(2)C. f(0)<f(-1)<f(2)D. f(2)<f(-1)<f(0) 10、为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b 的值分别为 （ ） A ．0.27,78 B ．0.27,83 C ．2.7,78 D ．2.7,83第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题 共5小题，每小题4分，共把答案填在题中横线上. 11、函数y=)2(--x x (x 3≥)的反函数的定义域为__________.12、设A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={1, 3, 5, 7, 9}, 集合C 是从A ⋃B 中任取2个元素组成的集合,则C A ⋂B 的概率是__________.13、在等比数列{}n a 中，3543=a a a ，,24876=a a a 则11109a a a 的值为__________. 14、已知函数ax x x f +-=3)(在区间()1,1-上是增函数，则实数a 的取值范围是________.15、对任意两实数,b a 、定义运算“*”如下：⎩⎨⎧>≤=*.,;,b a b b a a b a 若若函数=)(x fx x 221l o g )23(l o g *-的值域为__________.三、解答题：本大题 共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）设函数f(x)=2+ax ,不等式()216)(，－的解集为<x f ，试求不等式1)(≤x f x的解集.17. （本小题满分12分）已知集合A={}{},0)1(|,023|22=-+-==+-a ax x x B x x x=C {}02|2=+-bx x x ，问同时满足B A,C ⊆A 的实数b a 、是否存在？若存在，求出b a 、所有的值，若不存在，请说明理由.18．（本小题满分14分）已知：命题p:)(1x f－是)(x f ＝x 31-的反函数,且.2)(1<-a f命题q:集合A={}{}.,0|,,01)2(|2φ=>=∈=+++B A x x B R x x a x x 且 求实数a 的取值范围，使命题p 、q 中有且只有一个为真命题.19. （本小题满分14分）已知等差数列{}a n 的前9项和为153.（1）数列{}a n 中是否存在确定的项，若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由； （2）若a b n an 282==，，求数列{}b n 前n 项的积T n ；（3）在（2）的条件下，若从数列{}a n 中，依次取出第二项、第四项、第八项，…，第2n 项，按原来的顺序组成一个新的数列{}c n ，求数列{}c n 的前n 项和S n .本小题满分14分）已知函数3221()3(0)3f x x bx a x a =-+-≠在x a =处取得极值， （1）用,x a 表示()f x ；（2）设函数33()23'()6,g x x af x a =--如果()g x 在区间(0,1)上存在极小值，求实数a的取值范围.21．（本小题满分14分）某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知该厂生产这种仪器的次品率P 与日产量x （件）之间满足关系：P=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈>∈≤≤++).,94(32),,941(961N x x N x x x－已知每生产一件合格的仪器可盈利A 元，但每生产一件次品将亏损2A元，厂方希望定出适当的日产量.（1）试判断：当日产量x （件）超过94件时，生产这种仪器能否盈利？说明理由； （2）当日产量x （件）不超过94件时，试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示成日产量x （件）的函数；（3）为了获得最大利润，日产量x 应为多少件？湖南省示范性中学高三联考试卷 文科数学(一) 参考答案二、填空题11．(]3，－－∞ 12.28313． 192 14. [)∞，＋3 15 . (]0，－∞三、解答题16．解：().0324,362,62222<+<+∴<+－即ax x a ax ax由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=-+-=-.2)1(32,2)1(422a a a 解得.4-=a ………………………..6分∴.24)(+-=x x f 由1)(≤x f x ，即,124≤+-x x 变形得.02425≥--x x解得.52,21≤>x x 或 ∴原不等式的解集为 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤>52,21|x x x 或 …………………………….12分17．解：A={}2,1,B A,∴B 有三种可能：{}{}.21，，φ 若φ=B ,则,0)1(42<--=∆a a 无解.又当,0)1(42＝--=∆a a 即2=a 时，B={}1， 符合要求，.2=∴a …………………………………………………………………….6分由C ⊆A 得,082<-b 或⎩⎨⎧∈-,1,082C b ＝或⎩⎨⎧∈-，＝C b 2,082或C=A.解得 .3,2222=<<-b b 或 …………………………………………………11分综上所述，存在,2=a 3,2222=<<-b b 或满足题设要求. ……………….12分18．解：.31)(,31)(1xx f x x f -=∴-=- 由2)(1<-a f得,231<-a解得.75<<-a ………………………………….4分 设1)2(2+++x a x 的判别式为∆，当0<∆时，φ=A ,此时()0422<-+=∆a ，;04<<-a ……………………………………………………………………..5分 当0≥∆时，由φ=B A ,得()⎩⎨⎧<+-=+≥-+=∆,0)2(,042212a x x a 解得0≥a .综上，.4->a ..8分（1）要使P 真q 假，则⎩⎨⎧-≤<<.4,75a a －解得.45-≤<-a（2）要使P 假q 真，则⎩⎨⎧->≥-≤.4,7,5a a a 或解得.7≥a …………………………13分所以当a 的取值范围是(][)+∞--,74,5 时，命题p 、q 中有且只有一个为真命题. .14分19．解：（1）数列中存在确定的项.…………………………………………1分分4 (17153)92292)(9555919=∴==⨯=+=a a a a a S （2）设数列的公差为d ，则⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=+==+=.3,5,174,811512d a d a a d a a23+=∴n a n . ……………………………………………………………7分∴………………9分（3）n a a a a S nn n 2)2842(32842+++++=++++= (62231)-+⋅=+n n……………………………………………………………………………………………14分：（1）22'()23f x x bx a =-+-, 3221'()02()233f a b a f x x ax a x =⇒=⇒=-+-…………………………………………………………………………………………….4分（2）由已知3223()23123,g x x ax a x a =+-+,1266)('22a ax x x g -+=∴令)('x g ＝0.2a x a x -==⇒或①若0>a ,则当a x a x 2-<>或时，)('x g >0；当2a x a -<<时，'()0g x <. 所以当(0,1)x a =∈时，()g x 在(0,1)有极小值.②同理当0a <时，2(0,1)x a =-∈，即1(,0)2a ∈-时，()g x 在(0,1)有极小值.综上所述：当1(0,1)(,0)2a ∈-时，()g x 在(0,1)有极小值. ……………14分 21．解：（1）当x>94时，P ＝32，∴每日生产的合格品为x 31件，次品为x 32件，∴合格品共可盈利x 31A,次品共亏损.31232xA A x =⋅.x 31A-x 31A=0, ∴盈亏相抵，即日产量超过94件时，不能盈利…………….4分（2）当194≤≤x 时，P ＝x-961，∴每日生产的合格品为)9611(x x --件，次品为xx-96件， ∴T=296)9611(Ax x A x x ⋅----=元）()96(23A x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--(1)94+∈≤≤N x x ，………………8分 (3)由（1）可知，日产量超过94件时，不能盈利， 当194≤≤x 时，T ＝A x x )9614423--+（＝A x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----96144)96(2195， 96<x ，.096>-∴x.214796144)96(22195A A x x T =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅--≤∴ 当且仅当96,96144xx -=－即x=84(件)时等号成立 所以要获得最大利润，日产量应为84件……………………………….14分。
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数 暋 学( 文科 )
毿 , x x ) , ; 已知命题 p: 命题q: 则下列命题为真 2. 烐x暿 ( -曓 , 0 2 <3 炐x暿 ( 0, ) t a n x>s i n x. 2 的是 A. p暷 q B. p暷 ( q)
x , 在同一个坐标系中画出函数 y= 其中 a>0 且 a曎1, 则下列所 3. a i n a x 的部分图象 , y=s
姓 暋暋 名 暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋 准考证号 暋暋暋暋暋暋暋暋暋暋
炎德 · 英才大联考 长郡中学 2 一) 0 1 1 届高考模拟卷 (
填空题和解答题三部分 , 共 5 页 。 时量 1 暋暋 本试题卷包括选择题 、 2 0 分钟 。 满分 1 5 0分。 一、 选择题 : 本大题共 8 小题 , 每小题 5 分 , 共4 在每小题给出的四个选项中 , 只有一项 0分. } , } , } , 设全集 U = { 集合 P= { 则 P暼 ( 1. 1, 2, 3, 4 1, 2 Q= { 1, 3 UQ ) = { } C. 1, 2 { } A. 1 { } B. 2 { } D. 1, 2, 4 是符合题目要求的 .
是 y=g( 的 导 函 数, 若 正 常 数 p, 求 证: x 曚( x) x) 2. y=g q 满 足 p +q=1, q曒p.
曚( x x <0. 1+ 2) g p q
数学 ( 文科 ) 试题 第 暋 共 5 页) 5 页(
求出 y 关于x 的线性回归方程为^ 那么表中t 的值为 暋暋暋暋 . 7 x+0. 3 5, y=0.
2. 5
3
t
4
5 4
4. 5
6
曻 1 (曻 曻) ( , 切点为 E, 延长 F 若O 则双 E 交双曲线右支于点 P , E= O F+O P , O 为坐标原点 ) 2 曲线的离心率为 暋暋暋暋 .
( ) ] , 对任意的 x暿 [ 不等式 x 3 1, 8 x) 曑6 恒成立 ; f( A. 1个 B. 2个 C. 3个
( ) , 将函数 f( 的极值由大到小排列得到数列 { 则{ 为等比数列 . 4 x) a n暿N* , a n} n} D. 4个
二、 填空题 : 本大题共 8 小题 , 考生作答 7 小题 , 每小题 5 分 , 共3 把答案填在答题卡中 5分, ( 一) 必做题 ( 9~1 4 题) 对应题号后的横线上 .
若数列 { 满足 : 对任意的 n暿N* , 只有有限个正整数 m 使得am < 记这样的 m 1 4. a n 成立 , n}
* 2 * { ( …, 是 0, 已 知 对 任 意 的 n暿 N* , 则( a 1, 2, n-1. a a n) } n =n , 5) = 暋 暋 暋 暋, * * ( …, 的个数为 ( 则得到一个新数列 { 例 如, 若数列{ 是 1, 则数列 a a . a 2, 3, n, n) , n) } n}
下表提供了某厂节能降耗技术改 造 后 生 产 A 产 品 过 程 中 记 录 的 产 量 x ( 吨) 与相应的 1 2. 生产能耗 y( 吨标准煤 ) 的几组对应数据 . 根据下表提供的数据 ,
x
y
2 2 2 y a 2 2 ( >0, ) ) ( , 过双曲线x 的左焦点 F( 作圆 x 1 3. b>0 c, 0 c>0) +y = 的切线 , 2 - 2 =1 a 4 a b
2 已知数列 { 的前 n 项和Sn = a n +2 n. n}
则第 2 次试点的加入量为 暋暋暋暋暋g 0. 6 1 8法优选 , .
( 本小题满分 1 1 7. 2 分)
( ) 求数列 { 的通项公式 ; 1 a n}
( ) 若等比数列 { 满足b 求数列 { 的前 n 项和 Tn . 2 b S b a a b n} 2= 1, 4= 2+ 3, n}
( C. p) 暷 q
D. p暸 ( q)
给图象中可能正确的是
如图 , 在正方体 A 点 P 是上底面 A1B1 4. B C D-A1B1 C D1 中 , C D1 1 1 1 A. 2 内一动点 , 则三棱锥 P-A B C 的主视图与左视图的面积的比值为 B. 1 不能确定 D.
若 A, 则 4 + 1 的最小值为 5. B, C 为 曶A B C 的三个内角 , A B+C 9 A. 毿 8 B. 毿 7 C. 毿
( 一部分为曲线段 A 该曲线段为函数 y=A B C, s i n 氊 x+氄)
( ) 求 氊, 1 O E 的值 ; 氄 的值和 曄D
( ) , 若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个 “ 矩形草坪 暠 如图所 示 , 矩形的一边在 2 道路 A 一个顶点在扇形半径 O 记 曄P 求当“ 矩形草坪暠 的面积最 E 上, D 上. O E= 毴, 大时毴 的值 .
科目 : 数学 ( 文科 )
( 试题卷 )
策划制作 : 湖南炎德文化实业有限公司 命题审校 : 长郡中学高三数学备课组 暋
注意事项 : 考生务必将自己的姓名 、 准考证号写 1 灡 答题前 , 在答题卡 和 该 试 题 卷 的 封 面 上 , 并认真核对条形码 上的姓名 、 准考证号和科目 . 在 2 灡 选择题和非 选 择 题 均 须 在 答 题 卡 上 作 答 , 草稿纸上 和 本 试 题 卷 上 答 题 无 效 . 考生在答题卡上 按如下要求答题 : ( ) 选择题部分请用2 1 B 铅笔把对应题目的答案标 号所在方框涂黑, 修改时用橡皮擦干净, 不留痕迹. ( ) 非选择题部分( 包括填空题和解答题 ) 请按题 2 号用 0 否则作答无效 . 灡 5毫米黑色墨水签字笔书写 , ( ) 保持字体工整 、 笔迹清晰 、 卡面清洁 、 不折叠 . 3 将本试题卷和答题卡一并交回 . 3 灡 考试结束后 , 如缺页 , 考生须声明 , 否则 4 灡 本试题卷共 5 页 . 后果自负 .
( 本小题满分 1 2 2. 3 分)
1 ,] ( ) 求函数 y=f( 在[ 1 x) 2 上的最大值 . 2
2 已知函数 f( x) =2 l n x-x .
( ) ) 、 ) , 如果函数 g( 且 0<x 2 x) =f( x) a x 的图象与x 轴交于两点 A ( x 0 B( x 0 1, 2, 1<
数学 ( 文科 ) 试题 第 暋 共 5 页) 3 页(
( 本小题满分 1 1 8. 2 分)
某中学数学老师本学期分别用 A, B 两种不同的教学方式试验 甲、 乙两个高一新班 ( 人数均为6 入学数学平均分数和优 0 人, 秀率都相同 ; 勤奋程度 和 自 觉 性 都 一 样 ) 现 随 机 抽 取 甲、 乙两 . 班各 2 得到茎叶图 : 0 名的高一数学期末考试成绩 , 同学至少有一个被抽中的概率 ;
( 二) 选做题 ( 请从以下两题中任选一题 , 两题都做的以第 1 5 题计分 ) ( 极坐标系与参数方程 ) 直线l 的参数方程为 1 5. 暋暋暋暋 .
* * ( ( a n ) ) =暋暋暋暋 .
{
( , 则它的倾斜角为 t 为参数 )Байду номын сангаас=2+2 3 t y
x=1-2 t
( 优选法与试验 设 计 初 步 ) 已知一种材料的最佳加入量在1 若采用 1 6. 0 0 0 0 g到2 g 之 间. 三、 解答题 : 本大题共 6 小题 , 共7 解答应写出文字说明 , 证明过程或演算步骤 . 5分.
( 本小题满分 1 1 9. 2 分)
2 P, M 为B C 边上的点 , CM = . 3
连结 A A B C 的垂线 AA 曚和 C C 曚, AA 曚=2, C C 曚=1, 曚 C 和A C 曚交 于 点 ( ) 求证 : 直线 PM 曃 平面 A 1 曚 A B;
, 如图 , 分 别 过 A, R t 曶A B C 中, 曄A B C=9 0 曘 B A =B C=2, C 作平面
( 本小题满分 1 2 1. 3 分)
( ) 求椭圆 C 的方程 ; 1
2 2 y x 3 , (> ) 已知椭圆 C: 经过点 M ( 其离心率为 1 . b>0 1, ) 2 + 2 =1 a 2 2 a b
( ) 设直线l 与椭圆C 相交于 A 、 以线段 O 2 B 两点 , A, O B 为邻边作平行四边形 O A P B, 其中顶点 P 在椭圆C 上 , 求 O 到直线l 距离的最小值 . O 为坐标原点 .
K2 曒 k) p( k
0. 1 5 2. 0 7
0. 1 0 2. 7 1
0. 0 5 3. 8 4
0. 0 2 5 5. 0 2
0. 0 1 0 6. 6 4
0. 0 0 5 7. 8 8
0. 0 0 1 1 0. 8 3
( 参考公式 : K2 =
2 ) n( a db c , 其中 n= a+ b+ c+d) ( ( ( ) ( a+ b) c+d) a+ c b+d)
( ) 求直线 MP 与平面 A 2 曚 A C 所成的角 .
数学 ( 文科 ) 试题 第 暋 共 5 页) 4 页(
( 本小题满分 1 2 0. 3 分)
如图 , 某市拟在道 路 的 一 侧 修 建 一 条 运 动 赛 道 , 赛道的前
毿 ( ) , ] 的图象 , 且图象的最 A>0, 氊>0, < <毿 x暿 [ -3, 0 2 氄 ; 高点为 B( 赛道的中间部分为 3千米 的 水 平 跑 -1, 3 2) 氞 道C 赛道的后一部分为以 O 为圆心的一段圆弧D D; E.
C. 2
6 D. 毿