张海澜《理论声学》答案Theoretical Acoustics

张海澜的《理论声学》答案 1．1有一质点振动系统，固有频率0f 已知，质量和弹性系数待求。

现在质点上增加已知质量m ，固有频率改变了'0f 。

求原质点系统的质量和弹性系数。

02f π=增加质量m ， ()'2ff π-=可得0'00f f f=-，()()2'00''02m f f M fff-=-，()()222'0''042m f ffK fffπ-=-1．2一弹簧竖直悬挂，上端固定，下端系一质点组成简单质点振动系统。

质点同时受到向下的重力。

分析质点的振动和能量的转换。

22d x M M g Kx dt=--，22d x K x g dtM+=-，特解0M g x K=-，0x =弹簧受力为零通解()0cos a M g x x t Kωφ=+-，平衡位置M g x K=-，简谐振动速度()00sin a v x t ωωφ=-+动能：()2210011sin 22a E M v M x t ωωφ==+⎡⎤⎣⎦弹黄势能：()222011cos 22a M g E K x K x t K ωφ⎡⎤==+-⎢⎥⎣⎦()()()22001cos cos 22a a M g K x t M gx t Kωφωφ=+-++⎡⎤⎣⎦重力势能：()30cos a M g E M gx M g x t K ωφ⎡⎤==+-⎢⎥⎣⎦()()20cos a M g M gx t Kωφ=+-。

0x '=取为平衡位置，M g x x K'=+通解()0cos a x x t ωφ'=+速度()00sin a v x t ωωφ=-+， 动能：()2210011sin 22a E M v M x t ωωφ==+⎡⎤⎣⎦弹黄势能：()22011cos 22a M g M g E K x K x t K K ωφ⎛⎫⎡⎤'=-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()22001cos cos 22a a M g K x t M gx t Kωφωφ=+-++⎡⎤⎣⎦重力势能：()30cos a E M gx M gx t ωφ==+1．3火车以速度0v 运动，车上有一简单质点振动系统，弹簧与火车运动方向平行，一端固定在火车上，另一端连接的质点沿火车运动方向振动。

分析质点的振动和能量转换的规律。

2112220X M K KX K M K ωω⎫⎛-⎫⎛=⎪⎪ -⎝⎭⎝⎭ ()4212120M M K M M ωω-+=()()210ω=， ()()221212M M K M M ω+=。

()()111200x x x v t ==+， ()()2211220M X M X +=()()()()()()()()11221001112200cos cos M x x v t A t M x x v t A t ωϕωϕ⎧=+++⎪⎨⎪=+-+⎩(0.1) 能量()()()()212212101sin 2T M M E v A t M ωωϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦()()()()()()()()()()21221021222222201sin sin22M v M M v A t A t M ωωϕωωϕ=-+++()()()()()()()()()()2122021222222220sin sin22T M v M E M v A t A t ωωϕωωϕ=++++()()()22212211cos 22V K K M M E x x A t M ωϕ⎡⎤+=-=+⎢⎥⎣⎦1M 比2M 大很多，略去21MM ， ()()222K M ω=，振型10X =，21X =()()()()()()2110212120sin 2T M v E M v A t ωωϕ==-+()()()()()()()()()()2122021222222220sin sin22T M v M E M v A t A t ωωϕωωϕ=++++()()222cos2V K E A t ωϕ=+()10v 不同，在不同的参考系中，2M 的动能的变化是不同的。

同时1M 的动能也有变化，1M 的速度实际上不变1．4有一动圈传声器，当作质点系统处理，测得振膜固有频率600Hz ，质量0.8克，求弹性系数和力顺。

()20211370K f M π = =，力顺518.810C K-==⨯(米/牛顿，秒2/千克)1．5质点系统受力()111sin sin ,f h t t ωωωω=+ ，求振动。

()()11sin cos cos 2h f t t t ωωωωω= +--+⎡⎤⎣⎦()()()()()()()()12112211113211exp()sin exp 2cos 2exp 2cos 2i i t t x M i R Kh i t h t x M i R Khi t ht x M i R K ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω- -> =--+--⎡⎤⎣⎦- -> =----+--+⎡⎤⎣⎦-+ -> =-+-++1．6有下列形式的作用力作用于质点振动系统上，求振动位移。

()120,1,2,112aa F kT t k T f k F k T t k T⎧⎛⎫ ≤≤+ ⎪⎪⎪⎝⎭= =⎨⎛⎫⎪- +≤≤+ ⎪⎪⎝⎭⎩把外力展开为傅利叶级数122cossinn n n n nt nt f a b TTππ∞∞===+∑∑0010Ta fdt T==⎰，022cos 0Tn nt a f dt TTπ⎫⎛==⎪⎝⎭⎰0 22sin 4 Tn a n nt b f dt F TTn n ππ⎧⎪⎫⎛==⎨⎪⎝⎭⎪⎩⎰偶奇1,3,5...1,3,5...441212sinexp aan n F iF nt i nt f nTn T ππππ∞∞==⎫⎛=→- ⎪⎝⎭∑∑221,3,5...212exp 2an TF i ntx n T n Z T πππ∞=⎫⎛=-- ⎪⎫⎛⎝⎭⎪⎝⎭∑()0221,3,5...2102an TF x x n n Z T ππ∞===-⎫⎛ ⎪⎝⎭∑()01,3,5...4102an i F v v n nZ T ππ∞===⎫⎛ ⎪⎝⎭∑瞬态部分，初始位移和初始速度为0x -和0v -1．7画出如右图所示弹簧并联系统的导纳型类比线路图，求出系统的等效弹性系数。

2mK C =并1．8如下图所示隔振系统，系统弹簧置于阻尼材料中，力阻1m R ，画出系统的导纳型类比线路图，分析1m R 的作用。

恒流源 1112m m mm V V V V F i C G V F i M V G ωω--⎧=+⎪-⎪⎨⎪=-+⎪⎩得到：()1121122111111m m m m m m m m mm m m V i R K i C G V M i R R K i M G i C G ωωωωωω+-+-==--++-+++-习题2.1 考虑如图3个相同的质点和4个相同的弹簧组成的一维的耦合共振系统。

求其共振频率和模式，验证模式的正交性。

0ω=()()()()1112221233332=0 00 M x K x K x x M x K x x K x x M x K x K x x ⎧++-⎪+-+-=⎨⎪++-=⎩22200222200022200/20/2/200/2ωωωωωωωωωω⎫⎛-⎪ -=⎪ ⎪-⎝⎭()10ωω=101⎫⎛⎪⎪⎪-⎭，()1,20ω=，模式是1121⎫⎛⎪ ⎝⎭正交：质量相同(111110021⎫⎛⎪=⎪⎪-⎭，(111110021⎫⎛⎪=⎪⎪-⎭，()111110221⎫⎛= ⎪ ⎝⎭习题2.2 考虑第一个例子中的两个质点三个弹簧组成的一维振动系统，两个质点的质量相同，三个弹簧的弹性系数相同。

两个质点分别受力()1f t 和()2f t ，试用简正方法写出运动方程，并和解非齐次方程组的方法的结果比较。

()111222120M x K x x Kx ⎨+-+=⎩22202M K Kk M K ωω⎫⎛-=⎪-⎝⎭()1ω=11⎫⎛⎪-⎝⎭，()2ω=，模式是11⎫⎛⎪ ⎝⎭()()1121221222M x Kx Kx f t M x Kx Kx f t +-=⎧⎨+-=⎩两式相加和相减()()()()()()112212a t x t x t a t x t x t =+⎧⎨=-⎩ ()()()11121M aKa f t f t q t +=+= ， ()()()221223M aKa f t f t q t +=-= 傅里叶变换()()()1exp 2x t X i t d ωωωπ∞-∞=⎰，…112Q A M K ω=-+，2223Q A M Kω=-+()1211222123Q Q X A A M KM Kωω=+=+-+-+()()()()()()22121222323M KFF M KFF M KM K ωωωω-+++-+-=-+-+()()21122223M F KF KF M KM Kωωω-++=-+-+()1221222123Q Q X A A M K M Kωω=-=--+-+()()()()()()22121222323M KFF M KF F M KM K ωωωω-++--+-=-+-+()()22122223M F KF KF M KM Kωωω-++=-+-+用解非齐次方程的方法解()112122122M x Kx Kx f t ⎨+-=⎩()()2121212222M K X K X F K X M K X F ωω⎧-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎩()()12221121222222322F K F M KM F KF KF X M KM KM KK KM Kωωωωωω--+-++==-+-+-+---+()()21222122222222322M KF KF M F KF KF X M KM KM KKKM Kωωωωωω-+--++==-+-+-+---+习题2.3 考虑如下图质点被两个相同的弹簧固定，弹簧中的张力是T ，质点可以在三维空间中运动，位移很小，分析其振动。

质点位置xyz ，平衡位置是原点，弹簧原长0l 平衡位置处弹簧长度0'T l l K=+，K 弹性系数固定点的坐标()',0,0l ±质点位移后弹簧长度1,2l =保留一阶小量1,2'l l x =≈± 质点在x 方向的受力()()102012''x l l x K l l K l l l l +---+-()12x K l l K x ≈--≈-质点在y 方向的受力()()()102001222'''r y y y T K l l K l l K l l y K yl l l l ----≈--≈-=-质点在z 方向的受力()()1020122'r z z T K l l K l l z K z l l l ----≈-=-2x K K=，2'r T K l =运动方程 000x r r M x K x M y K y M z K z +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩三个方程是解耦的，就是简正坐标 频率方程 ()()2220x r M K M K ωω--=()1ω==x 方向的振动，振动与张力T 无关()()23ωω===yz 平面内的椭圆振动，yz 平面内的任意方向都可以作为简正方向。