高中数学艺术生百日冲刺专题训练之函数的单调性
专题3.3 函数的单调性(基础)(解析版).
专题3.3函数的单调性知识点一增函数与减函数的定义前提条件设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I 条件∀x 1，x 2∈D ，x 1<x 2都有f (x 1)<f (x 2)都有f (x 1)>f (x 2)图示结论f (x )在区间D 上单调递增f (x )在区间D 上单调递减特殊情况当函数f (x )在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当函数f (x )在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数知识点二函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．知识点三函数的最大值与最小值最大值最小值条件一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：∀x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M∃x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论称M 是函数y ＝f (x )的最大值称M 是函数y ＝f (x )的最小值几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标知识点四求函数最值的常用方法1．图象法：作出y ＝f (x )的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则y max ＝f (b )，y min ＝f (a )．(2)若y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则y max ＝f (a )，y min ＝f(b )．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．函数单调性的判断与证明(1)取值并规定大小：设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2；(2)作差变形：作差f (x 1)－f (x 2)或f (x 2)－f (x 1)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式；(3)定号：确定f (x 1)－f (x 2)或f (x 2)－f (x 1)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论．(4)结论：根据定义确定单调性．【例1】用单调性定义判断函数21()2x f x x +=-在区间(2,)+∞上的单调性，并求()f x 在区间[3，6]上的最值．【解答】解：设122x x <<，则122112*********()()()22(2)(2)x x x x f x f x x x x x ++--=-=----，122x x <<，210x x ∴->，120x ->，220x ->，2112125()()()0(2)(2)x x f x f x x x -∴-=>--，即12()()f x f x >∴函数()f x 在区间(2,)+∞上是减函数．∴函数()f x 在区间[3，6]上是减函数．()f x ∴的最大值为f （3）7=，()f x 的最小值为f （6）134=．【变式训练1】已知函数2()4xf x x =-，(2,2)x ∈-．用定义法证明：函数()f x 在(0,2)上单调递增；【解答】证明：任取1220x x >>>，则1212121222221212()(4)()()44(4)(4)x x x x x x f x f x x x x x -+-=-=----，因为1220x x >>>，所以2212121240,40,40,0x x x x x x ->->+>->，所以12()()0f x f x ->，所以()f x 在(0,2)上单调递增；【变式训练2】已知函数1()(0)xf x ax a ax-=+>（1）利用函数单调性的定义，判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性；【解答】解：函数111()(0)x f x ax ax a ax ax a-=+=+->，∴任取1x 、2(0,)x ∈+∞，且12x x <，2121212121212()(1)1111()()()()x x a x x f x f x ax ax ax a ax a ax x --∴-=+--+-=；又120x x <<，0a >；120x x ∴-<，当1210x x a<<<时，21210a x x -<，12()()f x f x ∴>，()f x 是减函数；当121x x a<<时，21210a x x ->，12()()f x f x ∴<，()f x 是增函数；∴函数()f x 在1(0,)a上是减函数，在1(a，)+∞上是增函数；【变式训练3】利用定义判断函数()f x x =+在区间(,)-∞+∞上的单调性．【解答】解：()f x x =+(,)-∞+∞上，可以设12x x <可得1212()()(f x f x x x -=+=12()x x -+-221212()()(1x x x x =-+-+12(x x =-，10x >20x +>又12x x <，120x x -<，12()(10x x ∴-+<，12()()f x f x ∴<，()f x ∴在区间(,)-∞+∞上为增函数，同故函数()f x x =+在区间(,)-∞+∞上为增函数求函数的单调区间求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．(2)利用函数的图象提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”号【例2】函数1()f x x=的单调减区间是()A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞C ．(-∞，0)(0⋃，)+∞D ．(,0)-∞和(0,)+∞【解答】解：根据题意，函数1()f x x =，其定义域为{|0}x x ≠其导数21()f x x'=-，分析可得：当0x >时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0x <时，()0f x '<，即函数()f x 在(,0)-∞上为减函数；综合可得：函数1()f x x=的单调减区间是(,0)-∞和(0,)+∞；故选：D ．【变式训练1】函数221x y x -=+的单调递增区间是(,1)-∞-和(1,)-+∞．【解答】解：函数224211x y x x -==-++，可得函数221x y x -=+的增区间为(,1)-∞-和(1,)-+∞．故答案为：(,1)-∞-和(1,)-+∞．【变式训练2】函数2|21|y x x =-++的单调递增区间为[1-，1]和[1+，)+∞．【解答】解：画出函数2|21|y x x =-++图象如图，2210x x -++=，可得11x =-，21x =+由图知函数的增区间为[11]和[1+)+∞，故答案为：[1，1]和[1)+∞．【变式训练3】下列函数中，在(2,)+∞上单调递增的是()A ．()|3|f x x =-B ．1()f x x x=+C ．3()2f x x x=+D ．3,3()23,3xx x f x x +<⎧=⎨-⎩ 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，函数3,3()|3|3,3x x f x x x x -⎧=-=⎨-<⎩ ，在(2,3)上单调递减，在[3，)+∞上单调递增，故A 错误；对于B ，函数1()f x x x=+，是勾型函数，在(2,)+∞上单调递增，故B 正确；对于C ，3()2f x x x =+，是二次函数，在(2,)+∞上单调递增，故C 正确；对于D ，函数3,3()23,3x x x f x x +<⎧=⎨-⎩在(,3)-∞和[3，)+∞上单调递增，故D 错误；故选：BC ．【变式训练4】已知函数()||2f x x x x =-的单调增区间为(,1)-∞-和(1,)+∞．【解答】解：0x 时，2()2f x x x =-，对称轴1x =，开口向上，在(1,)+∞递增，0x <时，2()2f x x x =--，对称轴1x =-，开口向下，在(,1)-∞-递增，∴函数的递增区间是：(,1)-∞-和(1,)+∞，故答案为：(,1)-∞-和(1,)+∞．函数单调性的应用【例3】已知函数()f x 在R 上单调递减，若(4)()f a f a +- ，则实数a 的取值范围是()A ．[2-，)+∞B ．(-∞，2]-C ．(2,)-+∞D ．(,2)-∞-【解答】解：函数()f x 在R 上单调递减，(4)()f a f a +- ，所以4a a +- ，解得2a - ，即实数a 的取值范围是(-∞，2]-．故选：B ．【变式训练1】已知函数()y f x =在(0,)+∞上是减函数，若f （a ）(32)f a <-，那么a 的取值范围是()A ．0a >B ．1a <C ．01a <<D ．213a <<【解答】解：函数()y f x =在(0,)+∞上是减函数且f （a ）(32)f a <-，032a a ∴<-<，解得213a <<，故选：D ．【变式训练2】已知()f x 是定义在[1-，1]上的减函数，且(23)(2)f a f a -<-，则实数a 的取值范围是()A ．(1，2]B ．(1，3]C ．(1，4]D ．(1,)+∞【解答】解：因为()f x 是定义在[1-，1]上的减函数，且(23)(2)f a f a -<-，所以1211231232a a a a ----⎧⎪⎨->-⎪⎩ ，解得12a < ．故选：A ．【变式训练3】已知函数()f x 是定义域为R 的递减函数，且(4)()0f x f x -+=，则不等式2(3)(1)0f x x f x ++-<的解集为()A ．(4,0)-B ．(-∞，4)(0-⋃，)+∞C ．(5,1)-D ．(-∞，5)(1-⋃，)+∞【解答】解：因为(4)()0f x f x -+=，所以(4)()f x f x -=-，(1)(5)f x f x -=--，因为2(3)(1)0f x x f x ++-<，即2(3)(1)f x x f x +<--，即2(3)(5)f x x f x +<-，因为函数()f x 是定义域为R 的递减函数，所以235x x x +>-，解得5x <-或1x >．故选：D ．图象法求函数的最值(值域)图象法求函数最值的一般步骤【例4】设函数2()2||1(33)f x x x x =--- ，（1）画出这个函数的图象；（2）指出函数()f x 的单调区间，并说明在各个单调区间上()f x 是增函数还是减函数；（3）求函数的值域．【解答】解：（1）当0x 时，22()21(1)2f x x x x =--=--，当0x <时，22()21(1)2f x x x x =+-=+-，根据二次函数的作图方法，可得函数图象如图．（2）函数()f x 的单调区间为[3-，1)-，[1-，0)，[0，1)，[1，3]．()f x 在区间[3-，1)-和[0，1)上为减函数，在[1-，0)，[1，3]上为增函数．（3）当0x 时，函数2()(1)2f x x =--的最小值为2-，最大值为f （3）2=；当0x <时，函数2()(1)2f x x =+-的最小值为2-，最大值为(3)2f -=．故函数()f x 的值域为[2-，2]．【变式训练1】已知定义在[5-，5]上的函数()f x 的图象如图所示．（1）写出()f x 的单调区间；（2）若()f x 在(1,2)a a -上单调递减，求a的取值范围．【解答】解：（1）由图象可知：()f x 的单调递增区间为[5-，2]-和[1，5]，单调递减区间为[2-，1]；（2）函数()f x 的单调递减区间为[2-，1]，∴122112a a a a--⎧⎪⎨⎪-<⎩ ，解得112a -< ，a ∴的取值范围为(1-，12．利用函数的单调性求函数的最值(1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为f (b )，最小值为f (a )．(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为f (a )，最小值为f (b )．(3)若函数y ＝f (x )有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值．(4)如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．【例5】函数1()1f x x =-在区间[2，6]上的最大值和最小值分别是()A ．15，1B ．1，15C ．17，1D ．1，17【解答】解：根据题意，函数11y x =-在区间[2，6]上单调递减，所以当2x =时，()f x 取最大值f （2）1=，当6x =时，()f x 取最小值f （6）15=，故选：B ．【变式训练1】对于任意的实数x ，已知函数2,1()2,1x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ，则()f x 的最大值是()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：函数2,1()2,1x x f x x x ⎧=⎨->⎩的图象如下所示：由函数图象可知，当1x =时，函数取得最大值()max f x f =（1）1=．故选：C ．【变式训练2】函数|||3|y x x =--的最大值为()A ．2B ．4C ．3D ．1【解答】解：①若0x <，)|||3|(3)3fx x x x x =--=---=-；②03x ，()|||3|(3)23f x x x x x x =--=--=-，3()3f x ∴- ；③3x >，()|||3|(3)3f x x x x x =--=--=，综上3()3f x - ，故选：C ．【变式训练3】设函数2()2xf x x =-在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M ，m ，则(M m +=)A ．4B ．6C ．10D ．24【解答】解：因为2(2)44()222x f x x x -+==+--，所以()f x 在[3，4]上是减函数．所以m f =（4）4=，M f =（3）6=．所以6410M m +=+=．故选：C ．【例6】已知函数21()1x f x x +=+．（1）用定义法证明()f x 在(1,)-+∞上是增函数；（2）求该函数在区间[2，6]上的最大值与最小值．【解答】解：（1）证明：函数211()211x f x x x +==-++．(1,)x ∈-+∞，设121x x -<<，则2121121211()?()11(1)(1)x x f x f x x x x x -=-=++++，121x x -<<，210x x ∴->，110x +>，210x +>，21()()0f x f x ∴->，即21()()f x f x >．故()f x 在(1,)-+∞上是增函数；（2）根据（1）可知()f x 在区间(1,)-+∞上是增函数；∴函数在区间[2，6]上是增函数；可得()f x 的最小值为f （2）53=，最大值为f （6）137=．【变式训练1】已知函数()1x f x x =+．（1）用定义法证明()f x 在区间(1,)-+∞上是增函数；（2）求函数()f x 在区间[2，5]上的最值，并说明取最值时的x 值．【解答】（1）证明：任取121x x -<<，则1212121212()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=++++，121x x -<<，110x ∴+>，210x +>，120x x -<，12()()0f x f x ∴-<，即12()()f x f x <，()f x ∴在区间(1,)-+∞上单调递增．（2）由（1）可知()f x 在区间[2，5]上单调递增，∴当2x =时，()f x 取得最小值为f （2）23=，当5x =时，()f x 取得最大值为f （5）56=．分类讨论求二次函数的最值(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素．(2)利用二次函数图象，进行分类讨论，提升直观想象的数学素养．【例7】已知函数2()2(1)3f x x a x =--++．①若函数()f x 在区间(-∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是[2，)+∞；②若函数()f x 的单调递增区间是(-∞，3]，则实数a 的值为．【解答】解：函数的对称轴为(1)x a =-+，①由题意可得(1)3a -+ ，则4a - ，所以实数a 的范围为(-∞，4]-；②由题意可得(1)3a -+=，则24a =-故答案为：(-∞，4]-；4-．【变式训练1】若函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(-∞，3]上是增函数，则实数a 的取值范围是(-∞，4]-．【解答】解：由于函数2()2(1)3f x x a x =--++的对称轴方程为1x a =--，又由函数在区间(-∞，3]上单调递增，故有13a -- ，求得4a - ，故答案为：(-∞，4]-．【变式训练2】已知函数2()23f x x ax =-+在区间[2，8]上单调递增，则实数a 的取值范围是(-∞，2]．【解答】解：函数2()23f x x ax =-+在区间[2，8]上单调递增，可得2a ．即(a ∈-∞，2]．故答案为：(-∞，2]．【变式训练3】已知2()2(2)5f x x a x =+-+在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是2a - ．【解答】】解：函数22(2)5y x a x =+-+的对称轴为：2x a =-，函数22(2)5y x a x =+-+在区间(4,)+∞上是增函数，24a ∴- ，解得2a - ，故答案为：2a - ．1．函数()|2|f x x =-的单调递增区间为()A ．[2，)+∞B ．[2-，)+∞C ．[0，)+∞D ．(,)-∞+∞【解答】解：当2x 时，()2f x x =-为增函数，此时函数单调递增区间为[2，)+∞，当2x <时，()2f x x =-+为减函数，此时函数单调递减区间为(,2)-∞，故选：A ．二．多选题（共1小题）2．函数2()1x af x x -=+在区间(,)b +∞上单调递增，则下列说法正确的是()A ．2a >-B ．1b >-C ．1b - D ．2a <-【解答】解：根据题意，22(1)22()2111x a x a af x x x x -+--+===-+++，可以由函数2ay x+=-的图象向左平移一个单位，向上平移2个单位得到，若函数2()1x af x x -=+在区间(,)b +∞上单调递增，必有(2)0a -+<且1b - ，解可得：2a >-且1b - ，故选：AC ．三．填空题（共5小题）3．函数(1)(5)y x x =-+在区间(0,)+∞上的单调性是单调递增．（填写“单调递增”或“单调递减”)【解答】解：根据题意，函数2(1)(5)45y x x x x =-+=+-，是开口向上的二次函数，其对称轴为2x =-，在区间(0,)+∞上，单调递增，故答案为：单调递增．4．若函数2()21f x ax x =+-在区间(,6)-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是1[6-，0]．【解答】解：根据题意，函数2()21f x ax x =+-在区间(,6)-∞上单调递增，当0a =时，()21f x x =-，符合题意，当0a ≠时，()f x 为二次函数，其对称轴为1x a =-，必有160a a ⎧-⎪⎨⎪<⎩ ，解可得106a -< ，即a 的取值范围为1[6-，0]；故答案为：1[6-，0]．5．()f x =的单调减区间为[1-，1]．【解答】解：()f x =[3-，1]，函数()f x =()f x =223u x x =--+复合而成的，2243(1)7u x x x =--+=-++在(,2)-∞-上递增，在(1,)-+∞上递减，且()f x =在[3-，1]递增，()f x ∴=(,1)-∞-上递增，在(1,)-+∞上递减，∴函数()f x =[1-，1]，故答案为：[1-，1]．6．已知函数()y f x =是开口向上的二次函数，且(1)(1)f x f x -=+、(0)3f =．若()f x 的最小值为2，则函数的解析式为2()23f x x x =-+．【解答】解：设2()(0)f x ax bx c a =++≠，由(0)3f =，可得3c =，(1)(1)f x f x +=-，∴二次函数()f x 的对称轴1x =，即12ba-=，由()f x 的最小值为2可得二次函数()f x 的图象经过点(1,2)，可得2a b c ++=，解得1a =，2b =-，故得()f x 的解析式为：2()23f x x x =-+．故答案为：2()23f x x x =-+．7．若函数2()21f x x mx =+-在区间[1，2]上是单调函数，则实数m 的取值范围是(-∞，8)(4)--+∞．【解答】解：对称轴4m x =-，函数2()21f x x mx =+-在区间[1，2]上是单调函数，则对称轴不在区间内，则14m -或者24m- ；即8m - 或4m - ，实数m 的取值范围是(-∞，8)(4)--+∞．故答案为：(-∞，8)(4)--+∞．四．解答题（共7小题）8．已知函数2()(0)1x af x a x -=>+，若不等式()1f x - 的解集为(,1)[0-∞-，)+∞．（1）求实数a 的值；（2）证明函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．【解答】解：（1）由题意211x ax --+ ，变形2311011x a x a x x --++=++ ，这等价于(31)(1)0x a x -++ 且10x +≠，解得1x <-或13a x - ，所以103a -=，解得1a =．（2）由（1）得21()1x f x x -=+，任取1x ，2[0x ∈，)+∞，且12x x <，则210x x ->，那么212121*********()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x ----=-=++++，210x x ->，12(1)(1)0x x ++>，21()()0f x f x ∴->，∴函数()f x 在[0，)+∞上是增函数．9．已知函数4()1f x x x =++．（1）求()y f x =在(1,)-+∞上的最小值，并求此时x 的值；（2）设()()2g x f x x =--，由定义证明：函数()y g x =在区间(,1)-∞-上是严格减函数．【解答】（1）解：因为1x >-，所以10x +>，所以44()111311f x x x x x =+=++--=++ ，当且仅当411x x +=+，即1x =时等号成立，所以()y f x =在(1,)-+∞上的最小值为3，此时1x =．（2）证明：44()2211g x x x x x =+--=-++，任取121x x <<-，211212124()44()()11(1)(1)x x g x g x x x x x --=-=++++，由121x x <<-，可得110x +<，210x +<，210x x ->，所以12()()0g x g x ->，即12()()g x g x >，所以函数()y g x =在区间(,1)-∞-上是严格减函数．10．已知函数2()2||21f x x a x a ax =---+，a R ∈．（Ⅰ）求当1a =时，函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 有2个零点，求a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当1a =时，22243,1()2|1|211,1x x x f x x x x x x ⎧-+=---+=⎨-<⎩，所以函数()f x 在(1,2)，(,0)-∞上单调递减，函数()f x 在(0,1)，(2,)+∞上单调递增．（Ⅱ）当x a 时，22()421f x x ax a =-++，当x a <时，22()21f x x a =-+，①当0a =时，2()1f x x =+没有零点，不符合题意；②当0a >时，()f x的草图如下：若函数()f x 有两个零点，则2(0)(2)120f f a a ==-=或f （a ）210a =-<，解得22a =或1a >．③当0a <时，()f x 的草图如下：若函数()f x 有两个零点，则f （a ）210a =-<，解得1a <-，综上所述，a 的取值范围为：(-∞，1)(1-⋃，2){}2+∞．11．已知()()xf x x a x a=≠-．（1）若0a >且()f x 在(2,)+∞内单调递减，求a 的取值范围．（2）在（1）的条件下，函数2()23g x x x m =-+++，[x a ∈，2]a +的图象都在直线5y =上方，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）任取1x ，2(2,)x ∈+∞，且12x x <，则1221121212()()()()()x x a x x f x f x x a x a x a x a --=-=----，()f x 在(2,)+∞内单调递减，12()()0f x f x ∴->，又0a >，210x x ->，12()()0x a x a ∴-->在(2,)+∞上恒成立，2a ∴ ，a ∴的取值范围为：(0，2]；（2）函数2()23g x x x m =-+++，[x a ∈，2]a +的图象都在直线5y =上方，2235x x m ∴-+++>在[x a ∈，2]a +上恒成立，即222m x x >-+在[x a ∈，2]a +上恒成立，又(0a ∈，2]，∴当2a =时，4x =时，函数222y x x =-+取最大值，最大值为10，10m ∴>，∴实数m 的取值范围为：(10,)+∞．12．已知函数23,[1,2]()3,(2,5].x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩（1）在图1给定的直角坐标系内画出()f x 的图象；（2）写出()f x 的单调区间，并指出单调性；（3）写出函数()f x的最大值和最小值．【解答】解：（1）图象如图所示：（2）由图象可知，函数()f x 在[1-，0])和(2，5]上单调递增，在[0，2)上单调递减，（3）由图象可知，函数的最大值为3，最小值为1-．13．已知函数2()3||f x x x x a =+-，其中0a >（Ⅰ）当2a =时，写出函数()f x 的减区间．（Ⅱ）若函数()f x 在区间(,)m n 上既有最大值又有最小值，求m ，n 的取值范围（用a 表示）．【解答】解：（Ⅰ）当2a =时，2246,2()26,2x x x f x x x x ⎧-=⎨-+<⎩ ，即22394(,244()392(),222x x f x x x ⎧--⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩ ，所以函数()f x 的递减区间是3(,2)2；（Ⅱ）2243,()23,x ax x af x x ax x a ⎧-=⎨-+<⎩，即2222394(),816()392(),48a a x x a f x a a x x a⎧--⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩，（图象如下）要使函数()f x 在区间(,)m n 内既有最大值又有最小值，则最小值一定在x a =处取得，最大值在34x a =处取得；而f （a ）2a =，在区间(,)a -∞内，函数值为2a 时12x a =，所以1324a m a < ；又239()48f a a =，而在区间(,)a +∞内函数值为298a时，38x a +=，所以38a n +<．（注：若答案写成3,4m a n a <>，至少扣5分）14．已知函数2()f x x=，([2,6])x ∈．（1）用定义法证明()f x 是减函数．（2）求函数()f x 的最大值和最小值．【解答】（1）证明：设任意实数1[2x ∈，6]，2[2x ∈，6]，且12x x <，210x x ∴->，120x x >，212112122()22()()0x x f x f x x x x x -∴-=-=>，即21()()f x f x >，故函数()f x 是定义域上的减函数．（2）解：由（1）知()f x 是定义域上的减函数，()max f x f ∴=（2）1=，()min f x f =（6）13=．。
艺术生高考数学专题讲义考点5函数性质——单调性、奇偶性与周期性
考点五函数的性质——单一性、奇偶性、周期性知识梳理1．函数的单一性(1)单一函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为 I ：假如对于定义域I 内某个区间 D 上的随意两个自变量的值x1、x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是单一增函数．假如对于定义域I 内某个区间 D 上的随意两个自变量的值x1、x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间 D 上是单一减函数．从图象来看，增函数图象从左到右是上涨的，减函数图象从左到右是降落的，如下图：（2）单一性与单一区间假如一个函数在某个区间M 上是单一增函数或是单一减函数，就说这个函数在这个区间M 上拥有单一性 (区间 M 称为单一区间)．2．函数的奇偶性(1) 奇函数、偶函数的观点一般地，假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有 f(－ x)＝ f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，假如对于函数f(x)的定义域内随意一个x，都有 f(－ x)＝－ f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于y 轴对称．(2)判断函数的奇偶性的步骤与方法判断函数的奇偶性，一般都依照定义严格进行，一般步骤是：①观察定义域能否对于原点对称．②观察表达式 f(－ x)能否等于 f(x)或－ f( x)：若 f(－ x)＝－ f(x)，则 f(x) 为奇函数；若 f(－ x)＝ f(x)，则 f( x)为偶函数；若 f(－ x)＝－ f(x)且 f( －x) ＝f(x)，则 f(x)既是奇函数又是偶函数；若 f(－ x)≠－ f(x)且 f( －x) ≠f(x)，则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数，既非奇非偶函数．3．函数的周期性(1) 周期函数的观点：对于函数y＝ f(x)，假如存在一个不为零的常数T，使适当x 取定义域内的每一个值时，f(x＋ T)＝ f(x) 都建立，则称y＝ f(x)为周期函数，非零常数T 叫做函数的周期.(2)最小正周期：假如在周期函数 f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作 f(x) 的最小正周期．(3)一般地，假如 T 为函数 f(x)的周期，则 nT（n∈Z）也是函数 f(x)的周期，即有 f(x＋ nT)＝f(x)．(4) 最小正周期是指是函数值重复出现的自变量x 要加上的最小正数，这个正数是相对x 而言的．其实不是全部的周期函数都有最小正周期，比方常数函数最小正周期．f(x)＝ C（ C 为常数）就没有典例分析题型一函数单一性的判断例 1以下函数中，在区间 (0，＋∞ )上为增函数的是 ________. (填序号 )① y＝x＋ 1② y＝ (x－ 1)2－ x④ y＝ log0.5 (x＋1)③ y＝ 2答案①分析由基本初等函数的性质得，选项②中的函数在(0，1)上递减，选项③，④中的函数在(0，＋∞ )上为减函数，选① .变式训练以下函数中，知足“f(x＋ y)＝ f(x)f(y)”的单一递加函数是 ________. ( 填序号 )131 x x2① f(x)＝ x② f(x)＝ x③ f(x)＝2④ f(x)＝ 3答案④1111分析f(x)＝x2， f(x＋y) ＝ (x＋y) 2≠ x2· y2，不知足f(x＋ y)＝ f(x)f(y) ，①不知足题意．f(x)＝ x3， f(x＋ y)＝ (x＋ y)3≠ x3· y3，不知足f(x＋y)＝f(x)f(y)，②不知足题意．1x1x＋ y1x1y1xf(x)＝2，f( x＋y)＝2＝2·2，知足 f(x＋ y)＝ f(x)f(y) ，但 f( x)＝2不是增函数，③不知足题意．x x＋ y x y xf(x)＝ 3 ， f(x＋ y)＝ 3＝3· 3，知足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(x)＝3是增函数，④知足题意．(1)定义法：先求定义域，再依据取值、作差、变形、定号的次序得结论．(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或许函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单一性．(3)转变法：转变为已知函数的单一性，即转变为已知函数的和、差或复合函数，再依据“增＋增得增”“减＋减得减”“同增异减”得待确立函数的单一性．(4)导数法：先求导，再确立导数值的正负，由导数的正负得函数的单一性．题型二函数单一性的应用例 2假如函数f(x)＝ ax2＋2x－ 3 在区间 (－∞， 4)上是单一递加的，则实数 a 的取值范围是________.答案－14≤ a≤ 0分析当 a＝ 0 时， f(x)＝ 2x－ 3，在定义域R 上是单一递加的，故在(－∞， 4)上单一递加；当 a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为x＝－1 a，由于 f( x)在 (－∞， 4)上单一递加，所以a<0，且－1≥4，解得－1≤ a<0. a4综合上述得－1≤ a≤ 0. 4变式训练函数 f(x)＝1在区间 [a， b]上的最大值是1，最小值是1，则 a＋ b＝________. x－ 13答案6分析易知 f(x)在 [a， b]上为减函数，f a ＝ 1，1＝1，a＝ 2，a－ 1∴ a＋b＝ 6.∴1即∴1 ＝1，f b ＝3，b＝ 4.b－ 13解题重点 1.利用单一性求参数．①视参数为已知数，依照函数的图象或单一性定义，确立函数的单一区间，与已知单一区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a， b]上是单一的，则该函数在此区间的随意子集上也是单一的．③注意数形联合思想的运用，借助图形列出对应不等式，从而求出参数范围．2.利用单一性求最值．应先确立函数的单一性，而后再由单一性求出最值．题型三求函数的单一区间例 3求函数 y＝ log 1 (x2－ 4x＋3) 的单一区间．3分析令 u＝ x2－ 4x＋ 3，原函数能够看作y＝ log 1 u 与 u＝ x2－ 4x＋ 3 的复合函数．3令 u＝ x2－ 4x＋ 3>0，则 x<1 或 x>3.∴函数 y＝ log 1 (x2－4x＋ 3)的定义域为 (－∞， 1)∪ (3，＋∞)．3又 u＝ x2－ 4x＋ 3 的图象的对称轴为x＝ 2，且张口向上，∴u＝ x2－ 4x＋ 3 在(－∞， 1)上是减函数，在 (3，＋∞)上是增函数．而函数 y＝ log 1 u 在 (0，＋∞)上是减函数，3∴y＝ log 12－ 4x＋ 3)的单一递减区间为(3，＋∞)，单一递加区间为 (－∞， 1)．(x3解题重点 1.求单一区间的常用方法：(1)定义法； (2) 图象法； (3) 导数法．2．求复合函数y＝ f(g(x))的单一区间的步骤：(1)确立定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数：y＝ f(u)， u＝ g(x)；(3)分别确立这两个函数的单一区间；(4)若这两个函数同增或同减，则y＝ f(g(x)) 为增函数；若一增一减，则y＝ f(g(x))为减函数，即“同增异减”．3．求单一区间时需注意两点：①最后结果写成区间的形式；②不行忽略定义域．题型四判断函数的奇偶性例 4判断以下函数的奇偶性：(1)f(x)＝ x3－ x；(2)f(x)＝ (x＋ 1)1－ x；1＋ x(3)f(x) ＝ 3－ x2＋ x2－ 3.分析(1) 定义域为R，对于原点对称，又 f(－ x)＝ (－ x)3－ (－ x)＝－ x3＋ x＝－ (x3－ x)＝－ f(x)，∴函数为奇函数．1－x(2)由≥0可得函数的定义域为(－1,1]．1＋x∵函数定义域不对于原点对称，∴函数为非奇非偶函数．(3) 由于 f(x)定义域为 { －3，3} ，所以 f(x)＝ 0，则 f(x)既是奇函数也是偶函数．解题重点判断函数单一性的两个步骤： 1.判断函数定义域能否对于原点对称；2.判断 f(－ x)与 f(x)关系 . 若 f( －x)＝－ f(x)或是利用以下两个等价关系式进行判断：若则函数为奇函数；若 f(－ x)＝ f(x)则函数为偶函数．f(x)＋ f(－ x)＝ 0 则函数为奇函数；若 f(x)－ f(－ x)＝0 则函数为偶函数．题型五函数的周期性例 5已知 f(x)是定义在R上的偶函数，而且 f(x＋ 2)＝－1，当 2≤ x≤ 3 时，f(x)＝ x，则 f(105.5) f x＝______.答案 2.5分析由已知，可得f(x＋ 4)＝ f[(x＋ 2)＋ 2]＝－1＝－1＝ f( x)．1f x＋ 2－f x故函数的周期为 4.∴f(105.5)＝f(4 ×27－2.5)＝ f(－ 2.5)＝f(2.5) ．∵2≤2.5 ≤3，由题意，得 f(2.5)＝ 2.5.∴f(105.5)＝2.5.解题重点对于函数周期性的三个常用结论：对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1) 若 f(x＋ a)＝－ f(x)，则 T＝2a；1(2) 若 f(x＋ a)＝f（x），则 T＝ 2a；1(3) 若 f(x＋ a)＝－，则T＝2a.f（ x）题型六函数性质的综合运用1例 6已知偶函数f(x)在区间 [0，＋∞ )上单一递加，则知足f(2x－ 1)<f 3的 x 的取值范围是________．答案1， 233分析偶函数知足 f(x)＝ f(|x|)，依据这个结论，11有 f(2x－ 1)<f 3 ?f(|2x－ 1|)< f 3，1从而转变为不等式|2x－1|<3，解这个不等式即得x 的取值范围是1， 2.3 3当堂练习1. 函数 f(x) ＝x3－x 的图象对于 ________对称 .答案原点分析由 f(－ x)＝ (－ x)3－(－ x)＝－ x3＋ x＝－ f(x)，知 f(x)是奇函数，则其图象对于原点对称．2．已知定义在R上的奇函数 f( x)，知足 f(x＋4)＝ f(x)，则 f(8) 的值为 ________．答案0分析∵ f(x)为奇函数且 f(x＋ 4)＝f(x)，∴ f(0)＝ 0， T＝ 4，∴ f(8)＝ f(0) ＝ 0.3．已知 f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－ g(x)＝x3＋x2＋1，则 f(1)＋g(1) ＝________．答案 1分析由于 f(x)是偶函数， g(x)是奇函数，所以 f(1) ＋ g(1) ＝ f(－ 1)－ g(－ 1)＝ (－ 1)3＋ (－ 1)2＋ 1＝1.4．函数 f(x)＝log 1 (x2－ 4) 的单一递加区间是 ________．2答案(－∞，－2)分析由于y＝ log1 t在定义域上是减函数，所以求原函数的单一递加区间，即求函数t ＝x22－4 的单一递减区间，联合函数的定义域，可知所求区间为5．函数 y＝ f( x)是定义在 [ － 2，2]上的单一减函数，且f( a＋(－∞，－ 2)．1)< f(2a)，则实数 a 的取值范围是________．答案[－ 1， 1)－ 2≤ a＋ 1≤ 2，分析由条件－ 2≤ 2a≤2，解得－1≤ a<1.a＋ 1>2a，课后作业一、填空题1．以下函数中，既是奇函数又是增函数的为________． (填序号 )①y＝ x＋ 1② y＝－ x21④ y＝ x|x|③ y＝x答案④2．函数 y＝1－1________．(填序号 ) x－ 1①在 (－ 1，＋∞ ) 上单一递加②在 (－ 1，＋∞ )上单一递减③在 (1，＋∞ )上单一递加④在 (1，＋∞ )上单一递减答案③3．以下函数中，在区间(－∞， 0)上是减函数的是 ________． (填序号 )①y＝ 1－ x2②y＝ x2＋ x③y＝－－ x④ y＝xx－ 1答案④4．以下函数 f(x)中，知足“对随意x1，x2∈ (0，＋∞ )，都有f x2－f x1<0”的是 ________．(填x2－ x1序号 )①f(x)＝1② f(x)＝ (x－1) 2③ f(x)＝ e x④ f(x)＝ ln(x＋ 1) x答案①分析知足 f x2－ f x1<0 其实就是 f(x)在 (0，＋∞)上为减函数，应选① .x2－x15．已知 f(x)是奇函数， g( x) 是偶函数，且 f(－ 1)＋g(1) ＝2， f(1) ＋ g(－ 1)＝ 4，则 g(1) 等于________． 答案 3分析∵ f(x)为奇函数，∴ f(－ 1)＝－ f(1) ，又 g(x)为偶函数，∴ g(－ 1)＝ g(1) ，∴－ f(1) ＋ g(1)＝2， f(1) ＋g(1) ＝ 4，将两式相加得 2g(1) ＝ 6，∴ g(1)＝ 3.6．以下函数中，既是偶函数又在 (0，＋∞ ) 单一递加的函数是 ________． (填序号 ) ①y ＝ x 3 ②y ＝ |x|＋ 1③ y ＝－ x 2＋1④y ＝ 2－ |x|答案②7．若函数 y ＝ x 2＋ (2a － 1)x ＋ 1 在区间 (－∞，2]上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ________．答案－∞，－322a － 1 3.分析由题意得－ ≥ 2，得 a ≤－2 28．定义在 R 上的函数 f(x)的图象对于直线 x ＝ 2 对称，且 f(x)在 (－∞， 2)上是增函数， 则 f(－1)与 f(3)的大小关系是 ________． 答案 f(－ 1)＜ f(3)分析依题意得 f(3) ＝f(1)，且－ 1＜ 1＜ 2，于是由函数 f(x)在 (－∞， 2)上是增函数得 f(－ 1)＜ f (1)＝ f(3) ．9．函数 y ＝x 2－ 2x( x ∈[2,4]) 的增区间为 ________． 答案[2,4]10．设 f(x) 是以 2 为周期的函数，且当 x ∈[1,3) 时， f( x)＝ x － 2，则 f(－ 1)＝ ________.答案 － 1分析由题知， f(－1)＝ f(－1＋ 2)＝ f(1) ＝ 1－ 2＝－ 1.11．给出以下命题12①y ＝ x 在定义域内为减函数；②y ＝ (x － 1) 在 (0，＋∞ )上是增函数； ③y ＝－ 1在(－∞， 0)上为增函数；④ y ＝ kx 不是增函数就是减函数．x 此中错误命题的个数有 ________． 答案 3分析①②④错误，此中④中若 k ＝ 0，则命题不建立．二、解答题－ 2x12．证明函数 g(x)＝ x － 1在 (1，＋∞ )上单一递加．证明： 任取 x 1，x 2∈ (1，＋∞ )，且 x 1 <x 2，－ 2x1－2x2 2 x1－x2则 g(x1 )－ g(x2)＝－＝，x1－ 1x2－ 1x1－ 1 x2－ 1由于 1<x1<x2，所以 x1－x2<0， (x1－1)(x2－ 1)>0 ，所以 g(x1 )－g(x2)<0 ，即 g(x1)< g(x2)．故 g(x) 在 (1，＋∞ )上是增函数．13．已知奇函数 f(x)的定义域为 [－ 2,2] ，且在区间 [ － 2,0] 上递减，求知足 f(1－m)＋ f(1－ m2)<0 的实数 m 的取值范围．解∵ f(x)的定义域为 [ － 2,2]．－2≤1－ m≤ 2，∴有解得－ 1≤ m≤ 3.①－2≤1－ m2≤2，又 f(x)为奇函数，且在 [ － 2,0]上递减，∴f(x)在 [ － 2,2] 上递减，∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)? 1－m>m2－1，即－ 2<m<1.②综合①②可知，－ 1≤ m<1.即实数 m 的取值范围是[－ 1,1)．。
高三函数单调性练习题
高三函数单调性练习题函数的单调性是高中数学中非常重要的一个概念，通过研究函数在定义域内的增减性质，可以帮助我们更好地理解函数的行为。
下面，我们将通过一些练习题来加深对函数单调性的理解。
练习题一：已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，讨论它的单调性。
解析：首先，我们需要求出函数的导函数 f'(x)。
对 f(x) 进行求导，得到f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。
接下来，我们需要找出 f'(x) 的根，通过求一元二次方程的根，可以得到 x = 1 或 x = 2。
接下来，我们来研究函数 f(x) 在区间 (-∞, 1)， (1, 2)，(2, +∞) 上的单调性。
当 x < 1 时，可取 x = 0，代入 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，得到 f'(0) = 2。
因此，在区间 (-∞, 1) 上，f(x) 是单调递增的。
当 1 < x < 2 时，可取 x = 1.5，代入 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，得到 f'(1.5) = -2.75。
因此，在区间 (1, 2) 上，f(x) 是单调递减的。
当 x > 2 时，可取 x = 3，代入 f'(x) = 3x^2 - 6x + 2，得到 f'(3) = 17。
因此，在区间(2, +∞) 上，f(x) 是单调递增的。
综上所述，函数 f(x) 在区间 (-∞, 1) 上是单调递增的；在区间 (1, 2) 上是单调递减的；在区间(2, +∞) 上是单调递增的。
练习题二：已知函数 g(x) = e^x + ln(x + 1)，讨论它的单调性。
解析：首先，我们需要求出函数的导函数 g'(x)。
对 g(x) 进行求导，得到g'(x) = e^x + 1/(x + 1)。
接下来，我们需要找出 g'(x) 的根，通过求 g'(x) = 0 的解，可以得到x ≈ -0.41。
专题2.2 函数的单调性(解析版) - 2019高考数学高分模板
）
A． (−∞, 3]
2
B． [3 , +∞)
2
C． (−1, 3]
2
D． [3 , 4)
2
【答案】D
【解析】函数 f（x）=log2（4+3x-x2），令 t=4+3x-x2 ＞0，求得-1＜x＜4，
即函数的定义域为（-1，4），且 f（x）=log2t，即求函数 t 在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质 可得 t=4+3x-x2 在定义域内的减区间为[3 , 4).故选 D．
【套路总结】
(1)比较大小：县判断出函数的单调性，再根据自变量的大小判断出函数值的大小关系。
(2)解不等式：利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(3)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；
②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； 【③举分一段反函三数】的1.单已调知性f(，x)除＝注2x意－各2－段x，的a单=调 79性外−14，, b还=要 注97 意15 ,衔c 接= 点log的279取值．
对于 C，函数f(x) = 2−x = (1)x为指数函数，在(0, +∞)上单调递减，符合题意．
2
对于 D，函数y = x3为幂函数，在(0, +∞)上为增函数，不符合题意．故选 C．
2．函数������(������) = log2(4 + 3������ − ������2)的单调递减区间是（
（4）由题意，得 x>0.y′＝1－1x＝x－x 1.由 y′＝0 解得 x＝1. 列表如下：
由上表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
高中数学函数的单调性练习题及其答案
函数的单调性一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋12．函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于（ ） A ．－7 B ．1 C ．17 D ．253．函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ） A ．(3，8) B ．(－7，－2) C ．(－2，3) D ．(0，5) 4．函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．(0，21)B ．( 21，＋∞)C ．(－2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内（ ） A ．至少有一实根 B ．至多有一实根 C ．没有实根 D ．必有唯一的实根 6．已知函数f (x )=8＋2x －x 2，假如g (x )=f ( 2－x 2 )，那么函数g (x ) （ ） A ．在区间(－1，0)上是减函数 B ．在区间(0，1)上是减函数 C ．在区间(－2，0)上是增函数 D ．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f (x )是R 上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式 |f (x ＋1)|＜1的解集的补集是 （ ） A ．(－1，2) B ．(1，4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D ．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对随意实数t ，都有f (5＋t )＝f (5－t )，那么下列式子肯定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是（ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≤3 B ．a ≥－3 C ．a ≤5 D ．a ≥311．已知f (x )在区间(－∞，＋∞)上是增函数，a 、b ∈R 且a ＋b ≤0，则下列不等式中正确的是（ ） A ．f (a )＋f (b )≤－f (a )＋f (b )］ B ．f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b ) C ．f (a )＋f (b )≥－f (a )＋f (b )］ D ．f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )12．定义在R 上的函数y =f (x )在(－∞，2)上是增函数，且y =f (x ＋2)图象的对称轴是x =0，则 （ ） A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)=f (－3) D ．f (2)＜f (3) 二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _．14．函数y =x －2x -1＋2的值域为__ ___． 15、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 .16、函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ． 三、解答题：17．f (x )是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且f (yx) = f (x )－f (y ) （1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．18．函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？假如具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．19．试探讨函数f (x )=21x -在区间［－1，1］上的单调性．20．设函数f (x )=12+x －ax ，(a ＞0)，试确定：当a 取什么值时，函数f (x )在0，＋∞)上为单调函数．21．已知f (x )是定义在(－2，2)上的减函数，并且f (m －1)－f (1－2m )＞0，求实数m 的取值范围．22．已知函数f (x )=xax x ++22，x ∈［1，＋∞］（1）当a =21时，求函数f (x )的最小值；（2）若对随意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题： CDBBD ADCCA BA二、填空题：13. (1，＋∞)， 14. (－∞，3)，15.[)3,+∞， ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,三、解答题：17.解析：①在等式中0≠=y x 令，则f (1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(==∴-=f f f f f 故原不等式为：),36()1()3(f xf x f <-+即f [x (x ＋3)]＜f (36)， 又f (x )在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103-<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<>>+x x x x x18.解析： f (x )在R 上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈(－∞，＋∞)， x 1＜x 2 ，则f (x 1)=－x 13＋1， f (x 2)=－x 23＋1．f (x 1)－f (x 2)=x 23－x 13=(x 2－x 1)(x 12＋x 1x 2＋x 22)=(x 2－x 1)［(x 1＋22x )2＋43x 22］．∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0而(x 1＋22x )2＋43x 22＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．∴函数f (x )=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．19.解析： 设x 1、x 2∈－1，1］且x 1＜x 2，即－1≤x 1＜x 2≤1．f (x 1)－f (x 2)=211x -－221x -=2221222111)1()1(x x x x -+----=2221121211))((x x x x x x -+-+-∵x 2－x 1＞0，222111x x -+-＞0，∴当x 1＞0，x 2＞0时，x 1＋x 2＞0，那么f (x 1)＞f (x 2)． 当x 1＜0，x 2＜0时，x 1＋x 2＜0，那么f (x 1)＜f (x 2)．故f (x )=21x -在区间［－1，0］上是增函数，f (x )=21x -在区间［0，1］上是减函数．20.解析：任取x 1、x 2∈0，＋)∞且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)=121+x －122+x －a (x 1－x 2)=1122212221+++-x x x x －a (x 1－x 2)=(x 1－x 2)(11222121++++x x x x －a )(1)当a ≥1时，∵11222121++++x x x x ＜1，又∵x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)∴a ≥1时，函数f (x )在区间［0，＋∞)上为减函数． (2)当0＜a ＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x 1=0，x 2=212a a-，满意f (x 1)=f (x 2)=1 ∴0＜a ＜1时，f (x )在［０，＋)∞上不是单调函数 注： ①推断单调性常规思路为定义法； ②变形过程中11222121++++x x x x ＜1利用了121+x ＞|x 1|≥x 1;122+x ＞x 2；③从a 的范围看还须探讨0＜a ＜1时f (x )的单调性，这也是数学严谨性的体现．21.解析： ∵f (x )在(－2，2)上是减函数∴由f (m －1)－f (1－2m )＞0，得f (m －1)＞f (1－2m )∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<-<<-⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<-<-32232131211,2212212m m m m m m m 即 解得3221<<-m ，∴m 的取值范围是(－32,21)22.解析： (1)当a =21时，f (x )=x ＋x21＋2，x ∈1，＋∞) 设x 2＞x 1≥1，则f (x 2)－f (x 1)=x 2＋1122121x x x --=(x 2－x 1)＋21212x x x x -=(x 2－x 1)(1－2121x x ) ∵x 2＞x 1≥1，∴x 2－x 1＞0，1－2121x x ＞0，则f (x 2)＞f (x 1) 可知f (x )在［1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在区间［1，＋∞)上的最小值为f (1)=27． (2)在区间［1，＋∞)上，f (x )=xax x ++22＞0恒成立⇔x 2＋2x ＋a ＞0恒成立设y =x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)，由y =(x ＋1)2＋a －1可知其在[1，＋∞)上是增函数， 当x =1时，y min =3＋a ，于是当且仅当y min =3＋a ＞0时函数f (x )＞0恒成立．故a ＞－3．。
2024年高考数学一轮复习专题05函数的单调性与最值含解析
专题05函数的单调性与最值最新考纲1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.基础学问融会贯穿1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义假如函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，假如存在实数M满意条件(1)对于随意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于随意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值【学问拓展】函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax(a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]． (3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．重点难点突破【题型一】确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出详细解析式的函数的单调性 【典型例题】下列函数中，值域为R 且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A ．y ＝x 2+2xB ．y ＝2x +1C ．y ＝x 3+1D ．y ＝（x ﹣1）|x |【解答】解：依据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x 2+2x ＝（x +1）2﹣1，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意； 对于B ，y ＝2x +1，其值域为（0，+∞），不符合题意；对于C ，y ＝x 3+1，值域为R 且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意； 对于D ，y ＝（x ﹣1）|x |，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；故选：C ．【再练一题】已知函数f （x ）＝ln ，则（ ）A ．f （x ）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上单调递增B ．f （x ）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上单调递减C ．f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增D ．f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减【解答】解：依据题意，函数f （x ）＝ln，其定义域为R ，有f（﹣x）＝ln ln f（x），则函数f（x）为偶函数，设t，y＝lnt，对于t，则导数t′，当x＞0时，t′＞0，即函数t在区间（0，+∞）上为增函数，又由y＝lnt在区间（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）＝ln在0，+∞）上为增函数，故选：C．命题点2 解析式含参数的函数的单调性【典型例题】定义在R的函数f（x）＝﹣x3+m与函数g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．[2，+∞）C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：依据题意，函数f（x）＝﹣x3+m，其定义域为R，则R上f（x）为减函数，g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx＝x2﹣kx+m在[﹣1，1]上为减函数，必有x1，解可得k≥2，即k的取值范围为[2，+∞）；故选：B．【再练一题】已知函数f（x）（a＞0且a≠1）在R上单调递减，则a的取值范围是（）A．[，1）B．（0，] C．[，] D．（0，]【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满意0＜a＜1，依据二次函数开口向上，在（单调递减，可得，即，解得：．且[x2+（4a﹣3）x+3a]min≥[log a（x+1）+1]max故而得：3a≥1，解得：a．∴a的取值范围是[，]，故选：C．思维升华确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．【题型二】函数的最值【典型例题】若函数f（x），则函数f（x）的值域是（）A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2]C．[0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，2）【解答】解：当x＜1时，0＜2x＜2，当x≥1时，f（x）＝﹣log2x≤﹣log21＝0，综上f（x）＜2，即函数的值域为（﹣∞，2），故选：A．【再练一题】函数f（x）＝e x﹣x在区间[﹣1，1]上的值域为（）A．[1，e﹣1] B．C．D．[0，e﹣1]【解答】解：函数的导数f′（x）＝e x﹣1，由f′（x）＞0得e x﹣1＞0，即e x＞1，得0＜x≤1，此时函数递增，由f′（x）＜0得e x﹣1＜0，即e x＜1，得﹣1≤x＜0，此时函数递减，即当x＝0时，函数取得微小值同时也是最小值f（0）＝1，∵f（1）＝e﹣1，f（﹣1）1＜e﹣1，∴函数的最大值为f（1）＝e﹣1，即函数的值域为[1，e﹣1]，故选：A．思维升华求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再视察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最终结合端点值，求出最值．(5)换元法：对比较困难的函数可通过换元转化为熟识的函数，再用相应的方法求最值．【题型三】函数单调性的应用命题点1 比较大小【典型例题】已知函数，若，则a、b、c之间的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c【解答】解：依据题意，函数，其定义域为R，则f（﹣x）＝|ln（x）|＝|ln|＝|﹣ln（x）|＝|ln（x）|＝f （x），即函数f（x）为偶函数，设g（x）＝ln（x）＝ln，有g（0）＝ln1＝0，设t，则y＝lnt，当x≥0时，t为减函数且t＞0，而y＝lnt在（0，+∞）为增函数，则g（x）＝ln（x）＝ln在[0，+∞）上为减函数，又由g（0）＝0，则在区间[0，+∞）上，g（x）≤0，又由f（x）＝|g（x）|，则f（x）在区间[0，+∞）上为增函数，a＝f（）＝f（log94），b＝f（log52）＝f（log254），又由log254＜log94＜1＜1.80.2，则有b＜a＜c；故选：D．【再练一题】已知函数f（x）＝x•ln，a＝f（），b＝f（），c＝f（），则以下关系成立的是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【解答】解：，，；∵；∴；∴c＜a＜b．故选：A．命题点2 解函数不等式【典型例题】已知函数f（x）＝e x﹣e﹣x，则关于x的不等式f（x）+f（x2﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【解答】解：依据题意，函数f（x）＝e x﹣e﹣x，有f（﹣x）＝e﹣x﹣e x＝﹣（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f′（x）＝e x+e﹣x＞0，则函数f（x）在R上为增函数，f（x）+f（x2﹣2）＜0⇒f（x）＜﹣f（x2﹣2）⇒f（x）＜f（2﹣x2）⇒x＜2﹣x2，即x2+x﹣2＜0，解可得﹣2＜x＜1，即其解集为（﹣2，1）；故选：A．【再练一题】设定义在R上的奇函数f（x）满意f（x）＝x3﹣8（x＞0），则{x|f（x﹣2）≥0}＝（）A．[﹣2，0）∪[2，+∞）B．（﹣∞﹣2]∪[2，+∞）C．[0，2）∪[4，+∞）D．[0，2]∪[4，+∞）【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，且x＞0时，f（x）＝x3﹣8；∴f（0）＝f（2）＝f（﹣2）＝0，且f（x）在（0，+∞），（﹣∞，0）上都单调递增；∴①x＝2时，满意f（x﹣2）≥0；②x＞2时，由f（x﹣2）≥0得，f（x﹣2）≥f（2）；∴x﹣2≥2；∴x≥4；③x＜2时，由f（x﹣2）≥0得，f（x﹣2）≥f（﹣2）；∴x﹣2≥﹣2；∴x≥0；∴0≤x＜2；综上得，f（x﹣2）≥0的解集为[0，2]∪[4，+∞）．故选：D．命题点3 求参数范围【典型例题】若函数f（x）在R上是增函数，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，1] B．（0，2）C．（0，1] D．[1，2）【解答】解：∵f（x）在R上是增函数；∴；解得0＜a≤1；∴a的取值范围为：（0，1]．故选：C．【再练一题】若（a≠1），在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）在定义域（﹣∞，+∞）上是单调函数时，①函数的单调性是增函数时，可得当x＝0时，（a2﹣1）e ax≤ax2+1＝1，即a2﹣1≤1，解之得a∵x≥0时，y＝ax2+1是增函数，∴a＞0又∵x＜0时，（a2﹣1）e ax是增函数，∴a2﹣1＞0，得a＜﹣1或a＞1因此，实数a的取值范围是：1＜a②函数的单调性是减函数时，可得当x＝0时，（a2﹣1）e ax≥ax2+1＝1，即a2﹣1≥1，解之得a或a．∵x≥0时，y＝ax2+1是减函数，∴a＜0又∵x＜0时，（a2﹣1）e ax是减函数，∴a2﹣1＞0，得a＜﹣1或a＞1因此，实数a的取值范围是：a综上所述，得a∈故选：C．思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为详细的不等式求解，应留意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需留意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的随意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除留意各段的单调性外，还要留意连接点的取值．基础学问训练1．若，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，对A选项，变形为log a x3＜log a y2，而函数y=是单调递减函数，x3＜y2，∴log a x3>log a y2，故A不正确；对B选项，,函数y=cosx是单调递减函数，∴，故B不正确；对C选项，y=是单调递减函数，∴, 故C不正确；而D选项，幂函数y=是单调递增函数，∴，故应选D.2．已知函数且满意，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，所以函数为定义在R上的偶函数；又时，单调递减，所以由偶函数的对称可得：时，单调递增，所以由可得，解得.故选C3．已知函数，则函数有（）A．最小值，无最大值 B．最大值，无最小值C．最小值1，无最大值 D．最大值1，无最小值【答案】D【解析】∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，]设t，则t，且x，∴f（x）＝g（t）t2+t（t﹣1）2+1，t，∴g（t）≤g（1）即g（t）≤1∴函数f（x）的最大值1，无最小值.故选D.4．若函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，则a=（）A．16 B．17 C．32 D．33【答案】B【解析】函数f（x）=log2（x2-2x+a）的最小值为4，可得y= x2-2x+a的最小值为16，由y=（x-1）2+a-1，可得a-1=16，即a=17，故选：B．5．高斯是德国闻名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则函数的值域是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】．∴当时，；当时，；∴函数的值域是．故选A．6．已知函数的最小值为8，则A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的最小值为8，可得，明显的最小值不为8；时，由对数函数的性质可得当时，的最小值为，由题意可得，设递增，，可得，故选：B．7．对于函数f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为“可构造三角形函数”．已知函数f（x）=是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于∀a，b，c∈R都恒成立，由于f（x），①当t﹣1＝0，f（x）＝1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满意条件．②当t﹣1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）＜1+t﹣1＝t，同理1＜f（b）＜t，1＜f（c）＜t，故f（a）+f（b）＞2．再由f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可得2≥t，结合大前提t﹣1＞0，解得1＜t≤2．③当t﹣1＜0，f（x）在R上是增函数，t＜f（a）＜1，同理t＜f（b）＜1，t＜f（c）＜1，由f（a）+f（b）＞f（c），可得 2t≥1，解得1＞t．综上可得，t≤2，故选：A．8．奇函数单调递减，若，则满意的取值范围是（）A．B．C．D．[1，3]【答案】D【解析】因为奇函数单调递减，所以函数单调递减，且为奇函数，所以，因为，所以，所以，解得，即满意的取值范围是，故选D.9．假如对定义在R上的奇函数，对随意两个不相邻的实数，全部，则称函数为“H函数”，下列函数为H函数的是A．B．C．D．【答案】D【解析】依据题意，对于全部的不相等实数，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数，据此依次分析选项：对于A，，为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于B，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，，为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意；对于D，，为奇函数且在R上为增函数，符合题意；故选：D．10．已知定义在上的函数，对随意，有，且时，有，设，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为对随意，所以，因为时，有，所以函数在区间上是增函数，因为，所以，即，所以，故选A.11．已知定义在R上的函数f(x)＝－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【答案】B【解析】解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）＝f（x）；∴﹣1＝﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a＝f（||）＝f（），b＝f（），c＝f（2）；∵0＜＜2＜；∴a<c<b．故选：B．12．已知t为常数，函数在区间上的最大值为2，则t的值为A．B．C．D．【答案】A【解析】令上的增函数.当，即时，，舍去.当，即时，由于单调递增，故函数的最值在端点处取得..若，解得（舍去）.当时，符合题意.当，解得.当时，，不符合题意.当时，符合题意.故.所以选A.13．假如奇函数在区间上是减函数，值域为，那么______.【答案】12【解析】由f（x）在区间上是递减函数，且最大值为5，最小值为-2，得f（3）＝5，f（7）＝-2，∵f（x）是奇函数，∴．故答案为：12．14．已知函数，若上是减函数，则实数的取值范围为____.【答案】[，0）【解析】若在R上是减函数，因为y=上单调递减，故只需满意，解得：k∈[，0）故答案为：[，0）15．设函数f（x）=|x-1|在x∈[t，t+4]（t∈R）上的最大值为M（t），则M（t）的最小值为______．【答案】2【解析】作出函数f（x）=|x-1|的图象，如图所示，当t+4≤1即t≤-3时，f（x）在[t，t+4]递减，可得最大值M（t）=f（t）=|t-1|=1-t，由M（t）在t≤-3递减，可得M（t）≥4，即最小值为4；当t≥1时，f（x）在[t，t+4]递增，可得最大值M（t）=f（t+4）=|t+3|=t+3，由M（t）在t≥1递增，可得M（t）≥4，即最小值为4；当t＜1＜t+4，即-3＜t＜1时，f（x）在（t，1）递减，在（1，t+4）递增，可得f（x）的最小值为0；当t=-1时，f（t）=f（t+4）=2；当-1＜t＜1时，f（t）＜f（t+4），f（x）的最大值M（t）=f（t+4）=t+3，且M（t）∈（2，4）；当-3＜t＜-1时，f（t）＞f（t+4），f（x）的最大值M（t）=f（t）=1-t，且M（t）∈（2，4）；综上可得M（t）的最小值为2．故答案为：2．16．已知函数，若当时，都有，则a的取值范围为______．【答案】【解析】①当时，即②当时，若，即时，若，即时，③当时，综上所述，17．对于区间，若函数同时满意：上是单调函数；函数的值域是，则称区间为函数的“保值”区间．求函数的全部“保值”区间．函数是否存在“保值”区间？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）函数存在“保值”区间，此时m的取值范围是．【解析】因为函数的值域是，且的值域是，所以，所以，从而函数在区间上单调递增，故有，解得，又，所以，所以函数的“保值”区间为；若函数存在“保值”区间，若，由可得函数的“保值”区间为；若，此时函数在区间上单调递减，可得，消去m得，整理得，因为，所以，即，即有，因为，可得；若，此时函数在区间上单调递增，可得，消去m得，整理得．因为，所以，可得，可得．由，即有．综合得，函数存在“保值”区间，此时m的取值范围是．18．已知函数常数．证明上是减函数，在上是增函数；时，求的单调区间；对于中的函数和函数，若对随意，总存在，使得成立，求实数a的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】证明：：设，且，，，，当时，即，当时，即，时，，即，此时函数为减函数，当时，，即，此时函数为增函数，故上是减函数，在上是增函数；时，，，设，则，，由可知上是减函数，在上是增函数；，即，即上是减函数，在上是增函数；由于为减函数，故又由（2）得由题意，的值域为的值域的子集，从而有，解得．19．已知函数，其中．解关于x的不等式；求a的取值范围，使在区间上是单调减函数．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】的不等式，即为，即为，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；，由在区间上是单调减函数，可得，解得．即a的范围是．20．已知函数．判定并证明函数的单调性；是否存在实数m，使得不等式对一切都成立？若存在求出m；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）【解析】函数上R上的单调递增函数．证明如下：设，，，且，，函数上R上的单调递增函数．函数，，是R上的奇函数，不等式对一切都成立，，对一切都成立，是R上的增函数，，对一切都成立，．存在实数，使得不等式对一切都成立．实力提升训练1．已知是自然对数的底数），，则的大小关系是( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】记,可得x=e可知：上单调递增，又∴，即故选：A2．若函数，设，则的大小关系A．B．C．D．【答案】D【解析】依据题意，函数，是二次函数，其对称轴为y轴，且在上为增函数，，则有，则；故选：D．3．已知函数，若的最小值为，则实数m的值为A． B． C．3 D．或3【答案】C【解析】函数，即，当时，不成立；当，即时，递减，可得取得最小值，且，解得成立；当，即时，递增，可得取得最小值，且，不成立；综上可得．故选：．4．若函数上的最大值与最小值的差为2，则实数的值为( ).A．2 B．－2 C．2或－2 D．0【答案】C【解析】解：①当a=0时，y=ax+1=1，不符合题意；②当a＞0时，y=ax+1在[1，2]上递增，则（2a+1）﹣（a+1）=2，解得a=2；③当a＜0时，y=ax+1在[1，2]上递减，则（a+1）﹣（2a+1）=2，解得a=﹣2．综上，得a=±2，故选C．5．已知直线分别与函数的图象交于两点，则两点间的最小距离为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】依据题意得到PQ两点间的距离即两点的纵坐标的差值，设t+1=u,t=u-1>0,原式等于依据均值不等式得到当且仅当u=1，t=0是取得最值.故答案为：D.6．已知函数的值域为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意，设，则，又由指数函数的性质，可知函数为单调递减函数，所以函数的值域为，故选C.7．已知函数的定义域为(1)试推断的单调性；(2)若，求的值域；(3)是否存在实数，使得有解，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1）单调递增（2）（3）存在，且取值范围为【解析】解：（1）设单调递增.（2）令的值域为（3）由而当时，令，所以的取值范围为8．已知函数（1）设的两根，且，试求的取值范围（2）当时，的最大值为2，试求【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意可得的两根，且，解得故（2）当时，的最大值为2，由，可知抛物线开口向上，对称轴为①若，则当时取得最大值，即，解得②若，则当时取得最大值，即，解得故9．已知函数．(1)若，求a的值．(2)推断函数的奇偶性，并证明你的结论．(3)求不等式的解集．【答案】(1)；(2)奇函数；(3).【解析】，则，得，即，则．函数的定义域为R，，即函数是奇函数．由不等式，，在R上是增函数，不等式等价为，即，即，得．即不等式的解集为．10．已知函数.（Ⅰ）推断并证明的单调性；（Ⅱ）设，解关于的不等式.【答案】（Ⅰ）上单调递增；（Ⅱ）.【解析】解：（Ⅰ）的定义域为，由是奇函数；任取，则，上单调递增；又由（Ⅰ）知，上的奇函数，上单调递增；上单调递增.（Ⅱ），由是奇函数；又由（Ⅰ）知上单调递增，上单调递增，等价于，可得：，解得：不等式的解集是.。
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)
高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。
证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。
因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。
因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。
因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。
2019年高考数学艺术生百日冲刺专题全册合集(含答案)
专题1集合与常用逻辑测试题命题报告:1.高频考点:集合的运算以及集合的关系，集合新定义问题以及集合与其他知识的交汇，逻辑用语重点考查四种命题的关系，充要条件的判断以及全称命题存在命题等知识。
2.考情分析:高考主要以选择题填空题形式出现，考查集合的运算以及充要条件和其它知识的交汇，题目一般属于容易题。
3.重点推荐:9题，创新题，注意灵活利用所给新定义进行求解。
一．选择题（共12小题，每一题5分）1．集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则集合B的真子集的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】:B={（1，1），（1，2），（2，1）}；-=:．故选:C．∴B的真子集个数为32172已知集合M=，则M∩N=（）A．{x|﹣3≤x≤1} B．{x|1≤x＜6} C．{x|﹣3≤x＜6} D．{x|﹣2≤x≤6} 【答案】:B【解析】y=x2﹣2x﹣2的对称轴为x=1；∴y=x2﹣2x﹣2在x∈（2，4）上单调递增；∴﹣2＜y＜6；∴M={y|﹣2＜y＜6}，N={x|x≥1}；∴M∩N={x|1≤x＜6}．故选:B．3已知集合A={x|ax﹣6=0}，B={x∈N|1≤log2x＜2}，且A∪B=B，则实数a的所有值构成的集合是（）A．{2} B．{3} C．{2，3} D．{0，2，3}【答案】:D【解析】B={x∈N|2≤x＜4}={2，3}；∵A∪B=B；∴A⊆B；∴①若A=∅，则a=0；②若A≠∅，则；∴，或；∴a=3，或2；∴实数a所有值构成的集合为{0，2，3}．故选:D．4（2018秋•重庆期中）已知命题p:∀x∈R，x2﹣x+1＞0，命题q:若a＜b，则＞，下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∨（￢q）【答案】:D【解析】命题p:∀x∈R，x2﹣x+1＞0，∵x2﹣x+1=+＞0恒成立，∴p是真命题；命题q:若a＜b，则＞，当a＜0＜b时，不满足＞，q是假命题；∴￢q是真命题，￢q是假命题，则（￢p）∨（￢q）是真命题，D正确．故选:D．5. （2018 •朝阳区期末）在△ABC中，“∠A=∠B“是“acosA=bcosB”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】:A6. （2018•抚州期末）下列有关命题的说法错误的有（）个①若p∧q为假命题，则p、q均为假命题②命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为:“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0③对于命题p:∃x∈R，使得x2+x+1＜0则:￢p:∀x∈R，均有x2+x+1≥0A．0 B．1 C．2 D．3【答案】:B【解析】①若p∧q为假命题，则p、q均为假命题，不正确，因为两个命题中，由一个是假命题，则p∧q为假命题，所以说法错误．②命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为:“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0，满足逆否命题的定义，正确；③对于命题p:∃x∈R，使得x2+x+1＜0则:￢p:∀x∈R，均有x2+x+1≥0，符号命题的否定形式，正确；所以说法错误的是1个．故选:B．7（2018•金安区校级模拟）若A={x∈Z|2≤22﹣x＜8}，B={x∈R|log2x＜1}，则A∩（∁R B）中的元素有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】:B【解析】A={x∈Z|2≤22﹣x＜8}={x∈Z|1≤2﹣x＜3}={x∈Z|﹣1＜x≤1}={0，1}，B={x∈R|log2x＜1}={x∈R|0＜x＜2}，则∁R B={x∈R|x≤0或x≥2}，∴A∩（∁R B）={0}，其中元素有1个．故选:B．8（2018•大观区校级模拟）已知全集U=R，集合，N={x|x2﹣2|x|≤0}，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A．[﹣2，1）B．[﹣2，1] C．[﹣2，0）∪（1，2] D．[﹣2，0]∪[1，2]【答案】:B【解析】∵全集U=R，集合={x|x＞1}，N={x|x2﹣2|x|≤0}={x|或}={x|﹣2≤x≤2}，∴C U M={x|x≤1}，∴图中阴影部分所表示的集合为N∩（C U M）={x|﹣2≤x≤1}=[﹣2，1]．故选:B．9.设集合S n={1，2，3，…，n}，X⊆S n，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X的容量是奇（偶）数，则称X为S n的奇（偶）子集，若n=3，则S n的所有偶子集的容量之和为（）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】:D【解析】由题意可知:当n=3时，S3={1，2，3}，所以所有的偶子集为:∅、{2}、{1，2}、{2，3}、{1，2，3}．所以S3的所有偶子集的容量之和为0+2+2+6+6=16．故选:D．10. （2018•商丘三模）下列有四种说法:①命题:“∃x∈R，x2﹣3x+1＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣3x+1＜0”；②已知p，q为两个命题，若（￢p）∧（￢q）为假命题，则p∨q为真命题；③命题“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题；④数列{a n}为等差数列，则“m+n=p+q，m，n，p，q为正整数”是“a m+a n=a p+a q”的充要条件．其中正确的个数为（）A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】:C11.（2018•嘉兴模拟）已知函数f（x）=x2+ax+b，集合A={x|f（x）≤0}，集合，若A=B≠∅，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，5] C．D．[﹣1，3]【思路分析】由题意可得b=，集合B可化为（x2+ax+）（x2+ax+a+）≤0，运用判别式法，解不等式即可得到所求范围．【答案】:A【解析】设集合A={x∈R|f（x）≤0}={x|x2+ax+b≤0}，由f（f（x））≤，即（x2+ax+b）2+a（x2+ax+b）+b﹣≤0，②A=B≠∅，可得b=，且②为（x2+ax+）（x2+ax+a+）≤0，可得a2﹣4×≥0且a2﹣4（a+）≤0，即为，解得≤a≤5，故选:A．12.( 2018•漳州二模）“a≤0”是“关于x的方程ax+axcosx﹣sinx=0与方程sinx=0在[﹣3π，3π]上根的个数相等”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]:A【解析】∵方程sinx=0在[﹣3π，3π]上根有7个，则方程ax+axcosx﹣sinx=0也应该有7个根，由方程ax+axcosx﹣sinx=0得ax（1+cosx）﹣sinx=0，即ax•2cos2﹣2sin cos=2cos（axcos﹣sin）=0，则cos=0或axcos﹣sin=0，则x除了﹣3π，﹣π，π，3π还有三个根，由axcos﹣sin=0，得axcos=sin，即ax=tan，由图象知a≤0时满足条件，且a＞0时，有部分a是满足条件的，故“a≤0”是“关于x 的方程ax+axcosx﹣sinx=0与方程sinx=0在[﹣3π，3π]上根的个数相等”的充分不必要条件，故选:A．（2）设命题p:“函数y=2f（x）﹣t在（﹣∞，2）上有零点”，命题q:“函数g（x）=x2+t|x ﹣2|在（0，+∞）上单调递增”；若命题“p∨q”为真命题，求实数t的取值范围．【思路分析】（1）方程f（x）=2x有两等根，通过△=0，解得b；求出函数图象的对称轴．求解a，然后求解函数的解析式．（2）求出两个命题是真命题时，t的范围，利用p∨q真，转化求解即可．【解析】:（1）∵方程f（x）=2x有两等根，即ax2+（b﹣2）x=0有两等根，∴△=（b﹣2）2=0，解得b=2；∵f（x﹣1）=f（3﹣x），得，∴x=1是函数图象的对称轴．而此函数图象的对称轴是直线，∴，∴a=﹣1，故f（x）=﹣x2+2x……………………………………………（6分）（2），p真则0＜t≤2；；若q真，则，∴﹣4≤t≤0；若p∨q真，则﹣4≤t≤2．……………………………………………（12分）21. （2018春•江阴市校级期中）已知集合A={x|≤0}，B={x|x2﹣（m﹣1）x+m﹣2≤0}．（1）若A∪[a，b]=[﹣1，4]，求实数a，b满足的条件；（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．【思路分析】本题涉及知识点:分式不等式和含参的一元二次不等式的解法，集合的并集运算．22. （2018•南京期末）已知命题p:指数函数f（x）=（a﹣1）x在定义域上单调递减，命题q:函数g（x）=lg（ax2﹣2x+）的定义域为R．（1）若q是真命题，求实数a的取值范围；（2）若“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．【思路分析】（1）若命题q是真命题，即函数g（x）=lg（ax2﹣2x+）的定义域为R，对a 分类讨论求解；（2）求出p为真命题的a的范围，再由“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题，可得p与q 一真一假，然后利用交、并、补集的混合运算求解．【解析】:（1）若命题q是真命题，则有:①当a=0时，定义域为（﹣∞，0），不合题意．②当a≠0时，由已知可得，解得:a＞，故所求实数a的取值范围为（，+∞）；…………6分（2）若命题p为真命题，则0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2，由“p∧q”为假命题“p∨q”为真命题，可得p与q一真一假．若p为真q为假，则，得到1＜a≤，若p为假q为真，则，得到a≥2．综上所述，a的取值范围是1＜a≤或a≥2．………………12分专题2函数测试题命题报告:3.高频考点:函数的性质（奇偶性单调性对称性周期性等），指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质，函数的零点与方程根。
【艺考生专项课件】第10讲 函数的单调性
关键能力·培育
1
-x
1
2
【解析】(1)易知函数 y=2 ,y=log 1 x,y= 在(0,+∞)上单调递减,函数 y= 在(0,+∞)上单
2
调递增.故选 A.
(2)设 t=x2-2x-3,由 t≥0,得 x2-2x-3≥0,解得 x≤-1 或 x≥3,所以函数 f(x)的定义域为(-∞,-1]∪
3
D. ,2
2
关键能力·培育
【解析】(1)当 a=0 时,f(x)=2x-3,f(x)在定义域 R 上单调递增,符合题意;
1
当 a≠0 时,f(x)的图象的对称轴为直线 x=- ,因为 f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以 a<0 且
1
1
1
4
4
≥4,解得- ≤a<0.综上所述,实数 a 的取值范围为 - ,0 .故选 D.
必备知识·梳理
七、复合函数的单调性
若两个简单函数的单调性相同,则它们的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性
相反,则它们的复合函数为减函数.即“同增异减”.
八、函数单调性的性质
1.若 f(x),g(x)均为区间 A 上的增(减)函数,则 f(x)+g(x)也是区间 A 上的增(减)函数.更进一步,
有增+增→增,增-减→增,减+减→减,减-增→减.
2.若 k>0,则 kf(x)与 f(x)的单调性相同;若 k<0,则 kf(x)与 f(x)的单调性相反.
关键能力·培育
能力1 能确定函数的单调性
例 1 (易错题)(1)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( A ).
A.y= + 1
数学高中数学专练：函数单调性
同步练习 函数单调性1、下列函数中，在区间]0,(-∞上是增函数的是（A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -=（C ）12+-=x y （D ）x y -=1 2、已知)2(log ax y a -=在]1,0[上是x 的减函数，则a 的取值范围是（A ）)10(， （B ）)2,1( （C ）)2,0( （D ）),2[+∞ 3、)(x f 为),(+∞-∞上的减函数，R a ∈，则（A ）)2()(a f a f <（B ）)()(2a f a f <（C ）)()1(2a f a f <+（D ）)()(2a f a a f <+4、如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数，且最小值为5，那么在区间[－7，－3]上是A ．增函数且最小值为－5B ．增函数且最大值为－5C ．减函数且最小值为－5D ．减函数且最大值为－55、已知f(x)是定义在R 上的偶函数，它在),0[+∞上递减，那么一定有A ．)1()43(2+->-a a f fB ．)1()43(2+-≥-a a f fC ．)1()43(2+-<-a a f fD ．)1()43(2+-≤-a a f f6、已知y=f(x)是偶函数，且在),0[+∞上是减函数，则f(1－x 2)是增函数的区间是A ．),0[+∞B ．]0,(-∞C ．),1()0,1[+∞⋃-D ．(,1](0,1]-∞- 7、 （05天津卷）若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1( 8、（04年湖南卷.）若f(x)=-x 2+2ax 与1)(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是A ．)1,0()0,1(⋃-B ．]1,0()0,1(⋃-C ．（0，1）D ．]1,0(9、（04年上海卷）若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞]上为增函数,则实数a 、b 的取值范围是 .10、已知偶函数)(x f 在]20[，内单调递减，若)1(-=f a ，)41(log 21f b =，c=，则a、b、c之间的大小关系是_____________)5.0f(lg11、已知)f是R上的增函数，A（0，－1），B（3,1）是其图象上的两点，则(x不等式1xf的解集为__________+(|)1|<9、 . 10、 .11、 .12、已知函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，试求a 的取值范围.13、已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围.14、已知)1(11log )(>--=a x kx x f a 是奇函数. （1）求k 的值，并求该函数的定义域；（2）根据（1）的结果，判断)(x f 在),1(+∞上的单调性，并给出证明.15、设)(x f 是定义在+R 上的增函数，并且对任意的0,0>>y x ，)()()(y f x f xy f +=总成立。
艺术生高考数学专题讲义考点13导数与函数单调性
考点十三导数与函数的单一性知识梳理1．函数的性与数在区 (a， b)内，函数的性与其数的正有以下关系：假如 f′(x)>0 ，那么函数y＝ f(x)区上的增函数；假如 f′(x)<0 ，那么函数y＝ f(x)区上的减函数．两者关系：(1) f′(x)>0( 或 <0) 是 f(x) 在(a，b)内增 (或减 )的充足不用要条件，是因f′(x)>0 能推出 f(x)区上的增函数，但反之不必定．如函数 f(x)＝ x3在R上增，但 f′(x)＝ 3x2≥ 0，所以f′(x)>0 是 f(x)增函数的充足不用要 .(2) f′(x)≥ 0(或≤ 0)是 f(x)在 (a， b)内增 (或减 )的必需不充足条件(f′(x)＝ 0 不恒建立 )．典例分析型一利用数明函数的性例 1 求函数y＝x＋1在[1,＋∞)内增函数．x1 x2－ 1分析y′＝ 1－x2＝x2当 x>1 ， x2－1>0 ，∴ y′>0，1∴函数 y＝ x＋在 [1, ＋∞)内增函数．式求函数y＝ x3＋ x2＋x 在R上是增函数．分析212＋2y′＝ 3x +2x＋ 1=3(x＋ )33然随意 x∈R，均有 y′>0，∴函数 y＝ x3＋ x2＋x 在R上是增函数．型二求函数的区例 2已知函数 f(x)＝ln x＋ k)，曲 y＝f(x)在点x ( k常数，e＝2.718 28⋯是自然数的底数e(1， f(1))的切与x 平行．(1)求 k 的；(2)求 f(x)的区．ln x＋ k分析(1)由 f(x)＝e x，得 f′(x)＝1－ kx－ xln x， x∈ (0 ，＋∞ )，xxe因为曲线 y＝f(x)在 (1， f(1)) 处的切线与 x 轴平行，所以f′(1)＝ 0，所以 k＝ 1.1(2)由 (1)得 f′(x)＝xe x(1 －x－xln x)，x∈ (0，＋∞ )，令 h(x) ＝ 1－ x－ xln x， x∈ (0，＋∞ )，当 x∈ (0,1) 时， h(x)>0 ；当 x∈ (1，＋∞ )时， h(x)<0.又 e x>0，所以 x∈ (0,1)时， f′(x)>0 ；x∈(1 ，＋∞ )时， f′(x)<0.所以 f( x)的单一递加区间为(0,1)，单一递减区间为(1，＋∞ )．变式训练(1)函数 f(x)＝x的单一递减区间是________．lnx(2) 已知函数f(x)＝4x－ x4， x∈R，则 f(x) 的单一递加区间为________．答案(1) (0,1) ， (1， e)(2) (－∞， 1)lnx－1lnx－ 1<0，分析(1) f ′(x)＝ln2x，令 f′(x)<0 ，得∴0<x<1 或 1<x<e，lnx≠ 0，故函数的单一递减区间是(0,1)和 (1， e)．(2) 解由f(x)＝4x－x4，可得f′(x)＝4－4x3.当 f′(x)＞ 0，即 x＜ 1 时，函数f(x)单一递加，所以，f(x)的单一递加区间为(－∞，1)．解题重点求可导函数单一区间的一般步骤和方法(1)确立函数 f(x)的定义域；(2)求导数 y′＝ f′ (x)；(3)解不等式 f′ (x)>0，解集在定义域内的部分为单一递加区间；(4)解不等式 f′ (x)<0，解集在定义域内的部分为单一递减区间．题型三由函数的单一性求参数范围问题例 3 已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若 a＝ 3 时，求 f(x)的单一区间；(2) 若 f(x)在实数集R 上单一递加，务实数 a 的取值范围．分析(1) 当 a＝ 3 时， f(x)＝x3－3x－ 1，∴f′(x)＝ 3x2－ 3，令 f′(x)>0 即 3x2－ 3>0 ，解得 x>1 或 x<－ 1，∴f(x)的单一增区间为 (－∞，－ 1)、 (1，＋∞ )，同理可求 f(x)的单一减区间为 (－ 1， 1)．(2)f′(x)＝ 3x2－ a.∵ f(x)在实数集R上单一递加，22∴ f′(x)≥ 0 恒建立，即3x － a≥0 恒建立，∴a≤ (3x )min .2∵ 3x 的最小值为0，∴a≤ 0.变式训练已知函数 f(x) ＝e x － ax － 1.(1) 求 f(x)的单一增区间；(2) 能否存在 a ，使 f(x)在 (－ 2,3)上为减函数，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，请说明原因．分析f ′(x)＝ e x －a ，x(1) 若 a ≤0，则 f ′(x)＝ e － a ≥ 0，即 f( x)在 R 上单一递加，若 a>0 ，令 e x － a ≥0，则 e x ≥ a ， x ≥ ln a.所以当 a ≤0 时， f(x) 的单一增区间为R ，当 a>0 时， f(x)的单一增区间为 [ln a ，＋∞ )．x(2) ∵ f ′(x)＝ e － a ≤ 0 在( － 2,3)上恒建立． ∴a ≥ e x 在 x ∈ (－ 2,3)上恒建立．－ 2∴e <e x <e 3，只要 a ≥e 3.当 a ＝ e 3 时， f ′(x)＝ e x － e 3<0 在 x ∈ (－ 2,3)上恒建立，即 f(x)在 (－ 2,3)上为减函数，∴ a ≥ e 3.故存在实数 a ≥ e 3，使 f(x)在 (－ 2,3)上为减函数．解题重点已知函数的单一性求参数范围能够转变为不等式恒建立问题 , 由函数 f(x)在区间[a ， b] 内单一递加 ( 或递减 )，可得 f ′(x)≥ 0(或≤ 0)在该区间恒建立，而不是 f ′(x)>0( 或<0)恒成立，“＝”不可以少，不然漏解．题型四函数存在单一区间或不但一求参数范围问题例 41 3 1 2＋ 2ax.若 f(x)在2 上存在单一递加区间，求a 的取值范围．设 f(x)＝－ x ＋ x，＋∞323分析 f ′(x)＝－ x 2＋ x ＋ 2a由题意知 f ′(x)>0 在22＋ x ＋ 2a>0 ，2a>x 2－ x ，3，＋ ∞ 上有解，即－ x2－x ， g(x)> g22 1令 g(x) ＝ x3 ＝－ .即 a>－ .99∴a 的取值范围为－1，＋ ∞ .9变式训练 已知函数 f(x) ＝2x 2－ ax ＋ ln x 在其定义域上不但一，务实数a 的取值范围．分析函数 f(x)的定义域为 (0，＋∞ )，因为 f( x)＝ 2x 2－ ax ＋ ln x ，所以 f ′(x)＝4x － a ＋ 1＝1(4x 2－ ax ＋1)．x x由函数 f(x) 在区间 (0，＋∞ )上不但一可知， f ′ (x)＝ 0 有两个正解，即 4x 2－ ax ＋ 1＝ 0 有两个正解，设为 x 1，x 2.＝（－ a）2－ 4× 4× 1>0，a故有x1＋ x2＝4>0，解得 a>4.1x1x2＝ >0 ，4所以实数 a 的取值范围为 (4，＋∞ ) ．解题重点函数在区间 D 上存在单一递加区间，即在区间 D 上 f′(x)>0 能建立，分别变量后可求参数范围 .需注意， a>f(x) 能建立，只要 a>f(x) min， a<f(x)能建立，则 a<f(x)max．当堂练习1．函数 f(x)＝( x－3)e x的单一递加区间是 ________．答案(2，＋∞ )分析由题意知， f′(x)＝ e x＋ (x－ 3)e x＝ (x－ 2)e x.由 f′(x)>0 得 x>2.2．函数 f(x)＝x2－2ln x 的单一减区间是 ________．答案(0,1)2 x＋ 1 x－ 1分析∵ f′(x)＝ 2x－2＝x (x>0) ．x∴当 x∈ (0,1)时， f′(x)<0 ，f(x)为减函数；当 x∈ (1，＋∞)时， f′(x)>0， f(x)为增函数．3. 若函数 y＝ cos x＋ ax 在π π上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ________．－，22答案[1，＋∞ )π ππ π分析y′＝－ sin x＋ a，若函数在－2，2上是增函数，则a≥sinx 在－2，2上恒建立，所以 a≥ 1，即实数 a 的取值范围是[1，＋∞ )．4．函数 f(x)＝1＋ x－ sin x 在 (0， 2π)上的单一状况是________．答案单一递加分析在 (0， 2π)上有f′(x)＝ 1－ cos x>0，所以f(x) 在(0， 2π)上单一递加．5．函数f(x)＝e x－ x 的单一递加区间是________．答案(0，＋∞)分析∵ f(x)＝ e x－ x，∴ f ′(x)＝ e x－ 1，由 f′(x)>0 ，得 e x－ 1>0 ，即 x>0.课后作业一、填空题1．函数 y＝x2(x－ 3)的单一递减区间是 ________．答案(0,2)分析y′＝ 3x2－ 6x，由 y′＜ 0，得0＜x＜ 2.2．函数 y＝(3 －x2)e x的单一递加区间是 ________．答案(－ 3,1)分析x2x x2y′＝－ 2xe ＋ (3－ x)e ＝ e (－ x － 2x＋ 3)，由 y′>0? x2＋ 2x－ 3<0? － 3<x<1，∴函数 y＝ (3－ x2)e x的单一递加区间是 (－ 3,1). 3．函数 f(x)＝x＋ elnx 的单一递加区间为 ________．答案(0，＋∞)分析函数定义域为 (0，＋∞ )， f′ (x)＝ 1＋e(0，＋∞ )．x>0，故单一增区间是4．函数 f(x)= xln x，则 ________．①在 (0， +∞)上是增添的②在 (0， +∞)上是减少的③在 (0，1)上是增添的④在 (0，1)上是减少的e e答案④分析因为函数 f(x)= xln x，所以 f′(x)=ln x+1， f′(x)>0，解得 x> 1，则函数的单一增区间为e(1,+ ∞)，又 f′(x)<0 ，解得 0<x<1，则函数的单一减区间为 (0,1)，应选④ .e e e 5．函数 f(x)＝x－ ln x 的单一递减区间为 ________．答案(0,1)分析函数的定义域是 (0，＋∞)，且 f′(x)＝ 1－1＝x－1，令 f′(x)＜ 0，解得 0＜ x＜ 1，所以单x x调递减区间是 (0,1)．136．已知函数 f(x)＝ x ＋ ax＋ 4，则“a＞ 0”是“f(x)在R上单一递加”的________条件．2答案充足不用要分析32f′(x)＝ x＋ a，当 a≥0时， f′(x)≥0恒建立，故“a＞ 0”是“f(x)在R上单一递加”的充足不2必需条件．7．若函数 y＝ a(x3－ x)的单一递减区间为 (－3，3)，则实数 a 的取值范围是 ________．33答案a＞ 0分析y ′＝ a(3x 2－ 1)，解 3x 2－ 1＜ 0，得－3＜ x ＜333.∴ f(x)＝ x 3－ x 在 (－ 3， 3)上为减函数．33又 y ＝ a(x 3－ x)的单一递减区间为 (－ 33， 33)， ∴ a ＞ 0.8．设函数 f(x)＝ 1x 2－ 9lnx 在区间 [a － 1，a ＋ 1]上单一递减， 则实数 a 的取值范围是 ________．2答案 1<a ≤2分析1 299≤0 时，有 0<x ≤ 3，即在 (0,3] 上函数 ∵ f(x)＝ x－ 9ln x ，∴ f ′ (x)＝ x － (x>0) ，当 x －2xxf(x)是减函数，∴ a － 1>0， a ＋ 1≤3，解得 1<a ≤ 2.x9．函数 f(x)＝lnx 的单一递减区间是 ________． 答案(0,1)， (1， e)lnx － 1lnx － 1<0，分析f ′(x)＝ ln 2 x ，令 f ′(x)<0，得lnx ≠ 0，∴0<x<1 或 1<x<e ，故函数的单一递减区间是 (0,1)和 (1， e)．10．若函数 f(x)＝ x 3＋ ax －2 在 (1，＋∞ )上是增函数，则实数 a 的取值范围是 ________．答案[－ 3，＋∞ )分析f ′(x)＝ 3x 2＋ a ，f(x)在区间 (1，＋∞ )上是增函数，则 f ′(x)＝ 3x 2＋ a ≥ 0 在(1 ，＋∞ )上恒建立， 即 a ≥－ 3x 2 在 (1，＋∞ )上恒建立．∴ a ≥－ 3.11．已知函数 y ＝－ 1x 3＋ bx 2－ (2b ＋ 3)x ＋ 2－ b 在 R 上不是单一减函数，则 b 的取值范围是3 ________． 答案 b<－1 或 b>3分析y ′＝－ x 2＋ 2bx －(2b ＋ 3)，要使原函数在 R 上单一递减，应有y ′≤ 0 恒建立，∴Δ＝ 4b 2－ 4(2b ＋ 3)＝ 4(b 2－ 2b － 3)≤ 0，∴－ 1≤ b ≤3，故使该函数在 R 上不是单一减函数的 b 的取值范围是 b<－ 1 或 b>3.二、解答题12． (2015 天津文节选 )已知函数 f(x)＝4x － x 4， x ∈ R .求 f(x)的单一区间； 分析由 f(x)＝ 4x － x 4，可得 f ′(x)＝ 4－ 4x 3.当 f ′(x)＞ 0，即 x ＜ 1 时，函数 f(x)单一递加；当 f ′(x)＜ 0，即 x ＞ 1 时，函数 f(x)单一递减．所以， f(x)的单一递加区间为(－∞， 1) ，单一递减区间为(1，＋∞ )．13．已知函数f(x)＝1x＋ln x，求函数f(x)的极值和单一区间．分析因为 f ′(x)＝－12＋1＝x－ 12 ，x x x令 f′(x)＝ 0，得 x＝ 1，又 f(x)的定义域为 (0，＋∞)，f′(x)， f(x)随 x 的变化状况以下表：x(0,1)1(1，＋∞ )f′(x)－0＋f(x)极小值所以 x＝ 1 时， f(x)的极小值为 1.f(x)的单一递加区间为(1 ，＋∞ )，单一递减区间为(0,1) ．。
2021届高三艺术班数学一轮复习资料 第二章 第11讲 导数与函数单调性
其次章 函数、导数及其应用 第11讲 导数与函数单调性一、必记3个学问点 1．函数的单调性在(a ，b )内可导函数f (x )，f ′(x )在(a ，b )任意子区间内都不恒等于0. f ′(x )≥0⇔f (x )在(a ，b )上为增函数． f ′(x )≤0⇔f (x )在(a ，b )上为减函数． 2．函数的极值 (1)函数的微小值：函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 四周其它点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 四周的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的微小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的微小值．(2)函数的极大值：函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 四周的其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 四周的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．微小值点，极大值点统称为极值点，极大值和微小值统称为极值． 3．函数的最值(1)在闭区间上连续的函数f (x )在上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 二、必明2个易误区1．求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不愿定为0. 2．易混极值与最值：留意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念． 三、必会2个方法解决含参数问题及不等式问题中的两个转化(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要留意分类争辩和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理．考点一推断或证明函数的单调性(2021·天津高考节选)设a ∈，已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－(a ＋5)x ，x ≤0，x 3－a ＋32x 2＋ax ，x >0. 证明f (x )在区间(－1,1)内单调递减， 在区间(1, ＋∞)内单调递增． 设函数f 1(x )＝x 3－(a ＋5)x (x ≤0)，f 2(x )＝x 3－a ＋32x 2＋ax (x ≥0)， ①f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)，由于a ∈，从而当－1<x ≤0时，f 1′(x )＝3x 2－(a ＋5)<3－a －5≤0，所以函数f 1(x )在区间(－1,0]内单调递减． ②f 2′(x )＝3x 2－(a ＋3)x ＋a ＝(3x －a )(x －1)，由于a ∈，所以当0<x <1时，f 2′(x )<0；当x >1时，f 2′(x )>0，即函数f 2(x )在区间 导数法证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的步骤 (1)求f ′(x )；(2)确认f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )>0时为增函数；f ′(x )<0时为减函数．已知函数f (x )＝x 2－e x 试推断f (x )的单调性并赐予证明．解：f (x )＝x 2－e x ，f (x )在R 上单调递减，f ′(x )＝2x －e x ，只要证明f ′(x )≤0恒成马上可． 设g (x )＝f ′(x )＝2x －e x ，则g ′(x )＝2－e x ，当x ＝ln 2时，g ′(x )＝0， 当x ∈(－∞，ln 2)时，g ′(x )>0，当x ∈(ln 2，＋∞)时，g ′(x )<0.∴f ′(x )max ＝g (x )max ＝g (ln 2)＝2ln 2－2<0，∴f ′(x )<0恒成立，∴f (x )在R 上单调递减．考点二求函数的单调区间(2022·(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间．(1)f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝3x 2＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋1＝c ，g (1)＝1＋b ＝c ，2a ＝3＋b ，解得a ＝b ＝3.(2)令F (x )＝f (x )＋g (x )＝x 3＋ax 2＋a 24x ＋1，F ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a 24，令F ′(x )＝0，得x 1＝－a 2，x 2＝－a 6，∵a >0，∴x 1<x 2，由F ′(x )>0得，x <－a 2或x >－a 6；由F ′(x )<0得，－a 2<x <－a6.∴单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2，⎝⎛⎭⎫－a 6，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－a 2，－a6. 一题多解在本例(2)中，若条件不变，争辩函数f (x )＋g (x )当a >0时，在区间(－∞，－1)上的单调性.解：当0<a ≤2时，f (x )＋g (x )在(－∞，－1)上为增函数；当2<a ≤6时，f (x )＋g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－a 2上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－a2，－1上单调递减；。
高考数学基础知识专题提升训练71---函数的单调性
高考数学基础知识专题提升训练函数的单调性课程标准核心素养借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.通过对函数单调性的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”、“数学运算”的核心素养.[对应学生用书P34]知识点函数的单调性增函数、减函数定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.(3)如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.[微体验]1．思考辨析(1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上是增函数．( )(2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．( )(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( )答案(1)×(2)√(3)×2．函数y＝f(x)的图象如图所示，其增区间是( )A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]C[根据函数单调性定义及函数图象知f(x)在[－3,1]上单调递增．]3．下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( )A．y＝x2－2 B．y＝3 xC．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2C[y＝x2－2在(－∞，0]上是减函数，y＝3x在(－∞，0)内是减函数. y＝1＋2x在R上为增函数，所以在(－∞，0)上是增函数. y＝－(x＋2)2在(－∞，－2]上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．]4．若函数f(x)在R上单调递增，且f(m)<f(n)，则m与n的关系为( )A．m>n B．m<nC．m≥n D．m≤nB[因为f(x)在R上单调递增，且f(m)<f(n)，所以m<n.][对应学生用书P35]探究一利用定义证明函数的单调性证明函数f(x)＝x＋1x在(1，＋∞)上是增函数．证明∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x2－1x2＝(x1－x2)＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)x1x2－1x1x2.∵x2>x1>1，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1＞0.∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴函数f(x)＝x＋1x在(1，＋∞)上是增函数．[变式探究] 判断并证明本例中函数f(x)在(0,1)上的单调性．解函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上单调递减．证明如下：∀x1，x2∈(0,1)，且x1<x2,则f(x1)－f(x2)＝x1＋1x1－x2－1x2＝(x1－x2)＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)x1x2－1x1x2.∵0＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0,0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0. ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．∴函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数．[方法总结]利用增函数或减函数的定义证明或判断函数单调性的一般步骤[跟踪训练1] 利用单调性的定义，证明函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．证明∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋2x1＋1－x2＋2x2＋1＝x2－x1(x1＋1)(x2＋1)，因为－1<x1<x2，所以x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0，所以x2－x1(x1＋1)(x2＋1)＞0，即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)．所以y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．探究二 根据函数图象求单调区间求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调区间．解y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x ＜0.＝⎩⎨⎧－(x －1)2＋4，x ≥0，－(x ＋1)2＋4，x ＜0.函数的图象如图所示：由图象可以看出，在(－∞，－1]和[0,1]上的图象是上升的，在(－1,0)和(1，＋∞)上的图象是下降的，∴函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间是(－1,0)和(1，＋∞)． [方法总结]图象法求函数单调区间的步骤(1)作图：作出函数的图象．(2)结论：上升图象对应单调递增区间，下降图象对应单调递减区间．提醒：当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接．[跟踪训练2] 作出函数y ＝|x |(x －1)的图象，并指出函数的单调区间． 解 y ＝|x |(x －1)＝⎩⎨⎧x 2－x ，x ≥0，－x 2＋x ，x ＜0.图象如图所示：由图象可知，函数的单调递增区间为(－∞，0]和⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞；单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.探究三 函数单调性的简单应用已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在(－∞，4]上是减函数．求实数a 的取值范围．解∵f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2 ＝[x ＋(a －1)]2－(a －1)2＋2， ∴此二次函数的对称轴为x ＝1－a . ∴f (x )的单调减区间为(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4.解得a ≤－3.∴实数a 的取值范围是(－∞，－3]．[变式探究] 在本例中，若将“函数f (x )在(－∞，4]上是减函数”改为“函数f (x )的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？若改为“函数f (x )在[4，＋∞)上是增函数”呢？解 若f (x )的单调递减区间为(－∞，4]， 则1－a ＝4，∴a ＝－3.若f (x )在[4，＋∞)上是增函数，则1－a ≤4，∴a≥－3，即a的取值范围为[－3，＋∞)．[方法总结]由函数单调性求参数范围的类型及处理方法(1)由函数解析式求参数(2)抽象函数求参数①依据：单调增(减)函数中函数值与自变量的关系f(a)>f(b)⇌a>b(a<b)．②方法：依据函数单调性的特点去掉符号“f”，转化为不等式问题求解．[对应学生用书P37]1．若f(x)的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在A∪B上单调递减．2．对增函数的判断，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，也可以用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0或f(x1)－f(x2)x1－x2＞0.对减函数的判断，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0或f(x1)－f(x2)x1－x2＜0.3．熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数、二次函数、反比例函数等．4．若f (x )，g (x )都是增函数，h (x )是减函数，则：①在定义域的交集(非空)上，f (x )＋g (x )单调递增，f (x )－h (x )单调递增，②－f (x )单调递减，③1f (x )单调递减(f (x )≠0)． 5．对于函数值恒正(或恒负)的函数f (x )，证明单调性时，也可以作商f (x 1)f (x 2)与1比较． 课时作业(十三) 函数的单调性[见课时作业(十三)P 151]1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．先减后增D ．先增后减C [函数y ＝x 2－6x ＋10图象的对称轴为直线x ＝3，此函数在区间(2, 3)上单调递减，在区间(3, 4)上单调递增．]2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是( ) A ．y ＝1x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－|x |D ．y ＝x 2－3xB [A 中函数在区间(0，＋∞)上是减函数；B 中函数在区间(0，＋∞)上是增函数；C 中函数在区间(0，＋∞)上是减函数；D 中函数对称轴是x ＝32，所以函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32上为减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上为增函数．]3．若函数f (x )的定义域为R ，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＞f (a 2－a ＋1)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＜f (a 2－a ＋1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≤f (a 2－a ＋1)B [∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34＞0，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.]4．若定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0成立，则必有( )A ．f (x )在R 上是增函数B ．f (x )在R 上是减函数C ．函数f (x )是先增后减D ．函数f (x )是先减后增 A [由f (a )－f (b )a －b>0知f (a )－f (b )与a －b 同号，即当a <b 时，f (a )<f (b ), 或当a >b时，f (a )>f (b )，所以f (x )在R 上是增函数．]5．已知四个函数的图象如图所示，其中在定义域内具有单调性的函数是( )B [已知函数的图象判断其在定义域内的单调性，应从它的图象是上升的还是下降的来考虑．根据函数单调性的定义可知函数B 在定义域内为增函数．]6．函数y ＝|x |(1－x )的单调递增区间为________．解析 y ＝|x |(1－x )＝⎩⎨⎧－x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ≤0，作出其图象如图，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， 12.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， 127．函数f (x )＝1x ＋1在(a ，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________． 解析 f (x )＝1x ＋1的单调递减区间为(－1，＋∞)和(－∞，－1)，又f (x )在(a ，＋∞)上是减函数，所以a ≥－1.答案 [－1，＋∞)8．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m －1)>f (2m －1)，则实数m 的取值范围是________．解析 由f (m －1)>f (2m －1)且f (x )是R 上的减函数，得m －1<2m －1，所以m >0. 答案 m >09．试用函数单调性的定义证明：f (x )＝2xx －1在(1，＋∞)上是减函数． 证明∀x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1x 1－1－2x 2x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1). 由于1<x 1<x 2，所以x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0，故f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 所以f (x )＝2xx －1在(1，＋∞)上是减函数． 10．若函数f (x )＝－a x在(0，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围． 解 ∀x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，由题意知，f (x 1)＜f (x 2)，即－a x 1＜－ax 2，∴a (x 2－x 1)x 1x 2＞0. 又0＜x 1＜x 2，∴x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0.∴a ＞0.1．函数f (x )＝－2x ＋1的单调减区间是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋∞ C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ C [由－2x ＋1≥0，得x ≤12，又一次函数y ＝－2x ＋1为R 上的减函数，故f (x )＝－2x ＋1的单调减区间为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.] 2．f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，则不等式f (x )>f (8(x －2))的解集是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,2) C ．(2，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，167D [由f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数得，⎩⎨⎧x ＞0，8(x －2)＞0，x ＞8(x －2)，⇒2<x <167.] 3．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．解析 由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)． 答案 (－∞，1]和(1，＋∞)4．函数f (x )是R 上的减函数，且过点(－3,2)和(1，－2)，则使|f (x )|＜2的自变量x 的取值范围是________．解析 ∵f (x )是R 上的减函数，f (－3)＝2，f (1)＝－2，∴当x ＞－3时，f (x )＜2；当x ＜1时，f (x )＞－2. ∴当－3＜x ＜1时，|f (x )|＜2.答案 (－3,1)5．设函数y ＝f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，并且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1. (1)求f (1)的值；(2)若存在实数m ，使得f (m )＝2，求m 的值； (3)若f (x －2)>2，求x 的取值范围．解 (1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，所以f (1)＝0. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13×13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2，所以m ＝19.(3)因为f (x －2)>2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，所以⎩⎨⎧x －2＞0，x －2＜19，则2<x <199. 6．(拓广探索)若f (x )＝⎩⎨⎧a x，x ≥1，－x ＋3a ，x ＜1是R 上的单调函数，求实数a 的取值范围．解因为f (x )＝⎩⎨⎧a x ，x ≥1，－x ＋3a ，x ＜1是R 上的单调函数，且f (x )＝－x ＋3a ，x ＜1是减函数，所以f (x )＝ax ，x ≥1也为减函数，所以⎩⎨⎧a ＞0，－1＋3a ≥a ，解得a ≥12，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。
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练 习 三 函数的单调性
一、选择题
1．函数y ＝－x 2
的单调减区间为( )
A ．(－∞，0]
B ．[0，＋∞)
C ．(－∞，0)
D ．(－∞，＋∞)
2．若函数y ＝kx ＋b 是R 上的减函数，那么( )
A ．k<0
B ．k>0
C ．k≠0
D ．无法确定
3．下列函数在指定区间上为单调函数的是( )
A ．y ＝2x ，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)
B ．y ＝2x －1
，x∈(1，＋∞) C ．y ＝x 2，x∈R D ．y ＝|x|，x∈R
4．已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( )
A ．f(－1)<f(1)<f(2)
B ．f(1)<f(－1)<f(2)
C ．f(2)<f(－1)<f(1)
D ．f(1)<f(2)<f(－1)
5.下列函数中，在(－∞，0)上为减函数的是( )
A ．y ＝1x 2
B ．y ＝x 3
C ．y ＝x 0
D ．y ＝x 2 6．如果函数f (x )在[a ，b ]上是增函数，对于任意的x 1、x 2∈[a ，b ](x 1≠x 2)，下列结论中不正确的是( )
A.f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
>0 B ．(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0 C ．f (a )<f (x 1)<f (x 2)<f (b ) D.x 1－x 2f (x 1)－f (x 2)
>0 7．若区间(0，＋∞)是函数y ＝(a －1)x 2＋1与y ＝a x
的递减区间，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a >1 C ．0≤a ≤1 D ．0<a <1
8．若二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上为减函数，那么( )
A ．a ＝－2
B ．a ＝2
C ．a ≤－2
D ．a ≥2
9．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上具有单调性，且f (a )·f (b )<0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上
A ．至少有一个实根
B ．至多有一个实根
C ．没有实根
D ．有唯一的实根 10.设f (x )，g (x )都是单调函数，下列四个命题，正确的是( )
①若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增；
②若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增；
③若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；
④若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减
A ．①②
B ．①④
C ．②③
D ．②④
11．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1
在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0,1) D ．(0,1]
12.下列说法中正确的有( )
①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；
②函数y ＝x 2在R 上不是单调函数；
③函数y ＝－1x
在定义域内是增函数； ④y ＝1x
的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个
13．已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足()11
f x f <⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛的实数x 的取值范围是( )
A ．(－1,1)
B ．(0,1)
C ．(－1,0)∪(0,1)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
二、填空题
14．若f(x)是R 上的增函数，且f(x 1)＞f(x 2)，则x 1与x 2的大小关系是________．
15．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则f(a 2＋1)与f(a)的大小是________．
16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋1，(x ≥1)，5－x ，(x <1)，则f (x )的递减区间是________． 三、解答题
17．求函数f(x)＝x ＋2x ＋1
的单调区间，并证明f(x)在其单调区间上的单调性．
18．定义在(－1,1)上的减函数f(x)满足f(1－a)＜f(a)，求实数a 的取值范围．
19．函数f(x)＝x 2
－2ax －3在区间[1,2]上单调，求a 的取值范围．
答案：1-13题 BABD DCDC DCDBC
14. x 1＞x 2 15. f(a 2＋1)＜f(a) 16. (－∞，1)
18. 0＜a ＜12
. 19. a ∈(-∞，1]∪[2，+∞)．
备用：
20．判断函数f (x )＝x ＋1x －1
在(－∞，0)上的单调性，并用定义证明． 21．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)>f (1－x )，求x 的取值范围．
32
<x ≤2. 22．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f (x )<f (2x －3)，求x 的取值范围．
32
<x <3. 23．已知f (x )＝x 3＋x ，x ∈R ，判断f (x )的单调性并证明．。