2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学文(解析版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷（文）
一、选择题 1.［答案］D
［命题立意］考查复数的概念、复数的运算。

［解题思路］复数()10
333a a i a i i
-=-+=---是纯虚数，所以a=3. 2.［答案］A
［命题立意］考查集合的运算。

［解题思路］因为{}
1A x x =>-，所以{}
1R C A x x =≤-，故(){}2,1R C A B =-- . 3. ［答案］C
［命题立意］考查程序框图。

［解题思路］该程序框图运行3次，所以输出的1111124612
S =
++=. ［易错警示］运行次数经常出错，当循环次数不多时，可以逐次列举，避免运行次数错误. 4、［答案］B
［命题立意］考查充分条件、必要条件的判断。

［解题思路］因为()1
21002
x x x x -=⇔==或，所以“()210x x -=”是“x=0”的必要不充分条件. 5. ［答案］D
［命题立意］考查对立事件的概率。

［解题思路］甲、乙都没有被录用的概率为3
3351
10
C C =，所以甲或乙被录用的概率为
1911010
-
=. 6. ［答案］C
［命题立意］考查直线与圆的位置关系。

［解题思路］圆的标准方程为()()2
2
125x y -+-=，圆心（1,2）到直线
250x y +-=
的距离为1d ==，所以直线被圆截得的弦长为
4=.
［易错警示］复数的运算不能与向量运算混淆，这很容易出错. 7. ［答案］A
［命题立意］考查等差数列的通项公式、求和公式。

［解题思路］由834S a =得()11187
842,622
a d a d a d ⨯+
=++=-，整理得1650a d a +==，又72a =-，所以公差762d a a =-=-，所以9726a a d =+=-.
［易错警示］注意正确列式，准确运算，计算错误是这类题的常见错误. 8. ［答案］B
［命题立意］考查对函数图象的理解和应用。

［解题思路］
()
f x x
的几何意义是曲线上点()(),x f x 与原点连线的斜率，即过原点的直线与曲线的交点个数的可能值.结合图象可知，原点的直线与曲线的交点个数可能是2或3或4，所以n 的取值范围为{}2,3,4
［易错警示］不理解代数式的几何意义，不能对问题进行等价转化是常见错误.
9. ［答案］B
［命题立意］考查正弦定理、余弦定理的应用． ［解题思路］由3sin 5sin A B =得35b a =
.又2b c a +=，所以7
25
c a b a =-=.由余弦定理可得()2221
cos ,0,22
a b c C C ab π+-==-∈，所以23C π=.
10. ［答案］A
［命题立意］考查导数的应用、函数与方程以及数形结合的应用。

［解题思路］由题意可得方程()2
320f x x ax b '=++=的两个根是12,x x ，而()1f x x =有
两个根，()()211f x x x f x =>=有一个根，所以关于x 的方程()()2
320f x af x b ++=⎡⎤⎣⎦的不同的实根个数是3.
［举一反三］方程实根个数的判断经常转化为两个函数图象的交点个数，进而利用数形结合求解。

二、填空题： 11. ［答案］(]0,1
［命题立意］考查函数定义域．
［解题思路］要使函数有意义，则211+0
10x x ⎧>⎪⎨⎪-≥⎩
，解得01x <≤，所以原函数的定义域是
(]0,1.
［易错警示］分式不等式不能轻易去分母，一般是移项、通分，转化为整式不等式求解. 12. ［答案］4
［命题立意］考查线性规划。

［解题思路］画出约束条件对应的平面区域是第一象限的四边形区域，当目标函数
y x z =-+经过边界上点（4,0）时，z=x+y 取得最大值4.
［易错警示］注意变量x,y 非负，所以区域只能在第一象限或者坐标轴的非负半轴上，且目标函数的斜率与边界直线的斜率大小关系不能出错. 13．［答案］1
3
-
［命题立意］考查平面向量的运算。

［解题思路］设21a b +=
，则11,3
a b == ，所以
222442441cos ,193a b a b a b a b +=++⋅=++= ，解得1cos ,3
a b =- .
14. ［答案］()
12
x x +-
［命题立意］考查函数概念的理解和应用。

［解题思路］当10x -≤≤时，011x ≤+≤，所以
()()()()()111
1111222
x x f x f x x x +=
+=+-+=-⎡⎤⎣⎦. ［举一反三］求函数解析式的关键是将自变量的范围转化到已知解析式的区间上，再利用已
知的解析式求解. 15．［答案］①②③⑤
［命题立意］考查平面的基本性质。

［解题思路］当1
02
CQ <<时，S 与直线1DD 的交点在棱1DD 上，S 为四边形，①正确；当1=2CQ 时，S 与直线1DD 的交点在点1D 处，S 为等腰梯形，②正确；当3
=4
CQ 时，因
为
11
3
C Q QC =，所以113C R =，③正确；S 不可能是六边形，④错误；当CQ=1时，即Q 与1
C
重合时，取11A D 的中点M ，S 为平行四边形1APC M ，面积为2
S =，⑤正确.故正确的命题序号是①②③⑤. 二、解答题：
16. ［答案］（I ）22,3x x k k Z ππ⎧⎫
=-∈⎨⎬⎩⎭
；
（II ）略. ［命题立意］考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质与三角函数的图象变换等基础知识与基本技能，考查逻辑推理和运算求解能力。

［解题思路］
［举一反三］三角函数的性质的讨论需要先将三角函数解析式化为标准型，同时三角函数图象变换与函数图象变换是一致的。

17. ［答案］（I ）600，
5
6
.（II ）0.5. ［命题立意］考查随机抽样与茎叶图等统计学基本知识，考查用样本估计总体的思想以及数据分析处理能力。

［解题思路］
［举一反三］理解茎叶图的作用并且正确应用，是统计的基础知识，同时统计图表中的直方
图也有重要作用. 18. ［答案］（I ）略；（II ）
1
2
. ［命题立意］考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、三棱锥体积等基础知识和基本技能，考查空间观念、推理论证能力和运算求解能力. ［解题思路］
［举一反三］立体几何证明垂直和平行，有两种方法，一是利用空间向量以算代证，二是利用传统的证明方法。

而空间角的计算一般利用空间向量转化为两个向量的夹角求解. 19．［答案］（I ）1n a n =+.（II ）略.
［命题立意］考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和计算等基础知识和基本技能，考查逻辑推理能力和运算求解能力。

［解题思路］
［举一反三］函数与导数的综合题是常见题型，这类问题基本都是利用函数作为载体，关键还是数列问题。

20. ［答案］（I ）
2
1a
a +.（II ）.
［命题立意］考查二次不等式的求解，以及导数的计算和应用等基础知识和基本技能，考查分类讨论思想和综合应用数学知识解决问题的能力。

［解题思路］
［举一反三］导数是研究函数性质，如单调性、极值、最值等的重要工具，利用导数可以讨论的函数类型更加广泛，可以这样认为，除了几种基本初等函数的性质和图象可以直接应用之外，其余函数性质都是利用导数研究。

要掌握求解步骤.
21. ［答案］（I ）22
184
x y +=；(II )存在． ［命题立意］考查椭圆的标准方程与几何性质、直线和椭圆的位置关系等基础知识，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算求解能力。

［解题思路］
［易错警示］这类问题一般运算量较大，一般利用设而不求、韦达定理、弦长公式等简化运算，否则，直接死算，很容易出现计算错误.。