[原创]2012年《高考风向标》高考理科数学一轮复习 第四章 第5讲 定积分及其应用举例 [配套课件]

(sinx－acosx)dx＝2，则实数 a 等于( A ) B．1
π 2 0
A．－1
解析： ∫ ＝－1.
C．－ 3
π 2 0
D. 3
＝－a＋1＝2，a
(sinx-acosx)dx=(-cosx-asinx)
4．若 ∫−1 －1(2x＋1)dx＝2，则 a＝_____. 1
5．汽车以 v＝3t＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第 65 1 s 至第 2 s 间的 1 s 内经过的路程是_____m.
a
考点 1 定积分的计算 例 1：计算下列定积分 (1) ∫0
2π
|sinx|dx；(2) ∫0 |x2－1|dx；
2
(3) ∫−2
3
16 + 6x − x 2 dx.
解题思路：简单的定积分计算只需熟记公式即可． 解析：(1)∵(－cosx)′＝sinx， ∴ ∫0
2π
|sinx|dx＝ ∫0 |sinx|dx＋ ∫π
c b b
2．微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且 F′(x) ＝f(x)， ∫ a f(x)dx＝F(b)－F(a)， 则 这个结论叫做微积分基本定理，
b
又叫做牛顿—莱布尼兹公式，为了方便，常常把 F(b)－F(a)，记 b b b 作 F(x)|a，即__________________________. ∫ a f(x)dx＝F(x)|a＝F(b)－F(a)
b
b
图 4－5－2
【互动探究】 3．物体 A 以速度 v＝3t2＋1 在一直线上运动，在此直线上 与物体 A 出发的同时，物体 B 在物体 A 的正前方 5 m 处以 v＝ 10t 的速度与 A 同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体 A 的走过的路程是多少(时间单位为：s，速度单位为：m/s)? 解：设 A 追上 B 时，所用的时间为 t0 依题意有 sA＝sB＋5， 即 ∫0
2 2
1
4 1 S＝S1＋S2＝3t3－t2＋3(0≤t≤1)． ∵S′(t)＝4t
2
1 t－ ＝0 －2t＝4t 2
1 时，得 t＝0 或 t＝2.
1 当 t＝2时，S 最小， ∴最小值为
1 1 S2＝4.
在恒力作用下，物体沿力的方向移动 s，则恒力所作的功为 W＝fs，当 F(x)为变力的，物体在变力 F(x)作用下沿 x 轴作直线 运动，物体从 x＝a 移动到 x＝b，根据定积分概念知变力所作的
b b y＝g(x)的对称中心－3a，g－3a平移至坐标
原点，因而不妨设 g(x)＝ax3＋hx(x≠0)，类似①②的计算可得 27×16 4 27 4 S1 1 S1＝ 4 x1，S2＝ 4 x1≠0，故S ＝16. 2
【互动探究】 5．在区间[0,1]上给定曲线 y＝x2，试在此区间内确定点 t 的值，使图 4－5－4 中阴影部分的面积 S1 与 S2之和最小．
解析：S＝ ∫0 (x2＋2－3x)dx＋ ∫1
1 2
(3x－x2－2)dx＝1.
考点 3 物理方面的应用 例 3：汽车以每小时 54 公里的速度行驶，到某处需要减速 停车，设汽车以等减速度 3 米/秒刹车，问从开始刹车到停车， 汽车走了多少公里？ 解题思路：汽车刹车过程是一个减速运动过程，我们可以 利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应 先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式． 解析：由题意，v0＝54(千米/时)＝15(米/秒)， ∴v(t)＝v0－at＝15－3t，令∴v(t)＝0 得 15－3t＝0，t＝5， 即 5 秒时，汽车停车． 所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为
2π
π
2π
|sinx|dx
＝ ∫0 sinxdx－ ∫π
π
sinxdx＝－cosx|π＋cosx|2π 0 π
＝－(cosπ－cos0)＋(cos2π－cosπ)＝4.
x 2 − 1(1 < x ≤ 2) 2 (2)∵0≤x≤2，于是|x －1|＝ 1 − x 2 (0 ≤ x ≤ 1) ，
3．常见求定积分的公式
π 1.曲线 y＝sinx，y＝cosx 与直线 x＝0，x＝2所围成的平面区 区域的面积为( D )
2．等比数列{an}中，a3＝6，前三项和 S3＝ 比 q 的值为( C )
∫
3 0
4xdx，则公
A．1
B．－
1 2
C．1 或－
1 2
D．－1 或－
1 2
3．若 ∫
π 2 0
功 W＝ ∫a F(x)dx.
b
1．已知二次函数 f(x)＝3x2－3x，直线 l1：x＝2 和 l2：y＝3tx， 其中 t 为常数，且 0<t<1.直线 l2 与函数 f(x)的图像以及直线 l1、 l2 与函数 f(x)的图像围成的封闭图形如图 4－5－5 中阴影所示， 设这两个阴影区域的面积之和为 S(t)． (1)求函数 S(t)的解析式； (2)若函数 L(t)＝S(t)＋6t－2，判断 L(t)是否存在极值，若存 在，求出极值，若不存在，说明理由； (3)定义函数 h(x)＝S(x)，x∈R.若过点 A(1，m)(m≠4)可作曲 线 y＝h(x)(x∈R)的三条切线，求实数 m 的取值范围．
图 4－5－4 解：S1 面积等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y＝x2 与 x 轴、直线 x＝t 所围成的面积，即 2 S1＝t·t2－ ∫0 x2dx＝3t3.
t
S2 的面积等于曲线 y＝x2 与 x 轴、x＝t，x＝1 围成的面积减 去矩形面积，矩形边长分别为 t2、(1－t)， 23 2 1 即 S2＝ ∫t x dx－t (1－t)＝3t －t ＋3. 所以阴影部分的面积 S 为
s＝ ∫0 v(t)dt＝ ∫0
5 5
3 15t − t 2 v(15－3t)dt＝ 2
5
0
＝37.5(米)＝0.037 5(公里)．
答：汽车走了 0.037 5 公里．
若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函 数为 v＝v(t)(v(t)≥0)，由定积分的物理意义可知，作变速运动物 体在[a，b]时间内的路程 s 是曲边梯形(如图 4－5－2 的阴影部 分)的面积，即路程 s＝ ∫a v(t)dt；如果 v(t)≤0(a≤t≤b)时，则 路程 s＝－ ∫a v(t)dt.
解析：(1)①由 f(x)＝x3－x 得 f′(x)＝3x 当 当
2
－1＝3x－
3 3 ， 3 x＋ 3
x∈－∞，－ x∈－
3 3 和 ，＋∞时，f′(x)>0； 3 3
3 3 时，f′(x)<0， 3，3
3 3 ∪ ， 3 3 ，＋∞
y＝2x 2 y＝x x＝2 得 y＝4 x＝0 或 y＝0
1
y＝x .解方程组 2 y＝x
2
x＝1 得 y＝1
1
x＝0 或 y＝0
∴所求面积 S＝ ∫0 (2x－x)dx＋ ∫1
＋ ∫1
2
(2x－x )dx＝ ∫0 xdx
得 x3－x＝(3x2－1)x－2x3， 1 1
即(x－x1)2(x＋2x1)＝0， 解得 x＝x1 或 x＝－2x1， 故 x2＝－2x1， 进而有 S1＝
∫
−2 x1
x1
( x 3 − 3x12 x + 2 x13 ) dx ＝27x4， 1
4
用 x2 代替 x1，重复上述计算过程， 27 4 可得 x3＝－2x2 和 S2＝ 4 x2，又 x2＝－2x1≠0， 27×16 4 S1 1 所以 S2＝ 4 x1≠0，因此有S ＝16. 2
∴ ∫0 |x2－1|dx＝ ∫0 (1－x2)dx＋ ∫1
1 x − x3 ＝ 3
1
2
1
2
(x2－1)dx
1 3 x − x ＋ 3 0
2
1
1 1 1 1－ ＋ ×23－2－ －1＝2. ＝ 3 3 3
(3)设 y＝ 16＋6x－x2，即(x－3)2＋y2＝25(y≥0)． ∵ ∫−2 积， ∴ ∫−2
图 4－5－1
解析：作出 y＝sinx 在[0,2π]上的图像如图 4－5－1， y＝sinx 与 x 轴交于 0，π，2π，
所求面积 S＝ ∫0 sinxdx＋
π
∫
2π
π
sin x dx
2π ＝(－cosx)|π－(－cosx)|π ＝4. 0
利用定积分求平面图形的面积应严格按照作图、 求交点、确定被积函数和计算定积分的步骤进行． 【互动探究】 2．由曲线 y＝x2＋2 与 y＝3x，x＝0，x＝2 所围成的平面图 形的面积为__. 1
2
1 2 x 2 2 (2x－x )dx＝
1
1 + x 2 − x3 ) 7 3 0 1 ＝ .
2
6
图 4－5－3
例 5：(2010 年福建)(1)已知函数 f(x)＝x3－x，其图像记为曲 线 C. ①求函数 f(x)的单调区间； ②证明：若对于任意非零实数 x1，曲线 C 与其在点 P1(x1， f(x1))处的切线交于另一点 P2(x2，f(x2))，曲线 C 与其在点 P2(x2， f(x2))处的切线交于另一点 P3(x3，f(x3))，线段 P1P2、P2P3 与曲线 S1 C 所围成封闭图形的面积分别记为 S1、S2，则S 为定值； 2 请给 (2)对于一般的三次函数 g(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)， 出类似于(1)②的正确命题，并予以证明．
1 1 2 2 1 2
(x－1)dx
xdx－ ∫1
2
1dx
3 5 ＝2－0＋2－1＝2.