人教版初一数学下册数形结合小专题复习课
专题复习数形结合(含答案)
专题复习三数形结合I、专题精讲：数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离＂．几何图形的形象直观，便于理解，代数方法的一般性，解题过程的机械化，可操作性强，便于把握，因此数形结合思想是数学中重要的思想方法．所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路，使问题得以解决的思考方法．II、典型例题剖析例1.某公司推销一种产品，设X(件）是推销产品的数量，y （元）是推销费，图3—3—1巳表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，看图解答下列问题：(1)求Y1与Y2的函数解析式；(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的？(3)如果你是推销员，应如何选择付费方案？Y<兀）Y1 Y2-。
2。
」600500400300200100解：(1) y1=20x,y2=10x+300. 图3-3-1(2) Y1是不推销产品没有推销费，每推销10件产品得推销费200元，Y2是保底工资300元，每推销10件产品再提成100元．(3)若业务能力强，平均每月保证推销多于30件时，就选择Yi的付费方案；否则，选择Y2的付费方案．点拨：图象在上方的说明它的函数值较大，反之较小，当然，两图象相交时，说明在交点处的函数值是相等的．例2.某农场种植一种蔬菜，销售员平根据往年的销售t每于克销售价（元）情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测 5情况如图3—3—2,图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系，观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息？答题要求：(1)请提供四条信息；(2)不必求函数的解析．解：(1) 2月份每千克销售价是3.5元；7对月份每千克销售价是0.5元；(3) 1月到7月的销售价逐月下降；(4) 7月到12月的销售价逐月上升；4321o I 1 2 3 4 5 6 7 s 9 10 11 12月份图3-3-2(5) 2月与7月的销售差价是每千克3元；(6) 7月份销售价最低，1月份销售价最高；(7) 6月与8月、5月与9月、4月与10月、3月与11月，2月与12月的销售价分别相同．点拨：可以运用二次函数的性质：增减性、对称性．最大（小）值等，得出多个结论．例3.某报社为了解读者对本社一种报纸四个版面的喜欢情况，对读者作了一次问卷调查，要求读者选出自己最喜欢的一个版面，将所得数据整理后绘制成了如图3—3—3所示的条形统计图：个单位：人2000(1)请写出从条形统计图中获得的一条信息；(2)请根据条形统计图中的数据补全如图3—3—4所示的扇形统计图（要求：第二版与第三版相邻，并说明这两福统计图各有什么特点？图3-3-3(3)请你根据上述数据，对该报社提出一条合理的建议。
人教版七年级数学下册第五章《小结与复习》公开课课件
•1、使教育过程成为一种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/222021/10/222021/10/2210/22/2021 4:52:51 PM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/222021/10/222021/10/2210/22/2021
第五章 相交线与平行线 小结与复习
学
邻补角
邻补角互补
两条 直线
一般情况
对顶角
对顶角相等
相
相交
特殊
交
线
垂直
存在性和唯一性 垂线段最短 点到直线
的距离
两条直线被 第三条所截
同位角、内错角、同旁内角
平行线的判定
平行公理及其推论
平行线的性质
平 行 线
平移
命题 平移的特征
基础演练——相交线 思考：图中有几对对顶角？
例1、如图，已知AD⊥BC于D，EG⊥BC于 G，∠E=∠1，那么AD是∠BAC的角平分线吗？ 试说明理由。学.科.网zxxk.
E
11 A
3
23
B
GD C
方法点击——分析法
例2、如图1，已知AB∥CD，∠ABF= ∠EDC。 求证： ∠E= ∠F
E
DG
C
A
B H
F
• 如图，已知∠1+∠2=180°， ∠B=∠DEF．求证：DE//BC．
1.直线AB、CD、EF相交与于O A E D
人教版七年级下册数学第五章小结云复习(一)课件
位置关系，以及相交平行的综合应用。
教学难点: 垂直、平行的性质和判定的综合应用。 课时安排：2课时
知识结构
相交线
两条直 线相交
邻补角 对顶角
垂线及 其性质
对顶角 相等
点到直 线距离
系关置位的线直内面平
两条直线 被第三条 直线所截
平行线 平行公理
同位角 内错角 同旁内角
相等则两条直线 互相垂直
3、“同一平面内两条直线的位置关 系有相交、垂直、平行三种。”这 句话对吗？为什么？
a m
n O
相交
b 垂直
垂线及其性质
4、如图（2） 若∠ AOD= 90°，
直线AB、CD的位置关系是
若直线AB⊥CD ，则∠ AODF=
AB ⊥CD
90 ° E
练习：如图（3）
直线AB、CD 、 EF相交于点O,
条件
平移
性质
重点知识回顾
1、平面内两条直线的位置关系
是
。
m
a
O
n 相交 b
a b 平行
对顶角、邻补角
2、如下图（1） ，填空
对顶角：有
顶点，角的两边
邻补角:有 顶点，有一条 ，另一条 。
m
如图：∠ 1 与∠ 2是
n
1
3
O2
（1）
∠ 1 与∠ 3是 性质：对顶角相等，
邻补角互补
相交 若对顶角互补，邻补角
B
C （6 ）
O
(3) 点到直线的距离就是直线外一点到
这条直线的
的
练习：如图（ 6）四边形ABCD,AD ∥ BC， AB ∥ CD。过A作AE⊥BC，AF ⊥ CD垂足 分别是 E、F 量出点 A到BC 、CD 的距离
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图（1）
A M
NB 图（2）
解题小结：
（1）数学建模：将实际问题抽象成数学问题；
（2）数学思想：转化的数学思想；
（3）数学规律：几何问题中的最短问题，解决 的基础和基本思路是设法转化为以下两个情况之 一：①两点间的连线中，线段最短；②连接直线 外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 转化的手段，常常是利用图形变换，平移就是其 中之一.
[来源:]
课堂小结
问题5：通过对本章内容的复习， 你有哪些新的收获？
方程思想
数学建模
知识间的内在联系
知识应用
转化思想
数学规律
布置作业
复习题5中的第6、7、10题. （其他题可选做）
再见
❖ 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2020/12/162020/12/16Wednesday, December 16, 2020
❖
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2020/12/162020/12/162020/12/162020/12/16
感悟数形结合思想 发展数学核心素养——“解直角三角形中的数形结合”专题复习教学及反思
一、内容和内容解析1.内容“解直角三角形中的数形结合”专题复习课包括图1本节课为第1课时，以解直角三角形及其应用为载体，在综合运用相关知识解决问题的过程中，提炼运用数形结合思想方法解题的操作步骤、作用、注意要点等.2.内容解析（1）地位和作用.代数和几何是初中数学的主要研究对象.数形结合是通过数与形的相互转化达到认识和解决问题的一种思想和方法.通过“以形助数”和“以数解形”，准确把握数与形的关联点，可以使抽象的问题形象化、直观的问题精细化，从而快速获取解题思路，逻辑清晰地解决问题.运用数形结合思想解决问题的过程也是学生发展直观想象、数学运算、数学抽象、逻辑推理、数学建模等素养的过程.数形结合在数学学习和研究中占有重要地位，它不仅是一种重要思想，也是一种常用的解题策略与方法.本节课是运用数形结合思想解决相关问题的专题复习课，从具体的锐角三角函数问题的解决开始，总结提炼数形结合思想方法的作用、操作步骤和注意要点，并用于解决综合性问题.锐角三角函数是数形结合的产物，它的概念的产生和应用都与图形有着密切的联系，在历年中考试题中都占有一定的比重.因此，学好本节课的内容对中考备考有重要作用.（2）概念的解析.运用数形结合思想方法解决问题的操作步骤、注收稿日期：2021-01-16基金项目：河南省教育科学规划2020年度一般课题——基于“互联网+信息技术”的初中数学解题教学实践研究（2020YB0980）.作者简介：赵智勇（1963—），男，中学高级教师，主要从事中学数学教育教学研究.——“解直角三角形中的数形结合”专题复习教学及反思赵智勇摘要：文章以锐角三角函数知识内容为载体，着眼于数形结合思想方法的深层感悟，实现数与形的双向沟通.通过“解直角三角形中的数形结合”专题复习课的教学，引导学生概括数形结合解决问题的基本思路，体会其作用，归纳其注意要点；引导学生应用概括出的数形结合思想的基本思路解决问题，实现数形结合思想的巩固和迁移；引导学生融合不同的思想方法解决综合性问题，实现思想方法的融合.关键词：数形结合；锐角三角函数；专题复习；教学研究感悟数形结合思想发展数学核心素养··47意要点、作用如下.操作步骤：分析问题结构—构想数形关联—实施数形转换—获得问题答案.注意要点：考虑数形结合解决问题的必要性、可行性和简洁性；解决几何证明题需要几何直观分析、代数抽象分析对应进行；代数性质与几何图形的对应互换.作用：运用数形结合思想方法解决问题能够使抽象的问题形象化，使复杂的关系得到直观、具体的表示，对理解题意、挖掘题目中的各种信息、发现蕴含的条件和关系、获得解题的灵感和方法等都具有重要意义.（3）思想方法.数形结合的实质是把抽象的数量关系与直观的图形表示结合起来，或把几何中的定性结论转化为可计算的定量结果，或以直观图形辅助抽象的代数运算与推理.（4）知识类型.本专题内容属于程序性知识，还是策略性知识，由知识类型所决定.在教学中，教师要注重以问题为引导，以学生活动为主，在独立思考、合作交流中，师生共同提炼数形结合思想方法的操作步骤和核心要点，进一步体会数形结合思想方法的作用；在应用中注重引导学生用数形结合思想方法去分析问题和解决问题.（5）教学重点.基于以上分析，确定本节课的教学重点为：提炼数形结合思想解题的一般步骤和注意要点.二、目标和目标解析1.目标（1）通过解直角三角形及其应用问题，了解数形结合思想的内涵和作用.（2）经历问题解决过程，能抽象概括出用数形结合思想解决问题的操作步骤、注意要点和作用.（3）能正确进行数形互化，运用数形结合思想解决有一定综合性的问题，形成解题策略.2.目标解析达成目标（1）的标志：知道数形结合研究数的精确与形的直观之间的转化，可使解题思路变得简单明了，从而化繁为简、化难为易.达成目标（2）的标志：明确运用数形结合解决问题一般需要经历“分析、构想、建立、求解”四个步骤.数与形的对应转换是运用数形结合解决问题的关键，明确以形助数、以数解形的具体操作步骤.知道在运用数形结合解决问题时，要考虑可行性等，不能用形的显然替代推理论证，既需要进行几何直观分析，又需要通过符号抽象、运算和推理进行量化研究.达成目标（3）的标志：在解决相关问题的过程中，能有意识借助形的几何直观性来阐述数之间的普遍关系和一般规律，借助数的精确性阐述形的某些属性和一般规律；能运用数形结合思想方法解决一些有一定难度的中考试题.三、教学问题诊断分析1.已具备的认知基础学生已经学习了直角三角形的两锐角互余、勾股定理、锐角三角函数等知识，并能运用直角三角形的性质解直角三角形；经历了数轴、坐标系、函数等概念的学习，对数形结合有一定的认识，对数与形的对应和转换有一定的模仿经验，具有一定的解决问题的能力，这为本节课的学习奠定了基础.2.与本课目标的差距分析（知识、能力）初中生运用数形结合解决问题，需要具备以下能力：敏锐的观察能力；准确的语言表达能力；灵活的思维能力；较强的综合应用能力.运用数形结合思想解决有一定难度的综合问题时，需要进一步培养学生敏锐的观察能力和灵活的思维能力.3.可能存在的问题运用数形结合思想解决综合性较强的题目时，纵横联系的知识点多，这对学生的数形结合能力提出了较高的要求.对于某些问题，学生有可能误用形的直观替代严谨的推理论证，也可能抓不住数的特征构建适当的形.4.应对策略本节课需要通过具体实例多次展现数形结合的具体操作步骤，使学生获取更多活动经验，提升学生对数形结合思想的认识和理解.首先，创设问题情境，引导学生利用数形结合思想解决问题；其次，引导学··48生对上述问题分解并进行反思总结，组织学生进行思想方法的交流和一般性思考；最后，通过对例题进行有针对性地指导，使学生经历数形结合解决问题的过程，既进行几何直观分析，又对应进行代数抽象探究，提升学生的认知加工水平和解题能力.基于以上分析，确定本节课的教学难点为：进行数与形的等价转化，并运用数形结合思想解决有一定难度的综合问题.四、教学支持条件分析利用希沃白板制作课件、互动授课；借助希沃授课助手拍照上传、进行投屏等，灵活展示和点评学生的学习成果，呈现课堂细节；结合GeoGebra 软件辅助构图操作，提升课堂效率.五、教学过程设计1.课前检测——针对强化，提升实效检测题1：△ABC 在正方形网格中的位置如图2所示，则sin α的值为（）.（A ）34（B ）43（C ）35（D ）45A BCαACB图3图2补测题：△ABC 在正方形网格中的位置如图3所示，则sin B 的值为.检测题2：如图4，已知在Rt△ABC 中，∠C =90°，tan ∠DBC =13，AD =3，AB =5，则cos A 的值为.A C D B图4DA BC图5补测题：如图5，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，延长CA 至点D ，使AD =AB ，则tan D 的值为.【设计意图】通过课前检测题，了解学生对本节课的相关基础知识的掌握情况，可以根据检测的结果决定是否需要补测题，为后续提炼数形结合步骤和要点及进一步利用数形结合解决问题做好铺垫.2.解决问题——经历过程，感悟应用问题1：如图6，已知在△ABC中，AB =BC =5，tan∠ABC =43．（1）求AC 的长；（2）设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为点D ，求AD AB的值.师生活动：教师引导学生审清题意，从数与形两个方面的关联分析问题.第（1）小题中，作高构建数所对应的形，根据形所对应的数量关系确定求AC 的长的方法（设未知数，将求AC 的长转化为解方程问题求解）.第（2）小题中，从图形特征关联图形对应的数量关系，确定求比值的方法.在引导学生审题和分析问题的过程中，教师结合学生的回答给出如表1所示的数形关联表，然后通过追问使学生理解“图形的形状确定，则图形中对应的数量关系也随之确定”.因此，求图形中两条线段的比值时，不必关注具体的数量，而把目光聚焦到图形中元素间的数量关系上，则求解过程更为简捷．表1追问1：你是如何使用“tan∠ABC =43”这个条件的？AB C图6··49追问2：条件“边BC的垂直平分线与边AB的交点为点D”对应的图形和数量关系表达式是什么？追问3：若将“AB=BC=5”改为“AB=BC”，你还能求出ADAB的值吗？为什么？【设计意图】通过解决第（1）小题，使学生经历以数解形的思考与解决问题的过程，将图形信息转换为具体的数量关系，借助图形的直观性，增加问题解决的准确性，使问题求解更加简明.通过解决第（2）小题，使学生经历以形助数的思考与解决问题的过程，让学生感悟借助图形的几何直观来解决数的问题，常常可以避免复杂的推理计算，使问题化难为易，使抽象的问题具体化.解决问题后，借助数形关联表，通过问题串促进学生对解决问题的过程进行反思总结，提炼运用数形结合解决问题的一般步骤、注意要点和作用，提升学生的思维能力.3.交流提炼——合作交流，提炼方法问题2：结合课前检测和问题1，你能总结一下利用数形结合思想解决问题的一般步骤和作用吗？师生活动：引导学生回顾课前检测题2的问题解决过程，师生共同建立如表2所示的数形关联表.表2结合问题1的解决过程和如表1、表2所示的数形关联表，师生共同归纳上述问题的解题思路和方法，总结提炼数形结合的一般操作步骤、作用和转化策略.作用：实现数与形的相互转化，使抽象思维与形象思维相结合，从而化繁为简、化难为易.一般操作步骤如下.（1）分析问题结构——审题，得到数的关系和形的特征.（2）构想数形关联——从数的角度想象和表示图形特征，从形的角度想象和描述数量关系，找到数与形的关联点，如几何度量（如距离、角度等）或坐标.（3）实施数形转换——构建数所对应的形，对形所对应的数量或数量关系进行符号抽象、运算和推理.（4）获得问题答案——有逻辑地表达解题过程.转化策略：关注具有显著特征的对象，基于基本的几何度量（距离和角度）找出数量关系与几何图形的关联点.【设计意图】概括数学思想方法，需要把数形结合思想的操作过程模型化、程序化、一般化.组织学生相互讨论交流，进一步挖掘数形结合思想的本质内涵，使学生对数形结合思想的认识从内隐转化为外显，实现运用数形结合思想解决问题操作策略的明朗化. 4.迁移应用——知识迁移，能力拓展问题3：如图7，我国两艘海监船A，B在南海海域巡航.某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时，B船在A船的正南方向5海里处，A船测得渔船C在其南偏东45°方向，B船测得渔船C在其南偏东53°方向．已知A船的航速为30海里/时，B船的航速为25海里/时，问C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43，2≈1.41.）图7AB45°53°C师生活动：学生按以下步骤进行独立探索，并在学案上构建数形关联表，解决问题3.第一步：分析问题结构.过点C作AB所在直线的垂线，垂足为点D，由已知AD=DC，∠CBD=53°，··50AB=5.根据两艘船的速度，求等待时间，就要求AC 和BC的长.已知两角和一边，求另外两条边的长，这其实就是解直角三角形问题.第二步：构想数形关联.当已知角和边的条件时，利用锐角三角函数解决问题，通常要构建直角三角形.第三步：实施数形转换.设未知数，根据图形结构列出方程.第四步：获得问题答案.检验解的意义，得到实际问题的答案.教师在学生的分析、思考过程中，关注学生对数形结合解决问题一般步骤的操作表现，并利用希沃授课助手（手机APP结合电脑端）对学生完成的较规范的数形关联表和解题过程进行拍照上传、展示点评.结合学生的思考，师生共同构建如表3所示的数形关联表，解决问题3.表3【设计意图】通过对问题3的解决，进一步明确运用数形结合解决问题的思考步骤和注意要点，感知数与形之间的关联性，挖掘数与形之间的联系，促使学生自觉运用数形结合思想，提升分析问题和解决问题的能力.问题4：如图8，在△ABC中，AB=AC，AD是边BC上的高，E是AB的中点，F是边AC上一个动点，EF与AD相交于点G，AC=10，cos∠DAC=45.当△AGF为等腰三角形时，求EG的长．师生活动：首先，引导学生关注问题中的特殊元素，如两个中点E，D，连接ED构造△AGF∽△DGE；其次，解题需要关注主要构图对象，借助GeoGebra软件中的“复选框”功能简化图形，最终将问题转化为“在△DEG中，DE=5，cos∠EDG=45，当△DEG为等腰三角形时，求EG的长”.再运用GeoGebra软件中的“滑动条”控制动点F在边AC上移动，通过分类讨论，师生共同构建如表4所示的数形关联表，利用数形结合解决问题.代数关系式由BD=DC，BE=EA，得△AGF∽△DGE.由△AGF为等腰三角形，得△DGE为等腰三角形.得DE=5，cos∠EDG=45情况1：DE=EG；情况2：DE=DG；情况3：EG=DG对应的几何图形EDG（舍去）情况1EGDEGD（方法1）（方法2）情况2EGDEGD（方法1）（方法2）情况3AEFGDB CEGD5表4AEFGDB C图8··51追问1：此题还有其他解法吗？追问2：“EG=ED”这种情况不存在，我们还可以怎样说明？追问3：当EG=DG时，E G的长有限制吗？【设计意图】通过对问题4的解决，以数形结合、分类讨论思想为基础，引导学生在分析问题、规划思路时，将目光聚焦在特殊的视角和特殊的对象（等腰、中点、平行线）上，根据已有的数学活动经验合理寻求解决问题的突破口，体会利用数形结合进行推理得到的结论具有一般性，掌握目标导向的认知策略，使学生进一步感知数与形之间的关联性，挖掘数与形之间的必然联系，提升分析问题和解决问题的能力.追问4：结合以上问题，你能总结一下利用数形结合解决问题的注意要点和转化策略吗？注意要点如下.（1）代数性质与几何图形要对应互换.（2）考虑数形结合解决问题的必要性、可行性和简洁性.（3）不能用图形的直观代替严密的逻辑推理，既需要几何直观分析，又需要进行对应的代数抽象分析.5.反思总结——回顾思考，深化思维（1）数形结合的作用是什么？（2）运用数形结合解决问题可以分为哪些步骤？（3）运用数形结合解决问题的过程中最关键是哪一步？需要注意什么？（4）你还有哪些收获？师生共同总结出如图9所示的框图.数形结合作用实现数与形的相互转化，使抽象思维与形象思维相结合化繁为简，化难为易1.分析问题结构2.构想数形关联3.实施数形转换4.获得问题答案转化策略：找出数量关系与几何图形的关联点操作步骤注意要点1.考虑数形结合解决问题的必要性、可行性和简洁性2.几何证明题需几何直观分析、代数抽象分析对应进行3.代数性质与几何图形的对应互换图9【设计意图】回顾本节课的学习历程，并再次总结数形结合思想的解题思路、操作步骤、要点和作用，深化学生对数形结合思想的理解，强化目标导向的认知策略.六、目标检测——自我检测，巩固反馈1.新冠肺炎疫情期间，教育部号召各地各类学生居家学习.为支持小明学习，妈妈特意买了新台灯.图10（1）是放置在水平桌面上的台灯，图10（2）是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，AC 可以绕点A上下调节一定的角度，CD可以绕点C上下调节一定的角度.使用时发现：当灯臂与底座构成的夹角∠CAB=53°，∠ACD=157°时，台灯光线最佳.求光线最佳时点D到桌面的距离为多少？（结果保留一位小数.参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35.）A BCD（2）（1）图102.如图11，在Rt△ABC中，∠C=90°，sin B=45，AC=4.D是BC的延长线上的一个动点，∠EDA=∠B，AE∥BC．当△ADE为等腰三角形时，求AE的长.AB C DE图11【设计意图】巩固利用数形结合思想解决问题的过程与方法，对应知应会的核心知识进行检测，为下节课的解题课奠定基础.通过解决问题，进一步体现数形结合思想应用的广泛性和有效性，提高学生对数学思想的感悟层次，提升学生分析问题和解决问题的能力，感受数形结合的育人价值.··52七、教学反思教学设计是静态的，而课堂生成是动态的.通过对数形结合的设计和实施教学，笔者认为，在教学中，教师引导学生感悟数形结合思想方法，发展数学学科核心素养应注意以下几点.1.进行单元整体教学从整体上把握教学内容，整体构思单元各课时的教学内容，注重知识的前后联系，以及对后续学习的重要作用，体现数学知识的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性和方法的一般性.在相互联系中引导学生感悟其中蕴涵的数学思想方法，发展学生的数学素养，有利于深化学生对数形结合思想的理解，培养理性精神和探究精神，提升中考数学备考能力.2.发挥一般观念的引领作用本节课的教学设计和实施是在一般观念的指导下，以数学知识的内在逻辑构建自然而然的研究过程.以解直角三角形内容为载体，根据题目条件和数学知识的内在逻辑关系设计系列问题串，自然引出数形关联表，利用问题串和数形关联表引导学生概括总结问题的解决思路和方法，提炼数形结合的作用、一般操作步骤、转化策略，形成基本套路，提升教学的整体性和思想性，帮助学生体会数形结合思想方法，使学生透过现象看本质，从复杂问题中抓住关键要素，从而化繁为简，形成数学的思维方式，提升发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力. 3.遵循数学思想方法教学的原理数学思想方法的学习要经历“解决问题—概括提炼—迁移应用—联系发展”这四个阶段.本节课以此为依据进行教学设计.首先，通过具体问题的解决，体会数形结合思想；其次，将如何分析问题结构、构想数形关联、实施数形转换这一操作过程显性化，明确其作用、操作步骤和要点，提炼和概括数形结合思想；最后，让学生用概括出来的数形结合思想解决新的问题，感悟利用数形结合解决问题的关键是从数的角度观察图形特征，从形的角度实现数量代换，找到数与形的关联点，使学生内化数形结合思想，形成数学活动的经验.例如，在回顾检测题2和问题1时，给表格加个题目“数形关联表”，在对照表格进行引导时用“数量关系关联的几何图形”和“几何图形关联的数量关系”等语言，可以促进学生使用“关联”进行概括.4.精选样例引导学生感悟数形结合思想方法，重要的是精选适当的题目，利用题目归纳操作流程.巩固操作流程可以利用相关的变式题目和拓展题目进行迁移训练，使学生在合作探究中内化数形结合的操作流程，在反思总结中形成有结构的知识经验.5.坚持以学为中心在以学生活动为主、以感悟数形结合思想为目标的复习教学中，教师需要注意鼓励学生积极思考、提出有价值的问题，关注学生是否能够用数学的思维方式观察、分析、解决问题，使学生感受数与形之间的相互转化，使抽象思维与形象思维相结合；合理运用信息技术手段，有利于增强学生的学习兴趣，提高课堂学习效果.教学时，若教师不揭示方法的本质，学生只会看到简单的数学操作，看不到问题的本质.数学思想是对数学知识的更高层次的概括与提炼，是培养学生的数学能力、发展数学学科核心素养的重要环节.数学思想方法的教学对解题教学具有十分重要的指导作用，有助于提升学生的解题能力和应用能力，发展学生的理性思维和科学精神，有效发挥数学学科的育人价值.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］章建跃.章建跃数学教育随想录［M］.杭州：浙江教育出版社，2017.［3］吴增生.科学用脑高效复习：初中数学总复习教学设计［M］.杭州：浙江科技出版社，2018.［4］吴增生.整体建构核心素养导向下的总复习教学策略体系［J］.中国数学教育（初中版），2019（7/8）：3-11，37.［5］王华鹏.“四个理解”指导下的教学设计新思路：以“位似”教学设计为例［J］.中国数学教育（初中版），2019（9）：3-8，13.··53。
人教版数学七年级：数形结合思想专题复习课件(共17张PPT)
2001-2003年高考试题中对数形结合的考查统计表
年份
2001 15
2002 15
2003 14
题数
权重
60%
62%
63%
1、集合M={(x,y)|x=3cosθ,y=3sinθ,0 θ π },
N={ (x,y)| y= x + b},若M∩N=φ 则b满
足
。
分析：点集M表示的图形是半圆，点 集N表示为直线，它随b值变化位置不 断变化。本题即转化为b取何值时两图 形没有公共点,由图形变化可得结论。 y 故有： b>b 2 或 b<b 1 b2
a2 c2 b a2 b2 c
b2 c2 a
C tg =
tg =
B
tg tg tg =
a b a c b c
2 2
2
2
b c a
2
2
=
(b c )( a c )( a b ) 2 abc
2 2 2 2 2 2
2bc 2ac 2ab abc 2
y=x+b
b3 即b>3
2
或b<-3
L2
L3
o
L1
x
问题：b取何值时M∩N分别 有两个子集；四个子集。
b1
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 随a值变化而变化 2 x 分析：构造两个函数y= a 与y= - x +2x+a 由两个函数交点个数求得方程解的个数
2、关于 x 的方程 a = - x +2x+a， （a>0且a 1)解的个数是（ C）
3．设函数 f ( x ) x 1 ax ， 其中 a >0．解不等式f (x)≤1
人教版七年级数学下册第八章《小结与复习》优秀课件
解 方
代入消元
程
加减消元
组
检验 数 学 问 题 的 解 （ 二 或三元一次方程组 的解）
1、使教育过程成为一种艺术的事业。 2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/222021/10/222021/10/2210/22/2021 5:21:49 PM 3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/222021/10/222021/10/2210/22/2021 7、风声雨声读书声，声声入耳；家事国事天下事，事事关心。2021/10/222021/10/22October 22, 2021 8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/222021/10/222021/10/222021/10/22
课堂小结
在本章中，我们都具体学习了哪些知识？ 现在你能否利用章节结构图系统的把这些知 识进行一个简要的说明？[来源:学科网ZXXK]
课堂小结
实际问题
设未知数·列方程组
数学问题（二或三元一次方程组）源自实际问题 的答案解 方
代入消元
程
加减消元
组
检验 数 学 问 题 的 解 （ 二 或三元一次方程组 的解）
布置作业
教科书 复习题8 第3、6题
典型例题—解方程组
例1 解下列方程组：
（1）
1 3
x
y
1,
5 x 4 y 4;
（2）56xy
下学期 数形结合思想专题复习 人教版
3、构建解析几何中的曲线(或向量)模型及斜 率、截距、距离等模型研究最值或参数的取值 范围。
练习一
数形结合在解题中的应用四
4、构建立体几何中的模型研究代数问题。
练习一
1.sinx=sin2x在区间（0，2π）内解的个数是（ C ） 2 x bx c, x 0, 若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关 2. f ( x) x 0. 2, 于f(x)=x的解的个数是（ C ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知方程 9 x 2 =x+b有解，则b的取值范围是( C ) A.|b|<3 B.|b| 3 2 C. 3 b 3 2 3 b 3 2 D.
数形结合的思想
数形结合思想，就是将抽象的数学语言 与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象 思维结合。 通过对图形的认识、数形转化，以提高思 维的灵活性、形象性、直观性使问题化难为 以形助数 以 易，化抽象为具体。它包含“以形助数”和 数辅形 “以数辅形”两个方面。 纵观历届高考题，数形结合主要体现在 “以形助数”方面。这种数学思想在高考经 常考察。
y
y=x
-1
O
y 1 ( x 0) x
x y 1( x 0) 2
x
1 由 x( x 0) 解得 x x=-1
观察图象可知：a<-1
应用一
第一课时
数形结合的思想
数形结合是中学数学中四种重要的数学思 想方法之一。 数形结合是根据数学问题的条件和结论之 间的内在联系分析其代数含义，又揭示其几何 直观，使数量关系与空间形式和谐地结合起来。
分析：设g(x)=(x-a)(x-b)与x轴的两个交点A(a,0)、 B(b,0)，则 f(x)= g(x)-2，所以将g(x)的图象向下平移2 个单位即得f(x)的图象。
人教版(RJ)初中七年级数学下册第八章 小结与复习课件
由①可得y=3x-7 ， ③
将③代入②得 5x+2(3x-7)=8，
解得x=2,把x=2代入③得 y=-1.
由此可得二元一次方程组的解是
x=2， y=-1.
精品教学课件
7
【例4】用加减消元法解方程组
3(x-1)=4(y-4)， 5(y-1)=3(x+5).
解：化简整理得
3x-3=4y-16， ① 3x+15=5y-5 ， ②
中提到的等量关系的语句， 2.根据等量关系列得方程,
主要步骤是“找”“设”“列”“解”“答”，一步 都不能少.
精品教学课件
14
【迁移应用5】 某校七年级安排宿舍，若每间宿舍住6人，则有4人住 不下，若每间住7人，则有1间只住3人，且空余11间宿 舍，求该年级寄宿学生有多少人？宿舍有多少间？
解：设该年级寄宿学生有x人，宿舍有y间.根据题意可
第八章
七年级数学下（RJ） 教学课件
二元一次方程组
小结与复习
知识网络
专题复习
课堂小结
精品教学课件
课后训练
1
知识网络
数学问题
实际问题
设未知数，列方程组
（二元或三元 一次方程组）
实际问题 的答案
检验
解 方 程
代入法 加减法
组（消元）
数学问题的解 （二元或三元一次
方程组的解）
精品教学课件
2
专题复习
专题一 二元一次方程与二元一次方程组
A.xy+8=0
1
B. x
1 y
23
C.x2-2x-4=0
D.2x+3y=7
2.已知x=2，y=1是方程kx-y＝3的解，则k＝ 2 .
〖人教版〗七年级数学下专题复习
百里灵明创编 2021.04.01〖人教版〗七年级数学（下）专题复习 创作人：百里灵明 创作日期：2021.04.01 审核人： 北堂正中创作单位： 北京市智语学校（一）数形结合的思想 1如图，a ，b ，c 三种物体的质量的大小关系是．2.一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示，则下列符合条件的不等式组为（ ）A ．B ．C ．D ． 3.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）A 、30°B 、25°C 、20°D 、15° 4.如图，有a 、b 、c 三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线( ) ．A. a 户最长B. b 户最长C.c 户最长D.三户一样长5..实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简 2()a b b a ++-=.6.已知点A(3，4)，B(3，1)，C(4，1)，则AB 与AC 的大小关系是( )A ．AB>ACB ．AB=AC ； C ．AB<ACD ．无法判断7．已知点A(2，2)，B(2，4)，O(0，0)，C(2，0)，那么∠BOA 与∠COA 的大小关系是( )A ．∠BOA>∠COAB ．∠BOA=∠COA ；C ．∠BOA<∠COAD ．以上三种情况都有可能 8、如图3，若△ABC 中任意一点P （x 0，y 0）经平移后对应点为P 1（x 0+5，y 0－3）那么将△ABC 作同榉的平移得到△A 1B 1C 1，则点A 的对应点A 1的坐标是（ ）A.（4，1）B.（9，一4）C.（一6，7）D.（一1，2）9..如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A 点，则A 点表示的数是 _________ ．电表电表电表c b a c b a百里灵明创编 2021.04.01图2G F ED C B A 若点B 表示﹣3.14，则点B 在点A 的 _________ 边（填“左”或“右”）．10．如图1是长方形纸带，∠DEF=20º，将纸带沿EF 折叠成图2，再沿BF 折叠成图3， 则图3中的∠CFE 的度数是_________.11..坐标平面内有4个点A(0,2),B(-1,0),C(1,-1),D(3,1). (1)建立坐标系,描出这4个点; (2)顺次连接A,B,C,D,组成四边形ABCD,求四边形ABCD 的面积(二)转化的思想 1.若关于x 、y 的二元一次方程组2x y x +=3k-1+2y=-2{的解满足x ＋y ＞1，则k 的取值范围是.2、已知等式(2A －7B)x+(3A －8B )=8x+10，对一切实数x 都成立，求A 、B 的值。
人教版级下学期数学总复习课件共张(1)
人教版级下学期数学总复习课件共张(1)人教版七年级下学期数学总复习课件共56张，覆盖了七年级下学期全部数学内容，是同学们考前进行全面复习必不可少的宝贵资源。
下面结合这56张课件，为大家介绍数学总复习的注意事项以及学习方法。
一、知识点总结数学总复习的重点是对七年级下学期数学知识点进行总结和梳理。
因此，我们需要掌握以下几个知识点：1. 几何图形名称及特点：学生需要熟悉平行四边形、梯形、等腰三角形等基本几何图形的名称和特点，并能通过几何图形的性质求出其周长和面积。
2. 数与式：学生需要熟悉有理数、无理数、整数、分数等数的概念和性质，并能灵活地运用加、减、乘、除的运算法则进行计算。
此外，学生还需要掌握解简单方程、计算含含有一个未知数的代数式的值等内容。
3. 概率：学生需要熟悉事件的概念、事件的基本运算、频率的概念等内容，并能通过计算概率来解决实际问题。
4. 数据处理：学生需要掌握统计量的概念、计算方法及其意义；能够根据数据的分布情况进行数据的比较和分析；能够根据数据的趋势进行预测和推断。
二、学习方法1. 跟随课件学习数学总复习的过程需要学生深入理解每一个知识点，建议同学们按照课件所列出的知识点进行逐一学习。
在学习过程中，可以结合自己的学习情况和学习节奏，分配适当的学习时间，确保能够充分掌握每一个知识点。
2. 练习题目在掌握每一个知识点后，同学们需要通过练习题目来巩固所学内容。
我们可以根据课件的提示，练习相关的习题，也可以根据自己的水平选择难易程度适中的习题。
同时，我们也可以根据课件中对每个知识点的重点提示，筛选出最能考核同学们掌握程度的题目进行练习。
3. 交流讨论在进行学习和练习过程中，同学们也可以选择和其他同学进行交流和讨论，通过比较差异和寻找问题，不断提高自己的学习水平和复习效果。
三、注意事项数学总复习需要注意以下几点：1. 稳扎稳打数学造诣很少是一日之功，因此需要同学们在复习时制定合理的计划，坚持稳定的复习进展，不要急于求成，以免产生焦虑和紧张情绪，影响复习效果。
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2.点A、B、C的坐标分别为（1，1），（4，1），
（4，3），点D与A、B、C四个点围成长方形，则
点D的坐标为（ A ）
A.（1，3）
B.（0，3）
C.（3，1）
D.（1，-3）或（1，3）
点拨：求坐标建议画出简易坐标 系来分析，这样更加直观.
华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，焉能分作两边 飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好， 隔裂分家万事休。”这充分说明了数形结合在数学学习中的重 要性，是中考数学的一个重要数学思想。
【在坐标中的应用】
1. A、B两点都在x轴上，AB=5，A点的坐标为（2，0），
则点B的坐标为( D )
（1）在图中画出平移后的△A1B1C1； （2）直接写出△A1B1C1各顶点的坐标．
y
（3）求△ABC的面积
C
A
B
O
x
y
FC
E
A
B
D
O
C1
x
A1
B1
解 (1) 如图所示
(2) A1(4，－2)，B1(1，－4)，C1(2，－1) (3) S△ABC=S正方形BDEF-S△ABD-S△ACE-S△BCF
a
Ob
a (a>0)
点拨： a 2 =∣a∣=
0 (a=0) -a (a<0)
解：由数轴可得a<0，a+b<0
a b a2 ab a (a b ) ( a ) a b+a b
【在面积中的应用】
1.如图，已知点A、B、C的坐标分别为（2,3），（2， -2），（-2,1），求△ABC的面积.
数形结合思想小专题复习
广州市第四十七中学汇景实验学校 罗海城
一、知识梳理
数形结合是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思 索，使抽象思维和形象思维相结合，通过“以形助数”或“以数 解形”可使复杂问题简单化，抽象的数学问题直观化、生动化 ，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质 。另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解 ，且解法简捷，从而起到优化计算的目的。
BDBF1 ADBD1 AECE1BFCF
2
2
2
33132112131
2
2
2
9311.5
3.5
点拨：求三角形的面积分为 2种情况，如果三角 形有一条边平行于坐 标轴或与坐标轴重合， 那么可直接求；否则 采用添补法求.
【在概率统计中的应用】
育才中学现有学生3600人，学校为了进一步丰富学生课余生活，拟调整兴趣活动 小组，为此进行一次抽样调查.根据采集到的数据绘制的统计图（不完整）如下：
y
解：过点C作CD ┴ AB于点D
S△ABC 1 A B C D
2 1 5 4
2 10
A C
D
x B
【在面积中的应用】
已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．将 △ABC向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长 度 长得度到) ．△A1B1C1．(图中每个小方格边长均为1个单位
请你根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）如图甲中“音乐”部分所对应的圆心角的度数是__1__0_8__度.
（2）在如图乙中，将“体育”部分的图形补充完整.
（3）爱好“书画”的人数占被调查人数的百分数是____1_0_％___.
（4）估计育才中学现有的学生中，有多少人爱好“书画”？
解：3600×10％=360（人）
答：育才中学现有的
学生中，有360人爱
好“书画”.
电脑 书画
人数（人）
28 28
24
24
20
20
16
点拨：补充条形图 音乐 体育 或者直方图时必须 30%
在所画的长方形上
12
8
8
4
电脑 体育 音乐 书画 兴趣小组
方标上数字.
图甲
图乙
【课堂总结】
1.数形结合思想就是通过数量与图形之间相 互转化来解决数学问题的思想。
【在不等式中的应用】
xm
若关于 x 的不等式组 x 5
值范围是（ C ）
A.
B.
C.
有3个整数解，则mபைடு நூலகம்取 D.
xm
变式：1.若关于 x 的不等式组 x 5 有解，则m的取
值范围是___m__<_5_____
xm
2.若关于 x 的不等式组
是____m___ __5____
x 5 无解，则m的取值范围
点拨：注意端点是否能取“等号”
【在实数中的应用】
已知A、B两点在数轴上表示的数分别为1、5 ，B为
AC的中点，则C点表示的数是（ B ）
A.2 5 1 B. 2 5 1 C. 5 1 D. 5 1
【在实数中的应用】
实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式
a b a2
2.数与形是相互联系的
3.数轴、平面直角坐标系和统计图的建立， 为数与形的沟通提供了工具，使抽象的数 量关系有了形象直观的几何意义，而直观 图象的性质也常可用数量关系加以精确地 描述。
4.同学们要勤于画图，善于画图，乐于画图 ，在画图中找到学习数学的乐趣与自信心 。