小学数学教学中常见的概念性问题例析

事物 本 质属 性 的概 念 ， 也是 在 不断 发 展和 变
“ 位 和 位 数 是 既 有 联 系 又 有 区 别 的 数 置上 ， 些 数 字 就 组 成 一个 数 。 位 是 指 各 这 数
所 含 有 数 位 的 个 数 。 是 解 答 这 类 题 必 须 这
并 把 它 倒 过 来 理 解 ， 样 就 把 整 数 这一 概 两 个 概 念 。 数 字 按 要 求 排 列 在 一 定 的 位 这 把
角所 指 的 是 由一 条 射 线 旋 转 后 所 构 成 的 整 数 ， Ｏ 叫做 三 位 数 ， ０ ０ 最小 的四 位 数 ， １０ １０ 是 个 图形 ， 而并 非 只 指 其 “ 面 的 ” 部 分 。 里 一 平 行 四 边 形 ” 。 小 学 课 本 对 平 行 四 边 形 是 这 样 定 义 的 ： 在 同一 平 面 内 有 两 组对 边分 别平 行 的 “ １ １ 不 是 最小 的 四位 数 ， ９ 是 最 大 的 三位 １１ ９９ 例６ “．是０３ ： ０ ６ ． 的倍 数 ” 。 在教 学中 ， 常碰 到把“ ” “ 数 ” 经 倍 与 倍 例 ３ “ 边 平行 相 等 的平 面 四边 形 是 数 ， ０ ：对 ９ ０虽是 三 位 数 ， 不 是 最 大 的 。 但 的 发 展过 程 ， 会 带 来 学 生 理 解 上 的 偏差 。 也 例７ “ ” 小时” 可以通用。 ： 时 与“ 不
例２： 一 条射 线 绕 它的 端 点旋 转 所 组 成 “ 的 里 面 图 形 就 是 角 ” 。
容易混淆 。 例 ５ 最 小 的 四位 数 和 最 大 的 三 位 数 的 ：
差 是 ｌ ０。 ０
３ 把握数学概念发 展 中的 阶段性
在 一 定条 件 下 ， 个 概念 的 内涵 Ｓ ＃ 延 一 ｕｌ ＂ 是 固定 不 变 的 ， 是概 念 的 确 定 性 。 这 由于 客 观事 物 的不 断发 展 和 变化 ， 时也 由于人 们 同
教 学 案 例
己内心的孤愤 。 女 作 家所 写 的 弹 词 作 品 中也 塑 造 了 众 行 过 天 地 之 礼 的 沃 良规 ， 总不 得 宠 ， 终 被 最
眉 去 手 刃 国贼 ， 心 报 国 。 者 刻 画这 样 一 忠 作
对人 生 处 境 、 春 婚 恋 的忧 患 。 青 内心 的 灵 魂 经 历 和 才 华 ， 耀她 们 的 能 力 ， 而 抒 发 自 夸 从
位 女 性 形 象 ， 疑 表 达 了 自 己 对 “ 尊 女 在 封 建 体 系 的 重 压 下 承 受着 感情 的 挣 扎 和 无 男
卑 ” 女性 不能 干 预 政 治 的 封 建 礼 教规 范 的 煎 熬 ， 刻 地 揭 示 了 其 命运 的 悲剧 性 。 、 深 由于 反叛 ， 反映 出 自觉 的 女 性 意 识 。 为可 贵 的 更 是 ， 左 仪 贞 身 上 还 体 现 出 了 一 种 叛 逆精 许 多 误 解 和 怨恨 ， 有 宝玉 深 知 、 敬 她 ， 在 只 深
１ 准确 理解数 学概 念的 内涵与外延
每 一 个 数 学 概念 都 有 其 特 定 的 内 涵 和 ２ 认 清 关联数学概 念之 间的互 异性 外 延 。 涵 和 外 延 是概 念 的 基本 特 征 ， 准 内 是 在小学数学 中， 些概念的含义接近 ， 有
内的。 由此 可 知 ， 倍 数 ” 表 示 的 是能 被 某 “ 所
对此一定要透彻理解 、 准确 掌 握 。 教 学 实 积 与 容 积 ， 少 与 减 少到 等 等 相 对 应 概 念 ， 在 减 践 ， 由于 对 数 学 概 念 的 内 涵 和 外 延 认 识 不 存 在 许 多 共 同 点 与 内 在联 系 。 这 类 概 念 ， 对 清晰， 容 易出现以下问题 。 很
有 更 大 的 危 害 性 。 文 对 当前 小 学 数 学 课 然 ， 个 数字 也 可 以 表 示 一 个 数 ， 钟面 上 数都 是 ０ 本 一 但 的约 数 这 一 麻 烦 ， 材 中还 特 别 指 教
概 念 ， 学 阶 段 是 被 限 制 在 自然 数 范 围 小 自然数 整除 的 自然 数 。 ｌ ÷５ ， 如 ５ ＝３ 我们
个 数 字 所 占的 位 置 ， 位 数 是 指 一 个 整 数 认识 的不 断 深 化 ， 此 ， 为 人们 反映 客 观 而 因 作 具 备 的 基 本知 识 ， 生 例 ５ 误 的 主要 原 因 产 错 化 的 。 别 是 在 小 学 阶 段 的 概 念 教学 ， 特 考虑
小 学 课 本 中 对 角 的定 义是 ：一 条射 线 是 对 于 … 认 识 模 糊 ， 是 表 示 没 有 ， 它又 到 小 学 生 的 接 受 能 力 ， 往 是 分 阶 段 进 行 “ ０ ０ 但 往 绕 它 的端 点旋 转 就形 成 角 。 由此 定 义 可知 ， 能 “ ” 占位 ” 如 ０ 叫一 位 数 ， １ 叫做 两位 的 。 ， 不 而 ０ 教学 实 践 中 ， 果 不 能 系统 地 把 握 概 念 如
确地改为 “ 识 时间单位时 、 、 。 道１ 认 分 秒 知 时 ＝６ 分 ” 教材 的 算 式 中 也把 “ 时 ” 为 ０ 。 小 改
［ 时 小］ 天（ 日）
ｎ ａ
注 ：１… … （） （） ２【 ］ 内的 字 ， 是在 不致 混淆 的情 况 下 ， 可以 省略 的字 。 （） ） ３ （ 内的字 为前 者 同义语 。
一
就说１是５ 倍数（ 可以说 １是５ ３ ） ５ 的 也 ５ 的 倍 ，
除所得的商， 且这 个 商 不 一 定 是 整 数 ， 可能
是 小 数或 分 数 。 如６÷５＝１ ２， 们 可 以说 ６ ． 我
确 把 握 概 念 和 系 统 掌 握 知 识 的 基 础 ， 师 但 本 质 属 性 有 区别 。 如 ： 位 与 位 数 、 教 例 数 体 而 “ ” 表 示 两 个 数 （ 倍 只 不一 定是 自然 数 ） 相
四边 形 叫做 平 行 四边 形 ” 例 ３ ， 中漏掉 了 “ 两
“ ” “ 数 ” 两 个概 念 无 法 做 到 正 确 的 倍 与 倍 这 “ 数 ” 倍 ” 两 个 不 同的 概念 。 学 倍 与“ 是 小 数 学 课 本 中 明 确 指 出 ： 数 ａ 以 数 ｂ 除得 “ 除 ， 的商 正 好 是 整 数 而 没 有 余 数 ， 们 就 说 ａ 我 能 被ｂ 除 。 接 着 又指 出 ： 如 果 数 ａ 被 数 ｂ 整 ” “ 能 整除 ， 就 叫做ｂ ａ 的倍 数 ， 就 叫做 ａ ｂ 的约 数 。 ” 为 了避 免 ０ 任 何 自然 数 的 倍 数 ， 何 自然 是 任 出 ： 在讲 ‘ 的 整 除 ’ ， “ 数 时 我们 所 说 的 数 ， 一 般 只 指 自然 数 ， 包 括 ０ ” 此 ， 整 除 ” 不 。因 “ 这
例 １“ ： 整数 就 是 自然 数 和 ０ 。 ” 和 不 同 点 ， 免 互 相 干 扰 。 则 ， 生 常 常 避 否 学
必须 把 它 们 加 以 比 较 ， 出 它 们 的相 同 点 是 ５ １ ２ 。 找 的 ．倍
由此 可 见 ， 们 可 以 说 “ ６ ０． 的 ２ 我 ０． 是 ３ 倍 ” 但 不 能 说 “ ６ ０． 的 倍 数 ” ， ０． 是 ３ 。
时 间 与 时 刻 是 两 个 不 同 的 概 念 。 刻 时
不表 示 长 短 ， 表 示 先 后 ， 具 有 序 数 性 只 它 质 ； 间 表 示 相 应 两 个 时 刻 之 间 相 隔 的 长 时
不加 以 区分 ， 混 不 清 的 问 题 ， 致学 生 对 短 ， 有 基 数 的 性 质 。 期 以 来 ， 们 在 日 含 导 具 长 人
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８ ０
中国科教创新 导刊 Ｃ ｉａ Ｅ ｕ ａ ｉｎ Ｉ ｏ ａ ｉｎ Ｈ ｒ ｌ ｈ ｄ ｃ ｔ ｎ ｖ ｔ ｅ ａ ｎＪ ２０１１ ｔ ￣
ＮＯ． ３ ３
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小 学 教 科 书 里 曾 说 过 “ 然 数 和 零 都 自 是 整数 ” 但 这 并 不是 给 “ 数 ” 的一 个 定 ， 整 下 义 ， 只 是 指 出 自然数 和 ０ 属 于 “ 而 都 整数 ” 的 范 围。 而 ， 果以为这就是 整数的定义 ， 然 如 念 的 外 延 缩 小 了 ， 为 整 数 不 仅 包 括 自然 因 数和０ 而且还包括负整数。 ，
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教 学 案 例
小学数学教学 中常见的概 念性 问题例析
杨 有 润 （ 海市 浦东新 区浦江 小学 上 海 ２ ０ ６ 上 ０１ ） ２
摘 要： 数学概念是 数学知识 的基础 。 在教 学活动 中， 由于对数 学概念 的 内涵和 外延认识 不清晰 ， 相近 概念的 相同点和不 同点把 握不 准 对 确， 对随 着认 识不断深化 而形成 的概念 发展阶段性 理解不 到位等原 因， 经常会 出现概念 性问题和失误 ， 需要教 师引导学生仔细加 以辨析 。 关键词 ； 学概念 概念性 问题 内涵与外延 互异性 阶段性 数 中 图分类 号 ： Ｇ４ 文 献标 识 码 ： Ａ 文章编 号 ： ７ —９ ９ （ ｏ １ ｌ （） ｏ ｏ ２ １ ３ ７ ５ ２ １ ） ｌｃ一ｏ ８ －ｏ ６ 数 学 概 念 就 是 现 实 世 界 中 空 间形 式 和
堂 教 学 中常 见 的 却 又 比 较 隐 蔽 的若 干概 念 的 ｌ 个 数 中仅 １ 这 九个 是 数字 ， １ 、 １ ２ ～９ 而 ０ ｌ、 性 问题 进 行 辨 析 ， 供 大 家 参 考 。 仅 １ 三 个数 中的每 一 个数 均 由两 个 数字 组成 。 ２ 故 “ 面 上 有 １ 个数 字 ” 钟 ２ 之说 是 不 确 切 的 。
钟 画 上一 共 标 有 １个 “ ” 而并 非 １ 个 ２ 数 ， ２
“ 字 ” “ 字 ” “ ” 内 涵上 Ｓ ＃ 延 上都 数 。数 与 数 在 ｕＦ
清 晰 度 和 条 理 性 ， 比 运 算 中的 笔 误 等 具 是 有 区 别的 ， 数 字 ” 组成 “ ” 这 “ 是 数 的元 素 。 当
推 理 的依 据 ， 正 确 合 理 迅 速 运算 的保 证 。 都 改 变 了 。 是
学生正确 、 晰、 整地掌握 数学概念 ， 清 完 是 掌 握 数 学 知 识 的 基 础 ， 教 学 中 出 现 的 概 而 念 性 问题 以 至 失 误 ， 必 影 响 学 生 思 维 的 势 例 ４ “ 面 上 有 １个 数 字 ” ：钟 ２ 。
表 １ 量的名称 时 间 单 位名称
分
常 生 活 中 习惯 于 用 “ 时 ” 示 时 间 的 长 小 表
单位符号
ｍｌ ｎ
短 ， “ ” 示时刻 。 用 时 表
１ ９ 年 国 家 教 委 制 订 的 《 年 义 务 教 ９２ 九 育 全 日制 小 学 数 学 教 学 大 纲（ 用 ） 中 ， 试 》 明
一
数 量关 系及 其 特 有 的 属 性 在 人 们 头 脑 中 的 组 ” “ 别 ” 又 多 了 “ 相 等 ” “ 面 ” 这 应 用 。 、分 ， 且 、平 ， 反 映 。 学 概 念 是 双 基 知 识 的 起 点 ， 逻 辑 样 就 把 平 行 四边 形 这 一 概 念 的 外 延 和 内 涵 数 是