商品价格与重量--数学建模
数学建模习题集及标准答案
3.动态模型:描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段；微分方程建模:模根据函数及其变化率之间的关系确定函数,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程。
4.按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型。
5.叙述Leslie人口模型的特点。并讨论稳定状况下种群的增长规律。
6.试比较连续形式的阻滞增长模型(Logistic模型)和离散形式阻滞增长模型,并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点及其稳定性。
第二部分
1.优点:短期预报比较准确;缺点:不适合中长期预报;原因:预报时假设人口增长率为常数,没有考虑环境对人口增长的制约作用。
（4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
根据上述分析我们可以看出，该博弈比较明确可以预测的结果有这样几种情况：
（1） ，此时本博弈的结果是乙在第一阶段不愿意借给对方，结束博弈，双方得益
（1，0），不管这时候b的值是多少；（2） ，此时博弈的结果仍然是乙在第一阶段选择不借，结束博弈，双方得益（1，0）；（3） ，此时博弈的结果是乙在第一阶段选择借，甲在第二阶段选择不分，乙在第三阶段选择打，最后结果是双方得益
数学建模练习题.
数学建模习题题目11.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。
解答：（1）分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s均无关的成本。
又因为形状一定时一般有,故商品的价格可表示为（α，β，γ为大于0的常数）。
（2）单位重量价格,显然c是w的减函数。
说明大包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
函数图像如下图所示：题目22.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设,β为增长率。
又设单位时间的销售量为(p为价格)。
今将销售期分为和两段，每段的价格固定，记为,.求,的最优值，使销售期内的总利润最大。
如果要求销售期T内的总销售量为,再求,的最优值。
解答：由题意得：总利润为,=+=由=0，，可得最优价格,设总销量为，在此约束条件下的最大值点为,题目3(与数量无关)，随3.某商店要订购一批商品零售，设购进价,售出,订购费c机需求量r的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为(与时间无关)。
问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。
为使这个平均利加什么限制？润为正值，需要对订购费c解答：设订购量为u，则平均利润为u的最优值满足最大利润为.为使这个利润为正值，应有.题目44.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。
数学建模综合练习[指南]
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数学建模综合练习一、数学建模方法论1．举出两三个实例说明建立数学模型的必要性，包括实际问题的背景，建模目的，需要大体上什么样的模型以及怎样应用这种模型．2．怎样解决下面的实际问题．包括需要哪些数据资料，要作些什么观察、试验以及建立什么样的数学模型等．（1）估计一个人体内血液的总量．（2）为保险公司制定人寿保险计划（不同年龄的人应缴纳的金额和公司赔偿的金额）．（3）估计一批日光灯管的寿命．（4）确定火箭发射至最高点所需的时间．（5）决定十字路口黄灯亮的时间长度．（6）为汽车租赁公司制订车辆维修、更新和出租计划．（7）一高层办公楼有4部电梯，早晨上班时间非常拥挤，试制订合理的运行计划3．下面是众所周知的智力游戏：人带猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米．试设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少．4．假定人口的增长服从这样的规律：时间t的人口为x (t)，t到t+ t时间内人口的增长与x m-x(t)成正比（其中x m为最大容量）．试建立模型并求解．作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较．5．为了培养想象力、洞察力，考察对象时除了从正面分析外，还常常需要从侧面或反面思考，试尽可能迅速地回答下列的问题：（1）某甲早8：00从山下旅馆出发，沿一条路径上山，下午5：00到达山顶并留宿．次日早8：00沿同一路径下山，下午5：00回到旅馆．某乙说，甲必在2天中的同一时刻经过路径中的同一地点．为什么？（2）甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同，甲乙之间有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站．问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？（3）某人住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6：00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家．一日他提前下班搭乘早一班火车于5：30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前往，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前10分钟．问他步行了多长时间．6．在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1．试用比例方法构造模型解释这个现象．（1）分析商品价格c与商品重量w的关系．价格由生产成本、包装成本和其它成本决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素．（2）给出单位重量价格c与w加c减小的程度变小．解释实际意义是什么？7．用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应多大（如图1）．若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端 图1 的影响）．如果管道是其它形状呢？8．建立不允许缺货的生产销售存贮模型．设生产速率为常数k ，销售速率为常数r ，k >r ．在每一生产周期T 内，开始的一段时间（0<t <T 0）一边生产一边销售，后来的一段时间（T 0<t <T ）只销售不生产，画出贮存量)(t q 的图形．设每次生产准备费为1c ，单位时间每件产品贮存费为2c ，以总费用最小为目标确定最优生产周期．讨论k 》r 和k r 的情况．二、初等数学模型1．在2.5节森林救火模型中，如果考虑消防队员的灭火速度 与开始救火时的火势b 有关，试假设一个合理的函数关系，重新求解模型．2．设某产品的售价为p ，成本为q ，售量为x （与产量相等），则总收入与总支出分别为px I =，qx C =．试在产销平衡的情况下建立最优价格模型．3．在最优价格模型中，如果考虑到成本q 随着产量x 的增加而降低，试做出合理的假设，重新求解模型．4．在考虑最优价格模型问题时，设销售期为T ，由于商品的损耗，成本q 随时间增长，设q =q 0 + t ， 为增长率．又设单位时间的销售量为x = a – bp （p 为价格）．今将销售期分为0< t <T /2和T /2< t <T 两段，每段的价格固定，记作p 1，p 2．求p 1，p 2的最优值，使销售期内的总利润最大．如果要求销售期T 内的总销售量为Q 0，再求p 1，p 2的最优值．三、微分方程模型1．对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型．（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的人数成正比，推广是无限的．（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低．（3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用．2．建立铅球掷远模型．不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h ，出手角度为 （与地面夹角），建立投掷距离与v ，h ， 的关系式，并求v ，h 一定的条件下求最佳出手角度．3．与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：x N rx t xln )(= ，其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同．设渔场鱼量的自然增长服从这个模型，且单位时间捕捞量为h =Ex ．讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性，求最大持续产量h m 及获得最大产量的捕捞强度E m 和渔场鱼量水平x *0．4．在一种溶液中，化学物质A 分解而形成B ，其速度与未转换的A 的浓度成比例．转换A 的一半用了20分钟，把B 的浓度y 表示为时间的函数，并作出图象．四、运筹学模型1．一家保姆公司专门向顾主提供保姆服务．根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日．公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天，保姆从该公司而不从顾主那里得到报酬，每人每月工作800元．春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15%的保姆自动离职．（1）如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划．（建立数学模型）（2）如果在每个季度结束后允许解雇保姆，请为公司制定下一年的招聘计划．（建立数学模型）2．某工厂生产两种产品A、B分两班生产，每周生产总时间为80小时，两种产品的预测销售量、生产率和赢利如下表（1）充分利用现有能力，避免设备闲置；（2）周加班时间限制在10小时以内；（3）两种产品周生产品量应满足预测销售，满足程度的权重之比等于它们单位利润之比；（4）尽量减少加班时间．例3 医院为病人配制营养餐，要求每餐中含有铁不低于50单位，蛋白质不低于40单位，钙不低于42单位．假设仅有两种食品A和B可供配餐，相关数据见下表．试问，如何购买两种食品进行搭配，才能即使病人所需营养达到需求，又使总花费最低？五、概率统计模型1．报童每天订购的报纸，每卖出一份赢利a元，如果卖不出去并将报纸退回发行单位，将赔本b元．每天买报人数不定，报童订报份数如超过实际需要，就要受到供过于求的损失；反之，要受到供不应求的损失．设P(m)是售出m份报纸的概率，试确定合理的订报份数，使报童的期望损失最小．2．血友病也是一种遗传疾病，得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止．很有意思的是，虽然男人及女人都会得这种病，但只有女人才有通过遗传传递这种缺损的能力．若已知某时刻的男人和女人的比例为1：1.2，试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型．３．假设有一笔1000万元的资金于依次三年年初分别用于工程A和B的投资．每年初如果投资工程A，则年末以0.4的概率回收本利2000万元或以0.6的概率分文不收；如果投资工程B，则年末以0.1的概率回收2000万元或以0.9的概率回收1000万元．假定每年只允许投资一次，每次只投1000万元；试确定第3年末期望资金总数为最大的投资策略．4．某石油公司必须就下一个打井位置作出决定．如果打出来的井什么也没有（既无油也无天然气），则投资费用（打井费用）全部赔掉．如果打出来的是气井，则可以说是部分成功，如果打出来的是油井，则是完全成功．由于结果的不确定性，更由于做某种测试（取样）只能得到不完全的信息，因而作出决定是困难的．试建立一个数学模型，使公司的预期收益最大。
广西大学数学建模习题精选
习题精选第一部分练习第二部分练习第三部分练习第四部分练习试卷A试卷B试卷A参考答案试卷B参考答案第一部分练习1（1）某甲8:00从山下旅店出发，沿一条路径上山，下午5:00到达山顶并留宿。
次日早8:00沿同一路径下山，下午5:00回旅店。
某乙说，甲必然在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？（2）37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者距今如下一轮，知道比赛结束。
问共需要多少场比赛，共需进行多少轮比赛。
如果是n支球队比赛呢？(3)甲乙两站之间有电车相通，每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车，但发车时刻不一定相同。
甲乙之间有一中间站丙，某人在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，约有10天到达乙站。
问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的。
(4)某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6:00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站接他回家，一日他提前下班搭早一班火车于5:30抵T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他，即接他回家，此时发现比往常提前了10分钟，问他步行了多长时间？(5)一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反的学校上学，每天同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度步行回家。
以小狗以6km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩奔向男孩，如此往返直到回到家中。
问小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上学时小狗也往返在他们之间，问当他们到达学校时小狗在何处？2 学校共1000名学生，235人住A宿舍，333人住B宿舍，432人住C宿舍。
学生们组织一个10人的委员会，试用下列办法分配个宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用整数n=1,2,…相除，其商数如，B ，C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
高中数学课程中的数学建模方法
高中数学课程中的数学建模方法数学建模是一种将数学方法应用于实际问题解决的过程，它在高中数学课程中占据着重要的地位。
通过数学建模，学生可以将抽象的数学知识与现实生活相结合，培养解决问题的能力和创新思维。
本文将探讨高中数学课程中的数学建模方法，并介绍一些常见的数学建模实例。
一、数学建模的基本步骤数学建模通常包括问题的提出、问题的抽象、模型的建立、模型的求解和模型的验证等基本步骤。
首先，问题的提出是数学建模的起点。
学生需要对问题进行深入思考，理解问题的背景和要解决的目标。
其次，问题的抽象是将现实问题转化为数学问题的过程。
学生需要抓住问题的关键要素，将其用数学符号和表达式表示出来。
然后，模型的建立是根据问题的抽象结果构建数学模型。
学生可以根据问题的特点选择适当的数学方法和理论，建立数学模型。
接着，模型的求解是利用数学方法对模型进行计算和分析的过程。
学生需要运用数学知识和技巧，解决模型中的方程和不等式等数学问题。
最后，模型的验证是对模型求解结果的检验和评估。
学生需要将模型的解释和实际问题进行对比，分析解决方案的合理性和可行性。
二、数学建模的实例1. 路径规划问题假设有一个城市，其中有多个地点需要连接起来。
学生可以通过数学建模方法，设计一种最优路径规划方案。
首先，问题的抽象是将城市的地点用节点表示，将地点之间的路径用边连接起来。
然后，模型的建立是通过图论中的最短路径算法，计算出连接所有地点的最短路径。
最后，模型的求解是根据算法的结果，确定最优路径规划方案。
2. 购物优惠问题假设有一家商场，其中有多个商品需要促销。
学生可以通过数学建模方法，设计一种最优的购物优惠方案。
首先，问题的抽象是将商场的商品用变量表示，将商品的价格和促销信息用数学公式表示。
然后，模型的建立是通过优化理论中的线性规划模型，确定出购物优惠的最优解。
最后，模型的求解是根据线性规划模型的结果，确定最优的购物优惠方案。
3. 人口增长问题假设有一个国家，其中的人口数量随时间变化。
第2节练习(数学建模)
一步，先计离算出L。L这应就多是大说才，能在使离看街见口黄距灯离的为司L机
停得住车。处第存二在步着，一黄条灯停亮车的线时（间尽应管当它让没已被过画线
D
的/v。车顺利穿在时过地已马上过路）线，，的即见车T 图至辆1少，-4应则。当应对达当于到保那证些（它黄L们灯+D仍亮） 能穿过马路。
L
例4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，
出 d = asinα/sin (α+β) 。需要指出的是，当
黑匣子位于较远处而 α又较小时，α+β可能非
常接近π（∠ACB接近于0），而sin（α+β）又
恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会
很大，为了使结果较好，应使a也相对较大。
• 比较这六种情况的费用 可知，第一种切割方式， 即先纵切，再横切，最 后平切的切割方式费用 最低。
例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下， 可以保证途中至少存在一地，此人在两天 中的同一时间到达该地。
分析 本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当 然 ，这里的情况要简单得多。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同 一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中 相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到 达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
（请自己据此给出严格证明）
•例3 交通马路灯的宽在度 绿D是灯容易转测得换的，成问红题的灯关键时在 ，于L有
方法一
点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的 距离
的平方成反比，即 I k/d 2
黑匣子所在 方向很容易确定，关键在于确定 距离 。设在
高考题中的常见数学建模方法
高考题中的常见数学建模方法高考题中的常见数学建模方法“数学建模”是指通过对实际问题的抽象、简化，确定变量和参数，是一种创造性活动，也是一种解决现实问题的量化手段，根据创造性人才成长和发展的规律以及现代社会对人才素质的要求，寓创新能力培养于数学建模之中，是培养学生创新能力的一条有效途径。
解答数学应用问题的核心是建立数学模型。
这就要求：认真分析题意，准确理解题意，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想、转化、抽象，建立数学模型。
中学数学建模的基本类型有：一、函数最值模型有关涉及用料最省、成本最低、利润最大等应用问题，可考虑建立目标函数，转化为函数最值问题结合导数来解决。
例1：某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=a/(x-3)+10(x-6)~(2)，其中3<x<="">（I）求a的值（II）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。
分析：本题是2011年福建高考题，是以函数最值为模型的一个实际问题。
考查运算求解能力、应用意识，函数建模的能力，关键是列出利润的目标函数，第（I）题，代入x=5，y=11，得a=2 （II）由（I）可知，该商品每日的销售量y=2/(x-3)+10(x-6)~(2)，所以商场每日销售该商品所获得的利润的目标函数为f(x)=(x-3)[2/(x-3)+10(x-6)~(2)]=2+10(x-3)(x-6)~(2)，3<x<6< p="">再利用导数求得三次函数的最大值。
二、不等式模型有关设计求最大、最小值问题的应用题时，考虑转化为不等式，应用不等式的性质及基本不等式来解。
例2;某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.派用的每辆甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z=______A.4650元B.4700元C.4900元D.5000元分析：这是2011年四川高考题，是一道以不等式为模型的应用题，关键是列出线性约束条件及目标函数。
数学建模练习题汇编
数学建模习题题目11.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。
解答：（1）分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s均无关的成本。
故商品的价格可表示α，β，γ为大于0的常数）。
（2）显然c是w的减函数。
说明大包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。
函数图像如下图所示：题目22.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，β为价格)。
T解答：由题意得：总利润为在此约束条件下的最大值点为题目33.某商店要订购一批商品零售，订购费c(与数量无关)，随机需求量r的概率密度为p(r)，与时间无关)。
问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。
为使这个平均加什么限制？利润为正值，需要对订购费c解答：设订购量为u，则平均利润为u为使这个利润为正值，应有题目44.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。
解答：雨滴质量m，体积V，表面积S与某特征尺寸lv降落，题目55.某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表1所示。
按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。
此外还有以下限制：1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？解答：（1）设投资证券A,B,C,D,E，按照规定、限制和1000万元资金约束，列出模型用LINGO求解得到：证券A,C,E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。
数学建模例题[1]
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数学建模习题指导第一章 初等模型讨论与思考讨论题1 大小包装问题在超市购物时你注重到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。
（1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。
（2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。
提示：决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。
单价随重量增加而减少单价的减少随重量增加逐渐降低思考题2 划艇比赛的成绩赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。
各种艇虽大小不同，但形状相似。
T .A .M c M a h o n 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。
建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。
329434w w c γβ+=''-各种艇的比赛成绩与规格第二章 线性代数模型森林管理问题森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。
为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。
被出售的树木，其价值取决于树木的高度。
开始时森林中的树木有着不同的高度。
我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。
思考：试解释为什么模型中求解得到的 为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。
练习：857.0 nR将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存达到3架；否则，不订购。
建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。
2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。
建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。
数学建模习题及答案
第一部分课后习题1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。
将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。
用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。
试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。
解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应多大（如图）。
若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。
如果管道是其他形状呢。
5.用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘。
数学建模习题及答案课后习题
第一部分课后习题1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。
学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
（2）2.1节中的Q值方法。
（3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：1 2 3 4 5 …A 235 117.5 78.3 58.75 …B 333 166.5 111 83.25 …C 432 216 144 108 86.4将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。
你能解释这种方法的道理吗。
如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。
将3种方法两次分配的结果列表比较。
（4）你能提出其他的方法吗。
用你的方法分配上面的名额。
2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。
比如洁银牙膏50g装的每支 1.50元，120g装的 3.00元，二者单位重量的价格比是 1.2：1。
试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。
价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。
（2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w 的增加c减少的程度变小。
解释实际意义是什么。
3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。
假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：身长（cm）36.8 31.8 43.8 36.8 32.1 45.1 35.9 32.1 重量（g）765 482 1162 737 482 1389 652 454 胸围（cm）24.8 21.3 27.9 24.8 21.6 31.8 22.9 21.6 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大（如图）。
数学建模商品价格与容量的关系.docx
商品包装与成本模型摘要本模型是讨论商品规格对商品价格的影响。
主要分析包装成本对商品价格造成的影响。
首先进行假设，来简化问题。
然后设出各个变量，建立模型并求解，并与实际调查结果对比。
最后对模型进行讨论并分析模型误差。
关键词：包装：商品价格：预测：问题描述调査包装类似但多少不同的三种同一商品齐两组，组建模型描述包装与价格的关系。
基本假设1.不考虑利润及其他因素对商品价格的影响C2.包装只计装包工时和包装材料。
3.不同规格的商品装包时工作效率相同。
4.不同规格的商品包装外观相似，包装材料相似，至少在价格上没有太大的差异。
A：每件商品中产品的成本；W：每件商品中产品的含帚::B：每件商品的包装成本：Bp装包工时投入；F2：包装材料成本；S：包装材料用最；C(W)：总成本；c(W)：单位商品平均成本；模型推导由常识C(W) = A+B = A+B1 + B2 (1.1)由假设1 A =©"(1.2)由假设3 = a2W (1.3)由假设4以及面积S = kW2/3得仍=Q3S = a4W2/3 (1.4)所以由(1.1)式得C(W)=幻"+*2“2/3 (1.5)这就是商品总成本和所设参量的关系所以C (W) = C(W)/W = ki + k 2W~^3 (1.6)模型的求解由理论推导可知，若产品价格为5、C2分别为同一产品不同规格的两种商品价格, W ］、W2为商品的规格，则kj * 4- k 2 * wf = c 12人 * w 2 + k 2 * w 2 0 = c 2 其中灯、*2为所求系数。
模型检验调査时间：2011年4月7日调查地点：知春路沃尔玛 商品价格调查 商品 规格价格恰恰瓜子 150g 3.5 228g 5.3 250g 6.5 奇强洗衣粉 400g 4 1180g11 1480g 13恰恰瓜子由调查数值旳=150 w 2 = 228 5 = 3.5 c 2 = 5.3,将其带入式(1.8) 得灯=0.0227 k 2 = 0.0036所以0.0227 * w + 0.0036 * w% = c (1.9)将W3 = 250带入式(1.9)得，C3 = 5.8179实际值为6.5 奇强洗衣粉由调査数值wi = 400 w 2 = 1180 c x = 4 c 2 = 11，将其带入式(1.8)得幻=0.0078 k 2 = 0.0165所以0.0078 * w + 0.0165 * w% = c (1.10)将W3 = 1480带入式（1.10）得，c 3 = 13.6868实际值为13误差分析与进一步讨论(1.7)(1.8)“A从上面的讨论看出，奇强洗衣粉的预测价格与实际价格很好符合，相对误差（I实际值一预测值丨/实际值）仅为5.3%。
在结构化教学中建构数学模型
在结构化教学中建构数学模型
数学模型是一种抽象的数学工具，用于描述和解决实际问题。
在教学过程中，通过建构数学模型可以帮助学生将抽象的数学概念与实际问题相联系，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
在结构化教学中建构数学模型，需要遵循以下几个步骤：
第一步，问题触发。
教师在课堂上提出一个实际问题，引发学生的思考和讨论。
在生活中我们经常要比较不同商品的价格和性价比，那么如何用数学模型来描述和解决这个问题呢？
第二步，问题分析。
学生首先需要分析问题，了解问题的背景和要解决的目标。
在价格比较的问题中，学生需要明确要比较的商品和要考虑的因素，如商品的价格、大小、重量、质量等。
第三步，数学建模。
学生需要根据问题的特点和要解决的目标，选择适当的数学方法和数学模型。
在价格比较的问题中，可以使用比较运算符进行简单的比较，也可以使用比例来计算性价比。
第四步，数据采集。
学生需要采集相关的数据，以便进行计算和分析。
在价格比较的问题中，学生可以通过查阅商品价格信息或者实地调查来获取商品的价格和其他参数。
第五步，模型验证。
学生需要对所建立的数学模型进行验证，并分析模型的适用性和局限性。
在价格比较的问题中，学生可以选取几个具体的商品进行计算和比较，以验证所建立的模型的准确性和实用性。
第七步，结果解释。
学生需要将问题的解答转化为生活中的实际意义，并对结果进行解释和讨论。
在价格比较的问题中，学生可以结合实际情况，给出价格合理的商品购买建议。
数学建模-价格模型
D( p) c dp
S ( p) a bp
试确定该商品的价格模型（函数）； 为了使销售商品的利润最大，试确定该商品的最优 价格.
相关知识点
1.微分方程的几何应用和简单物理应用
2.一阶线性微分方程知识点
3.函数的极值
解题方法
建立价格变化的微分方程模型，得一个一阶线 性微分方程，用通解公式法求解.
设某商品在时刻的销售价格为工厂生产和存放单位该商品的成本分别为市场对该商品的需求量和它对市场的供给量分别为其中均为正常数
价格模型
设某商品在时刻的销售价格为 p(t ) ，工厂生产和存 放单位该商品的成本分别为 q 和 r ，市场对该商品 的需求量和它对市场的供给量分别为
、 ，其中 a, b, c, d 均为正常数.
.
ca p bd
*
解题过程
第二步： 通常当某种商品供不应求时，即 S ( p) D( p) 时， 商品的价格要上涨； 而当供过于求时，即 S ( p) D( p) 时，商品的价格 要下跌.因此可以认为 t 时刻价格 p(t ) 的变化率与 超额需求量 D( p) S ( p) 成正比，即
（2）
解题过程
将（2）式化为
dp p p * , dt
这是一个一阶线性微分方程，由通解公式得
p(t ) e
p*e dt dt C p* Cet . （3）
dt
解题过程
第四步： 若假设初始价格为 p(0) p0 ，代入（3）式 C p0 p* ，因此有 得
解题过程
第八步： 函数 U ( p ) 的图像如下图：
U（利润）
O
p0 p *
p（价格）
牙膏商品价格与重量--数学建模 - 副本
牙膏商品价格与重量的关系摘要 在超市购物时，我们注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如洁银牙膏50装的每支1.50元，120装的每支3.00元。
我们可以通过单位商品价格关于商品重量的函数来分析这个问题。
问题一，分析商品价格C 与商品重量W 的关系。
价格由生产成本、包装和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W 成正比，有的与表面积成正比，还有与W 无关的因素。
问题二，求单位重量c 价格与W 的关系，可以用简图分析。
最后结合实验结论，对商家或顾客提出合理的建议。
一、问题分析商品价格是由成本决定的，成本可分为生产成本、包装成本和其他成本。
生产成本与重量W 成正比, 包装成本与表面积成正比，其他成本与W 无关。
单位重量商品价格c=总价格/总重量。
牙膏可以近似为圆柱体来思考。
二、模型假设设如下变量：商品价格：C 商品重量：W 单位重量价格：c商品包装面积：S 生产成本：C 1 包装成本：C 2 其它成本：C 3三、模型建立与求解商品价格由成本决定，商品成本=生产成本+包装成本+其他成本故 321C C C C ++=生产成本与重量W 成正比，设 W k C 11= ( k 1为大于0的常数 )包装成本与表面积S 成正比，商品包装包括牙膏包装和牙膏盒包装，牙膏包装与牙膏表面积有关，牙膏盒为长方体，牙膏盒包装面积S 2。
牙膏可以近似为无底的圆柱体，则牙膏包装面积S 1即圆柱体侧面积，设此圆柱体的半径为R ，高为L ，RL S π21= ……………………①由题意，我们需要将包装面积与商品重量联系在一起，故我们将牙膏体积V 近似为圆柱体积的一半，则L R V 221π= ……………② 设牙膏密度为ρ，则 ρW V = …………………………③一般地，为了美观，牙膏的半径与长度有一定比例关系，在这里：设 R=k 2L （ k 2为大于0的常数 ） ……………………④根据②③④，可以得出： 半径312)W 2(ρπk R = ……………………⑤ 由①④⑤，得出： 32221)W 2(2ρππk k S =我们可以把牙膏盒看成一个长为L ，宽高都为2R 的长方体，故牙膏盒包装面积RL R S 8822+= 再根据④⑤求得：32222)W 2)(11(8ρπk k S += 则包装成本 +=322232)W 2(2ρππk k k C 32224)W 2)(11(8ρπk k k + , k 3 、k 4 为大于0的常数，是包装价格与包装面积的比值其他成本3C 为固定常数，与W 、S 无关。
农产品定价-数学建模竞赛
第1号题水质评价按照《中华人民共和国地下水质量标准》，地下水水质共分六个等级（如表一）。
现经过抽样得到三个地区的水质状况（如表二），对照标准，试评价他们各属哪一级。
第2号题工资比较为研究工资水平与工作年限和性别之间的关系，在某行业中随机抽取10名职工，所得数据如表一所示，试通过回归方程分析月工资收入与性别和工作年限有何关系。
表一 10名职工工资水平、工作年限和性别数据第3号题农产品定价某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。
所有这些产品都直接或间接的来自国家的原奶生产。
原奶首先要分离成脂肪和奶粉两中组合，去掉生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，供国内全年消费。
各种产品的百分比组成见下表：产品\成分脂肪奶粉水牛奶4987奶油80218奶酪1353035奶酪2254035往年的国内消费和价格如下表：产品牛奶奶油奶酪1奶酪2消费量（千吨）482032021070价格（元/吨）2977201050815价格的变化会影响消费需求。
为表现这方面的规律，定义需求的价格伸缩性E：E=需求降低百分数/价格提高百分数各种产品的E值，可以据往年的价格而后需求变化情况的统计数据，用数理统计方法求出。
另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。
表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性EAB定义作：EAB=A需求提高百分数/B价格提高百分数奶酪1到奶酪2的E12值和奶酪2到奶酪1的交叉伸缩性E21值,同样可以凭数据用统计方法求出已经求出牛奶、奶油、奶酪1、奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4以及E12=0.1, E21=0.4.试求出4种产品的价格，试所导致的需求使销售总收入为最大。
然而，政策不允许某种价格指标上升，这使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加。
因此，对问题的一个特别重要的附加要求，是对这一政策限制的经济代价，给出数量表示。
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商品价格与重量的关系
一、 问题描述
在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗比如洁银牙膏50g 装的每支元，120g 装的每支元，二者单位重量的价格比是：1。
试用比例方法构造模型解释这个现象。
二、 问题分析
商品价格是由成本决定的，成本可分为生产成本、包装成本和其他成本。
单位重量商品价格为：总价格/总重量
三、 模型假设
设如下变量：
商品价格：P
商品重量：W
单位重量价格：X
商品包装面积：S
商品总成本：C
生产成本：1C
包装成本：2C
其它成本：3C
四、 模型建立与求解
一般地，商品包装面积S 与3/2W 成正比，设S=a*3/2W ，a 为大于0的常数 设生产成本1C 与重量W 成正比，1C =b*W ，b 为大于0的常数
设包装成本2C 与包装面积S 成正比, 2C =c*S=ac 3/2W ,c 为大于0的常数 3C 为固定常数，与W 、S 无关
因此33/2321C acW
bW C C C C ++=++= 则W C W ac b W P X 1133++==
五、 模型解释
X-W 的简图如下图所示： X
W
对X 求导：01)1(312343'<--=W C W
ac X ，说明随着W 的增加，X 的减小量始终在减少。
当W 很大时，0'>-X ，即X 不再减小。
由上图分析，亦可得到同样的结论。
因此不能盲目地认为越大包装的商品就越便宜。