2014 第3课时 圆周运动专题复习 教用

第3课时 圆周运动考纲解读 1.掌握描述圆周运动的物理量及其之间的关系.2.理解向心力公式并能应用；了解物体做离心运动的条件． 考点梳理一、描述圆周运动的物理量1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量． v ＝Δs Δt ＝2πr T.2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量． ω＝ΔθΔt ＝2πT.3．周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量． T ＝2πr v ，T ＝1f.4．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量． a n ＝r ω2＝v 2r ＝ωv ＝4π2T2r .5．向心力：作用效果产生向心加速度，F n ＝ma n . 6．相互关系：(1)v ＝ωr ＝2πT r ＝2πrf .(2)a ＝v 2r ＝r ω2＝ωv ＝4π2T 2r ＝4π2f 2r .(3)F n ＝ma n ＝m v 2r ＝m ω2r ＝mr 4π2T 2＝mr 4π2f 2.二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动 1．匀速圆周运动(1)定义：线速度大小不变的圆周运动 .(2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动． (3)质点做匀速圆周运动的条件合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心． 2．非匀速圆周运动(1)定义：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动． (2)合力的作用①合力沿速度方向的分量F t 产生切向加速度，F t ＝ma t ，它只改变速度的方向． ②合力沿半径方向的分量F n 产生向心加速度，F n ＝ma n ，它只改变速度的大小． 三、离心运动1．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向．2．受力特点(如图2所示)(1)当F ＝mrω2时，物体做匀速圆周运动； (2)当F ＝0时，物体沿切线方向飞出；(3)当F <mrω2时，物体逐渐远离圆心，F 为实际提供的向心力． (4)当F >mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动．图25．[轻杆模型问题]如图3所示，长为r 的细杆一端固定一个质量为m 的小球，使之绕另一端O 在竖直面内做圆周运动，小球运动到最高点时的速度v ＝gr /2，在这点时( )A ．小球对杆的拉力是mg2B ．小球对杆的压力是mg2C ．小球对杆的拉力是32mg D ．小球对杆的压力是mg答案 B解析 设在最高点，小球受杆的支持力F N ，方向向上，则由牛顿第二定律得：mg －F N ＝m v 2r ，得出F N ＝12mg ，故杆对小球的支持力为12mg ，由牛顿第三定律知，小球对杆的压力为12mg ，B 正确．6．[轻绳模型问题]如图4所示，半径为R 的光滑圆形轨道竖直固定放置，小球m 在圆形轨道内侧做圆周运动，对于半径R 不同的圆形轨道，小球m 通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力．下列说法中正确的是( ) A ．半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越大B ．半径R 越大，小球通过轨道最高点时的速度越小C ．半径R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大D ．半径R 越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小 答案 AD解析 小球通过最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力，则在最高点mg ＝m v 20R ，即v 0＝gR ，选项A 正确而B错误；由动能定理得，小球在最低点的速度为v ＝5gR ，则最低点时的角速度ω＝vR ＝5gR，选项D 正确而C 错误． 方法提炼1．轻绳模型：在最高点的临界状态为只受重力，即mg ＝m v 2r ，则v ＝gr ，v <gr 时，物体不能到达最高点．2．轻杆模型：由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是：在最高点的速度v ≥0.考点一 圆周运动中的运动学分析 1．对公式v ＝ωr 的理解 当r 一定时，v 与ω成正比． 当ω一定时，v 与r 成正比． 当v 一定时，ω与r 成反比． 2．对a ＝v 2r＝ω2r ＝ωv 的理解在v 一定时，a 与r 成反比；在ω一定时，a 与r 成正比． 特别提醒 在讨论v 、ω、r 之间的关系时，应运用控制变量法．例1 如图5所示是一个玩具陀螺，a 、b 和c 是陀螺表面上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是( )A ．a 、b 和c 三点的线速度大小相等B ．b 、c 两点的线速度始终相同C ．b 、c 两点的角速度比a 点的大D ．b 、c 两点的加速度比a 点的大解析 当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，a 、b 和c 三点的角速度相同，a 半径小，线速度要比b 、c 的小，A 、C 错；b 、c 两点的线速度大小始终相同，但方向不相同，B 错；由a ＝ω2r 可得b 、c 两点的加速度比a 点的大，D 对． 答案 D1.高中阶段所接触的传动主要有：(1)皮带传动(线速度大小 相等)；(2)同轴传动(角速度相等)；(3)齿轮传动(线速度大小相等)； (4)摩擦传动(线速度大小相等)．2．传动装置的特点：(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角 速度相同；(2)皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打 滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等．突破训练1 如图6所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，A 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，B 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ，C 点和D 点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在转动过程中，皮带不打滑，则 ( )A ．A 点与B 点的线速度大小相等 B ．A 点与B 点的角速度大小相等C ．A 点与C 点的线速度大小相等D ．A 点与D 点的向心加速度大小相等答案 CD考点二 圆周运动中的动力学分析 1．向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力． 2．向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．例2 在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A 用长H ＝50 m 的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m ＝50 kg 的被困人员B ，直升机A 和被困人员B 以v 0＝10 m /s 的速度一起沿水平方向匀速运动，如图7甲所示．某时刻开始收悬索将人吊起，在5 s 时间内，A 、B 之间的竖直距离以l ＝50－t 2(单位：m)的规律变化，取g ＝10 m/s 2.(1)求这段时间内悬索对被困人员B 的拉力大小；(2)求在5 s 末被困人员B 的速度大小及位移大小；(3)直升机在t ＝5 s 时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人员B 尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，致使被困人员B 在空中做圆周 运动，如图乙所示．此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，求被困人员B 做圆周运动的线速度以及悬 索对被困人员B 的拉力．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) 审题指导 解答本题时应注意以下两点：(1)根据A 、B 间距l 的表达式分析被困人员的运动规律；(2)确定被困人员做圆周运动的圆心、半径及向心力．解析 (1)被困人员在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上被困人员的位移y ＝H －l ＝50－(50－t 2)＝t 2，由此可知，被困人员在竖直方向上做初速度为零、加速度a ＝2 m/s 2的匀加速直线运动 由牛顿第二定律可得F －mg ＝ma 解得悬索的拉力F ＝m (g ＋a )＝600 N.(2)被困人员5 s 末在竖直方向上的速度为v y ＝at ＝10 m/s合速度v ＝v 20＋v 2y ＝10 2 m/s竖直方向的位移y ＝12at 2＝25 m水平方向的位移x ＝v 0t ＝50 m 合位移s ＝x 2＋y 2＝25 5 m. (3)t ＝5 s 时悬索的长度l ′＝50－y ＝25 m ，旋转半径r ＝l ′sin 37°由mg tan 37°＝m v ′2r解得v ′＝1522 m/s此时被困人员B 的受力情况如图所示，由图可知 F T cos 37°＝mg解得F T ＝mg cos 37°＝625 N.答案 (1)600 N (2)10 2 m/s 25 5 m (3)1522 m/s 625 N解决圆周运动问题的主要步骤1.审清题意，确定研究对象；2．分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、 圆心、半径等；3．分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源； 4．根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．突破训练2 如图8所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO ′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H ，筒内壁A 点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m 的小物块，求： (1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小；(2)当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度． 答案 (1)mgH R 2＋H2 mgR R 2＋H2 (2)2gHR 解析 (1)物块静止时，对物块进行受力分析如图所示，设筒壁与水平面的夹角为θ. 由平衡条件有 F f ＝mg sin θ F N ＝mg cos θ 由图中几何关系有 cos θ＝R R 2＋H 2，sin θ＝HR 2＋H 2故有F f ＝mgH R 2＋H 2，F N＝mgRR 2＋H 2(2)分析此时物块受力如图所示，由牛顿第二定律有mg tan θ＝mrω2. 其中tan θ＝H R ，r ＝R 2.可得ω＝2gHR.20．用极限法分析圆周运动的临界问题1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态．3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界状态．例3 如图9所示，在光滑的圆锥体顶端用长为l 的细线悬挂一质量为m 的小球．圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30˚.小球以速度v 绕圆锥体轴线在水平面内做匀速圆周运动．(1)当v 1＝ gl6时，求线对小球的拉力； (2)当v 2＝3gl2时，求线对小球的拉力．解析 如图甲所示，小球在锥面上运动，当支持力F N ＝0时，小球只受重力mg 和线的拉力F T 的作用，其合力F 应沿水平面指向轴线，由几何关系知 F ＝mg tan 30°① 又F ＝m v 20r ＝m v 20l sin 30°②由①②两式解得v 0＝3gl6(1)因为v 1<v 0，所以小球与锥面接触并产生支持力F N ，此时小球受力如图乙所示．根据牛顿第二定律有 F T sin 30°－F N cos 30°＝m v 21l sin 30°③ F T cos 30°＋F N sin 30°－mg ＝0④由③④两式解得F T ＝(1＋33)mg6≈1.03mg(2)因为v 2>v 0，所以小球与锥面脱离并不接触，设此时线与竖直方向的夹角为α，小球受力如图丙所示．则F T sin α＝m v 22l sin α⑤ F T cos α－mg ＝0⑥由⑤⑥两式解得F T ＝2mg 答案 (1)1.03mg (2)2mg突破训练3 如图10所示，用细绳一端系着的质量为M ＝0.6 kg 的物体 A 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O 吊着质 量为m ＝0.3 kg 的小球B ，A 的重心到O 点的距离为0.2 m ．若A 与转 盘间的最大静摩擦力为F f ＝2 N ，为使小球B 保持静止，求转盘绕中 心O 旋转的角速度ω的取值范围．(取g ＝10 m/s 2)图10答案 2.9 rad /s ≤ω≤6.5 rad/s解析 要使B 静止，A 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A 需要的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供．角速度取最大值时，A 有离心趋势，静摩擦力指向圆心O ；角速度取最小值时，A 有向心趋势，静摩擦力背离圆心O .设角速度ω的最大值为ω1，最小值为ω2对于B ：F T ＝mg 对于A ：F T ＋F f ＝Mrω 21 或F T －F f ＝Mrω 22代入数据解得ω1＝6.5 rad /s ，ω2＝2.9 rad/s 所以2.9 rad /s ≤ω≤6.5 rad/s.21．竖直平面内圆周运动中的绳模型与杆模型问题1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与杆连接、在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．2．绳、杆模型涉及的临界问题例4 如图11所示，竖直环A 半径为r ，固定在木板B 上，木板B 放在水平地面上，B 的左右两侧各有一挡板固定 在地上，B 不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C ，A 、B 、C 的质量均为m .现给小球一水平向右的瞬时速度v ，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力)，瞬时速度必须满足 ( )A ．最小值4grB ．最大值6grC ．最小值5grD．最大值7gr解析 要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg ＝m v 2r ，由最低点到最高点由机械能守恒得12m v 2min ＝mg ·2r ＋12m v20，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为5gr ；为了不会使环在竖直方向上跳起，在最高点有最大速度时，球对环的压力为2mg ，满足3mg ＝m v 21r ，从最低点到最高点由机械能守恒得：12m v 2max ＝mg ·2r ＋12m v 21，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为7gr .答案 CD突破训练4 一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图12所示，则下列说法正确的是( )A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B ．小球过最高点的最小速度是gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小答案 A解析 因轻杆既可以提供拉力又可以提供支持力，所以在最高点杆所受弹力可以为零，A 对；在最高点弹力也可以与重力等大反向，小球最小速度为零，B 错；随着速度增大，杆对球的作用力可以增大也可以减小，C 、D 错.高考题组1．(2012·广东·17)图13是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B 处安装一个压力传感器，其示数N 表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h 处由静止下滑，通过B 时，下列表述正确的有( )A ．N 小于滑块重力B ．N 大于滑块重力C ．N 越大表明h 越大D ．N 越大表明h 越小答案 BC解析 设滑块质量为m ，在B 点所受支持力为F N ，圆弧半径为R ，所需向心力为F .滑块从高度h 处由静止下滑至B 点过程中，由机械能守恒定律有12m v 2B ＝mgh ，在B 点滑块所需向心力由合外力提供，得F N －mg ＝m v 2B R ，由牛顿第三定律知，传感器示数N 等于F N ，解得N ＝mg ＋2mghR ，由此式知N >mg 且h 越大，N 越大．选项B 、C 正确．2．(2011·安徽·17)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图14甲所示，曲线上的A 点的曲率圆定义为：通过A 点和曲线上紧邻A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A 点的曲率圆，其半径ρ叫做A 点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v 0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P 处的曲率半径是( )A.v 2gB.v 20sin 2αgC.v 20cos 2αgD.v 20cos 2αg sin α解析 物体在最高点时速度沿水平方向，曲率圆的P 点可看做该点对应的竖直平面内圆周运动的最高点，由牛顿第二定律及圆周运动规律知：mg ＝m v 2ρ，解得ρ＝v 2g ＝(v 0cos α)2g ＝v 20cos 2αg.答案 C3．(2012·福建理综·20)如图15所示，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R ＝0.5 m ，离水平地面的高度H ＝0.8 m ，物块平抛落地过程水平位移的大小s ＝0.4 m ．设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g ＝10 m/s 2.求： (1)物块做平抛运动的初速度大小v 0； (2)物块与转台间的动摩擦因数μ. 答案 (1)1 m/s (2)0.2解析 (1)物块做平抛运动，在竖直方向上有H ＝12gt 2①在水平方向上有s ＝v 0t ②由①②式解得v 0＝s g 2H代入数据得v 0＝1 m/s(2)物块离开转台时，由最大静摩擦力提供向心力，有f m ＝m v 2R ③ f m ＝μN ＝μmg④由③④式得μ＝v 20gR代入数据得μ＝0.2模拟题组4．如图16所示，螺旋形光滑轨道竖直放置，P 、Q 为对应的轨道最高点，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，且能过轨道最高点P ，则下列说法中正确的是( )A ．轨道对小球不做功，小球通过P 点的角速度小于通过Q 点的角速度B ．轨道对小球做正功，小球通过P 点的线速度大于通过Q 点的线速度C ．小球通过P 点时的向心加速度大于通过Q 点时的向心加速度D ．小球通过P 点时对轨道的压力大于通过Q 点时对轨道的压力 答案 A解析 由机械能守恒可知，P 点的速度小于Q 点的速度，即v P <v Q ，且r P >r Q .由于轨道弹力方向始终与小球的速度垂直，所以轨道对小球不做功；由v ＝rω知，ω＝vr ，由于v P <v Q 而r P >r Q ，所以ωP <ωQ ，A 对，B 错；向心加速度a n ＝v 2r ，可知a n P <a n Q ，C 错；而在P 、Q 点时，mg ＋F N ＝m v 2r＝ma n ，所以F N P <F N Q ，D 错．5．在光滑水平面上，一根原长为l 的轻质弹簧的一端与竖直轴O 连接，另一端与质量为m 的小球连接，如图17所示．当小球以O 为圆心做匀速圆周运动的速率为v 1时，弹簧的长度为1.5l ；当它以O 为圆心做匀速圆周运动的速率为v 2 时，弹簧的长度为2.0l .求v 1与v 2的比值．答案3∶2 2解析 设弹簧的劲度系数为k ，当小球以v 1做匀速圆周运动时有：k (1.5l －l )＝m v 211.5l当小球以v 2做匀速圆周运动时有：k (2.0l －l )＝m v 222.0l两式之比得：v 1∶v 2＝3∶2 2►题组1 匀速圆周运动的运动学分析 1．关于匀速圆周运动的说法，正确的是( )A ．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度B ．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻都在改变，所以必有加速度C ．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动D ．匀速圆周运动加速度的方向时刻都在改变，所以匀速圆周运动一定是变加速曲线运动 答案 BD解析 速度和加速度都是矢量，做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，速度时刻发生变化，必然具有加速度．加速度大小虽然不变，但方向时刻改变，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动．故本题选B 、D.2．如图1所示，有一皮带传动装置，A 、B 、C 三点到各自转轴的距离分别为R A 、R B 、R C ，已知R B ＝R C ＝R A /2，若在传动过程中，皮带不打滑．则 ( )A ．A 点与C 点的角速度大小相等B ．A 点与C 点的线速度大小相等 C ．B 点与C 点的角速度大小之比为2∶1D ．B 点与C 点的向心加速度大小之比为1∶4 答案 BD解析 处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等．对于本题，显然v A ＝v C ，ωA ＝ωB ，选项B 正确；根据v A ＝v C 及关系式v ＝ωR ，可得ωA R A ＝ωC R C ，又R C ＝R A /2，所以ωA ＝ωC /2，选项A 错误；根据ωA ＝ωB ，ωA ＝ωC /2，可得ωB ＝ωC /2，即B 点与C 点的角速度大小之比为1∶2，选项C 错误；根据ωB ＝ωC /2及关系式a ＝ω2R ，可得a B ＝a C /4，即B 点与C 点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D 正确． 3．下列说法正确的是( )A ．速度的变化量越大，加速度就越大B ．在匀变速直线运动中，速度方向与加速度方向不一定相同C ．平抛运动是匀变速曲线运动D ．匀速圆周运动的线速度、角速度、周期都不变 答案 BC4．一对男女溜冰运动员质量分别为m 男＝80 kg 和m 女＝40 kg ，面对面拉着一弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图2所示，两人相距0.9 m ，弹簧秤的示数为9.2 N ，则两人( )A ．速度大小相同约为40 m/sB ．运动半径分别为r 男＝0.3 m 和r 女＝0.6 mC ．角速度相同为6 rad/sD ．运动速率之比为v 男∶v 女＝2∶1 答案 B解析 因为两人的角速度相等，由F ＝mω2r 以及两者的质量关系m 男＝2m 女可得，r 女＝2r 男，所以r 男＝0.3 m 、r女＝0.6 m ，B 正确；而角速度相同均为0.62 rad/s ，C 错误；运动速率之比为v 男∶v 女＝1∶2，D 错误．题组2 匀速圆周运动的动力学分析6．如图4所示，水平转台上放着一枚硬币，当转台匀速转动时，硬币没有滑动，关于这种情况下硬币的受力情况，下列说法正确的是( ) A ．受重力和台面的支持力B ．受重力、台面的支持力和向心力C ．受重力、台面的支持力、向心力和静摩擦力D ．受重力、台面的支持力和静摩擦力 答案 D解析 重力与支持力平衡，静摩擦力提供向心力，方向指向转轴．7．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图5所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看做是做半径为R 的圆周运动．设内外路面高度差为h ，路基的水平宽度为d ，路面的宽度为L .已知重力加速度为g .要使车轮与路面之间的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于 ( ) A. gRhL B. gRhd C.gRLhD.gRdh解析 考查向心力公式．汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小F 向＝mg tan θ，根据牛顿第二定律：F 向＝m v 2R ，tan θ＝hd，解得汽车转弯时的车速v ＝ gRhd，B 对．答案 B 8．质量为m 的飞机以恒定速率v 在空中水平盘旋，如图6所示，其做匀速圆周运动的半径为R ，重力加速度为g ，则此时空气对飞机的作用力大小为 ( )A ．m v 2RB ．mgC ．m g 2＋v 4R2 D ．mg 2－v 2R4答案 C解析 飞机在空中水平盘旋时在水平面内做匀速圆周运动，受到重力 和空气的作用力两个力的作用，其合力提供向心力F 向＝m v 2R .飞机受力情况示意图如图所示，根据勾股定理得： F ＝(mg )2＋F 2向＝mg 2＋v 4R2.9．“飞车走壁”杂技表演比较受青少年的喜爱，这项运动由杂技演员驾驶摩托车沿表演台的侧壁做匀速圆周运动，简化后的模型如图7所示．若表演时杂技演员和摩托车的总质量不变，摩托车与侧壁间沿侧壁倾斜方向的摩擦力恰好为零，轨道平面离地面的高度为H ，侧壁倾斜角度α不变，则下列说法中正确的是( )A ．摩托车做圆周运动的H 越高，向心力越大B ．摩托车做圆周运动的H 越高，线速度越大C ．摩托车做圆周运动的H 越高，向心力做功越多D ．摩托车对侧壁的压力随高度H 增大而减小答案 B解析 经分析可知，摩托车做匀速圆周运动的向心力由重力及侧壁对摩托车弹力的合力提供，由力的合成知其大小不随H 的变化而变化，A 错误；因摩托车和杂技演员整体做匀速圆周运动，所受合外力等于向心力，即F 合＝m v 2r，随H 的增大，r 增大，线速度增大，B 正确；向心力与速度一直垂直，不做功，C 错误；由力的合成与分解知识知摩托车对侧壁的压力恒定不变，D 错误．10．如图8所示，半径为R 、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m 的小球A 、B 以不同的速度进入管内．A 通过最高点C 时，对管壁上部压力为3mg ，B 通过最高点C 时，对管壁下部压力为0.75mg ，求A 、B 两球落地点间的距离． 答案 3R解析 A 球通过最高点时，由FN A ＋mg ＝m v 2A R已知F N A ＝3mg ，可求得v A ＝2Rg B 球通过最高点时，由mg －F N B ＝m v 2B R已知F N B ＝0.75mg ，可求得v B ＝12Rg平抛落地历时t ＝4R g故两球落地点间的距离s ＝(v A －v B )t ＝3R题组3匀速圆周运动中的临界问题11．如图9所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝0.4 m，最低点处有一小球(半径比r小的多)，现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应满足(g＝10 m/s2) () A．v0≥0 B．v0≥4 m/sC．v0≥2 5 m/s D．v0≤2 2 m/s答案CD解析解决本题的关键是全面理解“小球不脱离圆轨道运动”所包含的两种情况：(1)小球通过最高点并完成圆周运动；(2)小球没有通过最高点，但小球没有脱离圆轨道．对于第(1)种情况，当v0较大时，小球能够通过最高点，这时小球在最高点处需要满足的条件是mg≤m v2/r，又根据机械能守恒定律有mv2/2＋2mgr＝m v20/2，可求得v0≥2 5 m/s，故选项C正确；对于第(2)种情况，当v0较小时，小球不能通过最高点，这时对应的临界条件是小球上升到与圆心等高位置处，速度恰好减为零，根据机械能守恒定律有mgr＝m v20/2，可求得v0≤2 2 m/s，故选项D正确．12．用一根细线一端系一小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图10所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω，细线的张力为F T，则F T随ω2变化的图象是下列选项中的()答案 C解析小球未离开锥面时，设细线的张力为F T，线的长度为L，锥面对小球的支持力为F N，则有：F T cos θ＋F N sin θ＝mg及F T sin θ－F N cos θ＝mω2L sin θ，可求得F T＝mg cos θ＋mω2L sin2θ可见当ω由0开始增大，F T从mg cos θ开始随ω2的增大而线性增大，当角速度增大到小球飘离锥面时，有F T sin α＝mω2L sin α，其中α为细线与竖直方向的夹角，即F T＝mω2L，可见F T随ω2的增大仍线性增大，但图线斜率增大了，综上所述，只有C正确．13．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108 km/h.汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．(1)如果汽车在这种高速公路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？(2)如果高速公路上设计了圆弧拱形立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱形立交桥的半径至少是多少？(取g＝10 m/s2)答案(1)150 m(2)90 m解析(1)汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力由车与路面间的静摩擦力提供，当静摩擦力达到最大值时，由向心力公式可知这时的半径最小，有F max＝0.6mg＝m v2r min，由速度v＝108 km/h＝30 m/s得，弯道半径r min＝150 m.(2)汽车过拱桥，可看做在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，根据向心力公式有mg－F N＝mv2R.为了保证安全通过，车与路面间的弹力F N必须大于等于零，有mg≥mv2R，则R≥90 m.14．如图11所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心r＝20 cm处放置一小物块A，其质量为m＝2 kg，A与盘面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k倍(k＝0.5)．(1)当圆盘转动的角速度ω＝2 rad/s时，物块与圆盘间的摩擦力大小多大？方向如何？(2)欲使A与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度多大？(取g＝10 m/s2)答案(1)1.6 N方向沿半径指向圆心(2)5 rad/s解析(1)物块随圆盘一起绕轴转动，需要向心力，而竖直方向物块受到的重力mg、支持力F N不可能提供向心力，向心力只能来源于圆盘对物块的静摩擦力．根据牛顿第二定律可求出物块受到的静摩擦力的大小F f＝F向＝mω2r＝1.6 N，方向沿半径指向圆心．(2)欲使物块与盘面不发生相对滑动，做圆周运动的向心力应不大于最大静摩擦力所以F向＝mrω2max≤kmg解得ωmax≤kgr＝5 rad/s.。