【成才之路】高中数学 1-1-1精品练习 新人教A版必修4
【成才之路】2015-2016学年人教A版高中数学必修4习题第二章平面向量2.3.2、2.3.3
第二章 2.3 2.3.2、2.3.3基础巩固一、选择题1．已知MN →＝(2,3)，则点N 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．不确定[答案] D[解析] 因为点M 的位置不确定，则点N 的位置也不确定． 2．已知M (2,3)、N (3,1)，则NM →的坐标是( ) A ．(2，－1) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(1，－2) [答案] B[解析] NM →＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．3．已知i 、j 分别是方向与x 轴正方向、y 轴正方向相同的单位向量，O 为原点，设OA →＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2－x ＋1)j (其中x ∈R )，则点A 位于( )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] D[解析] ∵x 2＋x ＋1>0，－(x 2－x ＋1)<0，∴点A 位于第四象限，故选D ．4．设i 、j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，且OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则△OAB 的面积等于( )A ．15B ．10C ．7.5D ．5[答案] D[解析] 由题意可知A (4,2)，B (3,4)，|OA →|＝42＋22＝25，|OB →|＝32＋42＝5，AB →＝OB →－OA →＝－i ＋2j ，|AB →|＝(－1)2＋22＝5，|AO →|2＋|AB →|2＝|OB →|2，所以12×25×5＝5，故选D ．5．已知AB →＝a ，且A ⎝⎛⎭⎫12，4，B ⎝⎛⎭⎫14，2，又λ＝12，则λa 等于( ) A ．⎝⎛⎭⎫－18，－1 B ．⎝⎛⎭⎫14，3 C ．⎝⎛⎭⎫18，1D ．⎝⎛⎭⎫－14，－3[答案] A[解析] a ＝AB →＝⎝⎛⎭⎫14，2－⎝⎛⎭⎫12，4＝⎝⎛⎭⎫－14，－2，λa ＝12a ＝⎝⎛⎭⎫－18，－1，故选A ． 6．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)[答案] D[解析] 由题意，得4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，则d ＝－4a －4b ＋2c －2(a －c )＝－6a －4b ＋4c ＝(－2，－6)． 二、填空题7．若O (0,0)、A (1,2)且OA ′→＝2OA →，则A ′的坐标为______． [答案] (2,4)[解析] A ′(x ，y )，OA ′→＝(x ，y )，OA →＝(1,2)，∴(x ，y )＝2(1,2)＝(2,4)．8．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________. [答案] (－3，－5)[解析] ∵BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．三、解答题9．已知A (2,0)，a ＝(x ＋3，x －3y －5)，若a ＝OA →，O 为原点，求x ，y 的值． [解析] ∵a ＝OA →＝(2,0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2x －3y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－2， ∴x ＝－1，y ＝－2.10．已知点A (－1,2)，B (2,8)，及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C 、D 和CD →的坐标．[解析] 设点C 、D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)， DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． ∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)，(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)，即(x 1＋1，y 1－2)＝(1,2)，(－1－x 2,2－y 2)＝(1,2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2，⎩⎪⎨⎪⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0. ∴点C 、D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)． 因此CD →＝(－2，－4)．能力提升一、选择题1．(2015·凯里高一检测)已知向量a 、b 满足：a ＋b ＝(1,3)，a －b ＝(3，－3)，则a 、b 的坐标分别为( )A ．(4,0)、(－2,6)B ．(－2,6)、(4,0)C ．(2,0)、(－1,3)D ．(－1,3)、(2,0)[答案] C[解析] ∵a ＋b ＝(1,3) ① a －b ＝(3，－3) ② ∴①＋②得：a ＝(2,0)． ①－②得：b ＝(－1,3)．2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(11,7)，若c ＝k a ＋l b ，则k 、l 的值为( ) A ．－2,3 B ．－2，－3 C ．2，－3 D ．2,3[答案] D[解析] 利用相等向量的定义求解． ∵a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，c ＝(11,7)， ∴(11,7)＝k (1,2)＋l (3,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝k ＋3l 7＝2k ＋l，解得：k ＝2，l ＝3. 3．(2015·广东佛山)若向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b 满足( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限角的平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限角的平分线 [答案] C[解析] ∵a ＋b ＝(0，x 2＋1)， ∴向量a ＋b 满足平行于y 轴．4．在△ABC 中，已知A (2,3)，B (6，－4)，G (4，－1)是中线AD 上一点，且|AG →|＝2|GD →|，那么点C 的坐标为( )A ．(－4,2)B ．(－4，－2)C ．(4，－2)D ．(4,2)[答案] C[解析] 由题意，知点G 是△ABC 的重点，设C (x ，y )，则有⎩⎨⎧2＋6＋x3＝4，3－4＋y3＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.故C (4，－2)． 二、填空题5．已知两点M (3，－2)，N (－5，－1)，点P 满足MP →＝12MN →，则点P 的坐标是________．[答案] (－1，－32)[解析] 设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)， MN →＝(－8,1)．∵MP →＝12MN →，∴(x －3，y ＋2)＝12(－8,1)．即⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4y ＋2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－32，∴P (－1，－32)． 6．设向量OA →绕点O 逆时针旋转π2得向量OB →，且2OA →＋OB →＝(7,9)，且向量OB →＝________.[答案] ⎝⎛⎭⎫－115，235 [解析] 设OA →＝(m ，n )，则OB →＝(－n ，m )，所以2OA →＋OB →＝(2m －n,2n ＋m )＝(7,9)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝7，m ＋2n ＝9.解得⎩⎨⎧m ＝235，n ＝115.因此，OB →＝⎝⎛⎭⎫－115，235. 三、解答题7．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，将下列向量表示成x a ＋y b 的形式． (1)p ＝(2,3)；(2)q ＝(－3,2)．[解析] x a ＋y b ＝x (1,1)＋y (1，－1)＝(x ＋y ，x －y )．(1)由p ＝(2,3)＝(x ＋y ，x －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，即⎩⎨⎧x ＝52，y ＝－12.所以p ＝52a －12B ．(2)由q ＝(－3,2)＝(x ＋y ，x －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－3x －y ＝2，即⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝－52.所以q ＝－12a －52B ．8．已知向量u ＝(x ，y )与向量ν＝(y,2y －x )的对应关系用ν＝f (u )表示．(1)求证：对于任意向量a 、b 及常数m 、n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立； (2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )及f (b )的坐标； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p 、q 为常数)的向量c 的坐标．[解析] (1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b )＝m (a 2,2a 2－a 1)＋n (b 2,2b 2－b 1)＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)．∴f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立．(2)f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)． (3)设c ＝(x ，y )，则f (c )＝(y,2y －x )＝(p ，q )． ∴y ＝p,2y －x ＝q .∴x ＝2p －q . ∴向量c ＝(2p －q ，p )．。
《成才之路》2018-2019学年高一人教A版数学必修4课件： 第1章 三角函数 1.5.2
第一章
1.5.2
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2．函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质
R. (1)定义域：____
____________( k∈Z)时，y 取最小值－A. ω
π 2kπ＋2－φ 当 x ＝ ____________( k ∈ Z) 时， y 取最大值 A ；当 x ＝ ω π 2kπ－2－φ
第一章
)
1.5.2
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●自主预习
1．简谐运动 简谐运动 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))中，A 2π ω 周期 频率 ， ωx＋φ 叫相位， 叫振幅， T＝ ω 叫_______， f＝2π叫________ ________
●知识衔接
1． 用五点法作 y＝2sin3x＋1 的图象时， 首先应描出的五点 的横坐标可以是( ) π π 3π B．0，4，2， 4 ，π π π π 2π D．0，6，3，2， 3
π 3π A．0，2，π， 2 ，2π C．0，π，2π，3π，4π
[答案] D
第一章
1.5.2
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偶 函数． ＋φ)是_____
(5)单调性：单调递增区间是 π π 2 k π － － φ 2 k π ＋ － φ 2 2 ， ω ω ____________________________( k∈Z)； π 3π 2 k π ＋ － φ 2 k π ＋ － φ 2 2 ， ω ω k∈Z)． 单调递减区间是________________________(
【成才之路】高中数学 1-2-2精品练习 新人教A版必修4
1.2 第2课时一、选择题1．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限角或第二象限角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线分别变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等 [答案] B[解析] 三角形的内角有可能是π2，属非象限角；终边在第二象限的角不一定是钝角；终边相同的角不一定相等，故A 、C 、D 都不正确． 2．已知角α的正弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上 D ．在直线y ＝x 或y ＝－x 上 [答案] B[解析] ∵sin α＝1或sin α＝－1，∴角α的终边在y 轴上． 3．利用正弦线比较sin1，sin1.2，sin1.5的大小关系是( ) A ．sin1>sin1.2>sin1.5 B ．sin1>sin1.5>sin1.2 C ．sin1.5>sin1.2>sin1 D ．sin1.2>sin1>sin1.5 [答案] C[解析] 数形结合可知，C 正确．4．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是a 、b 、c ，则它们的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．b >c >a[答案] B[解析] 如图，AT >MP >OM ，即c >a >b .5．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形 [答案] D[解析] 当0<α≤π2时，由单位圆中的三角函数线知，sin α＋cos α≥1，而sin α＋cos α＝23，∴α必为钝角． 6．设角α是第二象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 [答案] C[解析] ∵α是第二象限角，∴α2是第一、三象限角 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2知，cos α2≤0，∴α2是第三象限角．7．a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c[答案] D[解析] ∵π4<2π7<π2，作出角2π7的三角函数线如图可知， cos 2π7<sin 2π7<tan 2π7，∴选D.8．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( ) A ．若α、β是第一象限角，则cos α>cos β B ．若α、β是第二象限角，则tan α>tan β C ．若α、β是第三象限角，则cos α>cos β D ．若α、β是第四象限角，则tan α>tan β [答案] D[解析] 如图(1)，α、β的终边分别为OP 、OQ ，sin α＝MP >NQ ＝sin β，此时OM <ON ，∴cos α<cos β，故A 错；如图(2)，OP 、OQ 分别为角α、β的终边，MP >NQ ，∴AC <AB ，即tan α<tan β，故B 错； 如图(3)，角α，β的终边分别为OP 、OQ ，MP >NQ 即sin α>sin β，∴ON >OM ，即cos β>cos α，故C 错，∴选D.二、填空题9．若α∈[0,2π)，且cos α≥32，则α的取值范围是______． [答案] [0，π6]∪[11π6，2π)[解析] 如图，OM 为[0,2π)内的角π6和11π6的余弦线，欲使cos α≥32，角α的余弦≥OM ，当OM 伸长时，OP 与OQ 扫过部分为扇形POQ ，∴0≤α≤π6或11π6≤α<2π.10．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫－1，22 [解析] 如图可知sin 3π4＝22，sin 3π2＝－1，∴－1<sin θ<22. 11．已知点P (tan α，sin α－cos α)在第一象限，且0≤α≤2π，则角α的取值范围是______________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，5π4 [解析] ∵点P 在第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0， (1)sin α－cos α>0， (2)由(1)知0<α<π2或π<α<3π2，(3)由(2)知sin α>cos α，作出三角函数线知，在[0,2π]内满足sin α>cos α的α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，(4) 由(3)、(4)得α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4.[点评] 要准确应用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式须熟记以下几种情形：12．利用单位圆写出满足sin α<22，且α∈(0，π)的角α的集合是__________________________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π[解析] 作出正弦线如图．MP ＝NQ ＝22， 当sin α<22时，角α对应的正弦线MP 、NQ 缩短， ∴0<α<π4或3π4<α<π.三、解答题13．利用三角函数线比较下列各组数的大小 ：(1)sin 2π3与sin 4π5；(2)tan 2π3与tan 4π5.[解析] 如图所示，角2π3的终边与单位圆的交点为P ，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T ，作PM ⊥x 轴，垂足为M ，sin 2π3＝MP ，tan 2π3＝AT ；4π5的终边与单位圆的交点为P ′，其反向延长线与单位圆的过点A 的切线交点为T ′，作P ′M ′⊥x 轴，垂足为M ′，则sin 4π5＝M ′P ′，tan 4π5＝AT ′，由图可见，MP >M ′P ′>0，AT <AT ′<0， ∴(1)sin 2π3>sin 4π5.(2)tan 2π3<tan 4π5.14．求下列函数的定义域：(1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )． [解析] 如图(1)． ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.∴函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．(2)如图(2)．∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32.∴函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，π3＋2k π∪⎝ ⎛ 2π3＋2k π，⎭⎪⎫4π3＋2k π(k ∈Z )，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋k π，π3＋k π(k ∈Z )． 15．利用单位圆中的三角函数线解不等式(组)： (1)3tan α＋3>0；(2)⎩⎨⎧2sin x －2>02cos x ≤1.[解析] (1)要使3tan α＋3>0，即tan α>－33. 由正切线知k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z .∴不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫k π－π6，k π＋π2，k ∈Z .(2)不等式组即为⎩⎪⎨⎪⎧sin x >22cos x ≤12区域(Ⅰ)为sin x >22，区域(Ⅱ)为cos x ≤12.区域(Ⅰ)与(Ⅱ)公共部分为不等式组的解，即不等式组解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π3，2k π＋3π4，k ∈Z .16．已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，求sin α，cos α，tan α的值． [解析] (1)当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点A (1,2)， 由r ＝|OA |＝12＋22＝5得， sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝2.(2)当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点B (－1，－2)， 由r ＝|OB |＝(－1)2＋(－2)2＝5得，sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2.。
《成才之路》高一数学(人教A版)必修4能力提升：1-1-1 任意角
能 力 提 升一、选择题1．给出下列四个命题，其中正确的命题有( )①－75°是第四象限角 ②225°是第三象限角③475°是第二象限角 ④－315°是第一象限角A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] D[解析] 由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.2．如果角α与x ＋45°具有同一条终边，角β与x －45°具有同一条终边，则α与β的关系是( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝k ·360°(k ∈Z )D ．α－β＝k ·360°＋90°(k ∈Z )[答案] D[解析] ∵α＝(x ＋45°)＋k ·360°(k ∈Z )，β＝(x －45°)＋k ·360°(k ∈Z )，∴α－β＝k ·360°＋90°(k ∈Z )．3．(山东潍坊模块达标)已知α与120°角的终边关于x 轴对称，则α2是( ) A ．第二或第四象限角 B ．第一或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角[答案] A[解析] 由α与120°角的终边关于x 轴对称，可得α＝k ·360°－120°，k∈Z，∴α2＝k·180°－60°，k∈Z，取k＝0,1可确定α2终边在第二或第四象限．4．若角θ是第四象限角，则90°＋θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[答案] A[解析]如图所示，将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°＋θ的终边，则90°＋θ是第一象限角．5．下列说法中，正确的是()A．第二象限的角是钝角B．第二象限的角必大于第一象限的角C．－150°是第二象限角D．－252°16′，467°44′，1187°44′是终边相同的角[答案] D[解析]第二象限的角中，除包含钝角以外，还包含与钝角相差k·360°(k∈Z)的角，如460°是第二象限的角但不是钝角，故选项A错；460°是第二象限的角，730°是第一象限角，显然460°小于730°，故选项B错；选项C中－150°应为第三象限角，故选项C错；选项D 中三个角相差360°的整数倍，则它们的终边相同．6．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于()A．{－36°，54°}B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°}D．{－126°，54°}[答案] C[解析]当k＝－1时，α＝－126°∈B；当k＝0时，α＝－36°∈B；当k＝1时，α＝54°∈B；当k＝2时，α＝144°∈B.二、填空题7．(2011～2012·黑龙江五校联考)与－2013°终边相同的最小正角是________．[答案]147°8．(2011～2012·镇江高一检测)将分针拨快10分钟，则分针所转过的度数为________．[答案]－60°9．已知角β的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么β∈________.[答案]{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}[解析]在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α的取值范围为30°<α<150°与210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k ＋1)180°＋30°<α<(2k＋1)180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．三、解答题10．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OM上；(2)终边落在直线OM上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．[解析](1)终边落在射线OM上的角的集合为A＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在射线OM反向延长线上的角的集合为B＝{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z}，则终边落在直线OM上的角的集合为A∪B＝{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝225°＋k·360°，k∈Z} ＝{α|α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{α|α＝45°＋n·180°，n∈Z}．(3)同理，得终边落在直线ON上的角的集合为{β|β＝60°＋n·180°，n∈Z}，故终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α|45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．11．如图，已知直线l1：y＝33x及直线l2：y＝－3x，请表示出终边落在直线l1或l2上的角．[解析]由题意知，终边落在直线l1上的角的集合为M1＝{α|α＝30°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝210°＋k2·360°，k2∈Z}＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}；终边落在直线l2上的角的集合为M2＝{α|α＝120°＋k1·360°，k1∈Z}∪{α|α＝300°＋k2·360°，k2∈Z}＝{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}．所以终边落在直线l1或l2上的角的集合为M＝M1∪M2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝120°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋2k·90°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·90°，n∈Z}．12．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°，则α共有多少个？[解析](1)在给定的角的集合中，终边不相同的角共有四种，分别是与45°，135°，－135°，－45°终边相同的角．(2)令－360°<k·90°＋45°<360°，得－92<k<72.又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3. ∴满足条件的角共有8个．。
2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件：第二章 平面向量
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|b|＝|－3e1＋2e2|＝ －3e1＋2e22 ＝ 9e12＋4e22－12e1·e2 ＝ 13－12cos60°＝ 7. 夹角θ满足cosθ＝|aa|·|bb|＝ －7·727＝－12. ∴向量a与b的夹角为120°.
第二章 章末归纳总结
第二章 章末归纳总结
国际菁英会副主席、澳门东博集团创始人史志康，在论坛上解读了《市青少年发展现状调查报告》，在商业领域构建让全世界向往的先进模式，进而让中华文明成为引领世界发展的样板，是普华集团的 愿景，也是普华人心中实践中华民族伟大复兴的务实道路，打卡学习告一段落,但孩子们在打卡过程中收获的知识,养成的良好习惯,将陪伴他们一生，消防排烟风机 /，(二)审 查办法1线上筛选根据招聘条件、岗位要求等对报名材料进行筛查，按1：6比例择优确定参加线上面谈人员，正如2003年的非典成就了以京东为代表的电商，2020年的新冠疫情，正在成为国内教育行业 进军OMO、走向线上线下深度融合的元年，并势必将对我国及各个国家未来教育的发展产生重要而深远的影响，二是深化社会分工
专题三 有关向量的模(长度) 已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的范围．
[分析] 本题考查向量的模，要求同学们熟练掌握研究 向量模的方法．
第二章 章末归纳总结
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[解析] 解法1：∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7. 即：|a－b|的范围是[1,7]． 解法2：∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cosθ ＝25－24cosθ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]．∴|a－b|∈[1,7]．
【成才之路】高中数学 2-2-1精品练习 新人教A版必修4.doc
2.2 第1课时一、选择题1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则四边形ABCD 一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．平行四边形[答案] D[解析] 在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋BC →， 又AC →＝AB →＋AD →，∴BC →＝AD →， ∴四边形ABCD 是平行四边形．2．向量(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( ) A.BC →B.AB →C.AC →D.AM →[答案] C[解析] 原式＝AB →＋BC →＋MB →＋BO →＋OM →＝AC →＋0＝AC →.3．若a ，b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同 [答案] B[解析] ∵a 与b 方向相反，|a |>|b |，∴a ＋b 与a 的方向相反，故B 不正确． 4．已知|AB →|＝8，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是( ) A ．[5,13] B ．[3,13] C ．[8,13] D ．[5,8][答案] B[解析] 当AB →与AC →异向时，|BC →|可取最大值13；当AB →与AC →同向时，|BC →|可取最小值3.所以|BC →|的取值范围是[3,13]．[点评] 先作出AB →，由于BC →的方向未定，以A 为圆心|AC →|为半径作圆，则此圆上任一点均可为C 点，∴3≤|BC →|≤13.5．已知平行四边形ABCD ，设AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝a ，而b 是一非零向量，则下列结论正确的有( )①a ∥b ②a ＋b ＝a③a ＋b ＝b ④|a ＋b |<|a |＋|b | A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．①②[答案] A[解析] 在平行四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，BC →＋DA →＝0，所以a 为零向量，零向量和任何向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确．6．a 、b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则下列说法正确的是( ) A ．a 与b 方向相同 B ．a ∥b C ．a ＝－bD ．a 与b 的关系不确定 [答案] A[解析] 当两个非零向量a 与b 不共线时，a ＋b 的方向与a 、b 的方向都不相同，且|a ＋b |<|a |＋|b |；向量a 与b 同向时，a ＋b 的方向与a 、b 的方向都相同，且|a ＋b |＝|a |＋|b |；向量a 与b 反向且|a |<|b |时，a ＋b 的方向与b 的方向相同(与a 方向相反)，且|a ＋b |＝|b |－|a |.7．在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点．下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD →B.AD →＋OD →＝DA →C.AO →＋OD →＝AC →＋CD →D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → [答案] C[解析] 因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →.8．在△ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，则DE →＋FC →等于( ) A.AB →B.BC →C.AC →D.AE →[答案] C[解析] ∵D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点， ∴DE ∥AF 且DE ＝AF ，∴DE →＝AF →，∴DE →＋FC →＝AF →＋FC →＝AC →.9．向量(AB →＋CD →)＋(DE →＋BE →)＋EA →化简后为( ) A.CE →B.BE →C.EC →D.EB →[答案] A10．(09·山东文)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.PA →＋PB →＝0B.PB →＋PC →＝0C.PC →＋PA →＝0D.PA →＋PB →＋PC →＝0 [答案] C[解析] ∵BC →＋BA →＝2BP →，∴由平行四边形法则，点P 为线段AC 的中点， ∴PC →＋PA →＝0.故选C. 二、填空题11．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝90°，则|a ＋b |＝________. [答案] 3 2[解析] ∵|OA →|＝|OB →|且∠AOB ＝90°，∴|a ＋b |为以OA →、OB →为两邻边的矩形的对角线的长，∴|a ＋b |＝3 2.12．设P 为▱ABCD 所在平面内一点，则①PA →＋PB →＝PC →＋PD →；②PA →＋PC →＝PB →＋PD →；③PA →＋PD →＝PB →＋PC →中成立的序号为________．[答案] ②[解析] 以PA 、PC 为邻边作平行四边形PAEC ，则PE 与AC 交于AC 中点O ，同样以PB 、PD 为邻边作平行四边形PBFD ，对角线BD 与PF 交于BD 中点O ′，则O 与O ′重合，∴PA →＋PC→＝PB →＋PD →.13．若|AB →|＝10，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是______． [答案] [2,18] [解析] 如图．固定AB →，以A 为起点作AC →，则AC →的终点C 在以A 为圆心，|AC →|为半径的圆上，由图可见，当C 在C 1处时，|BC →|取最小值2，当C 在C 2处时，|BC →|取最大值18.三、解答题14．设a 表示“向西走2km”，b 表示“向北走2km”，则a ＋b 表示向哪个方向行走了多少？[解析] 如图，作OA →＝a ＝“向西走2km”，AB →＝b ＝“向北走2km”，则OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b .∵△OAB 为Rt△，∴|OB →|＝22＋22＝22km ，又∠AOB ＝45°，所以a ＋b 表示向西北方向走了22km.15．已知两个力F 1、F 2的方向互相垂直，且它们的合力F 大小为10N ，与力F 1的夹角是60°，求力F 1、F 2的大小．[解析] 设OA →表示力F 1，OB →表示力F 2，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →表示合力F ，由题意易得|OA →|＝|OC →|cos60°＝5，|OB →|＝|OC →|sin60°＝53，因此，力F 1，F 2的大小分别为5N 和53N.16．在水流速度大小为10km/h 的河中，如果要使船实际以103km/h 大小的速度与河岸成直角横渡，求船行驶速度的大小与方向．[解析] 如右图所示，OA 表示水流方向，OB →表示垂直于对岸横渡的方向，OC →表示船行速度的方向，由OB →＝OC →＋OA →易知|BC →|＝|OA →|＝10，又∠OBC ＝90°，∴|OC →|＝20，∴∠BOC ＝30°，∴∠AOC ＝120°，即船行驶速度为20km/h ，方向与水流方向成120°角．17．在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O 且|AB →|＝|AD →|＝1，OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0， cos∠DAB ＝12.求|DC →＋BC →|与|CD →＋BC →|.[解析] ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，∴OA →＝CO →，OB →＝DO →. ∴四边形ABCD 为平行四边形．又|AB →|＝|AD →|＝1，知四边形ABCD 为菱形． ∵cos∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)，∴∠DAB ＝π3，∴△ABD 为正三角形．∴|DC →＋BC →|＝|AB →＋AD →|＝|AC →|＝2|AO →|＝ 3. |CD →＋BC →|＝|BD →|＝|AB →|＝1.18．若E ，F ，M ，N 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：EF →＝NM →. [解析] 如图所示，连结AC ，在△DAC 中，∵N ，M 分别是AD ，CD 的中点，∴NM →∥AC →，且|NM →|＝12|AC →|，且NM →与AC →的方向相同．同理可得|EF →|＝12|AC →|且EF →与AC →的方向相同，故有|EF →|＝|NM →|，且EF →与NM →的方向相同，∴EF →＝NM →.。
【成才之路】2015-2016学年人教A版高中数学必修4习题第1章综合检测题
第一章综合检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．若α是第二象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角[答案] A[解析] α为第二象限角，不妨取α＝120°，则180°－α为第一象限角． 2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1 D ．2sin1 [答案] C[解析] 由题设，圆弧的半径r ＝1sin1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin1.3．(2015·宁波模拟)如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) [答案] A[解析] 设P (x ，y )，由三角函数定义知sin θ＝y ，cos θ＝x ，故P 点坐标为(cos θ，sin θ)． 4．(2015·昆明模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43 B ．34C ．－34D ．－43[答案] D[解析] x <0，r ＝x 2＋16，∴cos α＝x x 2＋16＝15x ，∴x 2＝9，∴x ＝－3，∴tan α＝－43.5．如果sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为( )A ．－2B ．2 C.2316 D ．－2316[答案] D[解析] ∵sin α－2cos α＝－5(3sin α＋5cos α)， ∴16sin α＝－23cos α，∴tan α＝－2316.6．(2015·江苏邳州高一检测)设α为第二象限角，则sin αcos α·1sin 2α－1＝( )A ．1B ．tan 2αC ．－tan 2αD ．－1 [答案] D[解析] sin αcos α·1sin 2α－1＝sin αcos α·cos 2αsin 2α＝sin αcos α·|cos αsin α|，又∵α为第二象限角，∴cos α<0，sin α>0. ∴原式＝sin αcos α·|cos αsin α|＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.7．(2015·普宁模拟)若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ的值为( )A ．－81727B ．81727C.82027 D ．－82027[答案] C[解析] ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，∴sin θ＝3cos θ.∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝3cos 2θ＋127cos 2θ＝8227cos 2θ由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝3cos θsin 2θ＋cos 2θ＝1得cos 2θ＝110 ∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝82027. 8．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根， 则sin (－α－3π2)sin (3π2－α)tan 2(2π－α)cos (π2－α)cos (π2＋α)sin (π＋α)＝( )A.35 B ．53C.45 D ．54[答案] B[解析] 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2.则sin α＝－35原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53.9．(2015·安徽理)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( )A ．f (2)<f (－2)<f (0)B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2)[答案] A[解析] ∵f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π，且x ＝2π3是经过函数f (x )最小值点的一条对称轴，∴x ＝2π3－π2＝π6是经过函数f (x )最大值点的一条对称轴．∵|2－π6|＝12－π6，|(π－2)－π6|＝5π－126，|0－π6|＝π6，∴|2－π6|>|(π－2)－π6|>|0－π6|，且－π3<2<2π3，－π3<π－2<2π3，－π3<0<2π3，∴f (2)<f (π－2)<f (0)，即f (2)<f (－2)<f (0)．10．将函数y ＝sin(x －π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向右平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin(12x －π2)C ．y ＝sin(12x －π6)D ．y ＝sin(2x －π6)[答案] B[解析] y ＝sin(x －π3)――→横坐标伸长为原来的2倍y ＝sin(12x －π3) y ＝sin[12(x －π3)－π3]＝sin(12x －π2)．11．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数 [答案] D[解析] ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－cos x (x ∈R )， ∴T ＝2π，在⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数． ∵f (－x )＝－cos(－x )＝－cos x ＝f (x )．∴函数f (x )是偶函数，图象关于y 轴即直线x ＝0对称．12．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y (米)可看作是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b ，下表是某日各时的浪高数据：A ．y ＝12cos π6t ＋1B ．y ＝12cos π6t ＋32C ．y ＝2cos π6t ＋32D ．y ＝12cos6πt ＋32[答案] B[解析] ∵T ＝12－0＝12，∴ω＝2πT ＝2π12＝π6.又最大值为2，最小值为1，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋b ＝2，－A ＋b ＝1，解得A ＝12，b ＝32，∴y ＝12cos π6t ＋32.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知函数f (x )＝3x ＋sin x ＋1，若f (t )＝2，则f (－t )＝________. [答案] 0[解析] 令g (x )＝3x ＋sin x .因为g (x )为奇函数，且f (t )＝3t ＋sin t ＋1＝2，所以g (t )＝3t ＋sin t ＝1，则f (－t )＝g (－t )＋1＝－g (t )＋1＝－1＋1＝0.14．(2015·四川文)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________． [答案] －1[解析] sin α＋2cos α＝0⇔tan α＝－2，所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－4－14＋1＝－1. 15．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________.[答案] 2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋6[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8， ∴8＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＋6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝1，取φ＝－π4. ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋6.16．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )，有下列命题：①函数y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos(2x －π6)；②函数y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数； ③函数y ＝f (x )的图象关于点(－π6，0)对称；④函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中，正确的是________．(填上你认为正确命题的序号) [答案] ①③[解析] ①f (x )＝4sin(2x ＋π3)＝4cos(π2－2x －π3)＝4cos(－2x ＋π6)＝4cos(2x －π6)．②T ＝2π2＝π，最小正周期为π.③∵2x ＋π3＝k π，当k ＝0时，x ＝－π6，函数f (x )关于点(－π6，0)对称．④2x ＋π3＝π2＋k π，当x ＝－π6时，k ＝－12，与k ∈Z 矛盾．∴①③正确． 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值； (3)已知角α终边上一点P 与x 轴的距离与y 轴的距离之比为，求2sin α＋cos α的值．[解析] (1)∵r ＝x 2＋y 2＝5，∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45，∴2sin α＋cos α＝－65＋45＝－25. (2)∵r ＝x 2＋y 2＝5|a |，∴当a >0时，r ＝5a ，∴sin α＝－3a 5a ＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝－3a －5a ＝35，cos α＝－45，∴2sin α＋cos α＝25.(3)当点P 在第一象限时，sin α＝35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2；当点P 在第二象限时，sin α＝35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35，cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2；当点P 在第四象限时，sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.18．(本题满分12分)已知f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1(a 为常数)．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求出使f (x )取得最大值时x 的取值集合．[解析] (1)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，76π]，故当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )有最大值a ＋3＝4，所以a ＝1.(3)当sin(2x ＋π6)＝1时f (x )取得最大值，此时2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z ，此时x 的取值集合为{x |x ＝k π＋π6，k ∈Z }．19．(本题满分12分)已知x ∈[－π3，2π3]，(1)求函数y ＝cos x 的值域；(2)求函数y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4的值域．[解析] (1)∵y ＝cos x 在[－π3，0]上为增函数，在[0，2π3]上为减函数，∴当x ＝0时，y 取最大值1； x ＝2π3时，y 取最小值－12.∴y ＝cos x 的值域为[－12，1]．(2)原函数化为：y ＝3cos 2x －4cos x ＋1， 即y ＝3(cos x －23)2－13，由(1)知，cos x ∈[－12，1]，故y 的值域为[－13，154]．20．(本题满分12分)(2015·湖北文)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：(1)(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到y ＝g (x )图象，求y ＝g (x )的图象离原点O 最近的对称中心．[解析] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数表达式为f (x )＝5sin(2x －π6)．(2)由(1)知f (x )＝5sin(2x －π6)，因此g (x )＝5sin[2(x ＋π6)－π6]＝5sin(2x ＋π6)因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为(k π2－π12，0)，k ∈Z ，其中离原点O 最近的对称中心为(－π12，0)．21．(本题满分12分)如图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m ，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB ，设B 点与地面距离为h .(1)求h 与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA 开始转动，经过t 秒到达OB ，求h 与t 间关系的函数解析式．[解析] (1)由题意可作图如图．过点O 作地面平行线ON ，过点B 作ON 的垂线BM 交ON 于M 点．当θ>π2时，∠BOM ＝θ－π2.h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8sin(θ－π2)；当0≤θ≤π2时，上述解析式也适合．(2)点A 在⊙O 上逆时针运动的角速度是π30，∴t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝4.8sin(π30t －π2)＋5.6，t ∈[0，＋∞)．22．(本题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．[解析] (1)设f (x )的最小正周期为T ，则T ＝11π6－(－π6)＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1，又⎩⎪⎨⎪⎧B ＋A ＝3，B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2B ＝1，令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2， 解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k >0，∴k ＝3，令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]，如图，sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解，则s ∈[32，1]，∴方程 f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3]，即实数m 的取值范围是[3＋1,3]．。
【成才之路】高中数学-模块综合能力检测题精品练习-新人教A版必修4
模块综合能力检测题本试卷分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(09·全国Ⅰ文)已知tan α＝4，tan β＝3，则tan (α＋β)＝( )A.711 B ．－711C.713 D ．－713[答案] B[解析] ∵tan β＝3，tan α＝4，∴tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝4＋31－4×3＝－711. 2．(09 广东文)函数y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 [答案] A[解析] 因为y ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 为奇函数，T ＝2π2＝π，所以选A . 3．(09·山东文)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1－sin (2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x [答案] A4．(09·浙江文)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)[答案] D[解析] 设c ＝(m ，n )，∵c ＋a ＝(m ＋1，n ＋2)，a ＋b ＝(3，－1)，∴由(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )得：⎩⎪⎨⎪⎧ －3(m ＋1)－2(n ＋2)＝03m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.故选D.5．函数y ＝cos x ·|tan x |⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2的大致图象是( )[答案] C[解析] ∵y ＝cos x ·|tan x |＝⎩⎪⎨⎪⎧ －sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <0sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2，故选C.6．在△ABC 中，sin A ＝35，cos B ＝513，则cos C 的值为( )A ．－5665B ．－1665C.1665D.5665[答案] C[解析] ∵cos B ＝513，∴sin B ＝1213，∵sin B >sin A ，A 、B 为△ABC 的内角，∴B >A ，∴A 为锐角，∵sin A ＝35，cos A ＝45，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B＝－45×513＋35×1213＝1665.7．已知a ＝(1,3)，b ＝(2＋λ，1)，且a 与b 成锐角，则实数λ的取值范围是() A ．λ>－5B ．λ>－5且λ≠－53C ．λ<－5D ．λ<1且λ≠－53[答案] B[解析] ∵a 与b 夹角为锐角，∴a ·b ＝2＋λ＋3>0，∴λ>－5，当a 与b 同向时，存在正数k ，使b ＝k a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋λ＝k 1＝3k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝13λ＝－53，因此λ>－5且λ≠－53.8．(09·陕西理)若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B.53C.23D ．－2[答案] A[解析] ∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13，∴原式＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝19＋11－23＝103，故选A.9．若sin 4θ＋cos 4θ＝1，则sin θ＋cos θ的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．±1[答案] D[解析] 解法一：由sin 4θ＋cos 4θ＝1知⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝0cos θ＝±1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝±1cos θ＝0， ∴sin θ＋cos θ＝±1.解法二：∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－2sin 2θcos 2θ＝1，∴sin 2θcos 2θ＝0，∴sin θcos θ＝0，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝1，∴sin θ＋cos θ＝±1.10．a 与b 的夹角为120°，|a |＝2，|b |＝5，则(2a －b )·a ＝( )A ．3B ．9C ．12D ．13[答案] D[解析] a ·b ＝2×5×cos120°＝－5，∴(2a －b )·a ＝2|a |2－a ·b ＝8－(－5)＝13.11．设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A 、B 、D 三点共线，则k 的值为( )A ．－94B ．－49C ．－38D ．不存在[答案] A[解析] BD →＝BC →＋CD →＝(－k e 1－e 2)＋(3e 1－2k e 2)＝(3－k )e 1－(1＋2k )e 2，∵A 、B 、D 共线，∴AB →∥BD →，∴3－k 3＝－1－2k 2，∴k ＝－94. 12．(09·宁夏、海南理)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)[答案] C[解析] ∵O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，∴O 是△ABC 外接圆的圆心，由NA →＋NB →＋NC →＝0，得N 是△ABC 的重心；由PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →得PB →·(PA →－PC →)＝PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA ，同理可证PC ⊥AB ，PA ⊥BC ，∴P 为△ABC 的垂心．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是________．[答案] 1－ 2 [解析] y ＝2cos 2x ＋sin2x ＝1＋cos2x ＋sin2x＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， ∵x ∈R ，∴y min ＝1－ 2.14．在▱ABCD 中，M 、N 分别是DC 、BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，用c 、d 表示AB →＝________.[答案] 43d －23c[解析] d ＝AB →＋BN →＝AB →＋12AD → ①c ＝AD →＋DM →＝AD →＋12AB →②解①②组成的方程组得AD →＝43c －23d ，AB →＝43d －23c .15．已知点P (sin α＋cos α，tan α)在第二象限，则角α的取值范围是________．[答案] 2k π－π4<α<2k π或2k π＋π2<α<2k π＋3π4 k ∈Z[解析] ∵点P 在第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α>0tan α<0，如图可知，α的取值范围是2k π－π4<α<2k π或2k π＋π2<α<2k π＋3π4 k ∈Z .16．如图所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →＝________.[答案] c ＋a －b[解析] OD →＝OC →＋CD →＝OC →＋BA →＝OC →＋(OA →－OB →)＝c ＋a －b .三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(09·湖南文)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0<θ<π，求θ的值．[解析] (1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a |＝|b |知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4， 所以2θ＋π4＝5π4，或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2，或θ＝3π4. 18．(本题满分12分)(09·重庆文)设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3. (1)求ω的值；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象向右平移π2个单位长度得到，求y ＝g (x )的单调增区间． [解析] (1)f (x )＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋2sin ωx cos ωx ＋1＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＋2＝2sin(2ωx ＋π4)＋2， 依题意得2π2ω＝2π3，故ω＝32. (2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＋2， 依题意得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4＋2 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －5π4＋2， 由2k π－π2≤3x －5π4≤2k π＋π2(k ∈Z )解得 23k π＋π4≤x ≤23k π＋7π12(k ∈Z )， 故g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23k π＋π4，23k π＋7π12 (k ∈Z )．19．(本题满分12分)(09·陕西文)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的周期为π，且图象上一个最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12时，求f (x )的最值． [解析] (1)由最低点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2， 由T ＝π得ω＝2πT＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)． 由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－2 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1， ∴4π3＋φ＝2k π－π2即φ＝2k π－11π6，k ∈Z ， 又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴k ＝1，∴φ＝π6， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3， ∴当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取得最小值1； 当2x ＋π6＝π3，即x ＝π12时，f (x )取得最大值 3.20．(本题满分12分)(北京通州市09～10高一期末)已知向量a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝sin(ωx,0)，且ω>0，设函数f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ，(1)若f (x )的图象中相邻两条对称轴间距离不小于π2，求ω的取值范围；(2)若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈－π6，π6时，f (x )的最大值为2，求k 的值． [解析] ∵a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(sin ωx,0)， ∴a ＋b ＝(3cos ωx ＋sin ωx ，sin ωx )．∴f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx ＋k ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＋k ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋12＋k . (1)由题意可得：T 2＝2π2×2ω≥π2. ∴ω≤1，又ω>0，∴ω的取值范围是0<ω≤1.(2)∵T ＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12＋k ∵－π6≤x ≤π6，∴－π2≤2x －π6≤π6. ∴当2x －π6＝π6， 即x ＝π6时，f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2. ∴sin π6＋12＋k ＝2.∴k ＝1. 21．(本题满分12分)(09·江苏文)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .[解析] (1)∵a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)∵a 与b －2c 垂直，∴a ·(b －2c )＝a ·b －2a ·c ＝4cos αsin β＋4sin αcos β－2(4cos αcos β－4sin αsin β)＝4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，∴tan(α＋β)＝2.(2)∵b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)∴|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β＝17－30sin βcos β＝17－15sin2β，当sin2β＝－1时，最大值为32，∴|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，∴a ∥b .22．(本题满分14分)(09·福建文)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2. (1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值； (2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．[解析] 解法一：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0. 又|φ|<π2，∴φ＝π4； (2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4. 依题意，T 2＝π3. 又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. 函数f (x )的图象向左平移m 个单位后，所得图象对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(x ＋m )＋π4，g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )．从而，最小正实数m ＝π12.解法二：(1)同解法一．(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4.依题意，T 2＝π3.又T ＝2πω，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所得图象对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(x ＋m )＋π4.g (x )是偶函数当且仅当g (－x )＝g (x )对x ∈R 恒成立，亦即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋3m ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3m ＋π4对x ∈R 恒成立．∴sin(－3x )cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋π4＋cos(－3x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋π4＝sin3x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋π4＋cos3x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋π4，即2sin3x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋π4＝0对x ∈R 恒成立．∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋π4＝0，故3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，∴m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12.。
【成才之路】人教A版高中数学必修4习题 第一章 三角函数 1.3.1[ 高考]
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第一章 1.3 1.3.1基础巩固一、选择题1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是( ) A ．α一定是锐角 B ．0≤α<2πC ．α一定是正角D ．α是使公式有意义的任意角[答案] D2．下列各式不正确的是( ) A ．sin(α＋180°)＝－sin α B ．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C ．sin(－α－360°)＝－sin α D ．cos(－α－β)＝cos(α＋β) [答案] B3．cos(－20π3)等于( )A.12 B ．32 C ．－12D ．－32[答案] C[解析] cos(－20π3)＝cos 20π3＝cos(6π＋2π3)＝cos 2π3＝cos(π－π3)＝－cos π3＝－12.4．(2015·广东揭阳第一中学期中)tan300°＝( ) A. 3 B ．－ 3 C.33D ．－33[答案] B[解析] tan300°＝tan(360°－60°)＝tan(－60°) ＝－tan60°＝－ 3.5．sin600°＋tan240°的值是( ) A ．－32B ．32C ．－12＋ 3D ．12＋ 3[答案] B[解析] sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－32＋3＝32. 6．已知tan5°＝t ，则tan(－365°)＝( ) A ．t B ．360°＋t C ．－t D ．与t 无关[答案] C[解析] tan(－365°)＝－tan365°＝－tan(360°＋5°)＝－tan5°＝－t . 二、填空题7．(2015·杭州调研)若sin(π＋α)＝12，α∈(－π2，0)，则tan α＝________.[答案] －33[解析] ∵sin(π＋α)＝－sin α＝12，∴sin α＝－12，又α∈(－π2，0)，∴α＝－π6，tan α＝tan(－π6)＝－33.8．已知α∈(0，π2)，tan(π－α)＝－34，则sin α＝______.[答案] 35[解析] 由于tan(π－α)＝－tan α＝－34，则tan α＝34，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±35，又α∈(0，π2)，所以sin α>0.所以sin α＝35.三、解答题9．求值：(1)sin1 320°；(2)cos(－31π6)．[解析] (1)sin1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.(2)cos(－31π6)＝cos(－6π＋5π6)＝cos 5π6＝cos(π－π6)＝－cos π6＝－32.10．已知cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (540°＋α)sin (－α－180°)cos (－180°－α)＝lg 1310，求cos (π＋α)cos α[cos (π－α)－1]＋cos (α－2π)cos αcos (π－α)＋cos (α－2π)的值．[解析] ∵cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (540°＋α)sin (－α－180°)cos (－180°－α)＝(－cos α)sin αsin (180°＋α)－sin (180°＋α)cos (180°＋α)＝(－cos α)sin α(－sin α)sin α(－cos α)＝－sin α＝lg 1310，∴sin α＝－lg1310＝lg 310＝13.∴cos (π＋α)cos α[cos (π－α)－1]＋cos (α－2π)cos αcos (π－α)＋cos (α－2π) ＝－cos αcos α(－cos α－1)＋cos αcos α(－cos α)＋cos α＝1cos α＋1＋11－cos α＝(1－cos α)＋(1＋cos α)1－cos 2α ＝2sin 2α＝18. 能力提升一、选择题1．设tan(5π＋α)＝m (α≠k π＋π2，k ∈Z )，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1 B ．m －1m ＋1C ．－1D ．1[答案] A[解析] ∵tan(5π＋α)＝m ，∴tan α＝m ，原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1m －1，故选A.2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝2，则sin(α－5π)·cos(3π－α)等于( )A.34 B ．310C ．±310D ．－310[答案] B[解析] 由sin α＋cos αsin α－cos α＝2，得tan α＝3.则sin(α－5π)·cos(3π－α) ＝－sin(5π－α)·cos(2π＋π－α) ＝－sin(π－α)·[cos(π－α)] ＝－sin α·(－cos α) ＝sin α·cos α ＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝3103．已知n 为整数，化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)所得结果是( )A ．tan(nα)B ．－tan(nα)C ．tan αD ．－tan α [答案] C[解析] 若n ＝2k (k ∈Z )，则sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋α)cos (2k π＋α)＝sin αcos α＝tan α；若n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋π＋α)cos (2k π＋π＋α)＝sin (π＋α)cos (π＋α)＝－sin α－cos α＝tan α.4．若α∈(－π2，0)，且sin(π－α)＝log 814，则tan(2π－α)等于( )A ．－52B ．52C ．－255D ．255[答案] D[解析] 依题意，得sin α＝log 814＝log 214log 28＝－23.∵α∈(－π2，0)，∴cos α＝1－sin 2α＝1－(－23)2＝53.∴tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝－－2353＝255.二、填空题5．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2014)＝－1，则f (2015)等于________．[答案] 1[解析] ∵f (2015)＝a sin(2015π＋α)＋b cos(2015π＋β)＝a sin(π＋2014π＋α)＋b cos(π＋2014π＋β)＝－a sin(2014π＋α)－b cos(2014π＋β)＝－f (2014)，又f (2014)＝－1，∴f (2015)＝1.6．若cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝________.[答案] －33[解析] cos(5π6－θ)＝cos[π－(π6＋θ)]＝－cos(π6＋θ)＝－33.三、解答题7．已知α是第四象限角，且 f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)tan (－α＋2π)tan (－α＋π)sin (3π－α).(1)化简f (α)；(2)若sin α＝－35，求f (α)；(3)若α＝－31π3，求f (α)．[解析] (1)f (α)＝－sin αcos αtan α－tan αsin α＝cos α.(2)∵sin α＝－35，且α是第四象限角，∴f (α)＝cos α＝1－sin 2α＝1－925＝45. (3)f (－31π3)＝cos(－31π3)＝cos(－π3)＝cos π3＝12.8．已知tan α，1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两实根，且3π<α<7π2.求cos(3π＋α)＋sin(π＋α)的值．[解析] ∵tan α，1tan α是方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两根， ∴⎩⎨⎧tan α＋1tan α＝k ，tan α·1tan α＝k 2－3，Δ＝k 2－4(k 2－3)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧1sin αcos α＝k ，k 2－3＝1，k 2≤4.∴⎩⎨⎧1k＝sin αcos α，k ＝±2，3π<α<7π2，∴1k＝sin αcos α>0，故k ＝2. 即1sin αcos α＝2，sin αcos α＝12.∴sin α＋cos α＝－(sin α＋cos α)2＝－1＋2sin αcos α＝－ 2.∴cos(3π＋α)＋sin(π＋α)＝－(cos α＋sin α)＝ 2.[点评] 结合二次方程的根与系数的关系给出角α的三角函数关系，但解此类题不要遗漏根的判别式．。
【成才之路】高中数学 1-4-1练习 新人教A版必修4
1.4 第1课时一、选择题1．如果sin α·tan α<0，且sin α＋cos α∈(0,1)，那么角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [答案] B[解析] ∵sin α·tan α<0，∴α是第二或第三象限角， 又∵sin α＋cos α∈(0,1)，∴α不是一和三象限角，∴α为第二象限角．2．某扇形的周长为16，圆心角为2弧度，则该扇形面积是( ) A ．16π B ．32π C ．16D ．32[答案] C[解析] 设扇形半径为r ，则弧长为2r ，∴4r ＝16， ∴r ＝4，∴S ＝12l ·r ＝12×2r ×r ＝r 2＝16.3．已知sin(490°＋α)＝－45，则sin(230°－α)的值为( )A ．－45B.45 C ．－35D.35[答案] B[解析] ∵sin(490°＋α)＝－45，∴sin(490°＋α－720°)＝－45，即sin(α－230°)＝－45，∴sin(230°－α)＝45.4．已知角α的终边上有一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则最小正角α的值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π3D.11π6 [答案] D[解析] ∵sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，∴点P 在第四象限，∵tan α＝－33，∴α＝2π－π6＝11π6. 5．如果－π2<α<0，则直线x cos α＋y sin α＝sin α的倾斜角为( )A ．－α B.π2＋α C ．π＋α D.π2－α [答案] B[解析] 取α＝－π3，则cos α＝12，sin α＝－32，∴斜率k ＝33，∴直线倾斜角θ＝π6，排除A ，C ，D ，∴选B.6．将余弦函数y ＝cos x 的图象向右至少平移m 个单位，可以得到函数y ＝－sin x 的图象，则m ＝( ) A.π2 B ．π C.3π2D.3π4 [答案] C[解析] 根据诱导公式得，y ＝－sin x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2，故欲得到y ＝－sin x 的图象，须将y＝cos x 的图象向右至少平移3π2个单位长度．7．由y ＝sin x 变换成y ＝－2sin x ，则( ) A ．各点右移π个单位，纵坐标伸长到原来2倍 B ．各点左移π个单位，纵坐标缩短到原来的12C ．各点右移π个单位，纵坐标缩短到原来的12D ．各点左移π2个单位，纵坐标伸长到原来的2倍[答案] A8．函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的大致图象是( )[答案] B9．函数y ＝cos x ＋|cos x | x ∈[0,2π]的大致图象为( )[答案] D[解析] y ＝cos x ＋|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x x ∈[0，π2]∪[3π2，2π]0 x ∈[π2，3π2]，故选D.10．函数y ＝2sin x 与函数y ＝x 图象的交点有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个[答案] B[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝2sin x 与y ＝x 的图象可见有3个交点．二、填空题11．化简cos(180°－α)·sin (α－360°)sin(－α－180°)·cos (180°＋α)＝________.[答案] 1[解析] 原式＝(－cos α)·sin α－sin(180°＋α)·(－cos α)＝1.12．求值sin 27π4＝________.[答案]22[解析] sin 27π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋3π4＝sin 3π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝sin π4＝22.13．观察函数y ＝sin x 的图象可知y ＝sin x 的奇偶性为________函数． [答案] 奇14．下列点中不在函数y ＝3－cos x 的图象上的序号是________． ①⎝⎛⎭⎪⎫π2，3 ②(π，4) ③(0,3) ④⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，2⑤(2π，2) [答案] ③④三、解答题15．画出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象．[解析] 列表略，图形如图．16．作出函数y ＝sin xtan x在定义域内且x ∈[0,2π]的图象．[解析] ∵y ＝sin x tan x ＝cos x ，由tan x 有意义知，x ≠π2，3π2，由tan x ≠0知，x ≠0，π，2π，图象如图．17．作出函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4的图象，观察图象回答．(1)此函数的最大值是多少？(2)此函数图象关于哪些点中心对称(至少写出2个)． [解析] 描点作出图象如图． (1)最大值为2.(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0.。
#2018《成才之路》高一数学(人教A版)必修4教学课件：1-1-1 任意角
－30°是( ) A．第一象限角 C．第三象限角
B．第二象限角 D．第四象限角
[答案] D
3．终边相同的角 (1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重 合，角的始边与x轴的非负半轴重合． (2)终边相同的角的集合：所有与角α终边相同的角，连同 角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝ α＋k·360°，k∈Z}，即任 一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的 和．
(1)与95°角终边相同的角是( )
A．－5°
B．85°
C．395°
D．－265°
[答案] D
(2)与210°角的终边相同的角连同210°角在内组成的角的 集合是________．
[答案] {β|β＝210°＋k·360°，k∈Z}
[拓展]1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表
示
(1)象限角：
[警误区]注意锐角、钝角、直角、平角、周角的概念与象 限角、正角、负角、零角等概念的区别以及它们之间的关 系．
课堂典例讲练
思路方法技巧 命题方向 1 任意角
写出图(1)、(2)中的角 α、β、γ 的度数．
[分析] 弄清角的始边与终边，并结合图形明确这个角从 始边到终边转过了多少度．注意逆时针旋转的一个周角是 360°，顺时针旋转的一个周角是－360°.
[破疑点]理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下 几点：
(1)式中角α为任意角； (2)k∈Z这一条件必不可少； (3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋ (－30°)，即与－30°角终边相同； (4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°(k∈Z)．反之亦 然．
(1)与 405°角终边相同的角是( ) A．k·360°－45°，k∈Z B．k·360°±405°，k∈Z C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z
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1.1 第1课时一、选择题1．与600°角终边相同的角可表示为(k∈Z)( )A．k·360°＋220°B．k·360°＋240°C．k·360°＋60° D．k·360°＋260°[答案] B[解析] 与600°终边相同的角α＝n·360°＋600°＝n·360°＋360°＋240°＝(n＋1)·360°＋240°＝k·360°＋240°，n∈Z，k∈Z.∴选B.2．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α[答案] C[解析] 特例法，取α＝30°，可知C正确．[点评] 作为选择题，用特例求解更简便些．一般角所在的象限讨论，应学会用旋转的方法找角所在的象限．如，α＋90°，将角α的终边逆时针旋转90°，α－90°，则将α的终边顺时针旋转90°，角180°＋α的终边为角α的终边反向延长线，180°－α，先将角α的终边关于x轴对称，再关于原点对称，即可得到180°－α的终边等等．3．集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}与P＝{x|x＝k·45°，k∈Z}之间的关系是( ) A．M P B．M PC．M＝P D．M∩P＝∅[答案] A[解析] ∵x＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，k∈Z∴M P.[点评] k·45°(k∈Z)是45°的整数倍，(2k＋1)·45°(k∈Z)是45°的奇数倍，故M P.在角的集合中，{α|α＝k·180°＋45°(k∈Z)}＝{α|α＝(k＋2)·180°＋45°，(k∈Z)}．{α|α＝2k·90°＋30°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·90°＋30°，k∈Z}＝{α|α＝k·90°＋30°，k∈Z}．这一部分是最容易出错的地方，应当从集合意义上理解．4．给出下列四个命题，其中正确的命题有( )①－75°是第四象限角②225°是第三象限角③475°是第二象限角④－315°是第一象限角A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] D[解析] 由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.5．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为( )A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z[答案] B[解析] 解法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.解法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y轴对称，∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.6．(2020～2020·北京通州高一期末)下列各角中，与60°角终边相同的角是( ) A．－300° B．－60°C．600° D．1380°[答案] A[解析] 与60°角终边相同的角α＝k·360°＋60°，k∈Z，令k＝－1，则α＝－300°，故选A.7．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C[答案] D[解析] 第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°<β<90°，小于90°的角可表示为γ<90°，由三者之间的关系可知，选D.8．如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A．{α|－45°≤α≤120°}B．{α|120°≤α≤315°}C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}[答案] C9．集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B 等于( )A ．{－36°，54°}B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°}[答案] C[解析] 由－180°<k ·90°－36°<180°(k ∈Z )得－144°<k ·90°<216°(k ∈Z )，所以－14490<k <21690(k ∈Z )，所以k ＝－1,0,1,2， 所以A ∩B ＝{－126°，－36°，54°，144°}，故选C.10．在(－360°，0°)内与角1250°终边相同的角是( )A ．170°B ．190°C ．－190°D ．－170°[答案] C[解析] 与1250°角的终边相同的角α＝1250°＋k ·360°，∵－360°<α<0°，∴－16136<k <－12536， ∵k ∈Z ，∴k ＝－4，∴α＝－190°.二、填空题11．－1445°是第________象限角．[答案] 四[解析] ∵－1445°＝－5×360°＋355°，∴－1445°是第四象限的角．12．若角α和β的终边满足下列位置关系，试写出α和β的关系式：(1)重合：________________；(2)关于x 轴对称：________________.[答案] α＝k ·360°＋β(k ∈Z ) α＝k ·360°－β(k ∈Z )[解析] 据终边相同角的概念，数形结合可得：(1)α＝k ·360°＋β(k ∈Z )，(2)α＝k ·360°－β(k ∈Z )．13．若集合A ＝{α|k ·180°＋30°<α<k ·180°＋90°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k ·360°－45°<β<k ·360°＋45°，k ∈Z }，则A ∩B __________.[答案] {α|30°＋k ·360°<α<45°＋k ·360°，k ∈Z }[解析] 集合A 、B 所在区域如图，显然A ∩B ＝{α|k ·360°＋30°<α<k ·360°＋45°，k ∈Z }．三、解答题14．已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k ·360°(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式，指出它是第几象限的角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.[解析] 在0°到360°的范围里找出与α终边相同的角，可用除以360°求余数的办法来解，也可以考虑把问题转化为求某个不等式的最大整数解问题．解答(1)、(2)的关键都是能正确写出与其角终边相同的角．(1)设α＝β＋k ·360°(k ∈Z )，则β＝－1910°－k ·360°(k ∈Z )．令－1910°－k ·360°≥0，解得k ≤－1910360＝－51136. k 的最大整数解为k ＝－6，求出相应的β＝250°，于是α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．(2)令θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z )，取k ＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.故θ＝－110°或－470°.15．已知有锐角α，它的10倍与它本身的终边相同，求角α.[解析] 与角α终边相同的角连同角α在内可表示为{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． ∵锐角α的10倍角的终边与其终边相同，∴10α＝α＋k ·360°，α＝k ·40°，k ∈Z .又α为锐角，∴α＝40°或80°.16．若角α的终边和函数y ＝－|x |的图象重合，试写出角α的集合．[解析] 由于y ＝－|x |的图象是三、四象限的平分线，故在0°～360°间所对应的两个角分别为225°及315°，从而角α的集合为S ＝{α|α＝k ·360°＋225°或α＝k ·360°＋315°，k ∈Z }．17．已知角α与2α的终边相同，且α∈[0°，360°)，求角α.[解析] 由条件知，2α＝α＋k·360°，∴α＝k·360°(k∈Z)，∵α∈[0°，360°)，∴α＝0°.。