2017-2018版高中数学第一章立体几何初步5.2平行关系的性质学案北师大版必修2
2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.5平行关系1.5.2平行关系的性质学案北师大版必修2
5.2 平行关系的性质1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理的含义，会用性质定理证明空间线面关系的问题.(重点)2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.(难点)3.综合应用平行关系的判定和性质定理进行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 直线与平面平行的性质定理阅读教材P32“练习”以下至P33“例4”以上部分，完成下列问题.文字语言符号语言图形语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a∥αaβα∩β＝b⇒a∥b如图1519所示，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，EH∥FG，则EH与BD的位置关系是( )图1519A.平行B.相交C.异面D.不确定【解析】∵EH∥FG，EH⊆/平面BCD，FG平面BCD，∴EH∥平面BCD，∵EH平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴EH∥BD.【答案】 A教材整理2 面面平行的性质定理阅读教材P33“练习1”以下至P34“练习2”以上部分，完成下列问题.文字语言符号语言图形语言如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βγ∩α＝aγ∩β＝b⇒a∥b六棱柱的两底面为α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，且AD∥BC，则AB与CD 的位置关系为__________.【解析】∵AD∥BC，∴A，B，C，D共面，设为γ，由题意知，α∩γ＝AB，β∩γ＝CD，又α∥β，∴AB∥CD.【答案】平行[小组合作型]线面平行性质的应用如图11111B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.【导学号：39292030】图1520【精彩点拨】从图形上看，若我们能设法证明FG∥A1D1即可证明FG∥平面ADD1A1.【自主解答】因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，EH⊆/平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1.又平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，即FG∥A1D1.又FG⊆/平面ADD1A1，A1D1平面ADD1A1，所以FG∥平面ADD1A1.1.直线与平面平行的性质定理，可以用来证明线线平行.2.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行.证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.简记为“过直线，作平面，得交线，得平行”.[再练一题]1.如图1521所示，已知AB∥平面α，AC∥BD，且AC，BD与α分别相交于点C，D.图1521(1)求证：AC＝BD；(2)满足什么条件时，四边形ABDC为正方形？【解】(1)证明：如图所示，连接CD，∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面β，又∵AB∥α，ABβ，α∩β＝CD，∴AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC＝BD.(2)由(1)知ABDC为平行四边形，所以当AB＝AC且AB⊥AC时，四边形ABDC为正方形.面面平行性质的应用如图1522，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图1522(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA ＝4 cm ，AB ＝5 cm ，PC ＝3 cm ，求PD 的长.【精彩点拨】 由PB 与PD 相交于点P ，可知PB ，PD 确定一个平面，结合α∥β，可使用面面平行的性质定理推出线线平行关系，这样就转化为平面问题.【自主解答】 (1)证明：∵PB ∩PD ＝P ， ∴直线PB 和PD 确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD . 又α∥β，∴AC ∥BD . (2)由(1)，得AC ∥BD ，∴PA AB ＝PCCD，∴45＝3CD ，∴CD ＝154(cm)， ∴PD ＝PC ＋CD ＝274(cm).1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； (2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； (4)由定理得出结论.2.面面平行的性质定理的本质：化面面平行为线线平行是面面平行性质定理的本质，而转化的关键是作辅助平面，通过作辅助平面得到交线，就可把面面平行转化为线线平行.[再练一题]2.已知α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且SA ＝8，SB ＝9，CD ＝34，求当S 在α，β之间时SC 的长.【解】 如图所示. ∵AB 与CD 相交于S ，∴AB ，CD 可确定平面γ，且α∩γ＝AC ，β∩γ＝BD . ∵α∥β，∴AC ∥BD ，∴SA SB ＝SC SD ，∴SA SA ＋SB ＝SC CD ，即SC 34＝817，解得SC ＝16.[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 如图1523所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l，直线l与直线BC平行吗？请说明理由.图1523【提示】法一：平行.因为BC∥AD，BC⊆/平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为BC平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.法二：连接CM，并延长交AD于Q，连接PQ，由AD∥BC，且AM＝BM，得QM＝CM又PN＝CN，则MN是△CPQ的中位线，所以MN∥PQ，又MN⊆/平面PAD，PQ平面PAD，则MN∥平面PAD.探究2 上述问题中条件不变，试判断MN与平面PAD是否平行，并证明你的结论.【提示】平行.取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.可知四边形AMNE为平行四边形，所以MN∥AE，MN⊆/平面PAD，AE平面PAD，所以MN∥平面PAD.如图1524所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M 是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：GH∥平面PAD.图1524【精彩点拨】连接AC交BD于O，连接MO→MO是△PAC的中位线→PA∥MO→PA∥平面BMD→PA∥GH→GH∥平面PAD【自主解答】如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴PA∥MO，而AP⊆/平面BDM，OM平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA平面PAD，GH⊆/平面PAD，∴GH∥平面PAD.1.本题综合考查了线面平行的判定和性质，体现了线线平行、线面平行之间的相互转化.2.空间平行关系的转化图：[再练一题]3.如图1525，三棱锥ABCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：CD∥平面EFGH.图1525【证明】由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊆/平面BCD，GH平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF 平面EFGH ，CD ⊆/平面EFGH ，∴CD ∥平面EFGH .1.已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是( ) A.α∩β＝a ，bα⇒a ∥bB.α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC.a ∥β，b ∥β，aα，b α⇒α∥βD.α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b 【解析】 由面面平行的性质定理知D 正确. 【答案】 D2.若平面α∥平面β，直线a α，点B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中( )A.不一定存在与a 平行的直线B.只有两条与a 平行C.存在无数多条直线与a 平行D.存在唯一一条直线与a 平行【解析】 设点B 与直线a 确定一平面为γ，γ∩β＝b ， ∴a ∥b . 【答案】 D3.已知直线a ∥平面α，平面α∥平面β，则a 与β的位置关系为________. 【解析】 若aβ，则显然满足题目条件.若a ⊆/β，过直线a 作平面γ，γ∩α＝b ，γ∩β＝c ，于是由直线a ∥平面α得a ∥b ，由α∥β得b ∥c ，所以a ∥c ，又a ⊆/β，cβ，所以a ∥β.【答案】 aβ或a ∥β4.过两平行平面α，β外的点P 的两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A ，C 两点，交β于B ，D 两点，若PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，则BD 的长为________.【解析】 两条直线AB 与CD 相交于P 点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC ∥BD ，所以PA PB ＝ACBD，又PA ＝6，AC ＝9，PB ＝8，故BD ＝12.【答案】 125.如图1526，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，CD ＝2，DD 1＝AB ＝1，P ，Q 分别是CC 1，C 1D 1的中点.求证：AC ∥平面BPQ .【导学号：39292031】图1526【证明】连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD1，且CD1⊆/平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，又∵AD1⊆/平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.。
2018-2019学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.5 平行关系 1.5.2 平行关系的性质讲义 北师大版必修2
面面平行的性质定理的应用 如图，已知 Α∥Β，点 P 是平面 Α、Β 外一点(不在 Α 与 Β 之间)，直线 PB、PD 分别与 α、β 相交于点 A、B 和 C、D.
(1)求证：AC∥BD； (2)已知 PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求 PD 的长．
[解] (1)证明：因为 PB∩PD＝P， 所以直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ， 则 α∩γ＝AC，β ∩γ ＝BD. 又 α∥β，所以 AC∥BD. (2)由(1)得 AC∥BD，所以APAB＝CPCD. 所以45＝C3D，所以 CD＝145. 所以 PD＝PC＋CD＝247(cm)．
在本例中，若P在α与β之间，在第(2)问的条件
下求CD的长． 解：如图所示，因为 PB∩PD＝P，所以直 线 PB 和 PD 确定了一个平面 γ，则 α∩γ＝ AC，β ∩γ ＝BD，又 α∥β，所以 AC∥BD. 所以∠PAC＝∠PBD，∠PCA＝∠PDB， 又∠APC＝∠DPB，所以△PAC∽△PBD， 所以PPAB＝PPDC，即P4B＝P3D. 又 PB＝AB－PA＝1，则 PD＝34， 所以 CD＝PC＋PD＝3＋34＝145(cm)．
[解] 因为 AB∥平面 EFGH， 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG、EH， 所以 AB∥FG，AB∥EH，所以 FG∥EH. 同理可得 EF∥GH，所以截面 EFGH 是平行四边形． 设 AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α(α 即为异面直线 AB 和 CD 所 成的角或其补角)． 又设 FG＝x，GH＝y， 则由平面几何知识可得xa＝CBGC，by＝BBGC， 两式相加得xa＋by＝1，即 y＝ba(a－x)， 所以 S▱EFGH＝FG·GH·sin α ＝x·ba·(a－x)·sin α
2017_2018学年高中数学第一章立体几何初步1.5平行关系学案北师大版必修22017121531
第1课时平行关系的判定[核心必知]1．直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系图形语言符号语言直线在平面内 a α直线与平面相交a∩α＝A直线与平面平行a∥α2.直线与平面平行的判定文字语言图形语言符号语言若平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行3.平面与平面平行的判定文字语言图形语言符号语言如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行[问题思考]1．若直线a平行于平面α内的无数条直线，则直线a平行于平面α吗？提示：不一定，因为直线a在平面α内时，与a平行的直线也有无数条．2．对于平面与平面平行的判定定理中，若把“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？提示：不一定．如图中，平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交．讲一讲1.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF ∥平面PAD.[尝试解答]证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD.又∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.1．判断或证明线面平行的方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)；(2)判定定理法：aα，bα，a∥b⇒a∥α；(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．2．证明线线平行的方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质；(2)利用平行四边形的性质；(3)利用平行线分线段成比例定理．练一练1．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.证明：连接AC交BD于O，连接QO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC的中点．又Q为PA的中点，∴QO∥PC.显然QO平面BDQ，PC平面BDQ，∴PC∥平面BDQ.讲一讲2.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.[尝试解答]证明：如图所示，连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，∴MF∥A1D1且MF＝A1D1.又∵A1D1＝AD且AD∥A1D1，∴MF＝AD且MF∥AD.∴四边形AMFD是平行四边形．∴AM∥DF.又DF平面EFDB，AM平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.同理可证，AN∥平面EFDB.又AN，AM平面AMN，AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.平面平行的判定方法：(1)利用定义，证面面无公共点．(2)利用平面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，如本题．(3)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则两个平面平行．练一练2．如图所示，三棱柱ABCA1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：连接A1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点．连接ED，ED是△A1BC的中位线，∴ED∥A1B.∵ED 平面A1BD1，A1B 平面A1BD1，∴ED∥平面A1BD1.∵C1D1 BD，∴四边形BDC1D1是平行四边形，∴C1D∥BD1.∵C1D 平面A1BD1，BD1 平面A1BD1，∴C1D∥平面A1BD1.∵C1D∩ED＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.4讲一讲3.如图所示，B为△ACD所在平面外一点，且BA＝BC＝BD，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.[尝试解答](1)证明：如图连接BM，BN，BG并延长交AC，AD，CD于P，F，H.∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，BM BN BG则有＝＝＝2，连接PF，FH，PH，MP NF GH有MN∥PF.又PF 平面ACD，MN 平面ACD，∴MN∥平面ACD，同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.MG BG 2 2(2)由(1)可知：＝＝，∴MG＝PH.PH BH 3 31 1又PH＝AD，∴MG＝AD.2 31 1同理NG＝AC，MN＝CD，3 3∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3，故S△MNG∶S△ADC＝1∶9.证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行，转化为证明线线平行．在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系相互转化，使问题顺利得到解决．熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口．这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视．练一练3．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，Q是CC1的中点，判断并证明平面D1BQ与平面PAO的位置关系．解：平面D1BQ∥平面PAO.下面给出证明．∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵QB 平面PAO，PA 平面PAO，∴QB∥平面PAO.∵P，O分别为DD1，DB的中点，∴D1B∥PO.∵D 1B 平面PAO，PO 平面PAO，∴D1B∥平面PAO.又D1B∩QB＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.如右图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M∈AD1，N∈BD，且D1M＝DN，求证：MN∥平面CC1D1D.[证明]法一：连AN并延长交DC于E.连接D1、E.AN BN AEBD ∵AB∥CD，∴＝⇒＝.NE ND NE ND∵BD＝AD1，且D1M＝DN，AE AD1∴＝.EN MD1在△AD1E中，MN∥D1E，又MN 平面CC1D1D，D1E 平面CC1D1D，∴MN∥平面CC1D1D.[尝试用另外一种方法解题]法二：过点M作MP∥AD，交DD1于P，过点N作NQ∥AD交CD于点Q，连接PQ，则MP∥NQ，MPD1M 在△D1AD中，＝.1∵NQ∥AD，AD∥BC，∴NQ∥BC.NQ DN在△DBC中，＝，BC DB∵D1M＝DN，D1A＝DB，AD＝BC，∴NQ＝MP.∴四边形MNQP为平行四边形，则MN∥PQ.而MN 平面CC 1D1D，PQ 平面CC1D1D，∴MN∥平面CC1D1D.1．在以下说法中，正确的个数是()①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行．A．0 B．1 C．2 D．3解析：选A对①，当α内的两直线平行时，α与β也可能相交，故①错误；对②，当α内有无数条直线和β平行时，α与β也可能相交，故②错误；对③，若A，B，C三点在β两侧时，α与β相交，故③错误．2．能保证直线a与平面α平行的条件是()A．b α，a∥bB．b α，c∥α，a∥b，a∥cC．b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BDD．a α，bα，a∥b解析：选D A项和B项中a有可能在α内，C项中，a可能在α内，也可能与α相交，D项中，a∥α.3．若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是() A．MN∥βB．MN与β相交或MN βC．MN∥β或MN βD．MN∥β或MN与β相交或MN β解析：选C当平面β与平面ABC重合时，有MN β；当平面β与平面ABC不重合时，则β∩平面ABC＝BC.∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.又MN β，BCβ，∴MN∥β.综上有MN∥β或MN β.4．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有________对．解析：如图，当六棱柱的底面为正六边形时，互相平行的平面最多有4对，每组对边所在的平面平行，且上下底面平行．答案：45．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是________．解析：∵a∥α，∴a与平面α没有公共点，若b α，则A∈α，又A∈a，此种情况不可能．∴b∥α或b与α相交．答案：b∥α或b与α相交6．如图E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明：(1)取B1D1中点O，连接GO，OB，易证OG∥B1C1，1且OG＝B1C1，BE∥B1C1，21 且BE＝B1C1，2∴OG∥BE且OG＝BE，四边形BEGO为平行四边形，∴OB∥GE.∵OB 平面BB1D1D，GE 平面BB1D1D，∴GE∥平面BB1D1D.(2)由正方体性质得B1D1∥BD，∵B1D1 平面BDF，BD 平面BDF，∴B1D1∥平面BDF，连接HB，D1F，易证HBFD1是平行四边形，得HD1∥BF.∵HD1 平面BDF，BF 平面BDF，∴HD1∥平面BDF，∵B1D1∩HD1＝D1，∴平面BDF∥平面B1D1H.一、选择题1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的所有直线不相交解析：选D若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.2．空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．平行或相交解析：选A如图所示，在平面ABC内，因为AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，所以AC∥EF.又因为AC 平面DEF，EF 平面DEF，所以AC∥平面DEF.3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是()A．平面BME∥平面ACNB．AF∥CNC．BM∥平面EFDD．BE与AN相交解析：选A作出如图所示的正方体．易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，所以平面ACN∥平面BEM.4．已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示平面，下列结论中正确的个数是()①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βA．1 B．2C．3 D．4解析：选A①仅满足mα，nβ，m∥n，不能得出α∥β，不正确；②设m，n确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．相交或平行解析：选D当M与D 1重合时，∵DD1∥A1A，DD1 面AA1C1C，AA1 面AA1C1C，∴MD∥面AA1C1C.当M不与D1重合时，DM与AA1相交，也即DM与面AA1C1C相交．二、填空题6．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是________．解析：由线面平行的判定定理知：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.答案：27．三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．解析：如图，取BC中点F，连SF.∵G为△ABC的重心，∴A，G，F共线且AG＝2GF.又∵AE＝2ES，∴EG∥SF.又SF 平面SBC，EG 平面SBC，∴EG∥平面SBC.答案：EG∥平面SBC8．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.解析：∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈线段FH三、解答题9．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A到A′的位置，M是A′B的中点，求证：ME∥平面A′CD.证明：如图所示，取A′C的中点G，连接MG，GD，1∵M，G分别是A′B，A′C的中点，∴MGBC，21同理DE BC，∴MG DE，2∴四边形DEMG是平行四边形，∴ME∥DG.又ME 平面A′CD，DG 平面A′CD，∴ME∥平面A′CD.10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：(1)EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图所示，连接SB.∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB 平面BDD1B1，EG 平面BDD1B1，∴EG∥平面BDD1B1.(2)∵F，E分别是DC，BC的中点，∴FE∥BD.又∵BD 平面BDD1B1，FE 平面BDD1B1，B1.∴FE∥平面BDD又EG∥平面BDD1B1，且EG 平面EFG，EF 平面EFG，EF∩EG＝E，∴平面EFG∥平面BDD1B1.第2课时平行关系的性质[核心必知]1．直线与平面平行的性质文字语言图形语言符号语言如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行l∥b2.平面与平面平行的性质文字语言图形语言符号语言如果两个平行平面同时与第三个平面Error!⇒a∥b 相交，那么它们的交线平行[问题思考]1．若直线l与平面α平行，可否认为l与平面α内的任意一条直线都平行？提示：不可．根据线面平行的性质定理，l与过直线l的平面与α的交线平行．2．若平面γ∩β＝a，γ∩α＝b，则a、b的位置关系是什么？提示：平行或相交：当β∥α时，由面面平行的性质定理知a∥b；当α与β相交时，a与b相交或平行．3．如果两个平面平行，那么分别位于两个平面内的直线也互相平行，这句话对吗？为什么？提示：不对，因为这两个平面平行，那么位于两个平面内的直线没有公共点，它们平行或异面．讲一讲1.ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G 和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.[尝试解答]证明：连接AC交BD于O，连接MO，∵ABCD是平行四边形，∴O是AC中点．又M是PC的中点，∴AP∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有PA∥平面BMD.∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，根据直线和平面平行的性质定理，∴AP∥GH.线面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，解题时要注意把握．当证明了直线平行于平面后，再过该直线作平面与已知平面相交，得交线与已知直线平行．具体方法如下：线面平行的判定线面平行的性质线线平行――→线面平行――→线线平行．练一练1．已知：a∥b，aα，bβ，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.证明：如图所示，∵a∥b，bβ，∴a∥β，又aα，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.讲一讲2．如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．[尝试解答]因为AC∩BD＝P，所以经过直线AC与BD可确定平面PCD，因为α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.PA PB 6 8－BD所以＝，即＝.AC BD9 BD24所以BD＝.5由面面平行得到线线平行，进而由成比例线段得解，体现了立体几何与平面几何间的转化关系．另外，面面平行还有许多性质，如要证明线面平行，可先证面面平行，再由性质证得．练一练2．如图所示，设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：直线MP∥平面β.证明：过点A作AE∥CD交平面β于E，连接DE，BE，∵AE∥CD，∴AE、CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝DE.由于α∥β，∴AC∥DE(面面平行的性质定理)取AE中点N，连接NP，MN，∵M、P分别为AB、CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NP β，DE β，MN β，BE β，∴NP∥β，MN∥β.又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP 平面MNP，∴MP∥β.讲一讲3．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．[尝试解答](1)证明：因为AD∥BC，AD 平面PBC，BC 平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD∥BC.(2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，因为M，N分别是AB，PC的中点，所以MQ∥AD，NQ∥PD.而MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，所以平面MNQ∥平面PAD.因为MN 平面MNQ，所以MN∥平面PAD.在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：练一练3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点M是BC的中点，点N是AA1的中点．求证：MN∥平面A1CD.证明：设点P为AD的中点，连接MP，NP.∵点M是BC的中点，∴MP∥CD.∵CD 平面A 1CD，MP 平面A1CD，∴MP∥平面A1CD.∵点N是AA1的中点，∴NP∥A1D.∵A 1D 平面A1CD，NP 平面A1CD，∴NP∥平面A1CD.∵MP∩NP＝P，MP 平面MNP，NP 平面MNP，∴平面MNP∥平面A1CD.∵MN 平面MNP，∴MN∥平面A1CD.已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．[解]SG∥平面DEF.证明如下：法一：连接CG交DE于H，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点，∴FH为△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG 平面DEF，FH 平面DEF，∴SG∥平面DEF.[尝试用另外一种方法解题]法二：∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB，∵EF 平面SAB，SB 平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理：DF∥平面SAB.又EF∩DF＝F，EF 平面DEF，DF 平面DEF，∴平面SAB∥平面DEF.又SG 平面SAB，∴SG∥平面DEF.1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有解析：选B设α内n条直线的交点为A，则过A有且仅有一条直线l与a平行，当l在这n条直线中时，有一条与a平行，而当l不在这n条直线中时，n条相交于A的直线都不与a平行．∴n条相交直线中有0条或1条直线与a平行．2. 若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：选D直线a与点B确定一个平面．这个平面与β有公共点B，则这两个平面就有一条通过B点的直线l，而由两平面平行的性质定理得l∥a.3．设m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列四个命题中为真命题的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βD．若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n解析：选D A中m与n与同一平面平行，m，n还可能相交或异面；B中α与β可能相交；C中α与β可能相交，只有D正确．4．如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N是AD的中点，若MN∥平面BDC，则AM∶MB＝________.解析：∵MN∥平面BDC，MN 平面ABD，平面ABD∩平面BDC＝BD，∴MN∥BD.又∵N是AD的中点，∴M是AB的中点，故有AM∶MB＝1∶1.答案：1∶15．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)解析：①②⇒③设过m的平面β与α交于l.∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l，∵n α，lα，∴n∥α.答案：①②⇒③(或①③⇒②)6．如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.证明：连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD 1，且CD1 平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，又∵AD1 平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1.∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC 平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.一、选择题1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，aβ，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面解析：选C a∥α，a与α内的直线没有公共点，所以，a与α内的直线的位置关系是异面或平行，α内与b平行的直线与a平行，α内与b相交的直线与a异面．2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是()A．c与a，b都异面B．c与a，b都相交C．c至少与a，b中的一条相交D．c与a，b都平行解析：选D如图：∵a∥b，且a γ，bγ，∴a∥γ，∵a α且α∩γ＝c，∴a∥c，∴b∥c.3．下列说法正确的个数为()①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A．1 B．2C．3 D．4解析：选B易知①④正确，②不正确；③若α∥β、aβ，则a与α平行，故③不正确．4．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为()A．2∶5B．3∶8C．4∶9 D．4∶25解析：选D由题意知，△A′B′C′∽△ABC，S△A′B′C′PA′ 2 4 从而＝2＝2＝.S△ABC(PA)(5 )255．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A∉α，则()A．α∥平面ABCB．△ABC中至少有一边平行于αC．△ABC中至多有两边平行于αD．△ABC中只可能有一边与α相交解析：选B若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC中至少有一边平行于α.二、填空题6．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．21解析：因为直线EF∥平面AB1C，EF 平面ABCD，且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF1∥AC，又因为E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得：EF＝AC，又因为在2正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2 2，所以EF＝2.答案： 27．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上a一点，AP＝，过P，M，N的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.3解析：∵MN∥平面AC，PQ＝平面PMN∩平面AC，2a∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝，32 2a故PQ＝PD2＋DQ2＝2DP＝.32 2a答案：38．如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.解析：A∉a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG.AF AE EG AE AF EG所以＝，又＝，所以＝.AC AB BD AB AC BDAF·BD 5 × 4 20于是EG＝＝＝.AC 5＋4 920答案：9三、解答题9．如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．22解：设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．因为A1B∥平面B1CD，且A1B 平面A1BC1，所以A1B∥DE.又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1＝1.10．在底面是平行四边形的四棱锥PABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，如图，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC，证明你的结论．解：当F为PC的中点时，BF∥平面AEC.证明如下：如图，取PE的中点M，连接MF、MB，则MF∥CE，∵PE∶ED＝2∶1，∴点E也是MD的中点，连接BD，设BD∩AC＝O.∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OE∥BM，而BM 平面AEC，OE 平面AEC，∴BM∥平面AEC，23同理FM∥平面AEC.又BM∩FM＝M，∴平面BMF∥平面AEC.又BF 平面BMF，∴BF∥平面AEC.24。
2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何初步 1.5 平行关系学案 北师大版必修2
第1课时平行关系的判定[核心必知]1．直线与平面的位置关系1．若直线a平行于平面α内的无数条直线，则直线a平行于平面α吗？提示：不一定，因为直线a在平面α内时，与a平行的直线也有无数条．2．对于平面与平面平行的判定定理中，若把“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？提示：不一定．如图中，平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交．讲一讲1.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD.[尝试解答] 证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD.又∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.1．判断或证明线面平行的方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)；(2)判定定理法：aα，bα，a∥b⇒a∥α；(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．2．证明线线平行的方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质；(2)利用平行四边形的性质；(3)利用平行线分线段成比例定理．练一练1．如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ.证明：连接AC交BD于O，连接QO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O为AC的中点．又Q为PA的中点，∴QO∥PC.显然QO平面BDQ，PC平面BDQ，∴PC∥平面BDQ.讲一讲2.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.[尝试解答] 证明：如图所示，连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，且四边形A1B1C1D1为正方形，∴MF∥A1D1且MF＝A1D1.又∵A1D1＝AD且AD∥A1D1，∴MF＝AD且MF∥AD.∴四边形AMFD是平行四边形．∴AM∥DF.又DF平面EFDB，AM平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.同理可证，AN∥平面EFDB.又AN，AM平面AMN，AM∩AN＝A，∴平面AMN∥平面EFDB.平面平行的判定方法：(1)利用定义，证面面无公共点．(2)利用平面平行的判定定理转化为证明线面平行，即证明一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，如本题．(3)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则两个平面平行．练一练2．如图所示，三棱柱ABCA1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：连接A1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点．连接ED，ED是△A1BC的中位线，∴ED∥A1B.∵ED平面A 1BD1，A1B 平面A1BD1，∴ED∥平面A1BD1.∵C1D1BD，∴四边形BDC1D1是平行四边形，∴C1D∥BD1.∵C1D平面A1BD1，BD1平面A1BD1，∴C1D∥平面A1BD1.∵C1D∩ED＝D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.讲一讲3.如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，且BA ＝BC ＝BD ，M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心．(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ； (2)求S △MNG ∶S △ADC .[尝试解答] (1)证明：如图连接BM ，BN ，BG 并延长交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H .∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心， 则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH＝2，连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF .又PF 平面ACD ，MN 平面ACD ，∴MN ∥平面ACD ， 同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)由(1)可知：MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ，∴△MNG ∽△ACD ，其相似比为1∶3，故S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.证明面面平行，转化为证明线面平行，而要证线面平行，转化为证明线线平行．在立体几何中，通过线线、线面、面面间的位置关系相互转化，使问题顺利得到解决．熟练掌握这种转化的思想方法，就能找到解题的突破口．这是高考重点考查证明平行的方法，应引起重视．练一练3．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，Q 是CC 1的中点，判断并证明平面D 1BQ 与平面PAO 的位置关系．解：平面D 1BQ ∥平面PAO .下面给出证明． ∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA . ∵QB 平面PAO ，PA 平面PAO ，∴QB ∥平面PAO . ∵P ，O 分别为DD 1，DB 的中点，∴D 1B ∥PO .∵D 1B 平面PAO ，PO 平面PAO ，∴D 1B ∥平面PAO . 又D 1B ∩QB ＝B ，∴平面D 1BQ ∥平面PAO .如右图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ∈AD 1，N ∈BD ，且D 1M ＝DN ，求证：MN ∥平面CC 1D 1D .[证明] 法一：连AN 并延长交DC 于E .连接D 1、E . ∵AB ∥CD ，∴AN ＝BN ⇒AE ＝BD.MN 平面 E 1D 1D ， P ， 过点N 作NQ ∥AD 交CD 于点Q ，连接PQ ，则MP ∥NQ ，在△D 1AD 中，MP AD ＝D 1MD 1A.∵NQ ∥AD ，AD ∥BC ， ∴NQ ∥BC . 在△DBC 中，NQ BC ＝DNDB，∵D 1M ＝DN ，D 1A ＝DB ，AD ＝BC ，∴NQ ＝MP . ∴四边形MNQP 为平行四边形，则MN ∥PQ . 而MN 平面CC 1D 1D ，PQ 平面CC 1D 1D ， ∴MN ∥平面CC 1D 1D .1．在以下说法中，正确的个数是( )①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC 的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选A 对①，当α内的两直线平行时，α与β也可能相交，故①错误；对②，当α内有无数条直线和β平行时，α与β也可能相交，故②错误；对③，若A ，B ，C 三点在β两侧时，α与β相交，故③错误．2．能保证直线a 与平面α平行的条件是( ) A ．b α，a ∥bB ．b α，c ∥α，a ∥b ，a ∥cC ．b α，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，且AC ＝BD D ．a α，b α，a ∥b解析：选D A 项和B 项中a 有可能在α内，C 项中，a 可能在α内，也可能与α相交，D 项中，a ∥α.3．若M ，N 分别是△ABC 边AB ，AC 的中点，MN 与过直线BC 的平面β的位置关系是( ) A ．MN ∥βB ．MN 与β相交或MN βC ．MN ∥β或MN βD．MN∥β或MN与β相交或MN β解析：选C 当平面β与平面ABC重合时，有MN β；当平面β与平面ABC不重合时，则β∩平面ABC＝BC.∵M，N分别为AB，AC的中点，∴MN∥BC.又MNβ，BCβ，∴MN∥β.综上有MN∥β或MN β.4．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有________对．解析：如图，当六棱柱的底面为正六边形时，互相平行的平面最多有4对，每组对边所在的平面平行，且上下底面平行．答案：45．若直线a∩直线b＝A，a∥平面α，则b与α的位置关系是________．解析：∵a∥α，∴a与平面α没有公共点，若bα，则A∈α，又A∈a，此种情况不可能．∴b∥α或b与α相交．答案：b∥α或b与α相交6．如图E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中点，求证：(1)GE∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H.证明：(1)取B1D1中点O，连接GO，OB，易证OG∥B1C1，且OG ＝12B 1C 1，BE ∥B 1C 1，且BE ＝12B 1C 1，∴OG ∥BE 且OG ＝BE ，四边形BEGO 为平行四边形，∴OB ∥GE . ∵OB 平面BB 1D 1D ，GE 平面BB 1D 1D ，∴GE ∥平面BB 1D 1D .(2)由正方体性质得B 1D 1∥BD ， ∵B 1D 1 平面BDF ，BD 平面BDF ， ∴B 1D 1∥平面BDF ，连接HB ，D 1F ， 易证HBFD 1是平行四边形，得HD 1∥BF . ∵HD 1 平面BDF ，BF 平面BDF ， ∴HD 1∥平面BDF ， ∵B 1D 1∩HD 1＝D 1， ∴平面BDF ∥平面B 1D 1H .一、选择题1．已知b 是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b ∥α的是( ) A ．b 与α内的一条直线不相交 B ．b 与α内的两条直线不相交 C ．b 与α内的无数条直线不相交 D ．b 与α内的所有直线不相交解析：选D 若b 与α内的所有直线不相交，即b 与α无公共点，故b ∥α. 2．空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶3，则对角线AC 和平面DEF 的关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．平行或相交 解析：选A 如图所示，在平面ABC 内，因为AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶3，所以AC∥EF.又因为AC 平面DEF，EF 平面DEF，所以AC∥平面DEF.3．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断正确的是( )A．平面BME∥平面ACNB．AF∥CNC．BM∥平面EFDD．BE与AN相交解析：选A 作出如图所示的正方体．易知AN∥BM，AC∥EM，且AN∩AC＝A，所以平面ACN∥平面BEM.4．已知m，n表示两条直线，α，β，γ表示平面，下列结论中正确的个数是( )①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；②若m，n相交且都在α，β外，且m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；③若m∥α，m∥β，则α∥β；④若m∥α，n ∥β，且m∥n，则α∥βA．1 B．2C．3 D．4解析：选A ①仅满足mα，nβ，m∥n，不能得出α∥β，不正确；②设m，n确定平面为γ，则有α∥γ，β∥γ，从而α∥β，正确；③④均不满足两个平面平行的条件，故③④均不正确．5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是( )A．平行 B．相交C．在平面内 D．相交或平行解析：选D 当M与D1重合时，∵DD1∥A1A，DD1面AA1C1C，AA1面AA1C1C，∴MD∥面AA1C1C.当M不与D1重合时，DM与AA1相交，也即DM与面AA1C1C相交．二、填空题6．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四边形的六条棱中与平面EFGH平行的条数是________．解析：由线面平行的判定定理知：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.答案：27．三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC 的关系为________．解析：如图，取BC中点F，连SF.∵G为△ABC的重心，∴A，G，F共线且AG＝2GF.又∵AE＝2ES，∴EG∥SF.又SF 平面SBC，EG平面SBC，∴EG∥平面SBC.答案：EG∥平面SBC8．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.解析：∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N连接，有MN∥平面B1BDD1.答案：M∈线段FH三、解答题9．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使A到A′的位置，M是A′B的中点，求证：ME∥平面A′CD.证明：如图所示，取A′C的中点G，连接MG，GD，∵M ，G 分别是A ′B ，A ′C 的中点，∴MG 12BC ， 同理DE12BC ，∴MG DE ，∴四边形DEMG 是平行四边形， ∴ME ∥DG .又ME 平面A ′CD ，DG 平面A ′CD ， ∴ME ∥平面A ′CD .10．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC 和SC 的中点．求证：(1)EG ∥平面BDD 1B 1； (2)平面EFG ∥平面BDD 1B 1.证明：(1)如图所示，连接SB .∵E ，G 分别是BC ，SC 的中点， ∴EG ∥SB .又∵SB 平面BDD 1B 1，EG 平面BDD 1B 1，∴EG ∥平面BDD 1B 1. (2)∵F ，E 分别是DC ，BC 的中点，∴FE ∥BD . 又∵BD 平面BDD 1B 1，FE 平面BDD 1B 1， ∴FE ∥平面BDD 1B 1.又EG ∥平面BDD 1B 1，且EG 平面EFG ，EF 平面EFG ，EF ∩EG ＝E ，∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1.第2课时 平行关系的性质[核心必知]1．直线与平面平行的性质l ∥b1．若直线l 与平面α平行，可否认为l 与平面α内的任意一条直线都平行？ 提示：不可．根据线面平行的性质定理，l 与过直线l 的平面与α的交线平行． 2．若平面γ∩β＝a ，γ∩α＝b ，则a 、b 的位置关系是什么？提示：平行或相交：当β∥α时，由面面平行的性质定理知a ∥b ；当α与β相交时，a 与b 相交或平行．3．如果两个平面平行，那么分别位于两个平面内的直线也互相平行，这句话对吗？为什么？提示：不对，因为这两个平面平行，那么位于两个平面内的直线没有公共点，它们平行或异面．讲一讲1.ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .求证：AP ∥GH .[尝试解答] 证明：连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点． 又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM . 根据直线和平面平行的判定定理， 则有PA ∥平面BMD .∵平面PAHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴AP ∥GH .线面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，解题时要注意把握．当证明了直线平行于平面后，再过该直线作平面与已知平面相交，得交线与已知直线平行．具体方法如下：线线平行――→线面平行的判定线面平行――→线面平行的性质线线平行．练一练1．已知：a ∥b ，a α，b β，α∩β＝l .求证：a ∥b ∥l . 证明：如图所示，∵a ∥b ，b β，∴a ∥β，又a α，α∩β＝l ， ∴a ∥l ， 又a ∥b ， ∴a ∥b ∥l .讲一讲2．如图，已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．[尝试解答] 因为AC ∩BD ＝P ， 所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ，因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD .所以PA AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD.所以BD ＝245.由面面平行得到线线平行，进而由成比例线段得解，体现了立体几何与平面几何间的转化关系．另外，面面平行还有许多性质，如要证明线面平行，可先证面面平行，再由性质证得．练一练2．如图所示，设AB ，CD 为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB ，CD 为异面直线，M ，P 分别为AB ，CD 的中点．求证：直线MP ∥平面β.证明：过点A 作AE ∥CD 交平面β于E ，连接DE ，BE ，∵AE ∥CD ，∴AE 、CD 确定一个平面，设为γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝DE .由于α∥β，∴AC ∥DE (面面平行的性质定理) 取AE 中点N ，连接NP ，MN ，∵M、P分别为AB、CD的中点，∴NP∥DE，MN∥BE.又NP β，DE β，MN β，BE β，∴NP∥β，MN∥β.又NP∩MN＝N，∴平面MNP∥β.∵MP平面MNP，∴MP∥β.讲一讲3．如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．[尝试解答] (1)证明：因为AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以l∥AD∥BC.(2)平行．证明如下：设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，因为M，N分别是AB，PC的中点，所以MQ∥AD，NQ∥PD.而MQ∩NQ＝Q，AD∩PD＝D，所以平面MNQ∥平面PAD.因为MN 平面MNQ，所以MN∥平面PAD.在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：练一练3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，点M是BC的中点，点N是AA1的中点．求证：MN∥平面A1CD.证明：设点P为AD的中点，连接MP，NP.∵点M是BC的中点，∴MP∥CD.∵CD 平面A1CD，MP 平面A1CD，∴MP∥平面A1CD.∵点N是AA1的中点，∴NP∥A1D.∵A 1D 平面A1CD，NP 平面A1CD，∴NP∥平面A1CD.∵MP∩NP＝P，MP 平面MNP，NP 平面MNP，∴平面MNP∥平面A1CD.∵MN 平面MNP，∴MN∥平面A1CD.已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB上的高，D，E，F分别是AC，BC，SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明．[解] SG∥平面DEF.证明如下：法一：连接CG交DE于H，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点，∴FH为△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG平面DEF，FH 平面DEF，∴SG∥平面DEF.[尝试用另外一种方法解题]法二：∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB，∵EF平面SAB，SB 平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理：DF∥平面SAB.又EF∩DF＝F，EF 平面DEF，DF 平面DEF，∴平面SAB∥平面DEF.又SG 平面SAB，∴SG∥平面DEF.1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的( ) A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条 D．没有解析：选B 设α内n条直线的交点为A，则过A有且仅有一条直线l与a平行，当l在这n条直线中时，有一条与a平行，而当l不在这n条直线中时，n条相交于A的直线都不与a平行．∴n条相交直线中有0条或1条直线与a平行．2. 若平面α∥平面β，直线aα，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．存在唯一一条与a平行的直线解析：选D 直线a与点B确定一个平面．这个平面与β有公共点B，则这两个平面就有一条通过B点的直线l，而由两平面平行的性质定理得l∥a.3．设m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列四个命题中为真命题的是( )A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥βD．若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n解析：选D A中m与n与同一平面平行，m，n还可能相交或异面；B中α与β可能相交；C中α与β可能相交，只有D正确．4．如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N是AD的中点，若MN∥平面BDC，则AM∶MB＝________.解析：∵MN∥平面BDC，MN 平面ABD，平面ABD∩平面BDC＝BD，∴MN∥BD.又∵N是AD的中点，∴M是AB的中点，故有AM∶MB＝1∶1.答案：1∶15．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示)解析：①②⇒③设过m的平面β与α交于l.∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l，∵nα，lα，∴n∥α.答案：①②⇒③(或①③⇒②)6．如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.证明：连接CD1，AD1，∵P，Q分别是CC1，C1D1的中点，∴PQ∥CD 1，且CD1 平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，又∵AD1 平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1.∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC 平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.一、选择题1．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，aβ，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面 D．平行或异面解析：选C a∥α，a与α内的直线没有公共点，所以，a与α内的直线的位置关系是异面或平行，α内与b平行的直线与a平行，α内与b相交的直线与a异面．2．平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c 与a，b的位置关系是( )A ．c 与a ，b 都异面B ．c 与a ，b 都相交C ．c 至少与a ，b 中的一条相交D ．c 与a ，b 都平行解析：选D 如图：∵a ∥b ，且a γ，b γ，∴a ∥γ， ∵a α且α∩γ＝c ，∴a ∥c ，∴b ∥c .3．下列说法正确的个数为( )①两平面平行，夹在两平面间的平行线段相等；②两平面平行，夹在两平面间的相等的线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个平面也平行；④两平行直线被两平行平面截得的线段相等．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 易知①④正确，②不正确；③若α∥β、a β，则a 与α平行，故③不正确．4．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于A ′，B ′，C ′，若PA ′∶AA ′＝2∶3，则△A ′B ′C ′与△ABC 面积的比为( )A ．2∶5B ．3∶8C ．4∶9D ．4∶25解析：选D 由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ， 从而S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PA ′PA 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝425. 5．若不在同一直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，则( ) A ．α∥平面ABCB ．△ABC 中至少有一边平行于α C ．△ABC 中至多有两边平行于αD ．△ABC 中只可能有一边与α相交解析：选B 若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于α.二、填空题6．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析：因为直线EF ∥平面AB 1C ，EF 平面ABCD ，且平面AB 1C ∩平面ABCD ＝AC ，所以EF ∥AC ，又因为E 是DA 的中点，所以F 是DC EF ＝12AC ，又因为在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，所以AC ＝22答案： 27．在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.解析：∵MN ∥平面AC ，PQ ＝平面PMN ∩平面AC ，A 在α另一侧，点B ，C ，D ∈a .线段AB ，AC ，AD ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.解析：A ∉a ，则点A 与直线a 确定一个平面，即平面ABD . 因为a ∥α，且α∩平面ABD ＝EG ， 所以a ∥EG ，即BD ∥EG .所以AF AC ＝AEAB ，又EG BD ＝AE AB ，所以AF AC ＝EG BD.于是EG ＝AF ·BD AC ＝5×45＋4＝209. 答案：209三、解答题9．如图，棱柱ABC A 1B 1C 1的侧面BCC 1B 1是菱形，设D 是A 1C 1上的点且A 1B ∥平面B 1CD ，求A 1D ∶DC 1的值．解：设BC 1交B 1C 于点E ，连接DE ，则DE 是平面A 1BC 1与平面B 1CD 的交线． 因为A 1B ∥平面B 1CD ， 且A 1B 平面A 1BC 1， 所以A 1B ∥DE . 又E 是BC 1的中点，所以D 为A 1C 1的中点，即A 1D ∶DC 1＝1.10．在底面是平行四边形的四棱锥P ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，如图，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ，证明你的结论．解：当F 为PC 的中点时，BF ∥平面AEC . 证明如下：如图，取PE 的中点M ，连接MF 、MB ，则MF∥CE，∵PE∶ED＝2∶1，∴点E也是MD的中点，连接BD，设BD∩AC＝O.∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点．∴OE∥BM，而BM 平面AEC，OE 平面AEC，∴BM∥平面AEC，同理FM∥平面AEC.又BM∩FM＝M，∴平面BMF∥平面AEC.又BF 平面BMF，∴BF∥平面AEC.。
高中数学第一章立体几何初步5.1平行关系的判定学案北师大版必修2
高中数学第一章立体几何初步5.1平行关系的判定学案北师大版必修2[学习目标] 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义． 2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用． 3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.【主干自填】1．直线与平面位置关系的表示文字语言符号语言直线a与平面α平行a∥α直线a与平面α相交a∩α＝A直线a在平面α内aα23．平面与平面平行的判定定理【即时小测】1．思考下列问题(1)一条直线与一个平面的位置关系有哪几种？提示：有三种位置关系如下图：直线a在平面α内(记作aα)，直线a与平面α相交(记作a∩α＝A)，直线a与平面α平行(记作a∥α)．(2)如下图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a 与平面α相交吗？提示：两条直线共面，直线a与平面α不相交．(3)因为两条相交直线确定唯一一个平面，这启示我们尝试用两条相交直线来讨论平面的平行问题．当三角板的两条边或课本的两条相交边所在直线分别与桌面平行时，情况又如何呢？提示：当三角板的两条边或课本的两条相交边所在直线分别与桌面平行时，这个三角板或课本所在平面与桌面平行．符号表示：aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.图形表示如图．2．若A是直线m外一点，过A且与m平行的平面( )A．存在无数个B．不存在C．存在但只有一个D．只存在两个提示：A3．圆柱的两个底面的位置关系是( )A．相交B．平行C．平行或异面D．相交或异面提示：B4．若a，b是异面直线，过b且与a平行的平面( )A．不存在B．存在但只有一个C．存在无数个D．只存在两个提示：B 如右图所示，a、b是异面直线，在b上任取一点P，过P作a′∥a，∴a′与b确定平面α.由于两条相交直线仅确定一个平面，故α是唯一的．例1 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.[证明] (1)∵E、H为AB，AD的中点，∴EH∥BD.∵EH⊆/平面BCD，BD平面BCD，∴EH∥平面BCD.(2)∵BD∥EH，BD⊆/平面EFGH，EH平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.类题通法1利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.2证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等.[变式训练1]如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.证明连接AC交BD于O点连接OM.∵M为SC的中点，O为AC的中点，∴OM∥SA.∵OM平面MDB，SA⊆/平面MDB，∴SA∥平面MDB.例2 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，求证：平面C′DB∥平面AB′D′.[证明] ∵AB綊CD綊D′C′，∴四边形ABC′D′是平行四边形，∴BC′∥AD′.又∵BC′⊆/平面AB′D′，AD′平面AB′D′，∴BC′∥平面AB′D′.同理C′D∥平面AB′D′，∵BC′∩C′D＝C′，∴平面C′DB∥平面AB′D′.类题通法1要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.2判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.[变式训练2]如图，已知三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC.证明在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB，又知DE⊆/平面ABC，因此DE∥平面ABC，同理EF∥平面ABC.又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC.例3 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC、SC 的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.[证明] (1)如图，连接SB，∵E、G分别是BC、SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB平面BDD1B1，EG⊆/平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD ，∵F 、G 分别是DC 、SC 的中点，∴FG ∥SD . 又∵SD 平面BDD 1B 1，FG ⊆/ 平面BDD 1B 1， ∴FG ∥平面BDD 1B 1.∵EG 平面EFG ，FG 平面EFG ，EG ∩FG ＝G ， ∴平面EFG ∥平面BDD 1B 1. 类题通法要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线．要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：线线平行――→线面平行的判定线面平行――→面面平行的判定面面平行[变式训练3] 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是CB ，CD ，CC 1的中点，求证：平面AB 1D 1∥平面EFG .证明 如图，连接BD .∵E 、F 分别为BC 、CD 的中点， ∴EF ∥BD .又BD ∥B 1D 1，∴EF ∥B 1D 1. 又∵EF ⊆/ 平面AB 1D 1，B 1D 1平面AB 1D 1， ∴EF ∥平面AB 1D 1， 同理可得EG ∥平面AB 1D 1，又∵EF ∩EG ＝E ，EF 、EG 平面EFG ， ∴平面EFG ∥平面AB 1D 1.易错点⊳不能全面考虑空间问题[典例] 设P是异面直线a，b外的一点，则过点P与a，b都平行的平面( )A．有且只有一个B．恰有两个C．没有或只有一个D．有无数个[错解] 如图所示，过点P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴过a1，b1有且只有一个平面．故选A.[错因分析] 错解对空间概念理解不透彻，对P点位置没有作全面的分析，只考虑了一般情况，而忽略了特殊情形．事实上，当直线a(或b)与点P确定的平面恰与直线b(或a)平行时，与a，b都平行的平面就不存在了．[正解] C课堂小结1.判定直线与平面平行的方法(1)定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；(2)判定定理：(线线平行⇒线面平行)，2.用定理证明线面平行时，在寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成.3.证明面面平行的方法(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行.1．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )A．不可能作出B．只能作出一个C．能作出无数个D．上述三种情况都存在答案 D解析设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行．2．若直线l不平行于平面α，且l⊆/α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交答案 B解析直线l不平行于平面α，且l⊆/α，所以l与α相交．故选B.3．能保证直线a与平面α平行的条件是( )A．bα，a∥bB．bα，c∥α，a∥b，a∥cC．bα，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BDD．a⊆/α，bα，a∥b答案 D解析A错误，若bα，a∥b，则a∥α或aα；B错误，若bα，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或aα；C错误，若满足此条件，则a∥α或aα或a与α相交；根据线面平行的判定定理可知D正确．4．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G答案 A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊆/平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1.。
高中数学第一章立体几何初步1.5.2平行关系的性质课件北师大版必修
2．有一木块如图所示，点 P 在平面 A′C′内，棱 BC 平行平面 A′C′，
要经过 P 和棱 BC 将木料锯开，锯开的面必须平整，有 N 种锯法，N 为( )
A．0
B．1
C．2
D．无数
解析： ∵BC∥平面 A′C′，BC∥B′C′，在平面 A′C′上过 P 作 EF ∥B′C′，则 EF∥BC，∴过 EF，BC 所确定的平面锯开即可．
③平行于同一平面的两个平面平行(平面平行的传递性)
α∥β
即
γ∥β
⇒α∥γ.
④一条直线与平行平面中的一个相交，与另一个也相交．
(3)有了线面平行和面面平行的性质定理，空间中的平行关系就可以相互转
化：
在实际应用中，应特别注意这种转化思想的应用．
[自主练习] 1．下列说法正确的是( ) A．如果直线 l∥平面 α，那么过平面 α 内一点和直线 l 平行的直线在 α 内 B．若直线 l∥平面 α，a⊂α，则 l∥a C．平面 α∥平面 β，则 α 内的任意一条直线都平行于平面 β 内的所有直线 D．若 α∥β，α∩γ＝a，b⊂γ，则 a∥b
又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，故选 B. 答案： B
3．已知平面 α∥β∥γ，两条直线 l，m 分别与平面 α，β，γ 相交于点 A，B， DE 2
C 和 D，E，F，已知 AB＝6，DF＝5，则 AC＝________. AB DE
解析： ∵α∥β∥γ，∴BC＝EF. DE 2 DE 2 AB 2
∵MP∥BB1，∴MB1＝PB. ∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，
CM DN CP DN ∵MB1＝NB，∴PB＝NB， ∴NP∥CD∥AB， ∴平面 MNP∥平面 AA1B1B. 又∵MN⊂面 MNP. ∴MN∥平面 AA1B1B.
2017_2018版高中数学第一章立体几何初步章末温习课学案北师大版必修2
(2)PD⊥平面ABE.
反思与感悟 (1)两条异面直线彼此垂直的证明方式
①概念；
②线面垂直的性质定理．
(2)直线和平面垂直的证明方式
①线面垂直的判定定理；
②面面垂直的性质定理．
(3)平面和平面彼此垂直的证明方式
①概念；
②面面垂直的判定定理．
跟踪训练3 如图，斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠ACB＝90°，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC＝CA＝AA1.
①曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段．
②等积变换，如三棱锥转移极点等．
③复杂化简单，把不规那么几何体通过度割，补体化为规那么的几何体等．
3．四个公理
公理1：若是一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在那个平面内.
公理2：过________________________的三点，有且只有一个平面．
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF平面AFC，OF平面AFC.
∴平面AFC∥平面PMD.
跟踪训练2 证明 (1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA平面PAC，AC平面PAC，因此BC⊥平面PAC.
(2)连接OG并延长交AC于点M，
(2)面面平行的判定与性质
判定
性质
定义
定理
图形
条件
α∥β，aβ
结论
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
(3)空间中的平行关系的内在联系
6．垂直的判定与性质
(1)直线与平面垂直
图形
条件
结论
高中数学第一章立体几何初步5.2平行关系的性质学案北师大版必修220180815450
5.2 平行关系的性质学习目标 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．知识点一直线与平面平行的性质思考1 如图，直线l∥平面α，直线a平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？答案不一定，因为还可能是异面直线．思考2 如图，直线a∥平面α，直线a平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？答案无数个，a∥b.梳理性质定理a∥α，aβ，α∩β＝b⇒a∥b知识点二平面与平面平行的性质观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？答案是的．思考2 若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，则m∥n吗？答案不一定，也可能异面．思考3 过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？答案平行．梳理性质定理知识点三平行关系的相互转化1．若直线l不平行于平面α，则直线l就不平行于平面α内的任意一条直线．( ×) 2．若平面α∥平面β，l平面β，m平面α，则l∥m.( ×)3．夹在两平行平面的平行线段相等．( √)类型一线面平行的性质定理的应用例1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明 连接MO .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点．又∵M 是PC 的中点，∴AP ∥OM . 又∵AP ⊈平面BDM ，OM 平面BDM ， ∴AP ∥平面BDM .又∵AP 平面APGH ，平面APGH ∩平面BDM ＝GH ，∴AP ∥GH . 引申探究如图，在三棱锥P －ABQ 中，E ，F ，C ，D 分别是PA ，PB ，QB ，QA 的中点，平面PCD ∩平面QEF ＝GH .求证：AB ∥GH .证明 因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点， 所以EF ∥AB ，DC ∥AB . 所以EF ∥DC .又EF ⊈平面PCD ，DC 平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD . 又EF 平面EFQ ， 平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ， 所以EF ∥GH .又EF ∥AB ，所以AB ∥GH . 反思与感悟 线∥面线面平行的性质线面平行的判定线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键．跟踪训练1 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段FE 的长度为________．考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质求线段长度 答案2解析 ∵EF ∥平面AB 1C ，又平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ，EF 平面ADC ， ∴EF ∥AC ，∵E 是AD 的中点， ∴EF ＝12AC ＝12×22＝ 2.类型二 面面平行的性质定理的应用例2 如图，平面α∥β，A ，C ∈α，B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，求CS 的长．考点 平面与平面平行的性质 题点 利用性质求线段长 解 设AB ，CD 都在平面γ上，因为γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， 所以AC ∥BD ， 所以△SAC ∽△SBD ， 所以SCSC ＋CD ＝SASB，即SC SC ＋34＝89， 所以SC ＝272. 引申探究若将本例改为：点S 在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS 的长．解 设AB ，CD 共面γ，γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD . 因为α∥β，所以AC 与BD 无公共点，所以AC ∥BD ， 所以△ACS ∽△BDS ，所以AS BS ＝CSDS. 设CS ＝x ，则x 34－x ＝89，所以x ＝16，即CS ＝16.反思与感悟 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练2 已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，如图所示，求证：AB BC ＝DEEF.考点 平面与平面平行的性质 题点 与面面平行性质有关的计算证明 如图，连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ，则平面ACD 与平面α，β分别相交于直线AD ，BG ，平面DCF 与平面β，γ分别相交于直线GE ，CF .因为α∥β，β∥γ，所以BG ∥AD ，GE ∥CF . 于是，得AB BC ＝DG GC ，DG GC ＝DE EF ，所以AB BC ＝DEEF.类型三 平行关系的综合应用 命题角度1 由面面平行证明线面平行例3 设AB ，CD 为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB ，CD 为异面直线，M ，P 分别为AB ，CD 的中点．求证：MP ∥平面β. 考点 平行问题的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化 证明 如图，过点A 作AE ∥CD 交平面β于点E ， 连接DE ，BE .∵AE ∥CD ，∴AE ，CD 确定一个平面，设为γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝DE . 又α∥β，∴AC ∥DE ， 取AE 的中点N ，连接NP ，MN ， ∵M ，P 分别为AB ，CD 的中点， ∴NP ∥DE ，MN ∥BE .又NP ⊈β，DE β，MN ⊈β，BE β，∴NP ∥β，MN ∥β， ∵NP ∩MN ＝N ，∴平面MNP ∥β. ∵MP 平面MNP ，MP ⊈β，∴MP ∥β.反思与感悟 线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN . 求证：MN ∥平面AA 1B 1B .考点 平行问题的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化 证明 如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ，∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CP PB. ∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ， ∴B 1M ＝BN .∴CP PB ＝DN NB，∴NP ∥CD ∥AB .∵NP ⊈平面AA 1B 1B ，AB 平面AA 1B 1B ， ∴NP ∥平面AA 1B 1B .∵MP ∥BB 1，MP ⊈平面AA 1B 1B ，BB 1平面AA 1B 1B ， ∴MP ∥平面AA 1B 1B ，又∵MP 平面MNP ，NP 平面MNP ，MP ∩NP ＝P ，∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B .∵MN 平面MNP ，∴MN ∥平面AA 1B 1B . 命题角度2 探索性问题例4 在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积． 考点 题点解 能，如图，取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1.∵平面A 1C 1∥平面AC ，平面A 1C ∩平面A 1C 1＝A 1N ，平面AC ∩平面A 1C ＝MC ， ∴A 1N ∥MC . 同理，A 1M ∥NC .∴四边形A 1MCN 是平行四边形． ∵C 1N ＝12C 1D 1＝12A 1B 1＝A 1P ，C 1N ∥A 1P ，∴四边形A 1PC 1N 是平行四边形， ∴A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1. 同理，A 1M ∥BP 且A 1M ＝BP . 又∵A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ， ∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1.故过点A 1与截面PBC 1平行的截面是▱A 1MCN . 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H .由题意，易得A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝2 2. ∴MH ＝NH ＝2，∴A 1H ＝ 3. 故1A MCN S＝12A MN S ＝2×12×22×3＝2 6. 反思与感悟 在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面．跟踪训练4 如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题(1)证明因为BC∥AD，BC⊈平面PAD，AD平面PAD，所以BC∥平面PAD.又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.(2)解平行．证明如下：如图，取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM，所以四边形MNEA是平行四边形，所以MN∥AE.又AE平面PAD，MN⊈平面PAD，所以MN∥平面PAD.1．如图所示，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 B解析∵EF∥平面ABC，而平面SBC∩平面ABC＝BC，EF平面SBC，∴EF∥BC.2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( ) A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 C解析过直线a与交点作平面β，设平面β与α交于直线b，则a∥b，若所给n条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条．3．给出四种说法：①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQα；④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.其中正确说法的序号是________．考点平行问题的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化答案①②③解析①正确，因为平面α与γ没有公共点；②正确，若直线a与平面β平行或直线aβ，则由平面α∥平面β，知aα或a与α无公共点，这与直线a与α相交矛盾，所以a与β相交．③正确，如图所示，过直线PQ作平面γ，γ∩α＝a，γ∩β＝b，由α∥β得a∥b，因为PQ ∥β，PQ γ.所以PQ ∥b ，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以直线a 与直线PQ 重合，因为a α，所以PQ α；④错误，若直线a ∥平面β，直线b ∥平面α，且α∥β，则a 与b 平行、相交和异面都有可能．4.如图所示，直线a ∥平面α，A ∉α，并且a 和A 位于平面α两侧，点B ，C ∈a ，AB ，AC 分别交平面α于点E ，F ，若BC ＝4，CF ＝5，AF ＝3，则EF ＝______.考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质求线段长度 答案 32解析 由于点A 不在直线a 上，则直线a 和点A 确定一个平面β，所以α∩β＝EF . 因为a ∥平面α，a 平面β，所以EF ∥a . 所以EF BC ＝AFAC.所以EF ＝AF ×BC AC ＝3×45＋3＝32. 5.如图，AB 是圆O 的直径 ，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，P 为平面ABC 外一点，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明．考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质证明平行问题 解 直线l ∥平面PAC . 证明如下：因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点， 所以EF ∥AC .又EF⊈平面ABC，且AC平面ABC，所以EF∥平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⊈平面PAC，EF平面PAC，所以l∥平面PAC.1．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.一、选择题1.如图所示的三棱柱ABC—A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能考点平面与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题答案 B解析由面面平行的性质定理，可得DE∥A1B1，又A1B1∥AB，所以DE∥AB.2．如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于点A ′，B ′，C ′.若PA ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶5考点 平面与平面平行的性质 题点 与面面平行性质有关的计算 答案 B解析 ∵平面α∥平面ABC ，平面PAB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，∴A ′B ′∥AB .同理B ′C ′∥BC ，A ′C ′∥AC ，从而易得△A ′B ′C ′∽△ABC ，且A ′B ′AB ＝PA ′PA ＝25， ∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝425.3．如图，在四面体A －BCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列说法中，错误的是( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMN C ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° 考点 题点 答案 C解析 ∵截面PQMN 为正方形，∴PQ ∥MN ，从而易得PQ ∥平面DAC .又∵平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，PQ 平面ABC ，∴PQ ∥AC .从而易得AC ∥平面PNMQ .同理可得QM ∥BD .又∵PQ ⊥QM ，∠PMQ ＝45°，∴AC ⊥BD ，且异面直线PM 与BD 所成的角为45°.故选项A ，B ，D 正确． 4．a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，给出的下列说法中，正确的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；④⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β.A ．1B ．2C ．3D ．4 考点 平行的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化 答案 B解析 只有①④正确．5．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A ，B 分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB 的中点C ，那么所有的动点C ( ) A ．不共面B ．当且仅当A ，B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A ，B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A ，B 如何移动，都共面 考点 平面与平面平行的性质 题点 利用性质判定位置关系 答案 D解析 如图所示，A ′，B ′分别是A ，B 两点在α，β上运动后的两点，此时AB 中点C 变成A ′B ′的中点C ′，连接A ′B ，取A ′B 的中点E .连接CE ，C ′E ，AA ′，BB ′，CC ′，则CE ∥AA ′，又CE ⊈平面α，AA ′平面α，∴CE ∥平面α. 又C ′E ∥BB ′，C ′E 平面β，BB ′平面β， ∴C ′E ∥平面β.又∵平面α∥平面β，C ′E ⊈平面α， ∴C ′E ∥平面α.∵C ′E ∩CE ＝E ，C ′E ，CE 平面CC ′E ， ∴平面CC ′E ∥平面α， ∴CC ′∥平面α.∴不论A ，B 如何移动，所有的动点C 都在过C 点且与平面α，β平行的平面上． 6．设m ，n 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是( ) A ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αB ．若m α，n β，m ∥β，n ∥α，则α∥βC ．若α∥β，m ∥α，m ∥n ，则n ∥βD ．若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n β，则n ∥β 考点 平行的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化 答案 D解析 A 选项不正确，n 可能在平面α内，B 选项不正确，平面α可能与平面β相交；C 选项不正确，n 可能在平面β内；选项D 正确．7．如图，四棱锥S －ABCD 的所有的棱长都等于2，E 是SA 的中点，过C ，D ，E 三点的平面与SB 交于点F ，则四边形DEFC 的周长为( )A ．2＋ 3B ．3＋ 3C ．3＋2 3D ．2＋2 3考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质求线段长度 答案 C解析 ∵CD ∥AB ，CD ⊈平面SAB ，AB 平面SAB ， ∴CD ∥平面SAB .又平面CDEF ∩平面SAB ＝EF ，∴CD ∥EF ， 又CD ∥AB ，∴AB ∥EF .∵SE ＝EA ，∴EF 为△ABS 的中位线， ∴EF ＝12AB ＝1，又DE ＝CF ＝3，∴四边形DEFC 的周长为3＋2 3.8．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为( ) A ．都平行B ．都相交且一定交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或交于同一点 考点 题点答案 D解析 ∵l ⊈α，∴l ∥α或l 与α相交．①若l ∥α，则由线面平行的性质定理可知l ∥a ，l ∥b ，l ∥c ，…， ∴a ，b ，c ，…，这些交线都平行．②若l 与α相交，不妨设l ∩α＝A ，则A ∈l ，又由题意可知A ∈a ，A ∈b ，A ∈c ，…，∴这些交线交于同一点A . 综上可知D 正确． 二、填空题9．α，β，γ是三个两两平行的平面，且α与β之间的距离是3，α与γ之间的距离是4，则β与γ之间的距离是________． 考点 平面与平面平行的性质 题点 与面面平行性质有关的计算 答案 1或7解析 β与γ位于α的两侧时，β与γ间的距离是7；当β与γ位于α同侧时，β与γ间的距离是1.10．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.考点 直线与平面平行的性质 题点 利用性质求线段长度 答案223a 解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3.11.如图所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝________.考点 直线与平面平行的性质 题点 与性质有关的其他问题 答案 m ∶n解析 ∵AC ∥平面EFGH ， ∴EF ∥AC ，GH ∥AC ， ∴EF ＝HG ＝m · BE BA， 同理EH ＝FG ＝n · AE AB. ∵四边形EFGH 是菱形， ∴m · BE BA ＝n · AE AB， ∴AE ∶EB ＝m ∶n .12．已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________． 考点 平面与平面平行的性质 题点 利用性质求线段长 答案245或24 解析 如图①所示，∵AC ∩BD ＝P ，∴经过直线AC 与BD 可确定平面PCD .∵α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ， ∴AB ∥CD .∴PA AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD ，∴BD ＝245. 如图②所示，同理可证AB ∥CD ，∴PA PC ＝PBPD，即63＝BD －88，∴BD ＝24. 综上所述，BD 的长为245或24.三、解答题13．如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，P ∉平面ABCD ，过BC 作平面BCFE 交AP 于点E ，交DP 于点F .求证：四边形BCFE 是梯形．考点 平行公理题点 判断、证明线线平行证明 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以BC ∥AD ，因为AD 平面PAD ，BC 平面PAD ， 所以BC ∥平面PAD .因为平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ，BC 平面BCFE ， 所以BC ∥EF .因为AD ＝BC ，AD ≠EF ， 所以BC ≠EF ，所以四边形BCFE 是梯形． 四、探究与拓展14．在空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下面结论正确的是( ) A ．E ，F ，G ，H 一定是各边的中点 B ．G ，H 一定是CD ，DA 的中点C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GCD ．AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC 考点 直线与平面平行的性质 题点 与性质有关的其他问题 答案 D解析 由于BD ∥平面EFGH ，所以有BD ∥EH ，BD ∥FG ，则AE ∶EB ＝AH ∶HD ，且BF ∶FC ＝DG ∶GC . 15．如图所示，四边形EFGH 为四面体A －BCD 的一个截面，若截面为平行四边形． (1)求证：AB ∥平面EFGH ；(2)若AB⊥CD，求证：四边形EFGH为矩形．考点直线与平面平行的性质题点与性质有关的其他问题证明(1)∵EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG平面ABD，EF⊈平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，∴EF∥AB.又EF平面EFGH，AB⊈平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.(2)由(1)同理可证CD∥EH，∴∠FEH即是AB与CD所成的角．∵AB⊥CD，∴∠FEH＝90°，∴平行四边形EFGH为矩形．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
【推荐精选】2018-2019高中数学 第一章 立体几何初步 1.5.2 平行关系的性质学案 北师大版必修2
5.2 平行关系的性质学习目标 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理(重点)；2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题(重、难点).知识点一 直线与平面平行的性质定理⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa βα∩β＝b ⇒a ∥b(1)如图，直线l ∥平面α，直线a 平面α，直线l 与直线a 一定平行吗？为什么？提示 不一定，因为还可能是异面直线.(2)如图，直线a ∥平面α，直线a 平面β，平面α∩平面β＝直线b ，满足以上条件的平面β有多少个？直线a ，b 有什么位置关系？提示 无数个，a ∥b .知识点二 平面与平面平行的性质定理观察长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个面：平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1.(1)平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？提示是的.(2)若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，则m∥n吗？提示不一定，也可能异面.(3)过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？提示平行.题型一线面平行性质定理的应用【例1】如图所示，四面体A－BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形.(1)求证：CD∥平面EFGH；(2)求异面直线AB、CD所成的角.(1)证明∵截面EFGH是矩形，∴EF∥GH.又GH平面BCD，EF 平面BCD，∴EF∥平面BCD.而EF平面ACD.平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又EF平面EFGH，CD 平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.(2)解由(1)知CD∥EF，同理AB∥FG，由异面直线所成角的定义知，∠EFG或其补角即为所求.又因为∠EFG＝90°，故AB、CD所成的角为90°.规律方法利用线面平行的性质定理解题的步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面.(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面.(3)确定交线.(4)由性质定理得出结论.【训练1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一点，AB1∩A1E＝F，B1C∩C1E＝G.求证：AC∥FG.证明∵AC∥A1C1，A1C1平面A1EC1，AC平面A1EC1，∴AC∥平面A1EC1.又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG.题型二面面平行性质定理的应用【例2】已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α.证明①若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.∵α∥β，∴AC∥BD.又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD.又BD平面α，MN平面α，∴MN∥平面α.②若AB、CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP、PN、BE、ED.∵AE∥CD.∴AE、CD确定平面AEDC.则平面AEDC与α、β的交线分别为ED、AC，∵α∥β，∴ED∥AC.又P、N分别为AE、CD的中点，∴PN∥ED，又ED平面α，PN平面α，∴PN∥平面α.同理可证MP∥BE，∴MP∥平面α，∵AB、CD异面，∴MP、NP相交.∴平面MPN∥平面α.又MN平面MPN，∴MN∥平面α.规律方法(1)利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交.(2)面面平行⇒线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化.【训练2】平面α∥平面β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，且AS＝8，BS ＝9，CD＝34，求CS.解有两种情况：S位于α、β之间，和S位于α、β的同侧.(1)当S 位于α、β之间时，如图，连接AC ，BD ，AB ∩CD ＝S .设AB ，CD 共面γ，γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD .因为α∥β，且AC 与BD 共面，所以AC ∥BD ，所以△ACS ∽△BDS ，所以AS SB ＝CS DS.设CS ＝x ，则x 34－x ＝89，所以x ＝16.(2)当S 位于α，β同侧时，如图，AB ∩CD ＝S ，设AB ，CD 共面γ，因为γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， 所以AC ∥BD . 所以△SAC ∽△SBD ， 所以SCSC ＋CD ＝SASB，即SC SC ＋34＝89， 所以SC ＝272.综上所述，SC ＝16或272.【例3】 如图，在矩形ABCD 和矩形ABEF 中，AF ＝AD ，AM ＝DN ，矩形ABEF 可沿AB 任意翻折.求证：当F 、A 、D 不共线时，线段MN 总平行于平面FAD . 证明 在平面图形中，连接MN ，设MN 与AB 交于点G . 由于ABCD 和ABEF 都是矩形，且AD ＝BE . ∴四边形ADBE 是平行四边形.又AM ＝DN ， ∴四边形AMND 为平行四边形，∴MN ∥AD .折叠之后，MG ∥BE ∥AF ，NG ∥AD ，且MG ∩NG ＝G ，AD ∩AF ＝A ，如图， ∴平面ADF ∥平面GNM . 又MN 平面GNM ， ∴MN ∥平面ADF .∴当F 、A 、D 不共线时，MN 总平行于平面ADF .【迁移】 上题条件不变，问“不管怎样翻折矩形ABEF ，线段MN 总和线段FD 平行.”这个结论对吗？如果对请证明；如果不对，请说明能否改变个别已知条件使上述结论成立. 解 这个结论不对.要使上述结论成立，M 、N 应为AE 和DB 的中点.由于平面MNG ∥平面FDA ，可知要使MN ∥FD 总成立，根据面面平行的性质定理，只要FD 与MN 共面即可.若要使FD 与MN 共面，连接FM ，只要FM 与DN 相交即可.由图形知，若要DN 和FM 共面，应有DN 与FM 相交于点B ，折叠后的图形如右图.∵FM ∩DN ＝B ，可知它们确定一个平面，即F 、D 、N 、M 四点共面. 又平面FDNM ∩平面MNG ＝MN ， 平面FDNM ∩平面FDA ＝FD ， ∴MN ∥FD .规律方法 (1)如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题，条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.(2)探索性问题一般都可以采取代入一些简单的数值去尝试观察、分析、归纳、猜想，然后再予以证明或解答.(3)在立体几何平行关系问题中，随着点的移动，图形的形状和大小都要发生变化，探讨其中的规律是经常见到的问题.课堂达标1.如图，已知平面α∩平面β＝a ，平面β∩平面γ＝b ，平面γ∩平面α＝c ，若a ∥b ，则c 与a ，b 的位置关系是( ) A.c 与a ，b 都异面 B.c 与a ，b 都相交C.c 至少与a ，b 中的一条相交D.c 与a ，b 都平行解析 ∵a ∥b ， γ，b γ，∴a ∥γ. 又∵a α，α∩γ＝c ，∴a ∥c ，∴a ∥b ∥c . 答案 D2.如图，平面α∥平面β，过平面α、β外一点P 引直线l 1分别交平面α、平面β于A 、B 两点，PA ＝6，AB ＝2，引直线l 2分别交平面α、平面β于C 、D 两点，已知BD ＝12，则AC 的长等于( ) A.10 B.9 C.8D.7解析 由l 1∩l 2＝P ，知l 1、l 2确定一个平面γ，由⎭⎪⎬⎪⎫α∩γ＝AC β∩γ＝BD α∥β⇒AC ∥BD ⇒PA PB ＝ACBD.∴66＋2＝AC12，解得AC ＝9. 答案 B3.如图，过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的三个顶点A 1、C 1、B 的平面与底面ABCD 的交线为l ，则l 与A 1C 1的位置关系是________.解析⎭⎪⎬⎪⎫平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1平面A 1C 1B ∩平面ABCD ＝l 平面A 1C 1B ∩平面A 1B 1C 1D 1＝A 1C 1⇒l ∥A 1C 1. 答案 平行4.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________.解析 因为EF ∥平面AB 1C ，且EF 平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC .又因为E 为AD 的中点，所以EF 为△ACD 的中位线，所以EF ＝12AC ＝12×22＝ 2. 答案25.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN .求证：MN ∥平面AA 1B 1B.证明 如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ， ∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CPPB. ∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ， ∴B 1M ＝BN ，∴CM MB 1＝DN NB，∴CP PB ＝DN NB， ∴NP ∥CD ∥AB .∵ 平面AA 1B 1B ，AB 平面AA 1B 1B ， ∴NP ∥平面AA 1B 1B .∵MP ∥BB 1， 平面AA 1B 1B ，BB 1平面AA 1B 1B ，∴MP ∥平面AA 1B 1B .又∵MP 平面MNP ，NP 平面MNP ，MP ∩NP ＝P ， ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B .∵MN 平面MNP ，∴MN ∥平面AA 1B 1B .课堂小结1.常用的面面平行的其他几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 2.空间中各种平行关系相互转化关系的示意图基础过关1.直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( ) A.至少有一条 B.至多有一条 C.有且只有一条D.没有解析 设这n 条直线的交点为P ，则P ∉a ，∴直线a 和点P 确定一个平面β.设α∩β＝b ，则P ∈b .又∵a ∥α，∴a ∥b .显然直线b 有且只有一条，那么直线b 可能在这n 条直线中，也可能不在，即这n 条直线中与直线a 平行的直线至多有一条. 答案 B2.下列结论中，正确的有( ) ①若 α，则a ∥α②a ∥平面α，b α，则a ∥b③平面α∥平面β，a α，b β，则a ∥b ④平面α∥β，点P ∈α，a ∥β，且P ∈a ，则a α A.1个 B.2个 C.3个D.4个解析 ①中，a 与α也可能相交，故①不正确；②③中，a 与b 也可能异面，故②③不正确；④中，∵a ∥β，α∥β，∴a ∥α或a α，又∵P ∈a ，P ∈α，∴a α，故④正确. 答案 A3.如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA ，PB ，PC 于点A ′，B ′，C ′.若PA ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A.2∶25B.4∶25C.2∶5D.4∶5解析 ∵平面α∥平面ABC ，平面PAB 与它们的交线分别为A ′B ′，AB ，∴A ′B ′∥AB .同理B ′C ′∥BC ，A ′C ′∥AC ，从而易得△A ′B ′C ′∽△ABC ，且A ′B ′AB ＝PA ′PA ＝25， ∴S △A ′B ′C ′∶S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝425.答案 B4.已知a ，b 表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题： ①若α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，且a ∥b ，则α∥β；②若a ，b 相交且都在α，β外，a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β，则α∥β； ③若a ∥α，a ∥β，则α∥β；④若a ∥α，b ∥β，且a ∥b ，则α∥β； ⑤若a α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥b . 其中正确命题的序号是________.解析 ①错误，α与β也可能相交；②正确，依题意，由a ，b 确定的平面γ，满足γ∥α，γ∥β，故α∥β；③错误，α与β也可能相交；④错误，α与β也可能相交；⑤正确，由线面平行的性质定理可知. 答案 ②⑤5.如图，已知α∥β，GH ，GD ，EH 分别交α，β于A ，B ，C ，D ，E ，F ，且GA ＝9，AB ＝12，BH ＝16，则ACBD＝________.解析 因为α∩平面GAC ＝AC ，β∩平面GBD ＝BD ，且α∥β， 所以AC ∥BD ，同理可证AE ∥BF . 又因为∠EAC 与∠FBD 的两边同向， 所以∠EAC ＝∠FBD .又因为GA ＝9，AB ＝12，AC ∥BD ，所以AC BD ＝GA GB ＝99＋12＝37.答案 376.如图所示，B 为△ACD 所在平面外一点，M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心.(1)求证：平面MNG ∥平面ACD ； (2)求S △MNG ∶S △ADC .(1)证明 如图，连接BM ，BN ，BG 并分别延长交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H .∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心， 则有BM MP ＝BN NF ＝BG GH＝2. 连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF . 又PF 平面ACD ， 平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD . 同理MG ∥平面ACD .又MG ∩MN ＝M ，∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解 由(1)可知，MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ，∴△MNG ∽△ADC ，且相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.7.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：GH ∥平面PAD .证明 如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO .∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又M是PC的中点，∴PA∥MO.而A 平面BDM，OM平面BDM，∴PA∥平面BMD，又∵PA平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA平面PAD，平面PAD，∴GH∥平面PAD.能力提升8.如图，在四面体A－BCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的是( )A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC＝BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°解析∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，从而易得PQ∥面DAC.又∵面ABC∩面ADC＝AC，PQ 面ABC，∴PQ∥AC.从而易得AC∥平面PNMQ.同理可得QM∥BD.又∵PQ⊥QM，∠PMQ＝45°，∴AC⊥BD，且异面直线PM与BD所成的角为45°.故选项A、B、D正确.答案 C9.过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点解析∵α，∴l∥α或l与α相交.①若l∥α，则由线面平行的性质定理可知l∥a，l∥b，l∥c，…，∴a，b，c，…，这些交线都平行.②若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A.综上可知D正确.答案 D10.如图，空间四边形ABCD 中，对角线AC ＝BD ＝4，E 是AB 的中点，过E与AC 、BD 都平行的截面EFGH 分别与BC 、CD 、DA 交于F 、G 、H ，则四边形EFGH 的周长为________.解析 ∵AC ∥平面EFGH ，AC 平面ABC ，平面ABC ∩平面EFGH ＝EF ，∴AC ∥EF ，∵E 为AB 中点，∴F 为BC 中点，∴EF ＝12AC ＝2. 同理HG ＝12AC ＝2，EH ＝FG ＝12BD ＝2， ∴四边形EFGH 的周长为8.答案 811.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DD 1上的点.当平面AB 1C ∥平面A 1EC 1时，点E 的位置是________.解析 如图，连接B 1D 1，BD ，设B 1D 1∩A 1C 1＝M ，BD ∩AC ＝O ，连接ME 、B 1O ，∵平面AB 1C ∥平面A 1EC 1，平面AB 1C ∩平面BDD 1B 1＝B 1O ，平面A 1EC 1∩平面BDD 1B 1＝ME ，∴B 1O ∥ME .又四边形B 1MDO 为平行四边形，则B 1O ∥MD .故E 与D 重合.答案 与D 重合12.如图所示，已知P 是▱ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，平面PBC ∩平面PAD ＝l .(1)求证：l ∥BC ；(2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论.方法一 (1)证明 因为BC ∥AD ，BC 平面PAD ，AD 平面PAD ，所以BC ∥平面PAD .又因为平面PBC ∩平面PAD ＝l ，所以BC ∥l .(2)解 平行.图(1)如图(1)，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，可以证得NE ∥AM 且NE ＝AM ，所以四边形AMNE 是平行四边形，所以MN ∥AE ，所以MN ∥平面PAD .方法二 (1)证明 因为AD ∥BC ，AD 平面PBC ，BC 平面PBC ，所以AD ∥平面PBC .又因为平面PBC ∩平面PAD ＝l ，所以l ∥AD .因为AD ∥BC ，所以l ∥BC .(2)解 平行.图(2)如图(2)，设Q 是CD 的中点，连接NQ ，MQ ，则MQ ∥AD ，NQ ∥PD ，而MQ ∩NQ ＝Q ， 平面PAD ， 平面PAD ，所以平面MNQ ∥平面PAD .又因为MN 平面MNQ ，所以MN ∥平面PAD .13.(选做题)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点.若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值.解 如图，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点.因为平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，所以BC 1∥D 1O ，所以D 1为线段A 1C 1的中点，所以D 1C 1＝12A 1C 1. 因为平面BC 1D ∥平面AB 1D 1， 且平面AA 1C 1C ∩平面BDC 1＝DC 1， 平面AA 1C 1C ∩平面AB 1D 1＝AD 1， 所以AD 1∥DC 1.又因为AD ∥D 1C 1， 所以四边形ADC 1D 1是平行四边形，所以AD ＝C 1D 1＝12A 1C 1＝12AC ，所以AD DC＝1.。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.5 平行关系 1.5.2 平
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预习交流 1
如果直线 a 与平面 α 平行,那么直线 a 就和平面 α 内的任一条直线 都平行吗?
提示:不是.当直线 a 与平面 α 平行时,它和平面 α 内的直线有两种 位置关系:平行与异面.
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预习交流 2
对直线和平面平行的性质定理你是怎样认识的? 提示:(1)线面平行的性质定理的条件有三个:①直线 a 与平面 α 平 行,即 a∥α;②平面 α,β 相交于一条直线,即 α∩β=b;③直线 a 在平面 β 内, 即 a⫋β.三个条件缺一不可. (2)定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行,即通过 直线与平面平行可得到直线与直线平行,这给出了一种作平行线的方 法,体现了数学中的转化与化归的思想. (3)如果直线 a∥平面 α,在平面 α 内,除了与直线 a 平行的直线外, 其余的任一直线都与直线 a 是异面直线.
5.2 平行关系的性质
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学习目标 重点难点
1.记住直线和平面平行的性质定理. 2.记住平面和平面平行的性质定理. 3.能利用两个性质定理解题, 进一步培养观察、发现的能力和 空间想象能力. 重点:直线和平面平行的性质定理,平面和平面平行的性质定 理. 难点:两个性质定理的应用. 疑点:在证明过程中如何添加辅助线?
线、面平行
线、线平行.
问题导学 当堂检测
2.平面与平面平行的性质 活动与探究 例 2 如图,已知 α∥β,点 P 是平面 α,β 外的一点(不在 α 与 β
之间),直线 PB,PD 分别与 α,β 相交于点 A,B 和 C,D.
(1)求证:AC∥BD; (2)已知 PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求 PD 的长.
2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步5.1平行关系的判定学案北师大版必修2
5．1 平行关系的判定学习目标 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．知识点一 直线与平面平行的判定定理思考 如图，一块矩形木板ABCD 的一边AB 在平面α内，把这块木板绕AB 转动，在转动过程中，AB 的对边CD (不落在α内)和平面α有何位置关系？答案 平行． 梳理 判定定理⎭⎬⎫a ⊈αb αa ∥b ⇒a ∥α知识点二 平面与平面平行的判定定理思考1 三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？ 答案 不一定．思考2 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？ 答案 平行．梳理 判定定理⎭⎪⎬⎪⎫a βb βa ∩b ＝P a ∥αb ∥α⇒α∥β1．若直线l 上有两点到平面α的距离相等，则l ∥平面α.( × ) 2．若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线平行．( × ) 3．若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．( × ) 4．若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．( √ )类型一 直线与平面平行的判定问题 命题角度1 以锥体为背景证明线面平行例1 如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB.求证：MN ∥平面SBC . 考点 直线与平面平行的判定 题点 直线与平面平行的证明证明 连接AN 并延长交BC 于点P ，连接SP .因为AD ∥BC ，所以DN NB ＝AN NP，又因为AM SM ＝DN NB ，所以AM SM ＝AN NP，所以MN ∥SP ， 又MN ⊈平面SBC ，SP 平面SBC ， 所以MN ∥平面SBC . 引申探究本例中若M ，N 分别是SA ，BD 的中点，试证明MN ∥平面SBC .证明 连接AC ，由平行四边形的性质可知，AC 必过BD 的中点N ，在△SAC 中，M ，N 分别为SA ，AC 的中点，所以MN ∥SC ，又因为SC 平面SBC ，MN ⊈平面SBC ，所以MN ∥平面SBC .反思与感悟 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．跟踪训练1 在四面体A －BCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________． 考点 直线与平面平行的判定 题点 直线与平面平行的证明 答案 平面ABD 与平面ABC解析 如图，取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，MN .则EM ∶MA ＝1∶2，EN ∶BN ＝1∶2， 所以MN ∥AB .又AB 平面ABD ，MN ⊈平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ，同理，AB 平面ABC ，MN ⊈平面ABC ， 所以MN ∥平面ABC .命题角度2 以柱体为背景证明线面平行例2 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是棱BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．考点 直线与平面平行的判定 题点 直线与平面平行的证明 解 存在．证明如下： 如图，取线段AB 的中点为M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1， 设O 为A 1C ，AC 1的交点． 由已知得，O 为AC 1的中点， 连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线， 所以MD ∥AC 且MD ＝12AC ，OE ∥AC 且OE ＝12AC ，因此MD ∥OE 且MD ＝OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形， 则DE ∥MO .因为直线DE ⊈平面A 1MC ，MO 平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)， 使直线DE ∥平面A 1MC .反思与感悟证明以柱体为背景包装的线面平行证明题时，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点时，常利用取中点去寻找平行线．跟踪训练2 如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)求证：BC1∥平面AB1D1；(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明证明(1)∵BC1⊈平面AB1D1，AD1平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.(2)∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点，又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF⊈平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.类型二平面与平面平行的判定例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的证明证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E ，F 分别是AB ，AC 的中点， 所以EF ∥BC .因为EF ⊈平面BCHG ，BC 平面BCHG ， 所以EF ∥平面BCHG . 因为A 1G ∥EB ，A 1G ＝EB ， 所以四边形A 1EBG 是平行四边形， 所以A 1E ∥GB .因为A 1E ⊈平面BCHG ，GB 平面BCHG ， 所以A 1E ∥平面BCHG . 因为A 1E ∩EF ＝E ， 所以平面EFA 1∥平面BCHG .反思与感悟 判定平面与平面平行的四种常用方法 (1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线． (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.跟踪训练3 如图所示，已知A 为平面BCD 外一点，M ，N ，G 分别是△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心．求证：平面MNG ∥平面ACD . 考点 平面与平面平行的判定 题点 平面与平面平行的证明证明 如图，设BM ，BN ，BG 分别交AC ，AD ，CD 于点P ，F ，H ，连接PF ，PH . 由三角形重心的性质，得BM MP ＝BN NF ＝BGGH＝2，∴MG∥PH，又PH平面ACD，MG⊈平面ACD，∴MG∥平面ACD.同理可证MN∥平面ACD，又MN∩MG＝M，MN平面MNG，MG平面MNG，∴平面MNG∥平面ACD.1．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为底面ABCD和底面A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 D解析由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．2．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面( )A．有且只有一个B．有无数多个C．至多一个D．不存在考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 A解析在直线a上任选一点A，过点A作b′∥b，则b′是唯一的，因为a∩b′＝A，所以a 与b′确定一个平面并且只有一个平面．3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是( )A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案 A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊈平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1.又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，H1E，EG平面EGH1，∴平面E1FG1∥EGH1.4．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案 B解析①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．5.如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，CD⊥AD，F，E分别是PA，AD的中点，求证：平面PCD∥平面FEB.考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定证明连接BD，在△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，E为AD的中点，∴BE⊥AD，又CD⊥AD，∴在四边形ABCD中，BE∥CD.又CD⊈平面FEB，BE平面FEB，∴CD∥平面FEB.在△APD中，EF∥PD，同理可得PD∥平面FEB.又CD∩PD＝D，∴平面PCD∥平面FEB.1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．2．证明面面平行的一般思路：线线平行⇒线面平行⇒面面平行．3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键．一、选择题1．能保证直线a与平面α平行的条件是( )A．bα，a∥bB．bα，c∥α，a∥b，a∥cC．bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BDD．aα，bα，a∥b考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 D解析由线面平行的判定定理可知，D正确．2．如果两直线a∥b且a∥α，则b与α的位置关系是( )A．相交B．b∥αC．bαD．b∥α或bα考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 D解析由a∥b且a∥α知，b与α平行或bα.3．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于D，E，且AD∶DB＝AE∶EC，如图所示，则BC与α的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．BCα考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 A解析在△ABC中，因为AD∶DB＝AE∶EC，所以BC∥DE.因为BC⊈α，DEα，所以BC∥α. 4．若六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案 D解析 由图知平面ABB 1A 1∥平面EDD 1E 1，平面BCC 1B 1∥平面FEE 1F 1，平面AFF 1A 1∥平面CDD 1C 1，平面ABCDEF ∥平面A 1B 1C 1D 1E 1F 1， ∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．5．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 上的点，且AE ∶EB ＝AF ∶FD ＝1∶4，又H ，G 分别为BC ，CD 的中点，则( )A ．BD ∥平面EFG ，且四边形EFGH 是平行四边形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形 考点 直线与平面平行的判定 题点 直线与平面平行的判定 答案 B解析 易证EF ∥平面BCD .由AE ∶EB ＝AF ∶FD 知，EF ∥BD ，且EF ＝15BD .又因为H ，G 分别为BC ，CD 的中点， 所以HG ∥BD ，且HG ＝12BD .综上可知，EF ∥HG ，EF ≠HG ，所以四边形EFGH 是梯形，且EF ∥平面BCD .6．如图，下列正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则不能得出AB ∥平面MNP 的是( )考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 C解析在图A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.7．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( ) A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案 C解析若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．8．已知直线l，m，平面α，β，下列说法正确的是( )A．l∥β，lα⇒α∥βB．l∥β，m∥β，lα，mα⇒α∥βC．l∥m，lα，mβ⇒α∥βD．l∥β，m∥β，lα，mα，l∩m＝M⇒α∥β考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案 D解析如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，则AB∥平面DC1，AB平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.EF平面BC1，B1C1平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；AD∥B1C1，AD平面AC，B1C1平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确．二、填空题9．设m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个推断：①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案①②⇒③(或①③⇒②)解析若m∥n，m∥α，则n∥α，同样，若m∥n，n∥α，则m∥α.10．如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平行解析∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊈平面ADE，DE平面ADE，∴MN∥平面ADE.11．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面ADNE；②CN∥平面ABFE；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个说法中正确的是________．考点平行问题的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图．则易知四个说法都是正确的．12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案M∈线段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意一点M与N连接，都有MN∥平面B1BDD1.三、解答题13．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB，A1D1的中点分别为M，N，求证：MN∥平面B1D1DB.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定证明 如图，取BD 的中点O ，连接MO ，D 1O ，则OM ∥AD 且OM ＝12AD ，∵ND 1＝12A 1D 1，AD ∥A 1D 1，且AD ＝A 1D 1，∴OM ∥ND 1，且OM ＝ND 1， ∴四边形OMND 1为平行四边形，∴MN ∥OD 1.又MN ⊈平面B 1D 1DB ，OD 1平面B 1D 1DB ， ∴MN ∥平面B 1D 1DB . 四、探究与拓展14．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，BB 1的中点，给出下列四个推断： ①FG ∥平面AA 1D 1D ；②EF ∥平面BC 1D 1；③FG ∥平面BC 1D 1；④平面EFG ∥平面BC 1D 1.其中推断正确的序号是( ) A ．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 考点 平行问题的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化 答案 A解析 ∵在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F ，G 分别是棱A 1B 1，B 1C 1，BB 1的中点，∴FG ∥BC 1. ∵BC 1∥AD 1，∴FG ∥AD 1，∵FG ⊈平面AA 1D 1D ，AD 1平面AA 1D 1D ，∴FG ∥平面AA 1D 1D ，故①正确；∵EF ∥A 1C 1，A 1C 1与平面BC 1D 1相交，∴EF与平面BC 1D 1相交，故②错误；∵FG ∥BC 1，FG 平面BC 1D 1，BC 1平面BC 1D 1， ∴FG ∥平面BC 1D 1，故③正确；∵EF 与平面BC 1D 1相交，∴平面EFG 与平面BC 1D 1相交，故④错误．故选A.15．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO. ∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA，又O为DB的中点，∴D1B∥PO.又PO∩PA＝P，BQ∩D1B＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.。
2018_2019学年高中数学第一章立体几何初步5.1平行关系的判定学案北师大版必修2word版本
5．1 平行关系的判定学习目标 1.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．知识点一直线与平面平行的判定定理思考如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？答案平行．梳理判定定理知识点二平面与平面平行的判定定理思考1 三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案不一定．思考2 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？答案平行．梳理 判定定理1．若直线l 上有两点到平面α的距离相等，则l ∥平面α.( × ) 2．若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线平行．( × ) 3．若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．( × ) 4．若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．( √ )类型一 直线与平面平行的判定问题 命题角度1 以锥体为背景证明线面平行例1 如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AMSM ＝DN NB.求证：MN ∥平面SBC . 考点 直线与平面平行的判定 题点 直线与平面平行的证明证明 连接AN 并延长交BC 于点P ，连接SP .因为AD ∥BC ，所以DN NB ＝ANNP，又因为AM SM ＝DN NB ，所以AM SM ＝ANNP ，所以MN ∥SP ，又MN ⊈平面SBC ，SP 平面SBC ， 所以MN ∥平面SBC . 引申探究本例中若M ，N 分别是SA ，BD 的中点，试证明MN ∥平面SBC .证明 连接AC ，由平行四边形的性质可知，AC 必过BD 的中点N ，在△SAC 中，M ，N 分别为SA ，AC 的中点，所以MN ∥SC ，又因为SC 平面SBC ，MN ⊈平面SBC ，所以MN ∥平面SBC . 反思与感悟 利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．跟踪训练1 在四面体A －BCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________． 考点 直线与平面平行的判定 题点 直线与平面平行的证明 答案 平面ABD 与平面ABC解析 如图，取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，MN .则EM ∶MA ＝1∶2，EN ∶BN ＝1∶2， 所以MN ∥AB .又AB 平面ABD ，MN ⊈平面ABD ， 所以MN ∥平面ABD ，同理，AB 平面ABC ，MN ⊈平面ABC ， 所以MN ∥平面ABC .命题角度2 以柱体为背景证明线面平行例2 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是棱BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．考点 直线与平面平行的判定 题点 直线与平面平行的证明 解 存在．证明如下： 如图，取线段AB 的中点为M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1， 设O 为A 1C ，AC 1的交点． 由已知得，O 为AC 1的中点， 连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线， 所以MD ∥AC 且MD ＝12AC ，OE ∥AC 且OE ＝12AC ，因此MD ∥OE 且MD ＝OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE∥MO.因为直线DE⊈平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE∥平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE∥平面A1MC.反思与感悟证明以柱体为背景包装的线面平行证明题时，常用线面平行的判定定理，遇到题目中含有线段中点时，常利用取中点去寻找平行线．跟踪训练2 如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)求证：BC1∥平面AB1D1；(2)若E，F分别是D1C，BD的中点，求证：EF∥平面ADD1A1.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的证明证明(1)∵BC1⊈平面AB1D1，AD1平面AB1D1，BC1∥AD1，∴BC1∥平面AB1D1.(2)∵点F为BD的中点，∴F为AC的中点，又∵点E为D1C的中点，∴EF∥AD1，∵EF⊈平面ADD1A1，AD1平面ADD1A1，∴EF∥平面ADD1A1.类型二平面与平面平行的判定例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的证明证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF⊈平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E⊈平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.反思与感悟判定平面与平面平行的四种常用方法(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.跟踪训练3 如图所示，已知A为平面BCD外一点，M，N，G分别是△ABC，△ABD，△BCD 的重心．求证：平面MNG ∥平面ACD . 考点 平面与平面平行的判定 题点 平面与平面平行的证明证明 如图，设BM ，BN ，BG 分别交AC ，AD ，CD 于点P ，F ，H ，连接PF ，PH . 由三角形重心的性质，得BM MP ＝BN NF ＝BGGH＝2，∴MG ∥PH ，又PH 平面ACD ，MG ⊈平面ACD ， ∴MG ∥平面ACD . 同理可证MN ∥平面ACD ，又MN ∩MG ＝M ，MN 平面MNG ，MG 平面MNG ， ∴平面MNG ∥平面ACD .1．在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E ，F 分别为底面ABCD 和底面A ′B ′C ′D ′的中心，则正方体的六个面中与EF 平行的平面有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点 直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 D解析由直线与平面平行的判定定理知，EF与平面AB′，平面BC′，平面CD′，平面AD′均平行．故与EF平行的平面有4个．2．直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面( )A．有且只有一个B．有无数多个C．至多一个D．不存在考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 A解析在直线a上任选一点A，过点A作b′∥b，则b′是唯一的，因为a∩b′＝A，所以a与b′确定一个平面并且只有一个平面．3．在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对平面彼此平行的一对是( )A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案 A解析如图，∵EG∥E1G1，EG⊈平面E1FG1，E1G1平面E1FG1，∴EG∥平面E1FG1.又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，H1E，EG平面EGH1，∴平面E1FG1∥EGH1.4．经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )A．1个或2个B．0个或1个C．1个D．0个考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案 B解析①当经过两点的直线与平面α平行时，可作出一个平面β，使β∥α.②当经过两点的直线与平面α相交时，由于作出的平面又至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面α相交，不能作出与平面α平行的平面．故满足条件的平面有0个或1个．5.如图，四棱锥P－ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，CD⊥AD，F，E分别是PA，AD的中点，求证：平面PCD∥平面FEB.考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定证明连接BD，在△ABD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，∴△ABD是等边三角形，E为AD的中点，∴BE⊥AD，又CD⊥AD，∴在四边形ABCD中，BE∥CD.又CD⊈平面FEB，BE平面FEB，∴CD∥平面FEB.在△APD中，EF∥PD，同理可得PD∥平面FEB.又CD∩PD＝D，∴平面PCD∥平面FEB.1．直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．2．证明面面平行的一般思路：线线平行⇒线面平行⇒面面平行．3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键．一、选择题1．能保证直线a与平面α平行的条件是( )A．bα，a∥bB．bα，c∥α，a∥b，a∥cC．bα，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BDD．aα，bα，a∥b考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 D解析由线面平行的判定定理可知，D正确．2．如果两直线a∥b且a∥α，则b与α的位置关系是( )A．相交B．b∥αC．bαD．b∥α或bα考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 D解析由a∥b且a∥α知，b与α平行或bα.3．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于D，E，且AD∶DB＝AE∶EC，如图所示，则BC 与α的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．BCα考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案 A解析在△ABC中，因为AD∶DB＝AE∶EC，所以BC∥DE.因为BC⊈α，DEα，所以BC∥α. 4．若六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有( )A．1对 B．2对 C．3对 D．4对考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案 D解析由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B ．EF ∥平面BCD ，且四边形EFGH 是梯形C ．HG ∥平面ABD ，且四边形EFGH 是平行四边形 D ．EH ∥平面ADC ，且四边形EFGH 是梯形 考点 直线与平面平行的判定 题点 直线与平面平行的判定 答案 B解析 易证EF ∥平面BCD .由AE ∶EB ＝AF ∶FD 知，EF ∥BD ，且EF ＝15BD .又因为H ，G 分别为BC ，CD 的中点， 所以HG ∥BD ，且HG ＝12BD .综上可知，EF ∥HG ，EF ≠HG ，所以四边形EFGH 是梯形，且EF ∥平面BCD .6．如图，下列正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，则不能得出AB ∥平面MNP 的是( )考点 直线与平面平行的判定 题点 直线与平面平行的判定 答案 C解析 在图A ，B 中，易知AB ∥A 1B 1∥MN ，所以AB ∥平面MNP ；在图D 中，易知AB ∥PN ，所以AB ∥平面MNP .故选C.7．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( ) A ．平行B ．相交C．平行或相交D．可能重合考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案 C解析若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．8．已知直线l，m，平面α，β，下列说法正确的是( )A．l∥β，lα⇒α∥βB．l∥β，m∥β，lα，mα⇒α∥βC．l∥m，lα，mβ⇒α∥βD．l∥β，m∥β，lα，mα，l∩m＝M⇒α∥β考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定答案 D解析如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，则AB∥平面DC1，AB平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.EF平面BC1，B1C1平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；AD∥B1C1，AD平面AC，B1C1平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确．二、填空题9．设m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个推断：①m∥n；②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，写出你认为正确的一个________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案①②⇒③(或①③⇒②)解析若m∥n，m∥α，则n∥α，同样，若m∥n，n∥α，则m∥α.10．如图，在五面体FEABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN 与平面ADE的位置关系是________．考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案平行解析∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊈平面ADE，DE平面ADE，∴MN∥平面ADE.11．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面ADNE；②CN∥平面ABFE；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个说法中正确的是________．考点平行问题的综合应用题点线线、线面、面面平行的相互转化答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图．则易知四个说法都是正确的．12.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.考点直线与平面平行的判定题点直线与平面平行的判定答案M∈线段FH解析∵HN∥BD，HF∥DD1，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，∴平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意一点M与N连接，都有MN∥平面B1BDD1.三、解答题13．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB，A1D1的中点分别为M，N，求证：MN∥平面B1D1DB.考点 直线与平面平行的判定 题点 直线与平面平行的判定证明 如图，取BD 的中点O ，连接MO ，D 1O ，则OM ∥AD 且OM ＝12AD ，∵ND 1＝12A 1D 1，AD ∥A 1D 1，且AD ＝A 1D 1，∴OM ∥ND 1，且OM ＝ND 1， ∴四边形OMND 1为平行四边形，∴MN ∥OD 1.又MN ⊈平面B 1D 1DB ，OD 1平面B 1D 1DB ， ∴MN ∥平面B 1D 1DB . 四、探究与拓展14．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是A 1B 1，B 1C 1，BB 1的中点，给出下列四个推断：①FG ∥平面AA 1D 1D ；②EF ∥平面BC 1D 1；③FG ∥平面BC 1D 1；④平面EFG ∥平面BC 1D 1.其中推断正确的序号是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 考点 平行问题的综合应用题点 线线、线面、面面平行的相互转化 答案 A解析∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，G分别是棱A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1. ∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，∵FG⊈平面AA1D1D，AD1平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF 与平面BC1D1相交，故②错误；∵FG∥BC1，FG平面BC1D1，BC1平面BC1D1，∴FG∥平面BC1D1，故③正确；∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．故选A.15．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q 是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?考点平面与平面平行的判定题点平面与平面平行的判定解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA，又O为DB的中点，∴D1B∥PO.又PO∩PA＝P，BQ∩D1B＝B，∴平面D1BQ∥平面PAO.。
高中数学第一章立体几何初步152平行关系的性质学案含解析北师大版必修
2021-4-29 20XX年复习资料教学复习资料班级：科目：5．2 平行关系的性质知识点一直线与平面平行的性质定理[填一填][答一答]1．若直线a∥平面α，如何在平面α内找一条直线与a平行？提示：根据直线与平面平行的性质定理，只需过a作一平面与平面α相交，则交线与a平行．2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？它们与α的交线相互之间有什么关系？提示：过a与平面α相交的平面有无数个，它们与α的交线互相平行．3．一条直线平行于一个平面，则该直线平行于这个平面内的任意一条直线吗？提示：一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但不能与平面内的任意一条直线平行．这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．知识点二平面与平面平行的性质[填一填][答一答]4．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？提示：一定平行于另一个平面．因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行．5．如果α∥β，aα，那么如何在平面β内作出与a平行的直线？提示：利用面面平行的性质定理，可在平面β内任取一点A，然后作出A和直线a所确定的平面γ，确定平面β和γ的交线b，则a∥b.6．若α∥β，aα，bβ，则a与b一定平行吗？为什么？提示：不一定，直线a，b可能平行，也可能异面．1．解读直线与平面平行的性质定理(1)作用：证明直线与直线平行．可简述为“若线面平行，则线线平行”．(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②平面α和β相交，即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即aβ.以上三个条件缺一不可．2．对线面平行性质定理的两种解释(1)一条直线b与一个平面α平行，则过b的任何平面与α的交线都与直线b平行，即b可以和α内无数条直线平行．(2)一条直线b与一个平面α平行，则b不能与α内的所有直线平行，即在平面α内，除了与b平行的直线外，其余每条直线与b都是异面直线．3．对面面平行性质定理的理解(1)面面平行的性质定理的条件有三个：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三个条件缺一不可．(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行．(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义．4．线与面、面与面平行性质定理的综合应用(1)线与面、面与面平行的性质定理的主要作用是证明线线平行问题．而在空间平行的判定与证明时，应注意线与线、线与面、面与面平行关系的相互转化，这也是对基础知识的掌握程度和综合能力的提升体现，应灵活把握．(2)线线、线面、面面平行关系的转化过程可总结如下：类型一线面平行的性质定理【例1】求证：若平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面．【思路探究】要证线面平行，只需在已知平面内找到一条与这条直线平行的直线．可通过线面平行的性质去找与这条直线平行的直线．【证明】已知：如图所示，a∥b，a∥α，bα.求证：b∥α.证明：如图所示，过a作平面β，交平面α于直线c.∵a∥α，aβ，α∩β＝c，∴a∥c.又∵a∥b，∴b∥c.又∵cα，bα，∴b∥α.规律方法此命题可以当作直线与平面平行的性质使用，也可当作证明直线和平面平行的判定定理使用，在做解答题和证明题时，若使用它，则需写出此命题的证明过程，做选择题、填空题时可直接使用．如图，已知E ，F 分别是菱形ABCD 边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，点P 在平面ABCD 之外，M 是线段P A 上一动点，若PC ∥平面MEF ，试求PMMA 的值．解：如右图，连接BD 交AC 于点O 1，连接OM ，因为PC ∥平面MEF ，平面P AC ∩平面MEF ＝OM ，所以PC ∥OM ，所以PM P A ＝OCAC，在菱形ABCD 中，因为E ，F 分别是边BC ，CD 的中点， 所以OC O 1C ＝12.又AO 1＝CO 1，所以PM P A ＝OC AC ＝14，故PMMA ＝13.类型二 面面平行的性质【例2】 如图，已知平面α∥β，P ∉α且P ∉β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，求BD 的长．【解】 因为AC ∩BD ＝P ，所以经过直线AC 与BD 可确定平面PCD ，因为α∥β，α∩平面PCD ＝AB ，β∩平面PCD ＝CD ，所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PB BD ，即69＝8－BD BD .所以BD ＝245.规律方法 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤已知平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，求CS 的长．解：(1)若AB ∩CD ＝S 位于平面α，β中间[如下图(1)]，连接AC ，BD . ∵AB ∩CD ＝S ，∴AB ，CD 确定平面γ. ∵γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， ∴AC ∥BD ，∴△ACS ∽△BDS ，∴CS DS ＝AS BS ，即CS 34－CS ＝89，解得CS ＝16.(2)当AB ∩CD ＝S 位于平面α，β同侧[如上图(2)]， ∵AB ∩CD ＝S ，∴AB ，CD 确定平面γ. ∵γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， ∴AC ∥BD ，∴△SCA ∽△SDB ，∴SA SB ＝SC SD ，即89＝SC SC ＋34，解得SC ＝272.综上可知，CS 的长为16或272. 类型三 平行的相互转化【例3】 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有点E ，F ，且B 1E ＝C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .【思路探究】 要证EF ∥平面ABCD ，需在平面ABCD 内寻找一条直线与EF 平行，而平面ABCD 内现有的直线与EF 均不平行，所以要设法将需要的直线作出来．【证明】 证法一：如图1所示，分别过E ，F 作EM ∥BB 1，FN ∥CC 1分别交AB ，BC 于点M ，N ，连接MN .∵BB 1∥CC 1，∴EM ∥FN .∵B 1E ＝C 1F ，AB 1＝BC 1，∴AE ＝BF . 由EM ∥BB 1得AE AB 1＝EMBB 1，由FN ∥CC 1，得BF BC 1＝FNCC 1，∴EM ＝FN ，∴四边形EFNM 是平行四边形，∴EF ∥MN . 又∵MN 平面ABCD ，EF 平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD .证法二：如图1所示．过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ，连接GF ，则有B 1E B 1A ＝B 1GB 1B .又∵B 1E＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ，∴C 1F C 1B ＝B 1GB 1B ，∴FG ∥B 1C 1∥BC .又∵EG ∩FG ＝G ，AB ∩CB ＝B ，∴平面EFG∥平面ABCD .又∵EF 平面EGF ，∴EF ∥平面ABCD .证法三：如图2所示．在平面BCC 1B 1内延长B 1F 交BC (或其延长线)于点P ，连接AP ，∵BP ∥B 1C 1，∴C 1F FB ＝B 1F FP.又∵B 1E ＝C 1F ，B 1A ＝C 1B ， ∴C 1F FB ＝B 1E EA ，∴B 1E EA ＝B 1F FP . ∴在△APB 1中，EF ∥AP . 又∵EF平面ABCD ，AP 平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD .规律方法 此题证明的关键是根据直线与平面平行的判定定理寻找平面ABCD 内与直线EF 平行的直线，本例的证明过程反映出解题中作辅助平面的重要性．如图所示，两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM ＝FN ，求证：MN ∥平面BCE .证明：证法一：如图，作MP ∥AB 交BC 于P ，NQ ∥AB 交BE 于Q . ∴MP ∥NQ ，∵AM ＝FN ， ∴MP ＝22MC ＝22BN ＝NQ . ∴MP 綊NQ ，则四边形MNQP 为平行四边形，∴MN ∥PQ . ∵MN平面BCE ，PQ 平面BCE ，∴MN ∥平面BCE .证法二：如图所示，连接AN 并延长，交BE 的延长线于G ，连接CG ，∵AF ∥BG ，∴ANNG ＝FN NB ＝AMMC，∴MN ∥CG ，∵MN 平面BCE ，CG 平面BCE ，∴MN ∥平面BCE .类型四 平行关系的综合应用【例4】 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点N 在BD 上，点M 在B 1C 上，且CM ＝DN .求证：MN ∥平面AA 1B 1B .【思路探究】 作过MN 与平面ABB 1A 1平行的一个平面→ 证明该平面与平面ABB 1A 1平行→得结论【证明】 如图，作MP ∥BB 1，交BC 于点P ，连接NP ， ∵MP ∥BB 1，∴CM MB 1＝CPPB ，∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ， ∴B 1M ＝BN ，∴CM MB 1＝DN NB ，∴CP PB ＝DN NB ，∴NP ∥CD ∥AB . ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B .∴MN ∥平面AA 1B 1B .规律方法 直线和平面的平行问题，常常转化为直线和直线的平行问题，而直线和直线的平行问题也可以转化为直线与平面的平行问题，要作出命题的正确转化，就必须熟记线面平行的定义、判定定理和性质定理．如图，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA ＝SB ＝SC ，SG 为△SAB 上的高，D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 的位置关系，并给予证明．解：SG ∥平面DEF .证明：证法一：如图，连接CG交DE于点H，连接FH.∵DE是△ABC的中位线，∴DE ∥AB.在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H为CG的中点．∵FH是△SCG的中位线，∴FH∥SG.又SG平面DEF，FH平面DEF，∴SG∥平面DEF.证法二：∵EF为△SBC的中位线，∴EF∥SB.∵EF平面SAB，SB平面SAB，∴EF∥平面SAB.同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，∴平面SAB∥平面DEF，又∵SG平面SAB，∴SG∥平面DEF.类型五探索性问题【例5】如右图所示，要在呈空间四边形形状的撑架上安装一块矩形太阳能吸光板，矩形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边上．已知AC＝a，BD＝b，则E，F，G，H在什么位置时，吸光板的吸光量最大？【思路探究】本题是空间线、面平行关系与实际问题相结合的条件开放性探索题，解题的关键是理解好题意，将线、面平行关系转化为二次函数模型求解．【解】使吸光板的吸光量最大，即要使得矩形的面积最大．设EH＝x，EF＝y，∵EH∥FG，EH平面ABD，F G⃘平面ABD，∴FG∥平面ABD.又FG平面BCD，平面BCD∩平面ABD＝BD，∴FG∥BD.同理可证EF ∥HG ∥AC . 则AE AB ＝EH BD ＝x b ，BE BA ＝EF AC ＝y a， 两式相加得AE AB ＋BE AB ＝x b ＋y a＝1，① 矩形EFGH 的面积S ＝xy ，②由①②得S ＝－a bx 2＋ax (0<x <b )， 当x ＝－a －2a b＝b 2时，S 取最大值，为ab 4，此时y ＝a 2. 故当E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，AD 的中点时，吸光板的吸光量最大． 规律方法 解答这类问题的思路是：把结论看成已知进行逆推，探索结论成立所需的条件．如右图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ＝AB ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD＝90°，P A ＝BC ＝12AD ，在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，请确定点E 的位置，若不存在，请说明理由．解：在棱PD 上存在一点E ，使CE ∥平面P AB .如图，过点C 作CF ∥AB 交AD 于点F ，过点F 作EF ∥AP 交PD 于点E ，连接CE . ∵CF ∥AB ，EF ∥P A ，CF ∩EF ＝F ，P A ∩AB ＝A ，∴平面EFC ∥平面P AB .又∵CE 平面EFC ，∴CE ∥平面P AB .∵BC ＝12AD ，AF ＝BC ，∴F 为AD 的中点， ∴E 为PD 的中点．故棱PD 上存在点E ，且E 为PD 的中点，使CE ∥平面P AB .——易错警示系列——证明平行关系因推理不严密致误【例6】 如右图所示，已知E ，F 分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1上的点，且AE ＝C 1F .求证：四边形EBFD 1是平行四边形．【错解】 因为平面A 1ADD 1∥平面B 1BCC 1，D 1E ＝平面A 1ADD 1∩平面BFD 1E ，BF ＝平面B 1BCC 1∩平面BFD 1E ，所以D 1E ∥FB .同理可得D 1F ∥EB ，所以四边形EBFD 1是平行四边形．【错因分析】 错解中盲目地认为E ，B ，F ，D 1四点共面，由已知条件并不能说明这四点共面，同时条件AE ＝C 1F 也没有用到．【正解】 在棱BB 1上取一点G ，使得B 1G ＝C 1F ＝AE ，连接A 1G ，GF ，则GF 綊B 1C 1綊A 1D 1，所以四边形GFD 1A 1为平行四边形，所以A 1G 綊D 1F .因为A 1E ＝AA 1－AE ，BG ＝B 1B －B 1G ，所以A 1E 綊BG ，所以四边形EBGA 1为平行四边形，所以A 1G 綊EB ，所以D 1F 綊EB ，所以四边形EBFD 1为平行四边形．如图，四边形ABCD 是正方形，DE ⊥平面ABCD .若AF ∥DE ，DE ＝3AF ，点M 在线段BD 上，且BM ＝13BD ，求证：AM ∥平面BEF .证明：延长EF 、DA 交于点G ，如图所示．因为AF ∥DE ，DE ＝3AF ，所以GA GD ＝AF DE ＝13， 因为BM ＝13BD ，所以BM BD ＝13，所以BM BD ＝GA GD ＝13， 所以AM ∥GB ，又AM 平面BEF ，GB 平面BEF ，所以AM ∥平面BEF .一、选择题1．如果直线a ∥平面α，b α，那么a 与b 的关系是( B )A ．相交B ．不相交C ．平行D ．异面解析：a 与b 平行或异面，但不能相交．2．若直线a ∥平面α，直线b ⊥直线a ，则直线b 与平面α的位置关系是( D )A ．b ∥αB ．b αC ．b 与α相交D ．以上均有可能解析：b 与α的位置关系是平行、相交或在α内．3．若不在同一直线上的三点A ，B ，C 到平面α的距离相等，则( B )A ．平面α∥平面ABCB ．△ABC 中至少有一边平行于平面αC ．△ABC 中至多有两边平行于平面αD ．△ABC 中只可能有一边与平面α相交解析：若三点在平面α的同侧，则平面α∥平面ABC ，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC 中至少有一边平行于平面α.应选B.4．平面α截一个三棱锥，如果截面是梯形，那么平面α必定和这个三棱锥的( C )A ．一个侧面平行B ．底面平行C ．仅一条棱平行D ．某两条相对的棱都平行解析：当平面α∥某一平面时，截面为三角形，故A、B错．当平面α∥SA时，如右图截面是四边形DEFG，又SA平面SAB，平面SAB∩α＝DG，∴SA∥DG，同理SA∥EF.∴DG∥EF.同理当α∥BC时，GF∥DE.∵截面是梯形，则四边形DEFG中仅有一组对边平行，故α仅与一条棱平行．故选C.二、填空题5.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是平行四边形．解析：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1C1C∩平面ABCD＝BC，平面BB1C1C∩平面A1B1C1D1＝B1C1，∴BC∥B1C1.同理AB∥A1B1，AD∥A1D1，CD∥C1D1，∴AB∥CD，BC∥AD，∴四边形ABCD是平行四边形．三、解答题6.已知如右图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明：连接AC，设AC∩BD＝O，连接MO.∵四边形ABCD为平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，∴MO∥P A.又MO平面BDM，P A平面BDM，∴P A∥平面BDM. 又∵平面BDM∩平面P AG＝GH，P A平面P AG，∴P A∥GH.结束语同学们，相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念。
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5．2 平行关系的性质学习目标 1.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.2.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．知识点一直线与平面平行的性质思考1 如图，直线l∥平面α，直线a平面α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？思考2 如图，直线a∥平面α，直线a平面β，平面α∩平面β＝直线b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？梳理性质定理文字语言如果一条直线与一个平面______，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的______与该直线________符号语言a∥α，________________⇒a∥b图形语言知识点二平面与平面平行的性质观察长方体ABCD－A1B1C1D1的两个面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.思考1 平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？思考2 若m平面ABCD，n平面A1B1C1D1，则m∥n吗？思考3 过BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1，B1C1与BC是什么关系？梳理性质定理文字语言如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线________符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒________图形语言类型一线面平行的性质定理的应用例1 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.引申探究如图，在三棱锥P－ABQ中，E，F，C，D分别是PA，PB，QB，QA的中点，平面PCD∩平面QEF＝GH.求证：AB∥GH.反思与感悟 线∥面线面平行的性质线面平行的判定线∥线．在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键．跟踪训练1 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF ∥平面AB 1C ，则线段FE 的长度等于________．类型二 面面平行的性质定理的应用例2 如图，平面α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于点S ，且AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，求CS 的长．引申探究若将本例改为：点S 在平面α，β之间(如图)，其他条件不变，求CS 的长．反思与感悟 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练2 已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，如右图所示，求证：AB BC ＝DEEF.类型三平行关系的综合应用命题角度1 由面面平行证明线面平行例3 设AB，CD为夹在两个平行平面α，β之间的线段，且直线AB，CD为异面直线，M，P分别为AB，CD的中点．求证：MP∥平面β.反思与感悟线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证MN∥平面AA1B1B.命题角度2 探索性问题例4 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．反思与感悟在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是不是性质定理中符合条件的平面．跟踪训练4 如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面PBC∩平面PAD＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．1．如图所示，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有( ) A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是( )A．互相平行B．交于一点C．相互异面D．不能确定4．如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB，AC 分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝______.5. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．1．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图2．证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．答案精析问题导学知识点一思考1 不一定，因为还可能是异面直线．思考2 无数个，a∥b.梳理平行交线平行aβ，α∩β＝b知识点二思考1 是的．思考2 不一定，也可能异面．思考3 平行．梳理平行a∥b题型探究例1 证明连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O 是AC 的中点．又∵M 是PC 的中点，∴AP ∥OM . 又∵AP平面BDM ，OM 平面BDM ，∴AP ∥平面BDM .又∵AP 平面APGH ，平面APGH ∩平面BDM ＝GH ，∴AP ∥GH . 引申探究证明 因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点， 所以EF ∥AB ，DC ∥AB . 所以EF ∥DC . 又EF平面PCD ，DC 平面PCD ，所以EF ∥平面PCD . 又EF 平面EFQ ， 平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ， 所以EF ∥GH .又EF ∥AB ，所以AB ∥GH . 跟踪训练12例2 解 设AB ，CD 共面γ，因为γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD ，且α∥β， 所以AC ∥BD ， 所以△SAC ∽△SBD ， 所以SCSC ＋CD ＝SASB，即SC SC ＋34＝89，所以SC ＝272. 引申探究解 设AB ，CD 共面γ，γ∩α＝AC ，γ∩β＝BD . 因为α∥β，所以AC 与BD 无公共点， 所以AC ∥BD ，所以△ACS ∽△BDS ，所以AS BS ＝CSDS.设CS ＝x ，则x 34－x ＝89，所以x ＝16，即CS ＝16.跟踪训练2 证明 如图，连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ，则平面ACD 与平面α，β分别相交于直线AD ，BG ，平面DCF 与平面β，γ分别相交于直线GE ，CF .因为α∥β，β∥γ，所以BG ∥AD ，GE ∥CF . 于是，得AB BC ＝DG GC ，DG GC ＝DE EF ，所以AB BC ＝DEEF.例3 证明 如图，过点A 作AE ∥CD 交平面β于点E ， 连接DE ，BE .∵AE ∥CD ，∴AE ，CD 确定一个平面，设为γ， 则α∩γ＝AC ，β∩γ＝DE .又α∥β，∴AC ∥DE (面面平行的性质定理)， 取AE 的中点N ，连接NP ，MN ， ∴M ，P 分别为AB ，CD 的中点， ∴NP ∥DE ，MN ∥BE . 又NPβ，DE β，MN β，BE β，∴NP ∥β，MN ∥β，∵NP ∩MN ＝N ，∴平面MNP ∥β. ∵MP 平面MNP ，MPβ，∴MP ∥β.跟踪训练3 证明 如图，作MP ∥BB 1交BC 于点P ，连接NP ，∵MP ∥BB 1， ∴CM MB 1＝CP PB. ∵BD ＝B 1C ，DN ＝CM ，∴B 1M ＝BN .∴CP PB ＝DN NB，∴NP ∥CD ∥AB .∵NP 平面AA 1B 1B ，AB 平面AA 1B 1B ， ∴NP ∥平面AA 1B 1B .∵MP ∥BB 1，MP 平面AA 1B 1B ， BB 1平面AA 1B 1B ，∴MP ∥平面AA 1B 1B ，又∵MP 平面MNP ，NP 平面MNP ，MP ∩NP ＝P ， ∴平面MNP ∥平面AA 1B 1B .∵MN 平面MNP ，∴MN ∥平面AA 1B 1B .例4 解 能，如图，取AB ，C 1D 1的中点M ，N ，连接A 1M ，MC ，CN ，NA 1.∵平面A 1C 1∥平面AC ，平面A 1C ∩平面A 1C 1＝A 1N ，平面AC ∩平面A 1C ＝MC ， ∴A 1N ∥MC .同理，A 1M ∥NC .∴四边形A 1MCN 是平行四边形．∵C 1N ＝12C 1D 1＝12A 1B 1＝A 1P ，C 1N ∥A 1P ，∴四边形A 1PC 1N 是平行四边形，∴A 1N ∥PC 1且A 1N ＝PC 1.同理，A 1M ∥BP 且A 1M ＝BP .又∵A 1N ∩A 1M ＝A 1，C 1P ∩PB ＝P ，∴平面A 1MCN ∥平面PBC 1.故过点A 1与截面PBC 1平行的截面是▱A 1MCN . 连接MN ，作A 1H ⊥MN 于点H .由题意，易得A 1M ＝A 1N ＝5，MN ＝2 2. ∴MH ＝NH ＝2，∴A 1H ＝ 3.故1A MCN S Y ＝21A MN S ＝2×12×22×3＝2 6. 跟踪训练4 (1)证明 因为BC ∥AD ， BC 平面PAD ，AD 平面PAD ，所以BC ∥平面PAD .又因为平面PBC ∩平面PAD ＝l ，所以BC ∥l .(2)解 平行．证明如下：如图，取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，可以证得NE ∥AM 且NE ＝AM ，所以四边形MNEA 是平行四边形，所以MN ∥AE . 又AE 平面PAD ，MN平面PAD ，所以MN ∥平面PAD .当堂训练1．B 2.C 3.A 4.325．解 直线l ∥平面PAC .证明如下：因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC .又EF 平面ABC ，且AC 平面ABC ，所以EF∥平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l平面PAC，EF平面PAC，所以l∥平面PAC.。