24.3(3)三角形一边的平行线精编版
沪教版数学九年级上册24.3《三角形一边的平行线》(第1课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.3《三角形一边的平行线》（第1课时）教学设计一. 教材分析《三角形一边的平行线》是沪教版数学九年级上册第24.3节的内容，主要讲述了利用平行线的性质来判定一个三角形中的一边是否平行于另一边。
本节内容是学生学习了平行线和三角形的基本性质后，进一步深化对三角形和平行线关系的理解，为后续学习其他几何问题打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线和三角形的性质，具备了一定的逻辑推理能力。
但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握利用平行线的性质判定三角形中的一边是否平行于另一边的的方法。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生在解决实际问题时，能够积极主动地运用所学知识。
四. 教学重难点1.重点：三角形一边的平行线的判定方法。
2.难点：如何在实际问题中灵活运用三角形一边的平行线性质。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流，从而达到教学目标。
六. 教学准备1.教师准备：教材、课件、练习题、黑板、粉笔等。
2.学生准备：课本、笔记本、尺子、圆规等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入新课：“在三角形ABC中，AB=AC，求证：BC的平行线经过点A。
” 引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师展示三角形一边的平行线的判定方法，通过动画演示，让学生直观地理解判定过程。
同时，引导学生总结判定方法，归纳出结论。
3.操练（10分钟）教师给出几个练习题，让学生独立完成。
题目难度由浅入深，使学生在实践中掌握三角形一边的平行线性质。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（5分钟）教师选取几个学生完成的练习题，进行讲解和分析，让学生加深对三角形一边的平行线性质的理解。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.3 三角形一边的平行线判定定理 教案
三角形一边的平行线判定定理教材分析本节课是九年级第一学期第二十四章《相似三角形》中《三角形一边的平行线》的第3课时内容。
第二十四章主要学习相似三角形的概念、判定和性质，而为了研究相似形，需要有比例线段及其性质、三角形一边平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理作铺垫，因此本节课的内容是后续学习相似三角形内容的知识和技能基础之一。
如上图所示，本节课的重点是导出三角形一边的平行线判定定理及其推论，并进行初步运用，是建立在学习了“三角形一边平行线的性质定理”的基础上的，从学生已有的认知基础（三角形一边平行线的性质定理及其推论）和学习经验（三角形面积比与线段之比的转化方法、同一法、构造A型图或X型图的方法）出发进行数学的理性分析。
首先，提出“三角形一边的平行线性质定理的逆定理是否正确”的问题，引导学生进行探究讨论，对思维对象（即问题是否成立）进行肯定或否定的判断，并能够简单地说明判断的标准或依据（有特殊到一般进行判断，凭感觉进行判断等等）。
以此使学生掌握判断的标准，关注判断的合理性及能够正确地表达判断。
然后，再通过构造A型图、X型图、分割三角形等手段，运用“同一法”、“面积法”、“构造平行四边形”等方法证明得到三角形一边的平行线判定定理。
这一学习过程中不仅体现了“判断”的三要素，也体现了论证几何注重演绎推理的特点，可充分培养学生判断和演绎推理的思维形式。
学生在学习的过程中，有了发挥和展示个人生思维的独特性和新颖性，以此培养和提高学生思维的深刻性。
同时学生在此学习过程中，锻炼了个人知识迁移的能力，以此培养和提高学生思维的灵活性。
证明“三角形一边平行线的判定定理”的方法有“通过构建平行四边”、“同一法”和“面积法”，证明的过程都十分的简捷，但添置辅助线是教学的一个难点，需引导学生根据所要研究的结论联想构造平行四边形，或运用“同一法”和“面积法”，结合已知条件和图形的特征考虑构造“X 型图”或“A 型图”或“分割三角形”，形成证明思路。
沪教版数学九年级上册24.3《三角形一边的平行线》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.3《三角形一边的平行线》（第2课时）教学设计一. 教材分析《三角形一边的平行线》是沪教版数学九年级上册第24.3节的内容，本节内容是在学生已经掌握了平行线的性质和判定、三角形的性质等基础知识的基础上进行学习的。
本节主要介绍三角形一边的平行线的相关性质和判定方法，对于学生来说是一个新的知识点，同时也是后续学习更为复杂的几何知识的基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对于平行线、三角形的性质等知识点有一定的了解。
但是，对于三角形一边的平行线这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
此外，学生的学习习惯和思维方式各有不同，需要教师在教学过程中进行引导和调整。
三. 教学目标1.让学生理解三角形一边的平行线的概念，掌握相关性质和判定方法。
2.培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.三角形一边的平行线的性质和判定方法。
2.如何运用三角形一边的平行线解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探究和合作来解决问题。
2.运用多媒体辅助教学，通过动画和实例来直观展示三角形一边的平行线的性质和判定方法。
3.采用练习和小组讨论的方式，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
六. 教学准备1.多媒体教学课件。
2.练习题和小组讨论题。
3.几何模型和教具。
七. 教学过程导入（5分钟）教师通过复习平行线的性质和判定、三角形的性质等基础知识，引出本节课的主题——三角形一边的平行线。
通过提问方式激发学生的学习兴趣，引导学生思考三角形一边的平行线与平行线、三角形的关系。
呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示三角形一边的平行线的性质和判定方法。
通过动画和实例，让学生直观地理解三角形一边的平行线的概念，以及如何运用相关性质和判定方法。
操练（10分钟）教师布置练习题，让学生独立完成。
24-3三角形一边的平行线（很好,很全,很详细）
24.3 三角形一边的平行线学习目标：1、通过对三角形中位线的概念与性质的分析,从特殊到一般，提出关于三角 形一边平行线的研究问题；2、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学地思考的策略；3、掌握三角形一边的平行线性质定理的应用.主要概念：4、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题.主要概念：1、平行线分线段成比例定理用符号语言表示：AD ∥BE ∥CF,,,AB DE BC EF AB DE BC EF AC DF AC DF∴===. 2、平行线等分线段定理两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.用符号语言表示：AD BE CF AB BC DE DF ⎫⇒=⎬=⎭ .熟悉定理的几种变形井字型 A 字型 X 字型 倒 A 字型 畸形(O 无用)3、三角形一边的平行线性质定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例4、三角形一边的平行线性质定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 5、重心的性质三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍重心要掌握三点：1、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心.2、作法：两条中线的交点.3 、性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.6、三角形一边平行线判定定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.7、三角形一边的平行线判定定理推论如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. 即：如图，如果 或 或则DE ∥BC .典型例题：【导入】1、同底等高的三角形的面积比是多少？ （1：1）2、等底不等高的三角形的面积比是多少？（高之比）3、等高不等底的三角形的面积比是多少？（底之比）4、若cd ab =，（,,,a b c d均不为零）则把这个乘积式化成比例式可以写成哪几种形式：， （ 让学生知道等积式转化到比例式可以有多种形式.）,,,,,,,.a d a c c b b d b c d b c a d ac bd b a d c a d a a c b d b c========EBC5、三角形的中位线有什么性质？（平行于底边且等于底边的一半） 【例1】如图若DE ∥BC ，1AD BD=，能否得到1AEEC =?解：由等底同高三角形等积，面积比等于底之比得：1EAD EDB S ADS DB∆∆==； 由等底同高三角形等积，面积比等于底之比得：EAD EDC S AES EC∆∆=. 因为DE ∥BC ，所以 EDB EDC S S ∆∆=，所以EAD EDC S AES EC∆∆==1即 . 【例1拓展1】若将DE 向下平行移动能否得到 ？ 已知：ABC ∆,直线l 与边AB 、AC 分别相交于点D 、E ，且l ∥BC .求证： . 证明：联结EB ,CD 设E 到BA 的距离为h ，则11,22EAD EDB S AD h S DB h ∆∆=⋅=⋅, 得EAD EDB S AD S DB∆∆=， 同理可得EAD EDC S AES EC∆∆=，1AD AE DB EC ==CAD AE DB EC=AD AEDB EC=CBCDE ∥BC ,.EDB EDC S S AD AE DB EC∆∆∴=∴=请问：利用比例的性质，还可以得到哪些成比例线段？今后常用的有三个比例式：【拓展2】若DE 截在AB ,AC 的延长线上，或DE 截在BA ,CA 的延长线上，如上图，上面的三个比例式还成立吗？三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.符号语言：∵DE ∥BC , AD AEBD EC∴=, 用⇒符号书写：DE ∥BC ⇒强调在同一条线段上的比例关系.【例2】如图,已知DE ∥BC,AB=15,AC=10,BD=6.求CE. 解∵DE ∥BC, ∴CEACBD AB =, 由AB =15,AC =10,BD =6,得 ,∴CE=4 . 【例2拓展练习】1、在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与AB 相交于D ，与AC 相交于E . （1）已知4,3,5===AE DB AD ，求EC 的长.,,AD AE AD AE DB ECDB EC AB AC AB AC===AB ADBC DE=BC15106CE=CE F （2）已知5,4,12===DB EC AC 求AD 的长. （3）已知=BD AD ：3：2，10=AC ，求AE 的长.2、 如图， 在⊿ABC 中，DE ∥BC ， S ⊿BCD ：S ⊿ABC =1：4，若AC =2，求EC 的长.C3、如图，已知，AB ∥CD ∥EF ，OA =14，AC =16，CE =8，BD =12，求OB 、DF 的长.4、如图，在⊿ABC, DG ∥EC ,EG ∥BC ,求证：2AE =AB ·AD.BC【例3】证明三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.CFC分析：DE BC 中的DE 不在△ABC 的边BC 上，但从比例AD AEAB AC=可以看出，除DE 外，其它线段都在△ABC 的边上，因此我们只要将DE 移到BC 边上去得CF=DE ，然后再证明AD CFAB BC=就可以了，这只要过D 作DF ∥AC 交BC 于F ，CF 就是平移DE 后所得的线段. 已知：DE ∥BC ，求证BCDEAC AE AB AD ==. 证明：作DF ∥EC 交BC 于F ,DE ∥BC ,∴四边形DFCE 为平行四边形，得FC =DE ,∵DF ∥EC ,∴AB ADBCFC =, ∴DE AD BC AB=. DE ∥BC 得AD AE AB AC=,∴AC AEAB AD BCDE ==.如上图，当的延长线上时的延长线上或在CA BA AC AB DE ,,结论同样成立，得证。
三角形一边的平行线的判定及推论课件+2024-2025学年沪教版(上海)数学九年级第一学期
F
C
证明：过点C作CF//AB,交DE的延长线于点F
∵ CF//DB，CF=DB
=
∴ 四边形BCFD是□
∴ DF//BC
则 =
又∵
∴CF=DB
即: DE//BC
三角形一边的平行线判定定理
如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三角形的第三边．
∵
=
∴DE∥BC
(或= 、 = )
【思考】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，
如果= ，那么能否推出DE∥BC，为什么？
由“三角形一边的平行线
A
性质定理推论”可知：
以D为圆心，DE的长为半径画弧，
交AC于另一点E’，可知DE=DE’，
24.3（3）三角形一边的平行线的判定及推论
复习回顾
三角形一边的平行线性质定理：
平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例
∵ DE∥BC
∴=
=
8字型
=
A字型
【思考】“三角形一边的平行线性质定理”的逆命题正确吗？
=
求证
EF//DC
C
=
【例1】已知：如图，点D、F在△ABC的边AB上，点E在边AB上，
且DE//BC ， = ．
求证： EF∥DC．
【问题1】如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果 = ，
24.3(2)三角形一边的平行线(重心)
想一想：△ABC的
F
E
G' G
另一条中线AD会经 过点G吗？为什么？
B
D
C
三角形的三条中线交于一点，叫做三角形的重心。 三角形的重心到一个顶点的距离等于它到这个顶 点对边中点的距离的两倍。
新知应用
练习1：已知，如图，AD、BE是 △ABC的中线， AD、BE相交于点O，AD=5，求AO、OD的长。
A
D
E
B
G
C
A
E O
若△ABC的面积为18, 则△BOD的面积是多 少?
B
D
C
小结
1、三角形一边的平行线性质定理推论：
A
D
E
B
CB
E
D
A
AD AE DE
AB AC BC
C
2、三角形重心：三条中线的交点
重心的性质：重心到一个顶点的距离等于它到这个 顶点对边中点的距离的两倍。
拓展应用
已知，如图在△ABC中，G是BC的中点，E是AG的中 点，CE的延长线交AB于点D. 求EC：DE的值。
旧知回顾
1、三角形一边的平行线性质定理的内容是什么？
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的 对应线段成比例。
A
上
上
D
E
下
下
E
D
上? 上?
A
下
下?
AD AE AD AE DB = EC AB = AC
DB EC AB = AC
B
CB
C
2、如图，ER∥QF∥PG, 则
PQ OQ
FG OF
;
OR PR
OE EG
24.3(3)三角形一边的平行线
H
6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与 边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长， 与线段BC的延长线交于点P. （3）若 ，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数 关系式.
H
6.过△ ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中 线AD分别交于和E.求证：AE:ED=2AF:FB
三角形一边的 平行线的判定
1.三角形一边的平行线的性质定理
平行于三角形一边的直线截其他两 边所在的直线，截得的对应线段成 比例.
字母 A 型
A
复 习
字母 X 型
E D
A
D B
E C
B C
2.三角形一边的平行线的性质定理的推论
平行于三角形的一边的直线，截其它两 边所在的直线，截得的三角形的三边与 原三角形的三边对应成比例.
所得的对应线段成比例，那么
A
这条直线平行于三角形的第三边
AD AE 已知： DB EC 求证： DE∥BC
C
D B
E’
E
问题二
AB AC 已知： AD AE
A求证： DE∥BC NhomakorabeaB D
C E
问题三
AD AE 已知： AB AC
求证： DE∥BC
E D
A
M
N
B
C
1.三角形一边的平行线的判定定理 A
问题四
AD DE 若 那么 DE∥BC吗？ AB BC 你能举反例吗?
A
A
E'
D B
E C
B
D
E C
练一练
1. △ABC的边AB、AC上各有一点D、E， 使DE//BC的条件是（ ）
24.3(3)三角形一边的平行线(精)
B
C
（三）对于 X 型图，采用两边截取，证全等而得 DE∥BC，见书。 （四）证明举例：如图，已知 AB∥ AB ，BC∥ BC ，求证 AC∥ AC
O
OA OB OA OB OC OB BC∥ BC OC OB
AB∥ AB
AD AE DB EC AB AE DB EC AB AC AD AE
2∥BC
拓 展 链 接
练习册 24.3（3） * 作 业 布 置 必做题 （课内外） 课课练 选做题 （课内外） 1、由比例式判定两直线平行的方法不习惯，需细心指导；大多数学生书写较好； 2、对于同一法与截取法的辅助线方法不作要求。
教师：
围绕三角形一边的平行线的判定定理创设问题情境‘通过启发、诱导、组织变式 训练等，不断发出信息，让学生有节奏地动脑、动口、动手，积极地去探索、分 析和解决问题，获得知识，使学生的思维得到充分的训练．
多媒体演示
自主探究，得出结论
基础较弱
教师加以提示，引导
*教学过程： （一）引入由比例式判定两直线平行的定理 在△ABC 中，直线 DE 分别截 AB 和 AC 于点 D 和 E，且满足下列条件之一： ①
A
C
OA OC AC ∥ AC OA OC
A
B
B
C
（五）学生操作：P57，仿举例格式，做 N1
（六）小结：注意由比例式判定两直线平行的四线段只能是非平行线。 对学有困难生的设计： 若不能理解探索的过程，则结合图形，一定要知道什么样儿的条件能得到什么结论： 1）A 字型 条件： 结论：
AD AE AB AE AB AC ，② ，③ ，即可得 DE∥BC。 DB EC DB EC AD AE
24.3(3) 三角形一边的平行线
(4) AB=2BD，AC=2CE .
A
解：DE与BC平行 .
理由：∵ AB=2BD，AC=2CE ；
D B
E
∴
BD AB
=
1 2
，
CE AC
=
1 2
.
C
∴
BD AB
=
CE AC
∴ DE//BC .
( 课本P.18练习 )
2. 已知：如图，点A1、B1、C1分别在射线OA、OB、
OC上，且AB//A1B1，BC//B1C1 .
(1) AD=3cm，DB=4cm，AE=1.8cm，CE=2.4cm ；
3 D 4
B
A 1.8 E 2.4 C
解：DE与BC平行 . 理由：∵ AD=3cm，DB=4cm，
AE=1.8cm，CE=2.4cm ；
∴
AD DB
=
3 4
AE ， EC
=
1.8 2.4
=
3 4
.
∴
AD DB
=
AE EC
∴ DE//BC .
A
ED
A
B
C
D
( 图1 )
EB
C
( 图2 )
如果一条直线截三角形的两边的延长线(这两边的 延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角形的第三边.
A
符号表达式之一： E D
A
∵
AD DB
=
AE EC
B
C
D
( 图1 )
E ∴ DE//BC
B ( 图2 ) C
适时小结：
三角形一边的平行线判定定理及其推论，为我们 提供了一种全新的两直线平行的判定方法!
24.3(3)三角形一边的平行线
24.3（3）三角形一边的平行线课型：新授课 教时/累计教时：3/4一、教学内容分析本节课是三角形一边平行线的判定定理，是第一节课性质定理的逆定理，第二节课的推论没有逆定理，学生很容易混淆. 二、教学目标掌握三角形一边的平行线的判定定理； 能运用该定理证明有关两直线平行的问题. 三、教学重点及难点三角形一边的平行线的判定定理；三角形一边的平行线的判定定理的应用. 四、教学用具准备：三角板、多媒体设备 五、学情分析：学生掌握了三角形一边的平行线性质定理推论和三角形重心的性质。
六、课前学生准备：预习书本P16～17 七、教学过程一、复习 1．提问：（1）三角形一边的平行线的性质定理？ （2）三角形中位线定理;（3）如图，根据三角形中位线的性质知：当1==ECAEDB AD ，DE ∥BC ,BC当ECAEDB AD =时, DE ∥BC ？ 二、学习新课1.证明定理 已知 ：ECAEDB AD =，求证：DE ∥BC . 证明：联结DC EB , 作BG 垂直直线DE 于点G ， 作CH 垂直直线DE 于点H .BC则： ,EAD EAD EDB EDC EAD EADEDB EDCEDB EDCS S AD AES DB S EC AD AEDB ECS S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆===∴=∴=∴CH BG =∵BG ∥CH ∴四边形GBCH 是平行四边形 ∴DE ∥BC根据比例的基本性质EC AE DB AD =，ACECAB DB AC AE AB AD ==,. 知其一可推其二.所以，以上三个比例式知道任何一个都可以推出DE ∥BC .三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.如果D ,E 分别在AB ,AC 的延长线上时，或在反向延长线上时，以上结论同样成立.三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.如图，ABADBC DE =能否推出DE ∥BC ，为什么？（不能） 2．例题分析1.已知：如图，点D ,F 在ABC ∆的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE //BCBCDEFABCABADAD AF = 求证： E F ∥DC .2. 如图，已知：AC∥A′C′，BC∥B′C′;求证：AB∥A′B′.把上图中的四边形OABC 绕O 点旋转180°得下图，而已知的条件不变，结论还成立吗？(用口答形式) 三、巩固练习 判断题:1.如图（1），在△ABC 中,点D 与点E 分别在AB 、AC 上, AD =3cm, DB =4cm,AE =1.8cm,CE =2.4cm,则DE //BC. ( )2.如图（2），已知:BD 与EC 相交于点A ,AB =8,AE =6,AC =12,AD =9. 则DE ∥BC . ( )3.如图(3),若DFDEAC AB =,则L 1//L 2//L 3. ( ) 图（1） 图（2） 图（3）第1题是正确的，因为43==CE AE DBAD ，所以DE ∥BC .第2题是错误的，因为,98=AD AB 而,612=AE AC 则AE ACAD AB ≠；所以DE 与BC 不平行.第3题是错误的，因为这个定理是判定与三角形的一边平行的判定定理. 四、课堂小结教师指出这节课学习了三角形一边的平行线的判定定理及推论，它是三角形中位线定理的推广，又是三角形一边的平行线性质定理逆定理．五、作业布置练习册：习题24.3（3）基础1、2 提高3 教学反思或后记：三角形一边的平行线的判定是三角形一边的平行线定理的逆命题，但要区分的是三角形一边的平行线的定理的推论没有逆命题存在，这是学生容易混淆的概念。
24.3(2)三角形一边的平行线
BC AB
D
E
DE ∥ BC 得
BC AB
AD AE AB AC
思考：如果点D、E在两边的延长线或者 反向延长线上，以上结论是否成立？
∴ DE AD AE
B
F
C
AC
三角形一边的平行线性质定理推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边 所在的直线，截得的三角形的三边与原三 角形的三边对应成比例.
求证： GD
重心： 三角形三条中线的交点 叫做三角形的重心.
GE 1 GB GC 2
E
A D G
B
作法：两条中线的交点.
F
C
性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等 于它到对边中点的距离的两倍.
已知，△ABC中，∠C=90°，G是三 角形的重 心，AB=8. 求：① GC的长； ② 过点G的直线MN∥AB，交AC 于M，BC于N，求MN的长.
C M A G N B
三角形一边的平行线性质定理： 平行于三角形一边的直线截 其他两边所在的直线，截得的对 应线段成比例．
A
E A D
D
E
B
B
C
C
已知： DE
∥
BC
D B
A E C
A
求证:
AD AE DE AB AC BC
BC 于 F
证明：作 DF ∥ EC 交
DE ∥ BC
四边形DFCE为平行四边形C AD ∴
三角形一边的平行线性质定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边 所在的直线，截得的对应线段成比例．
练习
1.如图，在△ABC中，DE∥BC，AE=2， EC=3，DE=4，
A
24.3(4)三角形一边的平行线
15 25 EF DF DE 10 4 4
DE 3 10 8 15 DE 4
例题6 已知线段a、b、c(如图)，求作线段x， 使a:b=c:x.
二、新知探索
问题3：除 DF EG 外，还有哪些对应线段成比例？
FB GC
DF EG BF CG , ...... DB EC DB EC
图(3)
两条直线a、b被三条平行的直线l1 、l2、 l3 所截，截得的任意两组对应线段都成 比例！
问题4：你能用语言表述这一结论吗？
二、新知探索
图(2)
二、新知探索
问题1：如图（2），在上题的基础上，再增加一条直 线l2//BC，l2与边AB、AC分别相交于点F、G， 那么边AB、AC被直线l1、l2截得的对应线段是 否成比例？ 方法二： 在△ABC中，∵l2//BC ∴ AF AG， ∴ AF FB AG GC FB GC AF DF 同理在△AFG中，得 AG EG DF FB ∴ EG GC DF EG ∴ FB GC
l5 D l4 A
解：∵l1∥l2∥l3，
l1
DE AB (平行线分线段成比例定理) DF AC
AB 3，AC 5，DF 9 DE 3 l2 9 5 l3 DE 27 5 27 18 EF DF DE 9 5 5
E B C F
也可“平移”得到“井”字型！ 2．如图，直线l1 、 l2 、 l3分别交直线l4于点A、 B、C,交直线l5于点D、E、F,且l1∥l2∥l3,已知 AB=3, AC=5, DF=9.求DE 、E F的长.
24.3三角形一边的平行线(原卷版)【沪教版】
2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题24.3三角形一边的平行线姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020秋•宝山区期中）如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、BC 上，下列条件中，不能判定DE ∥AC 的条件是（ ）A ．BD BA=DE ACB ．CEBE=AD BDC ．BEBD=BC BAD ．BCAB=CE AD2．（2020秋•松江区期中）已知△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，下列各式中，不能判断DE ∥BC 的是（ ） A ．CE EA=BD DAB ．DE BC=AE ACC ．ACAB=AE ADD ．CE CA=BD BA3．（2020秋•松江区月考）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，AC ＝8，AE ＝6，AB ＝12，则BD 等于（ ）A ．3B ．9C ．6D ．84．（2019秋•嘉定区期末）三角形的重心是（ ） A ．三角形三边的高所在直线的交点B ．三角形的三条中线的交点C ．三角形的三条内角平分线的交点D ．三角形三边中垂线的交点5．（2019秋•徐汇区期末）如图，AB ∥CD ∥EF ，AC ＝2，AE ＝5，BD ＝1.5，那么下列结论正确的是（ ）A ．DF =154B ．EF =154C ．CD =154D ．BF =1546．（2020•松江区二模）如图，已知△ABC 中，AC ＝2，AB ＝3，BC ＝4，点G 是△ABC 的重心．将△ABC 平移，使得顶点A 与点G 重合．那么平移后的三角形与原三角形重叠部分的周长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．4.57．（2020秋•宝山区月考）如图，△ABC 中，G 是BC 中点，E 是AG 中点，CE 的延长线交AB 于D ，则EC DE的值为（ ）A ．2B ．3C ．13D ．128．（2021•淮南模拟）如图，已知点D 、F 在△ABC 的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE ∥BC ，要使得EF ∥CD ，还需添加一个条件，这个条件可以是（ ）A ．EF CD=AD ABB ．AE AC=AD ABC ．AFAD=AD ABD ．AFAD=AD DB9．（2020秋•松江区期末）如图，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点G 是△ABC 的重心，GE ⊥AC ，垂足为E ，如果CB ＝8，则线段GE 的长为（ ）A ．53B ．73C ．83D ．10310．（2020秋•杨浦区期末）在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中，能判定DE ∥BC 的是（ ） A ．AD AB=DE BCB ．AD DB=AE ECC ．DB EC=AE ADD ．AD AC=AE AB二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021•余杭区一模）如图，已知AC ∥EF ∥BD ．如果AE ：EB ＝2：3，CF ＝6．那么CD 的长等于 ．12．（2020秋•徐汇区期末）如图，AB ∥CD ∥EF ，如果AC ＝2，CE ＝3，BD ＝1.5，那么BF 的长是 ．13．（2020秋•奉贤区期末）如果点G 是△ABC 的重心，且AG ＝6，那么BC 边上的中线长为 ．14．（2020秋•静安区期末）在△ABC 中，点G 是重心，∠BGC ＝90°，BC ＝8，那么AG 的长为 ． 15．（2020秋•青浦区期末）直角三角形的重心到斜边中点的距离为2，那么该直角三角形的斜边长为 ． 16．（2020秋•松江区期末）如图，已知直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，且l 1∥l 2∥l 3，AB ＝4，AC ＝6，DF ＝10，则DE ＝ ．17．（2021春•西湖区校级月考）如图，△ABC 中，D 、F 在AB 边上，E 、G 在AC 边上，DE ∥FG ∥BC ，且AD ：DF ：FB ＝3：2：1，若AG ＝15，则EC 的长为 ．18．（2020春•静安区校级期末）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ．点E 、F 、G 在边AB 上，点H 、I 、J 在边CD 上，且AE ＝EF ＝FG ＝GB ，DH ＝HI ＝IJ ＝JC ．如果AD ＝2，GJ ＝5，那么BC ＝ ．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•浦东新区期末）如图，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，且AB ＝6，BC ＝8． （1）求DE DF的值；（2）当AD ＝5，CF ＝19时，求BE 的长．20．（2020秋•金山区校级月考）已知，如图l1∥l2∥l3，AB＝3，BC＝5，DF＝16，求DE和EF的长．21．（2020•浦东新区三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝6，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．（1）求线段DE的长；（2）取线段AD的中点M，联结BM，交线段DE于点F，延长线段BM交边AC于点G，求EFDF的值．22．（2020春•文登区期中）如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．（1）求CE的长；（2）求AB的长．23．（2020秋•浦东新区期中）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．（1）如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长；（2）如果DE：DF＝2：5，AD＝9，CF＝14，求BE的长．24．（2019秋•黄浦区期中）如图，已知在△ABC中，EF∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4．（1）求CE的长；（2）当AB=253时，求证：DE∥BC．。
24.3三角形一边的平行线
E´
D B E C
AD DE AB BC AD DE AB BC 这里DE=DE´
∴DE∥BC?
例题: DE∥BC, AF AD
AD
AB
求证:EF∥DC
A
F
E
D C B
例题6 已知线段a,b,c.求作线段x,使a∶b=c∶x
N
a
b
c
x
O a
b 练习：P18—24.3(3) P20—24.3(4)
的对应线段成比例,那么这条直线平行于三 角形的第三边.
A
D B
E C
AD AE DB EC AD AE AB AC DB EC AB AC
E
D
A
B
C
推出DE∥BC
注意：只是侧面之比
例题：
如图，D是△ABC的BC边上的点， E是AD的中点, BD：DC=2：1， 连结BE并延长交AC于F, 求：BE：EF的值.
合比性质
a c ab cd 如果 ，那么 b d b d
。
拓展：
a c a c 如果 b d ，那么 b a d c a c a c 如果 b d ，那么 a b c d
。
。
A
长
全
P
短
B
长 5 1 全 2
长 5 1 短 2
短 3 5 全 2
如果一条直线平行三角形的一边，那么截其它两边所 若：BC // DE 在的直线所得的对应线段成比例。
则： 如果一条直线平行三角形的一边，那么截得的三角形 的三边与原三角形的三边对应线段成比例。
A A E D
A
D B E CD B C E B C
24.3三角形一边的平行线_96
§24．3三角形一边的平行线（1）学习目标1、掌握三角形一边的平行线性质定理的应用；2、运用分类思想针对图形运动的不同位置分别进行探究，初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学地思考的策略。
学习重点定理的证明及其应用。
学习难点成比例的线段中比例线段的确认。
学习过程一、学前准备1、已知线段AB 的长为4cm ，点P 是线段AB 的黄金分割点，则较长线段B P ＝ ，较短线段AP ＝ 。
2、若058=-y x ，则=y x ，=-+yx y x 。
3、同底等高的三角形的面积比是 ；等底不等高的三角形的面积比是 ； 等高不等底的三角形的面积比是 。
4、若均不为零）d c b a cd ab ,,,(=，则把这个乘积式化成比例式可以写成哪几种形式： 。
5、三角形的中位线定理： 。
数学符号语言表示为：二、探究活动1、问题1：如图若DE ∥BC ，1AD=，能否得到1AEEC =?思路点拨：1）由同高（或等高）三角形的面积比等于对应底边之比，得：=∆∆EBDEADS S ＝ ； =∆∆EDCEADS S ＝ 。
2）比较两式的区别所在：EBD S ∆与ECD S ∆的关系，易得 。
3）根据等量代换，即得：=BDAD＝ ＝ 。
_B _ C_ C2、问题2：若将DE 向下平行移动，能否任然得到结论：ECAEBD AD =已知：ABC ∆中,直线l 与边AB 、AC 分别相交于点D 、E ，且l ∥BC .求证：ECAE BD AD =3、议一议：利用比例的性质，还可以得到哪些成比例线段？请写出相关比例式： 。
4、讨论：若DE 截在AB ，AC 的延长线上，或DE 截在BA ，CA 的延长线上，如图所示，上面的比例式还成立吗？5、三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。
符号语言：6、例1：如图，已知DE ∥BC ，AB=15，AC=10，BD=6。
三角形平行线定理
图（1）
图（2）
四、课堂小结
这节课学习了三角形一边的平行线的判
定定理及推论，它是三角形中位线定理的推 广，又是三角形一边的平行线性质定理的逆 定理．
五、作业布置
课本第18页，练习册
∵ 或 ∵
AD AE DB EC
AD AE AB AC
∴BC∥DE ∴BC∥DE
或 ∵ BD EC
AB
AC
∴BC∥DE
如果D ,E分别在AB,AC的延长线上时，或 在反向延长线上时，以上结论同样成立
三角形一边的平行线判定定理推论
如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的 延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例， 那 么这条直线平行于三角形的第三边.
DE AD 如图， BC AB 能否推出
DE ∥ BC
为什么？
2．例题分析
1.已知：如图，点D,F在边AB 上，点E在边AC上，
AF AD 且DE//BC， AD AB
求证：EF∥DC.
A
F E
D C
B
例2. 如图，已知：AC∥A′C′，BC∥B′C′;
求证：AB∥A′B′.
三、判断题: 1、如图（1），在△ABC中,点D与点E分别在AB、 AC上, AD=3cm, DB=4cm,AE=1.8cm,CE=2.4cm,则 DE∥BC。 ( ) 2、如图（2），已知:BD与EC相交于点 A,AB=8,AE=6,AC=12,AD=9. 则DE∥BC。( )
∴DE∥BC
根据比例的基本性质 :
AD AE DB EC
知其一可推其二
AD AE DB EC , AB AC AB AC
所以，以上三个比例式,知道任何一个都可以推出
24.3(4)三角形一边的平行线
D E l1 G l2
F
G
F
l2 C l3
B
B
C
l3
1
1
2
F
G
l2 C l3
B C l3
B
• 例题1：已知：如图， l1// l2//l3，AB=3，AC=8， DF=10，求DE、EF的长.
A B D E l1 l2
C
F
l3
• 例题2：已知线段a、b、c.求作线段x,使a： b= c： x
a b c
• • • • • • •
练习：书P20 总结： 1、这节课的收获 2、平行线分线段成比例定理： 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例 3、平行线等分线段定理： 两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段 相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等 • 数学语言表示：
24.3（4）三角形一边的平行线
• 一、复习 • 三角形一边的平行线性质定理： • 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线， 截得的对应线段成比例. • 数学语言表示：
A
A
E A D l
D
E
B C E l
B C
B
C
D
• 二、新课 • 1、思考：如图，已知△ABC，直线l1与边AB、 AC分别相交于点D、E，直线l2与边AB、AC分 别相交于点F、G， l1// l2//BC.那么所截得的对应 线段是否成比例？ A
D E l1 G
F
l2 C
B
• 2、平行线分线段成比例定理： • 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线 段成比例 • 3、平行线等分线段定理： • 两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直 线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得 D E 的线段也相等 l D E l • 数学语言表示： F G l
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24.3（3）三角形一边的平行线
课型：新授课 教时/累计教时：3/4
一、教学内容分析
本节课是三角形一边平行线的判定定理，是第一节课性质定理的逆定理，第二节课的推论没有逆定理，学生很容易混淆. 二、教学目标
掌握三角形一边的平行线的判定定理； 能运用该定理证明有关两直线平行的问题. 三、教学重点及难点
三角形一边的平行线的判定定理；
三角形一边的平行线的判定定理的应用. 四、教学用具准备：三角板、多媒体设备 五、学情分析：
学生掌握了三角形一边的平行线性质定理推论和三角形重心的性质。
六、课前学生准备：预习书本P16～17 七、教学过程
一、复习 1．提问：（1）三角形一边的平行线的性质定理？ （2）三角形中位线定理;
（3）如图，根据三角形中位线的性质知：当
1==EC
AE
DB AD ，DE ∥BC ,
B
C
当
EC
AE
DB AD =
时, DE ∥BC ？ 二、学习新课
1.证明定理 已知 ：
EC
AE
DB AD =
，求证：DE ∥BC . 证明：联结DC EB , 作BG 垂直直线DE 于点G ， 作CH 垂直直线DE 于点H .
B
C
则：
,EAD EAD EDB EDC EAD EAD
EDB EDC
EDB EDC
S S AD AE
S DB S EC AD AE
DB EC
S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆===
∴=∴=
∴CH BG =
∵BG ∥CH ∴四边形GBCH 是平行四边形 ∴
DE ∥BC
根据比例的基本性质
EC AE DB AD =，AC
EC
AB DB AC AE AB AD =
=
,. 知其一可推其二.所以，以上三个比例式知道任何一个都可以推出
DE ∥BC .
三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，
那么这条直线平行于三角形的第三边.
如果D ,E 分别在AB ,AC 的延长线上时，或在反向延长线上时，以上结论同样成立.
三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的
延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
如图，
AB
AD
BC DE =
能否推出DE ∥BC ，为什么？（不能） 2．例题分析
1.已知：如图，点D ,F 在ABC ∆
的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE //BC
B
C
D
E
F
A
B
C
AB
AD
AD AF =
求证： E F ∥DC .
2. 如图，已知：AC∥A′C′，BC∥B′C′;
求证：AB∥A′B′.
把上图中的四边形OABC 绕O 点旋转180°得下图，而已知的条件不变，结论还成立吗？(用口答形式) 三、巩固练习 判断题:
1.如图（1），在△ABC 中,点D 与点E 分别在AB 、AC 上, AD =3cm, DB =4cm,AE =1.8cm,CE =
2.4cm,则DE //BC. ( )
2.如图（2），已知:BD 与EC 相交于点A ,AB =8,AE =6,AC =12,AD =9. 则DE ∥BC . ( )
3.如图(3),若
DF
DE
AC AB =
,则L 1//L 2//L 3. ( ) 图（1） 图（2） 图（3）
第1题是正确的，因为43==CE
AE DB AD ，所以DE ∥BC .第2题是错误的，因为,
98
=AD AB 而,612=AE AC 则AE AC
AD AB ≠
；所以DE 与BC 不平行.第3题是错误的，因为这个定理是判定与
三角形的一边平行的判定定理. 四、课堂小结
教师指出这节课学习了三角形一边的平行线的判定定理及推论，它是三角形中位线定理的推广，又是三角形一边的平行线性质定理逆定理．
五、作业布置
练习册：习题24.3（3）基础1、2 提高3 教学反思或后记：
三角形一边的平行线的判定是三角形一边的平行线定理的逆命题，但要区分的是三角形一边的平行线的定理的推论没有逆命题存在，这是学生容易混淆的概念。