2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版：第二章第9讲函数模型及其应用含解析
2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第二章 不等式2.2 含解析
§2.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？提示 显然a ≠0.ax 2＋bx ＋c >0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0；ax 2＋bx ＋c <0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ ) (3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ ) 题组二 教材改编2．[P80A 组T4]已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( ) A ．{x |－2<x <3} B ．{x |－2≤x ≤3} C ．{x |x <－2}∪{x |x >3} D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3}答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}． 故选B.3．[P80A 组T2]y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞.题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝________.答案 －14解析 由题意可知，x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－2,2]C ．(－2,2)D ．(－∞，2)答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，解得－2<a <2，另a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立， ∴－2<a ≤2.故选B.题型一 一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B 等于( ) A ．(－1,2) B ．(－2,1) C ．(0,1) D ．(0,2)答案 D解析 由题意得A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{y |y ＝2x }＝{y |y >0}， ∴ A ∩B ＝{x |0<x <2}＝(0,2)．故选D.命题点2 含参不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解 原不等式变为(ax －1)(x －1)<0， 因为a >0，所以⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解为1a <x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解为1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1. 思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：①根据二次项系数为正、负及零进行分类．②根据判别式Δ判断根的个数．③有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论． 跟踪训练1 解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )． 解 原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4∪⎝⎛⎭⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3∪⎝⎛⎭⎫－a4，＋∞.题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题例3 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围． 解 当m ＝0时，f (x )＝－1<0恒成立．当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0. 综上，－4<m ≤0，故m 的取值范围是(－4,0]．例4 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 引申探究1．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“f (x )<5－m 无解”，如何求m 的取值范围？ 解 若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立， 即m ≥6x 2－x ＋1恒成立，则m ≥⎝⎛⎭⎫6x 2－x ＋1max ，又x ∈[1,3]，得m ≥6，即m 的取值范围为[6，＋∞)．2．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“存在x ，使f (x )<5－m 成立”，如何求m 的取值范围． 解 由题意知f (x )<5－m 有解，即m <6x 2－x ＋1有解，则m <⎝⎛⎭⎫6x 2－x ＋1max ，又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)．例5 若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，求实数x 的取值范围．解 设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1<0，2x 2－2x －1<0，解得1－32<x <1＋32，故x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫1－32，1＋32. 思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．跟踪训练2 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0， 分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图①，当g (x )的图象与x 轴不超过1个交点时， 有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图②，g (x )的图象与x 轴有2个交点， 但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x ＝－a2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2<－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a >4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有2个交点， 但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x ＝－a2>2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )>0，－a2>2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >2或a <－6，a <－4，a ≥－7.∴－7≤a <－6，综上，实数a 的取值范围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h (4)≥0，h (6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6. ∴实数x 的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B 等于( ) A ．[－1,4) B ．[0,5)C ．[1,4]D ．[－4，－1)∪ [4,5)答案 B解析 由题意得B ＝{x |－1<x <5}，故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0,5)．故选B. 2．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x <12 C ．{x |－2<x <1} D ．{x |x <－2或x >1}答案 A解析 ∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即－1＋2＝－b a ，(－1)×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1，则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >12，故选A. 3．若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0]C ．[－3,0)D ．(－3,0] 答案 A解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0， 解得－3<k <0.4．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为( ) A ．(13，＋∞) B ．(5，＋∞) C ．(4，＋∞) D ．(－∞，13)答案 B解析 m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时，f (x )min ＝5，存在x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.故选B.5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3] D ．[－1,3] 答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＝1}，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.6．(2018·浙江宁波十校适应性测试)当x ∈(a ，b ]时，不等式2x －1x ＋2≤1恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2,3)B ．(－2,3]C ．(－2,3)D ．{－2} 答案 A解析 由2x －1x ＋2≤1，得2x －1x ＋2－1＝x －3x ＋2≤0，解得－2<x ≤3，因为当x ∈(a ，b ]时，不等式2x －1x ＋2≤1恒成立，所以(a ，b ]⊆(－2,3]，则a ∈[－2,3)，故选A.7．若不等式x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为______． 答案1±52解析 若不等式x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以 Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52.8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售单价的取值范围是________． 答案 (12,16)解析 设售价定为每件x 元，利润为y ， 则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]， 依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320， 即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16， 所以每件售价应定为12元到16元之间．9．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 [－5，＋∞)解析 由题意，分离参数后得，a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋4x . 设f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，x ∈(0,1]， 则只要a ≥[f (x )]max 即可．由于函数f (x )在区间(0,1]上单调递增， 所以[f (x )]max ＝f (1)＝－5，故a ≥－5.10．设a ∈R ，若x ∈[1,2]时，均有(x －a )(x 2＋2a )<0，则a 的取值范围是__________________． 答案 (－∞，－2)∪(2，＋∞)解析 当a ≥0时，x 2＋2a >0，即当x ∈[1,2]时，均有x <a ，从而有a >2. 当a <0时，x －a >0，即当x ∈[1,2]时，均有x 2＋2a <0， 则(x 2＋2a )max <0，即4＋2a <0，得a <－2. 综上可得，a >2或a <－2.11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.12．(2018·浙江绍兴一中模拟)已知f (x )＝x 2－2ax －3a 2. (1)设a ＝1，解不等式f (x )>0；(2)若不等式f (x )<x 的解集中有且仅有一个整数，求a 的取值范围； (3)若a >14，且当x ∈[1,4a ]时，|f (x )|≤4a 恒成立，试确定a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，不等式f (x )>0，即x 2－2x －3>0， 解得x >3或x <－1.故当a ＝1时，不等式f (x )>0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． (2)f (x )－x ＝x 2－(2a ＋1)x －3a 2， 令g (x )＝x 2－(2a ＋1)x －3a 2，若a ＝0，则f (x )<x 的解集为(0,1)，不满足条件；若a ≠0，由g (0)＝－3a 2<0知x ＝0是不等式f (x )<x 的一个整数解，所以由⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (－1)≥0，得1－73≤a ＜0.综上，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－73，0.(3)若14<a ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧|f (1)|≤4a ，|f (4a )|≤4a ，即⎩⎪⎨⎪⎧|1－2a －3a 2|≤4a ，|5a 2|≤4a ，得14＜a ≤45；若a >1，因为|f (a )|＝4a 2，|f (4a )|＝5a 2， 所以由⎩⎪⎨⎪⎧4a 2≤4a ，5a 2≤4a ，a >1，得此不等式的解集为∅.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤14，45.13．若不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为__________． 答案 [－8,4]解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立， 由一元二次不等式的性质可知， Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.14．已知b ，c ∈R ，若关于x 的不等式0≤x 2＋bx ＋c ≤4的解集为[x 1，x 2]∪[x 3，x 4](x 2<x 3)，则(2x 4－x 3)－(2x 1－x 2)的最小值是________．答案 4 3解析 如图，据题意可知x 1，x 4是方程x 2＋bx ＋c ＝4的两根，x 2，x 3是方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系可得(2x 4－x 3)－(2x 1－x 2)＝2(x 4－x 1)－(x 3－x 2)＝2(x 4＋x 1)2－4x 4·x 1－(x 3＋x 2)2－4x 2·x 3＝2b 2－4c ＋16－b 2－4c ，令b 2－4c ＝t ，则有(2x 4－x 3)－(2x 1－x 2)＝f (t )＝2t ＋16－t ，令f ′(t )＝1t ＋16－12t ＝0，解得t ＝163， 当0<t <163时，f ′(t )<0，f (t )单调递减， 当t >163时，f ′(t )>0，f (t )单调递增． 据题意可知f (t )min ＝f ⎝⎛⎭⎫163＝4 3.15．(2019·杭州高级中学仿真测试)若关于x 的不等式(x 2－a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则2a ＋b 的最小值为________．答案 0解析 要使2a ＋b 取得最小值，尽量考虑a ，b 取负值的情况，因此当a <b ≤0时，不等式(x 2－a )(2x ＋b )≥0等价于2x ＋b ≥0，即b ≥－2x 在(a ，b )上恒成立，则b ≥－2a >0，与b ≤0矛盾；当a <0<b 时，不等式(x 2－a )(2x ＋b )≥0等价于2x ＋b ≥0，即b ≥－2x 在(a ，b )上恒成立，则b ≥－2a ，即2a ＋b ≥0，此时2a ＋b 的最小值为0；当0≤a <b 时，显然2a ＋b >0.综上可知，2a ＋b 的最小值为0.16．(2018·浙江省海盐高级中学期中)已知函数f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2－a ，若集合A ＝{x ∈N |f (x )<0}中有且只有一个元素，求实数a 的取值范围．解 ∵集合A ＝{x ∈N |f (x )<0}中有且只有一个元素，故方程f (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋2－a ＝0有两个实根，即Δ＝(a ＋2)2－4(2－a )>0，亦即a 2＋8a －4>0，方程x 2－(a ＋2)x ＋2－a ＝0的根为x 1＝2＋a －a 2＋8a －42，x 2＝2＋a ＋a 2＋8a －42. 又∵f (0)＝2－a ，若f (0)＝2－a <0，则a >2，此时x 2＝2＋a ＋a 2＋8a －42>1， 则集合A ＝{x ∈N |f (x )<0}中至少有两个元素0,1，不符合题意； 故f (0)＝2－a ≥0，a ≤2，此时要使集合A ＝{x ∈N |f (x )<0}中有且只有一个元素，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)≥0，f (1)<0，f (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，12－(a ＋2)＋2－a <0，22－(a ＋2)×2＋2－a ≥0， 解得12<a ≤23，即a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤12，23.。
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第二章 核心素养提升(二)
(a>0，b>0) (0，＋∞)
和(0，＋∞) x→0＋，y→－bx＋；
x→＋∞，y→ax＋
函数 定义域 奇偶性 单调性
渐近线
值域
y＝－ax (－∞，
x→0－，y→xb－；
＋xb
0)∪
(a>0，b>0) (0，＋∞)
奇
减：(－∞，0) x→－∞，y→－ax－；
④渐近线：当 x→0＋时，y→－bx；当 x→＋∞时，y→－ax＋. ⑤图象略． ⑥值域：当 x＝ aab时，f(x)＝－a aab－ aabb＝－2 ab，即为最 大值－2 ab，值域为－∞，－2 ab.
当 a>0，b<0 时 [特例] 当 a＝1，b＝－1 时，函数化为 f(x)＝x－1x. ①定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． ②奇偶性：f(－x)＝－x－1x＝－f(x)，函数为奇函数． 当x>0时 ，③单调性：Δ y＝x2x－1x2x1(x1x2＋1)，得Δ y>0，f(x)为 增函数．
问题 2 的解法同问题 1，其中问题 2(1)、(2)的结论都是减函数． 问题 1、2 图象表示，如图．
两 个 问 题 渗 透 的 数 学 思 想 和 方 法 —— 在 对 称 区 间 上 奇 同 偶 反．即奇函数单调性相同，偶函数单调性相反．
已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若 f(x －1)>0，则 x 的取值范围是________． 【解析】 因为 f(x)是偶函数，所以图象关于 y 轴对称．又 f(2) ＝0，且 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则 f(x)的大致图象如图所 示，由 f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.
(浙江专用)2020版高考数学大一轮复习高考解答题专讲1函数与导数课件
③当x1<x2,即a>1时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
1
-∞,
a
x
1
,1
a
1
a
1
(1,+∞)
f'(x)
+
0
-
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
+
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.
1
当a<0时,令f'(x)=0,得x1= ,x2=1.
f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:
1
( 1 )-( 2 )
所以 -x2+2ln x2<0,即
2
1 - 2
<a-2.
1
-
2 2
,
-17题型一
题型二
题型三
不等式问题
导数在不等式中的应用问题难度较大,属中高档题.归纳起来常
见的命题角度有:(1)证明不等式;(2)不等式恒成立问题;(3)存在型不
等式成立问题.
-18题型一
-
ln λ
0
(ln λ,+∞)
+
f(x)
↙
极小值
↗
-22题型一
题型二
题型三
①当λ≥e3时,ln λ≥3,f(x)在[-3,3]上单调递减,
∴f(x)的最大值f(-3)>f(0)=λ.
∴当λ≥e3时命题成立;
②当e-3<λ<e3时,-3<ln λ<3,
∴f(x)在(-3,ln λ)上单调递减,在(ln λ,3)上单调递增.
2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第二章 9 第9讲 函数模型及其应用 含解析
[基础题组练]1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.15 6.126 y1.5174.041 87.51218.01A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝log 12x解析：选B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D.设进价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.故选D. 3．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30 s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t (s)，他与教练间的距离为y (m)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q解析：选D.A.假设这个位置在点M ，则从A 至B 这段时间，y 不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B.假设这个位置在点N ，则从A 至C 这段时间，A 点与C 点对应y 的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C.假设这个位置在点P ，则由函数图象可得，从A 到C 的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s 时教练到小明的距离，而点P 不符合这个条件，故本选项错误；D.经判断点Q 符合函数图象，故本选项正确，故选D.4．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.3解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x 年，则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x ＝log 0.912＝lg12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1＝－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年)．故选B.5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14解析：选A.由三角形相似得24－y 24－8＝x 20.得x ＝54(24－y )，所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.检验符合题意．6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x ＜A ，cA，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16解析：选D.由函数解析式可以看出，组装第A 件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入cA＝15，得A ＝16. 7．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．解析：因为m ＝6.5，所以[m ]＝6，则f (m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 答案：4.248．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：89．(2019·河北唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4，化简得x －6×0.9x ＝0.令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3，4)上有一个零点．故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元． 答案：410．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)如图，作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4，在△EDF 中，EQ PQ ＝EFFD ，所以x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50， 所以S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x ＝10， 所以当x ∈[4，8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为48平方米．11．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式．(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值． 解析：(1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2； 当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ， 显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52，故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20，当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．[综合题组练]1．(2019·河南洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x (正常情况下0≤x ≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y (元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是( )A ．y ＝(x －50)2＋500 B ．y ＝10x 25＋500 C ．y ＝11 000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]解析：选C.由题意知，拟定的函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数y ＝(x －50)2＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝10x 25＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D 中，函数y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C 中，函数y ＝11 000(x －50)3＋625是由函数y ＝x 3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.2．(2019·河北邯郸联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3x x ＋2(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )A ．30.5万元B ．31.5万元C ．32.5万元D ．33.5万元解析：选B.由题意，产品的生产成本为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ×150%＋xy ×50%，故年销售收入为z ＝⎝⎛⎭⎫30y ＋4y ×150%＋xy ×50%·y ＝45y ＋6＋12x .所以年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x2(万元)．所以当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万元)．故选B. 3．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单元：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？ 解：(1)由题意知甲大棚投入50万元， 则乙大棚投入150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5(万元)．(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ，则t ∈[25，65]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝282.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元． 4．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型y ＝f (x )制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件； (2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y ＝120x ＋1；(ⅱ)y ＝log 2x －2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求． 解：(1)设奖励函数模型为y ＝f (x )， 则该函数模型满足的条件是： ①当x ∈[10，100]时，f (x )是增函数； ②当x ∈[10，100]时，f (x )≤5恒成立； ③当x ∈[10，100]时，f (x )≤x5恒成立．(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y ＝120x ＋1，它在[10，100]上是增函数，满足条件①；但当x ＝80时，y ＝5，因此，当x >80时，y >5，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求． (b)对于函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①， x ＝100时，y max ＝log 2100－2＝2log 25<5，即f (x )≤5恒成立．满足条件②， 设h (x )＝log 2x －2－15x ，则h ′(x )＝log 2e x －15，又x ∈[10，100]，所以1100≤1x ≤110， 所以h ′(x )≤log 2e 10－15<210－15＝0，所以h (x )在[10，100]上是递减的，因此h (x )≤h (10)＝log 210－4<0，即f (x )≤x5恒成立，满足条件③，故该函数模型符合公司要求．综上所述，函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2符合公司要求．。
2020年浙江高考数学一轮复习：函数模型及其应用
C．24 小时 D．28 小时
解析：由已知得 192＝eb，
①
48＝e22k＋b＝e22k·eb，
解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)．
返回
设抛物线方程为 y＝a[x－(2＋h)]2＋4.
(1)当 h＝1 时，最高点为(3,4)，方程为 y＝a(x－3)2＋4.(*)
将点 A(2,3)代入(*)式得 a＝－1.
即所求抛物线的方程为 y＝－x2＋6x－5.
(2)将点 A(2,3)代入 y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得 ah2＝－1.
考点二 函数y＝x＋ax模型的应用
返回
重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外
墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，
每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该建筑物每年的能源消
耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度 x(单位：cm)满足关系
C(x)＝3xk＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为
8 万元，设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和．
(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
返回
解：(1)由已知条件得 C(0)＝8，则 k＝40，
表现为与 y 轴
随 n 值变化而 逐渐表现为
各有不同
平行
与 x 轴 平行
值的比较 存在一个 x0，当 x＞x0 时，有 logax＜xn＜ax
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3．解函数应用问题的 4 步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步
选择函数模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第九章 核心素养提升(九)
通过数形结合分析得出下面两个结论： ①A(－5，0)，B(5，0)正好是椭圆2x52＋1y020＝1 在 x 轴上的两个
9
顶点．
100
②kMA·kMB＝－49正好是－
9 25
＝－49.
因此有下面的三个命题．
[命题 1] 设 A1(－a，0)，A2(a，0)(a>0)，动点 M 满足 kMA1·kMA2
将 y2＝4x 代入①得 y2－2y0y＋2y20－4x0＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 y1＋y2＝2y0，y1y2＝2y20－4x0. 由|AB|＝ [（y1＋y2）2－4y1y2]1＋k12得
[（2y0）2－4（2y02－4x0）]1＋y420＝8. 化简得(4x0－y20)(y20＋4)＝64， 所以 4x0＝y206＋4 4＋y20＝y026＋4 4＋(y20＋4)－4 ≥2 y206＋4 4×（y02＋4）－4＝12，即 x0≥3.
【答案】 D
在求斜率中的应用
已知椭圆 C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线 l 不过原点 O 且
不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为
M.证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值． 【证明】 法一：由上文定理即得 kOM·kAB＝－91＝－9. 即 kOM·kl＝－9(定值)． 法二：将 9x2＋y2＝m2(m>0)化成mx22＋my22＝1，
外延探究 [问题 4]过椭圆 C：x42＋y32＝1 的右焦点 F 且互相垂直的两弦分 别为 AB 与 DE. (1)求证|A1B|＋|D1E|为定值，并求|AB|＋|DE|的最小值； (2)求四边形 ADBE 面积 S 的最小值，并求此时直线 AB 的方 程．
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版刷好题练能力：第九章 第2讲 两直线的位置关系
2019年4月[基础达标]1．(2019·富阳市场口中学高三质检)已知直线l 1：x ＋ay ＋1＝0与直线l 2：y ＝12x ＋2垂直，则a 的值是( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12详细分析：选C.因为直线l 2的斜率为12，直线l 1：x ＋ay ＋1＝0与直线l 2：y ＝12x ＋2垂直，所以直线l 1的斜率等于－2，即－1a ＝－2，所以a ＝12，故选C.2．(2019·金华十校联考)“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件详细分析：选B.点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3等价于|3×2＋4×1＋C |32＋42＝3，解得C ＝5或C ＝－25，所以“C ＝5”是“点(2，1)到直线3x ＋4y ＋C ＝0的距离为3”的充分不必要条件，故选B.3．(2019·义乌模拟)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是( ) A ．x ＋2y －1＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．x ＋2y －3＝0 详细分析：选D.由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1，1)． 又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1，0)关于直线x ＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.4．已知点A (－1，2)，B (3，4)，P 是x 轴上一点，且|P A |＝|PB |，则△P AB 的面积为( ) A ．15 B ．552C ．6 5D ．152详细分析：选D.设AB 的中点坐标为M (1，3)，k AB ＝4－23－（－1）＝12，所以AB 的中垂线方程为y －3＝－2(x －1)． 即2x ＋y －5＝0.令y ＝0，则x ＝52，即P 点的坐标为(52，0)，|AB |＝（－1－3）2＋（2－4）2＝2 5.P 到AB 的距离为|PM |＝（1－52）2＋32＝352.所以S △P AB ＝12|AB |·|PM |＝12×25×352＝152.5．已知点P (x 0，y 0)是直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0外一点，则方程Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0表示( )A ．过点P 且与l 垂直的直线B ．过点P 且与l 平行的直线C ．不过点P 且与l 垂直的直线D ．不过点P 且与l 平行的直线详细分析：选D.因为点P (x 0，y 0)不在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，所以Ax 0＋By 0＋C ≠0，所以直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0不经过点P ，排除A 、B ；又直线Ax ＋By ＋C ＋(Ax 0＋By 0＋C )＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行，排除C ，故选D.6．两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1，2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(0，5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34 ]详细分析：选D.当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为（－1－2）2＋[2－（－3）]2＝34， 所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34 ]． 故选D.7．已知坐标平面内两点A (x ，2－x )和B ⎝⎛⎭⎫22，0，那么这两点之间距离的最小值是________．详细分析：由题意可得两点间的距离d ＝⎝⎛⎭⎫x －222＋（2－x ）2＝2⎝⎛⎭⎫x －3242＋14≥12，即最小值为12.答案：128．直线x ＋2y －3＝0与直线ax ＋4y ＋b ＝0关于点A (1，0)对称，则b ＝________． 详细分析：在直线x ＋2y －3＝0上取两点P 1(1，1)、P 2(3，0)，则P 1、P 2关于点A 的对称点P ′1、P ′2都在直线ax ＋4y ＋b ＝0上．因为易知P ′1(1，－1)、P ′2(－1，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，－a ＋b ＝0，所以b ＝2.答案：2 9．(2019·瑞安四校联考)若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________．详细分析：由题可知纸的折痕垂直平分点(0，2)与点(4，0)的连线，可得折痕所在直线为y ＝2x －3，又折痕也垂直平分点(7，3)与点(m ，n )的连线，于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m 2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，所以m ＋n ＝345.答案：34510．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知m ∈R ，若点M (x ，y )为直线l 1：my ＝－x 和l 2：mx ＝y ＋m －3的交点，l 1和l 2分别过定点A 和B ，则|MA |·|MB |的最大值为________．详细分析：动直线l 1：my ＝－x 过定点A (0，0)，动直线l 2：mx ＝y ＋m －3化为m (x －1)－(y －3)＝0，得x ＝1，y ＝3.过定点B (1，3)． 因为此两条直线互相垂直， 所以|MA |2＋|BM |2＝|AB |2＝10， 所以10≥2|MA |·|MB |，所以|MA |·|BM |≤5，当且仅当|MA |＝|MB |时取等号．答案：511．已知直线l 1：x ＋a 2y ＋1＝0和直线l 2：(a 2＋1)x －by ＋3＝0(a ，b ∈R )． (1)若l 1∥l 2，求b 的取值范围； (2)若l 1⊥l 2，求|ab |的最小值．解：(1)因为l 1∥l 2，所以－b －(a 2＋1)a 2＝0， 即b ＝－a 2(a 2＋1)＝－a 4－a 2＝－⎝⎛⎭⎫a 2＋122＋14， 因为a 2≥0，所以b ≤0. 又因为a 2＋1≠3，所以b ≠－6.故b 的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]． (2)因为l 1⊥l 2，所以(a 2＋1)－a 2b ＝0，显然a ≠0，所以ab ＝a ＋1a ，|ab |＝⎪⎪⎪⎪a ＋1a ≥2， 当且仅当a ＝±1时等号成立，因此|ab |的最小值为2. 12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P .(1)点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程； (2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值． 解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0， 即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， 所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝12或λ＝2.所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离， 则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)． 所以d max ＝|P A |＝10.[能力提升]1．(2019·温州八校联考)已知M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）|y －3x －2＝3，N ＝{(x ，y )|ax ＋2y ＋a ＝0}，且M ∩N ＝∅，则a ＝( )A ．－6或－2B ．－6C ．2或－6D ．－2详细分析：选A.集合M 表示去掉一点A (2，3)的直线3x －y －3＝0，集合N 表示恒过定点B (－1，0)的直线ax ＋2y ＋a ＝0，因为M ∩N ＝∅，所以两直线要么平行，要么直线ax ＋2y ＋a ＝0与直线3x －y －3＝0相交于点A (2，3)．因此－a2＝3或2a ＋6＋a ＝0，即a ＝－6或a ＝－2.2．设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，且0≤c ≤18，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )A ．22，12B ．2，22C ．2，12D ．24，14详细分析：选A.由题意知a ，b 是方程x 2＋x ＋c ＝0的两个实根，所以ab ＝c ，a ＋b ＝－1.又直线x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0的距离d ＝|a －b |2，所以d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －b |22＝（a ＋b ）2－4ab 2＝（－1）2－4c 2＝12－2c ， 而0≤c ≤18，所以12－2×18≤12－2c ≤12－2×0，得14≤12－2c ≤12，所以12≤d ≤22.3．(2019·浙江省名校协作体高三联考)在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2，3)对称，则直线l 的方程是________．详细分析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y ＝k (x －3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b .所以b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34.所以直线l 的方程为y ＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，设直线l 上的一点P ⎝⎛⎭⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2，3)的对称点为⎝⎛⎭⎫4－m ，6－b －34m ，所以6－b －34m ＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.所以直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.答案：6x －8y ＋1＝0 4．(2019·宁波效实中学高三月考)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．详细分析：因为f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝（x ＋2）2＋（0－4）2＋（x ＋1）2＋（0－3）2，所以f (x )的几何意义为点M (x ，0)到两定点A (－2，4)与B (－1，3)的距离之和，设点A (－2，4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝（－1＋2）2＋（3＋4）2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.答案：5 25．设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0. (1)证明：l 1与l 2相交；(2)证明：l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．证明：(1)反证法．假设l 1与l 2不相交，则l 1与l 2平行，有k 1＝k 2，代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0.此与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k 1k 2－k 1，而2x 2＋y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1.即P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．6．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1，1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设直线AP 和BP 分别与直线x ＝3交于点M ，N ，问：是否存在点P ，使得△P AB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)因为点B 与A (－1，1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1，－1)． 设点P 的坐标为(x ，y )． 由题意，得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13，化简，得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．(2)法一：设点P 的坐标为(x 0，y 0)，点M ，N 的坐标分别为(3，y M )，(3，y N )． 则直线AP 的方程为y －1＝y 0－1x 0＋1(x ＋1)，直线BP 的方程为y ＋1＝y 0＋1x 0－1(x －1)．令x ＝3，得y M ＝4y 0＋x 0－3x 0＋1，y N ＝2y 0－x 0＋3x 0－1.于是△PMN 的面积S △PMN ＝12|y M －y N |(3－x 0)＝|x 0＋y 0|（3－x 0）2|x 20－1|.又直线AB 的方程为x ＋y ＝0，|AB |＝22，点P 到直线AB 的距离d ＝|x 0＋y 0|2.于是△P AB 的面积 S △P AB ＝12|AB |·d ＝|x 0＋y 0|.当S △P AB ＝S △PMN 时， 得|x 0＋y 0|＝|x 0＋y 0|（3－x 0）2|x 20－1|.又|x 0＋y 0|≠0.所以(3－x 0)2＝|x 20－1|，解得x 0＝53. 因为x 20＋3y 20＝4，所以y 0＝±339. 故存在点P ，使得△P AB 与△PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫53，±339.法二：若存在点P 使得△P AB 与△PMN 的面积相等，设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 则12|P A |·|PB |sin ∠APB ＝12|PM |·|PN |·sin ∠MPN . 因为sin ∠APB ＝sin ∠MPN ，所以|P A ||PM |＝|PN ||PB |，所以|x 0＋1||3－x 0|＝|3－x 0||x 0－1|，即(3－x 0)2＝|x 20－1|，解得x 0＝53. 因为x 20＋3y 20＝4，所以y 0＝±339. 故存在点P ，使得△P AB 与△PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫53，±339.。
浙江专用2020版高考数学大一轮复习课时112.9函数模型及其应用课件
§ 2.9函数模型及其应用教材研读 3.解函数应用题的步骤(四步八字)1.几种常见的函数模型2.三种增长型函数模型的图象与性质考点突破考点一函数模型的选择考点二函数模型应用考点三构建数模型解决实际问题1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )=ax +b (a 、b 为常数,且a ≠0)反比例函数模型f (x )=(k 为常数且k ≠0)二次函数模型f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c 为常数,且a ≠0)指数函数模型f (x )=ba x+c (a ,b ,c 为常数,b ≠0,a >0且a ≠1)对数函数模型f (x )=b log a x +c (a ,b ,c 为常数,b ≠0,a >0且a ≠1)幂函数模型f (x )=ax n +b (a ,b 为常数,且a ≠0)k x 教材研读2.三种增长型函数模型的图象与性质函数性质y=a x(a>1)y=log a x(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的增减性①增函数②增函数③增函数增长速度④越来越快⑤越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与⑥y轴平行随x增大逐渐表现为与⑦x轴平行取决于α值值的比较存在一个x0,当x>x0时,有log a x<xα<a x3.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:4.解函数应用题的关键是建立数学模型,要顺利地建立数学模型,重点要过好三关:(1)事理关:通过阅读、理解,明白问题讲的是什么,熟悉实际背景,为解题打开突破口.(2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数量关系.(3)数理关:在构建数学模型的过程中,用已有数学知识进行检验,从而认定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向数学问题的转化.1.有一组实验数据,如下表:t 1.993.04.05.16.12v 1.5 4.047.51218.01则体现这些数据关系的最佳函数模型是( C )A.v =log 2t B.v =2t -2 C.v = D.v =2t -2212t解析采用排除法.当t=4时,v=log2t=log24=2,但题表中的v值是7.5,相差很大,排除A;当t=4时,v=2t-2=24-2=14,与7.5相差太大,排除B;当t=4时,v =2t-2=2×4-2=6,与7.5相差也太大,排除D.故选C.2.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( B )A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况解析设该股民购进这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n元,又经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a ×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a元<a元,故该股民这只股票略有亏损.3.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是( C )A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]解析矩形的一边长为x m,则由相似三角形的性质可得其邻边长为(40-x)m,故矩形面积S=x(40-x)=-x2+40x,由S≥300得-x2+40x≥300,解得10≤x≤30.4.某出租车公司规定乘车收费标准如下:3千米以内为起步价8元(即行程不超过3千米,一律收费8元);若超过3千米,则除起步价外,超过的部分再按1.5元/千米计价.司机与某乘客约定按四舍五入以元计费不找零钱.已知该乘客下车时乘车里程数为7.4千米,则该乘客应付的车费为15元.解析依题意得实际乘车费用为8+1.5×(7.4-3)=14.6(元),应付车费15元.5.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额为8万元时,奖励1万元.销售额为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=a log4x+b(其中y为奖金,x为销售额).某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 1 024 万元.解析依题意得即解得a =2,b =-2.∴y =2log 4x -2,当y =8,即2log 4x -2=8时,x =1 024.则所求销售额为1 024万元.44log 81,log 644,a b a b +=⎧⎨+=⎩31,234,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩考点突破函数模型的选择典例1(1)下表是在某个投资方案中,整理到的投入资金x(万元)与收益y(万元)的统计表.投入资金x(万元)123456收益y(万元)0.40.8 1.6 3.1 6.212.3你认为体现投入资金x与收益y之间关系的最佳函数模型是( B ) A.y=ax+b B.y=a·b xC.y=ax2+bx+cD.y=b log a x+c(2)某研究所对人体在成长过程中,年龄与身高的关系进行研究,根据统计,某地区未成年人,从1岁到16岁的年龄x(岁)与身高y(米)的散点图如图,则该关系较适宜的函数模型为( B )A.y=ax+bB.y=a+log b xC.y=a·b xD.y=ax2+b解析(1)画出大致散点图如图所示,根据散点图可知选B.(2)根据散点图可知,较适宜的函数模型为y=a+log b x,故选B.规律方法选择函数模型的基本思想(1)根据数据描绘出散点图;(2)将散点根据趋势“连接”起来,得到大致走势图象;(3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比,选择最佳函数模型.但必须注意实际意义与基本图形的平移性相结合.1-1某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y(单位:t)的影响.根据近8年的年宣传费x i和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据得到下面的散点图,则作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合的是( B )A.y=ax+bB.y=a+bxC.y=a·b xD.y=ax2+bx+cx解析根据散点图知,选择y=a+b最适合,故选B.1-2某地西红柿上市后,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/100 kg)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·b t,Q=a·log b t.利用你选取的函数,求:(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是120;(2)最低种植成本是80元/100 kg.解析因为随着时间的增加,种植成本先减少后增加,而且当t =60和t =180时种植成本相等,再结合题中给出的四种函数关系可知,种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q =at 2+bt +c ,即Q =a (t -120)2+m 描述,将表中数据代入可得解得所以Q =0.01(t -120)2+80,故当上市天数为120时,种植成本取到最低值80元/100 kg.22(60120)116,(100120)84,a m a m ⎧-+=⎨-+=⎩0.01,80,a m =⎧⎨=⎩函数模型应用典例2已知炮弹发射后的轨迹在方程y =kx -(1+k 2)x 2(k >0)表示的曲线上,其中k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程;(2)设在第一象限内有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为3.2千米,问:120它的横坐标a 不超过多少时,炮弹可以击中飞行物?请说明理由.解析(1)在y =kx -(1+k 2)x 2(k >0)中,令y =0,得kx -(1+k 2)x 2=0.由实际意义和题设条件知x >0,k >0,解以上关于x 的方程得x ==≤=10,当且仅当k =1时取等号.所以炮的最大射程是10千米.1201202201k k +201kk+202(2)因为a >0,所以炮弹可以击中目标⇔存在k >0,得ka -(1+k 2)a 2=3.2成立⇔关于k 的方程a 2k 2-20ak +a 2+64=0有正根,得解得0<a ≤6.所以当a 不超过6千米时,炮弹可以击中飞行物.1202221222122(20)4(64)0,200,640,Δa a a a k k a a k k a ⎧⎪=--+≥⎪⎪+=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩规律方法已知函数模型求解实际问题的三个步骤(1)根据已经给出的实际问题的函数模型,分清自变量与函数表达式的实际意义,注意单位名称,并注意相关量之间的关系.(2)根据实际问题的需求,研究函数的单调性、最值等,从而得出实际问题的变化趋势和最优问题.(3)最后回归问题的结论.2-1某航空公司规定,乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的质量最大为19kg.解析由图象可求得一次函数的解析式为y=30x-570,令30x-570=0,解得x=19.2-2(2018金华模拟)一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出,t min后剩余的细沙量(单位:cm3)为y=a e-bt,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过16min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.解析当t =8时,y =a e -8b =a ,∴e -8b =,当容器中的沙子只有开始时的八分之一时,a e -bt =a ,则e -bt ==(e -8b )3=e -24b ,则t =24,所以再经过16 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.12121818典例3(2017江苏南京、盐城一模)如图所示,某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心,其中AE =30米.活动中心东西走向,与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下半部分是长方形ABCD ,上半部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求,活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米,其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tan θ=.34构建函数模型解决实际问题命题方向一一次函数与二次函数模型(1)若设计AB=18米,AD=6米,问:能否保证题干中的采光要求?(2)在保证题干中的采光要求的前提下,如何设计AB与AD的长度,可使得活动中心的截面面积最大?(注:计算中π取3)解析如图所示,以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.(1)因为AB=18,AD=6,所以半圆的圆心坐标为H(9,6),半径r=9.设太阳光线所在直线方程为y =-x +b ,即3x +4y -4b =0,解得b =24或b =(舍).故太阳光线所在直线方程为y =-x +24,令x =30,得y =,即EG =1.5米<2.5米.所以此时能保证采光要求.(2)设AD =h 米,AB =2r 米,则半圆的圆心为H (r ,h ),半径为r .解法一:设太阳光线所在直线方程为y =-x +b ,342234+32343234即3x +4y -4b =0,=r ,解得b =h +2r 或b =h -r (舍),故太阳光线所在直线方程为y =-x +h +2r ,2234+234令x =30,得y =2r +h -,由y ≤,得h ≤25-2r ,45252所以S =2rh +πr 2=2rh +r 2≤2r (25-2r )+r 2=-r 2+50r =-(r -10)2+250≤250,当且仅当r =10时取等号.所以当AB =20米且AD =5米时,可使得活动中心的截面面积最大.解法二:易知当EG 恰为2.5米时,活动中心的截面面积最大,此时点G 的坐标为(30,2.5),设过点G 的太阳光线所在直线为l 1,则l 1的方程为y -=-(x -30),即3x +4y -11232325252523400=0.由直线l 1与半圆H 相切,得r =.而点H (r ,h )在直线l 1的下方,则3r +4h -100<0,|34100|5r h +-即r =-,从而h =25-2r .341005r h +-S =2rh +πr 2=2r (25-2r )+r 2=-r 2+50r =-(r -10)2+250≤250,当且仅当r =10时取等号,所以当AB =20米且AD =5米时,可使得活动中心的截面面积最大.12325252方法指导一次函数与二次函数模型问题的解决方法(1)在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是直线上升或直线下降,构建一次函数模型,利用一次函数的图象与单调性求解.(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.对二次函数模型,一般是利用配方法并结合二次函数图象与单调性解决.注意:在解决一次函数、二次函数的应用问题时,一定要注意定义域.3-1如图,某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练.已知点A 到墙面的距离为AB ,某目标点P 沿墙面上的射线CM 移动,此人为了准确瞄准目标点P ,需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小.若AB =15 m,AC =25 m,∠BCM =30°,则tan θ的最大值是.(仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角)539解析过点P 作PN ⊥BC 于N ,连接AN ,则∠PAN =θ,如图.设PN =x m,由∠BCM =30°,得CN =x m.在直角△ABC 中,AB =15 m,AC =25 m,则BC =20m,故BN x )m.从而AN 2=152x )2=3x 2-40x +625,故tan 2θ=333322PN AN 23403625x x -+6254033-+214327625⎛⎫-+ ⎪⎝⎭当时,tan 2θ取最大值,即当x 时,tan θ1x 432527125353命题方向二分段函数模型典例4国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税,已知某人出版一本书共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为(C)A.2 800元B.3 000元C.3 800元D.3 818元解析由题意知,纳税额y (元)与稿费x (元)之间的函数关系式为y =令0.14(x -800)=420,解得x =3 800,令0.112x =420,得x =3 750(舍去),故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元.0,800,0.14(800),800 4 000,0.112, 4 000.x x x x x ≤⎧⎪-<≤⎨⎪>⎩方法指导分段函数模型问题的两点注意(1)构建分段函数时,要做到分段合理,不重不漏,并要注意实际问题中各段自变量的取值范围,特别是端点值.(2)在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得出最大值、最小值.3-2经市场调查,某旅游城市在过去的一个月(30天)内,日旅游人数f (t )(单位:万人)与时间t (单位:天)近似满足函数关系f (t )=4+,人均消费g (t )(单位:元)与时间t 近似满足函数关系g (t )=115-|t -15|,则该城市在过去一个月内旅游日收益的最小值为万元.1t1 2103。
2020版高考数学新增分大一轮新高考第二章 2.9 函数模型及其应用 Word版含解析
§函数模型及其应用最新考纲.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用．．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型()＝＋(，为常数，≠)反比例函数模型()＝＋(，为常数且≠)()＝＋＋二次函数模型(，，为常数，≠)()＝＋指数函数模型(，，为常数，≠，>且≠)()＝＋对数函数模型(，，为常数，≠，>且≠)幂函数模型()＝＋ (，为常数，≠).三种函数模型的性质函数＝(>) ＝(>) ＝(>) 性质在(，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随的增大逐渐表现为与轴平行随的增大逐渐表现为与轴平行随值变化而各有不同值的比较存在一个，当>时，有<<概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤．提示解函数应用题的步骤题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()某种商品进价为每件元，按进价增加出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(×)()函数＝的函数值比＝的函数值大．(×)()不存在，使<<.(×)()“指数爆炸”是指数型函数＝·＋(≠，>，≠)增长速度越来越快的形象比喻．(×)题组二教材改编．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()。
2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版课件：第九章 第9讲 曲线与方程
方程 x＝ 1－4y2所表示的曲线是( )
A．双曲线的一部分
B．椭圆的一部分
C．圆的一部分
D．直线的一部分
解析：选 B.x＝ 1－4y2两边平方，可变为 x2＋4y2＝1(x≥0)，
表示的曲线为椭圆的一部分．
已知点 P 是直线 2x－y＋3＝0 上的一个动点，定点 M(－1，
2)，Q 是线段 PM 延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则 Q 点的
由N→P＝ 2 N→M得
x0＝x，y0＝
2 2 y.
因为 M(x0，y0)在 C 上， 所以x22＋y22＝1.
因此点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝2.
求轨迹方程的常用方法 (1)直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利 用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹 角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含 x，y 的等式就得到曲线的轨迹方程． (2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程， 再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程．
联立①②，解得x＝x21， 所以x1＝2x，
③
y＝
2y1， x1
y1＝ x2y，
所以 x≠0，且|x|< 2，因为点 P(x1，y1)在双曲线x22－y2＝1 上，
所以x221－y21＝1.
将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为x22＋y2＝1(x≠0，且
x≠± 2)．
答案：x22＋y2＝1(x≠0，且 x≠± 2)
A0，53和 B(1，1)，则曲线方程为________． 解析：由题意得a29＋5b＝ b＝2， 2，解得ba＝＝12328525.， 所以曲线方程为3225x2＋1285y2＝2，即1265x2＋295y2＝1. 答案：1265x2＋295y2＝1
考点09+函数模型及其应用-备战2020年浙江新高考数学考点一遍过+Word版含解析
考点09 函数模型及其应用1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征.2．能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决..一、常见的函数模型二、几类函数模型的增长差异三、函数模型的应用解函数应用题的一般步骤，可分以下四步进行：（1）认真审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建立模型：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求解模型：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原解答：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中.用框图表示如下：考向一二次函数模型的应用在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位.根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题.典例1 根据调查，某地区有300万从事传统农业的农民，人均年收入6000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作.据估计，如果有万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高，而进入企业工作的农民的人均年收入为元．（1）在建立加工企业后，多少农民进入企业工作，能够使剩下从事传统农业农民的总收入最大，并求出最大值；（2）为了保证传统农业的顺利进行，限制农民进入加工企业的人数不能超过总人数的23，当地政府如何引导农民，即取何值时，能使300万农民的年总收入最大．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由题意，如果有万人进入企业工作，设从事传统农业的所有农民的总收入为y万元，则，则图象的对称轴为，抛物线开口向下，即当时，y取得最大值为万元．即由100万人进入企业工作，能够使剩下从事传统农业的所有农民的总收入最大，最大为2400000万元．（2）设300万农民的总收入为，，则，易知图象的对称轴为，①当时，，当时，取得最大值；②当时，，当时，取得最大值．综上，当时，，能使300万农民的年总收入最大；当时，，能使300万农民的年总收入最大.1．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫要降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？考向二 指数函数、对数函数模型的应用（1）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为()1xy N p =+(其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.（2）已知对数函数模型解题是常见题型，准确进行对数运算及指数与对数的互化即可.典例2 一片森林原来面积为a ,计划每年砍伐一些树,且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为2a .为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林面积为2. （1）求p %的值;（2）到今年为止,该森林已砍伐了多少年? （3）今后最多还能砍伐多少年? 【解析】（1）由题意得()101%2a a p -=,即()1011%2p -=, 解得1101%1()2p =- .（2）设经过m 年，森林面积变为2a ,则()1%2ma p a -=,即1102111())2210,2(m m ==，解得m =5,故到今年为止,已砍伐了5年.（3）设从今年开始,以后还可砍伐n 年,则n 年后的森林面积为()1%2na p -,()11%4n p a -≥,即()1%np -≥3102(11())22n≥,3102n ≤,解得n ≤15,故今后最多还能砍伐15年.典例 3 某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量()mg /L P 与时间()h t 之间的关系为0ektP P -=．已知5h 后消除了10%的污染物，试求：（1）10h 后还剩百分之几的污染物．（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈） 【解析】（1）由0ektP P -=，可知0t =时，0P P =，当5t =时，()5500110%e e 0.9kk P P P --=-=⇒=，所以1ln0.95k =-， 当10t =时，1ln0.910ln0.815000ee 81%P P P P ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭===，所以10个小时后还剩81%的污染物． （2）当050%P P =35， 所以污染物减少50%所需要的时间为35个小时．2．盐化某厂决定采用以下方式对某块盐池进行开采：每天开采的量比上一天减少%p ，10天后总量变为原来的一半，为了维持生态平衡，剩余总量至少要保留原来的116，已知到今天为止，剩余的总量是原来的 （1）求%p 的值；（2）到今天为止，工厂已经开采了几天？ （3）今后最多还能再开采多少天？考向三 分段函数模型的应用（1）在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．（2）分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点． （3）构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．典例 4 某公司利用 线上、实体店线下销售产品 ，产品 在上市 天内全部售完.据统计，线上日销售量 、线下日销售量 （单位：件）与上市时间 天的关系满足： ， ，，产品 每件的销售利润为，(单位：元)（日销售量 线上日销售量 线下日销售量）.（1）设该公司产品 的日销售利润为 ，写出 的函数解析式； （2）产品 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于 元？ 【解析】（1）由题意可得：当 时，日销售量为 ，日销售利润为： ；当 时，日销售量为 ，日销售利润为： ；当 时，日销售量为 ，日销售利润为： .综上可得： ， ，， ， ，（2）当 时，由 ，解得 ； 当 时，由 ，解得 ； 当 时， ，无解. 故第5天至第15天给该公司带来的日销售利润不低于 元.3．经过市场调查，某种商品在销售中有如下关系:第x (1≤x ≤30,x ∈N +)天的销售价格(单位:元/件)为f (x )=40,110,60,1030,x x x x +≤≤⎧⎨-<≤⎩第x 天的销售量(单位:件)为()g x a x =-(a 为常数),且在第20天该商品的销售收入为1200元(销售收入=销售价格×销售量). （1）求a 的值,并求第15天该商品的销售收入; （2）求在这30天中,该商品日销售收入y 的最大值.考向四 函数模型的比较根据几组数据，从所给的几种函数模型中选择较好的函数模型时，通常是先根据所给的数据确定各个函数模型中的各个参数，即确定解析式，然后再分别验证、估计，选出较好的函数模型.典例5 某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y （单位：万件）与月份x 的关系. 模拟函数1:by ax c x=++；模拟函数2:x y m n s =⋅+. （1）已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数较好？（2）受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量. 【解析】（1）若用模拟函数1：by ax c x=++， 则有1012221333a b c b a c b a c ⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎩，解得125,3,22a b c ==-=，即32522x y x =-+，当4x =时，13.75y =． 若用模拟函数2：xy m n s =⋅+，则有23101213mn smn s mn s=+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，解得18,,142m n s =-==，即3142xy -=-，当4x =时，13.5y =．所以选用模拟函数1较好．（2）因为模拟函数1：32522x y x =-+是单调增函数，所以当12x =时，生产量远大于他的最高限量； 模拟函数2：3142xy -=-也是单调增函数，但生产量14y <，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数2：3142xy -=-好．当6x =时，3614213.875y -=-=，所以预测6月份的产量为13.875万件.4．某创业投资公司拟开发某种新能源产品，估计能获得 万元到 万元的投资利益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金 （单位：万元）随投资收益 （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过 万元，同时奖金不超过收益的 ．（1）请分析函数2150xy =+是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因． （2）若该公司采用函数模型1032x ay x -=+作为奖励函数模型，试确定最小正整数 的值．1．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：现有如下4个模拟函数：①y =0.6x -0.2；②y =x 2-55x +8；③y =log 2x ；④y =2x -3.02．请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律，应选 A ． B ． C ．D ．2．已知三个变量123,,y y y 随变量x 变化的数据如下表：则反映123,,y y y 随x 变化情况拟合较好的一组函数模型是A ．21232,2,log xy x y y x === B ．212322,,log x y y x y x === C ．21223log ,,2xy x y x y ===D ．212232,log ,x y y x y x ===3．国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为%p ；超过280万元的部分按()2%p +征税．现有一家公司的实际缴税比例为()0.25%p +，则该公司的年收入是 A ．560万元 B ．420万元 C ．350万元D ．320万元4．某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入.若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据：lg1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg20.30≈) A ．2020年 B ．2021年 C ．2022年D ．2023年5．一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变,剩余质量为原来的14.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是 A ．3 B ．4C ．5D ．66．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为21()2202f x x x =++（万元），商品的售价是每件20元，为获取最大利润(利润=收入-成本)，该企业一个月应生产该商品数量为 A ．9万件 B ．18万件 C ．22万件D ．36万件7．扶贫小组帮助某农户建造一个面积为100 m 2的矩形养殖区，有一面利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，则最低造价需要准备___________元.8．某种产品的产销量情况如图所示，其中：表示产品各年年产量的变化规律；表示产品各年的销售量变化情况.有下叙述：（1）产品产量、销售量均以直线上升，仍可按原生产计划进行下去；（2）产品已经出现了供大于求的情况，价格将趋跌；（3）产品的库存积压将越来越严重，应压缩产量或扩大销售量；（4）产品的产、销情况均以一定的年增长率递增.你认为较合理的是（把你认为合理结论的序号都填上）.9．美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入千万元，公司获得毛收入千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图象如图所示.（1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式；（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？（3）现在公司准备投入亿元资金同时生产，两种芯片，设投入千万元生产芯片，用表示公司所得的利润，当为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润芯片毛收入芯片毛收入研发耗费资金）10．某电动小汽车生产企业，年利润=（出厂价-投入成本）⨯年销售量.已知上年度生产电动小汽车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万/辆，年销售量为10000辆，本年度为打造绿色环保电动小汽车，提高产品档次，计划增加投入成本，若每辆电动小汽车投入成本增加的比例为x （01x <<），则出厂价相应提高的比例为0.75x .同时年销售量增加的比例为0.6x .（1）写出本年度预计的年利润y （万元）与投入成本增加的比例x 的函数关系式；（2）为了使本年度的年利润最大，每辆车投入成本增加的比例应为多少？最大年利润是多少？11．在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,如果物体的初始温度是 ,经过一定时间后,温度 将满足 =,其中 是环境温度, 称为半衰期.现有一杯用195F 热水冲的速溶咖啡,放在75F 的房间内,如果咖啡降到105F 需要20分钟,问降温到95F 需要多少分钟?(F 为华氏温度单位,答案精确到0.1，参考数据: ）12．习总书记在十九大报告中，提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自然和谐共生，加快生态文明体制改革，建设美丽中国”. 目前我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.十九大后，某行业计划从 2018 年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为 (01)x x <<. （1）设n 年后（2018 年记为第 1 年）年产能为 2017 年的a 倍，请用,a n 表示x ; （2）若10%x =，则至少要到哪一年才能使年产能不超过 2017 的 25%？ 参考数据：lg20.301=,lg30.477=.13．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y (单位:万元)随投资收益x (单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即：设奖励方案函数模型为y =f (x )时，则公司对函数模型的基本要求是：当x ∈[25，1600]时，①f (x )是增函数;②f (x ) ≤75恒成立;③()5xf x ≤恒成立． （1）判断函数() 1030x f x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;（2）已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．1．（2016四川文科）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年2．（2015四川文科）某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：C ）满足函数关系ekx by +=（e 2.718=为自然对数的底数，k ，b 为常数）.若该食品在0 C 的保鲜时间是192小时，在22 C的保鲜时间是48小时，则该食品在33 C 的保鲜时间是 A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时3．（2014湖南理科）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A ．2p q + B ．(1)(1)12p q ++- CD14．（2017浙江）已知a ∈R ，函数[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是__________.5．（2019年高考北京文、理数）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．1．【答案】（1）每件衬衫要降价20元；（2）每件衬衫降价15元时每天盈利最多．【解析】设每件衬衫降价x 元，每天获利y 元，则每件盈利(40)x -元，每天销量为(202)+x 件． ∴()(4020)2y x x =-+．（1）由(40)(202)1200-+=x x，得10x =或20x =.因为要尽快减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越多，故每件衬衫应降价20元． 答：每件衬衫要降价20元．（2）22(40)(202)2608002(15)1250y x x x x x =-+=-++=--+，∴当15x =时，max 1250y =元．答：每件衬衫降价15元时每天盈利最多．【名师点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型. 2．【解析】设总量为a ，由题意得： （1）()101%2a a p -=，解得1101%12p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （2）设到今天为止，工厂已经开采了m 天，则()1%4ma p a -=， 即31021122m ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得15m =． （3）设今后最多还能再开采n()11%16np a -≥， 即51021122n⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即5102n ≤，得25n ≤， 故今后最多还能再开采25天．3．【答案】（1）a=50，第15天该商品的销售收入为1575元； （2）当x=5时,该商品日销售收入最大,最大值为2025元.【解析】（1）当x=20时,由()()()()20206020201200f g a =--=, 解得a=50.从而可得()()()()151560155015()1575f g =--=元, 即第15天该商品的销售收入为1575元. （2）由题意可知y=(40)(50-),110,(60-)(50-),1030,x x x x x x +≤≤⎧⎨<≤⎩即y=22102000,110,1103000,1030,x x x x x x -⎧-++≤≤⎨+<≤⎩ 当1≤x ≤10时,()2210200052025y x x x =-++=--+.故当x=5时y 取最大值,2max 510520002025y =-+⨯+=.当10<x ≤30时,2101101030002000y <-⨯+= . 故当x=5时,该商品日销售收入最大,最大值为2025元.【名师点睛】（1）很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型.（2）求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的最值时，应先求每一段上的最值，然后比较得最大值、最小值． 4．【解析】（1）对于函数模型()2150xy f x ==+， 当[10,1000]x ∈时,()f x 为增函数,max 100020()(1000)2291503f x f ==+=+<, 所以 恒成立, 但当 时,,即不恒成立,故函数模型不符合公司要求. （2）对于函数模型103()2x a y g x x -==+,即320()102a g x x +=-+，当 ,即时单调递增,为使 对于 恒成立,即要 ,即,为使对于 恒成立, 即要,即 恒成立, 即 恒成立, 又 ,故只需 ,所以.综上,,故最小的正整数 的值为 .1．【答案】C【解析】根据表中数据，画出图象如下：通过图象可以看出，y =log 2x 能比较近似地反映这些数据的规律． 故选C ． 2．【答案】B【解析】从题表格可以看出，三个变量123,,y y y 都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量1y 的增长速度最快，呈指数函数变化，变量3y 的增长速度最慢，呈对数型函数变化，故选B. 3．【答案】D【解析】设该公司的年收入为a 万元，则280p %+（a ﹣280）（p +2）%=a （p +0.25）%，解得a =280220.25⨯-=320．故选D ． 4．【答案】B【解析】若2018年是第一年，则第n 年科研费为1300 1.12n ⨯，由13001.122000n⨯>，可得lg1.3lg1.12lg2n +>，得0.050.19, 3.8,4n n n ⨯>>≥，即4年后，到2021年科研经费超过2000万元，故选B ． 5．【答案】B【解析】设原物质的质量为单位1，一年后剩余质量为原来的14，两年后变为原来的214⎛⎫ ⎪⎝⎭，依此类推，得到n 年后质量是原来的14n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，只需要1134100nn ⎛⎫≤⇒> ⎪⎝⎭ 故n 取4.故答案为B.【名师点睛】本题主要考查函数模型的选择与应用、增长率的概念、指数函数等基础知识，考查数学建模能力，属于基础题． 6．【答案】B【解析】由题意可得，获得最大利润时的收入是20x 万元，成本是212202x x ++，所以此时的利润为()22211120220182018142142222M x x x x x x ⎛⎫=-++=-+-=--+≤ ⎪⎝⎭，当且仅当18x =时，取最大值. 故选B.【名师点睛】本题主要考查函数的应用，根据题意列出函数的表达式，进而可求出结果，属于基础题型. 7．【答案】3200【解析】设正面铁栅长为x ，两侧墙长为y ，则100xy =, 于是造价为409020z x y xy =++,则4090202020120020003200z x y xy xy xy =++≥==+=，当且仅当4090,100x y xy ==即20153x y ，==时取等号, 故填3200.【名师点睛】本题考查利用基本不等式解决实际问题，主要采用基本不等式求解最小值的方法. 8．【答案】（2），（3）【解析】产品产量、销售量均以直线上升，但表示年产量的直线 斜率大，上升快， 斜率小，上升慢，所以随着 的增加，两者差距加大，出现了供大于求的情况，库存积压越来越严重. 9．【答案】（1）(0)4xy x =>， ；（2）详见解析；（3） 千万元时，公司所获利润最大，最大利润 千万元.【解析】（1）由已知易得生产 芯片的毛收入为(0)4xy x =>； 将 ， 代入，得所以，生产 芯片的毛收入 . （2）由，得 ；由，得 ；由，得 .所以，当投入资金大于 千万元时，生产 芯片的毛收入大； 当投入资金等于 千万元时，生产 、 芯片的毛收入相等；当投入资金小于 千万元时，生产 芯片的毛收入大.（3）公司投入 亿元资金同时生产 ， 两种芯片，设投入 千万元生产 芯片，则投入 千万元资金生产 芯片，公司所获利润，故当 ，即 千万元时，公司所获利润最大，最大利润为 千万元.10．【答案】（1）26002002000y x x =-++（01x <<）；（2）16，60503. 【解析】（1）由题意，得()()()1.210.75111000010.6y x x x ⎡⎤=⨯+-⨯+⨯⨯+⎣⎦（01x <<）， 即26002002000y x x =-++（01x <<）.（2）2216050600200200060063y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭.∴当16x =时，y 取得最大值，为60503， ∴每辆车投入成本增加的比例为16时，本年度的年利润最大，且最大年利润是60503万元.11．【答案】25.9【解析】依题意，可令 ， ， ， ，代入式子得，解得 .又若 ，代入式子得，则. ∴()21221lg30.477110log 10log 610log 3110110125.96lg20.3010t ⎛⎫⎛⎫===+=⨯+=⨯+≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 答：降温到95F 约需要25.9分钟. 12．【答案】（1）1x =（2）2031.【解析】（1）依题意得：()1nx a -=，则1x -=1x =（2）设n 年后年产能不超过2017年的25%，则()110%25%n-≤，即91104n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即91lglg 104n ≤，()2lg312lg2n -≤-，则2lg212lg3n ≥-，30123n ≥， ∵301131423<<，且*n ∈N ， ∴n 的最小值为14.答：至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%. 13．【答案】（1）函数模型()1030xf x =+不符合公司要求，详见解析；（2）[1，2]. 【解析】（1）对于函数模型()1030xf x =+， 当x ∈[25, 1600]时， f (x )是单调递增函数， 则f (x ) ≤f (1600) ≤75，显然恒成立， 若函数()5xf x ≤恒成立，即10305x x +≤，解得x ≥60， ∴()5xf x ≤不恒成立， 综上所述，函数模型()1030xf x =+满足基本要求①②，但是不满足③， 故函数模型()1030xf x =+不符合公司要求． （2）当x ∈[25，1600]时，()5(1)g x a =≥单调递增，∴最大值(1600)540575g a ==-≤，∴2a ≤，设()55x g x =≤恒成立，∴22(5)5x a x ≤+恒成立，即225225x a x ≤++， ∵25225xx +≥，当且仅当x =25时取等号，∴a 2≤2 2 4， ∵a ≥1，∴1≤a ≤2， 故a 的取值范围为[1，2].1．【答案】B【解析】设从2015年开始第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得()11200130112%200, 1.12130n n --⨯+>∴>， 两边取常用对数得200(1)lg1.12lg,130n ->lg 2lg1.30.30.111 3.8,5lg1.120.05n n --∴->==∴≥， 故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B. 2．【答案】C【解析】由题意，得22192e 48e bk b +⎧=⎪⎨=⎪⎩，即11192e 1e 2b k ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 于是当x ＝33时，3311331e(e )e ()1922k b k b y +==⋅=⨯＝24(小时). 3．【答案】D 【解析】设该市这两年生产总值的年平均增长率为(0)x x >,则有()()()2111x p q +=++1x ⇒=,故选D.4．【解析】[][]41,4,4,5x x x∈+∈，分类讨论： ①当5a ≥时， ()442f x a x a a x x x=--+=--， 函数的最大值9245,2a a -=∴=，舍去； ②当4a ≤时， ()445f x x a a x x x =+-+=+≤，此时命题成立； ③当45a <<时， (){}max max 4,5f x a a a a ⎡⎤=-+-+⎣⎦，则：92a =综上可得，实数a 【名师点睛】本题利用基本不等式，由[]1,4x ∈，得[]44,5x x+∈，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①5a ≥；②4a ≤；③45a <<，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．5．【答案】①130；②15【解析】①10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付()608010130+-=元. ②设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，当120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求；当120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8y y x y x -≥≤，因为min158y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以x 的最大值为15. 综上，①130；②15.【名师点睛】本题主要考查函数的最值，不等式的性质及恒成立，数学的应用意识，数学式子变形与运算求解能力.以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.。
(浙江专用)高考数学第二章函数概念与基本初等函数9第9讲函数模型其应用高效演练分层突破
第9讲函数模型及其应用[基础题组练]1．在某种新式资料的研制中，实验人员获取了以下一组实验数据，现准备用以下四个 函数中的一个近似地表示这些数据的规律，此中最凑近的一个是( )x 1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y ＝2x －2B ．y ＝1(x 2－1)2C ．y ＝log2xD ．y ＝log1x2分析：选 B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随 x 的增大而增大得愈来愈快，分析选项可知B 吻合，应选 B.2．某工厂6年来生产某种产品的状况是：前 3年年产量的增添速度愈来愈快，后 3年年产量保持不变，则该厂6年来这类产品的总产量 C 与时间t (年)的函数关系图象正确的选项是()分析：选A.前3年年产量的增添速度愈来愈快，说明呈高速增添，只有A 、C 图象吻合 要求，此后 3年年产量保持不变，应选A.3．一种放射性元素的质量按每年 10%衰减，这类放射性元素的半衰期 (节余质量为最先 质量的一半所需的时间叫作半衰期 )是(精确到0.1，已知 lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)( )A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.3x 年，则(1－ x1x1 分析：选B.设这类放射性元素的半衰期是10%) ＝2，化简得0.9＝2，即11＝lg＝－lg2x ＝log 0.9 2 ＝ －0.3010 ≈6.6(年)．应选B.2 lg0.9 2lg3 －1 2×0.4771－ 14．某单位为鼓舞职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每个月用水不超出10m 3的， 按每立方米m 元收费；用水超出 10m 3的，超出部分加倍收费．某职工某月缴水费 16m 元，则该职工这个月实质用水为()A ．13m 3B ．14m 33 3C ．18mD ．26m分析：选A.设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝ mx （0<x ≤10），10m ＋（x －10）·2m （x >10），则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.5. 已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人拥有资本120万元，他可以在 t 1至 t 4的任意时辰买卖这两种商品，且买卖可以马上成交(其余花费忽视不计 )．如果他在t 4时辰卖出所有商品，那么他将获取的最大收益是 ( )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元分析：选C.甲6元时该商人所有买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t 2时辰全部卖出，此时盈利20×2＝40万元，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t 4时辰所有卖出，此时盈利40×2＝80万元，共盈利40＋80＝120万元，应选C.6. 某地区要建筑一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等要素，设计其横断面要 求面积为93平方米，且高度不低于 3米．记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段与两腰长的和)为 y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超出BC10.5米，则其腰长x 的范围为()A ．[2，4]B ．[3，4]C ．[2，5]D ．[3，5]1x3分析：选B.依据题意知，93＝2(AD ＋BC )h ，此中AD ＝BC ＋2·2＝BC ＋x ，h ＝2x ， 1318x所以93＝2(2BC ＋x )2x ，得BC ＝x －2，h ＝3x ≥3，2由得2≤x <6.18xBC ＝ x －2>0，所以y ＝BC ＋2x ＝ 183xx ＋2(2≤x <6)，由y ＝18x＋3x 2≤10.5，解得 3≤x ≤4.由于[3，4]?[2，6) ，所以腰长x 的范围是[3，4]．7．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的状况．加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2016年5月1日12 350002016年5月15日48 35600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的行程．在这段时间内，该车每100千米均匀耗油量为________升．分析：由于每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的行程为35600－35000＝600(千米)，故每100千米均匀耗油量为48÷6＝8(升)．答案：88．某市出租车收费标准以下：起步价为8元，起步里程为3km(不超出3km 按起步价付费)；超出3km但不超出8km时，超出部分按每千米 2.15元收费；超出8km时，超出部分按每千米 2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附带费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.分析：设出租车行驶x km时，付费y元，9，0＜x≤3，则y＝8＋2.15（x－3）＋1，3＜x≤8，8＋2.15×5＋2.85（x－8）＋1，x＞8，由y＝22.6，解得x＝9.答案：99．里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，此中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为级地震最大振幅的________倍．分析：M＝lg1000－lg0.001＝3－(－3)＝6.________级；9 级地震的最大振幅是5A1 最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg，A0则A1 9＝10 ，A5＝lg2－lg 0＝lg A2 A2 5 A1 4，则＝10，所以＝10.A A A A A0 0 2即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10000倍．答案：61000010．(2020·杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v的平方成正比，且比率系数为k，除燃料费外其余花费为每小时96元．当速度为10海里/小不时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小不时，总花费最小．分析：设每小时的总花费为y元，则y＝kv2＋96，又当v＝10 时，k×102＝6，解得k ＝0.06，210所以每小时的总花费 y ＝0.06 v ＋96，匀速行驶 10海里所用的时间为 v 小时，故总花费10 10 2 960 960960 为W ＝v y ＝v (0.06v ＋96)＝0.6v ＋v ≥2 0.6v ×v ＝48，当且仅当0.6v ＝v ，即v ＝40时等号成立．故总花费最小时轮船的速度为40海里/小时．答案：4011．，B 两城相距 100km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给 ，两城供电，AAB为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于 10km.已知供电花费等于供电距离 (km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每个月 20亿度，B 城供电量为每个月10亿度．(1) 求x 的取值范围；(2) 把月供电总花费y 表示成x 的函数；(3) 核电站建在距 A 城多远，才能使供电总花费 y 最少？解：(1)x 的取值范围为10≤x ≤90.252(2) y ＝5x ＋2(100－x )(10≤x ≤90) ．(3) 由于y ＝5x 2＋ 5 (100－x )2＝ 15x 2－500x ＋25000＝ 15 x － 100250000 ，所以当x＋2 2 23 3＝ 100 ＝ 50000 .故核电站建在距 100 y 最少．3时，y min3 A 城3km 处，能使供电总花费 12. 如图，GH 是一条东西方向的公路，现准备在点B 的正北方向的 点A 处建一库房，设 AB ＝y 千米，并在公路旁边建筑边长为 x 千米的正方形无顶中转站(此中边 EF 在公路 上)．若从点 A 向公路和CDEF GH中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB ＝AC ＋1，且∠ABC ＝60°.(1) 求y 关于x 的函数分析式；(2)假如中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x 取 何值时，修建中转站和道路的总造价M 最低？解：(1)由题意易知x >1，BC ＝2x ， 又AB ＝y ，AC ＝y －1，在△ABC 中，由余弦定理得，(y －1)2＝y 2＋4x 2－2y ·2x ·cos60°，4x 2－1所以y ＝2（x －1）(x >1)．120x 2－30(2)M ＝30(2y －1)＋40x ＝－30＋40x ，此中x >1，x －1设t ＝x －1，则t >0，所以M ＝ 120（t ＋1）2－30t －30＋40(t ＋1)＝160t＋ 90t＋250≥2 160t · 90t＋250＝490，当且仅当3t ＝4时等号成立，此时7 x ＝4.7所以当x ＝4时，修建中转站和道路的总造价M 最低．[综合题组练]1．某食品的保鲜时间 y (单位：小时)与积蓄温度x (单位：℃)满足函数关系 y ＝e kx ＋b(e＝2.718为自然对数的底数， k ，b 为常数)．若该食品在 0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是()A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时分析：选C.由已知得 192＝e b ，①22k ＋b22kb48＝e＝e ·e ，②22k1 11k1将①代入②得e＝，则e＝，42k bkb13当x ＝33时，y ＝e 33＋ ＝e 33 ·e ＝ 2×192＝24，所以该食品在33℃的保鲜时间是24 小时．应选C.2．某类产品按工艺共分10个品位，最低品位产品每件收益为8元．每提升一个品位，每件收益增添 2元．用相同工时，可以生产最低品位产品 60件，每提升一个品位将少生产 3件产品，则每天获取收益最大时生产产品的品位是()A ．7B ．8C ．9D ．10分析：选C.由题意，当生产第 k 品位的产品时，每天可赢收益为 y ＝[8＋2(k －1)][60 － 3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N *)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，所以当k ＝9时，获取收益最大．选C.3．拟订甲、乙两地通话m 分钟的电话费 (单位：元 )由 f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，此中m ＞0，[m ]是不超出 m 的最大整数(如[3] ＝3，[3.7] ＝3，[3.1] ＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．分析：由于m ＝6.5，所以[m ]＝6，则f (m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 答案：4.244．某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售收益(单位：万 元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售收益(单位：万元)为y 2＝2x ，此中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获取的最大收益是________万元．分析：设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，2 2 212212所以可得收益y＝4.1x－0.1x＋2(16－x)＝－0.1x＋2.1x＋32＝－0.1x －×4 2＋0.1＋32.由于x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总收益获得最大值43万元．答案：435．某医药研究所开发的一种新药，假如成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足以以下图的曲线．(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量许多于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．kt ，0≤t≤1，解：(1)由题图，设y＝1 t－a2 ，t＞1，当t＝1时，由y＝4得k＝4，11－a＝4得a＝3.由24t，0≤t≤1，所以y＝1t－32 ，t＞1.t＞1，0≤t≤1，(2)由y≥0.25得4≥0.25 或1t －3t 2 ≥0.25，1≤5.解得≤t16所以服药一次后治疗疾病有效的时间是5－1＝79(小时)．16 166．食品安全问题愈来愈引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民民众的健康带来一定的危害，为了给花费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚最少要投入20万元，此中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，依据过去的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)1满足P＝80＋42a，Q＝4a＋120，设甲大棚的投入为x(单元：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1) 求f (50)的值；(2) 试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益 f (x )最大？解：(1)由题意知甲大棚投入 50万元，则乙大棚投入150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋1×150＋120＝277.5(万元)．411x ≥20，(2) f (x )＝80＋42x ＋4(200－x )＋120＝－4x ＋42x ＋250，依题意得200－x ≥20?20≤ x ≤180，1故f (x )＝－4x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ，则 t ∈[2 5，6 5]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即 所以甲大棚投入x ＝128时，f (x )获得最大值，f (x )max ＝282.128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．。
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[基础达标]1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.15 6.126y 1.517 4.041 8 7.5 12 18.01A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1) C ．y ＝log 2x D ．y ＝log 12x解析：选B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.2．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是( )解析：选A.前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A 、C 图象符合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.3．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.3解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x 年，则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x ＝log 0.912＝lg 12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1＝－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年)．故选B. 4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( )A ．13 m 3B ．14 m 3C ．18 m 3D ．26 m 3解析：选 A.设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx （0<x ≤10），10m ＋（x －10）·2m （x >10）， 则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.5. 已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元解析：选C.甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t 2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40万元，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t 4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80万元，共获利40＋80＝120万元，故选C.6. 某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的范围为( )A ．[2，4]B ．[3，4]C ．[2，5]D ．[3，5]解析：选B.根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ， 所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x 2， 由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x 2>0，得2≤x <6. 所以y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x 2(2≤x <6)，由y ＝18x ＋3x 2≤10.5，解得3≤x ≤4.因为[3，4]⊆[2，6)， 所以腰长x 的范围是[3，4]．7加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)2016年5月1日12 35 000 2016年5月15日48 35 600 注：“在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：88．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎨⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15（x －3）＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85（x －8）＋1，x ＞8，由y ＝22.6，解得x ＝9.答案：99．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A 1，A 2，则9＝lg A 1－lg A 0＝lg A 1A 0，则A 1A 0＝109，5＝lg A 2－lg A 0＝lg A 2A 0，则A 2A 0＝105，所以A 1A 2＝104. 即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．答案：6 10 00010．(2019·杭州八校联考)一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．解析：设每小时的总费用为y 元，则y ＝k v 2＋96，又当v ＝10时，k ×102＝6，解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10v 小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v ≥20.6v ×960v ＝48，当且仅当0.6v ＝960v ，即v ＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．答案：4011．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？解：(1)x 的取值范围为10≤x ≤90.(2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)． (3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003，所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使供电总费用y 最少． 12. 如图，GH 是一条东西方向的公路，现准备在点B 的正北方向的点A 处建一仓库，设AB ＝y 千米，并在公路旁边建造边长为x 千米的正方形无顶中转站CDEF (其中边EF 在公路GH 上)．若从点A 向公路和中转站分别修两条道路AB ，AC ，已知AB ＝AC ＋1，且∠ABC ＝60°.(1)求y 关于x 的函数解析式；(2)如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米，道路的造价为30万元/千米，问x 取何值时，修建中转站和道路的总造价M 最低？解：(1)由题意易知x >1，BC ＝2x ，又AB ＝y ，AC ＝y －1，在△ABC 中，由余弦定理得，(y －1)2＝y 2＋4x 2－2y ·2x ·cos 60°，所以y ＝4x 2－12（x －1）(x >1)． (2)M ＝30(2y －1)＋40x ＝120x 2－30x －1－30＋40x ，其中x >1， 设t ＝x －1，则t >0，所以M ＝120（t ＋1）2－30t －30＋40(t ＋1)＝160t ＋90t ＋250≥2160t ·90t＋250＝490， 当且仅当t ＝34时等号成立，此时x ＝74. 所以当x ＝74时，修建中转站和道路的总造价M 最低． [能力提升]1．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时解析：选C.由已知得192＝e b ，①48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝12， 当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝e 33k ·e b ＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.2．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C.由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获利润为y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N *)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，所以当k ＝9时，获得利润最大．选C.3．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．解析：因为m ＝6.5，所以[m ]＝6，则f (m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.244．某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．解析：设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．答案：435．某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t ＞1， 当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t ＞1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t ＞1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25， 解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)． 6．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单元：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5(万元)． (2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x ≤180， 故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)． 令t ＝x ，则t ∈[25，65]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282， 当t ＝82，即x ＝128时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝282.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元．。