矢量分析 PPT课件
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《矢量分析基础》课件
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# 矢量分析基础 矢量是什么？ - 矢量的定义 - 矢量的表示方法 - 矢量的基本运算
矢量空间
矢量空间的定义 - 矢量空间的性质 - 矢量空间的例子
点积和叉积
- 点积的定义及其性质 - 叉积的定义及其性质 - 点积和叉积的关系
曲线和曲面
- 曲线的定义 - 曲线参数化表示及其性质 - 曲面的定义 - 曲面参数化表示及其性质
曲线积分和曲面积分
- 曲线积分的定义及其性质 - 曲线积分的计算方法 - 曲面积分的定义及其性质 - 曲面积分的计算方法
广义矢量分析
- 广义矢量定义及其性质 - 广义矢量的表示方法 - 广义矢量的运算法则
总结
- 矢量分析的重要性 - 矢量分析的未来发展趋势 - 矢量分析的应用前景
应用实例
- 矢量分析在物理中的应用举例 - 矢量分析在工程中的应用举例
# 矢量分析基础 矢量是什么？ - 矢量的定义 - 矢量的表示方法 - 矢量的基本运算
矢量空间
矢量空间的定义 - 矢量空间的性质 - 矢量空间的例子
点积和叉积
- 点积的定义及其性质 - 叉积的定义及其性质 - 点积和叉积的关系
曲线和曲面
- 曲线的定义 - 曲线参数化表示及其性质 - 曲面的定义 - 曲面参数化表示及其性质
曲线积分和曲面积分
- 曲线积分的定义及其性质 - 曲线积分的计算方法 - 曲面积分的定义及其性质 - 曲面积分的计算方法
广义矢量分析
- 广义矢量定义及其性质 - 广义矢量的表示方法 - 广义矢量的运算法则
总结
- 矢量分析的重要性 - 矢量分析的未来发展趋势 - 矢量分析的应用前景
应用实例
- 矢量分析在物理中的应用举例 - 矢量分析在工程中的应用举例
01 第一章 矢量分析
t t0
⑴极限：设 F (t ) 在点 t 0 的某个邻域内有定义（但在 t 0 点
则称，当 t t0
⑵连续：若矢性函数 F (t )在点 t 0 的某个邻域内有定义，且 lim F t F t0 t t0 则称F (t ) 在 t t0 处连续。
(x)
ui
2
(
2 y 2 ) ( z ) ui ui
4、拉梅系数的几何意义
u i 线上的弧微分
x 2 y 2 z 2 dli ( ) ( ) ( ) dui hi dui ui ui ui
dli hi dui
表明：拉梅系数hi是M点处曲线坐标ui的微分dui与该坐标线ui 上弧微分的比例系数。
r(M )
hi
根据全微分运算法则
r r r dl d r du1 du 2 du3 u1 u2 u3
y 矢量线元
引入拉梅系数,矢量线元表示为
图1－7
dl h1du1e1 h2 du2 e2 h3 du3e3 dl1e1 dl2 e2 dl3 e3
2、拉梅系数
空间任意一点 M (u1 , u 2 , u 3 ) ，矢径
若M点在 u1 线上，则矢径 于是，单位矢量表示为
r e1 u1 r u1
r r (u1 , u 2 , u3 )
r (u1 , u 2 c2 , u3 c3 )
M
F (t )
说明：矢径函数对其矢端曲线弧长的导数为曲线上的单位矢量。
3、积分
⑴不定积分：若 A(t ) F (t ) ，则称 A(t )为 F (t )的一个原函数， F (t ) 的原函数的集合叫做的F (t ) 不定积分，记作 )d t A(t ) C F (t ⑵定积分：若矢性函数 F (t ) 在区间 [T1 , T2 ]上的极限
⑴极限：设 F (t ) 在点 t 0 的某个邻域内有定义（但在 t 0 点
则称，当 t t0
⑵连续：若矢性函数 F (t )在点 t 0 的某个邻域内有定义，且 lim F t F t0 t t0 则称F (t ) 在 t t0 处连续。
(x)
ui
2
(
2 y 2 ) ( z ) ui ui
4、拉梅系数的几何意义
u i 线上的弧微分
x 2 y 2 z 2 dli ( ) ( ) ( ) dui hi dui ui ui ui
dli hi dui
表明：拉梅系数hi是M点处曲线坐标ui的微分dui与该坐标线ui 上弧微分的比例系数。
r(M )
hi
根据全微分运算法则
r r r dl d r du1 du 2 du3 u1 u2 u3
y 矢量线元
引入拉梅系数,矢量线元表示为
图1－7
dl h1du1e1 h2 du2 e2 h3 du3e3 dl1e1 dl2 e2 dl3 e3
2、拉梅系数
空间任意一点 M (u1 , u 2 , u 3 ) ，矢径
若M点在 u1 线上，则矢径 于是，单位矢量表示为
r e1 u1 r u1
r r (u1 , u 2 , u3 )
r (u1 , u 2 c2 , u3 c3 )
M
F (t )
说明：矢径函数对其矢端曲线弧长的导数为曲线上的单位矢量。
3、积分
⑴不定积分：若 A(t ) F (t ) ，则称 A(t )为 F (t )的一个原函数， F (t ) 的原函数的集合叫做的F (t ) 不定积分，记作 )d t A(t ) C F (t ⑵定积分：若矢性函数 F (t ) 在区间 [T1 , T2 ]上的极限
《矢量分析与场论》PPT课件
实验证实麦氏方程组—电磁波的存在 近代俄国的波波夫和意大利的马可尼—电磁波传消息 无线电 当今电信时代——“电”、“光”通信
电磁应用
γ射线
医疗上用γ射线作为“手术刀”来切除肿瘤
x 射线
医疗、飞机安检，X射线用于透视检查
紫外线
医学杀菌、防伪技术、日光灯
可见光
七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）
s r•d S v •Α d V v d V 3 • R 3
1.3.2矢量场的环量及旋度 1、环量的定义
设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线， 定义矢量场A环绕闭合路径l的线 积分为该矢量的 环量，记作
l A dll A cosdl
矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是 描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分 量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入 矢量场旋度的概念。
红外线
在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）
微波
军事雷达、导航、电子对抗 微波炉
无线电波
通信、遥感技术
本章主要内容
1、矢量及其代数运算 2、圆柱坐标系和球坐标系 3、矢量场 4、标量场 5、亥姆霍兹定理
1.1矢量及其代数运算
1.1.1标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为 标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够 完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、 时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、 力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示 成
《矢量分析与场论》PPT 课件
课程体系
电磁理论
电磁基本理论
电磁工程
产生、辐射、
电磁应用
γ射线
医疗上用γ射线作为“手术刀”来切除肿瘤
x 射线
医疗、飞机安检，X射线用于透视检查
紫外线
医学杀菌、防伪技术、日光灯
可见光
七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）
s r•d S v •Α d V v d V 3 • R 3
1.3.2矢量场的环量及旋度 1、环量的定义
设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线， 定义矢量场A环绕闭合路径l的线 积分为该矢量的 环量，记作
l A dll A cosdl
矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是 描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分 量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入 矢量场旋度的概念。
红外线
在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）
微波
军事雷达、导航、电子对抗 微波炉
无线电波
通信、遥感技术
本章主要内容
1、矢量及其代数运算 2、圆柱坐标系和球坐标系 3、矢量场 4、标量场 5、亥姆霍兹定理
1.1矢量及其代数运算
1.1.1标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为 标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够 完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、 时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、 力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示 成
《矢量分析与场论》PPT 课件
课程体系
电磁理论
电磁基本理论
电磁工程
产生、辐射、
《矢量分析》多媒体课件
z
az
ax
ay
M
z=z1平面
ax ay az ay az ax
x x=x1平面
y
y=y1平面
az ax ay
思考：单位坐标矢量ax、ay、az是不是常矢量？？
（常矢量：其方向不随点的位置改变而改变）
直角坐标系
➢ 任意矢量A的表示： A Axax Aya y Azaz
α，β，γ分别为矢量A与坐标轴的夹角，cosα ， cosβ ，cosγ称为矢量的方向余弦
B
AB A B cosA,B
A
•两个矢量的 点积是一个标 量，可正可负
Bcos
A
点积等于矢量A的模与矢量B在矢量A的方向上的投影大小 的乘积，或者说等于矢量B的模和矢量A在矢量B方向上 的投影大小的乘积。
0
A
B
A
B
A B 两矢量垂直的充要条件 A // B
矢量的点积（标量积，标积）
标量场与矢量场
矢量
➢矢量：具有大小和方向的量
➢矢量的表示：A＝aAA (
A
aA
A
)，其中A表示模
或长度，aA表示方向的单位矢量 （大小为1）.
AA
A ＝aAA
aA
aA
A A
A A
矢量的分量表示法
➢ 利用正交坐标系中的坐标单位矢量，可以把矢量分解为：
A Axa x Aya y Aza z
➢标量积的结果是标量，满足交换律和分配律
AB BA
A (B C) A B A C
➢并且有: A A A2 Ax2 Ay2 Az2
点积的计算方法：
矢量分析课件2-56页文档资料
数.
lz l
l x o
l
ly y
cosl x,cosl y,cosl z
x
l
l
l
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
例4 求函数 u x2在y点2z2 处沿M(1,0,1)
li2j2k
方向的方向导数.
解: u x , u y , u z x x 2 y 2 z 2 y x 2 y 2 z 2 z x 2 y 2 z 2
通过点 M(2,的1,1矢)量线方程。
解: 矢量场满足的微分方程为
dxdy dz xz yz (x2y2)
由 dx dy xz yz
y C1x
由
dy yz
dz (x2
y2)
x2y2z2C2
第二章 场论
§1 场
M(2,1,1)
C1
1 2
y C1x x2y2z2C2
C2 6
所以过点 M(2,的1,1矢) 量线方程为:
的l 方向余弦为: co s1,co s2,co s2
3
3
3
则 uuco suco sucos
l x
y
z
u x 1 y 2 z 2 l x 2 y 2 z 23 x 2 y 2 z 23 x 2 y 2 z 23
u 1 l M 2
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
二、梯度 u
u
l2
u l1
uuco suco suco l3 s
l x
y
z
uG l 0G coG s,l (0) l
l 0 co i c so j c so k
G uiu juk
x y z
当 coG ,sl0 ()1,即 l 方向与 G 方向一致.
lz l
l x o
l
ly y
cosl x,cosl y,cosl z
x
l
l
l
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
例4 求函数 u x2在y点2z2 处沿M(1,0,1)
li2j2k
方向的方向导数.
解: u x , u y , u z x x 2 y 2 z 2 y x 2 y 2 z 2 z x 2 y 2 z 2
通过点 M(2,的1,1矢)量线方程。
解: 矢量场满足的微分方程为
dxdy dz xz yz (x2y2)
由 dx dy xz yz
y C1x
由
dy yz
dz (x2
y2)
x2y2z2C2
第二章 场论
§1 场
M(2,1,1)
C1
1 2
y C1x x2y2z2C2
C2 6
所以过点 M(2,的1,1矢) 量线方程为:
的l 方向余弦为: co s1,co s2,co s2
3
3
3
则 uuco suco sucos
l x
y
z
u x 1 y 2 z 2 l x 2 y 2 z 23 x 2 y 2 z 23 x 2 y 2 z 23
u 1 l M 2
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
二、梯度 u
u
l2
u l1
uuco suco suco l3 s
l x
y
z
uG l 0G coG s,l (0) l
l 0 co i c so j c so k
G uiu juk
x y z
当 coG ,sl0 ()1,即 l 方向与 G 方向一致.
第二章矢量分析
则有:
g
式中
ex ey e z grad x y z
( , , ) x y z
梯度(gradient)
哈密顿算子
二. 梯度的物理意义 • 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它 指向函数的增加方向. 例1 三维高度场的梯度 例2 电位场的梯度
体积元
0.1 正交坐标系
1、直角坐标系：x y z • 单位向量： ex，ey，ez • 长度元：dl = exdx + eydy + ezdz • 面积元：dS = exdydz + eydzdx + ezdxdy • 体积元：dV = dxdydz
单位矢量
e
e
ez
任意矢量A在直角坐标系下的表达式
• 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。
四、斯托克斯(Stockes)定理
A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。
因此，其面积分后，环量为
l A dli ( A) dSi
i
l A dl ( A ) dS
S
Stocke’s定理
• 矢量函数的线积分与面积分的互换。 • 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系
• A= 0 (负源)
在矢量场中，若• A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场
中处处• A=0，称之为无源场。
四、高斯公式(散度定理)
divA lim
v 0
1 v
A dS
S
第1章矢量分析
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
其中：dl ,dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：dlx dxaˆx
dly dyaˆy
面元： dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
k 0 方向不变，大小为|k|倍
kA k | A | aˆ
k
0
k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
定义： A BC | A|| B || C | sin cos
含义： 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A (BC) C (A B) B (C A)
第一章矢量分析
r u ( x, y , z , t ) 、 F ( x , y , z , t )
r u ( x, y, z )、 F ( x, y, z )
第一章 矢量分析
1.1.1 标量场的等值面
标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。 即若标量函数为 u u( x, y, z) ，则等值面方程为：
第一章 矢量分析
第一章
主 要
矢量分析
内 容
梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度
2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理
6. 矢量场的惟一性定理
7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
第一章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
空间中存在任意曲面S，则定义：
v v S A(r ) dS
为矢量 A(r ) 沿有向曲面 S 的通量。
矢量场的通量
第一章 矢量分析
若S 为闭合曲面
s
v v v Ñ A ( r ) dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。 说明：1) 面元矢量 dS 定义：面积很小的有向曲面。
s
第一章 矢量分析
通过闭合面S的通量的物理意义：
0
0
若 0 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发 出矢量线的正源； 若 0 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源； 若 0 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无 源，或正源负源代数和为0。 局限：只能判断闭合曲面中源的正负特性，不能显示源的特 性。如果令包围某点的闭合面无限收缩，那么该点就可以通量 可以表示源的特性。
第1章 矢量分析
体积元
dV dxdydz
z
z
z0
（ 平面） ez
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z dSz ezdxdy
dz
dSy eydxdz
o
dy
dx dSx exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
第一章 矢量分析
A Axex Ayey Azez
sin cos
0
0 ex
0
e y
1 ez
ex cos
ey
sin
ez 0
sin cos
0
0 e
0
e
1 ez
第一章 矢量分析
2、直角坐标系与球坐标系的关系
er ex sin cos ey sin sin ez cos e cos cos ex cos sin ey sin ez e ex sin ey cos
坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量
x, y, z,( x, y, z )
ex , ey , ez
r ex x ey y ez z
dl
exdx
ey
dy
ezdz
dSx exdlydlz exdydz
dSy eydlxdlz eydxdz
dSz ezdlxdly ezdxdy
A B AxBx Ay By Az Bz
ex ey ez
A B Ax Ay Az Bx By Bz
ex
Ay By
Az Bz
ey
Ax Bx
第一章 矢量分析
第1章 矢量分析
1
第1章 矢量分析
2
本章内容
1.1 三种常用的坐标系
1.2
1.3 1.4 1.5
矢量函数的微积分
标量函数的梯度 矢量函数的散度 矢量函数的旋度
第1章 矢量分析
3
1.1 三种常用的坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角
第1章 矢量分析 2. 矢量场的通量 问题：如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 通量的概念
20
F ( x, y , z )
n
S
0
d F dS F n 0dS
S
dS
面积元矢量
其中： dS n 0dS ——面积元矢量； 0 ——面积元的法向单位矢量；
sin
ey
sin cos
ez
0
sin cos 0
ex sin cos
sin
0
e
ez 0 0 1 ez cos sin 0
e
ey
e
ex
圆柱坐标与 球坐标系
e
er
e
e
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
d S y e y d l x d l z e y d xd z
d d xd yd z
z
dz
dS z ez dxdy
dS y ey dxdz
d S z e z d l x d l y e z d xd y
体积元
1
第1章 矢量分析
2
本章内容
1.1 三种常用的坐标系
1.2
1.3 1.4 1.5
矢量函数的微积分
标量函数的梯度 矢量函数的散度 矢量函数的旋度
第1章 矢量分析
3
1.1 三种常用的坐标系
三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来 确定。 在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角
第1章 矢量分析 2. 矢量场的通量 问题：如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。 通量的概念
20
F ( x, y , z )
n
S
0
d F dS F n 0dS
S
dS
面积元矢量
其中： dS n 0dS ——面积元矢量； 0 ——面积元的法向单位矢量；
sin
ey
sin cos
ez
0
sin cos 0
ex sin cos
sin
0
e
ez 0 0 1 ez cos sin 0
e
ey
e
ex
圆柱坐标与 球坐标系
e
er
e
e
o
单位圆
x
直角坐标系与柱坐标系之间 坐标单位矢量的关系
d S y e y d l x d l z e y d xd z
d d xd yd z
z
dz
dS z ez dxdy
dS y ey dxdz
d S z e z d l x d l y e z d xd y
体积元
矢量分析与场论讲义PPT
dx dy dz Ax Ay Az
例2 求矢量场 A xzi yz j ( x2 y2 )k 通过点M(2, 1,1)
的矢量线方程。
在场矢量 A 不为零的条件下，由线性微分方程组的
理论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场 中每一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的 点的两条矢量线没有公共点。
2. 矢量线连续分布，一般互不相交。
A (r )
M
l
r dr
• 矢量线的微分方程： •O
M点位置 r xi yj zk
矢量线l 微分 dl dr dxi dyj dzk
场矢量
A Ax i Ay j Azk
矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的 dx, dy, dz 成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程
A dl rot A dS A dS
l
S
S
8
小结
矢量场
1、散度（流出的量）
发散源
➢ 通量即该矢量(的垂直平面分量)穿过平面的大小
➢ 一般点的散度为0 ，散度不为0的点表示该点有提供源 (source)
➢ 散度是标量，物理意义为通量源密度，可以从Gauss公 式理解
➢ 散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有 源场（有正源或负源）
沿任意闭合回路的环量为零（即l A dl＝0）
则称A为V内的保守场。 若A可表示为A＝u，则称A为V内的有势场。
（1）若V为线单连通（区域），有势场 无旋场 （2）有势场 保守场
无旋场 保守场 有势场 A d l 0 l
②方向为环量面密度最大的方向；模为最大环量面密 度的值
⑵ 旋度的定义 定义：固定矢量R为矢量A的旋度，记作 ：rot A=R
例2 求矢量场 A xzi yz j ( x2 y2 )k 通过点M(2, 1,1)
的矢量线方程。
在场矢量 A 不为零的条件下，由线性微分方程组的
理论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场 中每一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的 点的两条矢量线没有公共点。
2. 矢量线连续分布，一般互不相交。
A (r )
M
l
r dr
• 矢量线的微分方程： •O
M点位置 r xi yj zk
矢量线l 微分 dl dr dxi dyj dzk
场矢量
A Ax i Ay j Azk
矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的 dx, dy, dz 成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程
A dl rot A dS A dS
l
S
S
8
小结
矢量场
1、散度（流出的量）
发散源
➢ 通量即该矢量(的垂直平面分量)穿过平面的大小
➢ 一般点的散度为0 ，散度不为0的点表示该点有提供源 (source)
➢ 散度是标量，物理意义为通量源密度，可以从Gauss公 式理解
➢ 散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有 源场（有正源或负源）
沿任意闭合回路的环量为零（即l A dl＝0）
则称A为V内的保守场。 若A可表示为A＝u，则称A为V内的有势场。
（1）若V为线单连通（区域），有势场 无旋场 （2）有势场 保守场
无旋场 保守场 有势场 A d l 0 l
②方向为环量面密度最大的方向；模为最大环量面密 度的值
⑵ 旋度的定义 定义：固定矢量R为矢量A的旋度，记作 ：rot A=R
矢量分析-PPT
0
2 2 2 2
x2 y2 z2
1 .4 .2 格林定理
将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度 ψ与另一标 量函数 φ的乘积, 则有
A ( ) 2
取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得
(2 )dv
V
s( ) nˆds
s
n
ds
(1 -49)
式中S是包围体积V的封闭面, nˆ 是封闭面S的外法线方向单位矢
量。此式对于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数φ和ψ都 成立, 称为格林( G .Green)第一定理。
divA A
A
xˆ
x
yˆ
y
zˆ
z
(xˆAx
yˆAy
zˆAz
)
Ax Ay Az x y z
利用哈密顿算子, 读者可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A B) A B
(A) A A
1 .2 .3 散度定理
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总 通量, 即
ds nˆds
nˆ 是面元的法线方向单位矢量。nˆ 的取法(指向)有两种情形: 对
开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选
定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 nˆ 的方 向, 如图1 -4所示; 对封闭曲面上的面元, nˆ 取为封闭面的外法线方
向。
图 1 -4 开曲面上的面元
为A , B崐所在平面的右手法向 n:ˆ
A B nˆAB sin aAB
它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
并有
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
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矢量A 与B 的叉积
A
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（5）矢量的混合运算 —— 分配律 ( A B) C A C B C ( A B) C A C B C —— 分配律 A ( B C ) B (C A) C ( A B) —— 标量三重积 A ( B C ) ( A C ) B ( A B)C —— 矢量三重积
1
2
本章内容
1.1 矢量代数
1.2 三种常用的正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
3
1.1 矢量代数
1. 标量和矢量 标量：一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。
z
dz
dSz dxdy
dS y dxdz
dS y dxdz
dS z dxdy
x
o
dx d y dSx dydz
y
体积元
dV dxdydz
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
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矢量在直角坐标系中表达及运算
A ex Ax ey Ay ez Az A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz ) A B Ax Bx Ay By Az Bz
邻边的平行四边形的对角线,如图所示。
B
A B
A
矢量的加法
在直角坐标系中两矢量的加法和减法： A B ex ( Ax Bx ) ey ( Ay By ) ez ( Az Bz )
Hale Waihona Puke 矢量的加减符合交换律和结合律
交换律 A B B A 结合律 A ( B C ) ( A B) C
写成行列式形式为 ex e y A B Ax Ay
ez Az Bz
A B
负交换率 A B B A 若 A B ，则 A B AB
若 A // B ，则 A B 0
Bx
By
B
AB sin
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示 A 矢量的单位矢量： e A A A A A 矢量的大小或模： A eA A eA A 矢量的代数表示：
常矢量：大小和方向均不变的矢量。 注意：单位矢量不一定是常矢量
矢量的几何表示
自由矢量
4
矢量用坐标分量表示 模的计算 单位矢量
B B
A B
矢量的减法
A
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（2）标量乘矢量 kA ex kAx ey kAy ez kAz
（3）矢量的标积（点积）
A B AB cos Ax Bx Ay By Az Bz 矢量 A与 B 的夹角 A B B A ——矢量的标积符合交换律 A B 0 A // B A B AB AB
A ex Ax ey Ay ez Az
A A Ax 2 Ay 2 Az 2
Ay Ax Az A eA ex ey ez | A| | A| | A| | A|
z
Az
Ax O
x
A
Ay
y
ex cos ey cos ez cos
r 的方向余弦
r ex x ey y ez z
z
cos x r cos y r cos z r
o e x z ez x
x
r r x2 y 2 z 2
位矢
6
2. 矢量的代数运算 （1）矢量的加减法
两矢量的加减在几何上是以这两矢量为
10
1.2 三种常用的正交曲线坐标系
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为
正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称
为坐标变量。 三维坐标系中一个坐标的等值曲面，称为该坐标的坐标曲面； 三维坐标系中两个坐标曲面的交集即为坐标曲线；三个坐标曲面 的交点确定三维空间点的坐标。
B
A
ex e y e y ez ez ex 0 ex ex e y e y ez ez 1
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（4）矢量的矢积（叉积）
A B en AB sin
用坐标分量表示为 A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
方向角与方向余弦
, ,
Ay Ax Az cos , cos , cos | A| | A| | A|
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位置矢量(矢径)
起点在坐标原点，终点在点 M的矢量 OM 为点M的位置矢量, 简称位矢： r 。
直角坐标的表达式：
y
y e y
r
*M
位矢 r 的大小(模)为
P
ey
点 P(x0,y0,z0)
y y y0（平面）
x x0 ; y y0 ; z z0
位置矢量
线元矢量 面积元
r ex x e y y ez z
dr ex dx ey dy ez dz
dS x dydz
x
x x0 （平面）
直角坐标系
在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角
坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
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1. 直角坐标系
z z z0 （平面 ）
坐标单位矢量 ex , e y , ez
坐标曲面
坐标变量
x, y, z
坐标曲线上xyz增大方向 两两正交，满足右手螺 旋法则 均为常矢量
o
ez
ex