高等数学教学课件6.3

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高等数学§6.3.4幂级数

故原幂级数的收敛半径为 R 2 。
当 x 2 ，原级数化为 n 1 2 n n ( 2 ) 2 n n 1 n ，发散；当 x 2 ，原级数化为 n 1 2 n n ( 2 ) 2 n n 1 n ，发散。
故收敛域为 ( 2 , 2 ) 。
n a n n l n 1 n ) (
∴ 收敛半径 R 1 1 。
当 t 1 时，新级数成为 ( 1 ) n ， n 2 l n n
∵ 1 1 ， li 1 m 0 ， ∴ ( 1 ) n 收敛。
ln n ln n 1 )n ( ln nn 2 ln n
n0
点 x1适x合 1x0使幂级数收敛，则由（ 1）中的结论，
幂级数在点 x0 应收敛，这与所设矛只要幂级数 a n x n在点 x 0 0
n 0
处收敛，则幂级数在以原点为中心， x 0为半径的
2
dt
arctan
x,。x[1,1]
例 3 ．在区间 ( 1 ,1 ) 内求幂级数 x n 的和函数。
n 0 n 1
解：设 S ( x ) x n ， x ( 1 , 1 ) ，且 S ( 0 ) 1 。 n 0 n 1 x ( x ) x n 1 ， S n 0 n 1 [ x ( x ) ] ( x n S 1 ) x n 1 ， n 0 n 1 n 0 1 x x ( x ) 0 x 1 1 S t d l 1 x ) n t ， (
即 1 t 1 ，从而 1 x 1 1 ， 0 x 2 ，

高等数学(同济第六版)课件第六章 6.3定积分物理应用

第三节定积分在物理学上的应用
一、变力沿直线所作的功
F a x
F
x+dx b
常力 F 沿直线对物体所作的功为：W=F · S 若力是变力： F F ( x )
dW F ( x )dx
W F ( x )dx
a
b
例1 一个带 +q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处, 产生一个电场．若将一个单位正电荷从r 轴上r = a 处沿 r 轴移动到 r = b处，求场力 F 所作的功．解取r为积分变量，
20 x 20 x dW2 (10 0.05)dx (10 )dx 4 80
x
功元素
1 20 x dW [ x (10 )]dx 10 80
20
功
W
0
1 20 x [ x (10 )]dx 10 80
＝217.5(千克米) ＝2131.5(焦耳)
l l 解取y为积分变量 y [ , ], 2 2 取任一小区间[ y , y+dy ] 小段的质量为 dy ,
小段与质点的距离为 r a y ,
2 2
m dx 引力 dF k 2 , 2 a y amdy dFx k 2 , 2 (a y )
3 2
l y 2 y dy
解建立坐标系如图
面积元素 2(a x )dx ,
dP ( x 2a ) 2(a x )dx
2a
o
a
2a
7 3 P 2( x 2a )(a x )dx a . 0 3
a
x
三、引力
质量分别为m1, m2相距为 r 的两个质点间的引力大小：F k m1m2 , 其中k为引力系数， r2 引力的方向沿着两质点的连线方向．例6 有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点M，计算该棒对质点 M 的引力．

高等数学牛顿—莱布尼茨公式

3
22
例4. 计算例5. 计算
例6. 计算正弦曲线的面积 .
y y sin x
o
x
例见书
内容小结
1. 微积分基本公式
设 f (x) C[a,b], 且 F(x) f (x), 则有
b
a f (x) d x f ( )(b a) F( )(b a) F(b) F(a)
积分中值定理
6.3 牛顿——莱布尼茨公式
1 . 变上限的定积分 2. 牛顿——莱布尼茨公式公式
1. 变上限的定积分
x
f (t )dt
如果 x 是区间 [a, b]上任意一点，定积分 a
x
a f (t )dt
表示曲线 y = f (x) 在部分区间 [a, x] 上曲边梯形AaxC 的面积，
如图中阴影部当分x 在所区示间 [a的, b]面上变积化时. ,
a
a
“Newton—Leibniz公式”
例 3 计算下列定积分.
(1)
1 0
1
1 x
2
dx;
(2) 3 sin x dx. 0
解
(1)
1 0
1
1
1 0
arctan1 arctan0 ; 4
(2) 3 sin x dx cos x 3
0
0
cos ( cos 0) 1 1 1
F(x) 是 f (x) 在区间 [a, b] 上任一原函数，
那么
b
a f ( x)dx F (b) F (a).
为了今后使用该公式方便起见，把上式右端的
F (b) F (a) 记作 F ( x) b , 这样上面公式就写成如下形式： a

《高等数学》第6章3 幂级数

请双面打印/复印(节约纸张)高等数学主讲: 张小向第六章无穷级数第一节数项级数第二节反常积分判敛法第三节幂级数第四节傅里叶级数第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数§6.3 幂级数一. 函数项级数的基本概念 u1(x), u2(x), …, un(x), … ——定义在数集 A上的函数序列 Σ u (x) = u1(x) + u2(x) + …+ un(x) + … n=1 n ——定义在数集 A上的函数项级数 un(x) —— 通项 Sn(x) = k=1uk(x) —— 部分和 Σn ∞n=1 nΣ u (x) = u1(x) + u2(x) + …+ un(x) + …∞∞——定义在数集 A上的函数项级数收敛(发散)点x0∈D: n=1un(x0) 收敛(发散) Σ Σ 收敛(发散)域: n=1un(x) 的收敛(发散)点的全体和函数 S(x) = n=1un(x) Σ 其定义域为 n=1un(x) 的收敛域 Σ 余项 Rn(x) = S(x) − Sn(x) = k=n+1uk(x) Σ∞ ∞ ∞ ∞第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例1. 几何级数 n=1xn−1 = 1 + x + x2 +…+ xn +… Σ 是定义在实数集∞ ∞∞例1. 几何级数n=1 xn−1 的收敛域为(−1, 1). Σ 当 x ∈ (−1, 1)时, Sn(x) = 1− xn , 1− x∞上的函数项级数.当|x| < 1时, n=1|xn−1| 收敛, Σ 故 n=1xn−1 (绝对)收敛. Σ 当|x| ≥ 1时, lim n→∞ 综上所述,n=1 ∞ ∞xn−1≠ 0, 故 n=1 Σxn−1发散.∞lim xn = 0, n→∞ lim Sn(x) = n→∞ 所以 n=1xn−1 = Σ 1 . 1− xΣ xn−1 的收敛域为 (−1, 1).1 , x ∈ (−1, 1). 1− x272365083@1请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例2. x + (x2 − x) + (x3 − x2) + … + (xn − xn−1) + … 是定义在实数集上的函数项级数. Sn(x) = xn,例3. 求下列级数的收敛域. ∞ xn (1) n=1 . Σ n! 解: 因为∀x ∈ lim n→∞ 所以 n=1 Σ∞, xn = lim |x| = 0. n! n→∞ n+1lim 当|x| < 1时, lim Sn(x) = n→∞ xn = 0, n→∞ lim 当 x = 1时, lim Sn(x) = n→∞ 1 = 1, n→∞ 当 x < −1 或 x > 1时, lim Sn(x)不存在. n→∞ 综上所述, 该级数的收敛域为(−1, 1], 0, x ∈ (−1, 1); 且和函数 S(x) = 1, x = 1.xn+1 (n+1)!∞ xn xn Σ 收敛, 因而 n=1 收敛. n! n! n ∞ x 可见 n=1 的收敛域为 . Σ n!第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数. n2 n |x| lim lim 解: n→∞ n x 2 = n→∞ n = |x|. n √n2 ∞ xn ∞ xn Σ 当|x| < 1时, n=1 2 收敛, 因而 n=1 2 收敛; Σ n n n ∞ xn lim 当|x| > 1时, n→∞ x 2 ≠ 0, 因而 n=1 2 发散. Σ n n ∞ xn ∞ 1 当|x| = 1 时, n=1 2 = n=1 2 收敛, 因而… Σ Σ n n ∞ xn 可见 n=1 2 的收敛域为[−1, 1]. Σ n(2) n=1 Σ∞xn(3)∞ (x−1)n Σ n n=1 2 n=x−1 + 2 +… 2 ⋅2 2|x−1| (x−1)n = lim n|x−1| nn n→∞ 2(n+1) 2 . 2(x−1)2n+1 lim n+1 解: n→∞ (x−1)2(n+1)∞ (x−1)n |x−1| 当 2 < 1 时, n=1 2nn 绝对收敛; Σ ∞ (x−1)n |x−1| 当 2 > 1 时, n=1 2nn 发散. Σ ∞ (x−1)n ∞ (−1)n 当 x = −1 时, n=1 2nn = n=1 n 收敛. Σ Σ当 x = 3 时, n=1 2nn = n=1 − 发散. Σ Σ n∞(x−1)n∞1第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数n+1 lim n+1 解: n→∞ (x−1)2(n+1)∞(x−1)n |x−1| 2 nn = 2 .(x−1)n (x−1)n(4) n=1 n Σ 解: lim n→∞∞ (−1)n1 n . 1+x当 2|x−1| |x−1|< 1 时, n=1 2nn Σ∞绝对收敛;un+1(x) 1 1 lim n un(x) = n→∞ n + 1 |1 + x| = |1 + x| .当 2> 1 时, n=1 2nn 发散. Σ∞当 |1+x| > 1 时, 该级数绝对收敛; 当 |1+x| < 1 时, 该级数发散. 收敛. 当 x = 0 时, n=1 n Σ∞ ∞当 x = −1 时, n=1 2nn = n=1 n Σ Σ∞(x−1)n∞(−1)n(−1)n∞ (−1)n 1 n = n=1 n 收敛. Σ 1+x ∞ 1 1 n = n=1 − 发散. Σ n 1+x当 x = 3 时, n=1 2nn = n=1 − 发散. Σ Σ n 可见 n=1 2nn 的收敛域为[−1, 3). Σ∞(x−1)n∞1当 x = −2 时, Σ n n=1(−1)n(x−1)n可见该级数的收敛域为(−∞, −2) ∪ [0, +∞).272365083@2请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数二. 函数项级数的一致收敛性y 1S1(x), S2(x), …, Sn(x), … ——定义在数集 A上的函数序列 S(x) ——定义在数集 A上的函数若∀ε > 0, ∃N∈ , 当 n > N 时, |Sn(x) − S(x)| < ε (∀x ∈ A), 则称{Sn(x)}在A上一致收敛于S(x). 若 n=1un(x) 的部分和序列 {Sn(x)} 在数集 A上 Σ 一致收敛, 则称该级数在A上一致收敛.∞lim xn = 0 (0 < x <1) n→∞∀ε > 0, ∃N∈ , s.t. n > N ⇒ |xn−0| < ε y=x y = x2 y = x3 y = x4 y = x5 y = x6εO x1 x2 x3 x4 x5 1 x…第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例4. 设0 < a < 1, 证明级数x + (x2 − x) + (x3 − x2) + … + (xn − xn−1) + …例5. 证明级数x + (x2 − x) + (x3 − x2) + … + (xn − xn−1) + …在[0, a]上一致收敛. 证明: 该级数的部分和为 Sn(x) = 在[0, a]上的和为 S(x) ≡ 0. xn, ,在(0, 1)上不一致收敛. 证明: 该级数的部分和为 Sn(x) = xn, 在(0, 1)上的和为 S(x) ≡ 0.N+1 取ε = 1/2, ∀N ∈ , ∃x = ______ ∈ (0, 1), 3/4 虽然 n = N + 1 > N, 但是 |xn − 0| = xn = 3/4 > ε ,max{[logaε ]+1, 1} 对∀ε > 0, ∃N = ________________∈当 n > N 时, |xn − 0| = xn ≤ an < aN ≤ ε (∀x ∈ [0, a]), 可见Sn(x)在[0, a]上一致收敛于S(x).可见Sn(x)在(0, 1)上不一致收敛.第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数定理1 (Cauchy一致收敛准则). Σ u (x)在A上一致收敛 n=1 n ⇔ ∀ε > 0, ∃N∈n+p k=n+1 k ∞定理2 (Weierstrass判别法, M判别法). 设函数项级数 n=1un(x) (x ∈ A) 与正项级数 Σ ,有n=1 n ∞, 当 n > N时, ∀p∈Σ a 满足下列条件+;∞∞Σ u (x) = |Sn+p(x) − Sn(x)| < ε (∀x ∈ A). ⇓ Weierstrass判别法维尔斯特拉斯 [德]1815~1897(1) |un(x)| ≤ an , ∀x∈A, ∀n∈ (2) n=1an 收敛, Σ 则 n=1un(x)在A上一致收敛. Σn=1 n ∞乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911Σ u (x)的优级数∞272365083@3请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数证明: ∀ε > 0, ∃N∈n+p, 当 n > N时, ∀p∈,有例6. 设0 < a < b, 证明级数n=1 (1+|x|)nΣ u (x) = |Sn+p(x) − Sn(x)| k=n+1 k = |un+1(x) + un+2(x) + … + un+p(x)| ≤ |un+1(x)| + |un+2(x)| + … + |un+p(x)| ≤ an+1 + an+2 + … + an+p < ε (∀x ∈ A). Σ 由Cauchy一致收敛准则可知 n=1 un(x)在 A上一致收敛.∞Σ∞x在A = {x ∈x| a ≤ |x| ≤ b}上一致收敛.|x| b证明: (1+|x|)n = (1+|x|)n ≤ (1+a)n 对于 ∀n∈+以及 ∀x∈A都成立.∞又因为正项级数 n=1 (1+a)n 收敛, Σ 由Weierstrass判别法可知 n=1 (1+|x|)n Σ 在A = {x ∈ | a ≤ |x| ≤ b}上一致收敛.∞bx第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数三. 一致收敛级数的性质回忆定理3. (1) un(x)在[a, b]上连续(∀n∈∞ ∞+)例2中的级数(2) n=1un(x) 在 [a, b]上一致收敛 Σ (3) n=1un(x) = S(x) Σ S(x)在[a, b]上连续.⇒x + (x2 − x) + (x3 − x2) + … + (xn − xn−1) + …的收敛域为(−1, 1], 其和函数 0, x ∈ (−1, 1); S(x) = 1, x = 1. S(x)在(−1, 1]上不连续, 尽管该级数中的每一项在(−1, 1]上都连续. 由例5可知该级数在(−1, 1]上不一致收敛.第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数定理4 (逐项积分). (1) un(x)在[a, b]上连续(∀n∈ 条件∞ ∞例7. 设S(x) = n=1 Σ+)∞π cosnx , 求 ∫ 0 S(x)dx. n2(2) n=1un(x) 在 [a, b]上一致收敛 Σ (3) n=1un(x) = S(x) Σ ① S(x)在[a, b]上可积; ② ∀x0, x∈[a, b], Σ ∫ x0 S(t)dt = n=1 (∫ x0 un(t)dt).x ∞ x⇒解:结论cosnx 1 ≤ 2 (∀x∈[0, π], ∀n∈ +) n2 n ⇒ ∞ 1 Σ 2 收敛 n=1 n ∞ cosnx 在 [0, π] 上一致收敛 Σ n=1 n2 ⇒ cosnx ∈ C[0, π] (∀n∈ +) n2 ∞ π π cosnx ∫ 0 S(x)dx = n=1 ∫ 0 n2 dx Σ ∞ π sinnx = n=1 ∫ 0 n3 dx = 0. Σ272365083@4请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数定理5 (逐项求导).1 (1) un(x) ∈ C[a, b] (∀n∈+)条件(2) n=1un(x) 在[a, b]上收敛于S(x) ⇒ Σ (3) n=1un(x) 在[a, b]上一致收敛 Σ ′1 ① S(x) ∈ C[a, b] ;∞∞结论② S′(x) = n=1un(x). Σ ′∞sinnx 1 例8. un(x) = n3 ∈ C(−∞, +∞) (∀n∈ +) sinnx 1 ≤ n3 ∞ sinnx n3 ⇒ n=1 3 (绝对)收敛 Σ n ⇒ ∞ 1 收敛 Σ n=1 n3 sinnx ′ 1 ≤ n2 ∞ sinnx ′ n3 ⇒ n=1 n3 一致收敛 Σ ∞ 1 收敛 Σ n=1 n2 ∞ sinnx 1 Σ n3 的和函数 S(x) ∈ C(−∞, +∞) , n=1 ∞ cosnx ∞ sinnx ′ = n=1 2 . Σ 而且S′(x) = n=1 n3 Σ n第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数四. 幂级数的概念与性质 1. 幂级数的概念 Σ a (x − x0∞2. 幂级数的收敛性 lim 设 n=0anx0n 收敛, 则 n→∞ anx0n = 0, Σ 故 ∃M > 0, s.t. ∀n∈ |anx0n| < M. , x0•∞x − x0的幂级数 )nn=0 nO x • •= a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + … 其中 x0, an ∈ (n = 0, 1, 2, …) x0 = 0时, 对应的形式为 Σ a xn = a0 + a1x + a2x2 + … n=0 n∞若 |x| < |x0|, 令q = |x/x0|, 则 q < 1, |cnxn| = |cnx0n|⋅qn < M⋅qn. Σ 而 n=0M⋅qn 收敛, 所以 n=0|cnxn| 收敛. Σ∞ ∞ ∞xΣ 故对所有满足|x| < |x0|的x, n=0 cnxn 绝对收敛.第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数定理6 (Abel定理). (1) 若n=0 anxn 在x = x0 ≠ 0 处收敛, Σ 则对所有满足|x| < |x0|的x, Σ c xn n=0 n (2)∞ ∞ ∞定理7. 若存在非零实数x1, x2使幂级数n=0 anxn Σ 在x1处收敛, 在x2处发散, 则存在R > 0, 使得 (1) 当|x| < R 时, n=0anxn 绝对收敛; Σ (2) 当|x| > R 时, n=0anxn 发散. Σ −R 收敛半径 x1 R x2 O • • • x (−R, R) ——收敛区间∞ ∞∞绝对收敛. 在x = x0 ≠ 0 处发散,阿贝尔[挪威] 1802~1829 顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911若n=0 anxn Σ∞则对所有满足|x| > |x0|的x,n=0 nΣ c xn 发散.272365083@5请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数注: 若 n=0 anxn 仅在 x = 0处收敛, Σ 则规定 n=0anxn 的收敛半径 R = 0; Σ 若 n=0anxn 在整个实数轴上收敛, Σ 则规定 n=1anxn 的收敛半径 R = +∞. Σ∞ ∞ ∞∞定理8. 若幂级数 n=0anxn 中an ≠ 0 (∀n∈ Σan n→∞∞), 且n+1 lim a = ρ 或 lim √|an| = ρ. n→∞ n则该幂级数的收敛半径 +∞, R = 1/ρ, 0, 当ρ = 0时; 当0 < ρ < +∞时; 当ρ = +∞时.an+1 注: 教材上证明了 lim a = ρ 的情形, n→∞ nlim 这里证明 n→∞ √|an| = ρ 的情形.n第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数lim 证明: (1) 若 n→∞ √|an| = ρ = 0, 则∀x ∈n n→∞ ∞,有(2) 若0 < ρ < +∞, 则∀x ∈n n→∞,有lim √|anxn| = ρ |x| = 0,∞nlim √|anxn| = ρ |x|.故n=0 |anxn| 收敛, 因而 n=0anxn 收敛. Σ Σ 可见, 此时R = +∞. (2) 若0 < ρ < +∞, 则∀x ∈n n→∞由正项级数的根值判别法知: ∞ ∞ Σ Σ |x| < 1/ρ 时 n=0 |anxn| 收敛, 因而 n=0anxn 收敛; Σ |x| > 1/ρ 时, lim anxn ≠ 0, 因而 n=0anxn 发散. n→∞ 可见, 此时R = 1/ρ . (3) 若ρ = +∞, 则∀x ≠ 0, lim √|anxn| = +∞. n→∞n ∞ ∞,有lim √|anxn| = ρ |x|.由正项级数的根值判别法知: ∞ Σ |x| < 1/ρ 时 n=0 |anxn| 收敛,Σ 因而 lim anxn ≠ 0, 故 n=0anxn 发散. 可见, … n→∞第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例9. (1) n=1 n! 的收敛半径为_________. Σ +∞an+1 1 ρ = lim a = lim 1 n→∞ n→∞ (n+1)! n! n∞xn例9. (3) n=1 2nn 的收敛半径为_________. Σ 21 n+1 ρ = lim a = lim n+1 1 (n+1) 2nn n→∞ n→∞ 2 n a∞(x−1)n= limn→∞ ∞1 = 0. n+1= limn→∞n 1 =−. 2(n+1) 2(2) n=1 n2 的收敛半径为_________. Σ 1an+1 n lim ρ = lim a = n→∞ (n+1)2 = 1. n→∞ n2xn注① 幂级数在收敛区间端点的收敛性要看具体情况. 如例9(3), 收敛区间为(−1, 3). 在收敛区间的端点处,∞Σ n=1 2nn∞(x−1)n=条件收敛 (−1)n , x = −1; Σ n=1 n 可见, … ∞ 1 Σ −, x = 3, 发散 n=1 n272365083@6请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数注② 缺项幂级数不满足定理8中的“∀an ≠ 0 (∀n∈ 例10. n=1 Σ∞)”.例10. n=1 Σ(n!)2x2n−1 的偶次项系数全为零. (2n)! [(n+1)!]2 ⋅(2n)! 2 u (x) lim n+1 = lim |x| n→∞ un(x) n→∞ [2(n+1)]!⋅(n!)2n→∞. (2n)! u (x) |x|2 lim n+1 = . n→∞ un(x) 4 当|x| < 2时, 该级数绝对收敛;∞ (n!)2x2n−1当|x| > 2时, 该级数发散. 所以该级数的收敛半径为R = 2, 收敛区间为(−2, 2). [(n+1)!]2 (n!)2 1 = 得R = 4, 注: 若直接由 lim n→∞ [2(n+1)]! (2n)! 4 则出错!= lim(n+1)2 |x|2 |x|2 = . (2n+2)⋅(2n+1) 4当|x| < 2时, 该级数绝对收敛; 当|x| > 2时, 该级数发散.第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例10. n=1 Σ∞(n!)2x2n−1 . (2n)!3. 幂级数的代数运算设 n=0anxn 与 n=0bnxn 的收敛半径分别为R1, R2, Σ Σ(2n)!!∞ ∞该级数的收敛半径为R = 2, 收敛区间为(−2, 2).1 Σ 当x = ±2时, 该级数 = ± − n=1 (2n−1)!! . 2∞和函数分别为S1(x), S2(x), R = min{R1, R2}, 则当|x| < R时, 有 S1(x) ± S2(x) =n=0 anxn ±n=0 bnxn = n=0(an±bn)xn, Σ Σ Σ S1(x)⋅S2(x) = ( n=0anxn)⋅( n=0bnxn) Σ Σ = n=0 (a0bn + a1bn−1 + … + anb0)xn. Σ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞lim 因为 (2n−1)!! > 1, 故 n→∞ (2n−1)!! ≠ 0. Σ 因而级数 ± − n=1 (2n−1)!! 发散. 2 所以该幂级数的收敛域为(−2, 2).1∞(2n)!!(2n)!!(2n)!!第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数4. 幂级数的分析性质定理9. 设幂级数 n=0anxn 的收敛半径为R, Σ 0 < r < R, 则n=0 anxn Σ∞ ∞定理10. 设幂级数 n=0anxn 的收敛半径R > 0, Σ 和函数为S(x), 则 (1) S(x)在收敛域上连续. (2) 对于任意的 x ∈ (−R, R), 有 Σ S′(x) = n=0(anxn)′ = n=1nanxn−1, Σ∞ ∞∞在[−r, r]上一致收敛.∞证明: 由条件可知 n=0|anrn| 收敛. Σ 对于任意的 x ∈ [−r, r], n ∈ |anxn| ≤ |anrn|. Σ 由M判别法可知 n=0anxn 在 [−r, r] 上一致收敛.∞,有Σ n ∫ 0 S(t)dt = n=0 ∫ 0 an tndt = n=0 n+1xn+1. Σx x∞∞a(3) n=1nanxn−1 和 n=0 n+1xn+1 的收敛半 Σ Σ n 径的仍为R.∞∞a272365083@7请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例11. 求 n=0(−1)n Σ∞xn+1 n+1的和函数S(x).例12. 对于任意的x ∈ (−1,1), 有 f(x) = 1−x = 1 + x + x2 + … + xn + … (1) f ′(x) = f ″(x) =x解: 首先, 容易求得该幂级数的收敛域为(−1, 1]. 根据定理10(1), S(x)在(−1, 1]上连续.1 , x ∈ (−1, 1), Σ = 又因为 n=0 1+x ∞ x x dt Σ 所以 ln(1+x) = ∫ 0 1+t = n=0∫ 0 (−1)ntndt ∞ xn+1 = n=0(−1)n Σ , x ∈ (−1, 1). n+1∞1(−1)nxn1 = 1 + 2x + … + nxn−1 + … (2) (1−x)2 2 = 2+6x +…+ n(n−1)xn−2 + … (3) (1−x)3 1 x2 xn+1∫ 0 1−t = ln 1−x = x + + … + + … (4) n+1 2 注① 在(4)中令x = 1/2得, ln2 = n=0 (n+1)2n+1 . Σ∞dt而S(1) = lim S(x) = lim ln(1+x) = ln(1+1), 可见 S(x) = ln(1+x), x ∈ (−1, 1].x→1− x→1−1第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数注② x = −1时, n=0 n+1 = n=0 n+1 收敛, Σ Σ x = 1时, n=0 n+1 = n=0 n+1 收敛, Σ Σ 故 n=0 n+1 的收敛域为 [−1,1), Σ 其和函数S(x)在−1处右连续, 而 ln1 也在−1处右连续, 因而 1−x ∞ (−1)n+1 lim = S(−1) = x→−1+S(x) Σ n=0 n+1 1 = x→−1+ ln 1−x = −ln2. lim∞ ∞∞xn+1∞(−1)n+1例13. 求 n=1(−1)n+1n(n+1)xn 的和函数. Σ 解: ρ = lim n+1 = lim (n+1)(n+2) = 1. n(n+1) n→∞ an n→∞ x = ±1时, lim (−1)n+1n(n+1)xn ≠ 0.n→∞∞xn+1∞1axn+1可见, 该级数的收敛域为(−1, 1). 设 n=1 (−1)n+1n(n+1)xn = S(x), x ∈ (−1, 1), Σ 则 ∫ 0 S(t)dt = n=1 ∫ 0 (−1)n+1n(n+1)tndt Σx x ∞ ∞ ∞= n=1 (−1)n+1nxn+1 = x2g(x), Σ第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数设 n=1 (−1)n+1n(n+1)xn = S(x), x ∈ (−1, 1), Σ 则 ∫ 0 S(t)dt = n=1 ∫ 0 (−1)n+1n(n+1)tndt Σx x ∞ ∞∞= n=1 (−1)n+1nxn+1 = x2g(x), Σ 其中g(x) = n=1 (−1)n+1nxn−1, x ∈ (−1, 1). Σ Σ ∫ 0 g(t)dt = n=1 ∫ 0 (−1)n+1ntn−1dt = n=1 (−1)n+1xn Σx x ∞ ∞ ∞x2 故 ∫ S(t)dt = x2g(x) = (1+x)2 . x2 ′ 2x , 即由此可得 S(x) = (1+x)2 = (1+x)3x 0 n=1Σ (−1)n+1n(n+1)xn =∞2x , x ∈ (−1, 1). (1+x)3 2 27n+1 ∞ 1 Σ (−1) n(n+1) = S(−) = 8 . 注: 取x = 1/2 得 n=1 2n= 1+x . 上式两边对x求导得 g(x) = (1+x)2 .1x272365083@8请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例14. 求 n=1 2n−1 x2n−1 的和函数S(x). Σ(−1)n lim 解: n→∞ 2n+1 x2n+1 (−1)n−1 2n−1 = lim 2n−1 x2 2n−1 x n→∞ 2n+1∞(−1)n−1又因为S(0), 所以 S(x) = ∫ 0 S′(t)dt + S(0) = ∫0x x= x2. 可见该级数当|x| < 1时收敛, |x| > 1时发散,x = ±1时, 用Leibniz判别法可知该级数收敛,1 dt = arctanx, x ∈ (−1, 1). 1+t2结合 S(x) 和 arctanx 在[−1, 1]内的连续性得 S(x) = arctanx, x ∈ [−1, 1].(−1) Σ 注: 取x = 1得 − = arctan1 = S(1) = n=1 2n−1 . 4 π∞n−1所以该级数的收敛域为[−1, 1]. 根据定理10, S′(x) = n=1(−1)n−1x2n−2 = 1+x2 , Σ x ∈ (−1, 1).∞1第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例15. 求 n=1 2n x2n−2 的和函数S(x), 并求 Σn=1∞2n−1Σ 2n 的值.2 2n−1 2n−2 = lim 2n+1 2 x x n→∞ 4n−2 2n∞S(x) = n=1 2n x2n−2 =n=1 n x2n−1 Σ Σ 2 = =∞2n−1∞1′2n−1x ∞ x2 n−1 ′ x 1 ′ x ′ Σ( ) = 2⋅ = 2 n=1 2 1 − x2/2 2 − x2 2 + x2 , (2 − x2)2∞lim n+1 解: n→∞ 2n+1 x2n可见该级数当|x| < √2时收敛, |x| > √2时发散,−= x2/2.∞−− − 其中 x ∈ (−√2, √2). 由此可得 n=1 2n = S(1) = 3. Σ2n−1− |x| = √2时, Σ 2n−1 x2n−2 = Σ 2n−1 发散. n=1 2n n=1 2 − − 所以该级数的收敛域为(−√2, √2).∞第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数回忆yy = 1−x2+x4−x6+x8 y = 1−x2+x4五. 函数展开为幂级数 1. 引例 (1) 1+x2 = 1 − x2 + … + (−1)nx2n + o(x2n). (2) n=0 (−1)nx2n = 1 − x2 + x4 − x6 + … Σ 的收敛半径为1, 收敛区间为(−1, 1), Σ (−1)nx2n = 1+x2 n=0∞ ∞11y=1 y= 1 1+x2 1−x2−1O1y=xy= 1−x2+x4−x61(|x| < 1).1 = 1−x2+x4−x6+x8−x10+…+(−1)nx2n + o(x2n). 1+x2272365083@9请双面打印/复印(节约纸张)第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数2. 函数在一点处的泰勒级数设 f(x)在 x0 的某邻域N(x0)内有任意阶导数, 则称幂级数f (n)(x ) Σ n! 0 (x−x0)n n=0∞f(x) 在 x0 = 0 处的泰勒级数 n=0 Σ f(x) ~ n=0 Σ∞∞f (n)(0) n x n!称为 f(x)的麦克劳林(Maclaurin)级数, 记为f (n)(0) n x. n!为 f(x) 在 x0 处的泰勒(Taylor)级数, 记为 f(x) ~ n=0 Σ∞泰勒[英] 1685~1731 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 泰勒[英] 1685~1731 麦克劳林[英] 1698~1746f (n)(x0) (x−x0)n. n!康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数2. 函数可展为幂级数的条件定理11. 设 f(x)在x0的某邻域N(x0)内有任意阶导数, 则 f(x) 在 x0 处的泰勒级数在 N(x0)内收敛并以 f(x)为和函数 ⇔ f(x)在 x0 处的泰勒公式的余项满足n→∞3. 函数展开成幂级数的方法 (1) 直接法(将f(x)展成(x − x0)的幂级数) ① 求f (n)(x0), n = 0, 1, 2, … ② 求 n=0 Σ ③ 检验∞f (n)(x0) (x−x0)n的收敛半径R n! f (n+1)(ξ)lim Rn(x) = 0 (∀x∈ N(x0)).nlim Rn(x) = n→∞ (n+1)! (x−x0)n+1 = 0 lim n→∞ ④ 写出f(x)在x0处的幂级数展开式 f(x) = n=0 Σ∞证明的关键: Rn(x) = f(x) − k=0 Σf (n)(x0) (x−x0)k. n!f (n)(x0) (x−x0)n (指出x的范围) n!第六章无穷级数§6.3 幂级数第六章无穷级数§6.3 幂级数例16. 将f(x) = ex展开为x的幂级数. 解: f (n)(0) = 1 (n = 0, 1, 2, …), Rn(x) = (n+1)! xn+1 (0 ≤ θ ≤ 1).e|x| 因为 |Rn(x)| ≤ (n+1)! |x|n+1, ∀x∈ eθ x例17. 将f(x) = cosx展开为x的幂级数. 解: f(0) = 1, f ′(0) = 0, f ′′(0) = −1, …, f (2k)(0) = (−1)k, f (2k+1)(0) = 0, (k ∈ ,x) n+1 x (0 ≤ θ ≤ 1). (n+1)! |x|n+1 因为|Rn(x)| ≤ , ∀x∈ , (n+1)!),Rn(x) =f(n+1)(θ所以 lim Rn(x) = 0 (∀x∈ ),n→∞由此可得 ex = n=0 Σ∞xn (∀x∈ n!所以 lim Rn(x) = 0 (∀x∈ ),n→∞).cosx = 1− (∀x∈ ).x2 x4 x6 x2n + − +…+ (−1)n +… 2! 4! 6! (2n)!272365083@10第六章无穷级数(2)间接法:①代换法, ②逐项求导, ③逐项积分, ④代数运算.例18. 因为§6.3 幂级数(∀x ∈).cos x = 1−+ …+ (−1)n +…x 22! x 2n(2n )! 所以cos2x = …−sin x = −x + +…+ (−1)n +1+…x 2n +1(2n +1)!x 33!sin x = x −+…+ (−1)n+…x 2n +1(2n +1)!x 33! 例19. 将f (x ) = ln(1+x )展开为x 的幂级数. 第六章无穷级数∞n =1(−1)n −1nΣ= ln2. 解: 其和函数S (x ) ∈C(−1, 1],11+x = Σ(−1)n −1x n −1(|x | < 1). ∞n =1逐项积分得ln(1+x ) = Σx n(|x | < 1). (−1)n −1n∞n =1 又因为Σ的收敛域为(−1, 1],∞n =1 x n (−1)n −1n再由ln(1+x ) ∈C(−1, 1]可得ln(1+x ) = Σx n (−1 <x ≤1).(−1)n −1n∞n=1 注:令x = 1得§6.3 幂级数第六章无穷级数例20. 将f (x ) = (1+x )α展开为x 的幂级数(α为解: 先求得f (x )的Maclaurin 级数:其收敛半径R = 1. 则(1+x )S ′(x ) = αS (x ), S (0) = 1. 由此可得S (x ) = (1+x )α, 即常数).(∗)1+αx+α(α−1) 2!x 2+…+ α…(α−n +1) n !xn+ …设其和函数为S (x ), x ∈(−1, 1), (1+x )α= 1+αx +α(α−1) 2!x 2+…+α…(α−n +1)n !x n +…§6.3 幂级数二项式级数但在区间(−1, 1)的端点处是否成立要对α讨论.第六章无穷级数(1+x )α= 1+αx +α(α−1) 2!x 2+…+α…(α−n +1)n !x n +…可以证明, 当α≤−1时, 的收敛域为(−1, 1);当−1< α< 0时, (∗)的收敛域为(−1, 1]; 当α> 0时, (∗)的收敛域为[−1, 1]. 因此, …(∗)1+αx +α(α−1) 2!x 2+…+α…(α−n +1) n !xn+ …§6.3 幂级数例21. 求下例函数在指定点处的泰勒展式.(|x +4| < 7),(|x +4| < 3). (1) f (x ) = xx 2−2x −3, x 0= −4. 第六章无穷级数解: f (x ) = x x 2−2x −3 = −( + ), 1 4 1 x + 1 3 x −31 x −3= −−1 7 1 1−(x +4)/7 (|x +4| < 3),1 x +1= −−1 3 1 1−(x +4)/3 = −−Σ( )n1 3 x +43 ∞n =0 = −−Σ( )n1 7 x +47 ∞n =0 f (x ) = −[ ]1 4 −−Σ( )n 1 3 x +43 ∞n =0 −−Σ( )n 37 x +47∞n =0 = −−Σ( + )(x +4)n 1 4 ∞n =0 1 3n +1 3 7n +1§6.3 幂级数(2) f (x ) = sin x , x 0= π/6.解: sin x = sin[(x −−)+−]π6π6 = −cos(x −−)+ sin(x −−), π6 1 2√3 2 π6 cos(x −−) = 1 −(x −−)2+…+ (x −−)2n+…π6 π6 π6 1 2! (−1)n(2n )! sin(x −−) = (x −−) −(x −−)3+…π6π6 π6 1 3!(−1)n(2n +1)! π6 + (x −−)2n +1+…sin x = −+ (x −−) −(x −−)2+…1 2 √32π6 π6 π6π612⋅2! + (x −−)2n+ (x −−)2n +1+ …(−1)n 2⋅(2n )! (−1)n √3 2⋅(2n +1)! 第六章无穷级数§6.3 幂级数(∀x ∈).解:(3) f (x ) =故∀x ∈(−1, 1),第六章无穷级数e x1−x , x 0= 0. e x= Σ∞n =0 x nn !, 1 1−x= Σx n , ∞n =0 e x1−x= ( Σ)⋅( Σx n )∞n =0 x n n ! ∞n =0 1 1!= 1 + (1+ )x + (1+ + )x2+ (1+ + + )x3+ …1 1! 1 2!1 1! 1 2! 1 3!§6.3 幂级数∀x ∈.∀x ∈(−1, 1).第六章无穷级数求收敛半径直接R = 1/ρ已知等式化为正项级数, 讨论敛散性代换法, 逐项求导/积分, 代数运算间接函数展开为幂级数幂级数求和(ρ= lim|a n +1/a n |, 公式lim|a n |1/n ) Σ|…| 求表达式S (z ) = lim S n (z ) f (n )(x 0)/n !, 检验R n (x )代换法, 逐项求导/积分, 代数运算间接1+αx + Σ⎯⎯⎯⎯⎯x n = (1+x )α, x ∈(−1, 1). α…(α−n +1)n !∞n =2 小结§6.3 幂级数Σx n = , Σ(−x )n = , x ∈(−1, 1). ∞n =11 1−x ∞n =1 1 1+x Σ⎯=e x , Σ= sin x , x ∈. ∞n =0 x n n ! ∞n =0 (−1)n x 2n +1(2n +1)!。

高教社2024高等数学第五版教学课件-6.3 二阶微分方程

表达式有关。下面举例详细说明，请大家注意把握其数学思想方法。
例6 解二阶常系数线性非齐次微分方程
″ − 2 ′ − 3 = (3 + 1) 2
解（1）求原方程所对应的齐次方程的通解
特征方程为
2 − 2 − 3 = 0
特征根
1 = 3, 2 = −1
所以齐次方程的通解为：
1 3 + 2 −
″ + ′ + = ()
（6.3.7）
的一个特解，则
= 1 1 + 2 2 + ∗
（6.3.8）
是二阶常系数线性非齐次微分方程（6.3.7）通解。其中1 , 2 为任意常数。
定理3中，齐次方程两个线性无关的解已容易求出，剩下的问题是如
何求非齐次方程（6.3.7）的特解 ∗ 。其实，该特解与右边自由项()
2 + 4 + 13 = 0
其解为共轭复根 1,2 = −2 ± 3
所以原方程的通解为 = −2 (1 3 + 2 3 )
（6.3.6）
2、二阶常系数线性非齐次微分方程
定理3 若1 , 2 是齐次方程
″ + ′ + = 0
的两个线性无关的特解， ∗ 是非齐次方程
第六章常微分方程
第三节二阶微分方程
一、可降阶的二阶微分方程
【引例1】解微分方程
解
两边积分一次
两边再积分一次
2
2
=

(是常数)
= ′ = ‫ = ׬‬+ 1
1
2
= ‫ (׬‬+ 1 ) = 2 + 1 + 2

合肥工业大学-高等数学-上-6-3-定积分在物理学中的应用资料

的两质点之间的引力为 F
k
m1m2 r2
，其中 k
为引力系数，且引力的方
向沿着两质点的连线方向．
如果考虑的不是两个质点之间的引力，而是一根细棒对一个质点的引力，或者是一根细棒对另一根细棒的引力，就不能直接运用上述公式，此时的问题相对复杂一些，现举例说明用定积分的微元法计算一根细棒对一个质点的引力．
解如图建立坐标系，并取 x 为积分变量．
⑴⑵ x 的的变变化化范范围围[[0a,,aa]]，，类在似[a我, a们] 上得任到取压小力区的间微[元x, x为 dx] ，对应
于[x, x dx] 上窄条所dF受的2b压力g近x 似a2于 x2 dx ，
(a x) 2 y dx g 2ba g(a x) a2 x2dx,
解设第 n 次击打后，桩被打进地下 xn 米，第 n 次击打时，
汽锤所作功为Wn (n 1, 2,3) ．由题设，当桩被打进地下的深度
为 x 时，土层对桩的阻力的大小为 kx ，所以
W1
x1 0
kxdx
k 2
x12
，
W2
x2 x1
kxdx
k 2
(
x22
x12
a
所故以所压受力的元压素力为为dF 2b g(a x) a2 x2 dx ，故所受压力为
FF
aa 0a
22bb aa
gg(xa
a ax2 )
xa22dx
x2
d23xa2bag2b（ g牛（顿牛）顿．）．
例 6.3.4 某闸门的形状与大小如图所示，其中直线l 为对称轴，闸门的
上部为矩形 ABCD，下部由二次抛物线与线段 AB（长度为米）围成．当
1
闸门下部承受的水压力为

高数数学必修一《6.3.1平面向量基本定理》教学课件

(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向
量都可用这组基底唯一表示．( √ )
4e1＋3e2
2．如图所示，向量OA可用向量e1，e2表示为________．
解析：由图可知e1，e2为平面内的一组正交单位基底，A点在e1方向有4个单位，在e2方向有3个单位，所以
＝4e1＋3e2.
题后师说
用基底表示向量的两种基本方法
跟踪训练2 在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足2BD＝DC，以
，为基底，则AD＝(
)
2
1
5
2
A． b＋ c
B． c－ b
3
3
2
1
C． b－ c
3
3
3
3
1
2
D． b＋ c
3
3
答案：D
解析：因为2BD＝DC，AB＝c，AC＝b，
1
1
1
1
所以BD＝3 BC＝3 (AC − AB)＝3b－3c，
的向量表示未知的向量，或找到已知的向量与未知的向量的关系，用
方程的观点求出未知量．
跟踪训练3 △ABC中，D是BC边靠近B的四等分点，AD＝λAB＋
1
μAC，则λ＋μ＝________．
1
解析：因为D是BC边靠近B的四等分点，所以BD＝4 BC，
1
1
3
1
所以AD＝AB + BD＝AB + 4 BC＝AB + 4 (AC − AB)＝4 AB + 4 AC，
学霸笔记
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若
共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这

电子课件-《高等数学及应用(第3版)》-B10-3160 第六章常微分方程

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6．1 可分离变量的微分方程
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6.1 可分离变量的微分方程 6.2 一阶线性微分方程 6.3 二阶常系数齐次线性微分方程
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6．1 可分离变量的微分方程例题解析
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6.1 可分离变量的微分方程 6.2 一阶线性微分方程 6.3 二阶常系数齐次线性微分方程
6.3 二阶常系数齐次线性微 2. 会求一阶线性微分方程的通解和分特方解程.
教学重点
1.理解一阶线性微分方程的概念. 2.求一阶线性微分方程的通解和特解
教学难点求一阶线性微分方程的通解和特解
教学方法讲练结合法
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6．2 一阶线性微分方程
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新教材高中数学第6章导数及其应用：利用导数解决实际问题ppt课件新人教B版选择性必修第三册

1．解决面积、体积最值问题的思路要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值． 2．解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数 f(x) 在给定区间内只有一个极值点或函数 f(x)在开区间上只有一个点使 f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
[跟进训练] 1．将一张 2×6 m 的矩形钢板按如图所示划线，要求①至⑦全为矩形，且左右对称、上下对称，沿线裁去阴影部分，把剩余部分焊接成一个有盖的长方体水箱(其中①与③、②与④分别是全等的矩形，且⑤＋⑥＝⑦)，设水箱的高为 x m，容积为 y m3.
(1)写出 y 关于 x 的函数关系式； (2)x 取何值时，水箱的容积最大．
7
内
单
调
递
增
，在4－3来自7，1内单调递减，所以当 x 的值为4－3 7时，水箱的容积最大．
用料最省、成本(费用)最低问题【例 2】位于 A，B 两点处的甲、乙两村合用一个变压器，如图所示，若两村用同型号线架设输电线路，问变压器设在输电干线何处时，所需电线总长最短．
[思路点拨] 可设 CD＝x km，则 CE＝(3－x)km，利用勾股定理得出 AC，BC 的长，从而构造出所需电线总长度的函数．
(1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大，试问 x 应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大，试问 x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[思路点拨] 弄清题意，根据“侧面积＝4×底面边长×高”和 “体积＝底面边长的平方×高”这两个等量关系，用 x 将等量关系中的相关量表示出来，建立函数关系式，然后求最值．

高等数学——理工版6.3行列式的性质

a11 a12
a1n
ai1 ai2 ai1 As1 ai2 As2 ain Asn
ai1 ai2
ain
0,(i s)
ain
（推论 1）
an1 an2
ann
【推论2】如果行列式的某一行（或列）的元素全为零，则此行列式等于零．
证明由性质3，按元素全为零的行（或列）展开，即得。
【性质5】行列式的某一行（或列）的所有元素都乘以同一个数k，等于用k乘以该行列式，即
例如
3 12 15 5
757
1
3
7
8 0,
8
61
8 0
6 16 23 31
21 76 21
3 12 15 5
【性质3】 n阶行列式等于它的任一行（或任一列）的每个元素与其对应的代数余子式的乘积之和．即
a11 a12 D a21 a22
an1 an2 a11 a12 D a21 a22
a1n
a2n ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
n
ann aik Aik k 1
i 1, 2,...,n
a1n
a2n a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
an1 an2
n
ann akj Akj k 1
j 1, 2,..., n
性质3说明了行列式可按任一行（或列）展开．在具体计算时，只要行列式的某一行（列）的零元素多，我们就按该行（列）来展开，这样降低了行列式的阶数，从而简化运算．
a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
kai1 kai2
kain k ai1 ai2
ain
an1 an2

高等数学-6.3.2教学课件

试估计这批牛奶净含量的均值与方差 2 . 可以自己解决实际问题吗？
2．已知某种电子元件的寿命服从正态分布 N(, 2 ) ，现随
机抽取10个，测得各电子元件的寿命(单位：小时)如下：
3100 3480 2520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260
试估计这种电子元件寿命的均值与方差 2 .
s 2 9 1 1 i 9 1 ( x i x _ ) 2 1 8 ( 3 2 2 2 0 1 0 1 1 1 3 2 ) 3 . 2 5
故得该日营业额均值的点估计值 ˆ 7 ，
方差 2 的点估计值为 ˆ2 3.25 .
X
94
1
95 n
9n3 96 Xi
i914 93
93 93
94 95
分析
我们只要2算.样出本甲方、差乙：两S位2员n工1的1得in1分(X的i 平X均)2值，
谁高就说明谁的服务态度更好
《高等数学》 (经济类专业适用）高等教育出版社
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退出
*
分析在实际问题中，当所研究的总体分布类型已知，
但分布中含有未知参数时，如何根据样本来估计未知参数，问题引导
这就是参数估计问题. 参数估计包括点估计和区间估计两类. 先来介绍点估计. 我们先初步了解一下，
什么是估计概念用样本的某一个统计量的值作为总体未知参数
的估计值，这种参数估计方法叫做点估计.
《高等数学》 (经济类专业适用）高等教育出版社
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*
1．书面作业必做：《习题集》中的“练习6.3.2” 选做：习题6.3的1 2．拓展作业

高等数学下6_课件3.ppt

a ax , ay , az b bx ,by ,bz
垂直的充分必要条件是
axbx ayby azbz 0
6.3.1 二向量的数量积
例6.5 已知三点 M (1,1,1), A( 2, 2,1), B( 2,1, 2), 求
AMB .
解 MA (1, 1, 0 ), MB ( 1, 0, 1 )
i 4 j 2k
6.3.2 二向量的向量积
而与 c 同向的单位向量
c c
i 4 j 2k
c 12 42 22
1 i 4 j 2k
21
故与 a 、 b 均垂直的单位向量为 c ,即
1 i 4 j 2k
21
与
1 i 4 j 2k
21
例6.8 已知三点A(1, 2,3), B(3, 4,5),C( 2, 4 ,7 ), 求三
ax az , bx bz
6.3.2 二向量的向量积
例 6.7 设 a 0,1, 2， b 2, 1,1，求与 a 和 b 都
垂直的单位向量. 解令 c ab ，由向量积的定义 c 与 a 、b 均垂直，
而
c ab 0,1, 22, 1,1
1 2 2 0 0 1
i
j
k
1 1 1 2 2 1
b
c a b (叉积)
a
引例中的力矩思考右图三角形面积
S＝
a
b
c ab
6.3.2 二向量的向量积
性质 6.8 a a = 0. 性质 6.9 两非零向量 a ， b 平行的充要条件是向量积 a b = 0 .
性质 6.10 ab = ba . 性质 6.11 ab ab ab .
6.3.1 二向量的数量积

6.3.1 二项式定理课件PPT 人教高中数学选修第三册

巩固训练
巩固训练
巩固训练
练2.二项式
x6x1x来自5的展开式中为常数项的是（
C
）
A．第3项
B．第4项
C．第5项
D．第6项
【详解】依题意， x6
1 5的展开式的通项为 Tr1
x x
C5r ( x6 )5r (
1 )r xx
(1)
r
C5r
x
3015 2
r
，
r N, r 5 ，
令
30
15 2
r
0，得
（2）本节课我们用到了哪些思想方法？
作用
通
内容
二项式定理
项
求任一项
求指定项
求指项定特征
二项式系数
课堂小结
注意与系数的区别
课后作业：1.完成分层作业 2.预习《6.3.2二项式系数的性质》
布置作业
4.二项式定理对任意的数a, b都成立，若设a＝1, b＝x，则有
(1
x)n
C
0 n
Cn1 x
Cn2 x 2
C
k n
xk
Cnn xn .
典例分析
解 ( x 1 )6 ( x x1 )6
：
x
C60 x6 C61 x5 x1 C62 x4 x2 C63 x3 x3 C64 x2 x4 C65 xx5 C66 x6
r 4
，即是二项式
x6
x
1 x
5
的展开式的常数项，
所以展开式中的常数项是第5项.
巩固训练
思考：(x2 2 y 2)5的展开式中 x4 y2项的系数为 ____B______
A.-240

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b
y b a2 x2 (a x a) a
O x ax
则利用对称性，有
V 2
a π y2 dx
0
2
π
b2 a2
a (a2 x2 ) dx
0
2
π
b2 a2
a
2
x
1 3
x3
a 0
4 π ab2 3
科学出版社
y
方法2 利用椭圆参数方程
b
x a cos t
y
b sin
t
O x ax
则
0
15
科学出版社
f (0) 0, V (t) 表示 y f (x), x t ( 0) 及 x 轴所围图
形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明:
V (t) 2 π f (t).
证: 利用柱壳法
y f (x)
dV 2 π (t x) f (x) d x
则
t
V (t) 0 2 π (t x) f (x) d x O
)
(a x a)
因此椭球体体积为
V
2
a
π bc(1
0
x2 a2
)dx
2 π bc
x
x3 3a2
0a
4 πabc 3
特别当 a = b = c 时就是球体体积 .
科学出版社
二、旋转体体积
连续曲线 y f (x) (a x b)绕 x轴
旋转一周围成的立体体积：
V b π[ f (x)]2 dx a
2 利用对称性
V 2 R 1 (R2 x2) tan dx
02
2 tan R2x 1 x3 R 2 R3 tan
3 03
y
Ox
R x
科学出版社
如果选择 y 作积分变量，怎么处理 ?
此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ?
提示:
O
A( y) 2x y tan
2 tan y R2 y2
V 2 tan
R
y
R2 y2 dy
0
y
R
R (x, y) x
科学出版社
例2. 计算由曲面பைடு நூலகம்的体积.
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 所围立体(椭球体)
zc y
解: 垂直 x 轴的截面是椭圆
b2
y2 (1
x2 a2
)
c2
z2 (1
x2 a2
)
1
bx
O
ax
它的面积为
A(
x)
π
bc
(1
x2 a2
y 3B
y
x2 2, 4 x2 ,
0 x 1 1 x 2
A C
O 1 2x
故
V
π 32 4 2
1
π[3
(x2
2)]2
d
x
0
2 2 π[3 (4 x2 )]2 d x 1
36π 2π
1
(1
x2)2 d x
2π
2 (x2 1)2 d x
0
1
36 π 2 π 2(x2 1)2 d x 448 π
关于 π 对称
π
2
4 π3 a3 8 π2 a3 2 sin2udu 0
4π3 a3 8π2 a3 1 π 22
6π3a3
(利用“偶倍奇零”)
科学出版社
注: Vy也可按柱壳法求出 y y
x y
a (t a (1
sin t) cos t)
O xxdx
2 πa x
柱面面积 2 πx y
16 π a3 π (2u sin 2u)sin4 u d u 令 v u π
0
2
π
16 π
a3
2
π 2
(2v
π
sin
2v)
cos4 v
偶函数
d
v
奇函数
32 π 2 a3
π
2 cos4 v d v
32 π 2 a3 3 1
0
422
6π 3 a3
科学出版社
例5. 设 y f (x) 在 x≥0 时为连续的非负函数, 且
V 2
a π y2 dx
2π
2 ab2 sin3 t dt
0
0
2 π ab2 2 1 3
4 π ab2 3
特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 4 π a3 . 3
科学出版社
例4.
计算摆线
x y
a (t sin t) a (1 cos t)
(a
0)的一拱与
y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
当连续曲线是
y
y f (x)
O ax b x
x ( y) (c y d)
y
时，其绕 y 轴旋转一周围成的立体体积为：
V d π[( y)]2 dy c
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d
y x (y)
c
O
x
例3.
计算由椭圆
x2 a2
y2 b2
1 所围图形绕
x
轴旋转而
转而成的椭球体的体积.
y
解: 方法1 利用直角坐标方程
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
Vx
2πa πy2 dx
0
2 πa πy2 dx
0
y O πa 2πa x
2 π π a2(1 cost)2 a(1 cost) dt 0
利用对称性
2 π a3 π (1 cost)3 dt 16 π a3 πsin6 t dt (令u t )
柱壳体积 2 πxy dx
2π a
Vy 2 π 0 xydx
2 π
2 0
π
a(t
sin
t)
a
2(1
cos
t)2
d
t
科学出版社
Vy 2 π 2π a(t sin t) a2 (1 cos t)2 d t 0
8 π a3 2π (t sin t)sin4 t d t
0
2
令u t 2
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πa3 2π (t2 sin t 2t sin2 t sin3 t)dt (令utπ) 0
πa3 π (u2 2 π u π2 )sin u 2(u π)sin2 u π sin3 u d u
4 π2a3[
π
u sin udu
π sin2 udu]
0
0
分部积分
2a 0
π
x12
(
y
)
dy
x x1( y)
π π a2(t sin t)2 asin t dt
注意上下限 !
2π
π π a2(t sin t)2 asin t dt
0
πa3 2π (t sin t)2 sin t dt 0
πa3 2π (t2 sin t 2t sin2 t sin3 t)dt 0
t
t
xt x xdx
2πt0 f (x)d x 2π 0 x f (x)d x
V (t) 2 π t 0
f (x)d x
2 πt f (t) 2 πt
f (t)
故 V (t) 2 π f (t)
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*例6. 求曲线 y 3 x2 1 与 x 轴围成的封闭图形
绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积. 解: 利用对称性 , 在第一象限
0
0
2
2
32 π a3
π
2 sin6 u du
32 π a3 5 3 1 π
0
6422
5π2 a3
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x a (t sin t)
y
a
(1
cos
t)
(a 0)
y 2a
x x2 ( y)
绕 y 轴旋转而成的体积为
O
πa 2πa x
Vy
2a 0
π
x22
(
y)
d
y
A(x)
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a x x dx b x
例1. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并
与底面交成角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为
x2 y2 R2
垂直于x 轴的截面是直角三角形, 其面积为
A(x) 1 (R2 x2) tan (R x R)
第三节体积
第六章
一、已知平行截面面积的立体的体积二、旋转体体积
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一、已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x), A(x)在[a,b] 上连续, 则对应于小区间[x , x dx] 的体积元素为
dV A(x)dx 因此所求立体体积为
b
V a A(x)dx