机械工程控制基础(第3章 系统的时间响应分析)
工程控制基础 第3章 系统的时间响应分析
总结 当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
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机械工程控制基础
30
3.4 二阶系统性能指标
➢ 总结
➢ 要使二阶系统具有合适动态特性，应合理选择ζ和ωn。一般的做法是先根据 最大超调量Mp 、振荡次数N等要求选择系统的阻尼比ζ ，然后再根据上升 时间tr、峰值时间tp、调整时间ts等要求，确定系统无阻尼固有频率ωn
➢ 单位脉冲响应
➢ 单位阶跃响应
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机械工程控制基础
3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
➢ 单位斜坡响应
12
T：时间常数
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3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
➢ 不同输入函数不同时间常数下输出响应比较
当ζ一定时ωn增大ts就减小； 当ωn一定时ζ增大，ts也减小
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3.4 二阶系统性能指标
➢ 二阶欠阻尼系统瞬态性能指标：
上升时间 tr 、峰值时间 t p 、最大超调量 M p 、调整时间 ts 、振荡次数 N
二阶欠阻尼单位阶跃响应
➢ 振荡次数N ：在过渡过程时间内， xo(t)穿越其稳态值的次数的一半
2 n
s2
2n s
2 n
ωn、ζ
：特征参数
➢ 单位脉冲响应
• 当 ，0系统为零阻尼系统时
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控制工程基础_第3章时间特性分析法精品文档
除前面分析之外，还有两点值得提出：
1.当输入信号不为单位值时，输入信号的拉氏变换
分别为：
阶跃输入
X(s) R s
斜坡输入 脉冲输入
R X(s) s2 X(s) R
对应于不同输入时的响应分别如下列各式
阶跃输入 斜坡输入 脉冲输入
t
y(t) R(1 e T )
t
y(t) R(t T Te T ) R t
单位斜坡函数的拉氏变换为
1 X(s) s2
代入（3-1）式，可得输出信号拉氏变换为
1
1
Y (s) Ts 1 X (s) s2(Ts 1)
展开成部分分式
Y (s)
1 s2
T s
T
s
1 T
（3-6） （3-7）
取（3-7）式的拉氏反变换，可得
t
y(t) t T Te T
2
s3
图3-4 抛物线信号
该输入信号相当于控制系统中加入一恒加速度变 化的信号，加速度为R，当R=1时，叫做单位抛 物线信号。
4.脉冲信号
脉冲信号如图3-5所示，其数学表达式为
x(t
)
1 h
(0
t
h)
0(t 0, t h)
其中，脉冲宽度为h,脉冲面
积为1。若对实际脉冲的宽
第三章时间特性分析法
时间特性法是分析系统的方法之一，而分析的基础， 是确定系统的数学模型。分析系统的方法，还有频 率特性法和根轨迹法。
控制系统都是在时间域内进行工作的。因此， 时间特性分析法是这些方法中最常用、又是比 较精确的方法，它是通过拉普拉斯反变换求出 系统输出量的表达式，从而提供了时间响应的 全部信息；
第3章 时间响应与误差分析
X
o
(s)
G(s)
X
i
(s)
1 Ts 1
1
1 Ts
1
取其拉氏反变换，可得出其时间响应函数
xo
(t)
1 T
e t
/T
上式即为一阶系统的脉冲过渡函数。
（ t≥0）
由式（3-3）可得表 3-1 表 3-1 不同时刻系统的脉冲响应
t
xo (t)
.
xo (t)
1
1
0
T
-T 2
1
1
T
0.368
T
-0.368 T 2
1 s
在 t=0 处的阶跃信号，相当于一个数值为一常值的信号，t≥0 时突然加到系统上。
2．斜坡信号（或速度信号）
斜坡信号如图 3-3（b）所示，其函数表达式为
Rt t 0,( R 常量)
xi( t )
0
t0
斜坡函数的拉氏变换为
Xo (t)
L[Rt]
R s2
当 R=1 时称为单位斜坡函数。这种实验信号相当于控制系统中加入一个按恒速变化的信号，其
稳定是控制系统正常运行的基本条件。系统稳定，其响应过程才能收敛，研究系统的性能（包括 动态性能和稳态性能）才有意义。
实际物理系统都存在惯性，输出量的改变是与系统所储有的能量有关的。系统所储有的能量的改 变需要有一个过程。在外作用激励下系统从一种稳定状态转换到另一种稳定状态需要一定的时间。一 个稳定二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应如图 3-1 所示。响应过程分为动态过程（也称为过渡过程）和 稳态过程，系统的动态性能指标和稳态性能指标就是分别针对这两个阶段定义的。
速度为 R。
3-4
xi(t)
控制工程基础-第三章时间响应分析第一二节
2020年11月4日星期三2时17分22秒
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➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
上面分析的是一个特殊的简单的例子，主要目的是 为下面的一般情况的分析作引子。
对于一般情况（线性常微分方程的输入函数没有导 数项，只有一次项），设系统的动力学方程为：
an
y (n)
如图所示，质量为m与弹簧刚度为k的单自由度系统
在外力(即输入)Fcosωt的作用下，系统的动力学方程用
常微分方程表示为：
my(t) ky(t) F cost
由高等数学知识可知这一 非齐次常微分方程的完全解 由两部分组成：
y(t) y1(t) y2 (t)
式中：yl(t)是齐次微分方程的通解； y2(t)是其一个特解。
的关系和0型、I型、Ⅱ型系统的稳态偏差。 6、单位脉冲函数及单位脉冲响应函数的重要意义。
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➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
时间响应及其组成的含义： 时间响应：是指系统的响应（输出）在时域里的表现形
式，或系统的动力学方程在一定初始条件下的解
将系数A、B代入整理得方程的最终解为：
自由响应 强迫响应
y(t) y(0n ) sinnt y(0) cosnt Fk 112 cosntFk 112cost
零输入响应
零状态响应
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➢ 3.1 时间响应及其组成
第三章 时间响应分析
机械工程控制基础_第三章
将初始条件带入（2）（3）可解得：
F 1 C1 ，C2 y(0) n k 1-(/n )2
y(0)
整理：
自由响应（通解）
y(t ) y(0) sin nt y(0) cos nt
积 分 关 系
3.3 一阶系统的时间响应分析
一阶系统：凡其动态过程可用一阶微分方程来表示的 控制系统称为一阶系统。 一般形式为：
Ty(t ) y(t ) u (t )
1 G(s) Ts 1
T 称为一阶系统的时间常数。
3.3.1 一阶系统的单位脉冲响应
输入为单位脉冲函数时，系统输出称为单位脉冲响应。
i 1 i 1
零输入响应
零状态响应
注意：
1)系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态 无关；
y(t ) L1[G(s) X (s)] 所求得的输出是系统的零状态 2）由
响应，因在定义系统的传递函数时，已指明系统的初态为 零，故取决于系统的初态的零输入为0；
3)对于线性定常系统，若 (t )引起的输出为 (t )，则x ' (t )引起 x y 的输出为y ' (t )
Y ( s ) G ( s )U ( S ) 1 1 1 1 Ts Ts 1 T 1 T T 2 2 2 2 2 Ts 1 s s (Ts 1) s (Ts 1) s s (Ts 1) s s s 1 T
y(t ) L [Y (s)] t T Te
δ函数的重要性质
结论：系统在单位脉冲函数作用下，其响应函数等于 传递函数的拉氏逆变换
第三章系统的时间响应分析机械工程控制基础教案
第三章系统的时间响应分析机械⼯程控制基础教案Chp.3时间响应分析基本要求(1) 了解系统时间响应的组成；初步掌握系统特征根的实部和虚部对系统⾃由响应项的影响情况，掌握系统稳定性与特征根实部之间的关系。
(2 ) 了解控制系统时间响应分析中的常⽤的典型输⼊信号及其特点。
(3) 掌握⼀阶系统的定义和基本参数，能够求解⼀阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应；掌握⼀阶系统时间响应曲线的基本形状及意义。
掌握线性系统中，存在微分关系的输⼊，其输出也存在微分关系的基本结论。
(4) 掌握⼆阶系统的定义和基本参数；掌握⼆阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼⽐之间的对应关系；掌握⼆阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(5) 了解主导极点的定义及作⽤；(6) 掌握系统误差的定义，掌握系统误差与系统偏差的关系，掌握误差及稳态误差的求法；能够分析系统的输⼊、系统的结构和参数以及⼲扰对系统偏差的影响。
(7) 了解单位脉冲响应函数与系统传递函数之间的关系。
重点与难点重点(1) 系统稳定性与特征根实部的关系。
(2) ⼀阶系统的定义和基本参数，⼀阶系统的单位脉冲响应、单位阶跃响应及单位斜坡响应曲线的基本形状及意义。
(3) ⼆阶系统的定义和基本参数；⼆阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼⽐之间的对应关系；⼆阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(4) 系统误差的定义，系统误差与系统偏差的关系，误差及稳态误差的求法；系统的输⼊、系统的结构和参数以及⼲扰对系统偏差的影响。
难点(1) ⼆阶系统单位脉冲响应曲线、单位阶跃响应曲线的基本形状及其振荡情况与系统阻尼⽐之间的对应关系；⼆阶系统性能指标的定义及其与系统特征参数之间的关系。
(2) 系统的输⼊、系统的结构和参数以及⼲扰对系统偏差的影响。
建⽴数学模型后进⼀步分析、计算和研究控制系统所具有的各种性能。
机械控制工程基础时域分析
机械控制工程基础时域分析机械控制工程是研究机械系统的动力学和控制原理的学科，包括传感器、执行器、控制器等方面的研究。
时域分析是机械控制工程的基础，它通过分析系统的时域响应，来理解和优化机械系统的性能。
本文将从时域分析的基本概念、应用和分析方法等方面进行讨论。
时域分析是指通过观察系统的输出响应随时间的变化情况，来分析系统的动态特性和性能。
在机械控制工程中，常见的时域分析方法有时域响应分析、稳态分析和瞬态分析等。
时域响应分析是指分析系统在给定输入条件下的输出响应特性。
通过对系统的输入和输出信号进行采样和分析，可以得到系统的幅频特性、相频特性和时滞特性等。
时域响应分析是机械控制工程设计和调试的重要工具，可以帮助工程师了解系统的稳定性、响应速度和抗干扰能力等。
稳态分析是指分析系统在稳定状态下的响应特性。
在机械控制系统中，常用的稳态分析方法有频率响应法和根轨迹法等。
频率响应法是通过改变输入信号的频率来观察系统的输出响应，从而确定系统的稳定性和响应特性。
根轨迹法是通过分析系统的特征方程的根的运动轨迹来判断系统的稳定性和响应情况，可以帮助工程师优化系统的控制效果。
瞬态分析是指分析系统在短时间内的响应特性。
在机械控制系统中，常见的瞬态分析方法有单位脉冲响应法和阶跃响应法等。
单位脉冲响应法是通过输入单位脉冲信号，观察系统的输出响应来分析系统的瞬态响应特性。
阶跃响应法是通过输入阶跃信号，观察系统的输出响应来分析系统的瞬态响应速度和稳定性。
除了以上介绍的几种常见的时域分析方法外，还有一些其他方法可以用于机械控制系统的时域分析，如幅度裕度法、帕斯卡尔等效法等。
这些方法都有其适用的场合和优缺点，工程师在实际应用时需要根据系统的特点和需求来选择合适的方法。
时域分析是机械控制工程的基础，它在机械系统的设计、调试和优化中起着重要的作用。
通过对机械系统的时域响应进行分析，可以帮助工程师了解系统的动态特性和性能，并提供改进系统控制效果的依据。
机械工程控制基础(3章)
3.4 二阶系统
一. 二阶系统的表示 二阶系统的传递函数有如下两种形式：
其中，ξ,ωn是二阶系统的特征参数，它们表明二阶系统本身的与外界 无关的固有特性。一般将式（3.4.1）所示的系统称为无零点的二阶系统或 典型的二阶系统，而将式（3.4.2）所示的系统称为有零点的二阶系统。在 不特别声明的情况下，本章讨论的是典型二阶系统的时间响应。
3.4 二阶系统
二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应曲线如图3.4.4所示，其瞬态性能 指标包括上升时间tr、峰值时间tp、最大超调量Mp、调整时间ts、振 荡次数N等。 1．上升时间tr：响应曲线从原工作状态 出发，第一次达到输出稳态值所需的时 间定义为上升时间。
当ξ一定时， ωn增大，tr就减小；当ωn 一定时， ξ增大，tr就增大。
3.4 二阶系统
3.4 二阶系统
二. 二阶系统的单位脉冲响应ω(t)和单位阶跃响应 在不同阻尼系数下，二阶系统的单位脉冲响应ω(t)和单位阶跃响应如 下表所示。
3.4 二阶系统
其中， ，称ωd为二阶系统的有阻尼固有频率；
当ξ取值不同时，二阶欠阻尼系统的单位 脉冲响应曲线如图3.4.2所示。由图可知， 欠阻尼系统的单位脉冲响应曲线是减幅的正 弦振荡曲线，且ξ愈小，衰减愈慢，振荡频 率ωd愈大。故欠阻尼系统又称为二阶振荡 系统，其幅值衰减的快慢取决于ξωd （1/ ξωd称为时间衰减常数，记为σ）。
3.4 二阶系统
3.4 二阶系统
3.5 高阶系统
大量的系统，特别是机械系统，几乎都可用高阶微分方程来描述。这种 用高阶微分方程描述的系统叫做高阶系统。高阶系统均可化为零阶、一阶 和二阶环节的组合。而一般所重视的是系统的二阶环节，特别是二阶振荡 环节。 高阶系统传递函数的普遍形式可表示为
机械控制工程基础第三章 复习题及答案
题目：时间响应由 和 两部分组成。
分析与提示：时间响应由瞬态响应和稳态响应两部分组成。
答案：瞬态响应、稳态响应题目：系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程，称为 。
分析与提示：瞬态响应，指系统在某一输入信号作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。
答案：瞬态响应题目：系统的时间响应可从两方面分类，按振动性质可分为 与 。
分析与提示：系统的时间响应可从两方面分类，按振动性质可分为自由响应与强迫响应。
答案：自由响应、强迫响应题目：系统的时间响应可从两方面分类，按振动来源可分为 与 。
分析与提示：系统的时间响应可从两方面分类，按振动性质可分为自由响应与强迫响应；按振动来源可分为零输入响应(即由“无输入时系统的初态”引起的自由响应)与零状态响应(即仅由输入引起的响应)。
答案：零输入响应、零状态响应题目：系统微分方程的特解就是系统由输入引起的输出(响应)，工程上称为 。
分析与提示：初始条件及输入信号产生的时间响应就是微分方程的全解。
包含通解和特解两个部分。
通解完全由初始条件引起的，它是一个瞬态过程，工程上称为自然响应 (如机械振动中的自由振动)。
特解只由输入决定，特解就是系统由输入引起的输出(响应)，工程上称为强迫响应 (如机械振动中的强迫振动)。
答案：强迫响应题目：系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加 的形式有关。
分析与提示：系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关。
答案：输入信号题目：单位阶跃信号⎩⎨⎧<>=000t t t u1)(的拉氏变换为【 】A 、s 1 B 、21sC 、1D 、s 分析与提示：熟练掌握典型信号的拉氏变换。
B 为单位斜坡信号的拉氏变换，C 为单位冲击信号的拉是变换。
答案：A题目：选取输入信号应当考虑以下几个方面，输入信号应当具有 ，能够反映系统工作的大部分实际情况。
分析与提示：选取输入信号应当考虑以下几个方面，输入信号应当具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况。
机械工程控制基础知识点整合
第一章绪论1、控制论的中心思想、三要素和研究对象。
中心思想：通过信息的传递、加工处理和反馈来进行控制。
三要素：信息、反馈与控制。
研究对象：研究控制系统及其输入、输出三者之间的动态关系。
2、反馈、偏差及反馈控制原理。
反馈：系统的输出信号部分或全部地返回到输入端并共同作用于系统的过程称为反馈。
偏差：输出信号与反馈信号之差。
反馈控制原理：检测偏差，并纠正偏差的原理。
3、反馈控制系统的基本组成。
控制部分：给定环节、比较环节、放大运算环节、执行环节、反馈（测量）环节被控对象基本变量：被控制量、给定量（希望值）、控制量、扰动量（干扰）4、控制系统的分类1）按反馈的情况分类a、开环控制系统：当系统的输出量对系统没有控制作用，即系统没有反馈回路时，该系统称开环控制系统。
特点：结构简单，不存在稳定性问题，抗干扰性能差，控制精度低。
b、闭环控制系统：当系统的输出量对系统有控制作用时，即系统存在反馈回路时，该系统称闭环控制系统。
特点：抗干扰性能强，控制精度高，存在稳定性问题，设计和构建较困难，成本高。
2）按输出的变化规律分类自动调节系统随动系统程序控制系统3）其他分类线性控制系统连续控制系统非线性控制系统离散控制系统5、对控制系统的基本要求1）系统的稳定性：首要条件是指动态过程的振荡倾向和系统能够恢复平衡状态的能力。
2）系统响应的快速性是指当系统输出量与给定的输出量之间产生偏差时，消除这种偏差的能力。
3）系统响应的准确性（静态精度）是指在调整过程结束后输出量与给定的输入量之间的偏差大小。
第二章系统的数学模型1、系统的数学模型：描述系统、输入、输出三者之间动态关系的数学表达式。
时域的数学模型：微分方程；时域描述输入、输出之间的关系。
→单位脉冲响应函数复数域的数学模型：传递函数；复数域描述输入、输出之间的关系。
频域的数学模型：频率特性；频域描述输入、输出之间的关系。
2、线性系统与非线性系统线性系统：可以用线性方程描述的系统。
机械工程控制基础第3章系统的时间响应分析
y2 (t) B(t)
（3.1.10）
n
n
y1(t) A1iesit A2iesit
i 1
i 1
（3.1.11）
第一项:初态引起的自由响应；第二项:输入x(t)引起的自由响应，
全解:
自由响应
强迫响应
n
n
y(t) A1iesit A2iesit B(t)
i 1
i 1
零输入响应
零状态响应
X i2 (s)
或 xil (t) * x.02 (t) xi2 (t) * xo1(t)（*表卷积），就能求出。
输入信号：正常工作输入信号；外加测试信号;单位脉冲函数、 单位阶跃函数、单位斜坡函数、单位抛物线函数、正弦函数和 某些随机函数。
a单位脉冲函数
b单位阶跃函数
c单位斜坡函数
d单位抛物线函数
本章主要内容∶
1.概括地讨论系统的时间响应及其组成。 因为这是正确进行时间响应分析的基础；所谓系统的时间
响应及其组成就是指描述系统的微分方程的解与其组成，它们 完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程；
2.典型的输入信号;及一阶、二阶系统的典型时间响应。 典型输入信号便于进行时间响应分析；任何高阶系统均可
e正弦函数
f随机函数
图3.2.1 典型输入信号
单位阶跃函数:其导数为零，对控制系统只给出了位置，故 称位置输入信号； 单位斜坡函数:其导数为常数，一般称为恒速输入信号或速 度输入信号； 单位抛物线函数:其二次导数为常数，称为加速度输入信号。
下面分析一阶与二阶系统对单位脉冲与单位阶跃函数 的时间响应
输入信号 xi (t)是理想的单位脉冲函数 (t)时，系统输出xo (t)称 为单位脉冲响应函数或简称为单位脉冲响应，记为 w(t)
《机械工程控制基础》(杨叔子主编)第三章+系统时间响应分析
19
3.3 一阶系统
一阶系统：能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
（也称为一阶系统的特征参数），表达了一阶系 统本身的与外界作用无关的固有特性。
20
3.3 一阶系统
如果将该指数曲线衰减到初值的2％（或5％）之前的过程定义为 过渡过程，则可算得相应的时间为4T（或3T）。称此时间（4T/3T） 为过渡过程时间或调整时间，记为ts 。
时的更短，而且振荡不太严重。
42
3.4 二阶系统（的时域分析）
因此，一般希望二阶系统工作在 ＝0.4～0.8的欠阻尼状态， 因为这个工作状态有一个振荡特性适度而且过渡过程持续时间又较 短。
而且决定过渡过程特性的是瞬态 响应这部分。选择合适的过渡 过程实际上是选择合适的瞬态响应，也就是选择合适的特征参数：
如图所示:
二阶系统闭环极点分布
35
3.4 二阶系统（的时域分析）
记： 称 为二阶系统的有阻尼固有频率
36
3.4 二阶系统（的时域分析）
37
3.4 二阶系统（的时域分析）
当 取不同值，二阶欠 阻尼系统的单位脉冲响应如 图所示。
欠阻尼系统的单位脉冲 响应曲线是减幅的正玹振荡 曲线，且 愈小，衰减愈慢，
5
3.1 时间响应及其组成
此方程的解为通解 （即自由响应）与特解 强迫响应）所组成，即：
（即
6
3.1时间响应及其组成
这是因为：在定义系统的传递函数时，由于已指明了系统的 初态为零，故取决于系统的初态的零输入响应为零。
7
3.1时间响应及其组成（瞬态响应与稳态响应）
8
3.1时间响应及其组成（瞬态响应与稳态响应）
22
3.3 一阶系统
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3.1 时间响应及其组成
➢ 控制系统中典型输入信号
单位脉冲信号
单位阶跃信号
单位斜坡信号
单位抛物线信号
正弦信号
随机信号
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3.2 一阶系统时间响应
➢ 一阶系统： 微分方程
传递函数：
T：时间常数
若存在特征根具有正实部， 若存在特征根实部为0，
系统自由响应项发散， 其余实部为负，则自由响应
系统不稳定
称为瞬态响应项等幅振荡
系统临界稳定
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3.1 时间响应及其组成
➢ 系统特征根si：系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和 振荡特性
➢ 结论
➢ 特征根实部影响自由响应项的收敛性
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T：时间常数
单位脉冲响应
单位阶跃信号
单位斜坡信号
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14Biblioteka 3.2 一阶系统时间响应➢ 一阶系统：微分方程
传递函数：
T：时间常数
➢ 性能指标：调整时间ts
➢ 一阶系统地阶跃输入作用下，达到稳态值的（1-△）所需要的时间 （ △为允许误差） 稳态值
△·稳态值
➢ 若所有特征根均有负实部，系统自由响应项收敛，系 统稳定，此时自由响应称为瞬态响应，强迫响应项称
为稳态响应
➢ 若存在特征根实部为正，系统自由响应项发散，系统 不稳定
➢ 若存在特征根实部为0，其余实部为负，则自由响应 等幅振荡,系统临界稳定
控制工程基础 (3)
式中,
n
1 LC
为系统的无阻尼固有频率；
1 R C 为系统的阻尼比。
2L
当输入电压为阶跃信号时，在 ( 0 1 )情况下系统输出响应 的拉氏变换为
Uo (s)
s(s2
n2 2ns
n2 )
1 s
(s
s n n )2 d2
(s
d n )2
值 的 10% 上 升 到
0 tr
90%，所需的时间。
tp
上升时间越短，
ts
允许误差 0.02或 0.05
t
响应速度越快。
图 3-2表 示 性 能 指 标 td,tr,tp,Mp和 ts的 单 位 阶 跃 响 应 曲 线
3 峰值时间tp：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
3 控制系统的时域分析 10
控制工程基础
主讲 曾 励
3 控制系统的时域分析
• 3.1控制系统的瞬态响应 • 3.2一阶系统的时间响应 • 3.3二阶系统的时间响应 • 3.4高阶系统的时间响应
3 控制系统的时域分析 2
3.1控制系统的瞬态响应
3.1.1典型输入信号
由于系统的输入具有多样性，所以在分析和设计系统时， 需要规定一些典型的输入信号，然后比较各系统对典型输入信 号的时间响应。尽管在实际中，输入信号很少是典型输入信号， 但由于系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意信号的时 间响应之间存在一定的关系。
1 C
idt
uo
1 C
idt
在零初始条件下，对上式进行拉氏变换后得
Ui
(s)
LsI
(s)
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a单位脉冲函数
b单位阶跃函数
c单位斜坡函数
d单位抛物线函数
e正弦函数
f随机函数
图3.2.1 典型输入信号
中原工学院
机电学院
单位阶跃函数:其导数为零，对控制系统只给出了位置，故
称位置输入信号；
单位斜坡函数:其导数为常数，一般称为恒速输入信号或速
度输入信号；
单位抛物线函数:其二次导数为常数，称为加速度输入信号。
统的响应函数。 传递函数(初态为零)求解:Laplace逆变换 y(t ) L1[Y( s)] 就是系统的零状态响应。
中原工学院
机电学院
瞬态响应
若所有的 Re si 0，自由响应随着时间逐渐衰减, 当 t 时自由 响应则趋于零, 系统稳定, 自由响应称为瞬态响应. 反之，只要有一个 Re si 0，即传递函数的相应极点 si在复数[s]平 面右半平面，自由响应随着时间逐渐增大，当t 时，自由响应也 趋于无限大,系统不稳定，自由响应就不是瞬态响应。
2.典型的输入信号;及一阶、二阶系统的典型时间响应。 典型输入信号便于进行时间响应分析；任何高阶系统均 可化为零阶、一阶、二阶系统等的组合；任何输入产生的时 间响应均可由典型输入信号产生的典型时间响应而求得；
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3.1 时间响应及其组成
首先来分析最简单的振动系统，即无阻尼的单自由度系统。如图 3.1.1所示，
T 称为一阶系统的时间常数，它表达了一阶系统本身的与外界 作用无关的固有特性，亦称一阶系统的特征参数。
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3.3.1 一阶系统的单位脉冲响应
输入信号 xi (t )是理想的单位脉冲函数 (t )时，系统输出 xo (t )称 为单位脉冲响应函数或简称为单位脉冲响应，记为 w(t ) 而 所以
若式（3.1.9）的齐次方程的特征根 si (i 1,..., n) 各相同，则
y1 (t ) Ai esi t
n i 1
y2 (t ) B(t )
n
（3.1.10）
而 y1 (t )又分为两部分，即
y1 (t ) A1i esi t A2i esi t
i 1 i 1
零输入响应（ “初态”引起的自由响应）是输入信号为零，仅由系统 的起始状态作用所引起的响应
零状态响应（仅由输入引起的响应）是系统的起始状态为零，即系统 的起始贮能为零时，仅由激励信号作用所引起的响应. 为非齐次方程 控制工程主要研究:零状态响。
n d k yzs (t ) m d k x(t ) bk ak dt k dt k k 0 k 0 dk 起始条件： yzx (0 ) 0, k 0,1, 2, , n dt k
h 0.1T
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3.3.2 一阶系统的单位阶跃响应
输入信号为单位阶跃函数时，即
1 xi (t ) u (t ), L[u (t )] s 响应函数的Laplace变换式为：
X 0 ( s) G ( s) X i ( s)
其时间响应函数[记为 xou (t )]为：
xou (t )
0 0.632 0.865 0.982 1
xou (t )
1 T
1 T2 1 0.135 2 T 1 0.018 2 T 0.368
0
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如图3.3.2所示，式（3.3.2）表示的一阶系统的单位阶跃响应是一条
单调上升指数曲线，稳态值为 xou () 。曲线有两个重要的特征点。
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w(t)只有瞬态项，而B(t)为零。由式(3.3.1)可得表3.3.1
表3.3.1
t
0
w(t )
1 T
1 0.368 T
w (t )
1 T2
1 T2
1 T2
T
2T
0.368
0.135
0.135
1 T
4T
0.018
1 T
0.018
1 T2
0
0
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一阶系统的单位脉冲响应函数是一个单调下降的指数曲线。 过渡过程：将指数曲衰减到初值的2%之前的过程定义为过渡过程， 相应的时间为4T。称此时间为过渡过程时间或调整时间，记为ts。 系统的时间常数T愈小, 愈短, 系统的惯性愈小，反应的快速性能 愈好。 脉冲响应形式类似与零输入响应。 实际脉冲信号: 具有一定的脉冲宽度和有限的幅度的来代替理想的脉 冲信号, 脉冲宽度与系统的时间常数T比，一般为:
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第3章 系统的时间响应分析
在建立系统的数学模型（包括微分方程与传递函 数）之后，就可以采用不同的方法，通过系统的数学 模型来分析系统的特性。时间响应分析是重要的方法 之一。
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本章主要内容∶
1.概括地讨论系统的时间响应及其组成。 因为这是正确进行时间响应分析的基础；所谓系统的时间 响应及其组成就是指描述系统的微分方程的解与其组成，它们 完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程；
下面分析一阶与二阶系统对单位脉冲与单位阶跃函数 的时间响应
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3.3 一阶系统
一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，其微分方程和传递
函数的一般形式为：
dxo (t ) T xo (t ) xi (t ) dt
X 0 ( s) 1 G ( s) X i ( s ) Ts 1
图3.1.1 单自由度的m-k系统
质量为m与弹簧刚度为k的单自由度系统在外力Fcost的作用下， 系统的动力学方程为3.1.1:
my(t ) ky(t ) F cos t
（3.1.1）
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这一非齐次常微分方程的完全解由两部分组成：
y(t ) y1 (t ) y2 (t )
W ( s) X 0 ( s) G( s) X i ( s) X i (s) L[ (t )] 1 W (s) G(s)
w(t ) L1[G ( s )] L1[ 1 ] Ts 1
（3.3.1）
单位脉冲响应函数:系统传递函数的Laplace逆变换，即
所以
1 t / T w(t ) e (t 0) T
稳态响应
稳态响应:指强迫响应。
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系统稳定性、响应快速性、响应准确性
稳定性、响应快速性、响应准确性:与自由响应密切相关的。
Re si 的正负:决定自由响应是衰减与发散，系统稳定与不稳定； Re si 为负时, 其绝对值的大小:决定自由响应衰减速度，及系统响应
趋于稳态响应的速度；
Im si:决定自由响应的振荡情况，决定系统的响应在规定时间内接
n
（3.1.11）
第一项:初态引起的自由响应；第二项:输入x(t)引起的自由响应，
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全解:
自由响应
n n
强迫响应
y (t ) A1i esi t A2i esi t B(t )
i 1 i 1
（3.1.12）
零输入响应
零状态响应
其中:n和si只取决于系统的结构与参数。 当输入函数有导数项:方程为：
（3.1.3） （3.1.4）
（3.1.5） (m 2 k )Y cos t F cos t F 1 Y 式中 / n 2 k 1
于是，式（3.1.1）的完全解为
F 1 y (t ) A sin nt B cos nt cos t （3.1.6） 2 k 1
与微分方程中解的理论知：
（3.1.2）
式中，y1 (t ) 是齐次微分方程的通解；y2 (t )是其一个特解。由理论力学
y1 (t ) A sin nt B cos nt y2 (t ) Y cos t
式中， n k / m ，为系统的无阻尼固有频率。 将式（3.1.4）代入式(3.1.1)，有 化简得，
an y ( n ) (t ) an1 y ( n 1) (t ) a1 y (t ) a0 y (t )
bm x( m) (t ) bm1 x ( m1) (t ) b1 x(t ) b0 x(t ), n m
（3.1.13）
x 利用线性原理:利用方程(3.1.9)的解(3.1.12),可分别求出 x(t ), (t ),, x ( m) (t ) 作用时的响应函数，然后叠加，就可以求得方程（3.1.13）的解，即系
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求解常数A与B：将上式对t求导，有
F y (t ) An cos nt Bn sin nt sin t 2 k 1
（3.1.7）
y 设 t 0时， (t ) y (0), y (t ) y (0)，代入式（3.1.6）与（3.1.7），联 立解得： F 1 y (0) B y (0) A , k 1 2 n 代入式（3.1.6），整理得通解：
1 1 Ts 1 s
xou (t ) L1[ X o ( s)] 1 et / T (t 0)
态项B(t)
（3.3.2）
由式（3.3.2）和式（3.1.12）可知，ou (t ) 中 e t / T 是瞬态项，1是稳 x
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由式（3.3.2）可得表3.3.2和图3.3.2 表3.3.2 t 0 T 2T 4T
当
时间常数T 反映了固有特性，其值愈小，系统的惯性就愈小，系统 t 4T ta 4T 的响应也就愈快。
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G(s)
实验法求一阶系统的传递函数