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闸北区九年级数学学科期末练习卷

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《试卷3份集锦》上海市闸北区2020-2021年九年级上学期数学期末达标检测试题

《试卷3份集锦》上海市闸北区2020-2021年九年级上学期数学期末达标检测试题

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，下列式子正确的是（）A．sinA＝BDBCB．cosA＝ACADC．tanA＝CDABD．cosB＝ACAB【答案】A【分析】利用同角的余角相等可得∠A＝∠BCD，再根据锐角三角函数的定义可得答案．【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A+∠DCA＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴sinA＝sin∠BCD＝BD BC；cosA＝cos∠BCD= AC AB;tanA＝CD AD；cosB＝BC AB；所以B、C、D均错误故选：A．【点睛】本题考查的是锐角三角函数定义，理解熟记锐角三角函数定义是解题关键，需要注意的是锐角三角函数是在直角三角形的条件下定义的．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝65°，∠ABC＝68°，则∠A的度数为（）.A．112°B．68°C．65°D．52°【答案】C【分析】由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠BAD+∠BCD＝180°，又由邻补角的定义，可证得∠BAD＝∠DCE．继而求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD+∠BCD ＝180°，∵∠BCD+∠DCE ＝180°，∴∠A ＝∠DCE ＝65°．故选：C ．【点睛】此题考查了圆的内接四边形的性质．注意掌握圆内接四边形的对角互补是解此题的关键．3．如图，AC ，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 交于点F ，下列三角形中，外心不是点O 的是（ ）A ．△ABEB ．△ACFC ．△ABD D ．△ADE【答案】B 【解析】试题分析：A ．OA=OB=OE,所以点O 为△ABE 的外接圆圆心；B ．OA=OC≠OF ，所以点不是△ACF 的外接圆圆心；C ．OA=OB=OD,所以点O 为△ABD 的外接圆圆心；D ．OA=OD=OE,所以点O 为△ADE 的外接圆圆心；故选B考点：三角形外心4．如图，在菱形ABOC 中，∠A=60°，它的一个顶点C 在反比例函数k y x=的图像上，若菱形的边长为4，则k 值为( )A ．43B ．23C ．43-D ．23-【答案】C 【分析】由题意根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C 的坐标，从而可以求得k 的值.【详解】解：∵在菱形ABOC 中，∠A=60°，菱形边长为4，∴OC=4，∠COB=60°，C 的横轴坐标为-42=-2÷（），C 224-2=23∴点C 的坐标为（-2，23，∵顶点C 在反比例函数k y x=的图象上，∴23=2k -，得k=43-， 故选：C.【点睛】本题考查反比例函数图像以及菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C 的坐标，利用反比例函数的性质解答．5．如图所示的几何体的俯视图是( )A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】试题分析：根据俯视图的作法即可得出结论．从上往下看该几何体的俯视图是D ．故选D ．考点：简单几何体的三视图.6．某制药厂，为了惠顾于民，对一种药品由原来的每盒121元，经连续两次下调价格后，每盒降为81元；问平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题可列的方程为（ ）A ．x ＝12181100%1212-⨯B ．x ＝12181100%812-⨯C ．281(1)121+=xD ．2121(1)81-=x【答案】D 【分析】设平均每次下调的百分率为x ，根据该药品的原价及经过两次下调后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设平均每次下调的百分率为x ，依题意，得：121（1﹣x ）2＝1． 故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．如果23x y =，那么下列比例式中正确的是（ ）A ．23x y = B ．23x y = C ．32x y = D ．23x y = 【答案】C【分析】根据比例的性质，若a c b d =，则ad bc =判断即可. 【详解】解：23x y =32x y ∴= 故选：C.【点睛】本题主要考查了比例的性质，灵活的利用比例的性质进行比例变形是解题的关键.8．用配方法解方程241x x =+，配方后得到的方程是（ ）A ．2(2)5x -=B ．2(2)4x -=C ．2(2)3x -=D ．2(2)14x -=【答案】A【分析】将方程的一次项移到左边，两边加上4变形后，即可得到结果．【详解】解：方程移项得：x 2−4x=1，配方得：x 2−4x+4=1，即(x−2)2=1．故选A ．【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟记完全平方公式.9．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠ABC=70°，点O 是△ABC 的外心，则∠BOC 的度数为（ ）A ．40°B ．60°C ．70°D ．80°【答案】D 【分析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A 的度数，然后根据圆周角定理可得∠O ＝2∠A ，进而可得答案．【详解】解：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝70°，∴∠A ＝180°−70°×2＝40°，∵点O 是△ABC 的外心，∴∠BOC ＝40°×2＝80°，故选：D ．此题主要考查了三角形的外接圆和外心，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．10．如图，抛物线22y x x =+与直线112y x =+交于A ，B 两点，与直线2x =交于点D ，将抛物线沿着射线AB 方向平移25个单位．在整个平移过程中，点D 经过的路程为（ ）A ．12116B ．738C ．152D ．6 【答案】B【分析】根据题意抛物线沿着射线AB 方向平移25A 向右平移4个单位，向上平移2个单位，可得平移后的顶点坐标．设向右平移a 个单位，则向上平移12a 个单位，抛物线的解析式为y=(x+1-a) ²-1+12a ，令x=2,y=(a-114)²+716,由0≤a≤4,推出y 的最大值和最小值,根据点D 的纵坐标的变化情形，即可解决问题．【详解】解：由题意，抛物线沿着射线AB 方向平移5A 向右平移4个单位，向上平移2个单位， ∵抛物线22y x x =+=(x+1) ²-1的顶点坐标为(-1,-1),设抛物线向右平移a 个单位，则向上平移12a 个单位， 抛物线的解析式为y=(x+1-a) ²-1+12a 令x=2,y=(3-a) ²-1+12a, ∴y=(a-114)²+716, ∵0≤a≤4 ∴y 的最大值为8，最小值为716， ∵a=4时，y=2，∴8-2+2(2-716)=738故选：B本题考查的是抛物线上的点在抛物线平移时经过的路程问题，解决问题的关键是在平移过程中点D 的移动规律．11．反比例函数()0k y k x =≠的图象经过点()2,3-，则下列各点中，在这个函数图象上的是（ ） A ．()2,3 B ．()2,3-- C ．()1,6 D ．()1,6- 【答案】D【分析】计算k 值相等即可判断该点在此函数图象上.【详解】k=-2⨯3=-6，A.2 ⨯3=6，该点不在反比例函数k y x=的图象上； B.-2 ⨯（-3）=6，该点不在反比例函数k y x=的图象上； C.1 ⨯6=6，该点不在反比例函数k y x=的图象上， D.1⨯(-6)=-6，该点在反比例函数k y x =的图象上， 故选：D.【点睛】此题考查反比例函数的性质，正确计算k 值即可判断.12．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB=4，那么AP 的长是（ ）A ．252-B ．25-C ．251-D ．52- 【答案】A【解析】根据黄金比的定义得：512AP AB -= ，得5142522AP -=⨯=- .故选A. 二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，已知⊙O 的半径为2，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC ＝∠AOC ，且AD ＝CD ，则图中阴影部分的面积等于______．【答案】43π3【分析】根据题意可以得出三角形ACD是等边三角形，进而求出∠AOD，再根据直角三角形求出OE、AD，从而从扇形的面积减去三角形AOD的面积即可得出阴影部分的面积．【详解】解：连接AC，OD，过点O作OE⊥AD，垂足为E，∵∠ABC＝∠AOC，∠AOC＝2∠ADC，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，∵AD＝CD，∴△ACD是正三角形，∴∠AOD＝120°，OE＝2×cos60°＝1，AD＝2×sin60°×2＝23，∴S阴影部分＝S扇形OAD﹣S△AOD＝120360×π×22﹣12×23×1＝43π﹣3，故答案为：43π﹣3．【点睛】本题主要考察扇形的面积和三角形的面积，熟练掌握面积公式及计算法则是解题关键.14．如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠A＝100°，则∠BOC为_____．【答案】140°．【分析】根据内心的定义可知OB、OC为∠ABC和∠ACB的角平分线，根据三角形内角和定理可求出∠OBC+∠OCB的度数，进而可求出∠BOC的度数.【详解】∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴OB、OC为∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∵∠A=100°，∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=40°，∴∠BOC=180°-40°=140°. 故答案为：140°【点睛】本题考查了三角形内心的定义及三角形内角和定理，熟练掌握三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点是解题关键.15．从﹣2，﹣1，1，2四个数中任取两数，分别记为a 、b ，则关于x 的不等式组1x a x b +⎧⎨⎩有解的概率是_____． 【答案】23． 【分析】根据关于x 的不等式组1x a x b +⎧⎨⎩有解，得出b ≤x ≤a+1，根据题意列出树状图得出所有等情况数和关于x 的不等式组1x a x b+⎧⎨⎩有解的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：∵关于x 的不等式组1x a x b +⎧⎨⎩有解， ∴b ≤x ≤a+1，根据题意画图如下：共有12种等情况数，其中关于x 的不等式组1x a x b +⎧⎨⎩有解的情况分别是21a b =-⎧⎨=-⎩，12a b =-⎧⎨=-⎩，12a b =⎧⎨=-⎩，11a b =⎧⎨=-⎩，12a b =⎧⎨=⎩，22a b =⎧⎨=-⎩，21a b =⎧⎨=-⎩，21a b =⎧⎨=⎩，共8种， 则有解的概率是82123=； 故答案为：23． 【点睛】本题考查了不等式组的解和用列举法求概率，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．16．计算：sin 45︒=________．2 【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．【详解】sin 45︒=22故答案为：22． 【点睛】 本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键． 17．如图，直线////a b c ，若12AB BC =，则DE DF的值为_________【答案】13【解析】先由12AB BC =得出13AB AC =，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【详解】∵12AB BC =， ∴13AB AC =， ∵a ∥b ∥c ，∴DE DF ＝13AB AC =． 故答案为：13. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 18．如图，直线1y mx =-交y 轴于点B ，交x 轴于点C ，以BC 为边的正方形ABCD 的顶点A （-1，a ）在双曲线()20y x x=-＜上，D 点在双曲线()0k y x x =＞上，则k 的值为_______.【答案】6【分析】先确定出点A 的坐标，进而求出AB ，再确定出点C 的坐标，利用平移即可得出结论．【详解】∵A(−1,a)在反比例函数y=2-x上， ∴a=2，∴A(−1,2)，∵点B 在直线y=kx−1上，∴B(0,−1)，∴AB=10，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AB=10，设B(m,0)，∴2110m+=，∴m=−3(舍)或m=3，∴C(3,0)，∴点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位，∴点D是点A向右平移3个单位，再向上平移1个单位，∴点D(2,3),将点D的坐标代入反比例函数y=kx中，∴k=6故答案为：6.【点睛】本题主要考察反比例函数与一次函数的交点问题，解题突破口是确定出点A的坐标.三、解答题（本题包括8个小题）19．为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？．【答案】（1）30°；（2）海监船继续向正东方向航行是安全的．【分析】（1）根据直角的性质和三角形的内角和求解；（2）过点P作PH⊥AB于点H，根据解直角三角形，求出点P到AB的距离，然后比较即可.【详解】解：（1）在△APB中，∠PAB=30°，∠ABP=120°∴∠APB=180°-30°-120°=30°（2）过点P作PH⊥AB于点H在Rt△APH中，∠PAH=30°，AH=3PH在Rt△BPH中，∠PBH=30°，BH=3 PH∴AB=AH-BH=23PH=50解得PH=253＞25，因此不会进入暗礁区，继续航行仍然安全.考点：解直角三角形20．在图1的6×6的网格中，已知格点△ABC（顶点A、B、C都在格各点上）（1）在图1中，画出与△ABC面积相等的格点△ABD（不与△ABC全等），画出一种即可；（2）在图2中，画出与△ABC相似的格点△A′B′C′（不与ABC全等），且两个三角形的对应边分别互相垂直，画出一种即可．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）利用等底同高作三角形ABD；（2）利用相似比为2画△A1B1C1．【详解】解：（1）如图1，△ABD为所作；（2）如图2，△A1B1C1为所作．【点睛】本题考查了作图−−相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．也考查了全等三角形的性质．21．三个小球上分别标有数字﹣2，﹣1，3，它们除数字外其余全部相同，现将它们放在一个不透明的袋子里，从袋子中随机地摸出一球，将球上的数字记录，记为m ，然后放回；再随机地摸取一球，将球上的数字记录，记为n ，这样确定了点(m ，n)．（1）请列表或画出树状图，并根据列表或树状图写出点(m ，n)所有可能的结果；（2）求点(m ，n)在函数y ＝x 的图象上的概率．【答案】（1）见解析；（2）13【分析】（1）根据题意列表，然后写出点（m ，n ）所有可能的结果即可；（2）点（m ，n ）所有可能的结果共有9种，符合n ＝m 的有3种，由概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）列表如下：点（m ，n ）所有可能的结果为：（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣2），（3，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣1，﹣1），（3，﹣1），（﹣2，3），（﹣1，3）（3，3）；（2）点（m ，n ）所有可能的结果共有9种，符合n ＝m 的有3种：（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1），（3，3）， ∴点（m ，n ）在函数y ＝x 的图象上的概率为：3193=． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法、概率公式以及一次函数的性质等知识；列表得出所有结果是解题的关键． 22．如图，一次函数y x b =-+的图象与反比例函数k y x=()0x <的图象交于点,A C 两点，其中点()3,A m -，与x 轴交于点()2,0B -．()1求一次函数和反比例函数的表达式；()2求C 点坐标；()3根据图象，直接写出不等式k x b x-+<的解集．【答案】（1）y＝－x－2，y＝－3x，（2）C(1,-3)，（3）－3＜x＜0或x＞1．【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数中即可求出一次函数的表达式，进而求出A点坐标，然后再将A 点坐标代入反比例函数中即可求出反比例函数的表达式；（2）将一次函数与反比例函数联立即可求出C点坐标；（3）根据两交点坐标及图象即可得出答案．【详解】解：（1）由点B（－2，0）在一次函数y＝－x＋b上，得b＝－2，∴一次函数的表达式为y＝－x－2，由点A(－3，m)在y＝－x－2上，得m＝1，∴A(－3，1)，把A(－3，1)代入数y＝kx（x＜0）得k＝－3，∴反比例函数的表达式为：y＝－3x，（2）23y xyx=--⎧⎪⎨=-⎪⎩解得31xy=-⎧⎨=⎩或13xy=⎧⎨=-⎩∴C（1，－3）（3）当kx bx-+<时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，根据图象可知此时－3＜x＜0或x＞1．∴不等式kx bx-+<的解集为－3＜x＜0或x＞1．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法及数形结合是解题的关键．23．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接（1）求证：△DCG ≌△BEG ；（2）你能求出∠BDG 的度数吗？若能，请写出计算过程；若不能，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）∠BDG ＝45°，计算过程见解析【分析】（1）先求出∠BAE ＝45°，判断出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AB ＝BE ，∠AEB ＝45°，从而得到BE ＝CD ，再求出△CEF 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CG ＝EG ，再求出∠BEG ＝∠DCG ＝135°，然后利用“边角边”证明即可．（2）由△DCG ≌△AEG ，得出∠DGC ＝∠BGE ，证出∠BGD ＝∠EGC ＝90°，即可得出结果．【详解】（1）证明：∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AB ＝BE ，∠AEB ＝45°，∵AB ＝CD ，∴BE ＝CD ，∵∠CEF ＝∠AEB ＝45°，∠ECF ＝90°，∴△CEF 是等腰直角三角形，∵点G 为EF 的中点，∴CG ＝EG ，∠FCG ＝45°，∴∠BEG ＝∠DCG ＝135°，在△DCG 和△BEG 中，BE CD BEG=DCG CG EG =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩，∴△DCG ≌△BEG （SAS ）．（2）解：∵△DCG ≌△BEG ，∴∠DGC ＝∠BGE ，DG ＝BG ，∴∠BGD ＝∠EGC ＝90°，∴△BDG 等腰直角三角形，∴∠BDG ＝45°．本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．24．如图，30PBC ∠=，点O 是线段PB 的一个三等分点，以点O 为圆心，OB 为半径的圆交PB 于点A ，交BC 于点E ，连接.PE(1)求证:PE 是O 的切线； (2)点D 为O 上的一动点，连接OD .①当AOD ∠= 时，四边形BEPD 是菱形;②当AOD ∠= 时，四边形ADBE 是矩形.【答案】 (1)见解析；(2)①60°，②120°.【分析】（1）连接,OE AE ，由30PBE ∠=︒，得到AOE ∆为等边三角形，得到PA OA OB AE ===，即可得到90OEP ∠=︒，则结论成立；（2）①连接BD ，由圆周角定理，得到∠ABD=30°，则∠DBE=60°，又有∠BEP=120°，根据同旁内角互补得到PE//DB ，然后证明PE EB BD ==，即可得到答案；②由圆周角定理，得∠ABD=60°，得到∠EBD=90°，然后由直径所对的圆周角为90°，得到90AEB ADB ∠=∠=︒，即可得到答案.【详解】证明：连接,OE AE ，,30OB OE PBE =∠=︒，260POE PBE ∴∠=∠=︒.OA OE =，AOE ∴为等边三角形，AE OA ∴=.点O 是BP 的三等分点，PA OA OB AE ===， 1302OPE AEP OAE ∴∠=∠=∠=︒， 603090OEP OEA AEP ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，即OE PE ⊥，PE ∴是O 的切线.（2）①当60AOD ∠=︒时，四边形BEPD 是菱形；如图，连接BD ，∵60AOD ∠=︒，∴30ABD ∠=︒，∴303060EBD ∠=︒+︒=︒，∵AB 为直径，则∠AEB=90°，由（1）知30AEP ∠=︒，∴3090120BEP ∠=︒+︒=︒，∴60120180EBD BEP ∠+∠=︒+︒=︒，∴PE//DB ， ∵30APE PBE ∠=∠=︒，18060120BOE BOD ∠=∠=︒-︒=︒，∴PE EB BD ==，∴四边形BEPD 是菱形；故答案为：60°.②当120AOD ∠=︒时，四边形ADBE 是矩形.如图，连接AE 、AD 、DB ，∵120AOD ∠=︒，∴1120602ABD ∠=⨯︒=︒， ∴306090EBD ∠=︒+︒=︒，∵AB 是直径，∴90AEB ADB ∠=∠=︒，∴四边形ADBE 是矩形.故答案为：120︒.【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的判定和矩形的判定，解题的关键是正确作出辅助线，利用圆的性质进行解题.25．如图，抛物线221y x x k =-++与x 轴相交于,A B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点()0,3C -.抛物线上有一点()P m n ,，且0m >.（1）求抛物线的解析式和顶点坐标.（2）当点P 位于x 轴下方时，求ABP △面积的最大值.（3）①设此抛物线在点C 与点P 之间部分（含点C 和点P ）最高点与最低点的纵坐标之差为h .求h 关于m 的函数解析式，并写出自变量m 的取值范围；②当9h =时，点P 的坐标是___________.【答案】（1）223y x x =--，顶点坐标为()1,4-；（2）8；（3）①222,(01)1,(12)21,(2)m m m h m m m m ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩；②()4,5.【分析】（1）将点C 代入表达式即可求出解析式，将表达式转换为顶点式即可写出顶点坐标；（2）根据题目分析可知，当点P 位于抛物线顶点时，△ABP 面积最大，根据解析式求出A 、B 坐标，从而得到AB 长，再利用三角形面积公式计算面积即可；（3）①分三种情况：0<m≤1、1<m≤2以及m>2时，分别进行计算即可；②将h=9代入①中的表达式分别计算判断即可.【详解】解：（1）将点()0,3C-代入221y x x k =-++，得31k -=+， 解得4k =-，∴222(4)123y x x x x =-+-+=--，∵()222314y x x x =--=--，∴抛物线的顶点坐标为()1,4-；（2）令2230y x x =--=，解得1x =-或3x =，∴()1,0A -，()3,0B ，∴4AB =，当点P 与抛物线顶点重合时，△ABP 的面积最大， 此时14482ABP S =⨯⨯=△； （3）①∵点C(0，－3)关于对称轴x=1对称的点的坐标为(2，－3)，P(m ，223m m --)，∴当01m <≤时，()223232h m m m m =----=-+， 当12m <≤时，()341h =---=，当2m >时，2223(4)21h m m m m =----=-+, 综上所述，222,(01)1,(12)21,(2)m m m h m m m m ⎧-+<≤⎪=<≤⎨⎪-+>⎩；②当h=9时，若229m m -+=，此时方程无解，若2219m m -+=，解得m=4或m=－2（不合题意，舍去），∴P(4，5).【点睛】本题为二次函数综合题，需熟练掌握二次函数表达式求法及二次函数的性质，对于动点问题正确分析出所存在的所有情况是解题关键.26．如图所示，∠DBC ＝90°，∠C ＝45°，AC ＝2，△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△DBE ，连接AE ． （1）求证：△ABC ≌△ABE ；（2）连接AD ，求AD 的长．【答案】（1）见解析；（2）2.【分析】（1）根据旋转的性质得到∠DBE ＝∠ABC ，∠EBC ＝60°，BE ＝BC ，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）连接AD ，根据旋转的性质得到DE ＝AC ，∠BED ＝∠C ，DE ＝AC ＝2，根据全等三角形的性质得到∠BEA＝∠C ，AE ＝AC ＝2，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：∵△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△DBE ，∴∠DBE ＝∠ABC ，∠EBC ＝60°，BE ＝BC ，∵∠DBC ＝90°，∴∠DBE ＝∠ABC ＝30°，∴∠ABE ＝30°，在△ABC 与△ABE 中，=30?BC BE ABC ABE BA BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ABE （SAS ）；（2）解：连接AD ，∵△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△DBE ，∴DE ＝AC ，∠BED ＝∠C ，DE ＝AC ＝2，∵△ABC ≌△ABE ，∴∠BEA ＝∠C ，AE ＝AC ＝2，∵∠C ＝45°，∴∠BED ＝∠BEA ＝∠C ＝45°，∴∠AED ＝90°，DE ＝AE ，∴AD ＝2AE ＝22．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．27．方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，且三个顶点的坐标分别为A （1，﹣4）,B （5，﹣4），C （4，﹣1）．（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点C1 的坐标；（1）作出△ABC绕着点A逆时针方向旋转90°后得到的△AB1C1．【答案】（1）图详见解析，C1（-4，1）；（1）图详见解析【分析】（1）根据关于原点对称点的坐标，确定对称点的坐标，描点连线成图即可；（1）根据旋转的性质确定B1，C1的位置再连接,B1，C1．【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所求，C1（-4，1）（1）如图，△AB1C1为所求，【点睛】此题考查旋转—作图，点的对称，掌握旋转图形的性质是解题的关键．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列图形中不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．【详解】A、C、D都是中心对称图形；不是中心对称图形的只有B．故选B．【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟知中心对称图形的定义，即可完成．2．如图，正方形ABCD中，点E是以AB为直径的半圆与对角线AC的交点．现随机向正方形ABCD内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（）A．18B．14C．13D．12【答案】B【分析】连接BE，如图，利用圆周角定理得到∠AEB=90°，再根据正方形的性质得到AE=BE=CE，于是得到阴影部分的面积=△BCE的面积，然后用△BCE的面积除以正方形ABCD的面积可得到镖落在阴影部分的概率．【详解】解：连接BE，如图，∵AB为直径，∴∠AEB=90°，而AC为正方形的对角线，∴AE=BE=CE，∴弓形AE的面积=弓形BE的面积，∴阴影部分的面积=△BCE的面积，∴镖落在阴影部分的概率=14．故选：B．【点睛】本题考查了几何概率：某事件的概率=这个事件所对应的面积除以总面积．也考查了正方形的性质．3．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．16【答案】D【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=12BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【详解】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=12 BC，∴△ADE∽△ABC，∵DEBC=12，∴14ADEABCSS∆∆=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选D．【点睛】考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．4．已知反比例函数y＝﹣2x的图象上有三个点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列关系是正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1【答案】B【分析】根据函数的解析式得出图象所在的象限和增减性，再进行比较即可．【详解】解：∵反比例函数y＝﹣2x，∴函数图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∵函数的图象上有三个点（x 1，y 1），（x 2，y 2）、（x 3，y 3），且x 1＞x 2＞0＞x 3，∴y 2＜y 1＜0，y 3＞0∴. y 2＜y 1＜y 3故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和函数的图象和性质，能灵活运用函数的图象和性质进行推理是解此题的关键． 5．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是（ ）x ……-3 -2 -1 0 1 …… y …… -17-17 -15 -11 -5 …… A ．3x =-B ． 2.5x =-C ．2x =-D ．0x = 【答案】B【分析】当3x =-和2x =-时，函数值相等，所以对称轴为 2.5x =-【详解】解：根据题意得，当3x =-和2x =-时，函数值相等，所以二次函数图象的对称轴为直线32 2.52x --==- 故选B【点睛】本题考查了二次函数的性质.6．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表。

∥3套精选试卷∥2021年上海市闸北区九年级上学期期末考前验收数学试题

∥3套精选试卷∥2021年上海市闸北区九年级上学期期末考前验收数学试题

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，△ABC 中，∠A=70°，AB=4，AC= 6，将△ABC 沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题解析：A 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；故选D ．2．二次函数223y x =+的顶点坐标为（ ）A ．()2,0B ．()2,3C ．()3,0D ．()0,3【答案】D【分析】已知二次函数y ＝2x 2＋3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．【详解】∵y ＝2x 2＋3＝2（x−0）2＋3，∴顶点坐标为（0，3）．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数的图象为抛物线，则解析式为y ＝a （x−k ）2＋h 的顶点坐标为（k ，h ），3．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高8AO =米，底面半径6OB =米，则圆锥的侧面积是多少平方米（结果保留π）． （ ）A ．60πB ．50πC ．47.5πD ．45.5π【答案】A 【分析】根据勾股定理求得AB ，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S=12lr ，求得答案即可． 【详解】解：∵AO=8米，OB=6米，∴AB=10米，∴圆锥的底面周长=2×π×6=12π米，∴S 扇形=12lr=12×12π×10=60π（米2）． 故选：A ．【点睛】本题考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，熟知圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4．下列事件是随机事件的是（ ）A ．打开电视，正在播放新闻B ．氢气在氧气中燃烧生成水C ．离离原上草，一岁一枯荣D ．钝角三角形的内角和大于180°【答案】A【分析】根据随机事件的意义，事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：A 、打开电视，正在播放新闻，是随机事件；B 、氢气在氧气中燃烧生成水，是必然事件；C 、离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件；D 、钝角三角形的内角和大于180°，是不可能事件；故选：A ．【点睛】本题考查可随机事件的意义，正确理解随机事件的意义是解决本题的关键.5．已知抛物线223y x x =--，则下列说法正确的是（ ）A ．抛物线开口向下B ．抛物线的对称轴是直线1x =-C ．当1x =时，y 的最大值为4-D ．抛物线与y 轴的交点为()0,3- 【答案】D【分析】根据二次函数的性质对A 、B 进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对C 进行判断；利用抛物线与轴交点坐标对D 进行判断．【详解】A 、a=1＞0，则抛物线223y x x =--的开口向上，所以A 选项错误；B 、抛物线的对称轴为直线x=1，所以B 选项错误；C 、当x=1时，y 有最小值为4-，所以C 选项错误；D 、当x=0时，y=-3，故抛物线与y 轴的交点为()0,3-，所以D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与y 轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键．6．如图，D 是等边△ABC 边AD 上的一点，且AD ：DB=1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 、BC 上，则CE ：CF=（ ）A ．34B ．45C ．56D ．67【答案】B【详解】解：由折叠的性质可得，∠EDF=∠C=60º,CE=DE,CF=DF再由∠BDF+∠ADE=∠BDF+∠BFD=120º可得∠ADE=∠BFD ，又因∠A=∠B=60º，根据两角对应相等的两三角形相似可得△AED ∽△BDF 所以DE AD AE DF BF BD==， 设AD=a ，BD=2a ，AB=BC=CA=3a ，再设CE==DE=x ，CF==DF=y ，则AE=3a-x ，BF=3a-y ， 所以332x a a x y a y a-==- 整理可得ay=3ax-xy ，2ax=3ay-xy ，即xy=3ax-ay①，xy=3ay-2ax②；把①代入②可得3ax-ay=3ay-2ax ，所以5ax=4ay ，4455x a y a ==， 即45CECF故选B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质．7．如图，已知O 是ABC ∆的外接圆，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，58ABD ∠=︒，则BCD∠等于( )A ．58︒B ．42︒C ．32︒D ．29︒【答案】C 【分析】由直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，可计算出∠BAD ，再由同弧所对的圆周角相等得∠BCD=∠BAD.【详解】∵AB 是O 的直径∴∠ADB=90°∴∠BAD=90°-∠ABD=32°∴∠BCD=∠BAD=32°.故选C.【点睛】本题考查圆周角定理，熟练运用该定理将角度进行转换是关键.8．已知二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图像经过点（―1，―3），则代数式mn+1有（ ）A ．最小值―3B ．最小值3C ．最大值―3D ．最大值3【答案】A【解析】把点（-1，-3）代入y ＝x 2＋mx ＋n 得n=-4+m ，再代入mn+1进行配方即可.【详解】∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图像经过点（-1，-3），∴-3=1-m+n ，∴n=-4+m ，代入mn+1，得mn+1=m 2-4m+1=(m-2)2-3.∴代数式mn+1有最小值-3.故选A.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数mn+1的解析式化成顶点式是解题的关键．9．如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为（ ）A ．30πcm 2B ．48πcm 2C ．60πcm 2D ．80πcm 2【答案】C 【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再通过圆锥侧面积公式可以求得结果．【详解】∵h ＝8，r ＝6，可设圆锥母线长为l ，由勾股定理，l ＝2286+＝10，圆锥侧面展开图的面积为：S 侧＝12×1×6π×10＝60π， 所以圆锥的侧面积为60πcm 1．故选：C ．【点睛】本题主要考查圆锥侧面积的计算公式，解题关键是利用底面半径及高求出母线长即可．10．一副三角板如图放置，它们的直角顶点A 、D 分别在另一个三角板的斜边上，且EF BC ∥，则1∠的度数为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．75︒D ．90︒【答案】C 【分析】根据平行线的性质，可得∠FAC=∠C=45°，然后根据三角形外角的性质，即可求出∠1.【详解】解：由三角板可知：∠F=30°，∠C=45°∵EF BC ∥∴∠FAC=∠C=45°∴∠1=∠FAC ＋∠F=75°故选：C.【点睛】此题考查的是平行线的性质和三角形外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解决此题的关键.11．下列语句中正确的是（ ）A．长度相等的两条弧是等弧B．平分弦的直径垂直于弦C．相等的圆心角所对的弧相等D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴【答案】D【解析】分析：根据垂径定理及逆定理以及圆的性质来进行判定分析即可得出答案．详解：A、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；故选D．点睛：本题主要考查的是圆的一些基本性质，属于基础题型．理解圆的性质是解决这个问题的关键．12．在美术字中，有些汉字是中心对称图形，下面的汉字不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【详解】A、不是中心对称图形，故此选项符合题意；B、是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查中心对称图形的概念，解题的关键是熟知中心图形的定义.二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B= ______31【解析】如图,连接BB′，∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′,∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，AB BB AC B C BC BC ='⎧⎪'=''⎨⎪'='⎩，∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D ，则BD ⊥AB′，∵∠C=90∘2，∴22(2)(2)+，∴33 C′D=12×2=1， ∴BC′=BD−C′3 1. 3−1.点睛: 本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点． 14．如图，BA,BC 是⊙O 的两条弦，以点B 为圆心任意长为半径画弧，分别交BA,BC 于点M,N ：分别以点M,N 为圆心，以大于12MN 为半径画弧，两弧交于点P ，连接BP 并延长交O 于点D ；连接OD,OC ．若70COD ∠=︒，则ABD ∠等于__________.【答案】35︒【分析】根据作图描述可知BD平分∠ABC，然后利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可求出∠CBD的度数，由∠ABD=∠CBD即可得出答案.【详解】根据作图描述可知BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD∵∠COD=70°∴∠BCD=12∠COD=35°∴∠ABD=35°故答案为：35°.【点睛】本题考查了角平分线的作法，圆周角定理，判断出BD为角平分线，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键.15．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为BC的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为_____．【答案】2【分析】作出D关于AB的对称点D'，则PC+PD的最小值就是CD'的长度．在△COD'中根据边角关系即可求解．【详解】作出D关于AB的对称点D'，连接OC，OD'，CD'．又∵点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为BC的中点，∴∠BAD'12=∠CAB=15°，∴∠CAD'=45°，∴∠COD'=90°．∴△COD'是等腰直角三角形．∵OC=OD'12=AB=3，∴CD'=32． 故答案为：32．【点睛】本题考查了圆周角定理以及路程的和最小的问题，正确作出辅助线是解答本题的关键．16．在△ABC 中，tanB ＝34，BC 边上的高AD ＝6，AC ＝35，则BC 长为_____． 【答案】5或1【分析】分两种情况：AC 与AB 在AD 同侧，AC 与AB 在AD 的两侧，在Rt △ABD 中，通过解直角三角形求得BD ，用勾股定理求得CD ，再由线段和差求BC 便可．【详解】解：情况一：当AC 与AB 在AD 同侧时，如图1，∵AD 是BC 边上的高，AD ＝6，tanB ＝34，AC ＝35 ∴在Rt △ABD 中，683tan 4AD BD B ===， 在Rt △ACD 中，利用勾股定理得()22223563CD AC AD =-=-=∴BC=BD-CD=8-3=5； 情况二：当AC 与AB 在AD 的两侧，如图2，∵AD 是BC 边上的高，AD ＝6，tanB ＝34，AC ＝5 ∴在Rt △ABD 中，683tan 4AD BD B ===， 在Rt △ACD 中，利用勾股定理得()22223563CD AC AD =-=-=∴BC=BD+CD=8+3=1；综上，BC=5或1．故答案为：5或1．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用题，关键是分情况讨论，比较基础，容易出错的地方是漏解． 17．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是___．【答案】180°【详解】解：设底面圆的半径为r ，侧面展开扇形的半径为R ，扇形的圆心角为n 度．由题意得S 底面面积=πr 2，l 底面周长=2πr ，S 扇形=2S 底面面积=2πr 2，l 扇形弧长=l 底面周长=2πr ．由S 扇形=12l 扇形弧长×R 得2πr 2=12×2πr×R ， 故R=2r ． 由l 扇形弧长=180n r π得： 2πr=2180n r π⨯ 解得n=180°．故答案为：180°【点睛】本题考查扇形面积和弧长公式以及圆锥侧面积的计算，掌握相关公式正确计算是解题关键． 18．已知点A(－3，m)与点B(2，n)是直线y ＝－23x ＋b 上的两点，则m 与n 的大小关系是___． 【答案】m>n【分析】先根据直线的解析式判断出函数的增减性，再根据一次函数的性质即可得出结论．【详解】∵直线y ＝−23x ＋b 中，k ＝−23＜0， ∴此函数y 随着x 增大而减小．∵−3＜2，∴m ＞n ．故填：m>n.【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．三、解答题（本题包括8个小题）19．计算：（1）已知23x y =，求x y y+的值； （2）6cos 245°﹣2tan30°•tan60°．【答案】（1）53；（2）1． 【分析】(1)先把x y y+化成1x y +,再代入计算即可; (2)根据特殊角的三角函数进行计算即可得出答案．【详解】（1）∵23x y =, ∴1x y x y y+=+, ＝23+1, ＝53; （2）6cos 245°﹣2tan30°•tan60°,＝62﹣2＝6×12﹣2, ＝1．【点睛】本题主要考查了比例的性质和特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握比例的性质和几个特殊三角函数值.20．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－3，1)，B (－1，3)，C (0，1)． （1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后的△A 1B 1C 1，并写出A 1，B 1的坐标； （2）平移△ABC ，若点A 的对应点A 2的坐标为(－5，－3)，画出平移后的△A 2B 2C 2，并写出B 2，C 2的坐标；（3）若△A 2B 2C 2和△A 1B 1C 1关于点P 中心对称，请直接写出对称中心P 的坐标．【答案】（1）见解析，A1(3，1)，B1(1，－1)．（2）见解析，B2(－3，－1)，C2(－2，－3)．（3）（-1，-1）【分析】（1）依据以点C为旋转中心旋转180°，即可画出旋转后的△A1B1C1；（2）依据点A的对应点A2的坐标为（−5，−3），即可画出平移后的△A2B2C2；（3）依据中心对称的性质，即可得到对称中心P的坐标．【详解】(1)如图所示，△A1B1C1为所作三角形，A1(3，1)，B1(1，－1)．(2)如图所示，△A2B2C2为所作三角形，B2(－3，－1)，C2(－2，－3)．(3)对称中心P的坐标为(－1，－1)．【点睛】本题主要考查了利用平移变换以及旋转变换进行作图，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．21．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．【答案】（1）二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）①PM 最大=94；②P （2，﹣3）或（2，2﹣2． 【分析】（1）根据待定系数法，可得答案； （2）①根据平行于y 轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；②根据等腰三角形的定义，可得方程，根据解方程，可得答案．【详解】（1）将A ，B ，C 代入函数解析式，得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，这个二次函数的表达式y=x 2﹣2x ﹣3；（2）设BC 的解析式为y=kx+b ，将B ，C 的坐标代入函数解析式，得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， BC 的解析式为y=x ﹣3，设M （n ，n ﹣3），P （n ，n 2﹣2n ﹣3），PM=（n ﹣3）﹣（n 2﹣2n ﹣3）=﹣n 2+3n=﹣（n ﹣32）2+94， 当n=32时，PM 最大=94； ②当PM=PC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n 2﹣2n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2，n 2﹣2n ﹣3=-3，P （2，-3）；当PM=MC 时，（﹣n 2+3n ）2=n 2+（n ﹣3+3）2，解得n 1=0（不符合题意，舍），n 2=2（不符合题意，舍），n 32n 2﹣2n ﹣2，P （2，2；综上所述：P（2，﹣3）或（3-2，2﹣42）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰三角形等知识，综合性较强，解题的关键是认真分析，弄清解题的思路有方法.22．如图，点A的坐标是（-2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′BC′，若反比例函数kyx=的图像恰好经过A′B的中点D，求这个反比例函数的解析式．【答案】15yx =．【分析】作A′H⊥y轴于H．证明△AOB≌△BHA′（AAS），推出OA=BH，OB=A′H，求出点A′坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标即可解决问题．【详解】作A′H⊥y轴于H.∵∠AOB=∠A′HB=∠ABA′=90°，∴∠ABO+∠A′BH=90°，∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAO=∠A′BH，∵BA=BA′，∴△AOB≌△BHA′(AAS)，∴OA=BH，OB=A′H，∵点A的坐标是(−2,0)，点B的坐标是(0,6)，∴OA=2，OB=6，∴BH=OA=2，A′H=OB=6，∴OH=4，∴A′(6,4)，∵BD=A′D ，∴D(3,5)，∵反比例函数的图象经过点D，∴这个反比例函数的解析式15 yx =【点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．23．如图，在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠B，AB＝5，AD＝3，求AC的长．【答案】15【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】∵∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴AD AC AC AB=，∵AB＝5，AD＝3，∴3AC＝AC5，∴AC2＝15，∴AC＝15．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键在于熟记各种判定方法，难点在于找对应边．24．如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB．（1）证明：△ADC∽△ACB；（2）若AD＝2，BD＝6，求边AC的长．【答案】（1）见解析; （2）1.【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；（2）利用相似三角形的对应边对应成比例列式求解即可．【详解】（1）证明：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，∴△ADC∽△ACB．（2）解：∵△ADC∽△ACB，∴ACAB ＝ADAC，AB=AD+DB=2+6=8∴AC2＝AD•AB＝2×8＝16，∵AC＞0，∴AC＝1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．灵活运用相似三角形的性质进行几何计算．25．元旦游园活动中，小文，小美，小红三位同学正在搬各自的椅子准备进行“抢凳子”游戏，看见李老师来了，小文立即邀请李老师参加，游戏规则如下：将三位同学的椅子背靠背放在教室中央，四人围着椅子绕圈行走，在行走过程中裁判员随机喊停，听到“停”后四人迅速抢坐在一张椅子上，没有抢坐到椅子的人淘汰，不能进入下一轮游戏.（1）下列事件是必然事件的是.A．李老师被淘汰B．小文抢坐到自己带来的椅子C．小红抢坐到小亮带来的椅子D．有两位同学可以进入下一轮游戏（2）如果李老师没有抢坐到任何一张椅子，三位同学都抢坐到了椅子但都没有抢坐到自己带来的椅子（记为事件A），求出事件A的概率，请用树状图法或列表法加以说明.【答案】（1）D；（2）图见解析，1 3【分析】（1）根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义求解可得；（2）根据题意画出树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．【详解】解：（1）A、王老师被淘汰是随机事件；B、小明抢坐到自己带来的椅子是随机事件；C、小红抢坐到小亮带来的椅子是随机事件；D、共有3张椅子，四人中只有1位老师，所以一定有2位同学能进入下一轮游戏；故是必然事件.故选：D；（2）解：设小文，小美，小红三位同学带来的椅子依次排列为a、b、c，画树状图如下由树状图可知，所有等可能结果共有6种，其中第4种、第5种结果符合题意，∴P （A ）＝2163=. 【点睛】 此题考查了概率和用树状图法与列表法求概率．树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26．如图，已知点()A 1a ，在反比例函数2y x=的图像上． （1）求a 的值； （2）如果直线y=x+b 也经过点A ，且与x 轴交于点C ，连接AO ，求ΔAOC 的面积．【答案】（1）2；（2）1【分析】（1）将A 坐标代入反比例函数解析式中，即可求出a 的值；（2）由（1）求出的a 值，确定出A 坐标，代入直线解析式中求出b 的值，令直线解析式中y=0求出x 的值，确定出OC 的长，△AOC 以OC 为底，A 纵坐标为高，利用三角形面积公式求出即可．【详解】（1）将A(1，a)代入反比例解析式得：a 2=；（2）由a=2，得到A(1，2)，代入直线解析式得：1+b=2，解得：b=1，即直线解析式为y=x+1，令y=0，解得：x=-1，即C(-1，0)，OC=1，则S △AOC=12×1×2=1． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，三角形的面积求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数32y x =+的图象与y 轴交于点A ,与反比例函数(0)k y k x=-≠在第一象限内的图象交于点B ,且点B 的横坐标为1．过点A 作AC y ⊥轴交反比例函数(0)k y k x=≠的图象于点C ，连接BC ． （1）求反比例函数的表达式．（2）求ABC ∆的面积．【答案】（1）5 =y x；（2）154ABC S ∆= 【分析】（1）首先将点B 的横坐标代入一次函数，得出其坐标，然后代入反比例函数，即可得出解析式； （2）首先求出点A 的坐标，然后分别求出AC 、BD ，即可求得面积.【详解】()1一次函数32y x =+的图象过点B ，且点B 的横坐标为1， 3125y ∴=⨯+=，∴点B 的坐标为15（，）． 点B 在反比例函数 k y x=的图象上， 155k ∴=⨯=， ∴反比例函数的表达式为5 =y x ； ()2一次函数32y x =+的图象与y 轴交于点 A ， ∴当 0x =时，2y =，∴点A 的坐标为02（，）， AC y ⊥轴，∴点C 的纵坐标与点A 的纵坐标相同，是2，点C 在反比例函数5y x=的图象上， ∴当2y =时，52x =，解得52x =， 52AC ∴= 过B 作BD AC ⊥于D ，则523B C BD y y =-=-=， 11515·32224ABC S AC BD ∆∴==⨯⨯= 【点睛】 此题主要考查一次函数与反比例函数综合应用，熟练掌握，即可解题.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图放置的几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示．【详解】解：左视图可得一个正方形，上半部分有条看不到的线，用虚线表示．故选C ．【点睛】本题考查简单组合体的三视图．2．体育课上，某班两名同学分别进行5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的（ ）A ．平均数B ．频数C ．中位数D ．方差 【答案】D【分析】要判断成绩的稳定性，一般是通过比较两者的方差实现，据此解答即可.【详解】解：要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的方差.故选：D.【点睛】本题考查了统计量的选择，属于基本题型，熟知方差的意义是解题关键.3．某公司2017年的营业额是100万元，2019年的营业额为121万元，设该公司年营业额的平均增长率为x ,根据题意可列方程为( )A ．()21001121x +=B ．()21001121x -=C ．()21211100x +=D ．()21211100x -= 【答案】A【分析】根据题意2017年的营业额是100万元，设该公司年营业额的平均增长率为x , 则2018年的营业额是100(1+x)万元，2019年的营业额是100(1+x) ²万元，然后根据2019年的营业额列方程即可.【详解】解：设年平均增长率为x ,则2018的产值为:()1?001x + , 2019的产值为:()21?001x +． 那么可得方程:()21?001121x +=． 故选:A ． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的增长率问题的应用.4．如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ，连接BE ．若AE=6，DE=5，∠BEC=90°，则△BCE 的周长是（ ）A ．12B ．24C ．36D ．48【答案】B【解析】试题解析：△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ，E ∴是AC 的中点，6,AE CE ∴== 210,BC DE ==∠BEC=90°，228.BE BC CE ∴=-=△BCE 的周长106824.BC CE BE =++=++= 故选B.点睛：三角形的中位线平行于第三边而且等于第三边的一半. 5．下列函数，当0x >时，y 随着x 的增大而减小的是（ ） A ．21y x =+ B ．6y x=-C ．23y x =+D ．22y x x =--【答案】D【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出当x ＞0时，y 随x 的增大如何变化，从而可以解答本题．【详解】在y ＝2x ＋1中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故选项A 不符合题意； 在6y x=-中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故选项B 不符合题意；在23y x =+中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，故选项C 不符合题意；在y ＝−x 2−2x ＝−（x ＋1）2＋1中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，故选项D 符合题意； 故选：D ． 【点睛】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，可以判断出当x ＞0时，y 随x 的增大如何变化．6．以()2,6P --为顶点的二次函数是（ ） A ．25(2)6y x =++ B ．25(2)6y x =-+ C ．25(2)6y x =+- D ．25(2)6y x =--【答案】C【解析】若二次函数的表达式为2()y m x a b =-+，则其顶点坐标为(a,b).【详解】解：当顶点为()2,6P --时，二次函数表达式可写成：2(2)6y m x =+-，故选择C. 【点睛】理解二次函数解析式中顶点式的含义.7．正三角形外接圆面积是264cm π，其内切圆面积是（ ） A ．232cm π B ．28cm πC ．29cm πD ．216cm π【答案】D【分析】△ABC 为等边三角形，利用外接圆和内切圆的性质得∠OBC=30°，在Rt △OBD 中，利用含30°的直角三角形三边的关系得到OD=12OB ，然后根据圆的面积公式得到△ABC 的外接圆的面积与其内切圆的面积之比，即可得解.【详解】△ABC 为等边三角形，AD 为角平分线，⊙O 为△ABC 的内切圆，连OB ，如图所示：∵△ABC 为等边三角形，⊙O 为△ABC 的内切圆， ∴点O 为△ABC 的外心，AD ⊥BC ， ∴∠OBC=30°， 在Rt △OBD 中，OD=12OB ， ∴△ABC 的外接圆的面积与其内切圆的面积之比=OB 2：OD 2=4：1． ∵正三角形外接圆面积是264cm π， ∴其内切圆面积是216cm π 故选：D . 【点睛】本题考查了正多边形与圆：正多边有内切圆和外接圆，并且它们是同心圆．也考查了等边三角形的性质． 8．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解． 【详解】A 、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B 、是中心对称图形，故本选项符合题意； C 、不中心对称图形，故本选项不合题意； D 、不中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念：关键是找到相关图形的对称中心，旋转180度后与原图重合． 9．如图，平面直角坐标系中，()()()8,0,8,4,0,4A B C --，反比例函数ky x=的图象分别与线段,AB BC交于点,D E ，连接DE ．若点B 关于DE 的对称点恰好在OA 上，则k =（ ）A ．20-B ．16-C ．12-D ．8-【答案】C【解析】根据A(-8,0), B(-8,4), C(0,4)，可得矩形的长和宽，易知点D 的横坐标，E 的纵坐标，由反比例函数的关系式，可用含有k 的代数式表示另外一个坐标，由三角形相似和对称，可用求出AF 的长，然后把问题转化到三角形ADF 中，由勾股定理建立方程求出k 的值．【详解】过点E 作EG OA ⊥，垂足为G ，设点B 关于DE 的对称点为F ，连接DF EF BF 、、，如图所示：则BDE FDE ∆≅∆，,,BD FD BE FE ∴==90DFE DBE ︒∠=∠=易证~ADF GFE ∆∆AF DFEG FE∴=， (8,0),(8,4),(0,4)A B C --，4,8AB OC EG OA BC ∴=====，D E 、在反比例函数ky x=的图象上， k k ,4,8,-48⎛⎫⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E Dk k-,48∴===-OG EC AD4,884k kBD BE ∴=+=+k 4BD 1DF AF 8k BE 2FE EG84+∴====+ 1EG 22AF ∴==，在Rt ADF ∆中，由勾股定理： 222AD AF DF +=即：222k k 2488⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：12k =- 故选C ． 【点睛】此题综合利用轴对称的性质，相似三角形的性质，勾股定理以及反比例函数的图象和性质等知识，发现BD 与BE 的比是1:2是解题的关键．10．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上．若∠ABD=55°，则∠BCD 的度数为（ ）A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°【答案】C【详解】解：连接AD, ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°．∵∠ABD=55°，∴∠BAD=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠BAD=35°．故选C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．11．如果一个正多边形的内角和等于720°，那么这个正多边形的每一个外角等于（ ） A ．45° B ．60°C ．120°D ．135°【答案】B【分析】先用多边形的内角和公式求这个正多边形的边数为n ，再根据多边形外角和等于360°,可求得每个外角度数．【详解】解：设这个正多边形的边数为n ， ∵一个正多边形的内角和为720°， ∴180°（n-2）=720°，解得：n=6，∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷6=60°． 故选：B ． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．应用方程思想求边数是解题关键．12．如图，AB ⊥OB ，AB=2，OB=4，把∠ABO 绕点O 顺时针旋转60°得∠CDO ，则AB 扫过的面积（图中阴影部分）为（ ）A ．2B ．2πC ．23π D ．π【答案】C【解析】根据勾股定理得到OA ，然后根据边AB 扫过的面积=DOC AOB AOC BOD S S S S ∆∆+--扇形扇形=AOC BOD S S -扇形扇形解答即可得到结论． 【详解】如图，连接OA 、OC ．∵AB ⊥OB ，AB=2，OB=4，∴OA=2242+=25，∴边AB 扫过的面积=DOC AOB AOC BOD S S S S ∆∆+--扇形扇形=AOCBOD S S -扇形扇形=2260(25)604360ππ⨯⨯-=23π．故选C ． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键． 二、填空题（本题包括8个小题）13．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为______（精确到0.1）．。

★试卷3套精选★上海市闸北区2019届九年级上学期期末达标测试数学试题

★试卷3套精选★上海市闸北区2019届九年级上学期期末达标测试数学试题

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若反比例函数3k y x -=的图象在每一条曲线上y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ） A ．3k >B ．3k <C ．03k <<D ．3k ≤ 【答案】A【分析】根据反比例函数的图象和性质，当反比例函数y 3k x -=的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小，可知，k ﹣1＞0，进而求出k ＞1．【详解】∵反比例函数y 3k x -=的图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小， ∴k ﹣1＞0，∴k ＞1．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，对于反比例函数y k x=，当k ＞0时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2．下列图形的主视图与左视图不相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】确定各个选项的主视图和左视图，即可解决问题.【详解】A 选项，主视图：圆；左视图：圆；不符合题意；B 选项，主视图：矩形；左视图：矩形；不符合题意；C 选项，主视图：三角形；左视图：三角形；不符合题意；D 选项，主视图：矩形；左视图：三角形；符合题意；故选D【点睛】本题考查几何体的三视图，难度低，熟练掌握各个几何体的三视图是解题关键.3．如图，反比例函数(0)k y k x=≠的图象上有一点A ，AB 平行于x 轴交y 轴于点B ，△ABO 的面积是1，则反比例函数的表达式是（ ）A ．12y x =B ．1y x =C ．2y x =D ．14y x = 【答案】C【分析】如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，构建矩形ABOC ，根据反比例函数系数k 的几何意义知|k|=四边形ABOC 的面积．【详解】如图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C. 则四边形ABOC 是矩形，∴S ABO =S AOC =1，∴|k|=S ABOC 矩形=SABO +S AOC =2，∴k=2或k =−2. 又∵函数图象位于第一象限，∴k>0，∴k=2.则反比函数解析式为2y x=. 故选C.【点睛】此题考查反比例函数系数k 的几何意义，解题关键在于掌握反比例函数的性质.4．二次函数y=x 2-2x+3的最小值是（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．1【答案】B【解析】试题解析：因为原式=x 1-1x+1+1=（x-1）11，所以原式有最小值，最小值是1．故选B ．5．关于x 的一元二次方程2(3)(2)0x x p ---=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．不确定【答案】A 【分析】将方程化简，再根据24b ac ∆=-判断方程的根的情况.【详解】解：原方程可化为22560x x p -+-=， 222(5)4(6)10p p ∴∆=---=+>所以原方程有两个不相等的实数根.故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，灵活利用∆的正负进行判断是解题的关键.当>0∆时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个不相等的实数根；当∆<0时，方程没有实数根.6．下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】轴对称图形:平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形; 中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.【详解】解：A 选项：是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；B 选项：是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项不符合题意；C 选项：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D 选项：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A.【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7．反比例函数k y x=与1(0)y kx k =-+≠在同一坐标系的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据反比例函数和一次函数的性质逐个对选项进行分析即可．【详解】A 根据反比例函数的图象可知，k>0,因此可得一次函数的图象应该递减，但是图象是递增的，所以A 错误；B 根据反比例函数的图象可知，k>0,，因此一次函数的图象应该递减，和图象吻合，所以B 正确；C 根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，并且过（0,1）点，但是根据图象，不过（0,1），所以C 错误；D 根据反比例函数的图象可知，k<0,因此一次函数的图象应该递增，但是根据图象一次函数的图象递减，所以D 错误．故选B【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的性质，关键点在于系数的正负判断，根据系数识别图象. 8．2020-的绝对值是（ ）A ．2020-B ．2020C ．12020-D ．12020 【答案】B【分析】根据绝对值的定义直接解答．【详解】解：根据绝对值的概念可知：|−2121|＝2121，故选：B ．【点睛】本题考查了绝对值．解题的关键是掌握绝对值的概念，注意掌握一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；1的绝对值是1．9．若反比例函数y ＝k x 的图象经过点(2，－1)，则该反比例函数的图象在（ ） A ．第一、二象限B ．第一、三象限C ．第二、三象限D ．第二、四象限 【答案】D 【解析】试题分析：反比例函数k y x=的图象经过点21-（，），求出K=-2，当K>0时反比例函数的图象在第一、三象限，当K 〈0时反比例函数的图象在第二、四象限，因为-2〈0，D 正确．故选D考点：反比例函数的图象的性质．10．如图，点A 在以BC 为直径的O 内，且AB AC =，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，得到扇形ABC ，且120BAC ∠=︒，2BC =．若在这个圆面上随意抛飞镖，则飞镖落在扇形ABC 内的概率是( )A．13B．34C．49D．2π【答案】C【分析】如图，连接AO，∠BAC＝120︒，根据等腰三角形的性质得到AO⊥BC，∠BAO＝60︒，解直角三角形得到AB＝23，由扇形的面积公式得到扇形ABC的面积＝223()433601209ππ⋅⨯=，根据概率公式即可得到结论．【详解】如图，连接AO，∠BAC＝120︒，∵AB＝AC，BO＝CO，∴AO⊥BC，∠BAO＝60︒，∵BC＝2，∴BO＝1，∴AB＝BO÷cos30°23，∴扇形ABC的面积＝223(433601209ππ⋅⨯=，∵⊙O的面积＝π，∴飞镖落在扇形ABC内的概率是49ππ=49，故选：C．【点睛】本题考查了几何概率，扇形的面积的计算，等腰三角形的性质，解直角三角形的运用，正确的识别图形是解题的关键．11．已知一个单位向量e，设a、b是非零向量，那么下列等式中正确的是（）．A．1a ea=；B．e a a=；C．b e b=；D．11a ba b=．【答案】B【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．【详解】解：A、左边得出的是a的方向不是单位向量，故错误；B、符合向量的长度及方向，正确；C、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D、左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：B．【点睛】本题考查了向量的性质．12．圆锥的母线长为4，底面半径为2，则它的侧面积为（）A．4πB．6πC．8πD．16π【答案】C【分析】求出圆锥的底面圆周长，利用公式12s LR=即可求出圆锥的侧面积．【详解】解：圆锥的地面圆周长为2π×2=4π，则圆锥的侧面积为12×4π×4=8π．故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的计算，能将圆锥侧面展开是解题的关键，并熟悉相应的计算公式．二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，矩形ABCD中，边长8AD=，两条对角线相交所成的锐角为60︒，M是BC边的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM PB+的最小值是_______．【答案】3【分析】根据对称性，作点B关于AC的对称点B′，连接B′M与AC的交点即为所求作的点P，再求直角三角形中30︒的临边即可．【详解】如图，作点B关于AC的对称点B′，连接B′M，交AC于点P，∴PB ′＝PB ，此时PB ＋PM 最小，∵矩形ABCD 中，两条对角线相交所成的锐角为60︒，∴△ABP 是等边三角形，∴∠ABP ＝60︒，∴∠B ′＝∠B ′BP ＝30︒，∵∠DBC ＝30︒，∴∠BMB ′＝90︒，在Rt △BB ′M 中，BM ＝4，∠B ′＝30°，∴BB’=2BM ＝8∴B ′M ＝228443-=，∴PM ＋PB ′＝PM ＋PB ＝B ′M =43．故答案为43．【点睛】本题主要考查了最短路线问题，解决本题的关键是作点B 关于AC 的对称点B ′．14．已知菱形ABCD 中，120A ∠=︒，4AB =，边,AD CD 上有点E 、点F 两动点，始终保持DE DF =，连接,,BE EF 取BE 中点G 并连接,FG 则FG 的最小值是_______．【答案】1【分析】过D 点作DH ⊥BC 交BC 延长线与H 点，延长EF 交DH 与点M ，连接BM ．由菱形性质和120A ∠=︒可证明FM DF EF DE ===，进而可得12FG BM =，由BM 最小值为BH 即可求解． 【详解】解：过D 点作DH ⊥BC 交BC 延长线与H 点，延长EF 交DH 与点M ，连接BM ．∵在菱形ABCD 中，120A ∠=︒，AD BC ∥，∴60ADC ∠=︒，DH BC ⊥，∴30HDC ∠=︒，∵DE DF =，60ADC ∠=︒，∴EF DE DF ==，∴60DEF ∠=︒，又∵DH BC ⊥，∴30MDF FMD ∠=∠=︒，∴FM DF EF ==，又∵BG EG =， ∴12FG BM =， ∴当BM 最小时FG 最小，根据点到直线的距离垂线段最短可知，BM 的最小值等于BH ，∵在菱形ABCD 中， 4AB =，∴4AB BC CD ===又∵在Rt △CHD 中，30HDC ∠=︒， ∴122CH CD ==， ∴426BH BC CH =+=+=，∴AM 的最小值为6，∴FG 的最小值是1．故答案为：1．【点睛】本题考查了动点线段的最小值问题，涉及了菱形的性质、等腰三角形性质和判定、垂线段最短、中位线定理等知识点；将“两动点”线段长通过中位线转化为“一定一动”线段长求解是解题关键．15．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第一象限作正方形，点D 恰好在双曲线上k y x=，则k 值为_____．【答案】1【解析】作DH ⊥x 轴于H ，如图，当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，则A （1，0），当x=0时，y=-3x+3=3，则B （0，3），∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAH=90°，而∠BAO+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠DAH ，在△ABO 和△DAH 中AOB DHA ABO DAH AB DA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABO ≌△DAH ，∴AH=OB=3，DH=OA=1，∴D 点坐标为（1，1），∵顶点D 恰好落在双曲线y=k x 上， ∴a=1×1=1．故答案是：1.16．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是_____． 【答案】13【分析】首先解不等式得x ＜1，然后找出这六个数中符合条件的个数，再利用概率公式求解.【详解】解：∵x+1＜2∴x ＜1∴在﹣1，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式x+1＜2的有﹣1、0这两个，∴满足不等式x+1＜2的概率是2163=， 故答案为：13． 【点睛】本题考查求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．17．如图，在矩形ABCD 中，ABC ∠的角平分线BE 与AD 交于点E ，BED ∠的角平分线EF 与DC 交于点F ，若8AB =，3DF FC =，则BC =_______．【答案】262+【分析】先延长EF 和BC ，交于点G ，再根据条件可以判断三角形ABE 为等腰直角三角形，并求得其斜边BE 的长，然后根据条件判断三角形BEG 为等腰三角形，最后根据EFD GFC △∽△ ，得出CG 与 DE 的倍数关系，并根据BG BC CG =+ 进行计算即可．【详解】延长EF 和BC 交于点G∵矩形ABCD 中，∠B 的角平分线BE 与AD 交 于点E∴ 45ABE AEB ==︒∠∠∴ 8AB AE ==∴直角三角形 ABE 中，228882BE =+=又∵∠BED 的角平分线EF 与DC 交于点F∴ BEG DEF =∠∠∵ // AD BC∴ G DEF =∠∠∴BEG G =∠∠∴ 82BG BE ==由G DEF =∠∠ ，EFD GFC =∠∠ ，可得EFD GFC △∽△∴133CG CF CF DE DF CF === 设CG x = ，3DE x = ，则83AD x BC =+=∴BG BC CG =+∴8283x x =++解得222x =-∴()83222622BC =+-=+故答案为：2+62 ．【点睛】本题考查了矩形与角平分线的综合问题，掌握等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质以及判定是解题的关键．18．将抛物线y ＝x 2+2x 向右平移1个单位后的解析式为_____．【答案】y ＝x 2﹣1．【分析】通过配方法先求出原抛物线的顶点坐标，继而得到平移后新抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式即可求得新抛物线的解析式.【详解】∵y=x 2 +2x=(x+1)2-1 ，∴原抛物线的顶点为(-1，-1)，∵将抛物线y ＝x 2+2x 向右平移1个单位得到新的抛物线，∴新抛物线的顶点为(0，-1)，∴新抛物线的解析式为y=x 2-1，故答案为：y=x 2 -1．【点睛】本题考查了抛物线的平移，得到原抛物线与新抛物线的顶点坐标是解题的关键.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD ⊥AC ，垂足为E ，连接BD ．(1)求证：BD 平分∠ABC ；(2) 当∠ODB=30°时，求证：BC=OD ．【答案】 (1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）由OD ⊥AC OD 为半径，根据垂径定理，即可得CD AD =，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD 平分∠ABC ；（2）首先由OB=OD ，易求得∠AOD 的度数，又由OD ⊥AC 于E ，可求得∠A 的度数，然后由AB 是⊙O 的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD ．【详解】（1）∵OD ⊥AC OD 为半径，∴CD AD =，∴∠CBD=∠ABD ，∴BD 平分∠ABC ；（2）∵OB=OD ，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，又∵OD ⊥AC 于E ，∴∠OEA=90°，∴∠A=180°﹣∠OEA ﹣∠AOD=180°﹣90°﹣60°=30°，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，在Rt △ACB 中，BC=12AB ， ∵OD=12AB ， ∴BC=OD ．20．解方程(1)3(1)22x x x -=-(2)23240x x +-=【答案】 (1)x 1=1，x 2=23-；(2)121133x x ---==. 【分析】（1）用因式分解法解方程即可；（2）用公式法解方程即可．【详解】解：（1）原方程可化为：3(1)2(1)x x x -=--移项得：3(1)2(1)0x x x -+-=∴(32)(1)0x x +-=∴320x +=或1=0x -∴11x =，223x =-． （2）∵3a =，2b =，4c =-，∴24443(4)520b ac ∆=-=-⨯⨯-=>，则x ===∴12113113,33x x -+--==． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开方法、配方法、公式法、因式分解法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．21．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx+3的对称轴为直线x ＝﹣1，分别与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求b 的值；（2）若将线段BC 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CD ，问：点D 在该抛物线上吗？请说明理由．【答案】（1）b ＝﹣2；（2）点D 不在该抛物线上，见解析【分析】(1)根据抛物线的对称轴公式，可求出b 的值，(2)确定函数关系式，进而求出与x 轴、y 轴的交点坐标，由旋转可得全等三角形，进而求出点D 的坐标，代入关系式验证即可．【详解】解：(1)∵抛物线y ＝﹣x 2+bx+3的对称轴为直线x ＝﹣1，∴()21b -⨯-＝﹣1， ∴b ＝﹣2；(2)当x ＝0时，y ＝3，因此点C （0，3），即OC ＝3，当y ＝0时，即﹣x 2+bx+3＝0，解得x 1＝﹣3，x 2＝1，因此OB ＝1，OA ＝3，如图，过点D 作DE ⊥y 轴，垂足为E ，由旋转得，CB ＝CD ，∠BCD ＝90°，∵∠OBC+∠BCO ＝90°＝∠BCO+∠ECD ，∴∠OBC ＝∠ECD ，∴△BOC ≌△CDE （AAS ），∴OB ＝CE ＝1，OC ＝DE ＝3，∴D （﹣3，2）当x ＝﹣3时，y ＝﹣9+6+3＝0≠2，∴点D 不在该抛物线上．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握对称轴的求解公式以及看一个点是否在二次函数上，只需要把点代入二次函数解析式看等式是否成立即可.22．对于代数式ax2+bx+c，若存在实数n，当x＝n时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式x2，当x＝1时，代数式等于1；当x＝1时，代数式等于1，我们就称1和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则A＝1．（1）代数式x2﹣2的不变值是，A＝．（2）说明代数式3x2+1没有不变值；（3）已知代数式x2﹣bx+1，若A＝1，求b的值．【答案】（3）﹣3和2；2；（2）见解析；（2）﹣2或3【分析】（3）根据不变值的定义可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再做差后可求出A 的值；（2）由方程的系数结合根的判别式可得出方程2x2﹣x+3＝3没有实数根，进而可得出代数式2x2+3没有不变值；（2）由A＝3可得出方程x2﹣（b+3）x+3＝3有两个相等的实数根，进而可得出△＝3，解之即可得出结论．【详解】解：（3）依题意，得：x2﹣2＝x，即x2﹣x﹣2＝3，解得：x3＝﹣3，x2＝2，∴A＝2﹣（﹣3）＝2．故答案为﹣3和2；2．（2）依题意，得：2x2 +3＝x，∴2x2﹣x+3＝3，∵△＝（﹣3）2﹣4×2×3＝﹣33＜3，∴该方程无解，即代数式2x2+3没有不变值．（2）依题意，得：方程x2﹣bx+3= x即x2﹣（b+3）x+3＝3有两个相等的实数根，∴△＝[﹣（b+3）]2﹣4×3×3＝3，∴b3＝﹣2，b2＝3．答：b的值为﹣2或3．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，根据不变值的定义，求出一元二次方程的解是解题的关键．23．一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其它差别，其中红球有2个，若从中随机摸出一个，这个球是白球的概率为23．（1）求袋子中白球的个数；（2）随机摸出一个球后，不放回，再随机摸出一个球，请结合树状图或列表求两次都摸到相同颜色的小球的概率．【答案】（1）袋子中白球有4个；（2）7 15【分析】（1）设白球有 x 个，利用概率公式得方程，解方程即可求解；（2）画树状图展示所有30种等可能的结果数，再找出两次摸到颜色相同的小球的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）设袋中白球有x个，由题意得：2 23xx=+，解之，得：4x=，经检验，4x=是原方程的解，故袋子中白球有4个；（2）设红球为A、B，白球为a b c d，，，，列举出两次摸出小球的所有可能情况有：共有30种等可能的结果，其中，两次摸到相同颜色的小球有14种，故两次摸到相同颜色的小球的概率为：1473015P==．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．24．如图，点C是线段AB上的任意一点(C点不与A B、点重合)，分别以AC BC、为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．(1)求证: DB AE =；(2)求证: //MN AB ；(3)若AB 的长为12cm ，当点C 在线段AB 上移动时，是否存在这样的一点C ，使线段MN 的长度最长?若存在,请确定C 点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由．【答案】 (1)见解析；(2) 见解析；(1) 存在,请确定C 点的位置见解析，MN=1．【分析】（1）根据题意证明△DCB ≌△ACE 即可得出结论；（2）由题中条件可得△ACE ≌△DCB ，进而得出△ACM ≌△DCN ，即CM=CN ，△MCN 是等边三角形，即可得出结论；（1）可先假设其存在，设AC=x ，MN=y ，进而由平行线分线段成比例即可得出结论．【详解】解：（1）∵△ACD 与△BCE 是等边三角形，∴AC=CD ，CE=BC ，∴∠ACE=∠BCD ，在△ACE 与△DCB 中，AC CD ACE BCD CE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴DB=AE ；（2）∵△ACE ≌△DCB ，∴∠CAE=∠BDC ，在△ACM 与△DCN 中，CAE BDC AC CDACM DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ACM ≌△DCN ，∴CM=CN ，又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，∴△MCN 是等边三角形，∴∠MNC=∠NCB=60°即MN ∥AB ；（1）解：假设符合条件的点C 存在，设AC=x ，MN=y ，∵MN ∥AB ， ∴MN EN AC EC =， 即1212y x y x x--=-， ()2211631212y x x x =-+=--+， 当x=6时，y max =1cm ，即点C 在点A 右侧6cm 处，且MN=1．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例的性质和二次函数问题，能够将所学知识联系起来，从而熟练求解．25．如图，在▱ABCD 中，以点A 为圆心，AB 的长为半径的圆恰好与CD 相切于点C ，交AD 于点E ，延长BA 与⊙O 相交于点F ．若EF 的长为2π，则图中阴影部分的面积为_____．【答案】S 阴影＝2﹣2π． 【分析】由切线的性质和平行四边形的性质得到BA ⊥AC ，∠ACB=∠B=45°，∠DAC=∠ACB=45°=∠FAE ，根据弧长公式求出弧长，得到半径，即可求出结果.【详解】如图，连接AC ，∵CD 与⊙A 相切，∴CD ⊥AC ，在平行四边形ABCD 中，∵AB=DC,AB ∥CD ∥BC ，∴BA ⊥AC ，∵AB=AC,∴∠ACB=∠B=45°，∵AD ∥BC,∴∠FAE=∠B=45°，∴∠DAC=∠ACB=45°=∠FAE ，∴EF EC =∴EF 的长度为45=1802R ππ 解得R=2，S 阴=S △ACD-S 扇形=2214522-=2-23602ππ⨯⨯【点睛】此题主要考查圆内的面积计算，解题的关键是熟知平行四边形的性质、切线的性质、弧长计算及扇形面积的计算.26．如图，MB ，MD 是O 的两条弦，点,A C 分别在MB ，MD 上，且AB CD =，M 是AC 的中点．求证:（1）MB MD =．（2）过O 作OE MB ⊥于点E ．当1OE =，4MD =时，求O 的半径． 【答案】（1）见解析；（25【分析】（1）根据圆心角、弧和弦之间的关系定理证明BM DM =即可解决问题．（2）连接OM ，利用垂径定理得出122ME MB ==，再根据勾股定理解决问题即可． 【详解】解：（1）∵M 为AC 的中点∴AM CM =，∵AB CD =，∴AB CD =∴AM AB CM CD +=+，∴BM DM =∴MB MD =（2）连接OM ，∵OE MB ⊥，4MB MD == ∴122ME MB ==， ∵1OE =根据勾股定理得：225OM ME OE =+=∴半径为5【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．27．如图，正方形ABCD 中，112, 4AB AE AB ==，点P 在BC 上运动(不与,B C 重台)，过点P 作PQ EP ⊥，交CD 于点Q ，求P 运动到BP 多长时，CQ 有最大值，并求出最大值.【答案】当BP=6时，CQ 最大，且最大值为1.【分析】根据正方形的性质和余角的性质可得∠BEP ＝∠CPQ ，进而可证△BPE ∽△CQP ，设CQ ＝y ，BP ＝x ，根据相似三角形的性质可得y 与x 的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可求出结果．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=∠C=90°，∴∠BEP+∠BPE ＝90°，∵PQ EP ⊥，∴∠QPC+∠BPE ＝90°，∴∠BEP ＝∠CPQ ．∴△BPE ∽△CQP ，∴BE BP PC CQ=． 设CQ ＝y ，BP ＝x ，∵AB=BC=12，∴CP ＝12﹣x ．∵AE ＝14AB ，AB=12，∴BE ＝9， ∴912x x y =-，化简得：y ＝﹣19（x 2﹣12x ），即y ＝﹣19（x ﹣6）2+1， 所以当x ＝6时，y 有最大值为1．即当BP=6时，CQ 有最大值，且最大值为1．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质和二次函数的性质等知识，属于常见题型，熟练掌握相似三角形的性质和二次函数的性质是解答的关键．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道大题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马、大马各有多少匹，若设小马有x匹，大马有y匹，依题意，可列方程组为（）A．1003100 3x yxy+=⎧⎪⎨+=⎪⎩B．10031003x yyx+=⎧⎪⎨+=⎪⎩C．10033100x yx y+=⎧⎨+=⎩D．3310010033x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩【答案】A【分析】设大马有x匹，小马有y匹，根据题意可得等量关系：①小马数+大马数=100；②小马拉瓦数+大马拉瓦数=100，根据等量关系列出方程组即可．【详解】设小马有x匹，大马有y匹，由题意得：10031003x yxy+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，故选：A．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（）A7B．7C．6D．8【答案】B【解析】根据垂径定理，构造直角三角形，连接OC，在RT△OCE中应用勾股定理即可．【详解】试题解析：由题意连接OC，得OE=OB-AE=4-1=3，CE=CD= 22OC OE=77故选B．3．如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（）A．①B．②C．③D．④【答案】A【分析】根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择．【详解】解：原几何体的主视图是：．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，左侧的图形只需要两个正方体叠加即可．故取走的正方体是①．故选A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图,中等难度,作出几何体的主视图是解题关键.4．如图，圆O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是（）A．25°B．40°C．50°D．65°【答案】B【分析】首先连接OC，由∠A=25°，可求得∠BOC的度数，由CD是圆O的切线，可得OC⊥CD，继而求得答案．【详解】连接OC，∵圆O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ACB=90°，∴AB 是直径，∵∠A=25°，∴∠BOC=2∠A=50°，∵CD 是圆O 的切线，∴OC ⊥CD ，∴∠D=90°-∠BOC=40°．故选B ．5．设A （﹣2，y 1）、B （1，y 2）、C （2，y 3）是双曲线3y x =-上的三点，则（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 2 【答案】B【分析】将A 、B 、C 的横坐标代入双曲线，求出对应的横坐标，比较即可．【详解】由题意知：A （﹣2，y 1）、B （1，y 2）、C （2，y 3）在双曲线3y x =-上， 将123212x x x ，，代入双曲线中， 得12333322y y y ，， ∴132y y y >>．故选B ．【点睛】本题主要考查了双曲线函数的性质，正确掌握双曲线函数的性质是解题的关键．6．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出1个球，恰好是红球的概率为( ) A ．12 B ．34 C ．13 D ．23【答案】B【分析】直接利用概率公式求解；【详解】解：从袋中摸出一个球是红球的概率33314==+； 故选B ．【点睛】考查了概率的公式，解题的关键是牢记概率的的求法．7．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元.设这两年的年利润平均增长率为x.应列方程是（）A．300（1+x）=507B．300（1+x）2=507C．300（1+x）+300（1+x）2=507D．300+300（1+x）+300（1+x）2=507【答案】B【分析】根据年利润平均增长率，列出变化增长前后的关系方程式进行求解.【详解】设这两年的年利润平均增长率为x，列方程为：300（1+x）2=507.故选B.【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是怎么利用年利润平均增长率列式计算.8．校园内有一个由两个全等的六边形（边长为3.5m）围成的花坛，现将这个花坛在原有的基础上扩建成如图所示的一个菱形区域，并在新扩建的部分种上草坪，则扩建后菱形区域的周长为（）A．28m B．35m C．42m D．56m【答案】C【分析】根据题意和正六边形的性质得出△BMG是等边三角形，再根据正六边形的边长得出BG=GM=3.5m，同理可证出AF=EF=3.5m，再根据AB=BG+GF+AF，求出AB，从而得出扩建后菱形区域的周长．【详解】解：如图，∵花坛是由两个相同的正六边形围成，∴∠FGM=∠GMN=120°，GM=GF=EF，∴∠BMG=∠BGM=60°，∴△BMG是等边三角形，∴BG=GM=3.5（m），同理可证：AF=EF=3.5（m）∴AB=BG+GF+AF=3.5×3=10.5（m），∴扩建后菱形区域的周长为10.5×4=42（m），故选：C ．【点睛】此题考查了菱形的性质，用到的知识点是等边三角形的判定与性质、菱形的性质和正六边形的性质，关键是根据题意作出辅助线，找出等边三角形．9．已知A 样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B 样本的数据恰好是A 样本数据每个的2倍，则A ，B 两个样本的方差关系是（ ）A ．B 是A 的2倍 B ．B 是A 的2倍C ．B 是A 的4倍D ．一样大 【答案】C【解析】试题分析：∵B 样本的数据恰好是A 样本数据每个的2倍，∴A ，B 两个样本的方差关系是B 是A 的4倍故选C考点：方差10．在一个不透明的布袋中装有9个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同。

《试卷3份集锦》上海市闸北区2019-2020年九年级上学期期末考前模拟数学试题

《试卷3份集锦》上海市闸北区2019-2020年九年级上学期期末考前模拟数学试题

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（）A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形【答案】A【解析】∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，∴BA=BF，∵折痕为BE，沿EF剪下，∴四边形ABFE为矩形，∴四边形ABEF为正方形．故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．故选A．2．气象台预报“铜陵市明天降水概率是75%”．据此信息，下列说法正确的是（）A．铜陵市明天将有75％的时间降水B．铜陵市明天将有75％的地区降水C．铜陵市明天降水的可能性比较大D．铜陵市明天肯定下雨【答案】C【分析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依次分析选项可得答案．【详解】解：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得：A、铜陵市明天将有75%的时间降水，故此选项错误；B、铜陵市明天将有75%的地区降水，故此选项错误；C、明天降水的可能性为75%，比较大，故此选项正确；D、明天肯定下雨，故此选项错误；故选：C．【点睛】此题主要考查了概率的意义，关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生．3．将二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向下平移3个单位长度所得的图象解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+3 B．y＝（x+1）2+3 C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x+1）2﹣3【答案】C【分析】根据平移原则：上→加，下→减，左→加，右→减写出解析式．【详解】解：将二次函数y＝x2的图象向右平移一个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的图象解析式为：y＝（x﹣1）2﹣1．故选：C．【点睛】主要考查了函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．4．在一个10万人的小镇，随机调查了3000人，其中450人看某电视台的早间新闻，在该镇随便问一个人，他看该电视台早间新闻的概率大约是（）A．0.0045B．0.03C．0.0345D．0.15【答案】D【解析】根据等可能事件的概率公式，即可求解．【详解】450÷3000=0.15，答：他看该电视台早间新闻的概率大约是0.15．故选D．【点睛】本题主要考查等可能事件的概率公式，掌握概率公式，是解题的关键．5．在下面四个选项的图形中，不能由如图图形经过旋转或平移得到的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由题图图形，旋转或平移，分别判断、解答即可．【详解】A、由图形顺时针旋转90°，可得出；故本选项不符合题意；B、由图形逆时针旋转90°，可得出；故本选项不符合题意；C、不能由如图图形经过旋转或平移得到；故本选项符合题意；D、由图形顺时针旋转180°，而得出；故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． 6．下列运算正确的是（ ） A ．88a a -= B ．()222a b a b -=- C ．236a a a = D ．()44a a -=【答案】D【分析】根据题意利用合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂的乘法运算法则及幂的乘方运算法则，分别化简求出答案.【详解】解：A.合并同类项，系数相加字母和指数不变，87a a a -=，此选项不正确； B. ()222a b a b -=-，是完全平方公式，(a-b) 2=a 2-2ab+b 2,此选项错误； C. 236a a a =，同底数幂乘法底数不变指数相加，a 2·a 3=a 5，此选项不正确； D. ()44a a -=，幂的乘方底数不变指数相乘，(-a)4=(-1)4.a 4=a 4，此选项正确． 故选：D 【点睛】本题考查了有理式的运算法则，合并同类项的关键正确判断同类项，然后按照合并同类项的法则进行合并；遇到幂的乘方时，需要注意若括号内有“-”时，其结果的符号取决于指数的奇偶性．7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转α角(0°＜α＜90°)得到△DEC ，设CD 交AB 于点F ，连接AD ，当旋转角α度数为________，△ADF 是等腰三角形．A ．20°B ．40°C ．10°D ．20°或40°【答案】D【分析】根据旋转的性质可得AC=CD ，根据等腰三角形的两底角相等求出∠ADF=∠DAC ，再表示出∠DAF ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠AFD ，然后分①∠ADF=∠DAF ，②∠ADF=∠AFD ，③∠DAF=∠AFD 三种情况讨论求解． 【详解】∵△ABC 绕C 点逆时针方向旋转得到△DEC ， ∴AC=CD ，∴∠ADF=∠DAC=12（180°-α）， ∴∠DAF=∠DAC-∠BAC=12（180°-α）-30°，根据三角形的外角性质，∠AFD=∠BAC+∠DCA=30°+α， △ADF 是等腰三角形，分三种情况讨论， ①∠ADF=∠DAF 时，12（180°-α）=12（180°-α）-30°，无解， ②∠ADF=∠AFD 时，12（180°-α）=30°+α， 解得α=40°， ③∠DAF=∠AFD 时，12（180°-α）-30°=30°+α， 解得α=20°，综上所述，旋转角α度数为20°或40°． 故选：D ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，难点在于要分情况讨论．8．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，若∠ADE ＝110°，则∠B ＝（ ）A ．80°B ．100°C ．110°D ．120°【答案】C【分析】直接利用圆内接四边形的性质分析得出答案．【详解】∵四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，∠ADE ＝110°， ∴∠B ＝∠ADE ＝110°．故选：C ． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质. 熟练掌握圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；.圆内接四边形的外角等于它的内对角是解题的关键.9．如图，在四边形ABCD 中，90DAB ︒∠=，AD BC ∥，12BC AD =，AC 与BD 交于点E ，AC BD ⊥，则tan BAC ∠的值是（ ）A ．14B ．24C ．22D ．13【答案】C【分析】证明ABC DAE ∽，得出AB BCDA AB=，证出2AD BC =，得出22AB BC AD BC BC =⨯=⨯22BC =，因此2AB BC =，在Rt ABC △中，由三角函数定义即可得出答案．【详解】∵AD BC ∥，90DAB ︒∠=，∴18090ABC DAB ︒︒∠=-∠=，90BAC EAD ︒∠+∠=， ∵AC BD ⊥， ∴90AED ︒=∠，∴90ADB EAD ︒∠+∠=， ∴BAC ADB ∠=∠， ∴ABC DAB ∽，∴AB BCDA AB=， ∵12BC AD =，∴2AD BC =，∴2222AB BC AD BC BC BC =⨯=⨯=， ∴2AB BC =，在Rt ABC △中，2tan 22BC BAC AB BC∠===； 故选：C ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键．10．对于二次函数y ＝4（x+1）（x ﹣3）下列说法正确的是（ ） A ．图象开口向下B ．与x 轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）C ．x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴是直线x ＝﹣1 【答案】C【解析】先把解析式化为顶点式的二次函数解析式,再利用二次函数的性质求解即可. 【详解】()()413y x x =+-A. ∵a=4>0,图象开口向上,故本选项错误,B. 与x 轴交点坐标是（-1,0）和（3,0）,故本选项错误,C. 当x ＜0时，y 随x 的增大而减小,故本选项正确,D.图象的对称轴是直线x=1,故本选项错误, 故选C. 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质,解题的关键是理解并灵活运用二次函数的性质. 11．如图，在平面直角坐标系中，直线OA 过点(4，2)，则tan α的值是( )A ．12B ．5C ．5 D ．2【答案】A【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数和图象中的数据即可解答本题． 【详解】如图：过点（4，2）作直线CD ⊥x 轴交OA 于点C ，交x 轴于点D ， ∵在平面直角坐标系中，直线OA 过点（4，2）， ∴OD=4，CD=2， ∴tanα=CD OD ＝24＝12， 故选A ． 【点睛】本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．12．如图，AB是O的直径，AB＝4，C为AB的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2 B7C．23D3+1【答案】D【解析】取OA的中点Q，连接DQ，OD，CQ，根据条件可求得CQ长，再由垂径定理得出OD⊥AP，由直角三角形斜边中线等于斜边一半求得QD长，根据当C,Q,D三点共线时，CD长最大求解.【详解】解：如图，取AO的中点Q,连接CQ，QD，OD，∵C为AB的三等分点，∴AC的度数为60°，∴∠AOC=60°,∵OA=OC,∴△AOC为等边三角形，∵Q为OA的中点，∴CQ⊥OA，∠OCQ=30°,∴OQ=1121 22OC,由勾股定理可得，3, ∵D为AP的中点,∴OD⊥AP，∵Q为OA的中点，∴DQ=1121 22OA=⨯=,∴当D点CQ的延长线上时，即点C,Q,D三点共线时，CD3+1. 故选D【点睛】本题考查利用弧与圆心角的关系及垂径定理求相关线段的长度，并且考查线段最大值问题，利用圆的综合性质是解答此题的关键.二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出______个．【答案】4【解析】试题分析：如图，能画4个,分别是:以D为圆心,AB为半径画圆;以C为圆心,CA为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个）,分别于D、E连接后,可得到两个三角形；以D为圆心,AC为半径画圆;以E为圆心,AB为半径画圆．两圆相交于两点（DE上下各一个）,分别于D、E连接后,可得到两个三角形．因此最多能画出4个考点：作图题．14．如下图，圆柱形排水管水平放置，已知截面中有水部分最深为5cm，排水管的截面半径为10cm，则水面宽AB是__________cm．【答案】103【分析】利用垂径定理构建直角三角形，然后利用勾股定理即可得解. 【详解】设排水管最低点为C ，连接OC 交AB 于D ，连接OB ，如图所示：∵OC=OB=10，CD=5 ∴OD=5 ∵OC ⊥AB∴()222210553BD OB OD =-=-=∴2103AB BD ==故答案为：3【点睛】此题主要考查垂径定理的实际应用，熟练掌握，即可解题. 15．下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果. 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601 发芽种子频率0. 920. 880. 910. 890. 900. 90根据上表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为________. 【答案】0.1【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.1左右，从而得到结论． 【详解】由表格可得，当实验次数越来越多时，发芽种子频率稳定在0. 1，符合用频率佔计概率， ∴种子发芽概率为0. 1． 故答案为：0.1． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．16．设a ，b 是方程x 2+x ﹣2018＝0的两个实数根，则（a ﹣1）（b ﹣1）的值为_____．【答案】﹣1【分析】由根与系数的关系可求得a+b 与ab 的值，代入求值即可． 【详解】∵a ，b 是方程x 2+x ﹣2018＝0的两个实数根， ∴a+b ＝﹣1，ab ＝﹣2018，∴（a ﹣1）（b ﹣1）＝ab ﹣a ﹣b+1＝ab ﹣（a+b ）+1＝﹣2018﹣（﹣1）+1＝﹣1， 故答案为﹣1． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于﹣b a 、两根之积等于ca是解题的关键． 17．若某人沿坡度i=3∶4的斜坡前进10m ，则他比原来的位置升高了_________m ． 【答案】1． 【详解】解：如图：由题意得，BC ：AC=3：2． ∴BC ：AB=3：3． ∵AB=10， ∴BC=1． 故答案为：1 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 18．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是 ．【答案】33【解析】试题分析：∵∠BAC=∠ACD=90°，∴AB ∥CD ． ∴△ABE ∽△DCE ．∴BE ABEC CD=． ∵在Rt △ACB 中∠B=45°，∴AB=AC ． ∵在RtACD 中，∠D=30°，∴ACCD 3AC tan30==︒．∴BE AB3EC CD33AC===．三、解答题（本题包括8个小题）19．小明想要测量一棵树DE的高度，他在A处测得树顶端E的仰角为30°，他走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°．已知A点离地面的高度AB＝2米，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．求树DE的高度；【答案】树DE的高度为6米．【分析】先根据∠ACB=30°求出AC=1米，再求出∠EAC=60°，解Rt△ACE得EC的长，依据∠DCE=60°，解Rt△CDE得的长．【详解】∵∠B=90°，∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=1．又∵∠DCE=60°，∴∠ACE=90°．∵AF∥BD，∴∠CAF=∠ACB=30°，∴∠EAC=60°．在Rt△ACE中，∵EC tan EACAC∠=，∴43 EC=在Rt△DCE中∵∠DCE=60°，DE sin DCECE∠=，∴3436 DE==．答：树DE的高度为6米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．20．关于x的一元二次方程2220x x m++=有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若1x ，2x 是一元二次方程2220x x m ++=的两个根，且22128x x +=，求m 的值．【答案】（1）m ＜12；（2）﹣1． 【解析】试题分析：（1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）根据方程的解析式结合根与系数的关系得出122x x +=-，122x x m =，再结合完全平方公式可得出222121212()2x x x x x x +=+-，代入数据即可得出关于关于m 的一元一次方程，解方程即可求出m 的值，经验值m=﹣1符合题意，此题得解．试题解析：（1）∵一元二次方程2220x x m ++=有两个不相等的实数根，∴△=4﹣4×1×2m=4﹣8m ＞0，解得：m ＜12，∴m 的取值范围为m ＜12． （2）∵1x ，2x 是一元二次方程2220x x m ++=的两个根，∴122x x +=-，122x x m =，∴222121212()2x x x x x x +=+-=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0，∴m 的值为﹣1．考点：根与系数的关系；根的判别式．21．对于二次函数y ＝x 2﹣3x+2和一次函数y ＝﹣2x+4，把y ＝t （x 2﹣3x+2）+（1﹣t ）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线L ．现有点A （2，0）和抛物线L 上的点B （﹣1，n ），请完成下列任务：（尝试）（1）当t ＝2时，抛物线y ＝t （x 2﹣3x+2）+（1﹣t ）（﹣2x+4）的顶点坐标为 ；（2）判断点A 是否在抛物线L 上；（3）求n 的值；（发现）通过（2）和（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线L 总过定点，坐标为 ． （应用）二次函数y ＝﹣3x 2+5x+2是二次函数y ＝x 2﹣3x+2和一次函数y ＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由．【答案】[尝试]（1）（1，﹣2）；（2）点A在抛物线L上；（3）n=1；[发现]（2，0）,（﹣1，1）；[应用]不是，理由见解析．【分析】[尝试]（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；（2）将点A的坐标代入抛物线L直接进行验证即可；（3）已知点B在抛物线L上，将该点坐标代入抛物线L的解析式中直接求解，即可得到n的值．[发现]将抛物线L展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．[应用]将[发现]中得到的两个定点坐标代入二次函数y=-3x2+5x+2中进行验证即可．【详解】解：[尝试]（1）∵将t＝2代入抛物线L中，得：y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝2x2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣2，∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．（2）∵将x＝2代入y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得y＝0，∴点A（2，0）在抛物线L上．（3）将x＝﹣1代入抛物线L的解析式中，得：n＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝1．[发现]∵将抛物线L的解析式展开，得：y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）＝t（x﹣2）（x+1）﹣2x+4当x=2时，y=0，当x=-1时，y=1，与t无关，∴抛物线L必过定点（2，0）、（﹣1，1）．[应用]将x＝2代入y＝﹣3x2+5x+2，y＝0，即点A在抛物线上．将x＝﹣1代入y＝﹣3x2+5x+2，计算得：y＝﹣1≠1，即可得抛物线y＝﹣3x2+5x+2不经过点B，∴二次函数y＝﹣3x2+5x+2不是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”．【点睛】本题考查二次函数的新型定义问题，熟练掌握二次函数的图像与性质，理解“再生二次函数”的定义是解题的关键.22．已知，有一直径是1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角时90°的扇形ABC（如图），用剪下的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？【答案】2【解析】求出弧BC的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可求出底面圆的半径. 【详解】解：连接BC，AO，∵∠BAC=90°，OB=OC，∴BC是圆0的直径，AO⊥BC，∵圆的直径为1，∴AO=OC=12，则222OA OC+=，弧BC的长=29022180π⋅⋅=则2，解得：2．2m．【点睛】本题考查了弧长的计算、圆周长的计算公式，牢牢掌握这些计算公式是解答本题的关键.23．某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元,经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件.（1）若想要这种童装销售利润每天达到 1200 元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？（2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？【答案】（1）每件童装应降价20元,（2）当x=15时,函数有最大值,即童装一天的销售利润最多为1250元.【分析】（1）表示出销售数量,找到等量关系即可解题,（2）求出二次函数的表达式,化成顶点式即可解题.【详解】解：（1）设降了x 元,则日销售量增加2x 件,依题意得：（40-x ）（20+2x ）=1200,化简整理得：（x-10）(x-20)=0,解得：x=10或x =20,∵让顾客得到更多的实惠，∴每件童装应降价20元,（2）设销售利润为y,y=（40-x ）（20+2x ）,y=-2（x-15）2+1250,∴当x=15时,函数有最大值,即童装一天的销售利润最多为1250元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用,中等难度,建立等量关系是解题关键.24．已知关于x 的方程()22120mx m x m --+-=； （1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）若m 为满足（1）的最小正整数，求此时方程的两个根1x ，2x .【答案】（1）14m >-且0m ≠;（2）112x +=，212x -=. 【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，可得△=b 2-4ac ＞0，继而求得m 的取值范围；（2）因为最小正整数为1，所以把m=1代入方程。

★试卷3套精选★上海市闸北区2019届九年级上学期期末监测数学试题

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九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若正六边形的边长为6，则其外接圆半径为（）A．3 B．32C．33D．6【答案】D【分析】连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边形的外接圆半径．【详解】如图为正六边形的外接圆，ABCDEF是正六边形，∴∠AOF=10°,∵OA=OF,∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF=1.所以正六边形的外接圆半径等于边长，即其外接圆半径为1．故选D．【点睛】本题考查了正六边形的外接圆的知识,解题的关键是画出图形,找出线段之间的关系.2．如图，将一块含30°的直角三角板绕点A按顺时针方向旋转到△A1B1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】D【分析】先判断出旋转角最小是∠CAC1，根据直角三角形的性质计算出∠BAC，再由旋转的性质即可得出结论．【详解】∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，∴旋转角最小是∠CAC1，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∵△AB1C1由△ABC旋转而成，∴∠B1AC1＝∠BAC＝60°，∴∠CAC1＝180°﹣∠B1AC1＝180°﹣60°＝120°，故选：D ．【点睛】此题考查旋转的性质，熟知图形旋转后所得图形与原图形全等是解题的关键．3．已知关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为﹣2，则另一个根为（ ）A ．5B ．﹣1C ．2D ．﹣5 【答案】B【分析】根据关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-2，可以设出另一个根，然后根据根与系数的关系可以求得另一个根的值，本题得以解决．【详解】∵关于x 的方程x 2+3x+a=0有一个根为-2，设另一个根为m ，∴-2+m=−31， 解得，m=-1，故选B ．4．在ABC ∆中，C ∠=90〫，3sin 5A =，则cos A 的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．34 D ．43【答案】A【分析】根据同角三角函数关系：2sin A +2cos A 1=求解．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，3sin 5A =， ∵2sin A +2cos A 1=， ∴2235co 1s A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1625= , ∴cos A =45 故选：A【点睛】本题考查了同角三角函数的关系的应用，能知道22sin cos 1A A +=是解题的关键．5．一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线l 上，且有一个公共顶点O ，则AOB ∠的度数是( )A．83︒B．84︒C．85︒D．94︒【答案】B【分析】利用正多边形的性质求出∠AOE，∠BOF，∠EOF即可解决问题；【详解】由题意：∠AOE=108°，∠BOF=120°，∠OEF=72°，∠OFE=60°，∴∠EOF=180°−72°−60°=48°，∴∠AOB=360°−108°−48°−120°=84°，故选：B．【点睛】本题考查正多边形的性质、三角形内角和定理，解题关键在于掌握各性质定义.6．如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，AD＝12DB，若S△ADE＝3，则S四边形DBCE＝( )A．12 B．15 C．24 D．27【答案】C【分析】根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，再结合相似比是AD：AB＝1：3，因而面积的比是1：9，则可求出S△ABC，问题得解.【详解】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：DB＝1：2，∴AD：AB＝1：3，∴S△ADE：S△ABC是1：9，∵S△ADE＝3，∴S△ABC＝3×9＝27，则S四边形DBCE＝S△ABC﹣S△ADE＝27﹣3＝24.故选：C.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．7．如图，将Rt△ABC（其中∠B=35°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）A．55°B．70°C．125°D．145°【答案】C【解析】试题分析：∵∠B=35°，∠C=90°，∴∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣35°=55°．∵点C、A、B1在同一条直线上，∴∠BAB′=180°﹣∠BAC=180°﹣55°=125°．∴旋转角等于125°．故选C．8．下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组【答案】A【解析】试题解析：①不相似，因为没有指明相等的角或成比例的边；②不相似，因为只有一对角相等，不符合相似三角形的判定；③相似，因为其四个角均相等，四条边都相等，符合相似的条件；④不相似，虽然其四个角均相等，因为没有指明边的情况，不符合相似的条件；⑤不相似，因为菱形的角不一定对应相等，不符合相似的条件；⑥相似，因为两正五边形的角相等，对应边成比例，符合相似的条件；所以正确的有③⑥．故选A．9．今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2＝3500B．2500（1+x）2＝3500C．2500（1+x%）2＝3500D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝3500【答案】B【分析】根据2013年教育经费额×（1+平均年增长率）2=2015年教育经费支出额，列出方程即可．【详解】设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2＝3500，故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“-”）．10．13的相反数是（）A．13-B．13C．3-D．3【答案】A【分析】根据相反数的意义求解即可．【详解】13的相反数是-13，故选：A．【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．11．如图，一张矩形纸片ABCD的长BC＝xcm，宽AB＝ycm，以宽AB为边剪去一个最大的正方形ABEF，若剩下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似，则xy的值为（）A 51-B51+C2D21+【答案】B【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝xcm，∵四边形ABEF是正方形，∴EF ＝AB ＝ycm ，∴DF ＝EC ＝（x ﹣y ）cm ，∵矩形FDCE 与原矩形ADCB 相似，∴DF ：AB ＝CD ：AD ， 即：x y y y x -= ∴x y ＝5+12， 故选B ．【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质；根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键．12．我们定义一种新函数：形如2y ax bx c ++＝（a ≠0，b 2﹣4ac ＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x ＝1；③当﹣1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当x ＝﹣1或x ＝3时，函数的最小值是0；⑤当x ＝1时，函数的最大值是4，A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】A 【分析】由（-1,0），（3,0）和（0,3）坐标都满足函数223y x x =--，∴①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线1x = ，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当11x -≤≤或3x ≥ 时，函数值y 随x 值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x 轴的两个交点，根据0y =，求出相应的的值为1x =-或3x =，因此④也是正确的；从图象上看，存在函数值大于当1x =时的223=4y x x =--，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．【详解】解：①∵（-1,0），（3,0）和（0,3）坐标都满足函数223y x x =--，∴①是正确的； ②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线1x =，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当11x -≤≤或3x ≥时，函数值y 随x 值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x 轴的两个交点，根据y ＝0，求出相应的x 的值为1x =-或3x =，因此④也是正确的；⑤从图象上看，存在函数值要大于当1x =时的223=4y x x =--，因此⑤是不正确的；故选A【点睛】理解“鹊桥”函数2y ax bx c ++＝的意义，掌握“鹊桥”函数与2y ax bx c ++＝与二次函数2y ax bx c ++＝之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数2y ax bx c ++＝与x 轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．二、填空题（本题包括8个小题）13．已知点()11,1p a -和()22,1p b -关于原点对称，则a+b=____.【答案】1-【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a-1+2=0,b-1+1=0，再解方程即可求得a 、b 的值，再代入计算即可．【详解】∵点()11,1p a -和()22,1p b -关于原点对称，∴a-1+2=0,b-1+1=0，∴a=-1,b=0,∴a+b=-1.故答案是：-1.【点睛】考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题关键是运用了两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反． 14．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO ＝8米，母线AB ＝10米，则该圆锥的侧面积是_____平方米（结果保留π）．【答案】60【分析】根据勾股定理求得OB，再求得圆锥的底面周长即圆锥的侧面弧长，根据扇形面积的计算方法S＝12lr，求得答案即可．【详解】解：∵AO＝8米，AB＝10米，∴OB＝6米，∴圆锥的底面周长＝2×π×6＝12π米，∴S扇形＝12lr＝12×12π×10＝60π米2，故答案为60π．【点睛】本题考查圆锥的侧面积，掌握扇形面积的计算方法S＝12lr是解题的关键．15．数据2，3，5，5，4的众数是____．【答案】1【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵1是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为1．故答案为：1．【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．16．如图,将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°,B点落在B'位置,A点落在A'位置,若AC⊥A'B',则∠BAC 的度数是__.【答案】70°【解析】由旋转的角度易得∠ACA′=20°，若AC⊥A'B'，则∠A′、∠ACA′互余，由此求得∠ACA′的度数，由于旋转过程并不改变角的度数，因此∠BAC=∠A′，即可得解．【详解】解：由题意知：∠ACA′=20°；若AC ⊥A'B'，则∠A′+∠ACA′=90°，得：∠A′=90°-20°=70°；由旋转的性质知：∠BAC=∠A′=70°；故∠BAC 的度数是70°．故答案是：70°【点睛】本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．17．因式分解：334-=a b ab ____.【答案】()()2121ab ab ab +-【分析】先提取公因式ab ，再利用平方差公式分解即可得答案.【详解】4a 3b 3-ab=ab(a 2b 2-1)=ab(ab+1)(ab-1)故答案为：ab(ab+1)(ab-1)【点睛】本题考查了因式分解，因式分解的方法有提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，根据题目的特点，灵活运用适当的方法是解题关键.18．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，BC ＝43，⊙A 与BC 相切于点D ，且交AB ，AC 于M ，N 两点，则图中阴影部分的面积是_____（保留π）．【答案】4433π-． 【分析】连接AD ，分别求出△ABC 和扇形AMN 的面积，相减即可得出答案.【详解】解：连接AD ，∵⊙A 与BC 相切于点D ，∴AD ⊥BC ，∵AB ＝AC ，∠A ＝120°，∴∠ABD ＝∠ACD ＝30°，BD ＝CD ＝12BC = ∴AB ＝2AD ，由勾股定理知BD 2+AD 2＝AB 2，即(2+AD 2＝（2AD ）2解得AD ＝2，∴△ABC 的面积＝11222BC AD ⨯=⨯= 扇形MAN 得面积＝2120243603ππ⨯=，∴阴影部分的面积＝43π．故答案为：43π． 【点睛】本题考查的是圆中求阴影部分的面积，解题关键在于知道阴影部分面积等于三角形ABC 的面积减去扇形AMN 的面积，要求牢记三角形面积和扇形面积的计算公式.三、解答题（本题包括8个小题）19．已知抛物线y=mx 2+（3–2m ）x+m –2（m≠0）与x 轴有两个不同的交点．(1)求m 的取值范围；(2)判断点P （1，1）是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点Q 的坐标．【答案】 (1)m ＜94且m≠0；(2)点P （1，1）在抛物线上；(3)抛物线的顶点Q 的坐标为（–12，–54）． 【分析】(1)与x 轴有两个不同的交点即令y=0,得到的一元二次方程的判别式△>0,据此即可得到不等式求解;(2)把点(1,1)代入函数解析式判断是否成立即可;(3)首先求得函数解析式,化为顶点式，可求得顶点坐标.【详解】(1)由题意得，（3–2m ）2–4m （m –2）>0，m≠0，解得，m<94且m≠0； (2)当x=1时，mx 2+（3–2m ）x+m –2=m+（3–2m ）+m –2=1，∴点P （1，1）在抛物线上；(3)当m=1时，函数解析式为：y=x 2+x –1=（x+12）2–54， ∴抛物线的顶点Q 的坐标为（–12，–54）． 【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的公共点的个数的判定方法,如果△>0,则抛物线与x轴有两个不同的交点;如果△=0,则二次函数与x轴有一个交点;如果△<0, 则二次函数与x轴无交点.20．如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC内部，且AD=CD，∠ADC=90°，连接BD，若△BCD 的面积为10，则AD的长为多少？【答案】2【分析】作辅助线构建全等三角形和高线DH，设CM=a，根据等腰直角三角形的性质和三角函数表示AC 和AM的长，根据三角形面积表示DH的长，证明△ADG≌△CDH，得出DG和AG的长度，即可得出答案. 【详解】解：过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G，设CM=a，∵AB=AC，∴BC=2CM=2a，∵tan∠ACB=2，∴AMCM=2，∴AM=2a，由勾股定理得：5，S△BDC=12BC•DH=10，122a DH=10，DH=10a，∵∠DHM=∠HMG=∠MGD=90°，∴四边形DHMG为矩形，∴∠HDG=90°=∠HDC+∠CDG，DG=HM，DH=MG，∵∠ADC=90°=∠ADG+∠CDG，∴∠ADG=∠CDH，在△ADG和△CDH中，∵90AGD CHDADG CDHAD CD∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADG ≌△CDH （AAS ），∴DG=DH=MG=10a ，AG=CH=a+10a， ∴AM=AG+MG ，即2a=a+10a +10a， a 2=20，在Rt △ADC 中，AD 2+CD 2=AC 2，∵AD=CD ，∴2AD 2=5a 2=100，∴AD=52或52-（舍），故答案为：52【点睛】本题考查的是三角形的综合，运用到了三角函数和全等的相关知识，需要熟练掌握相关基础知识. 21．为支持大学生勤工俭学，市政府向某大学生提供了1万元的无息贷款用于销售某种自主研发的产品，并约定该学生用经营的利润逐步偿还无息贷款，已知该产品的生产成本为每件10元．每天还要支付其他费用25元．该产品每天的销售量(y 件)与销售单价(x 元)关系为40y x =-+．（1）设每天的利润为w 元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润为多少元？(注：每天的利润=每天的销售利润一每天的支出费用)（2）若销售单价不得低于其生产成本，且销售每件产品的利润率不能超过50%，则该学生最快用多少天可以还清无息贷款？【答案】（1）当销售单价定为25元时，日销售利润最大为200元；（2）该生最快用100天可以还清无息贷款．【分析】（1）计算利润w =销量×每件的利润-支付的费用，化为顶点式，可得结论；（2）先得出每日利润的最大值，即可求解．【详解】(1)(10)(40)25w x x =--+-2-50425x x =+-2-(25)200x =-+∵1a =-＜0，∴当x=25时，日利润最大，为200元，∴当销售单价定为25元时，日销售利润最大为200元；(2) 由题意得：101050%10x x ≥⎧⎪-⎨≤⎪⎩， 解得：1015x ≤≤，()225200w x =--+，∵1a =-＜0，∴抛物线开口向下，当25x <时，w 随x 的值增大而增大，∴当x=15时，日利润最大为()21525200w =--+=100元，∵10000÷100=100，∴该生最快用100天可以还清无息贷款．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值）．22．某网点尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元/件的商品，经过统计得到此商品单价在第x 天（x 为正整数）销售的相关信息，如表所示：（1）请计算第几天该商品单价为25元/件？（2）求网店第几天销售额为792元？（3）求网店销售该商品30天里所获利润y （元）关于x （天）的函数关系式；这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）第10天时该商品的销售单价为25元/件；（2）网店第26天销售额为792元；（3）21155002y x x =-++；这30天中第15天获得的利润最大，最大利润是12252元. 【分析】（1）将m=25代入m=20+12x ，求得x 即可；（2）令120(50)7922x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得方程即可； （3）根据“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式，将所得函数解析式配方成顶点式后，根据二次函数的性质即可得．【详解】解：（1）当25m =时，120252x +=， 解得：10x =，所以第10天时该商品的销售单价为25元/件；（2）根据题意，列方程为： 120(50)7922x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1226,16x x ==-（舍去）答：网店第26天销售额为792元.（3）(10)y n m =- 1(50)20102y x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 21155002y x x =-++； （4）21155002y x x =-++ 211225(15)22x =--+， ∴当15x =时，y 最大=12252， 答：这30天中第15天获得的利润最大，最大利润是12252元 【点睛】本题考查二次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建函数，利用二次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．23．如图，在△ABC 中，点D 在BC 边上，BC ＝3CD ，分别过点B ，D 作AD ，AB 的平行线，并交于点E ，且ED 交AC 于点F ，AD ＝3DF ．（1）求证：△CFD ∽△CAB ；（2）求证：四边形ABED 为菱形；（3）若DF ＝53，BC ＝9，求四边形ABED 的面积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形ABED的面积为1．【分析】（1）由平行线的性质和公共角即可得出结论；（2）先证明四边形ABED是平行四边形，再证出AD＝AB，即可得出四边形ABED为菱形；（3）连接AE交BD于O，由菱形的性质得出BD⊥AE，OB＝OD，由相似三角形的性质得出AB＝3DF＝5，求出OB＝3，由勾股定理求出OA＝4，AE＝8，由菱形面积公式即可得出结果．【详解】（1）证明：∵EF∥AB，∴∠CFD＝∠CAB，又∵∠C＝∠C，∴△CFD∽△CAB；（2）证明：∵EF∥AB，BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∵BC＝3CD，∴BC：CD＝3：1，∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF，∵AD＝3DF，∴AD＝AB，∴四边形ABED为菱形；（3）解：连接AE交BD于O，如图所示：∵四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE，OB＝OD，∴∠AOB＝90°，∵△CFD∽△CAB，∴AB：DF＝BC：CD＝3：1，∴AB＝3DF＝5，∵BC＝3CD＝9，∴CD＝3，BD＝6，∴OB＝3，由勾股定理得：OA ＝22AB OB -＝4，∴AE ＝8， ∴四边形ABED 的面积＝12AE×BD ＝12×8×6＝1．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定和性质、平行四边形的判定、勾股定理、菱形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明四边形是菱形是解题的关键．24．如图，有一路灯杆AB （底部B 不能直接到达），在灯光下，小华在点D 处测得自己的影长DF ＝3m ，沿BD 方向到达点F 处再测得自己的影长FG ＝4m ．如果小华的身高为1.5m ，求路灯杆AB 的高度．【答案】路灯杆AB 的高度是1m ．【解析】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】解：∵CD ∥EF ∥AB ，∴可以得到△CDF ∽△ABF ，△ABG ∽△EFG ，∴,CD DF FE FG AB BF AB BG==， 又∵CD ＝EF ， ∴DF FG BF BG=， ∵DF ＝3m ，FG ＝4m ，BF ＝BD+DF ＝BD+3，BG ＝BD+DF+FG ＝BD+7，∴3437DB BD =++， ∴BD ＝9，BF ＝9+3＝12，∴1.5312AB =， 解得AB ＝1．答：路灯杆AB 的高度是1m ．【点睛】考查了相似三角形的应用和中心投影．只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例就可以求出结果．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝14x 2+kx+c 的图象经过点C （0，1），当x ＝2时，函数有最小值． （1）求抛物线的解析式；（2）直线l ⊥y 轴，垂足坐标为（0，﹣1），抛物线的对称轴与直线l 交于点A ．在x 轴上有一点B ，且AB 2l 上求异于点A 的一点Q ，使点Q 在△ABC 的外接圆上；（3）点P （a ，b ）为抛物线上一动点，点M 为坐标系中一定点，若点P 到直线l 的距离始终等于线段PM 的长，求定点M 的坐标． 【答案】（1）y ＝14x 2﹣x+1； （2）Q （1，﹣1）；（3）M （2，1） 【分析】（1）由已知可求抛物线解析式为y ＝14x 2﹣x+1； （2）由题意可知A （2，﹣1），设B （t ，0），由AB 2，所以（t ﹣2）2+1＝2，求出B （1，0）或B （3，0），当B （1，0）时，A 、B 、C 三点共线，舍去，所以B （3，0），可证明△ABC 为直角三角形，BC 为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC 的中点（32，12），10，设Q （x ，﹣1），则有（x ﹣32）2+（12+1）210）2，即可求Q （1，﹣1）； （3）设顶点M （m ，n ），P （a ，b ）为抛物线上一动点，则有b ＝14a 2﹣a+1，因为P 到直线l 的距离等于PM ，所以（m ﹣a ）2+（n ﹣b ）2＝（b+1）2，可得212n a -+（2n ﹣2m+2）a+（m 2+n 2﹣2n ﹣3）＝0，由a 为任意值上述等式均成立，有1022220n n m -⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，可求定点M 的坐标．【详解】解：（1）∵图象经过点C （0，1），∴c ＝1，∵当x ＝2时，函数有最小值，即对称轴为直线x ＝2， ∴2124k-=⨯，解得：k ＝﹣1，∴抛物线解析式为y ＝14x 2﹣x+1； （2）由题意可知A （2，﹣1），设B （t ，0），∵AB，∴（t ﹣2）2+1＝2，∴t ＝1或t ＝3，∴B （1，0）或B （3，0），∵B （1，0）时，A 、B 、C 三点共线，舍去，∴B （3，0），∴AC ＝，BC，∴∠BAC ＝90°，∴△ABC 为直角三角形，BC 为外接圆的直径，外接圆的圆心为BC 的中点（32，12），半径为2， 设Q （x ，﹣1），则有（x ﹣32）2+（12+1）2）2， ∴x ＝1或x ＝2（舍去），∴Q （1，﹣1）； （3）设顶点M （m ，n ），∵P （a ，b ）为抛物线上一动点，∴b ＝14a 2﹣a+1， ∵P 到直线l 的距离等于PM ，∴（m ﹣a ）2+（n ﹣b ）2＝（b+1）2， ∴212n a -+（2n ﹣2m+2）a+（m 2+n 2﹣2n ﹣3）＝0， ∵a 为任意值上述等式均成立， ∴1022220n n m -⎧=⎪⎨⎪+-=⎩，∴12n m =⎧⎨=⎩， 此时m 2+n 2﹣2n ﹣3＝0，∴定点M （2，1）．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，结合圆的相关知识解题是关键． 26．某商店专门销售某种品牌的玩具，成本为30元/件，每天的销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）为了保证每天的利润不低于3640元，试确定该玩具销售单价的范围．【答案】（1）10700y x =-+；（2）销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元；（3）44≤x≤56【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）利用w=销量乘以每件利润进而得出关系式求出答案；（3）利用w=3640，进而解方程，再利用二次函数增减性得出答案．【详解】解：（1）y 与x 之间的函数关系式为：y kx b =+把（35，350），（55，150）代入得：由题意得：3503515055k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：10700k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 之间的函数关系式为：10700y x =-+．（2）设销售利润为W 元则W=（x ﹣30）•y=（x ﹣30）（﹣10x+700），W =﹣10x 2+1000x ﹣21000W =﹣10（x ﹣50）2+4000∴当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元．（3）令W =3640∴﹣10（x ﹣50）2+4000=3640∴x 1=44，x 2=56如图所示，由图象得：当44≤x≤56时，每天利润不低于3640元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，正确掌握二次函数的性质是解题关键．27．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△AOB的三个顶点均在格点上，点A、B的坐标分别为（3，2）、（1，3）．△AOB绕点O逆时针旋转90º后得到△A1OB1．（1）在网格中画出△A1OB1，并标上字母；（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为；（3）点A1的坐标为；（4）在旋转过程中，点B经过的路径为弧BB1，那么弧BB1的长为．5【答案】（1）见解析；（2）（-3，-2）；（3）（-2，3）；（4【分析】（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据关于O点中心对称的点的坐标的特点直接写出答案即可；（3）根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可；（4）利用勾股定理列式求出OB，再根据弧长公式列式计算即可得解．【详解】（1）△A1OB1如图所示；（2）点A关于O点中心对称的点的坐标为（-3，-2）；（3）点A1的坐标为（﹣2，3）；（4）由勾股定理得，223110+=BB1的长为：9010101802π=．考点：1．作图-旋转变换；2．弧长的计算．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知方程2231x x -=的两根为1x ，2x 则1122x x x x ++的值是（ ）A ．1B ．2C ．-2D ．4 【答案】A【分析】先化成一元二次方程的一般形式，根据根与系数的关系得出x 1+x 232=，x 1•x 212=-，代入求出即可．【详解】∵2x 2﹣3x=1，∴2x 2﹣3x ﹣1=0，由根与系数的关系得：x 1+x 232=，x 1•x 212=-， 所以x 1+x 1x 2+x 232=+(12-)=1． 故选：A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解答本题的关键．2．下列约分正确的是（ ） A ．632x x x= B ．0x y x y +=+ C ．222142xy x y = D ．1()a b x a b x+=+ 【答案】D 【分析】根据约分的运算法则，以及分式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案．【详解】解：A 、642x x x=，故A 错误； B 、1x y x y+=+，故B 错误； C 、22242=xy y x y x，故C 错误； D 、1()a b x a b x+=+，正确； 故选：D ．【点睛】本题考查了分式的基本性质，以及约分的运算法则，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质进行解题． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A．12B．11C．27D．3a【答案】B【分析】根据最简二次根式概念即可解题.【详解】解：A. 12=2,错误,B. 11是最简二次根式,正确,C. 27=33,错误,D. 3a=a a,错误,故选B.【点睛】本题考查了最简二次根式的概念,属于简单题,熟悉概念是解题关键.4．如图，已知∠BAC=∠ADE=90°，AD⊥BC，AC=DC．关于优弧CAD，下列结论正确的是（）A．经过点B和点E B．经过点B，不一定经过点EC．经过点E，不一定经过点B D．不一定经过点B和点E【答案】B【分析】由条件可知BC垂直平分AD，可证△ABC≌△DBC，可得∠BAC=∠BDC=90°故∠BAC+∠BDC=180°则A、B、D、C四点共圆，即可得结论.【详解】解：如图：设AD、BC交于M∵AC=CD，AD⊥BC∴M为AD中点∴BC垂直平分AD∴AB=DB∵BC=BC，AC=CD∴△ABC≌△DBC∴∠BAC=∠BDC=90°∴∠BAC+∠BDC=180°∴A、B 、D 、C 四点共圆∴优弧CAD 经过B ，但不一定经过E故选 B【点睛】本题考查了四点共圆，掌握四点共圆的判定是解题的关键.5．x ＝1是关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣2b ＝0的解，则2a ﹣4b 的值为（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2 【答案】A【分析】先把x=1代入方程x 2+ax-2b=0得a-2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a-4b 的值即可．【详解】将x ＝1代入原方程可得：1+a ﹣2b ＝0，∴a ﹣2b ＝﹣1，∴原式＝2（a ﹣2b ）＝﹣2，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 6．如图，四边形ABCD 内接于O ，它的一个外角65EBC ︒∠=，分别连接AC ，BD ，若AC AD =，则DBC∠的度数为（ ）A ．50︒B ．55︒C ．65︒D ．70︒【答案】A 【分析】先根据圆内接四边形的性质得出∠ADC=∠EBC=65°，再根据AC=AD 得出∠ACD=∠ADC=65°，故可根据三角形内角和定理求出∠CAD=50°，再由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD=50°.【详解】解：∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ADC=∠EBC=65°．∵AC=AD ，∴∠ACD=∠ADC=65°，∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=50°，∴∠DBC=∠CAD=50°，故选：A ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，以及圆周角定理的推论，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．也考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．7．下列函数中，是二次函数的是（ ）A ．y ＝2x+1B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2C ．y ＝1﹣x 2D ．y ＝【答案】C【解析】根据二次函数的定义进行判断．【详解】解：A 、该函数是由反比例函数平移得到的，不是二次函数，故本选项错误；B 、由已知函数解析式得到：y ＝－2x ＋1，属于一次函数，故本选项错误；C 、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；D 、该函数不是二次函数，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的定义．熟知一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．8．抛物线2(1)2y x =-+的对称轴是 （ ）A ．直线x ＝－1B ．直线x ＝1C ．直线x ＝－2D ．直线x ＝2 【答案】B【分析】根据题目所给的二次函数的顶点式直接得到函数图象的对称轴．【详解】解：∵解析式为()212y x =-+，∴对称轴是直线1x =．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的顶点式，解题的关键是根据二次函数的顶点式得到函数图象的性质．9．从1到9这9个自然数中任取一个，既是2的倍数，又是3的倍数的概率是（ ）A ．19B ．13C ．12D ．79【答案】A【分析】从1到9这9个自然数中，既是2的倍数，又是3的倍数只有6一个，所以既是2的倍数，又是3的倍数的概率是九分之一．【详解】解：∵既是2的倍数，又是3的倍数只有6一个，∴P （既是2的倍数，又是3的倍数）＝19． 故选：A ．【点睛】本题考查了用列举法求概率,属于简单题,熟悉概率的计算公式是解题关键.10．将二次函数y ＝2x 2﹣4x+5的右边进行配方，正确的结果是（ ）A ．y ＝2（x ﹣1）2﹣3B ．y ＝2（x ﹣2）2﹣3C ．y ＝2（x ﹣1）2+3D ．y ＝2（x ﹣2）2+3 【答案】C【解析】先提出二次项系数，再加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．【详解】解：提出二次项系数得，y ＝2（x 2﹣2x ）+5，配方得，y ＝2（x 2﹣2x+1）+5﹣2，即y ＝2（x ﹣1）2+1．故选：C ．【点睛】 本题考查二次函数的三种形式，一般式：y=ax2＋bx ＋c ，顶点式：y=a(x-h)2+k ；两根式：y= ()12).a x x x x --（ 11．如果等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y ＝10x B ．y ＝5x C ．y ＝20x D ．y ＝20x 【答案】C【解析】试题解析：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x ，底边上的高为y ，1102xy ，∴= ∴y 与x 的函数关系式为：20y x =． 故选C ． 点睛：根据三角形的面积公式列出1102xy =，即可求出答案. 12．对于反比例函数1y x =，下列说法正确的是（ ） A ．图象经过点()1,1-B ．图象位于第二、四象限C ．图象是中心对称图形D ．当0x <时，y 随x 的增大而增大【答案】C【分析】根据反比例函数的图象和性质，可对各个选项进行分析，判断对错即可．【详解】解：A、∵当x=1时，y=1，∴函数图象过点(1，1)，故本选项错误；B、∵10k=>，∴函数图象的每个分支位于第一和第三象限，故本选项错误；C、由反比例函数的图象对称性可知，反比例函数的图象是关于原点对称，图象是中心对称图，故本选项正确；D、∵10k=>，∴在每个象限内，y随着x的增大而减小，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题重点考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数图象和性质是解题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．在一个不透明的袋子中有5个除颜色外完全相同的小球，其中绿球2个，红球3个，摸出一个球不放回，混合均匀后再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是________.【答案】3 10【分析】列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可．【详解】画树状图图如下：∴一共有20种情况，有6种情况两次都摸到红球，∴两次都摸到红球的概率是63 2010=．故答案为：3 10．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如果两个相似三角形的对应边的比是4:5，那么这两个三角形的面积比是_____．【答案】16:25【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，据此即可求解．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为：45k=，。

〖汇总3套试卷〗上海市闸北区2021年九年级上学期数学期末学业质量监测试题

〖汇总3套试卷〗上海市闸北区2021年九年级上学期数学期末学业质量监测试题

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则CPD∠的度数为（）A．30B．36︒C．60︒D．72︒【答案】B【分析】根据圆周角的性质即可求解.【详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°，同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半，故∠CPD=172362︒⨯=︒,故选B.【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用.2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若1sin2A=，则∠B的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【分析】根据特殊角的函数值1sin302=可得∠A度数，进一步利用两个锐角互余求得∠B度数．【详解】解：∵1 sin302=，∴∠A=30°，∵∠C＝90°，∴∠B=90°-∠A=60°故选：C．【点睛】此题主要考查了特殊角的函数值，以及直角三角形两个锐角互余，熟练掌握特殊角函数值是解题的关键. 3．下列品牌的运动鞋标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可得出答案．【详解】A是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．故选D．【点睛】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．某商场降价销售一批名牌衬衫,已知所获利润y(元)与降价x(元)之间的关系是y=-2x2+60x+800,则利润获得最多为( )A．15元B．400元C．800元D．1250元【答案】D【分析】将函数关系式转化为顶点式，然后利用开口方向和顶点坐标即可求出最多的利润.【详解】解：y=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250∵-2＜0故当x=15时，y有最大值，最大值为1250即利润获得最多为1250元故选:D.【点睛】此题考查的是利用二次函数求最值，掌握将二次函数的一般式转化为顶点式求最值是解决此题的关键. 5．如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）A ．5B ．2C ．52D ．25【答案】C 【分析】通过分析图象，点F 从点A 到D 用as ，此时，△FBC 的面积为a ，依此可求菱形的高DE ，再由图象可知，BD=5，应用两次勾股定理分别求BE 和a ．【详解】过点D 作DE ⊥BC 于点E.由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，△FBC 的面积为acm 1．.∴AD=a.∴12DE•AD ＝a. ∴DE=1.当点F 从D 到B 5∴5Rt △DBE 中，()2222=521BD DE --=，∵四边形ABCD 是菱形，∴EC=a-1，DC=a ，Rt △DEC 中，a 1=11+（a-1）1.解得a=52. 故选C ．【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系． 6．如果函数2y x =的图象与双曲线(0)k y k x =≠相交，则当0x ＜ 时，该交点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】C【分析】直线2y x =的图象经过一、三象限，而函数y=2x 的图象与双曲线y k x=(k ≠0)相交，所以双曲线也经过一、三象限，则当x ＜0时，该交点位于第三象限．【详解】因为函数y=2x 的系数k=2＞0，所以函数的图象过一、三象限；又由于函数y=2x 的图象与双曲线y k x=(k ≠0)相交，则双曲线也位于一、三象限； 故当x ＜0时，该交点位于第三象限．故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质以及正比例函数的图象和性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 7．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜﹣2B ．﹣2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞4【答案】B 【详解】当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是：﹣2＜x ＜1．故选B ．8．某同学用一根长为（12+4π）cm 的铁丝，首尾相接围成如图的扇形（不考虑接缝），已知扇形半径OA ＝6cm ，则扇形的面积是（ ）A ．12πcm 2B ．18πcm 2C ．24πcm 2D ．36πcm 2【答案】A 【分析】首先根据铁丝长和扇形的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的圆心角，然后代入扇形面积公式求解即可．【详解】解：∵铁丝长为（12+4π）cm ，半径OA ＝6cm ，∴弧长为4πcm ，∴扇形的圆心角为：18046ππ⨯＝120°， ∴扇形的面积为：21206360π⨯＝12πcm 2， 故选：A ．【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，解题的关键是了解扇形的面积公式及弧长公式，难度不大．9．如图，某中学计划靠墙围建一个面积为280m 的矩形花圃（墙长为12m ），围栏总长度为28m ，则与墙垂直的边x 为（ ）A ．4m 或10mB ．4mC ．10mD ．8m【答案】C 【分析】设与墙相对的边长为（28-2x ）m ，根据题意列出方程x （28-2x ）=80，求解即可.【详解】设与墙相对的边长为（28-2x ）m ，则0＜28-2x≤12，解得8≤x ＜14，根据题意列出方程x （28-2x ）=80，解得x 1=4，x 2=10因为8≤x ＜14∴与墙垂直的边x 为10m故答案为C.【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并求解是解题的关键，注意题中限制条件，选取适合的x 值.10．某学校组织创城知识竞赛，共设有20道试题，其中有：社会主义核心价值观试题3道，文明校园创建标准试题6道，文明礼貌试题11道．学生小宇从中任选一道试题作答，他选中文明校园创建标准试题的概率是（ ）A ．120B ．310C ．320D ．1120【答案】B【分析】根据概率公式即可得出答案．【详解】解：∵共设有20道试题，其中文明校园创建标准试题6道， ∴他选中文明校园创建标准的概率是632010=， 故选：B ．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝m n ． 11．如图,A 、B 、C 、D 是O 上的四点,OA BC ⊥,50AOB ∠=︒,则ADC ∠的度数是（ ）A ．25︒B ．30C ．40︒D ．50︒【答案】A 【分析】根据垂径定理得AC AB =，结合50AOB ∠=︒和圆周角定理，即可得到答案.【详解】∵OA BC ⊥,∴AC AB =,∵50AOB ∠=︒, ∴1252ADC AOB ∠=∠=︒． 故选：A ．【点睛】本题主要考查垂径定理和圆周角定理，掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键.12．如图，PA 是⊙O 的切线，OP 交⊙O 于点B ，如果1sin 2P =，OB=1，那么BP 的长是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．3【答案】C 【分析】根据题意连接OA 由切线定义可知OA 垂直AP 且OA 为半径，以此进行分析求解即可.【详解】解：连接OA ，已知PA 是⊙O 的切线，OP 交⊙O 于点B ，可知OA 垂直AP 且OA 为半径，所以三角形OAP 为直角三角形，∵1sin 2P =，OB=1， ∴1sin 2OA P OP ==，OA=OB=1， ∴OP=2，BP=OP-OB=2-1=1.故选C.【点睛】本题结合圆的切线定义考查解直角三角形，熟练掌握圆的切线定义以及解直角三角形相关概念是解题关键.二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，点A、B、C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB=度．【答案】1．【分析】根据圆周角定理进行分析可得到答案.【详解】解：∵∠BAC=12∠BOC，∠ACB=12∠AOB，∵∠BOC=2∠AOB，∴∠ACB=12∠BAC=1°．故答案为1．考点：圆周角定理．14．如图，四边形ABCD是菱形，50DAB︒∠=，对角线AC，BD相交于点O，DH AB⊥于H，连接OH，则DHO∠=_________度.【答案】25【解析】首先求出∠HDB 的度数，再利用直角三角形斜边中线定理可得OH=OD ，由此可得∠OHD=∠ODH 即可解决问题． 【详解】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD,DO=OB,∠DAO=∠BAO=25°，∴∠ABO=90°−∠BAO=65°，∵DH ⊥AB ，∴∠DHB=90°，∴∠BDH=90°−ABO=25°，在Rt △DHB 中，∵OD=OB ，∴OH=OD=OB ，∴∠DHO=∠HDB=25°，故答案为：25.【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键.15．已知扇形的半径为8cm ，圆心角为120，则扇形的弧长为__________cm . 【答案】163π 【分析】直接根据弧长公式即可求解．【详解】∵扇形的半径为8cm ，圆心角的度数为120°， ∴扇形的弧长为：1208161801803n r l πππ⨯===． 故答案为：163π． 【点睛】 本题考查了弧长的计算．解答该题需熟记弧长的公式180n r l π=． 16．如图，铅球运动员掷铅球的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系式是y=﹣112x 2+23x+53，则该运动员此次掷铅球的成绩是_____ m ．【答案】1【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可． 【详解】解：在21251233y x x =-++中，当y=0时， 212501233x x -++= 整理得：x 2-8x-20=0，（x-1）（x+2）=0，解得x 1=1，x 2=-2（舍去），即该运动员此次掷铅球的成绩是1m ．故答案为：1．【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．17．若顺次连接四边形ABCD 各边中点所得四边形为矩形，则四边形ABCD 的对角线AC 、BD 之间的关系为_____．【答案】AC ⊥BD ．【分析】根据矩形的性质、三角形的中位线定理和平行线的性质即可得出结论.【详解】解：如图，设四边形EFGH 是符合题意的中点四边形，则四边形EFGH 是矩形，∴∠FEH ＝90°，∵点E 、F 分别是AD 、AB 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥BD ，∴∠FEH ＝∠OMH ＝90°，又∵点E 、H 分别是AD 、CD 的中点，∴EH 是△ACD 的中位线，∴EH ∥AC ，∴∠OMH ＝∠COB ＝90°，即AC ⊥BD ．故答案为AC ⊥BD ．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线定理和平行线的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解此题的关键.18．一元二次方程2310x x -++=的两根之积是_________．【答案】1-【分析】根据一元二次方程两根之积与系数的关系可知．【详解】解：根据题意有两根之积x 1x 2=c a=-1． 故一元二次方程-x 2+3x+1=0的两根之积是-1．故答案为：-1．【点睛】本题重点考查了一元二次方程根与系数的关系，是基本题型．两根之积x 1x 2=c a． 三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，在ABC ∆中，D 是边AB 上的一点，若ACD B ∠=∠，求证：2AC AD AB =⋅.【答案】见解析【分析】根据相似三角形的判定，由题意可得ACD ABC ∆∆，进而根据相似三角形的性质，可得AC AD AB AC=，推论即可得出结论. 【详解】证明：∵,ACD B A A ∠=∠∠=∠，∴ACD ABC ∆∆，∴AC AD AB AC=，即2AC AD AB=⋅.【点睛】本题主要考察了相似三角形的判定以及性质，灵活运用相关性质是解题的关键.20．对于二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4，把y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线L．现有点A（2，0）和抛物线L 上的点B（﹣1，n），请完成下列任务：（尝试）（1）当t＝2时，抛物线y＝t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）的顶点坐标为；（2）判断点A是否在抛物线L上；（3）求n的值；（发现）通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线L总过定点，坐标为．（应用）二次函数y＝﹣3x2+5x+2是二次函数y＝x2﹣3x+2和一次函数y＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．【答案】[尝试]（1）（1，﹣2）；（2）点A在抛物线L上；（3）n=1；[发现]（2，0）,（﹣1，1）；[应用]不是，理由见解析．【分析】[尝试]（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；（2）将点A的坐标代入抛物线L直接进行验证即可；（3）已知点B在抛物线L上，将该点坐标代入抛物线L的解析式中直接求解，即可得到n的值．[发现]将抛物线L展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．[应用]将[发现]中得到的两个定点坐标代入二次函数y=-3x 2+5x+2中进行验证即可．【详解】解：[尝试]（1）∵将t ＝2代入抛物线L 中，得：y ＝t （x 2﹣3x+2）+（1﹣t ）（﹣2x+4）＝2x 2﹣4x ＝2（x ﹣1）2﹣2，∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2）．（2）∵将x ＝2代入y ＝t （x 2﹣3x+2）+（1﹣t ）（﹣2x+4），得 y ＝0，∴点A （2，0）在抛物线L 上．（3）将x ＝﹣1代入抛物线L 的解析式中，得：n ＝t （x 2﹣3x+2）+（1﹣t ）（﹣2x+4）＝1．[发现]∵将抛物线L 的解析式展开，得：y ＝t （x 2﹣3x+2）+（1﹣t ）（﹣2x+4）＝t （x ﹣2）（x+1）﹣2x+4当x=2时，y=0，当x=-1时，y=1，与t 无关，∴抛物线L 必过定点（2，0）、（﹣1，1）．[应用]将x ＝2代入y ＝﹣3x 2+5x+2，y ＝0，即点A 在抛物线上．将x ＝﹣1代入y ＝﹣3x 2+5x+2，计算得：y ＝﹣1≠1，即可得抛物线y ＝﹣3x 2+5x+2不经过点B ，∴二次函数y ＝﹣3x 2+5x+2不是二次函数y ＝x 2﹣3x+2和一次函数y ＝﹣2x+4的一个“再生二次函数”．【点睛】本题考查二次函数的新型定义问题，熟练掌握二次函数的图像与性质，理解“再生二次函数”的定义是解题的关键.21．如图，在Rt ABC 中，90,ACB CD AB ∠=︒⊥， 垂足为, D AF 平分CAB ∠，交CD 于点E ，交CB 于点F .(1)若30, 6B AC ∠=︒=，求CE 的长；(2)过点F 作AB 的垂线，垂足为G ，连接EG ，试判断四边形CEGF 的形状，并说明原因.【答案】（1）CE＝23；（2）菱形，理由见解析.【分析】（1）根据题意易求得∠ACD＝∠CAF＝∠BAF＝30°，可得AE=CE，然后利用30°角的三角函数可求得CD的长、DE与AE的关系，进一步可得CE与CD的关系，进而可得结果；（2）根据角平分线的性质可得CF＝GF，根据HL可证Rt△ACF≌Rt△AGF，从而得∠AFC＝∠AFG，由平行线的性质和等量代换可得∠CEF＝∠CFE，可得CE＝CF，进而得CE＝FG，根据一组对边平行且相等可得四边形CEGF是平行四边形，进一步即得结论．【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝30°，∵AC＝6，∴3cos30633 CD AC=⋅︒=⨯=，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴∠ACD＝∠CAF，12DE AE=，∴CE＝AE＝2DE，∴CE＝223333CD=⨯=23；（2）四边形CEGF是菱形．证明：∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF与Rt△AGF中，∵AF=AF，CF=GF，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∵CE∥FG，∴四边形CEGF是平行四边形，∵CE＝CF，∴平行四边形CEGF是菱形．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的性质、锐角三角函数、菱形的判定和直角三角形全等的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．22．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作//AG DB 交CB的延长线于点G．（1）求证：//DE BF ；（2）若90G ∠=︒，求证：四边形DEBF 是菱形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据已知条件证明BE ＝DF ，BE ∥DF ，从而得出四边形DFBE 是平行四边形，即可证明DE ∥BF ，（2）先证明DE ＝BE ，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．【详解】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ．∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，∴BE ＝12AB ，DF ＝12CD ． ∴BE ＝DF ，BE ∥DF ，∴四边形DFBE 是平行四边形，∴DE ∥BF ；（2）∵∠G ＝90°，AG ∥BD ，AD ∥BG ，∴四边形AGBD 是矩形，∴∠ADB ＝90°，在Rt △ADB 中∵E 为AB 的中点，∴AE ＝BE ＝DE ，∵四边形DFBE 是平行四边形，∴四边形DEBF 是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定，直角三角形的性质：在直角三角形中斜边中线等于斜边一半，比较综合，难度适中．23．如图，一次函数y x b =-+的图象与反比例函数k y x=()0x <的图象交于点,A C 两点，其中点()3,A m -，与x 轴交于点()2,0B -．()1求一次函数和反比例函数的表达式；()2求C点坐标；()3根据图象，直接写出不等式kx bx-+<的解集．【答案】（1）y＝－x－2，y＝－3x，（2）C(1,-3)，（3）－3＜x＜0或x＞1．【分析】（1）将点B的坐标代入一次函数中即可求出一次函数的表达式，进而求出A点坐标，然后再将A 点坐标代入反比例函数中即可求出反比例函数的表达式；（2）将一次函数与反比例函数联立即可求出C点坐标；（3）根据两交点坐标及图象即可得出答案．【详解】解：（1）由点B（－2，0）在一次函数y＝－x＋b上，得b＝－2，∴一次函数的表达式为y＝－x－2，由点A(－3，m)在y＝－x－2上，得m＝1，∴A(－3，1)，把A(－3，1)代入数y＝kx（x＜0）得k＝－3，∴反比例函数的表达式为：y＝－3x，（2）23y xyx=--⎧⎪⎨=-⎪⎩解得31xy=-⎧⎨=⎩或13xy=⎧⎨=-⎩∴C（1，－3）（3）当kx bx-+<时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，根据图象可知此时－3＜x＜0或x＞1．∴不等式kx bx-+<的解集为－3＜x＜0或x＞1．【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法及数形结合是解题的关键．24．如图，O 的直径为AB ，点C 在O 上，点D ，E 分别在AB ，AC 的延长线上，DE AE ⊥，垂足为E ，A CDE ∠=∠．（1）求证：CD 是O 的切线；（2）若4AB =，3BD =，求CD 的长．【答案】（1）见解析；（2）21【分析】（1）连接OC ，根据三角形的内角和得到∠EDC+∠ECD=90°，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠ACO ，得到∠OCD=90°，于是得到结论；（2）根据已知条件得到OC=OB=12AB=2，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接OC ，∵DE ⊥AE ，∴∠E=90°，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠A=∠CDE ，∴∠A+∠DCE=90°，∵OC=OA ，∴∠A=∠ACO ，∴∠ACO+∠DCE=90°，∴∠OCD=90°，∴OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵AB=4，BD=3，∴OC=OB=12AB=2， ∴OD=2+3=5， ∴CD=22OD OC -=2252-=21.【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，平角的定义，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．25．已知关于的一元二次方程：.(1)求证：对于任意实数，方程都有实数根；(2)当为何值时，方程的两个根互为相反数？请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）1，理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（t ﹣3）2≥0，由此可证出：对于任意实数t ，方程都有实数根；（2）设方程的两根分别为m 、n ，由方程的两根为相反数结合根与系数的关系，即可得出m+n=t ﹣1=0，解之即可得出结论．试题解析：（1）证明：在方程x 2﹣（t ﹣1）x+t ﹣2=0中，△=[﹣（t ﹣1）]2﹣4×1×（t ﹣2）=t 2﹣6t+9=（t ﹣3）2≥0，∴对于任意实数t ，方程都有实数根；（2）解：设方程的两根分别为m 、n ，∵方程的两个根互为相反数，∴m+n=t ﹣1=0，解得：t=1．∴当t=1时，方程的两个根互为相反数．考点：根与系数的关系；根的判别式. 26．如图将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处，（1）求证：△AME ∽△BEC ．（2）若△EMC ∽△AME ，求AB 与BC 的数量关系．【答案】（1）详见解析；（2）23AB BC =． 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明．（2）利用相似三角形的性质证明∠BCE ＝∠ECM ＝∠DCM ＝30°即可解决问题．【详解】（1）∵矩形ABCD，∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，∵将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，∴∠MEC＝∠D＝90°，∴∠AEM+∠BEC＝90°，∵∠AEM+∠AME＝90°，∴∠AME＝∠EBC，又∵∠A＝∠B，∴△AME∽△BEC．（2）∵△EMC∽△AME，∴∠AEM＝∠ECM，∵△AME∽△BEC，∴∠AEM＝∠BCE，∴∠BCE＝∠ECM由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠DCM＝∠ECM，DC＝EC，即∠BCE＝∠ECM＝∠DCM＝30°，在Rt△BCE中，cosBE BCECE ∠＝，∴3cos30BECE=＝，∵DC＝EC＝AB，∴233 ABBC=.【点睛】此题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，利用30︒角的余弦值求边长的比，利用三角形相似及折叠得到∠BCE＝∠ECM＝∠DCM＝30°是解题的关键.27．2019汕头国际马拉松赛事设有“马拉松（42.195公里）”，“半程马拉松（21.0975公里）”，“迷你马拉松（5公里）”三个项目，小红和小青参加了该赛事的志愿者服务工作，组委会将志愿者随机分配到三个项目组.（1）小红被分配到“马拉松（42.195公里）”项目组的概率为___________. （2）用树状图或列表法求小红和小青被分到同一个项目组进行志愿服务的概率.【答案】（1）13；（2）图见解析，13【分析】（1）直接利用概率公式可得；（2）记这三个项目分别为A、B、C，画树状图列出所有可能的结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可.【详解】解：（1）13P=；（2）记这三个项目分别为A、B、C，画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中小红和小青被分配到同一个项目组的结果数为3，所以小红和小青被分到同一个项目组进行志愿服务的概率为31 93 =．【点睛】本题主要考察概率公式、树状图、列表法，熟练掌握公式是关键.九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意） 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝4，AB ＝5，则cosB 的值（ ） A ．45B ．35C ．34D ．43【答案】B【分析】根据勾股定理计算出BC 长，再根据余弦定义可得答案． 【详解】如图所示：∵AC ＝4，AB ＝5， ∴BC 22AB AC -2516-3，∴cosB ＝CB AB ＝35． 故选：B ． 【点睛】考查了锐角三角函数，解题关键是掌握余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ． 2．关于x 的二次函数y ＝x 2﹣mx+5，当x≥1时，y 随x 的增大而增大，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2 B ．m ＝2C ．m≤2D ．m≥2【答案】C【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：二次函数y ＝x 2﹣mx+5的开口向上，对称轴是x ＝2m， ∵当x ≥1时，y 随x 的增大而增大， ∴2m≤1， 解得，m ≤2， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．若()1A 4,y -，21B ,y 4⎛⎫- ⎪⎝⎭，()3C 3,y 为二次函数2y (x 2)9=+-的图象上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．y 1<y 2<y 3B ．y 2<y 1<y 3C ．y 3<y 1<y 2D ．y 1<y 3<y 2【答案】B【解析】试题分析：根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x=﹣2，根据x＞﹣2时，y随x的增大而增大，即可得出答案．解：∵y=（x+2）2﹣9，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=﹣2，A（﹣4，y1）关于直线x=﹣2的对称点是（0，y1），∵﹣＜0＜3，∴y2＜y1＜y3，故选B．点评：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．4．下列四个几何体中，主视图与俯视图不同的几何体是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据正方体的主视图与俯视图都是正方形，圆柱横着放置时，主视图与俯视图都是长方形，球体的主视图与俯视图都是圆形，只有圆锥的主视图与俯视图不同进行分析判定．【详解】解：圆锥的主视图与俯视图分别为圆形、三角形，故选：C．【点睛】本题考查简单的几何体的三视图，注意掌握从不同方向看物体的形状所得到的图形可能不同．5．如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连接任意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为3的线段的概率为（）A．14B．25C．23D．59【答案】B【分析】先求出连接两点所得的所有线段总数，再用列举法求出取到长度为3的线段条数，由此能求出在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为3的线段的概率．【详解】根据题意可得所有的线段有15条，长度为3的线段有AE 、AC 、FD 、FB 、EC 、BD 共6条，则P （长度为3的线段）=62155=． 故选：B 【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 6．如图为二次函数2y ax bx c =++的图象，在下列说法中：①0ac >；②方程20ax bx c ++=的根是11x =-，23x =；③0a b c ++>④当1x >时，y 随x 的增大而减小．不．正确的说法有( )A ．①B ．①②C ．①③D ．②④【答案】A【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、以及与二次方程的关系逐个判断即可． 【详解】二次函数的图象的开口向下，与y 轴正半轴相交0,0a c ∴<>0ac ∴<，则①不正确二次函数的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(3,0)∴与x 轴的另一个交点为(1,0)-∴方程20ax bx c ++=的根是121,3x x =-=，则②正确二次函数的图象上，1x =所对应的点位于第一象限，即0y >0a b c ∴++>，则③正确由二次函数的图象可知，当1x >时，y 随x 的增大而减小，则④正确 综上，不正确的说法只有① 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、以及与二次方程的关系，掌握理解并灵活运用函数的性质是解题关键．7．把抛物线()2y x 1=+向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是 A ．()2y x 22=++ B ．()2y x 22=+- C ．2y x 2=+ D ．2y x 2=-【答案】D【解析】根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动，根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”，顶点（－1，0）→（0，－2）．因此，所得到的抛物线是2y x 2=-．故选D ．8．若关于x 的一元二次方程()2110k x x -++=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．54k ≤B ．54k ＞C ．514k k ≠＜且D ．514k k ≤≠且 【答案】D【解析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2+x+1＝0有两个实数根，∴210=1-41)10k k -⎧⎨∆⨯-⨯≥⎩≠（ ， 解得：k≤54且k≠1． 故选：D ． 【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键 9．下列事件中，是必然事件的是( ) A ．购买一张彩票，中奖B ．射击运动员射击一次，命中靶心C ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D ．任意画一个三角形，其内角和是180°【答案】D【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．【详解】A ．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意； B ．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意； C ．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意； D ．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意； 故选D ． 【点睛】本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件． 10．如图所示，已知圆心角100BOC ∠=︒，则圆周角BAC ∠的度数是（ ）A ．50︒B ．100︒C ．130︒D ．200︒【答案】A【详解】,BOC BAC ∠∠是同弧所对的圆周角和圆心角，2BOC BAC ∠=∠，因为圆心角∠BOC=100°，所以圆周角∠BAC=50° 【点睛】本题考查圆周角和圆心角，解本题的关键是掌握同弧所对的圆周角和圆心角关系，然后根据题意来解答 11．如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，连接BD ．则CBD ∠的度数是( )A ．15︒B ．20︒C ．30D ．45︒【答案】C【解析】根据正六边形的内角和求得∠BCD ，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：∵在正六边形ABCDEF 中，∠BCD=(62)1806︒-⨯ =120°，BC=CD ， ∴∠CBD ()11801202︒︒=- =30°， 故选：C ． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．12．已知34a b=（0a ≠，0b ≠），下列变形错误的是（ ） A ．34a b = B ．34a b = C ．43b a =D ．43a b =【答案】B【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各项分析判断即可得解. 【详解】解：由34a b=，得出，3b=4a, A.由等式性质可得：3b=4a ，正确；B.由等式性质可得：4a=3b ，错误；C. 由等式性质可得：3b=4a ，正确；D. 由等式性质可得：4a=3b ，正确. 故答案为：B. 【点睛】本题考查的知识点是等式的性质，熟记等式性质两内项之积等于两外项之积是解题的关键. 二、填空题（本题包括8个小题）13．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC 的长为_____【答案】1【分析】只要证明△ADC ∽△ACB ，可得AC AB =ADAC，即AC 2=AD•AB ，由此即可解决问题. 【详解】解：∵∠A=∠A ，∠ADC=∠ACB ， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴AC AB =ADAC， ∴AC 2=AD•AB=2×8=16， ∵AC ＞0， ∴AC=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 14．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）满足函数表达式21220h t t =-++，则火箭升空的最大高度是___m 【答案】1【分析】将函数解析式配方，写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 【详解】解：∵21220h t t =-++ =2(23636)120t t -+-+- =2(6)56t --+， ∵10a =-<， ∴抛物线开口向下，当x=6时，h 取得最大值，火箭能达到最大高度为1m ． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握配方法及二次函数的性质，是解题的关键．15．已知：如图，在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，E 为AC 的中点，若8CD =，5DE =，则AD 的长是_______．【答案】6【分析】先根据直角三角形的性质求出AC 的长，再根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：∵△ABC 中，AD ⊥BC ， ∴∠ADC ＝90°．∵E 是AC 的中点，DE ＝5，CD ＝8， ∴AC ＝2DE ＝1．∴AD 2＝AC 2−CD 2＝12−82＝2． ∴AD ＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解答此题的关键．16．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为________． 【答案】1【分析】根据弧长公式L ＝180n Rπ求解即可． 【详解】∵L ＝180n Rπ， ∴R ＝1806120ππ⨯＝1．故答案为1． 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：L ＝180n Rπ． 17．如图，△ABC 中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P 从A 出发，以每秒2厘米的速度向B 运动，点Q 从C 同时出发，以每秒3厘米的速度向A 运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间为_________________。

上海闸北区2009-2010学年九年级上数学期末考试及答案

上海闸北区2009-2010学年九年级上数学期末考试及答案

上海闸北区2009-2010学年九年级上数学期末考试及答案（图三）九年级数学学科期末练习卷（2010年1⽉）（考试时间：100分钟，满分：150分）考⽣注意：1．本试卷含三个题，共25题：2．答题时，考⽣务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题⼀律⽆效；3．除第⼀、⼆⼤题外，其余各题如⽆特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．⼀、选择题：（本⼤题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个结论中，有且只有⼀个选项是正确的。

选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．下列等式中，⼀定成⽴的是(A) 632a a a =?； (B) 532a a a =+； (C) 22=-a a ； (D) 632)(a a =． 2．图⼀中，圆与圆之间不同的位置关系有(A) 内切、相交；(B) 内含、相交；(C) 相交、内切、内含； (D) 相交、内切、外切．3．估计188+的运算结果应在(A) 6到7之间；(B) 7到8之间；(C) 8到9之间； (D) 9到10之间． 4．关于相似三⾓形，下列命题中不．正确的是 (A) 两个等腰直⾓三⾓形相似； (B) 含有30°⾓的两个直⾓三⾓形相似； (C)相似三⾓形的⾯积⽐等于相似⽐； (D) 相似三⾓形的周长⽐等于相似⽐．5. 如图⼆，已知直⾓三⾓形ABC 中，斜边A B 的长为m ，40B ∠=，则直⾓边B C 的长是(A) sin 40m ； (B) cos 40m；(C) tan 40m； (D)tan 40m．6．如图三，设M ，N 分别是直⾓梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点， DE ⊥AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，点M 与点N 恰好重合，则AE :BE 等于(A) 2:1； (B) 1:2； (C) 3:2； (D) 2:3．⼆、填空题：（本⼤题共12题，每题4分，满分48分） [请将结果直接填⼊答题纸的相应位置] 7．计算：=--a b a 5)2(3 ▲．（图⼀）（图⼆）40BCA（图五）8．不等式?>+<-02012x x 的解为▲．9．化简2)145(cos -?＝▲．10．抛物线y ＝(x -1)2＋3的对称轴是直线▲．11．把抛物线y ＝x 2向右平移1个单位再向下平移2个单位，得到的抛物线是▲． 12. 已知向量e 为单位向量，向量a ∥e ，且向量a 与向量e ⽅向相反，a=3，则向量a 可⽤e表⽰为：▲． 13．已知图形：四边形，三⾓形，正⽅形，梯形，平⾏四边形，圆．从这些图形中任取⼀个，取出的图形既是轴对称图形⼜是中⼼对称图形的概率为▲． 14．过⊙O 内⼀点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于▲ cm ．15．长为4m 的梯⼦搭在墙上与地⾯成45°⾓，作业时调整为60°⾓（如图七所⽰），则梯⼦的顶端沿墙⾯升⾼了▲ m ． 16．已知⼆次函数2()f x ax bx c =++（其中a 、b 、c 为常数，且0a ≠）的⾃变量x 与函数y 的对应值如右表，根据表中的数据，下列判断中正确的有▲．（1）函数图像开⼝向下；（2）对称轴是直线x =1；（3）(1)(3)f f -=；（4）f f >． 17．如图五，点M 是△ABC 内⼀点，过点M 分别作直线平⾏于△ABC 的各边，所形成的三个⼩三⾓形△1、△2、△3（图中阴影部分）的⾯积分别是1，4和16．则△ABC 的⾯积是▲． 18．已知⼆次函数c bx x y ++-=2的图象经过点（2，0），且与y 轴交于点B ，若OB =1，则该⼆次函数解析式中，⼀次项系数b 为▲．三、解答题（本⼤题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）先化简，再求代数式222(111a a a a a ++÷+--的值．其中a ＝tan 60°－2sin 30°．20．（本题满分10分）如图六，在ABC ?中，AB =4A C =，点D 是AB 中点，点E 在边AC 上，且ABC AED ∠=∠．（1）求AE 的长度；（2）设AB a = ，AC b = ，试⽤m a nb + 表⽰向量D E．（图四）(图六)24．（本题满分12分，第（1）⼩题满分7分，第（2）⼩题满分5分）已知点O 在直线l 上， A D 是以O 为圆⼼的某圆上的⼀段弧，A O D ∠=90°，分别过A 、D 两点作l 的垂线，垂⾜为B 、C ．（1）当点A 、D 在直线l 的同侧时，试探索线段AB 、BC 、CD 之间有怎样的等量关系？请写出你的结论并予以证明；当点A 、D 在直线l 的两侧时，且AB ≠CD 时，线段AB 、BC 、CD 之间⼜有怎样的等量关系？请直接写出结论（不必证明）．（2）如图⼗⼀，当点A 、D 在直线l 的同侧，如果AB =3,CD =4,点M 是 AD 的中点，MN ⊥BC ，垂⾜为点N ，求MN 的长．25．（本题满分14分，第(1)⼩题满５分，第(2)⼩题满分5分，第(3)⼩题满分４分）如图⼗⼆，在边长为1的正⽅形ABCD 中，点E在边BC 上(与端点不重合)，点F 在射线DC 上．（1）若AF =AE ，并设CE =x ，△AEF 的⾯积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）当CE 的长度为何值时，△AEF 和△ECF 相似? （3）若41=CE ，延长FE 与直线AB 交于点G ，当CF 的长度为何值时，△EAG 是等腰三⾓形？ABDC .Ol（图⼗）（图⼗⼆）EB B Ａ（备⽤图⼀）BＡ（备⽤图⼆）BＡ（备⽤图三）ABDC.MN Ol（图⼗⼀）图六)九年级数学学科期末练习卷答案要点与评分标准（2010年1⽉）（考试时间：100分钟，满分：150分）⼀、选择题：（本⼤题共6题，每题4分，满分24分）1． D ； 2．A ； 3．B ； 4．C ； 5．B ； 6．A ．⼆、填空题：（本⼤题共12题，每题4分，满分48分）7．3a b - ； 8．122x -<<； 9．221-；10．x ＝1；11．y =(x-1)2－2； 12．-3e ； 13．13； 14；15．； 16．（2），（3）； 17．49； 18．32，52．三、解答题（本⼤题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式= 2(1)(2)1(1)(1)a a a a a a-++-?+- …………………………………………3分 =31a +…………………………………………………………………2分当a ＝tan60°－2sin30°=122= 1………………………3分原式== ……………………………………………………2分20．（本题满分10分）解：（1）在A B C ?和AED ?中，∵A A ∠=∠ABC AED ∠=∠∴A B C A E D ??∽…………………………………………3分∴A B A C A EA D=∴A E=∴3A E =……………………………………………………2分（2）DE AE AD =-………………………………………1分∵3344A E A C b ==………………………………………1分 1122A D AB a ==………………………………………1分∴3142D E b a =-…………………………………………2分24．（本题满分12分，第（1）⼩题满分7分，第（2）⼩题满分5分）（1）答：A B C D B C +=．………………………………1分①证：在R t A B O ?和R t O C D ?中，∵090BAO AOC ∠+∠=，090DOC AOC ∠+∠= ∴B A O D O C ∠=∠∵O A O D = ∴R t A B O R t O C D ≌………………………………2分∴A B O C =，B O C D =∴AB C D O C BO BC +=+=………………………2分即：A B C D B C +=②BC AB CD =-． …………………………………2分（2）解：过点A 作AH C D ⊥，垂⾜为点H ，连结M O …1分得：四边形A B C H 为矩形，∴7A H B C A B C D ==+=，1D H =∴AD ===∵A B O C =，∴5OD ===∴5O M O D ==∵点M 是弧 AD 的中点，∴AD ⊥OM∵M N B C ⊥， A H ∥B C ，∴M N A H ⊥∴D A H O M N ∠=∠∴Rt D AH Rt O M N ??∽……………………………2分∴A H A D M NM O=∴75M N=∴2M N =…………………………………………2分A B DC.Ol（图⼗）ABDC.MN OlHABDC.MN O l（图⼗⼀）25．（本题满分14分，第(1)⼩题满分5分，第(2)⼩题满分5解：(1) 在Rt ABE ?和R t A D F ?中，∵AB AD =，AE =∴R t A B E R t A D F ??≌ …………………………………2分∴1B E D F x ==- ∴ABC D ABE AD F C EF y S S S S =---……………………1分∴2211111(1)1(1)222y x x x =-??----∴212y x x =-+ （01x <<）……………………2分(2) ①若090AEF ∠=，∵~A E F E C F ??∴FAE FEC EAB ∠=∠=∠，∴~E C F A B E ?? ∴A E E F E C C F =，E F A E C FB E=∴A E A E E CB E= ∴12C E BE == …………………………3分②当∠AFE =90°，同理可得12C F FD ==，∵C E FD C F A D = ∴14C E =…………………………………2分(1) ①当AE =GE 时，得：1A B B G ==，∵C F C E B G B E =，4 1=CE ，∴113C F =，∴ CF=31………………………………………1分②当AE =AG 时，∵41=CE ，∴54A G A E ==∵C F C E B GB E=，∴15314C F =-，∴CF=121……………………1分③当AG =EG 时，∵41=CE ，∴3B G C F =，22EG BE =+∴()()22231334C F C F ??-=+，∴CF =967④当AG =AE 时，∵41=CE ，∴A G A E ==∵C F C E B G B E =，∴15314C F =+，∴CF =34…………………………………………………………1分。

上海市闸北区九年级第一学期期末质量调研数学测试卷(无答案)

上海市闸北区九年级第一学期期末质量调研数学测试卷(无答案)

上海市闸北区九年级第一学期期末质量调研数学测试卷一、 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．如图，下列角中为俯角的是（ ）【A 】∠1； 【B 】∠2； 【C 】∠3； 【D 】∠4．2．下列线段中，能成比例的是（ ）【A 】3、6、8、9cm cm cm cm ； 【B 】3、5、6、9cm cm cm cm ； 【C 】3、6、7、9cm cm cm cm ；【D 】3、6、9、18cm cm cm cm ．3．在RT ABC ∆中，90,4,1C AB AC ∠===，那么B ∠的余弦值为（ ）【A 】4【B 】14【C 】15 【D 】174．在ABC ∆中，点、D E 分别在、AB AC 的延长线上，下列不能判定∥DE BC 的条件是（ ）【A 】． AB DA AC EA ::= 【B 】．AB DA BC DE ::=； 【C 】．DB DA EC EA ::=；【D 】．DB AB EC AC ::=．5．已知抛物线c :322-+=x x y ，将抛物线c 平移得到抛物线,c ，如果两条抛物线，关于直线1=x 对称，那么下列说法正确的是【A 】将抛物线c 沿x 轴向右平移25个单位得到抛物线,c ； 【B 】将抛物线c 沿x 轴向右平移4个单位得到抛物线,c ；【C 】将抛物线c 沿x 轴向右平移27个单位得到抛物线,c ；【D 】将抛物线c 沿x 轴向右平移6个单位得到抛物线,c6．下列命题中正确的个数是（ ）①直角三角形的两条直角边长分别是6 和8 ，那么它的外接圆半径为245； ②如果两个直径为10 厘米和6 厘米的圆，圆心距为16 厘米，那么两圆外切； ③过三点可以确定一个圆； ④两圆的公共弦垂直平分连心线．【A 】0个 【B 】4个 【C 】2个 【D 】3个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．如果32=b a ，那么=+-ba ab ▲ 8．已知两个相似三角形的相似比为2:5，其中较小的三角形面积是4，那么另一个三角形的面积为 ▲9．抛物线22(3)4y x =-+的在对称轴的 ▲ 侧的部分上升．（填“左”或“右”）10．如果二次函数281y x x m =-+-的顶点在x 轴上，那么m = ▲11．如果沿一条斜坡向上前进20米，水平高度升高10米，那么这条斜坡的坡比为 ▲ 12．抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：容易看出，2,0-是它与x 轴的一个交点，那么它与x 轴的另一个交点的坐标为 ▲ ．13．如图，矩形ABCD 中，点E 在边DC 上，且8,17AD AB AE === ，那么=∠AEB tan ▲ ．14．已知在直角坐标平面内，以点()1,2P 为圆心，r 为半径画圆，P 与坐标轴恰好有三个交点，那么r 的取值是 ▲15．半径分别为20cm 与15cm ， 1o 与2o 相交于、A B 两点，如果公共弦AB 的长为24cm ，那么圆心距12O O 的长为 ▲ cm16．如图，在ABC ∆ 中，AD 是中线，G 是重心， ,AB a AC b →→→→== ，那么向量BG 关于a 、b 的分解式为 ▲17．如图，在RT ABC ∆ 中,90ACB ∠= ，CD 是高，如果,4A AC α∠== ，那么 BD = ▲ ．（用锐角α的三角比表示）18．如图，在等腰ABC ∆ 中， ,30AB AC B =∠= ．以点B 为旋转中心，旋转30 ，点、A C 分别落在点A'、C'处，直线''、A AC C 交于点D ，那么AD AC的值为 ▲三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）如图在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为()1,2- ，点B 在第一象限，且⊥OA,OB=2OA OB ，求经过、、A B O 三点的二次函数解析式．20．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图，已知向量a 、b 和p ，求作： （1）向量132a b -+．（2）向量p 分别在a 、b 方向上的分向量．21．如图，已知OC 是O 半径，点P 在O 的直径BA 的延长线上，且⊥OC PC ，垂足为C ．弦CD 垂直平分半径AO ，垂足为E ，6PA = ． 求：（1）O 的半径；（2）求弦CD 的长．22．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图是歼-20侧弹舱内部结构图，它的舱体横截面是等腰梯形,∥BC ，AB=CD,BE ⊥AD,CF ⊥AD ABCD AD ，侧弹舱宽 2.3AE = 米，舱底宽3.94BC = 米，舱顶与侧弹舱门的夹角53A ∠= ．求：（1）侧弹舱门AB 的长；（2）舱顶AD 与对角线BD 夹角的正切值．（结果精确到0.01 ，参考数据：sin530.799≈，cos530.602≈，tan53 1.327≈）．23．如图，已知在△ABC 中，2BAC B ，∠=∠ AD 平分BAC ∠ ，DF BE ，点E 在线段BA 的延长线上，联结DE ，交AC 于点G ，且E C ∠=∠ ． （1）求证：2•AD AF AB = ； （2）求证：••AD BE DE AB =．24．抛物线230y axbx （a ）=++≠经过点3(10)(0)2A ，，B ，，且与y 轴相交于点C ． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求ACB ∠ 的度数；（3）设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E 在线段AC 上，且DE AC ⊥，当DCE ∆ 与AOC ∆ 相似时，求点D 的坐标．25．如图，在Rt ABC ∆ 中，9043ACB ，AC ，BC ∠=︒== ，CD 斜边上中线，点E 在边AC 上，点F 在边BC 上，且EDA FDB ∠=∠ ，联结、EF DC 交于点G ． （1）当90EDF ∠=︒ 时，求AE 的长； （2）CE x ，CF y == ，求y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；（3）如果CFG ∆ 是等腰三角形，求CF 与CE 的比值．。

上海市闸北区名校2022-2023学年数学九上期末统考模拟试题含解析

上海市闸北区名校2022-2023学年数学九上期末统考模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．反比例函数()0k y k x =≠的图象经过点()2,3-，则下列各点中，在这个函数图象上的是（ ） A ．()2,3 B ．()2,3-- C ．()1,6 D ．()1,6-2．如图，在ABC 中，,90AB AC CAB =∠=，已知()()2,0,0,1A B ，把ABC 沿x 轴负方向向左平移到'''A B C 的位置，此时','B C 在同一双曲线k y x=上，则k 的值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-3．如图，四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=8，AD=6，点M ，N 分别为线段BC ，AB 上的动点（含端点，但点M 不与点B 重合），点E ，F 分别为DM ，MN 的中点，则EF 长度的最大值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．54．如图，一人站在两等高的路灯之间走动，GB 为人AB 在路灯EF 照射下的影子，BH 为人AB 在路灯CD 照射下的影子．当人从点C 走向点E 时两段影子之和GH 的变化趋势是（ ）C ．不变D ．先变短后变长再变短5．一元二次方程x 2－2x ＝0根的判别式的值为( )A ．4B ．2C ．0D ．－46．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC 交AB 于点D ，AD ＝DB ，OC ＝5，OD ＝3，则AB 的长为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．37．已知一块圆心角为300︒的扇形纸板，用它做一个圆锥形的圣诞帽(接缝忽略不计)圆锥的底面圆的直径是30cm ，则这块扇形纸板的半径是( )A ．16cmB ．18cmC ．20cmD ．12cm8．若关于x 的一元二次方程220x x m --= 有实数根，则m 的值不可能是（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．20189．由四个相同的小正方体搭建了一个积木，它的三视图如图所示，则这个积木可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在4×4的正方形方格中，ABC 和DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的格点上，则tan ACB ∠的值为（ ）A ．23B ．13C 2D ．3二、填空题(每小题3分,共24分)11．在ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，2tan A =，则AB =____________12．如图，直线l x ⊥轴于点P ，且与反比例函数11k y x=（0x >）及22k y x =（0x >）的图象分别交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，已知OAB ∆的面积为4，则12k k =﹣________．13．抛物线y ＝﹣3（x ﹣1）2+2的开口向_____，对称轴为_____，顶点坐标为_____．14．在矩形ABCD 中，AB 6=，BC 8=，ABD 绕B 点顺时针旋转90到BEF ，连接DF ，则DF =________．15．在1：5000的地图上，某两地间的距离是20cm ，那么这两地的实际距离为______________千米.16．二次函数y ＝x 2+4x +a 图象上的最低点的横坐标为_____．17．抛物线23y x =向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线是______．18．如图，“吃豆小人”是一个经典的游戏形象，它的形状是一个扇形，若开口∠1=60°，半径为6，则这个“吃豆小人”（阴影图形）的面积为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点M ，已知BC ＝5，点E 在射线BC 上，tan ∠DCE ＝43，点P 从点B 出发，以每秒5BD 方向向终点D 匀速运动，过点P 作PQ ⊥BD 交射线BC 于点O ，以BP 、BQ 为邻边构造▱PBQF ，设点P 的运动时间为t （t ＞0）．（1）tan ∠DBE ＝ ；（2）求点F 落在CD 上时t 的值；（4）连接▱PBQF 的对角线BF ，设BF 与PQ 交于点N ，连接MN ，当MN 与△ABC 的边平行（不重合）或垂直时，直接写出t 的值．20．（6分）如图，四边形ABCD 是矩形，E 为CD 边上一点，且AE 、BE 分别平分∠DAB 、∠ABC ．（1）求证：△ADE ≌△BCE ；（2）已知AD ＝3，求矩形的另一边AB 的值．21．（6分）如图，平面直角坐标系中，点A 、点B 在x 轴上（点A 在点B 的左侧），点C 在第一象限，满足ACB ∠为直角，且恰使OCA ∆∽△OBC ∆，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<经过A 、B 、C 三点．（1）求线段OB 、OC 的长；（2）求点C 的坐标及该抛物线的函数关系式；（3）在x 轴上是否存在点P ，使BCP ∆为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标，若不存在，请说明理由．22．（8分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE 在高55m 的小山EC 上，在A 处测得塑像底部E 的仰角为34°，再沿AC 方向前进21m 到达B 处，测得塑像顶部D 的仰角为60°，求炎帝塑像DE 的高度．（精确到1m ．参考数据：sin340.56︒≈，cos340.83︒=，tan340.67︒≈3 1.73≈）23．（8分）如图，已知EC ∥AB ，∠EDA=∠ABF ．（1）求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）求证：=OE•OF ．24．（8分）已知反比例函数的图像经过点（2，-3）．（1）求这个函数的表达式．（2）点（-1，6），（3，2）是否在这个函数的图像上？（3）这个函数的图像位于哪些象限？函数值y 随自变量x 的增大如何变化？25．（10分）如图1，抛物线2: 2W y ax =-的顶点为点A ，与x 轴的负半轴交于点D ，直线AB 交抛物线W 于另一点C ，点B 的坐标为()1,0．（1）求直线AB 的解析式；（2）过点C 作CE x ⊥轴，交x 轴于点E ，若AC 平分DCE ∠，求抛物线W 的解析式；（3）若12a =，将抛物线W 向下平移()0m m >个单位得到抛物线1W ，如图2，记抛物线1W 的顶点为1A ，与x 轴负的值；若不是，请说明理由．26．（10分）小明和小刚一起做游戏，游戏规则如下：将分别标有数字1，2，3，4 的4 个小球放入一个不透明的袋子中，这些球除数字外都相同．从中随机摸出一个球记下数字后放回，再从中随机摸出一个球记下数字．若两次数字差的绝对值小于2，则小明获胜，否则小刚获胜．这个游戏对两人公平吗？请说明理由．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】计算k值相等即可判断该点在此函数图象上.【详解】k=-2⨯3=-6，A.2 ⨯3=6，该点不在反比例函数kyx=的图象上；B.-2 ⨯（-3）=6，该点不在反比例函数kyx=的图象上；C.1 ⨯6=6，该点不在反比例函数kyx=的图象上，D.1⨯(-6)=-6，该点在反比例函数kyx=的图象上，故选：D.【点睛】此题考查反比例函数的性质，正确计算k值即可判断.2、C【分析】作CN⊥x轴于点N，根据AAS证明CAN ABO≅，求得点C的坐标；设△ABC沿x轴的负方向平移c个单位，用c表示出C'和B'，根据两点都在反比例函数图象上，求出k的值，即可求出反比例函数的解析式．【详解】作CN⊥x轴于点N，∵A(2，0)、B(0，1)．∴AO=2，OB=1，∵90BAC CNA BAO ∠=∠=∠=︒，∴CAN ABO ∠=∠，在Rt CAN 和Rt ABO 中，90CNA BAO CAN ABO AB AC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()Rt CAN Rt ABO AAS ≅ ，∴123AN BO CN AO NO NA AO =====+=，，，又∵点C 在第一象限，∴C(3，2)；设△ABC 沿x 轴的负方向平移c 个单位，则() 32C c '-，，则()1B c '-， ， 又点C '和B '在该比例函数图象上，把点C '和B '的坐标分别代入k y x =， 得()23k c c =-=-，解得：6c =，∴6k =-，故选：C ．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式，平移的性质．3、D【分析】根据三角形中位线定理可知EF=12DN ，求出DN 的最大值即可．∵DE=EM ，FN=FM ，∴EF=12DN ， 当点N 与点B 重合时，DN 的值最大即EF 最大，在Rt △ABD 中，∵∠A=90°，AD=6，AB=8， ∴22228610BD AD AB =+=+=，∴EF 的最大值=12BD=1． 故选：D ．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理等知识，解题的关键是中位线定理的灵活应用，学会转化的思想，属于中考常考题型．4、C【分析】连接DF ，由题意易得四边形CDFE 为矩形.由DF ∥GH ，可得DF AD GH AH =.又AB ∥CD ，得出AB AH CD DH=，设AB AH CD DH ==a,DF=b （a,b 为常数），可得出11DH AD AH AD AH a AH AH +===+，从而可以得出AD AH ，结合DF AD GH AH =可将DH 用含a,b 的式子表示出来，最后得出结果.【详解】解：连接DF ，已知CD=EF ，CD ⊥EG ,EF ⊥EG ,∴四边形CDFE 为矩形.∴DF ∥GH, ∴.DF AD GH AH= 又AB ∥CD ，∴AB AH CD DH =. 设AB AH CD DH==a ，DF=b, ∴11DH AD AH AD AH a AH AH+===+, ∴11,AD AH a=-∴11,DF AD GH AH a==- ∴GH=11a DF ab a a =--， ∵a,b 的长是定值不变，∴当人从点C 走向点E 时两段影子之和GH 不变．故选：C.【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．5、A 【解析】根据一元二次方程判别式的公式24b ac =-△进行计算即可.【详解】解:在这个方程中，a ＝1，b ＝－2，c ＝0，∴224(2)4104b ac =-=--⨯⨯=，故选：A.【点睛】本题考查一元二次方程判别式，熟记公式24b ac =-△正确计算是本题的解题关键.6、A【分析】连接OB ，根据⊙O 的半径为5，CD ＝2得出OD 的长，再由垂径定理的推论得出OC ⊥AB ，由勾股定理求出BD 的长，进而可得出结论．【详解】解：连接OB ，如图所示：∵⊙O 的半径为5，OD ＝3，∵AD ＝DB ，∴OC ⊥AB ，∴∠ODB ＝90°，∴BD 2222534OB OD∴AB ＝2BD ＝1．故选：A ．【点睛】本题主要考查的是圆中的垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”，掌握垂径定理是解此题的关键.7、B【分析】利用底面周长＝展开图的弧长可得【详解】设这个扇形铁皮的半径为rcm ，由题意得30030180r ππ= 解得r ＝1．故这个扇形铁皮的半径为1cm ，故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是确定圆锥的底面周长＝展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．8、A【分析】由题意直接根据一元二次方程根的判别式，进行分析计算即可求出答案．【详解】解：由题意可知：△=24b ac -=4+4m ≥0，∴m ≥-1, m 的值不可能是-2.故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式进行分析求解．9、A【解析】分析：从主视图上可以看出上下层数，从俯视图上可以看出底层有多少小正方体，从左视图上可以看出前后层数，综合三视图可得到答案．解答：解：从主视图上可以看出左面有两层，右面有一层；从左视图上看分前后两层，后面一层上下两层，前面只有一层，从俯视图上看，底面有3个小正方体，因此共有4个小正方体组成，故选A ．10、B【分析】根据勾股定理求出ABC 和DEF 的各边长，由三边对应成比例的两个三角形相似可得FDE CAB ，所以可得tan tan ACB DFE ∠=∠，求值即可. 【详解】解：由勾股定理，得22BC =，25AC =，10FD =，2ED =， 102225FD AC ∴==，22ED AB =，22222EF BC ==， FD ED EF AC AB BC∴==， ∴FDE CAB ，DFE ACB ∴∠=∠，1tan tan 3ACB DFE ∴∠=∠=. 故选：B【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质及解直角三角形，灵活利用正方形方格的特点是解题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、13【分析】根据题意利用三角函数的定义可以求得AC ，再利用勾股定理可求得AB ．【详解】解：由题意作图如下：∵∠C=90°，2BC =，2tan 3BC A AC ==， ∴3AC =，∴22222313AB BC AC =+=+=.13【点睛】本题主要考查三角函数的定义及勾股定理，熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理是解题的关键.12、1．【分析】根据反比例函数k 的几何意义可知：AOP ∆的面积为112k ，BOP ∆的面积为212k ，然后两个三角形面积作差即可求出结果． 【详解】解：根据反比例函数k 的几何意义可知：AOP ∆的面积为112k ，BOP ∆的面积为212k ， ∴AOB ∆的面积为121122k k -，∴1211422k k -=，∴128k k -=. 故答案为1．【点睛】 本题考查反比例函数k 的几何意义，解题的关键是正确理解k 的几何意义，本题属于基础题型．13、下 直线x ＝1 （1，2）【分析】根据y=a （x-h ）2+k 的性质即可得答案【详解】∵-3<0，∴抛物线的开口向下，∵y ＝﹣3（x ﹣1）2+2是二次函数的顶点式，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝1，顶点坐标为（1，2），故答案为：下，直线x ＝1，（1，2）【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的三种形式及性质是解题关键．14、【分析】根据勾股定理求出BD ，再根据等腰直角三角形的性质，BD 计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=8，∠A=90°，∵AB=6，∴=10，∵△BEF 是由△ABD 旋转得到，∴△BDF 是等腰直角三角形，∴，故答案为．【点睛】本题考查旋转的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．15、1【分析】根据比例尺的意义，可得答案． 【详解】解：120100000cm 1km 5000÷==， 故答案为：1．【点睛】本题考查了比例尺，利用比例尺的意义是解题关键，注意把厘米化成千米．16、﹣1．【解析】直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案．【详解】解：∵二次函数y ＝x 1+4x+a ＝（x+1）1﹣4+a ，∴二次函数图象上的最低点的横坐标为：﹣1．故答案为﹣1．【点睛】此题主要考查了二次函数的最值，正确得出二次函数顶点式是解题关键．17、23(2)1y x =++【分析】先得到抛物线23y x =的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，则利用顶点式可得到平移后的抛物线的解析式为23(2)1y x =++．【详解】抛物线23y x =的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到的点的坐标为（2-，1），所以平移后的抛物线的解析式为23(2)1y x =++．故答案为：23(2)1y x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，再考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．18、5π【解析】∵∠1=60°， ∴图中扇形的圆心角为300°，，∴S阴影=2300(6)5360ππ⋅=.故答案为5π.三、解答题(共66分)19、（1）12;（1）t＝23;（3）见解析;（4）t的值为23或89或87或1．【分析】（1）如图1中，作DH⊥BE于H．解直角三角形求出BH，DH即可解决问题．（1）如图1中，由PF∥CB，可得PF DPBC DB=，由此构建方程即可解决问题．（3）分三种情形：如图3-1中，当23t<时，重叠部分是平行四边形PBQF．如图3-1中，当213t<时，重叠部分是五边形PBQRT．如图3-3中，当1＜t≤1时，重叠部分是四边形PBCT，分别求解即可解决问题．（4）分四种情形：如图4-1中，当MN∥AB时，设CM交BF于T．如图4-1中，当MN⊥BC时．如图4-3中，当MN⊥AB时．当点P与点D重合时，MN∥BC，分别求解即可．【详解】解：（1）如图1中，作DH⊥BE于H．在Rt△BCD中，∵∠DHC＝90°，CD＝5，tan∠DCH＝43，∴DH＝4，CH＝3，∴BH＝BC+CH＝5+3＝8，∴tan∠DBE＝DHBH＝48＝12．故答案为12．（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵BC＝5，tan∠CBM＝CMBM＝12，∴CM＝5，BM＝DM＝15，∵PF∥CB，∴PFBC＝DPDB，∴55t＝452545t，解得t＝23．（3）如图3﹣1中，当0＜t≤23时，重叠部分是平行四边形PBQF，S＝PB•PQ＝15t•5t＝10t1．如图3﹣1中，当23＜t≤1时，重叠部分是五边形PBQRT，S＝S平行四边形PBQF﹣S△TRF＝10t1﹣125t﹣（5﹣5t）]•455﹣（5﹣5t）]＝﹣55t1+（5）t﹣15．如图3﹣3中，当1＜t≤1时，重叠部分是四边形PBCT，S＝S△BCD﹣S△PDT＝12×5×4﹣12•（5﹣52t）•（4﹣1t）＝﹣52t1+10t．（4）如图4﹣1中，当MN∥AB时，设CM交BF于T．∵PN∥MT，∴PNMT＝BPBM，∴52MT2525t∴MT5，∵MN∥AB，∴MTAM＝TNBN＝PBPM＝1，∴PB ＝23BM ， ∴15t ＝23×15， ∴t ＝23． 如图4﹣1中，当MN ⊥BC 时，易知点F 落在DH 时，∵PF ∥BH ，∴PF BH ＝DP DB， ∴58t ＝452545t -， 解得t ＝89． 如图4﹣3中，当MN ⊥AB 时，易知∠PNM ＝∠ABD ，可得tan ∠PNM ＝PM PN ＝12， 25255t t -12， 解得t ＝87， 当点P 与点D 重合时，MN ∥BC ，此时t ＝1，综上所述，满足条件的t 的值为23或89或87或1． 【点睛】 本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．20、（1）证明见解析；（2）AB ＝1．【分析】（1）根据矩形的性质，即可得到∠D ＝∠C ，AD ＝BC ，∠DAE ＝∠CBE ＝45°，进而得出△ADE ≌△BCE ； （2）依据△ADE 是等腰直角三角形，即可得到DE 的长，再根据全等三角形的性质以及矩形的性质，即可得到AB 的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠C ＝∠BAD ＝∠ABC ＝90°，AD ＝BC ， 又∵AE 、BE 分别平分∠DAB 、∠ABC ，∴1145,4522DAE DAB CBE CBE ∠∠=︒∠∠=︒＝＝∴∠DAE ＝∠CBE ＝45°，∴△ADE ≌△BCE （ASA ）；（2）∵∠DAE ＝45°，∠D ＝90°，∴∠DAE ＝∠AED ＝45°，∴AD ＝DE ＝3，又∵△ADE ≌△BCE ，∴DE ＝CE ＝3，∴AB ＝CD ＝1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．21、（1）OB=6，OC =23（2）C 的坐标为33（，）；238343y x x =+-（3）存在，1(00)P ，，2(623P -，，3(40)P ，，4(623P +， 【分析】（1）根据题意先确定OA ，OB 的长，再根据△OCA ∽△OBC ，可得出关于OC 、OA 、OB 的比例关系式即可求出线段OB 、OC 的长；（2）由题意利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理来求C 点的坐标，并将C 点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式；（3）根据题意运用等腰三角形的性质，对所有符合条件的P 点的坐标进行讨论可知有四个符合条件的点，分别进行分析求解即可．【详解】解：（1）由2ax 8ax 12a 0-+=（a 0<）得1x 2=，2x 6=，即：OA 2=，OB 6=∵ΔOCA ∽ΔOBC∴2OC OA?OB 26==⨯ ∴OC 23=（23-舍去）∴线段OC 的长为23.（2）∵ΔOCA ∽ΔOBC∴AC OA BC OC =，21233= 设AC k =，则BC 3k =，由222AC BC AB +=得222k 3k 62+=-（）（）， 解得k 2=（-2舍去），∴AC 2=，BC 23=，过点C 作CD AB ⊥于点D ，由面积得CD 3=C 的坐标为33（，）将C 点的坐标代入抛物线的解析式得3a 3=- ∴2383y x x 4333=-+-. （3）存在1P 00（，），2P 6230-（，），3P 40（，），4P 6230+（，）①当P 1与O 重合时，△BCP 1为等腰三角形 ∴P 1的坐标为（0，0）；②当P 2B=BC 时（P 2在B 点的左侧），△BCP 2为等腰三角形∴P 2的坐标为（30）；③当P 3为AB 的中点时，P 3B=P 3C ，△BCP 3为等腰三角形∴P 3的坐标为（4，0）；④当BP 4=BC 时（P 4在B 点的右侧），△BCP 4为等腰三角形∴P 4的坐标为（30）；∴在x 轴上存在点P ，使△BCP 为等腰三角形，符合条件的点P 的坐标为：1P 00（，），2P 623-（，），3P 40（，），4P 623+（，）. 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，掌握由抛物线求二次函数的解析式以及用几何中相似三角形的性质求点的坐标等知识运用数形结合思维分析是解题的关键.22、51【解析】由三角函数求出82.1tan34CE AC m ︒=≈，得出61.1BC AC AB m =-=，在Rt BCD ∆中，由三角函数得出3105.7CD BC m =≈，即可得出答案．【详解】解：90ACE ︒∠=，34CAE ︒∠=，55CE m =，tan CECAE AC ∴∠=， 5582.1tan340.67CE AC m ︒∴==≈，21AB m =，61.1BC AC AB m ∴=-=，在Rt BCD ∆中，tan 60CDBC︒==，1.7361.1105.7CD m ∴=≈⨯≈，105.75551DE CD EC m ∴=-=-≈，答：炎帝塑像DE 的高度约为51m ． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度适中．23、（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由EC ∥AB ，∠EDA=∠ABF ，可证得∠DAB=∠ABF ，即可证得AD ∥BC ，则得四边形ABCD 为平行四边形； （2）由EC ∥AB ，可得OA OB OE OD =，由AD ∥BC ，可得OB OF OD OA =，等量代换得出OA OFOE OA=，即2OA =OE•OF ． 试题解析：（1）∵EC ∥AB ，∴∠EDA=∠DAB ，∵∠EDA=∠ABF ，∴∠DAB=∠ABF ，∴AD ∥BC ，∵DC ∥AB ，∴四边形ABCD 为平行四边形；（2）∵EC ∥AB ，∴△OAB ∽△OED ，∴OA OB OE OD =，∵AD ∥BC ，∴△OBF ∽△ODA ，∴OB OF OD OA =，∴OA OFOE OA=，∴2OA =OE•OF ．考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质． 24、（1）y =-6x；（2）(-1，6)在函数图像上，(3，2)不在函数图像上；（3）二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）根据图象上点的坐标特征，把点(﹣1，6)，(3，2)代入解析式即可判断； （3）根据反比例函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）设反比例函数的解析式为y kx=(k ≠0)． ∵反比例函数的图象经过点(2，﹣3)，∴k =2×(﹣3)=﹣6， ∴反比例函数的表达式y 6x=-； （2）把x =﹣1代入y 6x=-得：y =6， 把x =3代入y 6x=-得：y =﹣2≠2， ∴点(﹣1，6)在函数图象上，点(3，2)不在函数图象上． （3）∵k =﹣6＜0，∴双曲线在二、四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法以及反比例函数的性质是解答本题的关键．25、（1）22y x =-；（2）225232y x =-；（3）11tan D C B ∠恒为定值13． 【分析】（1）由抛物线解析式可得顶点A 坐标为（0，-2），利用待定系数法即可得直线AB 解析式；（2）如图，过点B 作BN CD ⊥于N ，根据角平分线的性质可得BE=BN ，由∠BND=∠CED=90°，∠BND=∠CDE 可证明BNDCED ，设BE=x ，BD=y ，根据相似三角形的性质可得CE=2x ，CD=2y ，根据勾股定理由得y 与x的关系式，即可用含x 的代数式表示出C 、D 坐标，代入y=ax 2-2可得关于x 、a 的方程组，解方程组求出a 值即可得答案；（3）过点B 作BF CD ⊥于点F ，根据平移规律可得抛物线W 1的解析式为y=12x 2-2-m ，设点1D 的坐标为（t ，0）（t ＜0），代入y=12x 2-2-m 可得2+m=12t 2，即可的W 1的解析式为y=12x 2-12t 2，联立直线BC 解析式可用含t 的代数式表示出点C 1的坐标，即可得11C H D H =，可得∠1145C D H =，根据抛物线W 的解析式可得点D 坐标，联立直线BC 与抛物线W 的解析式可得点C 、A 坐标，即可求出CG 、DG 的长，可得CG=DG ，∠CDG=∠1145C D H =，即可证明11//C D CD ，可得11D C B DCB ∠=∠，11tan D C B tan DCB ∠=∠，由∠CDG=45°可得BF=DF ，根据等腰三角形的性质可求出DF 的长，利用勾股定理可求出CD 的长，即可求出CF 的长，根据三角函数的定义即可得答案． 【详解】（1）∵抛物线W ：22y ax =-的顶点为点A ，∴点2(0)A -，， 设直线AB 解析式为y kx b =+， ∵B （1，0），∴20b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：22k b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为：22y x =-． （2）如图，过点B 作BN CD ⊥于N ， ∵AC 平分，DCE BN CD BE CE ∠⊥⊥,,， ∴BN BE =，∵90,BND CED BDN CDE ∠=∠=︒∠=∠， ∴BND CED ，∴BN DB CE CD =， ∴BE DBCE CD=， ∵//AO CE ， ∴12BO BE DBAO CE CD===， 设,BE x BD y ==，则2,2CE x CD y ==， ∵222CD DE CE =+， ∴()22244y x y x =++， ∴()()530x y x y +-=， ∴53y x =， ∴点()1,2C x x +，点51,03D x ⎛⎫-⎪⎝⎭， ∴点C ，点D 是抛物线W ：22y ax =-上的点，∴()2221250123x a x a x ⎧=+-⎪⎨⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎩， ∵x ＞0，∴25113x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得：10x =(舍去)，23925x =， ∴2539012325a ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭，∴2532a =， ∴抛物线解析式为：225232y x =-．（3）11tan D C B ∠恒为定值，理由如下：如图，过点1C 作1C H x ⊥轴于H ，过点C 作CG x ⊥轴G ，过点B 作BF CD ⊥于点F ， ∵a=12， ∴抛物线W 的解析式为y=12x 2-2， ∵将抛物线W 向下平移m 个单位，得到抛物线1W ， ∴抛物线1W 的解析式为：2122y x m =--， 设点1D 的坐标为()(),00t t <，∴21022t m =--， ∴2122m t +=，∴抛物线1W 的解析式为：221122y x t =-， ∵抛物线1W 与射线BC 的交点为1C ，∴22221122y x y x t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：11222x t y t =-⎧⎨=-⎩，22222x ty t=-⎧⎨=+⎩(不合题意舍去)，∴点1C 的坐标()2,22t t --， ∴122,2C H t OH t =-=-，∴()11222D H DO OH t t t =+=-+-=-， ∴11C H D H =，且1C H x ⊥轴，1145C D H ∴=，∵2122y x =-与x 轴交于点D ， ∴点()2,0D -， ∵22y x =-与2122y x =-交于点C ，点A ， ∴222122y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 解得：46x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=-⎩，∴点()4,6C ，A （0，-2），∴6,246GC DG OD OG ==+=+=， ∴DG CG =，且CG x ⊥轴， ∴1145GDC C D H ∠=︒=∠， ∴11//C D CD ， ∴11D C B DCB ∠=∠， ∴11tan D C B tan DCB ∠=∠，∵45,,213CDB BF CD BD OD OB ∠=⊥=+=+=， ∴45FDB FBD ∠=∠=，∴,3DF BF DB ===，∴2DF BF ==，∵点()2,0D -，点()4,6C ， ∴()()22240662CD =--+-=，∴922CF CD DF =-=， ∴1113BF tan D C B tan DCB CF ∠=∠==， ∴11tan D C B ∠恒为定值．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的图象的平移、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，难度较大，属中考压轴题，熟练掌握相关的性质及判定定理是解题关键． 26、不公平【解析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次数字差的绝对值小于2的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏公平与否． 【详解】这个游戏对双方不公平． 理由：列表如下： 1 2 3 4 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） 4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）所有等可能的情况有16种，其中两次数字差的绝对值小于2的情况有（1，1），（2，1），（1，2），（2，2），（3，2），（2，3），（3，3），（4，3），（3，4），（4，4）共10种，故小明获胜的概率为：105=168，则小刚获胜的概率为：63=168，∵58≠38，∴这个游戏对两人不公平．【点睛】此题考查了游戏公平性，以及列表法与树状图法，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．。

2022-2023学年上海市闸北区名校九年级数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2022-2023学年上海市闸北区名校九年级数学第一学期期末经典模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）1．已知点P 是线段AB 的黄金分割点（AP ＞PB ），AB=4，那么AP 的长是（ ）A ．252-B ．25-C ．251-D ．52-2．图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ）A ．点PB ．点DC ．点MD ．点N3．若点()()()2313,,1,,3,y y y --，在反比例函数()0k y k x =<上，则123,,y y y 的大小关系是（ ） A ．312y y y << B ．321y y y << C ．123y y y <<D ．213y y y << 4．下列图形中，主视图为①的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在△ABC 与△DEF 中，60A D ∠=∠=，AB AC DF DE =，如果∠B=50°，那么∠E 的度数是（ ）． A ．50°；B ．60°；C ．70°；D ．80°．6．如图,在矩形ABCD 中,AD=10,AB=6,E 为BC 上一点,DE 平分∠AEC,则CE 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．△ABC 中，∠C=90°，内切圆与AB 相切于点D ，AD=2，BD=3，则△ABC 的面积为（ ）A ．3B ．6C ．12D ．无法确定8．如果ABC DEF ∆∆∽，A 、B 分别对应D 、E ，且:1:2AB DE =，那么下列等式一定成立的是（ ） A ．:1:2BC DE =B ．ABC ∆的面积：DEF ∆的面积1:2= C ．A ∠的度数：D ∠的度数1:2= D ．ABC ∆的周长：DEF ∆的周长1:2=9．河堤横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比1：3，则AC 的长是( )A ．10米B ．53米C ．15米D ．310．点P （﹣1，2）关于原点对称的点Q 的坐标为（ ）A ．（1，2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1．﹣2）D ．（﹣1，﹣2）11．以下事件为必然事件的是（ ）A ．掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数小于6B ．多边形的内角和是360︒C ．二次函数的图象不过原点D ．半径为2的圆的周长是4π12．把多项式241a -分解因式，结果正确的是（ ）A ．()()4141a a +-B ．()()2121a a +-C ．()21a -D ．()221a + 二、填空题（每题4分，共24分）13．圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216︒，母线长为5，该圆锥的底面半径为________．14．一元二次方程290x 的解是__．来前进了m ______．16．将一个含45°角的三角板ABC ，如图摆放在平面直角坐标系中，将其绕点C 顺时针旋转75°，点B 的对应点'B 恰好落在轴上，若点C 的坐标为(1,0)，则点'B 的坐标为____________．17．如图，已知菱形ABCD 中，∠B=60°，点E 在边BC 上，∠BAE=25°，把线段AE 绕点A 逆时针方向旋转，使点E 落在边CD 上，那么旋转角α的度数为______．18．如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B 、D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为__．三、解答题（共78分）19．（8分）小明和同学们在数学实践活动课中测量学校旗杆的高度．如图，已知他们小组站在教学楼的四楼，用测角仪看旗杆顶部的仰角为35︒，看旗杆底部的俯角是为65︒，教学楼与旗杆的水平距离是5m ，旗杆有多高（结果保留整数）？（已知sin350.57︒≈，cos350.82︒≈，tan350.70︒≈，sin650.91︒≈，cos550.42︒≈tan65 2.14︒≈）20．（8分）如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴分别交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D ．（1）如图1，求△BCD 的面积；（2）如图2，P 是抛物线BD 段上一动点，连接CP 并延长交x 轴于E ，连接BD 交PC 于F ，当△CDF 的面积与△BEF 的面积相等时，求点E 和点P 的坐标．21．（8分）如图，抛物线与x 轴交于点A 和点()10B ,，与y 轴交于点()0,3C ，其对称轴l 为1x =-，P 为抛物线上第二象限的一个动点．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）当点P 在运动过程中，求四边形PABC 面积最大时的值及此时点P 的坐标．22．（10分）如图，一次函数y=x +4的图象与反比例函数y=k x （k 为常数且k ≠0）的图象交于A （﹣1，a ），B 两点，与x 轴交于点C（1）求此反比例函数的表达式；（2）若点P 在x 轴上，且S △ACP =32S △BOC ，求点P 的坐标．23．（10分）解方程：x 2﹣6x ﹣40＝024．（10分）（1）2y2+4y＝y+2（用因式分解法）（2）x2﹣7x﹣18＝0（用公式法）（3）4x2﹣8x﹣3＝0（用配方法）25．（12分）如图，直线y＝ax+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝kx（x＞0）的图象交于点C（6，m）．（1）求直线和反比例函数的表达式；（2）连接OC，在x轴上找一点P，使△OPC是以OC为腰的等腰三角形，请求出点P的坐标；（3）结合图象，请直接写出不等式kx≥ax+b的解集．26．现有3个型号相同的杯子，其中A等品2个，B等品1个，从中任意取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子，（1）用恰当的方法列举出两次取出杯子所有可能的结果；（2）求两次取出至少有一次是B等品杯子的概率．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解析】根据黄金比的定义得：51APAB-=，得514252AP-== .故选A.2、A【解析】试题分析：根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．解：∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M 、N 为对应点，所以位似中心在M 、N 所在的直线上，因为点P 在直线MN 上，所以点P 为位似中心．故选A ．考点：位似变换．3、A【分析】由k ＜0可得反比例函数()0k y k x=<的图象在二、四象限，y 随x 的增大而增大，可知y 3＜0，y 1＞0，y 2＞0，根据反比例函数的增减性即可得答案．【详解】∵k ＜0， ∴反比例函数()0k y k x=<的图象在二、四象限，y 随x 的增大而增大， ∴y 3＜0，y 1＞0，y 2＞0，∵-3＜-1，∴y 1＜y 2，∴312y y y <<，故选：A ．【点睛】本题考查反比例函数的性质，对于反比例函数y=k x（k≠0），当k ＞0时，图象在一、三象限，在各象限，y 随x 的增大而减小；当k ＜0时，图象在二、四象限，在各象限内，y 随x 的增大而增大；熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．4、B【解析】分析：主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．详解：A 、主视图是等腰梯形，故此选项错误；B 、主视图是长方形，故此选项正确；C 、主视图是等腰梯形，故此选项错误；D 、主视图是三角形，故此选项错误；故选B ．点睛：此题主要考查了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置．【分析】根据已知可以确定ABC DFE △△；根据对应角相等的性质即可求得C ∠的大小，即可解题． 【详解】解：∵60A D ∠=∠=，AB AC DF DE =， ∴ABC DFE △△B ∴∠与F ∠是对应角，C ∠与E ∠是对应角，故180()180(6050)70E C A B ∠=∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，本题中得出C ∠和E ∠是对应角是解题的关键．6、B【分析】根据平行线的性质以及角平分线的性质证明∠ADE=∠AED ，根据等角对等边，即可求得AE 的长，在直角△ABE 中，利用勾股定理求得BE 的长，则CE 的长即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DEC=∠ADE ，又∵∠DEC=∠AED ，∴∠ADE=∠AED ，∴AE=AD=10，在直角△ABE 中，BE=，∴CE=BC ﹣BE=AD ﹣BE=10﹣8=1．故选B ．考点：矩形的性质；角平分线的性质．7、B【分析】易证得四边形OECF 是正方形，然后由切线长定理可得AC=2+r ，BC=3+r ，AB=5，根据勾股定理列方程即可求得答案．【详解】如图，设⊙O 分别与边BC 、CA 相切于点E 、F ，连接OE ，OF ，∵⊙O 分别与边AB 、BC 、CA 相切于点D 、E 、F ，∴DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，AF=AD=2，BE=BD=3，∴∠OEC=∠OFC=90°，∵∠C=90°，∴四边形OECF 是矩形，∵OE=OF ，∴四边形OECF 是正方形，设EC=FC=r ，∴AC=AF+FC=2+r ，BC=BE+EC=3+r ，AB=AD+BD=2+3=5，在Rt △ABC 中，2AB =2BC +2AC ，∴25=()23r ++()22r +，∴2560r r +-=，即160r r -+=，解得：1r =或6r =-（舍去）．∴⊙O 的半径r 为1, ∴()()ABC 113121622S BC AC =⨯=⨯++=． 故选：B【点睛】本题考查了三角形的内切圆的性质、正方形的判定与性质、切线长定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．8、D【解析】相似三角形对应边的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方,对应角相等.【详解】根据相似三角形性质可得：A ：BC 和DE 不是对应边，故错；B ：面积比应该是1:4，故错；C:对应角相等，故错；D ：周长比等于相似比，故正确.故选：D【点睛】考核知识点：相似三角形性质.理解基本性质是关键.9、B【解析】Rt △ABC 中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度【详解】Rt △ABC 中，BC=5米，tanA=1∴AC=BC÷ 故选：B ．【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．10、C【分析】根据关于原点对称两个点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数可得答案．【详解】解：点P （﹣1，2）关于原点对称的点Q 的坐标为（1，﹣2），故选：C ．【点睛】此题考查的是求一个点关于原点对称的对称点，掌握关于原点对称两个点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数是解决此题的关键．11、D【分析】必然事件是指一定会发生的事件，概率为1，根据该性质判断即可． 【详解】掷一枚质地均匀的骰子，每一面朝上的概率为16，而小于6的情况有5种，因此概率为56，不是必然事件，所以A 选项错误；多边形内角和公式为()2180n -︒，不是一个定值，而是随着多边形的边数n 的变化而变化，所以B 选项错误； 二次函数解析式的一般形式为2y ax bx c =++()0a ≠，而当c=1时，二次函数图象经过原点，因此不是必然事件，所以C 选项错误；圆周长公式为2C r π=，当r=2时，圆的周长为4π，所以D 选项正确．故选D ．【点睛】本题考查了必然事件的概念，关键是根据不同选项所包含的知识点的概念进行判断对错；必然事件发生的概率为1，随机事件发生的概率为1<P<1，不可能事件发生的概率为1．12、B【分析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：22a b a b a b +﹣＝（）（﹣）；完全平方公式：2222a ab b a b ±+±＝（） ； 【详解】解：2412121a a a +﹣＝（）（﹣），【点睛】本题考查了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键二、填空题（每题4分，共24分）13、1【分析】设该圆锥的底面半径为r ，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到21652180r ππ⋅⋅=，然后解关于r 的方程即可． 【详解】设该圆锥的底面半径为r ，根据题意得21652180r ππ⋅⋅=，解得3r =．故答案为1． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14、x 1＝1，x 2＝﹣1．【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】∵290x -=∴2x =9，∴x =±1，即x 1＝1，x 2＝﹣1，故答案为x 1＝1，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键.15、6【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s 的值.【详解】解：根据二次函数解析式2126s t t =-=-6(t ²-2t+1-1)=-6(t-1) ²+6可知，汽车的刹车时间为t=1s ，当t=1时，2126s t t =-=12×1-6×1²=6(m)故选：6【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，理解透题意是解题的关键．16、()1+【分析】先求得∠ACO=60°，得出∠OAC=30°，求得AC=2OC=2，从而求出B ′的坐标．【详解】解：∵∠ACB=45°，∠BCB ′=75°，∴∠ACB ′=120°，∴∠ACO=60°，∴∠OAC=30°，∴AC=2OC ，∵点C 的坐标为（1，0），∴OC=1，∴AC=2OC=2，∵△ABC 是等腰直角三角形，AB BC ∴==B C A B '''∴==1OB '∴=∴B ′点的坐标为(1+【点睛】此题主要考查了旋转的性质及坐标与图形变换，同时也利用了直角三角形性质，首先利用直角三角形的性质得到有关线段的长度，即可解决问题．17、60°或 70°．【分析】连接AC ，根据菱形的性质及等边三角形的判定易证△ABC 是等边三角形．分两种情况：①将△ABE 绕点A 逆时针旋转60°，点E 可落在边DC 上，此时△ABE 与△ABE 1重合；②将线段AE 绕点A 逆时针旋转70°，点E 可落在边DC 上，点E 与点E 2重合，此△AEC ≌△AE 2C ．【详解】连接AC ．∵菱形ABCD 中，∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠ACD=60°．本题有两种情况：①如图，将△ABE 绕点A 逆时针旋转，使点B 与点C 重合，点E 与点E 1重合，此时△ABE ≌△ABE 1，AE=AE 1，旋转角α=∠BAC=60°；②∵∠BAC=60°，∠BAE=25°，∴∠EAC=35°．如图，将线段AE绕点A逆时针旋转70°，使点E到点E2的位置，此时△AEC≌△AE2C，AE=AE2，旋转角α=∠EAE2=70°．综上可知，符合条件的旋转角α的度数为60度或70度．18、1【分析】本题是典型的一线三角模型，根据正方形的性质、直角三角形两个锐角互余以及等量代换可以证得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的对应边相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF＝AF+AE＝1．【详解】解：∵ABCD是正方形（已知），∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°；又∵∠FAB+∠FBA＝∠FAB+∠EAD＝90°，∴∠FBA＝∠EAD（等量代换）；∵BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，∴在Rt△AFB和Rt△AED中，∵90AFB DEAFBA EADAB DA︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFB≌△DEA（AAS），∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5（全等三角形的对应边相等），∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质及熟悉一线三角模型是解本题的关键．三、解答题（共78分）19、旗杆的高约是14m ．【分析】过点B 作BC AD ⊥于点C ，由题意知，5BC =，35ABC ∠=︒，65CBD ∠=︒，根据锐角三角函数即可分别求出AC 和CD ，从而求出结论．【详解】解：过点B 作BC AD ⊥于点C ，由题意知，5BC =，35ABC ∠=︒，65CBD ∠=︒∵tan 65CD BC︒=， ∴5tan6510.7CD =⨯︒=m ， ∵tan35AC BC︒=， ∴5tan35 3.5AC =⨯︒=m ，∴10.7 3.514.214AD =+=≈m ，答：旗杆的高约是14m ．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．20、（1）3；（2）E （5，0），P （135，﹣3625） 【分析】（1）分别求出点C ，顶点D ，点A ，B 的坐标，如图1，连接BC ，过点D 作DM ⊥y 轴于点M ，作点D 作DN ⊥x轴于点N ，证明△BCD 是直角三角形，即可由三角形的面积公式求出其面积；（2）先求出直线BD 的解析式，设P （a ，a 2﹣2a ﹣3），用含a 的代数式表示出直线PC 的解析式，联立两解析式求出含a 的代数式的点F 的坐标，过点C 作x 轴的平行线，交BD 于点H ，则y H ＝﹣3，由△CDF 与△BEF 的面积相等，列出方程，求出a 的值，即可写出E ，P 的坐标．【详解】（1）在y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当x ＝0时，y ＝﹣3，∴C （0，﹣3），当x ＝﹣2b a＝1时，y ＝﹣4， ∴顶点D （1，﹣4），当y ＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），如图1，连接BC，过点D作DM⊥y轴于点M，作点D作DN⊥x轴于点N，∴DC2＝DM2+CM2＝2，BC2＝OC2+OB2＝18，DB2＝DN2+BN2＝20，∴DC2+BC2＝DB2，∴△BCD是直角三角形，∴S△BCD＝12DC•BC＝122×32＝3；（2）设直线BD的解析式为y＝kx+b，将B（3，0），D（1，﹣4）代入，得304 k bk b+=⎧⎨+=-⎩，解得，k＝2，b＝﹣6，∴y BD＝2x﹣6，设P（a，a2﹣2a﹣3），直线PC的解析式为y＝mx﹣3，将P（a，a2﹣2a﹣3）代入，得am＝a2﹣2a﹣3，∵a≠0，∴解得，m＝a﹣2，∴y PC＝（a﹣2）x﹣3，当y＝0时，x＝32a-，∴E（32a-，0），联立26(2)3 y xy a x=-⎧⎨=--⎩，解得，436184a x a y a -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩， ∴F （43a -，6184a a--）， 如图2，过点C 作x 轴的平行线，交BD 于点H ，则y H ＝﹣3，∴H （32，﹣3）， ∴S △CDF ＝12CH •（y F ﹣y D ），S △BEF ＝12BE •（﹣y F ）， ∴当△CDF 与△BEF 的面积相等时，12CH •（y F ﹣y D ）＝12BE •（﹣y F ）， 即12×32（6184a a --+4）＝12（32a -﹣3）（﹣6184a a --）， 解得，a 1＝4（舍去），a 2＝135， ∴E （5，0），P （135，﹣3625）．【点睛】此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质、一次函数的性质及三角形面积的求解.21、（1）223y x x =--+，(－1，4)；（2）758，P(32-，154) 【解析】（1）根据题意将已知点的坐标代入已知的抛物线的解析式，利用待定系数法确定抛物线的解析式并写出其顶点坐标即可；（2）根据题意设P 点的坐标为（t ，223t t --+）(－3＜t ＜0)，并用分割法将四边形的面积S 四边形BCPA= S △OBC ＋S △OAP ＋S △OPC ，得到二次函数运用配方法求得最值即可．【详解】解：（1）∵该抛物线过点C(0，3)，∴可设该抛物线的解析式为23y ax bx =++，∵与x 轴交于点A 和点B （1，0），其对称轴l 为x=－1， ∴3012a b b a++=⎧⎪⎨-=-⎪⎩ ∴12a b =-⎧⎨=-⎩∴此抛物线的解析式为223y x x =--+，其顶点坐标为（－1，4）；（2）如图：可知A （－3，0），∴OA ＝3，OB ＝1，OC ＝3设P 点的坐标为（t ，223t t --+）(－3＜t ＜0)∴S 四边形BCPA ＝S △OBC ＋S △OAP ＋S △OPC ＝12×OB×OC ＋12×OA×y P ＋12×x C ×OC ＝12×1×3＋12×3×(223t t --+)＋12×|t|×3 ＝2339332222t t t --+- ＝239622t t --+ ＝23375()228t -++ ∴当t ＝32-时，四边形PABC 的面积有最大值758 ∴P （32-，154）. 【点睛】本题考查二次函数综合题．用待定系数法求函数的解析式时要灵活地根据已知条件选择配方法和公式法，注意求抛物线的最值的方法是配方法．22、（1）y=-3x（2）点P （﹣6，0）或（﹣2，0） 【分析】（1）利用点A 在y=﹣x+4上求a ，进而代入反比例函数k y x=求k ． （2）联立方程求出交点，设出点P 坐标表示三角形面积，求出P 点坐标．【详解】（1）把点A （﹣1，a ）代入y=x+4，得a=3，∴A （﹣1，3）把A （﹣1，3）代入反比例函数k y x =∴k=﹣3， ∴反比例函数的表达式为3.y x=-（2）联立两个函数的表达式得 4y x k y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =-⎧⎨=⎩ ∴点B 的坐标为B （﹣3，1）当y=x+4=0时，得x=﹣4∴点C （﹣4，0）设点P 的坐标为（x ，0） ∵32ACP BOC S S =△△， ∴()1313441,222x ⨯⨯--=⨯⨯⨯ 解得x 1=﹣6，x 2=﹣2∴点P （﹣6，0）或（﹣2，0）【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．23、x 1＝10，x 2＝﹣1．【分析】用因式分解法即可求解.【详解】解：x 2﹣6x ﹣10＝0，（x ﹣10）（x+1）＝0，∴x ﹣10＝0或x+1＝0，∴x 1＝10，x 2＝﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法，有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．24、（1）y 1＝﹣2，y 2＝12；（2）x 1＝9，x 2＝﹣2；（3）x 1＝x 2＝1． 【分析】（1）先变形为2y （y +2）﹣（y +2）＝0，然后利用因式分解法解方程；（2）先计算出判别式的值，然后利用求根公式法解方程；（3）先把二次项系数化为1，再两边加上一次项系数一半的平方，配方法得到（x ﹣1）2＝74，然后利用直接开平方法解方程．【详解】解：（1）2y （y +2）﹣（y +2）＝0，∴（y +2）（2y ﹣1）＝0，∴y +2＝0或2y ﹣1＝0，所以y 1＝﹣2，y 2＝12； （2）a ＝1，b ＝﹣7，c ＝﹣18，∴△＝（﹣7）2﹣4×（﹣18）＝121，∴x ＝71121±⨯， ∴x 1＝9，x 2＝﹣2；（3）x 2﹣2x ＝34， ∴x 2﹣2x +1＝34+1， ∴（x ﹣1）2＝74， ∴x ﹣1＝±2，∴x 1＝，x 2＝1﹣． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．25、（1）y ＝12x ﹣1；y ＝6x ；（1）点P 1，0），点P 1，0），（11，0）；（3）0＜x ≤2 【解析】（1）根据点A ，B 的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB 的函数表达式，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点C 的坐标，由点C 的坐标，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（1）过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D 点，利用勾股定理看求出OC 的长，分OC ＝OP 和CO ＝CP 两种情况考虑：①当OP ＝OC 时，由OC 的长可得出OP 的长，进而可求出点P 的坐标；②当CO ＝CP 时，利用等腰三角形的性质可得出OD ＝PD ，结合OD 的长可得出OP 的长，进而可得出点P 的坐标；（3）观察图形，由两函数图象的上下位置关系，即可求出不等式k x≥ax+b 的解集． 【详解】解：（1）将A （4，0），B （0，﹣1）代入y ＝ax+b ，得：402a b b +=⎧⎨=-⎩，解得：122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AB 的函数表达式为y ＝12x ﹣1． 当x ＝2时，y ＝12x ﹣1＝1， ∴点C 的坐标为（2，1）．将C （2，1）代入y ＝k x ，得：1＝6k ， 解得：k ＝2，∴反比例函数的表达式为y ＝6x． （1）过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D 点，则OD ＝2，CD ＝1，∴OC=∵OC 为腰，∴分两种情况考虑，如图1所示：①当OP ＝OC 时，∵OC∴OP＝37，∴点P1的坐标为（37，0），点P1的坐标为（﹣37，0）；②当CO＝CP时，DP＝DO＝2，∴OP＝1OD＝11，∴点P3的坐标为（11，0）．（3）观察函数图象，可知：当0＜x＜2时，反比例函数y＝6x的图象在直线y＝12x﹣1的上方，∴不等式kx≥ax+b的解集为0＜x≤2．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求反比例函数解析式、等腰三角形的性质、勾股定理以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次（反比例）函数的关系式；（1）分OC=OP和CO=CP两种情况求出点P的坐标；（3）根据两函数图象的上下位置关系，找出不等式的解集．26、（1）见解析；（2）59．【分析】（1）根据已知条件画出树状图得出所有等情况数即可；（2）找出两次取出至少有一次是B等品杯子的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）根据题意画树状图如下：由图可知，共有9中等可能情况数；（2）∵共有9中等可能情况数，其中两次取出至少有一次是B等品杯子的有5种，∴两次取出至少有一次是B等品杯子的概率是59．【点睛】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比。

上海市闸北区名校2022年数学九上期末综合测试试题含解析

上海市闸北区名校2022年数学九上期末综合测试试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）1．某市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所数据120 000 000用科学记数法表示为（ ）A ．12×108B ．1.2×108C ．1.2×109D ．0.12×1092．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，点D 是AC 上一点，BD 交AC 于点E ，若BC=4，AD=45，则AE 的长是（ ）A ．1B ．1.2C ．2D ．3 3．如图，在半径为13的O 中，弦AB 与CD 交于点E ，75DEB ∠=︒，6,1AB AE ==，则CD 的长是（ ）A ．26B ．210C ．211D ．34．一组数据-3，2，2，0，2，1的众数是（ ）A ．-3B ．2C ．0D ．1 5．如图，半径为3的A 经过原点O 和点()0,2C ，B 是y 轴左侧A 优弧上一点，则tan OBC ∠为（ ）A ．1010B ．24C ．223D ．226．二次函数y = x 2+2的对称轴为（ ）A ．2x =B ．0x =C ．2x =-D ．1x =7．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝4cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm /s 的速度从A 点出发，沿着A →B →A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜12），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）A ．4或5B ．4或7C ．4或5或7D ．4或7或98．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，DE ：EC=3：2，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 与△BAF 的面积之比为（ ）A ．2：5B ．3：5C ．9：25D ．4：259．已知a≠0，下列计算正确的是（ ）A ．a 2+a 3＝a 5B ．a 2•a 3＝a 6C ．a 3÷a 2＝aD ．（a 2）3＝a 5 10．已知抛物线243y x x =-+与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 左侧），顶点为M ．平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，则平移后的抛物线解析式为（ ）A ．221y x x =++B ．221y x x =+-C ．221y x x =-+D ．221y x x =--11．下列物体的光线所形成的投影是平行投影的是（ ）A ．台灯B ．手电筒C ．太阳D ．路灯12．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD ⊥AB 于D ，设∠ACD=α，则cosα的值为（ ）A ．45B ．34C ．43D ．35二、填空题（每题4分，共24分）13．如果关于x 的一元二次方程（k+2）x 2﹣3x+1＝0有实数根，那么k 的取值范围是______．14．一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10L ，则每次倒出的液体是__________L ．15．如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有4个点……第n 行有2n 个点……，若前n 行的点数和为930，则n 是________．16．已知一次函数y 1＝x +m 的图象如图所示，反比例函数y 2＝2m x，当x ＞0时，y 2随x 的增大而_____（填“增大”或“减小”）．17．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，若8,6AC BD ＝＝，则菱形ABCD 的面积为_____．18．如图，点A ，B 是双曲线上的点，分别过点A ，B 作轴和轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为____________．三、解答题（共78分）19．（8分）（1）计算：1032sin 302020-+-；（2）解方程：x 2+3x —4=0.20．（8分）小明开着汽车在平坦的公路上行驶，前放出现两座建筑物A 、B （如图），在（1）处小颖能看到B 建筑物的一部分，（如图），此时，小明的视角为30°，已知A 建筑物高25米．（1）请问汽车行驶到什么位置时，小明刚好看不到建筑物B ？请在图中标出这点．（2）若小明刚好看不到B 建筑物时，他的视线与公路的夹角为45°，请问他向前行驶了多少米？（ 精确到0.1）21．（8分）如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=4.以AB 为直径画⊙O ，交边AC 于点D ．AD 的长为43π，求证：BC 是⊙O 的切线.22．（10分）如图1，已知直线12l l //，线段AB 在直线1l 上，1BC l ⊥于点C ，且AB BC =，P 是线段BC 上异于两端点的一点，过点P 的直线分别交2l 、1l 于点D 、E （点A 、E 位于点B 的两侧），满足BP BE =，连接AP 、CE ． （1）求证：ABP CBE ∆≅∆；（2）连结AD 、BD ，BD 与AP 相交于点F ，如图2，①当2BC BP=时，求证：AP BD ⊥； ②当(1)BC n n BP=>时，设PBE ∆的面积为S ，PAD ∆的面积为1S ，PCE ∆的面积为2S ，求12S S 的值．23．（10分）如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，15AC =，面积为1．（1）尺规作图：作C ∠的平分线交AB 于点D ；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求出点D 到两条直角边的距离．24．（10分）如图，在⊙O 中，点D 是⊙O 上的一点，点C 是直径AB 延长线上一点，连接BD ，CD ，且∠A ＝∠BDC ． （1）求证：直线CD 是⊙O 的切线；（2）若CM 平分∠ACD ，且分别交AD ，BD 于点M ，N ，当DM ＝2时，求MN 的长．25．（12分）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛．他们通过摸球的方式决定首场比赛的两个选手：在一个不透明的口袋中放入两个红球和一个白球，这些球除颜色外其他都相同，将它们搅匀，三人从中各摸出一个球，摸到红球的两人即为首场比赛选手．求甲、丙两人成为比赛选手的概率．(请用画树状图或列表等方法写出分析过程并给出结果．)26．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．（1）如图1，在44⨯的正方形网格中，有一个网格Rt ABC ∆和两个网格四边形ABCD 与ABCE ，其中是被AC 分割成的“友好四边形”的是 ；（2）如图2，将ABC ∆绕点C 逆时针旋转得到''A B C ∆，点'B 落在边AC ，过点A 作//''AD A B 交'CA 的延长线于点D ，求证：四边形ABCD 是“友好四边形”；（3）如图3，在ABC ∆中，AB BC ≠，60ABC ∠=，ABC ∆的面积为63，点D 是ABC ∠的平分线上一点，连接AD ，CD ．若四边形ABCD 是被BD 分割成的“友好四边形”，求BD 的长．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【详解】120 000 000＝1.2×108， 故选：B ．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．2、A【解析】利用圆周角性质和等腰三角形性质，确定AB 为圆的直径，利用相似三角形的判定及性质，确定△ADE 和△BCE 边长之间的关系，利用相似比求出线段AE 的长度即可． 【详解】解：∵等腰Rt △ABC ，BC=4，∴AB 为⊙O 的直径，AC=4，2，∴∠D=90°，在Rt △ABD 中，AD=45，， ∴BD=285， ∵∠D=∠C ，∠DAC=∠CBE ，∴△ADE ∽△BCE ，∵AD ：BC=45：4=1：5， ∴相似比为1：5，设AE=x ，∴BE=5x ，∴DE=285-5x ， ∴CE=28-25x ，∵AC=4，∴x+28-25x=4，解得：x=1．故选A ．【点睛】题目考查了圆的基本性质、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定及应用等知识点，题目考查知识点较多，是一道综合性试题，题目难易程度适中，适合课后训练．3、C【分析】过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB OD 、，由垂径定理得出1,32DF CF AG BG AB ====，得出2EG AG AE =-=，由勾股定理得出2OG ==，证出EOG ∆是等腰直角三角形，得出45,OEG OE ∠=︒==30OEF ∠=︒，由直角三角形的性质得出12OF OE ==DF = 【详解】解：过点O 作OF CD ⊥于点F ，OG AB ⊥于G ，连接OB OD 、，如图所示： 则1,32DF CF AG BG AB ====， ∴2EG AG AE =-=，在Rt BOG ∆中，2OG ===，∴EG OG =，∴EOG ∆是等腰直角三角形，∴45OEG ∠=︒，222OE OG ==， ∵75DEB ∠=︒，∴30OEF ∠=︒，∴122OF OE ==， 在Rt ODF ∆中，2213211DF OD OF =-=-=，∴2211CD DF ==；故选C ．【点睛】考核知识点：垂径定理.利用垂径定理和勾股定理解决问题是关键.4、B【解析】一组数据中出现次数最多的数据是众数，根据众数的定义进行求解即可得.【详解】数据-3，2，2，0，2，1中，2出现了3次，出现次数最多，其余的都出现了1次，所以这组数据的众数是2，故选B.【点睛】本题考查了众数的定义，熟练掌握众数的定义是解题的关键.5、B【分析】连接CA 与x 轴交于点D ，根据勾股定理求出OD 的长，求出2tan 4CDO =∠，再根据圆心角定理得CDO OBC =∠∠，即可求出tan OBC ∠的值．【详解】设A 与x 轴的另一个交点为D ，连接CD∵90COD ∠=︒∴CD 是A 的直径∴236CD =⨯=在Rt OCD △中，6CD =，2OC =根据勾股定理可得OD ==∴tan 4CDO =∠ 根据圆心角定理得CDO OBC =∠∠∴tan 4OBC ∠=故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角函数的问题，掌握圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．6、B【分析】根据二次函数的性质解答即可．【详解】二次函数y = x 2+2的对称轴为直线0x =．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数y =a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)的性质，熟练掌握二次函数y =a (x -h )2+k 的性质是解答本题的关键． y =a (x -h )2+k 是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是（h ，k ），对称轴是x =h ． 7、D【解析】由条件可求得AB=8，可知E 点的运动路线为从A 到B ，再从B 到AB 的中点，当△BDE 为直角三角形时，只有∠EDB=90°或∠DEB=90°，再结合△BDE 和△ABC 相似，可求得BE 的长，则可求得t 的值．【详解】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm ，∴AB=2BC=8cm ，∵D 为BC 中点，∴BD=2cm ，∵0≤t ＜12，∴E 点的运动路线为从A 到B ，再从B 到AB 的中点，按运动时间分为0≤t≤8和8＜t ＜12两种情况，①当0≤t≤8时，AE=tcm ，BE=BC-AE=（8-t ）cm ，当∠EDB=90°时，则有AC ∥ED ，∵D 为BC 中点，∴E 为AB 中点，此时AE=4cm ，可得t=4；当∠DEB=90°时，∵∠DEB=∠C ，∠B=∠B ，∴△BED ∽△BCA ， ∴BE BD BC AB =，即8248t -=， 解得t=7；②当8＜t ＜12时，则此时E 点又经过t=7秒时的位置，此时t=8+1=9；综上可知t 的值为4或7或9，故选：D ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，用t 表示出线段的长，化动为静，再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t 的方程是解决这类问题的基本思路．8、C【分析】由平行四边形的性质得出CD ∥AB ，进而得出△DEF ∽△BAF ，再利用相似三角形的性质可得出结果.【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD ∥AB ，∴△DEF ∽△BAF ．∵DE ：EC=3：2， ∴33325DE BA ==+， ∴29()25DEF BAF S DE S BA ==． 故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方.9、C【分析】结合选项分别进行同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方的运算，选出正确答案．【详解】A 、a 2和a 3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、a 2•a 3＝a 5，原式计算错误，故本选项错误；C 、a 3÷a 2＝a ，计算正确，故本选项正确；D 、（a 2）3＝a 6，原式计算错误，故本选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方等运算，掌握运算法则是解答本题的关键．10、A【解析】解：当y =0，则2043x x =-+，（x ﹣1）（x ﹣3）=0，解得：x 1=1，x 2=3，∴A （1，0），B （3，0），243y x x =-+=221x --（），∴M 点坐标为：（2，﹣1）． ∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M '落在x 轴上，点B 平移后的对应点B '落在y 轴上，∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：21y x =+（）=221x x ++． 故选A ．11、C【解析】太阳相对地球较远且大，其发出的光线可认为是平行光线.【详解】台灯、手电筒、路灯发出的光线是由点光源发出的光线，所形成的投影是中心投影；太阳相对地球较远且大，其发出的光线可认为是平行光线.故选C【点睛】本题主要考查了中心投影、平行投影的概念.12、A【解析】根据勾股定理求出AB 的长，在求出∠ACD 的等角∠B ，即可得到答案.【详解】如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB 5==,∵CD ⊥AB,∴∠ADC=∠C=90°, ∴∠A+∠ACD=∠A+∠B,∴∠B=∠ACD=α,∴4cos5BCcos BABα===.故选：A.【点睛】此题考查解直角三角形，求一个角的三角函数值有时可以求等角的对应函数值.二、填空题（每题4分，共24分）13、k≤14且k≠﹣1【解析】因为一元二次方程有实数根，所以△≥2且k+1≠2，得关于k的不等式，求解即可．【详解】∵关于x的一元二次方程（k+1）x1﹣3x+1=2有实数根，∴△≥2且k+1≠2，即（﹣3）1﹣4（k+1）×1≥2且k+1≠2，整理得：﹣4k≥﹣1且k+1≠2，∴k14≤且k≠﹣1．故答案为k14≤且k≠﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式．解决本题的关键是能正确计算根的判别式．本题易忽略二次项系数不为2．14、1【分析】设每次倒出液体xL，第一次倒出后还有纯药液（40﹣x），药液的浓度为4040x-，再倒出xL后，倒出纯药液40 40x-•x，利用40﹣x﹣4040x-•x就是剩下的纯药液10L，进而可得方程．【详解】解：设每次倒出液体xL，由题意得：40﹣x﹣4040x-•x=10，解得：x=60（舍去）或x=1．答：每次倒出1升．故答案为1．【点睛】本题考查一元二次方程的应用．15、1【分析】根据题意得出这个点阵中前n行的点数和等于2+4+6+8+......+2n，再计算即可．【详解】解：根据题意知，2+4+6+8+ (2)=2（1+2+3+…+n）=2×12n（n+1）=n（n+1）．∴(1)930n n+=，解得：30n=（负值已舍去）；故答案为：1．【点睛】此题考查图形的变化规律，结合图形，找出数字的运算规律，利用规律解决问题．16、减小．【分析】根据一次函数图象与y轴交点可得m＜2，进而可得2-m＞0，再根据反比例函数图象的性质可得答案．【详解】根据一次函数y1＝x+m的图象可得m＜2，∴2﹣m＞0，∴反比例函数y2＝2mx-的图象在一，三象限，当x＞0时，y2随x的增大而减小，故答案为：减小．【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，以及一次函数的性质，关键是正确判断出m的取值范围．17、24．【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可.【详解】四边形ABCD是菱形，AC BD∴⊥，86AC BD＝，＝，∴菱形ABCD的面积为118624 22AC BD⨯⨯⨯＝＝；故答案为：24．【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的性质有：具有平行四边形的性质；菱形的四条边相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半.18、1．【解析】试题分析：∵点A 、B 是双曲线上的点，∴S 矩形ACOG =S 矩形BEOF =6，∵S 阴影DGOF =2，∴S 矩形ACDF +S 矩形BDGE =6+6﹣2﹣2=1，故答案为1．考点：反比例函数系数k 的几何意义．三、解答题（共78分）19、（1）13；（2）4x =-或1x =. 【分析】（1）利用零负指数幂法则计算以及利用特殊角的三角函数值计算即可；（2）利用因式分解法求出解即可．【详解】（1）1032sin 302020-+-=11121323+⨯-=； 2）解：x 2+3x —4=0 (4)(1)0x x +-=解得4x =-或1x =.【点睛】本题考查实数的运算，以及解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20、（1）汽车行驶到E 点位置时，小明刚好看不到建筑物B ；（2）他向前行驶了18.3米．【解析】1）连接FC 并延长到BA 上一点E ，即为所求答案；（2）利用解Rt △AEC 求AE ，解Rt △ACM ，求AM ，利用ME=AM-AE 求出他行驶的距离．【详解】解：（1）如图所示：汽车行驶到E 点位置时，小明刚好看不到建筑物B ；（2）∵小明的视角为30°，A 建筑物高25米，∴AC ＝25，tan30°＝＝，∴AM ＝25 ，∵∠AEC ＝45°，∴AE ＝AC ＝25m ，∴ME ＝AM ﹣AE ＝43.3﹣25＝18.3m ．则他向前行驶了18.3米．【点睛】本题考查解直角三角形的基本方法，先分别在两个直角三角形中求相关的线段，再求差是解题关键．21、证明见解析.【分析】连接OD ，根据弧长公式求出∠AOD 的度数，再证明AB ⊥BC 即可；【详解】证明：如图，连接OD ,AB 是直径且 AB 4=，2r ∴=.设AOD n ∠=︒，AD 的长为43π， 4 1803n r ππ∴=解得120n =.即=120AOD ∠︒在☉O 中，DO AO =A=ADO ∴∠∠.1A=(180AOD =302）∠︒-∠︒． C 60∠=︒ ，ABC 180A C 90∴∠=︒-∠-∠=︒，即AB BC ⊥又 AB 为直径，BC ∴是☉O 的切线.【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22、（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②121S n S =+ 【分析】（1）根据平行和垂直得出∠ABP=∠CBE ，再根据SAS 证明即可；（2）①延长AP 交CE 于点H ，求出AP ⊥CE ，证出△CPD ∽△BPE ，推出DP=PE ，求出平行四边形BDCE ，推出CE ∥BD 即可；②分别用S 表示出△PAD 和△PCE 的面积，代入求出即可．【详解】（1）∵1BC l ⊥，∴ABP CBE ∠=∠，在ABP ∆和CBE ∆中，AB BC ABP CBE BP BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABP CBE SAS ∆≅∆；（2）①延长AP 交CE 于点H ，∴ABP CBE ∆≅∆，∴∠APB=∠CEB ，∴90PAB AFE ECB AEH ∠+∠=∠+∠=︒，∴AP CE ⊥， ∵2BC BP=，即P 为BC 的中点，12l l //， ∴CPD ∆∽BPE ∆, ∴1DP CP PE BP ==, ∴DP PE =,∴四边形BDCE 是平行四边形，∴//CE BD ，∵AP CE ⊥，∴AP BD ⊥; ②∵BC n BP=， ∴•BC n BP =，∴(1)CP n BP =-，∵//CD BE ,∴CPD ∆∽BPE ∆， ∴1PD PC n PE PB==-， 设△PBE 的面积S △PBE =S ，则△PCE 的面积S △PCE 满足PCE PBE S PC ==n-1S PB △△，即S 2=（n-1）S ， 即2(1)S n S =-，∵PAB BCE S S nS ∆∆==，∴(1)PAE S n S ∆=+，∵PAD PAE S PD ==n-1S PE△△， ∴S 1=（n-1）•S △PAE ，即S 1=（n+1）（n-1）•S ，,∴12(1)(1)1(1)S n n S n S n S+-==+-． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力，题目比较好，有一定的难度．23、（1）见解析；（2）607【分析】（1）利用尺规作图的步骤作出∠ACB 的平分线交AB 于点D 即可； （2）作DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F,根据面积求出BC 的长.法一：根据角平分线的性质得出DE=DF ，从而得出四边形CEDF 为正方形.再由BDF BAC ∆∆∽，得出DF BF AC BC=，列方程可以求出结果；法二：根据150∆∆+=BCD ACD S S ，利用面积法可求得DE,DF 的值.【详解】解：（1）∠ACB 的平分线CD 如图所示：（2）已知15AC =，面积为1，∴20BC =.法一：作DE AC ⊥，DF BC ⊥，∵CD 是ACB ∠角平分线，∴DF DE =，90DFC DEC ∠=∠=︒，而90ACB ∠=︒,∴四边形CEDF 为正方形．设DF 为x ，则由DFAC ， ∴BDF BAC ∆∆∽，∴DF BF AC BC =. 即201520x x -=，得607x =.∴点D 到两条直角边的距离为607. 法二：150∆∆+=BCD ACD S S ， 即15022⋅⋅+=BC DF DE AC ， 又由（1）知AC=15，BC=20， ∴201515022DF DF +=， ∴607=DF . 故点D 到两条直角边的距离为607. 【点睛】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，直角三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本性质，属于中考常考题型．24、（1）见解析；（2）MN ＝.【解析】（1）如图，连接OD ．欲证明直线CD 是⊙O 的切线，只需求得∠ODC ＝90°即可；（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM ＝∠BDC+∠DCM ，即∠DMN ＝∠DNM ，根据勾股定理可求得MN 的长．【详解】（1）证明：如图，连接OD ．∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠A+∠ABD ＝90°，又∵OD ＝OB ，∴∠ABD ＝∠ODB ，∵∠A ＝∠BDC ；∴∠CDB+∠ODB ＝90°，即∠ODC ＝90°．∵OD 是圆O 的半径，∴直线CD 是⊙O 的切线；（2）解：∵CM 平分∠ACD ，∴∠DCM ＝∠ACM ，又∵∠A ＝∠BDC ，∴∠A+∠ACM ＝∠BDC+∠DCM ，即∠DMN ＝∠DNM ，∵∠ADB ＝90°，DM ＝2，∴DN ＝DM ＝2，∴MN ＝22DM DN +＝22．【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、角平分线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径是解本题的关键．25、13. 【解析】先画树状图得到所有等可能的情况，然后找出符合条件的情况数，利用概率公式求解即可.【详解】画树状图为：由树状图知，共有6种等可能的结果数，其中甲、丙两人成为比赛选手的结果有2种，所以甲、丙两人成为比赛选手的概率为26＝13． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．26、（1）四边形ABCE ；（2）详见解析；（3）6BD =【分析】（1）根据三角形相似的判定定理，得∆ABC~∆EAC ，进而即可得到答案；（2）由旋转的性质得，''A CB ACB ∠=∠，''CA B CAB ∠=∠，结合//''AD A B ，得CAB D ∠=∠，进而即可得到结论；（3）过点A 作AM BC ⊥于M ，得32AM AB =，根据三角形的面积得24BC AB ⨯=，结合ABD ∆∽DBC ∆，即可得到答案．【详解】（1）由题意得：215255AB BC AC AE CE =====，，，，, ∴55AB BC AC EA AC EC ===， ∴∆ABC~∆EAC ，∴被AC 分割成的“友好四边形”的是：四边形ABCE ， 故答案是：四边形ABCE ；（2）根据旋转的性质得，''A CB ACB ∠=∠，''CA B CAB ∠=∠， ∵//''AD A B ，∴''CA B D ∠=∠，∴CAB D ∠=∠，∴ABC ∆∽DAC ∆，∴四边形ABCD 是“友好四边形”；（3）过点A 作AM BC ⊥于M ，∴在Rt ABM ∆中，3sin 602AM AB AB =⋅︒=， ∵ABC ∆的面积为63， ∴136322BC AB ⨯=， ∴24BC AB ⨯=，∵四边形ABCD 是被BD 分割成的“友好四边形”，且AB BC ≠， ∴ABD ∆∽DBC ∆，∴AB BD BD BC=， ∴224BD AB BC =⨯=，∴26BD =．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理以及三角函数的定义，掌握三角形相似的判定和性质，是解题的关键．。

《试卷3份集锦》上海市闸北区2020-2021年九年级上学期数学期末考前验收试题

《试卷3份集锦》上海市闸北区2020-2021年九年级上学期数学期末考前验收试题

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列方程中，是一元二次方程的是( )A ．2ax bx c ++B ．211122x x +--=C 21x =D ．310x x ++= 【答案】B【解析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】A.属于多项式，错误；B.属于一元二次方程，正确；C.未知数项的最高次数是2，但不属于整式方程，错误；D.属于整式方程，未知数项的最高次数是3，错误．故答案为：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的性质以及定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．2．已知反比例函数的表达式为2k y x +=，它的图象在各自象限内具有 y 随x 的增大而增大的特点，则k 的取值范围是（ ）．A ．k>-2B ．2k ≥-C ．2k <-D ．2k ≤- 【答案】C【分析】先根据反比例数2k y x +=的图象在每一象限内y 随x 的增大而增大得出关于k 的不等式，求出k 的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例数2k y x +=的图象在每一象限内y 随x 的增大而增大， ∴2k +＜0，解得k ＜-1．故选：C ．【点睛】 本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数k y x=（k≠0）中，当k ＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大是解答此题的关键3．在△ABC 中，∠C=90°，∠B =30°，则cos A 的值是（ ）A ．12B ．2C ．14D ．1【答案】A【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，∠B =30°，∴∠A=90°-30°=60°．cos A=cos60°=1 2 .故选：A．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．4．如图所示，半径为3的⊙A经过原点O和C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上的一点，则tan B=（）A．2 B．22C．24D．223【答案】C【分析】根据题意连接CD，根据勾股定理求出OD，根据正切的定义求出tan∠D，根据圆周角定理得到∠B=∠D，等量代换即可．【详解】解：连接CD（圆周角定理CD过圆心A），在Rt△OCD中，CD=6，OC=2，则2242CD OC-=，tan∠D=24 OCOD=，由圆周角定理得∠B=∠D，则tan∠2，故选：C．【点睛】本题考查圆周角定理、锐角三角函数的定义，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．5．在ABC ∆中，D 是AB 边上的点，//,9,3,6DE BC AD DB AE ===，则AC 的长为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】先利用比例性质得到AD ：AB=3：4，再证明△ADE ∽△ABC ，然后利用相似比可计算出AC 的长．【详解】解：解：∵AD=9，BD=3，∴AD ：AB=9：12=3：4，∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴=AD AE AB AC =34， ∵AE=6， ∴AC=8， 故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．6．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y ax b =+与反比例函数c y x=在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】∵二次函数图象开口向上，∴a ＞1，∵对称轴为直线b x 2a=-，∴b ＜1． ∵与y 轴的正半轴相交，∴c ＞1．∴y ax b =+的图象经过第一、三、四象限；反比例函数c y x=图象在第一、三象限，只有B 选项图象符合．故选B ． 7．如图，将Rt △ABC 绕直角顶点A ，沿顺时针方向旋转后得到Rt △AB 1C 1，当点B 1恰好落在斜边BC 的中点时，则∠B 1AC ＝（ ）A ．25°B ．30°C ．40°D ．60°【答案】B 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得AB 1＝BB 1，再根据旋转的性质得AB 1＝AB ，旋转角等于∠BAB 1，则可判断△ABB 1为等边三角形，所以∠BAB 1＝60°，从而得出结论．【详解】解：∵点B 1为斜边BC 的中点，∴AB 1＝BB 1，∵△ABC 绕直角顶点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，∴AB 1＝AB ，旋转角等于∠BAB 1，∴AB 1＝BB 1＝AB ，∴△ABB 1为等边三角形，∴∠BAB 1＝60°．∴∠B 1AC ＝90°﹣60°＝30°．故选：B ．【点睛】本题主要考察旋转的性质，解题关键是判断出△ABB 1为等边三角形.8．如图是用围棋棋子在6×6的正方形网格中摆出的图案，棋子的位置用有序数对表示，如A 点为（5，1），若再摆一黑一白两枚棋子，使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是（ ）A ．黑（1，5），白（5，5）B ．黑（3，2），白（3，3）C ．黑（3，3），白（3，1）D ．黑（3，1），白（3，3）【分析】利用轴对称图形以及中心对称图形的性质即可解答．【详解】如图所示：黑（3，1），白（3，3）．故选D ．【点睛】此题主要考查了旋转变换以及轴对称变换，正确把握图形的性质是解题关键．9．下列调查中，最适合采用抽样调查方式的是（ ）A ．对某飞机上旅客随身携带易燃易爆危险物品情况的调查B ．对我国首艘国产“002型”航母各零部件质量情况的调查C ．对渝北区某中学初2019级1班数学期末成绩情况的调查D ．对全国公民知晓“社会主义核心价值观”内涵情况的调查【答案】D【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，进行判断．【详解】A 、对某飞机上旅客随身携带易燃易爆危险物品情况的调查适合采用全面调查方式； B 、对我国首艘国产“002型”航母各零部件质量情况的调查适合采用全面调查方式；C 、对渝北区某中学初2019级1班数学期末成绩情况的调查适合采用全面调查方式；D 、对全国公民知晓“社会主义核心价值观”内涵情况的调查适合采用抽样调查方式；故选：D ．【点睛】本题主要考查抽样调查的意义和特点，理解抽样调查的意义是解题的关键.10．在平面直角坐标系中，将抛物线22y x ＝向上平移1个单位后所得抛物线的解析式为（ ） A ．221y x =-B ．221y x =+C ．()221y x =-D ．()21y x x =+ 【答案】B【分析】根据抛物线的平移规律：括号里左加右减，括号外上加下减，即可得出结论．【详解】解：将抛物线22y x ＝向上平移1个单位后所得抛物线的解析式为221y x =+【点睛】此题考查的是求抛物线平移后的解析式，掌握抛物线的平移规律：括号里左加右减，括号外上加下减，是解决此题的关键．11．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）A ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B ．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌花色是红桃C ．袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数【答案】D【解析】根据图可知该事件的概率在0.5左右，在一一筛选选项即可解答.【详解】根据图可知该事件的概率在0.5左右,（1）A 事件概率为13，错误. (2)B 事件的概率为14，错误. (3)C 事件概率为23，错误. (4)D 事件的概率为12，正确. 故选D.【点睛】本题考查概率，能够根据事件的条件得出该事件的概率是解答本题的关键.12．如图，AD 是ABC 的一条角平分线，点E 在AD 上．若ABE C ∠=∠，:3:2AE ED = ，则BDE 与ABC 的面积比为（ ）A ．1:5B ．5:1C ．3:20D ．20:3【分析】根据已知条件先求得S△ABE：S△BED=3：2，再根据三角形相似求得S△ACD=259S△ABE=256S△BED，根据S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED即可求得．【详解】解：∵AE：ED=3：2，∴AE：AD=3：5，∵∠ABE=∠C，∠BAE=∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴S△ABE：S△ACD=9：25，∴S△ACD=259S△ABE，∵AE：ED=3：2，∴S△ABE：S△BED=3：2，∴S△ABE=32S△BED，∴S△ACD=259S△ABE=256S△BED，∵S△ABC=S△ABE+S△ACD+S△BED=32S△BED+256S△BED+S△BED=203S△BED，∴S△BDE：S△ABC=3：20，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）13．已知点A（a，1）与点B（﹣3，b）关于原点对称，则ab 的值为_____．【答案】-2【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得a、b的值，根据有理数的乘法，可得答案．【详解】解：由点A（a，1）与点B（-2，b）关于原点对称，得a=2，b=-1．ab=（2）×（-1）=-2，故答案为-2．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用了关于原点对称的点的坐标规律是：横、纵坐标都是互为相反数．14．已知正方形ABCD的对角线长为8cm，则正方形ABCD的面积为_____cm1．【答案】31【分析】根据正方形的对角线相等且互相垂直，正方形是特殊的菱形，菱形的面积等于对角线乘积的一半进行求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝BD＝8cm，AC⊥BD，∴正方形ABCD的面积＝12×AC×BD＝31cm1，故答案为：31．【点睛】本题考查了求解菱形的面积,属于简单题,熟悉求解菱形面积的特殊方法是解题关键.15．如果tanα=，那么锐角α=_________°．【答案】30【分析】根据特殊角的三角函数值即可得出答案.【详解】∵tan303︒=∴30α=︒故答案为30【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.16．计算：cos30°+tan45°﹣4sin260°＝_____．【答案】1【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】解：°+tan45°﹣4sin260°＝﹣4×2＝3+1﹣4×3 4＝4﹣3＝1故答案为：1．【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．17．如图，在平面直角坐标系中，直线l:28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 正半轴上，且OC ＝OB ．点P 为线段AB （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为___________．【答案】455【分析】在OA 上取'C 使'OC OC =，得'OPC OQC ≅，则CQ=C'P ，根据点到直线的距离垂线段最短可知当'PC ⊥AB 时，CP 最小，由相似求出C'P 的最小值即可.【详解】解：如图，在OA 上取'C 使'OC OC =，∵90AOC POQ ∠=∠=︒，∴'POC QOC ∠=∠，在△'POC 和△QOC 中，''OP OQ POC QOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△'POC ≌△QOC （SAS ），∴'PC QC =∴当'PC 最小时，QC 最小，过'C 点作''C P ⊥AB ，∵直线l:28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，∴A 坐标为：（0，8）；B 点（-4，0），∵'4OC OC OB ===，∴AB =''4AC OA OC =-=. ∵'''OB C P sin BAO AB AC ∠==， ''4C P =，∴''C P =∴线段CQ【点睛】 本题主要考查了一次函数图像与坐标轴的交点及三角形全等的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短解决最值问题，属于中考压轴题．18．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1 200元，设每件衬衫应降价x 元，则所列方程为_______________________________________．（不用化简）【答案】 (40-x)(2x+20)=1200【解析】试题解析：每件衬衫的利润：40.x -销售量：202.x +∴方程为：()()402201200.x x -+=故答案为：()()402201200.x x -+=点睛：这个题目属于一元二次方程的实际应用，利用销售量⨯每件利润=总利润，列出方程即可.三、解答题（本题包括8个小题）19．如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两个小孔形状、大小都相同，正常水位时，大孔水面常度AB ＝20米，顶点M 距水面6米（即MO ＝6米），小孔水面宽度BC ＝6米，顶点N 距水面4.5米．航管部门设定警戒水位为正常水位上方2米处借助于图中的平面直角坐标系解答下列问题：（1）在汛期期间的某天，水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3米，顶部宽4米的巡逻船要路过此处，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由．（2）在问题（1）中，同时桥对面又有一艘小船准备从小孔迎面通过，小船的船顶高出水面1.5米，顶部宽3米，请问小船能否安全通过小孔？并说明理由．【答案】（１）巡逻船能安全通过大孔，理由见解析；（2）小船不能安全通过小孔，理由见解析．【分析】（1）设大孔所在的抛物线的解析式为26y ax =+，求得大孔所在的抛物线的解析式为23650y x =-+，当2x =时，得到2326 5.76550y =-⨯+=>，于是得到结论； （2）建立如图所示的平面直角坐标系，设小孔所在的抛物线的解析式为2 4.5z mx =+，求得小孔所在的抛物线的解析式为21 4.52z x =-+，当 1.5x =时，得到 3.375 3.5z =<，于是得到结论． 【详解】解：（1）设大孔所在的抛物线的解析式为26y ax =+，由题意得，0()10,A -，2(10)60a ∴-+=，350a ∴=-， ∴大孔所在的抛物线的解析式为23650y x =-+， 当2x =时，2326 5.76550y =-⨯+=>， ∴该巡逻船能安全通过大孔；（2）建立如图所示的平面直角坐标系，设小孔所在的抛物线的解析式为2 4.5z mx =+，由题意得，(3,0)C ，23 4.50m ∴⨯+=，12m ∴=-， ∴小孔所在的抛物线的解析式为21 4.52z x =-+，当 1.5x =时， 3.375 3.5z =<， ∴小船不能安全通过小孔．【点睛】本题考查了二次函数的应用以及二次函数图象上点的坐标特征，结合函数图象及二次函数图象上点的坐标特征找出关于a的一元一次方程是解题的关键．20．为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）【答案】（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；（2）在直角△CBD中，解直角三角形求出BD，再求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少路程．【详解】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°=CDBC，BC=80千米，∴CD=BC•sin30°=80×1402（千米），AC==402sin452CD=︒（千米），AC+BC=80+402≈40×1.41+80=136.4（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）∵cos30°=BDBC，BC=80（千米），∴BD=BC•cos30°=80×3403=（千米），∵tan45°=CDAD，CD=40（千米），∴AD=4040tan451CD==︒（千米），∴AB=AD+BD=40+403≈40+40×1.73=109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．21．用铁片制作的圆锥形容器盖如图所示．（1）我们知道：把平面内线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆．类比圆的定义，给圆锥下定义；（2）已知OB＝2cm，SB＝3cm，①计算容器盖铁皮的面积；②在一张矩形铁片上剪下一个扇形，用它围成该圆锥形容器盖．以下是可供选用的矩形铁片的长和宽，其中可以选择且面积最小的矩形铁片是．A．6cm×4cm B．6cm×4.5cm C．7cm×4cm D．7cm×4.5cm【答案】（1）把平面内，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；（2）①6π；②B.【分析】（1）根据平面内图形的旋转，给圆锥下定义；（2）①根据圆锥侧面积公式求容器盖铁皮的面积；②首先求得扇形的圆心角的度数，然后求得弓形的高就是矩形的宽，长就是圆的直径．【详解】解：（1）把平面内，以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；（2）①由题意，容器盖铁皮的面积即圆锥的侧面积∴==23=6S rl πππ⨯⨯母侧即容器盖铁皮的面积为6πcm²；②解：设圆锥展开扇形的圆心角为n 度，则2π×2=3180n π⨯ 解得：n=240°，如图：∠AOB=120°，则∠AOC=60°，∵OB=3，∴OC=1.5，∴矩形的长为6cm ，宽为4.5cm ，故选：B ．【点睛】本题考查了圆锥的定义及其有关计算，根据题意作出图形是解答本题的关键．22．已知关于x 的一元二次方程2(1)04a ax a x -++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． （1）求a 的最小整数值；（2）当121x x -=时，求a 的值．【答案】（1）1；（2）12±【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b 2-4ac ＞0，建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围，进而得出a 的最小整数值；（2）利用根与系数的关系得出x 1+x 2和x 1x 2，进而得出关于a 的一元二次方程求出即可．【详解】（1）∵原方程有两个不相等的实数根， a a =，()1b a =-+，4a c =， ∴0a ≠，且224(1)404a b ac a a ⎡⎤∆=-=-+-⋅⋅>⎣⎦，∴12a >-， 故a的最小整数值为1；（2）由题意：1212114a x x a x x +⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩， ∵121x x -=，∴212()1x x -=，∴21212()41x x x x +-=，∴211()414a a +-⨯=， 整理，得：2210a a --=，解之，得：12a =±，满足12a >-， 故a 的值为：12±．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．23．如图，在平面直角坐标系中，点, A B 的坐标分别是()0,3 ，()4, 0-．（1）将AOB ∆绕点A 逆时针旋转90︒得到 AEF ∆，点O ，B 对应点分别是E ，F ，请在图中画出AEF ∆，并写出E ，F 的坐标；（2）以O 点为位似中心，将 AEF ∆作位似变换且缩小为原来的23，在网格内画出一个符合条件的111A E F ∆．【答案】（1）见解析，()3,3E ，()30F ，；（2）见解析【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质，画出点O ，B 对应点E ，F ，从而得到△AEF ，然后写出E 、F的坐标；（2）分别连接OE 、OF ，然后分别去OA 、OE 、OF 的三等份点得到A 1、E 1、F 1，从而得到△A 1E 1F 1．【详解】解：（1）如图，AEF ∆为所作，()3,3E ，()30F ，（2）如图，111A E F ∆为所作图形．【点睛】本题考查了作图-位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．24．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A 、B 、C 、D 均在格点上．（1）在图①中，PC ：PB ＝ ．（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图②，在AB 上找一点P ，使AP ＝1．②如图③，在BD 上找一点P ，使△APB ∽△CPD ．【答案】（1）1：1；（2）①如图2所示，点P 即为所要找的点；见解析；②如图1所示，作点A 的对称点A ′，见解析；【分析】（1）根据两条直线平行、对应线段成比例即可解答；（2）①先用勾股定理求得AB 的长，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P ；②先作点A 关于BD 的对称点A'，连接A'C 与BD 的交点即为要找的点P.【详解】解：（1）图1中，∵AB ∥CD ， ∴13PC CD PB AB ==，故答案为1：1．（2）①如图2所示，点P即为所要找的点；②如图1所示，作点A的对称点A′，连接A′C，交BD于点P，点P即为所要找的点，∵AB∥CD，∴△APB∽△CPD．【点睛】本题考查了相似三角形的做法，掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键.25．为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度＝1：3，AD＝9米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，10≈3.16）【答案】2.1．【分析】据题意得出tanB =13, 即可得出tanA, 在Rt△ADE中, 根据勾股定理可求得DE, 即可得出∠FCE的正切值, 再在Rt△CEF中, 设EF=x,即可求出x, 从而得出CF=1x的长. 【详解】解：据题意得tanB=，∵MN∥AD，∴∠A=∠B，∴tanA=，∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tanA=，∵AD=9，∴DE=1，又∵DC=0.5，∴CE=2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE+∠CEF=90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠CEF=90°，∴∠A=∠FCE，∴tan∠FCE=在Rt△CEF中，CE2=EF2+CF2设EF=x，CF=1x（x＞0），CE=2.5，代入得（）2=x2+（1x）2解得x=（如果前面没有“设x＞0”，则此处应“x=±，舍负”），∴CF=1x=≈2.1，∴该停车库限高2.1米．【点睛】点评: 本题考查了解直角三角形的应用, 坡面坡角问题和勾股定理, 解题的关键是坡度等于坡角的正切值. 26．老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形统计图(如图1)和不完整的扇形图(如图2)，其中条形统计图被墨迹遮盖了一部分．(1)求条形统计图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；(2)随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没有改变，则最多补查了____人．【答案】(1)被遮盖的数是9，中位数为5；(2)1.【分析】（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数，然后根据中位数的定义求册数的中位数；（2）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数．【详解】解：（1）抽查的学生总数为6÷25%=24（人），读书为5册的学生数为24-5-6-4=9（人），所以条形图中被遮盖的数为9，册数的中位数为5；（2）因为4册和5册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了1人．故答案为1．【点睛】本题考查了统计图和中位数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．27．如图，点D是AC上一点，BE //AC，AE分别交BD、BC于点F、G，若∠1=∠2，线段BF、FG、FE之间有怎样的关系？请说明理由.【答案】BF2=FG·EF.【解析】由题意根据BE∥AC，可得∠1=∠E，然后有∠1=∠2，可得∠2=∠E，又由∠GFB=∠BFE，可得出△BFG∽△EFB，最后可得出BF2=FG•FE．【详解】解：BF2=FG·EF.证明：∵BE∥AC，∴∠1=∠E.∵∠1=∠2，∴∠2=∠E.又∵∠BFG=∠EFB，∴△BFG∽△EFB.∴BF FG，EF BF∴BF2=FG·EF.【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据BE∥AC，得出∠1=∠E，进而判定△BFG∽△EFB．九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.1．其中合理的是()A．①B．②C．①②D．①③【答案】B【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【详解】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.1，故错误．故选：B．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，明确概率的定义是解题的关键．2．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是A．（6，0）B．（6，3）C．（6，5）D．（4，2）【答案】B【解析】试题分析：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=1．A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=1，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=1，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；D、当点E的坐标为（4，1）时，∠ECD=90°，CD=1，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意．故选B．3．下列各式中属于最简二次根式的是（）A21x+B27C0.2D2x y【答案】A【分析】根据最简二次根式的定义解答即可.【详解】A. 21x+是最简二次根式；B. 27=3327不是最简二次根式；C. 0.215 5D. 2x y x y=，∴不是最简二次根式；故选A.【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式.4．甲、乙、丙、丁四人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是22221.2, 1.1,0.6,0.9S S S S====甲乙丁丙则射击成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】C【分析】根据方差的意义，即可得到答案．【详解】∵丙的方差最小，∴射击成绩最稳定的是丙，故选C．【点睛】本题主要考查方差的意义，掌握方差越小，一组数据越稳定，是解题的关键．5．如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝10，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】延长AF交DC于Q点，由矩形的性质得出CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，得出CQAB＝1，△AEI∽△QDE，因此CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝1：16，根据三角形的面积公式即可得出结果．【详解】延长AF交DC于Q点，如图所示：∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE＝12AB＝3，BF＝CF＝12BC＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，∴CQAB＝1，△AEI∽△QDI，∴CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝（312）2＝116，∵AD＝10，∴△AEI中AE边上的高＝2，∴△AEI的面积＝12×3×2＝3，∵△ABF的面积＝12×5×6＝15，∵AD∥BC，∴△BFH∽△DAH，∴BHDH＝BFAD＝12，∴△BFH的面积＝12×2×5＝5，∴四边形BEIH的面积＝△ABF的面积﹣△AEI的面积﹣△BFH的面积＝15﹣3﹣5＝1．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．6．⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为5，点P与⊙O的位置关系是（）A．无法确定B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．点P在⊙O内【答案】B【分析】根据点在圆上，则d=r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【详解】解：∵OP=5>3，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选：B．【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，理解并掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解题的关键．7．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且第一季度的产值为175亿元．若设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程为()A．50(1＋x)2＝175 B．50＋50(1＋x)2＝175C．50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175 D．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝175【答案】D【分析】增长率问题，一般为：增长后的量＝增长前的量×（1＋增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．【详解】解：二月份的产值为：50（1＋x），三月份的产值为：50（1＋x）（1＋x）＝50（1＋x）2，。

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1
闸北区九年级数学学科期末练习卷
（考试时间：100分钟，满分：150分）（2015年1月）
一. 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．如果点G是△ABC的重心，联结AG并延长，交对边BC于点D，那么AG：AD是（ A ）（A）2：3 ；
（B）1：2；（C）1：3 ；（D）3：4．
2．已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列给出的条件中，不能判定DE∥BC 的是（ B ）
（A）BD：AB ＝ CE：AC；（B）DE：BC ＝ AB：AD；（C）AB：AC ＝ AD：AE；（D）AD：DB ＝ AE：EC． 3．下列有关向量的等式中，不一定成立的是（ D ）（A）AB＝－BA；（B）︱AB︱＝︱BA︱；
（C） AB＋BC＝AC；（D）︱AB＋BC︱＝︱AB︱＋︱BC|． 4．在直角△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B与∠C的对边分别是a、b和c，那么下列关系中，正确的是（ C ）（A）cosA＝
ca；（B）tanA＝ab；（C）sinA＝ca；（D）cotA＝b
a
． 5．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ A ）（A）2xy（B）21x
y
；（C）2kxy（D）xky2
6．如图1，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米．他继续往前走3米到达点E处（即CE＝3米），测得自己影子EF的长为2米．已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（ B ）
（A）4.5米；（B）6米；（C）7.2米；（D）8米．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．已知
yx＝25，则y
y
x 32 ．
2
8．如果点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，那么AP
BP
的比值是 51
2
． 9．如图2，在平行四边形ABCD中，点E在BC 边上，且CE：BC＝2：3，AC与DE相交于点F，若 S△AFD＝9，则S△EFC＝ 4 ．
10．如果α是锐角，且tanα＝cot20°，那么α＝ 70 度． 11．计算：2sin60°＋tan45°＝
31．
12．如果一段斜坡的坡角是30°，那么这段斜坡的坡度是 1:3 ．（请写成1：m的形式）．13．如果抛物线2)1(xmy m的取值范围是 1m．
14．将抛物线5)3(2xy向下平移6个单位，所得到的抛物线的顶点坐标为（3，-1）．
15．已知抛物线经过A（0，－3）、B（2，－3）、C （4，5），判断点D（－2，5）是否在该抛物线上．你的结论是：是（填“是”或“否”）．
16．如图3，正方形DEFG内接于Rt△ABC，∠C ＝90°，AE＝4，BF＝9 ，则tanA＝
3
2
． 17．如图4，梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，点P是AD边上一点，联结PB、PC ，且PDAPAB 2
，则图中有 3 对相似三角形．
18．如图5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在边 AB上，线段DC绕点D逆时针旋转，端点C恰巧落在边 AC上的点E处．如果
mDBAD nEC
AE
m与n 满足的关系式是：m＝ 21n（用含n的代数式表示m）．
三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解方程：
4322
xx－x
21＝2．【答案】（3x）
图2
A
B
C
E
D
F
A
B
D EC
图5
C A
B
D
E
F
G
图3
图4
A B
C
D
P
3
20．（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）
已知二次函数cbxxy22的图像经过点A（0，4）和B（1，－2）．
（1）求此函数的解析式；并运用配方法，将此抛物线解析式化为y＝a（x＋m）2＋k的形式；
（2）写出该抛物线顶点C的坐标，并求出△CAO的面积．
【答案】（1）222442(1)6yxxx（2）C(-1，6) 2CAO
S
21．（本题满分10分）
如图6，已知点E在平行四边形ABCD的边AD
上，AE＝3ED，延长CE到点F，使得EF＝CE，设BA
＝a BC＝b a b
分别表示向量CE和AF．
【答案】14CEab 1
2
AFab
22．（本题满分10分）
如图7，某人在C处看到远处有一凉亭B，在凉亭B正东方向有一棵大树A，这时此人在C 处测得B在北偏西45°方向上，测得A在北偏东35°方向上．又测得A、C之间的距离为100米，求A、B之间的距离．（精确到1米）．（参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈
0.819，tan35°≈0.700）
【答案】AB≈139米
23．（本大题满分12分）如图8，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
AD＝1，BC＝3，AB＝CD＝2，点E在BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE＝∠DBC，（1）求证：△ABE∽△BCD；（2）求tan∠DBC的值；（3）求线段BF的长．
【答案】（1）,BAEDBCABCC
24．（本题满分12分）如图9，在平面直角坐标系内，已知直线4xy与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线
25．12kkxxy图像过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，
（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、 D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐标．
【答案】(1)254yxx对称轴52
xB(-1，0) (2)D20(0,)3
25．（本题满分14分）如图10，已知在等腰 Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝2，若将△ABC翻折，折痕EF分别交边AC、边BC于点E和点F（点E不与A点重合，点F不与B点重合），且点C落在AB边上，记作点D．过点D作DK⊥AB，交射线AC于点K，设AD＝x，y＝cot∠CFE，
（1）求证：△DEK∽△DFB；
（2）求y关于x的函数解析式并写出定义域；（3）联结CD，当
EFCD＝2
3
时，求x的值【答案】(1)45,DKEBEDKFDB
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