2018年秋高中数学课时分层作业16正态分布新人教A版选修2_3

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2.4正态分布(高中数学人教A版选修2-3)

正态总体的函数表示式
f (x)
1
2
e
(x)2 22
x(,)
（1）当x= μ 时,函数值为最大.
（2）f (x) 的值域为
(0,
1]
2
y
μ=0 σ=1
(3) f (x) 的图象关于 x=μ 对称. -3 -2 -1 0 1 2 3 x
（4）当x∈（－∞，μ] 时f (x)为增函数.
当x∈（μ，+∞）时f ( x)为减函数. 标准正态曲线
一小球,任其自由下落,在下
落过程中小球碰到钉子时,从
左边落下的概率是 p, 从右边
落下的概率是 1-p, 碰到下一
排也是如此.最后落入底板中
的某个格.下面我们来试验一
下:
精品课件
精品课件
知识回放
以格子的编号为横坐标，小球落入各个格子内的频率值为纵坐标，则在各个格子内小球的分布情况大致可用下列频率分布直方图表示.
集中与分散的程度
1
平均数
精品课件
2
产品尺寸
(mm)
如果对于任何实数 a，b (a<b)，随机变量 X 满足 P(a<X≤b)＝ʃbaφμ,σ(x)dx，则称 X 的分布为正态分布，记
3. 正作态分布 .
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ 0.6826 ； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ 0.9544 ； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ 0.9974 .
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征

人教A版高中数学选修2-3讲义及题型归纳：正态分布综合题型

目录考点一：正态分布 (2)题型一、正态分布综合题型 (3)课后综合巩固练习 (7)考点一：正态分布(1)概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量X ，则这条曲线称为X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X 落在指定的两个数a b ，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． (2)正态分布定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()2()x f x μσ--=，x ∈R ，其中μ，σ是参数，且0σ>，μ-∞<<+∞．式中的参数μ和σ分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作2(,)N μσ．正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布．重要结论：①正态变量在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内，取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%．②正态变量在()-∞+∞，内的取值的概率为1，在区间(33)μσμσ-+，之外的取值的概率是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x μ=三倍标准差之内，这就是正态分布的3σ原则．若2~()N ξμσ，，()f x 为其概率密度函数，则称()()()xF x P x f t dt ξ-∞==⎰≤为概率分布函数，特别的，2~(01)N ξμσ-，，称22()t x x dt φ-=⎰为标准正态分布函数． ()()x P x μξφσ-<=．标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．(1)q p =-．题型一、正态分布综合题型1．已知参加某次考试的10万名理科考生的数学成绩ξ近似地服从正态分布(70,25)N ，估算这些考生中数学成绩落在(75，80]内的人数为( )（附2:~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<+=„，(22)0.9544)P Z μσμσ-<+=„ A ．4560B ．13590C ．27180D ．311740【分析】根据正态分布的对称性分别计算(7075)P ξ<„，(7080)P ξ<„，(7580)P ξ<„，从而得出考生人数．【解答】解：Q 数学成绩ξ近似地服从正态分布(70,25)N ， 1(7075)0.68260.34132P ξ∴<=⨯=„，1(7080)0.95440.47722P ξ<=⨯=„，(7580)0.47720.34130.1359P ξ∴<=-=„，∴考生成绩落在(75，80]的人数约为1000000.135913590⨯=．故选：B ．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性2．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布(2,4)N -的密度曲线）的点的个数的估计值为( )（附2:?(,)X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<+=„，(22)0.9545P X μσμσ-<+=„．)A ．906B ．2718C ．1359D ．3413【分析】由正态分布曲线的特点，数形结合可得落入阴影部分的概率，乘以10000可得答案．【解答】解：~(2,4)X N -Q ，∴阴影部分的面积(02)S P X =剟 11[(62)(40)](0.95450.6827)0.135922P x P x =---=-=剟剟， ∴落入阴影部分的点的个数的估计值为100000.13591359⨯=．故选：C ．【点评】本题考查正态分布曲线的特点，数形结合是解决问题的关键3．全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某市的体育部门对某小区的4000人进行了“运动参与度”统计评分，得到了如下的频率分布直方图：（1）求这4000人的“运动参与度”的平均得分x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为这4000人的“运动参与度”的得分z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取平均得分x 和方差2s ，那么选取的4000人中“运动参与度”得分超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用这4000人得分的情况来估计全市所有人的得分情况，现从全市随机抽取4人，记“运动参与度”的得分不超过84.81分的人数为ξ，求(3)P ξ…．（精确到0.001)附：①2204.75s =14.31=；②2~(,)z N μσ，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=； ③40.84130.501=．【分析】（1）由频率分布直方图列出中间值与对应概率表，再由中间值乘以概率作和得答案；（2）求出μ与σ值，由正态分布曲线的对称性求解；（3）求出全市所有人的“运动参与度”得分不超过84.81分的概率，再由二项分布的概率公式求解．【解答】解：（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴这4000人“运动参与度”得分的平均成绩x 为70；（2）依题意z 服从正态分布2(,)N μσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，z ∴服从正态分布(N μ，2)(70.5N σ=，214.31)，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴10.6826(84.81)0.15872P z -==…． ∴这4000人中“运动参与度”得分超过84.8（1分）的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人．（3）全市所有人的“运动参与度”得分不超过84.81分的概率10.15870.8413-=．而~(4,0.8413)B ξ，∴444(3)1(4)10.841310.5010.499P P C ξξ=-==-=-=g „．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查计算能力4．山西省在2019年3月份的高三适应性考试中对数学成绩数据统计显示，全市10000名学生的成绩近似服从正态分布(120N ，25)，现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析，结果这50名学生的成绩全部介于85分到145分之间，现将结果按如下方式分为6组，第一组[85，95)，第二组[95，105)，⋯，第六组[135，145]，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求全市数学成绩在135分以上的人数；（2）试由样本频率分布直方图佔计该校数学成绩的平均分数；（3）若从这50名学生中成绩在125分（含125分）以上的同学中任意抽取3人，该3人在全市前13名的人数记为X ，求X 的分布列和期望．附：若2~(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=．【分析】（1）全市数学成绩在135分以上的频率为0.08，以频率作为概率，乘以总人数得答案；（2）根据频率和为1，求出成绩在[125，135)的频率，再计算这组数据的平均数；（2）根据正态分布的特征，计算50人中成绩在135以上（包括135分）的有500.084⨯=人，而在[125，145)的学生有50(0.120.08)10⨯+=，得出X 的可能取值，计算对应的概率，列出X 的分布列，计算期望值．【解答】解：（1）全市数学成绩在135分以上的频率为0.08，以频率作为概率，可得全市数学成绩在135分以上的人数为100000.08800⨯=人；（2）由频率分布直方图可知[125，135)的频率为1(0.01100.024100.03100.016100.00810)0.12-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴估计该校全体学生的数学平均成绩约为900.11000.241100.31200.161300.121400.08112⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由于130.001310000=，根据正态分布：(1203512035)0.9974P X -⨯<<+⨯=，故10.9974(135)0.00132P X -==…，即0.00131000013⨯=． ∴前13名的成绩全部在135分以上．根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135以上（包括135分）的有500.084⨯=人，而在[125，145)的学生有50(0.120.08)10⨯+=．X ∴的取值为0，1，2，3．363101(0)6C P X C ===，21643101(1)2C C P X C ===g ， 12643103(2)10C C P X C ===，343101(3)30C P X C ===．X ∴的分布列为数学期望值为11310123 1.2621030EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查正态分布的应用问题，考查了离散型随机变量的分布列与期望课后综合巩固练习1.某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩~(105,100)X N ，若已知(90105)0.36P X <=„，则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为() A ．0.86B ．0.64C ．0.36D ．0.14【分析】由已知求得(105)0.5P X >=，再由(90105)0.36P X <=„，得(105120)(90105)0.36P X P X <=<=剟，再由(120)0.5(105120)P X P X >=-<„得答案．【解答】解：Q 学生成绩X 服从正态分布(105,100)N ，(105)0.5P X ∴>=， (90105)0.36P X <=Q „，(105120)(90105)0.36P X P X ∴<=<=剟， (120)0.5(105120)0.50.360.14P X P X ∴>=-<=-=„，故选：D ．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性2．设随机变量X 服从正态分布~3(3,1)X N ，且(24)0.6826P X =剟，则函数2()4f t t t X =++不存在零点的概率是( ) A ．0.5B ．0.3174C ．0.1587D ．0.6826【分析】由已知可得，4X >，再根据随机变量X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得(4)P X >．【解答】解：函数2()4f t t t X =++不存在零点，则△1640X =-<，即4X >． Q 随机变量X 服从正态分布(3,1)N ，∴正态曲线的对称轴是3x =，(24)0.6826P X =Q 剟，1(4)0.5(24)0.50.34130.15872P X P X ∴>=-=-=剟．故选：C ．【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，注意根据正态曲线的对称性解决问题3．江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行．江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟．公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布(33N ，24)，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布(44N ，22)，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟．下列说法：①若8:00出门，则乘坐公交不会迟到；②若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；③若8:06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；④若8:12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到．从统计的角度认为以上说法中所有合理的序号是．参考数据：若2~(,)Z N μσ，则()0.6826P Z μδμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μδμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μδμσ-<<+=．【分析】8：出门乘坐公交还是有可能会迟到①错；根据(22)0.9544P Z μδμσ-<<+=，计算可得乘坐两种交通工具不迟到的概率一样，故②错；若8:06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性为0.8413，而乘坐地铁不迟到的概率为(44)0.5P Y =„故③对；若8:12出门，则乘坐地铁上班迟到的概率为1(44324432)(38)0.00132P Y P Y --⨯<+⨯==„„，故④正确．【解答】解：设乘公交车所需时间为X ，乘地铁所需实际为Y ．对于①，8:00出门-还是有可能会迟到，只是概率较小，故①错；对于②，1(33283324)(41)10.97722P X P X --⨯<+⨯=-=„„．1(44224422)(48)10.97722P Y P Y --⨯<+⨯=-=„„．乘坐两种交通工具不迟到的概率一样，故②错；对于③，若8:06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性为1(334334)(37)10.84132P X P X --<+=-=„„，乘坐地铁不迟到的概率为(44)0.50.8413P Y =<„．故③对；对于④，若8:12出门，则乘坐地铁上班迟到的概率为1(44324432)(38)0.00132P Y P Y --⨯<+⨯==„„，故④正确．故填：③④．【点评】本题考查了正态分布，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性 4．某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如表：年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图．（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数X 近似服从正态分布2(,)N μσ，其中2225σ≈，μ为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）．利用所得的正态分布模型，解决以下问题：()i 估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）； ()ii 若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望与方差．附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9554P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=．【分析】（1）设“两人得分之和小于35分”为事件A ，写出事件A 包括的四种情况，再由频率分布直方图可得得16分，得17分和得18分的人数，然后利用古典概型概率就送过去求解；（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数X 的估计值，再求得标准差σ，可得高二年级全体学生的跳绳个数X 近似服从正态分布(179N ，215)． ()i 利用正态分布的对称性求解；()ii 由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为12，则1~(3,)2B ξ，ξ的所有可能的取值为0，1，2，3．分别求出概率，得到ξ的分布列，再由期望公式求期望．【解答】解：（1）设“两人得分之和小于35分”为事件A ，则事件A 包括以下四种情况： ①两人得分均为16分；②两人中一人16分，一人17分； ③两人中一人16分，一人18分；④两人均17分．由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，则由古典概型的概率计算公式可得221111612612618210029()550C C C C C C P A C +++==． ∴两人得分之和小于35的概率为29550；（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数X 的估计值为：(0.0061500.0121600.0181700.0341800.0161900.0082000.006210)10179X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（个)．又由2225σ≈，得标准差15σ≈，∴高二年级全体学生的跳绳个数X 近似服从正态分布(179N ，215)．()17915164i μσ-=-=Q ，∴10.6826(164)10.84132P X ->=-=，故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为20000.84131682.61683⨯=≈（人)； ()ii 由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为12， 1~(3,)2B ξ∴，ξ的所有可能的取值为0，1，2，3．∴0033111(0)()(1)228P C ξ==⨯⨯-=，123113(1)(1)228P C ξ==⨯⨯-=， 2213113(2)()(1)228P C ξ==⨯⨯-=，3303111(3)()(1)228P C ξ==⨯⨯-=，故ξ的分布列为：∴13()322E ξ=⨯=，113()3(1)224D ξ=⨯⨯-=．【点评】本题考查古典概型概率的求法，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，训练了离散型随机变量的分布列与期望的求法，属中档题．5．某物流公司专营从甲地到乙地的货运业务（货物全部用统一规格的包装箱包装），现统计了最近100天内每天可配送的货物量，按照可配送货物量T （单位：箱）分成了以下几组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制了如图所示的频率分布直方图（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）．（Ⅰ）该物流公司负责人决定用分层抽样的方法从前3组中随机抽出11天的数据来分析可配送货物量少的原因，并从这11天的数据中再抽出3天的数据进行财务分析，求这3天的数据中至少有2天的数据来自[50，60)这一组的概率．（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，该物流公司每日的可配送货物量T （单位：箱）服从正态分布(N μ，214.4)，其中μ近似为样本平均数．（ⅰ）试利用该正态分布，估计该物流公司2000天内日货物配送量在区间(54.1,97.3)内的天数（结果保留整数）．（ⅱ）该物流公司负责人根据每日的可配送货物量为公司装卸货物的员工制定了两种不同的工作奖励方案．方案一：直接发放奖金，按每日的可配送货物量划分为以下三级：60T <时，奖励50元；6080T <„，奖励80元；80T …时，奖励120元．方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中每日的可配送货物量不低于μ时有两次抽奖机会，每日的可配送货物量低于μ时只有一次抽奖机会，每次抽奖的奖金及对应的概率分别为小张恰好为该公司装卸货物的一名员工，试从数学期望的角度分析，小张选择哪种奖励方案对他更有利？附：若2~(,)Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+≈，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+≈．【分析】（Ⅰ）由分层抽样知识可知，这11天中前3组数据分别有1个，4个，6个，再由古典概型概率计算公式求解；（Ⅱ）（ⅰ）由题意得68.5μ=，可得(54.197.3)(68.514.468.528.8)P T P T <<=-<<+的值，乘以2000得答案；（ⅱ）1()()2P T P T μμ<==…，对于方案一，设小张每日可获得的奖金为X 元，则X 的可能取值为50，80，120，其对应的概率分别为0.25，0.6，0.15，求得方案一的期望()E X ；对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y 元，则X 的可能取值为50，100，150，200，求出概率，列出分布列，求得期望()E Y ，比较两个期望的大小得结论．【解答】解：（Ⅰ）由分层抽样知识可知，这11天中前3组数据分别有1个，4个，6个．故所求概率为21347433111146165C C C P C C =+=；（Ⅱ）（ⅰ）由题意得450.05550.2650.3750.3850.1950.0568.5μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 1(54.197.3)(68.514.468.528.8)(0.68270.9545)0.81862P T P T ∴<<=-<<+≈+=．故该物流公司2000天内日货物配送量在(54.1,97.3)内的天数为20000.81861637⨯≈；（ⅱ）1()()2P T P T μμ<==…．对于方案一，设小张每日可获得的奖金为X 元，则X 的可能取值为50，80，120，其对应的概率分别为0.25，0.6，0.15，故()500.25800.61200.1578.5E X =⨯+⨯+⨯=；对于方案二，设小张每日可获得的奖金为Y 元，则X 的可能取值为50，100，150，200， 142(50)255P Y ==⨯=，1114421(100)2525550P Y ==⨯+⨯⨯=，1144(150),225525P Y ==⨯⨯⨯=，1111(200)25550P Y ==⨯⨯=．Y ∴的分布列为：22141()50100150200905502550E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．()()E Y E X >Q ，∴从数学期望的角度分析，小张选择奖励方案二对他更有利．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查离散型随机变量期望的求法，是中档题．6．农村精准扶贫政策的实施，大大拓宽了农民的就业渠道，极大地提高了贫困农民的创业意识，增强了农民脱贫致富的自我发展能力，农民收入显著提高．某地民政部门对该地区20~60岁农民某月的收入进行了调查，共有500人参加调查，现将调查数据统计整理后，得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）同一组数据用该区间的中点值作代表，试问参与调查的这500位农民的该月平均收入R 为多少元？（Ⅱ）现从年龄在20~60岁的农民中，采用分层抽样的方法，随机抽取该月收入位于区间[5，7]（千元）中的10人，再从这10人中随机抽取5人跟踪调查其收入变化情况．记抽出的5人中收入位于区间[5，6]（千元）的人数为X ，求X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）经计算知这500位农民该月收入的样本方差2 2.32s ≈，由频率分布直方图可认为，该地区20~60岁农民的该月收入服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差，根据以上样本数据，估计该地区20~60岁农民中，该月收入不低于5.26千元的农民在总体中所占的比例．附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<<+≈，(23)0.9973P μσξμσ-<<+≈ 1.52≈．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图与频率和为1求月收入位于区间[7，8]（千元）的频率，再由平均数公式求参与调查的这500位农民的该月平均收入；（Ⅱ）由题意可知X 的可能值分别为0、1、2、3、4，求出概率，得到分布列，再由期望公式求期望；（Ⅲ）由（1）知样本平均数 6.78R =，样本方差2 2.32s ≈，可得 6.78μ=， 1.52σ≈，即该地区20~60岁农民该月收入ξ服从正态分布(6.78N ，21.52)．再由正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：（Ⅰ）月收入位于区间[7，8]（千元）的频率为： 1(0.040.100.160.240.180.06)0.22-+++++=，同一组数据用该区间的中点值作代表，则参与调查的这500位农民的该月平均收入为： 3.50.04 4.50.10 5.50.16 6.50.247.50.228.50.189.50.06 6.78R =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（千元）；（Ⅱ）由题意可知X 的可能值分别为0、1、2、3、4，05465101(0)42C C P X C ===，14465105(1)21C C P X C ===，234651010(2)21C C P X C ===，32465105(3)21C C P X C ===，41465101(4)42C C P X C ===．则X 的分布列如下：∴期望51051()1234221212142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=；（Ⅲ）由（1）知样本平均数 6.78R =，样本方差2 2.32s ≈，可得 6.78μ=， 1.52σ≈，即该地区20~60岁农民该月收入ξ服从正态分布(6.78N ，21.52)． (5P ∴，268.30)(6.78 1.52 6.78 1.52)0.6827P ξξ<<=-<<+≈．即1( 5.26)1[1(5.268.30)]0.84142P P ξξ=--<<≈…．∴估计该地区20岁至60岁农民中，月平均收入不低于5.26千元的农民在总体中所占的比例约为84.14%．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查计算能力。

高中数学人教A版选修2-3练习：2.4 正态分布 Word版含解析.doc

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设随机变量ξ～N (2,2)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ξ＝( )A ．1B ．2 C.12D ．4【解析】 ∵ξ～N (2,2)，∴D (ξ)＝2. ∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ξ＝122D (ξ)＝14×2＝12.【答案】 C2．下列函数是正态密度函数的是( ) A ．f (x )＝12σπe (x －μ)22σ2，μ，σ(σ>0)都是实数B ．f (x )＝2π2πe －x 22C ．f (x )＝122πe －(x －1)24D ．f (x )＝12πe x 22【解析】对于A ，函数的系数部分的二次根式包含σ，而且指数部分的符号是正的，故A 错误；对于B ，符合正态密度函数的解析式，其中σ＝1，μ＝0，故B 正确；对于C ，从系数部分看σ＝2，可是从指数部分看σ＝2，故C 不正确；对于D ，指数部分缺少一个负号，故D 不正确．【答案】 B3．(2015·湖北高考)设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图2-4-6所示，下列结论中正确的是( )图2-4-6A ．P (Y ≥μ2)≥P (Y ≥μ1)B ．P (X ≤σ2)≤P (X ≤σ1)C ．对任意正数t ，P (X ≥t )≥P (Y ≥t )D ．对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )【解析】由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P (Y ≥μ2)＝12， P (Y ≥μ1)＞12，故P (Y ≥μ2)＜P (Y ≥μ1)，故A 错；因为σ1＜σ2，所以P (X ≤σ2)＞P (X ≤σ1)，故B 错；对任意正数t ，P (X ≥t )＜P (Y ≥t )，故C 错；对任意正数t ，P (X ≤t )≥P (Y ≤t )是正确的，故选 D .【答案】 D4．某厂生产的零件外直径X ～N (8.0,0.022 5)，单位：mm ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm 和7.5 mm ，则可认为( )A ．上、下午生产情况均为正常B ．上、下午生产情况均为异常C ．上午生产情况正常，下午生产情况异常D ．上午生产情况异常，下午生产情况正常【解析】根据3σ原则，在(8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]之外时为异常．结合已知可知上午生产情况正常，下午生产情况异常．【答案】 C5．(2015·山东高考)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A ．4.56%B ．13.59%C．27.18% D．31.74%【解析】由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59%，故选B.【答案】 B二、填空题6．已知正态分布落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点. 【导学号：97270054】【解析】由正态曲线关于直线x＝μ对称且在x＝μ处达到峰值和其落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，得μ＝0.2.【答案】0.27．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．【解析】正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．由于正态曲线关于直线x＝μ对称，μ的概率意义是期望，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以数学期望为1.【答案】 18．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈R.给出以下四个命题：①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函数；③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝12，P(X>2)＝p，则P(0<X<2)＝1－2p.其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)【解析】画出正态分布N(μ，σ2)的密度曲线如下图：由图可得：①图象关于x ＝μ对称，故①正确；②随着x 的增加，F(x)＝P(ξ<x)也随着增加，故②正确；③如果随机变量ξ服从N(108,100)，那么ξ的期望是108，标准差是10； ④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④. 【答案】 ①②④ 三、解答题9．在一次测试中，测量结果X 服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X 在(0,2]内取值的概率为0.2，求：(1)X 在(0,4]内取值的概率； (2)P(X>4)．【解】(1)由于X ～N(2，σ2)，对称轴x ＝2，画出示意图如图．因为P(0<X ≤2)＝P(2<X ≤4)，所以P(0<X ≤4)＝2P(0<X ≤2)＝2×0.2＝0.4. (2)P(X>4)＝12[1－P(0<X ≤4)]＝12(1－0.4)＝0.3.10．一建筑工地所需要的钢筋的长度X ～N(8,22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于2米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？【解】由于X ～N(8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在(8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为0.3%，长度小于2米的钢筋不在(2,14)内，所以质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修．[能力提升]1．(2015·湖南高考)图2-4-7在如图2-4-7所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()A．2 386B．2 718C．3 413 D．4 772附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.【解析】由P(－1<X≤1)＝0.682 6，得P(0<X≤1)＝0.341 3，则阴影部分的面积为0.341 3，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 31×1＝3 413，故选C.【答案】C2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内()A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]【解析】由5760＝0.95，符合P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，所以在(100,120]内．故选C.【答案】C3．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是________．(填序号)①P(|ξ|<a)＝P(ξ<a)＋P(ξ>－a)(a>0)；②P(|ξ|<a)＝2P(ξ<a)－1(a>0)； ③P(|ξ|<a)＝1－2P(ξ<a)(a>0)； ④P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)．【解析】因为P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)，所以①不正确；因为P(|ξ|<a)＝P(－a<ξ<a)＝P(ξ<a)－P(ξ<－a)＝P(ξ<a)－P(ξ>a)＝P(ξ<a)－(1－P(ξ<a))＝2P(ξ<a)－1，所以②正确，③不正确；因为P(|ξ|<a)＋P(|ξ|>a)＝1，所以P(|ξ|<a)＝1－P(|ξ|>a)(a>0)，所以④正确．【答案】 ②④4．(2014·全国卷Ⅰ)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：图2-4-8(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z ～N(μ，σ2)，则P (μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.【解】 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为 x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.。

人教课标版高中数学选修2-3典型例题：正态分布

正态分布1．正态曲线及其性质对于正态分布函数：222)(21)(σμπσ--=x e x f ，x ∈（-∞，+∞）由于中学知识范围的限制，不必去深究它的来龙去脉，但对其函数图像即正态曲线可通过描点（或计算机中的绘图工具）画出课本图1-4中的图（1）、（2）、（3），由此，我们不难自己总结出正态曲线的性质。

2．标准正态曲线标准正态曲线N （0，1）是一种特殊的正态分布曲线，它是本小节的重点。

由于它具有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”。

对于抽像函数)()(00x x p x <=-Φ，课本中没有给出具体的表达式，但其几何意义非常明显，即由正态曲线N （0，1）、x 轴、直线0x x =所围成的图形的面积。

再由N （0，1）的曲线关于y 轴对称，可以得出等式)(1)(00x x Φ-=-Φ，以及标准正态总体在任一区间(a ，b)内取值概率)()(a b P Φ-Φ=。

3．一般正态分布与标准正态分布的转化由于一般的正态总体),(2σμN 其图像不一定关于y 轴对称，所以，研究其在某个区间),(21x x 的概率时，无法利用标准正态分布表进行计算。

这时我们自然会思考：能否将一般的正态总体),(2σμN 转化成标准的正态总体N （0，1）进行研究。

人们经过探究发现：对于任一正态总体),(2σμN ，其取值小于x 的概率)()(σμ-Φ=x x F 。

对于这个公式，课本中不加证明地给出，只用了“事实上，可以证明”这几个字说明。

这表明，对等式)()(σμ-Φ=x x F 的来由不作要求，只要会用它求正态总体),(2σμN 在某个特定区间的概率即可。

4．“小概率事件”和假设检验的基本思想“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，因为对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验20次，才能发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。

这种认识便是进行推断的出发点。

关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。

高中数学2.4正态分布课时作业(含解析)新人教A版选修2_3

课时作业18 正态分布知识点一正态分布的有关概念1.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2答案 A解析根据正态分布密度曲线的性质：正态分布密度曲线是一条关于x＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，结合图象可知μ1<μ2，σ1<σ2.故选A.2．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )A．三科总体的标准差相同B．甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同C．丙科总体的平均数最小D．甲科总体的标准差最小答案 D解析由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲＜σ乙＜σ丙．故选D.知识点二正态分布的性质3.已知X ～N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X ＞2)等于( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4 答案 A解析因为P (X ＞2)＋P (0≤X ≤2)＋P (－2≤X ≤0)＋P (X ＜－2)＝1，P (X ＞2)＝P (X ＜－2)，P (0≤X ≤2)＝P (－2≤X ≤0)，所以P (X ＞2)＝12[1－2P (－2≤X ≤0)]＝0.1.4．设随机变量X ～N (1,22)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X 等于( )A ．4B ．2 C.12 D ．1答案 D解析因为X ～N (1,22)，所以D (X )＝4，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14D (X )＝1.知识点三正态分布的应用5.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间( )A ．(90,110]内B ．(95,125]内C ．(100,120]内D ．(105,115]内答案 C 解析5760＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内，即在区间(110－2×5,110＋2×5]内．6．某班同学共有48人，数学测验的分数服从正态分布，其平均分是80分，标准差是10分，则该班同学中成绩在70～90分的约有________人．答案 33解析依题意，得μ＝80，σ＝10，所以P (70<ξ<90)＝P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，所以48×0.6826≈33(人)．即该班约有33人的成绩在70～90分．一、选择题1．正态曲线关于y 轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不确定答案 C解析均值即为其对称轴，∴μ＝0.2．如图所示的是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N (0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0 B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3 C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0 D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3答案 D解析当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)＝12πe－x22在x＝0处取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D.3．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)等于( ) A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84答案 A解析由X～N(2，σ2)，得正态曲线的对称轴为直线x＝2，如图所示，可知P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16，故选A.4．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝( )A．0.025 B．0.050 C．0.950 D．0.975答案 C解析ξ服从正态分布N(0,1)，则P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，从而P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.5．一批电阻的电阻值X (Ω)服从正态分布N (1000,52)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1011 Ω和982 Ω，可以认为( )A ．甲、乙两箱电阻均可出厂B ．甲、乙两箱电阻均不可出厂C ．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂D ．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂答案 C解析 ∵X ～N (1000,52)，∴μ＝1000，σ＝5，∴μ－3σ＝1000－3×5＝985，μ＋3σ＝1000＋3×5＝1015.∵1011∈(985,1015)，982∉(985,1015)， ∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．二、填空题6．设ξ～N (1,4)，那么P (3＜ξ＜5)＝________. 答案 0.1359解析因为ξ～N (1,4)，所以μ＝1，σ＝2，P (3＜ξ＜5)＝P (－3＜ξ＜－1)，则P (3＜ξ＜5)＝12[P (－3＜ξ＜5)－P (－1≤ξ≤3)]＝12[P (1－4＜ξ＜1＋4)－P (1－2≤ξ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)－P (μ－σ≤ξ≤μ＋σ)] ＝12(0.9544－0.6826)＝0.1359. 7．若随机变量ξ～N (10，σ2)，若ξ在(5,10)上的概率等于a ，a ∈(0,0.5)，则ξ在(－∞，15)上的概率等于______．答案 12＋a解析 P (10<ξ<15)＝a ，故P (－∞<ξ≤5)＝12(1－2a )＝12－a ，所以ξ在(－∞，15)的概率等于12－a ＋a ＋a ＝12＋a .8．某一部件由3个元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设3个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．答案 38解析由题意得，3个电子元件的使用寿命服从正态分布N (1000,502)，则每个元件的使用寿命超过1000小时的概率均为12，则元件1和2的使用寿命至少有一个超过1000小时的概率为1－12×12＝34，故该部件使用寿命超过1000小时的概率为34×12＝38.三、解答题9．在某次数学考试中，考生的成绩X 服从正态分布X ～N (90,100)． (1)试求考试成绩X 位于区间(70,110]内的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩位于区间(80,100]内的考生大约有多少人？解 ∵X ～N (90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.9544，而在该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X 位于区间(70,110]内的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.6826，所以考试成绩X 位于区间(80,100]内的概率是0.6826.一共有2000名考生，所以考试成绩在(80,100]内的考生大约有2000×0.6826≈1365(人)．10．生产工艺过程中产品的尺寸偏差X (mm)～N (0,22)，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4 mm 的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率．(精确到0.001)解由题意X ～N (0,22)求得P (|X |≤4)＝P (－4≤x ≤4)＝0.9544 设Y 表示5件产品中合格品个数，则Y ～B (5,0.9544)，所以P (Y ≥5×0.8)＝P (Y ≥4)＝C 45·(0.9544)4×0.0456＋C 55·(0.9544)5≈0.1892＋0.7919≈0.981. 故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率为0.981.。

2018版数学(人教B版)新导学同步选修2-3课时训练： 16正态分布 Word版含解析

7．在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N(1，σ2)(σ＞0)，若 X 在 (0,1) 内取值的概率为 0.4 ，则 X 在 (0,2) 内取值的概率为 __________．解析：由 X～N(1，σ2)(σ＞0)，知正态曲线的对称轴为 x＝1，从而由图像可知 P(0＜X＜1)＝P(1＜X＜2)，所以 P(0＜X＜2)＝2P(0＜X ＜1)＝2×0.4＝0.8. 答案：0.8 8．某人从某城市的 A 地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从 X～N(50,102)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率是__________．解析：∵X～N(50,102)，∴μ＝50，σ＝10. ∴P(30＜X≤70)＝P(50－20＜X≤50＋20)＝0.954 4. 答案：0.954 4 三、解答题 9．某年级的一次信息技术成绩近似服从正态分布 N(70,100)，如果规定低于 60 分为不及格，不低于 90 分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？ ( 参考数据： P(μ － σ ＜ ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4)．解析：由题意得：μ＝70，σ＝10， P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4. 1 1 (1)P(ξ＜60)＝2－2P(60＜ξ≤80) 1 1 ＝2－2×0.682 6 ＝0.158 7. 1 1 (2)P(ξ≥90)＝2－2P(50＜ξ≤90) 1 1 ＝2－2×0.954 4 ＝0.022 8. 答：成绩不及格的学生约占 15.87%，成绩优秀的学生约占 2.28%. 10．一建筑工地所需要的钢筋的长度 X～N(8,22)，质检员在检查一大批钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于 2 米，这时，他是让钢筋工继续用切割机截钢筋呢，还是停下来检修切割机？解析：由于 X～N(8,22)，根据正态分布的性质可知，正态分布在 (8－3×2,8＋3×2)之外的取值概率仅为 0.3%，长度小于 2 米的钢筋不在(2,14)内，据此质检员应让钢筋工马上停止切割，并对切割机进行检修． 11 ．某批待出口的水果罐头，每罐净重 X(g) 服从正态分布

新人教版A版选修2-3 高中数学正态分布

我们从上面看到，正态总体在 m 2 , m 2 以外取值的概率只有4.6％，在m 3 , m 3 以外取值的概率只有0.3 ％。
当 a 3 时正态总体的取值几乎总取值于区间由于这些概率值很小（一般不超过 5 ％）， ( m 3 , m 3 ) 之内, 其他区间取值几乎不可能 .在实通常称这些情况发生为小概率事件。际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.
2
7 11 15 25 20 12 6 2
0.02
0.07 0.11 0.15 0.25 0.20 0.12 0.06 0.02
0.004
0.014 0.022 0.030 0.050 0.040 0.024 0.120 0.004
第二步：根据频率分布表画出频率分布直方图
y 频率/组距
－－－－－－
=2

（6）当 m 一定时，曲线的形状由确定越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布越集中
0
三、特殊区间的概率及3 原则:
P( m X m ) 0.6826, P( m 2 X m 2 ) 0.9544, P( m 3 X m 3 ) 0.9974.
1 4、曲线与x轴之间的面积为 _______ .
m 取不同值的正态曲线图示固定的值，
m 1 m 0
m 1
0.5
均值 m 决定正态曲线的位置
5当
m 的变化而沿x 轴平移一定时，曲线随着
-1
0
1
取不同值的正态曲线图示固定 m 的值，
=0.5
μ=0
=1
标准差决定正态曲线的“体型”

人教新课标版数学高二人教A选修2-3试题 2.4正态分布 (2)

2.4正态分布基础梳理1．正态曲线函数φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布(1)如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝b aφμ，σ(x)d x，则称随机变量X 服从正态分布．(2)记作：X～N(μ，σ2)．3．正态曲线的性质(1)曲线在x轴上方，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称．(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π．(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．(6)如图所示：当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“辞矮”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．4．3σ原则：正态总体几乎取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002_6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．自测自评1．设有一正态总体，它的正态分布密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝18πe －（x －10）28，则这个正态总体的均值与标准差分别是(B )A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10 解析：把函数f (x )＝18πe －（x －10）28化简成正态密度函数为f (x )＝12π×2e －（x －10）22×22，易知这个正态总体的均值与标准差分别是10与2.2．如图，曲线C 1：f (x )＝12πσ1e －（x －μ1）22σ21(x ∈R )，曲线C 2：φ(x )＝12πσ2e －（x －μ2）22σ22(x ∈R )，则(D )A ．μ1＜μ2B ．曲线C 1与x 轴相交 C ．σ1＞σ2D ．曲线C 1、C 2分别与x 轴所夹的面积相等3．(2013·惠州一模)设随机变量ξ服从正态分布N (3，4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为 (A )A.73B.53C ．5D ．3 解析：因为随机变量ξ服从正态分布N (3，4)，因为P (ξ<2a －3)＝p (ξ>a ＋2)，所以2a －3与a ＋2关于x ＝3对称，所以2a －3＋a ＋2＝6，所以3a ＝7，所以a ＝73.故选A.不能正确应用正态分布的对称性致误【典例】随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，如果P (ξ≤1)＝0.841 3，求P (－1<ξ≤0)．解析：如图所示，因为P (ξ≤1)＝0.413，所以P (ξ>1)＝1－0.413＝0.158 7.所以P (ξ≤－1)＝0.158 7，所以P (－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.【易错剖析】本题易有如下错解： P (－1<ξ≤0)＝12[1－P (ξ≤1)]＝12(1－0.841 3)＝0.0793 5.这是用错正态分布的对称性造成的．由于ξ～N (0，1)，所以对称轴为x ＝0，所以与(－1，0)对称的区间应为(0，1)，与(1，＋∞)对称的区间为(－∞，－1)．基础巩固1．设随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X ≤c )＝P (X >c )，则c 的值是(C) A ．－μ B ．0 C ．μ D ．σ22．已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ<3)等于(D) A.15 B.14 C.13 D.12解析：∵ξ～N (3，σ2)，∴ξ＝3为正态分布的对称轴，∴P (ξ<3)＝12.3．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤ 2)＝(C) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.977 解析：∵ξ～N (0，σ2)，∴μ＝0，即图象关于y 轴对称，∴P (－2≤ ξ≤ 2)＝1－P (ξ<－2)－P (ξ>2)＝1－2P (ξ>2)＝1－2× 0.023＝0.954.4．正态变量的概率密度函数f (x )＝12πe －（x －3）22，x ∈R 的图象关于直线x ＝3对称，f (x )能力提升5.工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N (μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为(C)A ．7B ．10C ．3D ．6解析：∵P (μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴不属于区间(μ－3σ，μ－3σ)内的零点个数约为1000×(1－0.9974)＝2.6≈3个．6．(2014·哈师大附中高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N (1，4)，则P (－3<ξ<5)＝ (参考数据：P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)(B)A ．0.6826B ．0.9544C ．0.0026D ．0.9974解析：由ξ～N (1，4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P (－3<ξ<5)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，故选B.7. 一批灯泡的使用时间X (单位：小时)服从正态分布N (10 000，4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是________．解析：μ＝10 000，σ＝400，所以P (9 200<X ≤10 800)＝P (10 000－2×400<X ≤10 000＋2×400)＝0.954 4.答案：0.954 4 8．设X ～N (0，1)：①P (－ε＜X ＜0)＝P (0＜X ＜ε)； ②P (X ＜0)＝0.5；③若P (－1＜X ＜1)＝0.683，则P (X ＜－1)＝0.158 5； ④若P (－2＜X ＜2)＝0.954，则P (X ＜2)＝0.977； ⑤若P (－3＜X ＜3)＝0.997，则P (X ＜3)＝0.998 5. 其中正确的有①②③④⑤(填序号)．9．某个工厂的工人月收入服从正态分布N (500，202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少．解析：设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N (500，202)，所以μ＝500，σ＝20，所以月收入在区间(500－3×20，500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440，560)．因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)． 10．已知某种零件的尺寸X (单位：mm)服从正态分布，其正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f (80)＝182π. (1)求正态分布的概率密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72～88 mm(不包括72 mm ，包括88 mm)间的零件大约占总数的百分比．解析：(1)因为正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数．所以正态分布关于直线x ＝80对称，且在x ＝80处达到峰值，所以μ＝80. 又12πσ＝182π，所以σ＝8，故正态分布的概率密度函数的解析式为f(x)＝182πe－（x－80）2128.(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.所以零件的尺寸X位于区间(72，88]内的概率为0.682 6.故尺寸在72～88 mm(不包括72 mm，包括88 mm)间的零件大约占总数的68.26%.。

2018年秋高中数学课时分层作业组合与组合数公式新人教A版选修

课时分层作业(五) 组合与组合数公式(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列四个问题属于组合问题的是( )A ．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B ．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C ．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式D ．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 C [A 、B 、D 项均为排列问题，只有C 项是组合问题．]2．已知平面内A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )【导学号：95032053】A ．3B ．20C ．12D ．24B [C 36＝6×5×43×2×1＝20.]3．若C x6＝C 26，则x ＝( ) A ．2 B ．4 C ．4或2D ．3C [由组合数性质知，x ＝2或x ＝6－2＝4.] 4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4D ．4A [A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，所以n (n －1)(n －2)＝12×12n (n －1)．由n ∈N *，且n ≥3，解得n ＝8.]5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )【导学号：95032054】A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种C [甲选修2门有C 24＝6种选法，乙、丙各有C 34＝4种选法．由分步乘法计数原理可知，共有6×4×4＝96种选法．]二、填空题 6．方程：C 2x4＋C 2x －14＝C 56－C 66的解集为________．{x |x ＝2} [由组合数公式的性质可知，解得x ＝1或x ＝2，代入方程检验得x ＝2满足方程，所以原方程的解为{x |x ＝2}．]7．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821的值等于________.【导学号：95032055】7 315 [原式＝C 04＋C 14＋C 25＋…＋C 1821＝C 15＋C 25＋…＋C 1821＝C 1721＋C 1821＝C 1822＝C 422＝7 315.] 8．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)210 [从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法．]三、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？【导学号：95032056】[解] 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C 36＝6×5×43×2×1＝20个．10．求式子1C x 5－1C x 6＝710C x 7中的x .[解] 原式可化为：x ！－x ！5！－x ！－x ！6！＝7·x ！－x ！10·7！，∵0≤x ≤5，∴x 2－23x ＋42＝0，∴x ＝21(舍去)或x ＝2，即x ＝2为原方程的解．[能力提升练]一、选择题1．满足方程C x 2－x 16＝C 5x －516的x 值为( ) A ．1,3,5，－7 B ．1,3 C ．1,3,5D ．3,5B [由x 2－x ＝5x －5或x 2－x ＝16－(5x －5)，得x ＝1,3,5，－7，只有x ＝1,3时满足组合数的意义．]2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种C [可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C 14·C 25＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C 24·C 15＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．]二、填空题3．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女一定不是O 型，若某人的血型为O 型，则父母血型所有可能情况有________种.【导学号：95032057】9 [父母应为A ，B 或O ，C 13C 13＝9种．]4．已知C m －1n 2＝C mn 3＝C m ＋1n4，则m 与n 的值为________．14 34 [可得：三、解答题 5．规定C mx ＝x x －x －m ＋m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C mn (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求C 5－15的值； (2)组合数的两个性质： ①C m n ＝C n －mn ；②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1是否都能推广到C mx (x ∈R ，m 是正整数)的情形；若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，请说明理由.【导学号：95032058】[解] (1)C 5－15＝－－－－－5！＝－11 628.(2)性质①不能推广，例如当x ＝2时，有意义，但无意义．性质②能推广，它的推广形式是C m x ＋C m －1x ＝C mx ＋1，x ∈R ，m 为正整数．证明：当m ＝1时，有C 1x ＋C 0x ＝x ＋1＝C 1x ＋1；当m ≥2时， C mx ＋C m －1x ＝x x －x －m ＋m ！＋x x －x －x －m ＋m －！＝x x －x －m ＋m －！⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋1m ＋1 ＝x ＋x x －x －m ＋m ！＝C mx ＋1.综上，性质②的推广得证．课时分层作业(六) 组合的综合应用(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．60种B．70种C．75种D．150种C[从6名男医生中选出2名有C26种选法，从5名女医生中选出1名有C15种选法，由分步乘法计数原理得不同的选法共有C26·C15＝75种，故选C.]2．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为( )【导学号：95032066】A．720 B．360C．240 D．120D[确定三角形的个数为C310＝120.]3．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有( )A．27种B．24种C．21种D．18种C[分两类：一类是2个白球有C26＝15种取法，另一类是2个黑球有C24＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．]4．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )A．56种B．68种C．74种D．92种D[根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有C33C36种，有一个“多面手”的选派方法有C12C23C35种，有两个“多面手”的选派方法有C13C34种，既共有20＋60＋12＝92种不同的选派方法．]5．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1人，最多2人，则不同的分配方案有( )【导学号：95032067】A．30种B．90种C ．180种D ．270种B [先将5名教师分成3组，有C 15C 24C 222＝15种分法，再将3组分配到3个不同班级有A 33＝6种分法，故共有15×6＝90种方案．]二、填空题6．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有________种．24 [依题意，满足题意的选法共有C 24×2×2＝24种．]7．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有________种．18 [因为先从3个信封中选一个放标号为1,2的卡片，有3种不同的选法，再从剩下的4个标号的卡片中选两个放入一个信封有C 24＝6种，余下的放入最后一个信封，所以共有3C 24＝18(种)．]8．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有________种．(以数字作答)【导学号：95032068】240 [从10个球中任取3个，有C 310种方法．取出的3个球与其所在盒子的标号不一致的方法有2种．∴共有2C 310种方法．即240种．] 三、解答题9．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加； (5)甲、乙、丙三人至少1人参加． [解] (1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法，再从另外的9人中选4人有C 49种选法，共有C 13C 49＝378种不同的选法．(5)法一：(直接法)可分为三类：第一类，甲、乙、丙中有1人参加，共有C13C49种不同的选法；第二类，甲、乙、丙中有2人参加，共有C23C39种不同的选法；第三类，甲、乙、丙3人均参加，共有C33C29种不同的选法；共有C13C49＋C23C39＋C33C29＝666种不同的选法．法二：(间接法)12人中任意选5人共有C512种，甲、乙、丙三人不能参加的有C59种，所以共有C512－C59＝666种不同的选法．10．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．(1)共有几种放法？(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？【导学号：95032069】[解](1)44＝256(种)．(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C34种，再放到2个小盒中有A24种放法，共有C34A24种方法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有C34A24＋C24C24＝84种放法．[能力提升练]一、选择题1．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A．120种B．48种C．36种D．18种C[依题意，所求播放方式的种数为C12C13A33＝2×3×6＝36.]2．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )【导学号：95032070】A．16种B．36种C．42种D．60种D[(1)每城不超过1个项目，有A34＝24(种)；(2)有1个城市投资2个项目，有C14C23C13＝36(种)．∴共有24＋36＝60(种)方案．]二、填空题3．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．58[先从8个顶点中任取4个的取法为C48种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C48－12＝58个．]4．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________．2[设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意C36－C3x＝16，即6×5×4＝x(x－1)(x －2)＋16×6，所以x(x－1)(x－2)＝2×3×4，解得x＝4，即女生有2人．]三、解答题5．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？【导学号：95032071】[解](1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680种．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16·C34·A44＝576种．。

2018学年高中数学人教A版选修2-3课件：2-4 正态分布精品

2．3σ 原则
μ＋aφμ，σ(x)dx
(1)若 X～N(μ，σ2)，则对于任何实数 a>0，P(μ－a<X≤μ＋a)＝__μ_－_a __________.
(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝___0_.6_8_2__6____， P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝__0_._9_5_4_4___，
【提示】由于圆柱形零件的外直径 ε～N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布 N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有 0.003，而 5.7∈(2.5,5.5)．这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．
利用正态分布求概率的两个方法 1．对称法：由于正态曲线是关于直线 x＝μ 对称的，且概率的和为 1，故关于直线 x＝μ 对称的区间上概率相等．如： (1)P(X<a)＝1－P(X≥a)； (2)P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)． 2．“3σ”法：利用 X 落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ ＋3σ]内的概率分别是 0.682 6,0.954 4，0.997 4 求解．
【自主解答】 μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－ σ)，
∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ) ＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682 6＝1， ∴P(X－μ≤－σ)＝0.158 7， ∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.
【解析】 ∵X 服从正态分布(1，σ2)， ∴X 在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同，均为 0.4. ∴X 在(0,2)内取值的概率为 0.4＋0.4＝0.8.

《正态分布》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第2.4课时)

人教版高中数学选修2-3
第2章随机变量及其分布
2.4 正态分布
PEOPLE'S EDUCATION PRESS HIGH SCHOOL MATHEMATICS ELECTIVE 2-3
讲解人：时间：2020.6.1
课前导入
你见过高尔顿板吗？在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.
B. μ1<μ2, 1> 2 D. μ1>μ2, 1> 2
解析：由正态分布性质知，x=μ为正态密度函数图像的对称轴，故μ1<μ2，又越小，图像越瘦高，故 1< 2.
课堂练习
B 2. 设随机变量X服从正态分布N(2，9)，若P(X>c+1)=P(X<c-1)，则c等于（）
A.1
B.2
C.3
D.4
课前导入
下图就是一块高尔顿板示意图
球球槽
课前导入
如果把球槽编号，就可以考察球到底是落在第几号球槽中.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入各个球槽内的小球的个数就会越来越多，堆积的高度也会越来越高.各个球槽内的堆积高度反映了小球掉入各球槽的个数多少.
这节课我们就学习——正态分布
新知探究
A．三角形的正投影一定是三角形 B．长方体的正投影一定是长方形
C．球的正投影一定是圆
D．圆锥的正投影一定是三角形
【答案】C 【详解】 A. 三角形的正投影不一定是三角形，错误 C. 球的正投影一定是圆，正确故选C.
B. 长方体的正投影不一定是长方形，错误 D. 圆锥的正投影不一定是三角形，错误

高中数学选修2-3课时作业16：2.4正态分布

2.4 正态分布A 级基础巩固一、选择题1．设随机变量X~N (1，22)，则D ⎝⎛⎭⎫12X ＝( )A ．4B ．2 C.12D ．1 2．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)＝( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.23．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )[附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44]A ．4.56B ．13.59C ．27.18D ．31.744．若随机变量X ~N (1，4)，P (X ≤0)＝m ，则P (0＜X ＜2)＝( )A.1－2m 2B.1－m 2 C ．1－2m D ．1－m5．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2 二、填空题6．已知随机变量ξ服从正态分布，且落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，那么相应的正态曲线f (x )在x ＝________时，达到最高点．7．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．8．若随机变量ξ~N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝________．三、解答题9．公共汽车门的高度是按照确保99 以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ~N(173，72)(单位：cm)，问车门应设计多高(精确到1 cm)？[参考数据：φ(2.33)＝0.99]10.已知某地农民工年均收入ξ(单位：元)服从正态分布，其密度函数图象如图所示．(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；(2)求此地农民工年均收入在8 000 8 500元的人数百分比．B级能力提升1．正态分布N(1，9)在区间(2，3)和(－1，0)上取值的概率分别为m，n，则()A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不确定2．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60，102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．3．有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布，即X~N(20，4)．若这批零件共有5 000个．(1)试求这批零件中尺寸为18 22 mm的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸为24 26 mm的零件不合适，则这批零件中不合适的零件大约有多少个？5 000×2.15 ＝107.5，因此尺寸为24 26 mm的零件大约有107个．——★ 参考答案 ★——A 级基础巩固一、选择题1．D[[解析]]因为X ~N (1，22)，所以D (X )＝4.所以D ⎝⎛⎭⎫12X ＝14D (X )＝1.2．C[[解析]]由P (ξ＜4)＝0.8，知P (ξ＞4)＝P (ξ＜0)＝0.2，故P (0＜ξ＜2)＝0.3，故选C.3．B[[解析]]由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝0.954 4－0.682 62＝0.135 9＝13.59 . 4．C[[解析]]由对称性：P (X ≥2)＝P (X ≤0)＝m ，P (0＜X ＜2)＝1－P (X ≤0)－P (X ≥2)＝1－m －m ＝1－2m ，故选C.5．A[[解析]]μ反映的是正态分布的平均水平，x ＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ1<μ2; σ反映的正态分布的离散程度，σ越大，越分散，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图可知σ1<σ2.二、填空题6．0.2[[解析]]由正态曲线关于直线x ＝μ对称且其落在区间(0.2，＋∞)上的概率为0.5，得μ＝0.2. 7．38[[解析]]法一设该部件的使用寿命超过1000小时的概率为P (A )．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000，502)，所以元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P 1＝12，P 2＝12，P 3＝12. 因为P (A －)＝P 1P 2P 3＋P 3＝12×12×12＋12＝58，所以P (A )＝1－P (A －)＝38. 法二设该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为P (A )．因为三个元件的使用寿命均服从正态分布N (1 000，502)，所以元件1，2，3的使用寿命超过1 000小时的概率分别为P 1＝12，P 2＝12，P 3＝12. 故P (A )＝P 1P 2P 3＋P 1P 2P 3＋P 1P 2P 3＝12×⎝⎛⎭⎫1－12×12＋⎝⎛⎭⎫1－12×12×12＋12×12×12＝38. 8．0.3[[解析]]由P (9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x ＝10为对称轴知，P (9≤ξ≤11)＝2P (10≤ξ≤11)＝0.4，即P (10≤ξ≤11)＝0.2，又P (ξ≥10)＝0.5，所以P (ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3.三、解答题9．解：设公共汽车门的设计高度为x cm ，由题意，需使P (ξ≥x )＜1 .因为ξ~N (173，72)，所以P (ξ≤x )＝φ⎝⎛⎭⎫x －1737＞0.99.查表得x －1737＞2.33，所以x ＞189.31，即公共汽车门的高度应设计为190 cm ，可确保99 以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞．10.解：设农民工年均收入ξ~N (μ，σ2)，结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式P (x )＝12πσe －（x －μ）22σ2＝15002πe －（x －8 000）22×5002，x ∈(－∞，＋∞)． (2)因为P (7 500<ξ≤8 000)＝P (8 000－500<ξ≤8 000＋500)＝0.682 6.所以P (8 000<ξ≤8 500)＝12P (7 500<ξ≤8 500)＝0.341 3，即农民工年均收入在8 000 8 500元的人数占总体的34.13 .B 级能力提升1．C[[解析]]正态分布N (1，9)的曲线关于x ＝1对称，区间(2，3)与(－1，0)到对称轴距离相等，故m ＝n .2．229[[解析]]依题意，P (60－20＜X ≤60＋20)＝0.954 4，P (X ＞80)＝12(1－0.954 4)＝0.022 8，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.022 8＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．3．解：(1)因为X ~N (20，4)，所以μ＝20，σ＝2.所以μ－σ＝18，μ＋σ＝22.于是零件尺寸X 为18 22 mm 的零件所占百分比大约是68.26，(2)μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，所以零件尺寸X 为14 26 mm 的百分比大约是99.74 ，而零件尺寸X 为16 24 mm 的百分比大约是95.44 .所以零件尺寸为24 26 mm 的百分比大约是99.74%～95.44%2＝2.15 . 5 000×2.15 ＝107.5，因此尺寸为24 26 mm 的零件大约有107个．。

2018版高中数学第二章随机变量及其分布课时作业16正态分布新人教A版选修23

课时作业 16 正态分布|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．对于标准正态分布N(0,1)的密度函数f(x)＝12πe22x，下列说法不正确的是( )A．f(x)为偶函数B．f(x)的最大值是1 2πC．f(x)在x>0时是单调减函数，在x≤0时是单调增函数D．f(x)关于x＝1是对称的解析：由正态分布密度函数知μ＝0，即图象关于y轴对称．答案：D2．把一正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线C2，下列说法不正确的是( )A．曲线C2仍是正态曲线B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的期望比以曲线C1为概率密度曲线的总体的期望大2解析：正态密度函数为φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，正态曲线对称轴为x＝μ，曲线最高点的纵坐标为f(μ)＝12π·σ.所以C1沿着横轴方向向右移动2个单位后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位，所以期望值μ增加了2个单位．答案：C3．设随机变量ξ～N(2,2)，则D(2ξ)＝( )A．1 B．2C.12D．8解析：∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2.∴D(2ξ)＝4D(ξ)＝4×2＝8.答案：D4．已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝( )A．0.447 B．0.628C．0.954 D．0.977解析：∵随机变量ξ服从标准正态分布N(0，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝0对称，又P(ξ>2)＝0.023.∴P(ξ<－2)＝0.023.∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：C5．随机变量ξ～N(2,10)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)的概率相等，则k等于( )A ．1B ．10C ．2D .10解析：∵区间(－∞，k)和(k ，＋∞)关于x ＝k 对称，所以x ＝k 为正态曲线的对称轴， ∴k＝2，故选C . 答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．如果是三个正态分布X ～N(0,0.25)，Y ～N(0,1)，Z ～N(0,4)的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线分别是图中的______、________、______.解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”．答案：① ② ③7．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，P(ξ>1)＝p ，则P(－1<ξ<0)＝________. 解析：因为P(ξ>1)＝p ，所以P(0<ξ<1)＝0.5－p ，故P(－1<ξ<0)＝P(0<ξ<1)＝0.5－p. 答案：0.5－p8．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________．解析：如图，易得P(0<X<1)＝P(1<X<2)，故P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2×0.4＝0.8.答案：0.8三、解答题(每小题10分，共20分)9．在一次测试中，测量结果X 服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X 在(0,2)内取值的概率为0.2，求：(1)X 在(0,4)内取值的概率；(2)P(X>4)．解析：(1)由X ～N(2，σ2)，对称轴x ＝2，画出示意图，∵P(0<X<2)＝P(2<X<4，)∴P(0<X<4)＝2P(0<X<2)＝2×0.2＝0.4.(2)P(X>4)＝12[1－P(0<X<4)]＝12(1－0.4)＝0.3.10．工厂制造的某零件尺寸X 服从正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，19，问在一次正常试验中，取10 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围内的零件大约有多少个？解析：不属于区间(3,5)的概率为P(X≤3)＋P(X≥5)＝1－P(3<X<5)，因为X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，19，所以μ＝4，σ＝13.所以1－P(3<X<5)＝1－P ⎝⎛⎭⎪⎫4－3×13<X<4＋3×13＝1－0.997 5＝0.002 5. 而10 000×0.002 5＝25，所以不属于(3,5)这个尺寸范围内的零件大约有25个．|能力提升|(20分钟，40分)11．设X ～N(μ1，σ21)，Y ～N(μ2，σ22)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是( )A ．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B ．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C ．对任意正数t ，P(X≥t)≥P(Y≥t)D ．对任意正数t ，P(X≤t)≥P(Y≤t)解析：由图象知，μ1<μ2，σ1<σ2，P(Y≥μ2)＝12，P(Y≥μ1)>12，故P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A 错；因为σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B 错；对任意正数t ，P(X≥t)<P(Y≥t)，故C 错；对任意正数t ，P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的，故选D . 答案：D12．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg )服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．解析：依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5<X≤62.5)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数为1 000×0.682 6≈683.答案：68313．一投资者要在两个投资方案中选择一个，这两个方案的利润ξ(万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(3,22)，投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量的大，那么他应选择哪个方案．解析：由题意知，只需求出两个方案中“利润超过5万元”的概率哪个大，大的即为最佳选择方案．对于第一套方案ξ～N(8,32)，则μ＝8，σ＝3.于是P(8－3<ξ≤8＋3)＝P(5<ξ≤11)＝0.682 6.所以P(ξ≤5)＝12[1－P(5<ξ≤11)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7. 所以P(ξ>5)＝1－0.158 7＝0.841 3.对于第二套方案ξ－N(3,22)，则μ＝3，σ＝2.于是P(3－2<ξ≤3＋2)＝P(1<ξ≤5)＝0.682 6，所以P(ξ>5)＝12[1－P(1<ξ≤5)]＝12(1－0.682 6)＝0.158 7. 所以应选择第一方案．14．已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，某密度函数图象如图所示．(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线函数式；(2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500之间的人数百分比．解析：设农民工年均收入ξ～N(μ，σ2)，结合图象可知μ＝8 000，σ＝500.(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式P(x)＝＝，x∈(－∞，＋∞)． (2)∵P(7 500<ξ≤8 500)＝P(8 000－500<ξ≤8 000＋500) ＝0.682 6.∴P(8 000<ξ≤8 500) ＝12P(7 500<ξ≤8 500) ＝0.341 3.∴此地农民工年均收入在8 000～8 500之间的人数百分比为34.13%.。

高中数学课时跟踪检测十六正态分布新人教A版选修2-3

课时跟踪检测十六一、题组对点训练对点练一正态曲线1．以下关于正态分布密度曲线的说法中正确的个数是( )①曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交；②曲线关于直线x＝μ对称；③曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状；④曲线与x轴之间的面积为1.A．1 B．2C．3 D．4解析：选C 由正态分布密度曲线的特点，易知②③④说法正确，对于①，曲线与x轴不相交，①错误．2．把一正态曲线C1沿着横轴方向向右平移2个单位长度，得到一条新的曲线C2.下列说法中不正确的是( )A．曲线C2仍是正态曲线B．曲线C1，C2的最高点的纵坐标相等C．以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差大2 D．以曲线C2为概率密度曲线的总体的均值比以曲线C1为概率密度曲线的总体的均值大2解析：选C 正态密度函数为φμ，σ(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈(－∞，＋∞)，正态曲线对称轴为x＝μ，曲线最高点的纵坐标为φμ，σ(μ)＝12πσ，所以曲线C1向右平移2个单位长度后，曲线形状没变，仍为正态曲线，且最高点的纵坐标没变，从而σ没变，所以方差没变，而平移前后对称轴变了，即μ变了，因为曲线向右平移2个单位长度，所以均值μ增大了2个单位．故选C.3．某次市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩服从正态分布，相应的正态曲线如图所示，则下列说法中正确的是( )A．三科总体的标准差相同B．甲、乙、丙三科的总体的平均数不相同C．丙科总体的平均数最小D．甲科总体的标准差最小解析：选D 由图象知甲、乙、丙三科的平均分一样，但标准差不同，σ甲<σ乙<σ丙．故选D.对点练二正态分布下的概率计算4．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>3)＝0.012，则P (－1≤ξ≤1)＝( )A ．0.976B ．0.024C ．0.488D ．0.048解析：选C 因为随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，故其正态曲线关于直线x ＝1对称．又P (ξ>3)＝0.012，故P (ξ<－1)＝0.012，因此P (－1≤ξ≤1)＝12－P (ξ<－1)＝0.5－0.012＝0.488.5．已知随机变量X ～N (0,1)，则X 在区间[－3，＋∞)内取值的概率等于( ) A ．0.887 4 B ．0.002 6 C ．0.001 3D ．0.998 7解析：选D P (X ≥－3)＝12P (－3≤X ≤3)＋12＝0.998 7.6．已知随机变量X 服从正态分布N (2，σ2)，P (X <4)＝0.84，则P (X ≤0)等于( ) A ．0.16 B ．0.32 C ．0.68D ．0.84解析：选A 由X ～N (2，σ2)，得正态曲线的对称轴为直线x ＝2，如图所示，可知P (X ≤0)＝P (X ≥4)＝1－P (X <4)＝1－0.84＝0.16.故选A.7．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，若X 在(0,1]内取值的概率为0.4，则X 在(0,2]内取值的概率为________．解析：∵X ～N (1，σ2)，且P (0<X ≤1)＝0.4，∴P (0<X ≤2)＝2P (0<X ≤1)＝0.8. 答案：0.8对点练三正态分布的应用8．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110，25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间( )A ．(90,110]内B ．(95,125]内C ．(100,120]内D ．(105,115]内解析：选C5760＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内，即在区间(110－2×5,110＋2×5]内．9．某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________．解析：由题意知P (ξ≥2)＝0.8，P (ξ≥6)＝0.2，∴P (ξ<2)＝P (ξ≥6)＝0.2.∴正态曲线的对称轴为直线x ＝4，即P (ξ≥4)＝12，即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为12，∴两个该品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概率为12×12＝14.答案：1410．工厂制造的某零件尺寸X 服从正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，19，问在一次正常试验中，取10 000个零件时，不属于区间(3,5)这个尺寸范围内的零件大约有多少个？解：不属于区间(3,5)的概率为P (X ≤3)＋P (X ≥5)＝1－P (3<X <5)，因为X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，19，所以μ＝4，σ＝13.所以1－P (3<X <5)＝1－P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3×13<X <4＋3×13＝1－0.997 4＝0.002 6. 从而10 000×0.002 6＝26，所以不属于(3,5)这个尺寸的零件大约有26个．二、综合过关训练1．一批电阻的电阻值X (Ω)服从正态分布N (1 000,52)，现从甲、乙两箱出厂成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1 011Ω和982 Ω，可以认为( )A ．甲、乙两箱电阻均可出厂B ．甲、乙两箱电阻均不可出厂C ．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂D ．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂解析：选C ∵X ～N (1 000,52)，∴μ＝1 000，σ＝5，∴μ－3σ＝1 000－3×5＝985，μ＋3σ＝1 000＋3×5＝1 015.∵1 011∈(985,1 015)，982∉(985,1 015)， ∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂．2．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12，则该随机变量的方差等于( )A ．10B ．100C.2πD.2π解析：选C 由正态分布密度曲线上的最高点为⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12知12π·σ＝12∴D (X )＝σ2＝2π.3．为了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示．若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是( )A ．997B ．954C ．819D ．683解析：选D 由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P (58.5<X ≤62.5)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，从而属于正常情况的人数是1 000×0.682 6≈683.4．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%解析：选B P (－3<ξ<3)＝68.26%，P (－6<ξ<6)＝95.44%，则P (3<ξ<6)＝12×(95.44%－68.26%)＝13.59%.5．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，则这个正态总体的均值为________．解析：正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x ＝1对称，所以正态总体的均值为1.答案：16.某一部件由3个元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设3个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．解析：由题意得，3个电子元件的使用寿命服从正态分布N (1 000,502)，则每个元件的使用寿命超过1 000小时的概率均为12，则元件1和2的使用寿命至少有一个超过1 000小时的概率为1－12×12＝34，故该部件使用寿命超过1 000小时的概率为34×12＝38.答案：387．已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布，其密度函数图象如图所示．(1)写出此地农民工年均收入的正态分布密度函数表达式； (2)求此地农民工年均收入在8 000～8 500元的人数百分比．解：设农民工年均收入ξ～N (μ，σ2)，结合图象可知μ＝8 000，σ＝500. (1)此时农民工年均收入的正态分布密度函数表达式P (x )＝12πσe －(x －μ)22σ2＝15002πe －(x －8 000)2500 000，x ∈(－∞，＋∞)． (2)因为P (7 500＜ξ≤8 500)＝P (8 000－500<ξ≤8 000＋500)＝0.682 6. 所以P (8 000<ξ≤8 500)＝12P (7 500＜ξ≤8 500)＝0.341 3.即此地农民工年均收入在8 000～8 500元的人数占总体的34.13%. 8．在某次数学考试中，考生的成绩X 服从正态分布X ～N (90，100)． (1)试求考试成绩X 位于区间(70,110]内的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩位于区间(80,100]内的考生大约有多少人？解：∵X ～N (90,100)， ∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.954 4，而在该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X 位于区间(70,110]内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.682 6，所以考试成绩X位于区间(80,100]内的概率是0.682 6.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100]内的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．。

【配套K12】[学习]2018年秋高中数学课时分层作业16 正态分布新人教A版选修2-3

课时分层作业(十六) 正态分布(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1.设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图242所示，则有( )图242A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2A [根据正态分布的性质：对称轴方程x ＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.]2．若随机变量X 的密度函数为f (x )＝，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( )A ．p 1>p 2B ．p 1<p 2C ．p 1＝p 2D ．不确定C [由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2.]3．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)＝( )【导学号：95032208】A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.2C [因为随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，所以正态曲线关于直线x ＝2对称，又P (ξ＜4)＝0.8.∴P (ξ＞4)＝P (ξ＜0)＝0.2.故P (0＜ξ＜2)＝12[1－P (ξ＜0)－P (ξ＞4)]＝0.3.]4．设X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14，则X 落在(－3.5，－0.5]内的概率是( ) A ．95.44% B ．99.73% C ．4.56%D ．0.26%B [由X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14知μ＝－2，σ＝12，P (－3.5＜X ≤－0.5)＝P (－2－3×0.5＜X ≤－2＋3×0.5)＝0.997 3.]5．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.45%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%B [由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝0.682 7，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 5，故P (3＜ξ＜6)＝P －6＜ξ＜－P －3＜ξ＜2＝0.954 5－0.682 72＝0.135 9＝13.59%.]二、填空题6．若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________.【导学号：95032209】12 [由于随机变量X ～N (μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线X ＝μ对称，故P (X ≤μ)＝12.] 7．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，若X 在(0,1]内取值的概率为0.4，则X 在(0,2]内取值的概率为________．0.8 [∵X ～N (1，σ2)，且P (0＜X ≤1)＝0.4，∴P (0＜X ≤2＝2P (0＜X ≤1)＝0.8.] 8．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N (μ，σ2)，在一次正常的试验中，取 1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有__________________________________________________________个．3 [因为P (μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.997 3，所以不属于区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的零点个数约为1 000×(1－0.997 3)＝2.7≈3个．]三、解答题9.如图243所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．图243[解]从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.由12π·σ＝12π，得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式是f(x)＝12π·e－x－24，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.10．在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)．(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名学生，试估计考试成绩在(70,110)间的考生大约有多少人？【导学号：95032210】[解]因为X～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于X在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 5，又该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率就是0.954 5.(2)由(1)知P(70<X<110)＝0.954 5，所以估计成绩在(70,110)间的考生大约为2 000×0.954 5＝1 909(人)．[能力提升练]一、选择题1.在如图244所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )图244A ．2 387B ．2 718C ．3 414D ．4 777附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 5.C [由P (－1<X ≤1)＝0.682 7，得P (0<X ≤1)≈0.341 4，则阴影部分的面积约为0.341 4，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 41×1＝3 414.]2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间( )【导学号：95032211】A ．(90,110]内B ．(95,125]内C ．(100,120]内D ．(105,115]内C [5760＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内，即在区间(110－2×5,110＋2×5]内．二、填空题3．设随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X ＜1)＝12，P (X ＞2)＝p ，则P (0＜X ＜1)＝________.12－p [随机变量X ～N (μ，σ2)，可知随机变量服从正态分布，x ＝μ是图象的对称轴，可知P (x ＜1)＝12，P (x ＞2)＝p ，则P (0＜x ＜1)＝12－p .]4．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．1 [由题意知区间(－3，－1)与(3,5)关于直线x ＝μ对称，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x ＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.] 三、解答题5．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：图245(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E (X )．附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 5.【导学号：95032212】[解] (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 7.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 7，依题意知X ～B (100，0.682 7)，所以E (X )＝100×0.682 7≈68.27.。

高中数学课时16 2.4 正态分布作业课件 a选修23a高二选修23数学课件

套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布 N(165,52)，
则适合身高在 155～175 cm 范围内的校服大约要定制( B )
A．683 套
B．955 套
C．972 套
D．997 套
解析：∵155＝165－2×5,175＝165＋2×5，∴适合身高在 155～175 cm 范围内的校服大约要定制 1 000×95.5%＝955 套，故选 B.
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6．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交
通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从 X～N(50,102)，则他在时间段
(30,70]内赶到火车站的概率为( D )
A．0.682 6
B．0.997 4
C．0.317 4
D．0.954 4
解析：∵X～N(50,102)，μ＝50，σ＝10， ∴P(30<X≤70)＝P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4.
P(X≤2)＝P(X≥18)＝a，P(2<X≤10)＝P(10<X<18)，所以，2a＋2P(10<X<18)＝1，即 P(10<X<18)＝1－22a＝12－a.
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13．(12 分)假设每天从甲地去乙地的旅客人数 X 是服从正态分布 N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 p0.求 p0 的值．
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15．(15 分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质
量指标值的范围划分等级，如下表：
质量指标值 m m<185 185≤m<205 m≥205

2019-2020人教A版数学选修2-3 课时分层作业16 正态分布

课时分层作业(十六) 正态分布(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1.如图是正态分布N (μ，σ21)，N (μ，σ22)，N (μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)对应的曲线，则σ1，σ2，σ3的大小关系是( )A ．σ1>σ2>σ3B ．σ3>σ2>σ1C ．σ1>σ3>σ2D ．σ2>σ1>σ3A [由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ2越小，故有σ1>σ2>σ3.]2．若随机变量X ～N (1,22)，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X 等于( ) A ．4 B ．2 C.12 D ．1D [因为X ～N (1,22)，所以D (X )＝4，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14D (X )＝1.] 3．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.447B ．0.628C ．0.954D ．0.977C [∵随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，∴正态曲线关于直线x ＝0对称，又P (ξ>2)＝0.023，∴P (ξ<－2)＝0.023.∴P (－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954.]4．随机变量ξ～N (2,10)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)的概率相等，则k 等于( )A．1 B．10C．2 D．10C[∵区间(－∞，k)和(k，＋∞)关于x＝k对称，所以x＝k为正态曲线的对称轴，∴k＝2，故选C.]5．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.45%.)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%B[由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 7，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 5，故P(3＜ξ＜6)＝P(－6＜ξ＜6)－P(－3＜ξ＜3)2＝0.954 5－0.682 72＝0.135 9＝13.59%.]二、填空题6．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.12[由于随机变量X～N(μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线x＝μ对称，故P(X≤μ)＝1 2.]7．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)，若X在(0,1]内取值的概率为0.4，则X在(0,2]内取值的概率为________．0．8[∵X～N(1，σ2)，且P(0＜X≤1)＝0.4，∴P(0＜X≤2)＝2P(0＜X≤1)＝0.8.]8．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有_________个．3[因为P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.997 3，所以不属于区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的零点个数约为1 000×(1－0.997 3)＝2.7≈3个．]三、解答题9．在一次测试中，测试结果X 服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，若X 在(0,2)内取值的概率为0.2，求：(1)X 在(0,4)内取值的概率；(2)P (X >4)．[解] (1)由X ～N (2，σ2)，对称轴x ＝2，画出示意图，因为P (0<X <2)＝P (2<X <4)，所以P (0<X <4)＝2P (0<X <2)＝2×0.2＝0.4.(2)P (X >4)＝12[1－P (0<X <4)]＝12(1－0.4)＝0.3.10．生产工艺工程中产品的尺寸误差(单位：mm)X ～N (0,1.52)，如果产品的尺寸与规定的尺寸偏差的绝对值不超过1.5 mm 为合格品，求：(1)X 的密度函数；(2)生产的5件产品的合格率不小于80%的概率．[解] (1)根据题意，知X ～N (0,1.52)，即μ＝0，σ＝1.5，所以密度函数φ(x )＝11.52πe －x 24.5.(2)设Y 表示5件产品中的合格品数，每件产品是合格品的概率为P (|X |≤1.5)＝P (－1.5≤X ≤1.5)＝0.682 7，而Y ～B (5,0.682 7)，合格率不小于80%，即Y ≥5×0.8＝4，所以P (Y ≥4)＝P (Y ＝4)＋P (Y ＝5)＝C 45×0.682 74×(1－0.682 7)＋0.68275≈0.492 9.[能力提升练]1．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )A．2 387 B．2 718C．3 414 D．4 777附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5.C[由P(－1<X≤1)＝0.682 7，得P(0<X≤1)≈0.341 4，则阴影部分的面积约为0.341 4，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 41×1＝3 414.]2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间()A．(90,110]内B．(95,125]内C．(100,120]内D．(105,115]内C[5760＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内，即在区间(110－2×5,110＋2×5]内．]3．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．1[由题意知区间(－3，－1)与(3,5)关于直线x＝μ对称，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.]4．已知正态分布N(μ，σ2)的密度曲线是f(x)＝12πσ·e－(x－μ)22σ2，x∈R的图象．给出以下四个命题：①对任意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②如果随机变量X服从N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函数；③如果随机变量X服从N(108,100)，那么X的期望是108，标准差是100；④随机变量X服从N(μ，σ2)，P(X<1)＝12，P(X>2)＝p，则P(0<X<2)＝1－2p.其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)①②④ [如果随机变量X ～N (108,100)，所以μ＝108，σ2＝100，即σ＝10，故③错，故①正确，由正态分布密度函数性质以及概率的计算知②④正确，故填①②④.]5．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E (X )．附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)≈0.954 5.[解] (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为x－＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.682 7.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 7，依题意知X～B(100，0.682 7)，所以E(X)＝100×0.682 7＝68.27.。

数学选修2-3 课时分层作业16 正态分布

课时分层作业(十六)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1.设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图2-4-2所示，则有()图2-4-2A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2A[根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示正态曲线的形状．由题图可得，选A.]2．若随机变量X的密度函数为f(x)＝，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为()A．p1>p2B．p1<p2C．p1＝p2D．不确定C[由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x＝0对称，所以p1＝p2.]3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝()A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2C[因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，所以正态曲线关于直线x＝2对称，又P (ξ＜4)＝0.8.∴P (ξ＞4)＝P (ξ＜0)＝0.2.故P (0＜ξ＜2)＝12[1－P (ξ＜0)－P (ξ＞4)]＝0.3.]4．设X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14，则X 落在(－3.5，－0.5]内的概率是( ) A ．95.44%B ．99.73%C ．4.56%D ．0.26%B [由X ～N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14知μ＝－2，σ＝12，P (－3.5＜X ≤－0.5)＝P (－2－3×0.5＜X ≤－2＋3×0.5)＝0.997 3.]5．已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.27%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.45%.)A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%B [由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝0.682 7，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 5，故P (3＜ξ＜6)＝P (－6＜ξ＜6)－P (－3＜ξ＜3)2＝0.954 5－0.682 72＝0.135 9＝13.59%.] 二、填空题6．若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (X ≤μ)＝________.12[由于随机变量X ～N (μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线X ＝μ对称，故P (X ≤μ)＝12.]7．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，若X 在(0,1]内取值的概率为0.4，则X 在(0,2]内取值的概率为________．0.8 [∵X ～N (1，σ2)，且P (0＜X ≤1)＝0.4，∴P (0＜X ≤2＝2P (0＜X ≤1)＝0.8.]8．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N (μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件可能有__________________________________________________________个．3[因为P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.997 3，所以不属于区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的零点个数约为1 000×(1－0.997 3)＝2.7≈3个．]三、解答题9.如图2-4-3所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．图2-4-3[解]从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.由12π·σ＝12π，得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式是f(x)＝12π·e－(x－20)24，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2.10．在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X～N(90,100)．(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名学生，试估计考试成绩在(70,110)间的考生大约有多少人？[解]因为X～N(90,100)，所以μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于X在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 5，又该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率就是0.954 5.(2)由(1)知P(70<X<110)＝0.954 5，所以估计成绩在(70,110)间的考生大约为2 000×0.954 5＝1 909(人)．[能力提升练]一、选择题1.在如图2-4-4所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()图2-4-4A．2 387B．2 718C．3 414 D．4 777附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 5.C[由P(－1<X≤1)＝0.682 7，得P(0<X≤1)≈0.341 4，则阴影部分的面积约为0.341 4，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×0.341 41×1＝3 414.]2．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,25)．据此估计，大约应有57人的分数在区间()A．(90,110]内B．(95,125]内C．(100,120]内D．(105,115]内C[5760＝0.95，故可得大约应有57人的分数在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内，即在区间(110－2×5,110＋2×5]内．二、填空题3．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X＜1)＝12，P(X＞2)＝p，则P(0＜X＜1)＝________.12－p[随机变量X～N(μ，σ2)，可知随机变量服从正态分布，x＝μ是图象的对称轴，可知P(x＜1)＝12，P(x＞2)＝p，则P(0＜x＜1)＝12－p.]4．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．1 [由题意知区间(－3，－1)与(3,5)关于直线x ＝μ对称，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x ＝1对称，所以正态分布的数学期望为1.]三、解答题5．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：图2-4-5(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E (X )．附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 5.[解] (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －和样本方差s 2分别为 x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 7.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 7，依题意知X～B(100，0.682 7)，所以E(X)＝100×0.682 7≈68.27.。

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