[精品]四川省成都市高中数学 第一章 第7课时 函数的极值与导数同步测试 新人教A版选修2-2
第一章_导数测试卷
导数测试卷第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每一小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、对可导函数,在一点两侧的导数异号是这点为极值点的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2、设)(x f 是可导函数，且='=∆-∆-→∆)(,2)()2(lim0000x f xx f x x f x 则 （ ）A ．21B ．－1C ．0D ．－2 3、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++=4、已知3)2(3123++++=x b bx x y 是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是 ( )A. 21>-<b b ，或 B. 21≥-≤b b ，或 C. 21<<-b D. 21≤≤-b5、已知函数322+-=x x y 在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 ( )A ．),1[+∞B ．[0，2]C ．]2,(-∞D ．[1，2]6、f /（x ）是f （x ）的导函数，f /（x ）的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）7、下列说法正确的是 ( ) A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大; B. 函数在闭区间上的最大值一定是极大值; C. 对于12)(23+++=x px x x f ,若6||<p ,则)(x f 无极值;D.函数)(x f 在区间),(b a 上一定存在最值.8、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为（ ）A.)3,3(-B.)11,4(-C. )3,3(-或)11,4(-D.不存在9、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f ' 在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个 D. 4个10、函数)100()2)(1()(-⋅⋅⋅--=x x x x x f 在0=x 处的导数值为( ) A. 0 B. 2100 C. 200 D. 100! 一、 选择题：（5*10=50分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
四川省成都市七中2023-2024学年高一数学第一学期期末调研试题含解析
【详解】 函数的最大值为 5 ，最小值为 1 ，
2
2
A
1 2
5
2
1 2
3 2
，
k
1 2
5 2
1 2
1，
又
函数的周期 T
2
7 12
12
，
2 ，得 w 2 . w
可得函数的表达式为 y 3 sin(2x ) 1， 2
当 x 时，函数有最大值 5 ，
12
2
5 2
3 2
sin
2x
3
1
D.
y
sin
2x
3
1
8．函数
f
x
3cos
2x
6
的一条对称轴是（）
A. x 6
B. x 12
C. x 4
D. x 3
9．若幂函数的图象过点
，则它的单调递增区间是( )
A.(0，＋∞)
B.[0，＋∞)
C.(－∞，＋∞)
D.(－∞，0)
10．直线 kx y k 0k R 与圆 x2 y2 2 交点的个数为
故选：B
9、D
【解析】设幂函数为 y=xa，把点(2, 1 )代入，求出 a 的值，从而得到幂函数的方程，再判断幂函数的单调递增区间. 4
【详解】设 y＝xa，则 1 ＝2a，解得 a＝－2， 4
∴y＝x－2 其单调递增区间为(－∞，0)
故选 D.
【点睛】本题考查了通过待定系数法求幂函数的解析式,以及幂函数的主要性质. 10、A
四川省成都市七中 2023-2024 学年高一数学第一学期期末调研试题
注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑 色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
(整理)导数计算、单调性、极值练习题.
一、导数意义１、若k x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim000，则xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim000等于（ ） A ．k 2 B ．k C ．k 21D ．以上都不是解：由于xx f x x f x ∆-∆⋅+→∆)()2(lim 00022)()2(lim 000⋅∆⋅-∆⋅+=→∆xx f x x f xk xx f x x f x 22)()2(lim 2000=∆⋅-∆⋅+⋅=→∆，应选A2、xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 000；解：原式＝)()()(lim000x x f x x f x ∆---∆-→∆)()()(lim0000x f xx f x x f x '-=∆--∆--=→∆3．.2)()(lim000hh x f h x f h --+→解：原式＝hh x f x f x f h x f h 2)()()()(lim 00000--+-+→[]).()()(21)()(lim )()(lim 21000000000x f x f x f h x f h x f h x f h x f h h '='+'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-+=→→4．若2)(0='x f ，则kx f k x f k 2)()(lim000--→等于（ ）A ．－1B ．－2C ．－1D ．21解：[]2)()(lim )(0000=---+='→kx f k x f x f k （含k x -=∆）， ∴kx f k x f k 2)()(lim 000--→ [])(21)()((lim 210000x f k x f k x f k '-=---+-=→.1221-=⨯-=故选A ．二、初等函数的导数 （1）'()0c =； （2）()()10x xαααα-'=≠；例子()112211,x x x x ''-⎛⎫⎛⎫='=-'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）'()x xe e =； （4）'()(ln )(0,1)x xa a a a a =>≠；（5）'1(ln )(0)x x x =>； （6）'1(log )(0,1,0)ln x a a x x a=>≠>； （7）'(sin )cos x x =； （8）'(cos )sin x x =-； 三、导数的运算法则： （1）''(())()cf x cf x =；（2）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±； （3）'''(()())()()()()f x g x f x g x f x g x =+；（4）''21()()(()0)()()f x f x f x f x =-≠； （5）'''2()()()()()()(()0)()(())f x f xg x f x g x f x g x f x -=≠；1、求下列函数的导数：1、y=x 42、y=e 53、y=5x4、y=tan x5、f(x)=3-2x6、H(t)=-2t 2+6t-59、()5322361p x x x x x =-++- 10、()sin cos T x x x =-11、4()32tan xu x x e x =+ 12、2()log cot f x x x =+2、计算 1、'2、()lg x '3、cos sin x x '⎛⎫ ⎪⎝⎭4、()3ln x x '5、()sin x e x '6、()2tan xx '7、a x a x '-⎛⎫ ⎪+⎝⎭ 8、1sin tan cos x x x '⎛⎫- ⎪⎝⎭3、求下列各函数的导数 （1）ln y x x =（2）ln ny x x =（3）log ay =（4）11x y x +=-（5）251xy x =+（6）232xy x x=--235y x x =-+1y x =+2222x y x=+3y =(y x =+()()y x a x b =--4、求下列各函数的导数 （1）sin cos y x x x =+（2）1cos x y x =-（3）tan tan y x x x =-（4）5sin 1cos x y x =+（1）25(1)y x =+ （2）2(23y x =+（3）y(4)y =(5) 2log (1)a y x =+(6) y =(7) y =(8) sin y nx =(9) sin ny x =(10) sin ny x =(11) ln tan2x y =(12)21siny x x =四、研究函数的单调性、极值、最值一、求下列函数的导数，并根据导数的正负指出函数的递增和递减区间. 1、()32f x x =- 2、1()f x x x=+3、()f x x =-4、1()ln f x x x=-5、()sin cos f x x x =+6、()(1)(2)f x x x x =--二、指出下列函数的单调区间和极值点1、32()332f x x x x =-+- 2、32()35411g x x x x =-+-+三、求下列函数在指定的闭区间的最大值和最小值.1、32()2174228F x x x x =-+-， [1,5]2、2()(43)x G x e x x =-+，[-3,2]4、函数32()23f x x x =-+在[1,1]-上的最大值是 ，与最小值是 。
教育最新K12四川省成都市高中数学 第一章 导数及其应用 第1课时 变化率问题与导数的概念同步测试 新人教A版
第1课时变化率问题与导数的概念基础达标(水平一)1.函数y=f(x)的自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy等于().A.f(x0+Δx)B.f(x0)+ΔxC.f(x0)·ΔxD.f(x0+Δx)-f(x0)【解析】自变量x0和x0+Δx对应的函数值分别为f(x0)和f(x0+Δx),两式相减,即为函数值的改变量.【答案】D2.已知函数f(x)=ax+4,若=2,则实数a的值为().A.2B.-2C.3D.-3【解析】=2,即f'(1)=2,而f'(1)==a,所以a=2.【答案】A3.已知函数f(x)=2x2+1的图象上点P(1,3)及邻近点Q(1+Δx,3+Δy),则=().A.4B.4ΔxC.4+2ΔxD.2Δx【解析】由题意,Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2+1-3=4Δx+2(Δx)2,∴==4+2Δx.【答案】C4.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是().A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度【解析】在0到t0范围内,甲、乙所走的路程相同,时间一样,所以平均速度相同;在t0到t1范围内,甲、乙所用的时间相同,而甲走的路程较多,所以甲的平均速度较大.【答案】C5.函数y=cos x在区间上的平均变化率为;在区间上的平均变化率为.【解析】当x∈时,==;当x∈时,===-.因此,y=cos x在区间和区间上的平均变化率分别是和-.【答案】-6.过曲线y=x2+1上两点P(1,2)和Q(1+Δx,2+Δy)作曲线的割线,当Δx=0.1时,割线的斜率k= .【解析】割线的斜率k===2+Δx.当Δx=0.1时,k=2.1.【答案】2.17.在某赛车比赛中,一赛车位移s(单位:m)与比赛时间t(单位:s)存在函数关系s=10t+5t2.(1)当t=20,Δt=0.1时,求Δs与的值;(2)求当t=20时的瞬时速度.【解析】(1)Δs=s(20+Δt)-s(20)=10×(20+0.1)+5×(20+0.1)2-10×20-5×202=1+20+5×0.01=21.05 m,==210.5 m/s.(2)因为==5Δt+210,当Δt趋于0时,趋于210,所以赛车在t=20时的瞬时速度为210 m/s.拓展提升(水平二)8.已知函数f(x)在x=1处存在导数,则=().A.f'(1)B.3f'(1)C.f'(1)D.f'(3)【解析】==f'(1).【答案】C9.已知点P(x0,y0)是抛物线y=3x2+6x+1上的一点,且f'(x0)=0,则点P的坐标为().A.(1,10)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(-1,10)【解析】∵===3Δx+6x0+6,∴f'(x0)== (3Δx+6x0+6)=6x0+6=0,解得x0=-1.把x0=-1代入y=3x2+6x+1,得y=-2.∴点P的坐标为(-1,-2).【答案】B10.设函数f(x)=ax+b,若f(1)=f'(1)=2,则f(2)= .【解析】由导数的定义可知f'(1)====a.∵f'(1)=2,∴a=2.又f(1)=2,∴a+b=2,∴b=0,∴f(x)=2x,f(2)=4.【答案】411.已知函数f(x)=x+(x>0).(1)记函数f(x)从x=到x=2的平均变化率为。
有关函数的极值与导数的测试题及答案
有关函数的极值与导数的测试题及答案一、选择题1．已知函数fx在点x0处连续，下列命题中，正确的是A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极小值C．如果在点x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值D．如果在点x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极大值[答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点，例如fx＝x3，fx＝3x2，f0＝0，但x＝0不是fx的极值点，故A错；由极值的定义可知C正确，故应选C.2．函数y＝1＋3x－x3有A．极小值－2，极大值2B．极小值－2，极大值3C．极小值－1，极大值1D．极小值－1，极大值3[答案] D[解析] y＝3－3x2＝31－x1＋x令y＝0，解得x1＝－1，x2＝1当x－1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当－11时，y0，函数y＝1＋3x－x3是增函数，当x1时，y0，函数y＝1＋3x－x3是减函数，当x＝－1时，函数有极小值，y极小＝－1.当x＝1时，函数有极大值，y极大＝3.3．设x0为fx的极值点，则下列说法正确的是A．必有fx0＝0B．fx0不存在C．fx0＝0或fx0不存在D．fx0存在但可能不为0[答案] C[解析] 如：y＝|x|，在x＝0时取得极小值，但f0不存在．4．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．5．对于函数fx＝x3－3x2，给出命题：①fx是增函数，无极值；②fx是减函数，无极值；③fx的’递增区间为－，0，2，＋，递减区间为0,2；④f0＝0是极大值，f2＝－4是极小值．其中正确的命题有A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案] B[解析] fx＝3x2－6x＝3xx－2，令fx0，得x2或x0，令fx0，得02，①②错误． 6．函数fx＝x＋1x的极值情况是A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2[答案] D[解析] fx＝1－1x2，令fx＝0，得x＝1，函数fx在区间－，－1和1，＋上单调递增，在－1,0和0,1上单调递减，当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.7．函数fx的定义域为开区间a，b，导函数fx在a，b内的图象如图所示，则函数fx在开区间a，b内有极小值点A．1个 B．2个C．3个 D．4个[答案] A[解析] 由fx的图象可知，函数fx在区间a，b内，先增，再减，再增，最后再减，故函数fx在区间a，b内只有一个极小值点．8．已知函数y＝x－ln1＋x2，则函数y的极值情况是A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值[答案] D[解析] ∵y＝1－11＋x2x2＋1＝1－2xx2＋1＝x－12x2＋1令y＝0得x＝1，当x1时，y0，当x1时，y0，函数无极值，故应选D.9．已知函数fx＝x3－px2－qx的图象与x轴切于1,0点，则函数fx的极值是 A．极大值为427，极小值为0B．极大值为0，极小值为427C．极大值为0，极小值为－427D．极大值为－427，极小值为0[答案] A[解析] 由题意得，f1＝0，p＋q＝1①f1＝0，2p＋q＝3②由①②得p＝2，q＝－1.fx＝x3－2x2＋x，fx＝3x2－4x＋1＝3x－1x－1，令fx＝0，得x＝13或x＝1，极大值f13＝427，极小值f1＝0.10．下列函数中，x＝0是极值点的是A．y＝－x3 B．y＝cos2xC．y＝tanx－x D．y＝1x[答案] B[解析] y＝cos2x＝1＋cos2x2，y＝－sin2x，x＝0是y＝0的根且在x＝0附近，y左正右负，x＝0是函数的极大值点．二、填空题11．函数y＝2xx2＋1的极大值为______，极小值为______．[答案] 1－1[解析] y＝21＋x1－xx2＋12，令y0得－11，令y0得x1或x－1，当x＝－1时，取极小值－1，当x＝1时，取极大值1.12．函数y＝x3－6x＋a的极大值为____________，极小值为____________．[答案] a＋42 a－42[解析] y＝3x2－6＝3x＋2x－2，令y0，得x2或x－2，令y0，得－22，当x＝－2时取极大值a＋42，当x＝2时取极小值a－42.13．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a ＝______，b＝________.[答案] －3－9[解析] y＝3x2＋2ax＋b，方程y＝0有根－1及3，由韦达定理应有14．已知函数fx＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．[答案] －2,2[解析] 令fx＝3x2－3＝0得x＝1，可得极大值为f－1＝2，极小值为f1＝－2，y＝fx的大致图象如图观察图象得－22时恰有三个不同的公共点．三、解答题15．已知函数fx＝x3－3x2－9x＋11.1写出函数fx的递减区间；2讨论函数fx的极大值或极小值，如有试写出极值．[解析] fx＝3x2－6x－9＝3x＋1x－3，令fx＝0，得x1＝－1，x2＝3.x变化时，fx的符号变化情况及fx的增减性如下表所示：x －，－1 －1 －1,3 3 3，＋fx ＋ 0 － 0 ＋fx 增极大值f－1 减极小值f3 增1由表可得函数的递减区间为－1,3；2由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f－1＝16；当x＝3时，函数有极小值为f3＝－16.16．设函数fx＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f1＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．[解析] fx＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝1是函数的极值点，－1、1是方程fx＝0的根，即有又f1＝－1，则有a＋b＋c＝－1，此时函数的表达式为fx＝12x3－32x.fx＝32x2－32.令fx＝0，得x＝1.当x变化时，fx，fx变化情况如下表：x －，－1 －1 －1,1 1 1，＋fx ＋ 0 － 0 ＋fx ? 极大值1 ? 极小值－1 ?由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1.17．已知函数fx＝ax3＋bx2－3x在x＝1处取得极值．1讨论f1和f－1是函数fx的极大值还是极小值；2过点A0,16作曲线y＝fx的切线，求此切线方程．[解析] 1fx＝3ax2＋2bx－3，依题意，f1＝f－1＝0，即解得a＝1，b＝0.fx＝x3－3x，fx＝3x2－3＝3x－1x＋1．令fx＝0，得x1＝－1，x2＝1.若x－，－11，＋，则fx＞0，故fx在－，－1上是增函数，fx在1，＋上是增函数．若x－1,1，则fx＜0，故fx在－1,1上是减函数．f－1＝2是极大值；f1＝－2是极小值．2曲线方程为y＝x3－3x.点A0,16不在曲线上．设切点为Mx0，y0，则点M的坐标满足y0＝x30－3x0.∵fx0＝3x20－1，故切线的方程为y－y0＝3x20－1x－x0．注意到点A0,16在切线上，有16－x30－3x0＝3x20－10－x0．化简得x30＝－8，解得x0＝－2.切点为M－2，－2，切线方程为9x－y＋16＝0.18．2021北京文，18设函数fx＝a3x3＋bx2＋cx＋da0，且方程fx－9x＝0的两个根分别为1,4.1当a＝3且曲线y＝fx过原点时，求fx的解析式；2若fx在－，＋内无极值点，求a的取值范围．[解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用．由fx＝a3x3＋bx2＋cx＋d得fx＝ax2＋2bx＋c∵fx－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的两根为1,4.1当a＝3时，由*式得，解得b＝－3，c＝12.又∵曲线y＝fx过原点，d＝0.故fx＝x3－3x2＋12x.2由于a0，所以“fx＝a3x3＋bx2＋cx＋d在－，＋内无极值点”等价于“fx＝ax2＋2bx＋c0在－，＋内恒成立”由*式得2b＝9－5a，c＝4a.又∵＝2b2－4ac＝9a－1a－9解得a[1,9]，即a的取值范围[1,9]．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
(精校版)(精品)高中数学必修1全套同步练习册
1。1。3（2）集合的基本运算（补集及综合运算)
1．设全集 U＝R，A＝｛x｜0≤x≤6｝，则∁RA＝（ ）． A．｛ 0，1，2，3，4,5,6} B．｛x|x<0 或 x〉6}
C．｛x｜0<x〈6}
D．｛x|x≤0 或 x≥6}[来源:学科网 ZXXK]
2．已知全集 U＝｛2,5 ，8｝，且∁UA＝｛2},则集合 A 的真子集个数为（ ）．
4．直线 y＝2x＋1 与 y 轴的交点所组成的集合为（ ）．［来源：学§科§网 Z§X§X§K］
A．{0,1}
B．{(0，1）}
C。Error!
D. {(1f，0）｝）
5．集合 A＝｛y|y＝x2＋1｝，集合 B＝{（x，y）|y＝x2＋1｝（A、B 中 x∈R，y∈R ）．选项中元
素与集合的关系都正确的是（ ）．
9．以方程 x2－5x＋6＝0 和方程 x2－x－2＝0 的解为元素的集合中共有________个元素．
10．设 1,0， x 三个元素构成集合 A，若 x2∈A，求实数 x 的值．
11．已知集合 M 中含有三个元素 2, a，b，集合 N 中含有三个元素 2a ，2，b2，且 M＝N，求 a，b 的值．
A．3
B．4
C．5
D．6
3．若 A 为全体正实数的集合，B＝{－2，－1，1，2}，则下列结论中正确的是（ )．
A．A∩B＝｛－2,－1}
B．（∁RA)∪B＝{－2，－ 1，1｝
C．A∪B＝{1,2}
D．(∁RA）∩B＝｛－2，－1｝
4．在如图中 ， 用阴影表示出集合（∁UA)∩(∁U B)．
5．已知 U 为全集，集合 M、N 是 U 的子集，若 M∩N＝N，则（ )．
2019-2020年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数学业分层测评含解析新人教A版
2019-2020年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数学业分层测评含解析新人教A 版一、选择题1．下列结论中，正确的是( ) A ．导数为零的点一定是极值点B ．如果在x 0点附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值C ．如果在x 0点附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极小值D ．如果在x 0点附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极大值【解析】 根据极值的概念，左侧f ′(x )>0，单调递增；右侧f ′(x )<0，单调递减，f (x 0)为极大值．【答案】 B2．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点【解析】 f ′(x )＝1x －2x 2，令f ′(x )＝0，即1x －2x2＝0，得x ＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0.因此x ＝2为f (x )的极小值点，故选D. 【答案】 D3．(2016·烟台高二检测)已知函数f (x )＝x 2－2(－1)k ln x (k ∈N *)存在极值，则k 的取值集合是( )A ．{2,4,6,8，…}B ．{0,2,4,6,8，…}C ．{1,3,5,7，…}D ．N *【解析】 ∵f ′(x )＝2x －－kx且x ∈(0，＋∞)，令f ′(x )＝0，得x 2＝(－1)k，(*)要使f (x )存在极值，则方程(*)在(0，＋∞)上有解． ∴(－1)k>0，又k ∈N *，∴k ＝2,4,6,8，…， 所以k 的取值集合是{2,4,6,8，…}．【答案】 A4．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 【解析】 f ′(x )＝13－1x ＝x －33x ，令f ′(x )＝0，得x ＝3，当0<x <3时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间(0,3)上为减函数．又f (1)＝13>0，f (e)＝e 3－1<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e＋1>0，所以y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．【答案】 D5．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有且只有一个极小值，则( ) A ．0<b <1 B ．b <1 C ．b >0D ．b <12【解析】 f ′(x )＝3x 2－3b ，要使f (x )在(0,1)内有极小值，则⎩⎪⎨⎪⎧f＜0，f ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3b ＜0，3－3b ＞0，解得0<b <1.【答案】 A 二、填空题6．函数f (x )＝x 3－3x 2＋1在x ＝__________处取得极小值. 【解析】 由f (x )＝x 3－3x 2＋1， 得f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；当x ∈(－∞，0)和(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数． 故当x ＝2时，函数f (x )取得极小值． 【答案】 27．已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是________ .【解析】 由题知，x ＞0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，即函数y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点(x ＞0)，则a ＞0；设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0,1＋ln x 0)处的切线为l ，则k l ＝y ′＝1x 0，当l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0x 0⇒x 0＝1，令2a ＝1⇒a ＝12，结合图象(略)知0＜a ＜12.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫0，128．(2016·石家庄高二检测)若函数f (x )＝x 3＋x 2－ax －4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为________．【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2＋2x －a ， 函数f (x )在区间(－1,1)上恰有一个极值点， 即f ′(x )＝0在(－1,1)内恰有一个根． 又函数f ′(x )＝3x 2＋2x －a 的对称轴为x ＝－13.∴应满足⎩⎪⎨⎪⎧f－，f ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2－a ≤0，3＋2－a >0，∴1≤a <5. 【答案】 [1,5)三、解答题9．已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求实数a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值． 【解】 (1)y ′＝3ax 2＋2bx .由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧f＝3，f ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝3，3a ＋2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9.(2)由(1)知y ＝－6x 3＋9x 2.所以y ′＝－18x 2＋18x ＝－18x (x －1)． 令y ′＝0，解得x 1＝1，x 2＝0.所以当x <0时，y ′<0；当0<x <1时，y ′>0； 当x >1时，y ′<0.所以当x ＝0时，y 有极小值，其极小值为0.10．(2016·太原高二检测)已知函数f (x )＝1＋ln x x ，若函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值，求实数a 的取值范围．【解】 因为f (x )＝1＋ln xx，x >0，则f ′(x )＝－ln x x2，当0<x <1时，f ′(x )>0， 当x >1时，f ′(x )<0.所以f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极大值．因为函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫a ，a ＋12(其中a >0)上存在极值， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a <1，a ＋12>1，解得12<a <1.[能力提升]1．(2016·哈尔滨高二检测)已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴相切于(1,0)点，则f (x )( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为427，极小值为－427【解析】 f ′(x )＝3x 2－2px －q ，依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧f＝0，f ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－p －q ＝0，3－2p －q ＝0，解得p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝13.∴当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，f ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，∴当x ＝13时，函数有极大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13＝427，当x ＝1时，函数有极小值，f (1)＝1－2＋1＝0， 故选A. 【答案】 A2．如图138是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )图138A.23 B.43 C.83D.123【解析】 函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d ＝0，b ＋c ＋1＝0,4b ＋2c ＋8＝0，则b ＝－3，c ＝2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3x 2－6x ＋2，且x 1，x 2是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的实根，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.【答案】 C3．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是__________．【解析】 由题意，知f ′(x )＝3x 2－3a ，令f ′(x )＝0，得x ＝±a . 因为函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a >0)的极大值为6，极小值为2，所以f (a )＝2，f (－a )＝6，即(a )3－3a a ＋b ＝2，(－a )3＋3a a ＋b ＝6，解得a ＝1，b ＝4.所以f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )<0，解得－1<x <1， 所以f (x )的单调递减区间是(－1,1)． 【答案】 (－1,1)4．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值. 【解】 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)． 由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝x －x －x.令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数； 当2<x <3时，f ′(x )<0， 故f (x )在(2,3)上为减函数．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.。
2023-2024学年四川省成都市高数学高一上期末监测试题含解析
AD AB BD AB 2 BC AB 2 (AC AB) 1 AB 2 AC ，
3
3
33
又 AD mAB nAC ，
∴ m 1 , n 2 ，故 m 1 ．选 A 3 3 n2
3、C
【解析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值
【详解】幂函数 f x x 的图象过点 (2,8) ，
即方程 a2 x2 a2 a x 1 0 有两个同号的实数根，因为 mn 1 0 ，所以只需要 a2
a2 a 2 4a2 0 a 3 或 a 1 ，
又
m
n
a2 a2
a
a 1 a ，所以
n
m
mn
1 a2
m n2 4mn
a
2 a2
a
2
4 a2
3
1 a
22．已知函数 f x loga 1 x loga 1 x （ a 0 ，且 a 1）. （1）写出函数 f x 的定义域，判断 f x 奇偶性，并证明；
（2）解不等式 f x 0 .
参考答案
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案涂在答题卡上.） 1、C
【详解】由题意， y
a2
a a2x
x
1
a 1 a
1 a2x
在 ,0
和 0,
上均是增函数，而函数
f
x 在“黄金区间”
[m, n] 上单调，所以[m, n] ,0 或[m, n] 0, ，且
f
x 在[m, n]
上单调递增，故
f m f n
m n
，即
m, n
为
四川省成都市高中数学 第一章 集合与函数综合检测 新人教A版必修1
第一章集合与函数的概念章末小结一、选择题1.满足条件M∪{1}={1,2,3}的集合M的个数是().A.4B.3C.2D.1【解析】∵M∪{1}={1,2,3},∴M={2,3}或{1,2,3}.【答案】C2.已知函数f(x)f(f(3))=().A.4B.9C.-3D.-2【解析】∵3>0,∴f(3)=1-3=-2.又-2<0,∴f(f(3))=f(-2)=(1+2)2=9.【答案】B3.若函数y=f(x)的定义域为集合A={x|0≤x≤2},值域为集合B={y|1≤y≤2},则这个函数的图象可能是().【解析】由函数定义知,A不合定义域要求,B中y值的取值不唯一,C不合值域要求,故选D.【答案】D4.已知y=f(x)是偶函数,且f(4)=5,则f(4)+f(-4)的值为().A.56B.10C.8D.不确定【解析】∵y=f(x)是偶函数,∴f(-4)=f(4)=5,∴f(4)+f(-4)=10.【答案】B5.如图,对应关系f是从A到B的映射的是().【解析】A选项中元素4,9在集合B中对应的元素不唯一,故不能构成A到B的映射,B,C选项中元素0在集合B中没有对应的元素,故选D.【答案】D6.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),0,则().A.f(3)<f(-2)<f(1)B.f(1)<f(-2)<f(3)C.f(-2)<f(1)<f(3)D.f(3)<f(1)<f(-2)【解析】若x2-x1>0,则f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1),∴f(x)在[0,+∞)上是减函数.∵3>2>1,∴f(3)<f(2)<f(1).又f(x)是偶函数,∴f(-2)=f(2),∴f(3)<f(-2)<f(1),故选A.【答案】A7.函数f(x)().【解析】因为f(x)C.【答案】C8.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8,则f(x)的解析式是().A.f(x)=9x+8B.f(x)=3x+2C.f(x)=-3x-4D.f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4【解析】∵f(3x+2)=9x+8=3(3x+2)+2,∴f(x)=3x+2.【答案】B9.已知f(x)为奇函数,在[3,6]上单调递增,且在[3,6]上的最大值为8,最小值为-1,则2f(-6)+f(-3)等于().A.-15B.-13C.-5D.5【解析】因为函数f(x)在[3,6]上是增函数,所以f(6)=8,f(3)=-1.又因为函数为奇函数,所以2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15.【答案】A10.已知函数f(x)=ax2+2(a-3)x+1在区间[-2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是().A.(-∞,3]B.[-3,0]C.[-3,0)D.[-2,0]【解析】当a=0时,函数f(x)为R上的减函数,所以在[-2,+∞)上也是减函数;当a≠0时,函数f(x)图象的对称轴为直线依题意有-3≤a<0.综上,实数a的取值范围为[-3,0].故选B.【答案】B11.已知函数f(x)是定义在[0,+∞)上的增函数,则满足f(2x-1)x的取值范围是().A BC D故选D.【答案】D12.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=x+2,则不等式2f(x)-1<0的解集是().ABCD【解析】因为f(x)为奇函数,所以当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-f(x)=-x+2,即f(x)=x-2.当x<0时,f(x)=x+2,由2f(x)-1<0,得2(x+2)-1<0,解得当x≥0时,f(x)=x-2,由2f(x)-1<0,得2(x-2)-1<0,解得综上可知,【答案】B二、填空题13.函数f(x)的定义域为.x≥-1且x≠2.∴函数的定义域是[-1,2)∪(2,+∞).【答案】[-1,2)∪(2,+∞)14.已知集合A={x|x≥2},B={x|x≥m},且A∪B=A,则实数m的取值范围是.【解析】∵A∪B=A,即B⊆A,∴实数m的取值范围为[2,+∞).【答案】[2,+∞)15.已知函数f(x)是奇函数,当1≤x≤4时,f(x)=x2-4x+5,则当-4≤x≤-1时,函数f(x)的最大值是.【解析】当1≤x≤4时,f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1,其最小值为1.又函数f(x)是奇函数,∴当-4≤x≤-1时,函数f(x)的最大值为-1.【答案】-116.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,若f(-1)=0,0的解集为.【解析】∵f(x)是定义在R上的偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,f(1)=f(-1)=0.当x>0,f(x)<0时,解得x>1;当x<0,f(x)>0时,解得-1<x<0.故原不等式的解集为{x|-1<x<0或x>1}.【答案】{x|-1<x<0或x>1}三、解答题17.设A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+2=0},B⊆A.(1)写出集合A的所有子集;(2)若B为非空集合,求a的值.【解析】(1)由题可知A={1,2},所以集合A的所有子集是⌀,{1},{2},{1,2}.(2)因为B是非空集合,所以当集合B中只有一个元素时,由Δ=0,得a2-8=0,即a=±此时B=或{不满足B⊆A.当集合B中有两个元素时,由A=B,得a=3,综上可知,a的值为3.18.已知函数f(x)(1)求f(f(-1))的值.(2)若f(x0)>2,求实数x0的取值范围.【解析】(1)因为f(-1)=-(-1)+3=4,所以f(f(-1))=f(4)=4×4=16.(2)当x0≤0时,由f(x0)>2,得-x0+3>2,即x0<1,此时x0≤0;当x0>0时,由f(x0)>2,得4x0>2,即x0综上可得,实数x0的取值范围为(-∞19.已知全集为R,集合B={x|a-2<x≤a+3}.(1)当a=0时,求(R A)∩B;(2)若A∪B=B,求实数a的取值范围.【解析】(1)要使,0<x≤2,∴A=(0,2],∴R A=(-∞,0]∪(2,+∞).当a=0时,B=(-2,3],∴(R A)∩B=(-2,0]∪(2,3].(2)∵A∪B=B,∴A⊆B.∵A=(0,2],-1≤a≤2.故实数a的取值范围为[-1,2].20.某省两相邻重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车.已知该车每次拖4节车厢,一天能来回16次,若每次拖7节车厢,则每天能来回10次.(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式.(2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客110人.问:这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数.【解析】(1)设每天来回y次,每次挂x节车厢,由题意设y=kx+b.当x=4时,y=16,当x=7时,y=10,所以16=4k+b,10=7k+b,解得k=-2,b=24,所以y=-2x+24.(2)设每天运营S节车厢,则S=xy=x(-2x+24)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72,所以当x=6时,S max=72,此时y=12,则每日最多运营人数为110×72=7920.故这列火车每天来回12次,才能使运营人数最多,每天最多运营人数为7920.21.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)若在区间[-1,1]上函数g(x)=f(x)-(2x+m)的图象与x轴无交点,求实数m的取值范围.【解析】(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∵f(0)=1,∴c=1,∴f(x)=ax2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x,∴2ax+a+b=2x,(x)=x2-x+1.(2)由题意知函数g(x)在[-1,1]上的最小值大于0.∵g(x)=x2-3x+1,其图象的对称轴为直线∴g(x)在区间[-1,1]上是减函数, ∴g(x)min=g(1)=1-3+1-m>0,∴m<-1.故实数m的取值范围是(-∞,-1).22.已知函数f(x),且f(1)=2.(1)求a,b的值;(2)当0<x≤1时,判断函数f(x)的单调性,并给予证明;(3)求函数f(x).【解析】(1)∵函数f(x),且f(1)=2.∴f(-1)=-f(1)=-2.(2)由(1)知f(x)==x+.f(x)(0,1]上为减函数.证明如下:任取0<x1<x2≤1,则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)=(x1-x2)(x1-x2∵x1-x2<0,10,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)(0,1]上为减函数.(3)由(2)知f(x),∴函数f(x)最小值为f(1)=2.。
精品四川省成都市高中数学 第三章 第7课时 函数的最值与导数同步测试 新人教A版选修1-1
第7课时函数的最值与导数基础达标(水平一)1.函数f(x)=x3+3x(|x|≤1)().A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,也无最小值D.无最大值,但有最小值【解析】∵f'(x)=3x2+3≥0,∴f(x)在区间[-1,1]上为单调递增函数,∴当|x|≤1时,f(x)有最大值,也有最小值.【答案】B2.函数f(x)=x-sin x,x∈的最大值是().A.π-1B.-1C.πD.π+1【解析】当x∈时,f'(x)=1-cos x≥0,∴f(x)在上为增函数,∴f(x)的最大值为f(π)=π-sinπ=π,故选C.【答案】C3.函数f(x)=2sin x-x在区间上的最大值点和最大值分别是().A.和-B.0和0C.和2-D.0和2【解析】f'(x)=2cos x-1,令f'(x)=0,得x=,当x∈时,f'(x)≥0;当x∈时,f'(x)≤0,故x=为最大值点,f=-为函数的最大值.【答案】A4.函数f(x)=x3-2x2+1在区间[-1,2]上的最大值和最小值分别是().A.1和-2B.2和-1C.1和-D.1和0【解析】f'(x)=3x2-4x,令f'(x)=0,解得x=0或x=.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:-从上表可知,函数f(x)的最大值是1,最小值是-2.【答案】A5.函数f(x)=x3-3x2+5在区间[-1,1]上的最大值是.【解析】f'(x)=3x2-6x=3x(x-2).令f'(x)=0,解得x=0或x=2(舍去).当-1<x<0时,f'(x)>0;当0<x<1时,f'(x)<0.所以当x=0时,函数取得极大值即最大值,所以f(x)的最大值为5.【答案】56.已知函数f(x)=sin x-2x-a,若f(x)在[0,π]上的最大值为-1,则实数a的值是.【解析】∵f(x)=sin x-2x-a,f'(x)=cos x-2<0,∴函数f(x)在[0,π]上单调递减,∴f(x)的最大值是f(0)=-a=-1,故a=1.【答案】17.设函数g(x)=x3-3x2+2.(1)若函数g(x)在区间(0,m)上单调递减,求m的取值范围;(2)若函数g(x)在区间(-∞,n]上的最大值为2,求n的取值范围.【解析】(1)由g(x)=x3-3x2+2,得g'(x)=3x2-6x,令g'(x)<0,则x∈(0,2),∴g(x)的单调递减区间为(0,2).又g(x)在区间(0,m)上单调递减,∴(0,m)⊆(0,2),∴0<m≤2.(2)g(x)在(-∞,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,令g(x)=2,解得x=0或x=3,结合图象(图略)观察,得n∈[0,3].拓展提升(水平二)8.已知f(x)=-x2+mx+1在区间[-2,-1]上的最大值是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是().A.(-4,-2)B.(-3,-2)C.(-4,-1)D.(-1,-2)【解析】f'(x)=m-2x,令f'(x)=0,得x=.由题意知-2<<-1,∴-4<m<-2.【答案】A9.设函数f(x)=ln x-x2-x,则函数f(x)的最大值为.【解析】依题意知,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-x-=,令f'(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;当x>1时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.所以函数f(x)的极大值即为最大值f(1)=-.【答案】-10.已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=-12x,则函数f(x)在[-3,1]上的最大值是.【解析】∵f'(x)=12x2+2ax+b,∴⇒∴f(x)=4x3-3x2-18x+5,f'(x)=12x2-6x-18,令f'(x)=0,得x=-1或x=,且f(-3)=-76,f(-1)=16,f(1)=-12,∴函数f(x)的最大值是f(-1)=16.【答案】1611.已知f(x)=x+x ln x,若k∈Z,且k(x-2)<f(x)对任意x>2恒成立,求k的最大值.【解析】∵x>2,∴k(x-2)<f(x)可化为k<=.令F(x)=,则F'(x)==.令g(x)=x-2ln x-4,则g'(x)=1->0.∴g(x)在(2,+∞)上是增函数,且g(8)=8-2ln 8-4=2(2-ln 8)<0,g(9)=9-2ln 9-4=5-2ln 9>0.∴存在x0∈(8,9),使g(x0)=0,即2ln x0=x0-4.∴F(x)=在区间(2,x0)上是减函数,在区间(x0,+∞)上是增函数.∴F(x)min=F(x0)==,∴k<,∴k的最大值是4.。
四川省成都市高中数学第一章集合与函数第7课时函数的表示法练习新人教A版必修1(2021年整理)
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第7课时函数的表示法基础达标(水平一）1.下列表格中x与y能构成函数的是()。
A。
x非负数非正数y1-1 B。
x奇数0偶数y10-1 C.x有理数无理数y1-1 D。
x自然数整数有理数y10-1【解析】A中，当x=0时，y=±1；B中,0是偶数,当x=0时，y=0或—1；D中,自然数、整数、有理数之间存在包含关系，如x=1∈N（Z,Q),所以y的值不唯一.故A、B、D均不正确.【答案】C2。
已知函数y=f(x）用列表法表示如下:x12345y34213则f(f（2）)等于（）。
A。
1B。
2C。
3D。
4【解析】∵f(2）=4,∴f（f(2）)=f（4)=1。
【答案】A3。
如图，函数f（x）的图象是折线段ABC,其中点A,B，C的坐标分别为（0，4）,(2,0），(6，4),则f（f(f（2))）=（)。
A。
1 B.2C.3 D。
4【解析】由题意可知f(2）=0,f(0）=4,f(4)=2.因此，有f(f(f（2）))=f（f(0））=f(4)=2.【答案】B4.已知函数y=|x｜（x∈[—1,1］)的图象上有一动点P（t，｜t|），设此函数的图象与x轴、直线x=-1及x=t围成的图形（图中阴影部分）的面积为S，则S随点P运动而变化的大致图象可表示为（).【解析】当t=0时,S=0。
四川省成都市高中数学 第一章 导数及其应用 第9课时 导数的综合应用同步测试 新人教A版选修2-2
第9课时导数的综合应用基础达标(水平一)1.函数y=x3-4x+4的图象(如图)为().【解析】当y'=x2-4=0时,x=±2.当x∈(-∞,-2)和(2,+∞)时,y单调递增;当x∈(-2,2)时,y单调递减.当x=2时,y=-;当x=-2时,y=.【答案】A2.已知函数f(x)=+ln x,则有().A.f(2)<f(e)<f(3)B.f(e)<f(2)<f(3)C.f(3)<f(e)<f(2)D.f(e)<f(3)<f(2)【解析】f'(x)=+,x∈(0,+∞),因为f'(x)>0在x∈(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上为增函数,所以f(2)<f(e)<f(3).【答案】A3.已知x≥0,y≥0,x+3y=9,则x2y的最大值为().A.36B.18C.25D.42【解析】由x+3y=9,得y=(9-x),由x≥0,y≥0,得0≤x≤9.∴x2y=x2=-x3+3x2.设f(x)=-x3+3x2,∴f'(x)=-x2+6x.令f'(x)=0,得x=0或x=6,又f(0)=0,f(6)=-×63+3×62=36,f(9)=-×93+3×92=0.∴x2y的最大值为36.【答案】A4.已知函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上为减函数,函数g(x)=x2-a ln x在(1,2)上为增函数,则a 的值等于().A.1B.2C.0D.【解析】∵函数f(x)=x2-ax+3在(0,1)上为减函数,∴≥1,得a≥2.又g'(x)=2x-,依题意g'(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立,即2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立,得a≤2,∴a=2.【答案】B5.若函数f(x)=x3-px2+2m2-m+1在区间(-2,0)内单调递减,在区间(-∞,-2)和(0,+∞)内单调递增,则p的取值集合是.【解析】f'(x)=3x2-2px.由题意知,f'(-2)=0,f'(0)=0,则有12+4p=0,即p=-3.【答案】{-3}6.已知定义域为R的可导函数y=f(x)的导函数f'(x)满足f(x)>f'(x),且f(0)=2,则不等式f(x)<2e x的解集为.【解析】设g(x)=,则g'(x)=.∵f(x)>f'(x),∴g'(x)<0,即函数g(x)在定义域上是单调递减函数.又∵f(0)=2,∴g(0)=f(0)=2,则不等式<2等价于g(x)<g(0).又∵函数g(x)在定义域上是单调递减函数,∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞).【答案】(0,+∞)7.若函数f(x)=ln x-a2x2+ax(a∈R)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围.【解析】显然函数f(x)=ln x-a2x2+ax的定义域为(0,+∞),∴f'(x)=-2a2x+a==.当a=0时,f'(x)=>0,∴f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,不合题意.当a>0时,f'(x)≤0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即x≥,此时f(x)的单调递减区间为.由得a≥1.当a<0时,f'(x)≤0(x>0)等价于(2ax+1)(ax-1)≥0(x>0),即x≥-,此时f(x)的单调递减区间为.由得a≤-.综上所述,实数a的取值范围是∪[1,+∞).拓展提升(水平二)8.函数f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为().A.1-eB.-1C.-eD.0【解析】因为f'(x)=-1=,当x∈(0,1)时,f'(x)>0;当x∈(1,e]时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,e],所以当x=1时,f(x)取得最大值f(1)=ln 1-1=-1.【答案】B9.已知f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值为().A.1B.2C.3D.-1【解析】因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(0,2)上的最大值为-1,当x∈(0,2)时,f'(x)=-a,令f'(x)=0,得x=.又a>,所以0<<2.令f'(x)>0,得0<x<,所以f(x)在上单调递增;令f'(x)<0,得x>,所以f(x)在上单调递减.所以当x∈(0,2)时,f(x)max=f=ln-a·=-1,所以ln=0,所以a=1.【答案】A10.已知函数f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表所示,f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.下列关于函数f(x)的命题:①函数f(x)的值域为[1,2];②如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值为2,那么t的最大值为4;③函数f(x)在[0,2]上是单调递减函数;④当1<a<2时,函数y=f(x)-a最多有4个零点.其中正确命题的序号是.【解析】由导函数的图象知,f(x)在区间[-1,0)上单调递增,在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,4)上单调递增,在区间(4,5]上单调递减,结合图象函数的最小值是1,最大值是2,故函数f(x)的值域为[1,2],①正确.由已知中y=f'(x)的图象,及表中数据可得当x=0或x=4时,函数取最大值2,若x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,则0≤t≤5,故t的最大值为5,即②错误.由已知中y=f'(x)的图象可得在[0,2]上f'(x)<0,即f(x)在[0,2]上是单调递减函数,即③正确.当1.5<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点,故当1<a<2时,函数y=f(x)-a可能有2,3,4个零点,即最多有4个零点,故④正确.【答案】①③④11.已知f(x)=x-ln x,g(x)=,其中x∈(0,e](e是自然常数).(1)求f(x)的单调性和极小值.(2)求证:g(x)在(0,e]上单调递增.(3)求证:f(x)>g(x)+.【解析】(1)f'(x)=1-=,当0<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当1<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)的极小值为f(1)=1.(2)g'(x)=,令g'(x)≥0,得0<x≤e,∴g(x)在(0,e]上单调递增.(3)由(1)知,f(x)min=1.由(2)知,g(x)max=g(e)=.又g(x)max+=+<+=1=f(x)min,∴f(x)>g(x)+.。
四川省成都市高中数学 第一章 导数及其应用 第2课时 导数的几何意义同步测试 新人教A版选修2-2
第2课时导数的几何意义基础达标(水平一)1.函数f(x)=x2-1在x=1处的导数是().A.0B.1C.2D.以上都不对【解析】f'(1)===(2+Δx)=2.【答案】C2.若函数f(x)=ax2+4的图象在点(1,f(1))处的切线斜率为4,则a等于().A.2B.1C.3D.4【解析】由题意得f'(1)===(2a+aΔx)=2a=4,∴a=2.【答案】A3.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则f(x)的函数图象可能是().【解析】由图可得-1<f'(x)<1,切线的斜率k∈(-1,1),且函数f(x)在R上切线的斜率的变化是先快后慢又变快,结合选项可知选项B符合.【答案】B4.已知抛物线y=f(x)=-2x2+bx+c在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,则b+c的值为().A.20B.9C.2D.-2【解析】因为抛物线y=-2x2+bx+c在点(2,-1)处与直线y=x-3相切,所以f'(2)=1.又点(2,-1)在y=-2x2+bx+c上,所以f(2)=-1,即解得故b+c=-2.【答案】D5.抛物线y=x2在点(-2,1)处的切线方程为,倾斜角为.【解析】f'(-2)====-1,则切线方程为x+y+1=0,倾斜角为135°.【答案】x+y+1=0135°6.已知函数f(x)=x3-3ax(a∈R).若直线x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线,则实数a的取值范围为.【解析】由题意,得f'(x)==3x2-3a=-1无解,即3x2-3a+1=0无解,故Δ<0,解得a<.【答案】a<7.已知曲线y=2x2-7,求:(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x-y-2=0;(2)过点P(3,9)且与曲线相切的切线方程.【解析】y'===(4x+2Δx)=4x.(1)设切点为(x0,y0),则4x0=4,x0=1,y0=-5,故切点坐标为(1,-5).(2)设所求切线的切点为A(x0,y0),则切线的斜率k=4x0,故切线方程为y-y0=4x0(x-x0).将点P(3,9)及y0=2-7代入上式,得9-(2-7)=4x0(3-x0),解得x0=2或x0=4,故切点坐标为(2,1)或(4,25),切线斜率k=8或k=16.故所求切线方程为8x-y-15=0或16x-y-39=0.拓展提升(水平二)8.已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f'(1)的值是().A. B.1 C. D.2【解析】∵点(1,f(1))在直线x-2y+1=0上,∴1-2f(1)+1=0,∴f(1)=1.又∵f'(1)=,∴f(1)+2f'(1)=1+2×=2.故选D.【答案】D9.设P(x0,y0)为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为().A.B.[-1,0]C.[0,1]D.【解析】y'==2x0+2,∵切线倾斜角θ∈,∴切线的斜率k满足0≤k≤1,即0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤-.【答案】A10.设f(x)为可导函数,且满足=-2,则函数y=f(x)在x=1处的导数为.【解析】函数y=f(x)在x=1处的导数为f'(1)==-1.【答案】-111.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.【解析】存在.由导数的定义知y'===2x.设切点为(t,t2+1),因为y'=2x,所以切线的斜率为y'|x=t=2t,可得切线方程为y-(t2+1)=2t(x-t).将(1,a)代入,得a-(t2+1)=2t(1-t),即t2-2t+(a-1)=0.因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,且实数a的取值范围是(-∞,2).。
四川省成都市高中数学 第一章 导数及其应用 第6课时 函数的单调性与导数同步测试 新人教A版选修2-2
第6课时函数的单调性与导数基础达标(水平一)1.函数f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间为().A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.(-∞,0)D.(0,2)【解析】函数f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)<0,得0<x<2,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,2).【答案】D2.已知定义域为R的函数f(x)对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且其导函数f'(x)满足>0,则当2<a<4时,有().A.f(2a)<f(log2a)<f(2)B.f(log2a)<f(2)<f(2a)C.f(2a)<f(2)<f(log2a)D.f(log2a)<f(2a)<f(2)【解析】∵函数f(x)对任意x都有f(2+x)=f(2-x),∴函数f(x)的对称轴为x=2.又∵导函数f'(x)满足>0,∴函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,(-∞,2)上单调递增.又∵2<a<4,∴1<log2a<2<4<2a.又函数f(x)的对称轴为x=2,∴f(2)>f(log2a)>f(2a).【答案】A3.已知函数f(x),g(x)满足当x∈R时,f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)>0,若a>b,则有().A.f(a)g(a)=f(b)g(b)B.f(a)g(a)>f(b)g(b)C.f(a)g(a)<f(b)g(b)D.f(a)g(a)与f(b)g(b)的大小关系不定【解析】由题意知[f(x)g(x)]'>0,∴f(x)g(x)在R上是增函数.∵a>b,∴f(a)g(a)>f(b)g(b).【答案】B4.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是().【解析】在区间(-1,1)上,f'(x)>0,因此函数y=f(x)在区间(-1,1)上为增函数,易知四个选项都符合.在区间(-1,0)上,f'(x)单调递增,故y=f(x)在区间(-1,0)上增加的越来越快,函数图象应为指数增长的模式;在区间(0,1)上,f'(x)单调递减,故y=f(x)在区间(0,1)上增加的越来越慢,函数图象应为对数增长的模式.故选B.【答案】B5.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是.【解析】f'(x)=(x-3)'e x+(x-3)(e x)'=(x-2)e x,令f'(x)>0,解得x>2.【答案】(2,+∞)6.函数y=ax3-x在R上是减函数,则实数a的取值范围为.【解析】∵y'=3ax2-1,且函数y=ax3-x在R上是减函数,∴y'=3ax2-1≤0在R上恒成立.当x=0时,y'=3ax2-1≤0在R上显然成立;当x≠0时,a R上恒成立,∴a≤0.【答案】(-∞,0]7.设函数f(x)=ln x-2ax,a>0,求函数f(x)的单调区间.【解析】由题意知f(x)=ln x-2ax的定义域为(0,+∞),且f'(x)2a,因为a>0,x>0,2a>0,则1-2ax>0.所以当x,f'(x)>0,当x,f'(x)<0.所以当a>0时,函数f(x)拓展提升(水平二)8.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示,下面四个图象中能大致表示y=f(x)的图象的是().【解析】由题图可知,当x<-1时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,此时y=f(x)为增函数,图象应是上升的;当-1<x<0时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0,此时y=f(x)为减函数,图象应是下降的;当0<x<1时,xf'(x)<0,所以f'(x)<0,此时y=f(x)为减函数,图象应是下降的;当x>1时,xf'(x)>0,所以f'(x)>0,此时y=f(x)为增函数,图象应是上升的.由上述分析,可知选C.【答案】C9.如图所示的是函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象,f'(x)为函数f(x)的导函数,则不等式x·f'(x)<0的解集为.【解析】由f(x)的图象知,f(x)在(-∞,和+∞)上为增函数,在(内为减函数,∴当x∈(-∞,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(时,f'(x)<0.∴x·f'(x)的解集为{0.【答案】{010.若函数f(x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是.【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),y'=4由y'>0得f(x)的增区间为由y'<0得f(x)由于函数在(k-1,k+1)上不单调,所以1≤11.设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R,若f(x)在区间(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.【解析】f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1),令f'(x)=0,得x1=a,x2=1.①当a<1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增函数,故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.②当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函数,从而f(x)在(-∞,0)上也为增函数.综上所述,a的取值范围为[0,+∞).。
四川省成都市高中数学 第一章 导数及其应用综合检测 新人教A版选修2-2
三、解答题
17.已知f'(x)是一次函数,x2f'(x)-(2x-1)f(x)=1.求f(x)的解析式.
【解析】由f'(x)为一次函数,知f(x)为二次函数.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f'(x)=2ax+b.
把f(x),f'(x)代入方程x2f'(x)-(2x-1)f(x)=1,得x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1,
A.[-2,2]B.[0,2]
C.[-2,0]D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】令f(x)=x3-3x+m,则f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),当x<-1或x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当-1<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.∴在x=-1处,f(x)取极大值f(-1)=m+2,在x=1处,f(x)取极小值f(1)=m-2.
(1)若a= ,求函数f(x)在[1,e]上的值域.(e为自然对数的底数,e≈2.72)
(2)若函数g(x)=f(x)+x在[1,2]上为单调递减函数,求实数a的取值范围.
【解析】(1)由题意f'(x)= - ,
当a= 时,f'(x)= - = .
∵x∈[1,e],∴f(x)在[1,2)上为减函数,在[2,e]上为增函数,
所以S=S△ABC- (-x2+4x-3)dx
= ×2×2- =2- = .
【答案】
16.有下列命题:
①x=0是函数f(x)=x3的极值点;
【优质部编】四川省成都市高中数学 第一章 第6课时 函数的单调性与导数同步测试 新人教A版选修2-2
第6课时函数的单调性与导数基础达标(水平一)1.函数f(x)=x3-3x2+1的单调递减区间为().A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.(-∞,0)D.(0,2)【解析】函数f'(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f'(x)<0,得0<x<2,所以函数f(x)的单调递减区间为(0,2).【答案】D2.已知定义域为R的函数f(x)对任意x都有f(2+x)=f(2-x),且其导函数f'(x)满足>0,则当2<a<4时,有().A.f(2a)<f(log2a)<f(2)B.f(log2a)<f(2)<f(2a)C.f(2a)<f(2)<f(log2a)D.f(log2a)<f(2a)<f(2)【解析】∵函数f(x)对任意x都有f(2+x)=f(2-x),∴函数f(x)的对称轴为x=2.又∵导函数f'(x)满足>0,∴函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,(-∞,2)上单调递增.又∵2<a<4,∴1<log2a<2<4<2a.又函数f(x)的对称轴为x=2,∴f(2)>f(log2a)>f(2a).【答案】A3.已知函数f(x),g(x)满足当x∈R时,f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)>0,若a>b,则有().A.f(a)g(a)=f(b)g(b)B.f(a)g(a)>f(b)g(b)C.f(a)g(a)<f(b)g(b)D.f(a)g(a)与f(b)g(b)的大小关系不定【解析】由题意知[f(x)g(x)]'>0,∴f(x)g(x)在R上是增函数.∵a>b,∴f(a)g(a)>f(b)g(b).【答案】B4.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f'(x)的图象如图所示,则该函数的图象是().【解析】在区间(-1,1)上,f'(x)>0,因此函数y=f(x)在区间(-1,1)上为增函数,易知四个选项都符合.在区间(-1,0)上,f'(x)单调递增,故y=f(x)在区间(-1,0)上增加的越来越快,函数图象应为指数增长的模式;在区间(0,1)上,f'(x)单调递减,故y=f(x)在区间(0,1)上增加的越来越慢,函数图象应为对数增长的模式.故选B.【答案】B5.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是.【解析】f'(x)=(x-3)'e x+(x-3)(e x)'=(x-2)e x,令f'(x)>0,解得x>2.【答案】(2,+∞)6.函数y=ax3-x在R上是减函数,则实数a的取值范围为.【解析】∵y'=3ax2-1,且函数y=ax3-x在R上是减函数,∴y'=3ax2-1≤0在R上恒成立.当x=0时,y'=3ax2-1≤0在R上显然成立;当x≠0时,a≤在R上恒成立,∴a≤0.【答案】(-∞,0]7.设函数f(x)=ln x-2ax,a>0,求函数f(x)的单调区间.【解析】由题意知f(x)=ln x-2ax的定义域为(0,+∞),且f'(x)=-2a,因为a>0,x>0,令-2a>0,则1-2ax>0.所以当x∈时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0.所以当a>0时,函数f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是.拓展提升(水平二)8.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示,下面四个图象中能大致表示y=f(x)的图象的是().【解析】由题图可知,当x<-1时,xf'(x)<0,所以f'(x)>0,此时y=f(x)为增函数,图象应是上升的;当-1<x<0时,xf'(x)>0,所以f'(x)<0,此时y=f(x)为减函数,图象应是下降的;当0<x<1时,xf'(x)<0,所以f'(x)<0,此时y=f(x)为减函数,图象应是下降的;当x>1时,xf'(x)>0,所以f'(x)>0,此时y=f(x)为增函数,图象应是上升的.由上述分析,可知选C.【答案】C9.如图所示的是函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象,f'(x)为函数f(x)的导函数,则不等式x·f'(x)<0的解集为.【解析】由f(x)的图象知,f(x)在(-∞,-)和(,+∞)上为增函数,在(-,)内为减函数,∴当x∈(-∞,-)∪(,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-,)时,f'(x)<0.∴x·f'(x)的解集为{x|x<-或0<x<}.【答案】{x|x<-或0<x<}10.若函数f(x)=2x2-ln x在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围是.【解析】函数f(x)的定义域为(0,+∞),y'=4x-=.由y'>0得f(x)的增区间为;由y'<0得f(x)的减区间为,由于函数在(k-1,k+1)上不单调,所以解得1≤k<.【答案】11.设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R,若f(x)在区间(-∞,0)上为增函数,求a的取值范围.【解析】f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1),令f'(x)=0,得x1=a,x2=1.①当a<1时,若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,a)和(1,+∞)上为增函数,故当0≤a<1时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.②当a≥1时,若x∈(-∞,1)∪(a,+∞),则f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,1)和(a,+∞)上为增函数,从而f(x)在(-∞,0)上也为增函数.综上所述,a的取值范围为[0,+∞).。
四川省成都七中高三数学10月15日导数测试题
一、选择题1.函数x x x f cos )(-=在),0[+∞内（ ）A 没有零点B 有且仅有一个零点C 有且仅有两个零点D 有无穷多个零点2.方程|x 2－2x |＝a 2＋1 (a >0)的解的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为 ( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)4.某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 （ ）A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处5.若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在区间),1(+∞-上单调递减，则实数b 的取值范围是（ ） A ),1[+∞- B ),1(+∞- C ]1,(--∞ D )1,(--∞ 6.已知三个函数f (x )＝2x＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b二、填空题 7.已知函数)1,1((1)(2-∈+=x x x x f ，则不等式0)()1(<+-x f x f 的解集是 ； 8.设函数,13)(2+-=x ax x f 对于]1,1[-∈x ，总有0)(≥x f 成立，则=a 9. 如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，M ，N 分别在AD 1，BC 上移动，始终保持MN ∥平面DCC 1D 1，设BN ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是________．10设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x -=)(，其中a 为实数．①若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，则a 的取值范围是a ＞e ；②若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，则a 的取值范围是a ＞e 1； ③若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，当0＜a ＜1e)(x f 的零点个数为2个 ④若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，当0<a 时 )(x f 的零点个数为2个以上说法中正确的是导数测试题答题卷姓名 班级题号 1 2 3 4 5 6答案7. ；8. ；9. ；10. ；三、解答题11.已知函数)(x f 满足2121)0()1()(x x f e f x f x +-'=- （1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值12.已知关于x 的函数bc cx bx x x f +++-=2331)(，其导函数为)(x f '，令)()(x f x g '=，记函数)(x g 在区间]1,1[-上的最大值为M（1）如果函数)(x f 在1=x 处有极值34-，试确定c b ,的值； （2）对于（1），求)(x f 的对称中心；（3）若1>b ，证明对任意的c ，都有2>M导数测试题答案一、选择题1.函数x x x f cos )(-=在),0[+∞内（B ）A 没有零点B 有且仅有一个零点C 有且仅有两个零点D 有无穷多个零点2.方程|x 2－2x |＝a 2＋1 (a >0)的解的个数是 ( B)A ．1B ．2C ．3D ．43． 已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则图②的图象对应的函数为 (C )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)4.某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 (A )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处5.若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在区间),1(+∞-上单调递减，则实数b 的取值范围是（ C ） A ),1[+∞- B ),1(+∞- C ]1,(--∞ D )1,(--∞6.已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则(B)A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <a <cD ．c <a <b二填空题7.已知函数)1,1((1)(2-∈+=x x x x f ，则不等式0)()1(<+-x f x f 的解集是)21,0( 8.设函数,13)(3+-=x ax x f 对于]1,1[-∈x ，总有0)(≥x f 成立，则=a 49. 如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，M ，N 分别在AD 1，BC 上移动，始终保持MN ∥平面DCC 1D 1，设BN ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是_③___．解析 过M 作ME ⊥AD 于E ，连接EN .则BN ＝AE ＝x ，ME ＝2x ，MN 2＝ME 2＋ EN 2，即y 2＝4x 2＋1，y 2－4x 2＝1 (0≤x ≤1，y ≥1)，图象应是焦点在y 轴上的双曲线的一部分．10设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x -=)(，其中a 为实数． ①若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，则a 的取值范围是a ＞e ； ②若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，则a 的取值范围是a ＞e1； ③若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，当0＜a ＜1e)(x f 的零点个数为2个④若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，当0<a 时 )(x f 的零点个数为2个 以上说法中正确的是 ①③三、解答题 11.已知函数)(x f 满足2121)0()1()(x x f e f x f x +-'=- （1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值12.已知关于x 的函数bc cx bx x x f +++-=2331)(，其导函数为)(x f '，令)()(x f x g '=，记函数)(x g 在区间]1,1[-上的最大值为M（1）如果函数)(x f 在1=x 处有极值34-，试确定c b ,的值； （2）对于（1），求)(x f 的对称中心；（3）若1>b ，证明对任意的c ，都有2>M（1）解：2'()2f x x bx c =-++，由()f x 在1x =处有极值43- 可得'(1)12014(1)33f b c f b c bc =-++=⎧⎪⎨=-+++=-⎪⎩解得1,1b c =⎧⎨=-⎩或13b c =-⎧⎨=⎩ 若1,1b c ==-，则22'()21(1)0f x x x x =-+-=--≤，此时()f x 没有极值；若1,3b c =-=，则2'()23(1)(1)f x x x x x =--+=-+-当x 变化时，()f x ，'()f x 的变化情况如下表： x (,3)-∞- 3- (3,1)- 1 (1,)+∞ '()f x - 0 + 0 - ()f x极小值12- 极大值43-∴当1x =时，()f x 有极大值3-，故1b =-，3c =即为所求。
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第7课时函数的极值与导数
基础达标(水平一)
1.函数f(x)=sin x+,x∈(0,π)的极大值是().
A.+
B.-+
C.+
D.1+
【解析】f'(x)=cos x+,x∈(0,π),由f'(x)=0,即cos x=-,得x=,x∈
时,f'(x)>0;x∈时,f'(x)<0,∴x=时,f(x)有极大值f=+.
【答案】C
2.已知函数f(x)=ax3+bx2+c,其导函数的图象如图所示,则函数f(x)的极小值是().
A.a+b+c
B.8a+4b+c
C.3a+2b
D.c
【解析】由f'(x)的图象可知,当x∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,f'(x)<0;当x∈(0,2)时,f'(x)>0.
∴f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上为减函数,在(0,2)上为增函数.
∴当x=0时,f(x)取到极小值为f(0)=c.
【答案】D
3.函数f(x)=ax3+bx在x=1处有极值-2,则a,b的值分别为().
A.1,-3
B.1,3
C.-1,3
D.-1,-3
【解析】f'(x)=3ax2+b,由题意可知
解得
【答案】A
4.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx-2在x=1处有极值,则ab的最大值为().
A.2
B.3
C.6
D.9
【解析】f'(x)=12x2-2ax-2b.
由于函数f(x)在x=1处有极值,
则有f'(1)=0,即a+b=6(a,b>0),
由于a+b≥2,即ab≤=9,当且仅当a=b=3时取最大值9.
【答案】D
5.直线y=a与函数y=x3-x2的图象有三个相异的交点,则实数a的取值范围是.
【解析】f'(x)=x2-2x,令f'(x)=0,得x=0或x=2.
∵f(0)=0,f(2)=-,∴-<a<0.
【答案】-<a<0
6.若a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a= .
【解析】∵f'(x)=3x2-12,
∴当x<-2时,f'(x)>0;当-2<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.
∴x=2是f(x)的极小值点.
又a为f(x)的极小值点,
∴a=2.
【答案】2
7.求函数f(x)=的极值.
【解析】函数f(x)的定义域为R,
f'(x)=2x e-x-x2e-x=x(2-x)e-x,
令f'(x)=0,得x=0或x=2.
当x变化时,f'(x),f(x)
由上表可以看出,当x=0时,函数取得极小值,且为f(0)=0;当x=2时,函数取得极大值,且为f(2)=4e-2.
拓展提升(水平二)
8.设函数f(x)=x e x,则().
A.x=1为f(x)的极大值点
B.x=1为f(x)的极小值点
C.x=-1为f(x)的极大值点
D.x=-1为f(x)的极小值点
【解析】∵f(x)=x e x,∴f'(x)=e x+x e x=e x(1+x).当f'(x)≥0,即e x(1+x)≥0时,解得x≥-1,∴当x≥-1时,函数f(x)为增函数.
同理可得,当x<-1时,函数f(x)为减函数.
∴x=-1时,函数f(x)取得极小值.
【答案】D
9.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数f(x)e x的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)图象的是().
【解析】因为[f(x)e x]'=f'(x)e x+f(x)(e x)'=[f'(x)+f(x)]·e x,且x=-1为函数f(x)·e x的一个极值点,所以
f(-1)+f'(-1)=0,选项D中,f(-1)>0,f'(-1)>0,故不满足.
【答案】D
10.已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),给出以下说法:
①函数f(x)在区间(1,+∞)上是增函数;
②函数f(x)在区间(-1,1)上无单调性;
③函数f(x)在x=-处取得极大值;
④函数f(x)在x=1处取得极小值.
其中正确的说法有.
【解析】从图象上可以发现,当x∈(1,+∞)时,xf'(x)>0,所以f'(x)>0,故f(x)在区间(1,+∞)上是增函数,①正确;当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(-1,1)上是减函数,②③错误;当x∈(0,1)时,f(x)在区间(0,1)上单调递减,而在区间(1,+∞)上单调递增,故f(x)在x=1处取得极小值,④正确.
【答案】①④
11.若函数f(x)=x3+ax2+bx的图象与x轴相切于一点A(m,0)(m≠0),且f(x)的极大值为,求实数m的值.
【解析】∵f(x)=x3+ax2+bx,
∴f'(x)=3x2+2ax+b=0.
∵f(x)的图象与x轴相切于一点A(m,0)(m≠0),
∴解得
∴f'(x)=(3x-m)(x-m).
当m>0时,令f'(x)>0,解得x>m或x<;
令f'(x)<0,解得<x<m,
∴函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(m,+∞)上单调递增, ∴f(x)在x=处取得极大值f=,解得m=.
当m<0时,令f'(x)>0,解得x<m或x>;
令f'(x)<0,解得>x>m,
∴函数f(x)在(-∞,m)上单调递增,在上单调递减,在上单调递增, ∴f(x)在x=m处取得极大值f(m)=,而f(m)=0,不成立,
综上,m=.。