高等代数与解析几何期中试卷
2018年北京大学高等代数与解析几何试题及解答
6. (1) 显然V = 0及V = Mn (K )为两个平凡的公共子空间,但不是n维的. 设 Vi = span {E1i , E2i , · · · , Eni } , i = 1, 2, . . . , n. 则Vi 是n维公共子空间. 另外, V = {(α, α, 0, . . . , 0) | α ∈ K n }也是n维公共子空间. (2) 若V ⊂ V , 但是V = 0, 则存在B ∈ V 设bij = 0, 则
u v w
可得 yw − vz = 0
(x − 1)w − (z − 1)u = 0 , (x + 1)v − (y + 1)u = 0 因为(u, v, w) = 0, 因此上述线性方程组有非零解, 从而 0 1−z −z 0 y x−1 w = 0.
−y − 1 x + 1
B= sin θ3
cos θ2 cos θ3 − sin θ1 sin θ2 cos θ3 − cos θ1 sin θ3 − cos θ1 sin θ2 cos θ3 + sin θ1 sin θ3 sin θ2 sin θ1 cos θ2 cos θ1 cos θ2
= cos θ2 sin θ3
9. (15分) 记A是与下面三条直线都相交的直线的并集: 达式f (x, y, z ) = 0,其中f 是一个三元多项式.
y = 0 z = 0
,
x = 1 z = 1
,
x = −1 y = −1
. 给出A的一个一般表
10. (15分) 证明几何空间中任意一个旋转变换f , 只要转轴通过原点, 就一定可以写成f = gz ◦ gy ◦ gx 的形式, 其 中gx , gy , gz 分别表示绕x, y, z 轴的旋转变换.
北京大学1996年高等代数与解析几何试题及解答
五. 令
g(x)
=
xn
−
1
=
n∏−1
( x
−
e
2πki n
)
,
k=0
则 g(A) = 0, 于是 A 的最小多项式 mA(x) 将整除 g(x), 从而 mA(x) 为 C 上互素一次因式的乘积, 从而一
定可以相似对角化.
六. W 的标准正交基是 1, 1, x, x2, x3 是 R[x]4 的一组基, 从而 ∀f (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 ∈ W ⊥,
北京大学 1996 年全国硕士研究生招生考试高代解几试题及解答
微信公众号：数学十五少 2019.05.25
一. (15 分) 在仿射坐标系中, 求过点 M0(0, 0, −2), 与平面 π1 : 3x − y + 2z − 1 = 0 平行, 且与直线
x−1 y−3 z
ℓ1 :
=
=
4
−2 −1
相交的直线 ℓ 的方程.
(1) P 是 V 上的线性变换, 并且 P2 = P;
(2) P 的核 KerP = W, P 的象 (值域)ImP = U ;
(3) V 中存在一个基, 使得 P 在这个基下的矩阵是 ( Ir
O
) O
, O
其中 Ir 表示 r 级单位矩阵, 请指出 r 等于什么.
五. (12 分) n 阶矩阵 A 称为周期矩阵, 如果存在正整数 m, 使 Am = I, 其中 I 是单位矩阵. 证明: 复数域 C 上 的周期矩阵一定可以对角化.
(1, 0, −1)T, (0, 2, −1)T. 令
xy
北京大学2001年高等代数与解析几何试题及解答
→
1 0
−3 −5
5 7
−2 −3
,
−1 −7 9 −4
0 −10 14 −6
0000
可以看出
−4
η1 =
7 5
,
1
η2
=
−3 0
0
5
是 AX = 0 的解空间中的线性无关向量, 注意到解空间的维数是 2, 从而 η1, η2 是解空间的一组基. 进
4. (1) 特征多项式 f (λ) = |λE − A| = λ3 + λ2 − 3λ + 2.
a. 由于 f (±1) ̸= 0, f (±2) ̸= 0, 从而 f (λ) 没有有理根，故 A 没有有理特征值, 从而不能在有理数域 上对角化.
b. (f (λ), f ′(λ) = 1, 从而 f (λ) = 0 没有重根, 即 f (λ) 在 C[λ] 中可分解为三个互素一次因式的乘积, 于是 A 在复数域上可对角化.
(X0Tα1, . . . , X0Tαs) = (0, . . . , 0),
从而 (X0, αi) = 0, i = 1, 2, . . . , s, 于是 αi ∈ W ⊥, i = 1, 2, . . . , s. 故 U ⊂ W ⊥, 再注意到
dim W = n − rank(A), dim U = rank(A), dim W + dim W ⊥ = n,
2. (15 分) 在空间直角坐标系中, 与 是一对相交直线.
x−a y z
ℓ1 :
== 1 −2 3
x y−1 z
ℓ2 :
= 2
1
= −2
(1) 求 a.
北京大学2007高等代数与解析几何试题解答[1]
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0
1
A=
−b0 −b1
0
−bn−2
1 −bn−1
的不变因子也为1,1, ,1, dn (λ) ，所以存在V 的一个基ξ1,ξ2 , ,ξn ，使得 A 在这个基下的
矩阵为 A ，即
A(ξ1,ξ2 , ,ξn ) = (ξ1,ξ2 , ,ξn ) A .
现在令α = ξ1 ∈V ，则 Aα = ξ2 ，A2α = ξ3 ， ，An−1α = ξn ，因此α，Aα，A2α , , An−1α
的基础解系)构成 n × r 矩阵 C ，则 rank(C) = r ，且 AC = O ， BC = O .
考虑齐次线性方程组 CT X = 0 ，其解空间 S 的维数 dim(S ) = n − r = rank( A) .
因为 C T AT = O ，所以 A 的行向量都是 C T X = 0 的解，因此 A 的行空间WA 是 S 的一 个子空间，即WA ⊆ S .注意到 dim(WA ) = rank( A) = dim(S ) ，故WA = S .
北京大学 2007 年《高等代数与解析几何》试题解答
北京大学 2007 年高等代数与解析几何试题 解答
1、回答下列问题：
（1）问是否存在 n 阶方阵 A, B ，满足 AB − BA = E （单位矩阵）？又，是否存在 n 维
线性空间上的线性变换 A，B，满足 AB − BA = E (恒等变换)? 若是，举出例子；若否，给
矛盾. 所以 D ≠ 0 . （4）设 A, B 都是 m × n 矩阵，线性方程组 AX = 0 与 BX = 0 同解，则 A 与 B 的列向
量组是否等价？行向量组是否等价？若是，给出证明；若否，举出反例.
【解】第
(完整word版)高等代数期中考试题答案
高等代数期中考试题答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、___1___，__1/a__2、______3_．3、若4、 (n+1)类5、___n-r__二、1 D 2、 C 3、（ D ）4、( B )5、 A三、1、解：（1）由于A ),,(),,(321321αααβββ=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101110111A于是 1321321),,(),,(-=A βββααα………………………… (2分) 故由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-1111010111A C ………………………… (3分)（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=241),,(321),,(321),,(321321321ββββββααααC即向量3α在基321,,βββ下的坐标为)2,4,1('．………………………… (5分) 2、故该向量组的一个极大线性无关组为124,,ααα。
3、所以解空间的维数是2， 它的一组基为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,1,38,911a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,0,37,922a 四、 证明题（本题共4个小题，每小题10分，共计40分） 1、证：因为复数域C 作为实数域R 上的向量空间，维数是2； 而2dim 2=R ，两者维数相同，所以同构。
另证：建立映射),(;:2b a bi a R C →+→σ，验证它为同构映射。
2、证明：向量β可以由r ααα,,,21 线性表示， 则不妨设r r r r a a a a ααααβ++++=--112211 ，其中0≠r a ， 若0=r a ，则112211--+++=r r a a a αααβ ， 这与β不能由121,,,-r ααα 表示矛盾。
于是11111-----=r rr r r r a a a a a ααβα 。
故向量r α可以由βααα,,,,121-r 线性表示， 即向量组),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 能够相互线性表示， 从而),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 等价。
北京大学2020年高等代数与解析几何试题及解答
5. 当 rank(A) < n − 1 时, A∗ = 0, 于是 A∗ 的特征值为 0, 特征向量为 Cn 中任意非零向量.
当 rank(A) = n − 1 时, rank (A∗) = 1, 于是 A∗ 的特征值为 0 (n − 1 重), tr (A∗) (1 重), 设 A∗ = αβT, 则 tr (A∗) 对应的特征向量为 kα, k ̸= 0; 0 对应的特征向量为由 A 的列向量线性生成的非零向量.
8. (20 分) 在平面 π 上取定平面直角坐标系, 设该平面里的一条二次曲线 γ 的方程为 x2 + 2y2 + 6xy + 8x + 10y + 6 = 0.
(1) 证明: γ 是双曲线. (2) 写出 γ 的长短轴方程和长短轴长, 并指出长短轴中哪一个与 γ 有交点.
9. (15 分) 在平面 π 上取定平面直角坐标系, 已知该平面里的一个椭圆 γ 的方程为 x2+8y2+4xy+6x+20y+4 = 0. 求 γ 的内接三角形 (即三个顶点都在 γ 上的三角形) 的面积的最大值.
− sin φj cos φj
=
− sin φj cos φj
][ ]
cos φj
01 ,
sin φj 1 0
(φj ̸= kπ, j = 1, 2, . . . , l) .
注意到若 σ 是正交变换, 则 σ 是镜面反射当且仅当 σ 在 V 中的标准正交基下的矩阵的特征值为 1 (n − 1 重), −1 (1 重), 而把 J 分解成有限个那样的正交矩阵的乘积的分解是存在的, 这里的有限个更 精确一点可改为不超过 n 个, 于是 σ 可以表示为一系列镜面反射的乘积.
高等代数与解析几何练习题
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
11-12(2)高等代数与解析几何试卷(A)参考答案及评分标准
中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷（A ）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭；2. __1，-3__；3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=．三、计算题1．(12分)设A 是3P 中的线性变换，且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解 因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011， 所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，-------------4分故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2．(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解 对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(00001λλλλ → )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=)1(000001)(λλλλD ；----------------------6分 不变因子为：)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ；----------------------8分 行列式因子为：)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ；----------------------10分 初等因子为：1,,2+λλλ.----------------------12分3．(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ，求一正交变换 x Ty =，将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ，----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，特征值为2,7321==-=λλλ．---------------------4分 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，---------------------6分正交化,可得()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη， ----------------------8分令X=TY ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ，----------------------10分 则 232221'227y y y AX X ++-=．----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解 设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：z Zy Y x X ==----------------------3分 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,， -----------6分 将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点（2,1,0）的直母线方程. 解：双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx 24(24----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得,1==v u----------------------10分因此，所求的直母线方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-024z y x ----------------------12分四、证明题((每小题5分，共10分)1.在2R 中，定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++． （1）证明：σ是2R 的线性变换.（2）取2R 的一组基：12(1,0),(0,1)εε==，求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，σ是2R 到R 的映射，且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ，有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+，所以σ是线性变换；-----------------3分(2) 对于2R 的基：12(1,0),(0,1)εε==，有12()(1,2),()(2,1)σεσε==，易知12(),()σεσε线性无关，于是它们构成2()σR 的一组基，且值域为 12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分 2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有（A α，β）= —（α，A β）． 证明：如果V 1是反对称线性变换A —子空间，则V 1⊥也是A —子空间．证明 任取∈αV 1⊥，可证A ∈αV 1⊥，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是A 子空间，因此A β1V ∈，而∈αV 1⊥，故（α，A β）=0．----------------------3分再由题设，A 是反对称的，知（A α，β）= —（α，A β）=0，----------------------4分由β的任意性，即证A ∈αV 1 ．从而V 1⊥也是A —子空间．----------------------5分。
四川省南充市高二下学期期中考试 数学(理) 解析版
211z z =+高二下期期中考试理科数学试题考试范围：圆锥曲线、导数、选修4-4第一章 坐标系考试时间：120分钟；总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数，，则（ ）12i z =+212i z =-A ． B ．的共轭复数为1z 2z C ．复数对应的点位于第二象限 D ．复数为纯虚数 12z z 12z z 2．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（ ） A ．B ．C ．D ． ()tan =f x x ()1f x x =-()cos f x x x =-()e e x x f x -=-3．若，则（ ） πsin3y =y '=A ．0 B ．C ．D 1212-4．设双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率为（ ） 22221(0,0)x y a b a b -=>>43y x =±A ． B ． C ． D ． 535443355．如图，方程表示的曲线是（ ）．10x y +-=A ． B ．C ．D ． 6．对于常数，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）．,m n 0mn >221mx ny +=A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．已知，，为坐标原点，动点满足，其中、，且(2,1)A -(1,1)B -O P OP mOA nOB =+ m R n ∈，则动点的轨迹是（ ）2222m n -=PA B ．焦距为CD．焦距为8．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）()f x ()f x '()()21ln f x xf x '=+()1f '=A ． B ． C ． D ．112-1-e 9．已知函数的导函数是，对任意的，，若，则的解集是()f x ()f x 'x ∈R ()1f x '<()11f -=()2f x x >+（ ）A ．B ．C ．D ．()1,1-()1,-+∞(),1-∞-()1,+∞10．函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） ()f x R ()y f x '=A ．是的极小值点B ． 1x =()f x ()()21f f ->-C ．函数在上有极大值D ．函数有三个极值点()f x ()1,1-()f x 11．的右焦点为，点在双曲线上，若，且，其中:C 22221x y a b-=()0,0a b >>F P C 5PF a =120PFO ∠=︒为坐标原点，则双曲线的离心率为（ ）O C A ． B ． C ． D ．2 43533212．已知动点P 在双曲线C ：上，双曲线C 的左、右焦点分别为，，则下列结论： 2213y x -=1F 2F ①C 的离心率为2； ②C 的焦点弦最短为6；③动点P 到两条渐近线的距离之积为定值； ④当动点P 在双曲线C 的左支上时，的最大值为． 122PF PF 14其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第II 卷（非选择题）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．动点P 到两定点A(－4，0)、B(4，0)距离之和为10，则点P 的轨迹方程为________．14．若函数的图象在处的切线斜率为，则实数__________.()ln f x x ax =-()()1,1f 12=a 15．已知抛物线：的焦点为，设点在抛物线上，若以线段为直径的圆过点，C 28x y =F M C FM ()1,0则______.FM =16．已知球的半径为2，四棱锥的顶点均在球的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为______O O三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
(完整word版)高等代数期中考试题
高等代数期中考试题答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、全体正实数的集合+R ，对加法和数量乘法ab b a =⊕， k a a k = 构成实数域R 上的向量空间，则该空间的零元为______，+∈R a 的负元为______2、设321,,ααα是线性空间V 的一个线性无关的向量组，则L (321,,ααα)的维数为______．3、若矩阵1234(,,,)A αααα=经过行初等变换化为1003002401050000-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭, 那么向量组1234,,,αααα的一个极大无关组是_____________ 其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为 ______4、若把同构的子空间看成一类,则n 维向量空间的子空间共分成___类5、设A 是数域F 上的n s ⨯矩阵且秩r A =)(，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21. 若方程组0=AX 有非零解，则它的基础解系所含解的个数为_______个.二、单选题（每小题3分，共15分）1、按照数的加法和乘法,下列集合( )构成实数域R 上的向量空间.A ．整数集；B ．有理数集；C ．正实数集；D ．实数集2、下列子集（ ）作成向量空间n R 的子空间。
A ．}0|),,,{(2121=a a a a a nB ．},,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n =∈C ．}0|),,,{(121∑==n i i n a a a aD ．}1|),,,{(121∑==ni i n a a a a3、下列向量组（ ）是线性无关的。
A ．}0{B ．},,0{βαC ．1221},,,,{αααααk r =其中D ．},,,{21r ααα ，其中任一向量都不能表成其余向量的线性组合。
4、关于向量组极大无关组的结论, 下面有( )个正确．(Ⅰ) 任何向量组都有极大无关组； (Ⅱ) 任何有限个不全为零的向量组都有极大无关组； (Ⅲ) 若极大无关组存在则唯一； (Ⅳ) 极大无关组存在不唯一, 但彼此等价．(A)1； (B)2； (C)3； (D)4．5、3F 的两个子空间{}02),,(3213211=+-=x x x x x x V ，{}0),,(313212=+=x x x x x V ，则子空间21V V 的维数为（ ）。
北京大学1999年高等代数与解析几何试题及解答
因此 V1 ∩ V2 = {0}.
∀α ∈ V, 可设 α = x1α1 + x2α2 + · · · + xnαn, 那么
() ∑n
( ∑n
) ∑n
α=
xi (α1 + α2 + · · · + αn) +
xi − xj αi ∈ V1 + V2.
i=1
i=1
j=1
综合上面两点得 V = V1 ⊕ V2. (3) 设 A αi = αpi, 1 ⩽ i ⩽ n. 其中 p1, p2, . . . , pn 为 1, 2, . . . , n 的一个重排, 则
x + 48
=
y+
95 2
=z+
35 .
8
7
2
注 丘维声的《解析几何》第三版第 69 页习题 2.3 第 10 题的 (3).
二. (1) 因为点 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) 在 S 上, 故 a11 = a22 = a33 = 0.
(2) 作正交坐标变换
−−−→ Q1Q2 = (23 + 5s − 2t, −12 + 4s − 3t, s − t),
由
−−−→ Q1Q2
//
⃗v
得
23 + 5s − 2t −12 + 4s − 3t s − t
=
=
8
7
1
=⇒
s
=
−
82 3
t
=
−
35 2
95 35 =⇒ Q1(−48, − 2 , − 2 )
高等代数与解析几何复习题
高等代数与解析几何复习题(总18页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-高等代数与解析几何复习题第一章 矩阵一、 填空题1.矩阵A 与B 的乘积AB 有意义，则必须满足的条件是 。
2.设(),(),ij m s ij s n A a B b ⨯⨯==又()ij m n AB c ⨯=，问ij c = 。
3.设A 与B 都是n 级方阵，计算2()A B += , 2()A B -= ,()()A B A B +-= 。
4.设矩阵1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,试将A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 。
（注意：任意n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）5.设(1,2,1)X =,(2,1,3)TY =-,201013122A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,计算XAY = 。
6.设向量()1,2,3,(1,1,1)T αβ==，则αβ= ，βα= 。
7.设矩阵2003A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则100A = 。
8.设矩阵200012035A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -= 。
9.设准对角矩阵1200A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()f x 是多项式，则()f A = 。
10.设矩阵123456789A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的秩()R A = 。
11.设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵, d A =,则=*A A 。
12.设*A 是矩阵A 的伴随矩阵，则**_____________.AA A A ==13.矩阵123235471A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为__________，A 的伴随矩阵*A = 。
14.设A 是3阶可逆方阵，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。
15.设102040203A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，B 是34⨯矩阵且()2R B =，则()R AB = 。
16.试写出n 阶方阵A 可逆的几个充分必要条件（越多越好）。
17.设矩阵123235471A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭，试写出行列式A 中(2,1)-元的代数余子式 ，A 中第三行元素的代数余子式之和= 。
高等代数与解析几何试卷(A)参考答案及评分标准
中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷（A ）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭；2. __1，-3__；3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=．三、计算题1．(12分)设A 是3P 中的线性变换，且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解 因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011， 所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，-------------4分故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2．(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解 对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(000001λλλλ→ )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=)1(0000001)(λλλλD ；----------------------6分 不变因子为：)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ；----------------------8分行列式因子为：)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ；----------------------10分初等因子为：1,,2+λλλ.----------------------12分3．(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ，求一正交变换 x Ty =，将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ，----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，特征值为2,7321==-=λλλ．---------------------4分 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，---------------------6分正交化,可得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη， ----------------------8分令X=TY ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ，----------------------10分 则 232221'227y y y AX X ++-=．----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解 设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：z Z y Y xX == ----------------------3分 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,， -----------6分将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点（2,1,0）的直母线方程. 解：双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx )24(24----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得,1==v u----------------------10分 因此，所求的直母线方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-0024z yx ----------------------12分四、证明题((每小题5分，共10分)1.在2R 中，定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++． （1）证明：σ是2R 的线性变换.（2）取2R 的一组基：12(1,0),(0,1)εε==，求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，σ是2R 到R 的映射，且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ，有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+，所以σ是线性变换；-----------------3分(2) 对于2R 的基：12(1,0),(0,1)εε==，有12()(1,2),()(2,1)σεσε==，易知12(),()σεσε线性无关，于是它们构成2()σR 的一组基，且值域为12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有（A α，β）= —（ α，A β）．证明：如果V 1是反对称线性变换A —子空间，则V 1⊥也是A —子空间．证明 任取∈αV 1⊥，可证A ∈αV 1⊥，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是A 子空间，因此A β1V ∈，而∈αV 1⊥，故（α，A β）=0．----------------------3分再由题设，A 是反对称的，知（A α，β）= —（α，A β）=0，----------------------4分由β的任意性，即证A ∈αV 1 ．从而V 1⊥也是A —子空间．----------------------5分（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
高中数学-解析几何-期中题汇编-解析版
2022-2023学年高二下学期期中试卷真题汇编解析几何一、单选题1．（2023春·湖北武汉·高二武汉市吴家山中学校联考期中）抛物线22y x =的焦点坐标是（）A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标.【详解】由22y x =可得212x y =，焦点在y 轴的正半轴上，设坐标为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则122p =，解得14p =，所以焦点坐标为10,8⎛⎫⎪⎝⎭.故选:D.2．（2023春·湖北孝感·高二统考期中）过点()2,1P 的直线l 与双曲线2213y x -=相交于,A B 两点，若P 是线段AB 的中点，则直线l 的方程是（）A ．6110x y --=B ．6130x y +-=C ．2310x y --=D ．3240x y --=【答案】A【分析】利用点差法求解.【详解】解：设()()1111,,,A x y B x y ，则221122221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得直线的斜率为()1212121233261x x y y k x x y y +--+⨯===，又直线l 过点()2,1P ，所以直线l 的方程为6110x y --=，经检验此时l 与双曲线有两个交点.故选：A3．（2023春·湖北孝感·高二统考期中）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，若点()4,4A 在抛物线上，则AF =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】利用点()4,4A 在抛物线上，求解抛物线方程，利用抛物线的定义求解AF 即可.【详解】将点()A 4,4代入抛物线方程，得到2p =，所以452p AF =+=.故选：C.4．（2023春·湖北孝感·高二统考期中）椭圆2222x y +=的长轴长为（）A ．1BC ．2D ．【答案】D【分析】将椭圆的方程化为标准方程求解.【详解】解：椭圆的标准方程为2212x y +=，所以a =，则长轴长为故选：D5．（2023春·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线()21:20=->C y px p 和()22:20C y px p =>构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线1C ，2C 的焦点分别为1F ，2F ，点P 在拋物线1C 上，过点P 作x 轴的平行线交抛物线2C 于点Q ，若124==PF PQ ，则p =（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】D【分析】根据抛物线的对称性求出P 点横坐标，再由抛物线定义求出p 即可.【详解】因为24PQ =，即2PQ =，由抛物线的对称性知1p x =-，由抛物线定义可知，1||2P pPF x =-，即4(1)2p =--，解得6p =，故选：D6．（2023春·湖北武汉·高二武汉市吴家山中学校联考期中）已知1F ，2F 为椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且12π3F MF ∠=，1e ，2e 分别为曲线1C ，2C 的离心率，则12e e 的最小值为（）ABC ．1D ．12【答案】A【分析】由题可得112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩，在12MF F △中，由余弦定理得2221212122cos 3F F MF MF MF MF π=+-⋅⋅，结合基本不等式得222121243c a a a =+≥，即可解决.【详解】由题知，1F ，2F 为椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且123F MF π∠=，1e ，2e 分别为曲线1C ，2C 的离心率，假设12MF MF >，所以由椭圆，双曲线定义得12112222MF MF a MF MF a +=⎧⎨-=⎩，解得112212MF a a MF a a =+⎧⎨=-⎩，所以在12MF F △中，122F F c =，由余弦定理得222121212π2cos3F F MF MF MF MF =+-⋅⋅，即()()()()22212121212π42cos3c a a a a a a a a =++--+⋅-，化简得2221243=+c a a ，因为222121243c a a a =+≥，所以212c a a ≥，即12e e当且仅当12a =时，取等号，故选：A7．（2023春·江苏南京·高二南京航空航天大学附属高级中学校考期中）已知圆220x y +-=的圆心为S ，过点(0,T -的直线m 交圆S 于C 、D 两点，过点T 作SC 的平行线，交直线SD 于点M ，则点M 的轨迹为（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．双曲线一支【答案】B【分析】确定圆心和半径，计算得到MT MD =，则MT MS SD -==曲线定义得到答案.【详解】220x y +-=，即圆(2212x y +-=，故(S ，r =因为SC 平行与TM ，SD SC =，所以MT MD =，故MT MS SD -==故点M 的轨迹为双曲线.故选：B8．（2023春·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）已知1F ，2F 分别是双曲线()2222:10,0x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点，过1F 的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，23CB F A =，2BF 平分1F BC ∠，则双曲线Γ的离心率为（）A B CD【答案】A【分析】根据23CB F A =可知2//CB F A ，再根据角平分线定理得到1,BF BC 的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用,,a b c 表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.【详解】因为23CB F A =，所以12F AF ∽1F BC △，设122F F c =，则24F C c =，设1AF t =，则13BF t =，2AB t =．因为2BF 平分1F BC ∠，由角平分线定理可知，11222142BF F F c BC F C c ===，所以126BC BF t ==，所以2123AF BC t ==，由双曲线定义知212AF AF a -=，即22t t a -=，2t a =，①又由122BF BF a -=得2322BF t a t =-=，所以222BF AB AF t ===，即2ABF △是等边三角形，所以2260F BC ABF ∠=∠=︒．在12F BF 中，由余弦定理知22212121212cos 2BF BF F F F BF BF BF +-∠=⋅⋅，即22214942223t t c t t+-=⋅⋅，化简得2274t c =，把①代入上式得ce a==．故选：A ．二、多选题9．（2023春·湖北孝感·高二统考期中）以直线210x y --=与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（）A ．2x y =-B ．22x y =-C ．22y x =D ．24y x=【答案】BD【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再得到抛物线方程.【详解】直线210x y --=与坐标轴的交点为()1,0，10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，故以()1,0和10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭为焦点的抛物线标准方程分别为24y x =和22x y =-.故选：BD.10．（2023春·湖北孝感·高二统考期中）已知圆O 的半径为定长,R A 是圆O 所在平面内一个定点，P 是圆O 上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，关于点Q 的轨迹，下列命题正确的是（）A ．若A 是圆O 内的一个定点（非点O ）时，点Q 的轨迹是椭圆B ．若A 是圆O 外的一个定点时，点Q 的轨迹是双曲线的一支C ．若A 与点O 重合时，点Q 的轨迹是圆D ．若A 是圆O 上的一个定点时，点Q 的轨迹不存在【答案】AC【分析】根据椭圆定义可判断A ；根据双曲线定义可判断B ；根据圆的定义可判断C ；垂直平分线的定义可判断D.【详解】如下图，若A 是圆O 内的一个定点（非点O ）时，QA QP =，QA QO QP QO R AO +=+=>，Q ∴的轨迹是以,O A 为焦点的椭圆，所以A 项正确；如下图，若A 是圆O 外的一个定点时，QA QP =，QA QO QP QO R AO -=-=<，Q ∴的轨轨迹是以,O A 为焦点的双曲线，所以B 项错误；如下图，若A 与点O 重合时，Q ∴的轨迹是以O 为圆心，以2R为半径的圆，所以C 项正确；如下图，若A 是圆O 上的一个定点时，点Q 的轨迹为点O 构成的集合，所以D项错误.故选：AC.11．（2023春·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）已知动点P 在双曲线22:13y C x -=上，双曲线C 的左､右焦点分别为12F F ､，下列结论正确的是（）A ．双曲线C 的离心率为2B ．双曲线C的渐近线方程为y =C ．动点P 到两条渐近线的距离之积为定值D ．当动点P 在双曲线C 的左支上时，122PF PF 的最大值为18【答案】ACD【分析】根据双曲线的性质可判断A,B ，利用点到直线距离公式可判断C ，利用双曲线的定义以及基本不等式判断D.【详解】对A 和B，双曲线22:1,1,23y C x a b -====，所以双曲线C 的离心率为e 2==ca，渐近线方程为y =，A 选项正确，B 选项错误；对C ，设点P 的坐标为()00,x y ，则22013y x -=，双曲线C0y -=0y +=，则点P220033,44x y -==C 选项正确；对D ，当动点P 在双曲线C 的左支上时，12111,22PF c a PF a PF PF ≥-==+=+，()11122221111111484424PF PF PF PF PF PF PFPF PF ==≤+++++，当且仅当12=PF 时，等号成立，所以，122PF PF 的最大值为18，D 选项正确.故选:ACD.12．（2023春·湖北武汉·高二武汉市吴家山中学校联考期中）阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦AB 所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形ABC 的顶点C 在抛物线上，且在过弦AB 的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的43.现已知直线32y x p =-+与抛物线2:2(0)E y px p =>交于A ，B 两点，且A 为第一象限的点，E 在A 处的切线为l ，线段AB 的中点为D ，直线//DC x 轴所在的直线交E 于点C ，下列说法正确的是（）A ．若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6B ．切线l 的方程为220x y p -+=C ．若()1*4n n ABC A S n N -∆⋅=∈，则弦AB 对应的抛物线弓形面积大于()121423n n A A A A n -++++≥ D ．若分别取AC BC ，的中点1V ，2V ，过1V ，2V 且垂直y 轴的直线分别交E 于1C ，2C ，则1214ACC BCC ABCS S S ∆∆∆+=【答案】ABD【分析】A 选项直接通过题目中给出的条件进行判断；B 选项联立直线抛物线求出A 点坐标，求导确定斜率，写出切线方程进行判断；C 选项令2n =，进行判断；D 选项根据条件依次求出各点坐标，分别计算三角形的面积进行判断.【详解】A 选项：内接三角形的面积3864⨯=，正确；B 选项：2232y px y x p ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，解得12129,223p p x x y p y p ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩，又A 为第一象限的点，,2p A p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，y y '==21px y ='=，故切线方程为2py p x -=-，即220x y p -+=，正确；C 选项：由()1*4n n ABC A S n N -∆⋅=∈，得124A A =，令2n =，24ABC S A ∆⋅=，弓形面积为222214164433334ABC S A A A A A ∆==++=，所以不等式不成立，错误；D 选项：由9,,322p p A p B p ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭知5,22p D p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，//DC x 轴，,2p C p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又AC BC ，的中点1V ，2V ，易求()()12125,0,,2,0,0,2,222p p V V p C C p p ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，12111222ACC p S C V p =⨯⨯=，22221222BCC p S C V p =⨯⨯= ，21442ABC S CD p p =⨯⨯= ，因此1214ACC BCC ABC S S S ∆∆∆+=成立，正确.故选：ABD.【点睛】本题需要依次判断四个选项，A 选项直接利用定义判断，B 选项关键在于按照切线方程的通用求法进行求解，C 选项通过特殊值进行排除即可，D 选项关键在于求出各点坐标，再求三角形面积进行判断.三、填空题13．（2023春·湖北武汉·的椭圆为“黄金椭圆”，若“黄金椭圆”()2222:10x y C a b a b+=>>两个焦点分别为()1,0F c -、()()2,00F c c >，P 为椭圆C 上的异于顶点的任意一点，点M 是12PF F △的内心，连接PM并延长交12F F 于点N ，则PM PNMN+=______.2/2【分析】根据三角形面积公式、三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可.【详解】如图，连接1MF ，2MF ，设P 到x 轴距离为P d ，M 到x 轴距离为M d ，则1212MF F M P PF F S MN d PN d S ==△△设△12PF F 内切圆的半径为r ，则121211222MF F S F F r c r cr ==⋅⋅=△，121212PF F MF F MPF MPF S S S S =++△△△△1212111222F F r PF r PF r =++121211()22F F r r PF PF =++112222c r r a =⋅⋅+⋅()c a r=+∴1212()MF F M P PF F S MN d cr cPN d S c a r c a====++△△不妨设MN cm =，则()PN c a m =+(0)m >，∴PM PN MN am =-=(0)m >，∴()2211122PM PN am c a m a c MN cm ca+++==+=++=+，2.【点睛】关键点睛：运用三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义是解题的关键.14．（2023春·湖北武汉·高二武汉市吴家山中学校联考期中）已知直线1y kx =-与双曲线224x y -=没有公共点，则k 的取值范围为______.【答案】,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】联立方程得到()221250k x kx -+-=，讨论210k -=，210k -≠两种情况，计算得到答案.【详解】直线方程与双曲线方程联立：2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩得：()221250k x kx -+-=,当210k -=时，即1k =±时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去；当210k -≠时，222420(1)2016k k k ∆=+-=-<0，即>k k <，无公共点.综上所述：>k 2k <-.故答案为：,22⎛⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15．（2023春·湖北孝感·高二统考期中）已知12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点，点A 是双曲线C 的右顶点，点P 在过点A 且斜率为4的直线上，12PF F △为等腰三角形，21120PF F ∠=，则双曲线的离心率为___________.【答案】32【分析】作出辅助线，得到,2PM AM c a ==-，求出PM AM ==离心率.【详解】由题知1222F F PF c ==，过P 作PM x ⊥轴于M ，则260PF M ∠=，222,,2PM F M c AM AF F M c a c c a ∴===+=-+=-，PM AM =23c a =，32e ∴=故答案为：3216．（2023春·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且33AF BF ==，则p =________；设点M 是抛物线C 上的任意一点，点N 是C 的对称轴与准线的交点，则MN MF的最大值为________.【答案】32/1.5【分析】空1：设直线联立方程可得2124p y y =，根据题意可得211232p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，代入可解得32p =；空2：根据抛物线定义1sin MF MD MN MN MND ==∠取到最大值即MND ∠最小，此时直线MN 与抛物线C 相切，利用导数求切线分析求解．【详解】设过点0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线l 为2py kx =+，()()1122,,,A x y B x y 联立方程222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去x 得()2222104p y k py -++=，可得2124p y y =∵33AF BF ==，则可得：211232p y p y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得231224p p p ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得32p =过点M 作准线的垂线，垂足为D ，则可得1sin MFMDMN MN MND==∠若MN MF取到最大值即MND ∠最小，此时直线MN 与抛物线C 相切23x y =，即23x y =，则23y x'=设200,3x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切线斜率023k x =，切线方程为()2000233x y x x x -=-切线过30,4N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入得220023433x x --=-，解得032x =±，即33,24M ⎛⎫± ⎪⎝⎭则33,22MD ND ==，即π4MND ∠=则1sin MFMDMN MN MND==∠故答案为：32．四、解答题17．（2023春·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校联考期中）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为)F ，且点12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上．斜率为k 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，当直线l 的纵截距不为零时，试问是否存在实数k ，使得2||2PQ OP OQ +⋅为定值？若存在，求出此时OPQ △面积的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2214x y +=(2)存在，1【分析】（1）由右焦点为)F ，得到c =12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在椭圆上，利用椭圆的定义求得a 即可；（2）设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，与椭圆方程联立，结合向量运算，运用韦达定理，由2||2PQ OP OQ +⋅为定值求得k ，再求得PQ 和点O 到直线l 的距离d ，由12OPQ S d PQ =⨯⨯ 求解.【详解】（1）解：由题意知：c =由椭圆的定义得：122a =，即22431a b ==-=，，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）如图所示：由题意设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得()222418440k x kmx m +++-=，当()()222264164110k m k m ∆=-+->，即22410k m -+>时满足题意，设()11P x y ，，()22Q x y ，，则122841km x x k -+=+，21224441m x x k -⋅=+，22||2()2,PQ OP OQ OQ OP OP OQ +⋅=-+⋅ ()2222123||2,4OP OQ x x =+=++ ()()2222222222264164124624622(41)(41)m k k k m m k k k -++-++=+=+++，若2||2PQ OP OQ +⋅ 为定值，则上式与2m 无关，故2410k -=，得12k =±，此时214PQ k==+又点O 到直线l的距离d =以2212122OPQm m S d PQ m +-=⨯⨯=⋅= ，当且仅当m =即1m =±时，等号成立．经检验，此时0∆>成立，所以OPQ △面积的最大值为1【点睛】思路点睛：本题第二问的思路是由2||2PQ OP OQ +⋅为定值，结合韦达定理求得k ，再利用弦长公式求得PQ 和点O 到直线l 的距离d ，然后由12OPQ S d PQ =⨯⨯ 而得解.18．（2023春·江苏南京·高二金陵中学校考期中）已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为A ，B ．直线l 与C 相切，且与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点，M 在N 的左侧．(1)若直线l 的斜率12k =，求原点O 到直线l 的距离；(2)记直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值．【答案】(1)5(2)证明见解析【分析】（1）设出直线l 方程，根据直线l 与C 相切求出2m =或2m =-，再利用点到直线距离公式即可求出.（2）设直线l 方程为y kx m =+，根据直线l 与C 相切求出2243m k =+，再把直线方程与圆的方程联立，借助韦达定理得到12,x x 关系式，代入12k k 即可化简出定值.【详解】（1）由题意知直线l 斜率存在，设直线l 方程为y kx m =+，与椭圆22:143x y C +=联立得222(34)84120k x kmx m +++-=.因为直线l 与C 相切，所以222(8)4(34)(412)km k m ∆=-+-2248(43)0k m =-+=，故2243m k =+.当12k =时，24m =，2m =或2m =-，直线l 方程为122y x =±.所以原点O 到直线l的距离为5d ==.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，12x x <，由已知可得()2,0A -，()2,0B ，∴1112y k x =+，1212=-y k x .由（1）得11y kx m =+，22y kx m =+，2243m k =+.所以()()()()()()()2212121212121212211221222424kx m kx m k x x km x x m y y k k x x x x x x x x x x +++++===+-+--+--①，由224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2221240k x kmx m +++-=，由韦达定理得222(2)4(1)(4)km k m ∆=-+-2216(44)160k m =-+=>，12221km x x k +=-+，212241m x x k -=+，故()()()()()22222221222222244444441111k m k m m x x k k k k -+--=-⨯==++++，∴21221x x k -=+，代入①式整理可得()()()2222222212222242143444441k m k m m k m k k k m k m k --++-===----+-+，所以12k k 为定值．19．（2023春·湖北孝感·高二统考期中）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在x轴上，焦距等于12P ⎫⎪⎭.(1)求椭圆G 的标准方程；(2)记椭圆G 的左､右顶点分别为A ，B ，点S 是椭圆G 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线5:2l x =分别相交于M ，N 两点，求线段MN 的长度的最小值.【答案】(1)2214x y +=(2)32【分析】（1）利用定义法求椭圆方程；（2）法一：设()00,S x y ，15,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭，25,2N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别表示直线AS ，BS 的方程，分别联立直线与5:2l x =，可得1y 与2y 关系，利用两点间距离公式结合基本不等式可得最值；法二：根据AS ，BS 的斜率及统一发出可得斜率间的关系，设直线AS 的斜率为k ，可表示M 与N 的坐标，再利用基本不等式求最值.【详解】（1）由已知得c =则椭圆的两焦点坐标分别为()1F，)2F ，又122F P F P a +=2a =，解得2a =，又2221b a c =-=，所以椭圆G 的方程为2214x y +=；（2）法一：设()00,S x y ，15,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭，25,2N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AS 方程为()00:22AS y l y x x =++，与5:2l x =联立，得：()010922y y x =+直线BS 方程为()00:22BS y l y x x =--，与5:2l x =联立，得：()02022y y x =-则()201220944y y y x =-，又220014x y +=，()20122091491644x y y x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==--，所以()()121212322MN y y y y y y =-=+-≥-=，当且仅当12y y =-，即()()000092222y y x x =-+-，得085x =，即83,55S ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，取等号，所以，线段MN 的长度的最小值32；法二：设()00,S x y ，则直线AS 的斜率为0002y x >+，则直线BS 的斜率为002y x -，结合220014x y +=得：2000200012244y y y x x x ⋅==-+--所以可设直线AS 方程为()():20AS l y k x k =+>，与5:2l x =联立，得59,22M k ⎛⎫⎪⎝⎭，设直线BS 方程为()1:24BS l y x k =--，与5:2l x =联立，得51,28N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭所以91919322828162k k MN k k ⎛⎫=--=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当9128k k =，即16k =，此时83,55S ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，取等号所以，线段MN 的长度的最小值32.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20．（2023春·湖北孝感·高二统考期中）如图所示，已知直线与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且,OA OB OD AB ⊥⊥交AB 于点D ，点D 的坐标为()2,2(1)求p 的值；(2)若线段AB 的垂直平分线与抛物线交于,E F 两点，求OEF 的面积.【答案】(1)2(2)48【分析】（1）根据题意求得:4AB l y x =-+，联立方程组得到12122,8y y p y y p +=-=-，根据OA OB ⊥，得到12120x x y y +=，列出方程求得2p =，即可求得抛物线的方程；（2）设AB 中点为00(,)M x y ，由（1）求得:26EF l y x +=-，联立方程组求得4E F y y +=和32E F y y =-，得到12E F y y -=，进而求得OEF S 的值.【详解】（1）解：由OD AB ⊥于点()2,2D ，可得1OD k =，所以1AB k =-，所以直线AB l 的为2(2)y x -=--，即:4AB l y x =-+，联立方程组242y x y px=-+⎧⎨=⎩，整理得2280y py p +-=，设()()1122,,,A x y B x y ，可得2Δ4320p p =+>，且12122,8y y p y y p +=-=-，又由OA OB ⊥，可得12120x x y y +=，所以()21212204y y y y p +=，即22(8)804p p p--+=，解得2p =，所以抛物线的方程为24y x =.（2）解：设AB 中点为00(,)M x y ，由（1）知12022y y y p +==-=-，所以0046x y =-=，所以:26EF l y x +=-，即80x y --=，联立方程组2804x y y x--=⎧⎨=⎩，整理得24320y y --=，易得0∆>，设()(),,,E E F F E x y F x y ，可得4,32E F E F y y y y ==-+，所以12E F y y -=，所以18482OEF E F S y y =⨯⨯-= .21．（2023春·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中）已知椭圆E ：()222210,0x y a b a b +=>>1F ，2F ，T 为椭圆E 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过点()2,0P 的直线与椭圆E 交于B ，C 两点，过点B ，C 分别作直线l ：x t =的垂线（点B ，C 在直线l 的两侧）.垂足分别为M ，N ，记BMP ，MNP △，CNP 的面积分别为1S ，2S ，3S ，试问：是否存在常数t ，使得1S ，212S ，3S 总成等比数列？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2212x y +=(2)存在，1t =【分析】（1）椭圆a ，b ，c 得关系以及条件列方程求解即可；（2）依题意作图，设l 的方程并与椭圆方程联立，求出123,,S S S 得解析式，再根据等比数列的定义求解.【详解】（1）因为椭圆E的离心率为2，所以2c a =，又当T 位于上顶点或者下顶点时，12TF F △面积最大，即1bc =，又222a b c =+，即22221c a bc a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1b c ==，a =，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=；（2）由已知得，BC 的斜率存在，且B ，C 在x 轴的同侧，设直线BC 的方程为()2y k x =-，()11,B x y ，()22,C x y ，不妨设12x x <，则120y y >，12x t x <<，由()22212y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得()2222128820k x k x k +-+-=，所以()28120k ∆=->，2122812k x x k +=+，21228212k x x k -⋅=+，因为()11112S t x y =-，()221122S t y y =--，()32212S x t y =-，所以()()()()13211221121144S S x t t x y y x t t x y y ⋅=--=--()()()()221121224k x t t x x x =----()()22121212121244k t x x x x t x x x x ⎡⎤=+-⋅-⋅⋅-++⎡⎤⎣⎦⎣⎦2222222222188282164412121212k k k k k t k k k k ⎛⎫⎛⎫--=--⋅-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()22222212222412k k t t k ⎡⎤=---+⎣⎦+，()()()()222222221211112241616S t y y k t x x =--=--()()222211212416k t x x x x ⎡⎤=-+-⎣⎦()2222222183282161212kk k t k k ⎡⎤⎛⎫-=-⎢-⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()22222212222412k k t t k ⎡⎤=⋅--+-⎣⎦+，要使1S ，212S ，3S 总成等比数列，则应有()2222t t -+=-解得1t =，所以存在1t =，使得1S ，212S ，3S 总成等比数列.【点睛】本题的难点在于计算很繁琐，需要用12,,,x x k t 表达123,,S S S ，难度并不大，计算过程需要仔细，每计算一步都要核对是否正确.22．（2023春·湖北武汉·高二武汉市吴家山中学校联考期中）以椭圆2222 :10y x C a b a b +=（＞＞）的中心O “伴随”．已知椭圆的离心率为2，且过点12⎛ ⎝．（1）求椭圆C 及其“伴随”的方程；（2）过点()0,P m 作“伴随”的切线l 交椭圆C 于A ，B 两点，记(AOB O ∆为坐标原点）的面积为AOB S ∆，将AOB S ∆表示为m 的函数，并求AOB S ∆的最大值．【答案】（1）2214y x +=,221x y +=；（2）AOB S ∆=1m ≥，AOB S ∆的最大值为1．【分析】（1）由椭圆C 的离心率，结合,,a b c 的关系，得到2a b =，设出椭圆方程，代入点12⎛ ⎝，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；（2）设切线l 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，消去y 得到x 的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到AB 的长，由l 与圆221x y +=相切，得到,k m 的关系式，求出ABC ∆的面积，运用基本不等式，即可得到最大值．【详解】（1）椭圆2222 :10y x C a b a b +=（＞＞）的离心率为2，可得2c a =，即2c a =又由222c a b =-，可得2a b =，设椭圆C 的方程为222214y x b b+=，因为椭圆C过点12⎛ ⎝，代入可得2231144b b +=，解得1,2b a ==，所以椭圆C 的标准方程为2214y x +=，1=，即“伴随圆”是以原点为圆心，半径为1的圆，所以椭圆C 的“伴随”方程为221x y +=．（2）由题意知，1m ≥，易知切线l 的斜率存在，设切线l 的方程为y kx m =+，由2214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224240k x k mx m +++-=，设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则12224km x x k +=-+，212244m x x k -=+．又由l 与圆x 2+y 2=11=，k 2=m 2-1．所以AB ==则12AOB S AB == 1m ≥，可得13AOB S m m=+（当且仅当m =，所以当m =S △AOB 的最大值为1．【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式的运用，考查直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．。
云南大学《解析几何》期中试题参考答案
云南大学 数学与统计学院 2011年秋季学期2011级数理基础科学专业《解析几何》期中考试（闭卷）学号：________ 姓名：_______一、填空（每空2分，共10分）：1、a 、b 共线的一个充要条件是：0, 00a b a b λμλμ⨯=+=或（、不全为）； 2、b a ⨯的几何意义是：b a⨯的模等于以a 、b 为邻边的平行四边形面积 ； 3、)(c b a的几何意义是；等于以a 、b 、c 为棱的平行六面体的（有向）体积 ；4、设{}111,,z y x a = ，{}222,,z y x b = ，则b a=121212x x y y z z ++；5、a的三个方向余弦αcos 、βcos 、γcos 满足恒等式222cos cos cos 1αβγ++=。
二、证明以下各题（每小题10分，共20分）：1、若0a b c ++=，则a c c b b a ⨯=⨯=⨯； 证明：∵0a b c ++=∴()a b c =-+，于是()a b b c b b b c b b c ⨯=-+⨯=-⨯-⨯=⨯同理可证b c c a ⨯=⨯从而有a c c b b a ⨯=⨯=⨯。
2、用向量法证明平行四边形的对角线互相平分。
证明： ∵□ABCD 是平行四边形，D A B C O∴AD BC = 。
而AD AO OD =+ ，BC BO OC =+，即有AO OD BO OC +=+ ，也就是AO OC BO OD -=-但 AO OC BO OD --与不共线，故必有0AO OC BO OD -=-= ，从而 AO OC BO OD == ，。
于是证得平行四边形的对角线互相平分。
三、计算题（共70分。
其中第1题10分，其余每题15分）：1、求与平面1:1=--z y x π，1:2=-+z y x π 的交线平行且经过坐标原点的直线方程。
解：直线的方向向量{}{}{}1,1,11,1,121,0,1s =--⨯-=所求直线的方程为101x y z== 或 0x zy =⎧⎨=⎩。
解析几何 华中师大一附中高二(上)期中数学试卷解析版
2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若直线l的方向向量是，则直线l的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（5分）直线l1：x+my﹣2＝0，l2：mx+（m﹣2）y﹣3＝0，若l1⊥l2，则m的值为（）A．0B．1C．2D．0或13．（5分）在下列四个命题中，正确的是（）A．若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大B．过点P（x0，y0）的直线方程都可以表示为：y﹣y0＝k（x﹣x0）C．经过两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程都可以表示为：（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝04．（5分）已知直线l：x+y﹣4＝0上动点P，过点P向圆x2+y2＝1引切线，则切线长的最小值是（）A．B．C．D．5．（5分）已知F1，F2分别为椭圆E：＝1的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形PF1F2的重心，则点G的轨迹方程为（）A．x2+9y2＝1B．x2+9y2＝1（y≠0）C．D．6．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），点关于直线y＝x的对称点落在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）过椭圆C：＝1（a＞b＞0）左焦点F（﹣c，0）作倾斜角为的直线l，与椭圆C交于A，B两点，其中P为线段AB的中点，线段PF的长为c，则椭圆C 的离心率为（）A．B．C．D．8．（5分）已知过定点（2，﹣2）的直线l与圆C：x2+y2+6x﹣6y﹣36＝0相交于A，B两点，当线段AB的长为整数时，所有满足条件直线l的条数为（）A．11B．20C．21D．22二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）对于曲线C：＝1，下面说法正确的是（）A．若k＝3，曲线C的长轴长为4B．若曲线C是椭圆，则k的取值范围是2＜k＜7C．若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是k＞7D．若曲线C是椭圆且离心率为，则k的值为（多选）10．（5分）已知两圆方程为x2+y2＝4与（x﹣3）2+（y+4）2＝r2（r＞0），则下列说法正确的是（）A．若两圆外切，则r＝3B．若两圆公共弦所在的直线方程为3x﹣4y﹣2＝0，则r＝5C．若两圆的公共弦长为，则D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝4（多选）11．（5分）已知A，B两点的距离为定值2，平面内一动点C，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，三角形的面积为S，下面说法正确的是（）A．若，则S最大值为2B．若，则S最大值为C．若a+b＝4，则S最大值为D．若，则S最大值为1（多选）12．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，下列说法正确的是（）A．若点T的坐标为，P是椭圆上一动点，则线段PT长度的最小值为B．若椭圆上恰有6个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，则椭圆E的离心率的取值范围是C．若圆T的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆T的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是D．若点T的坐标为（0，b），椭圆上存在点P使得，则椭圆E的离心率的取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为（2，0），则a＝．14．（5分）写出使得关于x，y的方程组无解的一个a的值为.（写出一个即可）15．（5分）已知椭圆E：＝1的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，Q点坐标是（1，3），则|PQ|+|PF|的最大值是．16．（5分）已知直线l：3x+y+m＝0与圆C：（x﹣2）2+（y+2）2＝16相交于A，B两点，O 为坐标原点，若A，B，C，O四点共圆，则m的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）直线l过点A（1，1），且倾斜角比直线y＝x+1的倾斜角大．（1）求直线l的方程；（2）若直线m与直线l平行，且距离为，求直线m的方程．18．（12分）已知三点O（0，0），P（4，0），Q（0，2）都在圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2上．（1）试求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B，且以AB为直径的圆恰好过点C，求直线l的方程．19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0．（1）求过点（2，0）且与圆C相切的直线方程；（2）已知点A（﹣2，0），B（2，2）．则在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2＝28？若存在，求点P的个数，若不存在，说明理由．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，，PA⊥底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．（1）若G是线段PC的中点，试证明EG∥平面PAD；（2）已知直线AG与平面AEF所成角为45°．①若△PEG和△PBC的面积分别记为S1，S2，试求的值；②求三棱锥的P﹣EFG体积．21．（12分）已知椭圆E：的离心率为，点在椭圆E 上，F为其左焦点，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）试求△OAB面积的最大值以及此时直线l的方程．22．（12分）椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，满足＝0，且△MF1F2的面积为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，已知k1＝2k2.过点B作直线PQ的垂线，垂足为H，问：在平面内是否存在定点T，使得|TH|为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．2022-2023学年湖北省武汉市华中师大一附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若直线l的方向向量是，则直线l的倾斜角是（）A．B．C．D．【分析】根据直线l的方向向量写出倾斜角的正切值，进而求出倾斜角的值．【解答】解：∵直线l的方向向量是，∴倾斜角α的正切值为tanα＝＝﹣；又α∈[0，π），则l的倾斜角为α＝，故选：C．【点评】本题考查三角函数的公式与应用问题，也考查了直线方向向量的应用问题，是基础题目．2．（5分）直线l1：x+my﹣2＝0，l2：mx+（m﹣2）y﹣3＝0，若l1⊥l2，则m的值为（）A．0B．1C．2D．0或1【分析】利用直线垂直的性质求解．【解答】解：∵l1⊥l2，∴1×m+m（m﹣2）＝0，∴m2﹣m＝0，∴m＝0或m＝1，故选：D．【点评】本题考查直线垂直的性质．属于基础题．3．（5分）在下列四个命题中，正确的是（）A．若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大B．过点P（x0，y0）的直线方程都可以表示为：y﹣y0＝k（x﹣x0）C．经过两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程都可以表示为：（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）D．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0【分析】利用直线的斜率以及直线的点斜式方程等逐项判断即可．【解答】解：倾斜角的范围为（0，）时，直线斜率k＞0；倾斜角的范围为（，π）时，直线斜率k＜0，故A错误；B、当过点P（x0，y0）的直线斜率不存在时，直线方程不能表示为y﹣y0＝k（x﹣x0），本选项错误；C、经过两个不同点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线的方程无论斜率存在不存在，都可表示为（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（y2﹣y1）（x﹣x1），本选项正确，由于经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线可能经过原点，此时直线方程为y＝x，故D错误．故选：C．【点评】本题考查直线方程的几种形式：直线的两点式方程，截距式方程，点斜式方程以及斜截式方程，属基础题．4．（5分）已知直线l：x+y﹣4＝0上动点P，过点P向圆x2+y2＝1引切线，则切线长的最小值是（）A．B．C．D．【分析】根据切线的性质可得切线长＝＝，要使切线长最短，则要求OP最短，当OP⊥l时，满足要求．利用点到直线距离公式、勾股定理即可得出结论．【解答】解：根据切线的性质可得切线长＝＝，要使切线长最短，则要求OP最短，当OP⊥l时，满足要求．此时OP＝＝2，∴切线长的最小值＝＝，故选：A．【点评】本题考查了圆的方程、切线的性质、勾股定理、点到直线距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．（5分）已知F1，F2分别为椭圆E：＝1的左、右焦点，P是椭圆E上一动点，G点是三角形PF1F2的重心，则点G的轨迹方程为（）A．x2+9y2＝1B．x2+9y2＝1（y≠0）C．D．【分析】根据三角形的重心坐标公式及“相关点“法即可求解．【解答】解：设G（x，y），（y≠0），设P为（m，n），又易知F1（﹣，0），F2（，0），∴根据三角形的重心坐标公式可得：，∴，∴P（3x，3y），又P在椭圆E：＝1上，∴，（y≠0），即x2+9y2＝1（y≠0），∴G的轨迹方程为x2+9y2＝1（y≠0），故选：B．【点评】本题考查“相关点“法求轨迹方程，三角形的重心坐标公式，属基础题．6．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），点关于直线y＝x的对称点落在椭圆C上，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】先求出点关于直线y＝x的对称点，接着根据题意建立方程，再转化为e的方程，最后解方程即可求解．【解答】解：∵点关于直线y＝x的对称点为（，），∴根据题意可得，∵，∴，∴2（1﹣e2）2﹣5（1﹣e2）+2＝0，解得1﹣e2＝2或，又e2∈（0，1），∴，∴e＝．故选：D．【点评】本题考查点关于线对称问题，方程思想的应用，属中档题．7．（5分）过椭圆C：＝1（a＞b＞0）左焦点F（﹣c，0）作倾斜角为的直线l，与椭圆C交于A，B两点，其中P为线段AB的中点，线段PF的长为c，则椭圆C 的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆中倾斜角的焦半径公式即可求解．【解答】解：根据椭圆中倾斜角的焦半径公式可得：，（θ为过焦点的直线的倾斜角），设B点在x轴上方，A点在x轴下方，又θ＝，∴，∴AB＝BF+AF＝，∴PF＝＝，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∴e＝．故选：D．【点评】本题考查椭圆的几何性质，椭圆中倾斜角的焦半径公式的应用，属中档题．8．（5分）已知过定点（2，﹣2）的直线l与圆C：x2+y2+6x﹣6y﹣36＝0相交于A，B两点，当线段AB的长为整数时，所有满足条件直线l的条数为（）A．11B．20C．21D．22【分析】圆C：x2+y2+6x﹣6y﹣36＝0配方化为：（x+3）2+（y﹣3）2＝54．可得圆心C（﹣3，3），半径r＝．由|PC|＝＜，可知定点P（2，﹣2）在圆C内部．过定点P（2，﹣2）的直线l与圆C相交时，最长弦长为2r＝；CP与直线l垂直时，弦长|AB|最短，进而判断出距离．【解答】解：圆C：x2+y2+6x﹣6y﹣36＝0配方化为：（x+3）2+（y﹣3）2＝54．可得圆心C（﹣3，3），半径r＝．由|PC|＝＝＜，可知定点P（2，﹣2）在圆C内部．过定点P（2，﹣2）的直线l与圆C相交时，最长弦长为2r＝，CP与直线l垂直时，弦长|AB|最短，最短弦长＝2＝2＝4，因此4≤|AB|≤，又14＜＜15，因此满足条件直线l的条数＝（14﹣4）×2+1＝21．故选：C．【点评】本题考查了圆的方程、直线与圆相交弦长问题、点到直线距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）对于曲线C：＝1，下面说法正确的是（）A．若k＝3，曲线C的长轴长为4B．若曲线C是椭圆，则k的取值范围是2＜k＜7C．若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是k＞7D．若曲线C是椭圆且离心率为，则k的值为【分析】根据椭圆的几何性质，双曲线的几何性质即可求解．【解答】解：对A选项，若k＝3，则曲线C可化为：，∴曲线C的长轴长为2a＝4，∴A选项正确；对B选项，若曲线C是椭圆，则，解得2＜k＜7，且k≠，∴B选项错误；对C选项，若曲线C是焦点在x轴上的双曲线，则，∴k＞7，∴C选项正确；对D选项，若曲线C是椭圆且离心率为，则或，解得k＝或k＝，∴D选项正确．故选：ACD．【点评】本题考查椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，属基础题．（多选）10．（5分）已知两圆方程为x2+y2＝4与（x﹣3）2+（y+4）2＝r2（r＞0），则下列说法正确的是（）A．若两圆外切，则r＝3B．若两圆公共弦所在的直线方程为3x﹣4y﹣2＝0，则r＝5C．若两圆的公共弦长为，则D．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r＝4【分析】根据题意，由圆的方程求出圆的圆心和半径和圆心距，据此依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝4的圆心为（0，0），半径为2，圆（x﹣3）2+（y+4）2＝r2的圆心为（3，﹣4），半径为r，两圆的圆心距d＝＝5，据此依次分析选项：对于A，两圆外切，则d＝2+r＝5，则r＝3，A正确，对于B，，联立可得：6x﹣8y﹣29+r2＝0，若两圆公共弦所在的直线方程为3x﹣4y﹣2＝0即6x﹣8y﹣4＝0，则有r2﹣29＝﹣4，则r＝5，B正确，对于C，若两圆的公共弦长为，则圆x2+y2＝4的圆心（0，0）到6x﹣8y﹣29+r2＝0的距离为1，可得1＝＝1，可得r2＝19或39，故r＝或，故C 不正确，对于D，若两圆在交点处的切线互相垂直，则有r2+4＝25，则r＝，D不正确；故选：AB．【点评】本题考查圆与圆位置关系，涉及圆的标准方程，属于中档题．（多选）11．（5分）已知A，B两点的距离为定值2，平面内一动点C，记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，三角形的面积为S，下面说法正确的是（）A．若，则S最大值为2B．若，则S最大值为C．若a+b＝4，则S最大值为D．若，则S最大值为1【分析】由平面向量数量积的运算，结合圆锥曲线的几何性质逐一判断即可得解．【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），设C（x，y），对于选项A，若，则点C的轨迹方程为x2+y2＝1，（x≠±1），则S＝，即S的最大值为1，即选项A错误；对于选项B，若，则，即（x﹣3）2+y2＝8，（y≠0），则，则，则S的最大值为，即选项B 正确；对于选项C，若a+b＝4，由椭圆的定义可得，点C的轨迹方程为，（y≠0），即，则，则S的最大值为，即选项C正确；对于选项D，若，则，即x2+4y2＝1，（y≠0），则，即，则S的最大值为，即选项D错误，故选：BC．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了圆锥曲线的几何性质，属中档题．（多选）12．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，下列说法正确的是（）A．若点T的坐标为，P是椭圆上一动点，则线段PT长度的最小值为B．若椭圆上恰有6个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，则椭圆E的离心率的取值范围是C．若圆T的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆T的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是D．若点T的坐标为（0，b），椭圆上存在点P使得，则椭圆E的离心率的取值范围是【分析】A选项，设出P（m，n），m∈[﹣a，a]，则，表达出，分与两种情况，得到不同情况下的线段PT长度的最小值，A错误；B选项，先得到上下顶点能够使得△PF1F2为等腰三角形，再数形结合得到F1为圆心，F1F2为半径作圆，只能交椭圆与于不同于上下顶点的P1，P2两点，列出不等式组，求出答案；C选项，分与两种情况，第一种情况成立，第二种情况下得到P点与上顶点或下顶点重合时，∠OPB最大，数形结合列出不等式，最终求出离心率的取值范围；D选项，设P（m，n），m∈[﹣a，a]，n∈[﹣b，b]，则，表达出，问题转化为在[﹣b，b]上有解问题，数形结合得到，求出离心率的取值范围．【解答】解：设P（m，n），m∈[﹣a，a]，则，＝，若b＜c，此时，此时当时，|PT|2取得最小值，最小值为，线段PT长度的最小值为；若b≥c，此时，此时当m＝a时，|PT|2取得最小值，最小值为，故A错误；如图，椭圆左右顶点为A，B，上下顶点为C，D，显然上下顶点能够使得△PF1F2为等腰三角形，要想椭圆上佮有6个不同的点P，使得△PF1F2为等腰三角形，以F1为圆心，F1F2为半径作圆，只能交椭圆于不同于上下顶点的P1，P2两点，则要满足|F1A|＜|F1Q|，且|F1C|≠|F1P1|，即，解得：，且，故椭圆E的离心率的取值范围是，B正确；若，此时与椭圆有公共点，故存在点P，过P作圆T的两条切线，切点分别为A，B，使得，此时a2≥4（a2﹣c2），即；若，即时，如图所示：连接OP，OB，显然，则，因为y＝sin x在上单调递增，要想∠OPB最大，只需sin∠OPB最大，故当|OP|最小时，满足要求，故P点与上顶点或下顶点重合时，∠OPB最大，故当时满足要求，所以，即，所以a2≥3（a2﹣c2），解得：，所以．综上：若圆T的方程为，椭圆上存在点P，过P作圆T的两条切线，切点分别为A，B，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是，C正确；设P（m，n），m∈[﹣a，a]，n∈[﹣b，b]，则，＝，椭圆上存在点P使得，即在[﹣b，b]上有解，即在[﹣b，b]上有解，令，注意到，，故只需满足，由①得：，由②得：或，综上：，则椭圆E的离心率的取值范围是，D正确．故选：BCD．【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为（2，0），则a＝1．【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b即可．【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程是y＝x，可得＝，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c＝2，即a2+b2＝4，解得a＝1，b＝，所以双曲线方程为x2﹣＝1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属基础题．14．（5分）写出使得关于x，y的方程组无解的一个a的值为1.（写出一个即可）【分析】由原方程组得方程所对应的两直线平行，得，再解方程即可．【解答】解：，则，∵关于x、y的方程组无解，即方程所对应的两直线平行，可得，∴a2﹣1＝0，解得a＝±1，故a的值可以为1．故答案为：1．【点评】本题考查了两直线的位置关系，关键是把解二元一次方程组转化成两直线的位置关系求解，是基础题．15．（5分）已知椭圆E：＝1的右焦点F，P是椭圆E上的一个动点，Q点坐标是（1，3），则|PQ|+|PF|的最大值是13．【分析】根据椭圆的几何性质及三角形的性质即可求解．【解答】解：由题意可得椭圆E：＝1的左焦点F′为（﹣3，0），Q（1，3），又|PQ|+|PF|＝|PQ|+（2a﹣|PF′|）＝|PQ|﹣|PF′|+2a≤|QF′|+2a＝+2×4＝13，当且仅当F′，P，Q三点共线时，取得等号，∴|PQ|+|PF|的最大值是13，故答案为：13．【点评】本题考查椭圆的几何性质，三角形的性质，属基础题．16．（5分）已知直线l：3x+y+m＝0与圆C：（x﹣2）2+（y+2）2＝16相交于A，B两点，O 为坐标原点，若A，B，C，O四点共圆，则m的值为4．【分析】由圆C：（x﹣2）2+（y+2）2＝16可得圆心C，半径r，线段AB的垂直平分线所在直线方程为：x﹣3y+t＝0，由于此直线经过圆心，可得t．线段OC的垂直平分线方程为：x﹣y﹣2＝0．联立，解得坐标设为G，求出点G到直线l的距离h，点C到直线l的距离d，|AB|＝2，根据A，B，C，O四点共圆，可得+h2＝|OG|2，即可得出m．【解答】解：由圆C：（x﹣2）2+（y+2）2＝16可得圆心C（2，﹣2），半径r＝4，线段AB的垂直平分线所在直线方程为：x﹣3y+t＝0，由于此直线经过圆心，∴2﹣3×（﹣2）+t＝0，解得t＝﹣8．∴直线方程为x﹣3y﹣8＝0，线段OC的垂直平分线方程为：y﹣（﹣1）＝x﹣1，化为x﹣y﹣2＝0．联立，解得，设为G（﹣1，﹣3），点G到直线l的距离h＝＝，点C到直线l的距离d＝＝，|AB|＝2，∵A，B，C，O四点共圆，∴+h2＝|OG|2，∴16﹣+＝（﹣1）2+（﹣3）2，解得m＝4．【点评】本题考查了圆的方程、垂直平分线的性质与方程、点到直线距离公式、弦长公式、四点共圆，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）直线l过点A（1，1），且倾斜角比直线y＝x+1的倾斜角大．（1）求直线l的方程；（2）若直线m与直线l平行，且距离为，求直线m的方程．【分析】（1）根据已知条件，结合直线的斜率倾斜角的关系，以及正切函数的两角和公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合直线平行的性质，以及两直线平行的距离公式，即可求解．【解答】解：（1）设直线l的倾斜角为α，直线y＝x+1的倾斜角为β，∵倾斜角比直线y＝x+1的倾斜角大，∴，，∴＝，∵直线l过点A（1，1），∴直线l的方程为y﹣1＝3（x﹣1），即3x﹣y﹣2＝0．（2）∵直线m与直线l平行，∴可设直线m的方程为3x﹣y+n＝0，∵直线m与直线l的距离为，∴，解得n＝8或n＝﹣12，故直线m的方程为3x﹣y+8＝0或3x﹣y﹣12＝0．【点评】本题主要考查两直线平行的距离公式，属于基础题．18．（12分）已知三点O（0，0），P（4，0），Q（0，2）都在圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2上．（1）试求圆C的方程；（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B，且以AB为直径的圆恰好过点C，求直线l的方程．【分析】（1）由题意知三点O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的△OPQ是以PQ为斜边的直角三角形，覆盖它且面积最小的圆是△OPQ的外接圆，结合直角三角形的性质进而圆心与半径，即可得出圆C的方程．（2）设直线l的方程是：y＝x+b，根据CA⊥CB，可得圆心C到直线l的距离d，利用点到直线的距离公式可得关于b的方程，解得b即可得出结论．【解答】解：（1）由题意知三点O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的△OPQ是以PQ为斜边的直角三角形，∴覆盖它且面积最小的圆是△OPQ的外接圆，故圆心是PQ的中点（2，1），半径r＝|PQ|＝＝，∴圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5．（2）设直线l的方程是：y＝x+b．∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是×＝，解得：b＝﹣1±．∴直线l的方程是：x﹣y﹣1+＝0或x﹣y﹣1﹣＝0．【点评】本题考查了圆的方程、直角三角形的性质、点到直线距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）已知圆C：x2+y2﹣6x﹣4y+12＝0．（1）求过点（2，0）且与圆C相切的直线方程；（2）已知点A（﹣2，0），B（2，2）．则在圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2＝28？若存在，求点P的个数，若不存在，说明理由．【分析】（1）由点到直线的距离公式列式求解；（2）由题意列式得P轨迹方程，由圆和圆的位置关系求解．【解答】解：（1）由题意圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，圆心C（3，2），半径r＝1，①当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝2，符合题意；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程l：y＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k＝0，则圆心C到直线l的距离，解得，所以直线l的方程为即3x﹣4y﹣6＝0，综上，直线l的方程为x＝2或3x﹣4y﹣6＝0；（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，又PA2+PB2＝（x+2）2+（y﹣0）2+（x﹣2）2+（y﹣2）2＝28，即x2+（y﹣1）2＝9，P的轨迹是圆心为（0，1），半径为3的圆．因为，所以圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1与圆x2+（y﹣1）2＝9相交，所以点P的个数为2．【点评】本题考查了直线与圆相切的性质、两个圆相交的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，，PA⊥底面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，G是线段PC上的一点．（1）若G是线段PC的中点，试证明EG∥平面PAD；（2）已知直线AG与平面AEF所成角为45°．①若△PEG和△PBC的面积分别记为S1，S2，试求的值；②求三棱锥的P﹣EFG体积．【分析】（1）根据题意，由中位线定理可得EG∥BC，又BC∥AD，则EG∥AD，由线面平行的判定定理，即可得出答案．（2）分别以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，设平面AEF的法向量，则，解得，设（0＜λ＜1），由直线AG与平面AEF所成角为45°，则sin45°＝|cos＜，＞|，解得λ；①由＝，即可得出答案．②因为，且，即可得出答案．【解答】解：（1）证明：因为E，G分别为线段PB，PC，所以EG∥BC，又因为BC∥AD，所以EG∥AD，EG⊄面PAD，AD⊂面PAD，所以EG∥面PAD．（2）分别以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示，A（0，0，0），，，P（0，0，2），D（0，2，0），，F（0，1，1），，，设平面AEF的法向量，则，所以，取＝（，1，﹣1），设（0＜λ＜1），则，则，整理得8λ2﹣2λ﹣3＝0，解得或（舍去），①，②因为，且，所以．【点评】本题考查空间中直线与平面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．21．（12分）已知椭圆E：的离心率为，点在椭圆E 上，F为其左焦点，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）试求△OAB面积的最大值以及此时直线l的方程．【分析】（1）根据椭圆的离心率，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，利用韦达定理及弦长公式，换元，结合对勾函数的图像与性质，即可求得△OAB面积的最大值以及此时直线l的方程．【解答】解：（1）根据题意可得：，，又a2＝b2+c2，解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，故椭圆C的标准方程为：．（2）①当直线l斜率为零时，显然不满足题意；②直线l的斜率不为零，设其方程为：x＝my﹣1，联立椭圆方程：可得：（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，，，点O到直线AB的距离，，令，则m2＝t2﹣1，故，对函数，t∈[1，+∞），易知在[1，+∞）单调递增，所以在[1，+∞）单调递减，故，当且仅当t＝1，即m＝0时取得等号；故△OAB面积的最大值为，此时直线l的方程x＝﹣1．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，利用对勾函数的单调性求得最值，考查转化思想，属于中档题．22．（12分）椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，点M为椭圆上位于x轴上方的一点，满足＝0，且△MF1F2的面积为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l交椭圆C于P，Q两点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，已知k1＝2k2.过点B作直线PQ的垂线，垂足为H，问：在平面内是否存在定点T，使得|TH|为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．【分析】（1）方法一：由，利用三角形的面积公式及勾股定理和椭圆的定义，可求得a和b的值，求得椭圆方程，方法二：利用焦点三角形的面积公式结合，即可求得b的值，再利用，即可求得a的值，求得椭圆方程；（2）由题意可知，直线l的斜率必存在且不为0，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，及直线的斜率公式，化简，可得直线PQ恒过定点M，因此点H在以BM为直径的圆上，点T为BM的中点．【解答】解：（1）方法一：因为，所以，即，所以，所以|MF1|⋅|MF2|＝4，又|MF1|+|MF2|＝2a，，，所以，即4a2﹣2×4＝8，所以a2＝4，所以b2＝a2﹣c2＝2，所以椭圆方程为；方法二：因为，所以，即，由△MF1F2的面积，所以b2＝2，由，则，a2＝b2+c2＝4，所以椭圆方程为；（2）存在定点，使得|TH|为定值．依题意A（﹣2，0），B（2，0），设，Q（x2，y2），若直线PQ的斜率为0，则P，Q关于y轴对称，必有k AP＝﹣k BQ，不合题意．所以直线PQ斜率必不为0，设其方程为x＝ty+n（n≠±2），与椭圆C联立，整理得：（t2+2）y2+2tny+n2﹣4＝0，所以Δ＝4t2n2﹣4（t2+2）（n2﹣4）＝8（2t2﹣n2+4）＞0，且，，因为P（x1，y1）是椭圆上一点，即，所，则，即4k BP⋅k BQ＝﹣1，因为，得4y1y2+（x1﹣2）（x2﹣2）＝0，即＝＝，因为n≠2（4+t2）（n+2）﹣2t2n+（n﹣2）（t2+2）＝0，4n+8+t2n+2t2﹣2t2n+nt2+2n﹣2t2﹣4＝0，整理得6n+4＝0，解得，直线PQ恒过定点．所以点H在以BM为直径的圆上，点为BM的中点．【点评】本题考查椭圆的标准方程，焦点三角形的面积公式，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，直线恒过定点问题，考查转化思想，计算能力，属于难题．。
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一、选择题
1、n 阶方阵A 有n 个不同的特征值是A 可以对角化的（A ）
A 充要条件
B 必要而非充分条件
C 充分而非必要条件
D 既非充分也非必要条件 2、下列叙述错误的有__B_个。
① 设3阶方阵A 的特征值是2,1,1-，2
3
5A A B -=，则B 相似于对角阵； ② 若A 是3阶方阵，其特征值为2,1,1-，则A I +2必是可逆阵； ③若2A I =，则A 的特征值只能是1；
④ 欧氏空间中保持长度不变的变换一定是正交变换 A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
解：①正确。
A 有三个互异的特征根，则存在可逆矩阵T 将A 对角化，即
1
112T AT -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
那么有
()113213125511151844612T BT T A A T T A T T A T
----=-=-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
则B 相似于对角阵
②正确。
同①，解得A I +2的特征根为3,1,4，因为2314120I A +=⨯⨯=≠,所以可逆
③错误。
若2
A I =，则A 的特征值只能是1± ④错误。
例如，()12,,,n a a a α∀=L ，定义()12:,,,n a a a σα→L
显然，(
)
σαα=
==
但σ不是线性变换，因为
()()()
()()
121212,,,,,,,,,n n n
k ka ka ka k a a a k k a a a σασα===L L L
所以()()k k σ
ασα≠
3、设12,,,n ηηηL 是n 维线性空间V 的一个基，1
1
,,1,2,,n
n
j ij
j
j
ij i
i i a b j n αηβη===
==∑∑L .
如果12,,,n αααL 线性无关，又设σ是V 的一个线性变换，使(),1,2,,j
j
j n σαβ==L ，
设()
()
,ij
ij n n
n n
A a
B b ⨯⨯==，则σ在基12,,,n ηηηL 下的矩阵（D ）
A A
B B BA
C 1A B -
D 1BA - 解：12,,,n αααL 线性无关，则也是n 维线性空间V 的一个基，且
()()1112121222121212
,,,,,=,n n n n n n nn a a a a a a a a a αααηηη⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L M M M M L ，即基()12,,,n ηηηL 到基 ()12,,,n αααL 的过渡矩阵是111212122212
n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M M L ，又 ()()
()121211121212221212,,,,,,,,,n n n n n n n nn b b b b b b b b b σαααβββηηη⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
=L L L L L M M M M L ，记111212122212
n n n n nn b b b b b b B b b b ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥
⎣⎦L L M M M M L ，所以 ()()()2112112,,,,,,,,,n n n B B A σαααηηηααα-==L L L ，即线性变换σ在基
()12,,,n αααL 下的矩阵是1A B -，设在基()12,,,n ηηηL 下矩阵是X ，则有
11XA A A B --=，解得：1X BA -=，即σ在基12,,,n ηηηL 下的矩阵是1BA -.
4、设12,,,r αααL 是向量空间V 的线性相关的向量组，δ是V 的线性变换，则
()()()12,,,r δαδαδαL （B ）
A 线性无关
B 线性相关
C 不一定线性无关
D 全是零向量。