圆锥曲线非对称问题
圆锥曲线非对称问题
=2
1 3
m 1 m2
2 y2
y1
=
1 2
(
y1
y2 )
3 2
(
y1
y2 )
5 3
，7 3
练习2：已知AB是过椭圆 x2 y2 1左焦点的焦点弦， 43
求2 F1 A F1B 最小值.
不妨设y1 0, y2 0
2 F1 A F1B = 1+m2 (2 y1 y2 )
探究y1 y2 , y1 y2之间的关系
线路1： 整体代换
？ k PA2
kGA1
my1 y2 y1 my1 y2 3 y2
=1 3
证明：由于2my1 y2 3( y1 y2 )
即my1 y2
3 2
(
y1
y2 )
my1 y2
y1
1 2
y1
3 2
y2
my1 y2
x1 x1
x2
x2
8 4 3m
4 12m2
4 3m2
2
kPA1 kGA1
( x1
y1 y2 2)( x2
2) =
9 4
且kPA1 kPA2
3 4
kkkPPAA1AG22？ k13A1G
探究3
kPA2 为定值？ k A1G
lPG：x my 1
=
1 3
线路2：代入曲线化对称
k1 y1 x2 2 k2 y2 x1 2
x12 y12 1 43
圆锥曲线中两根不对称问题的处理方法
圆锥曲线中两根不对称问题的处理方法圆锥曲线是数学中的一类曲线，包括椭圆、抛物线和双曲线。
在讨论圆锥曲线中的两根不对称问题时，我们可以将其分成两种情况进行处理：椭圆和双曲线的情况和抛物线的情况。
椭圆和双曲线的情况下，圆锥曲线的两根并不完全对称，存在明显的差异。
对于这种情况，我们可以使用以下方法进行处理：1.计算关键点：首先，我们需要计算出关键点，即两根曲线的交点、焦点和顶点等。
这些关键点的坐标可以通过代数方程求解或通过几何方法确定。
2.探索特殊性质：根据关键点的位置和性质，我们可以发现两根曲线在一些方面具有特殊的性质。
例如，椭圆曲线的面积和周长在两根曲线之间可能存在差异；双曲线曲线的渐进线和离心率可能也会有所不同。
通过探索这些特殊性质，我们可以对两根曲线进行定量的比较。
3.分析解析表达式：从代数方程的角度分析，我们可以将椭圆和双曲线的方程转化为标准方程或参数方程，以便更好地理解两根曲线之间的差异。
通过对方程的分析，我们可以找到一些关键点或特性，从而更好地理解两根曲线的不对称性。
4.利用数值计算：对于一些复杂的椭圆和双曲线，我们可以利用计算机进行数值计算来研究它们的性质。
通过绘制曲线图或利用数值方法（如数值积分或数值求解等），我们可以更好地了解两根曲线之间的差异。
抛物线的情况下，圆锥曲线的两根也存在不对称的问题。
对于这种情况，我们可以使用以下方法进行处理：1.计算焦点和顶点：与椭圆和双曲线类似，首先需要计算抛物线的焦点和顶点。
这可以通过对抛物线方程进行分析和求解来实现。
2.探索对称性：虽然抛物线没有明显的对称轴，但我们可以发现它具有对称性。
通过子焦点和顶点之间的距离，我们可以确定对称轴的位置。
通过对称轴的位置，我们可以推导出抛物线的其他性质，如焦距、离心率等。
3.研究特殊点：抛物线还具有特殊点，如焦点和顶点。
通过研究这些特殊点的性质，我们可以更好地理解抛物线的不对称性。
例如，焦点到顶点的距离是固定的，这意味着抛物线的性质在两根曲线之间也是固定的。
高中数学圆锥曲线中非对称韦达定理的应用及参考答案
圆锥曲线中非对称韦达定理的应用1已知抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F ，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若AF =2FB ，求直线AB 的斜率．2已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)(c>0)．点M在E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为6+42，面积为13 c.(1)求E的方程；(2)设E的左、右顶点分别为A，B，过点32，0的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，则．(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答)①求直线AC和BD交点的轨迹方程；②是否存在实常数λ，使得k1=λk2恒成立；③过点C作关于x轴的对称点C′，连接C′D得到直线l1，试探究：直线l1是否恒过定点．3(2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-25，0)，离心率为5.(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(-4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．4已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，M ，N 分别为左、右顶点，直线l ：x =ty +1与椭圆C 交于A ，B 两点，当t =-33时，A 是椭圆的上顶点，且△AF 1F 2的周长为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AM ，BN 交于点Q ，证明：点Q 在定直线上．(3)设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1k 2为定值．5(2023·深圳模拟)在平面直角坐标系Oxy 中，已知双曲线C ：y 2a 2-x 2b2=1(a >0，b >0)的一条渐近线为y =33x ，且点P 3，2 在C 上．(1)求C 的方程；(2)设C 的上焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且AF =7BF ，求l 的斜率．6已知点A (0，-2)，椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，且AP =12AQ ，求△OPQ 的面积及直线l 的方程．圆锥曲线中非对称韦达定理的应用1已知抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F ，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若AF =2FB ，求直线AB 的斜率．【答案】解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2=2px (p >0)，∵点P (1,2)在抛物线上，∴22=2p ×1，解得p =2.故抛物线的方程是y 2=4x ，其准线方程是x =-1.(2)方法一 由(1)可知F (1,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AB 的方程可设为x =ty +1，联立y 2=4x ，x =ty +1，整理得y 2-4ty -4=0，所以y 1+y 2=4t ，y 1y 2=-4.又AF =2FB ，即(1-x 1，-y 1)=2(x 2-1，y 2)，可得-y 1=2y 2，即y1y 2=-2，则y 1y 2+y 2y 1=(y 1+y 2)2y 1y 2-2=-52，即(4t )2-4-2=-52，解得t =±122，故k AB =-1t =±22.方法二 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F (1,0)，AF =(1-x 1，-y 1)，2FB =(2x 2-2,2y 2)，AF =2FB ⇒1-x1=2x 2-2，-y 1=2y 2⇒x 1=3-2x 2，①y 1=-2y 2，②∵A ，B 在抛物线上，∴y21=4x1，③y22=4x2，④由①②③④联立可得x2=1 2，则y2=±2，由③-④得(y1+y2)(y1-y2) =4(x1-x2)，即k AB=y1-y2x1-x2=4y1+y2=4-2y2+y2=-4y2=±22.2已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)(c>0)．点M在E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为6+42，面积为13 c.(1)求E的方程；(2)设E的左、右顶点分别为A，B，过点32，0的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，则．(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答)①求直线AC和BD交点的轨迹方程；②是否存在实常数λ，使得k1=λk2恒成立；③过点C作关于x轴的对称点C′，连接C′D得到直线l1，试探究：直线l1是否恒过定点．【答案】解：(1)依题意，得2a+2c=6+42，12·2c·b2a=b2a·c=13c，a2=b2+c2，即a+c=3+22，b2a=13，a2=b2+c2，解得a2=9，b2=1，c2=8，所以E的方程为x29+y2=1.(2)选择①.设直线l的方程为x=ty+32，联立方程x29+y2=1，x=ty+32，化简整理，得4(t2+9)y2+12ty-27=0，假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理，得y1+y2=-3tt2+9，y1y2=-274(t2+9)，得ty1y2=94(y1+y2)，直线AC的方程为y=y1x1+3(x+3)，直线BD的方程为y=y2x2-3(x-3)，联立方程，得y=y1x1+3(x+3)，y=y2x2-3(x-3)，两式相除，得x+3x-3=y2x2-3·x1+3y1=(x1+3)y2(x2-3)y1=ty1+92y2ty2-32y1=2ty1y2+9y22ty1y2-3y1=2·94(y1+y2)+9y22·94(y1+y2)-3y1=3(y1+y2)+6y23(y1+y2)-2y1=3(y1+3y2)y1+3y2=3，即x+3x-3=3，解得x=6，所以直线AC和BD交点的轨迹方程是直线x=6.选择②.联立方程x29+y2=1，x=ty+32，化简整理，得4(t2+9)y2+12ty-27=0，假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理，得y1+y2=-3tt2+9，y1y2=-274(t2+9)，得ty1y2=94(y1+y2)，于是k1k2=y1x1+3·x2-3y2=(x2-3)y1(x1+3)y2=ty2-32y1ty1+92y2=2ty1y2-3y12ty1y2+9y2=2·94(y1+y2)-3y12·94(y1+y2)+9y2=32y1+92y292y1+272y2=32(y1+3y2)92(y1+3y2)=13，故存在实数λ=13，使得k1=λk2恒成立．选择③.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，C′(x1，-y1)，联立方程x29+y2=1，x=ty+32，化简整理，得4(t 2+9)y 2+12ty -27=0，由韦达定理，得y 1+y 2=-3t t 2+9，y 1y 2=-274(t 2+9)， 设直线C ′D 与x 轴交于点M (m ,0)，由对称性可知k CM +k DM =0，即y 1x 1-m +y 2x 2-m=0，则y 1(x 2-m )+y 2(x 1-m )=0，所以y 1(x 2-m )+y 2(x 1-m )=x 1y 2+x 2y 1-m (y 1+y 2)=ty 1+32 y 2+ty 2+32 y 1-m (y 1+y 2)=2ty 1y 2+32-m (y 1+y 2)=2t ·-274(t 2+9)+32-m ·-3t t 2+9=0，即-9t +(3-2m )·(-t )=0，解得m =6，所以直线C ′D 恒过定点M (6,0)．3(2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(-25，0)，离心率为5.(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过点(-4,0)的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线MA 1与NA 2交于点P .证明：点P 在定直线上．【答案】(1)解：设双曲线C 的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)，由焦点坐标可知c =25，则由e =c a=5，可得a =2，b =c 2-a 2=4，所以双曲线C 的方程为x 24-y 216=1.(2)证明 由(1)可得A 1(-2,0)，A 2(2,0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，显然直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x =my -4，且-12<m <12，与x 24-y 216=1联立可得(4m 2-1)y 2-32my +48=0，且Δ=64(4m 2+3)>0，则y 1+y 2=32m 4m 2-1，y 1y 2=484m 2-1，直线MA 1的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线NA 2的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，联立直线MA 1与直线NA 2的方程可得x +2x -2=y 2(x 1+2)y 1(x 2-2)=y 2(my 1-2)y 1(my 2-6)=my 1y 2-2y 2my 1y 2-6y 1，方法一 (和积转化)因为my 1y 2=32(y 1+y 2)，所以my 1y 2-2y 2my 1y 2-6y 1=32(y 1+y 2)-2y 232(y 1+y 2)-6y 1=32y 1-12y 2-92y 1+32y 2=-13.方法二 (配凑)因为my 1y 2=32(y 1+y 2)，所以my 1y 2-2y 2my 1y 2-6y 1=my 1y 2-2y 1-2y 2+2y 1my 1y 2-6y 1=my 1y 2-2(y 1+y 2)+2y 1my 1y 2-6y 1=32y 1-12y 2-92y 1+32y 2=-13.由x +2x -2=-13可得x =-1，即x P =-1，据此可得点P 在定直线x =-1上运动．4已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，M ，N 分别为左、右顶点，直线l ：x =ty +1与椭圆C 交于A ，B 两点，当t =-33时，A 是椭圆的上顶点，且△AF 1F 2的周长为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AM ，BN 交于点Q ，证明：点Q 在定直线上．(3)设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1k 2为定值．【答案】(1)解：当t =-33时，直线l ：x =-33y +1，令x =0，得y =3，即椭圆的上顶点为0，3 ，则b =3，又△AF 1F 2的周长为6，即2a +2c =6，即a +c =3，又a 2-c 2=b 2=3，解得a =2，c =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)证明 由(1)知，M (-2,0)，N (2,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意，点A ，B 不在x 轴上，由x =ty +1，x 24+y 23=1，消去x 并整理得(3t 2+4)y 2+6ty -9=0，Δ>0，则y 1+y 2=-6t3t 2+4，y 1y 2=-93t 2+4，得ty 1y 2=32(y 1+y 2)，直线AM 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BN 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，联立直线AM ，BN 的方程得x +2x -2=y 2(x 1+2)y 1(x 2-2)=y 2(ty 1+3)y 1(ty 2-1)=ty 1y 2+3y 2ty 1y 2-y 1=32(y 1+y 2)+3y 232(y 1+y 2)-y 1=32y 1+92y 212y 1+32y 2=3，于是得x =4，所以直线AM ，BN 的交点Q 在定直线x =4上．(3)证明 由(2)知，k 1k 2=y 1(x 2-2)y 2(x 1+2)=y 1(ty 2-1)y 2(ty 1+3)=ty 1y 2-y 1ty 1y 2+3y 2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13，为定值．5(2023·深圳模拟)在平面直角坐标系Oxy 中，已知双曲线C ：y 2a 2-x 2b2=1(a >0，b >0)的一条渐近线为y =33x ，且点P 3，2 在C 上．(1)求C 的方程；(2)设C 的上焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且AF =7BF ，求l 的斜率．【答案】解：(1)由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为y =±a b x ，所以33=a b ，可得b 2=3a 2，将点P 3，2 代入双曲线C 的方程可得2a 2-3b 2=1，解得a 2=1，b 2=3，所以双曲线C 的方程为y 2-x 23=1.(2)由(1)可知，上焦点F (0,2)，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线l 的方程为y =kx +2，联立y 2-x 23=1，y =kx +2，整理得(3k 2-1)x 2+12kx +9=0，所以x 1+x 2=-12k3k 2-1，x 1x 2=93k 2-1，又AF =7BF ，即(-x 1,2-y 1)=7(-x 2,2-y 2)，可得x 1=7x 2，方法一 因为x 1x 2=7，所以x 1x 2+x 2x 1=(x 1+x 2)2x 1x 2-2=507，即-12k 3k 2-1 293k 2-1-2=507，解得k =±255，所以直线l 的斜率为±255.方法二 x 1+x 2=8x 2=-12k 3k 2-1，x 1x 2=7x 22=93k 2-1， 即-3k 2(3k 2-1) 2=97(3k 2-1)，解得k =±255，所以直线l 的斜率为±255.方法三 利用焦点弦定理(此方法只能在小题中使用)：|e cos α|=λ-1λ+1.由题意得AF =-7FB ，则λ=-7，e =2，α为直线l 的倾斜角，则有|2cos α|=43，解得|cos α|=23，则k =tan α=±255.6已知点A (0，-2)，椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，且AP =12AQ ，求△OPQ 的面积及直线l 的方程．【答案】解：(1)设F (c ,0)，因为直线AF 的斜率为233，A (0，-2)，所以2c =233，解得c =3.又c a =32，b 2=a 2-c 2， 解得a =2，b =1， 所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可设直线l 的方程为y =kx -2，联立x 24+y 2=1，y =kx -2， 消去y 得(1+4k 2)x 2-16kx +12=0，当Δ=16(4k 2-3)>0，即k 2>34，即k <-32或k >32时，x 1+x 2=16k 1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，由AP =12AQ，得x 2=2x 1，即x 2x 1=2，所以x 1x 2+x 2x 1=(x 1+x 2)2x 1x 2-2=52，解得k 2=2720>34.又|PQ |=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 216k1+4k 2 2-481+4k 2=41+k 24k 2-31+4k 2，点O 到直线l 的距离d =2k 2+1，所以S △OPQ =12·d ·|PQ |=44k 2-31+4k 2=154，此时直线l 的方程为y =31510x -2或y =-31510x -2.。
高中数学圆锥曲线系统讲解第29讲《非对称韦达定理》练习及答案
第29讲 非对称韦达定理知识与方法将直线的方程与圆锥曲线方程联立，消去y ，得到关键方程（设方程的两根为1x 和2x ），在某些问题中，可能会涉及到需计算两根系数不相同的代数式.例如，运算过程中出现了122x x −、1223x x +等结构，且无法直接通过合并同类项化为系数相同的情况处理，像这种非对称的结构，通常是无法根据韦达定理直接求出的，此时一般的处理技巧是抓住12x x +和12x x 的关系将两根积向两根和转化，通过局部计算、整体约分的方法解决问题.请同学们通过本节的一些考题来感悟这种运算技巧.典型例题1.（★★★★）如下图所示，椭圆有两个顶点()1,0A −，()1,0B ，过其焦点()0,1F 的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q. （1）当2CD =时，求直线l 的方程； （2）当P 点异于A 、B 两点时，证明:OP OQ ⋅为定值.【解析】（1）由题意，椭圆的短半轴长1b =，半焦距1c =，故长半轴长a =所以椭圆的方程为2212y x +=，当2CD =时，易得直线l 不与x 轴垂直，故可设l 的方程为1y kx =+()0,1k k ≠≠±，设()11,C x y ，()22,D x y ，联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222210k x kx ++−= 判别式()2810k ∆=+>，由韦达定理，1221222212k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=−⎪+⎩①②故12CD x x =−=，解得：k =所以直线l 的方程为1y =+.（2）解法1：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111y y x x =++③，直线 BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−− 而()()()()()()212112211212121211111111y x kx x kx x kx x y x kx x kx x kx x ++++++==−+−−++，所以122112121111Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=−−++，由①知12222kx x k =−−+， 故()()()()()()22222222222212211112222121111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k k x k k x x k x k k k −−−+−−++−+−+++===−+−+⎛⎫−−−−++++ ⎪+++⎝⎭，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.解法2：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111yy x x =++③直线BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−− ⑤ 所以()()()()()()()()()()()()22222222212121121222221212121212221212111111112212111111211122Q Q kx x x y x x x x x x x k k k k x x x x x x x k y x x x k k −−+−+⎛⎫+++++++−⎛⎫++====== ⎪ ⎪ ⎪−−−−+++⎝⎭−−−⎝⎭−++++ 因为()12,1,1x x ∈−，所以12101x x +<−，结合⑤可得11Q Q x x +−与21y y 异号，又()()()2222121212122222221111222k k k y y kx kx k x x k x x k k k −=++=+++=−−+=+++()()()222211211221k k k k k k k +−+−==−⋅+++ 所以12y y 与11k k −+异号，即21yy 与11k k −+异号，从而11Q Q x x +−与11k k −+同号，所以1111Q Q x k x k +−=−+，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k ⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.【反思】本题的解法1是两根结构不对称时的常规处理方法，局部计算，整体约分；解法2则通过平方，转化为对称结构计算，技巧性较强. 2.（★★★★）已知椭圆22:33C x y +=，过点()1,0D 且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M . （1）求椭圆C 的离心率；（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.【解析】（1）椭圆C 的方程可化为2213x y +=，故其长半轴长a =1b =半焦距c =C的离心率c e a =（2）解法1：若AB 垂直于x 轴，如图1，直线AB 的方程为1x =，联立22133x x y =⎧⎨+=⎩，可解得：y =若A ⎛ ⎝⎭，则1,B ⎛ ⎝⎭，设()03,M y ，因为A 、E 、M 三点共线，所以AE EM k k =，故01131232y −=−−，解得：02y =，所以直线BM的斜率03131BM y k +==−若1,A ⎛ ⎝⎭，则B ⎛ ⎝⎭，因为A 、E 、M 三点共线，所以AE EM k k =，故01131232y −−=−−，解得：02y =，所以直线BM的斜率03131BM y k ==− 综上所述，直线BM 的斜率为1.解法2：因为AB 过点()1,0D 且垂直于x 轴，所以可设()11,A y ，()11,B y − 直线AE 的方程为()()112y y x −=−−，令3x =得：12y y =−，所以()3,2M y −，故直线BM 的斜率112131BM y y k −+==−.解法3：因为AB 过点()1,0D 且垂直于x 轴，故其方程为1x =，如图1，设直线2x =交x 轴于点G ，直线3x =交x 轴于点H ，则1AE DG EMGH==_所以E 为AM 中点，由对称性，显然D 为AB 中点，所以DE BM ∥而直线DE 的斜率10121DE k −==−，所以直线BM 的斜率为1. （3）解法1：当AB x ⊥轴时，由（2）可得直线BM 的斜率为1，等于直线DE 的斜率，所以DE BM ∥，当AB 不与x 轴垂直时，设其方程为()()11y k x k =−≠，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则直线AE 的方程为()111122y y x x −−=−−，令3x =解得：11112y y x +=+−，所以1113,12y M x ⎛⎫−+ ⎪−⎝⎭，从而直线 BM 的斜率()()()()()()()121121211121222121113112123233232BM y y x x k x k x k x x x x y y y k x x x x x −+−−−−+−+−−−−++===−−−−− ()()()112121121211221121232332336262x k x x x x kx kx x k x x kx x x x x x x x x −++−−⎡⎤−−++−⎣⎦==−−+−++− ①联立()22133y k x x y ⎧=−⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()2222136330k x k x k +−+−=，易得判别式0∆>， 所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k −=+，故()222121222212339323131313k k k x x x x k k k −++−=−==+++代入式①得：11333163BM x k kk x −+−==−+，即直线BM 与直线DE 斜率相等，所以DE BM ∥综上所述，直线BM 与直线DE 平行.解法2：当AB y ⊥轴时，若A 为左顶点，如图2，则2AEEM =+，12AD BD −==+ 所以AE AD EMBD=，同理可得当A为右顶点时，2AE AD EMBD==DE BM ∥当AB 不与y 轴垂直时，如图3，设其方程为()11x my m =+≠，设()11,A x y ，()22,B x y 则1112211AE x my my EM=−=−−=−，1122AD y y BDy y ==−， 所以111212211AE AD y y my y my EMBDy y −==−+=+ ①联立22133x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 整理得：()323220m y my ++−=，易得判别式0∆>， 由韦达定理，12223m y y m +=−+，12223y y m =−+，故1212my y y y =+ 代入式①可得()11211222110AE AD y y y y my y EMBDy y −+−−=+=+= 所以AE AD EMBD−，从而DE BM ∥综上所述，直线BM 与直线DE 平行.强化训练3.（★★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(P，且离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上、下顶点分别为A 、B ，过点()0,4P 斜率为k 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点.求证：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上.【解析】（1）由题意，224212a b ⎧+=⎪=，解得：2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程为22184x y += （2）由题意，直线MN 的方程为4y kx =+，()0,2A ，()0,2B −，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()221216240k x kx +++=，判别式()()2216412240k k ∆=−+⨯>，所以k <或k >，由韦达定理，12212216122412k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩①②直线BM 的方程为1122y y x x ++=，直线AN 的方程为2222y y x x −−=，联立11222222y y x x y y xx +⎧+=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩消去x 可得：()()12212222y x y y y x ++=−− 从而()()()()1212122212112126262222G G y x kx x y kx x x y y x kx x kx x x ++++===−−++ ③ 接下来给出以下两种计算非对称结构12212162kx x x kx x x ++的方法：法1：由①②知()121232kx x x x =−+， 代入式③得：()()122121221211211233966222331322222x x x x x kx x x kx x x x x x x x −++−++===−+−++− 从而232G G y y +=−−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上. 法2：由①知1221612kx x k =−−+，代入式③得：22221221212222224246661212382416222121212k kx x kx x x k k k k k kx x x xx k k k +++++===−+⎛⎫−−+−− ⎪+++⎝⎭从而232G G y y +=−−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上.4.（★★★★）已知F 为椭圆22143x y +=的右焦点，A 、B 分别为其左、右顶点，过F 作直线l 交椭圆于不与A 、B 重合的M 、N 两点.（1）当l 斜率为1时，求四边形AMBN 的面积S ；（2）设直线AM 、BN 的斜率分别为1k 和2k ，求证：12k k 为定值. 【解析】（1）由题意，()2,0A −，()2,0B ，()1,0F ，当l 斜率为1时，其方程为1y x =− 设()11,M x y ，()22,N x y联立221143y x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得：27690y y +−=，判别式()264792880∆=−⨯⨯−=>所以四边形AMBN的面积1211422S AB y y =⋅−=⨯（2）显然直线l 不与y 轴垂直，故可设其方程为1x my =+， 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()2234690m y my ++−=，易得判别式10>△，由韦达定理122122634934m y y m y y m ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=−⎪+⎩①② ，()()()()121211212121212221233y x y my k my y y k x y my y my y y −−−===+++ ③， 接下来给出两种方法求非对称结构1211223my y y my y y −+的值法l ：由①②知()121232my y y y =+，代入式③得：()()121121212212313122233933222y y y y y k k y y y y y +−+===+++，即12k k 为定值13.法2：由①知122634my y m =−−+，代入式③得：222221222229631343434993333434m m m y y k m m m m m k y y m m ⎛⎫−−−−−+ ⎪++⎝⎭+===−+−+++即12k k 为定值13.5. （★★★★）点,A B 是椭圆22:143x y+=E 的左右顶点若直线:(1)l y k x =−与椭圆E 交于M ，N 两点，求证：直线AM 与直线BN 的交点在一条定直线上． 【解析】由题意得，()2,0A −，()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩，化简得(222234)84120k x k x k +−+−=， 所以2122834k x x k+=+，212241234k x x k −=+， 直线AM 的方程为()1122y y x x =++，直线BN 的方程为22(2)2y y x x =−−， 联立()112222(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩，即()1122(1)22(1)(2)2k x y x x k x y x x −⎧=+⎪+⎪⎨−⎪=−⎪−⎩，解得1121222(23)34x x x x x x x −+=+−原式()()222221212221222241282234223434342482434k k x x x x x x k k x x x k x k ⎛⎫−⋅−⋅+ ⎪⎡−++⎤++⎣⎦⎝⎭==++−+−+ 2222222222221624812244234344812812223434k k x x k k k k x x kk⎛⎫−−−−++ ⎪++⎝⎭==⎛=−−−−++++⎫ ⎪⎝⎭， 故直线AM 与直线BN 交点在定直线x ＝4上． 6 . （★★★★）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =. (I)求椭圆C 的离心率； (II)如果|AB |=154，求椭圆C 的方程. 【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意知10y >，20y <.（1）直线l的方程为)y x c =+，其中c =.联立)2222{1y x c x y a b=++=得()22224330a b y cy b +−−=，解得()212223c a y a b+=+，()222223c a y a b−=+.因为2AF FB =，所以122y y −=.即()()222222222?33c a c a a ba b+−−=++，得离心率23c e a ==. （2）因为21||||AB y y =−2154=.由23c a =得3b a =.所以51544a =，得3a =，b =.椭圆C 的方程为22195x y +=考点：椭圆的标准方程及其几何性质. 7. （★★★★）已知1A 、2A分别是离心率2e =的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右项点，P 是椭圆E 的上顶点，且121PA PA ⋅=−. （1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 过点()0,4−，且与椭圆E 交于A 、B 两点，点M 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AM 恒过定点. 【解析】（1）由题意得()1,0A a −，()2,0A a ，()0,P b ，则22212(,)(,)1PA PA a b a b a b c ⋅=−−⋅−=−+=−=−，所以1c =，又2222c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩，所以a =1b =，所以椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线:4l y kx =−，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,M x y −，由22124x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩，消去y 得()221216300k x kx +−+=.由()22(16)120120k k ∆=−−+>，得2152k >，所以1221612kx x k +=+，1223012x x k =+. ()12121212121244AM k x x y y kx kx k x x x x x x −−−−+===+++，直线AM 的方程为()()121112k x x y y x x x x −−=−+，即()()()()()()()()12121121211*********44k x x k x x kx x x k x x x x y y x x kx x x x x x x x x −−−++−−=+−=−+−=+++()()()12121212121212122424kx x x x kx x x k x x kx x x x x x x x x −++−−==+−+++，因为1221612k x x k +=+，1223012x x k =+，所以21212230221124416412kkx x k k x x k +−=−=−++， 直线AM 的方程为可化为()121214k x x y x x x −=−+，则直线AM 恒过定点10,4⎛⎫⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时，直线AM 也过点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上知直线AM 恒过定点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 8. （★★★★）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点(P，且离心率为2．11（1）求椭圆C 的方程；（2）记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程．【解析】（1）由椭圆过点(P，且离心率为2，所以222224212a b c aa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩ 故所求的椭圆方程为22184x y +=．（2）由题意得()0,2A ，()0,2B −，直线MN 的方程4y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ， 联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221216240k x kx +++=， ∴1221612k x x k −+=+，1222412x x k =+．由求根公式可知，不妨设12812k x k −−=+，22812k x k −+=+， 直线AN 的方程为2222y y x x −−=，直线BM 的方程为1122y y x x ++=， 联立22112222y y x x y y x x −⎧−=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得()()()()2121121121212222222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x −++−===++++ 代入12,x x，得2224162123k k y y −−+−===−+， 解得1y =，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上。
圆锥曲线非对称问题
圆锥曲线非对称问题
圆锥曲线非对称问题是指,与标准圆锥曲线不同,某些圆锥曲线的方程在顶点处不是平衡的。
这意味着,在顶点处,圆锥曲线的切线与曲线本身不相交。
这些非对称圆锥曲线包括椭圆、双曲线、抛物线等。
这些曲线在几何学和物理学中都有广泛的应用,例如在光学、天体物理学和工程学中。
非对称问题的一个重要应用是,它们可以用来描述光学中的反射和折射。
当光线照射到一个非对称圆锥曲线上的点时,它将发生反射和折射。
研究非对称问题可以帮助我们更好地理解这些现象,并为光学设计提供更多的理论基础。
在物理学中,非对称问题也被用来研究天体的运动。
例如,椭圆和双曲线可以用来描述行星的轨迹,而抛物线可以用来描述太阳的运动。
研究非对称问题可以帮助我们更好地理解这些天体运动的规律,并为天文学提供更多的理论基础。
除了几何学和物理学外,非对称问题也在数学研究中发挥着重要作用。
例如,在数论中,非对称问题被用来研究素数分布。
在代数中,非对称问题被广泛用于解决线性代数中的相关问题。
总之,非对称问题是一个具有广泛应用的数学问题,它们可以帮助我们更好地理解自然界中的各种现象,并为科学技术的发展提供更多的理论基础。
圆锥曲线非对称韦达定理
圆锥曲线非对称韦达定理圆锥曲线是数学上非常重要的一类曲线，包括抛物线、双曲线和椭圆等。
在研究这些曲线时，我们经常需要使用到韦达定理。
但是，韦达定理只适用于对称曲线，那么对于非对称的圆锥曲线呢？这时，我们就需要使用到圆锥曲线的非对称韦达定理。
1. 什么是韦达定理？韦达定理是指对称曲线上两个点的坐标之积与焦点和直线的距离之积相等。
具体来说，若对称曲线的方程为F(x,y)=0，其焦点为S，直线为L，则对称曲线上任意两点P、Q的坐标之积PQ与焦点S和直线L的距离之积SL·LQ相等。
2. 圆锥曲线的非对称特性相比于对称曲线，圆锥曲线具有非对称的特性，其方程形式不能够简单地表示为F(x,y)=0。
因此，韦达定理无法适用于圆锥曲线。
3. 圆锥曲线的非对称韦达定理圆锥曲线的非对称韦达定理是对圆锥曲线上两点P、Q的坐标之积与直线L和点S的距离之积的关系进行了描述。
具体来说，对于圆锥曲线上任意两点P、Q和一条直线L，设直线L与圆锥曲线交于点A、B，直线SP、SQ分别与直线L垂直且交于点P'、Q'，则有以下公式成立：$$(PQ)^2 = \frac{(AP'·AQ')·(BP'·BQ')}{SL·SQ}$$其中，S为圆锥曲线的焦点。
4. 圆锥曲线的应用圆锥曲线非对称韦达定理在很多实际问题中都有着广泛的应用。
例如，在轨道设计中，圆锥曲线被广泛应用于连接两个不同半径的圆弧。
此时，我们需要计算通过圆锥曲线的列车速度和加速度等参数，因此需要使用到圆锥曲线的相关性质和公式。
结语：圆锥曲线非对称韦达定理是圆锥曲线研究中非常重要的一项定理，其应用广泛，不仅在数学领域中，也在生物学、物理学、工程学等应用领域中都有着重要的作用。
因此，我们需要深入学习、理解和应用这一定理，推动科学研究和技术发展的进步。
新高考数学二轮复习圆锥曲线中非对称韦达定理的应用
专题强化练
1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F，点P(1,2)， A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)， ∵点P(1,2)在抛物线上， ∴22＝2p×1，解得p＝2. 故抛物线的方程是y2＝4x，其准线方程是x＝－1.
培优点8 圆锥曲线中非 对称韦达定理的应用
在圆锥专曲题线一问题函数中与，导我数们联立直线和圆锥曲线方程，消去 x 或 y，得到一个一 元二次方程，往往能够利用韦达定理来快速处理|x1－x2|，x21＋x22，x11＋x12之类的结 构，但在有些问题中，我们会遇到涉及 x1，x2 的不同系数的代数式的运算，比如 求xx12，32xx11xx22＋－2xx11＋－xx22或 λx1＋μx2 之类的结构，我们把这种系数不对等的结构，称为 “非对称韦达结构”.
y＝kx－2，
消去y得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0， 当 Δ＝16(4k2－3)>0，即 k2>34， 即 k<－ 23或 k> 23时， x1＋x2＝1＋164kk2，x1x2＝1＋124k2，
由A→P＝12A→Q， 得 x2＝2x1，即xx21＝2， 所以xx12＋xx21＝x1x＋1xx222－2＝52，
得 ty1y2＝32(y1＋y2)，
直线 AM 的方程为 y＝x1y＋1 2(x＋2)， 直线 BN 的方程为 y＝x2y－2 2(x－2)， 联立直线 AM，BN 的方程得xx＋－22＝yy21xx12＋－22 ＝yy12ttyy21－＋13＝ttyy11yy22＋－3yy12 ＝3223yy11＋＋yy22＋－3yy12＝3122yy11＋ ＋9232yy22＝3，
圆锥曲线非对称韦达定理
圆锥曲线非对称韦达定理
圆锥曲线非对称韦达定理是一种重要的数学定理，它在圆锥曲线的研究中起着重要的作用。
本文将从圆锥曲线的定义、非对称韦达定理的概念和应用等方面进行阐述。
圆锥曲线是指平面上由一个固定点F（称为焦点）和一条固定直线L（称为准线）确定的点P的集合。
当P点到焦点的距离等于P点到准线的距离时，P点在圆锥曲线上。
根据焦点和准线的位置关系，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
非对称韦达定理是指在圆锥曲线上，对于任意一点P，设P点到准线的距离为d，焦点到P点的距离为r，则有d^2=r^2-2a(x-x0)，其中a为圆锥曲线的半轴长，(x0,0)为圆锥曲线的中心点。
这个定理的意义在于，它可以用来求解圆锥曲线上任意一点的坐标，从而进一步研究圆锥曲线的性质和应用。
非对称韦达定理的应用非常广泛，例如在天文学中，可以用它来计算行星的轨道；在工程学中，可以用它来设计反射镜和抛物面天线等；在物理学中，可以用它来研究光学成像和电磁波的传播等。
此外，非对称韦达定理还可以用来证明圆锥曲线的对称性和判定圆锥曲线的类型等。
圆锥曲线非对称韦达定理是圆锥曲线研究中的重要定理，它可以用来求解圆锥曲线上任意一点的坐标，进一步研究圆锥曲线的性质和
应用。
在实际应用中，非对称韦达定理具有广泛的应用价值，可以用来解决天文学、工程学、物理学等领域的问题。
圆锥曲线中非对称的韦达定理的微策略
圆锥曲线中非对称的韦达定理的微策略
在圆锥曲线中，非对称的韦达定理可以采用以下微策略进行处理：
- 和积转换：将韦达定理中的两个式子相加或相减，得到两根和与积的倍数关系，代入化简即可。
- 配凑半代换：将韦达定理中的两个式子通过配凑、变形等方式，转化为只含有一个变量的式子，然后进行求解。
- 先猜后证：根据题目条件猜测结论，然后进行证明。
猜测的角度可以是特殊位置、极限位置或对称性等。
这些策略可以帮助你更好地处理非对称的韦达定理，并将其转化为更简单的形式，从而求解圆锥曲线问题。
【高中数学】圆锥曲线中两根不对称问题的处理方法
总所周知，对称是一种美，自然界有很多对称美，举不胜举。
但是，圆锥曲线问题中，有一类问题是有关两根不对称的问题，那也是一种残缺的美。
韦达定理是初中的知识，但是到了高中，它的威力仍然大的惊人。
在解答题中，大部分情况下是必不可少的工具。
例1.已知点A ，B 是椭圆E ：12222=+by a x (a>b>0)的左右顶点，C 为椭圆的上顶点，过点D （1，0）作与y 轴不垂直的直线l 交椭圆于),(N ),(M 2211y x y x ，两点，原点O 到直线AC 的距离为552，且直线AM 与直线BM 的斜率之积为41-.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AM 与直线BN 交于点P ，设直线AM 、直线DP 、直线BN 的斜率依次为321k k k ，，.①.求13k k 的值；②.求证：321k k k ，，依次成等差数列。
解：（1）1422=+y x (2)①.设直线l 方程x my =+1联立x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22141得()m y my ++-=224230∴m y y m y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩1221222434方法一：找关系（找两根之和，之积的关系）韦达定理两式相除得y y m y y +=121223，即(y y )my y =+121232∴(y y )(my )(my )(y y )y k y x y my y y k x y y my y y y +++++=⋅====---+-122321211221211212112133233233212方法二：利用“点在椭圆上”点(x ,y )M 11在椭圆上，故x y +=221114，即x y y x +-=-1111242∴(my )(my )k y x y y y y k x y x x +--=⋅=⋅===-----32121121212112244322211 ②由①可知：131333k k k k=⇒=)6 ,4()2(3:)2(:111k P x k y l x k y l NPAP ⇒⎩⎨⎧-=+=，∴1122146k k k k DP =-==∵2312111131222243k k k k k k k k k k =+⇒=⨯==+=+∴321k k k ，，为等差数列例2.如图，已知直线l ：y=kx+2，与椭圆C：1422=+y x 交于不同的两点A，B.(1)当k=1时，△AOB 的面积；(2)设直线OA，OB 的斜率分别为21,k k ，且21k k λ=，求实数λ的取值范围.解：（1）54（2）由43034,01216)41(142y 222222>⇒>-==+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=k k kx x k y x kx 由△设k x x kx x k k x x y x B y x A 34114112 ,4116),,(),,(212212212211-=+⇒+=+-=+则22222211111122 ;22x k x kx x y k x k x kx x y k +=+==+=+==由21k k λ=整理得k x x 21121-=-λλ由2221212121)53)(35()1(36)53()1(6,)35()1(62113411k x x k x k x k x x k x x +++=⇒++-=++-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+λλλλλλλλλ则222222214)12(31534151412)53)(35()1(36k k k k +=++++⇒+=+++λλλλλλλ∵316,4(1414,432222∈+=+>kk k k 则∴1313316)12(3153415422≠->-<⇒<++++<λλλλλλλ且或。
圆锥曲线非对称问题技巧
圆锥曲线非对称问题技巧摘要：1.圆锥曲线基本概念回顾2.非对称问题的提出3.非对称问题的解决技巧4.实例分析与解答5.总结与拓展正文：一、圆锥曲线基本概念回顾圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线等。
它们都有两个重要的性质：焦点和准线。
掌握这些基本概念有助于解决非对称问题。
二、非对称问题的提出在圆锥曲线中，非对称问题是指曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离不相等。
这个问题在实际问题中广泛存在，解决它有助于深入了解圆锥曲线的性质。
三、非对称问题的解决技巧1.利用焦点和准线的性质：根据焦点和准线的定义，可以得到一些关于曲线上的点到焦点和准线距离的关系式，从而解决非对称问题。
2.利用对称性：考虑曲线关于某条轴对称，可以将非对称问题转化为对称问题，再利用对称性质求解。
3.利用参数方程：将圆锥曲线转化为参数方程，可以更方便地处理非对称问题。
通过调整参数，可以找到满足非对称条件的解。
四、实例分析与解答以椭圆为例，设椭圆的方程为：(x-a)/b + (y-b)/a = 1。
假设存在一点P(x,y)满足非对称条件，即P到焦点F1的距离与到焦点F2的距离不相等。
根据焦点和准线的性质，可以得到以下方程：sqrt((x-a)/b + (y-b)/a) = sqrt((x-a+c)/b + (y-b)/a)通过化简和解方程，可以得到P点的坐标，从而解决非对称问题。
五、总结与拓展掌握圆锥曲线的非对称问题技巧，有助于解决实际问题中的非对称性问题。
在解决过程中，要灵活运用焦点和准线的性质、对称性以及参数方程等方法。
例谈圆锥曲线中的非对称问题
例谈圆锥曲线中的非对称问题展开全文一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,则这样的多项式叫做对称多项式,简称对称式,除此之外均称为非对称式.圆锥曲线解答题中直接或间接求解非对称式问题我们称为非对称问题,该问题集直线与圆锥曲线位置关系,点与圆锥曲线的位置关系,方程与不等式等数学知识于一体,经常在知识网络交汇处设置问题,综合性较强,有一定难度.但很多学生发现不能直接利用韦达定理就放弃了,非常可惜,本文就几种常见的圆锥曲线非对称问题谈谈该类问题的求解方法.1 配凑法化非对称为对称(1)求椭圆的标准方程;(2)设直线x=my+1 与椭圆交于P,Q,直线AP 与直线BQ 交于点T,证明:当m 变化时,点T 在一条定直线上.分析联立直线AP,BQ 的方程,直接求交点坐标运算量太大,不可行! 只需消去y,再将x1,x2 转化为y1,y2,然后配凑成y1+y2 和y1y2 的形式,进而整体代换即可,这正是解析几何的核心思想——“设而不求”.2 利用圆锥曲线方程代入化非对称为对称例3 如图,椭圆E:左、右顶点为A、B,左、右焦点为F1、F2,|AB|=4,直线y=kx+m(k＞0)交椭圆E 于C、D 两点,与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M、N 两点(M,N 不重合),且|CM|=|DN|.3 小试牛刀解高考真题例4 (2020年高考全国I 卷理科)已知A、B 分别为椭圆E:的左、右顶点,G 为E 的上顶点,P 为直线x=6 上的动点,PA 与E 的另一交点为C,PB 与E 的另一交点为D.(1)求E 的方程;(2)证明:直线CD 过定点.分析联立直线AC 和BD 的方程,消去y,代入x=6,再将非对称式化为对称式,然后利用韦达定理整体代换求解.解析 (1)依据题意作出如下图象:由椭圆方程可得:A(-a,0),B(a,0),G(0,1),则所以得a2=9,所以椭圆方程为:.。
圆锥曲线中的非对称处理
圆锥曲线中的非对称处理
圆锥曲线是平面解析几何中的一个概念，包括椭圆、双曲线和抛物线等。
在圆锥曲线的研究中，对称性是一个重要的概念。
对于一些常见的圆锥曲线，我们可以找到它们的对称性，例如关于坐标轴对称、关于某一点对称等。
然而，对于一些非标准的圆锥曲线，它们的对称性可能更加复杂或者不存在。
在这种情况下，我们需要采取一些特殊的方法来处理这些非对称性。
以下是一些可能的方法：
坐标变换：通过坐标变换，将非对称的圆锥曲线转换为对称的圆锥曲线，从而简化问题的处理。
例如，通过旋转坐标系或者平移坐标系，将非对称的圆锥曲线转换为一个对称的圆锥曲线。
参数化：将圆锥曲线的方程参数化，将参数作为未知数，从而将圆锥曲线的问题转化为参数的问题。
通过研究参数的变化，可以更好地理解非对称性。
微分几何方法：利用微分几何的方法，研究非对称圆锥曲线的曲率、挠率和法线等几何性质。
通过这些性质，可以更好地理解非对称性。
代数方法：通过代数方法，研究非对称圆锥曲线的方程和性质。
例如，利用椭圆函数或者超几何函数等特殊函数，求解非对称圆锥曲线的方程。
总之，处理圆锥曲线中的非对称性需要具体问题具体分析。
根据问题的特点选择合适的方法来处理。
希望以上信息能够帮助到您。
圆锥曲线非对称性韦达定理怎么处理？.docx
圆锥曲线非对称性韦达定理怎么处理
在解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题中，我们通常要联立直线与圆锥曲线的方程，消去x或y,得到一个一元二次方程。
很多都是利用韦达定理得到两根之间的关系来处理有关x1,x2（或y1,y2）的对称量，诸如：
x1+x2,x1x2,|x1−x2|,x12+x22,x1
x2+x2
x1
,y1
x1−2
·y2
x2−2
等，它们都是关于x1,x2（或y1,y2）的轮换对称
式，即将x1与x2互换之后，结果不变，被称之为“对称性”。
这类问题，我们称之为“对称型韦达定理”题型，只需要将韦达定理代入化简即可得到结果。
但还有少部分题不是关于x1,x2（或y1,y2）的轮换对称式，比如我们会遇到两根不对称的结构，比如：
x1 x2,λx1+μx2(λ≠μ),kx1x2+3x1−2x2
kx1x2−3x2+2x1
,m y1y2−3y1
m y
1
y
2
+2y
2
这类问题我们称之为“非对称型韦达定理”题型，一般
都是定值定点的证明题，这类问题我们不能简单的代入韦达定理来得到结果，那么这类问题我们该怎么处理呢？
最常见的处理办法是——和积代换（非对称结构中不含常数项时可尝试使用此法）
即寻求x1x2与x1+x2或y1y2与y1+y2之间的关系，将积式替换成和式，从而求定点定值最值问题。
同类题：解答：。
专题43圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题-1
专题43 圆锥曲线中的仿射变换、非对称韦达、光学性质问题【题型归纳目录】题型一：仿射变换问题题型二：非对称韦达问题题型三：椭圆的光学性质题型四：双曲线的光学性质题型五：抛物线的光学性质【方法技巧与总结】一、仿射变换问题仿射变换有如下性质：1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；3、其它不变关系．我们以椭圆为例阐述上述性质．椭圆()222210+=>>x y a b a b ，经过仿射变换x x a y y b ¢=ìïí¢=ïî，则椭圆变为了圆222x y a ¢¢=+，并且变换过程有如下对应关系：（1）点()00,P x y 变为00,a P x y b æö¢ç÷èø；（2）直线斜率k 变为ak k b ¢=，对应直线的斜率比不变；（3）图形面积S 变为aS S b¢=，对应图形面积比不变；（4）点、线、面位置不变（平⾏直线还是平⾏直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）；（5，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变总结可得下表：x =二、非对称韦达问题在一元二次方程20ax bx c ++=中，若0D >，设它的两个根分别为12,x x ，则有根与系数关系：1212,b cx x x x a a +=-=，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理2212121211,,x x x x x x -++之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及12,x x 的不同系数的代数式的应算，比如求112122121232,2x x x x x x x x x x +--+或12x x l m +之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x 或y ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如112122122,,x x x x y x y x l m ++或12121212322x x x x x x x x +--+之类中12,x x 的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”．三、光学性质问题1、椭圆的光学性质从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点（如图1）．【引理1】若点,A B 在直线L 的同侧，设点是直线L 上到,A B 两点距离之和最小的点，当且仅当点P 是点A 关于直线L 的对称点A ¢与点B 连线A B ¢和直线L 的交点．【引理2】若点,A B 在直线L 的两侧，且点,A B 到直线的距离不相等，设点P 是直线L 上到点,A B 距离之差最大的点，即PA PB -最大，当且仅当点P 是点A 关于直线L 的对称点A ¢与点B 连线A B ¢的延长线和直线L 的交点．【引理3】设椭圆方程为()222210+=>>x y a b a b ，12,F F 分别是其左、右焦点，若点D 在椭圆外，则122DF DF a +>．2、双曲线的光学性质从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点（如图）．【引理4】若点,A B 在直线L 的同侧，设点是直线L 上到,A B 两点距离之和最小的点，当且仅当点P 是点A 关于直线L 的对称点A ¢与点B 连线A B ¢和直线L 的交点．【引理5】若点,A B 在直线L 的两侧，且点,A B 到直线的距离不相等，设点P 是直线L 上到点,A B 距离之差最大的点，即PA PB -最大，当且仅当点P 是点A 关于直线L 的对称点A ¢与点B 连线A B ¢的延长线和直线L 的交点．【引理6】设双曲线方程为()222210,0x y a b a b -=>>，12,F F 分别是其左、右焦点，若点D 在双曲线外（左、右两支中间部分，如图），则122DF DF a -<．3、抛物线的光学性质从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平行（或重合）．反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点．【结论1】已知：如图，抛物线()2:20C x py p =>，0,2p F æöç÷èø为其焦点，j 是过抛物线上一点()00,D x y 的切线，,A B 是直线j 上的两点（不同于点D ），直线DC 平行于y 轴．求证：Ð=ÐFDA CDB ．（入射角等于反射角）【结论2】已知：如图，抛物线()2:20C y px p =>，F 是抛物线的焦点，入射光线从F 点发出射到抛物线上的点M ，求证：反射光线平行于x 轴．【典例例题】题型一：仿射变换问题（2022·全国·高三专题练习）1．MN 是椭圆()222210+=>>x y a b a b 上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P 是MN 的中点，则MN OP k k ×= ，A ，B 是该椭圆的左右顶点，Q 是椭圆上不与A ，B 重合的点，则AQ BQ k k ×=．CD 是该椭圆过原点O 的一条弦，直线CQ ，DQ 斜率均存在，则CQ DQ k k ×=．（2022·全国·高三专题练习）2．如图，作斜率为12的直线l 与椭圆2214x y +=交于 ,P Q 两点，且M 在直线l 的上方，则△MPQ 内切圆的圆心所在的定直线方程为．（2022·全国·高三专题练习）3．Р是椭圆22143x y +=上任意一点，O 为坐标原点，2PO OQ =uuu r uuu r ，过点Q 的直线交椭圆于A ，B 两点，并且QA QB =，则PAB V 面积为 ．变式（2022·全国·高三专题练习）4．已知直线l 与椭圆22142x y +=交于M ，N 两点，当OM ON k k ×= ，MON △面积最大，并且最大值为 .记1122(,),(,)M x y N x y ，当MON △面积最大时，2212x x +=﹐2212y y += .Р是椭圆上一点，OP OM ON l m =+uuu r uuuu r uuu r，当MON △面积最大时，22l m += .变式（2022·全国·高三专题练习）5．已知椭圆22:12x C y +=左顶点为A ，,P Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO交AP 于D ，直线,OP OQ 的斜率分别为12,k k 且1212k k =-，,AD DF AE EQ l m ==uuu ruuu r uuu r uuu r （,l m 是非零实数），求22l m +=.题型二：非对称韦达问题（2022·全国·高三专题练习）6．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点是12F F 、，左右顶点是12A A 、，离心率是2F 的直线与椭圆交于两点P 、Q (不是左、右顶点)，且1F PQ D 的周长是直线1A P 与2A Q 交于点M .(1)求椭圆的方程；(2)(ⅰ)求证直线1A P 与2A Q 交点M 在一条定直线l 上；(ⅱ)N 是定直线l 上的一点，且PN 平行于x 轴，证明：2PF PN是定值．（2022·全国·高三专题练习）7．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，若过点()4,0P 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 与BN 相交于点Q ．证明：点Q 在定直线上．（2022·全国·高三专题练习）8．点,A B 是椭圆22:143x y +=E 的左右顶点若直线:(1)l y k x =-与椭圆E 交于M ，N 两点，求证：直线AM 与直线BN 的交点在一条定直线上．变式（2022·全国·高三专题练习）9．已知1A 、2A 分别是离心率e 2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右顶点，P 是椭圆E的上顶点，且121PA PA ×=-uuu r uuu u r .（1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 过点()0,4-，且与椭圆E 交于A 、B 两点，点M 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AM 恒过定点.变式（2022·全国·高三专题练习）10．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）过点(P (1)求椭圆C 的方程；(2)记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程．题型三：椭圆的光学性质（2022·全国·高三专题练习）11．如图①，椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.如图②，双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图③，一个光学装置由有公共焦点12,F F 的椭圆1C 与双曲线2C 构成，已知1C 与2C 的离心率之比为2:5.现一光线从右焦点2F 发出，依次经1C 与2C 的反射，又回到了点2F ，历时8310-´秒.将装置中的2C去掉，如图④，此光线从点2F 发出，经1C 两次反射后又回到了点2F ，历时.秒（2022·全国·高三专题练习）12．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C 的方程为2244x y +=，其左、右焦点分别是1F ，2F ，直线l 与椭圆C 切于点P ，且1||1PF =，过点P 且与直线l 垂直的直线'l 与椭圆长轴交于点M ，则12||:||F M F M =A B ．C ．1:3D ．（2022·全国·高三专题练习）13．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．直线l ：280x y +-=与椭圆C ：2211612x y +=相切于点P ，椭圆C 的焦点为1F ，2F ，由光学性质知直线1PF ，2PF 与l 的夹角相等，则12F PF Ð的角平分线所在的直线的方程为（ ）A ．210x y --=B ．10x y -+=C ．210x y -+=D ．10x y --=题型四：双曲线的光学性质（2022·全国·高三专题练习）14．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.已知双曲线C ：221169x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，从2F 发出的光线射向C 上的点()08,P y 后，被C 反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是（ ）A ．1314B ．1114-C ．1114D ．1314-（2022·全国·高三专题练习）15．根据圆锥曲线的光学性质，从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，连双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下列问题：已知12F F 、分别是双曲线C ：221x y -=的左.右焦点，若从2F 发出的光线经双曲线右支上的点()0,1A x 反射后，反射光线为射线AM ，则2F AM Ð的角平分线所在的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．1-D ．题型五：抛物线的光学性质（2022·全国·高三专题练习）16．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3，1)射入，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ）A ．43B ．－43C ．±43D ．－169（2022·全国·高三专题练习）17．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM V 的周长为（ ）A ．9B ．9C ．7112D ．8312（2022·全国·高三专题练习）18．已知：如图，抛物线()2:20C x py p =>，0,2p F æöç÷èø为其焦点，j 是过抛物线上一点()00,D x y 的切线，,A B 是直线j 上的两点（不同于点D ），直线DC 平行于y 轴．求证：Ð=ÐFDA CDB ．（入射角等于反射角）变式（2022·全国·高三专题练习）19．已知：如图，抛物线()2:20C y px p =>，F 是抛物线的焦点，入射光线从F 点发出射到抛物线上的点M ，求证：反射光线平行于x 轴．参考答案：1．22b a - 22b a - 22b a-【分析】通过伸缩变换将椭圆变为圆，在圆中得到的垂直关系转化为斜率之积为-1，进而得到椭圆中的斜率之积为定值22b a-.【详解】作变换x x a y y b ¢=ìïí¢=ïî，那么椭圆变为圆，方程为：222x y a +=，P ¢是M N ¢¢中点，那么1M N OP k k ¢¢¢×=-，∴2222MN OPM N OP M N OP b b bb k k k k k k a a aa ¢¢¢¢¢¢æöæö×=×=×=-ç÷ç÷èøèø，A B ¢¢是圆的左右顶点即直径，那么''1A Q B Q A Q B Q k k ¢¢¢¢^¢¢Þ×=-，∴2222AQ BQA QB Q A Q B Q b b bb k k k k k k a a aa ¢¢¢¢¢¢¢¢æöæö×=×=×=-ç÷ç÷èøèø，C D ¢¢是过圆心O 的一条弦即直径，那么''1C Q D Q C Q D Q k k ¢¢¢¢¢^¢Þ×=-，∴2222CQ DQC QD Q C Q D Q b b bb k k k k k k a a aa ¢¢¢¢¢¢¢¢æöæö×=×=×=-ç÷ç÷èøèø．2．x =【分析】作仿射变换，则椭圆变成圆221x y ¢¢+=，则可得O N P Q ¢¢¢¢^，由垂径定理可得M N ¢¢的方程1x ¢=，从而可求得MN 的方程【详解】如图，作仿射变换：2x x y y =ìí=¢¢î，椭圆变为221x y ¢¢+=，直线PQ 的斜率12变为直线P Q ¢¢的斜率1，M变为M ¢1,O N P Q k k O N P Q ¢¢¢¢¢¢¢¢\=-\^，由垂径定理M N ¢¢平分P M Q ¢¢¢Ð，其方程为1x ¢=，MN \平分PMQ Ð，\△MPQ内切圆的圆心所在的定直线方程为x =故答案为：x =3．92【分析】通过伸压变换将椭圆变成圆再还原回去.【详解】作变换''x y y =ìïí=ïî之后椭圆变为圆，方程为224x y ¢+¢=，'2',''''P O OQ O A Q B Q =ì\í=îQ 是P A B ¢¢¢△的重心，又O 是P A B ¢¢¢△的外心P A\¢¢△∴)2P A BS ¢¢¢=△'''92PAB P A B S \==V 故答案为：924．12- 4 2 1【分析】作伸缩变换，将椭圆变为圆，根据三角形面积公式求得当OM ON ¢^¢时，1sin 2M ON S OM ON M ON ¢¢=¢¢¢¢△∠最大，进而依次计算可得.【详解】作变换''x y =ìïí=ïî此时椭圆变为圆，方程为224x y ¢+¢=，当OMON ¢^¢时，1sin 2M ON S OM ON M ON ¢¢=¢¢¢¢△∠最大，并且最大为21222´=，此时1122OM ON OM ON OM ON k k k k ¢¢¢¢öö×=×=×=-÷÷øø，MON M ON S ¢¢==△△由于OM ON ¢^¢，1212'''',''x y OM ON y x =ì=\í=î，∴2222221212114x x x x x y +=¢+¢=¢+¢=，22222222122212222y y x y y y ¢+¢¢+¢+=+===，因为OP OM ON l m =+uuu r uuuu r uuu r，所以222222OP OM ON OM ON l m lm =++×uuu v uuuu v uuu v uuuu v uuu v()222244,1l m l m \=+\+=.故答案为：12-4；2；1.5．1【分析】设()()1100,,,P x y D x y ，由AD DP l =uuu ruuu r以及111020,y k x y k x ==解出111x y ==，代入椭圆方程求出2l ；同理可得2m ；进而求出22l m +的值．【详解】解法1：可得点()A ，设()()1100,,,P x y D x y ，则111020,y k x y k x ==，由AD DP l =uuu ruuu r可得()()010010,x x x y y y l l +=-=-，即有0101x y y ll +==，111k x y =Q，0202111y k x k x llll æ++\==ççè，两边同乘以1k，可得211121112k x k k x x ææ==-ççççèè，解得111x y ==，将()11,P x y 代入椭圆方程可得221112k l =+，由AE EQ m =uuu r uuu r 可得22221121212k k k m ==++，可得221l m +=；故答案为：1．解法2：作变换''x y ìïí=ïî之后椭圆变为圆，方程为222x y ¢+¢=，))21QP OQ OP OQ OP OQ k k k k OP OQ ¢¢×=×=×=-Þ¢^¢，设,P A O Q A O a b Т¢=Т¢=，则124P A Q P A Q πa b +=Т¢¢=Т¢¢=，,,2cos ,2cos cos cos R RD PE Q A P R A Q R a b a b¢¢=¢¢=¢¢=¢¢=，∴22cos 1cos 2AD A D A P D P DP D P D P l a a ¢¢¢¢-¢¢====-=¢¢¢¢，22cos 1cos 2AE A E A Q E Q EQ E Q E Q m b b ¢¢¢¢-¢¢====-=¢¢¢¢，∴22222222cos 2cos cos 2cos 2cos 2sin 212πl m a b a a a a æö+=+=+-=+=ç÷èø.故答案为：1．6．(1)2212x y +=(2) (ⅰ)见证明；(ⅱ)见证明【分析】(1)由题意可得4c aa ì=ïíï=î，可以求出a =1c =，从而求出椭圆的方程；(2)(ⅰ)由点斜式分别写出1A P 与2A Q 的方程，两式子消去y ，根据韦达定理可得(),P x y ，()2,Q x y 的坐标关系，进而可以得到点M 在一条定直线x ＝2上；(ⅱ)合点P在椭圆上，可以求出2PF PN=为定值．【详解】(1)2c ，据题意有：4c aa ì=ïíï=îa =1c =，则1b =，所以椭圆的方程是2212x y +=.(2) (ⅰ)由(1)知()1A ，)2A ，()21,0F ，设直线PQ 的方程是1x my =+，代入椭圆方程得：()222210m y my ++-=，易知()222442880m m m D =++=+>，设()11,P x y ，()22,Q x y ，12y y >，则1221222211m y y m y y m ì+=-ïï+íï=-ï+î21y y -==， 直线1A P 的方程是：y x =+ ①，直线2A P的方程是：y x =②，设(),M x y ，既满足①也满足②，则x =2==，故直线1A P 与2A P 交点M 在一条定直线l ：x ＝2上. (ⅱ)设()2,N t ，()11,P x y ，()12,2x Î-，则12PN x =-，===【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，椭圆与直线的综合问题，考查了学生综合分析能力及计算能力，属于难题．7．（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）用离心率公式和b 列方程求得a ，即可得椭圆方程；（2）方法一：设直线:4MN x ty =+，()11,M x y ，()22,N x y 联立椭圆方程，由韦达定理得12,y y 关系，由直线AM 和BN 方程联立求解交点坐标，并化简得1x =，即可证明问题；方法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，123,,x x x 两两不等，因为P ，M ，N 三点共线，由斜率相等得到方程，同理A ，M ，Q 三点共线与B ，N ，Q 三点共线也得到两方程，再结合三条方程求解31x =，即可证明问题.【详解】解：（1）因为椭圆的离心率12，12c a \=，2a c \=，又2b =b \=因为222233b a c c =-==，所以1c =，2a =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）解法一：设直线:4MN x ty =+，()11,M x y ，()22,N x y ，224143x ty x y =+ìïí+=ïî，可得()223424360t y ty +++=，所以12212224343634t y y t y y t -ì+=ïï+íï=ï+î．直线AM 的方程：()1122y y x x =++①直线BN 的方程：()2222y y x x =--②由对称性可知：点Q 在垂直于x 轴的直线上，联立①②可得1221212623ty y y y x y y ++=-．因为121223y y t y y +=-，所以()122112212121362262133y y y y ty y y y x y y y y -+++++===--所以点Q 在直线1x =上．解法二：设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,Q x y ，123,,x x x 两两不等，因为P ，M ，N 三点共线，所以()()()()22122212122222121212313144444444x x y y y y x x x x x x æöæö--ç÷ç÷èøèø=Þ=Þ=------，整理得：()12122580x x x x -++=．又A ，M ，Q 三点共线，有：313122y yx x =++①又B ，N ，Q 三点共线，有323222y y x x =--②将①与②两式相除得：()()()()2222121332231231222222222y x y x x x x y x x y x ++æö++=Þ=ç÷----èø()()()()()()222121221212312224223124x x x x x x x x æö-+ç÷++èø==--æö--ç÷èø即()()()()()()2211212331212122224222224x x x x x x x x x x x x x x +++++æö+==ç÷----++èø，将()12122580x x x x -++=即()12125402x x x x =+-=代入得：233292x x æö+=ç÷-èø解得34x =（舍去）或31x =，（因为直线BQ 与椭圆相交故34x ¹）所以Q 在定直线1x =上．【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题.8．证明见解析【分析】联立直线与椭圆方程，联立直线AN 的方程与直线BM 的方程，结合韦达定理，化简可求得直线AM 与直线BN 交点在定直线x ＝4上．【详解】由题意得，()2,0A -，()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，联立22143(1)x y y k x ì+=ïíï=-î，化简得(222234)84120k x k x k +-+-=，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+，直线AM 的方程为()1122y y x x =++，直线BN 的方程为22(2)2y y x x =--，联立()112222(2)2y y x x y y x x ì=+ï+ïíï=-ï-î，即()1122(1)22(1)(2)2k x y x x k x y x x -ì=+ï+ïí-ï=-ï-î，解得1121222(23)34x x x x x x x -+=+-原式()()222221212221222241282234223434342482434k k x x x x x x k k x x x k x k æö-×-×+ç÷é-++ù++ëûèø==++-+-+2222222222221624812244234344812812223434k k x x k k k k x x k k æö----++ç÷++èø==æ=----++++öç÷èø，故直线AM 与直线BN 交点在定直线x ＝4上．9．（1）2212x y +=（2）证明见解析【分析】（1）由向量数量积的坐标运算可求得1c =，再由离心率可得a ，然后求得b ，得椭圆方程；（2）当直线l 的斜率存在时，设直线:4l y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,M x y -，由直线方程与椭圆方程联立并消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后写出直线AM 方程并变形后代入1212,x x x x +，可得定点坐标，再验证直线l 斜率不存在时，直线AM 也过这个定点即可．【详解】解：（1）由题意得()1,0A a -，()2,0A a ，()0,P b ，则22212(,)(,)1PA PA a b a b a b c ×=--×-=-+=-=-uuu r uuu u r，所以1c =，又22c e a a b ì==ïíï=î，所以a =1b =，所以椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线:4l y kx =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,M x y -，由22124x y y kx ì+=ïíï=-î，消去y 得()221216300k x kx +-+=.由()22(16)120120k k D =--+>，得2152k >，所以1221612k x x k +=+，1223012x x k =+.()12121212121244AM k x x y y kx kx k x x x x x x ----+===+++，直线AM 的方程为()()121112k x x y y x x x x --=-+，即()()()()()()()()12121121211*********44k x x k x x kx x x k x x x x y y x x kx x x x x x x x x ---++--=+-=-+-=+++()()()12121212121212122424kx x x x kx x x k x x kx x x x x x x x x -++--==+-+++，因为1221612k x x k +=+，1223012x x k =+，所以21212230221124416412kkx x k k x x k +-=-=-++，直线AM 的方程为可化为()121214k x x y x x x -=-+，则直线AM 恒过定点10,4æö-ç÷èø.当直线l 的斜率不存在时，直线AM 也过点10,4æö-ç÷èø，综上知直线AM 恒过定点10,4æö-ç÷èø.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定点问题．解题方法是设而不求思想方法．设出动直线l 方程4y kx =-，设交点坐标()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程与椭圆方程联立消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，利用此结论求出直线AM 方程，可确定定点坐标．10．(1)22184x y +=(2)证明见解析；定直线1y =【分析】（1）利用椭圆过点，离心率，结合222a b c =+，即可得解；（2）由题意得直线MN 的方程4y kx =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求根公式可求得12,x x ，联立直线AN 的方程与直线BM 的方程，化简可求得直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上．【详解】（1）由椭圆过点(P，所以22241a c a a c ì=ïïï=íïïïî，解得2284a b ì=í=î故所求的椭圆方程为22184x y +=．（2）由题意得()0,2A ，()0,2B -，直线MN 的方程4y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ，联立224184y kx x y =+ìïí+=ïî，整理得()221216240k x kx +++=，∴1221612kx x k -+=+，12x x =，2x =，直线AN 的方程为2222y y x x --=，直线BM 的方程为1122y y x x ++=，联立22112222y y x x y y xx -ì-=ïïí+ï+=ïî，得()()()()2121121121212222222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x -++-===++++代入12,x x，得2123y y -==-+，解得1y =，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上．11．710-##7110【分析】由题意可2125a a =，得根据椭圆的和双曲线的定义可得1211222,2BF BF a AF AF a +=-=，整理得到221222BF AB AF a a ++=-，从而结合路程速度时间之间的关系可得812131022,4v a a tv a -´´=-=，求得答案.【详解】设122FF c =，椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ，光速为v ，而1C 与2C 的离心率之比为2:5，即1225ca c a =，即2125a a =，在图③1211222,2BF BF a AF AF a +=-=，两式相减得：12211222BF BF AF AF a a ++-=-，即221222BF AB AF a a ++=-.在图④中，112214BF DF DF BF a +++=，设图④，光线从点2F 发出，经1C 两次反射后又回到了点2F ，历时t 秒，由题意可知：812131022,4v a a tv a -´´=-=，则8121223103410a a t a --´==，故710t -=（秒），故答案为：710-12．C【详解】由椭圆的光学性质得到直线'l 平分角12F PF ，因为12111122221sin 21sin 2PMF PMF F P PM F PM S F M PF S F M PF F P PM F PM Ð===ÐV V 由11PF =，124PF PF +=得到23PF =，故12:F M F M = 1:3.故答案为C.13．A【分析】先求得P 点坐标，然后求得12F PF Ð的角平分线所在的直线的方程.【详解】()2228022,3311612x y x P x y y +-=ì=ìïÞÞíí=+=îïî，直线l 的斜率为12-，由于直线1PF ，2PF 与l 的夹角相等，则12F PF Ð的角平分线所在的直线的斜率为2，所以所求直线方程为()322,210y x x y -=---=.故选：A 14．C【分析】求出点P ，进而求出2112，，PF PF F F ，利用余弦定理即可得出结果.【详解】设0(8,)P y在第一象限，200641169-=Þ=y y，26=PF 1=6+8=14PF ，12=10F F ，222121461011cos 214614+-Ð==´´F PF 故选：C【点睛】本题考查了双曲线的几何性质和余弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于一般题目.15．D【分析】显然)A在第一象限，然后根据已知求出点A 的坐标，再求出点2F 的坐标，由此可得2AF x ^轴，设角2F AM 的角平分线为AN ，求出直线AN 的倾斜角，即可求解．【详解】解：由已知可得()0,1A x 在第一象限，将点A 的坐标代入双曲线方程可得：2011x -=，解得0x =)A ，又由双曲线的方程可得1a =，1b =，所以c =2F ，所以2||1AF =，且点A ，2F都在直线x =12||||OF OF =设过点A与双曲线相切的直线方程为(1y k x =+，代入221x y -=所以12122||tan ||F F F AF AF Ð===设2F AM Ð的角平分线为AN ，则2121(180)2F AN F AF Ð=°-д，所以直线AN 的倾斜角为2121901802F AN F AF °+Ð=°-Ð，所以直线AN 的斜率为121211tan 180tan 22F AF F AF æö°-Ð=-Ðç÷èø，因为12tan F AF Ð==121tan 2F AF Ð所以直线AN 故选：D ．16．B【分析】求出点A 的坐标，根据抛物线的光学性质可得直线AB 经过焦点，即可求出斜率.【详解】由题意可知点A 的纵坐标为1．将y ＝1代入24y x =，得14x =，则1,14A æöç÷èø，由抛物线的光学性质可知，直线AB 经过焦点(1,0)F ，所以直线AB 的斜率1041314k -==--．故选：B ．17．B【分析】根据题中光学性质作出图示，先求解出A 点坐标以及直线AB 的方程，从而联立直线与抛物线方程求解出B 点坐标，再根据焦半径公式以及点到点的距离公式求解出ABM V 的三边长度，从而周长可求.【详解】如下图所示：因为()3,1M ，所以1A M y y ==，所以2144A A y x ==，所以1,14A æöç÷èø，又因为()10F ,，所以()10:01114AB l y x --=--，即()4:13AB l y x =--，又()24134y x y xì=--ïíï=î，所以2340y y +-=，所以1y =或4y =-，所以4B y =-，所以244BB y x ==，所以()4,4B -，又因为1254244A B AB AF BF x x p =+=++=++=，111344M A AM x x =-=-=，=所以ABM V的周长为：2511944AB AM BM ++=+=，故选：B.【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF x =+；（2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+；（3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+；（4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02pPF y =-+.18．证明见解析【分析】根据抛物线的定义得DF DD ¢= ,由切线斜率以及两点斜率公式可得j FD ¢^ ,进而得直线j 垂直平分线段FD ¢，进而可证角相等.【详解】作抛物线的准线:2p m y =-，延长CD 交m 于点0,2p D x æö¢-ç÷èø，则DF DD ¢=；由()2:20C x py p =>得2:2x C y p=，因此1y x p ¢= ，当00x ¹时直线j 的斜率0j x k p =，直线FD ¢的斜率0022FD p pp k xx ¢--==-，两条直线斜率乘积为1-，所以直线j 垂直平分线段FD ¢，则FDA D DA CDB ¢Ð=Ð=Ð．当00x =时，点(0,0)D ,此时直线j 为x 轴，结论显然成立．综上所述，结论成立．19．证明见解析【分析】设点M 的坐标，利用判别式得到切线l 的斜率，再利用入射角等于反射角得到tan tan a b =，列方程得到0MN k =，即可证明反射光线平行于x 轴.【详解】证明：设200,2M y p y æöç÷èø，过点M 的抛物线的切线为l ，且()2002y x t y y p =-+，入射光线FM 经抛物线壁反射后的反射光线为MN ，由()200222y x t y y p y px=-+ì=ïíïî得2200220y pty pty y -+-=，故22204840p t pt y D =-+=即0y t p=，故切线l 的斜率0p k y =．设直线l 到直线FM 的角为a ，直线MN 到直线l 的角为b ，则由tan tan a b =得11MN FM FM MNk k k kk k k k --=+×+×，即000002112MN MN y p pp y k x y y p pk p y y x ---=+×+×-，解得0,MN k =\反射光线平行于x轴．。
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圆锥曲线非对称问题
韦达定理是初中要求的基本知识，到了高中，他的作用日趋明显，在解析几何的解答题中，有着不可或缺的地位，对于直接运用韦达定理的运算，学生已非常熟练，但在有些问题中会遇到两根不对称的情形，一定要学会找关系，用性质
问题导入
已知椭圆C：的左右焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0），M,N为左右顶点，直线l：x=ty+1与椭圆C交于两点A,B且当m=−√33时，A是椭圆C的点，且△AF1F2的周长为6．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点A在x轴上方，设AM,BN,交于一点T，求证点T的横坐标为定值
变式训练
已知椭圆C：的左右顶点为M，N，过定点p（-3，0）且斜率不为零的动直线与椭圆c交于A，B 两点，设A（x1，y1）B（x2，y2）从左往右依次为P,A,B
(1)求x1x2+4x1+x2的值
(2)设直线AN与直线BM交于点E，求证点E的横坐标为定值
一，共线向量问题型
例1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2
2定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.
1）求曲线E 的方程；
2）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足FH FG λ=，求λ的取值范围.
例2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线214
y x =的焦点，离心率为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ= ，
2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.
例3设双曲线C ：)0(1222>=-a y a
x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，直线L 与y 轴交于点P ，且PA=PB 125，求a 的值
变式训练
1设A ，B 是以F 为焦点的抛物线y 2=4x 上两点，且AF=3FB ，求AB 的中点到准线的距离
2给定抛物线C ：x y 42=，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，且[]
9,4,∈=λλAF FB ，求l 在y 轴上截距的变化范围。
3设F1.F2分别是椭圆2X2+3y2=6的左右焦点，过点E （3，0）的直线L 与椭圆交于A ，B 两点且F1A=λF2B（λ不等于-1）求直线L 的方程
4.如图，椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的右顶点为A （2，0），左、右焦点分别为F 1、F 2，过点A 且斜率为的直线与y 轴交于点P ，与椭圆交于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为点F 1．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过点P 且斜率大于的直线与椭圆交于M ，N 两点（|PM |＞|PN |），若S △PAM ：S △PBN =λ，求实数λ的取值范围．
二，定比分点差法在共线型向量问题中的运用
例1，椭圆C:x24+y22=1过点p（4，1）的动直线L与C交于不同的两点A，B时，直线段上取点Q满足｜AP｜｜QB｜=｜AQ｜｜PB｜，证明Q总在某定直线上。
例2，椭圆C x24+y23=1过点P（2，1）做直线L1，L2分别交C于AC，BD四点，且AB的斜率为-32，判断AB与CD的位置关系
例3，已知E=1（a＞b＞0）的e=A（13，23）在E上，射线AO与E另一交点为B，P（-4t，t）在E内部
射线AP，BP与椭圆E另一交点分别为C，D
（1）求E的方程
（2）证明CD∥AB
变式训练
1已知C：X2+3y2=3，过点D（1，0）且不过E（2，1）的直线过C交于AB，直线AE与x=3交于M判断BM与DE的位置关系
2设F1，F2分别为E x23+y2=1的焦点，点AB在E上，F1A=5F2B，则A点坐标为
3已知E x29+y24=1，过点P（0，3）的直线与E交于AB，求PA PB的取值范围
4已知定点M（2，0）若过直线L（斜率不为0），与E x23+y2=1交于不同两点E,F（E在MF之间）记λ=S∆DME S∆DMF求λ的取值范围
5，已知E x 24+y 23=1，过点P（4，0）作E 的割线PAB，C 为B 关于x 轴对称点，求证：AC 过x 轴上一定点6设点P（0，1），椭圆x 24+y 2=m （m〉1）两点A，B 满足AP=2PB，则当m=（）时，B 点横坐标的绝对值最大
9已知E =1（a ＞b ＞0）内存一点M （2，1）
，过M 两条直线L1，L2分别与E 交于AC 和BD 两点，且满足AM=λMC，BM=λMD（λ大于0且不等于1），若λ变化时AB 的斜率为-12，则E 的离心率为（）
总结题型
【2014年全国课标Ⅱ，理20】设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b
+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34
，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .
候补题.．已知点,A B 的坐标分别为()),
，直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是12-，点M 的轨迹为曲线E .
（Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）过点()1,0F 作直线l 交曲线E 于,P Q 两点，交y 轴于R 点，若1RP PF λ= ，2RQ QF λ= ，证明：12λλ+为定值.
6.已知椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，联接椭圆四个顶点的四边形面积为2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）A 、B 是椭圆的左右顶点，P （x P ，y P ）是椭圆上任意一点，椭圆在P 点处的切线与过A 、B 且与x 轴垂直的直线分别交于C 、D 两点，直线AD 、BC 交于Q （x Q ，y Q ），是否存在实数λ，使x P =λx Q 恒成立，并说明理由．。