福建省福州市仓山高一下学期期末考试数学试题
2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步(章节专练解析版)
第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。
精品解析：福建省福州市八县(市、区)一中2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题(解析版)
2020-2023年第二学期福州八县（市，区）一中期中联考数学试题一，单选题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1. 已知复数i(1i)z =-,则其共轭复数z =（ ）A. 1i -- B. 1i -+ C. 1i - D. 1i+【结果】C 【思路】【思路】由复数乘法法则计算出z 后可得其共轭复数．【详解】2i(1i)i i 1i z =-=-=+,所以1i z =-．故选：C ．2. 下面各式正确地是（ ）A. AD AB DC BC --=B. BO BA MB OM AB-++=C. 0AB CB AC -+= D. 0AB BD AC CD --+=【结果】B 【思路】【思路】由向量地加减法法则计算．【详解】AD AB DC BD DC BC --=-≠。
BO BA MB OM BO OM MB AB AB -++=+++= 。
2AB CB AC AB BC AC AC -+=++= 。
2AB BD AC CD AB DB CA CD CB --+=+++= ．故选：B ．3. 下面命题中正确地是（ ）A. 侧面都是矩形地直四棱柱是长方体B. 三棱锥三个侧面不可能都是直角三角形C. 圆台地任意两款母线延长后一定交于一点D. 有两个面平行且相似,其他各面都是梯形地多面体是棱台【结果】C 【思路】的【思路】依据长方体，棱锥，圆台，棱台地概念与性质判断．【详解】侧面都是矩形地直四棱柱地底面可以不是矩形,不一定是长方体,A 错。
如图三棱锥A BCD -,AB ⊥平面BCD ,CD BC ⊥,则此三棱锥三个侧面,,ABC ACD ABD !!!都是直角三角形,B 错。
圆台是由圆锥用平行于底面地平面截得地,因此其任意两款母线延长后一定交于一点,C 正确。
如下图几何体,有两个面ABCD 和1111D C B A 平行且相似,其他各面都是梯形,但它不是棱台,D 错．故选：C ．4. 一质点受到平面上地三个力F 1,F 2,F 3(单位：牛顿)地作用而处于平衡状态,已知F 1,F 2成90°角,且F 1,F 2地大小分别为2和4,则F 3地大小为（ ）A. 6B. 2C. D. 【结果】C 【思路】【思路】依据向量地合成法则以及向量地模长公式,进行计算即可．【详解】由题意知F 3＝－(F 1＋F 2),所以22223121212||()241620,F F F F F F F =+=++⋅=+=∴|F 3|＝故选：C.5. 已知向量()3cos53,3sin 53OA =︒︒ ,(4cos ,4sin )OB θθ= ,若OA OB ⋅=-,则AOB 地面积等于（ ）A. 3B.C.D.【结果】A 【思路】【思路】由数量积求出AOB ∠地余弦,从而得出正弦值,再由三角形面积公式计算.【详解】由已知3OA = ,4OB =,记AOB α∠=,则cos 34cos OA OB OA OB αα⋅==⨯=- ,cos α=,显然(0,)απ∈,则1sin 2α=,111sin 343222AOBS OA OB α=⨯=⨯⨯⨯= !.故选：A.6. 斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美地“黄金螺旋”,如图给出了它地画法：以斐波那契数1,1,2,3,5,…为边地正方形依序拼成长方形,然后在每个正方形中画一个圆心角为90︒地圆弧,这些圆弧所连起来地弧线就是斐波那契螺旋线.假如用图中接下来地一段圆弧所对应地扇形做圆锥地侧面,那么该圆锥地表面积为（ ）A. 16πB. 20πC. 32πD. 36π【结果】B 【思路】【思路】由斐波那契数地规律判断出接下来地圆弧所在地扇形地半径是3+5=8.设圆锥底面半径为r ,求出r =2,即可求出圆锥地表面积.【详解】由斐波那契数地规律可知,从第三项起,每一个数都是前面两个数之和,即接下来地圆弧所在地扇形地半径是3+5=8,对应地弧长12844l ππ=⨯⨯=.设圆锥底面半径为r ,则24r ππ=,即r =2.该圆锥地表面积为21842202πππ⨯⨯+⨯=.故选：B.7. 第四届数字中国建设峰会将于2023年4月25日至26日在福州举办,福州市以此为契机,加快推进“5G +光网”双千兆城市建设.如图,某县区域地面有四个5G 基站A ,B ,C ,D .已知C ,D 两个基站建在江地南岸,距离为。
精品解析：福建省福州第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
福州一中2021-2022学年第二学期第三学段模块考试高一数学必修第二册模块试题（完卷120分钟 满分160分）参考公式：球地表面积公式24S R π=（R 为球地半径）一，选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1. 若复数21iz =+,则|1|z +=（ ）A. 2B.C. 4D. 5【结果】B 【思路】【思路】由复数地四则运算得出z ,再由模长公式计算即可.【详解】()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-,|1|2i z +=-==故选：B2. 已知向量()1,1a m =- ,()2,4b =,若a b ∥,则实数m =（ ）．A. 1B. 1- C.32D. 32-【结果】C 【思路】【思路】向量共线地充要款件.【详解】因为a b∥,所以()1420m -⨯-=,所以32m =．故选：C ．3. 在ABC 中,角A ,B ,C 所对地边分别为a ,b ,c ,若a =,2224b c +=,则角A 地最大值为（ ）A.2πB.3πC.4πD.6π【结果】B 【思路】【思路】由题设可得2222b c a +=,依据余弦定理有22c s 4o A b c bc +=,利用基本不等式求角A 地范围,即可确定最大值.【详解】由222242b c a +==,则2222b c a +=,所以cos b c a b c bc A bc bc bc +-+==≥=22222212442,0A π<<,所以03A π<≤,故A 地最大值为3π.故选：B4. P 是ABC 所在平面内一点,若3CB PA PB =+,则:ABP ABC S S =△△（ ）A. 1:4 B. 1:3C. 2:3D. 2:1【结果】A 【思路】【思路】由题设可得3PA CP =,可得,,C P A 共线且4CA PA =,即可确定结果.【详解】由题设,3PA CB BP CP =+=,故,,C P A 共线且3CP PA =,如下图示：所以:1:4ABP ABC S S = .故选：A5. 已知向量a = ,b 是单位向量,若|2|a b -= 则a 与b地夹角为（ ）A.6π B.3πC.23π D.56π【结果】B 【思路】【思路】求出a = 地模,将|2|a b -= ,求出向量a ,b地数量积,再依据向量地夹角公式求得结果.【详解】∵a = ,b是单位向量,若|2|a b -=∴||2a = ,1b||=,2(2)13a b -= ,∴224413a a b b -⋅+= .∴444113a b ⨯-⋅+= ,∴1a b ⋅= ,∴11cos ,212||||a b a b a b ⋅===⨯⋅,由[],0,πa b ∈ ∴a 与b地夹角为3π,故选:B.6. 已知正方体ABCD A B C D ''''-棱长为2,M ,N ,P 分别是棱AA '，AB ，BC 地中点,则平面MNP 截正方体所得地多边形地周长为（ ）A. +B.C.D. 【结果】C 【思路】【思路】利用平面基本性质作出正方体中地截面图,再由正方体地特征判断截面地性质,即可求周长.【详解】过直线MN 与射线,B A B B '''分别交于,I J ,作射线JP 交,CC B C '''于,G H ,连接IH 交,A D C D ''''于,E F ,如下图示：所以六边形MNPGFE 即为面MNP 截正方体所得地多边形,又M ,N ,P 分别是棱AA '，AB ，BC 地中点,易知：,,G F E 均为中点,所以截面为正六边形,故周长为.故选：C7. 表面积为324π地球,其内接正四棱柱（底面是正方形地直棱柱）地高是14,则这个正四棱柱地表面积等于（ ）A. 567B. 576C. 240D. 49π【结果】B 【思路】【思路】由题意画出截面图形,利用正四棱柱地对角线地长等于球地直径,通过勾股定理求出棱柱地底面边长,然后求出表面积.【详解】设球地半径为R ,正四棱柱地底面边长为a ,作轴地截面如图114AA =,AC =,又因为24324R ππ=,所以9R =,可得：AC ==,所以AC ==所以8a =,所以正四棱柱地表面积2823214576S =⨯+⨯=,故选：B【点睛】本题主要考查了球与正四棱柱地关系,考查求几何体地表面积,属于中档题.8. ABC 中,已知()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-,设D 是BC 边地中点,且ABC 则()AB DA DB ⋅+等于( )A. 2B. 4C. -4D. -2【结果】A 【思路】【思路】依据正，余弦定理求出A 。
2022-2023学年福建省福州市仓山区高三上学期12月质检数学试题(word版)
福州市仓山区2022-2023学年高三上学期12月质检数学考试时间：120分钟 总分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上.）1.集合{}2,0,1,2M =-，{}211N x x =->，则M N ⋂=（ ） A.{}2,1,2-B.{}0,2C.{}2,2-D.[]2,2-2.已知复数z 满足()11i iz +=，则在复平面内复数z 对应的点在（ ） A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限3.已知向量()1,2a =，(),2b m m =-，若a b ∥，则m =（ ） A.23B.1C.43D.2-4.已知0x >，0y >，且2x y +=，则2221x y x y+++的最小值为（ ）A.5B.72C.72+ D.55.已知8cos 5αα+=，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A.725-B.725C.45D.756.已函数()f x 及其导函数()f x '定义域均为R ，且()()0f x f x '->，()01f =，则关于x 的不等式()e x f x >的解集为（ ）A.{}0x x >B.{}0x x <C.{}1x x <D.{}1x x >7.棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点P ，Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ）A.21 D.18.已知双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点M 为双曲线右支上一点，若122F F OM =，213MF F π∠≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A.(1⎤+⎦B.1⎤⎦C.D.)1,+∞二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省宁德市高一数学下学期期末试题(含解析)-人教版高一全册数学试题
2016-2017学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷一、一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡卡的相应位置填涂．1．直线x+=0的倾斜角为（）A．60° B．90° C．120°D．不存在2．函数y=2sin（x﹣）的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=2π3．已知直线l过点P（2，﹣1），且与直线2x+y﹣l=0互相垂直，则直线l的方程为（）A．x﹣2y=0 B．x﹣2y﹣4=0 C．2x+y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=04．sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°=（）A．B．C．﹣ D．﹣5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为（）A．0°B．45° C．60° D．90°6．要得到函数y=sin2x+cos2x﹣的图象，只需将y=sinx图象上所有的点（）A．横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再向左平移个单位B．横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．向左平移个单位，再将所得各点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变D．向左平移个单位，再将所得各点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，E是边BC的中点，D是边AC上一动点，则•的取值X围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．[﹣2，0]8．已知α，β为两个不同平面，m，n为两条不同直线，以下说法正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m∥n，n⊂α，则m∥αC．若α丄β，α∩β=m，n⊥m，n∥α，则n⊥βD．若m丄n，m∥α，则n⊥α9．已知A﹣BCD为正四面体，则其侧面与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．2 D．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． +6 B． +7 C．π+12 D．2π+611．己知圆C：x2+y2=4，直线l：x+y=b（b∈R），若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为S，则S的可能取值共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种12．f（x）为定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=对称，且当x∈[0，]时，f （x）=tan x，则方程5πf（x）﹣4x=0解的个数是（）A．7 B．5 C．4 D．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置13．已知向量的夹角为，且||=3，||=，则||=．14．已知角α的终边过点P（3，4），则=．15．圆C1：x2+y2﹣9=0与圆C2：x2+y2﹣6x+8y+9=0的公共弦的长为．16．南北朝时代的伟大科学家祖暅提出体积计算原理：“幂势既同，则积不容异“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．图1中阴影部分是由曲线y=、直线x=4以及x轴所围成的平面图形Ω，将图形Ω绕y轴旋转一周，得几何体Γ．根据祖暅原理，从下列阴影部分的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体中选一个求得Γ的体积为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．17．已知点 O（0，0），A（2，1），B（﹣2，4），向量=+λ．（I ）若点M在第二象限，某某数λ的取值X围（II）若λ=1，判断四边形OAMB的形状，并加以证明．18．己知O为坐标原点，倾斜角为的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，△AOB的面积为8．（I ）求直线l的方程；（II）直线l′过点O且与l平行，点P在l′上，求|PA|+|PB|的最小值．19．已知向量=（cos，2sin﹣cos），=（﹣1，1），f（x）=（I ）求函数f（x）的单调递增区间；（II）若f（2α）=，求的值．20．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，VC垂直于⊙O所在的平面，且AB=4，VC=3．（Ⅰ）若点D在△VCB内，且DO∥面VAC，作出点D的轨迹，说明作法及理由；（Ⅱ）求三棱锥V﹣ABC体积的最大值，并求取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角的大小．21．己知圆C过点（，1），且与直线x=﹣2相切于点（﹣2，0），P是圆C上一动点，A，B为圆C与y轴的两个交点（点A在B上方），直线PA，PB分别与直线y=﹣3相交于点 M，N．（1 ）求圆C的方程：（II）求证：在x轴上必存在一个定点Q，使的值为常数，并求出这个常数．22．某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量y（单位：m3/h ）关于时间t（单位：h）的关系均近似地满足函数y=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如下：（Ⅰ）根据图象求函数解析式；（II）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过5m3/h，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？2016-2017学年某某省某某市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡卡的相应位置填涂．1．直线x+=0的倾斜角为（）A．60° B．90° C．120°D．不存在【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【解答】解：∵直线x+=0的斜率不存在，∴倾斜角为，即为90°．故选：B．2．函数y=2sin（x﹣）的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=2π【考点】H6：正弦函数的对称性．【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性，求出函数y=2sin（x﹣）的一条对称轴．【解答】解：对于函数y=2sin（x﹣），令x﹣=kπ+，求得x=kπ+，k∈Z，可得它的图象的对称轴为x=kπ+，k∈Z，令k=0，可得它的一条对称轴是x=，故选：C．3．已知直线l过点P（2，﹣1），且与直线2x+y﹣l=0互相垂直，则直线l的方程为（）A．x﹣2y=0 B．x﹣2y﹣4=0 C．2x+y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】根据题意设出直线l的方程，把点P（2，﹣1）代入方程求出直线l的方程．【解答】解：根据直线l与直线2x+y﹣l=0互相垂直，设直线l为x﹣2y+m=0，又l过点P（2，﹣1），∴2﹣2×（﹣1）+m=0，解得m=﹣4，∴直线l的方程为x﹣2y﹣4=0．故选：B．4．sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°=（）A．B．C．﹣ D．﹣【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°=sin 70° cos40°﹣cos70°•sin40°=sin （70°﹣40°）=sin30°=．故选：A．5．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为（）A．0°B．45° C．60° D．90°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE﹣CMFB，由此能求出AM与BN所成角的大小．【解答】解：如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ADNE﹣CMFB，∵CD∥BN，CD⊥AM，∴AM⊥BN，∴在这个正方体中，AM与BN所成角的大小为90°．故选：D．6．要得到函数y=sin2x+cos2x﹣的图象，只需将y=sinx图象上所有的点（）A．横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再向左平移个单位B．横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移个单位C．向左平移个单位，再将所得各点的横坐标变为原来的两倍，纵坐标不变D．向左平移个单位，再将所得各点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角恒等变换化简原函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得平移后所得函数的解析式．【解答】解：∵函数y=sin2x+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+），故只需将y=sinx图象上所有的点向左平移个单位，可得y=sin（x+）的图象；再将所得各点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得y=sin（2x+）的图象，故选：D．7．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，E是边BC的中点，D是边AC上一动点，则•的取值X围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．[﹣2，0]【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量、，再求出数量积•的取值X围．【解答】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示；则A（0，0），B（2，0），C（0，2），E（1，1），设D（0，y），则0≤y≤2；∴=（1，1），=（﹣2，y），∴•=1×（﹣2）+y=y﹣2；由y∈[0，2]，得y﹣2∈[﹣2，0]，∴的取值X围是[﹣2，0]．故选：B．8．已知α，β为两个不同平面，m，n为两条不同直线，以下说法正确的是（）A．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nB．若m∥n，n⊂α，则m∥αC．若α丄β，α∩β=m，n⊥m，n∥α，则n⊥βD．若m丄n，m∥α，则n⊥α【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用面面平行，面面垂直以及线面平行线面垂直的性质定理和判定定理对选项分析选择．【解答】解：对于A，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或者异面；故A错误；对于B，若m∥n，n⊂α，则m∥α或者m⊂α；故B 错误；对于C，若α丄β，α∩β=m，n⊥m，n∥α，根据面面垂直的性质以及线面平行的性质定理可判断n⊥β；故C正确；对于D，若m丄n，m∥α，则n与α位置关系不确定；故D错误；故选C．9．已知A﹣BCD为正四面体，则其侧面与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．2 D．【考点】MT：二面角的平面角及求法．【分析】由已知中正四面体的所有面都是等边三角形，取CD的中点E，连接AE，BE，由等腰三角形“三线合一”的性质，易得∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角，解三角形ABE即可得到正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值．【解答】解：不妨设正四面体为A﹣BCD，取CD的中点E，连接AE，BE，设四面体的棱长为2，则AE=BE=且AE⊥CD，BE⊥CD，则∠AEB即为侧面与底面所成二面角的平面角．在△ABE中，cos∠AEB=，故正四面体侧面与底面所成二面角的余弦值是．故选A．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A． +6 B． +7 C．π+12 D．2π+6【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图，可得该几何体是由长方体和半圆柱组合而成，根据数据即可计算．【解答】解：根据三视图，可得该几何体是由长方体和半圆柱组合而成，长方体的棱长分别为1，2，1；圆柱的底面半径为1，高为1，则该几何体的表面积为s=（1+1+2）×1+1×2×2+2×2+=π+12故选：C11．己知圆C：x2+y2=4，直线l：x+y=b（b∈R），若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为S，则S的可能取值共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】设圆心O到直线的距离为d，结合图形可得：圆C上到直线l的距离为1的点的个数为0，1，2，3，4，则S的可能取值共有5种．【解答】解：设圆心O到直线的距离为d，结合图形可得：当d＞3时，若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为0，当d=3时，若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为1，当1＜d＜3时，若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为2，当d=1时，若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为3，当d＜1时，若圆C上到直线l的距离为1的点的个数为4，∴圆C上到直线l的距离为1的点的个数为S，则S的可能取值共有5种．故选：D12．f（x）为定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=对称，且当x∈[0，]时，f （x）=tan x，则方程5πf（x）﹣4x=0解的个数是（）A．7 B．5 C．4 D．3【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】利用已知条件画出y=f（x）与y=的图象，即可得到方程解的个数．【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=对称，且当x∈[0，]时，f（x）=tan x，方程5πf（x）﹣4x=0解的个数，就是f（x）=解的个数，在坐标系中画出y=f（x）与y=的图象，如图：两个函数的图象有5个交点，所以方程5πf（x）﹣4x=0解的个数是：5．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置13．已知向量的夹角为，且||=3，||=，则||= 2 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，设||=t，（t＞0），由向量数量积的运算公式可得|+|2=（+）2=9+t2+2•=9+t2+3t=19，化简可得t2+3t﹣10=0，解可得t的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，设||=t，（t＞0）若||=3，||=，向量的夹角为，则有|+|2=（+）2=9+t2+2•=9+t2+3t=19，即t2+3t﹣10=0，解可得t=2或t=﹣5（舍），则||=2；故答案为：2．14．已知角α的终边过点P（3，4），则= ﹣．【考点】GO：运用诱导公式化简求值；G9：任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得x，y，r，由任意角的三角函数的定义可得sinα，利用诱导公式化简所求求得结果．【解答】解：∵由题意可得x=3，y=4，r=5，由任意角的三角函数的定义可得sinα==，∴=﹣sinα=﹣．故答案为：﹣．15．圆C1：x2+y2﹣9=0与圆C2：x2+y2﹣6x+8y+9=0的公共弦的长为．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到求出直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．【解答】解：圆C1：x2+y2﹣9=0与圆C2：x2+y2﹣6x+8y+9=0得：6x﹣8y﹣18=0，即3x﹣4y ﹣9=0∵圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣9=0的距离d==，r=3，则公共弦长为2=2=．故答案为：．16．南北朝时代的伟大科学家祖暅提出体积计算原理：“幂势既同，则积不容异“意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．图1中阴影部分是由曲线y=、直线x=4以及x轴所围成的平面图形Ω，将图形Ω绕y轴旋转一周，得几何体Γ．根据祖暅原理，从下列阴影部分的平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体中选一个求得Γ的体积为32π【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．【解答】解：如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为|y|，所得截面面积S=π（42﹣4|y|），S1=π（42﹣y2）﹣π[4﹣（2﹣|y|）2]=π（42﹣4|y|）∴S1=S，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，∵Γ1=××（43﹣23﹣23）=×48=32π，∴Γ=32π．故答案为：32π．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明或演算步骤．17．已知点 O（0，0），A（2，1），B（﹣2，4），向量=+λ．（I ）若点M在第二象限，某某数λ的取值X围（II）若λ=1，判断四边形OAMB的形状，并加以证明．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】（Ⅰ）设M（x，y），由=+λ得（x，y）=（2，1）+λ（﹣2，4），即M（2﹣2λ，1+4λ）又，⇒λ＞1（Ⅱ）当λ=1时，O（0，0），A（2，1），M（0，5），B（﹣2，4）可得OB∥AM且OB=AM，又，OB⊥OA，OA∴≠OB，四边形OAMB是矩形．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得，由=+λ得（x，y）=（2，1）+λ（﹣2，4）⇒x=2﹣2λ，y=1+4λ即M（2﹣2λ，1+4λ）又∵点M在第二象限，∴，⇒λ＞1；（Ⅱ）当λ=1时，O（0，0），A（2，1），M（0，5），B（﹣2，4）∴，OB∥AM且OB=AM∴四边形OAMB是平行四边形．又，∴OB⊥OA∵，OB=2，四边形OAMB是矩形．18．己知O为坐标原点，倾斜角为的直线l与x，y轴的正半轴分别相交于点A，B，△AOB的面积为8．（I ）求直线l的方程；（II）直线l′过点O且与l平行，点P在l′上，求|PA|+|PB|的最小值．【考点】IG：直线的一般式方程．（I）由题意可得：直线l的斜率k=tan=﹣，设直线l的方程为：y=﹣x+b．可【分析】得直线l与坐标轴的正半轴交点为A，B（0，b），其中b＞0．可得S△OAB=b ×b=8，解得b即可得出．（II）由（I）可得：A（4，0），B（0，4）．直线l′的方程为：y=﹣x．设点A关于直线l′的对称点A′（m，n），则，解得A′（﹣2，﹣2）．|PA|+|PB|=|PA′|+|PB′|，当A′，B，P三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值．即可得出．【解答】解：（I）由题意可得：直线l的斜率k=tan=﹣，设直线l的方程为：y=﹣x+b．可得直线l与坐标轴的正半轴交点为A，B（0，b），其中b＞0．∴S△OAB=b×b=8，解得b=4．∴直线l的方程为：y=﹣x+4．（II）由（I）可得：A（4，0），B（0，4）．直线l′的方程为：y=﹣x．设点A关于直线l′的对称点A′（m，n），则，解得，∴A′（﹣2，﹣2）．∵|PA|+|PB|=|PA′|+|PB′|，∴当A′，B，P三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值．∴（|PA|+|PB|）min=|A′B|=4．19．已知向量=（cos，2sin﹣cos），=（﹣1，1），f（x）=（I ）求函数f（x）的单调递增区间；（II）若f（2α）=，求的值．【考点】GI：三角函数的化简求值；GL：三角函数中的恒等变换应用；H5：正弦函数的单调性．【分析】（I ）根据向量的乘积运算求出f（x）的解析式，化简，根据三角函数性质即可求函数f（x）的单调递增区间（II）根据f（x）的解析式把x=2a带入，即f（2α）=，切化弦即可得答案．【解答】解：（I ）向量=（cos，2sin﹣cos），=（﹣1，1），f（x）==2sin﹣cos﹣cos=2（sin﹣cos）=2sin（）由2kπ≤≤，k∈Z．解得：4kπ≤x≤4kπ，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间为[4kπ，4kπ]，k∈Z．（II）由（I ）可得f（x）=2sin（）∵f（2α）=，即2sin（）=∴sin（）=，那么===（cosα﹣sinα）2=2sin2（）=2×=．20．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，VC垂直于⊙O所在的平面，且AB=4，VC=3．（Ⅰ）若点D在△VCB内，且DO∥面VAC，作出点D的轨迹，说明作法及理由；（Ⅱ）求三棱锥V﹣ABC体积的最大值，并求取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角的大小．【考点】MI：直线与平面所成的角；J3：轨迹方程．【分析】（Ⅰ）取VB，CB的中点，分别记为E，F，连结E，F，由E，F分别为VB、CB的中点，得EF∥VC，从而DO∥面VAC，由此得到D点轨迹是EF．（Ⅱ）设d为点C到直线AB的距离，由VC⊥面ABC，得到d=2，即C是的中点时，（V V﹣）max=4，此时VC⊥BC，AC⊥BC，从而BC⊥面VAC，进而∠CAB是直线AB与面VAC所成的ABC角，由此能求出三棱锥V﹣ABC体积取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角为45°．【解答】解：（Ⅰ）取VB，CB的中点，分别记为E，F，连结E，F，则线段EF即为点D的轨迹，如图所示．理由如下：∵E，F分别为VB、CB的中点，∴EF∥VC，又EF⊄面VAC，VC⊂面VAC，又D∈EF，OD⊂面EOF，∴DO∥面VAC，∴D点轨迹是EF．（Ⅱ）设d为点C到直线AB的距离，∵VC⊥面ABC，∴==，∵d∈（0，2]，∴当d=2，即C是的中点时，（V V﹣ABC）max=4，∵VC⊥面ABC，BC⊂面ABC，∴VC⊥BC，∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴AC⊥BC，∵AC∩VC=C，∴BC⊥面VAC，∴AC是AB在面VAC上的射影，∴∠CAB是直线AB与面VAC所成的角，∵C是的中点，∴CA=CB，∴∠CAB=45°，∴三棱锥V﹣ABC体积取到最大值时，直线AB与平面VAC所成角为45°．21．己知圆C过点（，1），且与直线x=﹣2相切于点（﹣2，0），P是圆C上一动点，A，B为圆C与y轴的两个交点（点A在B上方），直线PA，PB分别与直线y=﹣3相交于点 M，N．（1 ）求圆C的方程：（II）求证：在x轴上必存在一个定点Q，使的值为常数，并求出这个常数．【考点】9R：平面向量数量积的运算；J1：圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据题意得出圆C的圆心在x轴上，设出圆C的标准方程，求出圆心与半径即可；（II）【解法一】由题意设出直线AP的方程，根据AP⊥BP写出直线BP的方程，求出M、N的坐标，设点Q的坐标，利用坐标表示、和数量积•，计算•为常数时，在x轴上存在一定点Q．【解法二】由题意设出点P的坐标，根据点P在圆C上，结合直线AP的方程求出点M、N的坐标；设出点Q的坐标，利用坐标表示出、，计算数量积•为常数时，在x轴上存在一定点Q．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C与直线x=﹣2相切于点（﹣2，0），∴圆C的圆心在x轴上，设圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=r2（r＞0），则，解得a=0，r=2；∴圆C的方程为x2+y2=4；（II）【解法一】证明：由（Ⅰ）得A（0，2），B（0，﹣2），又由已知可得直线AP的斜率存在且不为0，设直线AP的方程为y=kx+2（k≠0），∵AB是圆C的直径，∴AP⊥BP，∴直线BP的方程为y=﹣x﹣2，联立，解得；∴M（﹣，﹣3）；同理可求N（k，﹣3）；如图所示，设Q（t，0），则=（﹣﹣t，﹣3），=（k﹣t，﹣3）；∴•=（﹣﹣t）（k﹣t）+（﹣3）×（﹣3）=t2+4+（﹣k）t，当t=0时，•=4为常数，与k无关，即在x轴上存在一定点Q（0，0），使的值为常数4．【解法二】证明：由（Ⅰ）得A（0，2），B（0，﹣2），设P（x0，y0），由已知得，点P在圆C上，且异于点A、B，∴x0≠0，y0≠2，且+=4；∴直线AP的方程为y=x+2，当y=﹣3时，x=﹣，∴点M的坐标为（﹣，﹣3），同理：点N的坐标为（﹣，﹣3）；设Q（t，0），则=（﹣﹣t，﹣3），=（﹣﹣t，﹣3），∴•=（﹣﹣t）（﹣﹣t）+9=t2+（+）t+•+9=t2+（+）t+4；当t=0时，•=4为常数，与k无关，即在x轴上存在一定点Q（0，0），使的值为常数4．22．某工厂有甲、乙两生产车间，其污水瞬时排放量y（单位：m3/h ）关于时间t（单位：h）的关系均近似地满足函数y=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），其图象如下：（Ⅰ）根据图象求函数解析式；（II）由于受工厂污水处理能力的影响，环保部门要求该厂两车间任意时刻的污水排放量之和不超过5m3/h，若甲车间先投产，为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟多少小时投产？【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）由图可得A，b，利用周期公式可求ω，将t=0，y=3，代入y=sin（t+φ）+2，结合X围0＜φ＜π，可求φ从而可求函数解析式．（II）设乙车间至少比甲车间推迟m小时投产，据题意得cos[（t+m）]+2+cos（t）+2≤5，化简可得﹣≤cos（m）≤，由m∈（0，6），可得X围2≤m≤4，即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由图可得：A=（3﹣1）=1，…1分b=（3+1）=2，…2分∵=6，∴ω=，…3分∴将t=0，y=3，代入y=sin（t+φ）+2，可得：sinφ=1，又∵0＜φ＜π，∴φ=，…5分∴y=sin（t+）+2=cos（t）+2，∴所求函数的解析式为y=cos（t）+2，（t≥0），…6分（注：解析式写成y=sin（t+）+2，或未写t≥0不扣分）（II）设乙车间至少比甲车间推迟m小时投产，…7分根据题意可得：cos[（t+m）]+2+cos（t）+2≤5，…8分∴cos（t）cos（m）﹣sin（t）sin（m）+cos（t）≤1，∴[1+cos（m）]cos（t）﹣sin（t）sin（m）≤1，∴≤1，∴≤1，可得：2|cos（m）|≤1，…11分∴﹣≤cos（m）≤，由m∈（0，6），可得：≤m≤，∴2≤m≤4，∴为满足环保要求，乙车间比甲车间至少需推迟2小时投产…12分。
福建省福建师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题(含答案)
福建师大附中2023-2024学年第二学期期末考试高一数学试卷时间：120分钟满分：150分试卷说明：（1）本卷共四大题，20小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷．（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备．第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 为虚数单位，复数满足，则复数的虚部是（ ）A ．B ．C ．3iD ．32．某汽车生产厂家用比例分配的分层随机抽样方法从A ，B ，C 三个城市中抽取若干汽车进行调查，各城市的汽车销售总数和抽取数量如右表所示，则样本容量为（ ）城市销售总数抽取数量A 420m B 28020C 700nA ．60B ．80C ．100D ．1203．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）A．B ．C ．D ．4．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则5．如图，在三棱锥中，分别是，的中点，则异面直线所成角的余弦值为（）z ()i 142i z +=+z i-1-16131223,m n ,αβ,,m n m n αβ⊥⊥∥αβ⊥,m m αβ⊥∥αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊂αβ⊥,,m n m n αβ⊥⊂⊥αβ⊥A BCD -6,4,,AB AC BD CD AD BC M N ======AD BC ,AN CMA．B ．C ．D ．6．有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到一组新的样本数据：，那么这两组数据一定有相同的（ ）A ．极差B ．中位数C ．方差D ．众数7．已知正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，体积为7，则正四棱台的侧棱与底面所成角的正切值为（ ）ABCD ．8．已知三棱锥中，平面，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，三棱锥，过点作于，过作于，则三棱锥外接球的体积为（）A ．BCD ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
福建省福州市福建师大附中2022-2023学年高一数学第一学期期末教学质量检测模拟试题含解析
12、①. ②.6
【解析】利用基本不等式可知 ，当且仅当“ ”时取等号.而 运用基本不等式后，结合二次函数的性质可知恰在 时取得最小值，由此得解.
【详解】解：由题意可知： ，即 ，当且仅当“ ”时取等号， ，当且仅当“ ”时取等号.
故答案为： ，6.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.
【详解】（1）
，
因为 ，所以 ，
则 ，
，
所以 的最大值为 ； 的最小值为 ；
（2）当 时，
，
当 时， ，
，
当 时， ；
，
综上： 在区间 上的解析式为：
.
【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法.熟练掌握两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式是解决本题的关键.
18．函数 在一个周期内的图象如图所示，O为坐标原点，M，N为图象上相邻的最高点与最低点， 也在该图象上，且
（1）求 的解析式；
（2） 的图象向左平移1个单位后得到 的图象，试求函数 在 上的最大值和最小值
19．已知函数 .
（1）求 在闭区间 的最大值和最小值；
（2）设函数 对任意 ，有 ，且当 时， .求 在区间 上的解析式.
【详解】（1）因为函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，且 .
设 ，则 ，所以 ，
所以 ；
（2）因为 对任意 恒成立，所以 ，
又 是定义在 上的奇函数，所以 ，
作出函数 的图象如下图示：
由图可知， 在 上单调递增，所以 ，即 恒成立，
令 ， ， ，
则函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围 .
福建省福州市仓山区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
福建省福州市仓山区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题一、单选题1．7的算术平方根是（ ）A ．B ．72±C D ．722．中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机C 919可储存约186000升燃油，将数据186000用科学记数法表示为（ ） A ．51.8610⨯B ．50.18610⨯C ．418.610⨯D ．318610⨯3．在平面直角坐标系xOy 中，下列各坐标表示的点位于第四象限的是（ ） A ．()2,3B ．()2,3-C ．()2,3-D ．()2,3--4．下列关于x 的一元一次不等式10x ->的解集在数轴上的表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．5．下列关于x ，y 的方程中，属于二元一次方程的是（ ） A ．2xy = B ．()11x y x -=- C ．12+=y xD ．1x y -=6．如图，三角形DEF 是由三角形ABC 平移得到，其中A 的对应点为D ，B 的对应点为E ．连接BE ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．BE CF =B ．BC EF ∥ C ．AB DE ∥D ．AD CD =7．若实数a ，b 满足a b >，则下列关系一定正确的是（ ）A ．0a b +>B ．0ab >C ．a m b m ->-D ．am bm >8．调查下列事件，适合作抽样调查的是（ ）A ．机场的安检部门在登机前对旅客进行安全检查B ．调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准C ．订购校服时，了解某班学生衣服的尺寸D ．火箭发射前各零部件的检查9．将一个长方形的长减少5cm ，宽增加2cm ，就变成一个正方形．已知这两个图形的面积相等，求长方形的长和宽分别是多少，设原长方形的长为cm x ，宽为cm y ，则可列方程组为（ ）A ．()()5252x y xy x y -=+⎧⎨=-+⎩B ．()()5252x y xy x y +=-⎧⎨=+-⎩C ．()5252x y x y x y -=+⎧⎨+=-++⎩D ．()5252x y x y x y +=-⎧⎨+=++-⎩10．如图是某款护眼灯的平面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中CD DE ⊥，AB DE ∥．若ABC α∠=，则BCD ∠的度数为（ ）A ．270α︒-B ．90α︒-C ．270α︒+D ．90α︒+二、填空题11．（“＞”“＜”或“=”）12．将二元一次方程31y x -=写成用含x 的式子表示y 的形式，则y =． 13．如图，AB CD ∥，AD BC ∥．若2140∠=︒，则1∠的度数是．14．某校数学节同学举办了“数学与科技”、“游戏里的数学”和“数学家的故事”三场讲座，每位同学都只选择一场参加．为了合理的利用场地，学校对这三场讲座的报名情况进行了统计，绘制出扇形统计图．若该校共有600位同学，其中参加“数学与科技”的有100人，则在扇形统计图中，“数学与科技”所在的扇形的圆心角的度数为°．15．已知关于x 的不等式()()33a x a ->-的解是1x <．则a 的取值范围是．16．在平面直角坐标系xOy 中，()3,1A a -，()62,4B a +，C 是x 轴上一点，连接AB ，AC ．当+A B A C的值最小时，C 的坐标为．三、解答题 17．计算：3118．解不等式组或方程组： (1)()112226x x -⎧<⎪⎨⎪+>⎩ (2)26215x y x y -=⎧⎨-=⎩19．如图，OA OC ⊥，OB OD ⊥，若∠=∠OBE COD ，求证：BE OA ∥．20．随着“618购物节”的到来，某工作室决定通过网络购物平台购进甲、乙两种商品奖励员工．经调查发现，购进5件甲种商品，4件乙种商品，需要1000元：购进2件甲种商品，1件乙种商品，需要310元．(1)求购进甲、乙两种商品每件各多少元？(2)该工作室决定拿出3000元用来购买这两种商品，若两种商品都必须购买，问有几种购买方案？写出具体的购买方案．21．如图，正方形OBCD的边长为2个单位长度．(1)以O为原点，点B在x轴正半轴上，建立平面直角坐标系，并写出B，C，D三点的坐标．(2)在（1）的条件下，将正方形OBCD向上平移3个单位，再向右平移2个单位，得到正方形EFGH，请画出正方形EFGH其中O的对应点为E，B的对应点为F，C的对应点为G），并写出E，F，G的坐标．22．迎接中华民族的传统节日端午节的到来，某校组织全体七年级学生参与端午节知识竞赛．为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩（满分100分）．将整理后的数据，绘制如下统计图：根据以上统计图，回答下列问题：a______，样本容量是______；(1)=(2)补全频数分布直方图；(3)如果竞赛成绩达80分以上（含80分）为优秀，七年级共有860名学生，请估算该年级竞赛成绩达到优秀的总人数．23．综合与实践，从三角板，直尺，量角器中选择一种，设计一种不同的画图方法，并在图中画（要求：写出使用的工具及操作步骤，示意图中体现所画直线或是正方形纸l24．在平面直线坐标系xOy 中，已知点()0,8A ，()5,0B ，(),C b c ，连接AC ，BC ．若b ，c 满足()222110c b c b --++-=． (1)求证：AC OB ∥；(2)点P 是平面内一点（不与A ，B ，C ，D 重合），连接AP ，BP ，CP ，OP ，且P A C P O B S S =△△．①求点P 的纵坐标；②点P 在四边形AOBC 的内部，当PAO PCB S S =△△时，求出点P 的坐标．25．如图，AB CD ∥，点E ，F 分别在,AB CD 上，点O 在直线,AB CD 之间，EOF α∠=．(1)如图1，若100α=︒，求AEO CFO ∠+∠的度数； (2)如图2，FN 平分CFO ∠，EM 在BEO ∠内，连接MN ．①若EMN MNF β∠-∠=，试写出BEM ∠和NFC ∠之间的数量关系（用含β的式子表示），并说明理由；②在①的条件下，若2180αβ+=︒，求证：EM 平分BEO ∠．。
(立体几何基础题)(原卷版)-2020-2021学年高一数学下学期期末考试考前必刷题
2020-2021高一下学期期末考试考前必刷题（苏教版 2019）（立体几何基础题）一、单选题1．（2021·江苏高一课时练习）已知直线a∥平面α，直线a∥平面β，α∩β＝b，直线a与直线b（）A．相交B．平行C．异面D．不确定2．（2021·江苏高一课时练习）已知平面与平面平行，且直线，则下列说法正确的是（）A．与内所有直线平行B．与内的无数条直线平行C．与内的任何一条直线都不平行D．与内的任何一条直线平行3．（2021·江苏高一课时练习）棱台的上、下底面面积分别是2，4，高为3，则该棱台的体积是（）A．18＋6B．6＋C．24D．184．（2021·江苏高一课时练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（）A．B．C．D．5．（2021·江苏高一课时练习）已知一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，若这两个二面角的平面角均为锐角，则这两个二面角的关系是（）A．相等B．互补C．相等或互补D．既不相等也不互补6．（2021·江苏高一课时练习）侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（）A．a2B．a2C．a2D．a27．（2021·江苏高一课时练习）已知长方体的表面积是24 cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6 cm，则它的体对角线长是（）A．cm B．4 cm C．cm D．cm8．（2021·江苏高一课时练习）已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C ．1条或3条D ．1条或2条或3条9．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，定点A 和B 都在平面α内，定点P∥α，PB∥α，C 是平面α内异于A 和B 的动点，且PC∥AC ，则∥ABC 为 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定10．（2021·江苏高一课时练习）过球面上任意两点A ，B 作大圆，可能的个数是 ( )A ．有且只有一个B ．一个或无穷多个C ．无数个D ．以上均不正确11．（2021·江苏高一课时练习）如图所示，∥A′B′C′是水平放置的∥ABC 的直观图，则在∥ABC 的三边及中线AD 中，最长的线段是 ( )A ．AB B ．ADC ．BCD ．AC12．（2021·江苏高一课时练习）将半径为1，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ） A ． B ． C ． D ．13．（2021·江苏高一课时练习）如图的正方体ABCD - A ’B ’C ’D ’中，二面角D ’-AB -D 的大小是A ．300B ．450C ．600D ．90014．（2021·江苏高一课时练习）已知S 为四边形外一点,分别为上的点,若平面,则A ．//GH SAB ．//GH SDC ．//GH SCD ．以上均有可能15．（2021·江苏高一课时练习）在三棱柱111ABC A B C 中，各棱长均相等，侧棱垂直于底面，点是侧面的中心，则与平面所成角的大小是A ．B ．C ．D ．16．（2021·江苏高一课时练习）下列命题正确的是（ ）A ．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行B ．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行C．如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行二、填空题17．（2021·江苏高一课时练习）已知三个球的表面积之比是，则这三个球的体积之比为________. 18．（2021·江苏高一课时练习）已知和是异面直线，且平面，平面，，，则平面与的位置关系是________.19．（2021·江苏高一课时练习）已知一个正四棱柱的对角线的长是9 cm，表面积等于144 cm2，则这个棱柱的侧面积为________ cm2.20．（2021·江苏高一课时练习）有一塔形空间图形由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，则该塔形空间图形的表面积(含最底层正方体的底面面积)为________.21．（2021·江苏高一课时练习）如图，在正方体ABCD —A1B1C1D1中，三棱锥D1—AB1C的表面积与正方体的表面积的比为________.22．（2021·江苏高一课时练习）一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm和18 cm，侧棱长为13 cm，则其表面积为____ cm2.23．（2021·江苏高一课时练习）下列说法正确的是________(填序号).①底面是正多边形的棱锥为正棱锥；②各侧棱都相等的棱锥为正棱锥；③各侧面都是等腰三角形的棱锥为正棱锥；④各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；⑤底面是正多边形且各侧面全等的棱锥为正棱锥.24．（2021·江苏高一课时练习）从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是：（1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确结论的个数为________．25．（2021·江苏高一课时练习）水平放置的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的长度为______.26．（2021·江苏高一课时练习）如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M、N分别是BF、BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是_______.27．（2021·江苏高一课时练习）已知正三棱锥的棱长都为2，则侧面和底面所成二面角的余弦值为________.28．（2021·江苏高一课时练习）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的母线长为________．29．（2021·江苏高一课时练习）在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.30．（2021·江苏高一课时练习）已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG是_______四边形.31．（2021·江苏高一课时练习）如图．M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是______cm．32．（2021·江苏高一课时练习）三棱锥S-ABC中，G为∥ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，则EG与平面SBC的关系为________.。
福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试题
福建省福州市部分学校教学联盟2023-2024学年高一下学期期末模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．已知ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,则下列命题正确的是（ ）A ．若sin sin a A b B =,则ABC V 一定为等腰三角形B ．若A B >,则cos cos A B>C ．若::3:5:7a b c =,则ABC V 的最大内角为120o D ．若ABC V 为锐角三角形,则sin cos A B>10．在图示正方体中，O 为BD 中点，直线1A C I 平面1C BD M =，下列说法正确的是（ ）．A ．A ，C ，1C ，1A 四点共面B ．1C ，M ，O 三点共线C ．M Î平面11BBD DD ．1AC 与BD 异面11．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别是棱AD ，1DD ，CD 的中点，则下列说法正确的有（ ）14．中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条111ABC A B C -中，AA 积之比是 .四、解答题15．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为(1)求A ；(2)若ABC V 的面积为3,BC 边上的高为16．如图1，在边长为4的正方形球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切．求三棱柱111ABC A B C -的高．【详解】由正方体性质，11//AA CC ，所以A ，C ，1C ，1A 四点共面，A 正确；直线1AC 交平面1C BD 于点M ，M \Î平面1C BD ，M Î直线1AC ，又1AC Ì平面11ACC A ，M \Î平面11ACC A ，O Q 为DB 的中点，BD Ì平面1C BD ，底面ABCD 为正方形，所以O 为AC 的中点，O \Î平面1C BD ，且O Î平面11ACC A ，又1C Î平面1C BD ，且1C Î平面11ACC A ，面1C BD 与面11ACC A 相交，则1C ，M ，O 在交线上，即三点共线，故选项B 正确；平面11BB D D Ç平面1C BD BD =，M Î平面1C BD ，但M BD Ï，所以M Ï平面11BB D D ，C 错误；1A C I 平面ABCD C =，BD Ì面ABCD ，C BD Ï，所以1AC 与BD 为异面直线，D 正确.故选：ABD 11．ABC【分析】对于A 项，通过证明11EG A C ∥,说明直线11,AG C E共面；对于B 项，三棱锥的体积问题，大都是通过等体积转化，使其易于求解即可；对于C ：作出二面角11D AC B --的平面角，计算其余弦值，可判断C ；对于D 项，关键是寻找到经过三点的正方体的截面，然后求其面积即可.【详解】。
福建厦门2024年高一下学期7月期末质检数学试题(解析版)
厦门市2023—2024学年第二学期高一期末质量检测数学试题满分：150分 考试时间：120分钟考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若()1i 13i z −=+，则z =（ ）A. 2i +B. 22i +C. 12i +D. 12i −+【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解出复数即可.【详解】因()1i 13i z −=+， 所以22(13i)(1i)13i i 3i (1i)(1i)1i z+++++=−+−i 4i 22i 1122−=−+−=，故D 正确. 故选：D2. 为了解某校高一年级学生体育锻炼情况，用比例分配的分层随机抽样方法抽取50人作为样本，其中男生20人.已知该校高一年级女生240人，则高一年级学生总数为（ ） A. 600 B. 480C. 400D. 360【答案】C 【解析】【分析】用分层抽样的概念，和样本估计总体的思想解题即可.【详解】抽取50人作为样本，其中男生20人.则女生30人.则男女比例为：2:3．该校高一年级女生240人，则男生160人. 高一年级学生总数为400人.为故选：C ．3. 在梯形ABCD 中//AB CD ，AB AD ⊥，222AB AD CD ===，以AD 所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为（ ） A.5π3B.7π3C. 5πD. 7π【答案】B 【解析】【分析】由已知可得AD 为直角梯形的直角边，则绕AD 旋转可得几何体为圆台，进而可得圆台体积. 【详解】已知可得AD 为直角梯形的直角边，则绕AD 旋转可得几何体为圆台， 可知圆台上底面半径为1CD =，下底面半径2AB =，高1h AD ==，所以体积()()22ππ7π1421333VCD AB CD AB AD =++⋅⋅=++×=， 故选：B.4. 甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5C. 0.7D. 0.9【答案】B 【解析】. 【详解】设甲获奖为事件A ，乙获奖为事件B ， 所以()0.5P A =，()0.4P B =，()0.2P AB =，因为()()()0.2P A P B P AB ==，所以事件A 与事件B 相互独立， 根据题意，甲､乙两人恰有一人获奖的概率为()()()()0.50.60.50.40.30.20.5P P A P B P A P B =+=×+×=+=，故选：B.5. 如图，甲在M 处观测到河对岸的某建筑物在北偏东15 方向，顶部P 的仰角为30 ，往正东方向前进150m 到达N 处，测得该建筑物在北偏西45 方向.底部Q 和,M N 在同一水平面内，则该建筑物的高PQ为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】分析题意结合正弦定理得到MQ =再由题意得到PQ ⊥面MNQ ，利用线面垂直的性质得到PQ MQ ⊥，最后利用锐角三角函数的定义求解即可.【详解】由题意得45MNQ ∠= ，75QMN ∠= ，30PMQ ∠= ，150MN =，在MQN △中，由三角形内角和定理得60MQN ∠=，=MQ =PQ ⊥面MNQ ，所以PQ MQ ⊥，在MQP △=，解得PQ =A 正确. 故选：A6. 已知,,αβγ是三个不重合的平面，,m n αβαγ∩=∩=，则（ ） A. 若m //n ，则β//γB. 若m n ⊥，则βγ⊥C. 若,αβαγ⊥⊥，则m //nD. 若,αγβγ⊥⊥，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】【分析】构造长方体模型，通过举反例可以判断A 、B 、C 是错误的，在利用排除法即可得到正确答案.【详解】如图，构造长方体模型，对于A ，设平面ADD A ′′为平面α，平面ABCD 为平面β，平面D A BC ′′为平面γ， 则直线AD 为m ，直线A D ′′为n ，易知，此时m //n ，但BC βγ= ，故A 错误； 对于B ，设平面ADD A ′′为平面α，平面AB C D ′′为平面β，平面DBBD ′为平面γ，则直线AD 为m ，直线DD ′为n ，易知，此时m ⊥n ，但平面AB C D ′′与平面DBBD ′不垂直，故B 错误；对于C ，设平面ADD A ′′为平面α，平面ABCD 为平面β，平面DCC D ′′为平面γ， 则直线AD 为m ，直线DD ′为n ，此时m ⊥n ，故C 错误；因为,,m αγβγαβ⊥⊥∩=，所以m γ⊥， 又n γ⊂，所以m n ⊥，D 正确； 故选：D.7.若i z z =−，则 ） A. 1B.C.D. 2【答案】A 【解析】【分析】设i ,z x y x y ∈=+R ，，结合条件求出,x y ，再求模即可．【详解】设i ,z x y x y ∈=+R ，，则i i (1)i z x y z x y −=−+−=+−，,又i z z =−−，则=解得12x y = =，即1i 2z=，故1z =.故选：A8. 向量12,,e e a 满足121212π01,3,e e e e a e a e ⋅===−−= ，，则a 的最大值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】令11OE e = ，22OE e = ，OA a =，则由已知条件可得12E E =12π3E AE ∠=，利用正弦定理求出12E AE 外接圆的半径，再结合图形可求得结果.【详解】令11OE e = ，22OE e = ，OA a =，则122112,a e a e OA OE E A OA OE E A =−=−−=−= ， 因为120e e ⋅=，121==e e ，所以12E E =． 因为12π,3a e a e −−= ，所以12π3E AE ∠=．所以过1E ，A ，2E 的圆C的半径121122sin E E r E CE AE ===∠连接OC 交12E E 于点D ，连接1CE ，则11212OD DEE E ===CD，所以OC =， 所以OA最大值为OC r +， 故选：B.的【点睛】关键点点睛：此题考查向量的加减法运算，考查求向量的模，解题的关键是令11OE e =，22OE e = ，OA a =，然后根据已知条件画出图形，结合图形求解，考查数形结合思想和计算能力，属于较难题.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 某学校开展消防安全知识培训，对甲､乙两班学员进行消防安全知识测试，绘制测试成绩的频率分布直方图，如图所示：（ ）A. 甲班成绩的平均数<甲班成绩的中位数B. 乙班成绩的平均数<乙班成绩的中位数C. 甲班成绩的平均数<乙班成绩的平均数D. 乙班成绩的中位数<甲班成绩的中位数 【答案】BC 【解析】【分析】根据甲、乙两班的频率分布直方图直接求出甲、乙两班的平均数、中位数即可得解. 【详解】对于A ，由甲班频率分布直方图可得甲班成绩的平均数为x =甲()0.01667.50.06472.50.0477.50.03282.50.02487.50.01692.50.00897.55×+×+×+×+×+×+×× 79.1=，甲班成绩分在[)65,75内频率之和()0.0160.06450.40.5+×=<， 成绩分在[)65,80内频率之和为()0.0160.0640.0450.60.5++×=>， 所以甲班成绩的中位数为0.50.4755=77.579.10.045−+×<×，故A 错误；对于B ，由乙班频率分布直方图可得乙班成绩的平均数为x =乙()0.01697.50.06492.50.0487.50.03282.50.02477.50.01672.50.00867.55×+×+×+×+×+×+×× 85.9=，乙班成绩分在[)65,85内频率之和为()0.008+0.0160.024+0.03250.40.5+×=<， 成绩分在[)65,90内频率之和为()0.008+0.0160.024+0.032+0.0450.60.5+×=>， 所以乙班成绩的中位数为0.50.4855=87.585.90.045−+×>×，故B 正确；对于C ，由A 、B 可知甲班平均数小于乙班平均数，故C 正确； 对于D ，由A 、B 可知甲班中位数小于乙班的中位数，故D 错误. 故选：BC.10. 在梯形ABCD 中，2,2,2AD BC AD AB AN ND === ，则（ ） A. 12DC AB AD =−B. 0AB BD ⋅=C. 0AC CD ⋅=D. AN 在AC 上的投影向量为23AC【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量即平面几何知识即可求解.【详解】取AD 的中点E ，连接,,,BE CE AC BD ，12AE AD =根据题意可知，//AD BC 且2AD BC =，则BC AE =，BC ED =，所以四边形AECB 为平行四边形，所以12DC EB AB AE AB AD ==−=−，故A 正确；因为题意没有说明BC 与CD 的大小关系，所以不能证明AC BD ⊥，故B 错误；为因为12AE AD =，12BC AD =，且12AB AD = ，所以AB AE =，所以四边形AECB 为菱形，所以AC BE ⊥，因为//BE CD ， 所以AC CD ⊥，所以0AC CD ⋅=，故C 正确； 过N 作AC 的垂线，垂足为F ，连接NF ，因为AC CD ⊥且AC NF ⊥，2AN ND =，所以23AN AC =，AN 在AC 上的投影向量为23AC ，故D 正确；故选：ACD.11. 在长方体1111ABCD A B C D −中，11,AB AD AA ===，动点P 满足[]()1,0,1BP BC BB λµλµ=+∈，则（ ）A. 当0λ=时，AC DP ⊥B. 当1λ=时，AC 与DP 是异面直线C. 当1µ=时，三棱锥1P ABB −的外接球体积的最大值为4π3D. 当12µ=时，存在点P ，使得DP ⊥平面1ACD 【答案】ACD 【解析】【分析】用线面垂直证明线线垂直，即可判断A ；当1λ=，0µ=时, AC 与DP 有交点，即可判断B ；当1λ=时，点P 与1C 重合，此时三棱锥1P ABB −的体积最大，从而得到外接球体积最大，即可得解C ；当0λ=时，112BP BB =，即P 为1BB 的中点时，DP ⊥平面1ACD ,证明即可判断D.【详解】对于A ，当0λ=时，1BP BB µ=，在长方体中，易知1BB ABCD AC ABCD ⊥⊂平面，平面，所以1BB AC ⊥，又1AC DB DB BB B ⊥=，，所以1AC DBB ⊥平面 又1DP DBB ⊂平面，所以AC DP ⊥，故A 正确；对于B ，当1λ=，0µ=时，BP BC =，此时，又AC 与DP 相交于点C ，故B 错误；对于C ，当1µ=时，1BP BC BB λ=+，当1λ=时，点P 与1C 重合，此时三棱锥1P ABB −的高最大，由于底面1ABB 的面积是定值，所以此时三棱锥1P ABB −的体积最大，即三棱锥1P ABB −的外接球体积最大。
福建省福州市2022-2023学年高一上学期期末质量检测数学试题(含答案解析)
福建省福州市2022-2023学年高一上学期期末质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2540A x x x =-+>，{}03B x x =≤≤，则A B = （）A ．{}01x x ≤≤B ．{}01x x ≤<C ．{}13x x <≤D ．{|3x x ≤或4}x >2．已知命题():0,p x ∀∈+∞，3x x >，则命题p 的否定是（）A ．()0,x ∀∈+∞，3x x ≤B ．()0,x ∃∈+∞，3x x ≤C ．()0,x ∃∈+∞，3x x<D ．()0,x ∀∉+∞，3x x>3．在平面直角坐标系中，角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()4,3P -，则cos α=（）A ．45B ．45-C ．34-D ．35-4．若函数()()sin f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取的一个值为（）A ．π-B ．2π-C ．4πD ．3π5．函数()21x f x x =-的图象大致为（）A．B．C．D ．6．已知函数()22,1,1log ,1x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，若()0f a =，则a 的值为（）A ．12-B ．0C ．1D ．27．设函数()()sin cos 0f x x x ωωω=+>在[,]-ππ的图象大致如下图所示，则函数()f x 图象的对称中心为（）A ．()ππ,0Z 28k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭B ．()ππ,0Z 8k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭C ．()2ππ,0Z 36k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭D ．()4ππ,0Z 36k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭8．设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a<<D ．b<c<a二、多选题9．已知集合A ，B 是全集U 的两个子集，A B ⊆，则（）A ．AB B ⋃=B ．A B B =C ．B ⋃()U A =ðUD ．B ()U A =∅ð10．若()0,απ∈，1sin cos 5αα-=，则（）A ．4tan 3α=B ．12sin225α=C ．sin co 7s 5αα+=D ．7cos225α=-11．若33x <是关于x 的不等式210x ax a ---<成立的必要条件，则a 的值可以是（）A ．1B ．0C ．2-D ．1212．在一个面积为4的直角三角形ABC 的内部作一个正方形，其中正方形的两个顶点落在斜边AB 上，另外两个顶点分别落在AC ，BC 上，则（）A ．AB 的最小值为B ．AB 边上的高的最大值为2C ．正方形面积的最大值为2D ．ABC 周长的最小值为4+三、填空题13．2=______.14．若点()cos ,sin A θθ与点ππ(cos(),sin())55B θθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=______.15．中国折扇有着深厚的文化底蕴，这类折扇上的扇环部分的作品构思奇巧，显出清新雅致的特点.已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为54cm ，内弧线的长为18cm ，连接外弧与内弧的两端的线段的长均为16cm ，则该扇环的面积为______2cm.16．记{}max ,a b 表示a ，b 中较大的数.若关于x 的方程{}1max ,x x t x-=-的所有实数根的绝对值之和为6，则t 的值为______.四、解答题17．已知函数()2f x x bx c =++，且()()130f f ==.(1)求()f x 的解析式；(2)求()f x 在区间[]2,5-上的取值范围.18．已知tan 2α=.(1)求()()πcos 2sin πcos 3πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭-++的值；(2)若β为钝角，且sin β=()tan αβ-的值.19．设0a >，()e ex x af x a =+为偶函数.(1)求a 的值；(2)判断()f x 在区间()0,∞+上的单调性，并给予证明.20．在①函数()f x 的一个零点为0；②函数()f x 图象上相邻两条对称轴的距离为π2；③函数()f x 图象的一个最低点的坐标为2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，并给出问题的解答.问题：已知函数()()π2sin 103,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+-<<<< ⎪⎝⎭，满足______.(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的单调递增区间；(2)求使()()πf x f ≥成立的x 的取值集合.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.21．人类已进入大数据时代.目前，数据量已经从()TB 1TB 1024GB =级别跃升到PB ()PB 1024TB =乃至EB ()1EB 1024PB =乃至()ZB 1ZB 1024EB =级别.国际数据公司(IDC)的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：年份2008200920102011…2020数据量（ZB ）0.50.81.21.5…80(1)设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第x 年全球产生的数据量（单位：ZB ）与x 的关系，根据上述信息，从函数()f x kx b =+和()xg x ab =中选择一个，应选择哪一个更合适?（不用说明理由）(2)根据（1）中所选的函数模型，若选取2008年和2020年的数据量来估计该模型中的参数，预计到哪一年，全球产生的数据量将达到2020年的111210倍?（注：lg20.3≈）22．已知函数()πcos 2f x x x =-，x ∈R .(1)求()()πf x f x -+；(2)如图所示，小杜同学画出了()f x 在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，试通过图象变换，在图中画出()f x 在区间π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的示意图；(3)证明：函数()()π4h x f x =-有且只有一个零点0x .参考答案：1．B【分析】解一元二次不等式化简集合A ，再利用交集的定义求解作答.【详解】解不等式2540x x -+>，得1x <或>4x ，则{|1A x x =<或4}x >，而{}03B x x =≤≤，所以{|01}A B x x ⋂=≤<.故选：B 2．B【分析】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.【详解】“任一个都成立”的否定为“存在一个不成立”.故命题p 的否定为：()0,x ∃∈+∞，3x x ≤.故选：B.3．A【分析】根据给定条件，利用三角函数定义直接计算作答.【详解】依题意，||5OP =，所以4cos 5α=.故选：A 4．A【分析】sin x 的图象左右平移π,k k Z ∈仍为奇函数，即可求得ϕ.【详解】sin x 的图象左右平移π,k Z k ∈仍为奇函数，则π,k k Z ϕ=∈.故选：A.5．B【分析】由()00f =可排除C ，D ，当0x <时，()0f x <可排除A ，即可得正确答案.【详解】由()00f =可排除C ，D ；当0x <时，()201x f x x =<-，排除A.故选：B.6．D【分析】根据题意，由()0f a =求解对数方程，即可得到结果.【详解】由题意可得，当1x ≤时，20x >，且()0f a =，则21log 0a -=，解得2a =故选:D 7．C【分析】化简()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由题意可得312,Z 25k k ω=+∈，由图可得：524322T T ππ⎧<⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解不等式即可求出32ω=，令3ππ,Z 24x k k +=∈，即可求出()f x 图象的对称中心.【详解】()πsin cos 4f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为()f x的图象过点5π,6⎛ ⎝，所以5ππ3π2π,Z 642k k ω⋅+=+∈，解得：312,Z 25k k ω=+∈，因为由图可得：525225344332422222T T πππωωπππω⎧⎧⋅<<⎪⎪⎪⎪⇒⇒<≤⎨⎨⎪⎪≥⋅≥⎪⎪⎩⎩，所以32ω=，()3πsin cos 24f x x x x ωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令3ππ,Z 24x k k +=∈，解得：2ππ,Z 36x k k =-∈，则函数()f x 图象的对称中心为()2ππ,0Z 36k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.故选：C.8．D【分析】利用对数的换底公式，得到2lg 23lg 2,lg 3lg 5b c ==，化简lg 2(lg 25lg 27)0lg 3lg 5b c -=<⋅-，得到b c <，再由对数函数的单调性，求得312c <<且32a >，即可求解.【详解】因为35lg 42lg 2lg83lg 2log 4,log 8lg 3lg 3lg 5lg 5b c ======，则2lg 23lg 22lg 2lg53lg 2lg3lg 2(2lg53lg3)lg 2(lg 25lg 27)0lg3lg5lg3lg5lg3lg5lg3lg5b c ⋅-⋅---=-===<⋅⋅⋅，所以b c <，又因为325553log 5log 8log log 52<<==，所以312c <<，又由32223log 3log log 22a =>==，所以32a >，所以b<c<a .故选：D.9．AC【分析】根据集合的包含关系，借助韦恩图对各选项进行判断.【详解】由A B ⊆，根据子集的定义，如图，对于A ，A B ⊆⇒A B B ⋃=，所以A 正确；对于B ，A B ⊆⇒A B A = ，所以B 不正确；对于C ，由韦恩图知，B ⋃()U A =ðU ，所以C 正确；对于D ，由韦恩图知，B ()U BA A =痧，所以D 不正确；故选：AC.10．ACD【分析】由sin cos αα与sin cos αα±的关系，结合角的范围，可求得sin cos αα、，即可逐个判断.【详解】()()222sin cos sin cos 12sin cos 225αααααα+--==，∵()0,απ∈，则sin 0,cos 0α>>，∴0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.对C ，sin cos 57αα+==，C 对；对A ，sin cos sin cos 543sin ,cos 25αααααα-+=+===，sin 4tan cos 3ααα==，A 对；对B ，24sin22sin cos 25ααα==，B 错；对D ，227cos2cos sin 25ααα=-=-，D 对.故选：ACD.11．BC【分析】首先求出这两个不等式的解集A 、B ，根据题意可得B A ⊆，即可求出a 的取值范围.【详解】因为33x <，解得：1x <，设{}1A x x =<，设不等式210x ax a ---<的解集为B ，因为33x <是关于x 的不等式210x ax a ---<成立的必要条件，所以B A ⊆，因为210x ax a ---<，则()()110x x a +-+<⎡⎤⎣⎦，当11a +=-即2a =-，B =∅，满足题意；当11a +<-即2a <-，则11a x +<<-，所以{}11B x a x =+<<-，所以B A ⊆符合题意；当11a +>-即2a >-，则11x a -<<+，所以{}11B x x a =-<<+，因为B A ⊆，所以11a +≤，解得：0a ≤，所以20a -<≤.综上所述，a 的取值范围为：(],0-∞.故选：BC.12．BD【分析】根据给定条件，可得8AC BC ⋅=，利用勾股定理、均值不等式求解判断ABD ；建立角A 的正余弦及正方形边长的关系，再结合函数的单调性求解判断C 作答.【详解】在Rt ABC △中，AC BC ⊥，142AC BC ⋅=，即有8AC BC ⋅=，对于A ，4AB =，当且仅当AC BC ==时取等号，A 错误；对于B ，Rt ABC △斜边AB 边上的高82AC BC h AB AB⋅==≤，当且仅当4AB =，即AC BC ==时取等号，B 正确；对于D ，ABC 的周长44AB AC BC AC BC ++=+≥+当且仅当AC BC ==时取等号，D 正确；对于C ，如图，正方形DEFG 是符合题意的Rt ABC △的内接正方形，令π(0,)2A θ∠=∈，则BFE FGC A θ∠=∠=∠=，cos ,sin sin cos DE DEAC AG GC DE BC BF FC DE θθθθ=+=+=+=+，22111(cos )(sin )(2sin cos )8sin cos sin cos AC BC DE DE θθθθθθθθ⋅=++=++=，于是28162142sin 24sin 2sin 22sin 2DE θθθθ==++++，令sin 2(0,1]t θ=∈，则44sin 2()sin 2f t t tθθ+==+在(0,1]t ∈上单调递减，1212,(0,1],t t t t ∀∈<，1212121212444()()()()(1)f t f t t t t t t t t t -=+-+=--，因为1201t t <<≤，则121240,10t t t t -<-<，即有12()()0f t f t ->，12()()f t f t >，因此函数()f t 在(0,1]上单调递减，则当1t =，即π4θ=时，min ()5f t =，正方形DEFG 的面积2DE 取得最大值169，C 错误.故选：BD【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.13．9【分析】由指数运算性质化简求值.【详解】((2222223339====.故答案为：9.14．2π5（答案不唯一）【分析】根据给定条件，利用诱导公式列式，即可求解作答.【详解】因为点()cos ,sin A θθ与点ππ(cos(),sin())55B θθ++关于y 轴对称，则πcos()cos 5πsin()sin 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，因此π()π2π,Z 5k k θθ++=+∈，解得2ππ,Z 5k k θ=+∈，取2π5θ=.故答案为：2π515．576【分析】设该扇形內弧半径为r ，根据弧长公式可得r ，进一步求出外弧半径，最后利用扇形的面积计算公式即可求解.【详解】设该扇形內弧半径为cm r ，由弧长公式和已知可得：541618r r+=，解得：8cm r =，则外弧半径为81624cm +=，所以该扇环的面积为2115424188576cm 22⨯⨯-⨯⨯=，故答案为：576.16．3【分析】由题意可将原方程化为()2100x t x x -+=≠，讨论0x >和0x <，可得所有实数根的绝对值之和为6，即26t =，即可求出t 的值.【详解】由于{}1max ,x x t x -=-，所以原方程化为1x t x+=，即()2100x t x x -+=≠，当0x >时，依题意可知，方程210x tx -+=有根，设其两根分别为12,x x ，则1210x x ⋅=>，所以方程210x tx -+=有两正根12,x x ，且12x x t +=，当0x <时，同理可得，方程210x tx ++=有两负根34,x x ，且34x x t +=-，所以34x x t +=，所以26t =，解得：3t =，检验符合.故答案为：3.17．(1)2()43f x x x =-+；(2)[]1,15-.【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求解作答.（2）利用二次函数的单调性，求出函数()f x 在给定区间上的最值作答.【详解】（1）函数()2f x x bx c =++，且()()130f f ==，则10390b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，有2()43f x x x =-+，所以()f x 的解析式是2()43f x x x =-+.（2）由（1）知，[]2,5x ∈-，函数2()(2)1f x x =--在[2,2]-上单调递减，在[]2,5上单调递增，因此min ()(2)1f x f ==-，而()()215,58f f -==，则()()max 215f x f =-=，所以()f x 在区间[]2,5-上的取值范围是[]1,15-.18．(1)2-；(2)7.【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式化简，再利用齐次式计算作答.（2）利用同角公式求出tan β，再利用差角的正切公式求解作答.【详解】（1）因为tan 2α=，所以πcos()sin tan 22sin(π)cos(3π)sin cos 1tan αααααααα+-===--++--.（2）因为β为钝角，sin β=cos 10β===-，sin 1tan cos 3βββ==-，所以12()tan tan 3tan()711tan an 12()3αβαβαβ----===++⨯-.19．(1)1a =(2)单调递增，证明见解析【分析】（1）根据偶函数的定义得出()()f x f x -=，即可列式解出1a =；（2）根据函数单调性的定义证明，任取1x 、[)20,x ∈+∞，当12x x <时，得出()()12f x f x <，即可证明.【详解】（1）()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，即()()e 1e e e e ex x x x x x a a f x a f x a a a ---=+=+==+⋅，即11e e x x a a a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对任意x ∈R 恒成立，所以1a =；所以()e e 1x xf x =+.（2）()f x 在区间()0,∞+上单调递增．理由如下：任取1x 、()20,x ∞∈+，当12x x <时，()()()2112121212121212e e e e e e e e e e e 111e1x x x x x x x x x x x x x x f x f x ++-⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由于120x x ≤<，所以12e e 0x x -<，12110e x x +->，所以()()120f x f x -<，故()()12f x f x <，所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增．20．(1)()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭；()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(2)()πππZ 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【分析】（1）选①②，由①可求出ϕ，由②可求出ω，即可求出()f x 的解析式；令()πππ2π22πZ 262k x k k -+≤+≤+∈，解不等式即可求出()f x 的单调递增区间；选①③，由①可求出ϕ，由③可求出ω，即可求出()f x 的解析式，下同选①②；选②③，由②可求出ω，由③可求出ϕ，即可求出()f x 的解析式，下同选①②；（2）因为()()πf x f ≥，所以π2sin 2106x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，解不等式即可求出答案.【详解】（1）选①②，因为函数()f x 的一个零点为0，所以()00f =，所以2sin 10ϕ-=，所以1sin 2ϕ=，又因为π02ϕ<<，所以π6ϕ=，因为函数()f x 图象上相邻两条对称轴的距离为π2，所以π2π2T =⨯=，又因为03ω<<，所以2ππω=，解得：2=ω，所以函数()f x 的解析式为()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()πππ2π22πZ 262k x k k -+≤+≤+∈，解得：()ππππZ 36k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间为：()πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.选①③，因为函数()f x 的一个零点为0，所以()00f =，所以2sin 10ϕ-=，所以1sin 2ϕ=，又因为π02ϕ<<，所以π6ϕ=，因为函数()f x 图象的一个最低点的坐标为2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2ππ2sin 1336ω⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以2ππsin 136ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()2πππ2π,Z 362k k ω+=-+∈，解得：()31Z k k ω=-∈，又因为03ω<<，解得：2=ω，所以函数()f x 的解析式为()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，下同选①②.选②③，因为函数()f x 图象上相邻两条对称轴的距离为2π，所以π2π2T =⨯=，又因为03ω<<，所以2ππω=，解得：2=ω，因为函数()f x 图象的一个最低点的坐标为2π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2π2sin 2133ϕ⎛⎫⨯+-=- ⎪⎝⎭，所以4πsin 13ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()4ππ2π,Z 32k k ϕ+=-+∈，解得：()11π2πZ 6k k ϕ=-+∈，又因为π02ϕ<<，所以π6ϕ=，所以函数()f x 的解析式为()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，下同选①②.（2）由（1）知，()π2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为()()πf x f ≥，所以π2sin 2106x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，所以π1sin 262x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以()ππ5π2π22πZ 666k x k k +≤+≤+∈，解得：()πππZ 3k x k k ≤≤+∈，所以使()0f x ≥成立的x 的取值集合为：()πππZ 3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭21．(1)选择()xg x ab=(2)2025【分析】（1）描点，根据图象选择；（2）由待定系数法求得参数，列指数不等式结合对数运算求解.【详解】（1）由题意得x1234...13y 0.50.8 1.2 1.5 (80)画出散点图如下：由图易得，5个点在一条曲线上，应选择()xg x ab =（2）由题意得，()()11213112116010.521380160a g ab g ab b -⎧=⨯⎪⎧==⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎪=⎩，则()11211602x g x -=⨯则()1113111212121111801016010131318lg1604lg 21x g x x -≥⨯⇒≥⇒≥+=+≈+，即20081812025+-=年.预计到2025年，全球产生的数据量将达到2020年的111210倍.22．(1)()()ππf x f x -+=(2)见解析(3)见解析【分析】（1）求出()πf x -，即可得出()()πf x f x -+的值；（2）由（1）知，函数()f x 的图象关于点ππ22⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，则函数()f x 在区间π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象由对称性即可得出；（3）()()ππcos 024h x x x x =--≥，设函数())()()ππ0,cos 042g x x x u x x x =≥=-≥，分别讨论104x ≤≤，1π4x ≤≤和πx >时，()(),g x u x 的单调性，即可求出()h x 的单调性和值域，结合零点存在性定理即可证明.【详解】（1）因为()πcos 2f x x x =-，所以()()ππππcos ππcos 22f x x x x x -=---=-+，所以()()ππππcos cos π22f x f x x x x x -+=-++-=.（2）由（1）知，函数()f x 的图象关于点ππ22⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，则函数()f x 在区间π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的图象如下图所示，（3）因为()()π4h x f x =+，所以()()ππcos 024h x x x x =-≥，设函数())()()ππ0,cos 042g x x x u x x x =≥=-≥，①当104x ≤≤时，因为函数()21124g x ⎫=-⎪⎭在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以()()00g x x g ==，因为函数()u x 在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()ππππ1πππcos cos cos 042424423u x x =-≤-<-=，所以()0h x <，所以函数()h x 在区间10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦没有零点.②当1π4x ≤≤时，因为函数()21124g x ⎫=-⎪⎭在1,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，函数()u x 在1,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()h x 在1,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，又11π1ππ1π1πππ11cos cos cos 0442442442344h --⎛⎫=-+=-+<-+=-< ⎪⎝⎭，()ππ7πππ0244h =+-=>，根据零点存在性定理，存在唯一0x ∈1,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得()00h x =.③当πx >时，函数()21124g x ⎫=-⎪⎭在[]π,+∞单调递增，所以()()ππg x g >=-()πππππcos 42424u x x =-≥-=-，所以()π3ππ044h x >=>，所以函数()h x 在区间)π,+⎡∞⎣没有零点.综上，函数()()π4h x f x =有且只有一个零点0x .。
福建省福清市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题(含部分答案)
福清市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学学科试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1．答题前、考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，考生必须将答题卡交回．第I 卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知复数（为虚数单位），则（ ）A. B. 2 C.D. 12. 下列命题一定正确的是（ ）A. 一条直线和一个点确定一个平面B. 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行D. 若直线与平面平行，则直线与平面内任意一条直线都没有公共点3. 数据，，，…，的平均数为，方差，则数据，，，…，的标准差为（ ）A. 6B. 7C. 12D. 364. 某同学参加知识竞赛，位评委给出的分数为，则该组分数的第百分位数为（ ）A. B. C. D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（ ）2i z=+i z =l αl α1x 2x 3x n x 2x =24s =131x +231x +331x +31n x +108,9,7,7,8,9,10,9,10,68088.599.5ABC V A B C a b c 2c =π6C =cos B =b =A. B. C. 2 D. 16.甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（ ）A. 5 B. C. D. 7. 如图所示，圆锥底面半径和高都等于球的半径，则下列选项中错误的是（ ）A. 圆锥的轴截面为直角三角形B. 圆锥的表面积大于球的表面积的一半C. 圆锥侧面展开图的圆心角的弧度数为πD. 圆锥的体积与球的体积之比为8. 如图直四棱柱的体积为8，底面为平行四边形，的面积为，则点A 到平面的距离为（ ）A. 1B.C.D. 2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥的两个事件是（ ）A. “至少有一个黑球”与''都是黑球”B 至少有一个黑球''与“至少有一个红球”C. 恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D. “至少有一个黑球”与“都是红球”10. 已知，，均为非零向量，则下列结论中正确有（ ）的.的1372729191:41111ABCD A B C D ABCD 1A BC V 1A BC a b cA. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若非零向量，满足，则与的夹角是11. 在棱长为 1 的正方体中，分别为棱的中点，则（ ）A. 直线与是异面直线B. 直线与所成的角是C. 直线平面D. 平面截正方体所得的截面面积为.第II 卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12. 已知平面平面，直线，下列说法正确的是________（填序号）①与内任一直线平行； ②与内无数条直线平行；③与内任一直线不垂直；④与无公共点．13. 已知，，，则________.14. 瑞云塔是福清市古街打卡景点．某同学为了测量瑞云塔ED 的高，他在山下A 处测得塔尖D 的仰角为，再沿AC 方向前进15米到达山脚点B ，测得塔尖点D 的仰角为，塔底点E 的仰角为，那么瑞云塔高为________米．（答案保留根号形式）的0a b a c ⋅-⋅=r r r r b c= ||||a b > ()()0a b a b +⋅-> ||||a c b c -=- a b= a b ||||||a b a b ==- a a b + 30︒1111ABCD A B C D -M N ，111,C D C C BN 1MB MN AC 3πMN ⊥ADNBMN 98//αβm α⊂m βm βm βm β60ABC ∠=︒2AB =BC =AB BC ⋅= 45︒60︒30︒四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知O 为坐标原点，向量，，，若A 、B 、C 三点共线，且，求实数的值．16. 正方体中，，分别是，中点.（1）求异面直线与所成角；（2）求证：平面17. 某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了名读书者进行调查，将他们的年龄分成段：后得到如图所示的频率分布直方图．（1）估计在名读书者中年龄分布在的人数；（2）求名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄恰有1人在的概率．18. 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，．的(,2)OA m =- (1,)OB n = (1,5)OC =- 2m n =,m n 1111ABCD A B C D -M N 1BC 1CD 1CD 1BC //MN ABCD406[)[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70,70,8040[)30,6040[)20,40[)20,30ABC V sin 0A A =a =1b =（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且，求的面积．19. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，．（1）证明：平面平面；（2）若，且与平面的夹角为（i ）证明；（ii ）求二面角的正弦值．AD AC ⊥ACD V P ABCD -2PB PD =PBD ⊥PAC 1PA =PA ABCD π4π4PAC ∠=P BC A --福清市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学学科试卷答案第I卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】CD【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】ABD第II卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．【12题答案】【答案】②④【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】或．【16题答案】【答案】（1）（2）证明略【17题答案】【答案】（1）24（2）平均数54，中位数为55． （3）．【18题答案】【答案】（1）（2【19题答案】【答案】（1）证明略（2）（i ）证明略；（ii 15+63m n =⎧⎨=⎩332m n =⎧⎪⎨=⎪⎩60︒8152c =。
2021-2022学年福建省厦门市高一下学期质量检测(期末)数学试题【含答案】
2021-2022学年福建省厦门市高一下学期质量检测（期末）数学试题一、单选题1．已知（i 是虚数单位），则(1)i z i +=||z =A ．BCD ．212B【分析】利用复数除法运算求得，再求.z z【详解】依题意，所以()()()11111122i i i z i i i i -===+++-z ==故选：B.本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.2．厦门中学生助手有男志愿者120人，女志愿者180人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本.如果样本按比例分配，那么男志愿者应抽取的人数是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40B【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可.【详解】依题意得，厦门中学生助手一共有人，120180300+=其中男志愿者所占比例为：，12023005=则抽取一个容量为50的样本中，男志愿者应抽取的人数为.250205⨯=故选：B.3．已知，，，则（ ）()0.5P A =()0.3P B =()0.2P AB =()P A B =A ．0.5B ．0.6C ．0.8D ．1B【分析】依题意根据计算可得；()()()()P A B P A P B P AB =+- 【详解】解：因为，，()0.5P A =()0.3P B =()0.2P AB =则，所以事件与事件不相互独立，()()()P AB P A P B ≠A B ．()()()()0.50.30.20.6P A B P A P B P AB ∴=+-=+-=故选：B4．下列正确的是（）A．过球面上两点与球心有且只有一个平面B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台C．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台C【分析】根据棱台、圆台的定义判断B、D，根据公理3的推论判断A，根据正棱锥的定义判断C；【详解】解：对于A：当球面上的两点恰好是直径的两个端点时这三点共线，此时过这三点有无数个平面，故A错误；对于B：用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故B错误；对于C：根据正棱锥的定义：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．所以底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥，符合定义，是正棱锥；故C正确．对于D：两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，侧棱延长不一定会相交，所以不一定是棱台，故D错误；故选：C5．正四面体A-BCD中，M为棱AD的中点，则直线AB与CM所成角的余弦值为（）A B C DA【分析】通过平移，把异面直线夹角问题转化为共面直线夹角问题，再解三角形.【详解】设正四面体的ABCD 的棱长为2，取AD 中点N ，连结MN ，CN ，则MN //AB ，且MN =AB =1，既是异面直线AB 和CM12CMN ∠所成角（或所成角的补角），CM =CN =sin 60CD在等腰中，=MNC cos ∠CMN 12MNCM==所以异面直线AB 与CM .故B ，C ，D 错误.故选：A.6．在△ABC 中，点D 在边BC 上，M 是AD 的中点，若，(,)BM AB AC R λμλμ=+∈ 则λ+μ=（ ）A ．B ．-2C ．D ．212-12A【分析】根据平面向量基本定理，将 和 作为基底即可.ABAC 【详解】依题意作上图，设 ，BD mBC =()1122BM BD DM mBC AD mBC AB BD=+=-=-+ ()11222m mBC AB mBC BC AB=-+=-，()112222m m m AC AB AB AB AC +⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭∴；11,,222m m λμλμ+=-=+=-故选：A.7．抛掷-枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，则（ ）A ．甲乙互斥B ．乙丙互为对立C ．甲乙相互独立D ．甲丙相互独立D【分析】先根据古典概型的概率公式分别求出三个事件的概率，再利用互斥事件、对立事件以及事件的独立性定义判断各选项的正误即可.()()()P AB P A P B =【详解】由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”包含的基本事件有：，则；()()()()()()212223242526,，,，,，,，,，,161366P ==乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5” 包含的基本事件有：，则；()()()()1,4,2,3,3,2,4,1241369P ==丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7” 包含的基本事件有：，则；()()()()()()1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1361366P ==对于A ，甲乙有可能同时发生不是互斥事件，A 错误；对于B ，除了乙丙以外还有其他事件发生不是对立事件，B 错误；对于C ，甲乙同时发生的概率为，C 错误；412136P PP =≠对于D ，甲丙同时发生的概率为，D 正确.513136P PP ==故选：D.8．记的内角，，所对的边分别为，，，若，，ABC A B C a b c 1c =cos 2sin a B C =，则外接圆的半径为（ ）1cos sin 8A B =ABC A ．B ．C ．D ．1234B【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换化简可得，再结合正sin C 弦定理可得外接圆半径.【详解】由，则，1c =cos 2sin 2sin a B C c C ==由正弦定理得，2sin cos 2sin A B C =所以，即，21sin cos cos sin 2sin 8A B A B C +=+21sin 2sin 8C C =+解得，1sin 4C =所以，，1241sin 4c R C ===2R =故选：B.9．已知复数，是方程的两根，则（ ）1z 2z 210x x ++=A ．B ．121z z +=121z z ==C ．D ．212z z =111R z z +∈B【分析】解方程可得与，进而判断各选项.1z 2z 【详解】由，210x x++=得，，112z =-212z =-故，A 选项错误；121z z +=-，，B选项正确；11z ==21z ==，C选项错误；221211312442z z ⎛⎫=-+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，D选项错误；11112z z +=-=故选：B.二、多选题10．我省高考采用“3+1 +2”模式，语文、数学、外语是必选科目，物理和历史必选一科，化学、生物、思想政治、地理四个科目选择两科.现统计甲、乙两名学生高一年六个科目的学年成绩如图所示，则（ ）A ．甲六科学年成绩比乙均衡B ．甲、乙六科学年成绩均在70分以上C ．从成绩角度看，乙更适合选择历史科目组D ．甲、乙六科学年成绩超过90分的科目数量相同ACD【分析】根据两学生六科成绩直接可判断各选项.【详解】由图可知，甲同学六科学年成绩比乙均衡，A 选项正确；甲同学六科成绩均在70分以上，乙的物理成绩在70分以下，B 选项错误；乙同学的历史成绩高于物理成绩，所以，从成绩角度看，乙更适合选择历史科目组，C 选项正确；甲同学的物理与化学成绩超过90分，乙同学历史与思想政治成绩超过90分，所以两人超过90分的科目数量相同，D 选项正确；故选：ACD.11．若，，则（ ）()2,0a =(b =A ．B ．2a b ⋅= a b a b+=- C ．与的夹角为D ．在方向上的投影向量为a b6πb a 12aAD【分析】根据数量积的坐标表示及向量模的坐标表示判断A 、B 、C ，再根据投影向量的定义计算判断D ；【详解】解：因为，，所以，，()2,0a =(b =1202a b ⨯⋅=+= 2a =，2=所以，，则(a b +=(1,a b -=a += ，故A 正确，B 错误；2a =- 设与的夹角为，则，因为，所以，故C 错a b θ21cos 222a b a b θ⋅===⨯⋅[]0,θπ∈3πθ=误；在方向上的投影向量为，故D 正确；b a1211222ab a a aa a⋅⋅⋅=⨯=故选：AD12．如图，圆台O 2O 2中，母线AB 与下底面所成的角为60°，BC 为上底面直径，O 2A =6O 1B =6，则（ ）A ．圆台的母线长为10B ．圆台的侧面积为70πC ．由点A 出发沿侧面到达点C 的最短距离是D ．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4ABD【分析】对A ，根据轴截面分析即可；对B ，根据圆台的侧面积公式求解即可；对C ，将圆台侧面展开，再计算即可；AC 对D ，计算圆台内能放下的最大球的直径，再根据该球为此正方体外接球求解即可【详解】对A ，母线长为，故A 正确；2110cos 60AO BO -=对B ，由A 母线长为10，则根据圆台的侧面积公式，故B 正()101670S ππ=⨯⨯+=确；对C ，由题意，侧面全展开的圆心角为22ππ==线段有小部分不在扇环上，故由点A 出发沿侧面到达点C 的最短距离大于AC 故C 错误；对D ，由题意，该圆台的轴截面可补全为一个边长为12的正三角形，故圆台中能放下，直径为=，故D 正确；4=故选：ABD 三、填空题13．若复数是纯虚数，则实数m =____.()()22563iz m m m m =-++-2【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0计算即可【详解】由题意，，解得 2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩2m =故2.14．记锐角的内角，，的对边分别为，，，且ABC A B C a b c ，若，是的两条高，则的取值范222sin sin cos sin cos B C B C A +=+BE CF ABC BECF 围是______.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据正弦定理进行边角互化，可得角，再根据高线的性质可得，再A BE cCF b =利用边角互化，结合三角函数值域可得范围.【详解】由，得，222sin sin cos sin cos B C B C A +=+222sin sin sin sin sin B C B C A -=-再由正弦定理得，故，222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==所以，3Aπ=故，sin sin sin 113sin sin sin 22B BE c A c C CF b A b BB π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=====+=又为锐角三角形，ABC 故，即，02032B B ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩62B ππ<<，tan B ⎫∈+∞⎪⎪⎭故，11,222BE CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭15．某电池厂有A ，B 两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的均值及方差，结果如下：项目抽取成品数样本均值样本方差A 生产线产品82104B 生产线产品122004则20个产品组成的总样本的方差为_____.28【分析】利用均值公式计算出总样本的均值，再利用方差的公式：，22211n i i S x xn ==-∑求出，进一步求出总样本的方差即可.21nii x=∑【详解】依题意得，，，82221121048Ai i S x ==-=∑1222211200412B i i S x ==-=∑解得：，，()822184210ii x==⨯+∑()12221124200ii x==⨯+∑又，8128210122002042020A B x x x +⨯+⨯===()()20812222221112221120420201842101242002042028.i i i i i i S x x x x ===⎛⎫∴=-=⨯+- ⎪⎝⎭⎡⎤=⨯⨯++⨯+-⎣⎦=∑∑∑20个产品组成的总样本的方差为28.∴故答案为.28四、双空题16．从直线a ，b 和平面这三个空间元素中取两个，若已知它们与第三个元素有平行β或垂直关系，则所取的两个元素也有平行或垂直关系.写出一个满足题意的真命题：若_____，则_____ ,a b ββ⊥⊥//a b【分析】结合线面位置关系的判定定理和性质定理，合理判定和构造满足题意即可.【详解】对于直线a ，b 和平面这三个空间元素中取两个，则有：β若，则；,a b ββ⊥⊥//a b 若，，则；//a b a β⊥b β⊥若，，则.//a b b β⊥a β⊥（答案不唯一，写出一个即可）故若，则；,a b ββ⊥⊥//a b 五、解答题17．已知是两个单位向量，，且.12,e e 1122,6AB e AC e e ==-- ||BC = (1)求的夹角；12,e e(2)若D 为线段BC 上一点，DC =2BD ，求证：AD ⊥AB .(1)3π(2)证明见解析【分析】（1）利用表示出，再结合即可求出答案.12,e eBC（2）利用表示出，则可计算出.则可说明AD ⊥AB.12,e e AD0AD AB ⋅= 【详解】(1)因为.1122,6AB e AC e e ==--所以.1236BC AC AB =-=--e e则||BC == 解得：121cos ,2=e e 所以的夹角12,e e 12,3e e π= (2);()1121223621133AD AB BD AB BC =+---=+=+= e e e e e .()1211224022AD AB -⋅⋅=-⨯= e e e =所以AD ⊥AB.18．如图，棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，过E 作平面，使得//平面BDF .αα(1)作出截正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1所得的截面，写出作图过程并说明理由；α(2)求平面与平面的距离.αBDF (1)答案见解析【分析】（1）根据平面与平面平行的性质可得经过，可得截面；α11,,E B D （2）转化为点线距，利用等体积法可求结果.【详解】(1)连接，由正方体性质可得，；1111,,B D EB ED 11//BD B D 1//BF ED 又，所以平面平面；BF BD B ⋂=11//EB D BDF 因为//平面，且，所以平面与平面重合，即平面就是截αBDF E α∈11EB D α11EB D α正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1所得的截面.(2)由（1）可知平面与平面的距离等于点到平面的距离；αBDF 1B BDF设点到平面的距离为，由题意可得的1B BDF d BD BF DF ===BDF；的面积为；1BB F 2由可得，解得11B BDFD BB FV V --=111233BDF BB F S d S ⋅=⨯△△d =所以平面与平面αBDF 19．防洪是修建水坝的重要目的之一. 现查阅一条河流在某个水文站50年的年最大洪峰流量（单位：100 m 3·s -1）的记录，统计得到如下部分频率分布直方图：记年最大洪峰流量大于某个数的概率为p ，则年最大洪峰流量不大于这个数的概率为1-p .定义重现期（单位：年）为概率的倒数.规定：当p <50%时，用p 报告洪水，即洪水的重现期；当p >50%时，用1 -p 报告枯水，即枯水的重现期.如1T p =1.1T p =-，则报告洪水，重现期T =100（年），通俗的说法就是“百年一遇".1100p =(1)补齐频率分布直方图（用阴影表示） ，并估计该河流年最大洪峰流量的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表） ；x (2)现拟在该水文站修建水坝，要求其能抵挡五十年一遇的洪水.用频率估计概率，求它能承受的最大洪峰流量（单位：100 m 3·s -1）的最小值的估计值.(1)频率分布直方图见解析，34.6x =(2)55【分析】（1）设的频率为，根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和[)40,50x 为得到方程，即可求出，从而求出组的纵轴，即可得到频率分布直方图；1x [)40,50（2）依题意根据百分位数计算规则计算可得；【详解】(1)解：设的频率为，则，解[)40,50x ()0.0080.020.0440.004101x +++⨯+=得，所以组的纵轴为，0.24x =[)40,50100.024x ÷=所以频率分布直方图如下所示：所以该河流年最大洪峰流量的平均值；()0.00815+0.0225+0.04435+0.02445+0.004551034.6x =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(2)解：依题意可得，即，150p =1110.9850p -=-=设最大洪峰流量估计值为，，y ()()0.008+0.02+0.044+0.02410500.0040.98y ⨯+-⨯=解得，55y =所以它能承受的最大洪峰流量（单位：100 m 3·s -1）的最小值的估计值为；5520．如图，三棱台中，.111ABC A B C -111111,2,BC CC AB BC CA B C CC C ⊥====(1)求证：；1AB BC ⊥(2)若二面角的平面角为60°，求直线AC 1与平面BCC 1B ，所成角的正弦值.1C BC A --(1)证明见解析(2)34【分析】（1）先证明为矩形，进而根据线面垂直的判定证明平面即11DCC B BD ⊥1B AD 可；（2）取中点，连接，根据线面垂直的性质可得二面角的平1B D E 1,AE EC 1C BC A --面角即为，设，根据勾股定理得，根据余弦定理可得160ADB ∠= 112B C =1C E =，再根据线面垂直的性质与判定证明平面，进而求解即3AE =AE ⊥11BCC B 1sin AC E ∠可【详解】(1)取中点，连接.因为，则，又BC D 1,AD B D 1122BC B C ==11DC B C =，且，故为矩形，故.又，故1BC CC ⊥11DC B C ∥11DCC B 1B D BD ⊥AB BC CA ==，又平面，故平面，又平面，故AD BD ⊥1,B D AD ⊂1B AD BD ⊥1B AD 1AB ⊂1B AD 1AB BC⊥(2)由（1）因为平面，故二面角的平面角即为.取BD ⊥1B AD 1C BC A --160ADB ∠=中点，连接.设，则，1B D E 1,AE EC 112B C =2BD DC ==1112CC B C ==,1B E ED ==1C E ==AD =.故，所以，又3AE ==222AE ED AD +=AE ED ⊥平面，故，又，故平面，故AE ⊂1ADB BD AE ⊥BD ED D = ,BD ED ⊂11BCC B 平面，故直线AC 1与平面BCC 1B ，所成角的为.故AE ⊥11BCC B 1EAC ∠，即直线AC 1与平面BCC 1B ，所成角的正弦值为113sin 4AE AC E AC ∠===3421．某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B 类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A 类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B 类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.(1)求小明在第一轮得40分的概率；(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？(1)；35(2)小明更容易晋级复赛.【分析】（1）对A 类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编,,,,a b c d e 号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率；a b c d ,,,（2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或4030第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮40600答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小芳60060和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论.【详解】(1)对A 类的5个问题进行编号：，第一轮从A 类的5个问题中任选,,,,a b c d e 两题作答，则有共种，()()()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e 10设小明只能答对4个问题的编号为：，a b c d ,,,则小明在第一轮得40分，有共种，()()()()()(){},,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 6则小明在第一轮得40分的概率为：；63105=(2)由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，35则小明在第一轮得0分的概率为：，32155-=依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，∴4030小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；()()10.50.50.510.510.50.50.125P =⨯⨯⨯-+-⨯=⎡⎤⎣⎦；()230.40.60.60.40.2885P =⨯⨯+⨯=当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，4060小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；30.50.50.50.50.0625P =⨯⨯⨯=430.40.40.0965P =⨯⨯=当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，060小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；()()50.510.510.50.50.50.50.125P ⎡⎤=⨯-+-⨯⨯⨯=⎣⎦620.40.40.0645P =⨯⨯=当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，060小芳晋级复赛的概率分别为：；()()710.510.50.50.50.0625P ⎡⎤=-⨯-⨯⨯=⎣⎦小芳晋级复赛的概率为：；∴13570.1250.06250.1250.06250.375PP P P +++=+++=小明晋级复赛的概率为：；2460.2880.0960.0640.448P P P ++=++=，0.4480.375> 小明更容易晋级复赛.∴22．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，.cos sin 0a C C b c +--=b =(1)若c ；a =(2)点A ，B ，C 分别在等边△DEF 的边DE ，EF ，FD 上（不含端点）.若△DEF 面积的最大值为c .(1)6c =(2)c =【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角，再利用余弦定理可求出，A c （2）由三角形面积的最大值求出的最大值，设，则DE ACD BAE α∠=∠=，然后分别在和中利用余弦定理表示出，从而120ABE α∠=︒-ACD △ABE △,AD AE 可表示，化简后利用三角函数的性质可求出其最大值，从而列方程可求出DE c【详解】(1)因为，cos sin 0a C C b c --=所以由正弦定理得，sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=因为，()B A C π=-+所以,sin cos sin sin()sin 0A C A C A C C -+-=，sin cos sin sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C +---=，sin cos sin sin 0A C A C C --=因为，sin 0C ≠，cos 1A A -=，11cos 22A A -=，1sin 62A π⎛⎫-=⎪⎝⎭因为，5,666A πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，，66A ππ-=3A π=因为a =b =所以由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，，2213c =+-23180c c --=，得（舍去），或(3)(6)0c c +-=3c =-6c =(2)由（1）可知，3A π=b =由于△DEF 面积的最大值为2DE =DE =所以的最大值为DE 因为，所以，60CAB ∠=︒120DAC BAE ∠+∠=︒因为，所以，120DAC ACD ∠+∠=︒ACD BAE ∠=∠设，则，ACD BAE α∠=∠=120ABE α∠=︒-在中，由正弦定理得ACD △sin sin AC ADD ACD=∠，得，sin AD α=sin AD α=在中，由正弦定理得，ABE △sin sin AB AEE ABE =∠所以，得，sin 60sin(120)c AE α=︒︒-sin(120)sin 60c AE α=⋅︒-︒所以sin(120)sin 60cDE AD AE αα=+=+︒-︒1sin(120)]sin 60c αα=+︒-︒1sin120cos cos120sin )sin 60c c ααα=+︒-︒︒11)sin cos]sin602cαα=︒，其中，1)sin60αθ=+︒tanθ=所以当时，取得最大值，sin()1αθ+=DE所以，1sin60=︒=所以，即，2321c+=2180c+-=所以，(0c c-+=解得或，c=c=-关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，第（2）问解题的关键是分别在和中利用余弦定理表示出，ACD△ABE△,AD AE从而可得，化简后利用三角函数的性sin(120)sin60cDE AD AEαα=+=+︒-︒质可求得其最大值，考查计算能力，属于较难题。
福建省福州2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
福州2023—2024学年第二学期期末考试高一年级数学（答案在最后）（全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分；时间：120分钟）班级__________座号__________姓名__________注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填涂自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答，请不要错位､越界答题!在试题卷上作答的答案无效.3.考试结束，考生必须将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，则这组样本数据的上四分位数为（）A.9B.10C.11D.122.已知复数12z i =-，则zz=（）A.12B.1C.2D.43.设l ，m 是两条直线，α，β是两个平面，则（）A.若//αβ，//l α，//m β，则//l mB.若//αβ，//l m ，m β⊥，则l α⊥C .若αβ⊥，//l α，//m β，则l m⊥D.若αβ⊥，//l α，//m β，则//l m4.已知向量,a b 满足||||a b == =0a b ⋅，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则下列各式一定成立的是（）A.0λμ+= B.1λμ+=- C.0λμ= D.1λμ=-5.如图，某人为测量塔高AB ，在河对岸相距s 的C ，D 处分别测得BCD α∠=，BCA ∠=β，BDC γ∠=（其中C ，D 与塔底B 在同一水平面内），则塔高AB =（）A.()sin tan sin s γβαγ⋅+B.()sin sin tan s γαγβ⋅+C.()sin sin tan s αγγβ⋅+D.()sin sin sin s αγγβ⋅+6.如图，圆锥底面半径为23，母线2PA =，点B 为PA 的中点，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为（）A.277,3B.77,3C.77,3D.77,77.依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，1A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，2A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，3A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，4A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（）A.3A 与4A 为对立事件B.1A 与3A 为相互独立事件C.2A 与4A 为相互独立事件D.2A 与4A 为互斥事件8.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ===BPA CPA CPB ∠=∠=∠，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A. B. C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =，222sin a b c ab C +-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（）A.tan 2C = B.π4A =C.b =D.△ABC 的面积为610.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数11.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，所有棱长均2，60BAD ∠=︒，P 为1CC 的中点，点Q 在四边形11DCC D 内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）A.当点Q 在线段1CD 上运动时，四面体1A BPQ 的体积为定值B.若AQ//平面1A BP ，则AQC.若1A BQ △的外心为M ，则11AB A M ⋅为定值2D.若1AQ =，则点Q 的轨迹长度为23π三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，120,2,ACB AC AB ACB ∠∠===的角平分线交AB 于D ，则CD =__________.13.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个在区间[]0,1上的均匀随机数i y （*,110i N i ∈≤≤），其数据如下表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22y 0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为_________．14.若正四面体ABCD 的顶点都在一个表面积为6π的球面上，过点C 且与BD 平行的平面α分别与棱,AB AD 交于点,E F ，则空间四边形BCFE 的四条边长之和的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求a 的值；（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在[)17,19内的概率.16.在平面四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，135C ∠=︒，BD =CD =.（1）求cos CBD ∠；（2）若ABD △为锐角三角形，求ABD △的面积的取值范围.17.年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为23，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为215，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为310；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为324,,435．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．（1）在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；（2）分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为棱AC 的中点，AB BC =，2AC =，1AA =.（1）求证：1//B C 平面1A BM ；（2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1BN BB 的值；如果不存在，请说明理由.19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==，18.439≈，()()1618.5 2.78ii x x i =--=-∑其中ix 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,...,16i =.（1）求()(),1,2,...,16i x i i =的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()3,3x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（i ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ii ）请利用已经学过的方差公式：()2211n i i s x x n ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x n x ==-∑.（iii ）在()3,3x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii ）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）附：样本()(),1,2,...,i i x y i n =的相关系数ˆniix ynxyr-=∑0.09≈.福州2023—2024学年第二学期期末考试高一年级数学（全卷共4页，四大题，19小题；满分：150分；时间：120分钟）班级__________座号__________姓名__________注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填涂自己的准考证号､姓名.考生要认真核对答题卡上的“准考证号､姓名”与考生本人准考证号､姓名是否一致.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上规定的范围内书写作答，请不要错位､越界答题!在试题卷上作答的答案无效.3.考试结束，考生必须将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，则这组样本数据的上四分位数为（）A.9B.10C.11D.12【答案】D【解析】【分析】利用百分位的定义求解即可.【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列为：9，9，10，10，11，12，13．上四分位数即75%分位数，775% 5.25⨯=，所以该组数据的上四分位数为从小到大排列的第6个数，即12，故选：D．2.已知复数12z i=-，则zz=（）A.12B.1C.2D.4【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用共轭复数的定义及复数的运算法则，得到34i55zz=--，再利用复数模的定义，即可求出结果.【详解】因为12z i =-，所以12i 14i 434i 12i 555z z ---===--+，得到1z z=，故选：B.3.设l ，m 是两条直线，α，β是两个平面，则（）A.若//αβ，//l α，//m β，则//l mB.若//αβ，//l m ，m β⊥，则l α⊥C.若αβ⊥，//l α，//m β，则l m ⊥D.若αβ⊥，//l α，//m β，则//l m 【答案】B 【解析】【分析】根据线面平行或垂直的判定及性质定理逐个判断即可．【详解】对于A ，若//αβ，//l α，//m β，则l 与m 可能平行，也可能相交，还可能异面，故A 错误；对于B ，若//l m ，m β⊥，则l β⊥，又//αβ，所以l α⊥，故B 正确；对于C ，D ，αβ⊥，//l α，//m β，则l 与m 可能平行，也可能异面或相交，故C ，D 错误；故选：B ．4.已知向量,a b 满足||||a b == =0a b ⋅，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则下列各式一定成立的是（）A.0λμ+=B.1λμ+=- C.0λμ= D.1λμ=-【答案】A 【解析】【分析】由向量垂直得到数量积为0，再由向量的数量积运算化简可得λ和μ的关系.【详解】因为向量,a b 满足||||a b == ，=0a b ⋅，若()()a b a b λμ+⊥+ ，所以22()()(1)()3()0a b a b a a b b λμμλμλλμ+⋅+=++⋅+=+=，所以0λμ+=．故选：A ．5.如图，某人为测量塔高AB ，在河对岸相距s 的C ，D 处分别测得BCD α∠=，BCA ∠=β，BDC γ∠=（其中C ，D 与塔底B 在同一水平面内），则塔高AB =（）A.()sin tan sin s γβαγ⋅+B.()sin sin tan s γαγβ⋅+C.()sin sin tan s αγγβ⋅+D.()sin sin sin s αγγβ⋅+【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，在BCD △中，利用正弦定理求出BC ，再利用直角三角形边角关系求解即得.【详解】在BCD △中，由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD =∠∠，sin sin(π)BC s γαγ=--，则sin sin()s BC γαγ=+，在Rt ABC △中，sin sin tan tan tan sin()sin()s s AB BC ACB γγββαγαγ=∠=⋅=++.故选：A6.如图，圆锥底面半径为23，母线2PA =，点B 为PA 的中点，一只蚂蚁从A 点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B 点，其最短路线长度和其中下坡路段长分别为（）A.277,3B.77,3C.277,3D.277,7【答案】D 【解析】【分析】将圆锥侧面沿母线PA 剪开并展开成扇形，最短路线即为扇形中的直线段AB ，利用余弦定理即可求解，过P 作AB 的垂线，垂足为M ，由题意得到AM 为上坡路段，MB 为下坡路段，计算即可.【详解】如图，将圆锥侧面沿母线PA 剪开并展开成扇形，由题可得该扇形半径2PA =，弧长为24π2π33⨯=，故圆心角4π2π323APB ∠==，最短路线即为扇形中的直线段AB ，由余弦定理可得：222cos 7AB PA PB PA PB APB =+-⋅∠=；2227cos 27PB AB PA PBA PB BA +-∠==⋅，过P 作AB 的垂线，垂足为M ，当蚂蚁从A 点爬行到点M 过程中，它与点P 的距离越来越小，故AM 为上坡路段，当蚂蚁从点M 爬行到点B 的过程中，它与点P 的距离越来越大，故MB 为下坡路段，下坡路段长27cos 7MB PB PBA =⋅∠=，故选：D7.依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次，1A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”，2A 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，3A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”，4A 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（）A.3A 与4A 为对立事件B.1A 与3A 为相互独立事件C.2A 与4A 为相互独立事件D.2A 与4A 为互斥事件【答案】C 【解析】【分析】利用列举法与古典概型的概率公式求得各事件的概率，由3434,A A A A =∅≠Ω 即可判断A ；由1313()()()P A P A P A A ≠即可判断B ；由2424()()()P A P A P A A =即可判断C ，由24A A ≠∅ 即可判断D.【详解】依次抛掷两枚质地均匀的骰子，两次的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，样本空间Ω如下：()()()()()(){1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),()()()()()()6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6}，共36个样本点．则事件1A 包括(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，共6个，11()6P A =，事件2A 包括(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),，共18个，21()2P A =，事件3A 包括(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)，共5个，35()36P A =，事件4A 包括(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6个，461()366P A ==.对于A ，3434,A A A A =∅≠Ω ，所以3A 与4A 不为对立事件，故A 错误；对于B ，事件13A A 包括(2,4)，则131()36P A A =，又11()6P A =，35()36P A =，所以131315()()()636P A P A P A A =⨯≠，即1A 与3A 不相互独立，故B 错误；对于C ，事件24A A 包括(1,6),(3,4),(5,2)，则241()12P A A =，又21()2P A =，41()6P A =，所以2424111()()()2612P A P A P A A =⨯==，即2A 与4A 相互独立，故C 正确；对于D ，事件24A A 包括(1,6),(3,4),(5,2)，则24A A ≠∅ ，即2A 与4A 不为互斥事件，故D 错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：利用列举法和古典概型的概率公式求得各事件的概率是解决本题的关键.8.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ===BPA CPA CPB ∠=∠=∠，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2AB BC AC ===，从而得-P ABC 为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】PA PB PC == ，BPA CPA CPB ∠=∠=∠，所以AB BC AC ==，故ABC 为等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，取AC 的中点O ，连接,PO BO ，则,AC BO AC PO ⊥⊥，又,,BO PO O BO PO =⊂ 面PBO ，所以AC ⊥面PBO ，又BP ⊂面PBO ，所以AC PB ⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点，//EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥ 平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，又,PA PC ⊂面PAC ，所以,PA PB PC PB ⊥⊥，PA PB PC === ，2AB BC AC ∴===，在APC △中由勾股定理得PA PC ⊥，P ABC ∴-为正方体一部分，2R ==2R =，344π338V R ∴=π=⨯=，故选：D ．【点睛】思路点睛：补体法解决外接球问题，可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a =，222sin a b c ab C +-=，cos sin a B b A c +=，则下列结论正确的是（）A.tan 2C = B.π4A =C.b =D.△ABC 的面积为6【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，由余弦定理得sin cos 2CC =，求出sin tan 2cos C C C==；B 选项，由正弦定理和sin sin cos cos sin C A B A B =+化简得到sin cos A A =，求出π4A =；C 选项，在A 选项基础上求出sin 5C =，cos 5C =，从而得到sin 10B =，由正弦定理得到b =D 选项，由三角形面积公式求出答案.【详解】A 选项，由余弦定理得222sin sin cos 222a b c ab C CC ab ab +-===，故sin tan 2cos CC C==，A 正确；B 选项，cos sin a B b A c +=，由正弦定理得sin cos sin sin sin A B B A C +=，因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以sin cos sin sin sin cos cos sin A B B A A B A B +=+，即sin sin cos sin B A A B =，因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，故sin cos A A =，又()0,πA ∈，故π4A =，B 正确；C 选项，由A 选项可知，sin cos 2C C =，又22sin cos 1C C +=，故25sin 14C =，因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，解得sin 5C =，故5si cos n 2C C ==，()sin sin sin cos cos sin 252510=+=+=⨯+⨯=B AC A C A C ，由正弦定理得sin sin a bA B=12=b =C 错误；D 选项，△ABC的面积为11sin 6225ab C ==.故选：ABD10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数【答案】ACD 【解析】【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B 错误，C 正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D 正确.故选：ACD.11.在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，所有棱长均2，60BAD ∠=︒，P 为1CC 的中点，点Q 在四边形11DCC D 内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（）A.当点Q 在线段1CD 上运动时，四面体1A BPQ 的体积为定值B.若AQ//平面1A BP ，则AQ 5C.若1A BQ △的外心为M ，则11A B A M ⋅为定值2D.若17AQ =，则点Q 的轨迹长度为23π【答案】ABD 【解析】【分析】由题易证得1//D C 面1A BP ，所以直线1CD 到平面1A BP 的距离相等，又1A BP 的面积为定值，可判断A ；取1,DD DC 的中点分别为,M N ，连接,,AM MN AN ，由面面平行的判定定理可得平面1//A BP 面AMN ，因为AQ ⊂面AMN ，所以AQ//平面1A BP ，当AQ MN ⊥时，AQ 有最小值可判断B ；由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断C ；在111,DD D C 上取点32,A A ，使得13123=1D A D A =，，易知点Q 的轨迹为圆弧23A A 可判断D.【详解】对于A ，因为11//A B D C ，又因为1A B ⊂面1A BP ，1D C ⊄面1A BP ，所以1//D C 面1A BP ，所以直线1CD 到平面1A BP 的距离相等，又1A BP 的面积为定值，故A 正确；对于B ，取1,DD DC 的中点分别为,M N ，连接,,AM MN AN ，则易证明：//AM PC ，AM ⊄面1A BP ，PC ⊄面1A BP ，所以//AM 面1A BP ，又因为1//A B MN ，，MN ⊄面1A BP ，1A B ⊄面1A BP ，所以//MN 面1A BP ，MN AM M ⋂=，所以平面1//A BP 面AMN ，AQ ⊂面AMN ，所以AQ//平面1A BP当AQ MN ⊥时，AQ 有最小值，则易求出5,2,AM MN ==2212cos1204122172AN AD DN AD DN ⎛⎫=+-⋅︒=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭,Q M 重合，所以则AQ 的最小值为5AM =，故B 正确；对于C ，若1A BQ △的外心为M ，，过M 作1MH A B ⊥于点H ，2212+2=22A B 则21111==42A B A M A B ⋅ .故C 错误；对于D ，过1A 作111A O C D ⊥于点O ，易知1A O ⊥平面11C D D ，111cos 13OD A D π==在111,DD D C 上取点32,A A ，使得13123=1D A D A =，，则13127A A A A ==，32732OA OA ==-=所以若17AQ =，则Q 在以O 为圆心，2为半径的圆弧23A A 上运动，又因为1131,3,D O D A ==所以323A OA π∠=，则圆弧23A A 等于23π，故D 正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，120,2,7,ACB AC AB ACB ∠∠=== 的角平分线交AB 于D ，则CD =__________.【答案】23【解析】【分析】在ABC 中，由余弦定理可得：1BC =，由正弦定理可得21sin 7B =，根据角平分线的性质可得：2723DA BD ==，在BCD △中，由正弦定理可得：sin sin CD BD B DCB =∠即可求解.【详解】因为在ABC 中，120,2,7ACB AC AB ∠===由余弦定理可得：2222cos AB AC BC AB BC ACB =+-⋅⋅∠，解得1BC =由正弦定理可得：sin sin AC AB B ACB =∠，即27sin 3B =，解得：21sin 7B =，因为ACB ∠的角平分线交AB 于D ，所以60BCD ︒∠=，由角平分线性质可得：BD BCDA AC=，所以2723DA BD ==，在BCD △中，由正弦定理可得：sin sin CD BDB DCB =∠7321372=23CD =故答案为：2313.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[]1,e 上的均匀随机数i x 和10个在区间[]0,1上的均匀随机数i y （*,110i N i ∈≤≤），其数据如下表的前两行．x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22y 0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为_________．【答案】()315e -【解析】【分析】先根据题意以及题中数据，可得：向矩形区域101x ey ≤≤⎧⎨≤≤⎩内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，由此即可估计出曲边三角形的面积.【详解】由题意以及表中数据可得，向矩形区域101x ey ≤≤⎧⎨≤≤⎩内随机抛掷10个点，有6个点在曲边三角形内，所以其频率为63105=，因为矩形区域面积为()111e e -⨯=-，所以这个曲边三角形面积的一个近似值为()315e -.故答案为()315e -【点睛】本题主要考查几何概型，以及定积分在求面积中的应用，属于常考题型.14.若正四面体ABCD 的顶点都在一个表面积为6π的球面上，过点C 且与BD 平行的平面α分别与棱,AB AD 交于点,E F ，则空间四边形BCFE 的四条边长之和的最小值为__________.【答案】4+4【解析】【分析】根据条件求出正四面体ABCD 的棱长为2，设(01)AF AD λλ=<<，利用几何关系得到空间四边形BCFE 的四条边长之和4L =+，即可求出结果.【详解】如图，将正四面体放置到正方体中，易知正四面体外接球即正方体的外接球，设正四面体ABCD ，所以正方体的边长为a ，易知正方体的外接球直径为体对角线DH 的长，又DH =，所以正四面体的半径22DH R ==，依题有224π3π6πR a ==，得到a =，即正四面体ABCD 的棱长为2，因为//BD 面CEF ，面ABD ⋂面CEF EF =，BD ⊂面ABD ，所以//EF BD ，设(01)AF AD λλ=<<因为2AB AD BD ===，则2AF AE λ==，22BE DF λ==-，在EAF △中，因为π3EAF ∠=，所以2EF λ=，在FDC △中，π3FDC ∠=，2DC =，则FC =，所以空间四边形BCFE 的四条边长之和2222442L λλ=+-++++，又01λ<<，当12λ=时，min 4L =+，故答案为：4+.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于设出(01)AF AD λλ=<<后，利用几何关系得出FC =2EF λ=，22BE λ=-，从而得出空间四边形BCFE 的四条边长之和4L =+，转化成求L 的最小值来解决问题.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm ）介于[]15,25之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.（1）求a 的值；（2）若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株，再在这5株中随机抽取2株，求抽取的2株高度均在[)17,19内的概率.【答案】（1）0.125；（2）310【解析】【分析】（1）由频率分布直方图各小矩形的面积和等于1，可求得a 的值；（2）再由[)15,17和[)17,19的频率比0.120.153=，确定这5株分别在[)15,17和[)17,19的株数，最后由古典概型的计算公式求得结果即可.【小问1详解】依题意可得()0.050.0750.150.121a ++++⨯=，解得0.125a =；【小问2详解】由（1）可得高度在[)15,17的频率为：20.0500.1⨯=；高度在[)17,19的频率为：20.0750.15⨯=；且0.120.153=，所以分层抽取的5株中，高度在[)15,17和[)17,19的株数分别为2和3，因此记高度在[)15,17植株为,m n ，记高度在[)17,19植株为,,A B C ，则所有选取的结果为（m ，n ）、（m ，A ）、（m ，B ）、（m ，C ）、（n ，A ）、（n ，B ）、（n ，C ）、（A ，B ）、（A ，C ）、（B ，C ）共10种情况，令抽取的2株高度均在[)15,17内为事件M ，事件M 的所有情况为（A ，B ）、（A ，C ）、（B ，C ）共3种情况，由古典概型的计算公式得：()310P M =.16.在平面四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，135C ∠=︒，BD =CD =.（1）求cos CBD ∠；（2）若ABD △为锐角三角形，求ABD △的面积的取值范围.【答案】（1（2）()1,5【解析】【分析】（1）在BCD △中，由正弦定理可得sin CBD ∠，从而求得cos CBD ∠.（2）解法一：由（1）求得sin ADB ∠sin cos 55A A =∠+∠，AB 21tan A =+∠，从而ABD S = 21tan A +∠，再利用ππ22ABD A -∠<∠<，即可求得ABD △面积的取值范围；解法二：作1A D AB ⊥于1A ，作2A D BD ⊥于D ，交BA 于2A ，求得1A D ，1A B ，2A D ，分别求出1A BD S ，2A BD S ，利用12A BD ABD A BD S S S <<△△△即可求得范围.【小问1详解】在BCD △中，由正弦定理可得sin sin BD CDBCD CBD ∠∠=，所以22sin 5CBD ∠==，又π0,4CBD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5CBD ∠==.【小问2详解】解法一：由（1）可知，πsin sin cos 25ABD CBD CBD ⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，因为ABD ∠为锐角，所以5cos 5ABD ∠=，所以()sin sin ADB A ABD ∠=∠+∠sin cos cos sin A ABD A ABD =∠∠+∠∠sin cos 55A A =∠+∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB BDADB A=∠∠，所以sin 2cos sin sin ADB A AAB A A∠∠+∠==∠∠21tan A =+∠，1sin 2ABD S AB BD ABD=⋅⋅∠122112tan 5tan A A⎛⎫=⨯+⨯=+ ⎪∠∠⎝⎭，因为()πADB ABD A ∠=-∠+∠，且ABD △为锐角三角形，所以()π0π2π02ABD A A ⎧<-∠+∠<⎪⎪⎨⎪<∠<⎪⎩，所以ππ22ABD A -∠<∠<，所以πtan tan 2A ABD ⎛⎫∠>-∠⎪⎝⎭πsin cos 12πsin 2cos 2ABD ABD ABD ABD ⎛⎫-∠ ⎪∠⎝⎭===∠⎛⎫-∠ ⎪⎝⎭，所以102tan A<<∠，所以2115tan A<+<∠，即15ABD S <<△，所以ABD △的面积的取值范围为()1,5.解法二：由（1）可知，sin sin cos 25πABD CBD CBD ∠∠∠⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，因为ABD ∠为锐角，所以5cos 5ABD ∠=，tan 2ABD ∠=，如图，作1A D AB ⊥于1A ，作2A D BD ⊥于D ，交BA 于2A ，所以15sin 525A D BD ABD ∠=⋅==，15cos 515A B BD ABD ∠=⋅==，所以112112A BD S =⨯⨯=△，又2tan 5225A D BD ABD ∠=⋅==，所以215552A BD S =⨯=△.由图可知，仅当A 在线段12A A 上（不含端点）时，ABD △为锐角三角形，所以12A BD ABD A BD S S S <<△△△，即15ABD S <<△.所以ABD △面积的取值范围为()1,5.17.年级教师元旦晚会时，“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”参加一项趣味问答活动．该活动共有两个问题，如果参加者两个问题都回答正确，则可得到一枝“黑玫瑰”奖品．已知在第一个问题中“玲儿姐”回答正确的概率为23，“玲儿姐”和“关关姐”两人都回答错误的概率为215，“关关姐”和“页楼哥”两人都回答正确的概率为310；在第二个问题中“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率依次为324,,435．且所有的问答中回答正确与否相互之间没有任何影响．（1）在第一个问题中，分别求出“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率；（2）分别求出“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率，并求三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率．【答案】（1）“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为31;52；（2）“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为122,,;255三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率825【解析】【分析】（1）根据独立事件的乘法公式分别求解即可；（2）综合应用独立事件的乘法公式和互斥事件的概率加法公式分别求解即可.【小问1详解】记=i A “玲儿姐回答正确第i 个问题”，i B =“关关姐回答正确第i 个问题”，i C =“页楼哥回答正确第i 个问题”，1,2i =.根据题意得111111122()()()(1())(1())(1)(1())315P A B P A P B P A P B P B ==--=--=，所以13()5P B =；1111133()()()()510P B C P B P C P C ===，所以11()2P C =；故在第一个问题中，“关关姐”和“页楼哥”回答正确的概率分别为35和12.【小问2详解】由题意知222324(),(),()435P A P B P C ===，“玲儿姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为11212231()()()342P P A A P A P A ====；“关关姐”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为21212322()()()535P P B B P B P B ====；“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率为31212142()()()255P P C C P C P C ===⨯=；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为123123123(1)(1)(1)P P P P P P P PP P =-+-+-122132123825525525525=⨯⨯+⨯⨯+⨯=.所以“玲儿姐”、“关关姐”和“页楼哥”获得一枝“黑玫瑰”奖品的概率分别为122255，，；三人最终一共获得2枝“黑玫瑰”奖品的概率为825.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，M 为棱AC 的中点，AB BC =，2AC =，1AA =.（1）求证：1//B C 平面1A BM ；（2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1BNBB 的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，112BN BB =.【解析】【分析】（1）连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ，利用三角形中位线性质得到1//OM B C ，再利用线面平行的判定即可证.（2）应用线面垂直的性质、判定可得BM ⊥平面11ACC A ，从而得到1BM AC ⊥，根据11AC C A MA∠=∠和111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=得到11A M AC ⊥，再利用线面垂直的判定即可证.（3）当点N 为1BB 的中点，设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，易证四边形BNDM 为平行四边形，从而得到//BM DN ，进而有DN ⊥平面11ACC A ，再利用面面垂直的判定即可证.【小问1详解】连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM，在1B AC △中M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，所以1//OM B C ，又OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ，所以1//B C 平面1A BM .【小问2详解】因为1AA ⊥底面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以1AA BM ⊥.又M 为棱AC 的中点，AB BC =，所以BM AC ⊥.因为1AA AC A = ，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ，所以BM ⊥平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BM AC ⊥.因为2AC =，所以1AM =.又1AA =，在1Rt ACC V 和1Rt A AM中，11tan tan AC C A MA ∠=∠=，所以11AC C A MA ∠=∠，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=，所以11A M AC ⊥，又1BM A M M = ，BM ，1A M ⊂平面1A BM ，所以1AC ⊥平面1A BM .【小问3详解】当点N 为1BB 的中点，即112BN BB =时，平面1AC N ⊥平面11AA C C .证明如下：设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN，因为D ，M 分别为1AC ，AC 的中点，所以1//DM CC 且112DM CC =，又N 为1BB 的中点，所以//DM BN 且DM BN =，所以四边形BNDM 为平行四边形，故//BM DN ，由（2）知：BM ⊥平面11ACC A ，所以DN⊥平面11ACC A ，又DN ⊂平面1AC N ，所以平面1AC N ⊥平面11ACC A .19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==，18.439≈，()()1618.5 2.78ii x x i =--=-∑其中ix 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,...,16i =.（1）求()(),1,2,...,16i x i i =的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()3,3x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.（i ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ii ）请利用已经学过的方差公式：()2211n i i s x x n ==-∑来证明方差第二公式22211n i i s x n x ==-∑.（iii ）在()3,3x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii ）中公式估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）附：样本()(),1,2,...,i i x y i n =的相关系数ˆniix ynxyr-=∑0.09≈.【答案】（1）0.178-；可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（2）（i ）从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查；（ii ）证明见解析；（iii ）均值10.02；标准差0.09【解析】【分析】（1）根据数据和公式即可计算r 的值，根据0.25r <的规则进行判断即可；（2）（i ）计算()3,3x s x s -+的值，根据13个零件的尺寸与区间的关系进行判断；（ii ）根据已学公式进行变形即可证明；（iii ）代入公式计算即可.【小问1详解】由题可得()()16118.5 2.78n i iii i x y nxy x x i ==-=--=-∑∑，40.848s===，18.439=≈所以 2.780.180.84818.439ˆniix ynxyr--=≈-⨯∑，则0.180.25r =<，所以可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小【小问2详解】（i ）由题可得39.9730.2129.334x s -=-⨯=，39.9730.21210.606x s +=+⨯=，因为第13个零件的尺寸为9.22，9.229.334<，所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查；。
福建省龙岩市2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题及答案
龙岩市2022～2023学年第二学期期末高一教学质量检查数学试题（考试时间：120分钟 满分150分）注意事项：1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数3z a i =+，()2,z bi a b R =+∈，则a b += A.-1B.1C.-5D.52.已知向量a ，b ，满足3a = ，4b = ，a 与b 的夹角的余弦值为34，则向量a 在向量b 上的投影向量为A. aB. 3aC. 94bD. 916b 3.从长度为1，3，7，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为 A.15B.25C.35D.454.已知某班4012340,,,,x x x x ⋅⋅⋅，经计算全班数学平均成绩90x =，且4021324400ii x==∑，则该班学生此次数学成绩的标准差为A.20B.C.10D.5.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是A.若1E BD ∈，F BD ∈，则EF AC ⊥B.若1E BD ∈，F BD ∈，则平面BEF ⊥平面11A BCC.若E AC ∈，1F CD ∈，则1EF AD ∥D.若E AC ∈，1F CD ∈，则EF ∥平面11A BC6.闽西革命烈士纪念碑，坐落在福建省龙岩市城西虎岭山闽西革命烈士陵园内，1991年被列为第三批省级文物保护单位，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美.某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为A 点，纪念碑的最底端记为B 点（B 在A 的正下方），在广场内（与B 在同一水平面内）选取C ，D 两点，测得CD 的长为15米，45ACB ∠=°，30CBD ∠=°，30ADB ∠=°，则根据以上测量数据，可以计算出纪念碑高度为A.14米B.15米C.16米D.17米7.已知等边三边形ABC 的边长为4，D 为BC 的中点，将ADB △沿AD 折到1ADB △，使得1B CD △为等边三边形，则直线1B D 与AC 所成的角的余弦值为A. B.0 C.12D.148.在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()2cos cos cos sin sin B B A C A C +−=，a =，则ABC △周长的取值范围是A. (+B. (3++C. (3+D. (二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年福建省福州市长乐第一中学高一数学文下学期期末试题含解析
2021-2022学年福建省福州市长乐第一中学高一数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量满足，，，则=（）A. 3B. 5C. 6D. 7参考答案：C【分析】根据向量的模即可求出．【详解】∵，∴，即14=9+16+，∴=-11．∴=9+16+11=36，∴，故选：C．【点睛】本题考查了向量的模的计算，属于基础题．2. 已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，则P点轨迹一定通过三角形ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心参考答案：A【考点】L%：三角形五心．【分析】由已知得AP是角BAC的平分线，由此求出P的轨迹一定通过三角形的内心．【解答】解：∵O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，∴与∠BAC的平分线共线，∴AP是角BAC的平分线，而三角形的内心为角平分线的交点，∴三角形的内心在AP上，即P的轨迹一定通过三角形的内心．故选：A．3. 设是单位向量，，则四边形是（）梯形菱形矩形正方形参考答案：B4. 直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）．B．C参考答案：B5. 以原点O及点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使A=90°，则的坐标为（）A. B. 或 C. D. 或参考答案：B【分析】设出点的坐标，求出向量的坐标表示，利用，求出点的坐标，进而求出的坐标表示.【详解】设，，因为三角形OAB是等腰直角三角形，且,所以,即,解方程组得或所以或,故本题选B.【点睛】本题考查了向量坐标表示，考查了等腰三角形的性质，以及平面向量数量积的应用，向量模的计算公式.6. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．B．y=lgx2，y=2lgxC．D．参考答案：C【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】计算题．【分析】分别求出四组函数的定义域、对应法则、值域；据函数的三要素：定义域、对应法则、值域都相同时为同一个函数选出答案．【解答】解：A、y=1的定义域为R，y=的定义域为x≠0，两函数的定义域不同，故不是同一函数；B、y=lgx2的定义域为x≠0，y=2lgx的定义域为x＞0，两函数的定义域不同，故不是同一函数；C、y=x与y=有相同的定义域，值域与对应法则，故它们是同一函数；D、y=|x|的定义域为R，y=的定义域为x≥0，两函数的定义域不同，故不是同一函数，则选项C中的两函数表示同一函数．故选C．【点评】本题考查函数的三要素：定义域、对应法则、值域，只有三要素完全相同，才能判断两个函数是同一个函数，这是判定两个函数为同一函数的标准．7. 如果二次函数在区间上是减函数，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：B8. 下列赋值语句中错误的是()A. N=N+1B. K=K*KC. C=A(B+D)D. C=A/B参考答案：CN=N+1中，符合赋值语句的表示，故A正确；K=K*K中，符合赋值语句的表示，故B正确；C=A（B+D）中，右边的表达式中，省略了运算符号“*”，故C错误；C=A/B中，符合赋值语句的表示，故D正确．故选：C．点睛：①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。
2023-2024学年福建省福州第三中学高一下学期数学期末考试数学试卷
2023-2024学年福建省福州第三中学高一下学期数学期末考试数学试卷1.已知复数z满足，则（）A．i B．C．D．12.已知，是不共线的向量，且，，，若B，C，D三点共线，则（）A．B．C．D．3.已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，．设甲：，乙：，则甲是乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黑球与都是黑球B．至少有一个黑球与都是红球C．恰有一个黑球与恰有两个黑球D．至少有一个黑球与至少有一个红球5.已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（）A．B．C．D．6.某单位共有A、B两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A、B两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（）A．，B．，C．，D．，7.已知函数在区间上单调递减，，则（）A．B．C．D．8.已知正四棱台的下底面边长为，侧棱与下底面所成角的大小为45°，则该正四棱台体积的取值范围是（）A．B．C．D．9.下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（）A．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增B．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增C．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大D．2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元10.在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（）A．B．A与相互独立C．D．11.如图，一张矩形白纸，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点．现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面的同侧，则下列命题正确的是（）A．当平面平面时，平面B．当A，C重合于点时，平面C．当A，C重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为D．当A，C重合于点时，四棱锥的体积为12.已知向量满足，且，则___________.13.某学校高一年级男生共有490人，女生共有510人，为调查该年级学生的身高情况，通过按比例分配的分层抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为和.若，则该校高一年级全体学生身高的方差为___________.14.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是___________.15.已知是复数，和均为实数，，其中是虚数单位.(1)求复数的共轭复数;(2)若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.16.在中，角的对边分别为．(1)求的大小；(2)若，且边上的中线长为，求的面积．17.小明从一幅扑克牌中挑出和共8张牌（和各四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））.现从这张牌中依次取出张，抽到一张红色和一张红色即为游戏获胜.现有三种游戏方式，如下表：游戏方式方式①方式②方式③抽取规则有放回依次抽取不放回依次抽取按颜色等比例分层抽样获胜概率(1)分别求出在三种不同游戏方式下获胜的概率；(2)若三种游戏方式小明各进行一次，第一次采取方式①，后两次采用方式②和方式③，那么方式②和方式③按照怎样的顺序进行游戏能使得三次游戏中仅连续两次获胜的概率最大？18.已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）.尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造.(1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数；(2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H（M）（单位：元）的取值范围.19.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形ABEF是等腰梯形，，平面平面，三棱锥的体积为.(1)求点E到平面ABCD的距离；(2)设G是棱CD上一点，若二面角的正切值是3，求CG.20.点A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与P，Q两点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记；若点M在线段PQ外，记.(1)若M在正方体的棱AB的延长线上，且，由对AB施以视角运算，求的值；(2)若M在正方体的棱AB上，且，由对AB施以视角运算，得到，求的值；(3)若是边BC的等分点，由A对BC施以视角运算，求的值.。
2018_2019学年福建福州仓山区福建师范大学附属中学高一下学期期末数学试卷-学生用卷
为
．
17、三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点 的横、纵坐标分别为 第 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 的横、纵坐标分别为第 名工人下午的工作时间和 加工的零件数， = 1，2，3．
(1) 记 为第 名工人在这一天中加工的零件总数，则 1， 2， 3中最大的
是
．
(2) 记 为第 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 1， 2， 3中最大的
同理△ 为直角三角形，
⊥，⊥，
△ 为直角三角形，
△ 为直角三角形， ④设交线为 ，
//平面 ， ⊂平面 ， 平面 ∩平面 = ， ∴ //PM， ∵ //AD， ∴ //PM， 综上正确的为①②③④．
13 、【答案】 0,0,6 ; 【解析】 设 0,0, ，
=，
即 42 + 52 + 6 − 2 = −5 2 + 10 − 2，
故选 B．
7 、【答案】 D;
【解析】 三个侧面与底面全等，且 = = 3，
得 = = 3， = = 2，
取 的中点 ，连接 ， ，
则∠ 即为所求二面角的平面角，
且 = = 2， ∵ 2 = 2 + 2，
∴∠
=
，
2
故选：D．
8 、【答案】 A;
【解析】 设交点坐标 , ，
2
+ 2
2 +
− 3
5 −
垂直于 轴，
= = 350，
则 = 400， = cos 30° = 200 3，
在 Rt △ OBD 中，
=
2− 2
= 3502 − (200 3)2
= 50，
∴ = 2 = 100，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
福州城门中学2015----2016学年度下期期末段考试
高一数学学科试题
一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分．) 1. 已知向量
(3,7)AB =，(2,3)BC =-，则12
AC -=( )
A.
152⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
B. 152⎛⎫ ⎪⎝⎭，
C. 152⎛⎫- ⎪⎝⎭，-
D. 152⎛⎫ ⎪⎝⎭，-
2. 已知a ),2,3(-=b =(-1,0)，向量b a b a 2-与+λ垂直，则实数λ的值为( ) A ．
71- B ．71 C ．6
1-
D ．61
3. 设tan 3α=，则
A.3
B.2
C.1
D.1-
4．在下列各图中，每个图的两个变量具有线性相关关系的图是(
)
A ．(1)(2)
B ．(1)(3)
C ．(2)(3)
D ．(2)(4)
5．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数不都是奇数的概率是( )
A ．61
B ．65
C ．21
D ． 4
1
6.在等差数列}{n a 中，首项01=a ，公差0≠d ，若7321a a a a a k ++++= ，则=
k ( )
A ．22
B ．23
C ．24
D ．25 7.实数b a ,均为正数，且2=+b a ，则b
a 21
+的最小值为( )
A.3
B.223+
C.4
D.2
2
3
+
8．为了解某校身高在m m 78.1~60.1的高一学生的情况，随机地抽查了该校200名高一学生，得到如图1所示频率直方图.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为m ，身高在m m 74.1~66.1的学生数为n ，则n m ,的值分别为( )
A.78,27.0
B.156,27.0
C.78,81.0
D.83,09.0
图1
9.若执行如图2所示的程序框图，当输入5,1==m n ，则输出p 的值为( )
(A)4- (B)1 (C)2 (D)5
10.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定
11.锐角三角形ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2B A =，则b a
的取值范
围是( )
A.
B.
C
D. 12.已知数列}{n a 满足)1(431≥=++n a a n n ，且91=a ，其前n 项之和为n
S ，则满足不
图2
等式
125
16<
--n S n 的最小整数是( )
A.5
B.6
C.7
D.8 二、填空题(本题包括4小题，每小题5分，共20分．) 13.已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()
a a
b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为_____
___
14．已知α、β为锐角，且a ＝(sin α，cos β)，b ＝(cos α，sin β)，当a ∥b 时，α＋β＝________.
15. 现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个，从中选取三个分别安装在ABC ∆的三个顶点处，则A 处安装红灯的概率为__________.
16.已知数列}{n
a 中，11=a ，前n 项和为n S ，且点
)N (n )(1++∈n n a a P ，在直线x-y+1=0上，则=++++201632121
212121S S S S
三、解答题(本题包括6小题，17小题10分，其余各题每小题12分，共70分．) 三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(本小题满分10分) 已知|a |=1，|b |=4，且向量a 与b 不共线. (1)若a 与b 的夹角为o 60，求)()-2(b a b +⋅a ； (2)若向量k a +b 与k a -b 互相垂直，求k 的值
18.(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD ，
3
2
,31,====b a ，. (1)用a ，b 表示；
(2)若4
,1==b a ，∠DAB =60°，分别求
|
|和FE AC ⋅的值.
19.设}{n
a 是公差大于0的等差数列，21=a ，10223-=a a .
(Ⅰ)求}{n
a 的通项公式；
(Ⅱ)设}{n b 是首项为1，公比为2的等比数列，求数列}{n n b a +的前n 项和n
S .
20. 如图所示，某公园要在一块绿地的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积为100002m ，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少米时占地总面积最少？
21.最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
y bx a =+(Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量。
22.已知数列}{n a 满足如下所示的程序框图， (1)写出数列}{n a 的一个递推公关系；
(2)证明：}3-{1
n n a a +是等比数列，并求}{n a 的通项公式
(3)求数列
}3{1
-n n a n
+的前n 项和Tn ．
高一数学学科试题
参考答案
BCACB ADBCA DC
13 . -3 14. 2
π 15.1/4 16.2017
2016
17.解：
18解：(1)如图所示，
.3
1
3231323132b a +-=+-=-=-=
(2) ∵,60,4,1︒=∠==DAB b a ∴.260cos =︒⋅⋅=⋅b a b a
3
3
2919494313
2222
=
+⋅-=
⎪⎭⎫
⎝⎛+-=b b a a b a . 易知b a +=+=，
∴()43163232313132313
2
22-=-+=-⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=⋅b b a a b a b a FE AC .
19.解：(1)设{an}的公比为q ，由已知得3216q =，解得2=q (Ⅱ)由(I)得，，32853==a a 则3285
3==b b ，
设}{n
b 的公差为d ，则有⎩⎨
⎧=+=+3248211d b d b ，解得⎩⎨
⎧==12
16-1d b
从而28-121)-(n 1216-n b n =+=
所以数列}{n
b 的前n 项和
n
n n S n 22-62
28)-12n (-162
=+= 20.(I)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下： 对预处理后的数据，容易算得
.
2.3,5.640260
4224294192)11()2()21()4(,2.3,02
222=-===+++⨯+⨯+-⨯-+-⨯-=
==x b y a b y x
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
,
2.3)1020(5.6)1020(257+-=+-=-∧
x a x b y
即
.
2.260)1020(5.6+-=∧
x y ①
(II)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为
2.2992.26065.62.260)1020-6201(5.6=+⨯=+(万吨)≈300(万吨).
21.
22.。