根与系数的关系
韦达定理根与系数的关系
韦达定理根与系数的关系韦达定理（Vieta's theorem）是数学中的一个重要定理，它描述了多项式根与系数之间的关系。
这个定理以法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）的名字命名，他在16世纪首次提出了这个定理。
韦达定理的表述非常简洁，它指出：对于一个n次多项式，其根的乘积等于(-1)^n乘以常数项与最高次项系数的商。
换句话说，如果一个多项式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中a_i为多项式的系数，那么它的根r_1、r_2、...、r_n满足以下关系：r_1 * r_2 * ... * r_n = (-1)^n * a_0 / a_n这个定理的证明可以通过多项式展开和对称多项式的性质来完成，但在这篇文章中，我们将重点讨论韦达定理的应用。
我们可以利用韦达定理来求解多项式的根。
对于一个已知的多项式，我们可以通过观察常数项和最高次项系数的关系，来推测根的乘积。
然后，我们可以根据多项式的次数和已知的根之间的关系，来求解其他缺失的根。
通过这种方法，我们可以快速而准确地求解多项式的根。
韦达定理还可以用于多项式的因式分解。
根据韦达定理，如果我们已知一个多项式的根r_1、r_2、...、r_n，那么我们可以将这个多项式表示为以下形式的乘积：P(x) = (x - r_1)(x - r_2)...(x - r_n)这个形式的多项式就是多项式的因式分解形式。
通过将多项式因式分解，我们可以更好地理解多项式的性质，并且更方便地进行计算和求解。
韦达定理还可以用于多项式系数的求解。
对于一个已知的多项式，如果我们已知其中n-1个根，以及一个系数，那么根据韦达定理，我们可以求解出剩下的一个系数。
这种方法在实际问题中非常有用，可以帮助我们建立和求解多项式方程。
除了以上应用之外，韦达定理还有很多其他的应用。
一元二次方程的两个根和系数的关系
一元二次方程的两个根和系数的关系
一元二次方程的两个根与方程的系数之间存在着一定的关系。
设一元二次方程为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为实数且a≠0。
方程的两个根分别记为x₁和x₂。
根据求根公式，方程的两个根可以通过以下公式计算得出：
x₁ = (-b + √(b²-4ac)) / (2a)
x₂ = (-b - √(b²-4ac)) / (2a)
从以上公式可以发现，方程的两个根与系数a、b、c之间存在着一定的关系。
具体来说：
1. 系数b的正负会影响根与根之间的大小关系。
当b>0时，根x₁<根x₂；当b<0时，根x₁>根x₂。
2. 系数c的正负会影响根的正负。
当c>0时，根为两个正数；当c<0时，根为两个负数。
3. 系数a的正负会影响抛物线的开口方向。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
总之，一元二次方程的两个根与方程的系数之间存在着密切的关系，系数的改变将会影响根与根之间的大小关系、根的正负以及抛物线的开口方向。
根与系数的关系知识点总结
根与系数的关系知识点总结
嘿，宝子们！今天咱就来唠唠根与系数的关系这个超重要的知识点！
咱先说一元二次方程，就好比ax²+bx+c=0 这样的式子。
那根与系数
有啥关系呢？哎呀呀，就像是一个神秘的纽带！比如说方程x²-5x+6=0，
它的两根是 2 和 3，你看呀，这两根之和 2+3 就等于一次项系数 -5 的相反数 5，两根之积2×3 就等于常数项 6 呢！神奇不？
再举个例子，方程2x²+3x-2=0，它的根是 -2 和 1/2，那 -2+1/2 就等于-3/2，这不正是一次项系数 3 的相反数除以二次项系数 2 嘛！然后 -
2×(1/2) 不就是 -1，正好是常数项 -2 除以二次项系数 2 呀！
咱就说，这根与系数的关系，是不是像个隐藏的宝藏，等你去发现呀！小李之前就老弄不明白这个，还觉得很难，我就跟他讲，“你看呀，这多简单呀，就像找宝藏一样，找到了就开心啦！”他一听，恍然大悟！
其实呀，理解了这个知识点，好多数学问题都能迎刃而解呢！想想看，如果题目里给了方程的系数，那我们不就能很快算出根的一些特征啦！这多厉害呀！
根与系数的关系就是这么酷，它就像一把万能钥匙，能打开好多数学难题的大门！宝子们，一定要好好掌握哦！。
根与系数的关系
根与系数的关系一元二次方程根与系数对于一元二次方程，当判别式△＝，时，其求根公式为：；若两根为，根与时，则两根的关系为：；当△≥0它的逆定理也是成立系数的这种关系又称为韦达定理；则是，时，那么的，即当的两根。
一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。
学习中，老师除了要求同学们应用还常常要求同学们熟记韦达定理解答一些变式题目外，存在的根的判别式一元二次方程三种情况，以及应用求根公式求出方程的即下面两个根进而分解因式，，。
希望就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析，能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
有两个不（1）的方程：例1已知关于没有实）2相等的实数根，且关于的方程（1数根，问取什么整数时，方程（）有整数解？的取12），（）条件的分析：在同时满足方程（的整数值。
值范围中筛选符合条件的2．解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，∴解得；）没有实数2 ∵方程（∴根，于是，；解得的取值范围是）条件的1同时满足方程（），（2或其中，的整数值有，无整数时，方程（当1）为根；，有整数1当）为时，方程（根。
解得：的整数）有整数根的所以，使方程（1 值是。
熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此说明：的取值范围，并依靠熟练的解不题的基础，正确确定，等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出这也正是解答本题的基本技巧。
3二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程两根的符号。
来说，往往二次项系数，分析：对于一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式若判定根的正负，△，但△只能用于判定根的存在与否，的正负情况。
因此解答此题的关或则需要确定键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。
＞，∴△＝—4×解：∵657)(—＝2×∴方程有两个不相等的实数根。
0 ∵，设方程的两个根为＜∴原方程有两个异号的实数根。
根与系数的关系与应用
应用场景：利用根与 系数的关系，可以解 决多种方程组问题， 特别是当方程组中存 在二次方程时。
解决步骤：首先找到 二次方程的根，然后 利用韦达定理确定其 他方程的系数，从而 解出整个方程组。
优势与它不适用于所有类 型的方程组问题。
根与系数在不等式中的应用
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根的判别式
定义：根的判别式是用来判断一元二次方程实数根的个数和类型的公式。 公式：根的判别式Δ=b²-4ac。 应用：通过根的判别式可以判断一元二次方程的根的情况，进而解决实际问题。 重要性：根的判别式是数学中一元二次方程求解的重要工具，也是解决实际问题的基础。
根与系数在代数中的应用
根与系数在三 角函数中可以 用来求解三角 函数的值
根与系数在三 角函数中可以 用来判断三角 函数的单调性
根与系数在三 角函数中可以 用来研究三角 函数的周期性 和对称性
根与系数在三 角函数中可以 用来解决一些 实际问题
0
0
0
0
1
2
3
4
根与系数在实际问题中的应用
根与系数在经济问题中的应用
根与系数在金融领域的应用： 用于评估金融产品的风险和回 报，例如股票、债券等。
添加标题
根与系数的扩展应用
根与系数的复数应用
扩展定义：根与系数的关系可以扩展到复数领域 应用场景：解决复数方程的根的问题 计算方法：利用根与系数的关系，通过代数运算求出复数方程的根 实例分析：通过具体实例展示复数应用中根与系数的关系及其求解过程
根与系数的矩阵应用
定义：根与系 数的关系在矩 阵中的表现
理解遗传规律。
生态学中的应用： 根与系数可以用于 描述种群数量变化 的关系，预测种群
二元一次方程组根与系数的关系
二元一次方程组根与系数的关系
二元一次方程组的一般形式为：
ax + by = c
dx + ey = f
其中，a、b、c、d、e、f为已知系数，x、y为未知数。
二元一次方程组的求解过程中，根与系数之间有以下关系：
1. 若方程组有唯一解，则系数a、b、c、d、e、f的取值与方程组的解有关。
具体关系公式为：
x = (ce - bf) / (ae - bd)
y = (cd - af) / (ae - bd)
2. 若方程组无解，则系数a、b、c、d、e、f的取值与方程组的解无关。
此时，方程组中的两个方程之间存在线性相关性。
3. 若方程组有无穷多解，则系数a、b、c、d、e、f的取值与方程组的解有关，但无法用简单的公式表示。
此时，方程组中的两个方程之间不存在线性相关性，但它们表示的直线重合或平行。
需要注意的是，以上关系只适用于二元一次方程组，不适用于其他类型的方程组。
在具体求解过程中，可以根据方程组的特点选择合适的方法，如代入法、消元法、Cramer法等。
根与系数的关系韦达定理
根与系数的关系——韦达定理吴翼腾基本概念1.根与系数的关系称为韦达定理（在此研究一元二次方程根与系数的关系）。
2.韦达定理内容：方程02=++c bx ax 的根是ab x a b x 2,221∆--=∆+-=， ⇒ac x x a b x x =⋅-=+2121,。
应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即必须满足判别式0≥∆。
韦达定理的应用（一）检验一元二次方程的解 例如：12,1221-=+=x x 是否是01222=+-x x 的解？（二）已知方程的一个根，求另一个根及待定系数的值1.已知方程0322=++mx x 的一个根为21，求另一个根及m 的值。
2.利用根与系数的关系解方程：422233+=+x x（三）不解方程，求根的代数式的值规律总结：对称式因式分解，求绝对值平方加讨论，整式非对称式降次，分式非对称式转化为对称式求解，求最值用判别式，在配方点和端点上。
例题一1.设方程03742=--x x 的两根为,,21x x 不解方程，求下列代数式的值：（1）)3)(3(21--x x （2）3231x x + （3）112112+++x x x x （4）21x x -2.已知m 为实数，方程022=++m x x 有两个实根,,21x x 求||||21x x +的值。
3.设21,x x 是二次方程032=-+x x 的根，求1942231+-x x 的值。
4.已知βα,是方程0872=+-x x 的两个根，且,βα>不解方程，利用根与系数的关系求232βα+的值。
5.对自然数n ，设x 为二次方程0)12(22=+++n x n x 的两根为,,n n βα求：)1)(1(1)1)(1(1)1)(1(120204433+++++++++βαβαβα 的值。
6.设21,x x 为方程0)53()2(22=+++--k k x k x 的两个实数根，求2221x x +的最大值和最小值。
方程的根与系数之间的关系
方程的根与系数之间的关系1. 引言方程的根与系数之间存在着一定的关系，通过研究这种关系，可以帮助我们更好地理解和解决各类方程。
在本文中，我们将深入探讨方程的根与系数之间的关系，并通过具体的例子和推导，解释其中的数学原理。
2. 一元二次方程的根与系数之间的关系一元二次方程是形如ax2+bx+c=0的方程，其中a、b和c是方程的系数，x是方程的未知数。
我们来讨论一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.1 根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0的根可以通过判别式D=b2−4ac来确定。
根据判别式的值，我们可以得到以下结论： - 当D>0时，方程有两个不相等的实根； - 当D=0时，方程有两个相等的实根； - 当D<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
2.2 根与系数之间的关系一元二次方程的根与系数之间存在着以下关系： 1. 根与系数之间的和：设方程的。
2. 根与系数之间的乘积：设方程的两个根分别为x1和x2，则x1+x2=−ba。
两个根分别为x1和x2，则x1⋅x2=ca由以上关系可以看出，当我们知道方程的系数时，就可以通过这些关系推导出方程的根的和与积，从而进一步研究方程的性质和解法。
3. 三元一次方程的根与系数之间的关系三元一次方程是形如ax+by+cz=d的方程，其中a、b、c和d是方程的系数，x、y和z是方程的未知数。
接下来，我们探讨三元一次方程的根与系数之间的关系。
3.1 方程的解三元一次方程的解是以有序数组的形式表示的，例如(x0,y0,z0)。
解的存在唯一性要求方程的系数满足一定的条件，即系数的行列式不为零。
具体而言，当abc−ac2−b2d=0时，方程无解；当abc−ac2−b2d≠0时，方程有唯一解。
3.2 根与系数之间的关系三元一次方程的根与系数之间的关系可以通过高斯-若尔当消元法进行求解。
解方程组的过程中，我们可以得到以下结论： 1. 根与系数之间的关系是复杂的，且很难直接表达； 2. 方程的解与系数的变化密切相关，系数的微小变化可能导致解的大幅度变化； 3. 方程的解可以通过变量的代换和消元的方法求得，求解过程中可以使用线性代数的相关理论和方法。
根与系数的关系
根与系数的关系内容提要：1、根系关系（韦达定理）2、不解方程直接确定两根的和与积3、根系关系与关于两根的对称式4、由两根关系考察待定系数5、韦达定理逆定理及其应用问题：一元二次方程的求根公式是什么？问题：利用求根公式计算21x x +和21x x ∙的值一、根系关系（韦达定理）韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a+=-= 说明：（1）先化为一般形式（2）定理成立的条件0∆≥即方程先要有根（3）注意公式重12b x x a+=-的负号与b 的符号的区别 简化形式：如果02=++c px x 的两根为2,1x x ，那么p x x -=+21，q x x =∙21，对于二次项系数为 1 的一元二次方程，两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项。
二、不解方程直接确定两根的和与积例1若2,1x x ，是一元二次方程x x 322=+的两根，则21x x +的值是（ ）A.-2B.2C.3D.1例2若2,1x x ，是一元二次方程322=-x x 的两根，则21x x ∙的值是（ ）A.-2B.2C.-3D.1例3 两个不等的实数m 、n 满足462=-m m ，462=-n n 则mn 的值为（ ）A.6B.-6C.4D.-4例 4 a,b 是方程x x 342-=-的两根，),(b a P 是函数xk y =的图像上一点，则k 的值是（ ）A.-4B.4C.-3D.3三、根系关系与关于两根的对称式例5设2,1x x 是方程0332=-+x x 的两个实数根，则2112x x x x +的值为（ ）A. 0B.1C.-1D.-5222121212()2x x x x x x +=+-， 2212121212()x x x x x x x x +=+22121212()()4x x x x x x -=+-12121211x x x x x x ++= 2121212||()4x x x x x x -=+-， 2121212x x x x x x ++=+212122121222121122)(x x x x x x x x x x x x x x -+=+=+， 2212121)())((m x x m x x m x m x +++=++ 例 6 关于x 的方程0)32(22=+++m x m x 有两个相等的实数根α，β，若111-=+βα则m 的值为（ ） A. 3 B.1 C.-1或3 D.-3或1例 7 关于x 的方程02)6(2=++-a ax x a 有两个相等的实数根α，β，若)1)(1(++βα为负整数，则符合条件的整数a 有（ ）个A. 1B.2C. 3D.4四、由两根关系考察待定系数例 8 已知关于x 的方程02=++n mx x 的一根是另一根的2倍，那么m ，n 之间的关系是（ ）A.n m =22B.n m 922=C.n m 92=D.0=+n m例9 已知关于x 的方程012=+++k kx x 的两根2,1x x 满足k x x =+212则k 的值为（ ）A. 5B.-0.5C. 5或-0.5D.1五、韦达定理逆定理及其应用问题：已知一元二次方程如何求根？问题：已知一元二次方程的根如何构造方程？ 以两个数为根的一元二次方程是例 若一个一元二次方程的两根分别是Rt ABC ∆的两条直角边长，且3=∆ABC S 请写出一个符合题意的一元二次方程。
根与系数关系及根的判别式
一元二次方程根的判别式、根与系数的关系一、根的判别式21.4022.02043.,22ac b b ac b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪-±--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为。
时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为二、根与系数的关系（韦达定理）：如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是,,21x x 则acx x a b x x =⋅-=+2121, 以x 1和x 2为根的一元二次方程为:x 2－( x 1+x 2)x ＋ x 1x 2＝0一、选择题1. 若关于x 的方程x 2+2(k -1)x +k 2=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A. 12k <B. 12k ≤C. 12k >D. k ≥122.若t 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式24b ac =-和完全平方式2(2)M at b =+的关系（ ）A. M =B.M >C.M <D.大小关系不能确定3．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A.a ≤1B. a<1C. a ≤-1D. a ≥14.下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ） A.012=+xB.0122=++x xC.0322=++x xD.0322=-+x x5.若1x 、2x 是一元二次方程0572=+-x x的两根，则2111x x +的值是（ ） A.57 B.57- C.75 D.75- 6.已知x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两个实数根，则1x 1＋1x 2的值是()A 、3B 、－3C 、13D 、17. 不解方程，判别方程5-7x+5=0的根的情况是（ ）.8.已知方程x 2+(2k+1)x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ） A ．－3或1B ．－3C ．1D ．39.满足“两实数根之和等于3”的一个方程是（ ）A.0232=--x xB.02322=--x xC.0232=-+x xD.02322=-+x x 10.一元二次方程0322=--x x 的根为（ ）A 、3,121==x xB 、3,121=-=x xC 、3,121-=-=x xD 、3,121-==x x 11.下列方程中，没有实数根的是（ ）A ．012=++x xB ．0122=++x xC ．0122=--x xD ．022=--x x 12.两个不相等的实数m ，n 满足m 2-6m=4，n 2-6n=4，则mn 的值为( ) A.6 B.-6 C.4 D.-413.关于x 的一元二次方程2x 2x 40－－＝的两根为12x x 、，那么代数式1211x x ＋的值为( ) A12 B 12－ C 2 D －2 14.方程x 2－5x －1=0 ( )A 、有两个相等实根B 、有两个不等实根C 、没有实根D 、无法确定 15.两个不相等的实数m ，n 满足462=-m m ，462=-n n ，则mn 的值为( )A.6B.－6C.4D.－416.已知：a ＋b ＝m ，ab ＝－4, 化简（a －2）（b －2）的结果是( ) A. 6 B. 2 m －8 C. 2 m D. －2 m17.方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，那么方程x 2+a x+b=0( )A ．有两个不相等实数根B ．有两个相等实数根C ．没有实数根D ．有两个根为2和3 18.一元二次方程0132=-+x x 的根的情况为（ ） A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根二、填空题1.等腰△ABC 中，BC ＝8，AB 、AC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根，则m 的值是 。
根与系数的关系
根与系数的关系字数与根与系数的关系作为一种表示数值大小的符号，常用字数的字体是我们在日常交流中不可或缺的一部分。
字数的大小与根与系数之间有着密切的关系，下面就让我们一起来探讨一下字数与根与系数之间的关系。
首先，让我们来了解一下什么是根与系数。
在数学中，根是指数学方程中一个数（或一个表达式）的某个代数基数。
而系数则是指数学中与未知数相乘（或相除）的数。
在这里，我们将重点讨论一次根与一次系数。
一次根是指数值的平方根，常表示为√x。
根据定义，一次根的系数是根的前面的数，即系数a。
如公式a√x，其中a是一次根的系数。
那么字数与一次根的系数之间有什么关系呢？字数是用来表示文章、句子或词语的长度的一个概念。
而一次根的系数则是用来表示根的大小的一个数。
从字数的角度来看，字数越多表示文章或词语越长；从根与系数的角度来看，根的系数越大表示根的大小越大。
因此，可以得出结论，字数与根与系数之间存在数值大小的关系。
具体来说，当字数增加时，根的系数也会相应地增加。
这是由于，字数的增加表明文章或词语的长度变长，需要更多的根来表达完整的意思。
而根的系数的增加表明根的大小变大，需要更大的系数来表示。
因此，字数与根与系数之间是呈正相关的关系。
另一方面，当字数减少时，根的系数也会相应地减少。
由于字数的减少意味着文章或词语变短，需要更少的根来表达。
而根的系数的减少则表示根的大小变小，需要更小的系数来表示。
因此，字数与根与系数之间也是呈负相关的关系。
综上所述，字数与根与系数之间存在着明显的数值大小关系。
字数越多，根的系数越大；字数越少，根的系数越小。
这是由于字数和根与系数分别代表了文章长度和根的大小的概念。
通过了解字数与根与系数之间的关系，我们可以更好地理解数值的相对大小，并在日常交流和数学学习中更加准确地使用字数、根与系数的概念。
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判别式与根与系数的关系
内容分析
1.一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，
当△＜0时，方程没有实数根．
2.一元二次方程的根与系数的关系
(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a
b x x -=+2
1，a c x x =21 (2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=q
x 1x 2=q
〖考查重点与常见题型〗
1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（ ）
（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定
2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）
（A）15 （B）12 （C）6 （D）3
3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。
在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。
考查题型
1．关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）
（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定
2．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）（A）15 （B）12 （C）6 （D）3
3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）
（A） 2y2+5=6y（B）x2+5=2 5 x（C） 3 x2－ 2 x+2=0（D）3x2－2 6 x+1=0
4．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）
（A）y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 （D）y2－5y－6=0
5．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1，
那么x 1·x 2等于（ ）（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1
6．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根，那么k ＝
7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是
8．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝
9．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝
考点训练：
1、不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2－x+2=0
2、当m= 时，方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根； 当m= 时，方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；
3、已知关于x 的方程10x 2
－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－35 ，则m= ，这时方程的两个根为 .
4、求证：方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。
5、设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
(1) (x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1x 2
（3）x 12+ x 1x 2+2 x 1
解题指导
1、如果x 2－2(m+1)x+m 2
+5是一个完全平方式，则m= ;
2、方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根，则最小的整数m= ;
3、已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等，则m= ;
4、设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n ，且3m+2n=20，则k 值为 ;
5、设方程4x 2－7x+3=0的两根为x 1,x 2，不解方程，求下列各式的值:
(1) x 12+x 22 (2)x 1－x 2 （3）ｘ1 ＋ｘ2 （4）x 1x 22＋12
x 1 6.实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式ｓｔ＋4ｓ＋1ｔ 的值。
7.已知a 是实数，且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x 2
+2ax+1－12 (a 2x 2－a 2－1)=0有无实根？
8. 实数K 在什么范围取值时，方程ｋｘ2
＋2（ｋ－1）ｘ－（K －1）＝0有实数正根？
独立训练
1、已知方程x 2－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β= , αβ= ;
2、如果关于x 的方程x 2－4x+m=0与x 2－x －2m=0有一个根相同，则m 的值为 ;
3、已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212
，则k= ; 4、若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;
5、方程4x 2－2(a-b)x －ab=0的根的判别式的值是 ;
6、若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;
7、已知p<0,q<0，则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;
8、设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 2 10．m 取什么值时，方程2x 2－(4m+1)x+2m 2－1=0
（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；11．设方程x2+px+q=0两根之比为1:2，根的判别式Δ=1，求p,q的值。