二维连续型随机变量
3.3二维连续型随机变量
② P{(,) B} p(x, y)dxdy B
p(x, y)dxdy x y3
1
3 x
dx
1
(6
x
y)dy
5
.
0 28
24
(5) 若 p(x, y) 在 (x, y) 点连续，则 2F(x, y) p(x, y) . xy
例3、 设 ( ,) 的分布函数
F (x, y) A(B arctan x)(C arctan y) ， x, y R
1, 2 0 , 1 1,
称
(
,)
服从参数为
1 ,
2
,
2 1
,
2 2
,
的二维正态分布，记为：
(
,)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
二维正态分布的密度
函数如图所示
信息系刘康泽
若
(
,)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
,则
p (x)
1
e
x 1 212
2
，
2 1
p ( y)
1
e
y2
2
2 2
2
2 2
这说明二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分
布。即：若
( ,)
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
，则：
~
N
(1,
2 1
)
，
~
N
(2
,
2 2
)
12 二维连续型随机变量,边缘分布
fY ( y )
f ( x , y )dx
0 y1 1 24 y( 2 x )dx y fY ( y ) 5 0 其它 24 3 y2 y( 2 y ) 0 y 1 5 2 2 0 其它
例5 设随机变量 X 和 Y 具有联合概率密度 2 6 , x y x, f ( x, y) 0, 其他.
1
k 1 kx kx 2 1 0 dx0 kxydy 0 [ 2 y ] 0 dx 0 2 dx 4 1
k 4.
7
( 2) P{ X Y }
1 dx 4 xydy 0 0 2
1
x
y x
(3) P{ X Y 1}
dx
0
1
1 x 0
9
二、边缘分布函数
问题 : 已知( X ,Y )的分布, 如何确定X ,Y 的分布?
F ( x , y ) P{ X x ,Y y } , F ( x ) P{ X x },
P { X x } P { X x ,Y } F ( x , ) FX ( x )
X
Y
0 1
0
16 49 12 49
1
12 49 9 49
解
X Y
0
1
12 42 6 42
pi
012 42 12 142 4 p j 7
3 7
4 7 3 7
1
注意 联合分布 边缘分布
练习 将一枚均匀硬币掷三次 ，设 X 为三次中正 面出现的次数，而Y 为正面次数与反面次数 差的 绝对值, 求( X , Y )的联合概率分布及边缘 分布律。 解： 由已知， ( X , Y )所有可能取值有
二维连续型随机变量及其概率密度
2 F (x, y) f (x, y) xy
5
这表示若 f (x, y) 在点 (x, y) 连续，则当 x, y 很小时,
P{x X x x, y Y y y} f (x, y)xy
即 (X ,Y)落在小长方形 (x, x x](y, y y] 内的概率近似 地等于 f (x, y)xy
我们指出，如果随机变量 X、Y相互独立，则任一 变量的条件概率密度等于其边缘概率密度.事实上，
这时我们有
fX
Y (x
y)
f (x, y) fY ( y)
fX (x) fY ( y) fY ( y)
fX (x)
fY
X (y
x)
f (x, y) fX (x)
fX (x) fY ( y) fX (x)
1
S
D
,
(x, y) D ,
0,
其它
其中SD 为区域 D 的面积，则称 (X,Y) 服从 D
区域上的均匀分布．特别地，设 (X,Y) 在以圆
点为中心、r 为半径的圆域 R 上服从均匀分
布，求二维联合概率密度.
解：
8
例2 设二维随机变量 (X ,Y) 具有概率密度
2e(2x y) , x 0, y 0
其它
0
问随机变量和是否相互独立的？
解：
34
例11 二维正态随机变量 (X,Y)的概率密度为
f (x, y)
1
1
(
x
1
)2
2
(x 1)(y2 ) ( y
2 )2
e 2(1
2
)
12
1 2Leabharlann 2 2,2 1 2 1 2
( x, y )
概率论与数理统计313 二维连续型随机变量及其联合概率密度
数f(x)的性质
概率密度函数f(x, y)的性质
(4) 在f(x)的连续点处有： f (x) F'(x)
(4)若f (x, y)在(x, y)连续,
则有 2F(x, y) f (x, y). xy
用来求概率密度f(x)的方法
用来求概率密度 f(x,y)的方法
例2 设随机变量(X ,Y )的联合分布函数为
解: 由规范性
f (x, y)dxdy 1
Ae(2x y)dxdy 1 A 2 00
二、联合概率密度函数的性质:
(3)设D是xOy平面上的任意一个平面区域,点(X ,Y ) 落在D内的概率为
P{(X ,Y) D} f (x, y) d x d y.
D
z
z f (x, y)
求：(1)常数A；(2) F ( x, y ) ；(3) P{Y X};
(4) P{1 X 1,1 Y 1}.
解: P{1 X 1,1 Y 1}.
f (x, y) d x d y
D
1 2e 1 (2x y) d y d x 01 01
1
2 e1 2x dx 1ey)(1 e1).
y
1
O
D 1
x
1
(x,y)
求(X ,Y )的联合密度函数.
例3 设
Ae(2x y) , x 0, y 0
(X ,Y ) ~ f (x, y)
0, 其它
求：(1)常数A；(2) F ( x, y ) ；(3) P{Y X};
(4) P{1 X 1,1 Y 1}.
解:
(1)由规范性
f (x, y)dxdy 1
y
o
D x
(3) 对于任意平面区域D R2,
3-3 二维连续型随机变量
F (,y) 0 F ( x, ) 0 2）非负性： f ( x) 0 ． F (， ) 0 F (， ) 1 2）单调性 F ( x,y) 是单调不减函数 3）右连续性 F ( x 0,y) F ( x,y) ， 3）规范性： f ( x)dx 1． F ( x,y 0) F ( x,y) ． 4）任意实数 a , b ，且 a b ，有 4）对任意的 x1 x 2 , y1 y 2
x
C 1
（2）P X 2
e y , x 0, y x, f x, y 其他. 0,
x2
2
f ( x , y )dxdy dx
x
e dy
y
2
e x dx e 2．
（3）f X ( x )
x 3dy, 0 x 1 2 2 3( x x ), 0 x 1 f ( x, y )dy x 0, 其它 0, 其它
fY ( y )
y 3dx, 0 y 1 y 2 3( y y 2 ), 0 y 1 f ( x, y )dx 0, 其它 其它 0,
( 3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域 , 点 ( X ,Y ) 落在 G 内的概率为
P {( X ,Y ) G } f ( x , y ) d x d y .
2F ( x, y) (4) 若 f ( x , y ) 在 ( x , y ) 连续, 则有 f ( x, y) . xy
P X , Y D
D
1 SD f x, y dxdy dxdy SG D SG
二维连续型随机变量ok
3 / 4 [ 0
1
x
3 xdy ]dx
y=x
=37/64
0
3/4 1
注意积分限
例4 设(X,Y)的概率密度是
3 y ( 2 x ), f ( x, y) 0 , 0 x 1, 0 y x 其它
1/2 1
解: (2) P ( X )
2
1
0
其中 D={(x,y),x2+y2≤1},求X,Y的边缘密度函数f1(x)和f2(y).
解 (1)由题意得:
f1 ( x )
x y 1
2 2
y
1 x
2
f ( x , y ) dy
其它
Y
当|x|>1时,f(x,y)=0,所以,f1(x)=0 当|x|≤1时,
f1 ( x ) [
1/2
1 4
,Y
1 2
)
0
1/4
[ 3 xdy ]dx
0
x
=1/16
y=x
1/4 1
P(X Y ) 0
是平面上一条直线
0
x
下面我们介绍两个常见的二维分布： 设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二 维随机变量（ X,Y）具有概率密度
1 , ( x, y) G f ( x, y) A 0, 其它
F ( x , y ) y d dy FY ( y )
亦即 F X |Y ( x | y )
x
f ( u , y ) du fY ( y) ， 或写成 F X |Y ( x | y )
1
3 y
) 0
(1 e
2.3 概率论——二维连续型随机变量及其分布
并求 P{(X ,Y ) D1} (D1 D)
y
解 由性质(2)
f
(
x,
y)dxdy
D1 D
f ( x, y)dxdy
D
0
x
dxdy SD 1
D
1
SD
(SD 为区域D的面积)
P{(x, y) D1} f ( x, y)dxdy D1
1 SD
dxdy
D1
S D1 SD
密度函数，或( X ,Y )的密度函数，简记为( X ,Y ) ~ f ( x, y)。
密度函数的性质： (1) f ( x, y) 0, ( x, y) R2
(2)
f
(
x,
y)dxdy
1
若( X ,Y )为连续型，则X ,Y均为连续型随机变量。
可以证明，对任意平面区域D,
P{( X ,Y ) D} f ( x, y)dxdy
(
x,
y)
Axe2
y
0
0 x 1, y 0 其它
求：(1)A；(2)P{ X Y 1}；(3)( X ,Y )的联合分布函数。
y解(1)来自f( x,y)dxdy
f
( x,
y)dxdy
D
Axe2 ydxdy 0 dy01 Axe2 ydx
D
0
A 2
e2 ydy
A 4
1
D x y1 D1
(
x,
y)
x2 y2 1
1
0 其它
0 D 1x 1
例2 设随机向量( X ,Y ) ~ f ( x, y)
f (x,
y)
Axy 2
0 x 1,0 y 1
3 二维连续型随机变量及其概率密度
(4)若 f ( x, y) 在点 ( x, y ) 连续，则有
2 F ( x, y) f ( x, y) xy
4
由性质（4）和（1.1），如图3-3，在 的连续点处有
P{x X x x, y Y y y} lim x 0 xy
y 0
6
例 1
若二维随机变量
( X , Y )具有概率密度
( x, y ) D 1 , , f ( x, y ) S D 0, 其它 其中S D 为区域 D 的面积，则称 ( X , Y ) 服从 D
区域上的均匀分布．特别地，设 ( X , Y ) 在以圆 点为中心、r 为半径的圆域 R 上服从均匀分 布，求二维联合概率密度.
其中 exp{ f ( x)} e f ( x) ，其中 , , , , 都是常数， 且 0, 0,1 1 .我们称 ( X ,Y ) 为服从参数 为 , , , , 的二维正态分布（这五个参数的意 2 2 ( X , Y ) N ( , , , 1 2 1 2 , ). 义将在下一章说明），记为 试求二维正态随机变量的边缘概率密度.
P{ X xi Y y j } P ( X xi , Y y j ) P(Y y j ) pij p j
，i 1, 2,
22
这就启发我们，对于二维连续型分布，规定在条 件{Y y} 下 X 的条件分布为如下连续型分布： 定义 设二维连续型随机变量 ( X ,Y )的概率密度 为 f ( x, y), ( X ,Y ) 关于 Y 的边缘密度为 f Y ( y).若对 f ( x, y ) y f ( y ) 0 于固定的 ，Y 则称 f ( y ) 为在Y y 的条件 下 X 的条件概率密度， f ( x, y) 记为 f X Y ( x y) (3.5) fY ( y ) x x f ( x, y ) 称
二维连续型随机变量公式
二维连续型随机变量公式
二维连续型随机变量（或称二维随机向量）是指有两个连续变量
的随机变量。
其概率密度函数（PDF）可以表示为f(x, y)，其中x和
y是二维随机变量的取值。
对于二维连续型随机变量，我们可以使用多种方法来表达其概率。
以下是几种常见的表示方法：
1.边缘概率密度函数：边缘概率密度函数是指将二维随机变量的
概率分布转化为一个单独维度的概率分布。
例如，边缘概率密度函数
fX(x)表示X的概率分布，边缘概率密度函数fY(y)表示Y的概率分布。
边缘概率密度函数可以通过对二维概率密度函数在另一个变量的所有
取值上积分得到。
2.条件概率密度函数：条件概率密度函数是指在已知一个变量的
条件下，另一个变量的概率分布。
例如，给定Y=y的条件下，随机变
量X的条件概率密度函数为fX|Y(x|y)。
条件概率密度函数可以通过对二维概率密度函数进行归一化得到。
3.相关系数和协方差：相关系数和协方差用于衡量两个随机变量之间的线性相关性。
相关系数ρ可以通过计算协方差cov(X, Y)以及X和Y的标准差σX和σY来得到。
如果ρ接近于1，表示两个随机变量具有正相关关系；如果ρ接近于-1，表示两个随机变量具有负相关关系；如果ρ接近于0，表示两个随机变量没有线性相关关系。
此外，还有一些其他与二维连续型随机变量相关的概念和方法，如联合分布函数、矩阵、边际分布、条件分布等。
这些方法可以用于描述和分析二维随机变量的统计特征、相关性以及它们与其他变量之间的关系。
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算
二维连续型随机变量分布函数及概率的计算随机变量是概率论中的重要概念，它描述了随机现象的结果。
而在实际问题中，往往会涉及到多个随机变量的联合分布问题，这时就需要引入多维随机变量的概念。
在本文中，我们将重点讨论二维连续型随机变量的分布函数及概率的计算方法。
一、二维连续型随机变量的概念我们来了解一下二维连续型随机变量的概念。
二维连续型随机变量可以用一个二元组(X, Y)来表示，其中X和Y都是连续型随机变量。
其分布函数可以表示为F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)，而密度函数则可以表示为f(x, y) = ∂^2F(x, y)/∂x∂y。
需要注意的是，对于二维连续型随机变量来说，概率密度函数并不是概率，而是通过其在某个区域上的积分来得到概率。
对于二维连续型随机变量的分布函数，我们可以按照以下步骤进行计算：1. 确定联合密度函数f(x, y)。
2. 然后，计算边际密度函数f1(x)和f2(y)，其中f1(x) = ∫f(x, y)dy，f2(y) =∫f(x, y)dx。
3. 根据边际密度函数，计算联合分布函数F(x, y)，其中F(x, y) = ∫∫f(u,v)dudv。
举个例子来说明，假设有一个二维连续型随机变量(X, Y)，其联合密度函数为f(x, y) = 2xy，且定义域为0<x<1，0<y<1。
那么我们可以按照上述步骤计算其分布函数：通过以上步骤计算得到了二维连续型随机变量的分布函数F(x, y) = x^2y。
这样，我们就可以用这个分布函数来计算各种概率。
在实际问题中，我们经常需要计算二维连续型随机变量在一个特定区域内的概率。
而对于二维连续型随机变量来说，其概率可以由其在特定区域上的积分来表示。
具体来说，如果我们需要计算二维连续型随机变量(X, Y)在区域D上的概率，可以通过以下步骤进行计算：1. 确定区域D的范围，并利用联合密度函数f(x, y)计算在该区域上的积分∫∫f(x, y)dxdy。
二维连续型随机变量的几何意义
二维连续型随机变量的几何意义摘要：一、二维连续型随机变量的基本概念二、二维连续型随机变量的几何意义1.联合分布函数2.边缘分布函数3.条件分布函数三、二维连续型随机变量的应用正文：一、二维连续型随机变量的基本概念二维连续型随机变量是指在二维空间中的随机变量，它的取值范围是连续的。
它由两个相互独立的连续型随机变量组成，通常表示为(X，Y)。
在概率论和统计学中，二维连续型随机变量有着广泛的应用。
二、二维连续型随机变量的几何意义1.联合分布函数联合分布函数（Joint Distribution Function）是描述二维连续型随机变量的一种重要方式。
它表示的是两个随机变量同时小于等于某个值的概率。
比如，F(x, y)表示二维连续型随机变量(X，Y)的分布函数，那么F(x，y) =P(X≤x，Y≤y)。
2.边缘分布函数边缘分布函数（Marginal Distribution Function）是指在一个随机变量上进行的累积分布函数。
对于二维连续型随机变量(X，Y)，我们可以得到两个边缘分布函数：Fx(x) = P(X≤x) 和Fy(y) = P(Y≤y)。
3.条件分布函数条件分布函数（Conditional Distribution Function）是在已知一个随机变量的取值的情况下，另一个随机变量的分布函数。
对于二维连续型随机变量(X，Y)，我们可以得到条件分布函数：FX|Y(x|y) = P(X≤x|Y≤y)。
三、二维连续型随机变量的应用二维连续型随机变量在实际应用中广泛存在，比如在金融领域的风险管理、天气预报、生物医学等领域。
通过研究二维连续型随机变量的分布规律，我们可以更好地理解和预测现实世界中的现象。
总结，二维连续型随机变量是概率论和统计学中的重要概念，它的几何意义有助于我们理解和分析现实世界中的复杂现象。
高等数学3.3 随机变量及其函数分布
注 (1) 以上结论必须在 X 与 Y 相互独立的前提下 才能成立, 否则无此结论 . (2) 结论可推广到 n 个相互独立随机变量的情况 .
即设 X 1 , X 2 , … , X n 是 n 个相互独立的
随机变量, 它们的分布函数分别为
FXi ( xi ) (i = 1, 2, , n ) , 则
X Z= 的分布函数为 Y
FZ ( z ) = P Z z =
=
从而有
x z y
f ( x, y ) dxdy
0
0
zy
f ( x, y ) dxdy +
zy
f ( x, y ) dxdy .
fZ (z) =
0
y f ( zy, y )dy +
0
( y ) f ( zy, y )dy
于是
FZ ( z ) =
z
f ( u y, y ) dudy
= f (u y, y )dy du , z
故 Z 的密度函数为
fZ (z) =
f ( z y, y )dy ,
由 X 与Y 的对称性知, f Z ( z )又可写成
z
z =1/y
0 zy 1 , 0 y 1 . 如图所示
1
O
1
y
于是有
(1) 0 z 1 时 , (2) z 1 时 ,
于是得
1 f Z ( z ) = ydy = ; 0 2 1 1 z f Z ( z ) = ydy = 2 . 0 2z
3-3二维连续型随机变量及其分布
1 1 x2 y 2 2 8
1 y [ x2 ] 2 2
2
，
1 故进而 1 1, 2 2 ，所以 ( X , Y ) ~ N (0,0,1, 4,0) ，且 k ． 4 •10
1．二维均匀分布 定义 3.2 设平面有界区域 D 的面积为 A ，如果二维随机变量
1 , ( x, y ) D, ( X , Y ) 的密度函数为 f ( x, y ) A 0, ( x, y ) D, 就称 ( X , Y ) 服从区域 D 上（内） 的 均匀分布， 记为 ( X , Y ) ~ U ( D) ．
【1】 ( X , Y ) 落入某平面区域 G 内（上）的概率为
G D的面积 P{( X , Y ) G} P{( X , Y ) G D} 。 A 【 2】 ( X , Y ) ~ U ( D) ， 区域 G 为 D 的任意子区域， 则 P{( X , Y ) G} 1 与 G 的面积成正比， 比例系数为 ， 而与 G 的位置和形状无关． A
f ( x, y)
1 2 1 2 1 2
e
x , y ，
其中 1 , 2 , 1 , 2 , 均为常数，且满足:
(3.1)
1 , 2 , 1 0, 2 0 ， 1 1 ，
f ( x, y)dxdy ．
D
【注】概率 P{( X , Y ) D}的数值等于以 D 为底，曲面 z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体的体积．
结论 3.2
如果 L 为平面上任一曲线，则 P{( X , Y ) L} 0 ．
ke x , 0 y x, 例 3.1 设 ( X , Y ) 的密度函数为 f ( x, y ) ⑴ 求常数 其它. 0,
二维连续型随机变量的几何意义
二维连续型随机变量的几何意义二维连续型随机变量是指在一个平面上取值的随机变量，它的几何意义可以通过概率密度函数来描述。
概率密度函数（Probability Density Function，简称PDF）是用来描述随机变量取值的概率分布的函数。
对于二维连续型随机变量，其概率密度函数是一个二维函数。
假设有一个二维连续型随机变量(X, Y)，我们可以通过概率密度函数f(x, y)来描述其几何意义。
概率密度函数f(x, y)表示在某个区域上随机变量(X, Y)取值的概率密度，即单位面积上随机变量(X, Y)取值的概率。
在几何上，我们可以将概率密度函数f(x, y)表示为一个曲面。
这个曲面的高度表示概率密度，即在这个点上随机变量(X, Y)取值的概率密度大小。
曲面的轮廓线表示概率密度相等的点，即在这些点上随机变量(X, Y)取值的概率密度相等。
通过观察概率密度函数的图像，我们可以获得二维连续型随机变量的几何意义。
具体包括以下几个方面：1. 概率密度最大值所在的点表示随机变量(X, Y)取值最可能出现的点。
这个点的概率密度最大，意味着在这个点上随机变量(X, Y)取值的概率最高。
2. 概率密度较高的区域表示随机变量(X, Y)取值的一些可能范围。
在这些区域内，随机变量(X, Y)取值的概率较高。
3. 不同概率密度的轮廓线表示随机变量(X, Y)取值的不同概率水平。
一般来说，概率密度越大的轮廓线表示随机变量(X, Y)取值的概率越高。
4. 概率密度函数的图像还可以提供一些关于随机变量(X, Y)取值的其他信息，比如随机变量(X, Y)的均值、方差等。
根据概率密度函数的图像，我们可以对随机变量(X, Y)的取值范围、取值的平均程度等有一定的了解。
总之，二维连续型随机变量的几何意义可以通过观察概率密度函数的图像来获得。
概率密度函数描述了在平面上随机变量(X, Y)取值的概率分布，通过观察概率密度函数的特征，我们可以了解随机变量(X, Y)取值的可能范围、可能程度等几何性质。
概率论公式大全二维随机变量多项分布与独立同分布
概率论公式大全二维随机变量多项分布与独立同分布概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机事件以及其概率性质。
其中，随机变量是概率论中的一个基本概念，它可以用来描述随机现象和随机试验的结果。
本文将介绍概率论中与二维随机变量、多项分布以及独立同分布相关的公式。
一、二维随机变量在概率论中，随机变量可以分为一维和多维两种情况。
一维随机变量描述的是具有一个取值的随机事件，而二维随机变量则描述的是具有两个取值的随机事件。
常见的二维随机变量包括离散型和连续型两种。
1. 离散型二维随机变量离散型二维随机变量的概率分布可以通过联合概率质量函数（Joint Probability Mass Function，简称JPMS）来描述。
对于二维离散型随机变量(X, Y)，其概率分布可以用如下公式表示：P(X = x, Y = y) = P(X, Y)其中，P(X = x, Y = y)表示随机变量X取值为x，随机变量Y取值为y的概率，P(X, Y)表示联合概率质量函数。
2. 连续型二维随机变量对于连续型二维随机变量，其概率分布则可以通过联合概率密度函数（Joint Probability Density Function，简称JPDS）来描述。
对于二维连续型随机变量(X, Y)，其概率分布可以用如下公式表示：P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) = ∬f(x, y)dxdy其中，f(x, y)表示联合概率密度函数，∬表示对整个平面积分，a、b、c、d为常数。
二、多项分布多项分布是二项分布的推广，它适用于具有多个离散可能结果的试验。
假设有n个独立的试验，每个试验有k种可能的结果，且每种结果出现的概率是固定的。
那么多项分布描述了试验结果中每种可能出现的次数的概率分布。
多项分布的概率质量函数可以表示为：P(X₁ = x₁, X₂ = x₂, ..., Xk = xk) = (n! / (x₁! * x₂! * ... * xk!)) *(p₁^x₁ * p₂^x₂ * ... * pk^xk)其中，n为试验次数，xi表示结果i出现的次数，pi表示结果i出现的概率。
二维连续型随机变量
➢ 解 (2)
P(Y X 2 )
1
dx
0
x
2dy
x2
1
2( x
0
x2)d
x
x
2
2 3
x3
1 0
1 3
.
(3)
P(| X | 0.3) P(0.3 X 0.3) 2 1 (0.3)2 0.09. 2
概率论与数理统计
16
常用二维分布 2. 二维正态分布
定义3.3.3 如果二维随机变量(X，Y)的概率密度为
f
( x,
y)
Ae(2x3 y) , x 0,
0,
其他.
y
0,
求(1)常数A的值; (2) 联合分布函数F(x, y ); (3) P((X, Y)D), 其
中D为2x+3y≤6；(4) P( X< 2, Y< 1).
➢ 解 (1) 由规范性 f ( x, y)dydx 1，则
中D为2x+3y≤6；(4) P( X< 2, Y< 1). ➢ 解 (3) 0 x 3, 0 y 1 (6 2x).
3
P(( X ,Y ) D) f (x, y)dxdy
2x3 y6
dx 6e dy 3
1 (62 x ) 3
(2x3 y)
. 6 e3 2 x 1 e3 y
中D为2x+3y≤6；(4) P( X< 2, Y< 1).
➢
解 (2)密度函数为
f
(
x,
y)
6e ( 2 0,
x3
y)
,
x 0, 其他.
y 0,
则联合分布函数F(x, y )为
3.3二维连续型随机变量.
即若 ( X ,Y ) ~ N ( μ1, μ2,σ12,σ22, ρ) 则
X ~ fX ( x) f ( x, y)dy
1
2πσ1σ2 1 ρ2
1
e 2(1ρ2 )
x μ1 σ1
2
2 ρ
x μ1 σ1
yμ2
σ2
y μ2 σ2
y μ2 2 σ2
2πσ1σ2
x μ1 2
1
e 2σ12
2πσ1
e 1
2πσ2
y μ2 2
2σ22 f X ( x) fY ( y)
结论: 1.二维正态分布的边缘分布为一维正态分布.
即若 ( X ,Y ) ~ N ( μ1, μ2,σ12,σ22, ρ) 则
X
~
F(x, y) PX
x, Y
y
y
x
f
(s,t)
ds
dt
y
则称(X,Y)为 二维连续型随机变量，
f ( x, y) 称为(X,Y)的 联合概率密度
函数. 简称 联合概率密度.
x
记为 (X ,Y ) ~ f (x, y)
定义3.5 设( X ,Y )是二维随机变量,其分布函数
x
记为 (X ,Y ) ~ f (x, y)
如果将随机变量(X,Y) 看成落在坐标平面上的
随机点,(X,Y)落在区域
D
:
s t
x y
的概率等于
密度函数 f (s,t)在D上的二重积分.
联合概率密度具有性质:
(1) f ( x, y) 0
二维连续型随机变量公式
二维连续型随机变量公式 随机变量在概率论中起着重要的作用，它是对可能的结果进行数值化表示的工具。
在概率论中，随机变量可以分为离散型和连续型两种。
本文将重点探讨连续型随机变量中的二维连续型随机变量及其相关的公式。
首先，我们来介绍一些基本概念。
二维连续型随机变量是指对平面上的某个区域内的可能结果进行数值化表示的随机变量。
该随机变量可用一个二维函数来描述其概率密度函数 (Probability Density Function, 简称PDF)。
概率密度函数是一个非负的实值函数，满足以下两个条件：1、对于任意的(x, y)，概率密度函数f(x, y) ≥ 0；2、二重积分∬f(x, y)dxdy的值为1。
概率密度函数可以用来计算某个点落在某个区域内的概率。
在二维连续型随机变量中，还有一些相关的重要概念，如累积分布函数 (Cumulative Distribution Function, 简称CDF)、边缘概率密度函数 (Marginal Probability Density Function) 和条件概率密度函数 (Conditional Probability Density Function)等。
累积分布函数F(x, y)表示随机变量(X, Y)的取值小于等于(x, y)时的概率，即F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y)。
边缘概率密度函数fX(x)和fY(y)分别表示随机变量X和Y的概率密度函数。
条件概率密度函数fY|X(y|x)表示在已知X的取值为x的条件下，随机变量Y的取值为y 的概率密度。
有了以上必要的基本概念和定义，我们可以进一步讨论二维连续型随机变量的相关公式。
首先是概率密度函数的性质。
对于任意的可测集合A，有P((X, Y)∈A) = ∬Af(x, y)dxdy。
根据这个性质，我们可以计算随机变量落在某个集合内的概率。
接下来是边缘概率密度函数和条件概率密度函数之间的关系。
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求：（1）常数 C，（2）分布函数 F (x, y) ，
（3）边缘分布函数 F (x), F ( y)
（4）边缘密度函数 p (x), p ( y) 。
解：（1）1 Ce2(x y)dxdy 00
C e2xdx e2ydy 1 C
0
0
4
所以：：C 4
信息系刘康泽
xy
（2） F (x, y)
p(x)dx 1
【注】 3o (1)(2)为连续型随机变量的特征性质,
反之亦然.
(3) P{(,) B} p(x, y)dxdy , B R 2 ； B
信息系刘康泽
特别：
P{a 剟b,c
b
d
d} dx p(x, y)d若 m(B) 0 ,有: P{( ,) B} 0 .
所以 p (x) F(x) p(x, y)dy .
信息系刘康泽 2、 ( ,) 关于 的边缘分布：
p ( y) p(x, y)dx .
【注】: ( ,) 关于 和 的边缘分布也是连续型随机变量.
例 4、设 ( ,) ~ U ( A) ，而 A 是由 x 轴、 y 轴及直线
x
y 2
则服从G上的均匀分布的 密度函数为（如图）：
p(x,
y)
1 4
,
1剟x
1, 1剟y
1
0 ,
其它
向平面上有界区域G上随机投一质点，若质点落在 G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B
的形状及位置无关. 则质点的坐标 ( ,) 在G上服从均匀
分布.
信息系刘康泽
例2、设 ( ,) ~ p(x, y) ,且密度函数为：
p(u, v)dudv
x 2e2udu y 2e2vdv
。
b
对比一维情形： P{a „ b} p(x)dx a
对比一维情形：a R , 有：P{ a} 0
信息系刘康泽 例1、 (均匀分布) 在 A R 2 ( m( A) 0 )中任取一点 ( ,) ，则若 ( ,) 的密度函数为：
1
p(
x,
y)
m(
A)
0,
(x, y) A, (x, y) A .
② P{(,) B} p(x, y)dxdy B
p(x, y)dxdy x y3
1
3 x
dx
1
(6
x
y)dy
5
.
0 28
24
(5) 若 p(x, y) 在 (x, y) 点连续，则 2F(x, y) p(x, y) . xy
例3、 设 ( ,) 的分布函数
F (x, y) A(B arctan x)(C arctan y) ， x, y R
x
对比一维情形： F (x) P( „ x) p(t)dt
信息系刘康泽
【注】1o： F (x, y) 为连续函数； 【注】 2o p(x, y) 的意义与一维密度函数的意义相同.
2、【性质】
(1) p(x, y) …0 ;
(2) p(x, y)dxdy 1 。
对比一维情形： p(x) ? 0
p(
x,
y)
1 8
(6
x
y)
0 x 2, 2 y 4
0
其它
① B {(x, y) | x 1, y 3}；
② B {(x, y) | x y 3}.
求 P{( ,) B}.
解: ① P{(,) B} p(x, y)dxdy
B
1
3
dx
1
(6
x
y)dy
3
.
0 28
8
信息系刘康泽
1 y
2 dx
1
y
,
0
2
0 y 2,
0,
其它.
信息系刘康泽
例5、设 ( ,) 服从单位圆上的均匀分布，求两个
边缘密度函数。
解：联合密度函数为：
1
p(x, y)
x2 y2 „ 1
y
1
0 x2 y2 1
0
于是： p (x) p(x, y)dy
1x2 1 dy 2 1 x2
1x2
信息系刘康泽
第三节 二维连续型随机变量
一、二维连续型随机变量
1、【定义】：设 ( ,) 为 上的二维随机变量，F (x, y) 为 ( ,) 的分布函数,若存在非负可积函数 p(x, y) ，对任意
实数 x ， y 有：
xy
F (x, y) P( 剟x, y) p(u,v)dudv
则称 ( ,) 为二维连续型随机变量. p(x, y) 为 ( ,) 的联 合概率密度函数.记作 ( ,) ~ p(x, y) .
求① A, B, C ；②密度函数.
信息系刘康泽
解:① 0 F (0,) AB(C ) ，
2
0 F (,0) AC(B ) ,
2
1 F (,) A(B )(C ) ，
22
又由于 A, B,C 均不能为 0 A 1 , B C .
2
所以：F (x, y) 1 ( arctan x)( arctan y) ，x, y R .
2
2
②
p( x,
y)
2 F ( x, xy
y)
(1
1 x2 )(1
y2)
，
x,
y
R
.
二、边缘分布
信息系刘康泽
1、 ( ,) 关于 的边缘密度函数：
p (x) p(x, y)dy .
证明: 因 F (x) P{ x} P{ x, }
x
x
dx p(x, y)dy p(x, y)dy dx ,
1所围的区域，求
p
(x)
和
p ( y)
.
解: 显然m(A) 1,
从而
p(x, y)
1, 0,
(x, y) A, (x, y) A.
信息系刘康泽
于是： p (x) p(x, y)dy
2 (1 x )
dy 2(1 x),
0
0 x 1,
0,
其它.
p ( y) p(x, y)dx
则称 ( ,) 服从A上的均匀分布，此时记 ( ,) ~ U ( A) .
例如:设G (x, y) x2 y2 „ R2 ,则服从G上均匀分
布的密度函数为:
1
p(x, y) R2
0
x2 y2 „ R2 x2 y2 R2
信息系刘康泽
又如：
G (x, y) | 1剟x 1, 1剟y 1
某个x
(1剟x 1)
1 x2
xx
1
1 x2
信息系刘康泽
同理： p ( y) p(x, y)dx
y
某个y
1
1 y2
1 y2
y x
0
1
1 1 y2
2
dx
1 y2
1 y2
(1剟y 1)
信息系刘康泽 例 6、设 ( ,) ~ p(x, y)
Ce2( x y) p(x, y)
0
0 x, y