二维连续型随机变量

求① A, B, C ；②密度函数.
信息系刘康泽
解:① 0 F (0,) AB(C ) ，
2
0 F (,0) AC(B ) ,
2
1 F (,) A(B )(C ) ，
22
又由于 A, B,C 均不能为 0 A 1 , B C .
2
所以：F (x, y) 1 ( arctan x)( arctan y) ，x, y R .
1 y
2 dx
1
y
,
0
2
0 y 2,
0,
其它.
信息系刘康泽
例5、设 ( ,) 服从单位圆上的均匀分布，求两个
边缘密度函数。
解：联合密度函数为：
1
p(x, y)
x2 y2 „ 1
y
1
0 x2 y2 1
0
于是： p (x) p(x, y)dy
1x2 1 dy 2 1 x2
1x2
p(u, v)dudv
x 2e2udu y 2e2vdv
② P{(,) B} p(x, y)dxdy B
p(x, y)dxdy x y3
1
3 x
dx
1
(6
x
y)dy
5
.
0 28
24
(5) 若 p(x, y) 在 (x, y) 点连续，则 2F(x, y) p(x, y) . xy
例3、 设 ( ,) 的分布函数
F (x, y) A(B arctan x)(C arctan y) ， x, y R
1所围的区域，求
p
(x)
和
p ( y)
.
解: 显然m(A) 1,
从而
p(x, y)
1, 0,
(x, y) A, (x, y) A.
信息系刘康泽
于是： p (x) p(x, y)dy
2 (1 x )
dy 2(1 x),
0
0 x 1,
0,
其它.
p ( y) p(x, y)dx
所以 p (x) F(x) p(x, y)dy .
信息系刘康泽 2、 ( ,) 关于 的边缘分布：
p ( y) p(x, y)dx .
【注】: ( ,) 关于 和 的边缘分布也是连续型随机变量.
例 4、设 ( ,) ~ U ( A) ，而 A 是由 x 轴、 y 轴及直线
x
y 2
。
b
对比一维情形： P{a „ b} p(x)dx a
对比一维情形：a R , 有：P{ a} 0
信息系刘康泽 例1、 (均匀分布) 在 A R 2 ( m( A) 0 )中任取一点 ( ,) ，则若 ( ,) 的密度函数为：
1
p(
wk.baidu.com
x,
y)
m(
A)
0,
(x, y) A, (x, y) A .
则服从G上的均匀分布的 密度函数为（如图）：
p(x,
y)
1 4
,
1剟x
1, 1剟y
1
0 ,
其它
向平面上有界区域G上随机投一质点，若质点落在 G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B
的形状及位置无关. 则质点的坐标 ( ,) 在G上服从均匀
分布.
信息系刘康泽
例2、设 ( ,) ~ p(x, y) ,且密度函数为：
p(x)dx 1
【注】 3o (1)(2)为连续型随机变量的特征性质,
反之亦然.
(3) P{(,) B} p(x, y)dxdy , B R 2 ； B
信息系刘康泽
特别：
P{a 剟b,c
b
d
d} dx p(x, y)dy .
a
c
(4) B R 2 ,若 m(B) 0 ,有: P{( ,) B} 0 .
x
对比一维情形： F (x) P( „ x) p(t)dt
信息系刘康泽
【注】1o： F (x, y) 为连续函数； 【注】 2o p(x, y) 的意义与一维密度函数的意义相同.
2、【性质】
(1) p(x, y) …0 ;
(2) p(x, y)dxdy 1 。
对比一维情形： p(x) ? 0
2
2
②
p( x,
y)
2 F ( x, xy
y)
(1
1 x2 )(1
y2)
，
x,
y
R
.
二、边缘分布
信息系刘康泽
1、 ( ,) 关于 的边缘密度函数：
p (x) p(x, y)dy .
证明: 因 F (x) P{ x} P{ x, }
x
x
dx p(x, y)dy p(x, y)dy dx ,
p(
x,
y)
1 8
(6
x
y)
0 x 2, 2 y 4
0
其它
① B {(x, y) | x 1, y 3}；
② B {(x, y) | x y 3}.
求 P{( ,) B}.
解: ① P{(,) B} p(x, y)dxdy
B
1
3
dx
1
(6
x
y)dy
3
.
0 28
8
信息系刘康泽
某个x
(1剟x 1)
1 x2
xx
1
1 x2
信息系刘康泽
同理： p ( y) p(x, y)dx
y
某个y
1
1 y2
1 y2
y x
0
1
1 1 y2
2
dx
1 y2
1 y2
(1剟y 1)
信息系刘康泽 例 6、设 ( ,) ~ p(x, y)
Ce2( x y) p(x, y)
0
0 x, y
其它
求：（1）常数 C，（2）分布函数 F (x, y) ，
（3）边缘分布函数 F (x), F ( y)
（4）边缘密度函数 p (x), p ( y) 。
解：（1）1 Ce2(x y)dxdy 00
C e2xdx e2ydy 1 C
0
0
4
所以：：C 4
信息系刘康泽
xy
（2） F (x, y)
信息系刘康泽
第三节 二维连续型随机变量
一、二维连续型随机变量
1、【定义】：设 ( ,) 为 上的二维随机变量，F (x, y) 为 ( ,) 的分布函数,若存在非负可积函数 p(x, y) ，对任意
实数 x ， y 有：
xy
F (x, y) P( 剟x, y) p(u,v)dudv
则称 ( ,) 为二维连续型随机变量. p(x, y) 为 ( ,) 的联 合概率密度函数.记作 ( ,) ~ p(x, y) .
则称 ( ,) 服从A上的均匀分布，此时记 ( ,) ~ U ( A) .
例如:设G (x, y) x2 y2 „ R2 ,则服从G上均匀分
布的密度函数为:
1
p(x, y) R2
0
x2 y2 „ R2 x2 y2 R2
信息系刘康泽
又如：
G (x, y) | 1剟x 1, 1剟y 1