同济大一高数期中复习题
2021年大一高等数学上(同济版)重点试题及答案(最新版)
2021年大一高等数学上（同济版）重点试题及答案（最新版）一、填空题1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ； 【答案】 2 ，b ；2、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .【答案】x e x C C y 221)(-+= ；3、20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 【答案】22x xe -4、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .【答案】x x e C e C 221+.5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；【答案】8，0二、解答题(难度：中等)1、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)（1） 2x y x =+, 求(0)y '. （2） cos x y e =, 求dy . （3） 设x y xy e +=, 求dy dx . 【答案】（1）221','(0)(2)2y y x ==+ （2）cos sin x dy xe dx =-（3）两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+ 'x y x y e y xy y y x e x xy++--⇒==--2、求定积分 ⎰ee dx x 1ln ； 【答案】)12(2e- ；3、求不定积分①()()13dx x x ++⎰ ②()220dx a x a >-⎰ ③x xe dx -⎰ 【答案】 ①11ln ||23x C x +++ ②22ln ||x a x C -++ ③()1x e x C --++ 4、求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.【答案】18S =5、求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.【答案】12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰112242005210(1)(21)228()5315V x dx x x dx x x x ππππ=+=++=++=⎰⎰。
同济大学高等数学上册期中考试练习题三套(附答案)
2、在.
二、
第一单元微小世界1.
二、问答：2.
7、对于生活中的一些废弃物，我们可以从垃圾中回收它们并重新加工利用。这样做不但能够减少垃圾的数量，而且能够节省大量的自然资源。3.
4.
三、
四、
五、
六、
一、
4、如何借助大熊座找到北极星？（P58）1.
2.
2、你知道日食的形成过程吗？3.
3、月球是距离地球最近的星球直径大约是地球的1/4，质量大约是地球的1/80，月球体积大约是地球的1/49，月球引力大约是地球的1/6。4.
5.
6.
20、对生活垃圾进行分类、分装，这是我们每个公民的义务。只要我们人人参与，养成良好的习惯，我们周围的环境一定会变得更加清洁和美丽。7.
同济大学高等数学上册期中考试练习题三套（附答案）
参考答案
练习一
一、
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
二、
1.
2.
3.
4.
5.
6.
三、
四、
练习二
一、
1.
2.
3. 4. 5. 二、
6. 7.
三、
7、硫酸铜溶液与铁钉的反应属于化学反应。硫酸铜溶液的颜色是蓝色，将铁钉浸入硫酸铜溶液中，我们发现铁钉变红了。8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 练习三
大一高等数学a期中试题及答案
大一高等数学a期中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 0答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 以下哪个选项是不定积分∫x^2 dx的解（）。
A. x^3B. x^3 + CC. 3x^2 + CD. 3x^2答案：C4. 以下哪个选项是定积分∫(0 to 1) x dx的值（）。
A. 0C. 1D. 2答案：B5. 函数y=e^x的原函数是（）。
A. e^xB. e^x + CC. ln(x)D. ln(x) + C答案：B6. 以下哪个选项是微分方程dy/dx + y = 0的通解（）。
A. y = e^(-x)B. y = e^xC. y = sin(x)D. y = cos(x)答案：A7. 以下哪个选项是函数y=x^3的二阶导数（）。
A. 3x^2B. 6xC. 18xD. 6答案：B8. 以下哪个选项是函数y=ln(x)的一阶导数（）。
B. xC. ln(x)D. e^x答案：A9. 以下哪个选项是函数y=x^2 - 4x + 4的最小值（）。
A. 0B. 1C. 4D. -4答案：A10. 以下哪个选项是函数y=x^3 - 3x的拐点（）。
A. x = 0B. x = 1C. x = -1D. x = 2答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3的一阶导数是____。
答案：3x^22. 函数f(x)=x^2+2x+1的极值点是____。
答案：x = -13. 函数f(x)=sin(x)的不定积分是____。
答案：-cos(x) + C4. 函数y=e^x的二阶导数是____。
答案：e^x5. 函数y=ln(x)的二阶导数是____。
答案：1/x^2三、解答题（每题10分，共50分）1. 求函数f(x)=x^3-6x+8在x=2处的切线方程。
大一下学期高数期中复习题
微积分(二)期中复习题第一部分1. 设2,4a b ==，若向量32a b -垂直于向量a b +，向量2a b +垂直于向量43a b -，求a 与b 之间的夹角，并求以32a b -和2a b +为邻边的平行四边形的面积.2.已知向量(,,2)a x y =-与向量(4,1,3)b =垂直，且a 的模等于b 在z 轴上的投影，求 ,x y .3.证明：两直线1111:112x y z L -+-==-与223:12x y L z -+==-相交，并求此两直线所在平面的方程.4.求过直线110:220x y L x y z ++=⎧⎨++=⎩且与直线211:211x y z L -+==--平行的平面方程.5.求过点(1,1,1)P 且与直线12:113x y z L +==-垂直相交的直线方程.6.求曲线222224:3x y z x y z ⎧++=⎪Γ⎨+=⎪⎩在xOy 面的投影。
7.求曲线2244:0x y y z ⎧++=Γ⎨=⎩绕x 轴旋转一周所得的曲面。
第二部分1、求函数)1ln(4222y x y x z ---=定义域。
2、求()22001lim sin .x y x y xy→→+3、讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧++=2)(2sin ),(2222y x y x y x f 002222=+≠+y x y x 在点（0，0）处的连续性。
4、设(,)z f x y =由ln x z z y =确定，求22,z z x x∂∂∂∂。
5、设222z y x eu ++=，而y x z sin 2=，求xu ∂∂，du y u ,∂∂。
6、设),(22y x y x f z -=，其中),(υu f 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2, 。
7、求函数223246u x y y x z =-++在原点沿()2,3,1OA =方向的方向导数。
8、设32u x y z =-，求u 在点()2,1,1-处的方向导数的最大值及取得最大值的方向。
同济大一高数期中复习题
② 5n n 1! ；
n1 2n!
解：un1
5n1
n
2!
2n!
5n 2
n
0 1，级数收敛．
un
2n 2! 5n n 1! 2n 12n 2 第2页/共25页
③ 3n n! ；
nn
n 1
解： un1 un
3n1 n 1! nn
n 1 n1
3n n!
3
1 1 /
nn
n
3 e
1
4a 5b a
b
．
i jk
解：① a b 3, 2, 11, 1, 2 3 2 1 3, 7, 5 ．
1 1 2
② ∵ 4a 5b 43, 2, 1 51, 1, 2 17,3,6，
a b 3,2,1 1, 1,2 2,3, 3 ．
i jk
∴ 4a 5b a b 17 3 6 27,63, 45．
1 1 1
所求的平面的方程为 x 1 2 y 2 3z 1 0 ，即
x 2y 3z 8 0 ．
第20页/共25页
7．求过点
M0
1,1,1
且平行于直线
L0
:
2x 5x
y z 1 0 3y z 7
, 0
的直线的
对称式方程．
i jk
解： s0 n1 n2 2 1 1 = 2, 7, 11 ，取
，级数发散．
④
5n
．
n1 n 2n
解： un1 un
5n1
n 1 2n1
n 2n 5n
5n
n
5
2n 1 2
1
，级数发散．
8．判断下列级数收敛性，若收敛，问是条件收敛还是绝对收敛？
同济大学高等数学（下）期中考试试卷
同济大学高等数学（下）期中考试试卷1一.填空题（每小题6分）1.有关多元函数的各性质：（A ）连续；（B ）可微分；（C ）可偏导；（D ）各偏导数连续，它们的关系是怎样的？若用记号“X ⇒Y ”表示由X 可推得Y ，则（ ）⇒（ ）⇒⎩⎨⎧)()(. 2.函数),(y x f 22y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为 ，该点处各方向导数中的最大值是 .3.设函数),(y x F 可微，则柱面0),(=y x F 在点),,(z y x 处的法向为 ，平面曲线⎩⎨⎧==00),(z y x F 在点),(y x 处的切向量为 .4.设函数),(y x f 连续，则二次积分=⎰⎰1sin 2),(x dy y x f dx ππ . (A)⎰⎰+ππy dx y x f dy arcsin 10),(； (B) ⎰⎰-ππy dx y x f dy arcsin 10),(； (C)⎰⎰+y dx y x f dy arcsin 10),(ππ； (D) ⎰⎰-y dx y x f dy arcsin 10),(ππ.二.（6分）试就方程0),,(=z y x F 可确定有连续偏导的函数),(x z y y =，正确叙述隐函数存在定理.三.计算题（每小题8分）1.设),(y x z z =是由方程0),(=--z y z x f 所确定的隐函数，其中),(v u f 具有连续的偏导数且0≠∂∂+∂∂v f u f ，求y z x z ∂∂+∂∂的值.2.设二元函数),(v u f 有连续的偏导数，且1)0,1()0,1(==v u f f . 又函数),(y x u u =与),(y x v v =由方程组⎩⎨⎧-=+=bv au y bv au x （022≠+b a ）确定，求复合函数)],(),,([y x v y x u f z =的偏导数),(),(a a y x x z=∂∂，),(),(a a y x y z =∂∂.3.已知曲面221y x z --=上的点P 处的切平面平行于平面122=++z y x ，求点P 处的切平面方程.4计算二重积分：⎰⎰D d y x σsin ，其中D 是以直线x y =，2=y 和曲线3x y =为边界的曲边三角形区域.5.求曲线积分⎰-++Ldy y x dx y x )()(2222，L 为曲线|1|1x y --=沿x 从0增大到2的方向. 五.（10分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明：球半径为R 高为h 的球冠的面积与整个球面面积之比为R h 2:.六.（10分）设线材L 的形状为锥面曲线，其方程为：t t x cos =，t t y sin =，t z =（π20≤≤t ），其线密度z z y x =),,(ρ，试求L 的质量.七.（10分）求密度为μ的均匀柱体122≤+y x ，10≤≤z ，对位于点)2,0,0(M 的单位质点的引力.同济大学高等数学（下）期中考试试卷2一.简答题（每小题8分）1.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛1,3,2π处的切线方程.2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：设椭球面1222222=++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面之间的最小距离.4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f .二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u∂∂∂2.三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy.四.（8分）求曲线⎩⎨⎧=--=01,02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分）⎰⎰D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤-+-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线1000222=+y x 上的点.（1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；（2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标.八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行.（1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标；（2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.下面是古文鉴赏，不需要的朋友可以下载后编辑删除！！谢谢！！九歌·湘君屈原朗诵：路英君不行兮夷犹，蹇谁留兮中洲。
同济大学高等数学期中考试试题及解答
学
y 2
z x (1,1) 2 f 1 (1,0) f 2 (1,0) 1 0 3 f1 (1,0) 2 f 2 (1,0) 0 z y (1,1)
dy 2( x 2 2 x 6) 即得 dx x2 4 y (0) 0 x 2 2x 6 dx x2 4 x C 2
n 1 (2 x 3,2 y,2 z ) (1,1,1) (1,2,2) ， n 2 (2,2,1)
.
切线的方向向量为: 切线方程： 法平面方程：
l n 1 n 2 (6,5,2)
u x y e 在 (1,1,1) 点函数值增加最快的方向为 3、ห้องสมุดไป่ตู้
z
k (2,3,1), k 0
2 2
二. （本题 10 分） 求曲线
x 2 y 2 z 2 3x 0 2x 2 y z 1 0
在点 (1,1,1) 的切线与法平面方程，并分
别求出坐标原点到该法平面以及切线的距离. 解
2 的方程为
2 3
z2
同
( x 2) y 2 2 a b
2 2
大
得到
旋转所成曲面与平面 z 1 所围成的立体. 解
( Ax
i 1
n
i
By i Cz i D) 0 因此有
成立
I d d 2 zdz
0 0
2
1
1
济 同
Ax B y C z D 0
n
(1 4 ) 2 d
2
Fx G u （或 x Fu x Gu
同济大学2007—2008学年第一学期高数期中试卷
二.选择题（每小题 4 分，共 12 分）
6. 设函数 f x 在点 x0 的某个邻域内有定义，且在点x0 处间断，则在点 x 0
处必间断的函数是
2
A f x sin x ; B f x sin x ; C f x ; D f x . 7“对任意给定的数 . 1， 0， 总存在正整数 N , 当 n N 时， 恒有 xn a 2 "是数列 xn 收敛于 a 的 A 充分必要条件； B 必要但非充分条件 ； C 充分必要条件 ； D 既非必要也非充分条件 . 8. 函数 f x 在点 x x 0 处 满足f x 0 f x0 0, f x0 0, 则 D A f x0 是 f x 的极大值； B f x0 是f x 的极大值； C f x0 是 f x 的极小值； D 点x0 , f x0 是曲线 y f x 的拐点.
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2007—2008 学年第一学期高数期中试卷
(本试卷共 13 题，二大张，满分 100 分，考试时间 100 分钟，要求写出解题过 程，否则不予计分)
一．填空题（每小题 4 分，共 20 分）
1. 极限 lim n
1 x
(1/2)
2， 13.12 分 设函数 f x 在 2， 2上连续， 2 内可导，且f 2 0,
直线 y 1 x. 2
f 0 2, f 2 0, 试证曲线段 y f x 2 x 2 上至少有点的切线平行于
4.设函数 f x 在 , 内具有各阶导数， 且 f x f 2 x f 0 1, 则 f n 0 ______ .
2023-2024学年同济附中高一上学期期中数学试卷及答案(2023.11)
1同济二附中2023学年第一学期高一年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16∼题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知集合{}10A x x =+=，{}0,1B =，则A B = ______． 2．已知(){},2Mx y x y =+=，(){},4N x y x y =−=，则M N = ______． 3．已知全集U =R ，集合{}2560Ax xx =−−≥，则A =______．4．已知集合{}{}21,1,,4m m ⊆，则实数m 的取值集合为______． 5．下列命题中真命题的编号是______． �2210mx x +−=是一元二次方程； �空集是任何非空集合的真子集； �互相包含的两个集合相等；�若22a cb b>，则a c >； �满足{}{}1,21,2,3,4,5M ⊂⊂的集合M 有7个．6．不等式2440x ax ++>的解集为R ，则a 的取值范围是______．7．已知关于x 的方程20x mx m ++=的两个实数根是1x ，2x ，若22123x x +=，则实数m的值为______．8．若0a >，0b >，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的______条件． 9．若集合(){}2620Ax axa x =+−+=有且仅有两个子集，则实数a 的值为______．10．不等式23x x m ++−≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是______． 11．已知不等式()19a x x y y ++≥对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的取值范围是______．12．用A 表示非空集合A 中元素的个数，定义,,A B A BA B B A B A−≥ ∗=−> ，若{}0,1A =，2()(){}2230Bx xax x ax =+++=，1A B ∗=，则实数a 的所有可能取值构成集合S ，则S =______．二、选择题（本题满分18分，共4小题，13、14每题4分，15、16每题5分） 13．用反证法证明命题“任意三角形最多有一个钝角”的第一步应假设（ ）． A ．任意三角形都没有钝角 B ．存在一个三角形恰有一个钝角 C ．任意三角形都有两个钝角D ．存在一个三角形至少有两个钝角14．已知,a b ∈R ，且0a b <<，则下列不等关系中正确的是（ ）． A ．11a b< B ．2b aa b +> C．2a b +> D ．b aa b> 15．已知集合{}31x A x x =<−≥或，{}10B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．113a a −≤<B ．113a a −≤≤C ．{}10a a a <−≥或D ．10013a a a −≤<<<或 16．设01b a <<+，若关于x 的不等式()()22x b ax −>的解集中的整数解恰有3个，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．()1,0−B ．()0,1C ．()1,3D ．()3,5三、解答题（本大题满分78分，共5小题）17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 解下列关于x 的不等式或不等式组：（1）1ax a +<（a 为实数）（2）24505131x x x x −++>+<−318．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合{}13,A x x x =−>∈R ，(){}22210,B x x mx m x =−+−<∈R ．（1）当2m =时，求A B ；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围．19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知3AB =米，2AD =米． （1）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （2）当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．420．（本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分） 已知1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k −++=的两个实数根． （1）若两根异号，求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x −−=−成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由； （3）求使12212x x x x +−的值为整数的实数k 的整数值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 定义{}12min ,,,n a a a L 为n 个实数1a ，2a ，…，n a 中的最小数，{}12max ,,,n a a a L 为n 个实数1a ，2a ，…，n a 中的最大数．（1）设a ，b 都是正实数，且1a b +=，求1max ,2ab； （2）解不等式：{}2min 1,3,123x x x x ++−>−； （3）设a ，b 都是正实数，求12max ,a b b a++的最小值．5参考答案一、填空题 1.{}1,0,1−; 2.(){}3,1−; 3.()1,6−; 4.{}2,0,2−; 5.���; 6.()8,8−; 7.1−; 8.充分不必要; 9.0218或或; 10.(]5−∞，； 11.[)4,+∞12.{0,− 11．已知不等式()19a x x y y ++≥对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的取值范围是______． 【答案】[)4,+∞【解析】因为0,0x y >>,所以()11119,a ax yx y a a a x y y x ++=+++≥++++≥则0t ≥,则2280t t +−≥,解得2t ≥,故4a ≥, 即正实数a 的取值范围为[)4,+∞, 综上所述,答案:[)4,+∞ 12．用A 表示非空集合A 中元素的个数，定义,,A B A BA B B A B A−≥ ∗=−> ，若{}0,1A =，()(){}2230B x xax x ax =+++=，1A B ∗=，则实数a 的所有可能取值构成集合S ，则S =______．【答案】{0,−【解析】根据题意,{}0,1A =,则有2A =,又因为()(){}2230B xx ax x ax =+++=∣即得B 表示方程()()2230x axxax +++=实数根的个数,解这个方程得(1)20x ax +=,或(2)230x ax ++=，解方程(1)得120,x x a ==,解方程(2)得, 若2120a −>,即a >或a <−时,方程有两个不等实根分别为634x x =若2120a −=,即a =−a =时,方程有且只有一个实根； 若2120a −<,即a −<<,方程没有实数根. 综上可得,()I当a >或a <−时,4B =;()II当a =−a =时,3B =；()III 当0a =时,1B=，所以(1)当A B …时,*1A B A B =−=,即得1B =,此时可得0a =； (2)当A B <时,即得3B =,此时可得a =−或a =; 故答案为:{0,−. 二、选择题13.D 14.B 15.A 16.C 15．已知集合{}31x A x x =<−≥或，{}10B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）． A ．113a a −≤<B ．113a a −≤≤C ．{}10a a a <−≥或D ．10013a a a −≤<<<或 【答案】A【解析】解法一(特殊值法):0a =时,B =∅,满足B A ⊆,因此D 错误;1a =时,{}1B x x =−∣…,不满足B A ⊆,因此B 、C 错误. 故选A.解法二:当0a =时,B =∅,满足B A ⊆;7当0a >时,1B x x a=−∣…,由B A ⊆得11a −<−,解得01a <<;当0a <时,1B x x a=−∣…,由B A ⊆得13a −…,解得103a −<…. 综上,实数a 的取值范围是113a −<…. 故选A.16．设01b a <<+，若关于x 的不等式()()22x b ax −>的解集中的整数解恰有3个，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．()1,0−B ．()0,1C ．()1,3D ．()3,5【答案】C【解析】关于x 的不等式22()()x b ax −>,等价于()222120a x bx b −+−<, 转化为()][()110a x b a x b +−⋅−+< ,不等式的解集中的整数恰有3个,1a ∴>, 又01b a <<+,∴不等式的解集为111b bx a a −<<<−+,∴解集里的整数是2,1,0−−三个, 321ba ∴−−<−−…,231b a ∴<−…,即2233a b a −<−…; 又1b a <+ ,221a a ∴−<+,解得3a <,综上,a 的取值范围是()1,3. 故选:C . 三．解答题17.（1）分类讨论 （2）()1,1− 18.（1）()1,3（2）(][),35,−∞−∪+∞19.（1）()23,6,3∪+∞（2）当AN 为2米时,矩形花坛AMPN 的面积最小，为24平方米20．（本题满分18分，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分） 已知1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k −++=的两个实数根．8（1）若两根异号，求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得()()12123222x x x x −−=−成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由； （3）求使12212x x x x +−的值为整数的实数k 的整数值． 【答案】（1）()1,0− （2）不存在（3）整数k 的值为-2或-3或-5.【解析】(1)略(2)12x x 、是一元二次方程24410kx kx k −++=的两个实数根,()20,0,161610k k k k k ≠ ∴∴< −+≥由根与系数的关系可得:121x x +=,121,4k x x k +=()()()2121212121322292942k x x x x x x x x k +∴−−=+−=−×=−解得95k =,而0k <,∴不存在实数k 使得()()12123222x x x x −−=−成立.(3)由根与系数的关系可得:()2121221124241x x x x x x x x k ++−=−=−+41k −+ 的值为整数,而k 为整数,1k ∴+只能取124±±±、、, 又0k <,∴整数k 的值为-2或-3或-5.21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 定义{}12min ,,,n a a a L 为n 个实数1a ，2a ，…，n a 中的最小数，{}12max ,,,n a a a L 为n 个实数1a ，2a ，…，n a 中的最大数．（1）设a ，b 都是正实数，且1a b +=，求1max ,2ab； （2）解不等式：{}2min 1,3,123x x x x ++−>−；9（3）设a ，b 都是正实数，求12max ,a b b a++的最小值． 【答案】（1）11max ,22ab=（2）(),2−∞（31【解析】(1)由基本不等式2124a b ab + ≤=,所以11max ,22ab =(2)由于()223120x x x x +−+−+>,则min{1x +,}{}21,03,1min 1,11,0x x x x x x x x +< +−=+−=−≥当0x <时,原不等式可化为122x x +>−,即3x <,结合0x <得0x <; 当0x …时,原不等式可化为123x x −>−,即1123x x x ≥−>−或01123x x x ≤<−>−,解得12x <…或01x <…,即02x <…; 综上,原不等式解集为:(),2−∞; (3)设12max ,M a b b a=++,则12,M a M b b a ≥+≥+,于是2122M a b a b≥+++≥+,从而1M ≥+,当且仅当1a b 时取等号, 故12max ,a b b a++1+.。
同济大学08-09-3高数A下册期中试题解答
共 4 页 第 1 页08-09-3高数A （期中）试卷参考答案09.4.17一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．交换积分次序202422402d (,)d d (,)d d (,)d y x x x f x y f x y x y f x y x y y -+--+=⎰⎰⎰⎰⎰；2．设e 10z -=，则Re ln 2z =，2,0,1,23Im ,k k z ππ-+=±±=；3．设(,)z z x y =是由方程22()y z xf y z +=-所确定的隐函数，其中f 可微，则全微分21d d 1212d f xyf x y xz z f xzf ='-+''++；4．设C 为由x y π+=与x 轴,y 轴围成的三角形的边界,ed x yCs +=⎰e 2)2π+-5．设(,)f x y 连续，{}2(,)01,0D x y x y x=≤≤≤≤，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰则(,)d d 18Df x y x y =⎰⎰．二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）6．函数22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx y x y f x y x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩在点(0,0)处 [ C ](A)连续且偏导数存在 (B) 连续但偏导数不存在(C)不连续但偏导数存在 (D) 不连续且偏导数不存在7设{}22(,)1D x y x y =+≤,1D 为D 在第一象限部分,则下列各式中不成立的是[ B ] （A）1d 4d DD x y x y = （B ）1d d 4d d DD xy x y xy x y =⎰⎰⎰⎰（C ）32()d d 0Dx x y x y +=⎰⎰ （D ）2332d d d d DDx y x y x y x y =⎰⎰⎰⎰ 8设()[0,)f t C ∈+∞,2222222()()d x y z R I R f x y z v ++≤=++⎰⎰⎰,则当0R +→时,()I R [ D ]（A ）是R 的一阶无穷小 （B ）是R 的二阶无穷小共 4 页 第 2 页（C ）是R 的三阶无穷小 （D ）至少是R 的三阶无穷小 9．设(,)f x y 在原点的某邻域内连续，且2200(,)(0,0)lim01sin cos x y f x y f a x x y y →→-=>+--，则 [ B ]（A ）(,)f x y 在原点处取得极大值 （B ）(,)f x y 在原点处取得极小值 （C ）不能断定(,)f x y 在原点处是否取得极值 （D ）原点一定不是(,)f x y 的极值点 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分) 10．计算二重积分2223d Dx y x y σ++⎰⎰，其中{}22(,)1,1D x y x y x y =+≤+≥. 解 12122220cos sin 23555d d d (cos sin )d 5224DD x y x y x y x y πϕϕσσϕϕϕρπ+++==+=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 11．计算曲面积分()d z y A ∑+⎰⎰，其中∑是由0,1z z ==与2221zx y +=+所围成的立体的表面.解 2211:0x y z ⎧+≤∑⎨=⎩，2222:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩，22231:01x y z z ⎧+=+∑⎨≤≤⎩，2212:0x y D z ⎧≤+≤⎨=⎩123()d d d d d 2d Dz y A z A z A z A z A x y π∑∑∑∑∑+==++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰522d 3ππρπ⎫=+=⎪⎭⎰12．求2222d d d d x y z y z x x y z∑∧+∧++⎰⎰，其中∑为圆柱体222y z R +≤， (0)x R R ≤>的表面，取外侧. (本题取消)解 2221:y z R x R ⎧+≤∑⎨=-⎩取后侧，2222:y z R x R ⎧+≤∑⎨=⎩取前侧，2223:y z Rx R⎧+=⎪∑⎨≤⎪⎩取外侧，{}(,),zx D z x z R x R =≤≤，12322222222222222d d d d d d d d d d x y z y z x R y z R y z y z xx y z R y z R y z x R ∑∑∑∑∧+∧∧∧∧=+++++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰共 4 页 第 3 页22202d 2zxD R z x x R π=+=+⎰⎰13．求由曲面221,1x z y z +=+=和0z =所围成的质量均匀分布的立体的质心坐标. 解 由对称性知0x y ==， 质量12008d (1)d 2xm x x y μμ=-=⎰⎰，对xOy 平面的静力矩211028d d d 3xx xy M x y z z μμ-==⎰⎰⎰， 13xy M z m == 另解 0x y ==，用切片法(()21021d 13d xy z zM z mzμμ===⎰⎰ 14．已知解析函数()f z 的实部22(,)2xu x y xy x y =++,求()f z 的表达式（用变量z 表示）和(i)f '．解 ()222222122v u y y y x x y x y ∂∂==-+∂∂++，222()y v y x x y ϕ=-++， ()()22222222()2v xy u xy x x x y x y x y ϕ∂∂'=+=-=-+∂∂++，2()x x C ϕ=--， ()21()i f z z C z=-+， (i)3f '= 另解：因为解析，所以))(22())(2()(22222222y x xyx i y x x y y iu u z f y x +--+-+=-=' 从而z i zz f 21)(2--='C iz z z f +-=⇒21)( 四（15）（本题满分8分）求函数22223u x y z =++在球面2221x y z ++=和平面0x y +=的交线上的最大值与最小值.解 首先根据条件得2222222332333u x y z y x x =++=--=-≤，且在点(0,0,1)± 处，max3u =，继续由条件得()()22222133331222z u x z z z ⎛⎫-=+=+=+≥ ⎪⎝⎭，且在点,02⎛⎫⎪⎝⎭处，min32u=五（16）（本题满分8分）试求过直线20530x yx y z+-=⎧⎨---=⎩，且与曲面22z x y=+相切的平面方程.解设过直线20530x yx y z+-=⎧⎨---=⎩的平面方程为(1)(15)230x y zλλλλ++----=，设切点为000(,,)x y z，则0000022000(1)(15)230(1)221(2)115(3)x y zx yz x yλλλλλλλ++----=⎧⎪⎪==⎨+-⎪⎪=+⎩由（2），（3）解得00115,22x yλλλλ+-==，2202(1)(15)4zλλλ++-=，代入（1）得27810λλ-+=，解得1211,7λλ==，从而两切平面方程分别为2450x y z---=和82170x y z+--=。
上海同济大学实验学校数学高一下期中阶段练习(培优专题)
一、选择题1．(0分)[ID ：12425]设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ） A ．-4B ．14-C ．14D ．42．(0分)[ID ：12408]已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,∞∞--⋃+ C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+3．(0分)[ID ：12383]直线(2)4y k x =-+与曲线2320x y y ++-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．53(,]124B ．51(,]122C ．13(,]24D ．1[,)2+∞4．(0分)[ID ：12379]已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ，若四边形PACB 的面积最小值为2，则k 的值为（ ）A ．3B ．212C ．22D ．25．(0分)[ID ：12372]已知正四面体ABCD 中，M 为棱AD 的中点，设P 是BCM ∆（含边界）内的点，若点P 到平面ABC ，平面ACD ，平面ABD 的距离相等，则符合条件的点P （ ） A ．仅有一个 B ．有有限多个C ．有无限多个D ．不存在6．(0分)[ID ：12357]如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．87．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=8．(0分)[ID ：12348]已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ） A ．42B ．24C ．212D ．69．(0分)[ID ：12336]在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．23πB ．43π C ．53πD ．2π10．(0分)[ID ：12329]设直线,a b 是空间中两条不同的直线，平面,αβ是空间中两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥b B ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α C ．若a ∥α，α∥β，则a ∥βD ．若α∥β，a α⊂，则a ∥β11．(0分)[ID ：12393]点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2，AC=2，若四面体ABCD 体积的最大值为23，则这个球的表面积为（ ） A ．1256πB ．8πC ．2516πD ．254π12．(0分)[ID ：12388]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．2π+4D ．3π+413．(0分)[ID ：12428]在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30，则该长方体的体积为（ ）A ．8B ．62C ．82D ．8314．(0分)[ID ：12415]已知ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，5BC =三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ）A ．22πB ．743πC ．24πD ．36π15．(0分)[ID ：12410]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A ．6B C ．3D ．2二、填空题16．(0分)[ID ：12511]在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．17．(0分)[ID ：12509]已知三棱锥D ABC -的体积为2，ABC ∆是边长为2的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则球O 的表面积为_______.18．(0分)[ID ：12483]已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC △是边长为2正三角形，,E F 分别是,PA AB 的中点，90CEF ︒∠=，则球O 的体积为_________________。
上海同济大学附属存志学校数学高一上期中复习题(专题培优)
一、选择题1．(0分)[ID ：11808]已知函数()1ln 1xf x x-=+，则不等式()()130f x f x +-≥的解集为（ ） A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．(0分)[ID ：11782]设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ） A ．1-B ．13-C ．12-D ．133．(0分)[ID ：11778]对于实数x ，规定[]x 表示不大于x 的最大整数，那么不等式[][]2436450x x -+<成立的x 的取值范围是（ ）A ．315,22⎛⎫⎪⎝⎭ B ．[]28, C ．[)2,8D ．[]2,74．(0分)[ID ：11774]若函数()(1)(0xxf x k a a a -=-->且1a ≠）在R 上既是奇函数,又是减函数,则()log ()a g x x k =+的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．5．(0分)[ID ：11773]如图，U 为全集，M 、P 、S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A ．()M P S ⋂⋂B ．()M P S ⋂⋃C ．()()UM P S ⋂⋂D ．()()UM P S ⋂⋃6．(0分)[ID ：11759]函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．37．(0分)[ID ：11750]函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．8．(0分)[ID ：11796]设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.59．(0分)[ID ：11790]已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ）A ．5B ．5-C ．0D ．201910．(0分)[ID ：11786]若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log bab aa b a b >>>B ．1log log a bb ab a b a >>>C ．1log log b ab aa ab b >>>D ．1log log a bb aa b a b >>>11．(0分)[ID ：11772]已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()a f x x 为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,33212．(0分)[ID ：11743]设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13．(0分)[ID ：11730]已知()()2,11,1x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =（ ）A ．7B ．72C ．74D ．7814．(0分)[ID ：11760]设函数3()f x x x =+ ，. 若当02πθ<<时，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1(,1]2B ．1(,1)2C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞15．(0分)[ID ：11751]三个数20.420.4,log 0.4,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．b c a <<二、填空题16．(0分)[ID ：11924]给出下列四个命题：（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c ；（2）函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；（3）若函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥；（4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______. 17．(0分)[ID ：11917]下列各式： （1）122[(]--= （2）已知2log 13a〈 ，则23a 〉 . （3）函数2xy =的图象与函数2x y -=-的图象关于原点对称；（4）函数()f x的定义域是R ，则m 的取值范围是04m <≤； （5）函数2ln()y x x =-+的递增区间为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.正确的．．．有________．（把你认为正确的序号全部写上） 18．(0分)[ID ：11909]设函数10()20xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是____________.19．(0分)[ID ：11898]已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间(],0-∞上是减函数,则不等式()()1ln f f x <的解集是________.20．(0分)[ID ：11884]已知函数2,()24,x x m f x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 21．(0分)[ID ：11882]函数()f x =__________． 22．(0分)[ID ：11862]若幂函数()a f x x 的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.23．(0分)[ID ：11852]计算：log 3√27+lg25+lg4+7log 72−(827)−13=__________．24．(0分)[ID ：11830]已知函数42()(0)f x x ax bx c c =+++<，若函数是偶函数，且4((0))f f c c =+，则函数()f x 的零点共有________个.25．(0分)[ID ：11926]已知()2x a x af x ++-=，g(x)=ax+1 ，其中0a >，若()f x 与()g x 的图象有两个不同的交点，则a 的取值范围是______________.三、解答题26．(0分)[ID ：11973]在扶贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营情况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q （百件）与销售价格P （元）的关系如图所示；③每月需各种开支2000元．（1）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；（2）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？27．(0分)[ID ：11962]已知()42log ,[116]f x x x =+∈，，函数()()()22[]g x f x f x =+．（1）求函数()g x 的定义域；（2）求函数()g x 的最大值及此时x 的值．28．(0分)[ID ：11934]近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P 与投入a (单位:万元)满足326P a =,乙城市收益Q 与投入b (单位:万元)满足124Q b =+,设甲城市的投入为x (单位:万元),两个城市的总收益为()f x (单位:万元).(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大? 29．(0分)[ID ：12024]计算下列各式的值：（1）()1110232710223π20.25927--⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()221log 3lg5ln e 2lg2lg5lg2-++++⋅．30．(0分)[ID ：12022]已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）当[1,1]x ∈-时，不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．B3．C4．A5．C6．D7．B8．D9．A10．D11．B12．C13．C14．D15．B二、填空题16．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确17．（3）【解析】（1）所以错误；（2）当时恒成立；当时综上或所以错误；（3）函数上任取一点则点落在函数上所以两个函数关于原点对称正确；（4）定义域为当时成立；当时得综上所以错误；（5）定义域为由复合函18．【解析】由题意得：当时恒成立即；当时恒成立即；当时即综上x的取值范围是【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么然后代入该段的解析式求值解决此类问题时要注19．【解析】由定义在实数集上的偶函数在区间上是减函数可得函数在区间上是增函数所以由不等式得即或解得或即不等式的解集是;故答案为20．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根则解得故m的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数21．【解析】要使函数有意义则必须解得：故函数的定义域为：点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0(3)一次函数二次函数的定义域均为R(422．【解析】由题意有：则：23．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填424．2【解析】因为是偶函数则解得又所以故令所以故有2个零点点睛：本题涉及函数零点方程图像等概念和知识综合性较强属于中档题一般讨论函数零点个数问题都要转化为方程根的个数问题或两个函数图像交点的个数问题本题25．(01)【解析】结合与的图象可得点睛：数形结合是数学解题中常用的思想方法数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化生动化能够变抽象思维为形象思维有助于把握数学问题的本质在运用数形结合思想分析和解决三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据题意可得函数()f x 的奇偶性以及单调性，据此原不等式转化为()()31f x f x ≥-，求解可得x 的取值范围，即可得出结论． 【详解】根据题意，函数()1ln 1xf x x-=+， 则有101xx->+，解可得11x -<<， 即函数的定义域为()1,1-，关于原点对称， 又由()()11lnln 11x xf x f x x x+--==-=--+， 即函数()f x 为奇函数， 设11xt x -=+，则y lnt =， 12111x t x x -==-++，在()1,1-上为减函数， 而y lnt =在()0,∞+上为增函数， 故()1ln1xf x x-=+在区间()1,1-上为减函数， ()()()()13013f x f x f x f x +-≥⇒≥-- ()()3131111311x x f x f x x x ≤-⎧⎪⇒≥-⇒-<<⎨⎪-<-<⎩，解可得：1223x ≤<，即不等式的解集为12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭； 故选:D ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，解题时不要忽略函数的定义域，属于中档题．2．B解析：B【分析】由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求解. 【详解】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减， 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增， 则由()()1f x f x m -≤+，得1x x m -≥+，即()()221x x m -≥+，即()()22210g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立，则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩，解得113m -≤≤-， 即m 的最大值为13-. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+ 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.3．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】分析：先解一元二次不等式得315[]22x <<，再根据[]x 定义求结果. 详解：因为[][]2436450x x -+<，所以315[]22x << 因为[][]2436450x x -+<，所以28x ≤<, 选C.点睛：本题考查一元二次不等式解法以及取整定义的理解，考查基本求解能力.4．A【解析】 【分析】由题意首先确定函数g (x )的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像. 【详解】∵函数()(1)xxf x k a a -=--(a >0,a ≠1)在R 上是奇函数，∴f (0)=0，∴k =2， 经检验k =2满足题意， 又函数为减函数， 所以01a <<， 所以g (x )=log a (x +2)定义域为x >−2，且单调递减， 故选A . 【点睛】本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．C解析：C 【解析】 【分析】先根据图中的阴影部分是M∩P 的子集，但不属于集合S ，属于集合S 的补集，然后用关系式表示出来即可． 【详解】图中的阴影部分是： M∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集,即是C U S 的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P ）∩(∁U S). 故选C ． 【点睛】本题主要考查了Venn 图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力，属于基础题．6．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.7．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.8．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1，∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．9．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数； ∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．10．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a b b aa b a b >>>；故选D. 11．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.12．C解析：C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．13．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】2222log 4log 7log 83=<<=，20log 721∴<-<，()()2log 72227log 7log 7224f f -∴=-==. 故选：C .【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．14．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】易得()f x 是奇函数，2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数，不等式(sin )(1)0f m f m θ+-> 恒成立. 可得11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--， 故选D.15．B解析：B 【解析】20.4200.41,log 0.40,21<<,01,0,1,a b c b a c ∴<<∴<<，故选B.二、填空题16．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确 解析：（1）（2）（3） 【解析】 【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确. 【详解】 解：（1）当0c时，()=+f x x x bx ，()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c ，所以0c 是函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数()20xy x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以（2）正确；（3）因为函数()()2lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2y x ax a =+-能取遍(0,)+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确； （4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，故（4）不正确. 故答案为：（1）（2）（3） 【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.17．（3）【解析】（1）所以错误；（2）当时恒成立；当时综上或所以错误；（3）函数上任取一点则点落在函数上所以两个函数关于原点对称正确；（4）定义域为当时成立；当时得综上所以错误；（5）定义域为由复合函解析：（3） 【解析】（1）(1122212---⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以错误；（2）2log 1log 3aa a <=，当1a >时，恒成立；当01a <<时，023a <<，综上，023a <<或1a >，所以错误； （3）函数2xy =上任取一点(),x y ，则点(),x y --落在函数2x y -=-上，所以两个函数关于原点对称，正确；（4）定义域为R ，当0m =时，成立；当0m >时，240m m ∆=-≤，得04m <≤，综上，04m ≤≤，所以错误；（5）定义域为()0,1，由复合函数的单调性性质可知，所求增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以错误； 所以正确的有（3）。
上海同济初级中学数学高一下期中复习题(答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12425]设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ）A ．-4B ．14-C ．14D ．42．(0分)[ID ：12422]已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线0l ：220x y --=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为（ ）A ．4330x y --=B ．3430x y --=C ．3440x y --=D ．4340x y --=3．(0分)[ID ：12404]已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集。
其中正确的是（ ）A ．（1）（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（2）（4）4．(0分)[ID ：12377]<九章算术>中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面,2,4ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π5．(0分)[ID ：12358]如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是( )A ．30B ．60C ．90D ．1206．(0分)[ID ：12357]如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（ ）A ． 22B ． 42C ．4D ．8 7．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ） A ．4x 2y 5+= B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-= 8．(0分)[ID ：12348]已知圆O ：2224110x y x y ++--=，过点()1,0M 作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为（ ）A ．42B ．24C ．212D ．6 9．(0分)[ID ：12346]已知圆M ：2220x y y =++与直线l ：350ax y a +-+=，则圆心M到直线l 的最大距离为（ ）A ．5B ．6C ．35D ．4110．(0分)[ID ：12331]矩形ABCD 中，4AB =，3BC =，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积是（ ）A ．12512πB ．1259πC ．1256πD ．1253π 11．(0分)[ID ：12395]正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ）A ．62+45B ．62+25C ．32+45D ．32+2512．(0分)[ID ：12388]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．2π+4D ．3π+413．(0分)[ID ：12338]某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A ．43B ．1033C ．23D ．833 14．(0分)[ID ：12362]如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行 ②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成60︒角 ④DM 与BN 是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．415．(0分)[ID ：12360]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．64B ．643C ．16D ．163二、填空题16．(0分)[ID ：12491]给出下面四个命题：①“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”；②“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”；③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；④“平面//α平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”. 其中正确命题的序号是____________________17．(0分)[ID ：12473]在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有________18．(0分)[ID ：12458]已知圆22(1)16x y ++=，点(1,0),(1,0)E F -，过(1,0)E -的直线1l 与过(1,0)F 的直线2l 垂直且圆相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积的取值范围是_________.19．(0分)[ID ：12513]如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直． 其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）20．(0分)[ID ：12484]已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点(1,3)A 处的切线的方程是___________.21．(0分)[ID ：12469]已知动点,A B 分别在x 轴和直线y x =上，C 为定点()2,1，则ABC ∆周长的最小值为_______.22．(0分)[ID ：12446]底面边长为2的正三棱柱111ABC A B C -被不平行于底面的平面MNP 所截，其中3AM =，4BN =，5PC =，则多面体ABC MNP -体积为________23．(0分)[ID ：12443]已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______．24．(0分)[ID ：12500]如图，AB 是底面圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A 、B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1,2PO OB BC ===，点E 在线段PB 上，则CE OE +的最小值为________.25．(0分)[ID ：12434]在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且三棱锥的最长的棱长为2，则此三棱锥的外接球体积为_____________.三、解答题26．(0分)[ID ：12623]如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．27．(0分)[ID ：12562]如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，点F 为PC 的中点.（1）求证：PA ∥平面BDF ；（2）求证：PC ⊥BD .28．(0分)[ID ：12622]已知圆22C (4)4x y +-=：，直线:(31)(1)40l m x m y ++--=.（1）求直线l 所过定点A 的坐标；（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时直线l 的方程及最短弦长；（3）已知点M (-3,4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在定点N (异于点M )，满足：对于圆C 上任一点P ，都有||||PM PN 为一常数， 试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数. 29．(0分)[ID ：12544]已知圆()22:14C x y -+=内有一点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程；（2）当直线l 的倾斜角为45时，求弦AB 的长．30．(0分)[ID ：12540]已知圆C 的方程：22240x y x y m +--+=．（1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l ：240x y +-=相交于M ，N 两点，且||5MN =，求m 的值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．D3．C4．C5．C6．C7．B8．B9．A10．C11．A12．D13．B14．B15．D二、填空题16．①④【解析】【分析】利用直线与直线平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系利用充要条件的定义得结论【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直故①正确；对于②平行17．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平18．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与19．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD⊥平面ADC可推知BD⊥AC数量积为零②由折叠后AB＝AC＝BC三角形为等边三角形得∠BAC＝60°；③由DA＝DB＝DC根据正三棱锥的定义判断④平面ADC20．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O在点处的切线的方程的斜率∴圆O在点A处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的21．【解析】【分析】点C关于直线y=x的对称点为（12）点C关于x轴的对称点为（2﹣1）三角形PAB周长的最小值为（12）与（2﹣1）两点之间的直线距离【详解】点C关于直线y=x的对称点为（12）点C关22．【解析】【分析】将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分相加求和即可【详解】如图将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分其中四棱锥的高为为梯形则故多面体体积为故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法根据23．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题24．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为25．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】 解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-， 又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．D解析：D【解析】设直线0l 的倾斜角为α，则斜率01tan 2k α==，所以直线l 的倾斜角为2α，斜率22tan 4tan 21tan 3k ααα===-，又经过点（1,0），所以直线方程为4(1)3y x =-，即4340x y --=，选D.3．C解析：C【解析】【分析】根据题意，对每一个选项进行逐一判定，不正确的只需举出反例，正确的作出证明，即可得到答案.【详解】如图（1）所示，在平面内不可能由符合题的点；如图（2），直线,a b 到已知平面的距离相等且所在平面与已知平面垂直，则已知平面为符合题意的点；如图（3），直线,a b 所在平面与已知平面平行，则符合题意的点为一条直线， 综上可知（1）（2）（4）是正确的，故选C.【点睛】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟记空间中点、线、面的位置关系是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与论证能力，属于基础题. 4．C解析：C【解析】【分析】先作出三棱锥P ABC -的图像，根据P ABC -四个面都为直角三角形和PA ⊥平面ABC ，可知PC 中点即为球心，利用边的关系求出球的半径，再由24S R π=计算即得.【详解】三棱锥P ABC -如图所示，由于P ABC -四个面都为直角三角形，则ABC 是直角三角形，且2ABC π∠=，2223BC AC AB ∴=-=，又PA ⊥平面ABC ，且PAC 是直角三角形，∴球O 的直径2222PC R PA AB BC ==++2025==，5R ∴=，则球O 的表面积2420S R ππ==.故选：C【点睛】 本题考查多面体外接球的表面积，是常考题型.5．C解析：C【解析】【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，利用线面垂直的判定定理，证得1AD ⊥平面1A DC ，由此能求出结果．【详解】如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，连结1A D ，则1AD DC ⊥，11A D AD ⊥， 由线面垂直的判定定理得1AD ⊥平面1A DC ，所以11AD AC ⊥, 所以异面直线1AD 与1A C 所成的角的大小是90．故选C ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与证明，以及异面直线所成角的求解，其中解答中牢记异面直线所成的求解方法和转化思想的应用是解答的关键，平时注意空间思维能力的培养，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．6．C解析：C【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ， 所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据． 7．B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等，=．即：221244x x y y +-++- 229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．8．B解析：B【解析】【分析】设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==，12S AC BD =⋅=，利用均值不等式得到最值. 【详解】 2224110x y x y ++--=，即()()221216x y ++-=，圆心为()1,2O -，半径4r =. ()1,0M 在圆内，设圆心到AC ，BD 的距离为1d ，2d ，则222128d d MO +==.1122S AC BD =⋅=⨯=2212161624d d ≤-+-=，当22121616d d -=-，即122d d ==时等号成立.故选：B .【点睛】本题考查了圆内四边形面积的最值，意在考查学生的计算计算能力和转化能力.9．A解析：A【解析】【分析】计算圆心为()0,1M -，350ax y a +-+=过定点()3,5N -，最大距离为MN ，得到答案.【详解】圆M ：2220x y y =++，即()2211x y ++=，圆心为()0,1M -， 350ax y a +-+=过定点()3,5N -，故圆心M 到直线l 的最大距离为5MN =. 故选：A .【点睛】本题考查了点到直线距离的最值问题，确定直线过定点()3,5N -是解题的关键.10．C解析：C【解析】【分析】由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为AC 的中点，即可求出球的半径，代入体积公式即可得解.【详解】因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线AC 上，且球的半径为AC 长度的一半， 即22115222r AC AB BC ==+=，所以334451253326V r πππ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.11．A解析：A【解析】利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可.【详解】作图如下:因为,E F 是棱1,AD DD 的中点,所以11////EF AD BC ,因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B ,所以//EF 平面11BCC B ，由线面平行的性质定理知,过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF ,结合图形知,l 即为直线1BC ,过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC ,因为正方体的棱长AB ＝4, 所以1122,25,42EF BE C F BC ====所以所求截面的周长为2+5故选:A【点睛】本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.12．D解析：D【解析】该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为π×12+12×2π×1×2+2×2=3π+4 ,选D. 13．B解析：B由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，1104323333V =-⋅⋅=. 故选：B. 14．B解析：B【解析】【分析】把平面展开图还原原几何体，再由棱柱的结构特征及异面直线定义、异面直线所成角逐一核对四个命题得答案．【详解】把平面展开图还原原几何体如图：由正方体的性质可知，BM 与ED 异面且垂直，故①错误；CN 与BE 平行，故②错误；连接BE ，则BE CN ，EBM ∠为CN 与BM 所成角，连接EM ，可知BEM ∆为正三角形，则60EBM ∠=︒，故③正确；由异面直线的定义可知，DM 与BN 是异面直线，故④正确．∴正确命题的个数是2个．故选：B ．【点睛】本题考查棱柱的结构特征，考查异面直线定义及异面直线所成角，是中档题．15．D解析：D【解析】根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积1164433V =⨯⨯=，故选D.二、填空题16．①④【解析】【分析】利用直线与直线平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系利用充要条件的定义得结论【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直故①正确；对于②平行解析：①④【解析】【分析】利用直线与直线、平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系，利用充要条件的定义得结论．【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直，故①正确； 对于②，a 平行于b 所在的平面//a b ⇒或a 与b 异面，故②错；对于③，直线a 、b 不相交⇒直线a ，b 异面或平行，故③错；对于④，平面//α平面βα⇒内存在不共线三点到β的距离相等；α内存在不共线三点到β的距离相等⇒平面//α平面β或相交，故④正确故答案为：①④【点睛】本题考查直线与直线间的位置关系及性质；充要条件的判断．命题真假的判断，属于中档题．17．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平 解析：①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确．故答案为：①③．【点睛】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．18．【解析】【分析】由题可知而过的弦过圆心时最长与垂直时最短据此则可以确定四边形的面积的取值范围【详解】由题知直线过圆心故设圆心到直线的距离为则所以所以四边形的面积;故答案为:【点睛】本题主要考查直线与解析：⎡⎤⎣⎦【解析】【分析】由题可知8AC =,而过(1,0)F 的弦BD 过圆心时最长,与EF 垂直时最短,据此则可以确定四边形ABCD 的面积的取值范围.【详解】由题知,直线1l 过圆心(1,0)E -,故8AC =,设圆心(1,0)E -到直线2l 的距离为d ,则02d EF ≤≤=,所以BD ⎡⎤=⎣⎦,所以四边形ABCD 的面积12S AB CD ⎡⎤=⋅⋅∈⎣⎦;故答案为:⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题主要考查直线与圆相交时的弦长､面积问题,解题关键是明确:过圆内一点的作弦,弦过圆心时最长,与最长的弦垂直时弦最短.19．②③【解析】【分析】①由折叠的原理可知BD ⊥平面ADC 可推知BD ⊥AC 数量积为零②由折叠后AB ＝AC ＝BC 三角形为等边三角形得∠BAC ＝60°；③由D A ＝DB ＝DC 根据正三棱锥的定义判断④平面ADC解析：②③【解析】【分析】①由折叠的原理，可知BD ⊥平面ADC ，可推知BD ⊥AC ，数量积为零，②由折叠后AB ＝AC ＝BC ，三角形为等边三角形，得∠BAC ＝60°；③由DA ＝DB ＝DC ，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC 和平面ABC 不垂直．【详解】BD ⊥平面ADC ，⇒BD ⊥AC ，①错；AB ＝AC ＝BC ，②对；DA ＝DB ＝DC ，结合②，③对④错．故答案为②③【点睛】本题主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．20．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O 在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O 在点处的切线的方程的斜率∴圆O 在点A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的30y +-=【解析】【分析】先求出k OA ，从而圆O 在点(处的切线的方程的斜率k = ，由此能出圆O在点A 处的切线的方程．【详解】k OA =O 在点(处的切线的方程的斜率k =，∴圆O 在点A (处的切线的方程1y x =-） ，30y +-=．30y +-=.【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，属中档题. 21．【解析】【分析】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关于x 轴的对称点为（2﹣1）三角形PAB 周长的最小值为（12）与（2﹣1）两点之间的直线距离【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为（12）点C 关【解析】【分析】点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离．【详解】点C 关于直线y=x 的对称点为C '（1，2），点C 关于x 轴的对称点为C ''（2，﹣1）．三角形PAB 周长的最小值为C '（1，2）与C ''（2，﹣1）两点之间的直线距离，|C C '''（2，﹣1）|=22(21)(12)-+--=10． 故答案为：10．【点睛】本题考查点到直线的距离公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．22．【解析】【分析】将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分相加求和即可【详解】如图将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分其中四棱锥的高为为梯形则故多面体体积为故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法根据 解析：43【解析】【分析】将多面体ABC MNP -分为四棱锥N ACPM -与三棱锥N ABC -两部分相加求和即可.【详解】如图, 将多面体ABC MNP -分为四棱锥N ACPM -与三棱锥N ABC -两部分. 其中四棱锥N ACPM -的高为2sin 603⨯︒=.ACPM 为梯形.则()3521833323N ACPM V -+⨯=⨯⨯=.123434323N ABC V -⨯=⨯⨯=. 故多面体ABC MNP -体积为83434333+=故答案为：3【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法,根据多面体的特征分为两个棱锥计算即可.属于中档题.23．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B 则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题解析：()1,4,1--【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果.【详解】设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z +++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--．【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 24．【解析】【分析】首先求出即有将三棱锥展开当三点共线时值最小可证为中点从而可求从而得解【详解】在中所以同理所以在三棱锥中将侧面绕旋转至平面使之与平面共面如图所示当共线时取得最小值又因为所以垂直平分即为 解析：262+ 【解析】【分析】 首先求出2PB PC ==，即有PB PC BC ==，将三棱锥展开，当三点共线时，值最小，可证E 为PB 中点，从而可求OC OE EC ''=+，从而得解． 【详解】在POB 中，1PO OB ==，90POB ∠=︒，所以22112PB =+=，同理2PC =，所以PB PC BC ==，在三棱锥P ABC -中，将侧面BCP 绕PB 旋转至平面BC P '，使之与平面ABP 共面，如图所示，当O ，E ，C '共线时，CE OE +取得最小值，又因为OP OB =，C P C B '='，所以OC '垂直平分PB ，即E 为PB 中点，从而222OC OE EC ''=+=+=亦即CE OE +【点睛】 本题主要考查了空间中线段和最小值问题，考查了空间想象能力、推理论证能力，考查了数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．25．【解析】【分析】根据题意可得平面所以得出为三棱锥的最长边根据直角三角形的性质边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等所以为球心球直径即为【详解】平面平面平面所以三棱锥中最长边为设中点为在中所以三棱锥的外接 解析：43π 【解析】【分析】根据题意可得，BC ⊥平面PAC ，所以BC PC ⊥，得出PB 为三棱锥的最长边，PA AB ⊥，根据直角三角形的性质，PB 边的中点到三棱锥的各顶点距离都相等，所以为球心，球直径即为PB .【详解】PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥,,,AC BC PA AC A BC ⊥=∴⊥平面PAC ，BC PC ⊥，,,,,PB BC PB PC PA AC PC AC PC PA ∴>>⊥∴>>，所以三棱锥中最长边为2PB =，设PB 中点为O ，在,Rt PAB Pt PBC ∆∆中，12AO CO PB ==，所以三棱锥的外接球的球心为O ， 半径为41,3V π∴=. 故答案为:43π. 【点睛】 本题考查几何体的“切”“接”球问题，确定球心是解题的关键，考查空间垂直的应用，属于中档题.三、解答题26．（Ⅰ）略；（Ⅱ）60【解析】试题分析：（Ⅰ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，先证明//OH BD ，从而由直线与平面平行的判定定理得//BD 平面HDF ；思路二：先证明平面//FGH 平面ABED ，再由平面与平面平行的定义得到//BD 平面HDF .（Ⅱ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，证明,,GB GC GD 两两垂直, 以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH ，证明MNH ∠即为所求的角，然后在三角形中求解.试题解析：（Ⅰ）证法一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE G =为AC 的中点可得//,DF GC DF GC =所以四边形DFCG 为平行四边形则O 为CD 的中点又H 为BC 的中点所以//OH BD又OH ⊂平面,FGH BD ⊂平面,FGH所以//BD 平面FGH ．证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点可得//,,BH EF BH EF =所以四边形BHFE 为平行四边形可得//BE HF在ABC ∆中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点，所以//GH AB又GH HF H ⋂=，所以平面//FGH 平面ABED因为BD ⊂平面ABED所以//BD 平面FGH（Ⅱ）解法一：设2AB =，则1CF =在三棱台DEF ABC -中，G 为AC 的中点 由12DF AC GC ==， 可得四边形DGCF 为平行四边形，因此//DG CF又FC ⊥平面ABC所以DG ⊥平面ABC在ABC ∆中，由,45AB BC BAC ⊥∠=，G 是AC 中点，所以,AB BC GB GC =⊥因此,,GB GC GD 两两垂直,以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -所以())()()0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,1G BC D 可得()22,0,2,122H F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 故()22,,0,0,2,122GH GF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 设(),,n x y z =是平面FGH 的一个法向量，则由0,{0,n GH n GF ⋅=⋅=可得0{20x y z +=+= 可得平面FGH 的一个法向量(1,1,2n =-因为GB 是平面ACFD 的一个法向量，()2,0,0GB =所以21cos ,222GB n GB n GB n ⋅===⋅ 所以平面与平面所成的解（锐角）的大小为60解法二： 作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH 由FC ⊥平面ABC ，得HM FC ⊥又FC AC C ⋂=所以HM ⊥平面ACFD因此GF NH ⊥所以MNH ∠即为所求的角在BGC ∆中,12//,,22MH BG MH BG == 由GNM ∆∽GCF ∆可得,MN GM FC GF= 从而6MN =由MH ⊥平面,ACFD MN ⊂平面ACFD得,MH MN ⊥因此tan 3HM MNH MN∠==所以60MNH ∠=所以平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60.考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用.27．（1）详见解析；（2）详见解析。
大一上学期高数考试题(同济第六版)
一、选择填空题（每小题3分，共30分）1. )e e ()(x x --=x x f 在其定义域),(∞+-∞内是( )(A) 有界函数 (B) 单调函数 (C) 奇函数 (D) 偶函数 2. 当0→x 时,)cos cos3(41x x -是2x 的( )(A) 高阶无穷小 (B) 同价无穷小,但不是等价无穷小 (C) 低阶无穷小 (D) 等价无穷小 3. 设)(x f 为连续的奇函数，则)(x f 的原函数中( )(A) 都是奇函数 (B) 有奇函数 (C) 都是偶函数 (D) 有偶函数 4. 曲线x x y a r c t a n =的图形应为 ( )(A) 在),(∞+-∞内是凸的 (B) 在),(∞+-∞内是凹的(C) 在),(∞+-∞内单调增加 (D) 在),(∞+-∞内单调减少5. x x x f x xx x ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩21cos sin ,0,()1, 0, 则0=x 是)(x f 的( ) (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点(C) 振荡间断点 (D) 连续点6.已知k j i k j i--=+=2b ,2-2a ,则ba ,夹角的余弦为7．若)(x f 在),(∞+-∞上连续，则=⎰t t f x2x xd )(d d sin8．设)(x f 在点0x 可导且3)(0='x f ，则=+--→h2h x f 2h x f 0h )()(lim9．函数2x xe y =的极值点为 10．=>⋅⎰+∞)(d ee 0k p t pt-kt高等数学试卷（A ）第1页二、计算题（每小题6分，共36分）11．求 ]ln )[ln(lim n 3n n n --∞→ 12．求)1e11(lim 22--→xx x13.求2xx xtt +⎰+∞→1d )(arctan lim214．已知)1ln(cos 2+=x x y , 求.d 2x yπ=15．函数)(x y y =是由方程0sin 21=+-y y x 所确定，求曲线)(x y y =在点),(ππ的切线和法线方程. 16．x xx 22d 1)(arctan ⎰+三．解答题（每小题6分，共18分）17. 设函数)(x f y =由参数方程⎩⎨⎧-=+=)cos (sin ),sin (cos t t t a y t t t a x 确定, 求22d d ,d d x yx y . 18.求定积分⎰-122d 1x xx 22.19. 已知k j 2i b ,k -j 3i 2a+-=+=, 求向量b a +与向量b a 2 -的向量积.四．证明与计算（每小题5分，共10分）20．设函数)(x f 在]10[,上连续，且1)(0<<x f . 判断方程1d )(0=-⎰xt t f 2x 在)10(,内有几个实根？并证明你的结论.21. 试证:当0≥x 时, 有不等式)1ln(e x x -x +≤. 五 综合题(6分)22. 如图，在区间]10[,上给定函数2x y =，之和最小？何时最大？。
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1．
lim
n
un
0
是级数
n 1
un
收敛的
解：必要非充分．
条件．
2．
n0
lnn 3 2n
．
解：公比 q ln 3 1的等比级数收敛且和 s 1 ．
2
1 ln 3 2
3．对于无穷级数
n 1
1 n2 p
，下面中正确的是
[
]．
(A) 仅当 p 1时收敛； (B) 仅当 p 1时收敛；
方程．
解：
uuuur P1P2
1,
2,
3
．则
nr
⊥
ar
，又
nr
⊥
uuuur P1P2
，可取
r rr
nr
ar
uuuur P1P2
i 1
j 0
k
2 4,5, 2．
1 2 3
所求平面为 4x 1 5 y 3 2 z 0 0 4x 5y 2z 19 0 ．
4．求平行于 xOy 坐标面且过点 P0 3, 4,7 的平面的方程．
(C) 仅当 p 1时收敛； (D) 仅当 p 1 2 时收敛．
解：
p
级数
n 1
1 n2 p
仅在
2p
1 ，即
p
1
2 时级数收敛．
4．若 | un | 收敛，则下面命题中不正确的是 [
]．
n1
(A) un 必收敛；
(B)| un | 必单调减少；
n 1
(C)
lim
n
un
0
；
(D) 1n un 必收敛． n1
n 2n 5n
5n
n
5
2n 1 2
1
，级数发散．
8．判断下列级数收敛性，若收敛，问是条件收敛还是绝对收敛？
① 1 n1
n
；
n1
3n 1
解： un
n
n
1
0
，收敛必要条件不满足，原级数发散．
3n 1 3
②
n1
1
n
1
n 1 n
n
；
解： un
1
n
n
n
n
1 e
0
，收敛必要条件不满足，原级数发散．
n1
2．若 an x 1n 在 x 1处收敛，则在 x 2 处该级数 [
]．
n1
(A)绝对收敛；
(B)条件收敛；
(C)发散；
(D)收敛性不能确定．
解：(A)正确．
3．求下列幂级数的收敛半径与收敛区间：
①
n0
1n
xn1
n 1!
；
解：
an an1
n
1
1!
n
1
2!
n
2
n
，
R
，
,
．
uuur AD
nr
nr
47 ． 91
②
底面 ABC的面积 S
1
uuur uuur AB AC
3
91 ．
2
2
棱锥体积V 1 S h 47 ．
3
2
五、空间解析几何：
1．求过点 P0 1,0,3 且垂直于向量 nr 1, 2,5 的平面的方程．
解：1x 1 2 y 1 5z 3 0 x 2y 5z 14 0．
0 x ,
a0
2
n1
an
cos
nx
bn
sin
nx
．
① 写出各系数 a0, an , bn 的计算表达式； ② 计算 a3, b5 之值．
解：① a0
1
0
xdx ； an
1
0
x
cos
nxdx
；
bn
1
x sin nxdx ．
0
② a3
2
9
； b5
1 5
．
4．将函数 f x 1 x在区间0, 上展开成正弦级数和余弦级数．
r b
1 2 11 1 2
12 12 12 22 12 22
arccos 3 ．
3r r
② sr
ar
r b
i 1
j 1
r k
1 3,0, 3 ，
3 3， 33 3
2 1 2
r rs esr sr
3,0, 3 32 02 32
2 ,0, 2
2 2
．
6．已知 A1, 2,3 ， B2,3, 4 ， C 4,7,9 ，则 ABC的面积等于[ ]．
3n1
n0
，收敛区间 2, 4 ．
n1
1n
3n1
1 12
．
5．使用间接展开方法将函数 f x 2sin2 x 展开成幂级数．
解：
f
x
2 sin 2
x
1 cos 2x
1
n0
1n 4n 2n!
x2n
， , ．
6．求下列两个幂级数的收敛半径与收敛区间，并求出它们的和函数：
①
1 n x2n1 ；
解： bn
2
0
1
x sin
nxdx
2
1
x cos nx
n
sin nx n2
0
2 1 1 n1 1 ．
n
正弦级数：
f
x
1
x
n1
2 1
1 n1
n
1
sin
nx
，
x 0,
．
a0
2
1 x dx 2
0
x
x2
2
0
2
；
an
2
1 x cos nxdx
0
2
1 xsin nx
2!
2n!
5n 2
n
0 1，级数收敛．
un 2n 2! 5n n 1! 2n 12n 2
③ 3n n! ；
nn
n 1
解： un1 un
3n1 n 1! nn
n 1 n1
3n n!
3
1 1 /
nn
n
3 e
1
，级数发散．
④
5n
．
n1 n 2n
解： un1 un
5n1
n 1 2n1
，
n 1
n 1
an xn 的收敛半径为为
n1 n 1
， an x 1n 的收敛区间为 n1
．
解：逐项求导或逐项积分后的幂级数收敛半径不变，前两答案都为 1．
令 y x 1，∵ an yn 的收敛半径 1，∴ 1 y 1 ， 0 x 2，级数 n1
an x 1n 的收敛区间 0, 2 ．
ar
r b
0
2m
2
0
m
1
．
r ② Prjarb
ar
r b
ar
2m 2 14
4
m 1
2
14 m 2
14 1．
rrr
③
ar
r b
i 3
j 2
k
1 10 m,16,3m 2 ，
1 m 5
S
ar
r b
m 102 162 3m 22
362 ，
5m2 4m 1 0 m1 1 5, m2 1．
n
cos nx
n2
0
2 1 n1 1
n2
；
余弦级数：
f
x
1
x
2
2
n1
2 1n1
n2
1
cos nx
， x0, ．
四、向量代数：
1．已知 ar
2,1, 1
．①求模
|
ar
|
，②求与
ar
同向的单位向量
r ea
，
③求 ar 的方向余弦和方向角．
解：① ar 2 2 12 12 2 ．
②
r ea
ar ar
2,1, 1 2
2 2
,
1 2
,
1 2
．
③ 方向余弦 cos 2 ， cos 1 ， cos 1 ；
2
2
2
方向角 ， ， 2 ．
4
3
3
2试 解．：求已①：知①|araba|r5b，ar；|
b | ② r
4
， 3ar
a与r 2b
b cos 5
2．求平行于向量
ar
0,1,
2
及向量
r b
1,
2,
1
且过点
P0
1,
2,
3
的
平面的方程．
rrr
解：取 nr
ar
r b
i 0
j 1
k
2 = 5, 2, 1 ．
125
所求平面为 5 x 1 2 y 1 x 1 0 ，即 5x 2y 1 4 0 ．
3．求过两点 P1 1,3,0 ， P2 2,1,3 且平行于向量 ar 1,0, 2 的平面的
8．已知三棱锥顶点在 A0,0,0, B3,4, 1, C 2,3,5, D6,0,3 ．
试求：① 顶点 D 到底面 ABC的距离； ② 求该三棱锥的体积．
rr r
解：①记 nr
uuur uuur AB AC
i 3
j 4
k
1 23, 17,1．则
23 5
uuur D 到底面的距离 h Pr jnr AD
1 1 2
②
∵
4ar
r 5b
43, 2, 1 51, 1, 2 17,3,6，