高等数学课件习题课1ppt
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北科大高数课件第一章
第一章
习题课
8/24
1 2 n ⎛ ⎞ lim ⎜ 2 + 2 + + 2 例5 求极限 ⎟. n→∞ n + n + 1 n +n+2 n +n+n⎠ ⎝ n( n + 1) 1 2 n < 2 + 2 + + 2 解 2 n + n+1 n + n+ 2 n +n+n 2 n +n+n
(
)
n( n + 1) 1 = , 而 lim n→∞ 2 n 2 + n + n 2 n( n + 1) 1 lim = , n→∞ 2 n 2 + n + 1 2
3 ⎛ ⎛ 1 + tan x tan x − sin x ⎞ x 3 ⎞⎞x ⎛ 1 − 1 ⎟ ⎟ = lim ⎜ 1 + 原式 = lim ⎜ 1 + ⎜ x →0 x →0 1 + sin x 1 + sin x ⎟ ⎠⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝
1
解
1
∞
1
⎛⎛ tan x − sin x ⎞ = lim ⎜ ⎜ 1 + x →0 ⎜ 1 + sin x ⎟ ⎠ ⎝⎝
第一章
习题课
7/24
x− y x+ y sin x − sin y = 2sin cos 2 2 x+ y x− y sin x + sin y = 2sin cos 2 2 x+ y x− y cos x − cos y = −2sin sin 2 2 x+ y x− y cos x + cos y = 2cos cos 2 2
高等数学-01空间解析几何(课件
向量的数量积
表示两个向量的夹角。
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积
表示两个向量的垂直程度。
向量的混合积
表示三个向量的空间关系。
向量在空间几何中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以表示为向量，力的 合成与分解可以通过向量的加法、数 乘和向量积进行计算。
速度和加速度的分析
在运动学中，速度和加速度可以表示 为向量，通过向量的加法、数乘、向 量积和混合积进行计算和分析。
空间解析几何在计算机图形学中 用于三维建模、动画制作和虚拟 现实技术。
空间解析几何的基本概念
空间向量
表示空间中具有大小和方向的 量。
向量积
表示两个向量的外积，是一个 向量运算，结果是一个向量。
空间点
表示空间中一个位置的点。
向量运算
包括加法、数乘、向量的模等 基本运算。
混合积
表示三个向量的内积，结果是 一个标量。
习题三
总结词
向量的数量积、向量积和混合积
详细描述
习题三主要涉及向量的数量积、向量积和混合积的计算和性质。通过这些练习题，学生 可以深入理解向量的数量积、向量积和混合积的概念和计算方法，掌握其性质和应用，
提高解题能力。
THANKS
感谢观看
曲线方程
通过给定的方程，可以描 述曲线的形状和路径。
常见曲线
圆、椭圆、抛物线、双曲 线等。
曲面与曲线的应用
工程设计
在机械工程、航空航天、船舶制造等领域，曲面与曲线被广泛应 用于产品设计和优化。
数学建模
在物理、化学、生物等学科中，曲面与曲线可以用来描述自然现 象和规律，建立数学模型。
数据分析
在统计学和数据分析领域，曲面与曲线可以用来可视化数据和探 索数据之间的关系。
表示两个向量的夹角。
向量的向量积与向量的混合积
向量的向量积
表示两个向量的垂直程度。
向量的混合积
表示三个向量的空间关系。
向量在空间几何中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以表示为向量，力的 合成与分解可以通过向量的加法、数 乘和向量积进行计算。
速度和加速度的分析
在运动学中，速度和加速度可以表示 为向量，通过向量的加法、数乘、向 量积和混合积进行计算和分析。
空间解析几何在计算机图形学中 用于三维建模、动画制作和虚拟 现实技术。
空间解析几何的基本概念
空间向量
表示空间中具有大小和方向的 量。
向量积
表示两个向量的外积，是一个 向量运算，结果是一个向量。
空间点
表示空间中一个位置的点。
向量运算
包括加法、数乘、向量的模等 基本运算。
混合积
表示三个向量的内积，结果是 一个标量。
习题三
总结词
向量的数量积、向量积和混合积
详细描述
习题三主要涉及向量的数量积、向量积和混合积的计算和性质。通过这些练习题，学生 可以深入理解向量的数量积、向量积和混合积的概念和计算方法，掌握其性质和应用，
提高解题能力。
THANKS
感谢观看
曲线方程
通过给定的方程，可以描 述曲线的形状和路径。
常见曲线
圆、椭圆、抛物线、双曲 线等。
曲面与曲线的应用
工程设计
在机械工程、航空航天、船舶制造等领域，曲面与曲线被广泛应 用于产品设计和优化。
数学建模
在物理、化学、生物等学科中，曲面与曲线可以用来描述自然现 象和规律，建立数学模型。
数据分析
在统计学和数据分析领域，曲面与曲线可以用来可视化数据和探 索数据之间的关系。
高等数学《中值定理》习题课课件 一
ba
整理得e [ f () f ()] e
即证
(5) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,
有时也可考虑对导数用中值定理 . (6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
例9. 设函数
在
上二阶可导,
且
证明
证: x [0, 1] , 由泰勒公式得
f
(1)
f
(x)
f
( x)(1
m f (0), f (1), f (2) M
m
f (0) f (1) f (2) 3
M
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
由 罗分f (尔c析) 定: 所想理f (f3给到知()c条找), 必1件一,且存f 可点(0在f)写c(xf,为)3(使1在)(cf[fc(,f(0,32(3)))c])上f 3(11(连)0f,(续3f0())2,,)在使f3(1(1)cf,,(f3f()(2)3内))可01.导 ,
1 f ( ) (0 1)
24
f ( ) 24
例11 求下列极限 :
1) lim [x2 ln(1 1) x];
x
x
2)
lim
x0
1 x100
e
1 x2
;
3) lim ln(1 x x2 ) ln(1 x x2 ).
x0
sec x cos x
解: 1) lim [x2 ln(1 1) x]
(2)所证式中出现两端点, 可考虑用拉格朗日定理 .
例5 设f (x)在[a,b]上连续，在 (a,b)内可导
证明至少存在一点 (a,b)使得 bf (b) af (a) f ( ) f ( )
ba
整理得e [ f () f ()] e
即证
(5) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,
有时也可考虑对导数用中值定理 . (6) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
例9. 设函数
在
上二阶可导,
且
证明
证: x [0, 1] , 由泰勒公式得
f
(1)
f
(x)
f
( x)(1
m f (0), f (1), f (2) M
m
f (0) f (1) f (2) 3
M
由介值定理, 至少存在一点 c [0, 2] , 使
由 罗分f (尔c析) 定: 所想理f (f3给到知()c条找), 必1件一,且存f 可点(0在f)写c(xf,为)3(使1在)(cf[fc(,f(0,32(3)))c])上f 3(11(连)0f,(续3f0())2,,)在使f3(1(1)cf,,(f3f()(2)3内))可01.导 ,
1 f ( ) (0 1)
24
f ( ) 24
例11 求下列极限 :
1) lim [x2 ln(1 1) x];
x
x
2)
lim
x0
1 x100
e
1 x2
;
3) lim ln(1 x x2 ) ln(1 x x2 ).
x0
sec x cos x
解: 1) lim [x2 ln(1 1) x]
(2)所证式中出现两端点, 可考虑用拉格朗日定理 .
例5 设f (x)在[a,b]上连续，在 (a,b)内可导
证明至少存在一点 (a,b)使得 bf (b) af (a) f ( ) f ( )
ba
高教社(亢莹利)高等数学习题集(第三版)教学课件-二重积分的概念
D
D
如果把积分区域 D 分成两个闭子域 D1 与 D2 ，即 D D1 D2 ，则
f (x , y)d f (x , y)d f (x , y)d ．
D
D1
D2
如果在 D 上， f (x , y) 1， D 的面积为 ，则
f (x , y)d 1d ．
D
D
课堂练习
§6.2.1二重积分的概念
1x2 1 y 0
（2） (x2 + y2 2)d ； x2 y2 1
（3） xd ．
x1 y1
3. 利用二重积分的几何意义计算二重积分：
（1） d ， D ： x2 y2 1；
D
（2） R2 x2 y2 d ， D ： x2 y2 R2 ．
D
课堂小结
§6.2.1二重积分的概念
i 1
如果当各小区域的直径中的最大值 趋于零时，此和式的极限存在，且极限值与区域 D 的
分法无关，也与每个小区域 i 中点 (i ,i ) 的取法无关．则称此极限值为函数 f (x , y) 在闭区
域 D 上的二重积分，记作 f (x , y)d ，即
D
n
D
f (x , y)d
lim 0 i1
问题探究
§6.2.1二重积分的概念
关于曲顶柱体，当点 (x , y) 在区域 D 上变动时，高 f (x , y) 是个变量，因此，它的体积不
能直接用平顶柱体体积公式来计算．不难想到，用求曲边梯形面积的方法，即分割、近似代
替、求和、取极限的手段来解这个问题．
（1）分割：我们用一曲线网把区域 D 任意分成 n 个小区域 1 ， 2 ，…， n ，
体体积V ，当把区域 D 无限细分时，即当所有小区域的最大直径（区间内，最远
高等数学_第四章习题课
真分式化为部分分式之和的待定系数法
四种类型分式的不定积分
1. x A adx Aln xaC;2. (x A a)d nx (1n)A x (a)n1C ;
3. x2M pxN xqdxM 2lnx2pxq
NM2parctx anp2 C;
qp24
qp24
4 .( x 2 M p N q x ) x n d M x 2( x ( 2 2 x p p ) d q x ) n x ( x 2 N p M 2 q x ) n p d
即：连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义
在区间 I内， 函数f(x)的带 有任意 常数项 的 原函 数称 为f(x)在区间 I 内的 不定积 分， 记
为f(x)dx．
f(x)d xF (x)C
函 数 f(x )的 原 函 数 的 图 形 称 为 f(x )的 积 分 曲 线 .
(1)3axdx lan
ln 3 2
dt t2 1
2l1n3(t
1 1 t
1 )dt 1 lnt1C 1 2(ln 3ln2) t1
2
1
3x2x
ln C.
2(l3 nln2) 3x2x
例2 求ex1(1csoixsnx)dx.
ex(12sinxcosx)
解 原式
2 2 dx 2co2sx
2
(ex 1 extanx)dx
高等数学_第四章习题课
1、原函数
定义 如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为 f(x) ，即xI ，都有F(x) f(x) 或 dF(x) f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)或 f(x)dx在区间I内原函数. 原函数存在定理 如 果 函 数 f(x)在 区 间 I 内 连 续 ， 那 么 在 区 间 I内 存 在 可 导 函 数 F (x)， 使 x I， 都 有 F (x)f(x).
四种类型分式的不定积分
1. x A adx Aln xaC;2. (x A a)d nx (1n)A x (a)n1C ;
3. x2M pxN xqdxM 2lnx2pxq
NM2parctx anp2 C;
qp24
qp24
4 .( x 2 M p N q x ) x n d M x 2( x ( 2 2 x p p ) d q x ) n x ( x 2 N p M 2 q x ) n p d
即：连续函数一定有原函数．
2、不定积分
(1) 定义
在区间 I内， 函数f(x)的带 有任意 常数项 的 原函 数称 为f(x)在区间 I 内的 不定积 分， 记
为f(x)dx．
f(x)d xF (x)C
函 数 f(x )的 原 函 数 的 图 形 称 为 f(x )的 积 分 曲 线 .
(1)3axdx lan
ln 3 2
dt t2 1
2l1n3(t
1 1 t
1 )dt 1 lnt1C 1 2(ln 3ln2) t1
2
1
3x2x
ln C.
2(l3 nln2) 3x2x
例2 求ex1(1csoixsnx)dx.
ex(12sinxcosx)
解 原式
2 2 dx 2co2sx
2
(ex 1 extanx)dx
高等数学_第四章习题课
1、原函数
定义 如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为 f(x) ，即xI ，都有F(x) f(x) 或 dF(x) f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)或 f(x)dx在区间I内原函数. 原函数存在定理 如 果 函 数 f(x)在 区 间 I 内 连 续 ， 那 么 在 区 间 I内 存 在 可 导 函 数 F (x)， 使 x I， 都 有 F (x)f(x).
高等数学同济第七版第一章ppt课件
[
( x1
f
)
2f ((xf 1)()x2 )时ff(,(xx11))fff(((xxx)22)f)]2[0(f, 2)(xF2f()x(1x)1F)f f((xx(1x2)2)
)f(0x0,2
)]
故由零点定理知 , 存在 (x1 , x2 ), 使 F ( ) 0, 即
f ( ) f (x1) f (x2 ) .
5. 求极限的基本方法
6. 判断极限不存在的方法
例7. 求下列极限：
(1) lim (sin
x
(2)
lim
x1
1 x2 sinπ x
x 1 sin
x)
(3)
lim
x0
1 1
x x
cot x
提示: (1) sin x 1 sin x
2sin x 1 x cos x 1 x
2
2
2sin
1
cos x 1 x
lim [ f (x) A] 0
xx0
(即 f (x) A 为无穷小)
f (x0 ) f (x0 ) A
xn (xn x0) , xn n x0 ,
有
lim
n
f
(xn )
A
2. 极限存在准则及极限运算法则
3. 无穷小
无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小:
sin x ~ x
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
x x x0 , y f (x0 x) f (x0)
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
0, 0, 当 x x0 时, 有
高等数学课件完整版
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
二、函数概念
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集， 如果对于每个数x D , 变量 y 按照一定法则总有
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
二、复合函数 初等函数
1.复合函数
设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若 D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
( x), ( x) 1
10 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
x 1; 0 x 2;
20 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
(
W
y f (x0 )
自变量
)
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x2 例如， y 1
1 x2
D :[1,1] D : (1,1)
如果自变量在定 y
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函 W
数叫做单值函数，否
y
则叫与多值函数．
5.绝对值:
a
a a
a0 a0
运算性质:
ab a b;
( a 0)
a a; bb
a b a b a b.
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
二、函数概念
定义 设x 和y 是两个变量,D是一个给定的数集， 如果对于每个数x D , 变量 y 按照一定法则总有
y arctan x
反余切函数 y arccot x
y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
二、复合函数 初等函数
1.复合函数
设 y u, u 1 x2 ,
y 1 x2
定义: 设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数 u ( x)的值域为Z , 若 D f Z , 则称 函数 y f [( x)]为x 的复合函数.
( x), ( x) 1
10 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
x 1; 0 x 2;
20 当( x) 1时,
或 x 0, ( x) x 2 1, 或 x 0, ( x) x2 1 1,
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
高等数学第三版第一章课件(每页16张幻灯片)
第一章 函数与极限§1 函数 §2 初等函数 §3 数列的极限 §4 函数的极限 §5 无穷小与无穷大 §6 极限运算法则 §7 极限存在准则 两个重要极限 §8 无穷小的比较 §9 函数的连续性与间断 §10连续函数的运算与性质第一节 函数一、实数与区间 二、领域 三、函数的概念 四、函数的特性一、实数与区间1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.∀ a , b ∈ , 且a < b.a∈ M, a∉ M, A = { a1 , a 2 , , a n }有限集{ x a < x < b} 称为开区间, 记作 (a , b )o a x b { x a ≤ x ≤ b} 称为闭区间, 记作 [a , b] o aM = { x x所具有的特征 } 无限集数集分类: N----自然数集 Q----有理数集 数集间的关系: Z----整数集 R----实数集N ⊂ Z, Z ⊂ Q, Q ⊂ R.bx{ x a ≤ x < b} 称为半开区间, 记作 [a , b ) { x a < x ≤ b} 称为半开区间, 记作 (a , b] [a ,+∞ ) = { x a ≤ x } ( −∞ , b ) = { x x < b}o a o x x二、邻域有限区间常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法： 通常用字母 a, b, c 等表示常量, 用字母 x, y, t 等表示变量. 例三、函数的概念圆内接正多边形的周长设a与δ是两个实数 , 且δ > 0.数集{ x x − a < δ }称为点 a的δ邻域 ,点a叫做这邻域的中心 , δ 叫做这邻域的半径 .b ( −∞ , +∞ ) = { x −∞ < x < +∞ } =U δ (a ) = { x a − δ < x < a + δ }. δ δ无限区间区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.a a−δ a+δ o x 点a的去心δ 邻域 , 记作U δ0 (a ), 或 U (a , δ ).π S n = 2 nr sin n n = 3 ,4 ,5 ,S3S4S5圆内接正n 边形S6Oπ nr)Uδ (a ) = { x 0 < x − a < δ }.o定义:设 x 和 y 是两个变量, D 是给定的数集，如果对于每个数 x ∈ D , 变量 y 按照一定法则总函数的两要素: 定义域与对应法则.有唯一的数值和它对应，则称 y 是 x 的函数， 记作因变量x ((D对应法则fx0 )f ( x0 )y = f ( x)自变量数集D叫做这个函数的定义域 自变量Wy)因变量看右图： 如果自变量在定义域 内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个， 这种函数叫做单值函数， 否则叫做多值函数．y分段函数：在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的Wy⋅ ( x, y)x式子来表示的函数。
高等数学第五章习题课1定积分
第 五 章 定 级 分
解
原式 lim
2e
x2
0 e
2 x2
x t2
dt
x
e
0
lim
2 e dt e
x2
x t2
x
lim
2e
x2
2
x 2 xe x
1 lim 0 x x
- 17 -
习题课（一）
3 解
第 五 章 定 级 分
tf ( x t )dt lim 0 ,
1 i 1 2 lim sin sinxdx n 0 n n i 1
n
-2-
习题课（一）
第 五 章 定 级 分
i 1 n i 1 lim sin lim sin n n n n 1 n n n i 1 i 1 1 2 sinxdx 0 2 原式 1 n1 n 2 n nn 3 lim n n n n
1 2 F ( x )dx 0
存在一点 , 使得 F ( ) 0, 即 f ( ) f ( )
-9-
习题课（一）
第 五 章 定 级 分
设在 [0,1] 上 f ( x ) 0, 证明： 1 1 2 0 f ( x )dx f ( 3 ) 证 由于 y f ( x ) 在区间 [0,1] 是上凸的， 所以曲线 1 1 y f ( x ) 在过 ( , f ( )) 处的切线下方，即 3 3 1 1 1 f ( x ) f ( ) f ( )( x ) 3 3 3 1 1 2 1 2 f ( x ) f ( ) f ( )( x ) 3 3 3
高等数学下册课件-第8章-习题课
=9+4+2 | a || b | (a, b) 19
2.
a b ab 0
A B (2a b ) (a b ) 2 | a |2 | b |2
=2( +2)=0
2
3. cos(a,b) a b 1 | a || b | 2
sin(a,b) 1 1 3 42
| a b || a || b | sin(a,b) 10 3
三、设点 M (x, y, z)
M1M 3MM 2 (x 2, y 5, z 3) 3(3 x, 2 y,5 z)
x 2 3(3 x)
y
5
3(2
y)
z 3 3(5 z)
i jk
所求为
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
7 1 4
cos 3 , cos 5 , cos 4
x 11, y 1 , z 3
4
4
OM 1 (11, 1,12) 4
四、1.原式 (6 7 8)c 21c (21, 42, 21) 2.原式 (9 1 4)(21 7 2 41) 280
i jk 3.原式 3 1 2 (3, 1,5)
d M0M1 s s
s (m,n, p)
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
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二、实例分析
例1. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程.
高等数学课件同济大学版第八章习题课
直线: xxyyzz,s(m ,n,p ) mn p
垂直： sn0
m n p ABC
平行： sn0
m A n B p C 0
夹角公式： sin sn
sn
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3. 相关的几个问题 (1) 过直线
L: A A 2 1x x B B 2 1y y C C 1 2zz D D 1 2 0 0
A x 0 B y 0 C z 0 D A2B2C2
M0
d
n
M1
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(3) 点 M 0(x0,y0,z0)到直线
L: xx1yy1zz1 mn p
的距离为
L
M 0(x0,y0,z0) d
d M0M1s s
s(m ,n,p)
M 1(x1,y1,z1)
1
m2 n2 p2
i jk sn1n2 1 0 4 ( 4,3,1 )
2 1 5
利用点向式可得方程
x 3 y2 z5
4
3
1
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例2. 求直线 x2y3z4与平面 112
2 x y z 6 0
t
的交点 .
提示: 化直线方程为参数方程
x2t
y
3 t
z 4 2 t
代入平面方程得 t 1
从而确定交点为（1，2，2）.
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例3. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线 x1y1 z 3 2 1
垂直相交的直线方程（类似8-6，题1）. 提示: 先求二直线交点 P. 过已知点且垂直于已知直线
i
j
k
x 1 x 0y 1 y 0z 1 z 0
高等数学习题课(1)函数极限与连续性
连续,
证明 f (x) 对一切 x 都连续 .
提示:
lim f (x x) lim [ f (x) f (x)]
x0
x0
f (x) f (0)
f (x 0) f (x)
P73 题5. 证明: 若 f (x) 在 (, )内连续, lim f (x)
x
存在, 则 f (x) 必在 (, )内有界.
III.课堂训练题 1. 求数列极限
1 lim[ n n n n ] n
2 lim 1 a1 a2 1 a2n ，( a 1) n
2. 求下列极限
1 lim x0
1 tan x 1 sin x sin3 x
2 lim sin x 1 sin x x
公式：sin A sin B 2cos A B sin A B
xx0
f (x)
f
(x0 )
6. 连续函数的性质
1) 有限个连续函数的和、差、积、商（分母不为 零），仍为连续函数；
2) 单值单调连续函数的反函数在对应区间上也为 单值单调的连续函数；
3) 连续函数的复合函数也是连续函数； 4) 一切初等函数在其定义区间内都是连续函数。
7. 闭区间上连续函数的性质
有 y f (x0 x) f (x0 )
如 果 lim y 0
①
x0
或
lim
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )
②
或
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
③
则 称 函 数y f (x) 在 点 x0 处 连 续 。
命题：lim xx0
f
(x)
f
高等数学课件第二章导数的计算 习题课ppt
lim
3a
x1 x 1
f (1)
lim
x1
f ( x) f (1)
3 x 1 1
lim
Hale Waihona Puke x1x1 x 1 3
3a 1 , 3
f (1) 1
3
a 1, b 8.
9
9
当x 1时,
f
( x)
1 (
x3
8 )
1
x2;
9 93
当x 1时, f ( x) (3 x ) 1 .
33 x2
又 f 0 e ，证明 f x在 , 内处处可导．
解： 取 x y 0 代入恒等式，得 f 0 2 f 0 ，
因此 f 0 0 ．
f x lim f x x f x
x 0
x
lim e x f x ex f x f x
x0
x
ex f
lim
0
x
f
0
f
x ex
1
x0
例3.
解:
1
x
2 3
3
所以 y x0 , 即在原点处有垂直切线.
令 1 1 1, 3 3 x2 3
得 x 1, 对应 y 1,
则在点(1,1) , (–1,–1) 处与已知直线平行. 平行的切线方程分别为
y
x 31y
20 y3
x
1
x
3
y
2
0O 1
y
1 1
x
x 1
3
例4.
f
二
阶
可
导, 求
u v
uv uv v2
(v
0) ．
复合函数的导数: 设函数 y f (u),均u 可导( ,x)
高等数学第-讲极限与连续PPT课件
高等数学第-讲极限与连续ppt 课件
目
CONTENCT
录
• 极限概念与性质 • 连续概念与性质 • 极限与连续关系 • 典型例题解析 • 练习题与答案解析
01
极限概念与性质
极限定义及存在条件
极限定义
当自变量的某个变化过程（如$x to x_0$或$x to infty$）中，函数 $f(x)$无限接近于某个常数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在该变化过 程中的极限。
Cantor定理：若函数在 闭区间[a,b]上连续，则 它在[a,b]上一致连续。
Lipschitz条件：若存在 常数K，使得对任意 x1,x2∈I，都有|f(x1)f(x2)|≤K|x1-x2|，则称 f(x)在区间I上满足 Lipschitz条件。满足 Lipschitz条件的函数一 定一致连续。
练习题3
求极限 lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)。
答案解析
通过运用极限的运算法则、等价无穷小替换等方法，可以求出以上极限的值。
判断函数连续性练习题及答案解析
01
02
03
04
练习题1
判断函数 f(x)={x^2, x>0; 0, x≤0n(1/x) 在 x=0 处是否连续。
若函数f(x)在其定义域内单调且连续，则其反函数f1(x)在其对应域内也单调且连续。
初等函数连续性
初等函数在其定义域内是连续的，即在其定义域内的每一点都满 足连续的定义。
初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数以及由这些函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函 数。
03
极限与连续关系
练习题3
判断函数 f(x)=e^x 在 R 上的 连续性。
目
CONTENCT
录
• 极限概念与性质 • 连续概念与性质 • 极限与连续关系 • 典型例题解析 • 练习题与答案解析
01
极限概念与性质
极限定义及存在条件
极限定义
当自变量的某个变化过程（如$x to x_0$或$x to infty$）中，函数 $f(x)$无限接近于某个常数$A$，则称$A$为函数$f(x)$在该变化过 程中的极限。
Cantor定理：若函数在 闭区间[a,b]上连续，则 它在[a,b]上一致连续。
Lipschitz条件：若存在 常数K，使得对任意 x1,x2∈I，都有|f(x1)f(x2)|≤K|x1-x2|，则称 f(x)在区间I上满足 Lipschitz条件。满足 Lipschitz条件的函数一 定一致连续。
练习题3
求极限 lim(x→1) (x^2-1)/(x-1)。
答案解析
通过运用极限的运算法则、等价无穷小替换等方法，可以求出以上极限的值。
判断函数连续性练习题及答案解析
01
02
03
04
练习题1
判断函数 f(x)={x^2, x>0; 0, x≤0n(1/x) 在 x=0 处是否连续。
若函数f(x)在其定义域内单调且连续，则其反函数f1(x)在其对应域内也单调且连续。
初等函数连续性
初等函数在其定义域内是连续的，即在其定义域内的每一点都满 足连续的定义。
初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角 函数以及由这些函数经过有限次四则运算和复合运算所得到的函 数。
03
极限与连续关系
练习题3
判断函数 f(x)=e^x 在 R 上的 连续性。
高等数学 C1 PPT课件
z z1( x, y) 1 x2 y2 z z2( x, y) 1 x2 y2
常称之存在的某种单值分支形式为由隐函数方程确 定的函数.
2013
表示 x 和y 有依赖关系的方程: F(x, y) 0 例如:
ex y xy y2 x2 sin xy
在自变量的不同变化范围中, 对应关系用不同 算式来表示的函数，对一元函数，称为分段函数； 对二元函数，称为分片函数。
例如， y
2
x
0 x1
1 x x 1
y x2 2 x 1 可化为
是一个分段函数,定义域为
D [0,).
y
x2 2x 1
y
x2
2x
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 .
注意: 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
说明: 映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同
的惯用名称. 例如,
z sin x cos y, x [0,2 ], y [0,2 ]
说明:
1 0.5
0 -0.5
-1 0
2
4
6 4 2 60
二元函数 z = f (x, y), (x, y) D
的图形一般为空间曲面 .
三元函数 u arcsin(x2 y2 z2 )
定义域为 单位闭球
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为一一对应关系, 则存在对应
称此 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
常称之存在的某种单值分支形式为由隐函数方程确 定的函数.
2013
表示 x 和y 有依赖关系的方程: F(x, y) 0 例如:
ex y xy y2 x2 sin xy
在自变量的不同变化范围中, 对应关系用不同 算式来表示的函数，对一元函数，称为分段函数； 对二元函数，称为分片函数。
例如， y
2
x
0 x1
1 x x 1
y x2 2 x 1 可化为
是一个分段函数,定义域为
D [0,).
y
x2 2x 1
y
x2
2x
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f (X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 .
注意: 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .
说明: 映射又称为算子. 在不同数学分支中有不同
的惯用名称. 例如,
z sin x cos y, x [0,2 ], y [0,2 ]
说明:
1 0.5
0 -0.5
-1 0
2
4
6 4 2 60
二元函数 z = f (x, y), (x, y) D
的图形一般为空间曲面 .
三元函数 u arcsin(x2 y2 z2 )
定义域为 单位闭球
(1) 反函数的概念及性质
若函数
为一一对应关系, 则存在对应
称此 f 1为 f 的反函数 .
习惯上, y f (x), x D 的反函数记成
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" ε −δ "
(即 α = f (x) − A为无穷小 即 为无穷小)
有
学
2. 极限存在准则及极限运算法则
3. 无穷小
哈 尔 滨 工 程 大 学
无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ; 常用等价无穷小: 常用等价无穷小 sin x ~ x 1− cos x ~ 1 x2 2
arcsin x ~ x
ex −1 ~ x 4. 两个重要极限
提示: 提示 (2)
y=
cos x,
sin x,
0≤ x ≤ π 4
π <x≤π 4 2
3. 下列函数是否为初等函数 ? 为什么 ?
y
1
⑵
x, x ≥ 0 = x2 尔 (1 f (x) = ) 滨 − x , x < 0
哈 工 程
O −1 x
y
2
x , 大 (2) f (x) = −1 x < 0 = , x≠0 1, x > 0 学 x
v( x)
=e
lim v(x) u(x)
x→x0
=e
例8. 确定常数 a , b , 使
哈 尔 滨 工 程 大 学
解: 原式可变形为
limx( 3
x→∞
1 x3
−1− a − b ) = 0 x
∴ lim ( 3
x→∞
1 −1 − a − b ) = 0 x x3
故 −1− a = 0 , 于是 a = −1, 而
第一章
哈 尔 滨 工 程 大 学
习题课
函数与极限
一、 函数
二、 极限
学
一、 函数
哈 尔 滨 工 程 大 学
1. 概念 定义: 定义 设 定义域 其中 图形: 图形
y
y = f (x)
函数为特殊的映射: 函数为特殊的映射 值域
学
( 一般为曲线 )
O
D
x
哈 尔 滨 工 程 大 学
2. 特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性 3. 反函数 为单射, 为单射 反函数为其逆映射 设函数
(1+ x)µ −1 ~ µx
或
学
注: 代表相同的表达式 5. 求极限的基本方法 6. 判断极限不存在的方法
哈 尔 滨 工 程 大 学
5、求极限的基本方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; a.多项式与分式函数代入法求极限; 多项式与分式函数代入法求极限 b.消去零因子法求极限; b.消去零因子法求极限; 消去零因子法求极限 c.无穷小因子分出法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; 无穷小因子分出法求极限 d.利用无穷小运算性质求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; 利用无穷小运算性质求极限 e.利用左右极限求分段函数极限. e.利用左右极限求分段函数极限. 利用左右极限求分段函数极限
哈 尔 滨 工 程 大 学
2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数 为什么 的函数? 为什么?
1 (1) y = sin x −1
不是 是
(2) y = max{ sin x , cos x } , x ∈[ 0, π] 2
(3) y = arcsin u , u = 2 + x2
不是
学
4. 解:
x
x
ϕ (x)
ϕ (x)
学
由 得
ϕ(x) = ln(1− x) ,
x ∈(−∞, 0]
哈 尔 滨 工 程 大 学
x ≥8 x − 3, , 求 f (5) . 5. 已知 f (x) = f [ f (x + 5)], x < 8
解: f (5) = f [ f (10) ] = f (
4. 设f (x) = e , f [ϕ(x)] =1− x, 且ϕ(x) ≥ 0, 求 ϕ(x)
哈 尔 滨 工 程 大 学
x2
及其定义域 .
x ≥8 x − 3, 5. 已知 f (x) = , 求 f (5) . f [ f (x + 5)], x < 8
1 f (sin x + ) = csc2 x − cos2 x , 求 f (x). 6. 设 sin x
因
3 1 x2 + x x2 + x 3 2−3k = lim x (1+ x2 ) = lim3 lim x→0 x→0 x→0 x3k xk 1 k= 6
3
学
故
哈 尔 滨 工 程 大 学
2. 求 解:
(2000考研 考研) 考研 注意此项含绝对值
−4 −3 2 + e1 sin x x = lim 2e x + e x + sin x =1 lim + 4 + x x→0+ e− 4 +1 x x x→0 1+ e x
) = f (7) = f [
]
= f(
) = f (9) = 6
学
1 2 2 ) = csc x − cos x , 求 f (x). 6. 设 f (sin x + sin x 1 1 Q f (sin x + ) = 2 + sin2 x −1 解: sin x sin x 1 2 = (sin x + ) −3 sin x 2 ∴ f (x) = x − 3
无穷小 有界
哈 尔 滨 工 程 大 学
(2)
1−x2 lim x→ sinπ x 1
令
t = x −1
sinπ(t +1) sinπt
= lim −t(t +2)
t→0
= limt(t +2)
t→0
学
2 t(t +2) = lim = πt t→0 π
哈 尔 滨 工 程 大 学
1+ x (3) lim ( x→0 1− x
f
4. 复合函数 给定函数链
−1
: f (D) → D
f og
学
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ] 5. 初等函数 有限个常数及基本初等函数 经有限次四则运算与 复合而成的一个表达式的函数. 复合而成的一个表达式的函数
思考与练习
哈 尔 滨 工 程 大 学
1. 下列各组函数是否相同 ? 为什么 为什么?
+ 3x ) x .
x x
1 x
1
解: 令 f (x) = (1+ 2 + 3 ) = 3[ 则
1 x
(1)x 3
+ (2)x 3
+1 ]
1 x
3 < f (x) < 3⋅ 3 利用夹逼准则可知 lim f (x) = 3.
x→+∞
学
哈 尔 滨 工 程 大 学 高 等 数 学
(1) f (x) = cos(2arccos x) 与ϕ(x) = 2x2 −1, x ∈[−1,1]
相同
1 x, x ≤ a (2) f (x) = 与ϕ(x) = [ a + x − (a − x)2 ] a , x > a 2 相同
学
0, x ≤ 0 与ϕ(x) = f [ f (x)] (3) f (x) = x , x > 0 相同
学
求下列极限： 例. 求下列极限：
哈 尔 滨 工 程 大 学
(1) lim (sin x +1− sin x)
x→+∞
1−x2 (2) limsinπ x x→ 1
( 1+x )cot x (3) lim 1−x
x→0
提示: 提示 (1) sin x +1− sin x
学
x +1− x x +1+ x = 2sin cos 2 2 1 x +1+ x = 2sin cos 2( x +1+ x) 2
)cot x = lim (1+ 2x )cot x
x→0
1∞
1− x
2 2 ln(1+ 1−x ) ~ 1−x x x
=e
x→x0
x→0
x 2 lim (cosx ⋅ 1−x ) sin x
=e
2
复习: 若 lim u(x) = 0, lim v(x) = ∞, 则有
x→x0
学
x→x0
lim [ 1+ u(x) ]
学
2 + e1 sin x 2 + e1 sin x x x = lim lim + − =1 4 4 x→0− x x x→0− 1+ e x x 1+ e
原式 = 1
哈 尔 滨 工 程 大 学
3. 求 lim (1+ 2
x→+∞
x
4 2
⑶
x
2
O1
2, x <1 = 3 + −1, x <1 = 3 + (x −1) (3) f (x) = 1, x >1 x −1x ≠ 1 4, x >1 y1 1− x3 , x > 0 ⑷ 学 (4) f (x) = =1− x6 , x ∈R 1+ x3 , x ≤ 0 x O 以上各函数都是初等函数 .
例1. 设 哈
其中
，求
尔 解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 . 滨 1 工 令 t = x−1, 即 x = 1−t , 代入原方程得 程 x 大 学 即
− 1 令 1−x = uu1, 即
代入上式得 即