梯形有关证明与计算
第 七 部 分：梯 形 和 证 明 2
第 七 部 分：梯 形 和 证 明知 识 要 点1、梯形定义：一组对边平行另一组对边不平行的四边形叫做梯形；2、等腰梯形的定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形3、等腰梯形判定：在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形；4、等腰梯形性质：等腰梯形的对角线相等。
等腰梯形在同一底边上的两个内角相等；5、梯形中位线性质：梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半。
6、梯形的面积公式：S=21（上底+下底）×高 7、梯形添加辅助线的方法：梯 形一、课 堂 练 习填 空 题：1、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，若∠A =40°，则∠C = °．2、如果直角梯形的两腰之比为，那么这个梯形最大角的度数为 °．3、若等腰梯形的一个底角为120°，两底长分别为8㎝和20㎝，则腰长为 ㎝。
4、已知一个等腰梯形的腰等于它的高的2倍，则这个等腰梯形较大的内角为 °．5、若直角梯形的一条腰与一条对角线相等且互相垂直，则上、下底边之比等于 ．二、例 题 精 讲6、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =10㎝，AC 与BD 相交于G ，且∠AGD =60°，设E 是CG 的中点，F 是AB 的中点．求：EF 的长．GFE D C BA7、如图，O 为坐标原点，正方形OBAC 的边长为1，M 、N 分别在OB 、AC 上，若△MON 为正三角形，求M 、N 的坐标．8、如图，已知在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，P 是BC 边上的一点，PE ⊥AB 、PF ⊥CD 、BG ⊥CD ，垂足分别为E 、F 、G ．求证：BG =PE + PF ．9、如图，在矩形ABCD 中，AB =12㎝，BC =6㎝，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2㎝/秒的速度移动，点Q 沿DA 边从D 点开始向A 点以1㎝/秒的速度移动，如果P 、Q 同时出发，用t 表示移动的时间（06t ≤≤），那么：（1）当t 为何值时，△P AQ 为等腰三角形？（2）求四边形QAPC 的面积．Q P DCB A yx O N MC B A G P FED B A三、课 后 巩 固10、如图，已知矩形ABCD 中，E 、F 分别为对角线AC 、BD 上的点，且AE = DF ．求证：四边形BCFE 是等腰梯形．11、若直角梯形的一组对角的度数之和是另一组对角的度数之和的一半，求这个梯形中最小的内角的度数？12、如果等腰梯形的上、下底长分别为3㎝和6㎝，腰长2 .5㎝，那么它的高是多少？13、直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =10，BC =15，CD =13，求AB 的长？14、若梯形的上、下底分别是3和7，一腰长为4，则另一腰长m 的取值范围？15、如果梯形的两底长分别为3、8，两腰长分别为3、4，则此梯形的面积为 ．F E D C B A证 明 题 专 项 训 练一、课 堂 练 习 1、如图，AN 是△ABC 的外角平分线，CN ⊥AN ，M 是BC 的中点．求证：MN =12（AB + AC ）．2、如图，已知点E 、F 在正方形ABCD 的对角线AC 上，且AE =CF ．求证：四边形BEDF 是菱形．3、如图，已知D 为等腰Rt △ABC 斜边BC 的中点，M 为BC 上的另一点，ME ⊥AB 于E ，MF ⊥AC 于F ． 求证：DE = DF ．4、求证：如果一个四边形的对角线互相垂直，那么顺次联结这个四边形各边中点构成的四边形是矩形．二、例 题 精 讲5、如图，已知点P 、Q 在□ABCD 的边AB 、CD 上，且AP =DQ ，AQ 、DP 交于M ，BQ 、CP 交于N ． 求证：MN ∥AB ，MN =12AB ． F E DB A N M DC A M FED C B AP N MB A6、如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 的中点，EF ∥CD ，交BC 于点F ．求证：CF =12（AD + BC ）．7、如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，EF 是中位线，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ， EF =12㎝．求梯形ABCD 的面积．8、如图，已知E 、F 分别为△BCD 的边CD 、BC 的中点，M 、N 三等分BD ，EM 、FN 的延长线相交于点A ．求证：四边形ABCD 是平行四边形．9、已知：在△ABC 中，BC =15，D 、G 为BC 的三等分点，AD =13，AG =12，E 、F 分别为AB 、AC 的中点．求四边形EFGD 的周长和面积．F E D BAFE D C B A10、已知：在正方形ABCD 的边长为10，AC 、BD 交于点O ，点E 是OB 的中点，DG ⊥CE 于G ，交OC 于F ．求EF 的长．11、已知：在△ABC 中，M 是BC 的中点，AP 是∠BAC 的平分线，BP ⊥AP 于点P ．求证：AC -AB =2PM ．12、如图，由□ABCD 的各顶点向直线l 作垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ．求证：AE +CG =BF +DH ．13、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥BD ，∠ACB =30°，EF 是梯形ABCD 的中位线． 求证：BD =EF ．lO F E D CBAP M C B AO G F E DC B A。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明等腰梯形是指具有两边边长相等的梯形。
在等腰梯形的性质定理和判定定理中，我们会探讨一些关于其边长，角度，和对角线的性质。
下面，我将解释等腰梯形的性质定理和判定定理，并给出它们的证明。
性质定理1：等腰梯形的两个底角是相等的。
证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。
假设∠A和∠B是两个底角。
首先，我们可以根据等腰梯形的性质，得到AB=CD。
接着，我们可以通过等边三角形来证明∠BAD≌∠CBA。
因为AB=CD，所以三角形ABC和三角形DCA是等边三角形。
因此，∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC。
我们可以通过相邻角的和等于180度的原理，得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=180度和∠CBA+∠CDA+∠DAC=180度。
由于∠ABC≌∠CDA和∠CAB≌∠DAC，所以∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠BAD+∠CDA+∠DAC。
因此，根据相等的角度和等于相等的角度之和，我们得到∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC。
将等腰梯形的性质AB=CD和∠BAD+∠ABC+∠CAB=∠CBA+∠CDA+∠DAC代入其中，我们可以得到∠BAD=∠CBA。
因此，等腰梯形的两个底角是相等的。
性质定理2：等腰梯形的两个对角线相等。
证明：考虑一个等腰梯形ABCD，其中AB和CD是底边，BC和AD是斜边。
我们需要证明AC=BD。
我们已经知道∠BAD=∠CBA。
因此，∠BAD和∠CBA是等腰梯形的两个底角，根据性质定理1，我们可以知道∠A=∠D和∠B=∠C。
我们可以通过相同边上的相等角来证明∠BAD≌∠BCD和∠ABD≌∠ACD。
因为∠A=∠D和∠B=∠C，所以AB//CD。
根据平行线的性质，我们得到∠ABD≌∠CDA和∠ACD≌∠BDA。
因此，根据等腰三角形的定义，我们可以知道三角形ABD和三角形CAD是等腰三角形。
因此，AD=BD和AC=CD。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明等腰梯形是一种特殊的梯形，其两边斜线段长度相等，并且两个底边之间平行。
在等腰梯形中有一些重要的性质定理以及判定定理。
1.等腰梯形的性质定理：性质定理1：等腰梯形的两个底角是相等的。
证明：设等腰梯形ABCD中的底边AB和CD的长度分别为a和b，而斜边AD和BC的长度分别为c和d。
由于等腰梯形定义为两边斜线段长度相等，即c=d，而两个底边之间平行，所以∠CAD=∠BCD，又∠ADC=∠BDC=180°-∠CAD-∠BCD，所以∠ADC=∠BDC，即等腰梯形ABCD 的两个底角是相等的。
性质定理2：等腰梯形的对角线互相垂直且平分对角线之间的角。
证明：设等腰梯形ABCD中的对角线AC和BD相交于点E。
由于等腰梯形的两边斜线段长度相等，所以AE=CE，而AE=BE，故BE=CE。
又由于两个底边之间平行，所以∠ADC=∠BDC，所以∠AEB=180°-∠ADC-∠BDC=180°-∠ADC-(180°-∠AED-∠CED)=∠AED+∠CED。
根据等腰梯形的两个底角相等性质定理，可得∠AED=∠CED，所以∠AEB=2∠AED，即等腰梯形ABCD的对角线互相垂直且平分对角线之间的角。
2.等腰梯形的判定定理：判定定理1：如果一个梯形的两个底角相等，则它是一个等腰梯形。
证明：设梯形ABCD的两个底角∠A和∠D相等。
由于两个底角相等，所以∠CAD=∠BDC。
又由于∠ADC=∠BDC，所以∠ADC=∠CAD。
根据等腰梯形的性质定理1可得等腰梯形ABCD的两个底角相等，即如果一个梯形的两个底角相等，则它是一个等腰梯形。
判定定理2：如果一个梯形的对角线互相垂直且平分对角线之间的角，则它是一个等腰梯形。
证明：设梯形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，且互相垂直且平分对角线之间的角。
由于对角线互相垂直，所以∠AEB=90°。
又因为对角线平分对角线之间的角，所以∠AEB=∠BED。
梯形公式的余项证明
梯形公式的余项证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：梯形公式是求解定积分的一种常用方法，它基于将被积函数在区间上近似为梯形，进而使用梯形的面积计算来估计定积分的值。
梯形公式的精确性取决于梯形的宽度和被积函数的性质。
在实际应用中，我们常常需要考虑梯形公式的余项，即估计梯形公式与实际定积分值之间的误差。
梯形公式的余项证明是一个较为复杂的数学问题，需要借助一些高等数学知识来进行推导和分析。
下面我将介绍一种典型的方法，来证明梯形公式的余项。
我们考虑一个定义在闭区间[a, b]上连续的函数f(x)，并将该区间均等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。
对于每个小区间[i, i+1]，我们可以构造一个梯形，其上底边为f(xi)（其中xi是小区间[i, i+1]的中点），下底边为f(xi+1)，高度为Δx。
第i个梯形的面积可以表示为Ai=1/2[f(xi)+f(xi+1)]Δx。
根据梯形公式的定义，我们可以将整个定积分[a, b]的值近似为所有梯形的面积之和，即：∫[a, b] f(x)dx ≈ ΣAi = Σ1/2[f(xi)+f(xi+1)]ΔxΣ表示对i从1到n求和。
这就是梯形公式的基本形式。
如果我们定义Tn为梯形公式的近似值，则有Tn=Σ1/2[f(xi)+f(xi+1)]Δx。
接下来，我们考察梯形公式的余项，即真实定积分值与梯形公式的近似值之间的误差。
我们可以将该余项表示为Rn=∫[a, b] f(x)dx - Tn。
接着，我们需要利用微积分的知识来求解余项Rn。
我们可以将余项Rn表示为∫[a, b] f(x)dx - Σ1/2[f(xi)+f(xi+1)]Δx。
然后，利用泰勒展开定理，我们可以将函数f(x)在xi附近展开为f(xi)+f'(xi)(x-xi)+O(Δx^2)的形式，其中O(Δx^2)表示高阶无穷小项。
ξi和ξi+1分别是小区间[i, i+1]和[i+1, i+2]上的某个点，ξi∈[xi,xi+1]，ξi+1∈[xi+1, xi+2]。
梯形的性质与判定
梯形的性质与判定梯形是初中几何学中的常见图形之一，具有一些特殊的性质和判定条件。
本文将介绍梯形的性质和判定方法，帮助读者更好地理解梯形的几何特征。
一、梯形的定义梯形是由四条线段组成的四边形，其中两条平行边称为梯形的底，两条非平行边称为梯形的腰。
根据梯形的定义，我们可以得出以下几个性质。
1. 梯形的对边相等性质：梯形的两组对边分别平行且相等。
证明：连接梯形的两个非平行边的中点，我们可以得到一个平行四边形。
根据平行四边形的性质，其对边相等。
因此，梯形的对边也相等。
2. 梯形的内角和性质：梯形的内角和等于360°。
证明：将梯形的两条边延长至相交于一点，我们可以得到一个三角形和一个平行四边形。
根据三角形和平行四边形的内角和性质，我们可以推出梯形的内角和等于360°。
3. 梯形的底角性质：梯形的两个底角之和等于180°。
证明：连接梯形的两个底角，我们可以得到一个三角形和一个平行四边形。
根据三角形和平行四边形的内角和性质，我们可以得出梯形的底角之和等于180°。
二、梯形的判定条件除了上述的性质之外，我们还可以通过一些条件来判定一个四边形是否为梯形。
1. 两对角共有一条公共边当一个四边形的两对角中，有且仅有一对角共有一条公共边，并且另外两条边不平行时，这个四边形就是梯形。
2. 一对角共有一条公共边且另一对角相等当一个四边形的两对角中，有一对角共有一条公共边，并且另一对角相等时，这个四边形就是梯形。
3. 一对角共有一条公共边且另一对边相等当一个四边形的两对角中，有一对角共有一条公共边，并且另一对边相等时，这个四边形就是梯形。
根据以上的判定条件，我们可以通过观察四边形的边和角来判断它是否为梯形。
这对于解决一些几何问题和证明中的推导非常有帮助。
结论梯形作为一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和判定条件。
我们在几何学的学习中常常会遇到梯形，理解梯形的性质和判定方法是十分重要的。
梯形知识点梳理
梯形知识点梳理
梯形知识点梳理：
一、定义和性质
1.定义：梯形是一个四边形，其中一组对边平行，另一组对边不平行。
2.性质：
a)梯形有一组平行的对边，其长度不相等。
b)梯形有两个斜的边。
c)梯形的面积计算公式是(上底+下底)*高/2。
二、判定方法
1.有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
2.若一个四边形的对角线互相垂直且长度相等，则这个四边形是梯形。
3.若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形，不是梯形。
三、相关定理和推论
1.梯形的中位线定理：梯形的中位线等于上底和下底的平均值。
2.梯形的角平分线定理：梯形的角平分线将底边分为两段相等的部分。
3.梯形的对角线性质：梯形的对角线互相平分。
4.直角梯形定理：直角梯形的直角边的长度相等。
5.等腰梯形定理：等腰梯形的两腰相等，且底角相等。
四、面积计算公式
1.梯形面积=(上底+下底)*高/2。
2.当已知梯形的上底、下底和高中的两个量时，可以代入公式计算面积。
3.当已知梯形的一组对角时，可以使用海伦公式计算面积。
五、应用举例
1.在实际生活中，梯形的应用非常广泛，如楼梯、斜面、栏杆等。
2.在几何证明题中，经常需要利用梯形的性质和判定方法进行证明。
梯形的性质有哪些
梯形的性质有哪些梯形是我们在数学学习中常见的几何图形之一，它具有许多独特的性质。
接下来，让我们一起深入了解梯形的这些性质。
梯形的定义很简单，就是只有一组对边平行的四边形。
这组平行的对边被称为梯形的上底和下底，不平行的两边则称为梯形的腰。
首先，梯形的内角和是 360 度。
这一点与任何四边形都是相同的。
因为我们可以将梯形分割成两个三角形，而每个三角形的内角和是 180 度，所以梯形的内角和就是 360 度。
梯形的面积计算公式是：（上底＋下底）×高 ÷ 2 。
为什么是这样呢？我们可以想象把两个完全相同的梯形拼在一起，就会得到一个平行四边形。
这个平行四边形的底就是梯形上底与下底的和，高与梯形的高相同。
而平行四边形的面积是底乘以高，所以一个梯形的面积就是这个平行四边形面积的一半，即（上底＋下底）×高 ÷ 2 。
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
中位线是连接梯形两腰中点的线段。
假如梯形的上底为 a ，下底为 b ，中位线的长度就是（a ＋b）÷2 。
这个性质在很多几何问题的解决中都非常有用。
在等腰梯形中，两腰相等，两底角也相等。
而且等腰梯形的两条对角线相等。
想象一下一个等腰梯形，沿着对称轴对折，左右两边能够完全重合，这就直观地体现了两底角相等和两条对角线相等的性质。
直角梯形是梯形中的一种特殊情况，其中有一个角是直角。
在直角梯形中，与底边垂直的腰就是梯形的高。
梯形具有稳定性。
虽然它不像三角形那样具有绝对的稳定性，但在一定程度上，梯形的结构能够承受一定的外力而保持形状不变。
当我们研究梯形的相关问题时，经常会用到这些性质。
比如，在计算梯形的面积、周长，或者证明一些与梯形相关的几何定理时，这些性质就是我们的有力工具。
举个例子，如果已知一个梯形的上底是 3 厘米，下底是 7 厘米，高是 5 厘米，那么我们可以很容易地算出它的面积为（3 ＋ 7）× 5 ÷ 2 ＝25 平方厘米。
怎样证明一个四边形是梯形
怎样证明一个四边形是梯形？答：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，梯形的定义明确指出，作为一种特殊四边形的梯形，必须具备两个条件，即“一组对边平行”和“另一组对边不平行”，因此判定一个四边形是否是梯形，也必须以是否满足这两个条件为依据，二者缺一不可．证明两线平行的方法比较多，难点是如何判定两线不平行．【例1】已知：如图1在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，A′、B′、C′、D′分别为AO、BO、CO、DO的中点．求证：四边形A′B′C′D′是梯形．分析一：由A′、D′分别是AD、DO的中点，易知A′D′∥AD．由B′、C′分别是BO、CO的中点，易知B′C′∥BC．又AD∥BC，∴A′D′∥B′C′，由A′、B′分别是AO、BO的中点，得A′B′∥AB，由C′、D′分别是CO、DO的中点，得C′D′∥CD，又AB与CD不平行，∴A′B′与C′D′也不平行．综上所述，四边形A′B′C′D是梯形．分析二：本题还可以通过证明A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′来判定四边形A′B′C′D′是梯形，即由A′、D′分别为AO、DO的中点，得由B′，C′分别为BO、CO的中点，得∵AD∥BC且AD≠BC，∴A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′，∴四边形A′B′C′D′是梯形．证明：略．从以上分析中不难看出，证明一个四边形是梯形有两种方法，一种方法是证明四边形的一组对边平行而另一组对边不平行；另一种方法是证明四边形的一组对边平行且不相等，如果在证题过程中忽视了“一组对边不平行”的条件，只由“一组对边平行”来判定四边形是梯形显然是错误的．【例2】已知：如图2，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E、F分别为OA、OD的中点．求证：四边形EBCF是等腰梯形．证明：∵E、F分别是OA、OD的中点，∴EF∥AD，又四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EF∥BC，∵E、F分别为OA、OD的中点，又 AD=BC，∴ EF≠BC由 EF∥BC，EF≠BC．得四边形EBCF是梯形，∴ EO=FO，又∠1=∠2，BO=OC，∴△EBO≌△FCO∴ EB=FC，∴四边形EBCF是等腰梯形．分析：如果只证明了EF∥BC就判定四边形EBCF是梯形，不符合梯形的定义，应继续证明另一组对边EB与CF不平行，或继续证明EF≠BC都可以判定四边形EBCF是梯形，即证明：略．。
梯形知识点归纳总结
梯形知识点归纳总结梯形的性质1. 对角线梯形有两条对角线，它们的长度分别为底边差的平方和腰边差的平方的开方。
这可以通过勾股定理来证明。
2. 面积梯形的面积可以通过将其分解成一个平行四边形和两个三角形来计算。
面积公式为：梯形面积=（上底+下底）*高/23. 寻找高度可以通过利用梯形的面积公式来求解梯形的高度：高=2*面积/（上底+下底）4. 底角梯形是一个四边形，其底角和顶角之和等于180度。
顶角和底角互补。
5. 对角边顶角对应的两条边和底角对应的两条边叫对边。
每一组对边之和等于梯形的两个腰之和。
6. 相似梯形如果两个梯形的对应角相等，两个相应的边成比例，则这两个梯形是相似的。
相似梯形的三个特征：-- 相似梯形的对应角相等；-- 相似梯形的对应边成比例；-- 相似梯形的对应边成比例之比等于相似梯形的相似比。
7. 完全相似梯形如果两个梯形的对应边都成比例，它们是完全相似的。
这意味着它们的比例关系是相等的。
8. 阿波罗尼乌斯定理在一个梯形中，两条对角线的平方和等于底边的平方之和与顶角的平方积的四倍。
9. 中位线梯形的中位线是连接两个非平行边的中点的线段。
它的长度等于底边长和顶边长之和的一半。
10. 高度与底边的乘积在梯形中，高和底边的乘积等于梯形的面积。
即：高*（上底+下底）/2=梯形的面积。
11. 等腰梯形如果梯形的两条腰相等，则这个梯形是等腰梯形。
12. 直角梯形如果梯形中有一个角是直角，则这个梯形是直角梯形。
梯形的应用1. 地理测量在地理测量中，梯形可以用来测量不规则地形的面积，如湖泊、农田等。
2. 建筑设计在建筑设计中，梯形可以用来计算建筑物的立面和屋顶的面积，从而确定建筑材料的用量。
3. 数学问题在数学中，梯形可以用来解决各种几何问题，如计算面积、寻找高度、判断两个梯形是否相似等。
4. 工程计算在工程计算中，梯形可以用来计算不规则形状的面积，如水库、水塘等。
综上所述，梯形是一个重要的几何图形，在数学、地理、建筑和工程等领域都有着广泛的应用。
梯形的面积计算与性质证明
梯形的面积计算与性质证明1.梯形的面积计算梯形是一种特殊的四边形，它的两条平行边被称为梯形的上底和下底，其余两条非平行边被称为梯形的斜边或者腰。
梯形的面积计算可以通过以下公式得出：面积 = (上底 + 下底) ×高 ÷ 2其中，上底和下底分别表示梯形的两条平行边的长度，高表示梯形两条平行边的距离。
举个例子，假设一个梯形的上底长度为4cm，下底长度为8cm，高为6cm，那么可以通过以下计算得到梯形的面积：面积 = (4 + 8) × 6 ÷ 2 = 12 × 6 ÷ 2 = 36cm²所以，这个梯形的面积为36平方厘米。
2.梯形的性质证明梯形还具有一些特殊的性质，其中比较常见的有梯形的对角线等长性质和梯形的对顶角互补性质。
首先，我们来证明梯形的对角线等长性质。
对于一个梯形ABCD，假设AC和BD分别为其两条对角线。
要证明AC=BD，可以采用三角形相似的方法。
首先，我们连接AD和BC，可以得到两个三角形ADC和BCD。
由于梯形的两条平行边AD和BC上的点与对角线AC和BD的连接线分别平行，所以可以得出三角形ADC与三角形BCD是全等的。
进一步可以得出，这两个三角形的对边是相等的，即AD=BC。
由于对角线AC和BD分别与AD和BC相交于一点，根据三角形相交线段定理可知，AD=AB+BC和BC=CD，结合AD=BC，可以得出AB+BC=CD。
进一步可得AB+BC+CD=2(AB+BC)，即AB+BC+CD=AD+BC。
由于ABCD是一个梯形，所以AB+CD=AD。
将这个等式代入前面的等式中，即可得到AB+BC+CD=AB+CD，进一步可得AB+BC+CD=AB+CD=AD。
因此，我们证明了梯形的对角线等长性质，即梯形的对角线AC和BD相等。
接下来，我们来证明梯形的对顶角互补性质。
对于一个梯形ABCD，假设∠A和∠B分别为其两个对顶角。
直角梯形对角线垂直证明
要证明直角梯形的对角线是垂直的，可以使用几何证明方法。
以下是一种常见的证明方法：
设直角梯形ABCD，其中AB 和CD 是底边，AD 和BC 是斜边，且AD ⊥AB 和BC。
我们要证明AC 和BD 是垂直的。
证明过程如下：
画出直角梯形ABCD，并标记出所给的条件，即AD ⊥AB 和BC。
连接AC 和BD，形成两个三角形ACD 和BCD。
证明三角形ACD 和BCD 的两组边相等。
证明AC = AC：AC 是自己，显然相等。
证明AD = BD：由于AD ⊥AB 和BC，所以ADB 和BDA 都是直角三角形。
根据直角三角形的性质，AD = BD。
证明三角形ACD 和BCD 的一个角是直角。
证明角ACD 是直角：由于AD ⊥AB，所以角ACD 是直角。
证明角BCD 是直角：由于BC ⊥AD，所以角BCD 是直角。
由步骤3 和步骤4 可知，三角形ACD 和BCD 是相等的直角三角形。
根据相等三角形的性质，它们的对应边相等，即AC = BD。
综上所述，直角梯形ABCD 的对角线AC 和BD 是垂直的。
通过以上证明过程，我们可以得出直角梯形的对角线是垂直的结论。
如何证明梯形中位线定理
如何证明梯形中位线定理梯形中位线定理，听上去可能有点高深，但其实它就像一杯清凉的 lemonade，喝下去后会让你感觉神清气爽。
今天咱们就来聊聊这个定理，顺便还要学会怎么证明它，保证让你明白得一清二楚。
1. 梯形的基础知识首先，咱们得弄清楚什么是梯形。
大家知道，梯形就是一对边平行，另外一对边不平行的四边形。
想象一下，你在公园里看到的那种椅子，底下宽宽的，上面窄窄的，像个“帐篷”。
这就是梯形的基本形状了。
我们通常把平行的那两条边叫做“底”，而不平行的那两条边则叫做“腰”。
这时候，就有个小家伙出来了——中位线，它就是连接两条底边中点的线。
1.1 中位线是什么中位线听起来很复杂，其实就是把梯形的上下底边的中点连起来的那根线。
它的存在是为了帮助我们了解梯形的特性，比如它的面积、周长等等。
你知道吗？这个小线条可不是普通的线，它的长度可是有意思的。
中位线的长度恰好是两条底边长度之和的一半。
1.2 为什么要证明它那么，为什么要证明这个定理呢？因为数学就像是做菜，光有食材可不行，咱们还得知道怎么调味。
证明中位线定理不仅可以让我们更好地理解梯形，还能锻炼我们的逻辑思维能力。
而且，证明过程就像是一场冒险，挑战你的智力，让你在其中收获满满。
2. 梯形中位线定理的证明接下来，就让我们开始这场数学探险吧！证明梯形中位线定理的方法其实非常简单。
2.1 绘图和标记首先，画一个梯形，标记好底边AB和CD，分别是上底和下底。
然后找到AB和CD的中点，记作M和N。
别小看这两个点哦，它们可是整个证明的关键！接着，你就可以画出中位线MN。
2.2 利用平行线的性质接着，利用平行线的性质，我们知道MN是平行于AB和CD的。
根据几何学中的平行线性质，MN的长度就是底边AB与底边CD长度的一半相加。
也就是说，MN = (AB + CD) / 2。
这就完美地证明了中位线定理的核心内容。
哇！是不是感觉豁然开朗？通过简单的图形和逻辑推理，我们就把这个看似复杂的定理证明了出来，真的是一举两得！3. 实际应用知道了梯形中位线定理后，我们可以把它运用到许多地方，比如建筑设计、工程计算等等。
怎样证明一个四边形是梯形
怎样证明一个四边形是梯形？ 答：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，梯形的定义明确指出，作为一种特殊四边形的梯形，必须具备两个条件，即“一组对边平行”和“另一组对边不平行”，因此判定一个四边形是否是梯形，也必须以是否满足这两个条件为依据，二者缺一不可． 证明两线平行的方法比较多，难点是如何判定两线不平行． 【例1】已知：如图1在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，A′、B′、C′、D′分别为AO、BO、CO、DO的中点． 求证：四边形A′B′C′D′是梯形． 分析一：由A′、D′分别是AD、DO的中点，易知A′D′∥AD． 由B′、C′分别是BO、CO的中点，易知B′C′∥BC． 又AD∥BC， ∴A′D′∥B′C′， 由A′、B′分别是AO、BO的中点，得A′B′∥AB， 由C′、D′分别是CO、DO的中点，得C′D′∥CD， 又AB与CD不平行， ∴A′B′与C′D′也不平行． 综上所述，四边形A′B′C′D是梯形． 分析二：本题还可以通过证明A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′来判定四边形A′B′C′D′是梯形，即 由A′、D′分别为AO、DO的中点，得 由B′，C′分别为BO、CO的中点，得 ∵AD∥BC且AD≠BC， ∴A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′， ∴四边形A′B′C′D′是梯形． 证明：略． 从以上分析中不难看出，证明一个四边形是梯形有两种方法，一种方法是证明四边形的一组对边平行而另一组对边不平行；另一种方法是证明四边形的一组对边平行且不相等，如果在证题过程中忽视了“一组对边不平行”的条件，只由“一组对边平行”来判定四边形是梯形显然是错误的． 【例2】已知：如图2，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E、F分别为OA、OD的中点． 求证：四边形EBCF是等腰梯形． 证明：∵E、F分别是OA、OD的中点， ∴EF∥AD， 又四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴EF∥BC， ∵E、F分别为OA、OD的中点， 又 AD=BC， ∴EF≠BC 由EF∥BC，EF≠BC．得 四边形EBCF是梯形， ∴ EO=FO， 又∠1=∠2，BO=OC， ∴△EBO≌△FCO ∴ EB=FC， ∴四边形EBCF是等腰梯形． 分析：如果只证明了EF∥BC就判定四边形EBCF是梯形，不符合梯形的定义，应继续证明另一组对边EB与CF不平行，或继续证明EF≠BC 都可以判定四边形EBCF是梯形，即 证明：略．。
梯形中的常见七种计算
梯形中的常见七种计算梯形的计算，是中考的重要考点之一。
现结合09年的考题，把梯形的计算问题归纳如下，供同学们学习时参考。
1、求梯形角的大小例1、（2009哈尔滨）如图1所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，将梯形沿对角线BD 折叠，点A 恰好落在DC 边上的点A '处，若20A BC '∠=°，则A B D '∠的度数为（ ）．A ．15°B ．20°C ． 25°D ．30°解析：根据折叠的意义，得：△BAD ≌△BA ′D ，因此，∠BAD=∠BA ′D ，∠ABD=∠A ′BD ；根据三角形外角和定理，得：∠BA ′D=∠A ′BC+∠C,由∠A ′BC=20°，∠C=90°，所以，∠BA ′D=∠A ′BC+∠C=20°+90°=110°，由AD ∥BC ，得：∠BAD+∠ABC=180°，因此，∠ABC=70°，由∠ABC=∠ABD+∠A ′BD+∠A ′BC =70°，所以，2∠A ′BD=50°，即∠A ′BD=25°。
解：选C 。
2、求梯形的腰长例2、（2009安徽芜湖）如图2所示，在梯形ABCD 中，A D B C ∥，9038BD CD BDC AD BC =∠===，°，，．求AB 的长．分析：在四边形中，要想求线段的长度，同学们必须利用所学的知识，设法构造出一个直角三角形，让所求的线段恰好是这个直角三角形的某一边，根据勾股定理就可以把问题解决了。
而在梯形中，构造直角三角形的办法之一，就是作出梯形的高解：如图3所示，过点A 作AF ⊥BC ，垂足是F ，过点D 作DE ⊥BC ，垂足是E ，所以，四边形ADEF 是一个矩形，所以，AD=FE=3，因为，BD=CD ，∠BDC=90°，所以，BE=EC=21BC=4，∠DBC=∠DCB=45°， 所以，AF=DE=EC=4，所以，B F=BE-EF=4-3=1,在直角三角形ABF 中，根据勾股定理，得： AB==+=+222214BF AF 17,即AB 的长为17。
怎样证明一个四边形是梯形
怎样证明一个四边形是梯形？答：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，梯形的定义明确指出，作为一种特殊四边形的梯形，必须具备两个条件，即“一组对边平行”和“另一组对边不平行”，因此判定一个四边形是否是梯形，也必须以是否满足这两个条件为依据，二者缺一不可．证明两线平行的方法比较多，难点是如何判定两线不平行．【例1】已知：如图1在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，A′、B′、C′、D′分别为AO、BO、CO、DO的中点．求证：四边形A′B′C′D′是梯形．分析一：由A′、D′分别是AD、DO的中点，易知A′D′∥AD．由B′、C′分别是BO、CO的中点，易知B′C′∥BC．又AD∥BC，∴A′D′∥B′C′，由A′、B′分别是AO、BO的中点，得A′B′∥AB，由C′、D′分别是CO、DO的中点，得C′D′∥CD，又AB与CD不平行，∴A′B′与C′D′也不平行．综上所述，四边形A′B′C′D是梯形．分析二：本题还可以通过证明A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′来判定四边形A′B′C′D′是梯形，即由A′、D′分别为AO、DO的中点，得由B′，C′分别为BO、CO的中点，得∵AD∥BC且AD≠BC，∴A′D′∥B′C′且A′D′≠B′C′，∴四边形A′B′C′D′是梯形．证明：略．从以上分析中不难看出，证明一个四边形是梯形有两种方法，一种方法是证明四边形的一组对边平行而另一组对边不平行；另一种方法是证明四边形的一组对边平行且不相等，如果在证题过程中忽视了“一组对边不平行”的条件，只由“一组对边平行”来判定四边形是梯形显然是错误的．【例2】已知：如图2，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于O点，E、F分别为OA、OD的中点．求证：四边形EBCF是等腰梯形．证明：∵E、F分别是OA、OD的中点，∴EF∥AD，又四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴EF∥BC，∵E、F分别为OA、OD的中点，又 AD=BC，∴ EF≠BC由 EF∥BC，EF≠BC．得四边形EBCF是梯形，∴ EO=FO，又∠1=∠2，BO=OC，∴△EBO≌△FCO∴ EB=FC，∴四边形EBCF是等腰梯形．分析：如果只证明了EF∥BC就判定四边形EBCF是梯形，不符合梯形的定义，应继续证明另一组对边EB与CF不平行，或继续证明EF≠BC都可以判定四边形EBCF是梯形，即证明：略．。
用截短补短法证明梯形全等
用截短补短法证明梯形全等每边两边等长的梯形我们要证明的是一个有一对平行边、且每边两边相等的梯形全等。
首先，我们可以使用截短补短法来证明它们的全等性。
所谓截短补短法，就是在两个梯形的非平行边上截取等长的线段，然后连接这两个线段的中点，形成一个新的线段。
步骤1. 首先，我们有两个梯形，梯形ABCD和梯形EFGH。
其中，AD和BC是平行边，AB和CD是非平行边，EF和GH是平行边，而FG和EH是非平行边。
2. 在梯形ABCD的非平行边上，我们截取一段长度为x的线段，记为PQ，其中P和Q分别是线段的两个端点。
3. 在梯形EFGH的非平行边上，我们截取一段长度为x的线段，记为RS，其中R和S分别是线段的两个端点。
4. 然后，我们通过连接点P和R，以及点Q和S，形成两个线段PR和QS。
5. 接下来，我们连接线段PR和线段QS的中点，记为M。
6. 最后，我们证明线段PM和线段QM相等，以及线段RM和线段SM相等。
证明我们可以使用一些已知的几何定理来证明线段PM和线段QM的相等性，以及线段RM和线段SM的相等性。
这些定理包括等长截线定理、线段垂直平分定理等。
通过应用这些定理，我们可以得出结论，即由于梯形ABCD和梯形EFGH的非平行边上截取的线段相等（长度为x），以及连接线段中点的线段等于截取线段长度的一半（即长度为0.5x），所以线段PM和线段QM相等，线段RM和线段SM相等。
结论由于我们证明了线段PM和线段QM的相等性，以及线段RM 和线段SM的相等性，所以我们可以得出结论，即梯形ABCD和梯形EFGH是全等的。
这就是通过截短补短法证明两个每边两边等长的梯形全等的步骤和证明过程。
梯形面积公式 推导过程
梯形面积公式推导过程
梯形面积公式推导过程：
首先我们来分析一下梯形的特点：
梯形是个四边形，有四个边，它的两条相邻的边是直角，另外两条边是斜边。
现在我们开始推导梯形面积公式：
假设一个梯形的两条斜边为a,b，两条直角边为h，则面积S可表示为：
S=1/2(a+b)h
我们可以通过反证法来证明这个公式：
假设S=1/2(a+b)h不是梯形面积的公式，则有另一个公式
S1=f(a,b,h)表示梯形面积，那么S1=f(a,b,h)=S=1/2(a+b)h，因为当把梯形的两条斜边a,b，两条直角边h固定的时候，梯形的面积是固定的，所以f(a,b,h)=1/2(a+b)h，也就是S1=S，也就证明了梯形面积公式S=1/2(a+b)h。
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梯形的相关计算与证明一．解答题（共30小题）1．如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC．（1）求证：△ABE≌△CDA；（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度数．2．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF．3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE=AD，连接DE交AB于点M．（1）求证：△AMD≌△BME；（2）若N是CD的中点，且MN=5，BE=2，求BC的长．4．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．5．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．（1）求证：DC=BC；（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论．6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E．（1）求证：∠ABD=∠CBD；（2）若∠C=2∠E，求证：AB=DC；（3）在（2）的条件下，sinC=，AD=，求四边形AEBD的面积．7．已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）在下图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹不写作法），并证明四边形ABED是菱形．（2）若∠ABC=60°，EC=2BE．求证：ED⊥DC．8．在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E为AD中点．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）若BE平分∠ABC，且AD=10，求AB的长．9．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC（1）求证：BD平分∠ABC（2）若BC=2AB，求∠C的度数．10．如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单位长度沿OB向点B运动．现点E、F同时出发，当点F到达点B时，E、F两点同时停止运动．（1）求梯形OABC的高BG的长；（2）连接E、F并延长交OA于点D，当E点运动到几秒时，四边形ABED是等腰梯形；（3）动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值；如果不会，请说明理由．11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C=60°，AD=4，BC=6，求AB的长．12．如图，在梯形ABCD中，AC平分∠BAD，在底边AB上截AE=CD．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F（1）求证：BF=AD+CF；（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．14．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4．求∠B的度数及AC的长．15．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=2cm．（1）求∠CBD的度数；（2）求下底AB的长．16．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°．（1）求证：AB⊥AC；（2）若DC=6，求梯形ABCD的面积．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．18．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=，BC=4，求DC的长．19．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，tanC=．（1）求点D到BC边的距离；（2）求点B到CD边的距离．20．已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．21．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．22．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．23．如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD﹣DC﹣CB，这两条公路围成等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：CD=10：5：2．（1）求外环公路的总长和市区公路长的比；（2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40km/h，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用了h，求市区公路的长．24．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CF、AC．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE2=BE•CE，求证：四边形ABFC是矩形．25．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，∠B=60°，DE⊥AC于点E，已知该梯形的高为．（1）求证：∠ACD=30°；（2）求DE的长度．26．如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°；延长CD到点E，连接AE，使得．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若DC=12，求AD的长．27．如图，已知在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°．（1）求∠ABD的度数；（2）若AD=2，求对角线BD的长．28．在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．29．已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是腰DC上的一个动点（P与D、C不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点．（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC为何值时，四边形EFPG是矩形并加以证明．30．如图，在等腰梯形ABCD中，∠BCD=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE于点P．（1）求证：AF=BE；（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．梯形的相关计算与证明参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2012•苏州）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC．（1）求证：△ABE≌△CDA；（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度数．中，2．（2011•重庆）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．（1）求EG的长；（2）求证：CF=AB+AF．BC==2EG=BC=的长是∵3．（2011•河南）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE=AD，连接DE交AB于点M．（1）求证：△AMD≌△BME；（2）若N是CD的中点，且MN=5，BE=2，求BC的长．MN=MN=EC4．（2011•贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．5．（2011•甘孜州）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．（1）求证：DC=BC；（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论．DM==16．（2011•福建）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E．（1）求证：∠ABD=∠CBD；（2）若∠C=2∠E，求证：AB=DC；（3）在（2）的条件下，sinC=，AD=，求四边形AEBD的面积．意义求得；利用（CD=DF=，得=AB=AD=，CD=×=7．（2011•毕节地区）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD（如图所示），∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）在下图中，用尺规作∠BAD的平分线AE（保留作图痕迹不写作法），并证明四边形ABED是菱形．（2）若∠ABC=60°，EC=2BE．求证：ED⊥DC．∵8．（2010•宜昌）在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E为AD中点．（1）求证：△ABE≌△DCE；（2）若BE平分∠ABC，且AD=10，求AB的长．9．（2010•永州）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC（1）求证：BD平分∠ABC（2）若BC=2AB，求∠C的度数．，==，cosC=10．（2010•梧州）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），∠OBA=90°，BC∥OA，OB=8，点E从点B出发，以每秒1个单位长度沿BC向点C运动，点F从点O出发，以每秒2个单位长度沿OB向点B运动．现点E、F同时出发，当点F到达点B时，E、F两点同时停止运动．（1）求梯形OABC的高BG的长；（2）连接E、F并延长交OA于点D，当E点运动到几秒时，四边形ABED是等腰梯形；（3）动点E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值；如果不会，请说明理由．==6 BG==∴，DH=AG===3.6﹣；×=×t的坐标为（t t×t=t=t=11．（2010•顺义区）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C=60°，AD=4，BC=6，求AB的长．．∴∴12．（2010•广元）如图，在梯形ABCD中，AC平分∠BAD，在底边AB上截AE=CD．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．13．（2010•鄂尔多斯）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F （1）求证：BF=AD+CF；（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．，∴∵∴14．（2010•北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4．求∠B的度数及AC的长．cosB==，AF=，AC=2∠，AC=215．（2009•益阳）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=2cm．（1）求∠CBD的度数；（2）求下底AB的长．16．（2009•江津区）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，∠B=60°．（1）求证：AB⊥AC；（2）若DC=6，求梯形ABCD的面积．AE==，（3．17．（2009•北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E为AB中点，EF∥DC交BC于点F，求EF的长．BE=AB=EF==．∵EF=．18．（2008•北京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=，BC=4，求DC的长．EF=AD=，AE=EC=BC=2DF=AE=2EF=（DC=，=4AD=DC=19．（2008•白银）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，tanC=．（1）求点D到BC边的距离；（2）求点B到CD边的距离．tanC=20．（2012•鄂尔多斯）已知，如图在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC，连AG．（1）求证：FC=BE；（2）若AD=DC=2，求AG的长．AC=AF=AC=，AC=21．（2012•永州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．22．（2012•南京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．AC BD AC HE=EG==的面积为23．（2012•河北）如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD﹣DC﹣CB，这两条公路围成等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：CD=10：5：2．（1）求外环公路的总长和市区公路长的比；（2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40km/h，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用了h，求市区公路的长．++．24．（2011•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CF、AC．（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；（2）如果DE2=BE•CE，求证：四边形ABFC是矩形．∴25．（2011•攀枝花）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，∠B=60°，DE⊥AC于点E，已知该梯形的高为．（1）求证：∠ACD=30°；（2）求DE的长度．，梯形的高为DCG=÷=2×26．（2011•东营）如图，在四边形ABCD中，DB平分∠ADC，∠ABC=120°，∠C=60°，∠BDC=30°；延长CD到点E，连接AE，使得．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）若DC=12，求AD的长．E=∠BC=∠AD=BC=DC=627．（2010•绍兴）如图，已知在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°．（1）求∠ABD的度数；（2）若AD=2，求对角线BD的长．CBD=∠BD==228．（2010•鞍山）在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．BK=（FG=x xS x﹣+BK=（=AK==4∴FG=BE﹣+）得：﹣x x=14周长的三分之一为=8，面积的三分之一为∴，FM=，=时，梯形∴，周长的三分之一为=8，面积的三分之一为∴FM=，=时，梯形∴，29．（2009•辽宁）已知：如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，点P是腰DC上的一个动点（P与D、C 不重合），点E、F、G分别是线段BC、PC、BP的中点．（1）试探索四边形EFPG的形状，并说明理由；（2）若∠A=120°，AD=2，DC=4，当PC为何值时，四边形EFPG是矩形并加以证明．PC=PM=×30．（2009•杭州）如图，在等腰梯形ABCD中，∠BCD=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE于点P．（1）求证：AF=BE；（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．。