图论(第三章的补充内容)

对无向图，与此方法类似。
(v1,∞) (v1,∞) (v1,∞) (v1,∞) (v1,∞) (v1,∞) (v1,∞) (v1,∞) [v1,∞]
• 最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。许多优 化问题可以使用这个模型，如设备更新，管线铺设，线路 安排，厂区布局等。 • 最短路问题的一般提法如下：设G＝(V，E)为连通图， 图中各边(Vi,Vj)有权lij（lij=∞ ,表示Vi,Vj间无边）， Vs,Vt为 图中任意两点，求一条道路μ，使它是从Vs到Vt 的所有路中 总权最小的路。即： • L (μ)=min
2.树
2.1 树与支撑树 树：一个无圈的连通图称为树。树图G=（V,E） 的点数记为p，边数记为q，则q=p-1。 例如
支撑树：图T=（V，E‘）是图G=（V，E） 的支撑子图，若图T是一个树，则称T是G的一 个支撑树。
图G有支撑树， 当且仅当图G是连通 的。求连通图的支 撑树的方法有“破 圈法”和“避圈 法”。 v
Floyd-Warshall算法：
v2 v5
v1 0 5 1 2 ∞ v1 0 5 1 2 ∞ v2 d23(1)=min[ d23(0), d21(0)+ d130)]= min[10,5+1]=6 5 0 10 ∞ 2 v2 5 0 6 7 2 D= D(0)= 2 3 0 2 8 v3 D(1)= 2 3 0 2 8 v3 由于d (1)=min[d (0), d (0)+d (0) ]表示从V 到V 或 ij ij i1 1j i j 2 ∞ 6 0 4 v4 2 7 3 0 4 v4 直接有边或借V 为中间点时的最短路长。红字 1 v5 元素为更新的元素。 ∞ 2 4 4 0 v ∞2 4 4 0 5 v1 v2 v3 v4 v5 v1 v2 v3 v4 v5 0 5 1 2 7 0 4 1 2 6 0 4 1 2 6 0 4 1 2 6 5 0 6 7 2 5 0 6 7 2 5 0 6 7 2 5 0 6 6 2 D(2)= 2 3 0 2 5 D(3)= 2 3 0 2 5 D(4)= 2 3 0 2 5 D(5)= 2 3 0 2 5 2 7 3 0 4 2 6 3 0 4 2 6 3 0 4 2 6 3 0 4 7 2 4 4 0 6 2 4 4 0 2 3 0 4 0 6 2 4 4 0 (5)表示从V 到V 最多经中间点V ,V …V 的所有路中的最 (2)与d (3)表示从V 到V 最多经中间点V ， 因dij dij i j 1 2 5 ij i j 1 (5）就给出了2点间不论几步到达的最短路长 短路长。故D V2与V1，V2 ， V3的最短路长
e6
v2 e9 e3 v4
v7 e10
v5 例 e1 e5 v3
e7
v6
e8 v8
e4
连通图 不连通图 连通分图 支撑子图
v1 e2 v5 e7 v2
例
e1 e 5
e6
e8 e3 v6
若点与点之间的连 线有方向，称为弧， 由此构成的图为有向 图。 D=（V，A）
v3
e4
v4
基础图 始点 路 回路
终点
2.2
避圈法：开始选一条权最小的边， 以后每一步中，总从未被选取的边中选 一条权尽可能小，且与已选边不构成圈 的边。
v3
6 1 5 v2 2 v4 5 7 3 4
v5
4
v3
v5 4
v1
v6
v1
1
5 v2 2
3
v4
v6
3. 最短路问题
对于有向图D＝(V,A)，给其每一个弧(vi,vj)一 个相应的权值wij，D就成为赋权有向图。给定赋权有 向图D中的两个顶点vs和vt，设P是由vs到vt的一条路， 把P中所有弧的权之和称为路P的权，记为w(P)。如 果路P*的权w(P*)是由vs到vt的所有路的权中的最小者， 则称P*是从vs到vt的最短路。最短路P*的权w(P*)称为 从vs到vt的距离，记为d(vs,vt)。
(v1,∞) (v1,∞) (v4,11) (v1,∞) (v4,11) (v1,∞) (v4,11) (v1,∞) (v5,10) (v5,9) (v5,10) [v5,9] [v5,10]
(v1,∞) (v1,∞) (v1,∞) (v1,∞) (v5,12) (v5,12) (v5,12) [v5,12]
第三章 运输与配送管理
补充内容
图与网络分析 1. 图的基本概念 2. 树 2.1 树与支撑树 2.2 最小支撑树问题
3. 最短路问题
4. 最大流问题
1. 图的基本概念
v1
例
e1 e 5
v5
e2 e6 e9 e7
v2 e8 e3 v6 e10
v3
e4
v4
图: 由点和点与点 之间的连线组成。若 点与点之间的连线没 有方向，称为边，由 此构成的图为无向图。 G=（V，E）
v2 2 2
1 6 v3 4 v4 10
v5
2
6 10 3 v6 2
V9
v9
3
v7 4
v8
V7
V8
[--,0] (v1,6) (v1,3) (v1,6) (v1,3) (v3,5) [v1,3] [v3,5]
(v1,1) (v1,∞) [v1,1] (v1,∞) (v1,∞) (v2,6) [v2,6]
所谓网络上的流，是指定义在弧集A 上的函数f＝{f(vi,vj)}，并称f(vi,vj)为 弧(vi,vj)上的流量，简记为fij。
v2 3,1 vs 5,2 1,0 v1 1,0 3,1 2,1 2,2 v3 4,1 v4
4. 最大流问题
4.1基本概念和定理
v2 3 vs 5 v1 2 v3 1 1 3 2 4 v4
5
vt
给一个有向图D＝(V,A)，指定两个点， 一个点称为发点，记为vs，另一个点称为 收点，记为vt，其余点称为中间点。 对于D中的每一个弧(vi,vj)，相应地给 一个数cij（cij≥0），称为弧(vi,vj)的容 量。我们把这样的D称为网络（或容量网 络），记为D＝(V,A,C)。
3. 比较所有T标号， T（V2）最小，故令P （V2）＝4 4. V2 为刚得到P标号的点，考察边（V2， V4 ）， （V2， V5 ）的端 点V4 ，V5：
T（V4）＝min [T（V4） , P（V2）+l24]＝ min [+ ∞, 4+5] = 9 T（V5）＝min [T（V5） , P （V2）+l25]＝ min [+ ∞, 4+4] = 8
(vi,vj)μ
l
ij
• 有些最短路问题也可以是求网络中某指定点到其余所有结 点的最短路，或求网络中任意两点间的最短路。
Dijkstra算法：
• 算法思路：若序列{Vs ,V1,V2,…,Vn-1,Vn}是Vs到Vn的最短路，则序列 {Vs ,V1,V2,…,Vn-1}也是Vs到Vn-1的最短路。
v2 1 2 3 2 v4 10 v6 2 v7 4 6 v3 4 10 3 v5 2 6 3 v9
6
v1
1
v8
在所有弧的权都非负 6 的情况下，目前公认最 3 v1 好的求最短路的方法是 1 Dijkstra标号法。用实 例介绍如下： 例 求上图中v1到v8的最短路。
V1 V2 V3 V4 V5 V6
Step 1: 给Vs以P标号， P （Vs）＝0，其余各点均给 T标号， T（Vi）＝+ ∞ Step 2: 若Vi: (Vi, Vj)属于E，且Vj为T标号，对Vj 的T 标号更改： T（Vj）＝min [T（Vj） ,P （Vi）+lij] Step 3: 比较所有具有T标号的点，把最小的改为P 标号，即： P（Vi）＝min [T（Vi）], 当有2个以 上最小者时，可同时改为P标号，若全部点均为 P标号则终止。否则用Vi代替Vi转回Step 2。
求网络中任意两点间的最短路： 3 10 2 5 令网络的权距阵为D=（dij）n×n，lij为Vi到Vj的距离，其中： 1 8 lij ，当（ Vi ， Vj ）∈E v3 dij＝ v1 4 2 ∞, 其它 算法步骤： step1：输入D（0）= D； 2 6 4 2 （k）= （d (k)） step2 ：计算D ij n×n , (k=1,2,3,…n); 其中： dij(k)=min[di(k-1), dik(k-1)+dkj(k-1) ] v4 Step3： D（n）= （dij(n)）n×n中 元素dij(n)就是Vi 到 Vj的最短路长。
v2 4 v1 6 4
5 4v4ຫໍສະໝຸດ 9 7v64
5 v8 1
5 7 6
v3 v5 v7 1.首先给V1以P标号， P （V1）＝0给其余点T标号， T（Vi）＝+ ∞ （i=2,3,…,8）
2. 由于（V1， V2 ）， （V2， V3 ）边属于E，且V2， V3为T标号，所 以修正2个点标号：
T（V2）＝min [T（V2） , P（V1）+l12]＝ min [+ ∞, 0+4] = 4 T（V3）＝min [T（V3） , P （V3）+l13]＝ min [+ ∞, 0+6] = 6
5. 比较所有T标号， T（V3）最小，故令P （V3）＝8 6. 考察点V3，有： T（V4）＝min [T（V4） , P（V3）+l34]＝ min [9, 6+4] = 9
T（V5）＝min [T（V5） , P （V3）+l35]＝ min [8, 6+7] = 8 7. 比较所有T标号， T（V5）最小，故令P （V5）＝8 8. 考察点V3： T（V6）＝min [T（V6） , P（V5）+l56]＝ min [+ ∞, 8+5] = 13 T（V7）＝min [T（V7） , P （V5）+l57]＝ min [+ ∞,8+6] = 14 9. 比较所有T标号， T（V4）最小，故令P （V4）＝9 10.考察点V4： T（V6）＝min [T（V6） , P（V4）+l46]＝ min [13, 9+9] = 13 T（V7）＝min [T（V7） , P （V4）+l47]＝ min [14,9+7] = 14 11.比较所有T标号， T（V6）最小，故令P （V6）＝13 12.考察点V6： T（V7）＝min [T（V7） , P（V6）+l67] ＝ min [14, 13+5] = 14 T（V8）＝min [T（V8） , P （V6）+l68]＝ min [+ ∞,13+4] = 17 13.比较所有T标号， T（V7）最小，故令P （V7）＝14 14.考察点V7： T（V8）＝min [T（V8） , P （V7）+l78]＝ min [17,14+1] = 15 15.因为只有一个T标号T（V8），令P（V8）＝15，计算结束。 V1到V8的最短路为V1 V2 V5 V7 V8，路长P（V8）＝15，同时得到V1到其余 各点的最短路