2016学年金丽衢十二校高三第二次联考数学试题
浙江省 金丽衢十二校第二次联考-高三 数理
数学试题卷(理科) 第1页（共4页）金丽衢十二校2015学年高三第二次联考数学试卷(理科)命题人：高雄略 王飞龙 审题人：卢 萍 郑惠群本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．平行直线l 1：3x +4y -12=0与l 2：6x +8y -15=0之间的距离为( ▲ )A ．310B ．910C ．35D ．952．命题“∃α∈[0, +∞），sin α>α”的否定形式是( ▲ )A ．∀α∈[0, +∞），sin α≤αB ．∃α∈[0, +∞），sin α≤αC ．∀α∈(-∞,0），sin α≤αD ．∃α∈(-∞,0），sin α>α3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于( ▲ ) cm 3 A ．4+23πB ．4+32πC ．6+23πD ．6+32π4．若直线l 交抛物线C ：y 2=2px (p>0)于两不同点A ，B ，且|AB |=3p ，则线段AB 中点M 到y 轴距离的最小值为( ▲ ) A ．p2B ． pC ．3p 2D ．2p5．已知φ是实数，f (x )=cos x ﹒cos(x +π3)，则(第3题图)俯视图正视图侧视图数学试题卷(理科) 第1页（共4页）D AB CD 1 (第6题图)“φ=π3”是“函数f (x )向左平移φ个单位后关于y 轴对称”的( ▲ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，将四边形ABCD 中△ADC 沿着AC 翻折到AD 1C ，则翻折过程中线段DB 中点M 的轨迹是( ▲ )A ．椭圆的一段B ．抛物线的一段C ．一段圆弧D ．双曲线的一段7．已知双曲线C :2222x y ab-=1(a , b >0)虚轴上的端点B (0, b )，右焦点F ，若以B 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点P ，且//， 则该双曲线的离心率为( ▲ ) A ．5B ．2C ．1+32D ．1+528．已知非零正实数x 1, x 2, x 3依次构成公差不为零的等差数列.设函数f (x )=x α，α∈{-1, 12, 2, 3}，并记M ={-1, 12, 2, 3}.下列说法正确的是( ▲ )A ．存在α∈M ，使得f (x 1) , f (x 2) , f (x 3)依次成等差数列B ．存在α∈M ，使得f (x 1), f (x 2), f (x 3)依次成等比数列C ．当α=2时，存在正数λ，使得f (x 1), f (x 2), f (x 3)- λ依次成等差数列D ．任意α∈M ，都存在正数λ>1，使得λf (x 1), f (x 2), f (x 3)依次成等比数列第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．设集合A ={x ∈N |6x +1∈N }，B ={x |y =ln(x -1)}，则A = ▲ ，B = ▲ ，)(B C A R = ▲ .10．设函数f (x )=A sin(2x +φ)，其中角φ的终边经过点P (-1,1)，且0<φ<π，f (π2)= -2.则φ= ▲ ，A = ▲ ，f (x )在[-π2, π2]上的单调减区间为 ▲ ．11．设a >0且a ≠1，函数f (x )=⎩⎨⎧a x +1-2,x ≤0,g (x ), x >0为奇函数，则a = ▲ ，g (f (2))= ▲ ．12．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =BC =CC 1=2，AC =23，M 是AC 的中点，则异面直线CB 1与C 1M 所成角的余弦值为 ▲ .13．设实数x ,y 满足x +y -xy ≥2，则|x -2y |的最小值为 ▲ .ACA 1M BB 1(第12题图)C 1数学试题卷(理科) 第1页（共4页）14．已知非零平面向量a , b , c 满足a ·c = b ·c=3，|a -b |=|c |=2，则向量a 在向量c 方向上的投影为 ▲ ，a ·b 的最小值为 ▲ .15．设f (x )=4x +1+a ·2x +b (a , b ∈R )，若对于∀x ∈[0,1]，| f (x )|≤12都成立，则=b ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分。
浙江金丽衢十二校高三数学理科第二次联考试卷
浙江金丽衢十二校高三数学理科第二次联考试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷(答题卷)两部分，满分150分，考试时间120分。
参考公式：1.如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；2.如果事件A 、B 相互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)；3.如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率为P n (k )=C ()k n k k n P P --1； 4.球的表面积公式S=4πR 2，其中R 表示球的半径； 5.球的体积公式V=,R 334π其中R 表示球的半径第Ⅰ卷一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求)1.tan660°等于A.-33 B.-3 C.3 D.33 2.复数z1=3+i,z2=1-i,则z 1·z 2在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.“a ，b ，c 成等比数列”是“b 2=ac ”的A.充分不必要条件 C.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.函数y=1-x 的反函数的图象大致是5.设P ，Q 是两个非空集合，定义P ○×Q=()}{,Q b ,P a b ,a ∈∈若P={0，1，2}Q={1，2，3，4}，则P ○×Q 中的元素的个数是A.4个B.7个C.12D.16个 6.从2006名学生选取50名组成参观团，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样2006名学生中剔除6名，再从2000名学生中随机抽取50名，则其中学生甲被剔除和被选取的概率分别为A.40110033, B.40110003, C.10032510033, D.10032510003, 7.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤+≤+1 x xb1 x 1x20 x a x)-(12log 在家义域内连续，则a ,b 的值分别是A.a =1,b =2B.a =2,b =1C.a =0,b =1D.a =1,b =08.正方形ABCD 边长为4，E 、F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF 折成直二面角B ′C ′-EF-AD(如图)，M 为矩形AEFD 内一点如果∠MB ′E=∠MB ′C ′，MB ′和平面B ′C ′FE 所成角的正切值为21，那么点M 到直线EF 的距离为 A.3B.2C.2D.19.设有编号为1，2，3，4，5的五个茶杯和编号为1，2，3，4，5的五个杯盖，将五个杯盖分别盖在五个茶杯上，则至少有两个杯盖的编号和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种10.坐平面内区域M=()()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤≤≤-+≥+-01100101y kx k y x y x y ,x 的面积可用函数f (x )表示，若f (k )=8,则k 等于A.21 B.31C.23 D.22s 二、填空题：(t 本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案在题中的横线上x)11.二项式621⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中常数项为_______(用数字作答).12.将棱和为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为_______.13.已知F 1，F 2是椭圆的两焦点，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆离心率为_______.14.设f (x )是定义在R 上的奇函数在(0，21)上单调递减，且f (x -1)=f (-x )。
浙江省金丽衢十二校2024届高三下学期第二次联考数学试题(含答案与解析)_2761
金丽衢十二校2024学年高三第二次联考数学试题（考试时间为120分钟，试卷总分为150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}0,1,2A =，{|31,}B x x k k ==-∈N ，则A B = （ ） A. {}0,1,2B. {}1,2C. {}1D. {}22. 若复数z 满足：232i z z +=-，则z （ ） A. 2B.C.D. 53. 若函数()()ln e 1xf x ax =++为偶函数，则实数a 的值为（ ）A. 12-B. 0C.12D. 14. 双曲线2211x y a a -=-的离心率e 的可能取值为（ ）A.B.C.D. 25. 在ABC 中，“A ，B ，C 成等差数列且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列”是“ABC 是正三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知抛物线21:2C x y =的焦点为F ，以F 为圆心的圆2C 交1C 于A ，B 两点，交1C 的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆2C 的方程为（ ）为A. 22(1)12x y +-=B. 22(1)16x y +-=C. 22132x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ D. 22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭7. 已知函数()11,02ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若1212()()()f x f x x x =<，则21x x -的取值范围为（ ）A [e,)+∞B. 42ln )[2,-+∞C. []42ln 2,e -D. [e 1,)-+∞8. 在三棱锥D ABC -中，底面是边长为2的正三角形，若AD 为三棱锥D ABC -的外接球直径，且AC 与BD，则该外接球的表面积为（ ） A.19π3B.28π3C. 7πD. 16π二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 关于函数()22sin cos f x x x x =⋅+，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为2πB.关于点π6⎛-⎝中心对称 C.最大值2+D. 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 10. 设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若R x ∀∈，均有()()()1xf x x f x '=+，则（ ） A. ()00f = B. ()20f ''-=（()f x ''为()f x 的二阶导数） C. ()()221f f <D. 1x =-是函数()f x 的极大值点11. 已知正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为1，点P 是正方形1111D C B A 上的一个动点，初始位置位于点1A 处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为14，向对角顶点移动的概率为12，如当点P 在点1A 处时，向点1B ，1D 移动的概率均为14，向点1C 移动的概率为12，则（ ） A. 移动两次后，“PC =”的概率为38B. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，“//PA 平面1BDC ”的概率都小于13.为C. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，“PC ⊥平面1BDC ”的概率都小于12D. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，四面体1P BDC -体积V 的数学期望()15E V <（注：当点P 在平面1BDC 上时，四面体1P BDC -体积为0）非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图的周长最小值为__________.13. 某中学A ､B 两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有__________种不同的排课方式.（用数字作答）14. 设正n 边形的边长为1，顶点依次为12,,,n A A A ，若存在点P 满足120PA PA ⋅=u u u r u u u r，且11n k k PA ==∑u u u r ，则n 的最大值为__________.（参考数据：tan 360.73︒≈）四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2221n n S a n =+-. （1）求n a ；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD，PA PD ==，点E 是线段AD 的中点，2CM MP =.（1）证明：PE //平面BDM ； （2）求平面AMB 与平面BDM 的夹角.17. 某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：的测试指标 [)20,76[)76,82[)82,88[)88,94[]94,100元件数（件） 121836304（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X 具有数学期望()E X μ=，方差()2D X σ=，则对任意正数ε，均有()22P x σμεε-≥≤成立.（i ）若1~100,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明：1(025)50P X ≤≤≤； （ii ）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A 发生的概率小于0.05时，可称事件A 为小概率事件）18. 已知椭圆2222:1(0)x y L a b a b+=>>的左顶点()30A -,和下顶点B ，焦距为，直线l 交椭圆L 于C ，D （不同于椭圆的顶点）两点，直线AD 交y 轴于M ，直线BC 交x 轴于N ，且直线MN 交l 于P . （1）求椭圆L 标准方程；（2）若直线AD ，BC 的斜率相等，证明：点P 在一条定直线上运动.19. ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数()f x ，()g x 的导函数分别为()f x '，()g x '，且lim ()lim ()0x a x af xg x →→==，则 ()()lim lim ()()x a x a f x f x g x g x ''→→=. ②设0a >，k 是大于1的正整数，若函数()f x 满足：对任意[]0,x a ∈，均有()x f x f k ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立，且()0lim 0x f x →=，则称函数()f x 为区间[]0,a 上的k 阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题：（1）试判断()33f x x x =-是否为区间[]0,3上的2阶无穷递降函数；（2）计算：10lim(1)xx x →+；的（3）证明：3sin cos πx x x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，3π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}0,1,2A =，{|31,}B x x k k ==-∈N ，则A B = （ ） A. {}0,1,2 B. {}1,2C. {}1D. {}2【答案】D 【解析】【分析】根据交集定义求解即可.【详解】因为{}0,1,2A =，{|31,}B x x k k ==-∈N ， 所以{2}A B = . 故选：D.2. 若复数z 满足：232i z z +=-，则z 为（ ）A. 2B.C.D. 5【答案】C 【解析】【分析】利用共轭复数的概念及复数相等的充要条件求出z ，进而求出z . 【详解】设()i,,R z a b a b =+∈，则i,z a b =- 所以23i=32i z z a b +=--，即1,2a b ==，所以z ==.故选：C.3. 若函数()()ln e 1xf x ax =++为偶函数，则实数a 的值为（ ）A. 12-B. 0C.12D. 1【答案】A【解析】【分析】根据偶函数满足的关系即可化简求解. 【详解】()()ln e 1xf x ax =++的定义域为R ，()()()e 1ln e 1ln ln e 1e x xx x f x ax ax x ax -⎛⎫+-=+-=-=+-- ⎪⎝⎭，由于()()ln e 1xf x ax =++为偶函数，故()()f x f x -=，即()()()()ln e 11ln e 1120x x a x ax a x +-+=++⇒+=，故120a +=，解得12a =- 故选：A4. 双曲线2211x y a a -=-的离心率e 的可能取值为（ ）A.B.C.D. 2【答案】A 【解析】【分析】由题得到1a >或a<0，再利用离心率c e a ==.【详解】由(1)0a a ->，得到1a >或a<0，当1a >时，c e a ====<，当a<0，双曲线2211y x a a -=--，c e a ====<，所以1e <<故选：A.5. 在ABC 中，“A ，B ，C 成等差数列且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列”是“ABC 是正三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】在ABC 中，由A ，B ，C 成等差数列，得2B A C =+，而πA B C ++=，则π3B =， 由sin ,sin ,sin A BC 成等比数列，得2sin sin sin B A C =，由正弦定理得2b ac =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即22ac a c ac =+-，解得a c =，因此ABC 是正三角形；若ABC 是正三角形，则π3A B C ===，sin sin sin A B C ===， 因此A ，B ，C 成等差数列且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列，所以“A ，B ，C 成等差数列且sin ,sin ,sin A B C 成等比数列”是“ABC 是正三角形”的充要条件. 故选：C6. 已知抛物线21:2C x y =的焦点为F ，以F 为圆心的圆2C 交1C 于A ，B 两点，交1C 的准线于C ，D 两点，若四边形ABCD 是矩形，则圆2C 的方程为（ ） A. 22(1)12x y +-=B. 22(1)16x y +-=C. 22132x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭D. 22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】依题意知，圆2C 的圆心坐标为10,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，且点F 为该矩形对角线的交点，利用点F 到直线CD 的距离与点F 到AB 的距离相等，可求得直线AB 的方程为：32y =，从而可求得A 点坐标，从而可求得圆2C 的半径，于是可得答案.【详解】解：由题可得：抛物线21:2C x y =的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以圆2C 的圆心坐标为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为四边形ABCD 是矩形，且为BD 直径，AC 为直径，10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆2C 圆心, 所以点F 为该矩形对角线的交点，所以点F 到直线CD 的距离与点F 到AB 的距离相等， 故点F 到直线CD 的距离1d = ， 所以直线AB 的方程为：32y = ，所以32A ⎫⎪⎭， 故圆2C 的半径2r AF === ，所以圆2C 的方程为22142x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查圆的标准方程的确定，分析得到点F 为该矩形ABCD 的两条对角线的交点是关键，考查作图、分析与运算能力，属于中档题.7. 已知函数()11,02ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩若1212()()()f x f x x x =<，则21x x -的取值范围为（ ）A. [e,)+∞B. 42ln )[2,-+∞C. []42ln 2,e -D. [e 1,)-+∞【答案】B的【解析】【分析】由题意可知1211ln 2x x +=，转化为21222ln 2x x x x -=-+.结合图像构造函数()2ln 2h x x x =-+，(]0,e x ∈，求出函数值域即为本题答案.【详解】由题意可知1211ln 2x x +=，即122ln 2x x =-，所以21222ln 2x x x x -=-+. 由图像可得(]20,e x ∈，设()2ln 2h x x x =-+，(]0,e x ∈. 则22()1x h x x x-'=-=，(]0,e x ∈.令2()0x h x x -'==,则2x = 当()0h x '>时(]2,e x ∈，当()0h x '<时()0,2x ∈所以()2ln 2h x x x =-+在()0,2单调递减，在(]2,e 单调递增. 所以()h x 在2x =时取得最小值()242ln 2h =-， 可得2142ln [2,)x x -∈-+∞. 故选：B8. 在三棱锥D ABC -中，底面是边长为2的正三角形，若AD 为三棱锥D ABC -的外接球直径，且AC 与BD，则该外接球的表面积为（ ） A.19π3B.28π3C. 7πD. 16π【答案】A 【解析】【分析】记球心为O ，取AB 中点为E 、BC 中点为F ，连接OE OF EF 、、，易得OE OF ==，1EF =，由cos OEF ∠=，即可求出21912r =，由此即可求出答案.【详解】如图所示：记球心为O ，取AB 中点为E 、BC 中点为F ，连接OE OF EF 、、， 记外接球半径为r ，的在Rt ABD中，BD =∥OE BD,OE =，在ABC 中，//EF AC ，112EF AC ==, 在Rt OBF中，OF =所以AC 与BD 所成角为OEF ∠，即cos OEF ∠=， 在OEF 中,OE OF ==，1EF =，所以12cos EFOEF OE ∠===解得：21912r =， 所以该外接球的表面积为：219194π4ππ123r =⨯= 故选：A.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 关于函数()22sin cos f x x x x =⋅+，下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为2πB.关于点π6⎛-⎝中心对称 C.2+ D. 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 【答案】BC 【解析】【分析】首先化简函数的解析式，再根据三角函数的性质，判断选项.【详解】())22sin cos sin 2cos 21f x x x x x x =⋅+=+，π2sin 23x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的最小正周期2ππ2T ==，故A 错误；πππ2sin 0633f ⎛⎫⎛⎫-=-++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x图象关于点π6⎛- ⎝中心对称，故B 正确；()π2sin 23f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以函数的最大值为2，故C 正确；由5ππ,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，πππ2,322x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，函数sin y x =在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增， 所以函数()f x 在区间5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 错误. 故选：BC10. 设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若R x ∀∈，均有()()()1xf x x f x '=+，则（ ） A. ()00f = B. ()20f ''-=（()f x ''为()f x 的二阶导数） C. ()()221f f < D. 1x =-是函数()f x 的极大值点【答案】AB 【解析】【分析】由()()()1xf x x f x '=+，令0x =，即可判断A ；由已知得()()f x f x x x'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即得函数()e x f x c x=+，确定0c =，从而可得()()e xf x x c =+，求导数，即可判断B ；令()(),(0)f x g x x x=>，判断其单调性，即可判断C ；根据极值点与导数的关系可判断D.【详解】由R x ∀∈，()()()1xf x x f x '=+，令0x =，则()()()00100,0f f ∴==+，A 正确； 当0x ≠时，由()()()1xf x x f x '=+得()()()xf x f x xf x -'=，故()()()2f x x f x f x xx'⋅-=，即()()f x f x x x '⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则()e xf x c x =+（c 为常数），则()()e x f x x c =+， ()00f =满足该式，故()()e x f x x c =+，则()e e x x f x c x '=++，将()()e xf x x c =+代入()()()1xf x x f x '=+中，得()()()e e 1e x x xx c x x x c ++=++，即222e e e e x x x x x xc x x x c cx x ++=+++，而x ∈R ，故0c =，则()e x f x x =，()e e x xf x x ='+，()e e e e (2)x x x xf x x x ''=++=+，故()2e (22)0xf =''--=，B 正确；令()(),(0)f x g x x x=>，()e 0xg x '=>，故()g x 在(0),+∞上单调递增，故()()2121f f >，即()()221f f >，C 错误； 由于()e e x xf x x ='+，令()()0,e 10x f x x '>∴+>，即得1x >-，令()()0,e 10xf x x '<∴+<，即得1x <-，故()f x 在(1),-∞-上单调递减，在(1),-+∞上单调递增， 故1x =-是函数()f x 的极小值点，D 错误， 故选：AB11. 已知正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为1，点P 是正方形1111D C B A 上的一个动点，初始位置位于点1A 处，每次移动都会到达另外三个顶点.向相邻两顶点移动的概率均为14，向对角顶点移动的概率为12，如当点P 在点1A 处时，向点1B ，1D 移动的概率均为14，向点1C 移动的概率为12，则（ ） A. 移动两次后，“PC =”的概率为38B. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，“//PA 平面1BDC ”的概率都小于13C. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，“PC ⊥平面1BDC ”的概率都小于12D. 对任意*n ∈N ，移动n 次后，四面体1P BDC -体积V 的数学期望()15E V <（注：当点P 在平面1BDC 上时，四面体1P BDC -体积为0）【答案】ACD 【解析】【分析】先求出点P 在移动n 次后，点1111,,,A B C D 的概率，再结合由向量法求出线面垂直、线面平行和三棱锥的体积，对选项一一判断即可得出答案.【详解】设移动n 次后，点P 在点1111,,,A B C D 的概率分别为,,,n n n n a b c d ， 其中11111110,,,,1424n n n n a b c d a b c d ====+++=， 111111111111111442111442111442111442n n n n n n n n n n n n n n n n a b d c b a c d c b d ad a c b ------------⎧=++⎪⎪⎪=++⎪⎨⎪=++⎪⎪⎪=++⎩，解得：111+42211142214nn n n n na cb d ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫=--⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎪⎪⎩， 对于A ，移动两次后，“PC =表示点P 移动两次后到达点1A ，所以概率为2211134228a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()()()1,0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,0A D B C ，()()()()11111,0,1,0,0,1,1,1,1,0,1,1A D B C ，因为()()11,1,0,0,1,1DB DC == ，()()()1110,1,1,1,0,1,1,1,1B A D A A C =--=-=--，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z = ，则100n DB x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ， 取1y =，可得1,1x z =-=-，所以()1,1,1n =--，而110,0B A n D A n ⋅=⋅= ，11,B A D A ⊄平面1BDC ，所以当点P 位于1B 或1D 时，//PA 平面1BDC ， 当P 移动一次后到达点1B 或1D 时，所以概率为1112423⨯=>，故B 错误； 对于C ，()11,1,1,A C n =--=所以当点P 位于1A 时，PC ⊥平面1BDC ，所以移动n 次后点P 位于1A ，则1111+4222nn a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，四面体1P BDC -体积V 的数学期望()11111111=n A BDC n B BDC n C BDC n D BDC E V a V b V c V d V ----⋅+⋅+⋅+⋅12BDC S == ()11,0,1DA = ， 所以点1A 到平面1BDC的距离为11DA n d n ⋅===同理点111,,B C D 到平面1BDC所以111111111111,,03336A BDCB BDCD BDC C BDC V V V V ----======， 所以()11111111111=+0+42234646662n n E V ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⋅+⨯++⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当n 为偶数，所以()11151=+662245nE V ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭，当n 为奇数，所以()11111=66265nE V ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ACD.【点睛】关键点睛：本题的关键点是先求出点P 在移动n 次后，点1111,,,A B C D 的概率，再结合由向量法求出线面垂直、线面平行和三棱锥的体积，对选项一一判断即可得出答案.非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知圆柱的轴截面面积为4，则该圆柱侧面展开图的周长最小值为__________.【答案】 【解析】【分析】将圆柱的母线长和底面圆半径分别设为,l r ，根据已知和基本不等式求出侧面展开图面积的最小值. 【详解】设圆柱的母线长和底面圆半径分别设为,l r ，根据已知得24lr =，由题意可得圆柱侧面展开图的周长可以表示为4π2L r l =+≥=侧，当且仅当4π2r l =时，即r =，l =.故答案为：13. 某中学的A ､B 两个班级有相同的语文､数学､英语教师，现对此2个班级某天上午的5节课进行排课，2节语文课，2节数学课，1节英语课，要求每个班级的2节语文课连在一起，2节数学课连在一起，则共有__________种不同的排课方式.（用数字作答） 【答案】8 【解析】【分析】由a 表示数学课，b 表示语文课，c 表示英语课，按上午的第1、2、3、4、5节课顺序，列出所有可能情况可得答案.【详解】由a 表示数学课，b 表示语文课，c 表示英语课， 按上午的第1、2、3、4、5节课排列，可得 若A 班排课为aabbc ，则B 班排课为bbcaa ， 若A 班排课为bbaac ，则B 班排课为aacbb ，若A 班排课为aacbb ，则B 班排课为bbaac ，或B 班排课为cbbaa ， 若A 班排课为bbcaa ，则B 班排课为aabbc ，或B 班排课为caabb ， 若A 班排课为cbbaa ，则B 班排课为aacbb ， 若A 班排课为caabb ，则B 班排课为bbcaa ， 则共有8种不同的排课方式. 故答案为：8.14. 设正n 边形的边长为1，顶点依次为12,,,n A A A ，若存在点P 满足120PA PA ⋅=u u u r u u u r，且11n k k PA ==∑u u u r，则n 的最大值为__________.（参考数据：tan 360.73︒≈）【答案】5 【解析】【分析】由题意确定P 点的轨迹，分类讨论，结合向量的运算说明正六边形中以及7n ≥时不符合题意，说明5n =时满足题意，即可得答案.【详解】由题意知点P 满足120PA PA ⋅=u u u r u u u r，则P 点在以12A A 为直径的圆上， 当6n =时，设,,,B C D M 为123456,,,A A A A A A CD 的中点，如图，61||2||2|2|k k PA PB PC PD PB PM ==++=+∑ ，当,PB PM共线且方向时，即,,B P M 三点共线时，1||n k k PA =∑ 取最小值，此时1||2PB BM ==,||，则1||2PM = ，则min 2|2|31PB PM +=->，故6n =时，不满足题意；当5n =时，设,C N 为1235,A A A A 的中点，如图，541|||22|k K PA PC PN PA ==++∑ ，当4,PC PA共线且反向时，51||k K PA =∑ 取最小值，此时4,,,C P N A 共线，144442tan 3672,tan 72 3.13,|tan 72 1.56,||| 1.061tan 36211||22A A C CA PA CA ︒︒︒︒∠===⨯--≈≈=≈，453436||1sin 3610.59,|| 1.060.590.47,A A A A N PN ∠==⨯≈≈≈-=∴ ，则4min |22||120.47 1.06|1PC PN PA ++≈-⨯-=，则当4,PC PA 共线且同向时，必有4max |22|1PC PN PA ++>，故5n =时，存在点P 满足120PA PA ⋅=u u u r u u u r，且11n k k PA ==∑；当7n ≥时，如图，正七边形的顶点到对边的高h 必大于正六边形对边之间的高，依此类推，故此时不存在点P 满足120PA PA ⋅=u u u r u u u r，且11n k k PA ==∑；故n 的最小值为5， 故答案为：5【点睛】难点点睛：本题考查了平面向量的运算以及向量的模的最值问题，综合性较强，难度加大，难点在于要分类讨论正n 边形的情况，结合向量的加减运算，确定模的最值情况.四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2221n n S a n =+-. （1）求n a ；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）*1,2n a n n =+∈N（2）22323n T n =-+ 【解析】【分析】（1）根据,n n a S 关系求通项公式即可； （2）裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 由2221n n S a n =+-①所以当2n ≥时，21122(1)1n n S a n --=+--②②-①得：122221n n n a a a n -=-+-，整理得：11,22n a n n -=-≥， 所以*1,2n a n n =+∈N . 【小问2详解】 由（1）知12n a n =+， 所以1111122131321232222n n a a n n n n n n +==-=-++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以122311112222222235572123323n n n T a a a a a a n n n +=+++=-+-++-=-+++ . .16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥平面ABCD，PA PD ==，点E 是线段AD 的中点，2CM MP =.的（1）证明：PE //平面BDM ； （2）求平面AMB 与平面BDM 的夹角. 【答案】（1）证明见解析（2）π3. 【解析】【分析】（1）连接EC 交BD 于N ，连接MN ,根据条件证明MN //PE 即得；（2）先证明PE ⊥平面ABCD ，依题建系，求出相关点和向量的坐标，分别求得平面AMB 与平面BDM 的法向量，最后由空间向量的夹角公式求解即得. 【小问1详解】如图，连接EC 交BD 于N ，连接MN ,由E 是AD 的中点可得11122DE AD BC ===， 易得DEN 与BCN △相似，所以12EN NC =， 又12PM MC =，所以MN //PE ， 又MN ⊂平面,BDM PE ⊄平面BDM ，所以PE //平面BDM ； 【小问2详解】因平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，由PA PD ==，点E 是线段AD 的中点可得,PE AD ⊥又PE ⊂平面PAD ，故得PE ⊥平面ABCD .如图，取BC 的中点为F ,分别以,,EA EF EP为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.则()()0,0,0,1,0,0E A ，()()()()1,0,0,1,2,0,1,2,0,0,0,2D B C P --，()11221,2,2,,,3333PC PM PC ⎛⎫=--==-- ⎪⎝⎭ ，则124,,333M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.设平面AMB 的法向量为()1111,,n x y z =，由()4240,2,0,,,333AB AM ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则11111120424333n AB y n AM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，故可取()11,0,1n = ； 设平面BDM 的法向量为()2222,,n x y z =，由()4442,2,0,,,333BD BM ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，则2222222220444333n BD x y n BM x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，故可取()21,1,0n =- . 故平面AMB 与平面BDM的夹角余弦值为1212121cos ,2n n n n n n ⋅〈〉===， 所以平面AMB 与平面BDM 的夹角为π3. 17. 某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 [)20,76[)76,82[)82,88[)88,94[]94,100元件数（件） 121836304（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率； （2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量X 具有数学期望()E X μ=，方差()2D X σ=，则对任意正数ε，均有()22P x σμεε-≥≤成立.（i ）若1~100,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，证明：1(025)50P X ≤≤≤； （ii ）利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂声称本厂元件合格率为90%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件A 发生的概率小于0.05时，可称事件A 为小概率事件） 【答案】（1）2343（2）（i ）证明见解析；（ii ）不可信. 【解析】【分析】（1）由条件概率的公式进行求解即可； （2）（i ）由1~100,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭求出()()50,25E X D X ==，再结合切比雪夫不等式即可证明；（ii ）设随机抽取100件产品中合格品的件数为X ，()100,0.9X B :，由切比雪夫不等式判断出()()97090200.0225400P X P X =≤-≥≤=，进而可得出结论. 【小问1详解】记事件A 为抽到一件合格品，事件B 为抽到两个合格品，()()222701003022100100C C C 161301,C 330C 330P AB P A -==== ()()()16123.30143P AB P B A P A ===∣ 【小问2详解】（i ）由题：若1~100,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()50,25E X D X == 又()()1001001C100,2k P X k P X k ⎛⎫====- ⎪⎝⎭所以()1025(0252P X P X ≤≤=≤≤或()175100)50252X P X ≤≤=-≥ 由切比雪夫不等式可知，()225150252525P X -≥≤= 所以()102550P X ≤≤≤；（ii ）设随机抽取100件产品中合格品的件数为X ，假设厂家关于产品合格率为90%的说法成立，则()100,0.9X B :， 所以()()90,9E X D X ==，由切比雪夫不等式知，()()97090200.0225400P X P X =≤-≥≤=， 即在假设下100个元件中合格品为70个的概率不超过0.0225，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信.18. 已知椭圆2222:1(0)x y L a b a b+=>>的左顶点()30A -,和下顶点B ，焦距为，直线l 交椭圆L 于C ，D （不同于椭圆的顶点）两点，直线AD 交y 轴于M ，直线BC 交x 轴于N ，且直线MN 交l 于P . （1）求椭圆L 的标准方程；（2）若直线AD ，BC 的斜率相等，证明：点P 在一条定直线上运动.【答案】（1）22:19x L y +=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）由顶点坐标和焦距可求出椭圆标准方程；（2）设直线AD ，BC 的斜率为k ，联立直线():3AD y k x =+和椭圆方程，得到()22,,D x y 联立直线:1BC y kx =-和椭圆方程()11,,C x y 由于AD //BC ，所以MP DP PNPC=，可得点()00,P x y ，利用消元法可得点P 的轨迹方程，即可得证. 【小问1详解】由已知得：3,a c ==1b =，所以椭圆22:19x L y +=【小问2详解】设直线,AD BC 的斜率为()()()112200,,,,,,k C x y D x y P x y .则直线():3AD y k x =+，直线:1BC y kx =-，得()10,3,,0M k N k ⎛⎫⎪⎝⎭联立()223,99y k x x y ⎧=+⎨+=⎩得()222219548190kxk x k +++-=，易知Δ0>.由222819319k x k --⨯=+，得22232719k x k -=+，于是()2226319k y k x k =+=+.同理：211221891,1919k k x y k k -==++ 由于AD //BC ，所以MP DP PN PC =，即20200023271911819k x x k k x x k k--+=--+，得0331x k =+①，同理0331ky k =+②，由①②得00330x y +-=， 故点P 在直线330x y +-=上运动.【点睛】关键点点睛：本题的关键是设出直线,AD BC 的方程，联立直线方程和椭圆方程，得到点,C D 的坐标，从而得解.19. ①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数()f x ，()g x 的导函数分别为()f x '，()g x '，且lim ()lim ()0x a x af xg x →→==，则 ()()lim lim ()()x a x a f x f x g x g x ''→→=. ②设0a >，k 是大于1的正整数，若函数()f x 满足：对任意[]0,x a ∈，均有()x f x f k ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立，且()0lim 0x f x →=，则称函数()f x 为区间[]0,a 上的k 阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题：（1）试判断()33f x x x =-是否为区间[]0,3上的2阶无穷递降函数；（2）计算：10lim(1)xx x →+；（3）证明：3sin cos πx x x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭，3π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 【答案】（1）()33f x x x =-不是区间[]0,3上的2阶无穷递降函数；（2）10lim(1)e xx x →+=（3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据函数()f x 为区间[]0,a 上k 阶无穷递降函数的定义即可判断；（2）通过构造()()=ln h x g x ，再结合()()lim lim ()()x a x a f x f x g x g x ''→→=即可得到结果；（3）通过换元令令πx t -=，则原不等式等价于23πtan sin ,0,2t t t t ⎛⎫⋅≥∈ ⎪⎝⎭，再通过构造函数()23tan sin π,0,2t t f t t t ⋅⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，根据题干中函数()f x 为区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的k 阶无穷递降函数的定义证出()π1,0,2f t t ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，即可证明结论.【小问1详解】 设()()373282x F x f x f x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由于()731082F =-<， 所以()2x f x f ⎛⎫≥⎪⎝⎭不成立， 故()33f x x x =-不是区间[]0,3上的2阶无穷递降函数.【小问2详解】设()1(1)xg x x =+，则()()()ln 11ln ln 1x g x x x x+=+=， 设()()ln 1x h x x+=，则0001ln(1)1lim ()lim lim 11x x x x x h x x →→→++===，所以0lim ln ()1x g x →=，得1lim(1)e xx x →+= 【小问3详解】的.令πx t -=，则原不等式等价于23πtan sin ,0,2t t t t ⎛⎫⋅≥∈ ⎪⎝⎭， 即证23tan sin π1,0,2t t t t ⋅⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭， 记()23tan sin π,0,2t t f t t t ⋅⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则238tan sin 222t tt f t ⋅⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()2233224cos tan sin 1218tan sin 1tan 1tan 22222tf t t t t t t t t t t f ⋅=⋅==>⎛⎫⋅-- ⎪⎝⎭， 即有对任意π0,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均有()2t f t f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()22n t t f t f f ⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为00sin limlim cos 1x x xx x→→==，所以33233sin sin tan sin 12222lim lim lim lim lim 12cos cos 22222n n n n n n n n n n n n n n n t t t t t f t t t t t →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥===⋅= ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()π1,0,2f t t ⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，证毕!【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化.。
【数学】浙江省金丽衢十二校2018届高三第二次联考数学试题 含答案
2017-2018学年浙江省金丽衢十二校高三（上）第二次联考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．设集合M={x|}，N={x|0＜x＜2}，则M∪N=（）A．[0，1）B．（0，1）C．[0，2）D．（0，2）2．若双曲线的两条渐近线相互垂直，则它的离心率是（）A．B．C．2 D．3．某四面体的三视图如图所示，正视图、左视图都是腰长为2的等腰直角三角形，俯视图是边长为2的正方形，则此四面体的最大面的面积是（）A．2 B． C． D．44．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图，则φ=（）A．B．C．D．5．已知（﹣1+3i）（2﹣i）=4+3i（其中i是虚数单位，是z的共轭复数），则z的虚部为（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i6．已知正项数列{a n}中，a1=1，a2=2，（n≥2），则a6=（）A．B．4 C．16 D．457．用0，1，2，3，4可以组成的无重复数字的能被3整除的三位数的个数是（）A．20 B．24 C．36 D．488．如果存在正实数a，使得f（x+a）为奇函数，f（x﹣a）为偶函数，我们称函数f（x）为“Θ函数”．给出下列四个函数：①f（x）=sinx ②f（x）=cosx ③f（x）=sinx﹣cosx ④f（x）=sin2（x+）．其中“Θ函数”的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．49．设a＞b＞0，当+取得最小值c时，函数f（x）=|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|的最小值为（）A．3 B．2 C．5 D．410．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=0.6，则当E、F移动时，下列结论中错误的是（）A．AE∥平面C1BDB．四面体ACEF的体积为定值C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AF、BE所成的角为定值二、填空题（共7小题，每小题6分，满分36分）11．若f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=x（1﹣x），则当x＜0时，f（x）= ；方程[5f（x）﹣1][f（x）+5]=0的实根个数为．12．在的展开式中，常数项为；系数最大的项是．13．已知向量，满足，，与的夹角为，则= ；与的夹角为．14．函数f（x）=x2+acosx+bx，非空数集A={x|f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，已知A=B，则参数a的所有取值构成的集合为；参数b的所有取值构成的集合为．15．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α∥β④若m∥l，则α⊥β其中正确的命题的序号是．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）．16．从放有标号为1、2、4、8、16、32的6个球的口袋里随机取出3个球（例如2、4、32），然后将3个球中标号最大和最小的球放回口袋（例子中放回2和32，留下4），则留在手中的球的标号的数学期望是．17．设直线2x+y﹣3=0与抛物线Γ：y2=8x交于A，B两点，过A，B的圆与抛物线Γ交于另外两点C，D，则直线CD的斜率k= ．三、解答题（共5小题，满分74分）18．（14分）已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，f（A）=，△ABC的面积为，AB=，求BC的长．19．（15分）四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，则棱SB垂直于底面．（Ⅰ）求证：平面SBD⊥平面SAC；（Ⅱ）若SA与平面SCD所成角为30°，求SB的长．20．（15分）已知函数f（x）=a x﹣xlna（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）单调区间；（Ⅲ）若对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．21．（15分）已知椭圆T的焦点在x轴上，一个顶点为A（﹣5，0），其右焦点到直线3x﹣4y+3=0的距离为3．（Ⅰ）求椭圆T的方程；（Ⅱ）设椭圆T的长轴为AA'，P为椭圆上除A和A'外任意一点，引AQ⊥AP，A'Q⊥A'P，AQ 和A'Q的交点为Q，求点Q的轨迹方程．22．（15分）已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，且a n+1=S n+n+1（n∈N+）（Ⅰ）求证数列{a n+1}为等比数列；（Ⅱ）设数列{}的前n项和为T n，求证：．（Ⅲ）设函数，令，求数列{b n}的通项公式，并判断其单调性．2017-2018学年金丽衢十二校高三（上）第二次联考数学试卷参考答案三、解答题（共5小题，满分74分）18．解：函数f（x）=sin（x+）+sin（x﹣）+cosx．化简可得：f（x）=2sinxcos+cosx=sinx+cosx=2sin（x+）（Ⅰ）f（x）的最小正周期T=；（Ⅱ）由f（A）=，即2sin（A+）=，∴sin（A+）=，∵0＜A＜π，∴＜（A+）．可得：（A+）=或则A=或A=．当则A=时，△ABC的面积为=bcsinA，AB=c=，∴b=AC=2余弦定理：BC2=22+（2）2﹣2××cos，解得：BC=2当A=时，△ABC的面积为=bc，AB=c=，∴b=AC=1直角三角形性质可得：BC2=22+（2）2，解得：BC=．19．证明：（Ⅰ）连结AC，BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵SB⊥底面ABCD，∴AC⊥SB，∴AC⊥面SBD，又由AC⊂面SAC，∴面SAC⊥面SBD．解：（Ⅱ）将四棱锥补成正四棱柱ABCD﹣A′SC′D′，连结A′D，作AE⊥A′D于E，连结SE，由SA′∥CD，知平面SCD即为平面SCDA′，∵CD⊥侧面ADD′A′，∴CD⊥AE，又AE⊥A′D，∴AE⊥面SCD，∴∠ASE即为SA与平面SCD所成角的平面角，设SB=x，在直角△ABS中，SA=，在直角△DAA′中，∴=，解得x=1，∴SB的长为1．20．解：（Ⅰ）∵f′（x）=a x lna﹣lna=（a x﹣1）lna，∴f′（0）=0，又∵f（0）=1，∴所求切线方程是：y=1；（Ⅱ）当a＞1时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，当0＜a＜1时，令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，故对∀a＞0，且a≠1，f（x）在[0，+∞）递增，在（﹣∞，0]递减；（Ⅲ）记f（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值是M，最小值是m，要使对任意x1，x2∈R，有|f（sinx1）﹣f（sinx2）|≤e﹣2，只需M﹣m≤e﹣2即可，根据f（x）的单调性可知，m=f（0）=1，M为f（﹣1），f（1）的最大值，f（﹣1）=+lna，f（1）=a﹣lna，f（﹣1）﹣f（1）=﹣a+2lna，令g（x）=﹣x+2lnx，g′（x）=﹣≤0，故g（x）在（0，+∞）递减，又∵g（1）=0，∴a＞1时，g（a）＜g（1）=0，即f（﹣1）＜f（1），此时M=a﹣lna，要使M﹣m≤e﹣2，即有a﹣lna﹣1≤e﹣2，再令h（x）=x﹣lnx，由h′（x）=可知h（x）在（1，+∞）递增，不等式a﹣lna≤e﹣1可化为h（a）≤h（e），解得：1＜a≤e，当0＜a＜1时，g（a）＞g（1）=0，即f（﹣1）＞f（1），此时M=+lna，要使M﹣m≤e﹣2，即有+lna﹣1≤e﹣2，再令l（x）=+lnx，由l′（x）=，可知l（x）在（0，1）递减，不等式+lna≤e﹣1可化为l（a）≤l（），解得：≤a＜1，综上，a的范围是[，1）∪（1，e]．21．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：（a＞b＞0），设椭圆的右焦点为（c，0），则=3，解得：c=4，由题意的焦点在x轴上，则a=5，b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设P（5cosθ，3sinθ），A'（5，0），θ≠kπ，k∈Z，设Q（x，y），x≠5且x≠﹣5，于是，×=﹣1，×=﹣1，两式相乘：×=1，化简，所求轨迹方程为：，x≠5且x≠﹣5，∴点Q的轨迹方程，x≠5且x≠﹣5．22．解：（Ⅰ）证明：a n+1=S n+n+1，可得当n≥2时，a n=S n﹣1+n，两式相减可得，a n+1﹣a n=a n+1，可得a n+1+1=2（a n+1），n≥2，由a1+1=2，a2+1=4，可得数列{a n+1}为公比为2的等比数列；（Ⅱ）a n+1=2•2n﹣1=2n，即有a n=2n﹣1，当n=1时，T1=1，当n=2时，T2=1+，当n=3时，T3=1++=显然有；n＞3时，T n=1++++…+＜1+++（++…+）=1+++＜1+++=1++＜1++=；（Ⅲ）设函数，令，f′n（x）=a n+2a n﹣1x+…+na1x n﹣1，则b n=f′n（1）=a n+2a n﹣1+…+na1=（2n﹣1）+2（2n﹣1﹣1）+3（2n﹣2﹣1）+…+n（21﹣1）=2n+2•2n﹣1+3•2n﹣2+…+n•21﹣．令A=2n+2•2n﹣1+3•2n﹣2+…+n•21，A=2n﹣1+2•2n﹣2+3•2n﹣3+…+n•20，两式相减可得，A=2n+2n﹣1+2n﹣2+…+2﹣n=2n+1﹣n﹣2，即A=2n+2﹣2n﹣4，b n=2n+2﹣2n﹣4﹣=2n+2﹣n2﹣n﹣4，{b n}递增，只需证明当n为自然数时，b n+1﹣b n=2n+2﹣n﹣3＞0．当n=1时，2n+2﹣n﹣3=4＞0，假设n=k时，2k+2﹣k﹣3＞0，则当n=k+1时，2k+3﹣k﹣4=（2k+2﹣k﹣3）+（2k+2﹣1）＞0恒成立，综上可得，当n为一切自然数时，b n+1＞b n．即数列{b n}为递增数列．。
浙江省金丽衢十二校2018-2019学年高三数学第二次联考试卷
浙江省金丽衢十二校2018-2019学年高三数学第二次联考试卷一、单选题 (共10题；共10分)1．（1分）集合A={x|x2−2x>0}，B={x}−3<x<3}，则（）A．B．C．D．2．（1分）点F1和F2是双曲线y2−x23=1的两个焦点，则|F1F2|=（）A．B．2C．D．43．（1分）复数z1=2−i，z2=3+i，则|z1⋅z2|=（）A．5B．6C．7D．4．（1分）某几何体的三视图如图所示（图中单位：cm），则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．5．（1分）已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“ α∥β”是“ l⊥m”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（1分）甲和乙两人独立的从五门选修课课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则E(ξ)为（）A．1.2B．1.5C．1.8D．27．（1分）函数f(x)=lnx8−x的图像大致为（）A．B．C．D．8．（1分）已知a⇀，b⇀，c⇀和d⇀为空间中的4个单位向量，且a⇀+b⇀+c⇀=0，则|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|不可能等于（）A．3B．C．4D．9．（1分）正三棱锥P−ABC的底面边长为1cm，高为ℎcm，它在六条棱处的六个二面角（侧面与侧面或者侧面与底面）之和记为θ，则在ℎ从小到大的变化过程中，θ的变化情况是（）A．一直增大B．一直减小C．先增大后减小D．先减小后增大10．（1分）数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+1an，则a2018的值所在区间为（）A．B．C．D．二、填空题 (共7题；共11分)11．（2分）《九章算术》第七章“盈不足”中第一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数物价各几何？”借用我们现在的说法可以表述为：有几个人合买一件物品，每人出8元，则付完钱后还多3元；若每人出7元，则还差4元才够付款.问他们的人数和物品价格？答：一共有人；所合买的物品价格为元．12．（2分）(1−2x)5展开式中x3的系数为；所有项的系数和为．13．（2分）若实数x，y满足约束条件{x+y≥1,x+2y≤2,x≤1,则目标函数Z=2x+3y的最小值为；最大值为．14．（2分）在ΔABC中，角A，B和C所对的边长为a，b和c，面积为13(a2+c2−b2)，且∠C为钝角，则tanB=；ca的取值范围是．15．（1分）安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有种.（用数字作答）16．（1分）定义在R上的偶函数f(x)满足：当x>0时有f(x+4)=13f(x)，且当0≤x≤4时，f(x)=3|x−3|，若方程f(x)−mx=0恰有三个实根，则m的取值范围是．17．（1分）过点P(1,1)的直线l与椭圆x24+y23=1交于点A和B，且AP⇀=λPB⇀.点Q满足AQ⇀=−λQB⇀，若O为坐标原点，则|OQ|的最小值为．三、解答题 (共5题；共10分)18．（2分）已知函数f(x)=sin2x+√3sinxsin(x+π2 ).（1）（1分）求f(x)的最小正周期；（2）（1分）求函数f(x)在区间[0,23π]上的取值范围.19．（1分）在三棱拄ABC−A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC=1，∠BCC1=π3，AB=C1C=2.（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）试在棱C1C(不包含端点C,C1)上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求AE和平面ABC所成角正弦值的大小.20．（2分）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，对任意n∈N∗，有a n+1=2S n+1.（1）（1分）求数列{a n}的通项公式；（2）（1分）若b n=a n+1a n，求数列{log3b n}的前n项和T n.21．（2分）已知抛物线E：y=ax2(a>0)内有一点P(1,3)，过P的两条直线l1，l2分别与抛物线E交于A，C和B，D两点，且满足AP⇀=λPC⇀，BP⇀=λPD⇀(λ>0,λ≠1)，已知线段AB的中点为M，直线AB的斜率为k.（1）（1分）求证：点M的横坐标为定值；（2）（1分）如果k=2，点M的纵坐标小于3，求ΔPAB的面积的最大值.n(n−lnx)，其中n∈N∗，x∈(0,+∞).22．（3分）函数f(x)=√x（1）（1分）若n为定值，求f(x)的最大值；（2）（1分）求证：对任意m∈N∗，有ln1+ln2+ln3+⋯ln(m+1)>2(√m+1−1)2；（3）（1分）若n=2，lna≥1，求证：对任意k>0，直线y=−kx+a与曲线y= f(x)有唯一公共点.答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：A={x|x＜0，或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜3}；∴A∩B={x|﹣3＜x＜0，或2＜x＜3}，A∪B=R；∵A∩B≠A，且A∩B≠B，∴B⊈A，A⊈B；即B符合题意．故答案为：B．【分析】通过解不等式求出集合A，根据集合的关系逐一判断即可. 2．【答案】D【解析】【解答】由y2−x 23=1可知a2=1,b2=3所以c2=a2+b2=4，则c=2,2c=4，所以|F1F2|=2c=4.故答案为：D【分析】根据双曲线的标准方程，得到两个焦点坐标，即可求出线段的长度.3．【答案】D【解析】【解答】因为|z1|=|2−i|=√5，|z2|=|3+i|=√10，所以|z1⋅z2|=|z1|⋅|z2|=√5×√10=5√2故答案为：D.【分析】根据复数的乘法运算，得到z1·z2，结合复数的模运算即可求出相应的值.4．【答案】B【解析】【解答】由三视图可知，该几何体的直观图为一个竖立的圆锥和一个倒立的圆锥组成，其表面积为S=2πrl=2×π×1×√2=2√2π，故答案为：B.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，即可求出几何体的表面积.5．【答案】A【解析】【解答】根据已知题意，由于直线l⊥平面α，直线m∥平面β，如果两个平面平行α//β，则必然能满足l⊥m，但是反之，如果l⊥m，则对于平面可能是相交的，故条件能推出结论，但是结论不能推出条件，故答案为：A【分析】根据直线与平面的位置关系，即可确定充分、必要性.6．【答案】C【解析】【解答】由已知得ξ=1,2,3，P(ξ=1)=C53C31C53C53=310, P(ξ=2)=C53C32C21C53C53=35, P(ξ=3)=C53C53C53=110,所以E(ξ)=1×310+2×610+3×110=1.8,故答案为：C【分析】求出随机变量的可能取值及相应的概率，即可求出数学期望. 7．【答案】A【解析】【解答】函数定义域为(0,8)，当x→0时，x8−x→0，lnx8−x→−∞，故排除B,D，当x→8时，x8−x→+∞，lnx8−x→+∞，故排除C,故答案为：A.【分析】根据函数的定义域及函数值的变化情况，逐一排除，即可确定函数的大致图象.8．【答案】A【解析】【解答】因为|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|≥|a⇀−d⇀+b⇀−d⇀+c⇀−d⇀|=|a⇀+b⇀+c⇀−3d⇀|而a⇀+b⇀+c⇀=0，所以|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|≥|−3d⇀|=3因为a⇀，b⇀，c⇀，d⇀是单位向量，且a⇀+b⇀+c⇀=0，所以a⇀−d⇀，b⇀−d⇀，c⇀−d⇀不共线，所以|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|>3，故答案为：A.【分析】根据向量的关系，求出|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+|c⇀−d⇀|的最小值，即可确定|a⇀−d⇀|+|b⇀−d⇀|+ |c⇀−d⇀|不可能的取值.9．【答案】D【解析】【解答】当ℎ→0+（比0多一点点），有θ→θ1=3π；当ℎ→+∞，有θ→θ3=5π2；当ℎ刚好使得正三棱锥变为正四面体时，二面角之和记为θ2，则cosθ26=3+3−42×3=13，于是cos θ23=2×(13)2−1=−79>−√32，所以θ23<5π6，即θ2<5π2，所以与θ的变化情况相符合的只有选项D.故答案为：D【分析】根据几何体的结构特征，求出角的余弦值，即可得到角的变化情况. 10．【答案】A【解析】【解答】因为a1=1，所以a n+12=a n2+2+1a n2≤a n2+3an+12≤an2+3≤an−12+3+3…可得：a n+12<a12+3n所以a2018<√a12+3×2017<√10000=100.故答案为：A【分析】根据递推关系式得到数列项之间的关系，解不等式即可确定a2018的值所在区间.11．【答案】7；53【解析】【解答】设共有x人，由题意知8x−3=7x+4，解得x=7，可知商品价格为53元.即共有7人，商品价格为53元.【分析】设共有x人，通过解方程即可求出共有人数和商品价格.12．【答案】-80；-1【解析】【解答】因为T r+1=C5r(−2)r x r，令r=3，T4=−80x3，所以x3的系数为-80，设(1−2x)5=a0+a1x+⋯+a5x5，令x=1，则a0+a1…+a5=−1，所以所有项的系数和为-1.【分析】写出二项展开式的通项，即可求出特定项的系数及所有项的系数之和. 13．【答案】2；【解析】【解答】作出可行域如下：由Z=2x+3y可得y=−23x+z，作出直线y=−23x,平移直线过B(1,0)时，z有最小值z=2+0=2，平移直线过A(1，12）时，z有最大值z=2×1+3×12=72.【分析】作出可行域及目标函数相应的直线，平移该直线即可求出目标函数的最大值和最小值.14．【答案】；【解析】【解答】因为S=12acsinB=13(a2+c2−b2)，所以34sinB=a2+c2−b22ac=cosB即tanB=43，因为∠C为钝角，所以sinB=45,cosB=35，由正弦定理知ca=sinCsinA=sin(B+A)sinA=cosB+sinBcosAsinA=35+45cotA因为∠C为钝角，所以A+B<π2,即A<π2−B所以cotA>cot(π2−B)=tanB=43所以ca>35+45×43=53，即ca的取值范围是(53,+∞).【分析】通过面积公式及正弦定理，确定三角形边和角的关系，即可求出相应的值和取值范围. 15．【答案】210【解析】【解答】分两类，（1）每校1人：A63=120；（2）1校1人，1校2人：C32A62=90，不同的分配方案共有120+90=210．故答案为：210【分析】根据加法原理和乘法原理，即可确定不同的分配方案种数.16．【答案】【解析】【解答】因为当0≤x≤4时，f(x)=3|x−3|，设4≤x≤8，则0≤x−4≤4，所以f(x−4)=3|x−4−3|=3|x−7|，又f(x+4)=13f(x)，所以f(x)=13f(x−4)=|x−7|，可作出函数y=f(x)在x∈[0,8]上的图象，又函数为偶函数，可得函数在[−8,8]的图象，同时作出直线y=mx，如图：方程f(x)−mx=0恰有三个实根即y=f(x)与y=mx图象有三个交点，当m>0时，由图象可知，当直线y=mx过（8,1），即m=18时有4个交点，当直线y=mx过（4,3），即m=34时有2个交点，当18<m<34时有3个交点，同理可得当m<0时，满足−34<m<−18时，直线y=mx与y=f(x)有3个交点.故填(−34,−18)∪(18,34).【分析】通过函数的性质，作出函数的图象，数形结合即可求出实数m的取值范围. 17．【答案】【解析】【解答】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，Q(m,n)则{x1+λx2=1+λ,x1−λx2=m(1−λ),于是x12−(λx2)2=m(1−λ2)，同理y12−(λy2)2=n(1−λ2)，于是我们可以得到(x124+y123)+λ2(x224+y223)=(1+λ2)(m4+n3).即m4+n3=1，所以Q点的轨迹是直线，|OQ|min即为原点到直线的距离，所以|OQ|min=1√116+19=125【分析】设出点A 和B 的坐标，根据向量的关系，确定Q 的轨迹是直线，即可求出线段长度的最小值.18．【答案】（1）解： f(x)=sin 2x +√3sinxsin(2x +π2)=1−cos2x 2+√32sin2x =sin(2x −π6)+12所以 T =π（2）解：由 −π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ 得 −π6+kπ≤x ≤π3+kπ,k ∈z 所以函数 f(x) 的单调递增区间是 [−π6+kπ,π3+kπ],k ∈z ． 由 x ∈[0，2π3] 得 2x −π6∈[−π6,76π] ，所以 sin(2x −π6)∈[−12,1]所以 f(x)∈[0,32] ．【解析】【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角公式，结合辅助角公式，得到函数的表达式，即可求出函数的最小正周期；（2）根据正弦函数的单调性，确定函数f （x ）的单调区间，即可求出函数f （x ）的取值范围.19．【答案】解：（Ⅰ）因为 BC =1 ， ∠BCC 1=π3 ， C 1C =2 ，所以 BC 1=√3 ，BC 2+BC 12=CC 12 ，所以 BC 1⊥BC 因为 AB ⊥ 侧面 BB 1C 1C ， BC 1⊂ 平面 BB 1C 1C ，所以 BC 1⊥AB ，又 BC ∩AB =B ， 所以， C 1B ⊥ 平面 ABC（Ⅱ）取 C 1C 的中点 E ，连接 BE ， BC =CE =1 ， ∠BCC 1=π3 ，等边 ΔBEB 1 中， ∠BEC =π3同理， B 1C 1=C 1E 1=1 ， ∠B 1C E 1=2π3，所以 ∠B 1EC 1=π6 ，可得 ∠BEB 1=π2 ，所以EB 1⊥EB因为 AB ⊥ 侧面 BB 1C 1C ， EB 1⊂ 平面 BB 1C 1C ，所以 EB 1⊥AB ，且 EB ∩AB =B ，所以 B 1E ⊥ 平面 ABE ，所以；（Ⅲ） AB ⊥ 侧面 BB 1C 1C ， AB ⊂ 平面，得平面 BCC 1B 1⊥ 平面 ABC 1 ， 过 E 做 BC 1 的垂线交 BC 1 于 F ， EF ⊥ 平面 ABC 1连接AF，则∠EAF为所求，因为BC⊥BC1，EF⊥BC1，所以BC∥EF，E为CC1的中点得F为C1B的中点，EF=12，由（2）知AE=√5，所以sin∠EAF=12√5=√510【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理，证明直线与平面内两条相交直线垂直即可；（2）根据线面垂直的定义，证明直线与平面垂直，即可说明直线与平面内任何一条直线垂直；（3）通过作垂线得到直线与平面所成的角，通过解三角形求出线面所成角的正弦即可. 20．【答案】（1）解：由a n+1=2S n+1知a n=2S n−1+1(n≥2)两式相减得：a n+1=3a n(n≥2)又a2=2s1+1=2a1+1=3，所以a2a1=3也成立，故a n+1=3a n,n∈N∗即数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以a n=3n−1(n∈N∗).（2）解：因为log3b n=log3a n+1an=3n−1log33n=n⋅3n−1，所以T n=1×30+2×31+3×32+⋯+n⋅3n−13T n=1×31+2×32+3×33+⋯+(n−1)⋅3n−1+n⋅3n两式相减得：−2Tn =(12−n)⋅3n−12，所以T n=(n2−14)3n+14.【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义确定数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，即可求出的通项公式；（2）根据对数恒等式，结合错位相消求和法，即可求出前n项和T n.21．【答案】（1）证明：设CD中点为N，则由AP⇀=λPC⇀，BP⇀=λPD⇀可推得AB⇀=λDC⇀，MP⇀=λPN⇀，这说明AB⇀∥CD⇀，且M，P和N三点共线.对A，B使用点差法，可得y A−y B=a(x A−x B)(x A+x B)，即k AB=2a⋅x M.同理k CD=2a⋅x N.于是x M=x N，即MN⊥x轴，所以x M=x P=1为定值.（2）解：由k=2得到a=1，设y M=t∈(1,3)，|PM|=3−t，联立{y=x2,y−t=2(x−1),得x2−2x+2−t=0，所以|x A−x B|=2√t−1, |AB|=√1+k2|x A−x B|=√5⋅2√t−1,根据点到直线的距离公式知P到AB的距离为d=|t−3|√5，于是SΔPAB=(3−t)√t−1，令x= √t−1，x∈(0,2),则S=−x3+2x，S′=−3x2+2，令S′=0得x=√63，当x∈(0,√63)时，S′>0,函数为增函数，当x∈(√63，2)时，S′<0，函数为减函数，故当x=√63，即t=53时，SΔPAB有最大值4√69.【解析】【分析】（1）根据向量之间的关系，采用点差法，即可确定点M的坐标为定值；（2）根据点斜式写出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，通过弦长公式和点到直线的距离，表示出三角形的面积，求导数，利用导数研究函数的单调性，即可求出三角形面积的最大值.22．【答案】（1）解：n为定值，故f′(x)=1n x 1n−1(n−lnx)+√xn(−1x)=−√xn lnxx（x>0)，令f′(x)=0，得x=1，当0<x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0，所以函数在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以当x=1时，函数有极大值f(1)，也是最大值，所以f(x)max=f(1)=n.（2）解：由前一问可知lnx≥n−n√xn，取n=2得lnx≥2−2√x，于是∑m+1 i=1lni≥∑(2−2i)m+1i=2>2m−4∑m+1i=21√i+√i−1=2m−4∑(√i−√i−1)m+1i=2=2m−4√m+1+4=2(√m+1−1)2.（3）解：要证明当a≥e，k>0时，关于x的方程√x(2−lnx)=−kx+a有唯一解，令t=√x，即证明g(t)=kt2+2t−2tlnt−a有唯一零点，先证明g(t)存在零点，再利用导数得函数单调性，极值确定函数只有唯一零点.我们先证三个引理【引理1】x(1−lnx)≤1（由第1问取n=1即可）【引理2】lnx≥1−1x（由【引理1】变形得到）【引理3】lnx≤x−1（可直接证明也可由【引理2推出】证明：lnx=−ln 1x≤−(1−11x)=x−1.下面我们先证明函数g(t)存在零点，先由【引理2】得到：g(t)≤kt2+2t−2t(1−1t)−a=kt2+2−a.令t=√a−2k，可知g(t)≤0.再由【引理3】得到lnx<x，于是g(t)=t(kt−4ln√t)+(2t−a)>t√t(k√t−4)(2t−a).令t>16k2，且t>a2，可知g(t)>0.由连续性可知该函数一定存在零点.下面我们开始证明函数g(t)最多只能有一个零点.我们有g′(t)=2kt−2lnt=2t(k−lnt t).令ℎ(t)=lntt ，则ℎ′(t)=1−lntt2，则ℎ(t)在(0,e)递增，在(e,+∞)递减，即ℎ(t)max=1e.当k≥1e时，有g′(t)≥0恒成立，g(t)在(0,+∞)上递增，所以最多一个零点.当0<k<1e时，令g′(t1)=g′(t2)=0，t1<e<t2，即lnt1=kt1，于是g(t1)=t1lnt1+2t1−2t1lnt1−a=t1(2−lnt1)−a.再令t1=eT(0<T<1)，由【引理1】可以得到g(t1)=eT(1−lnT)−a<e×1−a≤0.因此函数g(t)在(0,t1)递增，(t1,t2)递减，(t2,+∞)递增，t=t1时，g(t)有极大值但其极大值g(t1)<0，所以最多只有一个零点.综上，当k>0，a≥e时，函数y=f(x)与y=−kx+a的图像有唯一交点.【解析】【分析】（1）求导数，利用导数确定函数的单调性，结合单调性求出函数的最大值即可；（2）由（1）可得不等式lnx≥n−n√xn，结合放缩法，即可证明相应的不等式；（3）构造函数，求导数，利用导数确定函数的单调性，求出函数的极值，根据函数零点与函数图象交点横坐标的关系，数形结合，即可证明相应的结论.。
【十二校联考】2016年金丽衢十二校高三第二次联考数学试卷
【十二校联考】2016年金丽衢十二校高三第二次联考数学试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 平行直线：与：之间的距离为A. B. C. D.2. 若复数（其中，为虚数单位）的实部与虚部相等，则A. B. C. D.3. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积等于A. B. C. D.4. 若直线交抛物线于两不同点，，且，则线段的中点到轴距离的最小值为A. B. C. D.5. 某校开设类选修课门，类选修课门，一位同学从中选门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有A. 种B. 种C. 种D. 种6. 如图，将四边形中沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是A. 椭圆的一段B. 抛物线的一段C. 一段圆弧D. 双曲线的一段7. 已知双曲线虚轴上的端点，右焦点，若以点为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于点，且，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.8. 已知非零正实数，，，依次构成公差不为零的等差数列．设函数，，并记．下列说法正确的是A. 存在，使得，，依次成等差数列B. 存在，使得，，依次成等比数列C. 当时，存在正数，使得，，依次成等差数列D. 任意，都存在正数，使得，，依次成等比数列二、填空题（共7小题；共35分）9. 设集合，，则，，．10. 设函数，其中角的终边经过点，且，，则，，在上的单调递减区间为．11. 设且，函数为奇函数，则，．12. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为．13. 设实数，满足，则的最小值为．14. 已知非零平面向量，，满足，，则向量在向量方向上的投影为，的最小值为．15. 设，若对于，都成立，则．三、解答题（共5小题；共65分）16. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，．（1）求边；（2）若的面积为，且，求的值．17. 在几何体中，矩形的边，，直线平面，是线段上的点，且，为线段的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．18. 设函数，其中，是实数．（1）若，且函数的最小值为，求的取值范围；（2）求实数，满足的条件，使得对任意满足的实数，，都有成立．19. 已知椭圆的离心率为，且过点，与轴不重合的直线过定点（为大于的常数），且与椭圆交于两点，（可以重合），点为点关于轴的对称点．（1）求椭圆的方程；（2）（i）求证：直线过定点，并求出定点的坐标；（ii）求面积的最大值．20. 设数列满足，（为正实数，），记数列的前项和为．（1）证明：当时，；（2）求实数的取值范围，使得数列是单调递减数列．答案第一部分1. B 【解析】直线与直线．直线的方程可化为，则其与直线：之间的距离为．2. A 【解析】，，解得．3. D 【解析】由三视图得该几何体为一个底面是直角边长为的等腰直角三角形，高为的直三棱柱和一个底面半径为，高为的圆柱体的一半的组合体，则其体积为．4. B 【解析】设抛物线的焦点为，点，到轴的距离分别为，，则线段的中点到轴的距离为，又因为（当且仅当直线经过点时，等号成立），所以，即线段的中点到轴的距离的最小值为．5. C【解析】由题知有门类选修课，门类选修课，从里边选出门的选法有种．两类课程都有的对立事件是选了门类选修课，这种情况只有种．满足题意的选法有种．6. C 【解析】设的中点为，的中点为，则在中，为中位线，所以，因为在翻折的过程中，的长度为定值，所以的长度为定值，所以点的轨迹为以点为圆心，的长度为半径的一段圆弧．7. D 【解析】由双曲线的对称性不妨设点位于第一象限，则点所在的渐近线的方程为．因为，所以，，三点共线．又因为与圆相切，且点为切点，所以，即，则在直角三角形中，因为，，则易得，又因为点到直线的距离为，则在直角三角形中，由勾股定理得，即，结合化简得，即，又因为，解得．8. C 【解析】由题意得当时，．设等差数列，，的公差为，则，，，若，，依次成等差数列，则，即，解得，又，所以，符合题意．第二部分9. ，，【解析】由题意得集合，由得，所以集合，则，所以．10. ，，【解析】因为角的终边经过点，所以，又因为，所以，则，解得．由，得，，所以函数的单调递减区间为，，则函数在上的单调递减区间为．11. ，【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，解得．，则．12.【解析】以点为原点，直线为轴，直线为轴，过点垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则 ， ， ， ， 所以 ， ， 所以直线 与直线 所成角的余弦值为13.【解析】由题意得 ，则由 得当 时，，当 时，，其在平面直角坐标系内表示的平面区域如图中的阴影部分所示，设 ，则当直线 在 轴的截距的绝对值最小时， 取得最小值，由图易得当直线 与函数相切时， 取得最小值，由得 ，此时，则 的最小值为． 14.，【解析】因为 ， ，则向量 在向量 方向上的投影为，向量 在向量方向上的投影为． 在平面直角坐标系中，设 ， ， ，其中 为坐标原点， ，则因为向量 ， 在向量 方向上的投影都为，所以点 ， 都在直线 上，不妨设点 位于点 的上方，则由 得 ，则当 时，取得最小值． 15.【解析】因为 ， 令 ，则 ，则对 ，都成立等价于对 ，都成立，当，即时，有化简得要使此时存在实数满足题意，则应有此不等式组无解，即此时不存在实数满足条件；当，即时，有化简得要使此时存在实数满足题意，则应有解得，即此时存在实数满足条件；当，即时，有化简得要使此时存在实数满足题意，则应有此不等式组无解，即此时不存在实数满足条件；当，即时，有化简得要使此时存在实数满足题意，则应有此不等式组无解，即此时不存在实数满足条件，综上所述，实数的值为．第三部分16. （1）因为，所以，由正弦定理得：，由余弦定理得，即，因为所以．（2）因为，且，所以，．因为，所以．由余弦定理得．所以．所以，所以．17. （1）连接，，，，连接．因为矩形，所以为中点．因为平面，所以平面．如图，在直角中，取中点，连接．因为是的中点，所以又由所以所以所以，又因为平面，而平面，所以平面；（2）如图，以点为原点，所在的直线轴，所在的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．则，，，，，平面上，，，平面上，．设平面的法向量为，平面法向量，则有即；即．所以．所以二面角的余弦值为．18. （1）由题，，记当时，二次函数的对称轴，显然当时，不符合题意，所以，，所以当时，取到最小值，即有从而，解得；（2）因为，即，且，所以，即．令，则要恒成立，需要，此时在上是增函数，所以，即，所以实数，满足的条件为．19. （1）由题意得解得所以椭圆的方程为．（2）（i）由对称性可知若直线过定点，则定点必在轴上．设直线的方程为，，，，联立可得则设直线的方程为，令，则，所以直线过定点．（ii）记的面积为，则，由可知，当，即时，；当时，．20. （1）由题易得，当时，由得，所以是递增数列．从而有，故，由此可得，而，所以，又有，所以，所以当时，成立．（2）由可得，因为数列是单调递减数列，所以，即，解得，若数列是单调递减数列，则，得，记则，，所以．在两边同时减去，得，即，化简得，因为均为正数，所以，即由（）中且，可知，进而可得由两式可得对任意的自然数，恒成立．因为，，所以，即，解得．下面证明当时，数列是单调递减数列，由及，两式相减得，由，利用基本不等式有，当且仅当时，等号成立，又，所以，，则，即．又当时，成立，所以对任意的自然数，都成立．综上所述，实数的取值范围为．第11页（共11 页）。
2016年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）平行直线l1：3x+4y﹣12＝0与l2：6x+8y﹣15＝0之间的距离为（）A．B．C．D．2．（5分）命题“∃a∈[0，+∞），sin a＞a”的否定形式是（）A．∀a∈[0，+∞），sin a≤a B．∃a∈[0，+∞），sin a≤aC．∀a∈（﹣∞，0），sin a≤a D．∃a∈（﹣∞，0），sin a＞a3．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π4．（5分）若直线l交抛物线C：y2＝2px（p＞0）于两不同点A，B，且|AB|＝3p，则线段AB中点M到y轴距离的最小值为（）A．B．p C．D．2p5．（5分）已知φ是实数，f（x）＝cos x•cos（x+），则“”是“函数f（x）向左平移φ个单位后关于y轴对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到AD l C，则翻折过程中线段DB 中点M的轨迹是（）A．椭圆的一段B．抛物线的一段C．一段圆弧D．双曲线的一段7．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a，b＞0）虚轴上的端点B（0，b），右焦点F，若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．8．（5分）已知非零正实数x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，设函数f（x）＝xα，α∈{﹣1，，2，3}，并记M＝{﹣1，，2，3}．下列说法正确的是（）A．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等差数列B．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列C．当α＝2时，存在正数λ，使得f（x1），f（x2），f（x3）﹣λ依次成等差数列D．任意α∈M，都存在正数λ＞1，使得λf（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）设集合A＝{x∈N|∈N}，B＝{x|y＝ln（x﹣l）），则A＝，B＝，A∩（∁R B）＝．10．（6分）设函数f（x）＝A sin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π，f（）＝﹣2，则φ＝，A＝，f（x）在[﹣，]上的单调减区间为．11．（6分）设a＞0且a≠l，函数f（x）＝为奇函数，则a＝，g （f（2））＝．12．（4分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，AC＝2，M是AC 的中点，则异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为．13．（4分）设实数x，y满足x+y﹣xy≥2，则|x﹣2y|的最小值为．14．（6分）已知非零平面向量，，满足•＝•＝3，|﹣|＝||＝2，则向量在向量方向上的投影为，•的最小值为．15．（4分）设f（x）＝4x+1+a•2x+b（a，b∈R），若对于∀x∈[0，1]，|f（x）|≤都成立，则b＝．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin（A﹣B）＝a sin A ﹣b sin B，a≠b．（Ⅰ）求边c；（Ⅱ）若△ABC的面积为1，且tan C＝2，求a+b的值．17．（15分）在几何体ABCDE中，矩形BCDE的边CD＝2，BC＝AB＝1，∠ABC＝90°，直线EB⊥平面ABC，P是线段AD上的点，且AP＝2PD，M为线段AC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面ECP；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣P的余弦值．18．（14分）设函数f（x）＝ax2+b，其中a，b是实数．（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy＝l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．19．（15分）已知椭圆L：＝1（a，b＞0）离心率为，过点（1，），与x轴不重合的直线，过定点T（m，0）（m为大于a的常数），且与椭圆L交于两点A，B（可以重合），点C为点A关于x轴的对称点．（Ⅰ）求椭圆L的方程；（Ⅱ）（i）求证：直线BC过定点M，并求出定点M的坐标；（ii）求△OBC面积的最大值．20．（15分）设数列{a n}满足：a1＝2，a n+1＝ca n+（c为正实数，n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）证明：当c＝2时，2n+1﹣2≤S n≤3n﹣l（n∈N*）；（Ⅱ）求实数c的取值范围，使得数列{a n}是单调递减数列．2016年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．（5分）平行直线l1：3x+4y﹣12＝0与l2：6x+8y﹣15＝0之间的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：平行直线l1：3x+4y﹣12＝0与l2：6x+8y﹣15＝0之间的距离为：＝．故选：B．2．（5分）命题“∃a∈[0，+∞），sin a＞a”的否定形式是（）A．∀a∈[0，+∞），sin a≤a B．∃a∈[0，+∞），sin a≤aC．∀a∈（﹣∞，0），sin a≤a D．∃a∈（﹣∞，0），sin a＞a【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃a∈[0，+∞），sin a＞a”的否定形式是∀a∈[0，+∞），sin a≤a，故选：A．3．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π【解答】解：由三视图还原原几何体如图，是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为3；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为2），高为3．∴V＝．故选：D．4．（5分）若直线l交抛物线C：y2＝2px（p＞0）于两不同点A，B，且|AB|＝3p，则线段AB中点M到y轴距离的最小值为（）A．B．p C．D．2p【解答】解：由题意可得抛物线的准线l：x＝﹣分别过A，B，M作AC⊥l，BD⊥l，MH⊥l，垂足分别为C，D，H在直角梯形ABDC中，MH＝（AC+BD），由抛物线的定义可知AC＝AF，BD＝BF（F为抛物线的焦点）MH＝（AE+BF）≥AB＝p即AB的中点M到抛物线的准线的最小距离为p，∴线段AB中点M到y轴距离的最小值为p﹣＝p，故选：B．5．（5分）已知φ是实数，f（x）＝cos x•cos（x+），则“”是“函数f（x）向左平移φ个单位后关于y轴对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）＝cos x cos（x+）＝cos x（cos x﹣sin x）＝cos2x﹣sin x cos x＝（1+cos2x）﹣sin2x＝cos（2x+）+，故“”是“函数f（x）向左平移φ个单位后关于y轴对称”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到AD l C，则翻折过程中线段DB 中点M的轨迹是（）A．椭圆的一段B．抛物线的一段C．一段圆弧D．双曲线的一段【解答】解：如图，过B作AC的垂线BE，过D作AC的垂线DF，连接DE，BF，取BE中点为O，则在△BDE中，OM为△BDE的中位线，则OM＝，当△ADC沿着AC翻折到AD l C时，△DEF翻折到△D1EF，在△BD1E中，OM1为△BD1E 的中位线，则，而翻折过程中，DE＝D1E，∴OM＝OM1，∴翻折过程中线段DB中点M的轨迹是一段圆弧．故选：C．7．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a，b＞0）虚轴上的端点B（0，b），右焦点F，若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：由题意BF垂直于双曲线的渐近线y＝x，∵k BF＝﹣，∴﹣＝﹣1，∴b2﹣ac＝0，∴c2﹣a2﹣ac＝0，∴e2﹣e﹣1＝0，∵e＞1，∴e＝．故选：D．8．（5分）已知非零正实数x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，设函数f（x）＝xα，α∈{﹣1，，2，3}，并记M＝{﹣1，，2，3}．下列说法正确的是（）A．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等差数列B．存在α∈M，使得f（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列C．当α＝2时，存在正数λ，使得f（x1），f（x2），f（x3）﹣λ依次成等差数列D．任意α∈M，都存在正数λ＞1，使得λf（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列【解答】解：∵x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列，∴x2＝，且x1，x2，x3两两不相等．（1）∵当α∈M时，f（x）的变化率随x的变化而变化，∴f（x1），f（x2），f（x3）不可能成等差数列，故A错误；（2）若f（x1），f（x2），f（x3）成等比数列，则x1αx3α＝（）2α，∴x1x3＝（）2，整理得（x1﹣x3）2＝0，∴x1＝x3．与x1，x2，x3依次构成公差不为零的等差数列相矛盾，故B错误．（3）当α＝2时，假设f（x1），f（x2），f（x3）﹣λ依次成等差数列，则x12+x32﹣λ＝2（）2，∴λ＝x12+x32﹣＝＞0．故C正确；（4）假设λf（x1），f（x2），f（x3）依次成等比数列，则λx1αx3α＝（）2α，∴λ＝，∵＝≥1，当且仅当x1＝x3取等号．∴当α＞0时，λ＞1，当α＜0时，λ＜1．故D错误．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）设集合A＝{x∈N|∈N}，B＝{x|y＝ln（x﹣l）），则A＝{0，1，2，5}，B ＝{x|x＞1}，A∩（∁R B）＝{0，1}．【解答】解：由x∈N，∈N，得到x＝0，1，2，5，即A＝{0，1，2，5}，由B中y＝ln（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴B＝{x|x＞1}，∁R B＝{x|x≤1}，则A∩（∁R B）＝{0，1}，故答案为：{0，1，2，5}；{x|x＞1}；{0，1}10．（6分）设函数f（x）＝A sin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π，f（）＝﹣2，则φ＝，A＝2，f（x）在[﹣，]上的单调减区间为[﹣，]．【解答】解：函数f（x）＝A sin（2x+φ），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π，则tanφ＝＝﹣1，∴φ＝．再根据f（）＝A sin（π+）＝﹣A sin＝﹣A＝﹣2，∴A＝2．∴f（x）＝2sin（2x+）．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z．结合x∈[﹣，]，可得减区间为[﹣，]，故答案为：；2；[﹣，]．11．（6分）设a＞0且a≠l，函数f（x）＝为奇函数，则a＝2，g（f （2））＝2﹣．【解答】解：a＞0且a≠l，函数f（x）＝为奇函数，可知f（0）＝0，可得a﹣2＝0，解得a＝2．则函数f（x）＝，g（f（2））＝g（2）＝2﹣．故答案为：2，2﹣．12．（4分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，AC＝2，M是AC的中点，则异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为．【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，AC＝2，M是AC的中点，∴BM⊥AC，BM＝＝1，以M为原点，MA为x轴，MB为y轴，过M作AC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，C（﹣，0，0），B1（0，1，2），C1（﹣，0，2），M（0，0，0），＝（），＝（﹣，0，2），设异面直线CB1与C1M所成角为θ，则cosθ＝＝＝．∴异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为．故答案为：．13．（4分）设实数x，y满足x+y﹣xy≥2，则|x﹣2y|的最小值为2﹣1．【解答】解：实数x，y满足x+y﹣xy≥2，即为（x﹣1）（y﹣1）≤﹣1，作出曲线（x﹣1）（y﹣1）＝﹣1的图象，由题意可得|x﹣2y|即为曲线上任一点到直线x﹣2y＝0的距离的倍的最小值．可得与曲线相切，且与直线x﹣2y＝0平行的直线距离的倍．设切点为（m，n），由y＝1﹣的导数为y′＝，即有切线的斜率为＝，解得m＝1+（负的舍去），切点为（1+，1﹣），则|x﹣2y|的最小值为|1+﹣2（1﹣）|＝2﹣1．故答案为：2﹣1．14．（6分）已知非零平面向量，，满足•＝•＝3，|﹣|＝||＝2，则向量在向量方向上的投影为，•的最小值为．【解答】解：向量在向量方向上的投影为：；由得，；∴；∵；∴设，设，则；∴；∴；∴；∴；∴的最小值为．故答案为：．15．（4分）设f（x）＝4x+1+a•2x+b（a，b∈R），若对于∀x∈[0，1]，|f（x）|≤都成立，则b＝．【解答】解：f（x）＝4x+1+a•2x+b＝4•（2x）2+a•2x+b，设t＝2x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]，则函数等价y＝4t2+a•t+b，t∈[1，2]，若于∀x∈[0，1]，|f（x）|≤都成立，即于∀t∈[1，2]，|4t2+a•t+b|≤都成立，即﹣≤4t2+a•t+b≤恒成立，设g（t）＝4t2+a•t+b，要使∀a∈R，不等式恒成立，则函数g（t）的对称轴t＝，即﹣＝，即a＝﹣12，此时g（t）＝4t2﹣12t+b，则抛物线开口向上，要使﹣≤4t2+a•t+b≤恒成立，则函数g（t）max，且g（t）min≥﹣，当t＝1或2时，g（t）max＝g（1）＝4﹣12+b＝b﹣8≤，即b≤，当t＝时，g（t）min＝g（）＝b﹣9≥﹣，即b≥，即b＝，故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2sin（A﹣B）＝a sin A ﹣b sin B，a≠b．（Ⅰ）求边c；（Ⅱ）若△ABC的面积为1，且tan C＝2，求a+b的值．【解答】解：（I）在△ABC中，∵2sin（A﹣B）＝a sin A﹣b sin B，a≠b．∴2sin A cos B﹣2cos A sin B＝a sin A﹣b sin B，a≠b．利用正弦定理可得：2a cos B﹣2b cos A＝a2﹣b2，a≠b．由余弦定理可得：﹣2b×＝a2﹣b2，化为：c＝2．（II）∵tan C＝＝2，且sin2C+cos2C＝1，解得sin C＝，cos C＝．∴S△ABC＝sin C＝×＝1，解得ab＝．由余弦定理可得：cos C＝＝＝，∴a2+b2＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝6+2，解得a+b＝＝1．17．（15分）在几何体ABCDE中，矩形BCDE的边CD＝2，BC＝AB＝1，∠ABC＝90°，直线EB⊥平面ABC，P是线段AD上的点，且AP＝2PD，M为线段AC的中点．（Ⅰ）证明：BM∥平面ECP；（Ⅱ）求二面角A﹣EC﹣P的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD、MD，BD∩CE＝F，MD∩CP＝N，连结FN∵矩形BCDE，∴F为BD中点，∵EB⊥平面ABC，∴DC⊥平面ABC，如图，在直角△ACD中，取AP中点Q，连结QM，∵M是AC的中点，∴QM∥CP，又由AP＝2PD，∴QP＝PD，∴DN＝MN，∴FN∥BM，又∵FN⊂平面ECP，而BN⊄平面ECP，∴BM∥平面ECP1．解：（Ⅱ）如图，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，BE为z轴，建立空间直角坐标系则B（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），E（0，0，2），P（），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），∵＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，2），∴，取z＝1，得＝（2，2，1），设平面PCE的法向量＝（a，b，c），∵＝（﹣），＝（﹣），∴，取c＝1，得＝（﹣2，2，1），∴cos＜＞＝＝，∴二面角A﹣EC﹣P的余弦值为．18．（14分）设函数f（x）＝ax2+b，其中a，b是实数．（Ⅰ）若ab＞0，且函数f[f（x）]的最小值为2，求b的取值范围；（Ⅱ）求实数a，b满足的条件，使得对任意满足xy＝l的实数x，y，都有f（x）+f（y）≥f（x）f（y）成立．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝ax2+b，∴f[f（x）]＝a3x4+2a2bx2+ab2+b，设t＝x2，当ab＞0，且二次函数y＝a3t2+2a2bt+ab2+b的对称轴t＝﹣＜0，当a＜0时，不满足条件．∴a＞0，b＞0，当t＝0时，函数f[f（x）]取得最小值，即ab2+b＝2，从而ab＝0，得0＜b＜2，即b的取值范围是（0，2）；（Ⅱ）∵xy＝l，∴y＝，则由f（x）+f（y）≥f（x）f（y）得f（x）+f（）≥f（x）f（），即a（x2+）+2b≥ab（x2+）+a2+b2，令t＝x2+，则t≥2，则a（1﹣b）t≥a2+b2﹣2b恒成立，需要a（1﹣b）≥0，此时y＝a（1﹣b）t在[2，+∞）上为增函数，∴2a（1﹣b）≥a2+b2﹣2b，即（a+b）2﹣2（a+b）≤0，得0≤a+b≤2，则实数a，b满足的条件为．19．（15分）已知椭圆L：＝1（a，b＞0）离心率为，过点（1，），与x轴不重合的直线，过定点T（m，0）（m为大于a的常数），且与椭圆L交于两点A，B（可以重合），点C为点A关于x轴的对称点．（Ⅰ）求椭圆L的方程；（Ⅱ）（i）求证：直线BC过定点M，并求出定点M的坐标；（ii）求△OBC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e＝＝，+＝1，a2﹣b2＝c2，解得a＝，b＝1，即有椭圆的方程为+y2＝1；（Ⅱ）（i）证明：由对称性可得直线BC过定点，定点在x轴上，设直线l的方程为x＝ty+m，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），代入椭圆方程x2+2y2＝2，可得（2+t2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，即有△＝4t2m2﹣4（2+t2）（m2﹣2）＞0，即为8（t2﹣m2+2）＞0，y1+y2＝﹣，y1y2＝，设BC：y+y1＝（x﹣x1），令y＝0，可得x＝＝＝+m＝+m＝，则直线BC过定点M（，0）；（ii）记△OBC的面积为S，则S＝|OM|•|y2+y1|＝•||＝，由△＞0可得|t|＞（m＞），①若＞＞，即m＞2时，S max＝；②若＜m≤2时，S≤＝，即有S max＝．20．（15分）设数列{a n}满足：a1＝2，a n+1＝ca n+（c为正实数，n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n．（Ⅰ）证明：当c＝2时，2n+1﹣2≤S n≤3n﹣l（n∈N*）；（Ⅱ）求实数c的取值范围，使得数列{a n}是单调递减数列．【解答】解：（Ⅰ）证明：易知a n＞0，∵a n+1＝ca n+，且c＝2，∴{a n}是递增数列，故＝2+＜3，故a n+1＜3a n＜32a n﹣1＜…＜3n a n＝2•3n，故S n≤2（1+3+…+3n﹣1）＝3n﹣l，同理可得，S n≥2+22+23…+2n＝2n+1﹣2，故当c＝2时，2n+1﹣2≤S n≤3n﹣l（n∈N*）成立；（Ⅱ）由a1＝2，a2＝2c+＜2解得，c＜；若数列{a n}是单调递减数列，则＝c+＜1，故a n＞，记t＝，①，又a n+1﹣t＝（a n﹣t）（c﹣），故c﹣＞0；即a n＞，②，由（Ⅰ）a n＞0及从c，t＞0可知，a n+1﹣t＜c（a n﹣t）＜…＜c n（2﹣t），故a n＜c n﹣1（2﹣t）+t，③，由②③两式可得，对任意的自然数n，＜c n﹣1（2﹣t）+t恒成立，故＜t，即＜t2＝，故c＞；当＜c＜时，a n+1﹣a n＝（a n﹣a n﹣1）（c﹣），∵a n+1＝ca n+≥2，∴a n+1a n＞4c＞，故对对任意的自然数n，a n+1﹣a n＜0恒成立；综上所述，实数c的取值范围为＜c＜．。
浙江省金丽衢十二校2016年高三数学下册第二次模拟试卷
2016年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x+（l﹣m）y+3=0（m为实数）恒过定点（）A．（3，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，1）2．平面向量=（1，x），=（﹣2，3），若∥，则实数x的值为（）A．﹣6 B．C．﹣D．03．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A．4+B．4+πC．6+D．6+π4．函数f（x）=sinx（sinx+cosx）的最大值为（）A．2 B．1+C．D．15．已知a，b，c是正实数，则“b≤”是“a+c≥2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到AD l C，则翻折过程中线段DB中点M 的轨迹是（）A．椭圆的一段B．抛物线的一段 C．一段圆弧 D．双曲线的一段7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}是单调递增数列，且满足a5≤6，S3≥9，则a6的取值范围是（）A．（3，6]B．（3，6）C．[3，7]D．（3，7]8．设函数f（x）=（a，b，c∈R）的定义域和值域分别为A，B，若集合{（x，y）|x∈A，y∈B}对应的平面区域是正方形区域，则实数a，b，c满足（）A．|a|=4 B．a=﹣4且b2+16c＞0C．a＜0且b2+4ac≤0 D．以上说法都不对二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．计算，=，=．10．若焦点在x轴上的椭圆的焦距为16，长轴长为18，则该椭圆的标准方程为．11．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π．则φ=，f（x）的单调减区间为．12．设a∈R，函数f（x）=为奇函数，则a=，f（x）+3=0的解为．13．如图，双曲线C：=1（a，b＞0）虚轴上的端点B（0，b），右焦点F，若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且∥，则该双曲线的离心率为．14．若实数x，y满足x+y﹣xy≥2，则|x﹣y|的最小值是．15．在△ABC中，BC=2，若对任意的实数t，|t+（1﹣t）|≥|t0+（l﹣t0）|=3（t0∈R），则•的最小值为，此时t0=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=2，A≠B．（I）求的值；（2）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．17．已知数列{a n}满足：a1=c，2a n+1=a n+l（c≠1，n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n．（I）令b n=a n﹣l，证明：数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求最小的实数c，使得对任意n∈N*，都有S n≥3成立．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA l=2，∠ABC=120°，点P在线段AC1上，且AP=2PC l，M为线段AC的中点．（I）证明：BM∥平面B1CP；（Ⅱ）求直线AB1与平面B1CP所成角的余弦值．19．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点T（t，0）（t＞0），且过点F的直线，交C 于A，B．（I）当t=2时，若过T的直线交抛物线C于两点，且两交点的纵坐标乘积为﹣4，求焦点F 的坐标；（Ⅱ）如图，直线AT、BT分别交抛物线C于点P、Q，连接PQ交x轴于点M，证明：|OF|，|OT|，|OM|成等比数列．20．设函数f（x）=x2﹣ax，g（x）=|x﹣a|，其中a为实数．（I）若f（x）+g（x）是偶函数，求实数a的值；（Ⅱ）设t∈R，若∃a∈[0，3]，对∀x∈[0，3]，都有f（x）+l≥tg（x）成立，求实数t的最大值．2016年浙江省金丽衢十二校高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x+（l﹣m）y+3=0（m为实数）恒过定点（）A．（3，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，1）【考点】恒过定点的直线．【分析】令，可得直线恒过定点的坐标．【解答】解：令，解得：，故直线恒过定点（﹣3，0），故选：C．2．平面向量=（1，x），=（﹣2，3），若∥，则实数x的值为（）A．﹣6 B．C．﹣D．0【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出x的值．【解答】解：平面向量=（1，x），=（﹣2，3），且∥，由两个向量共线的性质得1×3﹣x（﹣2）=0，解得x=﹣，故选：C．3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm3．A ．4+B ．4+πC ．6+D ．6+π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原图形，得到原几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，然后利用柱体体积公式求得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体，半圆柱的底面半径为1，高为3；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为2），高为3．∴V=． 故选：D ．4．函数f （x ）=sinx （sinx+cosx ）的最大值为 （ ）A ．2B ．1+C ．D ．1【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数的倍角公式以及三角函数的辅助角公式进行化简，结合三角函数的有界性进行求解即可．【解答】解：f （x ）=sinx （sinx+cosx ）=sin 2x+sinxcosx=（1﹣cos2x ）+sin2x=sin（2x ﹣）+，∴当sin （2x ﹣）=1时，函数取得最大值1+=，故选：C．5．已知a，b，c是正实数，则“b≤”是“a+c≥2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】b≤⇒2b≤2≤a+c，反之不成立，取a=4，c=16，b=9．即可判断出结论．【解答】解：b≤⇒2b≤2≤a+c，反之不成立，取a=4，c=16，b=9．∴“b≤”是“a+c≥2b”的充分不必要条件，故选：A．6．如图，将四边形ABCD中△ADC沿着AC翻折到AD l C，则翻折过程中线段DB中点M 的轨迹是（）A．椭圆的一段B．抛物线的一段 C．一段圆弧 D．双曲线的一段【考点】轨迹方程．【分析】过B作AC的垂线BE，过D作AC的垂线DF，连接DE，BF，然后证明在翻折过程中，BD中点到BE的中点的距离为定值得答案．【解答】解：如图，过B作AC的垂线BE，过D作AC的垂线DF，连接DE，BF，取BE中点为O，则在△BDE中，OM为△BDE的中位线，则OM=，当△ADC沿着AC翻折到AD l C时，△DEF翻折到△D1EF，在△BD1E中，OM1为△BD1E的中位线，则，而翻折过程中，DE=D1E，∴OM=OM1，∴翻折过程中线段DB中点M的轨迹是以O为圆心，以为半径的一段圆弧．故选：C．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若数列{a n}是单调递增数列，且满足a5≤6，S3≥9，则a6的取值范围是（）A．（3，6]B．（3，6）C．[3，7]D．（3，7]【考点】等差数列的前n项和．【分析】给出两个前n项和，写出求前n项和的公式，根据不等式的基本性质和等差数列的性质整理出结果．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，若a5≤6，S3≥9，∴a1+4d≤6 ①3a1+3d≥9，即a1+d≥3 ②∴（﹣1）×①+②，得0＜d≤1，∴a6=a5+d，∴3＜a6=a5+d≤7故选：D．8．设函数f（x）=（a，b，c∈R）的定义域和值域分别为A，B，若集合{（x，y）|x∈A，y∈B}对应的平面区域是正方形区域，则实数a，b，c满足（）A．|a|=4 B．a=﹣4且b2+16c＞0C．a＜0且b2+4ac≤0 D．以上说法都不对【考点】集合的表示法．【分析】设y=ax2+bx+c与x轴相交于两点（x1，0），（x2，0），a＜0．可得|x1﹣x2|==．由题意可得：，化简即可得出．【解答】解：设y=ax2+bx+c与x轴相交于两点（x1，0），（x2，0），a＜0．则，x1x2=．∴|x1﹣x2|===．由题意可得：，由=，解得a=﹣4．∴实数a，b，c满足a=﹣4，△=b2+16c＞0，故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．计算，=4，=9．【考点】对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】直接利用指数式与对数式的运算法则化简求解即可．【解答】解：=4，=9．故答案为：4；9．10．若焦点在x轴上的椭圆的焦距为16，长轴长为18，则该椭圆的标准方程为+=1．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设焦点在x轴上的椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得2c=16，2a=18，可得a，c，b，进而得到椭圆方程．【解答】解：设焦点在x轴上的椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得2c=16，2a=18，即a=9，c=8，b==，即有椭圆的方程为+=1．故答案为：+=1．11．已知函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0），其中角φ的终边经过点P（﹣l，1），且0＜φ＜π．则φ=，f（x）的单调减区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据三角函数的定义求出cosφ，得出φ；得出f（x）的解析式，利用正弦函数的单调性列出不等式解出．【解答】解：OP=，∴cosφ=．∵0＜φ＜π，∴φ=．f（x）=Asin（2x+）=﹣Asin（2x﹣）．令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤．∴（x）的单调减区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．故答案为，[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）．12．设a∈R，函数f（x）=为奇函数，则a=﹣1，f（x）+3=0的解为﹣2．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（0）=0，则20+a=1+a=0，得a=﹣1，若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=2﹣x﹣1=﹣f（x），则f（x）=1﹣2﹣x，x＜0，即g（x）=1﹣2﹣x，x＜0，由f（x）+3=0得f（x）=﹣3，若x≥0，由f（x）=﹣3得2x﹣1=﹣3，得2x=﹣2，此时方程无解，若x＜0，由f（﹣x）=﹣3得1﹣2﹣x=﹣3，得2﹣x=4，即﹣x=2，得x=﹣2，故答案为：﹣213．如图，双曲线C：=1（a，b＞0）虚轴上的端点B（0，b），右焦点F，若以B为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P，且∥，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意BF垂直于双曲线的渐近线y=x，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出a，c的关系，即可求出该双曲线的离心率．【解答】解：由题意∥，可得：BF垂直于双曲线的渐近线y=x，由F（c，0），B（0，b），k BF=﹣，可得﹣•=﹣1，即b 2﹣ac=0，即c 2﹣a 2﹣ac=0，由e=，可得：e 2﹣e ﹣1=0，又e ＞1，可得e=．故答案为：．14．若实数x ，y 满足x+y ﹣xy ≥2，则|x ﹣y|的最小值是 2 ．【考点】基本不等式．【分析】化简可得或，从而作平面区域，再分类讨论，化|x ﹣y|的最小值为点到直线的距离的最小值，从而结合导数求解即可．【解答】解：∵x+y ﹣xy ≥2，∴y （1﹣x ）≥2﹣x ，∴或，作平面区域如下，，设|x ﹣y|=a ，①当x≤y时，y﹣x=a，原点到直线y﹣x=a的距离，故相切时有最小值；y′==1，故x=0或x=2（舍去）；故a=|x﹣y|≥|0﹣2|=2，①当x≥y时，y﹣x=﹣a，原点到直线y﹣x=﹣a的距离，故相切时有最小值；y′==1，故x=0（舍去）或x=2；故a=|x﹣y|≥|2﹣0|=2，综上所述，|x﹣y|的最小值是2；故答案为：2．15．在△ABC中，BC=2，若对任意的实数t，|t+（1﹣t）|≥|t0+（l﹣t0）|=3（t0∈R），则•的最小值为8，此时t0=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得在线段BC上存在一点D，使得AD最小，且有AD⊥BC，取得最小值3，设BD=x，CD=2﹣x，运用勾股定理和向量数量积的定义和余弦定理，结合二次函数的最值的求法，即可得到最值．【解答】解：对任意的实数t，|t+（1﹣t）|≥|t0+（l﹣t0）|=3，可得在线段BC上存在一点D，使得AD最小，且有AD⊥BC，取得最小值3，设BD=x，CD=2﹣x，即有AB=，AC=，由•=||•||•cosA=（AB2+AC2﹣BC2）=[9+x2+9+（2﹣x）2﹣4]=[2（x﹣1）2+16]，当x=1时，取得最小值×16=8．即有D为中点，可得t0=，故答案为：8，．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=2，A≠B．（I）求的值；（2）若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）展开两角差的正弦，利用正弦定理和余弦定理化角为边得答案；（2）由tanC=2求得，利用面积及面积公式求得ab的值，再由余弦定理得答案．【解答】解：（1）∵c=2，∴===；（2）∵tanC=，且sin2C+cos2C=1，∴，∵，∴ab=，由余弦定理有cosC=，∴a2+b2=6．∴，∴a+b=．17．已知数列{a n}满足：a1=c，2a n+1=a n+l（c≠1，n∈N*），记数列{a n}的前n项和为S n．（I）令b n=a n﹣l，证明：数列{b n}是等比数列；（Ⅱ）求最小的实数c，使得对任意n∈N*，都有S n≥3成立．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）化简可得2（a n+1﹣1）=a n﹣1，从而可证明数列{b n}是以c﹣1为首项，为公比的等比数列；（Ⅱ）由（I）知b n=（c﹣1）•=a n﹣1，从而解得a n=1+（c﹣1）•，从而求其前n项和，从而化为函数的最值问题．【解答】解：（I）证明：∵2a n+1=a n+l，∴2a n+1﹣2=a n﹣1，∴2（a n+1﹣1）=a n﹣1，∴2b n+1=b n，且b1=a1﹣l=c﹣1≠0，故数列{b n}是以c﹣1为首项，为公比的等比数列；（Ⅱ）由（I）解得，b n=（c﹣1）•=a n﹣1，故a n=1+（c﹣1）•，故S n==（+1）=（c﹣1）（2﹣）+n；∵对任意n∈N*，都有S n≥3成立．∴（c﹣1）（2﹣）+n≥3对任意n∈N*都成立，即对任意n∈N*，2（c﹣1）≥恒成立，∵当n≥3时，≤0，∴当n=1时，取到最大值4，∴2（c﹣1）≥4，故c≥3．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA l=2，∠ABC=120°，点P在线段AC1上，且AP=2PC l，M为线段AC的中点．（I）证明：BM∥平面B1CP；（Ⅱ）求直线AB1与平面B1CP所成角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连结BC1交B1C于F，连结MC1交CP于N，连结FN，证明FN为△BC1M 的中位线即可得出BM∥FN，于是结论得证；（II）连结MF，过M作MG⊥CP于G点，连结FG，则可证明MG⊥平面B1CP，由于AB1∥MF，故而∠MFG为直线AB1与平面B1CP所成角，利用勾股定理求出FG，MF得出线面角的余弦值．【解答】证明：（I）连结BC1交B1C于F，连结MC1交CP于N，连结FN，∵四边形BCC1B1是矩形，∴F为BC1的中点．取AP的中点Q，连结MQ，∵MQ是△APC的中位线，∴MQ∥PC，又AP=2PC l，∴，∴=，即N为C1M的中点．∴FN为△C1BM的中位线，∴FN∥BM，又FN⊂平面B1CP，BM⊄平面B1CP，∴BM∥平面B1CP．（II）连结MF，过M作MG⊥CP于G点，连结FG，∵BM⊥AC，BM⊥CC1，∴BM⊥平面ACC1，∵BM∥FN，∴FN⊥平面ACC1．∴FN⊥MG．又MG⊥PC，FN∩PC=N，∴MG⊥平面B1PC，又AB1∥MF，∴∠MFG为直线AB1与平面B1CP所成角，∵AB=BC=AA1=2，∠ABC=120°，∴AB1=2，CM==，∴MF=，MG=，∴FG=．∴cos∠MFG==．∴直线AB1与平面B1CP所成角的余弦值为．19．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点T（t，0）（t＞0），且过点F的直线，交C 于A，B．（I）当t=2时，若过T的直线交抛物线C于两点，且两交点的纵坐标乘积为﹣4，求焦点F 的坐标；（Ⅱ）如图，直线AT、BT分别交抛物线C于点P、Q，连接PQ交x轴于点M，证明：|OF|，|OT|，|OM|成等比数列．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）设过T的直线方程为x=my+t，代入y2=2px，利用韦达定理，结合两交点的纵坐标乘积为﹣4，t=2，求出p，即可求焦点F的坐标；（Ⅱ）确定直线PQ的方程，令y=0可得x=﹣=，证明|OF||OM|=|OT|2，即可得出结论．【解答】（I）解：设过T的直线方程为x=my+t，代入y2=2px，可得y2﹣2pmy﹣2pt=0，由韦达定理可得，两根之积为﹣2pt，∵两交点的纵坐标乘积为﹣4，∴﹣2pt=4，∵t=2，∴p=1，∴焦点F的坐标为（，0））；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）同理可得，y1y2=﹣p2，y1y3=﹣2pt，y2y4=﹣2pt，∴y3y4=﹣4t2，直线PQ的斜率为=，∴直线PQ的方程为y﹣y3=（x﹣x3）．令y=0可得x=﹣=，∴|OF||OM|=|OT|2，∴|OF|，|OT|，|OM|成等比数列．20．设函数f（x）=x2﹣ax，g（x）=|x﹣a|，其中a为实数．（I）若f（x）+g（x）是偶函数，求实数a的值；（Ⅱ）设t∈R，若∃a∈[0，3]，对∀x∈[0，3]，都有f（x）+l≥tg（x）成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】（I）若f（x）+g（x）是偶函数，根据函数奇偶性的定义建立方程关系即可求实数a的值；（Ⅱ）利用参数分离法转化为求函数的最值问题，利用分类讨论的思想进行求解．【解答】解：（I）设h（x）=f（x）+g（x）=x2﹣ax+|x﹣a|，若h（x）是偶函数，则h（﹣x）=h（x），即x2+ax+|﹣x﹣a|=x2﹣ax+|x﹣a|，即2ax=|x﹣a|﹣|x+a|，令x=a，则a2=﹣|a|≥0，则a=0，即实数a的值为0；（Ⅱ）∵对∀x∈[0，3]，都有f（x）+l≥tg（x）成立∴g（x）=0时，即x=a时，满足条件．若x≠a时，t≥（）min，==，令u=x﹣a，则h（u）=，①当2＜a≤3时，h（u）min=min{3+，2﹣a}=2﹣a②当1＜a≤2时，h（u）min=min{2﹣a，2+a}=2﹣a，此时存在实数a∈（1，3]，有t≤2﹣a，则t≤1，③当0≤a＜1时，h（u）min=min{2+a，}如图：要使垂直实数0≤a＜1时，t≤min{2+a，}，则需要t≤，即可，综上实数t的最大值为．沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
浙江省金丽衢十二校2016届高三第二次联考数学(理)试题 含答案
金丽衢十二校2015学年高三第二次联考数学试卷(理科)本试卷分第I卷和第Il卷两部分．考试时间120分钟，试卷总分为150分．请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上．第I卷一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．平行直线l1：3x+4y —12=0与l2:6x+8y—15=0之间的距离为（▲)A．310B．910C．35D．952．命题“∃a∈上的单调减区间为▲．11．设a〉0且a≠l,函数为奇函数，则a ▲,g（f（2)）= ▲．12.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CC1=2，AC=23，M是AC的中点，则异面直线CB1与C1M所成角的余弦值为▲．13．设实数x，y满足x+y—xy≥2,则|x-2y|的最小值为▲．14.已知非零平面向量a，b，c满足a·c=b·c=3,|a-b|=|c｜=2,则向量a在向量c方向上的投影为▲，a·b的最小值为▲．15．设f（x)=4x+l+a·2x+b（a，b∈R)，若对于∀x∈,|f(x)|≤12都成立,则b= ▲．三、解答题：本大题共5小题,共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16。
（本小题15分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b，c,且2sin（A —B）=asinA—bsinB，a≠b.(I)求边c；（II)若△ABC的面积为1，且tanC=2，求a+b的值．17。
（本小题15分）在几何体ABCDE中，矩形BCDE的边CD=2，BC=AB=1,∠ABC=90 °直线EB⊥平面ABC，P是线段AD上的点，且AP＝2PD，M 为线段AC的中点．（I）证明：BM//平面ECP;(II）求二面角A—EC—P的余弦值．18。
（本小题14分）设函数f（x）=ax2+b,其中a,b是实数．(I)若ab〉0，且函数f的最小值为2，求b的取值范围；（II)求实数a，b满足的条件,使得对任意满足xy=l的实数x,y，都有f(x)+f(y)）≥f（x)f（y））成立．19．（本小题15分）已知椭圆L ：2222x y a b =1（a ，b>0)离心率为2，过点（1，2），与x 轴不重合的直线，过定点T （m ，0)(m 为大于a 的常数)，且与椭圆L 交于两点A ，B(可以重合）,点C 为点A 关于x 轴的对称点．(I)求椭圆L 的方程；(II ）（i)求证：直线BC 过定点M ，并求出定点M 的坐标; (ii)求△OBC 面积的最大值．20．（本小题15分）设数列{a n ｝满足：a 1=2，a n+1=ca n +1na （c 为正实数,n ∈N*），记数列{a n }的前n 项和为S n ．（I ）证明:当c=2时，2n+1-2≤S n ≤3n —l(n ∈N*)；（II)求实数c 的取值范围，使得数列｛a n }是单调递减数列．。
金丽衢十二校2015学年高三第二次联考 数理
数学试题卷(理科) 第1页（共4页）保密★考试结束前金丽衢十二校2015学年高三第二次联考数学试卷(理科)命题人：高雄略 王飞龙 审题人：卢 萍 郑惠群本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．平行直线l 1：3x +4y -12=0与l 2：6x +8y -15=0之间的距离为( ▲ )A ．310B ．910C ．35D ．952．命题“∃α∈[0, +∞），sin α>α”的否定形式是( ▲ )A ．∀α∈[0, +∞），sin α≤αB ．∃α∈[0, +∞），sin α≤αC ．∀α∈(-∞,0），sin α≤αD ．∃α∈(-∞,0），sin α>α3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于( ▲ ) cm 3 A ．4+23π B ．4+32πC ．6+23πD ．6+32π4．若直线l 交抛物线C ：y 2=2px (p>0)于两不同点A ，B ，且|AB |=3p ，则线段AB 中点M 到y 轴距离的最小值为( ▲ )A ．p 2B ． pC ．3p 2D ．2p5．已知φ是实数，f (x )=cos x ﹒cos(x +π3)，则(第3题图)俯视图正视图侧视图数学试题卷(理科) 第2页（共4页）D AB CD 1 (第6题图)“φ=π3”是“函数f (x )向左平移φ个单位后关于y 轴对称”的( ▲ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，将四边形ABCD 中△ADC 沿着AC 翻折到AD 1C ，则翻折过程中线段DB 中点M 的轨迹是( ▲ )A ．椭圆的一段B ．抛物线的一段C ．一段圆弧D ．双曲线的一段7．已知双曲线C :2222x y ab-=1(a , b >0)虚轴上的端点B (0, b )，右焦点F ，若以B 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点P ，且//， 则该双曲线的离心率为( ▲ ) A ．5B ．2C ．1+32D ．1+528．已知非零正实数x 1, x 2, x 3依次构成公差不为零的等差数列.设函数f (x )=x α，α∈{-1, 12, 2, 3}，并记M ={-1, 12, 2, 3}.下列说法正确的是( ▲ )A ．存在α∈M ，使得f (x 1) , f (x 2) , f (x 3)依次成等差数列B ．存在α∈M ，使得f (x 1), f (x 2), f (x 3)依次成等比数列C ．当α=2时，存在正数λ，使得f (x 1), f (x 2), f (x 3)- λ依次成等差数列D ．任意α∈M ，都存在正数λ>1，使得λf (x 1), f (x 2), f (x 3)依次成等比数列第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．设集合A ={x ∈N |6x +1∈N }，B ={x |y =ln(x -1)}，则A = ▲ ，B = ▲ ，)(B C A R = ▲ .10．设函数f (x )=A sin(2x +φ)，其中角φ的终边经过点P (-1,1)，且0<φ<π，f (π2)= -2.则φ= ▲ ，A = ▲ ，f (x )在[-π2, π2]上的单调减区间为 ▲ ．11．设a >0且a ≠1，函数f (x )=⎩⎨⎧a x +1-2,x ≤0,g (x ), x >0为奇函数，则a = ▲ ，g (f (2))= ▲ ．12．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =BC =CC 1=2，AC =23，M 是AC 的中点，则异面直线CB 1与C 1M 所成角的余弦值为 ▲ .ACA 1M BB 1(第12题图)C 1数学试题卷(理科) 第3页（共4页）13．设实数x ,y 满足x +y -xy ≥2，则|x -2y |的最小值为 ▲ .14．已知非零平面向量a , b , c 满足a ·c = b ·c=3，|a -b |=|c |=2，则向量a 在向量c 方向上的投影为 ▲ ，a ·b 的最小值为 ▲ .15．设f (x )=4x +1+a ·2x +b (a , b ∈R )，若对于∀x ∈[0,1]，| f (x )|≤12都成立，则=b ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分。
浙江省金丽衢十二校2016届高三第二次联考理科综合试题 含答案
保密★考试结束前金丽衢十二校2015学年高三第二次联考理科综合试题生物命题:浙师大附中张俊美喻毅涛审核人：刘海华化学命题：浦江中学钟显云季锡根审核人：张文龙物理命题：浦江中学朱畑吴恒亮审核人：张日伙可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O—16 Na-23 S—32 Ba-137选择题部分（共120分）一、单项选择题（本题共17个小题，每小题6分,共102分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
）1．洋葱根尖分生区细胞分裂间期，细胞核中发生着复杂的变化。
下列叙述最准确的是A．DNA复制B．蛋白质和RNA合成C．DNA复制和RNA合成D．DNA复制和有关蛋白质合成2．右图为波森和詹森实验，有关叙述正确的是A。
本实验证明生长素由苗尖向下传递B．插有明胶的苗发生向光弯曲证明苗尖是感光部位C．显微镜观察表明，弯曲部位背面细胞分裂速率快、数量多D．要使本实验更有说服力,还应设置不放苗尖仅放明胶或云母片的对照实验3．研究发现，老鼠处于不同特定地点时，大脑的海马体里会有不同的“位置细胞”会激活，同时大脑内嗅皮层里不同的“网格细胞”也被激活。
这两类细胞共同组成了大脑内的综合定位系统。
下列说法正确的是A．两种细胞未被激活时，Na+和K+不会进行跨膜运输B．两种细胞被激活时，膜外Na+大量内流,这个过程不需要ATP 提供能量C．两种细胞未激活时，细胞膜外Na+和K+多于细胞膜内，电位表现为外正内负D．两种细胞被激活后，膜外Na+大量内流,使膜内外Na+浓度相同，维持细胞的正常代谢4．四环素和链霉素等抗生素通过干扰细菌核糖体的形成,阻止tRNA 和mRNA的结合来抑制细菌的生长。
下列相关说法正确的是A．细菌核糖体的形成与其核仁有关B．tRNA和mRNA的结合场所在核糖体C．抗生素的使用能引发机体产生特异性免疫D．细菌遗传物质的基本组成单位是核糖核苷酸5．以酒待客是我国的传统习俗，乙醇进入人体后的代谢途径如下图所示.会“红脸”的人体内有乙醇脱氢酶但不含有乙醛脱氢酶。
金丽衢十二校2015学年高三第二次联考数学试卷(理科)
1 / 10保密★考试结束前金丽衢十二校2015学年高三第二次联考数学试卷(理科)命题人：高雄略 王飞龙 审题人：卢 萍 郑惠群本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间120分钟. 试卷总分为150分.请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．平行直线l 1：3x +4y -12=0与l 2：6x +8y -15=0之间的距离为( ▲ )A ．310B ．910C ．35D ．952．命题“α∈[0, +∞），sin α>α”的否定形式是( ▲ )A ．α∈[0, +∞），sin α≤αB ．α∈[0, +∞），sin α≤αC ．α∈(-∞,0），sin α≤αD ．α∈(-∞,0），sin α>α3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于( ▲ ) cm 3A ．4+23πB ．4+32πC ．6+23πD ．6+32π4．若直线l 交抛物线C ：y 2=2px (p>0)于两不同点A ，B ，且|AB |=3p ，则线段AB 中点M 到y 轴距离的最小值为( ▲ ) A ．p 2B ． pC ．3p 2D ．2p23 12(第3题图)俯视图正视图侧视图2 / 10D AB CD 1 (第6题图)5．已知φ是实数，f (x )=cos x ﹒cos(x +π3)，则“φ=π3”是“函数f (x )向左平移φ个单位后关于y轴对称”的( ▲ ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，将四边形ABCD 中△ADC 沿着AC 翻折到AD 1C ，则翻折过程中线段DB 中点M 的轨迹是( ▲ )A ．椭圆的一段B ．抛物线的一段C ．一段圆弧D ．双曲线的一段7．已知双曲线C :=1(a , b >0)虚轴上的端点B (0, b )，右焦点F ，若以B 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点P ，且， 则该双曲线的离心率为( ▲ ) A ．5B ．2C ．1+32D ．1+528．已知非零正实数x 1, x 2, x 3依次构成公差不为零的等差数列.设函数f (x )=x α，α∈{-1, 12, 2, 3}，并记M ={-1, 12, 2, 3}.下列说法正确的是( ▲ )A ．存在α∈M ，使得f (x 1) , f (x 2) , f (x 3)依次成等差数列B ．存在α∈M ，使得f (x 1), f (x 2), f (x 3)依次成等比数列C ．当α=2时，存在正数λ，使得f (x 1), f (x 2), f (x 3)- λ依次成等差数列D ．任意α∈M ，都存在正数λ>1，使得λf (x 1), f (x 2), f (x 3)依次成等比数列第Ⅱ卷二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．设集合A ={x ∈N |6x+1∈N }，B ={x |y =ln(x -1)}，则A = ▲ ，B = ▲ ，= ▲ .10．设函数f (x )=A sin(2x +φ)，其中角φ的终边经过点P (-1,1)，且0<φ<π，f (π2)= -2.则φ= ▲ ，A = ▲ ，f (x )在[-π2, π2]上的单调减区间为 ▲ ．11．设a >0且a ≠1，函数f (x )=⎩⎨⎧ax+1-2,x≤0,g(x), x>0为奇函数，则a = ▲ ，g (f (2))= ▲ ．3 / 1012．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =BC =CC 1=2，AC =23，M 是AC 的中点，则异面直线CB 1与C 1M 所成角的余弦值为 ▲ .13．设实数x ,y 满足x +y -xy ≥2，则|x -2y |的最小值为 ▲ .14．已知非零平面向量a , b , c 满足a ·c = b ·c=3，|a -b |=|c |=2，则向量a 在向量c 方向上的投影为 ▲ ，a ·b 的最小值为 ▲ . 15．设f (x )=4x +1+a ·2x +b (a , b ∈R )，若对于x ∈[0,1]，| f (x )|≤12都成立，则▲ .三、解答题：本大题共5小题，共74分。
高考数学金丽衢十二校高三第二次联考
金丽衢十二校2015学年高三第二次联考数学试卷（理科）本试卷分第I卷和第Il卷两部分．考试时间120分钟，试卷总分为150分．请考生将所有试题的答案涂、写在答题纸上．第I卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．平行直线l1：3x+4y-12=0与l2：6x+8y-15=0之间的距离为(▲)A．310B．910C．35D．952．命题“∃a∈[0，+∞），sina>a”的否定形式是(▲)A.∀a∈[0,+∞),sina≤aB．∃a∈[0,+∞),sina≤aC.∀a∈（-∞，0），sina≤aD.∃a∈（-∞，0），sina>a3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于(▲)cm3A．4+23πB．4+32πC．6+23πD．6+32π4．若直线，交抛物线C：y2=2px(p>0)于两不同点A，B，且|AB|=3p，则线段AB中点M到y轴距离的最小值为(▲)A ．2p B.p C ．32pD.2p 5．已知ϕ是实数，f(x)=cosx ·cos(x+3π)，则 “3πϕ=”是“函数f(x)向左平移ϕ个单位后关于y 轴对称”的(▲)A.充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D.既不充分也不必要条件6．如图，将四边形ABCD 中△ADC 沿着AC 翻折到AD l C ，则翻折过程中线段DB 中点M 的 轨迹是(▲)A.椭圆的一段B ．抛物线的一段 C ．一段圆弧D.双曲线的一段7．已知双曲线C ：2222x y a b-=1（a ，b>0）虚轴上的端点B(0，b)，右焦点F ，若以B 为圆心的圆与C的一条渐近线相切于点P ，且BP ∥PF ，则该双曲线的离心率为(▲) A ．5B.2C ．132+D ．152+ 8．已知非零正实数x 1,x 2，x 3依次构成公差不为零的等差数列．设函数f(x)=x ，a ∈{-1，12，2，3}， 并记M={-1，12，2，3}．下列说法正确的是(▲) A ．存在a ∈M ，使得f(x 1)，f(x 2)，f(x 3)依次成等差数列 B ．存在a ∈M ，使得f(x 1)，f(x 2)，f(x 3)依次成等比数列 C ．当a=2时，存在正数，使得f(x 1)，f(x 2），f(x 1)-依次成等差数列 D.任意a ∈M ，都存在正数>1，使得f(x 1)，f(x 2)，f(x 3)依次成等比数列第II 卷二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．设集合A={x ∈N|61x +∈N}，B={x|y=ln(x-l)），则A= ▲ ，B= ▲ ，()R A C B = ▲ ． 10.设函数f(x)=Asin(2x+ϕ)，其中角妒的终边经过点P(-l ，1)，且0<ϕ<π，f(2π)=一2．则ϕ= ▲ ，A= ▲ _，f(x)在[-2π，2π]上的单调减区间为 ▲ ． 11．设a>0且a ≠l ，函数为奇函数，则a ▲ ，g(f(2))=▲ ．12.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=BC=CC 1=2，AC=23， M 是AC 的中点，则异面直线CB1与C1M 所成角的余弦值为 ▲ ．13．设实数x ，y 满足x+y-xy ≥2，则|x-2y|的最小值为▲ ．14.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a ·c=b ·c=3，|a-b|=|c|=2，则向 量a 在向量c 方向上的投影为▲ ，a ·b 的最小值为 ▲．15．设f(x)=4x+l+a ·2x+b （a ，b ∈R ），若对于∀x ∈[0，1]，|f(x)|≤12都 成立，则b= ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，共74分。