高三数学一轮复习课时作业 (27)平面向量的数量积B 文 新人教B版
高中数学向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4学案
高中数学向量数量积的坐标运算与度量公式学案新人教B版必修4学案一、学习目标：1.掌握向量数量积的坐标运算和度量公式。
2.能够应用向量数量积的坐标运算和度量公式解决相关问题。
二、学习内容：1.向量数量积的坐标运算（1）向量的数量积定义（2）向量数量积的坐标运算方法2.向量数量积的度量公式（1）向量的模长（2）向量数量积的几何意义（3）向量数量积的度量公式三、学习步骤：1.引入向量数量积的概念，以例题引导学生体会向量数量积的几何意义。
2.介绍向量数量积的坐标运算方法，并通过例题进行引导。
3.根据向量数量积的坐标运算方法，完成一些练习题，巩固所学知识。
4.引入向量的模长，介绍向量数量积的几何意义，并推导出向量数量积的度量公式。
5.通过例题演示，让学生掌握向量数量积的度量公式的应用方法。
6.给学生提供一些练习题，让他们独立思考并解决问题。
7.给学生布置相关作业，检测他们对所学知识的掌握情况。
四、学习要点：1.向量数量积的定义和几何意义。
2.向量数量积的坐标运算方法。
3.向量的模长和向量数量积的度量公式。
五、学习方法：1.多思考，多举例。
2.注重讲解和实践相结合。
3.合作探究、归纳总结。
六、学习反思：在本学案中，我们学习了高中数学《向量数量积的坐标运算与度量公式》这部分内容。
通过学习，我们掌握了向量数量积的坐标运算和度量公式，能够应用它们解决相关问题。
学案中，我们通过例题引导学生体会向量数量积的几何意义，介绍了向量数量积的坐标运算方法，并通过练习题让学生巩固所学知识。
我们还引入了向量的模长，推导出向量数量积的度量公式，并通过例题演示了它们的应用方法。
最后，给学生布置了相关作业，检测他们对所学知识的掌握情况。
通过本学案的学习，我们掌握了向量数量积的坐标运算和度量公式，提高了解决相关问题的能力。
[备考资料】2020届一轮复习人教B版 向量的数量积——数量积的投影定义(含数量积综合练习题) 学案.doc
微专题38向量的数量积——数量积的投影定义一、基础知识 1、向量的投影：（1）有向线段的值：设有一轴l ，AB 是轴上的有向线段，如果实数λ满足AB λ=，且当AB 与轴同向时，0λ>，当AB 与轴反向时，0λ<，则称λ为轴l 上有向线段AB 的值。
（2）点在直线上的投影：若点A 在直线l 外，则过A 作'AA l ⊥于'A ，则称'A 为A 在直线l 上的投影；若点A 在直线l 上，则A 在A 在直线l 上的投影'A 与A 重合。
所以说，投影往往伴随着垂直。
（3）向量的投影：已知向量,a b ，若a 的起点,A B 在b 所在轴l （与b 同向）上的投影分别为'',A B ，则向量''A B 在轴l 上的值称为a 在b 上的投影，向量''A B 称为a 在b 上的投影向量。
2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记θ为向量,a b 的夹角（1）θ为锐角：则投影（无论是a 在b 上的投影还是b 在a 上的投影）均为正 （2）θ为直角：则投影为零 （3）θ为钝角：则投影为负3、投影的计算公式：以a 在b 上的投影λ为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当θ为锐角时，cos b λθ=，因为0λ>，所以cos b λθ=（2）当θ为锐角时，()cos cos b b λπθθ=-=-，因为0λ<，所以cos b λθ-=-即cos b λθ=（3）当θ为直角时，0λ=，而cos 0θ=，所以也符合cosb λθ=综上可得：a 在b 上的投影cos b λθ=，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定义）：向量,a b 数量积公式为cos a b a b θ⋅=，可变形为()cos a b a b θ⋅=⋅或()cos a b b a θ⋅=⋅，进而与向量投影找到联系（1）数量积的投影定义：向量,a b 的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向量上的投影，即a b a b b λ→⋅=⋅（记a b λ→为a 在b 上的投影）（2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解：a b a b bλ→⋅=即数量积除以被投影向量的模长5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题（1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题：例1：已知向量,a b 满足3,23a b ==，且()a ab ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．3B ．3-.C ．2-D ．2思路：考虑b 在a 上的投影为a b b⋅，所以只需求出a b ⋅即可。
2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：平面向量的综合应用
§5.4平面向量的综合应用题型一平面向量在几何中的应用例1(1)如图，在△ABC 中，cos ∠BAC ＝14，点D 在线段BC 上，且BD ＝3DC ，AD ＝152，则△ABC 的面积的最大值为________．答案15解析设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为BD ＝3DC ，AD →＝14AB →＋34AC →，又AD ＝152，cos ∠BAC ＝14，所以AD →214AB ＋34AC ＝116c 2＋916b 2＋38bc cos ∠BAC ＝116c 2＋916b 2＋332bc ，又154＝116c 2＋916b 2＋332bc ＝14c 234b ＋332bc ≥2×14c ×34b ＋332bc ＝1532bc ，当且仅当c ＝3b 时，等号成立．所以bc ≤8，又sin ∠BAC ＝154，所以S △ABC ＝12bc sin ∠BAC ≤12×8×154＝15.(2)(2022·天津)在△ABC 中，CA →＝a ，CB →＝b ，D 是AC 的中点，CB →＝2BE →，试用a ，b 表示DE →为________，若AB →⊥DE →，则∠ACB 的最大值为________．答案32b －12a π6解析DE →＝CE →－CD →＝32b －12a ，AB →＝CB →－CA →＝b －a ，由AB →⊥DE →得(3b －a )·(b －a )＝0，即3b 2＋a 2＝4a ·b ，所以cos ∠ACB ＝a ·b |a ||b |＝3b 2＋a 24|a ||b |≥23|a ||b |4|a ||b |＝32，当且仅当|a |＝3|b |时取等号，而0<∠ACB <π，所以∠ACB，π6.思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题――→设向量向量问题――→计算解决向量问题――→还原解决几何问题．跟踪训练1(1)在△ABCBC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为()A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形答案A解析AB →|AB →|，AC →|AC →|分别表示AB →，AC →方向上的单位向量，AB →|AB →|＋AC →|AC →|在∠A 的角平分线上，BC →＝0，∴|AB →|＝|AC →|，又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则AB →与AC →的夹角为60°，即∠BAC ＝60°，可得△ABC 是等边三角形．(2)在△ABC 中，AC ＝9，∠A ＝60°，D 点满足CD →＝2DB →，AD ＝37，则BC 的长为()A ．37B ．36C ．33D ．6答案A解析因为CD →＝2DB →，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC→＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，设AB ＝x ，则AD →2＋13AC ，得37＝49x 2＋49×x ×9cos 60°＋19×92，即2x 2＋9x －126＝0，因为x >0，故解得x ＝6，即AB ＝6，所以|BC →|＝|AC →－AB →|＝|AB →|2＋|AC →|2－2|AB →|·|AC →|cos 60°＝62＋92－2×6×9×12＝37.题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2如图，在△ABC 中，点P 满足2BP →＝PC →，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x >0，y >0)，则2x ＋y 的最小值为()A ．3B ．32C ．1 D.13答案A解析由题意知，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋BC →3＝AB →＋AC →－AB →3＝2AB →3＋AC →3，又AM →＝xAB →，AN →＝yAC →(x >0，y >0)，∴AP →＝2AM →3x ＋AN →3y，由M ，P ，N 三点共线，得23x ＋13y ＝1，∴2x ＋y ＝(2x ＋y ＝53＋2x 3y ＋2y 3x ≥53＋22x 3y ·2y3x＝3，当且仅当x ＝y 时等号成立．故2x ＋y 的最小值为3.命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3已知在边长为2的正△ABC 中，M ，N 分别为边BC ，AC 上的动点，且CN ＝BM ，则AM →·MN→的最大值为________．答案－43解析建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，则BC →＝(2,0)，CA →＝(－1，3)，设BM →＝tBC →(0≤t ≤1)，则CN →＝tCA →(0≤t ≤1)，则M (2t －1,0)，N (1－t ，3t )，∴AM →＝(2t －1，－3)，MN →＝(2－3t ，3t )，∴AM →·MN →＝(2t －1)×(2－3t )＋(－3)×(3t )＝－6t 2＋4t －2＝－－43，当t ＝13时，AM →·MN →取得最大值－43.命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，且向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是()A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2]C ．[2，2＋1]D ．[2－2，2＋2]答案A解析a ，b 是单位向量，a ·b ＝0，设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )，|c －a －b |＝|(x －1，y －1)|＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故12＋12－1≤|c |≤12＋12＋1，∴2－1≤|c |≤2＋1.思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．跟踪训练2(1)已知平行四边形ABCD 的面积为93，∠BAD ＝2π3，E 为线段BC 的中点．若F 为线段DE 上的一点，且AF →＝λAB →＋56AD →，则|AF →|的最小值为()A.11B ．3 C.7D.5答案D解析设|AB →|＝x ，|AD →|＝y ，则S ＝x ·y ·sin 2π3＝32xy ＝93，∴xy ＝18.∵AF →＝λAB →＋56AD →＝λ(AE →＋EB →)＋56AD →＝λAE →，∵E ，F ，D 三点共线，∴λ＋56－λ2＝1⇒λ＝13，∴AF →＝13AB →＋56AD →，∴|AF →|2＝19|AB →|2＋59AB →·AD →＋2536|AD →|2＝19x 2＋59xy ＋2536y 2≥－5＋219·2536·x 2·y 2＝5，当且仅当x ＝52y 时，等号成立．∴|AF →|的最小值为5.(2)(2023·苏州模拟)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，△ABC 所在平面内的点P 满足|AP →－AB →－AC →|＝1，则|AP →|的最小值为()A.3－1B ．22－1C ．23－1D.7－1答案C解析因为|AB →＋AC →|2＝AB →2＋AC →2＋2AB →·AC→＝|AB →|2＋|AC →|2＋2|AB →|·|AC →|cos π3＝12，所以|AB →＋AC →|＝23，由平面向量模的三角不等式可得|AP →|＝|(AP →－AB →－AC →)＋(AB →＋AC →)|≥||AP →－AB →－AC →|－|AB →＋AC →||＝23－1.当且仅当AP →－AB →－AC →与AB →＋AC →方向相反时，等号成立．因此|AP →|的最小值为23－1.(3)(2022·北京)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°.P 为△ABC 所在平面内的动点，且PC ＝1，则PA →·PB →的取值范围是()A ．[－5,3]B ．[－3,5]C ．[－6,4]D ．[－4,6]答案D解析以C 为坐标原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (3,0)，B (0,4)．设P (x ，y )，则x 2＋y 2＝1，PA →＝(3－x ，－y )，PB →＝(－x ,4－y )，所以PA →·PB →＝x 2－3x ＋y 2－4y＋(y －2)2－254.又＋(y －2)2表示圆x 2＋y 2＝1圆心(0,0)离为52，所以PA →·PB →－254，－254，即PA →·PB →∈[－4,6]，故选D.课时精练1．四边形ABCD 中，AD →＝BC →，(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝0，则这个四边形是()A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．等腰梯形答案A解析由题意，AD →＝BC →，即|AD |＝|BC |且AD ∥BC ，故四边形ABCD 为平行四边形，又(AB →＋AD →)·(AB →－AD →)＝AC →·DB →＝0，故AC ⊥BD 即四边形ABCD 为菱形．2．(多选)如图，点A ，B 在圆C 上，则AB →·AC →的值()A ．与圆C 的半径有关B ．与圆C 的半径无关C ．与弦AB 的长度有关D ．与点A ，B 的位置有关答案BC解析如图，连接AB ，过C 作CD ⊥AB 交AB 于D ，则D 是AB 的中点，故AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠CAD ＝|AB →|·|AC →|·12|AB →||AC →|＝12|AB →|2，故AB →·AC →的值与圆C 的半径无关，只与弦AB 的长度有关．3.如图，在△ABC 中，BD →＝23BC →，E 为线段AD 上的动点，且CE →＝xCA →＋yCB →，则1x ＋3y 的最小值为()A ．8B ．9C ．12D ．16答案D解析由已知得CB →＝3CD →，∴CE →＝xCA →＋yCB →＝xCA →＋3yCD →，∵E 为线段AD 上的动点，∴A ，D ，E 三点共线，∴x ＋3y ＝1且x >0，y >0，∴1x ＋3y ＝1x ＋3y (x ＋3y )＝10＋3y x ＋3xy ≥10＋23y x ·3xy＝16，当且仅当x ＝y ＝14时，等号成立．故1x ＋3y的最小值为16.4．在△ABC 中，A ＝π3，G 为△ABC 的重心，若AG →·AB →＝AG →·AC →＝6，则△ABC 外接圆的半径为()A.3 B.433C ．2D ．23答案C解析由AG →·AB →＝AG →·AC →，可得AG →·(AB →－AC →)＝AG →·CB →＝0，则有AG ⊥BC ，又在△ABC 中，A ＝π3，G 为△ABC 的重心，则△ABC 为等边三角形．则AG →·AB →＝23×12(AB →＋AC →)·AB→|2＋|AB →|2cos ＝12|AB →|2＝6，解得|AB →|＝23，则△ABC 外接圆的半径为12×|AB →|sin π3＝12×2332＝2.5．在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，AB ⊥AD ，点P 为平行四边形ABCD 所在平面内一点，则(PA →＋PC →)·PB →的最小值是()A ．－58B ．－12C ．－38D ．－14答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系，设P (x ，y )，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，所以PB →＝(1－x ，－y )，PA →＋PC →＝(－x ，－y )＋(1－x ,2－y )＝(1－2x ,2－2y )，故(PA →＋PC →)·PB →＝(1－2x )(1－x )＋(2－2y )(－y )＝＋－58，所以当x ＝34，y ＝12时，(PA →＋PC →)·PB →取得最小值－58.6．设向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ·(a ＋b －c )＝0，则|c |的最大值等于()A ．1B ．2C ．1＋52D.5答案D解析向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，不妨设a ＝(1,0)，b ＝(0,2)，c ＝(x ，y )，∵c ·(a ＋b －c )＝0，∴(x ，y )·(1－x ,2－y )＝x (1－x )＋y (2－y )＝0，即x 2＋y 2－x －2y ＝0，整理可得＋(y －1)2＝54，则|c |，半径为52的圆上的点到原点的距离，则|c |＋52＝ 5.7．(多选)(2022·珠海模拟)已知点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有()A ．若OA →＋OB →＋OC →＝0，则点O 为△ABC 的重心B ．若OA →OB →0，则点O 为△ABC 的垂心C ．若(OA →＋OB →)·AB →＝(OB →＋OC →)·BC →＝0，则点O 为△ABC 的外心D ．若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 为△ABC 的内心答案AC解析选项A ，设D 为BC 的中点，由于OA →＝－(OB →＋OC →)＝－2OD →，所以O 为BC 边上中线的三等分点(靠近点D )，同理可证O 为AB ，AC 边上中线的三等分点，所以O 为△ABC 的重心，选项A 正确；选项B ，向量AC →|AC →|，AB →|AB →|分别表示在边AC 和AB 上的单位向量，设为AC ′—→和AB ′—→，则它们的差是向量B ′C ′———→，则当OA →0，即OA →⊥B ′C ′———→时，点O 在∠BAC 的角平分线上，同理由OB →0，知点O 在∠ABC 的角平分线上，故O 为△ABC 的内心，选项B 错误；选项C ，由(OA →＋OB →)·AB →＝0，得(OA →＋OB →)·(OB →－OA →)＝0，即OB →2＝OA →2，故|OA →|＝|OB →|，同理有|OB →|＝|OC →|，于是O 为△ABC 的外心，选项C 正确；选项D ，由OA →·OB →＝OB →·OC →，得OA →·OB →－OB →·OC →＝0，所以OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0，所以OB →⊥CA →，同理可证OA →⊥CB →，OC →⊥AB →，所以OB ⊥CA ，OA ⊥CB ，OC ⊥AB ，即点O 是△ABC 的垂心，选项D 错误．8．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每逢新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图①是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图②中正六边形ABCDEF 的边长为2，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆的直径，则PM →·PN →的取值范围是()A ．[1,2]B ．[2,3]C.32，4 D.32，3答案B解析如图所示，取AF 的中点Q ，根据题意，△AOF 是边长为2的正三角形，易得|OQ |＝3，又PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝|PO →|2＋PO →·ON →＋PO →·OM →＋OM →·ON →＝|PO →|2＋PO →·(ON →＋OM →)－1＝|PO →|2－1，根据图形可知，当点P 位于正六边形各边的中点时，|PO |有最小值为3，此时|PO →|2－1＝2，当点P 位于正六边形的顶点时，|PO |有最大值为2，此时|PO →|2－1＝3，故PM →·PN →的取值范围是[2,3]．9．(2022·晋中模拟)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|2PA →＋3PB →|的最小值为________．答案7解析以D 为坐标原点，DA →，DC →分别为x ，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，设C (0，a )，P (0，b )，B (1，a )，A (2,0)，0≤b ≤a ，则2PA →＋3PB →＝2(2，－b )＋3(1，a －b )＝(7,3a －5b )，|2PA →＋3PB →|＝49＋(3a －5b )2≥7，当且仅当b ＝3a 5时取得最小值7.10．已知P 是边长为4的正△ABC 所在平面内一点，且AP →＝λAB →＋(2－2λ)AC →(λ∈R )，则PA →·PC→的最小值为________．答案5解析取BC 的中点O ，∵△ABC 为等边三角形，∴AO ⊥BC ，则以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B (－2,0)，C (2,0)，A (0,23)，设P (x ，y )，∴AP →＝(x ，y －23)，AB →＝(－2，－23)，AC →＝(2，－23)，∴AP →＝λAB →＋(2－2λ)AC →＝(4－6λ，23λ－43)x ＝4－6λ，y ＝23λ－23，∴P (4－6λ，23λ－23)，∴PA →＝(6λ－4,43－23λ)，PC →＝(6λ－2,23－23λ)，∴PA →·PC →＝(6λ－4)(6λ－2)＋(43－23λ)(23－23λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函数性质知，当λ＝34时，PA →·PC →取得最小值5.11．(2022·广州模拟)在△ABC 中，D 为AC 上一点且满足AD →＝13DC →，若P 为BD 上一点，且满足AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ为正实数，则λμ的最大值为________．答案116解析∵λ，μ为正实数，AD →＝13DC →，故AC →＝4AD →，∴AP →＝λAB →＋4μAD →，又P ，B ，D 三点共线，∴λ＋4μ＝1，∴λμ＝14·λ·4μ＝116，当且仅当λ＝12，μ＝18时取等号，故λμ的最大值为116.12．(2022·浙江)设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2…A 8的边A 1A 2上，则PA →21＋P A →22＋…＋PA →28的取值范围是______________．答案[12＋22，16]解析以圆心为原点，A 7A 3所在直线为x 轴，A 5A 1所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A 1(0,1)，AA 3(1,0)，AA 5(0，－1)，A－22A 7(－1,0)，A －22，设P (x ，y )，于是PA →21＋PA →22＋…＋PA →28＝8(x 2＋y 2)＋8，因为cos 22.5°≤|OP |≤1，所以1＋cos 45°2≤x 2＋y 2≤1，故PA →21＋PA →22＋…＋PA →28的取值范围是[12＋22，16]．。
高考数学一轮总复习课时规范练31平面向量的数量积与平面向量的应用北师大版
课时规范练31 平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固组1.(2021河北石家庄一模)设向量a =(1，2)，b =(m ，-1)，且(a +b )⊥a ，则实数m=( ) A.-3B.32C.-2D.-322.在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥AB ，AD=√2，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.-1B.1C.√2D.23.(2021广东珠海二模)已知向量a ，b 满足|a |=2，a ·b =-1，且(a +b )·(a -b )=3，则|a -b |=( ) A.3B.√3C.7D.√74.在△ABC 中，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x ，2x )(x>0)，则当BC 最小时，∠ACB=( ) A.90° B.60° C.45°D.30°5.已知向量a =(1，x-1)，b =(x ，2)，则下列说法错误的是 ( )A.a ≠bB.若a ∥b ，则x=2C.若a ⊥b ，则x=23D.|a -b |≥√26.已知向量a =(1，2)，b =(m ，1)(m<0)，且向量b 满足b ·(a+b )=3，则( ) A.|b |=2B.(2a+b )∥(a+2b )C.向量2a-b 与a-2b 的夹角为π4 D.向量a 在向量b 上的投影数量为√557.(2021全国乙，理14)已知向量a =(1，3)，b =(3，4)，若(a -λb )⊥b ，则λ= . 8.已知向量a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，c =(-1，0). (1)求向量b+c 的模的最大值;(2)设α=π4，且a ⊥(b+c )，求cos β的值.综合提升组9.若△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则下列结论正确的是( ) A.∠BOC=90°B.∠AOB=90°C.OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45D .OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =1510.设O (0，0)，A (1，0)，B (0，1)，P 是线段AB 上的一个动点，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ .若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值不可能为( ) A.1B.12C.13D.1411.(2021山东滨州二模)已知平面向量a ，b ，c 是单位向量，且a ·b =0，则|c -a -b |的最大值为 .12.已知△ABC 为等腰直角三角形，OA=1，OC 为斜边上的高.若P 为线段OC 的中点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = ;若P 为线段OC 上的动点，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 .创新应用组13.“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个正方形所构成(如图).在直角三角形CGD 中，已知GC=4，GD=3，在线段EF 上任取一点P ，线段BC 上任取一点Q ，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A.25B.27C.29D.3114.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|PA||PB|=√3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为 ，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是 .课时规范练31 平面向量的数量积与平面向量的应用1.A 解析:由题意，向量a =(1，2)，b =(m ，-1)，可得a +b =(m+1，1). 因为(a +b )⊥a ，所以(a +b )·a =m+1+2=0， 解得m=-3. 故选A .2.D 解析:由题可知，因为四边形ABCD 为直角梯形，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影向量的模为√2， 由数量积的几何意义可知BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2)2=2，故选D .3.D 解析:由(a +b )·(a -b )=|a |2-|b |2=3，可得|b |=1， 因为|a -b |2=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=4+2+1=7，所以|a -b |=√7. 故选D .4.A 解析:∵BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x-1，2x-2)， ∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(-x -1)2+(2x -2)2=√5x 2-6x +5.令y=5x 2-6x+5，x>0，当x=35时，y min =165，此时BC 最小， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(35,-65),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =85,45，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =35×85−65×45=0， ∴CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即∠ACB=90°，故选A . 5.B 解析:显然a ≠b ，故A 正确;由a ∥b 得1×2=(x-1)x ，解得x=2或x=-1，故B 错误; 由a ⊥b 得x+2(x-1)=0，解得x=23，故C 正确;|a -b |2=(1-x )2+(x-3)2=2(x-2)2+2≥2，则|a -b |≥√2，故D 正确.故选B .6.C 解析:将a =(1，2)，b =(m ，1)代入b ·(a+b )=3，得(m ，1)·(1+m ，3)=3，得m 2+m=0，解得m=-1或m=0(舍去)，所以b =(-1，1)，所以|b |=√(-1)2+12=√2，故A 错误;因为2a+b=(1，5)，a+2b =(-1，4)，1×4-(-1)×5=9≠0，所以2a+b 与a+2b 不平行，故B 错误;设向量2a-b 与a-2b 的夹角为θ，因为2a-b=(3，3)，a-2b =(3，0)，所以cos θ=(2a -b)·(a -2b)|2a -b||a -2b|=√22，所以θ=π4，故C 正确;向量a 在向量b 上的投影数量为a ·b |b|=1√2=√22，故D 错误.故选C .7.35解析:由已知得，a -λb =(1-3λ，3-4λ)，由(a -λb )⊥b ，得3(1-3λ)+4(3-4λ)=0，即15-25λ=0，解得λ=35.8.解(1)b+c =(cos β-1，sin β)， 则|b+c|2=(cos β-1)2+sin 2β=2(1-cos β). 因为-1≤cos β≤1， 所以0≤|b+c|2≤4， 即0≤|b+c|≤2.当cos β=-1时，有|b+c|=2， 所以向量b+c 的模的最大值为2. (2)若α=π4，则a =√22,√22.又由b =(cos β，sin β)，c =(-1，0)得 a ·(b+c )=√22,√22·(cos β-1，sin β)=√22cos β+√22sin β-√22.因为a ⊥(b+c )，所以a ·(b+c )=0， 即cos β+sin β=1，所以sin β=1-cos β， 平方后化简得cos β(cos β-1)=0， 解得cos β=0或cos β=1.经检验cos β=0或cos β=1即为所求.9.B 解析:由于△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得25+24OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =25，解得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0; 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC⃗⃗⃗⃗⃗ =-4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得34+30OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16，解得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-35; 4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +5OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方并化简得41+40OB⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =9，解得OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45. 所以∠BOC ≠90°，故A 错误;∠AOB=90°，故B 正确;OB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45，故C 错误; OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-45--35=-15，故D 错误.故选B . 10.D 解析:设P (x ，y )，由AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，得(x-1，y )=λ(-1，1)=(-λ，λ)，所以{x -1=-λ,y =λ,得P (1-λ，λ).由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得(1-λ，λ)·(-1，1)≥(λ，-λ)·(λ-1，1-λ)， 即λ-1+λ≥λ(λ-1)-λ(1-λ)，2λ-1≥2λ2-2λ，2λ2-4λ+1≤0，解得1-√22≤λ≤1+√22， 又因为0≤λ≤1，所以1-√22≤λ≤1. 故选D .11.√2+1 解析:由|a |=|b |=1，且a ·b =0，建立如图所示平面直角坐标系，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则a =(1，0)，b =(0，1)， 再设c =(x ，y )，则c -a -b =(x-1，y-1)，故|c -a -b |=√(x -1)2+(y -1)2，其几何意义为以O 为圆心的单位圆上的动点与定点P (1，1)间的距离.则其最大值为|OP|+1=√12+12+1=√2+1.12.14 [0，1] 解析:△ABC 为等腰直角三角形，CO 为斜边上的高，则CO 为边AB 上的中线，所以AC=BC=√2，AO=BO=CO=1. 当P 为线段OC 的中点时，在△ACO 中，AP 为边CO 上的中线， 则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OP ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |·|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos45°+0=12×√2×12×√22=14.当P 为线段OC 上的动点时，设OP⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，0≤λ≤1， AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOC⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -(1-λ)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(λOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λ×1×√2×√22-(1-λ)·λ=λ-λ+λ2=λ2∈[0，1]， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[0，1]. 13.C 解析:建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，3).设P (4，a )(3≤a ≤4)，Q 4+t ，43t (0≤t ≤3)，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4，a-3)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4+t ，43t-3，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =4(4+t )+(a-3)43t-3=16+4t+43at-4t-3a+9=25+43at-3a=25+43t-3·a.-3≤43t-3≤1，3≤a ≤4，所以当43t-3=1，a=4时，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值为25+1×4=29. 故选C .14.12π 24+16√3 解析:以经过A ，B 的直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示，则A (-2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，因为|PA||PB|=√3， 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)2+y 2=√3，化简整理可得(x-4)2+y 2=12，所以点P 的轨迹为圆，圆心为C (4，0)，半径r=2√3，故其面积为12π.PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2-4+y 2=|OP|2-4，OP 即为圆C 上的点到坐标原点的距离. 因为OC=4，所以OP 的最大值为OC+r=4+2√3， 所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为(4+2√3)2-4=24+16√3.。
2020版高考数学理科(人教B版)一轮复习课时规范练26 平面向量的数量积与平面向量的应用+Word版含解析
课时规范练26 平面向量的数量积与平面向量的应用基础巩固组1.已知向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12),则∠ABC= ( ) A.30° B.45°C.60°D.120°2.(2018河北保定一模,4)已知非零向量a =(x ,2x ),b =(x ,-2),则“x<0或x>4”是“向量a 与b 的夹角为锐角”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF ,则AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-58 B.18 C.14 D.118 4.若向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5),且CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(λBA⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则实数λ的值为( ) A.3B.-92C.-3D.-53 5.在四边形ABCD 中,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,2),则该四边形的面积为( ) A.√5 B.2√5C.5D.106.(2018湖南长郡中学四模,3)已知向量a =(x-1,2),b =(2,1),则“x>0”是“a 与b 夹角为锐角”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.(2018北京,文9)设向量a =(1,0),b =(-1,m ).若a ⊥(m a-b ),则m= .8.(2018河南郑州三模,14)已知向量a 与b 的夹角为30°,且|a |=1,|2a -b |=1,则|b |= .9.(2018河北衡水中学考前仿真,13)已知平面向量a =(2m-1,2),b =(-2,3m-2),|a +b |=|a -b |,则5a -3b 的模等于 .10.已知点P 在圆x 2+y 2=1上,点A 的坐标为(-2,0),O 为原点,则AO⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 . 11.(2018河北衡水中学16模,13)已知平面向量a ,b ,|a |=1,|b |=2,且a ·b =1,若e 为平面单位向量,则(a -b )·e 的最大值为 .综合提升组12.(2018北京,理6)设a ,b 均为单位向量,则“|a -3b |=|3a +b |”是“a ⊥b ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件13.(2018河北保定一模,10)已知向量a =sin 4x 2,cos 4x2,向量b =(1,1),函数f (x )=a ·b ,则下列说法正确的是( )A.f (x )是奇函数B.f (x )的一条对称轴为直线x=π4C.f (x )的最小正周期为2πD.f (x )在(π4,π2)上为减函数 14.在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,则λ的值为 .15.在平面直角坐标系中,O 为原点,A (-1,0),B (0,√3),C (3,0),动点D 满足|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是 .创新应用组16.(2018衡水中学九模,9)若实数x ,y 满足不等式组{x +y +2≥0,x +2y +1<0,y ≥0,m =(y ,1x+1),n =(1x+1,2),则m ·n 的取值范围为( )A.(-∞,-32)B.[2,+∞)C.[-12,2)D.(-∞,-12)∪[2,+∞) 17.(2018河南郑州三模,11)已知P 为椭圆x 24+y 23=1上的一个动点,过点P 作圆(x+1)2+y 2=1的两条切线,切点分别是A ,B ,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A.[32,+∞)B.[32,569]C.[2√2-3,569]D.[2√2-3,+∞)课时规范练26 平面向量的数量积与平面向量的应用1.A 由题意得cos ∠ABC=BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×√32+√32×121×1=√32,所以∠ABC=30°,故选A .2.B “向量a 与b 的夹角为锐角”的充要条件为a ·b >0且向量a 与b 不共线,即x 2-4x>0,x ∶x ≠2x ∶(-2),∴x>4或x<0,且x ≠-1,故“x>4或x<0”是“向量a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件,选B .3.B 设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b -a ),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =32DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =34(b -a ),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a +34(b -a )=-54a +34b .故AF⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-54a ·b +34b 2=-58+34=18,应选B . 4.C ∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,5), ∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,3), λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ+4,2λ+5). 又CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·(λBA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴3(λ+4)+3(2λ+5)=0,解得λ=-3.5.C 依题意,得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1×(-4)+2×2=0,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴四边形ABCD 的面积为12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12×√12+22×√(-4)2+22=5.6.C 若a 与b 夹角为锐角,则a ·b >0,且a 与b 不平行,所以a ·b =2(x-1)+2=2x>0,得x>0,且x-1≠4,x ≠5,所以“x>0”是“x>0,且x ≠5”的必要不充分条件,故选C .7.-1 由题意,得m a -b =(m ,0)-(-1,m )=(m+1,-m ).∵a ⊥(m a -b ),∴a ·(m a -b )=0,即m+1=0,∴m=-1.8.√3 ∵|2a -b |=1,∴(2a -b )2=1,∴4-4|a ||b |cos 30°+|b |2=1,即|b |2-2√3|b |+3=0,∴|b |=√3.9.√170 ∵|a +b |=|a -b |,∴a ⊥b ,-2(2m-1)+2(3m-2)=0,解得m=1.a =(1,2),b =(-2,1),5a -3b =(11,7),|5a -3b |=√121+49=√170.10.6 (方法1)设P (cos α,sin α),α∈R ,则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cos α+2,sin α),AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2cos α+4. 当α=2k π,k ∈Z 时,2cos α+4取得最大值,最大值为6.故AO⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为6. (方法2)设P (x ,y ),x 2+y 2=1,-1≤x ≤1,AO⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x+2,y ),AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x+4,故AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为6. 11.√3 由|a |=1,|b |=2,且a ·b =1,得cos <a ,b >=a ·b |a ||b |=12,∴cos <a ,b >=60°.设a =(1,0),b =(1,√3),e =(cos θ,sin θ),∴(a -b )·e =-√3sin θ,∴(a -b )·e 的最大值为√3,故答案为√3.12.C 由|a -3b |=|3a +b |,得(a -3b )2=(3a +b )2.∵a ,b 均为单位向量,∴1-6a ·b +9=9+6a ·b +1.∴a ·b =0,故a ⊥b ,反之也成立.故选C .13.D f (x )=a ·b =sin 4x 2+cos 4x 2=(sin 2x 2+cos 2x 2)2-2sin 2x 2cos 2x 2=1-12sin 2x=3+cos2x 4,所以f (x )是偶函数,x=π4不是其对称轴,最小正周期为π,在(π4,π2)上为减函数,所以选D . 14.311 ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠A=60°,AB=3,AC=2,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =-4. ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×2×12=3,(23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-4, 即2λ3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+(λ3-23)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-4,∴2λ3×4-13×9+(λ3-23)×3=-4,即113λ-5=-4,解得λ=311.15.1+√7 设D (x ,y ),由|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,得(x-3)2+y 2=1,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,y+√3),故|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x -1)2+(y +√3)2的最大值为圆(x-3)2+y 2=1上的动点到点(1,-√3)距离的最大值,其最大值为圆(x-3)2+y 2=1的圆心(3,0)到点(1,-√3)的距离加上圆的半径,即√(3-1)2+(0+√3)2+1=1+√7.16.A 作出可行域,如图,∵m =(y ,1x+1),n =(1x+1,2), ∴m ·n =y+2x+1. 记z=y+2x+1表示可行域上的动点与(-1,-2)连线的斜率,由{x +y +2=0,x +2y +1=0 得点A (-3,1),点B (-1,0),点C (-2,0),由图不难发现z=y+2x+1∈(-∞,-32).17.C 椭圆x 24+y 23=1的a=2,b=√3,c=1.圆(x+1)2+y 2=1的圆心为(-1,0),半径为1. 由题意设PA 与PB 的夹角为2θ,则|PA|=|PB|=1tanθ, ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 2θ=1tan 2θ·cos 2θ=1+cos2θ1-cos2θ·cos 2θ. 设cos 2θ=t ,则y=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =t (1+t )1-t =(1-t )+21-t -3≥2√2-3. ∵P 在椭圆的右顶点时,sin θ=13,∴cos 2θ=1-2×19=79,此时PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为1+791-79×79=569,∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[2√2-3,569].。
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《平面向量的数量积与平面向量应用举例 》理 新人教B版
A [第27讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2013²大连模拟] 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →²AC →＝( )A ．－32B ．－23C.23D.322．[2013²大连模拟] 若向量a 与b 不共线，a ²b ≠0，且c ＝a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ²a a ²b b ，则向量a与c 的夹角为( )A ．0 B.π6C.π3D.π23．[2013²锦州模拟] 已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →²OB →＝( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－144．已知向量a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)，则向量a ，b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2能力提升5．[2013²郑州检测] 设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．46．[2013²石家庄模拟] 若a ，b ，c 均为单位向量，且a²b ＝0，(a －c )²(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )A.2－1 B ．1 C. 2 D ．27．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列命题不正确的是( ) A ．e 1在e 2方向上的射影为cos θB ．e 21＝e 22C ．(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)D ．e 1²e 2＝18．[2013²大连模拟] 设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a³b 是一个向量，它的模|a³b |＝|a|²|b |²sin θ，若a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，则|a ³b |＝( )A ．1B ．2C ．3D ．49．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为π3，若向量b 1＝e 1－2e 2，b 2＝3e 1＋4e 2，则b 1²b 2＝________．10．[2013²烟台质检] 在平面直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，AB →＝i ＋j ，AC →＝2i ＋m j ，则实数m ＝________．11．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →²MB →＝________．12．(13分)[2013²吉林模拟] 已知m ，x ∈R ，向量a ＝(x ，－m )，b ＝((m ＋1)x ，x )． (1)当m >0时，若|a |<|b |，求x 的取值范围；(2)若a ²b >1－m 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围．难点突破13．(12分)已知向量a ＝cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求a²b 及|a ＋b |的值；(2)若f (x )＝a²b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值．B [第27讲 平面向量的数量积与平面向量应用举例](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2013²辽宁卷] 已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b2．对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中为真命题的是( ) A ．若a²b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ²b ＝a²c ，则b ＝c3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →²AC →等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．164．[2013²沈阳模拟] 如图K27－1，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝3 BD →，|AD →|＝1，则AC →²AD→＝( )A ．2 3 B.32 C.33D. 3能力提升5．[2013²郑州模拟] 如图K27－2，设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →²AF →＝( )图K27－2A ．8B ．10C ．11D ．126．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，满足2OA →＋AB →＋AC →＝0(其中O 为坐标原点)，又|AB →|＝|OA →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( )A ．1B ．－1 C.12 D ．－127．[2013²吉林模拟] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，设向量m ＝(b －c ，c －a )，n ＝(b ，c ＋a )，若m⊥n ，则角A 的大小为( )A.2π3B.π3C.π2D.π48．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA →²AF →＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(2，±2)B ．(1，±2)C ．(1，2)D ．(2，22)9．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________．10．[2013²郑州检测] 若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．11．[2013²北京卷] 已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →²CB →的值为________，DE →²DC →的最大值为________．12．(13分)在▱ABCD 中，A (1，1)，AB →＝(6，0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD →＝(3，5)，求点C 的坐标；(2)当|AB →|＝|AD →|时，求点P 的轨迹．难点突破13．(12分)[2013²石家庄模拟] 已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x ，2cos x )．(1)求证：向量a 与向量b 不可能平行；(2)若a²b ＝1，且x ∈[－π，0]，求x 的值．课时作业(二十七)A【基础热身】1．D [解析] AB →²AC →＝|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝|AB →||AC →|²|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|22|AB →||AC →|＝32.2．D [解析] ∵a ²c ＝a ²⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a ²a a ²b b＝a²a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ²b a ²b ＝a 2－a 2＝0， 又a ≠0，c ≠0，∴a⊥c ，∴〈a ，c 〉＝π2，故选D.3．B [解析] 设AB 中点为P ，∵|AB |＝3，∴|AP |＝32. 又|OA |＝1，∴∠AOP ＝π3，∴∠AOB ＝2π3，∴OA →²OB →＝|OA →||OB →|cos 2π3＝－12.4．B [解析] 由a ＝(1，1)，2a ＋b ＝(4，2)， 得b ＝(4，2)－2(1，1)＝(2，0)． 设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ²b |a||b |＝222＝22，∴θ＝π4.【能力提升】5．B [解析] 设A 1A 2中点为P ，A 3A 4中点为Q ，则MA 1→＋MA 2→＝2MP →，MA 3→＋MA 4→＝2MQ →， ∴2MP →＋2MQ →＝0，即MP →＝－MQ →，∴M 为PQ 中点， 所以有且只有一个点适合条件．6．B [解析] |a ＋b －c |＝（a ＋b －c ）2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a²b －2a²c －2b²c ，由于a²b ＝0，所以上式＝3－2c ²（a ＋b ），又由于(a －c )²(b －c )≤0，得(a ＋b )²c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c |＝3－2c ²（a ＋b ）≤1，故选B.7．D [解析] ∵|e 1|＝1，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝θ， ∴e 1在e 2方向上的射影数量为|e 1|cos θ＝cos θ， ∴A 正确；又e 21＝e 22＝1，∴B 正确；∵(e 1＋e 2)²(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝0， ∴(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)，∴C 正确；∵e 1²e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝cos θ，∴D 不成立． 8．B [解析] ∵|a|＝|b|＝2，a²b ＝－23，∴cos θ＝－232³2＝－32.又θ∈[0，π]，∴sin θ＝12.∴|a ³b |＝2³2³12＝2.9．－6 [解析] ∵〈e 1，e 2〉＝π3，|e 1|＝1，|e 2|＝1，∴b 1²b 2＝(e 1－2e 2)²(3e 1＋4e 2)＝3|e 1|2－2e 1²e 2－8|e 1|2＝3－2cos π3－8＝－6.10．0或－2 [解析] ∵△ABC 为直角三角形，∴当A 为直角时，AB →²AC →＝(i ＋j )²(2i ＋m j )＝2＋m ＝0⇒m ＝－2；当B 为直角时，AB →²BC →＝AB →²(AC →－AB →)＝(i ＋j )²[i ＋(m －1)j ]＝1＋m －1＝0⇒m ＝0；当C 为直角时，AC →²BC →＝AC →²(AC →－AB →)＝(2i ＋m j )²[i ＋(m －1)j ]＝2＋m 2－m ＝0，此方程无解．∴实数m ＝0或－2.11．－2 [解析] 以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (－3，0)，B (3，0)，C (0，3)．设M点的坐标为(x ，y )，则CM →＝(x ，y －3)，CB →＝(3，－3)，CA →＝(－3，－3)．又CM →＝16CB →＋23CA →，即(x ，y －3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－52，可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，所以MA →²MB →＝－2.12．解：(1)|a |2＝x 2＋m 2，|b |2因为|a |<|b |，所以|a |2<|b |2.从而x 2＋m 2<(m ＋1)2x 2＋x 2.因为m >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m m ＋12<x 2， 解得x <－m m ＋1或x >mm ＋1. (2)a²b ＝(m ＋1)x 2－mx .由题意，得(m ＋1)x 2－mx >1－m 对任意的实数x 恒成立，即(m ＋1)x 2－mx ＋m －1>0对任意的实数x 恒成立． 当m ＋1＝0，即m ＝－1时，显然不成立，从而⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>0，m 2－4（m ＋1）（m －1）<0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－1，m >233或m <－233，所以m >233. 【难点突破】13．解：(1)a²b ＝cos 3x 2²cos x 2－sin 3x 2²sin x2＝cos2x .|a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos2x ＝2cos 2x .∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ≥0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos2x －4λcos x ，即f (x )＝2(cos x －λ)2－1－2λ2.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴0≤cos x ≤1.①当λ<0时，当且仅当cos x ＝0时， f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知－1－2λ2＝－32，解得λ＝12；③当λ>1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－32，解得λ＝58，这与λ>1相矛盾．综上所述，λ＝12即为所求．课时作业(二十七)B【基础热身】 1．B [解析] 本小题主要考查向量的数量积以及性质．解题的突破口为对于模的理解，向量的模平方就等于向量的平方．因为|a ＋b |＝|a －b |⇒(a ＋b )2＝(a －b )2⇒a ²b ＝0，所以a⊥b ，答案选B. 2．B [解析] a²b ＝0⇒a ⊥b ，故A 错；a 2＝b 2⇒|a |＝|b |，得不出a ＝±b ，不要与实数x ，y 满足|x |＝|y |⇒x ＝±y 混淆，故C 错；a ²b ＝a²c ⇒a ²(b －c )＝0，同A 知D 错，故选B.3．D [解析] 因为∠C ＝90°，所以AC →²CB →＝0，所以AB →²AC →＝(AC →＋CB →)²AC →＝|AC →|2＋AC →²CB →＝AC →2＝16.4．D [解析] ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →， ∴AC →²AD →＝(AB →＋ 3 BD →)²AD →＝AB →²AD →＋ 3 BD →²AD →.又∵AB ⊥AD ，∴AB →²AD →＝0， ∴AC →²AD →＝ 3 BD →²AD →＝3|BD →||AD →|cos ∠ADB＝3|BD →|cos ∠ADB ＝3|AD →|＝ 3. 【能力提升】5．B [解析] AE →²AF →＝(AB →＋BE →)²(AC →＋CF →)＝AB →＋13BC →²AC →－13BC →＝AB →²AC →－19|BC →|2＋13BC →²(AC →－AB →)＝29|BC →|2＝29(62＋32)＝10. 6．C [解析] 由2OA →＋AB →＋AC →＝(OA →＋AB →)＋(OA →＋AC →)＝OB →＋OC →＝0得，OB →＝－OC →，即O ，B ，C 三点共线．又|AB →|＝|OA →|＝1，故向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA →|cos π3＝12.7．B [解析] m²n ＝b (b －c )＋c 2－a 2＝c 2＋b 2－a 2－bc ＝0，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.8．B [解析] 由题意F (1，0)，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0.∵OA →²AF →＝－4， ∴y 204⎝⎛⎭⎪⎫1－y 204－y 20＝－4，解得y 0＝2或y 0＝－2. ∴当y 0＝2时，x 0＝y 204＝1；当y 0＝－2时，x 0＝y 204＝1.故A (1，±2)，故选B.9．1 [解析] 由a ＋b 与k a －b 垂直知(a ＋b )²(k a －b )＝0，即k a 2－a²b ＋k a²b －b 2＝0，又由|a |＝|b |＝1知(k －1)(a²b ＋1)＝0.若a²b ＝－1，则a 与b 夹角180°，与a ，b 不共线矛盾，∴k －1＝0，∴k ＝1.10.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 [解析] 平行四边形面积S ＝|α||β|sin θ＝12，∵|α|＝1，|β|≤1，∴sin θ≥12.又θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.11．1 1 [解析] 本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识．方法一：投影法：设向量DE →，DA →的夹角为θ，则DE →²CB →＝DE →²DA →＝|DE →|²|DA →|cos θ，由图可知，|DE →|cos θ＝|DA →|，所以原式等于|DA →|2＝1，要使DE →²DC →最大只要使向量DE →在向量DC →上的投影达到最大即可，因为DE →在向量DC →上的投影达到最大为|DC →|＝1，所以(DE →²DC →)max＝|DC →|2＝1.方法二：因为DE →＝DA →＋AE →且DA →⊥AE ，所以DE ²CB ＝(DA ＋AE →)²DA →＝|DA →|2＝1，DE →²DC →＝(DA →＋AE →)²AB →＝AB →²AE →＝|AB →||AE →|＝|AE →|，所以要使DE →²DC →最大，只要|AE →|最大即可，明显随着E 点在AB 边上移动|AE →|max ＝1，故(DE →²DC →)max ＝1.方法三：以D 为坐标原点，DC →与DA →所在直线分别为x ，y 轴， 建立平面直角坐标系，如图所示，可知E (x ，1)，0≤x ≤1，所以DE →＝(x ，1)，CB →＝(0，1)，可得DE →²CB →＝x ³0＋1³1＝1.因为DC →＝(1，0)，所以DE →²DC →＝x ，因为1≥x ≥0，所以(DE →²DC →)max ＝1.12．解：(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0又AC →＝AD →＋AB →＝(3，5)＋(6，0)＝(9，5)， 即(x 0－1，y 0－1)＝(9，5)，∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10，6)． (2)设P (x ，y )， 则BP →＝AP →－AB →＝(x －1，y －1)－(6，0) ＝(x －7，y －1)， AC →＝AM →＋MC →＝12AB →＋3MP →＝12AB →＋3(AP →－12AB →) ＝3AP →－AB →＝(3(x －1)，3(y －1))－(6，0) ＝(3x －9，3y －3)． ∵|AB →|＝|AD →|，∴平行四边形ABCD 为菱形， ∴BP →⊥AC →，∴(x －7，y －1)²(3x －9，3y －3)＝0， 即(x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0. ∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)．故点P 的轨迹是以(5，1)为圆心，2为半径的圆且去掉与直线y ＝1的两个交点． 【难点突破】13．解：(1)证明：假设a∥b ，则2cos x (cos x ＋sin x )＝sin x (cos x －sin x )，即2cos 2x ＋2sin x cos x ＝sin x cos x －sin 2x ，1＋sin x cos x ＋cos 2x ＝0，1＋12sin2x ＋1＋cos2x 2＝0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－3⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝－322. 而sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈[－1，1]，－322<－1，矛盾．故假设不成立，向量a 与向量b 不平行．(2)a²b ＝(cos x ＋sin x )(cos x －sin x )＋2sin x cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋sin2x ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， a ²b ＝1⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝22. 又x ∈[－π，0]⇒2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π4，π4，∴2x ＋π4＝－7π4或2x ＋π4＝－5π4或2x ＋π4＝π4，∴x ＝－π，－3π4或0.。
新高考一轮复习人教版6.2 平面向量的数量积及其应用作业2
6.2 平面向量的数量积及其应用基础篇 固本夯基考点一 平面向量的数量积1.(2019课标Ⅱ理,3,5分)已知AB ⃗⃗⃗⃗ =(2,3),AC ⃗⃗⃗⃗ =(3,t),|BC ⃗⃗⃗⃗ |=1,则AB ⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗ =( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案 C2. (2022届山东日照开学校际联考,2)如图,AB 是单位圆O 的直径,C,D 是半圆弧AB 上的两个三等分点,则AC⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗ =( )A.1B.√32C.32D.√3答案 C3.(2022届江苏淮安车桥中学入学调研,7)已知△ABC 的外心为O,2AO ⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ,|AO ⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗ |=2,则AO ⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗ 的值是( ) A.√3 B.32C.2√3D.6 答案 D4.(多选)(2020山东省实验中学诊断二,11)关于平面向量a,b,c,下列说法中不正确．．．的是( ) A.若a ∥b 且b ∥c,则a ∥c B.(a+b)·c=a ·c+b ·c C.若a ·b=a ·c,且a ≠0,则b=c D.(a ·b)·c=a ·(b ·c) 答案 ACD5.(2022届河北邢台“五岳联盟”10月联考,13)设向量a,b 均为单位向量,且a ⊥b,则(a+2b)·(3a-5b)= .? 答案 -76.(2022届湖南三湘名校、五市十校联考,14)已知点P(-2,0),AB 是圆x 2+y 2=1的直径,则PA⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗ = .? 答案 37.(2021新高考Ⅱ,15,5分)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a ·b+b ·c+c ·a= .? 答案 -928.(2020湖南永州祁阳二模,8)已知平面向量a,b,e,|e|=1,a ·e=1,b ·e=-2,且|2a+b|=2,则a ·b 的最大值是 .? 答案 -32考点二 平面向量数量积的应用1.(2021石家庄一模,2)设向量a=(1,2),b=(m,-1),且(a+b)⊥a,则实数m=( ) A.-3 B.32C.-2D.-32答案 A2.(2020课标Ⅱ文,5,5分)已知单位向量a,b 的夹角为60°,则在下列向量中,与b 垂直的是( ) A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b 答案 D3.(2022届百师联盟9月一轮复习联考一,11)已知在△ABC 中,AB=AC=2,BC=3,点E 是边BC 上的动点,则当EA ⃗⃗⃗⃗ ·EB ⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,|EA⃗⃗⃗⃗ |=( ) A.√374B.√372C.√102D.√142答案 A4.(多选)(2022届辽宁六校期初联考,11)给出下列命题,其中正确的有( ) A.非零向量a,b 满足|a|=|b|=|a-b|,则a 与a+b 的夹角为30°B.若(AB⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗ =0,则△ABC 为等腰三角形 C.等边△ABC 的边长为2,则AB⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ =2 D.已知向量a=(1,-2),b=(k,1)且a ⊥(a+b),则k=0 答案 AB5.(多选)(2022届河北神州智达省级联测,9)设0<θ<π,非零向量a=(sin2θ,cos θ),b=(cos θ,1),则( ) A.若tan θ=12,则a ∥b B.若θ=3π4,则a ⊥b C.存在θ,使2a=b D.若a ∥b,则tan θ=12答案 ABD6.(多选)(2022届辽宁名校联盟9月联考,9)已知向量a=(2,0),b=(1,1),则( ) A.|a|=|b| B.a 与b 的夹角为π4C.(a-b)⊥bD.和b 同向的单位向量是(12,12) 答案 BC7.(多选)(2022届广东深圳福田外国语高级中学调研二,10)已知向量a+b=(1,1),a-b=(-3,1),c=(1,1),设a,b 的夹角为θ,则( )A.|a|=|b|B.a ⊥cC.b ∥cD.θ=135° 答案 BD8.(2021全国甲理,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a ⊥c,则k= .? 答案 -1039.(2020课标Ⅱ理,13,5分)已知单位向量a,b 的夹角为45°,ka-b 与a 垂直,则k= .? 答案√2210.(2020课标Ⅰ文,14,5分)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a ⊥b,则m= .? 答案 5综合篇 知能转换考法一 求平面向量模的方法1.(2022届福建南平10月联考,6)已知单位向量e 1,e 2的夹角为2π3,则|e 1-λe 2|的最小值为( ) A.√22B.12C.√32D.34答案 C2.(2022届湖北九师联盟10月质量检测,5)已知向量a,b 满足|a|=2√2,|b|=1,|a-b|=√6,则|a+2b|=( ) A.2√3 B.3√2 C.4√2 D.3√3 答案 B3.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O 为坐标原点,点P 1(cos α,sin α),P 2(cos β,-sin β),P 3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则( )A.|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |B.|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |C.OA ⃗⃗⃗⃗ ·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.OA ⃗⃗⃗⃗ ·OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗答案 AC4.(2022届四省八校期中,14)已知向量a=(x,1),b=(1,-2),若a ∥b,则|a-2b|= .? 答案5√525.(2022届广东深圳福田外国语高级中学调研二,15)已知非零向量a,b 满足|a|=√7+1,|b|=√7-1,且|a-b|=4,则|a+b|= .? 答案 46.(2021全国甲文,13,5分)若向量a,b 满足|a|=3,|a-b|=5,a ·b=1,则|b|= .? 答案 3√27.(2020课标Ⅰ理,14,5分)设a,b 为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|= .? 答案√38.(2021河北衡水中学联考二,13)若向量a,b 满足a=(cos θ,sin θ)(θ∈R),|b|=2,则|2a-b|的取值范围为 .? 答案 [0,4]考法二 求平面向量夹角的方法1.(2022届山东烟台莱州一中开学考,4)已知|a|=√2,|b|=4,当b ⊥(4a-b)时,向量a 与b 的夹角为( ) A.π6B.π4C.2π3D.3π4答案 B2.(2020山东全真模拟,4)已知扇形AOB,∠AOB=θ,扇形半径为√3,C 是弧AB 上一点,若OC⃗⃗⃗⃗ =2√33OA ⃗⃗⃗⃗ +√33OB ⃗⃗⃗⃗ ,则θ=( ) A.π6B.π3C.π2D.2π3答案 D3.(2022届湖北部分重点中学开学联考,14)已知向量a,b 满足|a|=2,|b|=√2,且(2b-a)⊥a,则cos<a,b>= .? 答案√224.(2019课标Ⅲ理,13,5分)已知a,b 为单位向量,且a ·b=0,若c=2a-√5b,则cos<a,c>= .? 答案23应用篇 知行合一应用 向量在平面几何中的应用1.(多选)(2022届广东深圳六校联考二,9)已知平面向量AB⃗⃗⃗⃗ =(-1,k),AC ⃗⃗⃗⃗ =(2,1),若△ABC 是直角三角形,则k 的可能取值是( )A.-2B.2C.5D.7 答案 BD2.(2020新高考Ⅰ,7,5分)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP ⃗⃗⃗⃗ ·AB⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6) 答案 A3.(2018天津理,8,5分)如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC,AD ⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E 为边CD 上的动点,则AE ⃗⃗⃗⃗ ·BE⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A.2116 B.32 C.2516D.3 答案 A4.(2021山东烟台一模,6)平行四边形ABCD 中,AB=4,AD=3,∠BAD=60°,Q 为CD 的中点,点P 在对角线BD 上,且BP ⃗⃗⃗⃗ =λBD ⃗⃗⃗⃗ ,若AP ⃗⃗⃗⃗ ⊥BQ ⃗⃗⃗⃗ ,则λ=( )A.14B.12C.23D.34答案 A5. (2020天津,15,5分)如图,在四边形ABCD 中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且AD ⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗ =-32,则实数λ的值为 ,若M,N 是线段BC 上的动点,且|MN ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则DM ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DN⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 .?答案16;1326.(2020北京,13,5分)已知正方形ABCD 的边长为2,点P 满足AP⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ),则|PD ⃗⃗⃗⃗ |= ;PB ⃗⃗⃗⃗ ·PD ⃗⃗⃗⃗ = .? 答案√5;-1答案185或0 8.(2019天津,14,5分)在四边形ABCD 中,AD ∥BC,AB=2√3,AD=5,∠A=30°,点E 在线段CB 的延长线上,且AE=BE,则BD⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗ = .?答案 -19.(2022届江苏如皋11月期中,19)如图,在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知c=4,b=2,sin2C=sinB,且D 为BC 的中点,点E 满足AE⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗ . (1)求a 的值; (2)求cos ∠DAE 的值.解析 (1)由sin2C=sinB,得2sinCcosC=sinB,由正弦定理,得2ccosC=b.又b=2,c=4,所以cosC=b 2c =14.在△ABC 中,根据余弦定理的推论得cosC=a 2+b 2−c 22ab =14,解得a=4(舍负).(2)由(1)知,a=c=4,所以∠BAC=C,cos ∠BAC=cosC=14.记AB⃗⃗⃗⃗ =a,AC ⃗⃗⃗⃗ =b,则|a|=4,|b|=2. 因为AE⃗⃗⃗⃗ =13a+23b,AD ⃗⃗⃗⃗ =12a+12b,所以AE ⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗ =(13a +23b )·(12a +12b )=16a 2+12a ·b+13b 2=16×42+12×4×2×14+13×22=5,|AE⃗⃗⃗⃗ |=√(13a +23b )2=√19a 2+49a ·b +49b 2=√19×42+49×4×2×14+49×22=2√103, |AD⃗⃗⃗⃗ |=√(12a +12b )2=√14a 2+12a ·b +14b 2=√14×42+12×4×2×14+14×22=√6, 故cos ∠DAE=AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√103×=√154.创新篇 守正出奇创新 利用解析几何思维解决向量问题1.(2022届湖北金太阳11月联考,8设问创新)已知四边形ABCD 是半径为√2的圆O 的内接正方形,P 是圆O 上的任意一点,则PA⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗ 2+PD ⃗⃗⃗⃗ 2的值为( ) A.8 B.16 C.32 D.与P 的位置有关 答案 B2.(2022届湖北九师联盟10月质量检测,7素材创新)将一条线段AB 分割成两条线段AP 、BP(AP>BP),若PB AP =AP AB =√5−12,则称这种分割为黄金分割P 为黄金分割点,√5−12为黄金分割比.黄金分割不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域,而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在△ABC 中,点D 为线段BC 的黄金分割点(BD>DC),AB=2,AC=3,∠BAC=60°,则AD⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗ =( ) A.7√5−92 B.9−7√52 C.9√5−72 D.7−9√52答案 A3.(2022届山东烟台莱州一中开学考,6设问创新)O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗ =OA⃗⃗⃗⃗ +λ(AB⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗ ),λ∈[0,+∞),则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案 C3. (2018天津文,8,5分|解法创新)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗ =2NA ⃗⃗⃗⃗ ,则BC ⃗⃗⃗⃗ ·OM ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A.-15B.-9C.-6D.0 答案 C5.(2018浙江,9,4分|解法创新)已知a,b,e 是平面向量,e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3,向量b 满足b 2-4e ·b+3=0,则|a-b|的最小值是( ) A.-√31 B.√3+1 C.2 D.2-√3 答案 A。
平面向量的数量积-高三新高考一轮复习(人教A版)
已知两个_非_零__向量 a 和 b，作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB
＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量 a 与 b 的夹角．如果向量 a 与
b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作_a_⊥__b_．
2．平面向量数量积的运算律 已知向量 a，b，c 和实数 λ.
①交换律：__a·_b_＝__b_·a__； ②数乘结合律：(λa)·b＝_λ_(_a_·b_)_＝_a_·_(λ_b_)_(λ∈R)； ③分配律：(a＋b)·c＝_a_·c_＋__b_·_c ．
解析 (1)因为|a|＝|b|＝1，向量 a 与 b 的夹角为 45°， 所以(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝|a|2＋2|a|·|b|cos 45°＝1＋ 2. (2)如图，由 AD∥BC，AE＝BE，得∠BAD＝∠ABE＝ ∠EAB＝30°.又 AB＝2 3，
所以 AE＝BE＝2.因为B→D＝A→D－A→B， 所以A→E·B→D＝A→E·(A→D－A→B)＝A→E·A→D－A→E·A→B ＝2×5×cos 60°－2×2 3×cos 30°＝－1.
解析 根据物理中力的平衡原理有 F3＋F1＋F2＝0， ∴|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2 ＝12＋( 2)2＋2×1× 2×cos 45°＝5. ∴|F3|＝ 5 N.
◇考题再现
4．已知向量 a，b 满足|a|＝1，a·b＝－1，则 a·(2a－b)
＝( B )
A．4
B．3
C．2
a·b
④cos θ＝_|_a_||b_|_． ⑤|a·b|_≤__|a||b|.
4．平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
向量表示
高考数学一轮复习全套课时作业5-3平面向量的数量积
题组层级快练5.3平面向量的数量积一、单项选择题1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB→·AC→等于()A．－32B．－23C.23D.322．(2021·河北省承德月考)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，m)，则“m<12”是“〈a，b〉为钝角”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2021·成都外国语学校高三模拟)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A.10 B.11C．23 D.134．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．25．(2019·课标全国Ⅱ，理)已知AB→＝(2，3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A．－3B．－2C．2D．36．(2016·山东，理)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13.若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4 C.94D．－947．已知向量a＝(1，2)，a·b＝5，|a－b|＝25，则|b|等于()A.5B．25C．5D．258．(2021·东北四校模拟)若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝32，则向量a，b的夹角为() A．30°B．45°C．60°D．90°9．(2021·沧州七校联考)在以BC为斜边的直角△ABC中，AB＝2，2BE→＝EC→，则AB→·AE→＝()A．3 B.73C.83D．210．(2020·人大附中模拟)已知a，b是非零向量，且向量a，b的夹角为π3，若向量p＝a|a|＋b|b|，则|p|＝() A．2＋3 B.2＋3C．3 D.311．(2020·河南鹤壁高级中学段考)如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF→＝2FO→，则FD→·FE→等于()A．－34B．－89C．－14D．－49二、多项选择题12．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，则()A．若a∥b，则x＝－2B．若x＝1，则|b－a|＝5C．若x＝－1，则a与b的夹角为60°D．若a＋2b与a垂直，则x＝313．(2021·成都七中月考)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是()A．a＋b B．a＋12b C．a－b D.233a－33b三、填空题和解答题14．设e1，e2为单位向量，其中a＝2e1＋e2，b＝e2，且a在b上的投影为2，则a·b＝________，e1与e2的夹角为________．15．(2021·辽宁五校)已知|OA→|＝|OB→|＝1，|AB→|＝3，则|OA→＋2OB→|＝________．16．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3，若向量2t e1＋7e2与e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．17．(2020·江西上饶一模)在边长为1的正方形ABCD中，2AE→＝EB→，BC的中点为F，EF→＝2FG→，则EG→·BD→＝________．18．(2020·山东新高考Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP→·AB→的取值范围是() A．(－2，6)B．(－6，2)C．(－2，4)D．(－4，6)5.3平面向量的数量积参考答案1．答案D解析AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32.2．答案B解析若〈a ，b 〉为钝角，则有a ·b <0且a 与b 1＋2m<0，≠－2，得m<12且m ≠－2.故“m<12”是“〈a ，b 〉为钝角”的必要不充分条件．故选B.3．答案A解析由向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b 得a ·b ＝0，解得x ＝2，所以|a ＋b |＝|(3，－1)|＝10.4．答案A解析∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝18cos 〈a ，b 〉＝－12，∴cos 〈a ，b 〉＝－23.∴a 在b 方向上的投影是|a |cos〈a ，b 〉＝－4.5．答案C解析因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋（t －3）2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC→＝2×1＋3×0＝2，故选C.6．答案B解析由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n 2m ·n ＝－n 2|m |·|n |cos 〈m ，n 〉＝－|n |2|m |×|n |×13＝－3×|n ||m |＝－3×43＝－4.故选B.7．答案C解析由a ＝(1，2)，可得a 2＝|a |2＝12＋22＝5.∵|a －b |＝25，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝20.∴5－2×5＋b 2＝20.∴b 2＝25.∴|b |＝5，故选C.8．答案C解析∵(a ＋b )·b ＝b 2＋a·b ＝1＋a·b ＝32，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝12，cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°.故选C.9．答案C 10．答案D解析∵|p |2＝1＋1＋2cosπ3＝3，∴|p |＝ 3.11．答案B解析∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝|FO →|2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＋0－1＝－89.故选B.12．答案ABD解析由a ∥b 可得x ＝－2，故A 正确；若x ＝1，则b ＝(2，1)，|b －a |＝|(2，1)－(1，－1)|＝12＋22＝5，故B 正确；当x ＝－1时，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2＋12×5＝31010≠12，故C 错误；a ＋2b ＝(5，－1＋2x)，由(a ＋2b )·a ＝5＋(－1)(－1＋2x)＝0，解得x ＝3，故D 正确．13．答案CD解析由题意知，两个单位向量a ，b 的夹角为60°，则|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a |·|b |cos60°＋|b |2＝1－2×1×1×12＋1＝1，所以向量a －b 是单位向量．C 正确．同理计算知D 正确；A 、B 不正确．14．答案2π315．答案3解析由|OA →|＝|OB →|＝1可得|AB →|＝错误!＝2－2OA →·OB →)＝3，所以OA →·OB →＝－12，所以|OA →＋2OB →|＝|OA →|2＋4OA →·OB →＋4|OB →|2)＝1－2＋4＝3.16．答案7－142，－解析由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角．设2t e1＋7e2＝λ(e1＋t e2)，λ<0，＝λ，＝λt，<0，＝－14，＝－142.∴所求实数t的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．17．答案－14解析以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．∵正方形ABCD的边长为1，∴B(1，0)，D(0，1)，设G(a，b)，由EF→＝2FG→，－1，b＝43，＝34，∴∴EG→∵BD→＝(－1，1)，∴EG→·BD→＝－1＋34＝－14.18．答案A解析如图，AB→模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP→在AB→方向上投影的数量的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义式，可得AP→·AB→等于AB→的模与AP→在AB→方向上投影的数量的乘积，所以AP→·AB→的取值范围是(－2，6)．故选A.。
高考数学总复习 5-3 平面向量的数量积但因为测试 新人教B版
∴cosA＝＝，∵0<A<π，∴A＝.
(理)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a与b的夹角为60°，直线xcosα－ysinα＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝的位置关系是()
A．相切B．相交
C．相离D．随α，β值的变化而变化
又||＝||＝1，故向量在向量方向上的射影数量为||cos＝.
5．(2011·汕头二检)若平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝()
A.B．2
C．4D．12
[答案]B
[解析]∵a＝(2,0)，∴|a|＝2，
∵|b|＝1，〈a，b〉＝60°，
∴a·b＝2×1×cos60°＝1，
∴|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝12，
∴|a＋2b|＝2.
6．(文)(2010·广西南宁二中模考)在△ABC中，a、b、c分别是∠A，∠B，∠C所对的边，设向量m＝(b－c，c－a)，n＝(b，c＋a)，若m⊥n，则∠A的大小为()
A.B.
C.D.
[答案]B
[解析]m·n＝b(b－c)＋c2－a2
[答案]1
[解析]由a＋b与ka－b垂直知(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2－ab＋ka·b－b2＝0，又由|a|＝|b|＝1知(k－1)(a·b＋1)＝0，若a·b＝－1，则a与b夹角18 0°，与a，b不共线矛盾，∴k－1＝0，∴k＝1.
8．(2011·江西文，11)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________.
A.B.
C.D.
[答案]C
高三数学一轮复习平面向量数量积坐标运算试卷(有详细答案)
高三数学一轮复习平面向量数量积坐标运算试卷一、选择题1、（2007•辽宁）若向量a与b不共线，a•b≠0，且，则向量a与c的夹角为（D）A、0B、C、D、考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
分析：求两个向量的夹角有它本身的公式，条件中表现形式有点繁琐，我们可以试着先求一下要求夹角的向量的数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向量垂直，不用再做就得到结果，有些题目同学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律．解答：解：∵==0∴向量a与c垂直，故选D．点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题使用两个不共线的向量来表示第三个向量，这样解题时运算有点麻烦，但是我们应该会的．2、（2007•上海）在直角坐标系xOy中，分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，，，则k的可能值有（）A、1个B、2个C、3个D、4个考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
分析：根据给的两个向量写出第三条边所对应的向量，分别检验三个角是直角时根据判断向量垂直的充要条件，若数量积为零，能做出对应的值则是，否则不是．解答：解：∵（1）若A为直角，则；（2）若B为直角，则；（3）若C为直角，则．∴k的可能值个数是2，故选B点评：能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；会解两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题．3、已知△ABC中，，则△ABC的面积为（C）A、2B、C、D、考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角。
专题：计算题。
分析：由=（cos23°，sin23°），=（2cos68°，2sin68°），知和x轴成23°角，和x轴68°角，由此能求出和，再由正弦定理能求出ABC的面积．解答：解：∵=（cos23°，sin23°），=（2cos68°，2sin68°），∴和x轴成23°角，和x轴68°角，，=2，∴△ABC的面积S==．故选C．点评：本题考查平面向量的坐标表示，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意诱导公式、正弦定理的灵活运用．4、已知点A（3，0），B（﹣，1），C（cosa，sina），O（0，0），若||=，a∈（0，π），则与的夹角为（D）A、B、C、D、考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量的模；三角函数的恒等变换及化简求值。
高考数学文一轮：一课双测A+B精练二十七平面向量的数量积与平面向量应用举例2
高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(二十七) 平面向量的数量积与平面向量应用举例1．(·豫东、豫北十校阶段性测试)若向量a ＝(x ＋1,2)和向量b ＝(1，－1)平行，则|a ＋b|＝( )A.10B.102C.2D.222．(·考前适应性训练)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为( )A.13B.135 C.65D.6553．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB ＝(1,1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC ＝2，则n ·BC 等于( )A ．－2B ．2C ．0D ．2或－24．(·湖南高考)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB ·BC ＝1，则BC ＝( ) A.3B.7 C ．22D.235．已知非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|＝233|a|，则a ＋b 与a －b 的夹角θ为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°6．如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝3BD ，|AD |＝1，则AC ·AD ＝( )A ．23B ．33 C.32D.3 7．(·“江南十校”联考)若|a|＝2，|b|＝4，且(a ＋b)⊥a ，则a 与b 的夹角是________．8．(·新课标全国卷)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a|＝1，|2a －b|＝10，则|b|＝________.9．(·大连模拟)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y)，若a ∥b ，(a ＋b)⊥(b －c)，M(x ，y)，N(y ，x)，则向量MN 的模为________．10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c. 11．已知|a|＝4，|b|＝8，a 与b 的夹角是120°. (1)计算：①|a ＋b|，②|4a －2b|； (2)当k 为何值时，(a ＋2b)⊥(ka －b)?12．设在平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α)(0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．1．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b|＝|a －b|，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a|＝|b|D ．a ＋b ＝a －b2．(·山东实验中学四诊)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若AB ＋AC ＝2AO ，且|OA |＝|AC |，则向量BA 在向量BC 方向上的射影为( )A.32B.32 C ．3 D ．－323．已知AB ＝(6,1)，BC ＝(x ，y)，CD ＝(－2，－3)． (1)若BC ∥DA ，求x 与y 之间的关系式；(2)在(1)条件下，若AC ⊥BD ，求x ，y 的值及四边形ABCD 的面积． [答 题 栏]A 级1._________2._________3._________4._________5.__________6._________B 级1.______2.______7.__________8.__________9.__________ 答 案高考数学（文）一轮：一课双测A+B 精练(二十七)A 级1．C2.D3.B4.A5．选B 将|a ＋b|＝|a －b|两边同时平方得a ·b ＝0； 将|a －b|＝233|a|两边同时平方得b2＝13a2，所以cos θ＝a ＋b ·a －b |a ＋b|·|a －b|＝a2－b243a2＝12. 6.选D 建系如图．设B(xB,0)，D(0,1)，C(xC ，yC)，BC ＝(xC －xB ，yC)，BD ＝(－xB,1)，∵BC ＝3BD ，∴xC －xB ＝－3xB ⇒xC ＝(1－3)·xB ，yC ＝3，AC ＝((1－3)xB ，3)，AD ＝(0,1)，AC ·AD ＝ 3.7．解析：设向量a ，b 的夹角为θ.由(a ＋b)⊥a 得(a ＋b)·a ＝0，即|a|2＋a ·b ＝0， ∵|a|＝2，∴a ·b ＝－4，∴|a|·|b|·cos θ＝－4，又|b|＝4，∴cos θ＝－12，即θ＝2π3.∴向量a ，b 的夹角为2π3. 答案：2π38．解析：∵a ，b 的夹角为45°，|a|＝1， ∴a ·b ＝|a|·|b|·cos45°＝22|b|， ∴|2a －b|2＝4－4×22|b|＋|b|2＝10. ∴|b|＝3 2. 答案：329．解析：∵a ∥b ，∴x ＝4.∴b ＝(4，－2)， ∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y)． ∵(a ＋b)⊥(b －c)，∴(a ＋b)·(b －c)＝0，即6－3(－2－y)＝0，解得y ＝－4. ∴向量MN ＝(－8,8)，∴|MN |＝8 2. 答案：8210．解：(1)∵a ·b ＝2n －2，|a|＝5， |b|＝n2＋4， ∴cos45°＝2n －25·n2＋4＝22，∴3n2－16n －12＝0(n>1)．∴n ＝6或n ＝－23(舍)．∴b ＝(－2,6)．(2)由(1)知，a ·b ＝10，|a|2＝5. 又∵c 与b 同向，故可设c ＝λb(λ>0)． ∵(c －a)·a ＝0，∴λb ·a －|a|2＝0.∴λ＝|a|2b ·a ＝510＝12.∴c ＝12b ＝(－1,3)．11．解：由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16. (1)①∵|a ＋b|2＝a2＋2a ·b ＋b2 ＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a ＋b|＝4 3.②∵|4a －2b|2＝16a2－16a ·b ＋4b2 ＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768， ∴|4a －2b|＝16 3. (2)∵(a ＋2b)⊥(ka －b)， ∴(a ＋2b)·(ka －b)＝0， ∴ka2＋(2k －1)a ·b －2b2＝0， 即16k －16(2k －1)－2×64＝0. ∴k ＝－7.即k ＝－7时，a ＋2b 与ka －b 垂直．12．解：(1)证明：因为(a ＋b)·(a －b)＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－14＋34＝0，所以a ＋b 与a －b 垂直．(2)由|3a ＋b|＝|a －3b|，两边平方得3|a|2＋23a ·b ＋|b|2＝|a|2－23a ·b ＋3|b|2， 所以2(|a|2－|b|2)＋43a ·b ＝0. 而|a|＝|b|，所以a ·b ＝0， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×cos α＋32×sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0， 所以α＋60°＝k ·180°＋90°， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z.又0°≤α＜360°，则α＝30°或α＝210°.B 级1．选B 因为|a ＋b|＝|a －b|，所以(a ＋b)2＝(a －b)2，即a ·b ＝0，故a ⊥b. 2．选A 由已知条件可以知道，△ABC 的外接圆的圆心在线段BC 的中点O 处，因此△ABC 是直角三角形，且∠A ＝π2.又|OA |＝|CA |，所以∠C ＝π3，∠B ＝π6，AB ＝3，AC＝1，故BA 在BC 上的射影|BA |cos π6＝32.3．解：(1)∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝(x ＋4，y －2)， ∴DA ＝－AD ＝(－x －4,2－y)． 又∵BC ∥DA 且BC ＝(x ，y)， ∴x(2－y)－y(－x －4)＝0， 即x ＋2y ＝0.①(2)由于AC ＝AB ＋BC ＝(x ＋6，y ＋1)，BD ＝BC ＋CD ＝(x －2，y －3)，又AC ⊥BD ， 所以AC ·BD ＝0，即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.② 联立①②化简，得y2－2y －3＝0. 解得y ＝3或y ＝－1. 故当y ＝3时，x ＝－6，此时AC ＝(0,4)，BD ＝(－8,0)， 所以SABCD ＝12|AC |·|BD |＝16；当y ＝－1时，x ＝2，此时AC＝(8,0)，BD＝(0，－4)，∴SABCD＝1|AC|·|BD|＝16.2高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i2．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）3．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）4．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根5．（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y36．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2 D．47．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．188．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）9．（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．210．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为．12．（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．13．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．14．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为．15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f （x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h （x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f （x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f （x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．17．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．18．（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．19．（12分）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．20．（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．21．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2] B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．3．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即log2x＞1或log2x＜﹣1，解得x＞2或0＜x＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．5．（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞siny D．x3＞y3【分析】实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），可得x＞y，对于A．B．C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增，即可判断出正误．【解答】解：∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y，A．取x=2，y=﹣1，不成立；B．\取x=0，y=﹣1，不成立C．取x=π，y=﹣π，不成立；D．由于y=x3在R上单调递增，因此正确故选：D．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．6．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2 D．4【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．7．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6 B．8 C．12 D．18【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．故选：C．【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：KOA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．9．（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5 B．4 C．D．2【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．【解答】解：由约束条件作可行域如图，联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，直线在y轴上的截距最小，z最小．∴2a+b=2．即2a+b﹣2=0．则a2+b2的最小值为．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．10．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±2y=0 D．2x±y=0【分析】求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为﹣=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴，∴=，=，C2的渐近线方程为：y=，即x±y=0．故选：A．【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3．【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．【解答】解：循环前输入的x的值为1，第1次循环，x2﹣4x+3=0≤0，满足判断框条件，x=2，n=1，x2﹣4x+3=﹣1≤0，满足判断框条件，x=3，n=2，x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件，x=4，n=3，x2﹣4x+3=3＞0，不满足判断框条件，输出n：3．故答案为：3．【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．12．（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得AB•AC=，再根据△ABC的面积为AB•AC•sinA，计算求得结果．【解答】解：△ABC中，∵•=AB•AC•cosA=tanA，∴当A=时，有AB•AC•=，解得AB•AC=，△ABC的面积为AB•AC•sinA=××=，故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式，属于基础题．13．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．【分析】画出图形，通过底面面积的比求解棱锥的体积的比．【解答】解：如图，三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，∴A到底面PBC的距离不变，底面BDE底面积是PBC面积的=，∴==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积，着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系，属于基础题．14．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为2．【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为3，求出ab关系式，然后利用基本不等式求解表达式的最小值．【解答】解：（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，所以Tr+1==，令12﹣3r=3，∴r=3，，∴ab=1，a2+b2≥2ab=2，当且仅当a=b=1时取等号．a2+b2的最小值为：2．故答案为：2．【点评】本题考查二项式定理的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f （x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h （x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f （x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+∞）．【分析】根据对称函数的定义，将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系，即可得到结论．【解答】解：根据“对称函数”的定义可知，，即h（x）=6x+2b﹣，若h（x）＞g（x）恒成立，则等价为6x+2b﹣＞，即3x+b＞恒成立，设y1=3x+b，y2=，作出两个函数对应的图象如图，当直线和上半圆相切时，圆心到直线的距离d=，即|b|=2，∴b=2或﹣2，（舍去），即要使h（x）＞g（x）恒成立，则b＞2，即实数b的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）【点评】本题主要考查对称函数的定义的理解，以及不等式恒成立的证明，利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f （x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），解方程组求得m、n的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=2sin（2x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）=2sin（2x+2φ+）的图象，再由函数g（x）的一个最高点在y轴上，求得φ=，可得g（x）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得x的范围，可得g（x）的增区间．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）=•=msin2x+ncos2x，再由y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2），可得．解得 m=，n=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）=sin2x+cos2x=2（sin2x+cos2x）=2sin（2x+）．将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后，得到函数g（x）=2sin[2（x+φ）+]=2sin（2x+2φ+）的图象，显然函数g（x）最高点的纵坐标为2．y=g（x）图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，故函数g（x）的一个最高点在y轴上，∴2φ+=2kπ+，k∈Z，结合0＜φ＜π，可得φ=，故g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ，故y=g（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ]，k∈Z．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．17．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．【分析】（Ⅰ）连接AD1，易证AMC1D1为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系，易求C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），=（1，1，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），可求得=（0，2，1），而平面ABCD的法向量=（1，0，0），从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接AD1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，∴CD C1D1，又M为AB的中点，∴AM=1．∴CD∥AM，CD=AM，∴AM C1D1，∴AMC1D1为平行四边形，∴AD1∥MC1，又MC1⊄平面A1ADD1，AD1⊂平面A1ADD1，∴C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）解法一：∵AB∥A1B1，A1B1∥C1D1，∴面D1C1M与ABC1D1共面，作CN⊥AB，连接D1N，则∠D1NC即为所求二面角，在ABCD中，DC=1，AB=2，∠DAB=60°，∴CN=，在Rt△D1CN中，CD1=，CN=，∴D1N=∴cos∠D1NC===解法二：作CP⊥AB于P，以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，CD1为z轴建立空间坐标系则C1（﹣1，0，），D1，（0，0，），M（，，0），∴=（1，0，0），=（，，﹣），设平面C1D1M的法向量=（x1，y1，z1），则，∴=（0，2，1）．显然平面ABCD的法向量=（0，0，1），cos＜，＞|===，显然二面角为锐角，∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为．【点评】本题考查用空间向量求平面间的夹角，主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，空间向量的坐标运算，推理论证能力和运算求解能力．18．（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．【分析】（Ⅰ）分别求出回球前落点在A上和B上时，回球落点在乙上的概率，进而根据分类分布原理，可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的取值有0，1，2，3，4，6六种情况，求出随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式可得其数学期望Eξ．【解答】解：（Ⅰ）小明回球前落点在A上，回球落点在乙上的概率为+=，回球前落点在B上，回球落点在乙上的概率为+=，故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=×（1﹣）+（1﹣）×=+=．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，6其中P（ξ=0）=（1﹣）×（1﹣）=；P（ξ=1）=×（1﹣）+（1﹣）×=；P（ξ=2）=×=；P（ξ=3）=×（1﹣）+（1﹣）×=；P（ξ=4）=×+×=；P（ξ=6）=×=；故ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3 4 6 P故ξ的数学期望为E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×+6×=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．19．（12分）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，∴Sn==n2﹣n+na1，∵S1，S2，S4成等比数列，∴，∴，化为，解得a1=1．∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得bn=（﹣1）n﹣1==．∴Tn=﹣++…+．当n为偶数时，Tn=﹣++…+﹣=1﹣=．当n为奇数时，Tn=﹣++…﹣+=1+=．∴Tn=．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题．20．（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的正负性，求出函数的单调区间；（Ⅱ）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，等价于它的导函数f′（x）在（0，2）内有两个不同的零点．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣k（﹣）=（x＞0），当k≤0时，kx≤0，∴ex﹣kx＞0，令f′（x）=0，则x=2，∴当0＜x＜2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0时，函数f（x）在（0，2）内单调递减，故f（x）在（0，2）内不存在极值点；当k＞0时，设函数g（x）=ex﹣kx，x∈（0，+∞）．∵g′（x）=ex﹣k=ex﹣elnk，当0＜k≤1时，当x∈（0，2）时，g′（x）=ex﹣k＞0，y=g（x）单调递增，故f（x）在（0，2）内不存在两个极值点；当k＞1时，得x∈（0，lnk）时，g′（x）＜0，函数y=g（x）单调递减，x∈（lnk，+∞）时，g′（x）＞0，函数y=g（x）单调递增，∴函数y=g（x）的最小值为g（lnk）=k（1﹣lnk）函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当解得：e综上所述，函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点时，k的取值范围为（e，）【点评】本题考查了导数在求函数的单调区间，和极值，运用了等价转化思想．是一道导数的综合应用题．属于中档题．21．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值；（2）（ⅰ）设出点A的坐标，求出直线AB的方程，利用直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，求出点E的坐标，写出直线AE的方程，将方程化为点斜式，可求出定点；（ⅱ）利用弦长公式求出弦AB的长度，再求点E到直线AB的距离，得到关于面积的函数关系式，再利用基本不等式求最小值．【解答】解：（1）当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，A（3，），F（，0），，∴．∵△ADF为正三角形，∴．又∵，∴，∴p=2．∴C的方程为y2=4x．当D在焦点F的左侧时，．又|FD|=2|FG|=2（﹣3）=p﹣6，∵△ADF为正三角形，∴3+=p﹣6，解得p=18，∴C的方程为y2=36x．此时点D在x轴负半轴，不成立，舍．∴C的方程为y2=4x．（2）（ⅰ）设A（x1，y1），|FD|=|AF|=x1+1，∴D（x1+2，0），∴kAD=﹣．由直线l1∥l可设直线l1方程为，联立方程，消去x得①由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0，∴y1m=﹣2，这时方程①的解为，代入得x=m2，∴E（m2，2m）．点A的坐标可化为，直线AE方程为y﹣2m=（x﹣m2），即，∴，∴，∴，∴直线AE过定点（1，0）；（ⅱ）直线AB的方程为，即．联立方程，消去x得，∴，∴=，由（ⅰ）点E的坐标为，点E到直线AB的距离为：=，∴△ABE的面积=，当且仅当y1=±2时等号成立，∴△ABE的面积最小值为16．【点评】本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，切线方程的求法，定点问题与最值问题．高考数学试卷解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B =▲．【答案】{}1,2,4,6。
高考数学《平面向量的数量积》一轮复习练习题(含答案)
高考数学《平面向量的数量积》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知向量()()1,1,2,1a b ==-，则a 在b 上的投影向量为（ ） A ．42(,)55-B ．21(,)55-C ．42(,)55-D ．21(,)55-2．已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3．已知向量()1,2a =，()2,2b =，则向量a 在向量b 上的投影向量为（ ） A ．33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．33,44⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()2,2D ．22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭4．设e →为单位向量，||2a →=，当a e →→，的夹角为3π时，a →在e →上的投影向量为（ ） A ．－12e →B ．e →C ．12e →D ．32e →5．已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）A 16165+B 1685+ C ．165D ．5656．在ABC 中，已知5AB =，3BC =，4CA =，则AB BC ⋅=（ ） A ．16B ．9C ．－9D ．－167．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP 的取值范围是（ ）A ．[]22-,B ．22,22⎡⎤⎣⎦-C ．32,32⎡⎤-⎣⎦D ．[]4,4-8．如图，AB 为半圆的直径，点C 为AB 的中点，点M 为线段AB 上的一点（含端点A ，B ），若2AB =，则AC MB +的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．2,3⎡⎤⎣⎦C ．10⎡⎣D ．2,10⎡⎣9．已知圆M ：()()22114x y -+-=．设P 是直线l ：3480x y ++=上的动点，PA 是圆M 的切线，A 为切点，则PA PM ⋅的最小值为（ ） A 3B 5C ．3D ．510．在三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面,,ABC AB BC DA AB BC ⊥==；记直线DB 与直线AC 所成的角为α，直线DC 与平面ABD 所成的角为β，二面角D BC A --的平面角为γ，则（ ） A ．βγα<< B ．γβα<< C ．βαγ<<D ．αγβ<<11．已知2OA OB ==，点C 在线段AB 上，且OC 的最小值为3OA tOB +（t ∈R ）的最小值为（ ） A 2B 3C ．2D 512．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BD ，△BCD 为边长为23形，点P 为边BD 上一动点，则AP CP ⋅的取值范围为（ ）A ．[]6,0-B ．25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．27,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]7,0-二、填空题13．已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥，则m =______________．14．已知在ABC 中，90C ∠=︒，4CA =，3CB =，D 为BC 的中点，2AE EB =，CE 交AD 于F ，则CE AD ⋅=_______15．已知向量0a b c ++=，1a =，2b c ==，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______． 16．已知,a b 是两个单位向量，2c a b =+，且b c ⊥，则()a ab ⋅+=__________． 三、解答题(17．已知()1,2a =，()2,3b =-，c a b λ=+． (1)当1λ=-时，求a c ⋅的值； (2)若()a b c +⊥，求实数λ的值．18．在①()cos2cos A B C =+，②sin 3cos a C c A =这两个条件中任选一个作为已知条件，然后解答问题．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，______． (1)求角A ；(2)若2b =，4c =，求ABC 的BC 边上的中线AD 的长．19．已知()1,2,2a m m =-，()3,21,1b n =-． (1)若a b ∥，求m 与n 的值； (2)若()3,,3c m =-且a c ⊥，求a ．20．已知2,1a b ==，(3)()3a b a b -⋅+= (1)求a b +的值； (2)求a 与2a b -的夹角.21．已知()1,2a =，(1,1)b =-． (1)若2a b +与ka b -垂直，求k 的值； (2)若θ为2a b +与a b -的夹角，求θ的值．22．已知ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若2a =，且满足2c s 2o c aB b-=． (1)求角A ；(2)求BA BC ⋅的取值范围．23．已知向量()()32,,1，=-=a b x . (1)若()()22a b a b +⊥-，求实数x 的值；(2)若()()8,1,//=--+c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.24．在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点.(1)若12DE DC =，求AC EF ⋅的值； (2)求EA EF ⋅的取值范围。
2024届新高考一轮复习北师大版 第5章 第3节 平面向量的数量积及平面向量应用举例 课件(64张)
B．－1
C．－6
D．－18
D
由题意知 cos
〈a，b〉＝sin
17π 3
＝sin
6π－π3
＝－sin
π 3
＝
－
3 2
，所以 a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝1×2
3
×－
3
2
＝－3，b·(2a－b)
＝2a·b－b2＝－18.故选 D.
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3．在 Rt△ABC 中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，则向量B→A 在向量
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[常用结论] 1．平面向量数量积运算的常用公式 ①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2； ③a2＋b2＝0⇒a＝b＝0. 2．有关向量夹角的两个结论 ①两个向量 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a·b>0，反之不成立(因为夹角 为 0 时不成立).
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规定 零向量与任一向量的数量积为 0
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(2)当 0°≤〈a，b〉<90°时，a·b>0；当〈a，b〉＝90°时，a·b＝0； 当 90°＜〈a，b〉≤180°时，a·b<0；当〈a，b〉＝0°时，a·b＝|a||b|；当 〈a，b〉＝180°时，a·b＝－|a||b|.
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(3)投影向量
大一轮复习讲义 数学（BSD）
第五章 平面向量、复数 第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平 面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平 面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判 断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某其他一些实际问题．
高三数学一轮复习课时作业 27平面向量的数量积B 文 B 试题
课时作业(二十七)B [第27讲 平面向量的数量积]制卷人：打自企； 成别使； 而都那。
审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……日期：2022年二月八日。
[时间是：35分钟 分值：80分]根底热身1．向量a ，b 满足a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，那么|2a －b |＝( )A ．0B ．2 2C ．4D ．82．a ＝(1,0)，b ＝(x,1)，假设a ·b ＝3，那么x 的值是( ) A. 2 B ．2 2 C.3－1 D. 33．[2021·质检] |a |＝2，b 是单位向量，且a 与b 夹角为60°，那么a ·(a －b )等于( )A ．1B ．2－ 3C ．3D ．4－ 34．[2021·卷] 向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，那么a 与b 的夹角为__________________________________________________________．才能提升5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，那么AB →·AC →等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．166．a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin2x )，其中x ∈(0，π)．假设|a ·b |＝|a ||b |，那么tan x 的值等于( )A ．1B ．－1 C. 3 D.227．假设两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，那么向量a ＋b 与a －b 的夹角是( ) A.π6 B.π3C.2π3D.5π68．假设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|b |，那么( )A ．|2a |>|2a ＋b |B ．|2a |<|2a ＋b |C ．|2b |>|a ＋2b |D ．|2b |<|a ＋2b |9．[2021·卷] |a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，那么a 与b 的夹角为________．10．[2021·卷] 在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，那么AD →·BE →＝________.11．[2021·二模] 在△ABC 中，AB →|AB →|＋AC →|AC →|⊥BC →，且AB →·AC →＝12|AB →|·|AC →|，那么△ABC 的形状是________．12．(13分)直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，求|PA→＋3PB →|的最小值．难点打破13．(12分)如图K27－2，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，AB ＝3，P 是BC 上的一个动点，当PD →·PA →取最小值时，求tan ∠DPA 的值．课时作业(二十七)B【根底热身】1．B [解析] ∵|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8，∴|2a －b |＝2 2.2．D [解析] 依题意得a ·b ＝x ＝ 3.3．C [解析] a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝4－2×1×cos60°＝3.4.π3[解析] 设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12.因为0≤θ≤π，故θ＝π3. 【才能提升】5．D [解析] 因为∠C ＝90°，所以AC →·CB →＝0，所以AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝|AC →|2＋AC →·CB →＝AC2＝16.6．A [解析] 由|a ·b |＝|a ||b |知a ∥b .所以sin2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)，所以sin x ＝cos x ，即x ＝π4，故tan x ＝1.应选A. 7．C [解析] 依题意，由|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |得a ⊥b ，b 2＝3a 2，cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝a 2－b 2|a ＋b ||a －b |＝－12，所以向量a ＋b 与a －b 的夹角是2π3. 8．C [解析] 因为|a ＋b|＝|b|，所以a ·(a ＋2b )＝0，即a ⊥(a ＋2b )，因此|a |、|a ＋2b |、|2b |构成直角三角形的三边，|2b |为斜边，所以|2b |>|a ＋2b |.9.π3[解析] 设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋2b )·(a －b )＝－2得|a |2＋a ·b －2|b |2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，解得cos θ＝12，∴θ＝π3. 10．－14[解析] 由题知，D 为BC 中点，E 为CE 三等分点，以BC 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，D (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，36，故AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－32，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫56，36，所以AD →·BE →＝－32×36＝－14. 11．等边三角形 [解析] 非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，即∠BAC 的平分线垂直于BC ，∴AB ＝AC ，又cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，∠A ＝π3，所以△ABC 为等边三角形．12．[解答] 建立如下图的坐标系，设DC ＝h ，那么A (2,0)，B (1，h )．设P (0，y )(0≤y ≤h )，那么PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，h －y )，∴|PA →＋3PB →|＝25＋3h －4y2≥25＝5.【难点打破】13．[解答] 如图，以A 为原点，AB →为x 轴，AD →为y 轴建立平面直角坐标系xAy ，那么A (0,0)，B (3,0)，C (3,2)，D (0,1)，设∠CPD ＝α，∠BPA ＝β，P (3，y )(0≤y ≤2)．∴PD →＝(－3,1－y )，PA →＝(－3，－y )，∴PD →·PA →＝y 2－y ＋9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＋354， ∴当y ＝12时，PD →·PA →取最小值，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12. 易知|DP →|＝|AP →|，α＝β.在△ABP 中，tan β＝312＝6， 所以tan ∠DPA ＝－tan(α＋β)＝2tan βtan 2β－1＝1235.制卷人：打自企；成别使；而都那。
高考数学一轮复习课时作业28平面向量的数量积课件理高三全册数学课件
2021/12/9
第二十四页，共三十四页。
∴|O→C|≥ 23，∴|m|的取值范围为 23，＋∞.
2021/12/9
第二十五页，共三十四页。
尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用
15．(2019·洛阳市第一次联考)已知点 O 是锐角三角形 ABC 的外心，若O→C＝mO→A＋nO→B(m，n∈R)，则( C )
所以 4－2|b|×12＝2，解得|b|＝2.
2021/12/9
第二页，共三十四页。
2．已知点 A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量C→D
在B→A方向上的投影是( A )
A．－3 5
B．－3 22
C．3 5
32 D. 2
2021/12/9
第三页，共三十四页。
解析：依题意得，B→A＝(－2，－1)，C→D＝(5,5)， B→A·C→D＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|B→A|＝ 5， 因此向量C→D在B→A方向上的投影是 B→|AB→·AC→|D＝－155＝－3 5.
A．m＋n≤－2 B．－2≤m＋n<－1 C．m＋n<－1 D．－1<m＋n<0
2021/12/9
第二十六页，共三十四页。
解析：因为点 O 是锐角三角形 ABC 的外心，所以 O 在三
角形内部，则 m<0，n<0，不妨设锐角三角形 ABC 的外接圆的
半径为 1，因为O→C＝mO→A＋nO→B，所以O→C2＝m2O→A2＋n2O→B2＋
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第十页，共三十四页。
二、填空题 7．(2019·张掖一诊)已知平面向量 a，b 满足|a|＝|b|＝1，a⊥ (a－2b)，则|a＋b|＝ 3 .
平面向量的数量积 (一) 人教B版 高一 中学
问题1: 问题1: 我们研究了向量的哪些运算？ 我们研究了向量的哪些运算？ 这些运算的结果是什么？ 这些运算的结果是什么？
平面向量的数量积
物理背景 问题2: 一物体在力F的作用下产生位移s 问题2: 一物体在力F的作用下产生位移s，
力F与位移s的夹角为θ，力F所做 与位移s的夹角为θ 的功W是多少？ 的功W是多少？ F
r r uuu r uuu r r r r a OB 已知两个非零向量 a 和 b ，作 OA = a ， = b ， r r r r AOB叫做向量 的夹角，记作< 则∠AOB叫做向量 a 与 b 的夹角，记作 a ,b>.
r r 并规定 < a ,b
>
（1）向量的夹角 ）
B
∈[0,π ]
O
r b
r r 0 a ⋅b = __
r r (a,b是 零 量?） 非 向
r r r 即： |= a ⋅ a |a
r r a⋅b r r ( 4 ) cos < a , b >= r r r r | a || b | (a, b是非零向量）
r r 1 思考：) < a , b >= __________ ∈ _________ r r r r 2 ) cos < a , b > > 0 , 则 < a , b >∈ _________ r r r r 3 ) cos < a , b > < 0 , 则 < a , b >∈ _________
r r r r ≤ (5) | a ⋅ b | __ | a || b |
练习三
（1）在四边形 ）在四边形ABCD中，AB · BC=0，且AB=DC 中 ， 则四边形ABCD是（ C ） 是 则四边形 A 梯形 B 菱形 C 矩形 D 正方形
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课时作业(二十七)B [第27讲 平面向量的数量积]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．已知向量a ，b 满足a ⊥b ，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( ) A ．0 B ．2 2 C ．4 D ．8 2．已知a ＝(1,0)，b ＝(x,1)，若a ·b ＝3，则x 的值为( ) A. 2 B ．2 2 C.3－1 D. 3
3． 已知|a |＝2，b 是单位向量，且a 与b 夹角为60°，则a ·(a －b )等于( ) A ．1 B ．2－ 3 C ．3 D ．4－ 3
4． 已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为__________________________________________________________．
能力提升
5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →
等于( )
A ．－16
B ．－8
C ．8
D ．16
6．已知a ＝(1，sin 2
x )，b ＝(2，sin2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )
A ．1
B ．－1 C. 3 D.2
2
7．若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )
A.π6
B.π3
C.2π3
D.5π6 8．若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|b |，则( ) A ．|2a |>|2a ＋b | B ．|2a |<|2a ＋b | C ．|2b |>|a ＋2b | D ．|2b |<|a ＋2b |
9． 已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．
10．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →
＝________.
11． 在△ABC 中，已知AB →|AB →|＋AC →|AC →|
⊥BC →，且AB →·AC →＝12|AB →|·|AC →
|，则△ABC 的形状是
________．
12．(13分)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC
上的动点，求|PA →＋3PB →
|的最小值．
难点突破
13．(12分)如图K27－2，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝2，AB ＝3，P
是BC 上的一个动点，当PD →·PA →
取最小值时，求tan ∠DPA 的值．
课时作业(二十七)B
【基础热身】
1．B [解析] ∵|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2
＝8， ∴|2a －b |＝2 2.
2．D [解析] 依题意得a ·b ＝x ＝ 3.
3．C [解析] a ·(a －b )＝a 2
－a ·b ＝4－2×1×cos60°＝3. 4.π3
[解析] 设a 与b 的夹角为θ，依题意有(a ＋2b )·(a －b )＝a 2＋a ·b －2b 2＝－7＋2cos θ＝－6，所以cos θ＝12.因为0≤θ≤π，故θ＝π
3
.
【能力提升】
5．D [解析] 因为∠C ＝90°，所以AC →·CB →＝0，所以AB →·AC →＝(AC →＋CB →)·AC →＝|AC →|2
＋AC →·CB →＝AC 2
＝16.
6．A [解析] 由|a ·b |＝|a ||b |知a ∥b .所以sin2x ＝2sin 2x ，即2sin x cos x ＝2sin 2
x ，
而x ∈(0，π)，所以sin x ＝cos x ，即x ＝π
4
，故tan x ＝1.故选A.
7．C [解析] 依题意，由|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |得a ⊥b ，b 2＝3a 2
，cos 〈a ＋b ，a －b 〉＝a 2－b 2|a ＋b ||a －b |＝－12，所以向量a ＋b 与a －b 的夹角是2π3
. 8．C [解析] 因为|a ＋b|＝|b|，所以a ·(a ＋2b )＝0，即a ⊥(a ＋2b )，因此|a |、|a ＋2b |、|2b |构成直角三角形的三边，|2b |为斜边，所以|2b |>|a ＋2b |.
9.π3
[解析] 设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋2b )·(a －b )＝－2得|a |2＋a ·b －2|b |2＝4＋2×2×cos θ－2×4＝－2，
解得cos θ＝12，∴θ＝π
3.
10．－1
4
[解析] 由题知，D 为BC 中点，E 为CE 三等分点，以BC 所在的直线为x 轴，
以AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，可得A ⎝
⎛⎭⎪⎫0，32，D (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，
E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3，
36，故AD →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，－32，BE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫56，36， 所以AD →·BE →
＝－32×36＝－14
.
11．等边三角形 [解析] 非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫AB →|AB →
|＋AC →|AC →|·BC →＝0，即∠BAC 的平分
线垂直于BC ，∴AB ＝AC ，又cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|
＝12，∠A ＝π
3，所以△ABC 为等边三角形．
12．[解答] 建立如图所示的坐标系，设＝，则(2,0)，B (1，h )．设P (0，y )(0≤y ≤h )， 则PA →＝(2，－y )，PB →＝(1，h －y )，∴|PA →＋3PB →|＝25＋ 3h －4y 2
≥25＝5. 【难点突破】
13．[解答] 如图，以A 为原点，AB →为x 轴，AD →
为y 轴建立平面直角坐标系xAy ，则A (0,0)，B (3,0)，C (3,2)，D (0,1)，设∠CPD ＝α，∠BPA ＝β，P (3，y )(0≤y ≤2)．
∴PD →＝(－3,1－y )，PA →
＝(－3，－y )， ∴PD →·PA →＝y 2－y ＋9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＋354
，
∴当y ＝12时，PD →·PA →取最小值，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12. 易知|DP →|＝|AP →
|，α＝β.
在△ABP 中，tan β＝3
12
＝6，
所以tan ∠DPA ＝－tan(α＋β)＝2tan βtan 2
β－1＝12
35.。