福建省莆田市高二数学下学期二项式定理概率的加法公式事件的独立性校本作业理
6.3 二项式定理(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
n 1
n
C
k n)
k nk k
C
b
k 1
na
(2)各项的统一表达式为____________,这是展开式的第_____项.
a降幂(n→0),b升幂(0→n)
(3)a的幂、b的幂的变化规律：_________________________
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
[( x 1) 1]5 1 x 5 1
新知：二项式系数的性质
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C
2
n 1
n
ab
n 1
C b
n
n
n
(1)令a b 1, 得(a b) n 的二项式系数之和为2n ,
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
二项式定理：即(a+b)n的展开式
n 1
( a b) C a C a b C a
n
0
n
n
1
n
2
n
n2
b C b
2
n
n
n
k
(1)展开式共_____项，各项次数是___，各项系数是____.
1 8
[例3]已知( x 3 ) ,
x
(1)求展开式的第3项;
(2)其展开式的第4项的系数为_____,第4项的二项式系数为___;
高二数学基础知识点全总结
高二数学基础知识点全总结一、代数部分1. 一元二次方程一元二次方程是指形式为ax^2+bx+c=0的方程，其中a不等于0。
一元二次方程的求解方法有因式分解、配方法、公式法等，学生需要掌握这些方法，并且能够根据具体情况选择合适的方法来求解方程。
2. 多项式多项式是由一个或多个项相加或相减而成的代数表达式，其中每一项的指数都是非负整数。
多项式的加减乘除、因式分解、余式定理与因式定理都是需要掌握的基本知识点。
3. 不等式不等式是指带有不等关系的代数式，包括一元一次不等式、一元二次不等式以及多元不等式等。
解不等式需要利用代数运算法则，同时要注意代数表达式中不等关系的性质，并灵活应用这些性质来解决不等式问题。
4. 幂指数函数学生在高二阶段需要学习幂函数和指数函数的概念、性质及图像，同时要了解幂函数和指数函数的运算性质，包括指数函数的乘法和除法、指数律等。
5. 对数函数对数函数是指以某个正数作为底数，利用幂的运算法则引进的。
学生需要对对数函数的定义、性质，对数函数的图像以及对数函数的运算法则有一定的了解。
6. 绝对值绝对值的概念是非常重要的，学生需要了解绝对值的概念及性质，包括绝对值不等式、绝对值函数的图像等内容。
7. 排列组合与二项式定理排列组合是高中数学中的基础概念，学生需要了解排列组合的概念、性质以及运用。
而二项式定理则是指(a+b)^n的展开式，学生需要掌握二项式定理的应用，包括二项式系数、二项式展开式等。
8. 函数概念在高二数学中，学生需要掌握函数基本概念、函数的性质、函数的图像与性质等内容，同时要能够应用函数的知识解决实际问题。
二、几何部分1. 平面向量学生需要掌握平面向量的概念、平面向量的运算法则、平面向量的数量积与夹角的性质等。
2. 直线与圆直线与圆是高二数学中的重要几何概念，学生需要了解直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、直线与圆的切线与法线等内容。
3. 三角形学生需要掌握三角形的基本概念、三角形的性质、三角形的相似性与全等性、三角形的内心、外心、垂心、重心等特殊点的性质，以及利用这些性质解决相关问题。
2022-2023学年高二下数学：二项式定理(附答案解析)
2022-2023学年高二下数学：二项式定理
一．选择题（共8小题）
1．（2021秋•通州区期中）在（x﹣2）5的展开式中，x4的系数为（）
A．﹣5B．5C．﹣10D．10 2．（2021•四川模拟）若（+）5的展开式中x的系数为15，则a＝（）
A．2B．3C．4D．5 3．（2021秋•建邺区校级期中）已知（1﹣2x）n的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含x2的系数为（）
A．﹣312B．312C．﹣220D．220 4．（2021秋•常州期中）已知（1﹣2x）2021＝a0+a1x+…+a2021x2021，
则
＝（）
A．﹣2B．﹣1C．0D．2
5．（2021秋•莎车县期中）已知（x3+a ）的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（）
A．80B．160C．240D．320 6．（2021
春•湖北期中）二项式（）n的展开式中有且仅有第3项的二项式系数
最大，则展开式中所有项的系数和为（）
A．729B．243C．81D．27 7．（2021春•河南期中）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x3的系数为15，则a的值为（）A ．B ．C ．D．1
8．（2021春•红桥区校级期中）若展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n＝（）
A．11B．10C．9D．8
二．填空题（共4小题）
9．（2021秋•普陀区校级期中）在的展开式中，二项式系数之和为256，则展开
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【高中数学】二项式定理课件 2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第3册
(2)逆用：将展开式合并成二项式( + ) 的形式，即二项式定理从右到左使用是合
并.对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数
的规律以及各项系数的规律.
变1.(1)若() = ( − 1)4 +4( − 1)3 +6( − 1)2 +4( − 1) + 4，则
16 2
解：[法二]( − 2 )4 = ( 2
1 Cmn Cnn m
组合数性质2：Cmn 1 Cnm Cnm 1
(a b) 2 (a b)(a b) aa ba ab bb a 2 2ab b 2
(a b)3 (a b)(a b)( a b)
(aa ab ba bb)(a b)
aaa aba baa bba aab abb bab bbb
a 3 3a 2b 3ab 2 b3
(a b) 2 (a b)( a b) aa ab ba bb a 2 2ab b 2
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
典例分析
6
1
例1 求 x + 的展开式．
x
6
解： x 1 x x -1 6
x
C 60 x 6 C 61 x 61 x -1 C 62 x 6 2 x -2 C 63 x 6 3 x -3 C 64 x 6 4 x -4 C 65 x 6 5 x -5 C 66 x -6
二项式定理：
概率的加法公式与事件的独立性
A1 + A2 + L + An
n
∑A 或
n
i
U Ai
n =1
例如，掷两枚匀称的硬币，设A=“正好一 个正面朝上”，B=“两个都是正面朝上”， C=“至少一个正面朝上”，则 C=A+B 又如，向一目标连续射击30次，设 30 Ai=“第i次击中目标” A=“至少有一次击中目标” 则
例如，掷两枚匀称的硬币，A=“两枚都是 正面朝上”，B=“两枚都是反面朝上”， 则A与B互不相容。再设C=“恰好一个正 面朝上”，则A，B，C互不相容。
事件的互不相容性相当于集合的互不相 交性。
概率的可加性： 若事件A与B互不相容，则 P(A+B)=P(A)+P(B)
直观上，概率的可加性可由概率的统计 定义推得。
例7 从10件产品（7件正品，3件次品）中 每次取一件，有放回地取两次。设B=“第一 次取到正品”，A=“第二次取到正品”。问： P(A|B)=P(A)成立吗？
当P(A|B)=P(A)时，表明事件B的发生并不 影响事件A发生的概率。 而当P(B|A)=P(B)成立时，表明事件A的发 生并不影响事件B发生的概率。 这就是事件A与B的所谓独立性。
古典概型中的条件概率计算公式：
在B发生的前提下 A包含的基本事件数 P( A | B) = 在B发生的前提下基本事件 总数
AB包含的基本事件数 = B包含的基本事件数
例4 盒中装有16个球，其中6个玻璃球， 另外10个是木质球。而玻璃球中有2个是红 色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红 色的，7个是蓝色的。现从中任取一个。已 知取到的是蓝色球，求取到的是玻璃球的 概率。
由条件概率计算公式不难知， P(A|B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(AB)=P(A)P(B) 这三个等式是相互等价的。 于是我们引入 定义 如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称 事件A与B相互独立（简称独立）。
高二文科数学下学期知识点
高二文科数学下学期知识点高二文科数学下学期的知识点主要包括以下几个方面：概率与统计、三角函数与向量、导数与微积分、平面向量与曲线及椭圆、双曲线与抛物线、数列、排列与组合。
下面将逐一介绍这些知识点。
一、概率与统计概率与统计是数学中的一个重要分支，它主要研究随机事件的发生规律及其数值特征。
在高二文科数学下学期里，我们将学习以下几个内容：1. 随机事件概率的计算方法：包括频率定义、古典概型、几何概型等。
2. 条件概率与独立性：介绍条件概率的概念和计算方法，同时学习独立事件的性质与计算。
3. 随机变量与概率分布：引入随机变量的概念，学习离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布。
4. 数理统计：介绍样本及其抽样方法，学习样本均值、样本方差等统计量的计算以及统计推断的概念。
二、三角函数与向量三角函数与向量是高中数学的重要内容之一，在高二下学期的文科数学中将重点学习以下几个知识点：1. 三角函数的性质与图像：学习正弦函数、余弦函数和正切函数的定义、性质及其图像特征。
2. 三角函数的基本关系式：学习正弦函数、余弦函数和正切函数之间的基本关系式，如诱导公式、和差化积等。
3. 平面向量的基本概念：引入平面向量的概念和表示方法，学习向量的加法、减法、数量积和向量积等运算。
4. 向量的数量积与几何应用：学习向量的数量积的定义、性质及其在几何问题中的应用，如向量的夹角、向量垂直平分等。
三、导数与微积分导数与微积分是高中数学中一门重要的数学工具，它们广泛应用于其他学科中。
在高二下学期的文科数学中，我们将学习以下内容：1. 函数与极限：学习函数的概念、函数的极限概念及其计算方法，了解函数的连续性。
2. 导数与导数的计算：介绍导数的概念和计算方法，学习常见函数的导数，如幂函数、指数函数、对数函数等。
3. 导数的应用：学习导数在函数图像的绘制、函数的最值问题、函数的单调性及极值等问题中的应用。
四、平面向量与曲线在高二下学期的文科数学中，我们将进一步学习关于平面向量与曲线的知识：1. 平面向量的叉积与混合积：学习向量的叉积和混合积的定义、性质及其在几何问题中的应用。
数学高二选择性必修知识点总结
数学高二选择性必修知识点总结在高中数学高二阶段的学习中，有一部分知识点是选修的，这些知识点对于学生进一步拓宽数学知识面，提高解题能力具有重要作用。
下面将对高二数学的选择性必修知识点进行总结。
一、复数及复数函数1. 复数的概念和复数的表示方法2. 复数的四则运算：加法、减法、乘法、除法3. 复数共轭、模、幅角的概念及性质4. 复数的指数形式和三角形式5. 复数方程的解法与应用6. 复数函数的概念及性质：复平面上的函数、复函数的运算规则7. 欧拉公式及其应用二、数列与数学归纳法1. 等差数列与等差数列的通项公式2. 等比数列与等比数列的通项公式3. 常数项数列与斐波那契数列4. 数学归纳法的概念及基本使用三、排列组合与二项式定理1. 排列与组合的概念及计算方法2. 二项式展开与二项式系数的性质3. 多项式定理及其应用四、三角函数与平面向量1. 任意角、弧度制及与之相关的基本概念2. 正弦、余弦、正切、余切、割、反正弦、反余弦、反正切、反余切的定义与性质3. 三角函数的图像与性质4. 平面向量的概念与表示方法5. 平面向量的加法、减法及数量积与向量垂直、平行的关系6. 平面向量的应用：向量共线、向量模等问题的应用五、数学问题的建模与解题方法1. 建模过程及问题求解的基本步骤2. 制表法、折线图、函数图像法等建模方法的应用3. 解决实际问题时的数学模型的建立与求解技巧六、概率论与统计1. 随机事件与样本空间2. 频率与概率的定义与性质3. 集合的运算与概率的运算4. 条件概率与事件的独立性5. 排列与组合的概率计算6. 随机变量与概率分布7. 统计数据的收集、整理与分析8. 统计图表的应用以上是高二数学选择性必修知识点的总结，这些知识点对于学生的数学能力提升和解题能力的培养都有着重要意义。
希望学生们在学习的过程中能够结合具体问题进行更深入的理解和掌握，以便能够灵活运用于各种实际问题的解决中。
福建省莆田市高二数学下学期二项式定理概率的加法公式事件的独立性校本作业理
二项式定理(一)1、化简(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1得( ) A ．x 4B ．(x －1)4C ．(x ＋1)4D ．x 52、在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．103、若C1n x ＋C2n x 2＋…＋Cn n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝5，n ＝5B ．x ＝5，n ＝4C ．x ＝4，n ＝4D ．x ＝4，n ＝3 4、若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于( ) A ．45 B ．55 C ．70 D ．805、若x >0，设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5的展开式中的第三项为M ，第四项为N ，则M ＋N 的最小值为________．6、(1＋x ＋x 2)(x －1x)6的展开式中的常数项为______．7、若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是________． 8、求230－3除以7的余数． 9、若的展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x 的一次幂的项； (2)展开式中所有x 的有理项．二项式定理(二) 班级__________学生__________1、在(1＋x )2n (n ∈N *)的展开式中，二项 式系数最大的项是第（ ）项． A ．n-1 B ．n C ．n+1 D ．n+2 2、在(x －1x )10的展开式中，系数最大的项是第______项．A ．5B ．6C ．7D ．5或7 3、已知n ∈N *，则1＋3C1n ＋32C2n ＋ (3)Cn n ＝______. A ．B ．C ．D ．4、在(x ＋y )n 的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是 第________项．5、已知(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝29－n ，则n ＝________. 6、在(x －y )11的展开式中，求(1)通项T r ＋1； (2)二项式系数最大的项； (3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项； (5)项的系数最小的项； (6)二项式系数的和；(7)各项系数的和．7、已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.概率的加法公式1、给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立； ④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率；⑤事件A 与B 互斥,则有P （A ）＝1－P （B ）。
高中数学 第2章 概率 2.3.2 事件的独立性讲义 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学教案
2.3.2 事件的独立性学习目标核心素养1.了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．(难点)2．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能利用该公式计算相关问题的概率．(重点)3．了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别，综合利用事件的互斥性与独立性求解综合问题．(易错点)1.借助两个事件相互独立的概念，提升数学抽样素养．2．通过具体的实际问题，培养数学建模素养.1．事件的独立性的概念(1)概念：若事件A，B满足P(A|B)＝P(A)，则称事件A，B独立．(2)含义：P(A|B)＝P(A)说明事件B的发生不影响事件A发生的概率．2．相互独立事件的概率计算如果任何事件与必然事件独立，与不可能事件也独立，那么(1)两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)．(2)若事件A1，A2，…，A n相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．3．相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立．思考1：不可能事件与任何一个事件相互独立吗？[提示] 相互独立．不可能事件的发生与任何一个事件没有影响．思考2：必然事件与任何一个事件相互独立吗？[提示] 相互独立．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．思考3：如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)正确吗？[提示] 正确．如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．1．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，那么事件A与B，A与B间的关系是( )A ．A 与B ，A 与B 均相互独立 B ．A 与B 相互独立，A 与B 互斥C ．A 与B ，A 与B 均互斥D ．A 与B 互斥，A 与B 相互独立A [因为是有放回地摸球，所以事件A 的发生不会影响事件B 的发生，所以A 与B ，A 与B 均相互独立．]2．甲、乙两人投球命中率分别为12，23，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为________．12[事件“甲投球一次命中”记为A ，“乙投球一次命中”记为B ，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C ，则C ＝A B ∪A B 且A B 与A B 互斥，P (C )＝P (A B ∪A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×13＋12×23＝36＝12.]3．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．0．24 0.96 [三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24.三人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04. 三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96.]相互独立事件的判断【例1】 (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．[思路探究] (1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义进行判断．[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A ：出现偶数点，B ：出现3点或6点，则A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，AB ＝{6}， ∴P (A )＝36＝12，P (B )＝26＝13，P (AB )＝16.∴P (AB )＝P (A )·P (B )，∴事件A 与B 相互独立．判断事件是否相互独立的方法(1)定义法：事件A ，B 相互独立⇔P (AB )＝P (A )·P (B )． (2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (3)条件概率法：当P (A )>0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．1．同时掷两颗质地均匀的骰子，令A ＝{第一颗骰子出现奇数点}，令B ＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A 与B 是否相互独立．[解] A ＝{第一颗骰子出现1,3,5点}，B ＝{第二颗骰子出现2,4,6点}．∴P (A )＝12，P (B )＝12，P (AB )＝3×336＝14，∴P (AB )＝P (A )P (B )， ∴事件A ，B 相互独立．相互独立事件发生的概率【例2】三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是15，14，13.求：(1)他们都研制出疫苗的概率； (2)他们都失败的概率； (3)他们能够研制出疫苗的概率．[思路探究] 明确已知事件的概率及其关系→ 把待求事件的概率表示成已知事件的概率→ 选择公式计算求值[解] 令事件A ，B ，C 分别表示A ，B ，C 三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A ，B ，C 相互独立，且P (A )＝15，P (B )＝14，P (C )＝13.(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC 同时发生，故P (ABC )＝P (A )P (B )P (C )＝15×14×13＝160.(2)他们都失败即事件A B C 同时发生． 故P (A B C )＝P (A )P (B )P (C ) ＝(1－P (A ))(1－P (B ))(1－P (C ))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13 ＝45×34×23＝25. (3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P ＝1－P (A B C )＝1－25＝35.1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积．2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求： (1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率． [解] 记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A ，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B ，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C ，很明显，由于每次取出后再放回，A ，B ，C 都是相互独立事件．(1)P (AB )＝P (A )P (B )＝C 23C 25×C 22C 25＝310×110＝3100.故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是3100.(2)P (CA )＝P (C )P (A )＝C 13·C 12C 25·C 23C 25＝610·310＝950.故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是950.事件的相互独立性与互斥性[1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A ＝“甲击中目标”，B ＝“乙击中目标”，试问事件A 与B 是相互独立事件，还是互斥事件？事件A B 与A B 呢？[提示] 事件A 与B ，A 与B ，A 与B 均是相互独立事件，而A B 与A B 是互斥事件． 2．在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？[提示] “甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C ，则C ＝A B ＋A B . 所以P (C )＝P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )·P (B )＋P (A )·P (B )＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.3．由探究1、2，你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？[提示] 相互独立事件与互斥事件的区别对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率； (2)求红队至少两名队员获胜的概率．[思路探究] 弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值．[解] 设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ， 则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件． 因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D E F ，D E F ，D －E －F ，以上3个事件彼此互斥且独立．所以红队有且只有一名队员获胜的概率为P 1＝P (D E －F －＋D E F ＋D －E －F )＝P (D E －F －)＋P (D E F )＋P (D －E －F )＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF . 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件D E F ，且P (D E F )＝0.4×0.5×0.5＝0.1.∴红队至少两人获胜的概率为P 2＝1－P 1－P (D E F )＝1－0.35－0.1＝0.55.1．本题(2)中用到直接法和间接法．当遇到“至少”“至多”问题可以考虑间接法． 2．求复杂事件的概率一般可分三步进行：(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件； (3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．3．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s 内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：(1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大．[解] 记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P (A )＝25，P (B )＝34，P (C )＝13.设恰有k 人合格的概率为P k (k ＝0,1,2,3)． (1)三人都合格的概率：P 3＝(ABC )＝P (A )·P (B )·P (C )＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P 0＝(A B C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P2＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360.恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)可知P1最大．所以出现恰有一人合格的概率最大．1．本节课的重点是事件的相互独立性及其概率的求法，难点是事件相互独立性的判断．2．要掌握事件相互独立性的两个问题．(1)事件相互独立性的判断．(2)事件相互独立性概率的求法．3．求复杂事件概率的步骤：(1)列出题中涉及的各种事件，并用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥、对立，还是相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立；( )(2)若事件A，B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)；( )(3)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；( )(4)若事件A与B相互独立，则B与B相互独立．( )[解析] 若P(B|A)＝P(B)，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以(1)正确；若事件A，B相互独立，则A，B也相互独立，故(2)正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故(3)正确；(4)B与B相互对立，不是相互独立，故(4)错误．[答案] (1)√(2)√(3)√(4)×2．抛掷3枚质地均匀的硬币，A ＝{既有正面向上又有反面向上}，B ＝{至多有一个反面向上}，则A 与B 的关系是( )A ．互斥事件B ．对立事件C ．相互独立事件D ．不相互独立事件C [由已知，有P (A )＝1－28＝34，P (B )＝1－48＝12，P (A ∩B )＝38，满足P (A ∩B )＝P (A )·P (B )，则事件A 与事件B 相互独立，故选C.]3．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170，169，168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．370 [加工出来的零件的正品率是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－170×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－169×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－168＝6770，因此加工出来的零件的次品率为1－6770＝370.]4．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率．[解] 设甲、乙、丙当选的事件分别为A ，B ，C ，则有P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝710.(1)因为事件A ，B ，C 相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P (AB －C －)＋P (A －BC －)＋P (A －B－C )＝P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C )＋P (A )·P (B )·P (C ) ＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250. (2)至多有两人当选的概率为1－P (ABC )＝1－P (A )·P (B )·P (C )＝1－45×35×710＝83125.。
高二数学要学哪些知识点
高二数学要学哪些知识点高二是学生们数学学习的重要阶段，也是数学知识的进一步深化和扩展的时期。
在这一阶段，学生需要掌握一系列的数学知识点，为日后的学习打下坚实的基础。
下面将介绍高二数学学习中需要重点关注的知识点。
1. 函数与方程函数与方程是高中数学的基础，也是高二数学学习的重点。
学生需要通过学习一元二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等内容，掌握函数的性质、图像和应用。
同时，还需深入学习一元二次方程、二次函数的图像与性质、因式分解等内容，并能熟练解决相关的问题。
2. 三角学三角学是高二数学的重要内容，涉及到三角函数、三角恒等式、三角方程等知识点。
学生需要通过学习正弦定理、余弦定理等内容，掌握解三角形的各种问题的方法，能够熟练运用三角函数解决相关的实际问题。
3. 空间几何空间几何是高二数学中的重点之一，包括平面与直线的位置关系、三角形、四边形、圆锥曲线等内容。
学生需要通过学习立体几何的投影、旋转、平移、拉伸等知识，能够解决与空间几何相关的问题，并在实际生活中运用。
4. 排列与组合排列与组合是高二数学中的一项重要内容，涉及到排列、组合、二项式定理等知识点。
学生需要通过学习全排列、循环排列、组合数等内容，掌握解决排列与组合问题的方法，并能够运用于实际的计数问题。
5. 数列与数列的极限数列与数列的极限是高二数学的难点内容，包括等差数列、等比数列、递归数列等。
学生需要通过学习数列的通项公式、递推关系式以及数列的极限等知识点，能够分析数列的性质，并在数列的极限问题中运用极限的概念。
6. 概率与统计概率与统计是高二数学的重点内容，包括概率的基本概念、条件概率、离散型随机变量等。
学生需要通过学习事件的概率计算、事件的独立性、正态分布等知识点，掌握解决概率与统计问题的方法，并能运用于实际的问题中。
7. 导数与微分导数与微分是高二数学的高级内容，包括导数的定义、求导法则、高阶导数以及微分的应用等。
学生需要通过学习导数的概念、导数的性质、导数公式等知识点，能够计算函数的导数，并应用于函数的极值、曲线的解析式等问题中。
高二下学期数学苏教版选择性必修第二册7.4.1二项式定理课件PPT
活动三 二项式定理的逆用
例 6 (1) 设 n∈N*，则 C1n＋C2n6＋C3n62＋…＋Cnn6n－1＝__________； (2) C0nxn－C1nxn－1＋C2nxn－2＋…＋(－1)nCnn＝__________.
【解析】(1) 因为 1＋C1n6＋C2n62＋C3n63＋…＋Cnn6n＝(1＋6)n＝7n，所以 C1n＋C2n6＋…
解析 答案
5. 已知(1＋x)n 的展开式中第 4 项和第 8 项的二项式系数相等． (1) 求 n 的值和这两项的二项式系数； (2) 在(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n＋2 的展开式中，求含 x2 项的系数． 【解析】 (1) 由题意，得 C3n＝C7n，所以 n＝10，所以 C310＝C710＝120. (2) 由(1)得含 x2 项的系数为 C23＋C24＋…＋C212＝C313－C33＝285.
【解析】 由题意，得展开式中含 x3 项的系数为 C33＋C34＋C35＋…＋C320＝C44＋C34＋ C35＋…＋C320＝C421＝5 985.
例 4 求(1－x)5(1＋x＋x2)4 的展开式中含 x7 项的系数． 【解析】 因为(1－x)5(1＋x＋x2)4＝(1－x)[(1－x)(1＋x＋x2)]4＝(1－x)(1－x3)4，所以 展开式中含 x7 项的系数为－1·C24(－1)2＝－6. 例 5 求(x2＋3x＋2)4 的展开式中含 x5 项的系数． 【解析】 因为(x2＋3x＋2)4＝[(x＋1)(x＋2)]4＝(x＋1)4(x＋2)4，所以含 x5 项的系数为 C04C34·23＋C14C24·22＋C24C14·2＋C34C04＝180.
选 AC.
解析 答案
4. C110＋2C210＋4C310＋…＋29C1100＝________.
二项式定理说课 课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
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多项式，培养学生的逻辑推理与数学抽象的核心素养。
七、说教学过程
（二）探究归纳，发现规律
思考3：不计算，能否运用摸球试验解释( + )3 ？并写出展开式？
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学学习的热情，培养核心素养。通过这两个计算，学生体会学习是一
个日积月累的过程。
七、说教学过程
（四）知识迁移，初步应用
反思：1.探究展开式某一项时，常用什么方法？
2.二项式系数与项系数是同一个概念吗如果不是，二者的区别
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是带领学生初步体验二项式定理在解决问题时的
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方法：赋值或是赋表达式。
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七、说教学过程
（四）知识迁移，初步应用
1. 求 （1 + 2）5 的展开式。
2. 求 （2 + ）6 的展开式的第三项。
情境，
初步
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发现 TEXT形成
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体验
规律 TEXT定理
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知识
回顾
布置
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二项式定理
练习．若(
)n的展开式中各项系数之和为64，
则 展开式的常数项为( A ) A．－540 B．－162 C．162
D．540
考点三 二项式定理的逆向应用
例4.化简(1)(x 1)5 + 5(x 1)4 +10(x 1)3 +10(x 1)2 + 5(x 1) (2)(2x +1)5 5(2x +1)4 +10(2x +1)3 10(2x +1)2 + 5(2x +1) 1 (3)1+ 2Cn1 + 4Cn2 + + 2n Cnn
C
r n+1
=
C
r n
1
+
C
r n
2.增减性与最大值：
二项式系数的性质
C nk
= n(n 1)(n 2)...( n k +1) (k 1)!k
=
C nk 1
n
k k
+1
实质：数
列的单调
性与数列
由nk +1 1 k n+1
k
2
的最大项 问题
当k n +1时 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知 2
(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所 得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解 这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根 据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求 解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字 母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一 致．
=（）a4 +（）a3 b +（）a2 b2 +（）ab3 +（）b4
高中数学 第2章 概率 2.3.2 事件的独立性学案 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学学案
2．3.2 事件的独立性1.了解相互独立事件的意义．2.理解相互独立事件同时发生的概率乘法公式及应用．3．掌握运用独立事件的概率公式求解概率问题的方法．事件的独立性 概念一般地，若事件A ，B 满足P (A |B )＝P (A )，则称事件A ，B 独立性质(1)若事件A ，B 独立，且P (A )>0，则B ，A 也独立，即A 与B 独立是相互的．(2)约定任何事件与必然事件独立，任何事件与不可能事件独立，则两个事件A ，B 相互独立的充要条件是P (AB )＝P (A )P (B )概率计算公式(1)若事件A 与B 相互独立，则A 与B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率之积，即P (AB )＝P (A )P (B )．(2)推广：若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )结论如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B －，A －与B ，A －与B －也都相互独立1．下列事件A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A 表示“第一次为正面”，B 表示“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，A 表示“第一次摸到白球”，B 表示“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A 表示“出现点数为奇数”，B 表示“出现点数为偶数”D ．A 表示“一个灯泡能用1000小时”，B 表示“一个灯泡能用2000小时” 答案：A2．若事件E 与F 相互独立，且P (E )＝P (F )＝14，则P (EF )的值等于( )A ．0 B.116C.14D.12答案：B3．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．答案：0.56判断事件的相互独立性判断下列各对事件是不是相互独立事件．(1)甲组有3名男生、2名女生，乙组有2名男生、3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个，取出的是苹果”与“把取出的苹果放回筐内，再从筐内任意取出1个，取出的是梨”．【解】 (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57.可见，前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)由于把取出的苹果又放回筐内，故对“从中任意取出1个，取出的是梨”的概率没有影响，所以二者是相互独立事件．判断两事件的独立性的方法(1)定义法：如果事件A ，B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率的积，则事件A ，B 为相互独立事件．(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (3)当P (A )＞0时，可用P (B |A )＝P (B )判断．1.一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B ＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A 与B 的独立性：(1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩．解：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，它有4个基本事件，由等可能性知概率都为14.这时A ＝{(男，女)，(女，男)}，B ＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}， AB ＝{(男，女)，(女，男)}，于是P (A )＝12，P (B )＝34，P (AB )＝12.由此可知P (AB )≠P (A )P (B )， 所以事件A ，B 不相互独立．(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．由等可能性知这8个基本事件的概率均为18，这时A 中含有6个基本事件，B 中含有4个基本事件，AB 中含有3个基本事件．于是P (A )＝68＝34，P (B )＝48＝12，P (AB )＝38，显然有P (AB )＝38＝P (A )P (B )成立．从而事件A 与B 是相互独立的．相互独立事件概率的计算甲、乙2个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求：(1)2个人都译出密码的概率；(2)2个人都译不出密码的概率； (3)至多1个人译出密码的概率；【解】 记“甲独立地译出密码”为事件A ，“乙独立地译出密码“为事件B ，A 与B 为相互独立事件，且P (A )＝13，P (B )＝14.(1)“2个人都译出密码”的概率为：P (AB )＝P (A )·P (B )＝13×14＝112.(2)“2个人都译不出密码”的概率为：P (A －B －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )]×[1－P (B )]＝(1－13)×(1－14)＝12.(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”， 所以至多1个人译出密码的概率为： 1－P (AB )＝1－P (A )P (B )＝1－13×14＝1112.在本例条件下，求：(1)恰有1个人译出密码的概率； (2)至少1个人译出密码的概率．解：(1)“恰有1个人译出密码”可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有1个人译出密码的概率为：P (A B －＋A －B )＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A －)P (B ) ＝13×(1－14)＋(1－13)×14＝512. (2)“至少1个人译出密码”的对立事件为“2个人都未译出密码”， 所以至少1个人译出密码的概率为： 1－P (A －B －)＝1－P (A －)P (B －)＝1－23×34＝12.利用相互独立事件的概率乘法公式可使概率问题变得更加简捷．另外，遇到“至多”“至少”问题时，要明确它们的含义，并且分清事件之间的包含关系．2.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为35，丙当选的概率为710.(1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多两人当选的概率．解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A 、B 和C ，则有 (1)P (A )＝45，P (B )＝35，P (C )＝710.因为事件A 、B 、C 相互独立，恰有1名同学当选的概率为P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝P (A )P (B －)P (C －)＋P (A －)P (B )P (C －)＋P (A －)P (B －)P (C ) ＝45×25×310＋15×35×310＋15×25×710＝47250. (2)至多有两人当选的概率为 1－P (ABC )＝1－P (A )P (B )P (C ) ＝1－45×35×710＝83125.综合应用某学生语、数、英三科考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中，(1)三科成绩均未获得第一名的概率； (2)恰有一科成绩未获得第一名的概率．【解】 分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A ，B ，C ，则A 、B 、C 两两相互独立且P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A －B －C －表示．P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )] ＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85) ＝0.003.即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用：(A －BC )＋(A B －C )＋(AB C －)表示． 由于事件A －BC ，A B －C 和AB C －两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＝[1－P (A )]P (B )P (C )＋P (A )[1－P (B )]P (C )＋P (A )·P (B )[1－P (C )]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329. 即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.在两个或多个相互独立事件中，求含有“至少”“至多”等词语的事件的概率时，直接利用互斥事件的概率加法公式求解较烦琐，转而用间接方法，也就是考虑其对立事件，利用公式P (A )＋P (A )＝1，这样能将解题过程大大简化．3.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率； (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率． 解：(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则 P (A )＝C 26C 14＋C 36C 310＝60＋20120＝23， P (B )＝C 28C 12＋C 38C 310＝56＋56120＝1415. 所以甲考试合格的概率为23，乙考试合格的概率为1415.(2)法一：因为事件A 、B 相互独立， 所以甲、乙两人考试均不合格的概率为P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－1415＝145.则1－P (A －B －)＝1－145＝4445.所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.法二：因为事件A 、B 相互独立，所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P ＝P (A B －)＋P (A －B )＋P (AB )＝P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＋P (A )·P (B ) ＝23×115＋13×1415＋23×1415＝4445. 所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4445.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A ，B 同时发生，记作：AB互斥事件A ，B 中有一个发生，记作：A ∪B (或A ＋B )计算公式P (AB )＝P (A )P (B )P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )【注意】 两个事件不可能既互斥又相互独立．设事件A 与B 相互独立，两事件中只有A 发生及只有B 发生的概率均为14，求P (A＋B )．【解】 由P (A B －)＝P (A －B )＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧P （A ）[1－P （B ）]＝14，P （B ）[1－P （A ）]＝14， 解得P (A )＝P (B )＝12，所以P (A ＋B )＝1－P (A －B －) ＝1－P (A －)P (B －) ＝1－(1－12)(1－12)＝34.在正确理解题意的基础上，列出关于P (A )、P (B )的方程组，是解决本题的基础．由于不理解题意而不会做失分．正确运用公式P (A ＋B )＝1－P (A －·B －)是正确解答的关键．此处也可借助公式P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )(A 、B 不互斥时)求解．务必不能视A 、B 对立，得错误结果P (A ＋B )＝1.由于不会解造成失分．1．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲活动，派出的恰好都是三好学生的概率是( )A.524 B.512 C.124 D.38解析：选C.两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A 、B 分别为甲班、乙班派出的是三好学生，则事件AB 为两班派出的都是三好学生，则P (AB )＝P (A )P (B )＝936×636＝124.2．若两事件A 和B 相互独立，且满足P (AB )＝P (A －B －)，P (A )＝0.4，则P (B )＝________． 解析：因为P (AB )＝P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝0.6[1－P (B )]， 而P (AB )＝P (A )P (B )，所以0.4P (B )＝0.6－0.6P (B )，即P (B )＝0.6. 答案：0.63．甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是13，25，12，现3人各投篮1次，则3人都没有投进的概率为________．解析：甲、乙、丙3人投篮相互独立，都不进的概率为(1－13)·(1－25)(1－12)＝15.答案：15[A 基础达标]1．投掷一枚均匀硬币和一颗均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( )A.512 B.12 C.712D.34解析：选C.因为P (A )＝12，P (B )＝16，所以P (A －)＝12，P (B －)＝56.又A ，B 为相互独立事件，所以P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝12×56＝512.所以A ，B 中至少有一件发生的概率为 1－P (A －B －)＝1－512＝712.2．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件是独立事件的组数为( ) ①A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出奇数点}； ②A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出3点}； ③A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出3的倍数点}； ④A ＝{掷出偶数点}，B ＝{掷出的点数小于4}． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A.①P (A )＝12，P (B )＝12，P (AB )＝0，所以A 与B 不独立．②P (A )＝12，P (B )＝16，P (AB )＝0，A 与B 不独立．③P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16，P (AB )＝P (A )P (B )，所以A 与B 独立．④P (A )＝12，P (B )＝12，P (AB )＝16，P (A )P (B )≠P (AB )，所以A 与B 不独立．3．某种开关在电路中闭合的概率为p ，现将4只这种开关并联在某电路中(如图所示)，若该电路为通路的概率为6581，则p ＝( )A.12B.13C.23D.34解析：选B.因为该电路为通路的概率为6581，所以该电路为不通路的概率为1－6581，只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以1－6581＝(1－p )4，解得p ＝13或p ＝53(舍去)．故选B.4．从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，则23等于( )A ．2个球不都是红球的概率B ．2个球都是红球的概率C ．至少有1个红球的概率D ．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C.分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A 、B ，则P (A )＝13，P (B )＝12，由于A 、B 相互独立，所以1－P (A －)P (B －)＝1－23×12＝23.根据互斥事件可知C 正确．5．已知A ，B 是相互独立事件，若P (A )＝0.2，P (AB ＋A －B ＋A B －)＝0.44，则P (B )＝( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6解析：选A.因为A ，B 是相互独立事件，所以A －，B 和A ，B －均相互独立．因为P (A )＝0.2，P (AB ＋A －B ＋A B －)＝0.44，所以P (A )P (B )＋P (A －)P (B )＋P (A )P (B －)＝0.44，所以0.2P (B )＋0.8P (B )＋0.2[1－P (B )]＝0.44，解得P (B )＝0.3.6．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，则该题被乙独立解出的概率为________．解析：记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B . 设甲独立解出此题的概率为p 1，乙为p 2. 则P (A )＝p 1＝0.6，P (B )＝p 2.P (A ＋B )＝1－P (A －B －)＝1－(1－p 1)(1－p 2)＝p 1＋p 2－p 1p 2＝0.92.所以0.6＋p 2－0.6p 2＝0.92，解得p 2＝0.8. 答案：0.87．设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6、0.5.三人各向目标射击一次，则至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率分别为________．解析：设A k 表示“第k 人命中目标”，k ＝1，2，3.这里，A 1，A 2，A 3相互独立，且P (A 1)＝0.7，P (A 2)＝0.6，P (A 3)＝0.5.从而，至少有一人命中目标的概率为1－P (A 1－ A 2－ A 3－)＝1－P (A 1－)P (A 2－)P (A 3－)＝1－0.3×0.4×0.5＝0.94.恰有两人命中目标的概率为P (A 1A 2A 3－＋A 1A 2－A 3＋A 1－A 2A 3)＝P (A 1A 2A 3－)＋P (A 1A 2－A 3)＋P (A 1－A 2A 3)＝P (A 1)·P (A 2)P (A 3－)＋P (A 1)P (A 2－)P (A 3)＋P (A 1－)·P (A 2)P (A 3)＝0.7×0.6×0.5＋0.7×0.4×0.5＋0.3×0.6×0.5＝0.44.所以至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44. 答案：0.94，0.448．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率是________．解析：设事件A 为“其中一瓶是蓝色”，事件B 为“另一瓶是红色”，事件C 为“另一瓶是黑色”，事件D 为“另一瓶是红色或黑色”，则D ＝B ＋C ，且B 与C 互斥，又P (A )＝C 12C 14C 25＝45，P (AB )＝C 12C 11C 25＝15，P (AC )＝C 12C 12C 25＝25，故P (D |A )＝P (B ＋C |A )＝P (B |A )＋P (C |A ) ＝P （AB ）P （A ）＋P （AC ）P （A ）＝34.答案：349．在社会主义新农村建设中，某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目，据预测，三个项目成功的概率分别为45、56、23，且三个项目是否成功互相独立．(1)求恰有两个项目成功的概率； (2)求至少有一个项目成功的概率．解：(1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为 45×56×(1－23)＝29， 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为 45×(1－56)×23＝445， 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为 (1－45)×56×23＝19，所以恰有两个项目成功的概率为29＋445＋19＝1945.(2)三个项目全部失败的概率为 (1－45)×(1－56)×(1－23)＝190，所以至少有一个项目成功的概率为1－190＝8990.10．某单位招聘面试，每次从试题库中随机调用一道试题，若调用的是A 类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A 类型试题和一道B 类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B 类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n ＋m 道试题，其中有n 道A 类型试题和m 道B 类型试题，以X 表示两次调题工作完成后，试题库中A 类型试题的数量．(1)求X ＝n ＋2的概率； (2)设m ＝n ，求X 的概率分布．解：(1)X ＝n ＋2表示两次调题均为A 类型试题，概率为n m ＋n×n ＋1m ＋n ＋2＝n （n ＋1）（m ＋n ）（m ＋n ＋2）.(2)m ＝n 时，每次调用的是A 类型试题的概率为p ＝12，随机变量X 可取n ，n ＋1，n ＋2，P (X ＝n )＝(1－p )2＝14，P (X ＝n ＋1)＝2p (1－p )＝12， P (X ＝n ＋2)＝p 2＝14.则X 的概率分布为：1．设两个相互独立事件A ，B 都不发生的概率为19，则A 与B 都发生的概率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，89B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，59C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，89 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49 解析：选D.设事件A ，B 发生的概率分别为P (A )＝x ，P (B )＝y ，则P (A －B －)＝P (A －)P (B －)＝(1－x )·(1－y )＝19，即1＋xy ＝19＋x ＋y ≥19＋2xy ，当且仅当x ＝y 时取“＝”，所以xy≤23或xy ≥43(舍去)，所以0≤xy ≤49.所以P (AB )＝P (A )·P (B )＝xy ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，49.2．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P (A )＝________．解析：由题意，P (A －)·P (B －)＝19，P (A －)·P (B )＝P (A )·P (B －)．设P (A )＝x ，P (B )＝y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（1－y ）＝19，（1－x ）y ＝x （1－y ）. 即⎩⎪⎨⎪⎧1－x －y ＋xy ＝19，x ＝y ， 所以x 2－2x ＋1＝19，所以x －1＝－13，或x －1＝13(舍去)，所以x ＝23.答案：233．已知A ，B ，C 为三个独立事件，若事件A 发生的概率是12，事件B 发生的概率是23，事件C 发生的概率是34，求下列事件的概率．(1)事件A ，B ，C 均发生； (2)事件A ，B ，C 均不发生； (3)事件A ，B ，C 不都发生； (4)事件A ，B ，C 至少发生一个； (5)事件A ，B ，C 只发生一个； (6)事件A ，B ，C 只发生两个； (7)事件A ，B ，C 至多发生两个．解：(1)设“事件A ，B ，C 均发生”为事件A 1. 由于A ，B ，C 相互独立，则A 1＝ABC . 从而P (A 1)＝P (A )P (B )P (C )＝12×23×34＝14.所以事件A ，B ，C 均发生的概率为14.(2)设“事件A ，B ，C 均不发生”为事件A 2，则A 2＝A －B －C －. 由于A ，B ，C 相互独立，故A －，B －，C －也相互独立，故P (A 2)＝P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34＝124.所以事件A ，B ，C 均不发生的概率为124.(3)设“事件A ，B ，C 不都发生”为事件A 3，若从正面考虑，则事件A ，B ，C 中可以有1个不发生，可以有2个不发生，也可以3个都不发生，情况较多，因此我们从反面考虑，记事件A 3－为“事件A ，B ，C 都发生”，则A 3－＝A 1，从而P (A 3)＝1－P (A 3－)＝1－P (A 1)＝34.所以事件A ，B ，C 不都发生的概率为34.(4)设“事件A ，B ，C 至少发生一个”为事件A 4，其对立事件A 4－为“事件A ，B ，C 一个也不发生”，即事件A 2，故A 4－＝A 2，从而P (A 4)＝1－P (A 4－)＝1－P (A 2)＝1－124＝2324.所以事件A ，B ，C 至少发生一个的概率为2324.(5)设“事件A ，B ，C 只发生一个”为事件A 5，则事件A 5包括三种情况，第一种是只发生事件A ，事件B ，C 不发生(即事件A B －C －发生)；第二种是只发生事件B ，事件A ，C 不发生(即事件A －B C －发生)；第三种是只发生事件C ，事件A ，B 不发生(即事件A －B －C 发生)．而这三种情况是不可能同时发生的，即事件A B －C －，A －B C －，A －B －C 彼此互斥．根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P (A 5)＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝124＋224＋324＝14.所以事件A ，B ，C 只发生一个的概率为14.(6)设“事件A ，B ，C 只发生两个”为事件A 6，则事件A 6包括三种彼此互斥的情况：AB C －，A B －C ，A －BC .由互斥事件概率的加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，得所求概率为P (A 6)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝224＋324＋624＝1124.所以事件A ，B ，C 只发生两个的概率为1124.(7)设“事件A ，B ，C 至多发生两个”为事件A 7，则事件A 7包括彼此互斥的三种情况：事件A ，B ，C 一个也不发生，即事件A 2；事件A ，B ，C 只发生一个，即事件A 5；事件A ，B ，C 只发生两个，即事件A 6.故P (A 7)＝P (A 2)＋P (A 5)＋P (A 6)＝124＋14＋1124＝34.所以事件A ，B ，C 至多发生两个的概率为34.4．(选做题)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响．(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数ξ的概率分布． 解：设A k 、B k 分别表示甲、乙在第k 次投篮投中， 则P (A k )＝13，P (B k )＝12(k ＝1，2，3)．(1)记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知P (C )＝P (A 1)＋P (A 1－B 1－A 2)＋P (A 1－B 1－A 2－B 2－A 3)＝P (A 1)＋P (A 1－)P (B 1－)P (A 2)＋P (A 1－)P (B 1－)P (A 2－)·P (B 2－)P (A 3)＝13＋23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×13 ＝13＋19＋127＝1327. (2)ξ的所有可能值为1，2，3.由独立性知P (ξ＝1)＝P (A 1)＋P (A 1－B 1)＝13＋23×12＝23， P (ξ＝2)＝P (A 1－B 1－A 2)＋P (A 1－B 1－A 2－B 2)＝23×12×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝29.P (ξ＝3)＝P (A 1－B 1－A 2－B 2－)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝19.综上知，ξ的概率分布为：。
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二项式定理(一)1、化简(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1得( ) A ．x 4B ．(x －1)4C ．(x ＋1)4D ．x 52、在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．103、若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( )A ．x ＝5，n ＝5B ．x ＝5，n ＝4C ．x ＝4，n ＝4D ．x ＝4，n ＝3 4、若(1＋2)5＝a ＋b 2(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于( ) A ．45 B ．55 C ．70 D ．805、若x >0，设⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5的展开式中的第三项为M ，第四项为N ，则M ＋N 的最小值为________．6、(1＋x ＋x 2)(x －1x)6的展开式中的常数项为______．7、若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是________． 8、求230－3除以7的余数．9、若n xx )214⋅+（的展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x 的一次幂的项； (2)展开式中所有x 的有理项．二项式定理(二) 班级__________学生__________ 1、在(1＋x )2n(n ∈N *)的展开式中，二项 式系数最大的项是第（ ）项．A ．n-1B ．nC ．n+1D ．n+2 2、在(x －1x)10的展开式中，系数最大的项是第______项．A ．5B ．6C ．7D ．5或7 3、已知n ∈N *，则1＋3C 1n ＋32C 2n ＋…＋3n C nn ＝______. A ．4nB ．2nC ．14n + D ．12n +4、在(x ＋y )n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是 第________项．5、已知(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝29－n ，则n ＝________. 6、在(x －y )11的展开式中，求(1)通项T r ＋1； (2)二项式系数最大的项； (3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项； (5)项的系数最小的项； (6)二项式系数的和；(7)各项系数的和．7、已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.概率的加法公式1、给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立； ④事件A 与B 的和事件的概率一定大于事件A 的概率；⑤事件A 与B 互斥,则有P （A ）＝1－P （B ）。
其中正确命题的个数为（ ） A. 0 B.1 C.2 D.32、某人在打靶中连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ） A.至多有1次中靶 B.2次都中靶 C.2次都不中靶 D.只有1次中靶3、某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为0.01,则对成品抽查一件,恰好是正品的概率为（ ） A.0.99 B.0.98 C.0.97 D.0. 964、甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中6个选择题，4个判断题，甲、乙二人依次各抽一题，则甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是（ ） A ．1513 B.152 C.158D.535、抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为_______． 6、 某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为_______．9、从一箱产品中随机抽取一件产品,设事件A 为“抽到的是一等品”,事件B 为“抽到的是 二等品”,事件C 为“抽到的是三等品”,且已知P （A ）＝0.7,P （B ）＝0.1,P （C ）＝0.05, 求下列事件的概率：（1）事件D 为“抽到的是一等品或三等品”； （2）事件E 为“抽到的是二等品或三等品”.条件概率 班级__________学生_______1、下列说法正确的是（ ）A ．P （B ｜A ）＝P （AB ） B. P （B ｜A ）＝)()(A P B P 是可能的 C. 0＜P （B ｜A ）＜1 D. P （A ｜A ）＝02、已知P （B ｜A ）＝21，P （AB ）＝83，则P （A ）等于（ ）A.163 B.1613C.43D.41 3、4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是（ ） A ．1 B.21 C.31D.414、甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为( ) A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.665、抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为_____________ 。
6、袋中有5个小球(3白2黑)，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是____________．7、假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有2个小孩，已知这个家庭有1个女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是___________.8、有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率___________。
9、现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：（1）第1次抽到舞蹈节目的概率；（2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；（3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率.事件的独立性(一) 班级__________学生_______1、若事件A ，B 相互独立，则（ ）A ．P （A ）+P （B ）=1 B.P （A+B ）=P （A ）+P （B ） C.P （AB ）=P （A ）P （B ） D.)()()(B P A P B A P +=+2、有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，分为精装、平装两种，精装书70本，“某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书”这一事件的概率是（ ） A.257 B. 2518 C. 507 D. 2593、甲、乙两人独立地解决同一问题，甲解决这个问题的概率是1p ，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率是（ ）A ．21p p B.)1()1(1221p p p p -+- C.21-1p p D.)1)(1(-121p p -- 4、加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为( ) A.368 B.369 C. 370 D.1705、甲、乙两个袋中均有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有 4个红球、2个白球, 乙袋装有1个红球、5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球,则取出的两球都是红球的概率为_________．(答案用分数表示)6、 将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，至少出现一次6点朝上的概率是_________。
7、甲袋中有8个白球，2个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率_______________.8、某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为54，乙当选的概率为53，丙当选的概率为107.（1）求恰有一名同学当选的概率；（2）求至多有两名同学当选的概率.事件的独立性（二） 班级__________学生_______ 一、选择题1、已知A ，B 是两个相互独立事件，P （A ），P （B ）分别表示它们发生的概率，则：1P （A ）P （B ）是下列哪个事件的概率（ ）A ．事件A ，B 同时发生 B.事件A ，B 至少有一个发生 C.事件A ，B 至多有一个发生 D.事件A ，B 都不发生2、甲、乙、丙3人射击命中目标的概率分别为1214121，，。
现3人互不影响的情况下同时射击一个目标，目标被击中的概率为（ ） A.961 B.3221 C.9647 D.65 3、投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是( ) A.512 B.12 C.712 D.34 4、一个电路如图所示，A 、B 、C 、D 、E 、F 为6个开关，其闭合的 概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )．A.164B.5564C.18D.116 二、填空题5、某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是____________6、某气象站预报天气的准确率是0.8，在两次预报中恰有一次准确的概率是________。
三、解答题7、三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局胜者对第一局的败者，第四局是第三局胜者对第二局败者，求：乙队连胜四局的概率。
8、三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为51,41 ,31，且他们是否破译出密码互不影响，设“密码被破译”的概率为，“密码未被破译”的概率为， 试比较，的大小关系。
9、甲、乙两人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束.假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果是相互独立的.已知前2局中，甲、乙各胜1局.（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；（2）求甲获得这次比赛胜利的概率.参考答案二项式定理(一)1.A2.C3.B4.C5.522 6.－5 7.}51121<<x x ｛ 8．解：230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3＝C 010710＋C 11079＋…＋C 9107＋C 1010－3＝7(C 01079＋C 11078＋…＋C 910)－2＝7(C 01079＋C 11078＋…＋C 910)－7＋5.∴余数为5.9.解：由已知条件得：C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，解得n ＝8或n ＝1(舍去)．(1)r rr rrrr xC xx C T 434848812)21()(---+⋅⋅=⋅=，令4－34r ＝1，得r ＝4，∴含x 的一次幂的项为T 4＋1＝C 48·2－4·x ＝358x .(2)令4－34r ∈Z(r ≤8)，则只有当r ＝0,4,8时，对应的项才是有理项，有理项分别为：T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x2. 二项式定理(二)1．C 2．D 3．A 4．6 5．4 6．解：(1)T r ＋1＝(－1)r C r11x11－r y r.(2)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6.(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6.(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故T 7＝C 611x 5y 6. (5)项的系数最小的项为T 6＝－C 511x 6y 5.(6)二项式系数的和为C 011＋C 111＋C 211＋…＋C 1111＝211. (7)各项系数的和为(1－1)11＝0.7．解：令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)∵(1－2x )7展开式中，a 0、a 2、a 4、a 6都大于零，而a 1、a 3、a 5、a 7都小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)， ∴由(2)、(3)即可得其值为2 187. 概率的加法公式1.C ，2.C ，3.D ，4.A ；5.23； 6.0.40 ；7.解：（1）事件A 为“抽到的是一等品”与事件C 为“抽到的是三等品”是互斥事件,由概率加法公式得：P （D ）＝P （A ）＋P （C ）＝0.7＋0.05＝0.75.（2事件B 为“抽到的是二等品”与事件C 为“抽到的是三等品”是互斥事件,由概率加法公式得：P （E ）＝P （B ）＋P （C ）＝0.1＋0.05＝0.15. 条件概率1.B ，2.C ，3.C ，4.A ；5.32；6.12；7.32；8. 0.72.9.解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ， 则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.（1）从6个节目中不放回地依次抽取2个节目的事件数为30)(26==ΩA n根据分步计数原理有20)(1514=⋅=A A A n ，于是323020)()()(==Ω=n A n A P （2）因为12)(24==A AB n ，于是523012)()()(==Ω=n AB n AB P （3）方法一：由（1）（2）可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P （B ｜A ）533252)()(===A P AB P 方法二：因为n （AB ）＝12，n （A ）＝20，所以P （B ｜A ）532012)()(===A n AB n 事件的独立性（一）1.C ，2.A ，3.B ，4.C ；5.91； 6.3611； 7.解：从甲袋中取白球为事件A ，则54108)(==A P ，从乙袋中取白球为事件B ，则21126)(==B P ，取得同色球为B A AB +，2121512154)()()()()()()(=⨯+⨯=+=+=+B P A P B P A P B A P AB P B A AB P8.解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A 、B 、Ｃ，则有.107)(,53)(,54)(===C P B P A P （1）因为事件A 、B 、Ｃ 相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为)()()(C B A P C B A P C B A P ++福建省莆田市2016-2017学年高二数学下学期二项式定理概率的加法公式事件的独立性校本作业理11 / 11 )()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ++=25047107525110353511035254=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= （2）至多有两名同学当选的概率为1258310753541)()()(1)(1=⨯⨯-=-=-C P B P A P ABC P 事件的独立性（二）1.C ，2.B ，3.C ，4.B ；5.48125； 6.0.32； 7解： 设乙队连胜四局为事件A ，有下列情况：第一局中乙胜甲(A 1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A 2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A 3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A 4)，其概率为0.50，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)＝P(A 1A 2A 3A 4)＝0.62×0.52＝0.09.8.解：记“第i 个人破译出密码”为事件i A （i =1，2，3），依题意有31)(,41)(,51)(321===A P A P A P ，且321,,A A A 相互独立. 设“密码被破译”为事件B ，“密码未被破译”为事件C ，则321A A A C ⋅⋅=，且321,,A A A 相互独立，故52324354)()()()(3212=⨯⨯=⋅⋅==A P A P A P C P P ， 而53)(1)(1=-==C P B P P ，故21P P >. 9.解：记A i 表示事件：第i 局甲获胜，i ＝3,4,5，B j 表示事件：第j 局乙获胜，j ＝3,4.(1)记A 表示事件：再赛2局结束比赛．则A ＝A 3A 4＋B 3B 4.由于各局比赛结果是相互独立的， P (A )＝P (A 3A 4＋B 3B 4)＝P (A 3A 4)＋P (B 3B 4)＝P (A 3)P (A 4)＋P (B 3)P (B 4)＝0.6×0.6＋0.4×0.4＝0.52.(2)记B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利．因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B ＝A 3A 4＋B 3A 4A 5＋A 3B 4A 5， 由于各局比赛结果是相互独立的，故P (B )＝P (A 3A 4)＋P (B 3A 4A 5)＋P (A 3B 4A 5)＝P (A 3)P (A 4)＋P (B 3)P (A 4)P (A 5)＋P (A 3)P (B 4)P (A 5)＝0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6＝0.648.。