双曲线的简单几何性质
2.3.2 双曲线的简单几何性质
思路分析将双曲线方程化为标准方程,先求出参数a,b,c的值,再写
出各个结果.
解双曲线的方程化为标准形式是������2
9
−
���4���2=1,
∴a2=9,b2=4,
∴a=3,b=2,c= 13.
又双曲线的焦点在 x 轴上,
∴顶点坐标为(-3,0),(3,0),
焦点坐标为(- 13,0),( 13,0),
������2+������2 ������2
=
1+
������ ������
2,所以������������ =
������2-1,所以离心率
的大小决定了渐近线斜率的大小,从而决定了双曲线开口的大小,离
心率越大,开口越开阔,离心率越小,开口越扁狭.
4.等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线,其渐近线方程
������2
������
−
������2
������
=1(λ≠0),由题意得
49
a=3.
当 λ>0 时,4������=9,λ=36,双曲线方程为���9���2 − ���4���2=1;
当 λ<0 时,-9������=9,λ=-81,双曲线方程为���9���2 − 48���1���2=1.
为 y=±x,离心率等于 2.
课前篇自主预习
【做一做1】 若点M(x0,y0)是双曲线
������2 4
−
������2 25
=1上支上的任意一点,
则x0的取值范围是
,y0的取值范围是
.
解析因为a2=4,b2=25,所以a=2,b=5,所以x0∈R,y0≥2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
双曲线的简单几何性质总结归纳人教
一．基本概念1 双曲线定义：①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征：⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+⑷焦点到准线的距离：2211221221 a a F K F K c F K F K c c c==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2122a K K c=⑹21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，12212cot2PF F F PF S b ∆∠= ⑺离心率：121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞）⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a（通径长的一半）其中222b a c +=a PF PF 221=-3 双曲线标准方程的两种形式：①22a x －22b y =1，c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22bx =1，c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4、双曲线的性质：22a x －22by =1（a ＞0，b ＞0）⑴范围：|x |≥a ，y ∈R⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线：①若双曲线方程为12222=-b y a x 渐近线方程⇒=-02222b y a x x aby ±=②若渐近线方程为x a b y ±=0=±bya x 双曲线可设为λ=-2222b y a x③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）④特别地当⇔=时b a 离心率2=e 两渐近线互相垂直，分别为y=，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ；y =a b x ，y =－abx ⑸准线：l 1：x =－c a 2，l 2：x =c a 2，两准线之距为2122a K K c=⋅⑹焦半径：21()a PF e x ex a c =+=+，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；22()a PF e x ex a c=-=-，（点P 在双曲线的右支上x a ≥）；当焦点在y 轴上时，标准方程及相应性质（略）⑺与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x )0(≠λ⑻与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x ⑼双曲线上过焦点的弦，当弦的两端点在双曲线的同一支上时，过焦点且垂直于实轴的弦最短，当弦的两端点在双曲线的两支上时，以实轴长最短。
双曲线的简单几何性质 课件
例 4、已知双曲线 C：x2－y2＝1 及直线 l：y＝kx－1， (1)若直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围； (2)若直线 l 与双曲线 C 交于 A，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面 积为 2，求实数 k 的值．
[思路探究] 直线方程与双曲线方程联立方程组⇒判断“Δ”与“0”的 关系⇒直线与双曲线的位置关系．
(1)Δ>0 时，直线与双曲线有两个不同的公共点．
(2)Δ＝0 时，直线与双曲线只有一个公共点．
(3)Δ<0 时，直线与双曲线没有公共点．
当 a＝0 时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共
点．
2．数形结合思想的应用 (1)直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜 率的大小关系确定其位置关系． (2)直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的 关系来确定其位置关系． 提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消 元化为一元二次方程．
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 对于(1)中的方程(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
由根与系数的关系，得 x1＋x2＝－1－2kk2，
x1x2＝－1－2 k2，
∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|
＝ 1＋k2· －1－2kk22＋1－8 k2
＝
1＋k28－4k2 1－k22 .
又∵点 O(0,0)到直线 y＝kx－1 的距离 d＝ 1＋1 k2，
ax22－by22＝1(a>0，b3)在双曲线上，
所以a42－b92＝1.
②
联立①②，无解．
若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)，则ab＝12.
第二章 2.3.2 双曲线的简单几何性质
2.3.2双曲线的简单几何性质学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.了解直线与双曲线相交的相关问题．知识点一双曲线的性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为 2.1．双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的形状相同．(√)2．双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(×)3．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝ 2.(√)4．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(×)5．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(×)一、由双曲线方程研究其几何性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 解 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， 所以a ＝3，b ＝2，c ＝13.因此顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .延伸探究求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)， 由此可知，实半轴长a ＝m ， 虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca＝m ＋nm＝1＋n m， 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)， 所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程为 y 242－x 232＝1. 由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3； c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .二、由双曲线的几何性质求标准方程 例2 根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)过点P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52；(3)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)．解 (1)若双曲线的焦点在x 轴上， 设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵e ＝2，∴c 2a2＝2，即a 2＝b 2.①又双曲线过P (3，－5)，∴9a 2－5b 2＝1，②由①②得a 2＝b 2＝4，故双曲线方程为x 24－y 24＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上， 设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，同理有a 2＝b 2，③ 5a 2－9b 2＝1，④ 由③④得a 2＝b 2＝－4(舍去)． 综上，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知半焦距为9－4＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 因此双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)． 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知条件，有⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝52，a 2＋b 2＝c 2，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴双曲线方程为x 29－y 216＝14，即双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1.反思感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)渐近线方程为y ＝±12x 且过点A (2，－3)．解 (1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9， 故双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，∴λ＝－8 ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.三、双曲线的离心率例3 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为________．答案 53解析 不妨设P 为双曲线右支上一点， |PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ， 又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫b a 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫432＋1＝53. 反思感悟 求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca求解，若已知a ，b ，可利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2求解．(2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝ca ，转化为关于e 的n 次方程求解．跟踪训练3 (1)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是( ) A ．4＋2 3 B ．23－1 C.3＋12D.3＋1答案 D解析 因为MF 1的中点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，因为△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a， 所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1.(2)如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 如图，因为AO ＝AF ，F (c ,0)，所以x A ＝c2，因为A 在右支上且不在顶点处，所以c 2>a ，所以e ＝c a>2.1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．－14D.14答案 C解析 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0， 则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1， 则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍， ∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选C.2．中心在原点，焦点在x 轴上，且一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4答案 A解析 令y ＝0，得x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.3．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充要条件是( ) A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2 答案 C解析 由题意得，a 2＝1，b 2＝m >0，∴c 2＝m ＋1 ∴e ＝c a＝m ＋1>2，∴m >1.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，则其渐近线方程为________________．答案 y ＝±33x解析 由题意知，e ＝c a ＝233，得c 2a 2＝43.又c 2＝b 2＋a 2，所以b 2＋a 2a 2＝43. 故b 2a 2＝13. 所以b a ＝33，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .5．若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则实数k 的取值范围为________． 答案 (－2,2)解析 易知k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由Δ>0可得－2<k <2.1．知识清单： (1)双曲线的几何性质． (2)双曲线的离心率的求法．2．方法归纳：定义法、函数与方程、数形结合． 3．常见误区：忽略双曲线中x ，y 的范围．1．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9，解得a ＝2，e ＝c a ＝32.2．双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22 C ．1 D. 2 答案 B解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，顶点坐标为(1,0)，(－1,0)，故顶点到渐近线的距离为22. 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x答案 C解析 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，故有a 2＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，解得b a ＝12. 故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C. 4．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过点P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 共有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条答案 B解析 因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，则P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条．5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2， 又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，故选A.6．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．答案 4 3解析 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，所以|AB |＝4 3.7．已知双曲线方程为8kx 2－ky 2＝8(k ≠0)，则其渐近线方程为________________． 答案 y ＝±22x解析 由已知令8kx 2－ky 2＝0，得渐近线方程为y ＝±22x .8．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1作倾斜角为π6的弦AB ，则|AB |＝________.答案 3解析 易得双曲线的左焦点F 1(－2,0)，∴直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)， 与双曲线方程联立，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；(2)渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6.解 (1)由两顶点间的距离是6，得2a ＝6，即a ＝3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是有b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1. (2)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3. 当λ>0时，λ4＝9，λ＝36， 双曲线方程为x 29－y 24＝1； 当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81， 双曲线方程为y 29－x 2814＝1. 故所求双曲线的标准方程为x29－y24＝1或y29－x2814＝1.10．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，求双曲线C的离心率．解如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为ba，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝ba(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得4a2a2－y2b2＝1，化简得y＝－3b或y＝3b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－3b)，代入直线方程得－3b＝ba(2a－c)，化简可得离心率e＝ca＝2＋ 3.11．如图，双曲线C：x29－y210＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是()A．3 B．4 C．6 D．8答案 C解析 设F 2为右焦点，连接P 2F 2(图略)，由双曲线的对称性，知|P 1F 1|＝|P 2F 2|，所以|P 2F 1|－|P 1F 1|＝|P 2F 1|－|P 2F 2|＝2×3＝6.12.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M ，O ，N 将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A ．3B ．2 C. 3 D. 2答案 B解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)， 因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c ，所以椭圆与双曲线的离心率分别为e 1＝c a ，e 2＝c m， 由点M ，O ，N 将椭圆长轴四等分可知m ＝a －m ，即2m ＝a ，所以e 2e 1＝c m c a＝a m＝2. 13．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，点P ，Q 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，∴△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.14．设双曲线x 2－y 22＝1上有两点A ，B ，AB 中点M (1,2)，则直线AB 的方程为________________． 答案 y ＝x ＋1解析 方法一 (用根与系数的关系解决)显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2， 所以k ＝1，满足Δ>0，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧ x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)． 因为x 1≠x 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2， 所以k AB ＝2×1×22×2＝1， 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A.43 B.53 C ．2 D.73答案 B解析 ∵P 在双曲线的右支上，∴由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴4|PF 2|－|PF 2|＝2a ，即|PF 2|＝23a ， 根据点P 在双曲线的右支上，可得|PF 2|＝23a ≥c －a ， ∴53a ≥c ，又∵e >1，∴1<e ≤53， ∴此双曲线的离心率e 的最大值为53. 16．已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1. (1)求与双曲线C 1有相同的焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A ，B 两点，当OA →·OB →＝3时，求实数m的值．解 (1)双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1， 所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1. (2)双曲线C 1的渐近线方程为y ＝2x ，y ＝－2x ，设A (x 1,2x 1)，B (x 2，－2x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 24＝0，y ＝x ＋m ，消去y 化简得3x 2－2mx －m 2＝0， 由Δ＝(－2m )2－4×3×(－m 2)＝16m 2>0，得m ≠0.因为x 1x 2＝－m 23， OA →·OB →＝x 1x 2＋2x 1(－2x 2)＝－3x 1x 2＝m 2， 所以m 2＝3，即m ＝±3.。
双曲线的简单几何性质课件
1(λ≠0，－b2<λ<a2).
x2 y2
x2 y2
(4) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 具 有 相 同 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2 － b2 ＝
λ(λ≠0).
(5)渐近线为 ax±by＝0 的双曲线方程可设为 a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).
求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)以直线 2x±3y＝0 为渐近线，过点(1，2)；
b
b
b2
程求解，另一种方法是消去 c 转化成含a 的方程，求出a 后利用 e＝ 1＋a2 求
离心率．
2．求离心率的范围技巧 (1)根据条件建立 a，b，c 的不等式． (2)通过解不等式得ca 或ba 的范围，求得离心率的范围．
(2)双曲线离心率对曲线形状有何影响？ x2 y2
提示：以双曲线a2 －b2 ＝1(a＞0，b＞0)为例．
c
a2＋b2
b2
b
b
e＝a ＝ a ＝ 1＋a2 ，故当a 的值越大，渐近线 y＝a x 的斜率越大，双
曲线的开口越大，e 也越大，所以 e 反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心
率越大，它的开口就越大．
巧设双曲线方程的方法与技巧
x2 y2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
y2 x2 (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为a2 －b2 ＝1(a>0，b>0).
x2
y2
x2
y2
(3) 与 双 曲 线 a2 － b2 ＝ 1 共 焦 点 的 双 曲 线 方 程 可 设 为 a2－λ － b2＋λ ＝
B．y＝±34 x
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
双曲线的简单几何性质(基础知识+基本题型)(含解析)2021-2022学年高二数学上学期
3.2.2双曲线的简单几何性质（基础知识+基本题型）知识点一 双曲线的性质根据双曲线的标准方程22221(0,0)x y a b a b-=>>研究它的几何性质．1．范围,x a y R ≥∈，即,x a x a y R ≥≤-∈或．双曲线位于两条直线x a =±的外侧．讨论双曲线的范围就是确定方程中变量,x y 的范围，由不等式222211x y a b =+≥，得||x a ≥，由222211y x b a--≥-，得y R ∈. 提示双曲线在直线x a =与x a =-之间没有图象，当x 无限增大时，y 也无限增大，所以双曲线是无限伸展的，不像椭圆那样是封闭的.2．对称性双曲线的图象关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点成中心对称，我们把x 轴、y 轴叫做双曲线的对称轴，原点(0,0)O 叫做双曲线的对称中心，简称中心. 提示（1）把双曲线标准方程中的x 换成x -，方程并没有发生变化，说明当点(,)P x y 在双曲线上时，它关于y 轴的对称点1(,)P x y -也在双曲线上，所以双曲线的图象关于y 轴成轴对称.（2）同理，把双曲线标准方程中的y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于关于x 轴成轴对称；把双曲线标准方程中的x 换成x -，y 换成y -，可以说明双曲线的图象关于原点成中心对称. （3）如果曲线具有三种对称性的其中两种，那么它就具有另一种对称性.（4）对于任意一个双曲线而言，对称轴是两个焦点的连线所在直线及其垂直平分线，且双曲线的中心是双曲线的对称中心.3．顶点与实轴、虚轴如图所示．（1）双曲线和其对称轴的交点叫做双曲线的顶点，双曲线的顶点为1(,0)A a -，2(,0)A a . （2）线段12A A 叫做双曲线的实轴，线段12B B 叫做双曲线的虚轴.（3）实轴长122A A a =，虚轴长122B B b =，,a b 分别为双曲线的半实轴长和半虚轴长.拓展双曲线中,,a b c 的几何意义及特征三角形：（1）当双曲线焦点在x 轴上时，a 是半实轴长，b 是半虚轴长，且222c a b =+，所以以,,a b c 为三边长可构成直角三角形，如图2.3-10所示，其中22Rt OA B ∆称为双曲线的特征三角形，双曲线的焦点永远在实轴上.（2）当双曲线的焦点在y 轴上时，可得类似的结论.4．渐近线（1）渐近线画法：经过点1(,0)A a -，2(,0)A a 作y 轴的平行线x a =±，经过点1(0,)B b -，2(0,)B b 作x轴的平行线y b =±，四条直线围成一个矩形，矩形 两条对角线，这两条对角线所在的直线即为双曲线的渐近线.双曲线22221x y a b-=的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近.（2）渐近线方程：by x a =±.拓展（1）双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =±，双曲线22221y x a b -=的渐近线方程为ay x b=±，两者容易混淆，可先将双曲线方程中的“1”换成“0”，再因式分解即可得渐近线方程，这样就不容易记错了.（2）双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.（3）与双曲线22221x y a b -=共渐近线的双曲线方程可设为2222(0)x y a b λλ-=≠；与双曲线22221x y a b-=共焦点的双曲线方程可设为2222221()x y b a a b λλλ-=-<<-+.5．离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，定义式c e e a =⇒（2）范围：1e >.由等式222c a b =+，得b a ==e 越大，b a 也越大，即渐近线b y xa=±的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就越陡，由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 提示因为c e a =，c ，所以e =，b a222(1)b a e =-，在,,,a b c e 四个参数中，只要知道其中两个，就可以求出另两个，关键要熟悉它们之间的关系. 知识点二 等轴双曲线与共轭双曲线1.实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线有如下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3.2. 以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，与原双曲线是一对共轭双曲线.例如，双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与22221(0,0)y x a b b a -=>>是一对共轭双曲线，其性质如下： （1）双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线； （2）双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距. 知识点三 直线与双曲线的位置关系 1. 直线与双曲线有三种位置关系：（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点. （3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一个点.2. 当直线与双曲线相交时，先联立直线方程与双曲线方程可求得两个交点的坐标，从而根据距离公式求出弦长，再结合双曲线的定义，还可以求解焦点三角形的周长等.3. 当直线与双曲线相交时，涉及中点问题，可首先设出直线与双曲线两交点的坐标，然后分别代入双曲线方程，最后作差，即得中点坐标与该直线的斜率的关系式.考点一由方程求双曲线的几何性质例 1 求双曲线22494y x-=-的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图.解：将双曲线化为221 419x y-=，可知半实轴长4293a=，半虚轴长1b=，于是有2241319c a b=+=+=，所以焦点坐标为13(，离心率为13cea==渐近线方程为by xa=±，即32y x=±.为画出双曲线的草图，首先在平面直角坐标系中画出渐近线32y x =±，且顶点坐标为2(,0)3±，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，如取1y=，算出230.94x=≈.由题意，知点(0.94,1)±在双曲线上，将三点(0.94,1)-，2(,0)3，(0.94,1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、第四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出双曲线位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如图所示.已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，这样便于直观写出,a b的值，进而求出c的值及双曲线的焦点坐标、顶点坐标、离心率与渐近线方程.考点二由双曲线的几何性质求标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一个焦点为(0,13)，且离心率为135；（2）渐近线方程为12y x=±，且经过点(2,3)A- .解：（1）由题意，知双曲线的焦点在y 轴上，且13c =，由于135c a =，所以5a =，12b =. 故所求双曲线的标准方程为22125144y x -=.（2）因为双曲线的渐近线方程为12y x =±，若焦点在x 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，则12b a =.（Ⅰ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22491a b -=. （Ⅱ） 联立（Ⅰ）（Ⅱ），无解.若焦点在y 轴上，设所求双曲线标准方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，则12a b =.（Ⅲ）因为点(2,3)A -在双曲线上，所以22941a b -=. （Ⅳ） 联立（Ⅲ）（Ⅳ），解得228,32a b ==. 故所求双曲线的标准方程为221832y x -=.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应分类讨论.为了避免讨论，也可设双曲线方程为221(0)mx ny mn -=>，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为by x a =±，则可设方程为2222(0)x y a b λλ-=≠，避免讨论焦点的位置. 考点三 双曲线的离心率1．求离心率的值例3 已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，PQ 是经过1F 且垂直与x 轴的双曲线的弦，如果0290PF Q ∠=,求双曲线的离心率.解：设1(,0)F c ，将x c =代入双曲线方程，得22221c y a b -=，所以2b y a =±.由22PF QF =,0290PF Q ∠=,知112PF F F =,所以22b c a =，22b ac =，所以2220c ac a --=.即2210e e --=，解得1e =+1e =.故所求双曲线的离心率为1求双曲线离心率的常用方法（1）依据条件求出,a c ，计算c e a=； （2）依据条件建立关于,,a b c 的关系式，一种方法是消去b 转化为关于e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化为含b a 的方程，求出ba后利用221b e a =+求解.例4 设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距长为2c ，直线l 过点(,0)A a ，(0,)B b 两点，已知原点到直线l的距离为34c ，则双曲线的离心率为 . 解析：如图所示，在△OAB 中，OA a =，OB b =，34OE c =，22AB a b c =+=.因为AB OE OA OB ⋅=⋅, 所以3c ab =223)a b ab +=，两边同除以2a 233()0b b a a -=， 解得3ba=3b a =所以212c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.答案：2223)a b ab +=，此方程可称为关于,a b 的齐次方程，转化为以ba为变量的一元二次方程是求解的关键.2．求离心率的范围例5 双曲线22221(1,0)x y a b a b-=>>的焦距为2c ，直线l 过点(,0)a ，(0,)b 两点，且点(1,0)到直线l 的距离与点(1,0)-到直线l 的距离之和45s c ≥，求双曲线的离心率e 的取值范围.解：由题意，知直线l 的方程为1x ya b +=，即0bx ay ab +-=. 因为点(1,0)到直线l 的距离122d a b =+，点(1,0)-到直线l 的距离222d a b =+，所以122abs d d c=+=. 由45s c ≥，得2ab c 45c ≥，即252c .于是得22e ，即22425250e e -+≤.解得2554e ≤≤.因为1e >，所以e的取值范围是. 求双曲线离心率的范围时，要根据题意挖掘题中隐含的不等关系，构造不等式，从而求出双曲线的离心率的取值范围.例6 双曲线222:1(0)x C y a a-=>与直线:1l x y +=相交于两个不同的点,A B ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 .解：由22211x y a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得到2222(1)220a x a x a -+-=，由题意知，24221048(1)0a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得(0,1)(1,2)a ∈.所以c e a ===，所以(2,)e ∈+∞.答案：(2,)+∞ .利用一元二次方程根的判别式构建不等关系是一种常用的方法，另外也可利用基本不等式构建不等关系，线性规划中的区域符号也可构建不等关系. 考点四 直线与双曲线的位置关系例7 已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-.若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数则k 的取值范围.解：由2211x y y kx ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得到22(1)220k x kx -+-=，由题意，知2221048(1)0k k k ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩，解得k <，且1k ≠±. 故实数k 的取值范围是(1)(1,1)(1,2)--.直线与双曲线交点问题，常利用直线方程与双曲线方程构成的方程组求解.。
2.2.2 双曲线的简单几何性质
2．双曲线的渐近线 (1)求法：令常数项为零，因式分解即得． (2)用法：①由渐近线方程得到ba或ab的值；②利用渐近线方程设出 双曲线的方程． (3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b(虚半轴的长)． (4)等轴双曲线的渐近线方程为 y＝±x.
◎已知双曲线方程为 x2－y2＝1，双曲线的左支上一点 P(a，b)到 直线 y＝x 的距离是 2，求 a＋b 的值．
解析： OA＝a，OB＝b，AB＝c， 在△OAB 中，有12ab＝12·43c·c＝ 83c2， 又 a2＋b2＝c2，∴a2(c2－a2)＝136c4，即 e2－1＝136e4， ∴3e4－16e2＋16＝0，解得 e＝2 或 e＝233， ∵0<a<b，∴a2<c2－a2， ∴e> 2，∴e＝233应舍去，∴e＝2.
解析： 由双曲线方程 mx2＋y2＝1，知 m<0， 则双曲线方程可化为 y2－－x2m1 ＝1， 则 a2＝1，a＝1，又虚轴长是实轴长的 2 倍， ∴b＝2，∴－m1 ＝b2＝4， ∴m＝－14.
答案： －14
4．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点是(－4,0)，(4,0)，过点(2,0)； (2)离心率为54，半虚轴长为 2.
• 2．2.2 双曲线的简单几何性质
• 第1课时 双曲线的简单几何性质
• 1.掌握双曲线的简单几何性质． • 2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.
• 1.本节的重点是双曲线的几何性质的理解和应用，难点是渐近 线的理解和应用．
• 2.双曲线的几何性质是考查的重点，其中离心率、渐近线是考 查的热点．
[规范作答] 设 F1(c,0)，将 x＝c 代入双曲线的方程得 ac22－by22＝1，那么 y＝±ba2，3 分 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°，知|PF1|＝|F1F2|， ∴ba2＝2c，∴b2＝2ac.6 分 ∴c2－2ac－a2＝0，∴ac2－2×ac－1＝0.8 分 即 e2－2e－1＝0，∴e＝1＋ 2或 e＝1－ 2(舍去).10 分 所以所求双曲线的离心率为 1＋ 2.12 分
专题3.4双曲线的简单几何性质(九个重难点突破)(解析版)-高二数学上学期重难点和易错点突破
双曲线的简单几何性质专题3.4离心率1c e a=>渐近线b y xa=±a y xb=±知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它有以下性质：(1)方程形式为22)0(x y λλ-=≠；(2)渐近线方程为y x =±,它们互相垂直；(3)离心率2e =重难点1已知方程求焦距、实轴、虚轴1．已知12,F F 是双曲线2221(0)3y x a a-=>的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段12F F 四等分，则该双曲线的焦距为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据题意列出方程组222243c a c a ⎧=⎨=+⎩进行求解即可.【详解】因为12,F F 是双曲线2221(0)3y x a a-=>的两个焦点，若双曲线的左､右顶点和原点把线段12F F 四等分，所以24c a =，即2c a =，即224c a =，又因为223c a =+，解得2214a c ⎧=⎨=⎩，所以c =2，所以该双曲线的焦距为2224c =⨯=.故选：D2．双曲线221x y m-=的实轴长是虚轴长的3倍，则m 的值为（）A ．9B ．－9C ．19D ．19-【答案】C【分析】根据双曲线的方程，求得1,a b ==.【详解】由双曲线221x y m-=，可得0m >，且1,a b ==因为双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，可得3a b =，即1=19m =.故选：C.3．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，焦距为6，点M 在双曲线C 上，且MF AF ⊥，2MF AF =，则双曲线C 的实轴长为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.【详解】把x c =代入22221x y a b -=中，得2b y a =±，即2b MF a=，因为AF a c =+，2MF AF =，所以()22b a c a=+⇒22222c a ac a -=+，又3c =，所以2230a a +-=，解得1a =，3a =-舍去，则22a =.故选：A4．如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C ：22221x y a b-=的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8cm ，瓶高等于双曲线C 的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（）A ．cmB ．24cmC ．32cmD ．cm【答案】D【分析】求出4a =，设出(),M r b ，代入双曲线方程，求出r =.【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8cm ，所以4a =.设M 是双曲线C 与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r ，则(),M r b ，所以222214r b b-=，解得r =2r =.故选：D5．若实数m 满足05m <<，则曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-的（）A ．离心率相等B ．焦距相等C ．实轴长相等D ．虚轴长相等【答案】B【分析】根据双曲线的性质逐一分析判断即可.【详解】因为05m <<，所以50,150m m ->->，所以曲线221155x y m -=-与曲线221155x y m -=-都是焦点在x 轴上的双曲线，15520155m m m +-=-=-+，所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B 正确；因为20201515m m m--≠-，所以离心率不相等，故A 错误；因为1515m ≠-，所以实轴长不相等，故C 错误；因为55m -≠，所以虚轴长不相等，故D 错误.故选：B.6．等轴双曲线2221(0)x y a a-=>的焦距为.【答案】【分析】根据等轴双曲线定义得到221a b ==，进而求出c =.【详解】由题意得，221a b ==，故2222c a b =+=，故c =2c =.故答案为：7．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 是1C 上任意一点，12MF F △的面积的1C 的焦距为2，则双曲线22222:1y x C a b-=的实轴长为．【答案】4【分析】根据椭圆焦点三角形的性质即可列方程求解2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，进而可求解.【详解】由于12MF F △的面积为122M c y cb ⨯⨯≤，由题意知22222,,c b c a b c ⎧⋅=⎪=⎨⎪=+⎩所以2,a b =⎧⎪⎨⎪⎩故双曲线2C 的方程为22143y x -=，则2C 的实轴长为4．故答案为：4重难点2已知方程求双曲线的渐近线8．双曲线()22102y x a a a-=≠的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．12y x =±C．y =D．2y x =【答案】C【分析】利用双曲线渐近线方程定义计算即可.【详解】由题意可得：双曲线()22102y x a a a-=≠渐近线斜率为k ==，则其渐近线方程为：y =．故选：C9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e，若点(与点(),2e 都在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．y x=±B．y =C．y =D ．2y x=±【答案】B【分析】根据给定条件，列出方程组，结合离心率的意义求出,a b 作答.【详解】由点,2)e 在双曲线22221x y a b -=上，得2222241461e a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则222420e a b --=，即2222214b e e a==--，整理得42560e e -+=，解得22e =或23e =，当22e =时，22a b =，此时方程22461a b -=无解，当23e =时，222b a =，而22461a b -=，解得1,a b ==，所以该双曲线的渐近线方程为y =.故选：B10．双曲线22139x y -=的两条渐近线的夹角为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】C【分析】根据题意求得双曲线的渐近线方程，进而求得其夹角.【详解】由双曲线22139x y -=，可得3a b ==，所以双曲线的渐近线的方程为by x a=±=，所以两渐近线y =的夹角为60︒.故选：C.11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2221x y -=的渐近线方程为（）A．2y x =±B．y =C ．y x =±D．y x =【答案】B【分析】化简双曲线的方程为标准方程，求得,a b 的值，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由双曲线2221x y -=，可得其标准方程为22112x y -=，所以12a b ==，则双曲线的渐近线方程为by x a=±=.故选：B.12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点是F ，点F 到C 的渐近线的距离为d ，则d （）A ．与a 有关B ．与a 无关C ．与b 有关D ．与b 无关【答案】BC【分析】根据双曲线标准方程可求得焦点坐标，再利用点到直线距离即可求出d b =，便可得出结论.【详解】设双曲线C 的焦距为2c ，不妨取右焦点F 的坐标为(),0c，如下图所示：双曲线C 的渐近线方程是by x a=±，即bx ay ±=0，所以===bcd b c，所以d 与a 无关，与b 有关.故选：BC.13．双曲线2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为2y x =±，则=a ．【答案】3【分析】根据双曲线的渐近线方程即可求解.【详解】2221(0)36x y a a -=>的渐近线方程为6y x a =±，所以623a a =⇒=，故答案为：314．已知双曲线()22:10y C x n n-=>的一条渐近线为0nx =，则C 的离心率为.2n ==，进而求出双曲线的离心率.【详解】双曲线的一条渐近线方程为0nx =，即y x =，2n =⇒=，故双曲线22:12y C x -=，所以双曲线的离心率为1e =重难点3由双曲线的几何性质求标准方程15．已知双曲线2222:1y x C a b-=的一条渐近线斜率为2-，实轴长为4，则C 的标准方程为（）A ．2214x y -=B ．221416y x -=C ．2214y x -=D ．221164y x -=【答案】C【分析】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可.【详解】由题意双曲线2222:1y x C a b-=的焦点在y 轴上，则24a =，2a =，又2a b -=-，则1b =，故C 的标准方程为2214y x -=.故选：C16()2,0，则双曲线的标准方程为（）A ．22144x y -=B ．22144-=y x C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】A【分析】根据条件列关于a ，b ，c 的方程组求解即可.【详解】设双曲线的标准方程为22221x y a b-=，由已知得222222a b a a b c ⎧+=⎪=⎨⎪+=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线的标准方程为22144x y -=故选：A.17．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则C 的方程为（）A ．22149x y -=B ．22194x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D【分析】由距离公式得出4b =，进而由双曲线的性质得出方程.【详解】右焦点2(,0)F c 到渐近线0bx ay -=4b ==，因为实轴长为26a =，所以3a =，即C 的方程为221916x y -=.故选：D18．求双曲线以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，且以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的方程是（）A ．22135x y -=B ．22153x y -=C ．22135y x -=D ．22153y x -=【答案】A【分析】根据椭圆22185x y +=方程，可得出其焦点坐标、顶点坐标，进而得到双曲线的焦点坐标、顶点坐标，即可得到双曲线的方程.【详解】在椭圆22185x y +=中，c =，椭圆的焦点坐标为，(，左右顶点坐标分别为，()-，则双曲线的顶点坐标为，(，焦点坐标为0)，()-，且双曲线的焦点在x 轴上，所以a =c =222835b c a =-=-=，所以双曲线的方程为：22135x y -=．故选：A.19．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4．若点()P m 是双曲线C 位于第一象限内的一点，则m =（）A ．2B ．1CD【答案】B【分析】根据已知条件求得,a b ，从而求得双曲线的方程，代入P 点坐标，由此求得m 的值.【详解】法一：双曲线的几何性质由题知22224,,a c e abc a =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以双曲线C ：2214x y -=．又点()P m 是双曲线C 位于第一象限内的一点，所以2814m -=（0m >），解得1m =.法二：由题知242a c e a =⎧⎪⎨===⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以双曲线C ：2214x y -=．又点()P m 是双曲线C 位于第一象限内的一点，所以2814m -=（0m >），解得1m =.故选：B20．双曲线()2210,0x y m n m n -=>>的渐近线方程为2y x =±，实轴长为2，则m n -为（）A ．14-B．1C ．12D．1【答案】A【分析】根据渐近线方程、实轴长求得,m n ，由此求得m n -.【详解】依题意222222a m a b n a m ⎧⎪⎪=⎪=⎨⎪⎪==⎪⎝⎭⎩，解得511,,44m n m n ==-=-.故选：A21．如果中心在原点，对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点为()10,6F -，那么此双曲线的标准方程为．【答案】2211818y x -=【分析】根据焦点坐标及题意，设方程为22221(0)y x a a a-=>，根据焦点坐标，可求得2a ，即可得答案.【详解】因为一个焦点是()10,6F -，所以6c =，且焦点在y 轴，所以设等轴双曲线方程为22221(0)y x a a a-=>，所以22236c a a =+=，解得218a =，所以双曲线标准方程为2211818y x -=，故答案为：2211818y x -=.重难点4求共渐近线的双曲线方程22．若双曲线C 与双曲线2211612x y -=有相同的渐近线，且经过点(，则双曲线C 的标准方程是．【答案】221912y x -=【分析】设双曲线C 的方程为221612x y λ-=，根据双曲线C 经过的点求得λ，从而求得双曲线C 的标准方程.【详解】由双曲线C 与双曲线2211612x y -=有相同的渐近线，可设双曲线C 的方程为221612x y λ-=，又C过点(，所以34λ=-，22316124x y -=-，整理得双曲线C 的标准方程是221912y x -=．故答案为：221912y x -=23．与双曲线221169x y -=渐近线相同，且一个焦点坐标是()0,5的双曲线的标准方程是．【答案】221916y x -=【分析】设所求双曲线的方程为22221y x a b -=，由题意有2225a b +=且34a b =，解出22,a b 即可.【详解】双曲线221169x y -=的渐近线方程为34y x =±，由焦点坐标是()0,5，可设所求双曲线的方程为22221y x a b-=(0,0)a b >>，得2225a b +=，双曲线渐近线的方程为a y x b =±，由题意有34a b =，解得29a =，216b =，所以双曲线的方程为221916y x -=.故答案为：221916y x -=.24．若双曲线C 与2219x y -=有共同渐近线，且与椭圆2214020x y +=有相同的焦点，则该双曲线C 的方程为.【答案】221182x y -=【分析】根据双曲线与椭圆的标准方程，求得渐近线方程与焦点坐标，由双曲线标准方程，建立方程，可得答案.【详解】由方程2219x y -=，则其渐近线方程为13y x =±，由椭圆2214020x y +=，则其焦点为()±，由题意可知，双曲线C 的标准方程设为22221x ya b -=，则221320b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得22182a b ⎧=⎨=⎩，则双曲线C 的标准方程为221182x y -=，故答案为：221182x y -=.25．双曲线22:12y C x -=，写出一个与双曲线C 有共同的渐近线但离心率不同的双曲线方程．【答案】2212y x -=（答案不唯一）【分析】根据有共同渐近线的双曲线方程的性质进行求解即可.【详解】与双曲线C 有共同的渐近线的双曲线方程可设为222y x λ-=，当1λ=-时，得到双曲线方程为2212y x -=，显然该双曲线与双曲线C 有共同的渐近线但离心率不同，故答案为：2212y x -=26．求与双曲线22143y x -=有共同的渐近线，且经过点()3,2M -的双曲线的标准方程.【答案】22168x y -=【分析】利用待定系数法即可得到所求双曲线的标准方程.【详解】与双曲线22143y x -=有相同的渐近线的双曲线可设为22(0)43y x λλ-=≠又所求双曲线过点()3,2M -，则()222343λ--=，则2λ=-则所求双曲线的方程为22243y x -=-，即22168x y -=.27．已知双曲线E 与双曲线221169x y -=共渐近线，且过点()3A -，若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程.【答案】221944x y -=【分析】设双曲线E 的方程为()220169-=≠x y t t ，代入点A 可得双曲线E 的标准方程，从而得到双曲线双曲线M 的标准方程.【详解】由题意，设双曲线E 的方程为()220169-=≠x y t t ，∵点()3A -在双曲线E上，∴(()223169--=t ，∴14t =-，∴双曲线E 的标准方程为221944y x -=，又双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，∴双曲线M 的标准方程为221944x y -=.28．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为()1F ，)2F ，且过点)2P.(1)求双曲线C 的虚轴长；(2)求与双曲线C 有相同渐近线，且过点()3,6Q -的双曲线的标准方程.【答案】(1)(2)221189y x -=【分析】（1）由双曲线的定义可知，12||||2PF PF a -=，又222+=a b c ，求得b （2）设与双曲线C 有相同渐近线的双曲线的方程为22(0)2y x λλ-=≠，将点()3,6Q -的坐标代入上述方程得λ即可．【详解】（1）由题意，易知22PF =，12F F =212PF F F ⊥.在21Rt PF F △中，14PF ==由双曲线的定义可知，122PF PF a -=，22a =，即1a =.∵双曲线C 的两个焦点分别为()1F ，)2F ，∴c =又∵222+=a b c ，∴b =故双曲线C 的虚轴长为（2）由（1）知双曲线C 的方程为2212y x -=.设与双曲线C 有相同渐近线的双曲线的方程为()2202y x λλ-=≠将点()3,6Q -的坐标代入上述方程，得9λ=-故所求双曲线的标准方程为221189y x -=重难点5根据,,a b c 齐次式关系求渐近线方程29．过原点的直线l 与双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点（点A 在第一象限），AC x ⊥交x 轴于C 点，直线BC 交双曲线于点D ，且1AB AD k k ⋅=，则双曲线的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．y x =【答案】D【分析】由题可设，000011(,),(,),(,)A x y B x y D x y --，0(,0)C x ，分别表示出,,AB BC AD k k k ，逐步转化，即可求得本题答案.【详解】因为,A B 直线过原点，所以,A B 关于原点对称，设000011(,),(,),(,)A x y B x y D x y --，因为AC 与x 轴垂直，所以0(,0)C x ，设123,,AB BC AD k k k k k k ===，则00121001,22y y k k k x x ===，而222222210101012232222222101010101(1)(1)y y y y y y x x b k k b b x x x x x x x x a a a ⎡⎤+--⋅=⋅==---=⎢⎥+---⎣⎦所以，213232221b k k k k a⋅=⋅==，所以，222,a b a ==所以渐近线方程为2y x =±.故选：D30．双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，点A ，B 均在E 上，若四边形OACB 为平行四边形，且直线OC ，AB的斜率之积为3，则双曲线E 的渐近线的倾斜角为（）A ．π3B ．π3或2π3C ．π6D ．π6或5π6【答案】B【分析】利用点差法，结合双曲线渐近线方程、平行四边形的性质、中点坐标公式进行求解即可.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，显然线段AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为四边形OACB 为平行四边形，所以线段OC 的中点坐标和线段AB 的中点坐标相同，即为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，因此C 点坐标为()1212,x x y y ++，因为直线OC ，AB 的斜率之积为3，所以221212122212121233y y y y y y x x x x x x +--⋅=⇒=+--，因为点A ，B 均在E 上，所以2222112222221,1x y x y a b a b-=-=，两式相减得：22212222123y y b bx x a a-==⇒=-所以两条渐近线方程的倾斜角为π3或2π3，故选：B【点睛】关键点睛：本题的关键是应用点差法和平行四边形的性质.31．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>）A ．12y x =±B ．2y x=±C ．y =D ．y x =【答案】B【分析】由离心率求得ba即得渐近线方程．【详解】c e a ==222225c a b a a+==，2ba =，故选：B32．设12,F F 分别是双曲线22221x ya b-=()0,0a b >>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212PF F F =，且124cos 5PF F ∠=，则双曲线的渐近线方程为（）A ．340x y ±=B ．430x y ±=C ．350x y ±=D ．540x y ±=【答案】B【分析】结合双曲线的定义，以及条件，得到425a c c +=，再根据222c ab =+，即可求解双曲线渐近线的斜率.【详解】作21F Q PF ⊥于点Q ，如图所示，因为122F F PF =，所以Q 为1PF 的中点，由双曲线的定义知|122PF PF a -=，所以122PF a c =+，故1FQ a c =+，因为124cos 5PF F ∠=，所以11212cos FQ PF F F F =∠，即425a c c +=，得35c a =，所以5a =，得43b a =，故双曲线的渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=.故选：B33．已知F 为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点，过点F 作x 轴的垂线与双曲线及它的渐近线在第一象限内依次交于点A 和点B ．若A B A F =，则双曲线C 的渐近线方程为（）A0y ±=B ．0x =C 0y ±=D ．0x =【答案】B【分析】分别求出点A,B 的坐标，利用线段相等建立方程求出ba即可得解.【详解】由题意得(),0F c ，双曲线C 的渐近线方程为by x a=±．设点A ，B 的纵坐标依次为1y ，2y ，因为221221c y a b -=，所以21b y a =，所以2b AF a=．因为2bc y a=，所以bc BF a =．因为A B A F =，所以22bc ba a=，得2c b =，所以a ==，故b a C 的渐近线方程为y x =，即0x =，故选：B ．34．如图，已知1F ，2F 为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且1230PF F ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为.【答案】y =【分析】利用点在双曲线上及直角三角形中30︒所对的直角边等于斜边的一半，结合双曲线的定义和渐近线方程即可求解.【详解】设()()2,00F c c >，()0,P c y ，则220221y c a b -=，解得20b y a=±，∴22b PF a=.在21Rt PF F △中，1230PF F ∠=︒，则122PF PF =①.由双曲线的定义，得122PF PF a -=②.由①②得22PF a =.∵22b PF a=，∴22b a a=，即222b a =.∴ba=.∴双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =.35．过双曲线2222:1-=y W x a b的右焦点F 作x 轴的垂线，与两条渐近线的交点分别为A ，B ，若OAB 为等边三角形，则W 的渐近线方程为，W 的离心率为．【答案】3y x =±3【分析】根据图形则得到tan 303b a ==，再利用离心率公式即可.【详解】双曲线渐近线方程为by x a=±，因为OAB 是等边三角形，则tan 303b a == ，则渐近线方程为3y x =±，即e ===，故答案为：y x =重难点6求双曲线的离心率36．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点，过点1F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M .若2MF ，则双曲线C 的离心率为（）AB C ．3D 【答案】A【分析】根据题意，先求得焦点1F 到渐近线的距离为b ，在直角1MOF △中，求得1cos bOF M c∠=，再在12MF F △中，利用余弦定理求得222343b c b =-，结合222b c a =-和离心率的定义，即可求解.【详解】由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得1(,0)F c -，渐近线方程为b y x a=±，如图所示，则焦点1F 到渐近线by x a=-的距离为1MF b =，在直角1MOF △中，可得111cos MF bOF M OF c∠==，在12MF F △中，由余弦定理得222212112112cos MF F F MF F F MF OF M =+-∠，即22222342243bb c b cb c b c=+-⨯⨯=-，所以2223c b =，又由222b c a =-，所以22223()c c a =-，可得223c a =，所以双曲线的离心率为==ce a.故选：A.37．已知F 为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，平行于x 轴的直线l 分别交C 的渐近线和右支于点A ，B ，且90OAF ∠=︒，OBF OFB ∠=∠，则C 的离心率为（）ABC ．32D【答案】B【分析】设(),B m n ，联立方程组求得,an A n b ⎛⎫⎪⎝⎭，根据90OAF ∠=︒，得到1AF OA k k ⋅=-，求得ab n c =，再由(),B m n 在双曲线C 上，化简得到22422a c a m c+=，结合OB OF =，化简得到222a c =，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±.设(),B m n ，联立方程组b y x a y n⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得,an A n b ⎛⎫⎪⎝⎭.因为90OAF ∠=︒，所以1AF OAk k ⋅=-，即1n ban a c b⋅=--，可得ab n c =.又因为点(),B m n 在双曲线C 上，所以22221m n a b -=，将ab n c =代入，可得22422a c a m c +=，由OBF OFB ∠=∠，所以OB OF =，所以222m n c +=，即22422222a c a a bc c c++=，化简得222a c =，则ce a==.故选：B.38．设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，O 为坐标原点，过左焦点1F 作直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，与双曲线右支交于点P ，且121||2OP F F =，则双曲线的离心率为（）A B ．2CD【答案】A【详解】因为直线1F P 与圆222x y a +=切于点E ，则1OE F P ⊥，又121||2OP F F =，所以12||OP OF OF ==，所以E 为1F P 的中点，而O 为12F F 中点，于是2//OE PF ，有12PF PF ⊥，且222PF OE a ==，则1224PF PF a a =+=，令双曲线焦距为2c ，由2222112||||||PF PF F F +=，得222(2)(4)(2)a a c +=，即225c a =，所以25e =，所以双曲线的离心率e =故选：A39．已知双曲线2222>:1(00,)>x y C a b a b-=的左右焦点12F F ，，点2F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率是（）A BC ．2D ．3【答案】C【分析】利用双曲线的渐近线方程及点关于线对称的特点，结合双曲线的离心率公式即可求解.【详解】双曲线2222>:1(00,)>x y C a b a b-=的右焦点()2,0F c ,设点2F 关于一条渐近线b y x a =-的对称点为,b m m a ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意知，()1122b bm c m a a -⨯+=⨯，解得2c m =-.又知bma a m c b=-，解得223b a =，所以22224c a b a =+=，即2c a =，所以双曲线C 的离心率是 2.c e a==故选：C.40．若0m >，双曲线1C ：2212x y m -=与双曲线2C ：2218x y m-=的离心率分别为1e ，2e ，则（）A ．12e e 的最小值为94B ．12e e 的最小值为32C ．12e e 的最大值为94D ．12e e 的最大值为32【答案】B.【详解】由题意可得212e m m +=，2288e m =+，则()2128252488m e m m m e m +=⋅+=++，由基本不等式，()21252594844m e e m =++≥+=，即1232e e ≥，当且仅当28mm =，即4m =时等号成立，故12e e 的最小值为32.故选：B.41．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，过其上焦点F 的直线与圆222x y a +=相切于点A ，并与双曲线C 的一条渐近线交于点(,B A B 不重合）．若25FB FA =，则双曲线C 的离心率为．【答案】3【分析】设出过上焦点F 的直线方程为y c kx -=，由圆心到直线距离等于半径得到bk a=±，再分别联立直线与圆，直线与渐近线，求出A ab x c =，22B abc x b a =-，根据比例关系得到方程，得到,,a b c 的关系式，求出离心率.【详解】由题意得()0,F c ，渐近线方程a y x b=±，设过其上焦点F 的直线方程为y c kx -=，则圆心O 到直线y c kx -=a =，解得b k a =±，不妨取负值，如图所示，故过其上焦点F 的直线方程为b y c x a-=-，联立b y c x a -=-与222x y a +=可得，222220c bc x x b a a-+=，解得A ab x c=，联立b y c x a -=-与a y x b=，可得B abx c =，此时，,A B 重合，舍去，联立b y c x a -=-与a y x b =-，可得22B abcx b a=-，此时,A B 不重合，满足要求，因为25FB FA = ，所以25B A x x =，故2225abc ab b a c=-，化简得222255c b a =-，又222b c a =-，故2222510c c a =-，即22310c a =，解得c a =，双曲线C故答案为：342．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 分别作C 的两条渐近线的平行线与C 交于A ，B 两点，若||AB =，则C 的离心率为2/2【分析】设直线方程为()b y x c a=-与双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>联立，根据||AB =求解.【详解】解：如图所示：设直线方程为()b y x c a=-与双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>联立，解得223,22a c b x y c ac+==-，因为||AB =，所以322b ac⨯=，即2b =，即220c a --=，解得2ce a==，2+43．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线在第一象限的部分上存在一点P ，且1OP OF =，直线1PF ，则该双曲线的离心率为．【答案】2【分析】根据题意，设点P 的坐标为00,b x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，根据1OP OF =，求得点P 的坐标为(),a b ，再由1PF 的斜a c =+，化简得到离心率e 的方程，即可求解.【详解】由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，可得渐近线方程为b y x a =±，设点P 的坐标为00,b x x a ⎛⎫⎪⎝⎭，且00x >，因为1OP OF =，即2222002b x x c a+=，解得220x a =，即0x a =，所以点P 的坐标为(),a b ，又因为直线1PFb ac =+a c =+，两边平方得22232b ac ac =++，即2220c ac a --=，两边同时除以2a ，可得220e e --=，即()()210e e -+=，解得2e =或1e =-（舍去）．故答案为：2.重难点7求双曲线离心率的取值范围44．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且ADB ∠为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（）A．(B．C．)2D．)+∞【答案】D【分析】根据双曲线的性质求出,,A B D 的坐标，写出向量,DA DB，根据∠ADB 为钝角，结合向量的数量积公式化简求解即可.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1(,0)F c -，令x c =-，得2by a=±，可设22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由对称性，不妨设(0,)D b ，可得2,b DA c b a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，2,b DB c b a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由题意知,,A D B 三点不共线，所以∠ADB 为钝角0DA DB ⇔⋅<，即为2220b b c b b a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，将222b c a =-代入化简得4224420e a c a -+>，由ce a=，可得42420e e -+>，又1e >，解得22e >+e ，综上，离心率的取值范围为)+∞．故选：D.45．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=- ，则双曲线离心率的最小值为（）A B C ．2D【答案】D【分析】设P 的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.【详解】设00(,)P x y ，双曲线的半焦距为c ，则有0||x a ≥，2200221x y a b-=，12(,0),(,0)F c F c -，于是200100(,),(,)PF c x y PF c x y =--=---，因此22222222222222220210000222(1)c c PF PF x c y x b c x b c a b c b a a a ⋅=-+=+--=⋅--≥⋅--=- ，当且仅当0||x a =时取等号，则222a b -≥-，即222b a ≥，离心率c e a ==≥，故选：D46．已知双曲线22221E y x a b-=：（0a >，0b >）的离心率为e ，若直线2y x =±与E 无公共点，则e 的取值范围是.【答案】⎛ ⎝⎦【分析】确定双曲线的渐近线方程，由题意可得关于,a b 的不等关系，即可求得离心率范围.【详解】因为双曲线22221:y x E a b-=（0a >，0b >）的渐近线为a y x b =±，因为，要使直线2y x =±与E 无公共点，则2ab≥，所以，102b a ≤<，所以双曲线的离心力的范围1e <=所以满足条件的离心率的范围是⎛ ⎝⎦，故答案为：2⎛⎤⎝⎦47．已知双曲线2222:1(0,0),x y C a b F a b-=>>为双曲线的右焦点，过点F 作渐近线的垂线()0MN MN k <，垂足为M ，交另一条渐近线于N ，若()2NM MF λλ=≥，则双曲线C 的离心率的取值范围是（）A ．)+∞B ．(C ．D ．233⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】设MOF θ∠=，根据()2NM MF λλ=≥ 列式，根据λ的取值范围求得22b a的取值范围，进而求得离心率的取值范围.【详解】依题意可知M 在第一象限，N 在第二象限，(),0F c 到渐近线0bx ay -=bcb c==，即MF b =，设MOF θ∠=，则tan ba θ=，()2222tan 2tan tan 2tan2tan 1ab NOM b a θ∠πθθθ=-=-==--，由()2NM MF λλ=≥ 得,tan bMN b NOM a λλ∠=∴=，故()2222ab b b a a λλ=≥-，22221b a λλλ+==+，212,b c e a a ⎛⎫∴<≤∴==⎪⎝⎭.故选:C48．双曲线2221y x b-=的左焦点为F ，()0,A b -，M 为双曲线右支上一点，若存在M ，使得5FM AM +=，则双曲线离心率的取值范围为（）A ．(B ．(C ．)+∞D ．)+∞【答案】B【分析】双曲线的右焦点1F ，5FM AM +=等价于13F M AM +=，所以13F A ≤，3≤可求双曲线离心率的取值范围.【详解】取双曲线的右焦点1F ，由双曲线定义12FM F M =+，如图所示，故存在点M 使得5FM AM +=等价为存在点M 使得13F M AM +=，所以13F A ≤，当且仅当1,,A M F 三点共线时等号成立，3≤，由221b c =-，解得c ≤1a =，故离心率1e <≤故选：B49．如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：()222210,0x y a b a b -=>>的部分的旋转体．若该双曲线右支上存在点P ，使得直线PA ，PB （点A ，B 为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为83，则该双曲线离心率的取值范围为．【答案】51,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】(),0A a -，(),0B a ，设()00,P x y ，计算22PA PB b k k a⋅=，根据均值不等式计算得到43b a <，得到离心率范围.【详解】(),0A a -，(),0B a ，设()00,P x y ，22022200222220000010PA PBx b a y y y b k k x a x a x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===>+---，83PA PB k k +=，故0PA k >，0PB k >，823PA PB bk k a=+≥=，PA PB k k ≠，故等号不成立，故43b a <，53c e a ==<，即51,3e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故答案为：51,3⎛⎫⎪⎝⎭.50．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，若在C 上存在点P （不是顶点），使得21123PF F PF F ∠∠=，则C 的离心率的取值范围为．【答案】2)【分析】1PF 与y 轴交点Q ，连接2QF ，由双曲线的定义和对称性，结合已知条件得12QF a =，有11QF OF >且11||cos 45OF QF ︒>，可求离心率的取值范围.【详解】设1PF 与y 轴交点Q ，连接2QF ，由对称性可知，1221QF F QF F ∠=∠，如图所示，又∵21123PF F PF F ∠∠=，∴22122PF Q PQF PF F ∠=∠=∠，∴2PQ PF =．又∵122PF PF a -=，∴12112PF PF PF PQ QF a -=-==，在1Rt QOF 中，11QF OF >，∴2a c >，∴2ce a=<，由21123PF F PF F ∠∠=，且三角形的内角和为180，12180454PF F ︒︒∴∠<=1121cos cos 45OF PF F QF ︒>=∴∠，即2c a >ce a =>综上，2)e ∈．故答案为：2)．重难点8根据离心率求参数51．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且它们在第一象限的交点为P ，12PF F △是以1PF 为底边的等腰三角形.若110PF =，双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，则该椭圆的焦距的取值范围是（）A ．55,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．205,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,53⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】设椭圆的焦距为2c ，双曲线的实轴长为2a ，根据双曲线的定义及双曲线的离心率的取值范围求出c 的范围，进而可得出答案.【详解】解：设椭圆的焦距为2c ，双曲线的实轴长为2a ，则1222F F PF c ==，双曲线的半实轴长为12502PF PF a c -==->，则05c <<，又双曲线的离心率的取值范围为(1,2)，所以125c c a c <=<-，所以51023c <<，所以20523c <<，即该椭圆的焦距的取值范围是205,3⎛⎫⎪⎝⎭.故选：B.52．设双曲线2222:1y x C a b-=(0,0)a b >>的上、下焦点分别为12,F F P 是C 上一点，且12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为4，则=a （）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】D可得c =①，又因为12PF PF ⊥．若12PF F △的面积为4，设P 在双曲线C 的上半支，12||,||PF m PF n ==，则有2142n m a mn -=⎧⎪⎨=⎪⎩，整理化简得224416c a =+，结合①，即可求得a 的值.所以ce a==，即有c =①，又因为12PF PF ⊥，12PF F △的面积为4，由对称性，设P 在双曲线C 的上半支，12||,||PF m PF n ==，则有2142n m a mn -=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2222()2416n m n m nm a +=-+=+，即224416c a =+，由①可得225c a =，所以2220416a a =+，解得1a =.故选：D.53．设k 为实数，已知双曲线2214x y k-=的离心率(2,3)e ∈，则k 的取值范围为【答案】(12,32)【分析】根据双曲线离心率公式进行求解即可【详解】因为2214x y k-=表示双曲线的方程，所以有0k >，因此2,a b c ===因为2c e a ==，所以由()2,32346e ∈⇒<⇒<164361232k k ⇒<+<⇒<<，即k 的取值范围为(12,32)，故答案为：(12,32).54．已知1F ，2F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ∠=︒，()121PF PF λλ=>，若C 的离心率为2，则λ的值为．【答案】3【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理求解即可.【详解】由12(1)PF PF λλ=>及双曲线的定义可得122(1)2PF PF PF a λ-=-=，所以221a PF λ=-，121aPF λλ=-，因为1260F PF ∠=︒，在12F PF △中，由余弦定理可得222222442242cos60(1)(1)11a a a ac λλλλλλ=+-⨯⋅⋅︒----，即2222(1)(1)c a λλλ-=-+，所以2222217(1)4c e a λλλ-+===-，即231030λλ-+=，解得3λ=或13λ=（舍去）.故答案为：355．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左､右焦点分别是1F ，2F ，P 是双曲线右支上一点，2120PF F F ⋅= ，O为坐标原点，过点O 作1F P 的垂线，垂足为点H，若双曲线的离心率2e =，存在实数m 满足1OH m OF =，则m =.【答案】19【分析】由题意，可得相似三角形，根据相似三角形性质，建立等量关系，结合离心率的公式，建立方程，可得答案.【详解】当x c =时，代入双曲线可得2by a=±，由2120PF F F ⋅=可得212PF F F ⊥，由题易得112F OH F PF △△.由相似三角形的性质可知，121||OF OH PF PF =，则222b am b a a=+，2222a m b m b ∴+=，整理得2221b m a m =-.22b PF a= ，22222251114c b m e a a m ∴==+=+=-，解得19m =.故答案为：19.56．已知双曲线22:113x y C m m-=+-m 的取值范围是（）A ．()1,1-B ．()1,3-C ．(),1-∞D ．()0,1【答案】A【分析】根据双曲线方程，讨论实轴位置，求出离心率，由已知离心率范围列出不等式可解得m 的范围．【详解】当双曲线实轴在x 轴上时，1030m m +>⎧⎨->⎩，解得13m -<<，此时2134c m m =++-=，所以c e a ==>解得1m <，所以11m -<<，当双曲线实轴在y 轴上时，1030m m +<⎧⎨-<⎩，解得m ∈∅，不符合题意.综上，解得11m -<<.故选：A ．57．点P 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>右支上一点，1F ，2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，M 为12PF F △的内心，若双曲线C 的离心率32e =，且121MPF MPF MF F S S S λ=+ 2，则λ=（）A ．12B ．34C ．1D ．23【答案】D【分析】设出12PF F △内切圆的半径，表示出1221,,MPF MPF MF F S S S ，由121MPF MPF MF F S S S λ=+ 2得1212PF PF F F λ-=，结合双曲线的定义及离心率即可求解.【详解】设12PF F △内切圆的半径为r ，则11221212111,,222MPF MPF MF F S r PF S r PF S r F F =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ ，由121MPF MPF MF F S S S λ=+ 2可得1212111222r PF r PF r F F λ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅，化简得1212PF PF F F λ=+，又12122,2,32PF PF a F F c e -===，故121223PF PF a F F c λ-===.故选：D.重难点9双曲线的实际应用58．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告；正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚2s ，已知各观测点到该中心的距离是680m ，则该巨响发生在接报中心的（）处(假定当时声音传播的速度为340m/s ，相关各点均在同一平面上)A ．西偏北45°方向，距离B ．东偏南45°方向，距离C ．西偏北45°方向，距离D ．东偏南45°方向，距离【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，由条件确定该巨响发生的轨迹，联立方程组求其位置.【详解】如图，。
双曲线的简单几何性质
B′
25
B
16 点 M ( x，y )与定点F (5， 0)的距离和它到定直线 l:x 的 例4、 5 5 距离的比是常数 ，求点M的轨迹 . 4 y l 解： 设 d是点M到直线l的距离，则 d .M | MF | 5 d 4
即 ( x 5) 2 y 2 5 . 16 4 | x | 5
x2 y 2 解：依据题意有 1的焦点为 3， 0 。椭圆的顶点 8 5 为 2 2， 0 和 0， 5 由题意可知该双曲线的焦点在x轴上， x2 y 2 所以设双曲线的方程为 2 2 1 a 0, b 0 则2a 2 3, a b 2c 4 2.所以a 3, c 2 2, b 2 c 2 a 2 8 3 5 x2 y 2 所以所求双曲线方程为 1 3 5
5、离心率
b y x a
y
b y x a
B2
b tan a 2 c b e 1 a a
A1
o
b a
A2
x
B1
e反映了双曲线开口大小 e越大 双曲线开口越大 e越小 双曲线开口越小 （3）离心率范围：e>1
B2
. .
B2 A2
2 2 2 2
图形
. .
F1(-c,0)
y a 或 y a，x R
关于x轴、y轴、原点对称
A1（- a，0），A2（a，0）
关于x轴、y轴、原点对称
A1（0，-a），A2（0，a）
c c e (e 1) e (e 1) a a b a y x y x 如何记忆双（1）求双曲线9y2－16x2=144的实半轴长、 虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程； （2）求双曲线9y2－16x2=－144的实半轴长、 虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程；
2.2.2双曲线的简单几何性质(含答案)
D．y＝± 4 x
3．双曲线与椭圆 4x2＋y2＝1 有相同的焦点，它的一条渐近线方程为 y＝ 2x，则双曲
线的方程为( )
A．2x2－4y2＝1
B．2x2－4y2＝2
C．2y2－4x2＝1
D．2y2－4x2＝3
x2 y2
4．设双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的虚轴长为 2，焦距为 2 3，则双曲线的渐近线方程
2.2.2 双曲线的简单几何性质
课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌 握直线与双曲线的位置关系．
1．双曲线的几何性质 标准方程
x2 y2
a2－b2＝1 (a>0，b>0)
y2 x2
a2－b2＝1 (a>0，b>0)
图形
焦点
焦距
范围
性 对称性
质 顶点
轴长
2 ，又由渐近线方程为 y＝ 2x，得b＝ 2，即 a2＝2b2，
( )3
1
1
又由 2 2＝a2＋b2，得 a2＝2，b2＝4，又由于焦点在 y 轴上，因此双曲线的方程为
2y2－4x2＝1.故选 C.] 4．C [由题意知，2b＝2,2c＝2 3，则 b＝1，c＝ 3，a＝ 2；双曲线的渐近线方程为
x2 y2
9．与双曲线 9 －16＝1 有共同的渐近线，并且经过点(－3，2 3)的双曲线方程为 __________．
三、解答题
10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
( ) 15 ，3 (1)经过点 4 ，且一条渐近线为 4x＋3y＝0；
π
(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为3.
y2 11．设双曲线 x2－ 2 ＝1 上两点 A、B，AB 中点 M(1，2)，求直线 AB 的方程．
双曲线的简单几何性质
(2)∵双曲线的焦点与椭圆的焦点相同， c 2 ∴c＝4.∵e＝ ＝2，∴a＝2，∴b ＝12， a ∴b＝2 3. ∵焦点在 x 轴上，∴焦点坐标为(± 4,0)， b 渐近线方程为 y＝± x，即 y＝± 3x，化 a 为一般式为 3x± y＝0.
【答案】 (1)D (2)(± 4,0) 3x± y＝0
双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程也是从“定形”“定
式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是
指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况
下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”
设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定
义法或待定系数法确定a，b的值．
根据下列条件，求双曲线的标准方程． 5 (1)虚轴长为 12，离心率为 ； 4 3 (2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y＝± x； 2 (3)过点(2，－2)且与双曲线 x2－2y2＝2 有公共渐近 线．
【规律方法】 若不能明确双曲线的焦点在哪 条坐标轴上，可设双曲线方程为： mx2＋ny2＝1(mn＜0)．
双曲线的几何性质
(1)双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六
点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)、“四 线”(两条对称轴、两条渐近线)、“两形”(中心、 焦点以及虚轴端点构成的三角形，双曲线上一点和 两焦点构成的三角形)来研究它们之间的相互联系， 明确a、b、c、e的几何意义及它们的相互关系，简 化解题过程．
变式练习
1．(2010 年高考安徽卷)双曲线方程为 x2－2y2＝1， 则它的右焦点坐标为( C ) 2 5 A. B. ，0 2 2 ，0 6 C. D．( 3，0) ，0 2
2．(教材习题改编)已知双曲线的离心率为 2， 焦点是(－4,0)、(4,0)，则双曲线的方程为( x 2 y2 A. － ＝1 4 12 x y C. － ＝1 10 6
2双曲线的简单几何性质课件
(2)e2＝ac22＝1＋ba22，ba是渐近线的斜率或其倒数．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)双曲线的离心率越大，它的开口越小．
()
(2)双曲线的离心率的取值范围是1，＋∞． (3)双曲线x42－y92＝1 的虚轴长为 4．
1234
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 双曲线的简单性质 【例 1】 求双曲线 9y2－4x2＝－36 的顶点坐标、焦点坐标、实 轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
[思路点拨] 质．
先将双曲线的形式化为标准方程，再研究其性
[解] 双曲线的方程化为标准形式是x92－y42＝1， ∴a2＝9，b2＝4，∴a＝3，b＝2，c＝ 13． 又曲线的焦点在 x 轴上， ∴顶点坐标为(－3，0)，(3，0)，焦点坐标为(－ 13，0)，( 13，
[跟进训练] 1．(一题多空)双曲线 4x2－y2＝4 的顶点坐标为________，离心 率为________，渐近线方程为________．
(－1，0)，(1，0) 5 y＝±2x [将 4x2－y2＝4 变形为 x2－y42＝ 1，
∴a＝1，b＝2，c＝ 5， ∴顶点坐标为(－1，0)，(1，0)，e＝ac＝ 5， 渐近线方程为 y＝±bax＝±2x．]
会数形结合思想．(难点)
的直观想象及数学运算、逻辑推理
素养．
情境导学·探新知
新知初探 初试身手
在学习椭圆时，我们用椭圆方程研究了椭圆的几何性质，那么是 否可以通过方法与结论的类比来获得双曲线的几何性质呢？
已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)． 双曲线 C 有怎样的对称性？为什么？
双曲线的简单几何性质
2.椭圆的图像与性质:
标 准 x2 y2 方 程 a2 b2 1
范围
|x|a,|y|≤b
对称性
顶点
关于X,Y轴, 原点对称
±a,0 , 0,±b
焦点
±c,0
A1 F1
长轴、
短轴 A1A2 ; B1B2
离心率
e c a
Y
B2
o
B1
A2
F2
X
课堂新授
一、研究双曲线
法一:直接设标准方程,运用待定系数法
⑵解:设双曲线方程为
x2 a2
y2 b2
1 (a>0,b>0)
a2 b2 20
则
(3 2)2 22 a2 b2
1
解之得
a b
2 2
12 8
或设
x2 m2
y2 20 m2
1,
∴双曲线方程为 x2 y2 1 12 8
求得m2 12(30舍去)
y2 x2 a2b2 1(a0,b0)
x≥ a,或 x≤ a， y R y≥ a,或 y≤ a， x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
顶点 A1 - a,0 ,A2 a,0
离心率 渐近线
e c (e 1) a
y b x a
A1 0,-a ,A2 0,a
e c (e 1) a
顶A 点 1 ( a ,0 )、 是 A 2 (a ,0 )
（2）线段 A 1 A 2 叫双曲线的实轴，长为2a，a为实半轴长；
线段B 1 B 2叫双曲线的虚轴，长为2b，b为虚半轴长 y
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线，即a=b
双曲线的简单几何性质
2．3.2 双曲线的简单几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a ，b ，c ，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．知识点一 双曲线的范围、对称性思考 观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？答案 (1)有限制，因为x 2a2≥1，即x 2≥a 2，所以x ≥a 或x ≤－a .(2)关于x 轴、y 轴和原点都是对称的，x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心．梳理 (1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中要求x ∈(－∞，－a ]∪[a ，＋∞)，y ∈R .双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)中要求x ∈R ，y ∈(－∞，－a ]∪[a ，＋∞)． (2)双曲线的对称轴为x 轴、y 轴，对称中心为原点． 知识点二 双曲线的顶点思考 (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？ (2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？答案 (1)不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点．(2)是，只有两个顶点．双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上．梳理 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为(－a,0)，(a,0)；双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为(0，－a )，(0，a )． 知识点三 渐近线与离心率(1)渐近线：直线y ＝±b a x 叫做双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线．(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比ca叫做双曲线的离心率，用e表示(e>1)．(3)双曲线的几何性质见下表：标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)类型一由双曲线方程研究其几何性质例1求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、半实轴长、半虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．解将4x2－y2＝4变形为x2－y24＝1，即x212－y222＝1.∴a＝1，b＝2，c＝ 5.因此顶点为A1(－1,0)，A2(1,0)；焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)；半实轴长是a＝1，半虚轴长是b＝2；离心率e ＝c a ＝51＝5；渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，草图如图所示．反思与感悟 根据双曲线的标准方程可以得出双曲线的几何性质，双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标、实轴端点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置有关．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程y 242－x 232＝1.由此可知，半实轴长a ＝4，半虚轴长b ＝3；c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； 离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .类型二 由双曲线的几何性质确定标准方程 例2 求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆y 225＋x 216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)；(3)过点(3,92)，离心率e ＝103. 解 (1)方法一 椭圆x 216＋y 225＝1的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧10a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝4.故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.方法二 由椭圆方程x 216＋y 225＝1知焦点在y 轴上，设所求双曲线方程为y 225－λ－x 2λ－16＝1(16<λ<25)．∵双曲线过点(－2，10)，∴1025－λ－4λ－16＝1， 解得λ＝20或λ＝7(舍去)， 故所求双曲线的方程为y 25－x 24＝1.(2)方法一 双曲线x 216－y 24＝1的焦点为F 1(－25，0)，F 2(25，0)．设所求双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧18a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝12，b 2＝8.故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.方法二 由双曲线方程x 216－y 24＝1知焦点在x 轴上，设所求双曲线方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)，∵双曲线过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍)， 故所求双曲线的方程为x 212－y 28＝1.(3)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)， 则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k . 于是，设所求双曲线方程为 x 29k －y 2k ＝1，①或y 29k －x 2k＝1，②把(3,92)代入①，得k ＝－161与k >0矛盾，无解； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线方程为y 281－x 29＝1.反思与感悟 1.已知双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏．2．若已知双曲线的渐近线方程为x a ±yb ＝0，求双曲线方程时，为避免讨论，则可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再根据其他条件确定λ的值．跟踪训练2 已知圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆C ：x 250＋y 225＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程． 解 椭圆C ：x 250＋y 225＝1的两焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则G 的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25.∵圆M 的圆心为(0,5)，半径为r ＝3. ∴|5a |a 2＋b 2＝3⇒a ＝3，b ＝4. ∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.类型三 直线与双曲线的位置关系例3 已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k 的取值范围； (2)若直线与双曲线只有一个公共点，求k 的取值范围．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0.①(1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＜0，解得k ＞52或k ＜－52， 则k 的取值范围为k ＞52或k ＜－52. (2)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解． 当1－k 2＝0，即k ＝±1时，①式方程只有一解；当1－k 2≠0时，应满足Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＝0， 解得k ＝±52，故k 的值为±1或±52.反思与感悟 (1)直线与双曲线的公共点就是以直线的方程与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐标的点，因此对直线与双曲线的位置关系的讨论，常常转化为对由它们的方程构成的方程组解的情况的讨论．(2)直线与椭圆的位置关系是由它们交点的个数决定的，而直线与双曲线的位置关系不能由其交点的个数决定．(3)弦长公式：直线y ＝kx ＋b 与双曲线相交所得的弦长与椭圆的相同：d ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|. 跟踪训练3 已知双曲线方程为3x 2－y 2＝3. (1)求以定点A (2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)以定点B (1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在的直线方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设所求直线方程为y －1＝k (x －2)， 即y ＝kx －2k ＋1，将它代入3x 2－y 2＝3， 得(3－k 2)x 2－2k (1－2k )x －4k 2＋4k －4＝0，① 设双曲线与直线交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点， 则x 1＋x 2＝2k (1－2k )3－k 2，因为A (2,1)为弦PQ 的中点， 所以x 1＋x 2＝4，即2k (1－2k )3－k 2＝4，解得k ＝6，此时方程①为33x 2－132x ＋124＝0， 且Δ>0，所以方程①有两实数根，即直线与双曲线相交于两点，从而所求直线方程为6x －y －11＝0. (2)方法一 不存在．理由如下： 设所求直线方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx －k ＋1，将它代入3x 2－y 2＝3中， 得(3－k 2)x 2－2k (1－k )x －k 2＋2k －4＝0，② 设直线与双曲线相交于M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2k (1－k )3－k 2.若B (1,1)为弦MN 的中点，则x 3＋x 4＝2， 即2k (1－k )3－k 2＝2，解得k ＝3， 此时方程②为6x 2－12x ＋7＝0，且Δ＝－24<0， 所以方程②无实数根， 即直线与双曲线不相交，从而可知以B (1,1)为中点的弦不存在． 方法二 不存在．理由如下： 假设这样的直线l 存在，设弦的两端点分别为Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)， 则有x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝1，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 21－y 21＝3，3x 22－y 22＝3， 两式相减得(3x 21－3x 22)－(y 21－y 22)＝0，所以3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 所以3(x 1－x 2)－(y 1－y 2)＝0.若直线Q 1Q 2⊥x 轴，则线段Q 1Q 2中点不可能是点B (1,1)， 所以直线Q 1Q 2的斜率存在， 于是斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝3.所以直线Q 1Q 2的方程为y －1＝3(x －1)， 即y ＝3x －2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －2，3x 2－y 2＝3，得3x 2－(3x －2)2＝3， 即6x 2－12x ＋7＝0，故Δ＝144－4×6×7<0， 这就是说，直线l 与双曲线没有公共点， 因此这样的直线不存在.1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2 答案 C解析 双曲线标准方程为x 24－y 28＝1，故实轴长为4.2．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．－4B ．－3C ．2D ．1 答案 A解析 ∵方程表示双曲线，∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a ＝1，∴渐近线方程为y ＝±3－a x ，∴3－a ＝32，解得 a ＝－4.3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a ＞0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A.3414B.324C.32D.43 答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9, 解得a ＝2，e ＝c a ＝32.4．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 答案 D解析 ∵等轴双曲线的焦点为(－6,0)，∴c ＝6， ∴2a 2＝36，a 2＝18.∴双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1. 5．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________．答案 (±7，0)解析 由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ， 得m ＝3，c ＝7，且焦点在x 轴上．6．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±22x解析 由条件知2b ＝2,2c ＝23， ∴b ＝1，c ＝3，a 2＝c 2－b 2＝2， 即a ＝2，∴双曲线方程为x 22－y 2＝1，因此其渐近线方程为y ＝±22x .(1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)在直线x ＝－a 与x ＝a 之间无图形，当|x |无限增大时，|y |也无限增大，故曲线是无限延展的．(2)双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点．(3)等轴双曲线的统一方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，它表示焦点在x 轴上的双曲线，当λ<0时，它表示焦点在y 轴上的双曲线．其渐近线方程为y ＝±x ，且它们互相垂直． (4)双曲线方程确定，其渐近线唯一确定；渐近线确定，其对应的双曲线不唯一确定． (5)依据双曲线的有关性质求解方程时，常用的技巧如下：①与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则表示焦点在x 轴上的双曲线，若λ<0，则表示焦点在y 轴上的双曲线．②与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有相等离心率的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ>0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有相同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(－a 2<λ<b 2)．④已知渐近线方程为y ＝±ba x ，双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ ≠0)，通过求λ确定双曲线方程，而无需考虑其实、虚轴的位置．一、选择题1．下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝1 答案 A解析 由双曲线渐近线方程的求法知，双曲线x 2－y 24＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，故选A.2．若双曲线x 2a2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54 C.43 D.53答案 D解析 由条件知y ＝－b a x 过点(3，－4)，∴3ba ＝4，即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2， ∴25a 2＝9c 2，∴e ＝53.故选D.3．过双曲线x 2―y 2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析 设弦与双曲线交点为A ，B (A 点在B 点上方)，由AB ⊥x 轴且过右焦点，可得A ，B 两点横坐标为22，代入双曲线方程得A (22，2)，B (22，－2)，故|AB |＝4. 4．若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( )A ．4B ．2C ．1D ．－2 答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2，∴若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 选项符合题意．5．如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作倾斜角为30°的直线l ，l 与双曲线的右支交于点P ，若线段PF 1的中点M 落在y 轴上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2x答案 C解析 设F 1(－c,0)，M (0，y 0)，因为M 为PF 1中点，且PF 1倾斜角为30°，则P ⎝⎛⎭⎫c ，233c ，将其代入双曲线方程得c 2a 2－43c 2b2＝1，又有c 2＝a 2＋b 2，整理得3⎝⎛⎭⎫b a 4－4⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，解得⎝⎛⎭⎫b a 2＝2或⎝⎛⎭⎫b a 2＝－23(舍去)． 故所求渐近线方程为y ＝±2x .6.设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于( ) A.103 B.52 C. 5 D.343答案 D解析 设F (c,0)，则过双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且斜率为－1的直线l 的方程为y ＝－(x －c )， 而渐近线方程是y ＝±bax ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝c －x ，y ＝－b a x 得B (ac a －b ，－bc a －b )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝c －x ，y ＝b a x 得A (ac a ＋b ，bc a ＋b)，AB →＝(2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2)，AF →＝(bc a ＋b ，－bc a ＋b )，由AB →＝－3AF →，得(2abc a 2－b 2，－2abc a 2－b 2)＝－3(bc a ＋b ，－bc a ＋b )， 则2abc a 2－b 2＝－3·bca ＋b， 即b ＝53a ，则c ＝a 2＋b 2＝343a ， 则e ＝c a ＝343，故选D.二、填空题7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．答案 x 24－y 2＝1解析 由双曲线渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.8．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________． 答案 12 6解析 设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A 、P 、F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1.与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6. 9．已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________. 答案3解析 由题意：c ＝2，a ＝1，由c 2＝a 2＋b 2，得b 2＝4－1＝3，所以b ＝ 3.10．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________． 答案 2＋ 3解析 把x ＝2a 代入x 2a 2－y 2b2 ＝1，得y ＝±3b .不妨取P (2a ，－3b )．又∵双曲线右焦点F 2的坐标为(c,0)， ∴kF 2P ＝3bc －2a .由题意，得3b c －2a ＝ba.∴(2＋3)a ＝c .∴双曲线C 的离心率为e ＝ca ＝2＋ 3.三、解答题11．根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)过点P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52；(3)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)．解 (1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵e ＝2，∴c 2a2＝2，即a 2＝b 2.①又双曲线过P (3，－5)，∴9a 2－5b 2＝1，②由①②得a 2＝b 2＝4， 故双曲线方程为x 24－y 24＝1.若双曲线的焦点在y 轴上， 设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，同理有a 2＝b 2，③ 5a 2－9b 2＝1，④ 由③④得a 2＝b 2＝－4(舍去)． 综上，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知半焦距为9－4＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 因此双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)． 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知条件，有⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝52，a 2＋b 2＝c 2，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴双曲线方程为x 29－y 216＝14，即双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1.12．已知双曲线x 2－y 22＝1，过P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P是线段AB 的中点？若能，求出l 的方程；若不能，请说明理由． 解 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1，x 22－y222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，即(x 1＋x 2)－(y 1＋y 2)2·y 1－y 2x 1－x 2＝0，又过P (1,1)，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， 所以k AB ＝2，所以l 方程为y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2，消去y ，得2x 2－4x ＋3＝0， 因为Δ＝16－4×2×3＜0，故直线l 与双曲线没有交点，即直线l 不存在． 13．已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)．(1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长．(2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围． 解 (1)当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y ，得3x 2＋2x －2＝0.设两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23，于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(x 1－x 2)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×289＝2143. (2)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0，解得0<a <2且a ≠1.又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a＝1a 2＋1，所以e >62且e ≠2，即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)．2．3.2 双曲线的简单几何性质(学生版)学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a ，b ，c ，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．知识点一 双曲线的范围、对称性思考 观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？答案 (1)有限制，因为x 2a2≥1，即x 2≥a 2，所以x ≥a 或x ≤－a .(2)关于x 轴、y 轴和原点都是对称的，x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心．梳理 (1)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中要求x ∈(－∞，－a ]∪[a ，＋∞)，y ∈R .双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)中要求x ∈R ，y ∈(－∞，－a ]∪[a ，＋∞)． (2)双曲线的对称轴为x 轴、y 轴，对称中心为原点． 知识点二 双曲线的顶点思考 (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？ (2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？答案 (1)不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点．(2)是，只有两个顶点．双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上．梳理 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为(－a,0)，(a,0)；双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的顶点坐标为(0，－a )，(0，a )． 知识点三 渐近线与离心率(1)渐近线：直线y ＝±b a x 叫做双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线．(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比ca叫做双曲线的离心率，用e表示(e>1)．(3)双曲线的几何性质见下表：标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2 a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)类型一由双曲线方程研究其几何性质例1求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、半实轴长、半虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图．反思与感悟根据双曲线的标准方程可以得出双曲线的几何性质，双曲线的几何性质主要包括“六点”——实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率．双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、离心率只与双曲线的形状和大小有关而与双曲线的位置无关．双曲线的顶点坐标、实轴端点坐标、虚轴端点坐标、焦点坐标、渐近线方程不仅与双曲线的形状和大小有关，而且与双曲线的实轴位置有关．跟踪训练1求双曲线9y2－16x2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．类型二由双曲线的几何性质确定标准方程例2求下列双曲线的标准方程．(1)与椭圆y225＋x216＝1有公共焦点，且过点(－2，10)；(2)与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点(32，2)；(3)过点(3,92)，离心率e＝10 3.反思与感悟 1.已知双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程，常用待定系数法，首先要依据焦点的位置设出方程的形式，再由题设条件确定参数的值；当双曲线焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，以防止遗漏．2．若已知双曲线的渐近线方程为xa±yb＝0，求双曲线方程时，为避免讨论，则可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再根据其他条件确定λ的值．跟踪训练2已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：x250＋y225＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．类型三直线与双曲线的位置关系例3已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.(1)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围；(2)若直线与双曲线只有一个公共点，求k的取值范围．反思与感悟(1)直线与双曲线的公共点就是以直线的方程与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐标的点，因此对直线与双曲线的位置关系的讨论，常常转化为对由它们的方程构成的方程组解的情况的讨论．(2)直线与椭圆的位置关系是由它们交点的个数决定的，而直线与双曲线的位置关系不能由其交点的个数决定．(3)弦长公式：直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长与椭圆的相同：d＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.跟踪训练3已知双曲线方程为3x2－y2＝3. (1)求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在的直线方程；若不存在，请说明理由．1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 22．设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( ) A ．－4 B ．－3 C ．2 D ．13．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a ＞0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( ) A.3414 B.324 C.32 D.434．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( )A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 5．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________． 6．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________．(1)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)在直线x ＝－a 与x ＝a 之间无图形，当|x |无限增大时，|y |也无限增大，故曲线是无限延展的．(2)双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点．(3)等轴双曲线的统一方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，当λ>0时，它表示焦点在x 轴上的双曲线，当λ<0时，它表示焦点在y 轴上的双曲线．其渐近线方程为y ＝±x ，且它们互相垂直．(4)双曲线方程确定，其渐近线唯一确定；渐近线确定，其对应的双曲线不唯一确定．(5)依据双曲线的有关性质求解方程时，常用的技巧如下：①与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则表示焦点在x 轴上的双曲线，若λ<0，则表示焦点在y 轴上的双曲线．②与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相等离心率的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ或y 2a 2－x 2b 2＝λ(λ>0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有相同焦点的双曲线方程可设为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(－a 2<λ<b 2)．④已知渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ ≠0)，通过求λ确定双曲线方程，而无需考虑其实、虚轴的位置．一、选择题1．下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( )A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2－y 22＝1 D.x 22－y 2＝12．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.53 3．过双曲线x 2―y 2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．－25．如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作倾斜角为30°的直线l ，l 与双曲线的右支交于点P ，若线段PF 1的中点M 落在y 轴上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±3xC ．y ＝±2xD ．y ＝±2x6.设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，过点F 且斜率为－1的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A 、B 两点，若AB →＝－3AF →，则双曲线C 的离心率e 等于( )A.103B.52C. 5D.343二、填空题7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________． 8．已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．9．已知(2,0)是双曲线x 2－y 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________. 10．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．三、解答题11．根据以下条件，求双曲线的标准方程．(1)过点P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52； (3)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)．12．已知双曲线x 2－y 22＝1，过P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？若能，求出l 的方程；若不能，请说明理由．13．已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)． (1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长． (2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．。
双曲线简单几何性质-文档资料
c
MF c p= M d a 2 2 ( x c ) y c 由此得 2
a x c
a
7
学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。 ------ 洛 克
化简得 (c2－a2)x2-a2y2=a2(c2－a2). 设c2－a2=b2，就可化为：
2 2 x y 2 1 2 a b
(a 0, b 0).
这是双曲线的标准方程， 所以点M的轨迹是实轴长、虚轴长分别为2a、2b的双曲线. 启示：由例5可知，当点M到一个定点的距离和它到一条定直线
c 的距离的比是常数e= (e>1)时，这个点的轨迹是双曲线.定点 a
是双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e是双曲线的离 心率.
由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3. . 2 2 2 2
c a b4 3 5
焦点的坐标是（0，－5），（0，5）.
c 5 离心率. e a 4
4 渐近线方程为 y x 3
学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。 ------ 洛 克 4
例4 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部 分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m， 上口半径为13 m，下口半径为25 m，高55 m.选择 适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）. 解：如图，建立直角坐标系xOy，使圆的直径AA′ 在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直 径CC′、BB′平行于x轴，且|CC′| =13×2 (m)， |BB′| =25×2 (m).
（0, ±a）
a2 y c a y x b
实轴长2a，虚轴长2c， c2=a2+b2 c e a
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双曲线的简单几何性质一、选择题1．双曲线2214x y -=的实轴长为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．122．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x 的是（ ） A ．x 2﹣=1 B ．﹣y 2=1 C ．﹣x 2=1 D ．y 2﹣=13．双曲线221916x y -=的渐近线方程是（ ） A ．430x y ±= B ．1690x y ±= C ．340x y ±= D ．9160x y ±=4．已知双曲线221(0)x y m m-=>的离心率为233，则m 的值为A ．233 B ．3 C ．8 D ．325．下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 6．双曲线22124x y -=的顶点到其渐近线的距离为（ ） （A ）33 （B ）233 （C ）63 （D ）2637．与双曲线12322=-y x 有共同的渐近线，且经过点)52,3(A 的双曲线的方程为（ ）A8的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( )9的渐近线为0x y ±=，则双曲线的焦距为( )A．2C ．D ．410的两个焦点为12,F F ，P 是双曲线上的一点，且12||:||=3:4PF PF ,则△PF 1 F 2的面积等于( )11．双曲线的顶点和焦点到其渐近线距离的比是( ) （A ）（B ）（C ） （D ）12的离心率)2,1(∈e ，则实数k 的取值范围是（ ） A ．（0，4） B ．（-12，0）C．（0，12）13．已知中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的离心率为 ）A ．2y x =± B14与双曲线221x y -=仅有一个公共点，则实数k 的值为 A ．1 B ．-1C ．1或-1D . 1或-1或0 15M 到点(-5，0)的距离为7，则M 到点（5,0）的距离为（ ） A. 1或13 B. 15 C.13 D. 1 16．双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则m 等于x y -=221543553B.4-C.417为渐近线，一个焦点坐标为)2,0(F 的双曲线方程是（ ）二、填空题18的离心率2=e ，则 19．双曲线9x 2﹣4y 2=﹣36的渐近线方程是 ．20，则它的焦距为__ _；渐近线方程为__ _； 焦点到渐近线的距离为__ _．2122．设m 为常数，若点F （5,0的一个焦点，则m = ． 23．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(3,0)C 的方程是________． 24的离心率是2，则m 的值是 . 25．已知中心在坐标原点的双曲线C 的焦距为6，离心率等于3，则双曲线C 的标准方程为 .26的右焦点F ，点P 是渐近线上的点，且= .27，则n ＝ . 28上一点P 到左焦点的距离为4，则点P 到右焦点的距离是 .29．若直线y=kx-1与双曲线422=-y x 只有一个公共点，则k=三、解答题3031．已知双曲线中心在原点，离心率等于2，且一个焦点坐标为（4，0），求此双曲线方程．32．(本小题满分12分）（1）求直线1y x =+被双曲线（2）求过定点(0,1)的直线被双曲线33．（本题满分10分）求双曲线14491622-=-y x 的焦点坐标，离心率和渐近线方程.参考答案1．B 【解析】试题分析：由双曲线方程可知24224a a a =∴=∴=，所以实轴长为4 考点：双曲线方程及性质 2．C 【解析】试题分析：对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案． 解：由A 可得焦点在x 轴上，不符合条件； 由B 可得焦点在x 轴上，不符合条件；由C 可得焦点在y 轴上，渐近线方程为y=±2x ，符合条件； 由D 可得焦点在y 轴上，渐近线方程为y=x ，不符合条件．故选C ．考点：双曲线的简单性质． 3．A 【解析】试题分析：221916x y -=中229,163,4a b a b ==∴==，渐近线方程为44303y x x y =±∴±= 考点：双曲线方程及性质4．B 【解析】试题分析：由题意知，21c m =+，所以1233m e m+==，解之得3m =，故应选B ． 考点：1、双曲线的概念；2、双曲线的简单几何性质；5．A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为x y 2±=，故选A. 考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式. 6．B 【解析】试题分析：由双曲线22124x y -=，得其顶点坐标(2,0)，(2,0)-，渐近线方程2y x =±， 点(2,0)到2y x =的距离为2|022|2331(2)d -⨯==+-，由双曲线的性质得双曲线22124x y -=的顶点到其渐近线的距离为233，故答案选B . 考点：双曲线的性质. 7．C 【解析】9λ=-∴方程为考点：双曲线方程及性质 8．C【解析】由a 2+5=9得a 2=4, ∴a=2,∴故选C. 9．A 【解析】的渐近线为0x y ±=，可得a 1=（舍负），∴双曲线的方程为22x y 1-=，得a b 1==，故选A.考点：双曲线的几何性质 10．C 【解析】试题分析：依题意12||6F F =，21||||=2PF PF -，又12||:||=3:4PF PF ，所以1||=6PF ，2||=8PF ，所以等腰12PF F ∆ 考点：1.双曲线的定义；2.等腰三角形的面积公式.11．D 【解析】考点：双曲线的几何性质.12．D 【解析】试题分析：由方程得k ＞0，1＜e 2＜4，列出离心率平方的表达式代入不等式，可解出k 的取值范围．解：由题意知，k＞0，1＜e 2＜4，∴14，∴0＜k ＜12，故答案选 D ． 考点：双曲线的性质点评：本题考查双曲线的标准方程和简单性质．13．D 【解析】试题分析：因为双曲线焦点在y 轴上，由双曲线a,b,c,eD 。
考点：本题主要考查双曲线的几何性质。
点评：基础题，作为选择题，可以利用结合选项代人验证。
14．C 【解析】当21-=0=k ±时，即k 1，此时方程 当21-0k ≠时，要满足题意需(2=22k与双曲线221x y -=仅有一个公共点，则实数k 的值为1或-1。
考点：直线与双曲线的位置关系。
点评：在判断直线与双曲线的位置关系时，一般的方法是联立，组成方程组，消元，判断方程解的个数。
一定要注意讨论二次项系数是否为0的情况。
15．C 【解析】试题分析：易知双曲线的焦点坐标为(±5，0)，因为点M 到点(-5，0)的距离为7<a+c=8，所以点M 一定在双曲线的左之上，设所求距离为d ，所以由双曲线的定义知d-7=6，所以d=13. 考点：本题考查双曲线的定义。
点评：此题易错选A ，其主要原因是没判断出点M 在双曲线的哪一支上。
16．A. 【解析】2倍，所以224a b =，所以 考点：本题考查双曲线的简单性质。
点评：注意判断双曲线的焦点在哪一坐标轴上，只有这样才22a b 、是多少。
此题因为方程122=+y mx 表示双曲线的方程，因此m 一定为负数，答案C 、D 直接排除。
17．D【解析】试题分析：一个焦点坐标为)2,0(F ，说明双曲线的焦点在y 轴上.线方程为223(0)y xλλ-=>，即考点：本小题主要考查双曲线标准方程的求法，考查学生分析问题、解决问题的能力和求解运算能力.点评：已知双曲线的渐近线方程求双曲线的标准方程可以采取题目中所用的方法，可以简化运算，但是只有双曲线的渐近线方程并不能确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上，所以并不能确定λ的正负. 18．48 【解析】试题分析：依题意离心率1624me +==，解得48m =. 考点：双曲线基本性质． 19．y=±x【解析】试题分析：求出双曲线的标准方程，结合双曲线渐近线的方程进行求解即可． 解：双曲线的标准方程为﹣=1，则双曲线的渐近线方程为y=±x ， 故答案为：y=±x 20．410,,43y x =±. 【解析】试题分析：3,4,5,a b c ===所以焦距为210c =，渐近线方程为43y x =±，焦点到准线的距离即为4b =. 考点：双曲线. 21．2 【解析】试题分析：因为该双曲线的焦点在x 上，所以其渐近线方程为b y x a =±，则2221,22b b a a ==，所以1,242m m ==；考点：1．双曲线的几何性质； 22．16． 【解析】试题分析：直接由点F （5,0）是双曲线1922=-my x 的一个焦点及222b a c +=可得，m +=952，解得16=m ． 考点：双曲线的简单性质．23．24x －25y ＝1【解析】由题意知c ＝3，e ＝c a ＝32，所以a ＝2；b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，故所求双曲线方程为24x －25y ＝1.24．13. 【解析】考点：双曲线的离心率25【解析】试题分析：由2c=6，得c=3，而，所以a=1，而2228b c a =-=，所以双曲线C考点：双曲线的标准方程和性质. 26．2 【解析】试题分析：它的一条渐近线的倾斜角是60，则OFP ∆考点：1.双曲线的渐近线，渐近线的倾斜角；2.双曲线中基本量的求解. 27．12-或24 【解析】，解得，n =12-或24. 考点：双曲线的几何性质28．10【解析】试题分析：由双曲线方程可知293,26a a a =∴==，由定义考点：双曲线定义点评：双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值等于2a 29，1± 【解析】试题分析：因为双曲线的渐近线为y x =±,所以当直线y=kx-1与渐近线平行时，也只有一个公共点，所以1k =±,由y=kx-1与422=-y x 联立消去y 整理后得2222(1)250,44(5)(1)0k x kx k k -+-=∆=---=，所以所以k ，1±. 考点：直线与双曲线的位置关系.点评：直线与双曲线只有一个公共点包含两种情况：一是与双曲线的渐近线平行，二是直线与双曲线相切.30【解析】试题分析：根据椭圆方程，得椭圆的焦点坐标为（±5，0）线方程，联列方程组并解之，可得229,16a b ==，从而得到所求双曲线的方程又2225a b +=得229,16a b ==考点：椭圆双曲线方程及性质31【解析】c ＝4，然后可以根据222b a c +=求得2b ，从而求出答案．试题解析：解：双曲线中心在原点，，且一个焦点坐标为（4，0），即c ＝4，又双曲线的离心率等于2a ＝2．∴ 222bc a =-＝12．考点：双曲线的标准方程32．（12））或14(0422≥-<=+-y y y y x 【解析】 得224(1)40x x -+-=得23250x x --=（*） 设方程（*）的解为12,x x ，则有得，……6分（2）方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为1y kx =+，它被双曲线截得的弦为AB 对应的中点为(,)P x y ， 得22(4)250k x kx ---=（*）设方程（*）的解为12,x x ，则22420(4)0k k ∆=+->，得）或14(0422≥-<=+-y y y y x 。