数字信号处理 Chapter 2
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数字信号处理第二章
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2.2.4 时域离散信号傅里叶变换的性质
时域离散信号傅里叶变换有很多重要的性质，其中一些 性质和模拟信号的傅里叶变换性质类似，参考教材中表 。 本小节重点介绍： 傅里叶变换的周期性 频域卷积定理 傅里叶变换的对称性
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此定理亦称为调制定理
傅里叶变换的周期性：
1
频域卷积定理：
2
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傅里叶变换的对称性： 一般不做特殊说明，序列x(n)就是复序列。用下标r表 示它的实部，用下标i表示它的虚部： 复序列中有共轭对称序列和反共轭对称序列，分别用下 标e和o表示 共轭对称序列满足 复反共轭对称序列满足
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一般序列傅里叶变换的对称性质ຫໍສະໝຸດ 一般序列可以表示为返回
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左序列Z变换的收敛域
01
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上式右边：
第一项的收敛域为0 ≤|z|<Rx+， 第二项的收敛域为0<|z|≤∞， 将两个收敛域相与，得到左序列的收敛域为0<|z|< Rx+ 。 如果n1<0，则收敛域为0 ≤|z|<Rx+。
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双边序列Z变换的收敛域 双边序列就是在-∞～+∞之间均有非零值的序列。 双边序列的Z变换
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例2.4： ，求Z反变换
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Z变换和傅里叶变换之间的关系 Z变换 令上式中的 ，得到 式中，r是z的模，ω是它的相位，也就是数字频率。这 样， 就是序列x(n)乘以实指数序列r-n后的傅里叶 变换。
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如果r= =1，Z变换就变成了傅里叶变换了，即 r=1指的是Z平面上的单位圆，因此傅里叶变换就 是Z平面单位圆上的Z变换。
数字信号处理第二章
0 1 2 N − 1T
Ω0
kΩ 0
此时，时域是连续变量的周期信号，而频域是离散等间 隔的。频域谱线的间隔与时域重复的周期之间的关系：
2π Ω0 = T0
3
0
n
0 1 2 N − 1N
n
时域周期化，使对应着频域离散化。频域离散的间隔：
2π N
6
1
第2章
离散傅里叶变换（DFT）
1、时域周期化→频域离散化
~ x(t)
& (kΩ ) = 1 X 0 T0
T0 2
0 −2
x (t )e ∫~
T
− jkΩ0t
dt
− T0
T0
2T0
t
& ( jΩ) X
~ x (t ) =
k = −∞
& ( kΩ ∑X
∞
0
) e jk Ω 0 t
• 一、时域频域离散与离散傅里叶级数（DFS） • 1、时域周期化→频域离散化： • 离散时间傅里叶变换是连续变量ω的函数，不方便与 计算机处理，为此将它离散化，也变成离散信号处理。 为此，将离散时间信号周期延展。 x ( n) ⎯ ⎯→ ~ x (n) ~ x(n) x(n)
n=0
N −1
2π − j kn N
0 1 2 N − 1N
n
1 ~ x ( n) = N
N −1 k =0
∑ X ( k )e
~
j
2π kn N
−N
⎛ j 2πk ⎞ ~ X⎜e N ⎟ = X (k) ⎜ ⎟ 1 ⎝ ⎠
Ts
~ x ( n) = x (( n)) N
0 1 2
N −1
N
n
0 1 2
Ω0
kΩ 0
此时，时域是连续变量的周期信号，而频域是离散等间 隔的。频域谱线的间隔与时域重复的周期之间的关系：
2π Ω0 = T0
3
0
n
0 1 2 N − 1N
n
时域周期化，使对应着频域离散化。频域离散的间隔：
2π N
6
1
第2章
离散傅里叶变换（DFT）
1、时域周期化→频域离散化
~ x(t)
& (kΩ ) = 1 X 0 T0
T0 2
0 −2
x (t )e ∫~
T
− jkΩ0t
dt
− T0
T0
2T0
t
& ( jΩ) X
~ x (t ) =
k = −∞
& ( kΩ ∑X
∞
0
) e jk Ω 0 t
• 一、时域频域离散与离散傅里叶级数（DFS） • 1、时域周期化→频域离散化： • 离散时间傅里叶变换是连续变量ω的函数，不方便与 计算机处理，为此将它离散化，也变成离散信号处理。 为此，将离散时间信号周期延展。 x ( n) ⎯ ⎯→ ~ x (n) ~ x(n) x(n)
n=0
N −1
2π − j kn N
0 1 2 N − 1N
n
1 ~ x ( n) = N
N −1 k =0
∑ X ( k )e
~
j
2π kn N
−N
⎛ j 2πk ⎞ ~ X⎜e N ⎟ = X (k) ⎜ ⎟ 1 ⎝ ⎠
Ts
~ x ( n) = x (( n)) N
0 1 2
N −1
N
n
0 1 2
数字信号处理 第2章讲解
36
5、共轭序列
6、翻褶序列
Z x(n) X 1 ,
z
1
1
z
Rx
Rx
37
7、初值定理 (因果序列初值）
对于因果序列，有：
8、终值定理 （因果序列终值）
对于因果序列，极点处于单 位圆 z 1 以内（单位圆上最多 在 z 1处有一阶极点），则
38
9、有限项累加特性
63
任意序列的傅立叶变换是一序列，也有类 似的分解方法：
傅立叶变换: 共轭对称序列： 共轭反对称序列：
X (e j ) Xe(e j ) Xo(e j )
X
e
(e
j
)
1 2
[
X
(e
j
)
X
(e
j
)]
X
o
(e
j
)
1 2
[
X
(e
j
)
X
(e
j
)]
64
共轭对称（偶）对应实数（部）， 共轭反对称（奇）对应虚数（部）
系统的频率响应
2
一、 Z变换的定义及收敛域
1、Z变换的定义
幂级数
记为 Z x(n) X (z)
3
2、Z变换的收敛域
Z变换所对应的幂级数收敛时， Z变换才有意义。
幂级数收敛的充分必要条件 是满足绝对可和，即：
4
1). 有限长序列
5
图1.有限长序列及其收敛域 （
除外）
6
2). 右边序列
理想冲激抽样的拉普拉斯变换为：
抽样所得序列的z变换为：
X (z) x(n)zn X (z) zesT X (esT ) X a (s)
5、共轭序列
6、翻褶序列
Z x(n) X 1 ,
z
1
1
z
Rx
Rx
37
7、初值定理 (因果序列初值）
对于因果序列，有：
8、终值定理 （因果序列终值）
对于因果序列，极点处于单 位圆 z 1 以内（单位圆上最多 在 z 1处有一阶极点），则
38
9、有限项累加特性
63
任意序列的傅立叶变换是一序列，也有类 似的分解方法：
傅立叶变换: 共轭对称序列： 共轭反对称序列：
X (e j ) Xe(e j ) Xo(e j )
X
e
(e
j
)
1 2
[
X
(e
j
)
X
(e
j
)]
X
o
(e
j
)
1 2
[
X
(e
j
)
X
(e
j
)]
64
共轭对称（偶）对应实数（部）， 共轭反对称（奇）对应虚数（部）
系统的频率响应
2
一、 Z变换的定义及收敛域
1、Z变换的定义
幂级数
记为 Z x(n) X (z)
3
2、Z变换的收敛域
Z变换所对应的幂级数收敛时， Z变换才有意义。
幂级数收敛的充分必要条件 是满足绝对可和，即：
4
1). 有限长序列
5
图1.有限长序列及其收敛域 （
除外）
6
2). 右边序列
理想冲激抽样的拉普拉斯变换为：
抽样所得序列的z变换为：
X (z) x(n)zn X (z) zesT X (esT ) X a (s)
数字信号处理 答案 第二章
n n
(4) h(n)=( (5) h(n)=
1 n ) u(n) 2
1 u(n) n
n
(6) h(n)= 2 R n u(n)
解 （1）因为在 n<0 时，h(n)= 2 ≠0,故该系统不是因果系统。
n
因为 S=
n =−∞
∑
∞
|h(n)|=
∑
n =0
∞
|2 |=1< ∞ ，故该系统是稳定系统。
n
(2) 因为在 n<O 时，h(n) ≠0，故该系统不是因果系统。 因为 S=
n =−∞
n =−∞
(4) 因为在 n<O 时，h(n)=0，故该系统是因果系统 。 因为 S= |h(n)|=
n =−∞
∑
n=0
|(
1 n ) |< ∞ ，故该系统是稳定系统。 2
(5) 因为在 n<O 时，h(n)=
1 u(n)=0，故该系统是因果系统 。 n
因为 S=
n =−∞
∑ ∑
∞
∞
|h(n)|=
第二章
2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos( （2）x(n)= e (
j
π 5π n+ ) 8 6
n −π) 8 π 3π （3）x(n)=Asin( n+ ) 4 3
(1)对照正弦型序列的一般公式 x(n)=Acos( ωn + ϕ )，得出 ω =
∞
=
k =0
∑ u(k )u(n − k ) =(n+1),n≥0
即 y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)= ∑ λ k u (k )u (n − k )
(4) h(n)=( (5) h(n)=
1 n ) u(n) 2
1 u(n) n
n
(6) h(n)= 2 R n u(n)
解 （1）因为在 n<0 时，h(n)= 2 ≠0,故该系统不是因果系统。
n
因为 S=
n =−∞
∑
∞
|h(n)|=
∑
n =0
∞
|2 |=1< ∞ ，故该系统是稳定系统。
n
(2) 因为在 n<O 时，h(n) ≠0，故该系统不是因果系统。 因为 S=
n =−∞
n =−∞
(4) 因为在 n<O 时，h(n)=0，故该系统是因果系统 。 因为 S= |h(n)|=
n =−∞
∑
n=0
|(
1 n ) |< ∞ ，故该系统是稳定系统。 2
(5) 因为在 n<O 时，h(n)=
1 u(n)=0，故该系统是因果系统 。 n
因为 S=
n =−∞
∑ ∑
∞
∞
|h(n)|=
第二章
2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos( （2）x(n)= e (
j
π 5π n+ ) 8 6
n −π) 8 π 3π （3）x(n)=Asin( n+ ) 4 3
(1)对照正弦型序列的一般公式 x(n)=Acos( ωn + ϕ )，得出 ω =
∞
=
k =0
∑ u(k )u(n − k ) =(n+1),n≥0
即 y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)= ∑ λ k u (k )u (n − k )
(完整word版)数字信号处理第二章习题解答
数字信号处理第2章习题解答2.1 今对三个正弦信号1()cos(2)a x t t π=，2()cos(6)a x t t π=-，3()cos(10)a x t t π=进行理想采样，采样频率为8s πΩ=，求这三个序列输出序列，比较其结果。
画出1()a x t 、2()a x t 、3()a x t 的波形及采样点位置并解释频谱混淆现象。
解：采样周期为2184T ππ== 三个正弦信号采样得到的离散信号分别表示如下：1()cos(2)cos()42a n x n n ππ=⋅=2()cos(6)cos()42a n x n n ππ=-⋅=-3()cos(10)cos()42a n x n n ππ=⋅=输出序列只有一个角频率2π，其中1()a x n 和3()a x n 采样序列完全相同，2()a x n 和1()a x n 、3()a x n 采样序列正好反相。
三个正弦信号波形及采样点位置图示如下：tx a 1(t )tx a 2(t )tx a 3(t )三个正弦信号的频率分别为1Hz 、3Hz 和5Hz ，而采样频率为4Hz ，采样频率大于第一个正弦信号频率的两倍，但是小于后两个正弦信号频率的两倍，因而由第一个信号的采样能够正确恢复模拟信号，而后两个信号的采样不能准确原始的模拟信号，产生频谱混叠现象。
2.3 给定一连续带限信号()a x t 其频谱当f B >时，()a X f 。
求以下信号的最低采样频率。
（1）2()a x t （2）(2)a x t （3）()cos(7)a x t Bt π解：设()a x t 的傅里叶变换为()a X j Ω（1）2()a x t 的傅里叶变换为22()[()]Ba a BX j X j d ππωωω-⋅Ω-⎰因为22,22B B B B πωππωπ-≤≤-≤Ω-≤ 所以44B B ππ-≤Ω≤即2()a x t 带限于2B ，最低采样频率为4B 。
数字信号处理第2章
第2章 时域离散信号和时域离散系统§1.1 引言信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。
如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。
本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术。
关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，本书一般地把信号看作时间的函数。
§1.2 时域离散信号对模拟信号X a (t)进行等间隔采样，采样间隔为T ，得到：这里n 取整数。
对于不同的n 值，X a (nT)是一个有序的数字序列：…X a (-T)、X a (0)、X a (T)…，该数字序列就是时域离散信号。
时域离散信号只在离散时间上给出函数值，是时间上不连续的一个序列。
它既可以是实数也可以是复数。
nT 代表的是前后顺序。
为简化，采样间隔可以不写，形成x (n)信号，x (n)可以称为序列。
x (n)对于非整数值n 是没有定义的，在数值上它等于信号的采样值，即： x (n)=x a (nT)， -∞＜n ＜∞ (1.2.2)信号随n 的变化规律可以用公式表示，也可以用图形表示。
一、 常用的典型序列1．单位采样序列δ(n)⎪⎩⎪⎨⎧≠==0001)(n n n δ 单位采样序列也可以称为单位脉冲序列，特点是仅在n=0时取值为1，其它均为零。
它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0时，取值无穷大，t ≠0时取值为零，对时间t 的积分为1。
2．位阶跃序列u(n)⎪⎩⎪⎨⎧<≥=0001)(n n n u (1.2.3) 3．矩形序列R N (n)⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤=nN n n R N 其他0101)( (1.2.4) 4．实指数序列()(),(1.2.1)a t nT a x t x nT n ==-∞<<∞)()(n u a n x n = (1.2.5)式中，a 为实数。
当|a|<1 时，序列是收敛的; 而当|a|>1时，序列是发散的。
数字信号处理-第2章-精品文档精选文档PPT课件
第2章. 连续时间信号的离散处理
2.1、数字信号处理系统的基本组成
•大多数数字信号处理的应用中，信号为来自不同模拟信号源，这些模拟 信号(电压或电流)通常为连续时间信号。
•应用数字信号处理(DSP)主要有三个原因： 1)滤波：滤除信号中来自周围环境的干扰或噪声； 2)检测：检测淹没在噪声中的特定信号（如雷达或声纳系统中），当检测 到的信号超过给定的阈值则认为目标信号存在，反之认为不存在； 3)压缩：当信号转换到另外一个域后，在变换域上更容易分辨信息的重 要程度，对重要部分分配多的比特数，次要部分分配尽可能少的比特 数，达到压缩的目的(如DCT算法)。
的是离散时间信号。将连续时间信号转换成离散时间信号的过程叫抽样。
抽样可由称为A/D变换器的器件完成：
量化结果
声卡
5
模拟输入 xa (t)
Ts
抽样器
抽样输出
xˆa (t)
xˆa(t) xa(t)•P (t)
xa(t)(t nTs)
n
xˆa (t)
周期性抽样函数 P (t )
xˆa (t)
Ts
P(t) (tnTs)
是否可以根据抽样后的离散时间序列恢复原始信号？ •奈奎斯特抽样频率：能够再恢复出原始信号的最低抽样频率（使 抽样后的信号频谱不发生混叠的最低抽样频率，即信号最高频率的 二倍）
0 s/2 s2 0
•满足奈奎斯特抽样频率的抽样信号可由理想低通滤波器恢复出原 始信号。此后将推导这个过程。
xˆa(t) G (j )/g (t（ ) 低 通 y滤 (t) 波 xa） (t)
X a ( j)
xa
(t )e
jt dt
[xa
(t )
•
P
(t )]e
2.1、数字信号处理系统的基本组成
•大多数数字信号处理的应用中，信号为来自不同模拟信号源，这些模拟 信号(电压或电流)通常为连续时间信号。
•应用数字信号处理(DSP)主要有三个原因： 1)滤波：滤除信号中来自周围环境的干扰或噪声； 2)检测：检测淹没在噪声中的特定信号（如雷达或声纳系统中），当检测 到的信号超过给定的阈值则认为目标信号存在，反之认为不存在； 3)压缩：当信号转换到另外一个域后，在变换域上更容易分辨信息的重 要程度，对重要部分分配多的比特数，次要部分分配尽可能少的比特 数，达到压缩的目的(如DCT算法)。
的是离散时间信号。将连续时间信号转换成离散时间信号的过程叫抽样。
抽样可由称为A/D变换器的器件完成：
量化结果
声卡
5
模拟输入 xa (t)
Ts
抽样器
抽样输出
xˆa (t)
xˆa(t) xa(t)•P (t)
xa(t)(t nTs)
n
xˆa (t)
周期性抽样函数 P (t )
xˆa (t)
Ts
P(t) (tnTs)
是否可以根据抽样后的离散时间序列恢复原始信号？ •奈奎斯特抽样频率：能够再恢复出原始信号的最低抽样频率（使 抽样后的信号频谱不发生混叠的最低抽样频率，即信号最高频率的 二倍）
0 s/2 s2 0
•满足奈奎斯特抽样频率的抽样信号可由理想低通滤波器恢复出原 始信号。此后将推导这个过程。
xˆa(t) G (j )/g (t（ ) 低 通 y滤 (t) 波 xa） (t)
X a ( j)
xa
(t )e
jt dt
[xa
(t )
•
P
(t )]e
数字信号处理第二章.ppt
例：已知序列x(n) R4 (n), 将x(n)以N 8为周期 进行周期延拓成x(n)，求x(n)的DFS。
N 1
X (k) x(n)WNnk
n0
7
3
x(n)W8nk W8nk
n0
n0
j 2 k
j 2 2k
j 2 3k
1e 8 e 8 e 8
X (0) 4 X (1) 1 j 2 1 X (2) 0 X (3) 1 j 2 1 X (4) 0 X (5) 1 j 2 1 X (6) 0 X (7) 1 j 2 1
可以看出X~ (k)的周期性：
X~ (k
mN
)
N 1 x~(n)e j(k mN
)
2 N
n
n0
N
1
x~(n)e
j
2 N
kn
X~ (k )
n0
周期为N的 x~(n)的离散傅立叶级数只有N个不同的系数X~ (k) 。
周期序列的离散傅立叶级数对(DFS)：
X~ (k )
N
1
x~(n)e
j
2 N
kn
n0
5
x(n)W6nk
n0
j 2 k
j 2 2k
14 12e 6 10e 6
j 2 3k
j 2 4k
j 2 5k
8e 6 6e 6 10e 6
X (0) 60 X (1) 9 j3 3 X (2) 3 j 3
X (3) 0 X (4) 3 j 3 X (运算的方便。
求解 X~ (k)系数：
1
N
e N 1
j
2 N
rn
n0
1 N
1 e j
2 N
数字信号处理 刘顺兰第二章完整版习题解答
2 k)N N 2 k) N
即 0 不在采样点上时，
X (k )
1 e
1 e
b 当 ○
j ( 0
1 e 1 e
j 0 N 2 k) N
j ( 0
sin[(
0
2
N
k)N ] e ) N
j(
0
2 N
k )( N 1)
sin(
0
2
k
0
X (1) 2 2 j
nk N
x(n)W
n 0
N 1
k 2k 3k 1 jW N WN jW N ,
可求得 X (0) 0,
N 1 n 0
X (1) 4, X (2) 0 , N ( k ) c 1 N 1 c c 1 k cW N
(3) x( n) c , 0 n N 1
n
解： (1) X ( k )
x(n)W
n 0
3
nk 4
1 W4k W42 k W43k , k 0,1,2,3 X (2) 0, X (3) 2 2 j N 4
可求得 X (0) 0, (2) X ( k )
1 N 1 j ( k ' k ) n N 1 j N ( k k ') n X ( k ) [ e N e ] 2 n 0 n 0 N , 2 0 ,
(3) X ( k )
N 1 N 1 n 0
2
2
k k ' 及k N k ' 其它
k N
1 k N 1
即
N ( N 1) , 2 X (k ) N k , W N 1
即 0 不在采样点上时，
X (k )
1 e
1 e
b 当 ○
j ( 0
1 e 1 e
j 0 N 2 k) N
j ( 0
sin[(
0
2
N
k)N ] e ) N
j(
0
2 N
k )( N 1)
sin(
0
2
k
0
X (1) 2 2 j
nk N
x(n)W
n 0
N 1
k 2k 3k 1 jW N WN jW N ,
可求得 X (0) 0,
N 1 n 0
X (1) 4, X (2) 0 , N ( k ) c 1 N 1 c c 1 k cW N
(3) x( n) c , 0 n N 1
n
解： (1) X ( k )
x(n)W
n 0
3
nk 4
1 W4k W42 k W43k , k 0,1,2,3 X (2) 0, X (3) 2 2 j N 4
可求得 X (0) 0, (2) X ( k )
1 N 1 j ( k ' k ) n N 1 j N ( k k ') n X ( k ) [ e N e ] 2 n 0 n 0 N , 2 0 ,
(3) X ( k )
N 1 N 1 n 0
2
2
k k ' 及k N k ' 其它
k N
1 k N 1
即
N ( N 1) , 2 X (k ) N k , W N 1
数字信号处理 第2章
7． 帕斯维尔（Parseval）定理
x(n)21
π
2
x(ej) d
n
2ππ
（2.2.35）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
证明
n x ( n )2 n x ( n ) x * ( n ) n x * ( n ) 2 1 π π π X ( e j ) e j n d
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
交换积分与求和的次序，得到：
Y(ej)2 1 π π πH (ej) n x(n)ej( )n d
1 π H(ej)X(ej())d
2π
1 X(ej)H(ej) 2π
(2.2.34)
该定理表明，在时域两序列相乘，转移到频域时
服从卷积关系。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
h(0) n 0
he (n )
1 2
h(n)
n0
1 2
h
(
n
)
n0
（2.2.26）
0
n0
ho (n)
1 2
h(n)
n0
1 2
h ( n )
n0
（2.2.27）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
按照上面两式，实因果序列h(n)可以分别用he(n)和 ho(n)表示为
h(n)he(n)u(n)
（2.2.1）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
FT为Fourier Transform的缩写。FT［x(n)］存在的充 分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：
| x(n) |
n
（2.2.2）
X(ejω)的傅里叶反变换为
x(n)IF [X T (ej) ]1πX (ej)d（2.2.3） 2π π
x(n)21
π
2
x(ej) d
n
2ππ
（2.2.35）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
证明
n x ( n )2 n x ( n ) x * ( n ) n x * ( n ) 2 1 π π π X ( e j ) e j n d
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
交换积分与求和的次序，得到：
Y(ej)2 1 π π πH (ej) n x(n)ej( )n d
1 π H(ej)X(ej())d
2π
1 X(ej)H(ej) 2π
(2.2.34)
该定理表明，在时域两序列相乘，转移到频域时
服从卷积关系。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
h(0) n 0
he (n )
1 2
h(n)
n0
1 2
h
(
n
)
n0
（2.2.26）
0
n0
ho (n)
1 2
h(n)
n0
1 2
h ( n )
n0
（2.2.27）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
按照上面两式，实因果序列h(n)可以分别用he(n)和 ho(n)表示为
h(n)he(n)u(n)
（2.2.1）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
FT为Fourier Transform的缩写。FT［x(n)］存在的充 分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：
| x(n) |
n
（2.2.2）
X(ejω)的傅里叶反变换为
x(n)IF [X T (ej) ]1πX (ej)d（2.2.3） 2π π
数字信号处理第二章2
9 7
可加性：
2 T [ x1 n x2 n ] [ x1 (n) x2 (n)] sin( n ) 9 7 2 2 x1 (n) sin( n ) x2 (n) sin( n ) 9 7 9 7 y1 (n) y2 (n) 2 T [ax1 n ] ax1 (n) sin( n ) ay1 n 9 7
已知某线性移不变系统，其单位抽样响应h(n)为
h(n) a u (n)
n
讨论其因果性和稳定性
2.3常系数线性差分方程
一、差分方程的表示
二、差分方程的求解
三、系统结构
一.表示法
一个N阶常系数线性差分方程表示为
a
k 0
N
k
y (n k ) m 0b NhomakorabeaM
m
x ( n m)
三.系统结构
1.系统的输入与输出的运算关系的表述，非 实际结构。 2.差分方程可直接得到系统结构。 例：y(n)=b x(n)-a y(n-1)
0 1
用⊕表示相加器； 用 表示乘法器； 用 Z 1 表示一位延时单元。
例：差分方程y(n)= b0 x(n)-a1y(n-1)表示的系统结构为 ： x(n)
线性移不变因果系统的充要条件为
h(n)=0，n< 0。或h(n)=h(n)u(n)
六、稳定系统
有界的输入产生有界的输出系统。(BIBO) 线性移不变稳定系统的充要条件是
n
h( n)
p
已知某线性移不变系统，其单位抽样响应h(n)为
h( n) a u ( n)
n
可加性：
2 T [ x1 n x2 n ] [ x1 (n) x2 (n)] sin( n ) 9 7 2 2 x1 (n) sin( n ) x2 (n) sin( n ) 9 7 9 7 y1 (n) y2 (n) 2 T [ax1 n ] ax1 (n) sin( n ) ay1 n 9 7
已知某线性移不变系统，其单位抽样响应h(n)为
h(n) a u (n)
n
讨论其因果性和稳定性
2.3常系数线性差分方程
一、差分方程的表示
二、差分方程的求解
三、系统结构
一.表示法
一个N阶常系数线性差分方程表示为
a
k 0
N
k
y (n k ) m 0b NhomakorabeaM
m
x ( n m)
三.系统结构
1.系统的输入与输出的运算关系的表述，非 实际结构。 2.差分方程可直接得到系统结构。 例：y(n)=b x(n)-a y(n-1)
0 1
用⊕表示相加器； 用 表示乘法器； 用 Z 1 表示一位延时单元。
例：差分方程y(n)= b0 x(n)-a1y(n-1)表示的系统结构为 ： x(n)
线性移不变因果系统的充要条件为
h(n)=0，n< 0。或h(n)=h(n)u(n)
六、稳定系统
有界的输入产生有界的输出系统。(BIBO) 线性移不变稳定系统的充要条件是
n
h( n)
p
已知某线性移不变系统，其单位抽样响应h(n)为
h( n) a u ( n)
n
《数字信号处理》课件第2章 (2)
|z|>a的整个区域。
序列的性质决定了Z变换的收敛域。为了进一步搞清这种
关系，我们专门讨论几种特殊序列的情景。
第二章 Z 变 换
Z平面 Im
收敛 域
a
Re
图2.1 序列anu(n)的Z平面上的零、极点与收敛域
第二章 Z 变 换
1 假设该序列只有有限多个序列值不为零， 因而
n2
X (z) x(n)zn
n
n0
等式右边第一项的收敛域为0≤|z|<Rx+，第二项的收敛域为0<|z|≤∞， 所以X(z)的收敛域为0<|z|<Rx+，同样处于以Rx+为半径的一个圆的 里边， 但Z平面的原点已不包括在收敛域之内。
第二章 Z 变 换 4. 双边序列 双边序列是从n=-∞ 延伸到n=∞的序列， 通常可写成
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn （2-10）
（2-5）
nn1
对这个Z变换而言，z=0及z=∞有可能是它的极点， 这要视n的具
体取值而定。首先，如果n1≥0，x(n)为因果序列, 此时z=∞将不再 是极点，因而其收敛域应该是0<|z|≤∞，即z=∞ 也在其收敛域内。
其次，如果n2<0（即n<0），这时z=0已不是极点，收敛域将是 0≤|z|<∞，Z平面的原点也处于其收敛域内。最一般的情况可能是
x(n) 1 2πj
C'
X
1 p
pn1
p2dp
（2-22）
第二章 Z 变 换
第二章 Z 变 换
对于有理Z变换而言，围线积分用留数定理求值较方便。此时
x(n) 1 X (z)zk1dz [ X (z)zn1在C之内的极点上的留数 ]
数字信号处理chapter272页PPT
2
2.1 Fourier Transform
Signal Analysis and Processing （1）Time Domain Analysis: t-A （2）Frequency Domain Analysis: f-A
Fourier Transform
x t in time-domain x xt sin n2 2 5 f0 0t t2randn
2020/4/17
7
4) Conclusion
（1）Sampling in time domain brings periodicity in frequency domain.
（2）Sampling in frequency domain brings periodicity in time domain.
Q3: HOW to DFT?
HOW to realize DFT? How to use DFT to solve the practical problems?
2020/4/17
1
Basic contents of this chapter
2.1 Review of Fourier Transform 2.2 Discrete Fourier Series 2.3 Discrete Fourier Transform 2.4 Relationship between DFT, z-Transform and sequence’s
Three Questions about Discrete Fourier Transform
Q1: WHAT is DFT?
WHAT is relationship between DFT and other kinds of Fourier Transform?
数字信号处理课件 Chapter 2
• The process is called windowing(加窗)
21
Elementary Operations
Addition operation:
–Adder x[n] + y[n] y[n]=x[n]+w[n]
w[n]
• Multiplication operation
–Multiplier x[n]
Chapter 2 Discrete-time signals in
the time domain
1
§2.1 Discrete-Time Signals
Discrete-time signal in its most basic form is defined at equally spaced discrete values of time, with the signal amplitude at these discrete times taking a continuous value
In most cases, the operation defining a particular discrete-time system is composed of some basic operations 20
Elementary Operations
Product (modulation) operation:
Sequences
A single-input, single-output discrete-
time system operates on a sequence,
called the input sequence, according
some prescribed rules and develops
数字信号处理Chapter 2
利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程:
x(n)=s(n)+υ (n)
H(z) (a)
ˆ y ( n) s ( n)
x(
G( z ) H ( z) B( z )
x(n)
1 B( z )
w(n)
G(z) (b)
ˆ y ( n) s ( n)
x(
利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程
如果已知信号的Pxx(z)，即可由下式求得B(z) 。
2 Pxx ( z ) B( z ) B( z 1 )
于是，在最小均方误差准则下，求最佳Hopt(z)的问题就归结 为求最佳G(z)的问题了。G(z)当然也需分因果性或非因果性的 约束情况加以讨论。
2、 非因果IIR维纳滤波器的求解
当k=1时，h0rxx(1)+ h1rxx(0)+…+ hM-1rxx(-M+2)= rxd (1)
当k=M-1时，h0rxx(M-1)+ h1rxx (M-2)+…+hM-1rxx(0)= rxd (M-1) (2.2.22) …
定义
h0 h1 h hM 1 rxd (0) r (1) Rxd xd rxd ( M 1) rxx (1) rxx ( M 1) rxx (0) rxx ( M 2) rxx ( M 2) rxx (0)
n=0,1, 2, …
设期望信号为d(n)，误差信号e(n)及其均方值E［|e(n)|2］分别为
e(n)=d(n)-y(n)=s(n)-y(n)
代价函数为 J (n) E[| e(n) |2 ] E[e(n)e* (n)]
数字信号处理第2章(王春民)
Rm max[ Rx , Ry ] Rm min[Rx , Ry ]
2．序列的移位
设 X ( z ) ZT [ x(n)] 则 ZT [ x(n n0 )] z-n0 X ( z) 设 则 若 则 Rx | z | Rx Rx | z | Rx
2.2 序列 Z 变换的定义和收敛域
1．Z 变换的定义
双边 Z 变换：
X ( z ) ZT [ x(n)]
n ∞
∞
∞
x ( n) z n
（2-1） （2-2）
单边 Z 变换：
X ( z ) ZT [ x(n)] x(n) z n
n0
2．收敛域
使 Z 变换 X ( z ) 收敛的所有的 z 值集合称为 X ( z ) 的收敛域，通常简记为 ROC 【例 2-1】 求序列 x(n) an u(n) 的 Z 变换及收敛域。 解：该序列为实指数序列，且为因果序列，由 Z 变换的定义式得
图 2-2
x(n) a nu (n 1) 收敛域
3．收敛域与序列特性的关系
（1）有限长序列 【例 2-3】 求矩形序列 RN (n) 的 Z 变换及其收敛域。 解： ∞ N 1 N X ( z) RN (n)z n z n 1 z 1 1 z n ∞ n 0 收敛域为|z|>0，即除原点外的整个 z 平面。 （2）右边序列 由【例 2-1】的结论可知，一般右边序列的收敛域为 Rx-<|Z|<∞，即复平面上半径为 R的圆的外侧区域，R称为收敛半径。 （3）左边序列 由【例 2-2】的结论可知，一般左边序列的收敛域为|Z|<Rx+，即复平面上半径为 Rx+的圆的内部。 （4）双边序列 一个双边序列可以看做是一个左序列和一个右序列之和，其 Z 变换为
2．序列的移位
设 X ( z ) ZT [ x(n)] 则 ZT [ x(n n0 )] z-n0 X ( z) 设 则 若 则 Rx | z | Rx Rx | z | Rx
2.2 序列 Z 变换的定义和收敛域
1．Z 变换的定义
双边 Z 变换：
X ( z ) ZT [ x(n)]
n ∞
∞
∞
x ( n) z n
（2-1） （2-2）
单边 Z 变换：
X ( z ) ZT [ x(n)] x(n) z n
n0
2．收敛域
使 Z 变换 X ( z ) 收敛的所有的 z 值集合称为 X ( z ) 的收敛域，通常简记为 ROC 【例 2-1】 求序列 x(n) an u(n) 的 Z 变换及收敛域。 解：该序列为实指数序列，且为因果序列，由 Z 变换的定义式得
图 2-2
x(n) a nu (n 1) 收敛域
3．收敛域与序列特性的关系
（1）有限长序列 【例 2-3】 求矩形序列 RN (n) 的 Z 变换及其收敛域。 解： ∞ N 1 N X ( z) RN (n)z n z n 1 z 1 1 z n ∞ n 0 收敛域为|z|>0，即除原点外的整个 z 平面。 （2）右边序列 由【例 2-1】的结论可知，一般右边序列的收敛域为 Rx-<|Z|<∞，即复平面上半径为 R的圆的外侧区域，R称为收敛半径。 （3）左边序列 由【例 2-2】的结论可知，一般左边序列的收敛域为|Z|<Rx+，即复平面上半径为 Rx+的圆的内部。 （4）双边序列 一个双边序列可以看做是一个左序列和一个右序列之和，其 Z 变换为
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X (z)
n
x(n) z
n
a z
n n
n 1
a z
n
n
n0
1 ) 当 a 1时
a
n 1
n
z
n n
az 1 az 1 1 az
1
az 1 z 1 / a
1
a z
n
az
1 z a
n0
无 公 共 收 敛 域 ， X ( z )不 存 在
a
R e[ z ]
0
1
1/ a
零 点 ： z 0,
极 点 ： z a, a
23
结论
给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有 同时给出收敛域才能唯一确定。
x(n) X ( z ) ,
Z
R oc : R
g
X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故： 有限长序列的z变换收敛域覆盖整个z平面， 但是有可能要去除z=0或z=∞这两点 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有 限极点所在圆之外 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有 限极点所在圆之内
2
2.1 z变换
时域分析方法
迭代法 卷积和法
变换域分析方法：
连续时间信号与系统 • Laplace变换 • Fourier变换 离散时间信号与系统 • z变换 • 离散时间Fourier变换(序列的傅里叶变换)
3
2.1 引言
分析信号在时间分布上 的特性和运算：直观， 时间域 物理概念会比较的清楚。
18
例题 2
例 2: 求 x ( n ) a u ( n )的 z 变 换 及 其 收 敛 域
n
解 ： X (z)
n
x(n) z
n
n
n
a u (n) z
n
a z
n
n
n0
ห้องสมุดไป่ตู้1
(az )
1 n
n0
1 1 az
1
当 az
1时
j Im [ z ]
a u ( n 1) z
n m m
n
n
a
m 1
z
a z a
1 m 0
m
z
m
a z 1 a z
z a
1
1 1 az
1
当 a z 1时
j Im [ z ]
1
a
R e[ z ]
零点：z 0
极点：z a
0
20
例题 4
8
二、z变换的收敛域
序列可以分为：
有限长序列 右序列 左序列 双边序列
9
预备知识
阿贝尔定理: 如果级数 x(n) z ，在 z z ( 0) 收敛, 那么，满足0≤|z|<|z+|的z，级数必绝对收敛。 |z+|为最大收敛半径。
n n 0
j Im[ z ]
0 x(n) x(n) n n2 n n2
其 z变 换 ： X ( z )
n
0
x(n) z
n
n2
x(n) z
n
n 1
前 式 R o c: 0 z R x
j Im [ z ]
后 式 R o c: 0 z
当 n 2 0时 ， R o c : 0 z R x 当 n 2 0时 ， R o c : 0 z R x
例 4： 求 x ( n ) a ， a 为 实 数 ， 求 其 z 变 换 及 其 收 敛 域
解 ： X (z)=
n
n
x(n) z
n n
n
=
n
n
a z
n
n
n
=
n
1
a
n
z
n
a z
n
n
n0
= a z
n 1
a
n0
z
21
例题 4
第二章 z变换与离散时间 傅里叶变换（DTFT）
学习目标
掌握z变换及其收敛域 会运用任意方法求z反变换 理解z变换的主要性质 理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系 掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质
掌握离散系统的系统函数和频率响应，系 统函数与差分方程的互求，因果/稳定系统 的收敛域
24
结论
j Im [ z ]
j Im [ z ]
a
b
a
R e[ z ]
c
b
R e[ z ]
c
0
0
j Im [ z ]
j Im [ z ]
a
a
b
R e[ z ]
0
b
R e[ z ]
0
c
c
25
一些常用的z变换对
26
二、z变换的零极点
M文件factorize可以用来分解有理z变换的分 母多项式，从而确定z变换可能的ROC。 有理z变换的极零点图可以用M文件zplane来 显示。 zplane(zeros，poles)，zplane(num，den)
Re[ z ]
z
10
阿贝尔定理
同样，对于级数 x(n) z ，满足
n n 0
z z
的z， 级数必绝对收敛。 |z-|为最小收敛半径。
j Im[ z ]
z
Re[ z ]
11
（1）有限长序列
n1 n n 2 其它n
x(n) x(n) 0
其 z 变 换 ：X ( z )
n n1
n2
x(n) z
n
j Im [ z ]
R oc至 少 为 ： 0 z
R e[ z ]
0
12
（1）有限长序列
在n1、n2的特殊选择下：
n1 0 n 2
X (z)
n1
0
n2
n n1
n2
x(n) z
n
Roc :
n
0 z
R e[ z ]
0
R x
n2 0
16
（4）双边序列
n为 任 意 值 时 皆 有 值
1
其 z变 换 ： X ( z )
n
x(n) z
n
x(n) z
n
n0
前 式 R o c: 0 z R x
后 式 R o c: R x z
当 R x R x时 ， R o c : 当 R x R x时 ， R o c : R x z R x
R x
R e[ z ]
0
n1 0
包 括 z 处
14
因果序列
n1=0的右边序列 Roc: R x z 因果序列的z变换必在∞处收敛 在∞处收敛的z变换，其序列必为因果序列
j Im [ z ]
R x
R e[ z ]
0
包 括 z 处 15
（3）左边序列
4 3 2
则：num = [2 16 44 56 32]；
den = [3 3 -15 18 -12]；
zplane(num,den)
28
例题
2 1.5 1
Imaginary Part
0.5 0 -0.5
X (z)
(1 4 z )(1 2 z )(1 -1 2 z
1
-1.5 1 -2
R oc :
z a
零点：z 0
极点：z a
a
0
R e[ z ]
19
例题 3
例 3: 求 x ( n ) a u ( n 1)的 z 变 换 及 其 收 敛 域
n
解 ： X (z)
R oc :
n
1
x(n) z a z
n 1
n
n n
信号、系统
FT、ZT
IFT、IZT
分析信号在频率分布上的 频率域 特性和运算：发现许多在 时间域上得不到的特性和 运算。
4
第二章
主要内容
z变换与离散时间傅里叶变换
2.2 z变换的定义及收敛域
2.3 z反变换 2.4 z变换的基本性质和定理 2.5 z变换与Laplace变换、Fourier变换 2.6 离散时间Fourier变换 2.7 序列Fourier变换的主要性质 2.9 Fourier变换的一些对称性质 2.10 离散系统的系统函数、频率响应
n
0 n1 n 2
0
0
Roc :
n
0 z
n
n1 n 2 0
0
0
Roc :
0 z
13
（2）右边序列
x(n) x(n) 0 n n1 n n1
其 z变 换 ： X ( z )
前 式 R o c:
n n1
22
例题 4
2 ) 当 a 1时 ， X (z)
n
x(n) z
n
a z
n n
n 1
a z
n
n
n0
1 ) 当 a 1时
a
n 1
n
z
n n
az 1 az 1 1 az
1
az 1 z 1 / a
1
a z
n
az
1 z a
n0
无 公 共 收 敛 域 ， X ( z )不 存 在
a
R e[ z ]
0
1
1/ a
零 点 ： z 0,
极 点 ： z a, a
23
结论
给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有 同时给出收敛域才能唯一确定。
x(n) X ( z ) ,
Z
R oc : R
g
X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故： 有限长序列的z变换收敛域覆盖整个z平面， 但是有可能要去除z=0或z=∞这两点 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有 限极点所在圆之外 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有 限极点所在圆之内
2
2.1 z变换
时域分析方法
迭代法 卷积和法
变换域分析方法：
连续时间信号与系统 • Laplace变换 • Fourier变换 离散时间信号与系统 • z变换 • 离散时间Fourier变换(序列的傅里叶变换)
3
2.1 引言
分析信号在时间分布上 的特性和运算：直观， 时间域 物理概念会比较的清楚。
18
例题 2
例 2: 求 x ( n ) a u ( n )的 z 变 换 及 其 收 敛 域
n
解 ： X (z)
n
x(n) z
n
n
n
a u (n) z
n
a z
n
n
n0
ห้องสมุดไป่ตู้1
(az )
1 n
n0
1 1 az
1
当 az
1时
j Im [ z ]
a u ( n 1) z
n m m
n
n
a
m 1
z
a z a
1 m 0
m
z
m
a z 1 a z
z a
1
1 1 az
1
当 a z 1时
j Im [ z ]
1
a
R e[ z ]
零点：z 0
极点：z a
0
20
例题 4
8
二、z变换的收敛域
序列可以分为：
有限长序列 右序列 左序列 双边序列
9
预备知识
阿贝尔定理: 如果级数 x(n) z ，在 z z ( 0) 收敛, 那么，满足0≤|z|<|z+|的z，级数必绝对收敛。 |z+|为最大收敛半径。
n n 0
j Im[ z ]
0 x(n) x(n) n n2 n n2
其 z变 换 ： X ( z )
n
0
x(n) z
n
n2
x(n) z
n
n 1
前 式 R o c: 0 z R x
j Im [ z ]
后 式 R o c: 0 z
当 n 2 0时 ， R o c : 0 z R x 当 n 2 0时 ， R o c : 0 z R x
例 4： 求 x ( n ) a ， a 为 实 数 ， 求 其 z 变 换 及 其 收 敛 域
解 ： X (z)=
n
n
x(n) z
n n
n
=
n
n
a z
n
n
n
=
n
1
a
n
z
n
a z
n
n
n0
= a z
n 1
a
n0
z
21
例题 4
第二章 z变换与离散时间 傅里叶变换（DTFT）
学习目标
掌握z变换及其收敛域 会运用任意方法求z反变换 理解z变换的主要性质 理解z变换与Laplace/Fourier变换的关系 掌握序列的Fourier变换并理解其对称性质
掌握离散系统的系统函数和频率响应，系 统函数与差分方程的互求，因果/稳定系统 的收敛域
24
结论
j Im [ z ]
j Im [ z ]
a
b
a
R e[ z ]
c
b
R e[ z ]
c
0
0
j Im [ z ]
j Im [ z ]
a
a
b
R e[ z ]
0
b
R e[ z ]
0
c
c
25
一些常用的z变换对
26
二、z变换的零极点
M文件factorize可以用来分解有理z变换的分 母多项式，从而确定z变换可能的ROC。 有理z变换的极零点图可以用M文件zplane来 显示。 zplane(zeros，poles)，zplane(num，den)
Re[ z ]
z
10
阿贝尔定理
同样，对于级数 x(n) z ，满足
n n 0
z z
的z， 级数必绝对收敛。 |z-|为最小收敛半径。
j Im[ z ]
z
Re[ z ]
11
（1）有限长序列
n1 n n 2 其它n
x(n) x(n) 0
其 z 变 换 ：X ( z )
n n1
n2
x(n) z
n
j Im [ z ]
R oc至 少 为 ： 0 z
R e[ z ]
0
12
（1）有限长序列
在n1、n2的特殊选择下：
n1 0 n 2
X (z)
n1
0
n2
n n1
n2
x(n) z
n
Roc :
n
0 z
R e[ z ]
0
R x
n2 0
16
（4）双边序列
n为 任 意 值 时 皆 有 值
1
其 z变 换 ： X ( z )
n
x(n) z
n
x(n) z
n
n0
前 式 R o c: 0 z R x
后 式 R o c: R x z
当 R x R x时 ， R o c : 当 R x R x时 ， R o c : R x z R x
R x
R e[ z ]
0
n1 0
包 括 z 处
14
因果序列
n1=0的右边序列 Roc: R x z 因果序列的z变换必在∞处收敛 在∞处收敛的z变换，其序列必为因果序列
j Im [ z ]
R x
R e[ z ]
0
包 括 z 处 15
（3）左边序列
4 3 2
则：num = [2 16 44 56 32]；
den = [3 3 -15 18 -12]；
zplane(num,den)
28
例题
2 1.5 1
Imaginary Part
0.5 0 -0.5
X (z)
(1 4 z )(1 2 z )(1 -1 2 z
1
-1.5 1 -2
R oc :
z a
零点：z 0
极点：z a
a
0
R e[ z ]
19
例题 3
例 3: 求 x ( n ) a u ( n 1)的 z 变 换 及 其 收 敛 域
n
解 ： X (z)
R oc :
n
1
x(n) z a z
n 1
n
n n
信号、系统
FT、ZT
IFT、IZT
分析信号在频率分布上的 频率域 特性和运算：发现许多在 时间域上得不到的特性和 运算。
4
第二章
主要内容
z变换与离散时间傅里叶变换
2.2 z变换的定义及收敛域
2.3 z反变换 2.4 z变换的基本性质和定理 2.5 z变换与Laplace变换、Fourier变换 2.6 离散时间Fourier变换 2.7 序列Fourier变换的主要性质 2.9 Fourier变换的一些对称性质 2.10 离散系统的系统函数、频率响应
n
0 n1 n 2
0
0
Roc :
n
0 z
n
n1 n 2 0
0
0
Roc :
0 z
13
（2）右边序列
x(n) x(n) 0 n n1 n n1
其 z变 换 ： X ( z )
前 式 R o c:
n n1
22
例题 4
2 ) 当 a 1时 ， X (z)