2011年高中数学 8《最小二乘估计》课件 北师大版必修3

显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离，而且比方法一更方便计算， 所以我们用它来表示二者之间的接近程度
问题3：
怎样刻画多个点与直线的接近程度？
例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（x3， y3），（x4，y4），（x5，y5）与直线y=a+bx的接近程度：
y1 a bx12 y2 a bx2 2 y3 a bx3 2 y4 a bx4 2 y5 a bx5 2
n
n
b
x1 y1 ... xn yn n x y
x12
...
xn2
2
nx
,a

y bx
这样得到的直线方程称为线性回归方程，a,b为其系数。
注：
1、在回归直线方程中，b是回归直线方程的斜率，
a是截距；b的含义容易理解成增加的单位数，而实际 上，它代表x每增加一个单位，y的平均增加单位数。 一般的说，当回归系数b＞0时，说明两个变量呈正相 关关系，它的意义是：当x每增加一个单位时，y就增 加b个单位；当b＜0时，说明两个变量呈负相关关系， 它的意义是：当x每增加一个单位时，y就减少b 个单位。
xi 2
1.96 2.25 2.56 2.89 3.24 3.61
4 4.41 24.92
xi yi
2.38 2.685 3.008 3.315 3.654 3.99 4.32 4.641 27.993
b

x1y1 xn yn nx y
x12


xn2

2
nx

a y bx
最小二乘估计
问题导入：
上一节课我们学习了人的身高与右手一拃长 之间近似存在着线性关系，这种线性关系可以 有多种方法来进行刻画，那么用什么样的线性 关系刻画会更好？这就是本节课我们要讨论的 问题。
最小二乘估计
问题1：
用什么样的线性关系刻画会更好一些？
想法：保证这条直线与所有点都近（也就是距离 最小）。
气温 26 18 13 10 4 -1 杯数 20 24 34 38 50 64
1）求线性回归方程
2）如果某天的气温是－30C，预测这天 能卖热茶多少杯？
i xi
1
1.4
2
1Hale Waihona Puke 531.64
1.7
5
1.8
6
1.9
7
2
8
2.1

x 1.75
y 1.9775
yi
1.7 1.79 1.88 1.95 2.03 2.1 2.16 2.21
(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为（A ）
A.y=x+1 B. y=x+2
C. y=2x+1
D. y=x-1
解析：因为x 1 2 3 4 2.5, y 3.5而回归直线必过点 4
（x, y）,所以把点2.5，3.5代入各个选项检验知.
小结：
1.如何求线性回归方程（公式法） 2.线性回归方程系数的含义 3.线性回归方程的应用
线性回归方程:
y bx a
例题1 从某大学中随机选出8名女大学生，其
身高和体重数据如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高 165 165 157 170 175 165 155 170 体重 48 57 50 54 64 61 43 59
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的 回归方程，并预报一名身高为172ｃｍ的女 大学生的体重。
2、回归直线必经过点 ( x, y )
3.
x
x1 x2 x3 x4 …. xn
y y1 y2 y3 y4 …. yn
求线性回归方程的系数:
n
b

x1 y1 xn yn nx y
x12

xn2

2
nx

xi yi nxy
i 1 n
xi2 n(x)2
i 1
a y bx
抽象概括：
若有n个样本点：（x1，y1）,… ,（xn，yn），可以用下面的表达式来刻 画这些点与直线y＝a+bx的接近程度:
[ y1 (a bx1)]2 [ yn (a bxn )]2
使上式达到最小值的直线y=a+bx就是所求的直线，这种方法称为最小二乘 法。
如果用x表示 x1 x2 ... xn ,用y表示 y1 y2 ... yn 则可得到
0.733333333 0.694166667
回归方程预测值
2.050833333
课堂练习：
1.设一个回归方程为y=3-1.2x，则变量x增加一个单位时
( A)
A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加1.2个单位
C.y平均减少3个单位
D.y平均减少3个单位
2.在一次实验中，测得（x,y）的四组值为(1，2)，(2，3)，(3，4)，
分析：由于问题中 要求根据身高预报 体重，因此选取身 高为自变量，体重 为因变量．
1. 散点图；
2.回归方程：
y 0.849x 85.172
身高172cm女大学生体重 yˆ = 0.849×172 - 85.712 = 60.316(kg)
例2：上节中的练习热茶的杯数（y）与气温（x） 之间是线性相关的
最小二乘法就是基于这种想法。
问题2：
用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效？
设直线方程为y=a+bx，样本点A（xi，yi）
方法一、点到直线的距离公式
d bxi yi a b2 1
y
xi , yi
y a bx
方法二、 yi a bxi 2
0
xi , a bxi