高考数学一轮复习课时跟踪检测(五十一)直线与椭圆的位置关系(含解析)新人教A版
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题58：直线与椭圆的位置关系(讲解版)
专题58：直线与椭圆的位置关系1..点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)在椭圆12222=+b y a x 内部的充要条件是1220220<+b y a x ；在椭圆外部的充要条件是1220220>+b y a x ；在椭圆上的充要条件是122220=+by a x .2.直线与椭圆的位置关系.设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：12222=+by a x ，联立l 与C ，消去某一变量(x 或y )得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，则l 与C 相离的⇔Δ<0； l 与C 相切⇔Δ=0； l 与C 相交于不同两点⇔Δ>0. 3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)⇒|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+- 212212111y y kx x k -+=-+=（k 为直线斜率）形式(利用根与系数关系（推导过程：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()AB x x y y x x kx kx k x x =-+-=-+-=+-221212(1)[()4]k x x x x =++-或者2222212121212122111()()()()(1)()AB x x y y x x y y y y k k k =-+-=-+-=+-2121221(1)[()4]y y y y k=++-) 4.中点弦问题关于中点弦问题，一般采用两种方法解决：(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算.(2)利用“点差法”求解，即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，且弦AB 的中点为M (x 0，y 0)，则⎝⎛x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1. ②由①－②得a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题能得以解决．题型一：直线与椭圆的位置关系例1：（2021·天津·高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为255，且5BF =．（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【详解】（1）易知点(),0F c 、()0,B b ，故225BF c b a =+==， 因为椭圆的离心率为255c e a ==，故2c =，221b a c =-=， 因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215xy +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=， 联立00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，2200440x x ∆=-=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线BF 的斜率为12BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+， 在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =-，即点01,02P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为//MP BF ，则MPBF k k =，即20000002112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=， 所以，005x y =-，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故0y =0x =，所以，直线l的方程为1x y =，即0x y -+. 举一反三1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）椭圆2215x y +=的左右焦点为()()120000,,,0,0F F P x y x y >>为椭圆上一点，直线12,PF PF 分别交椭圆于M ，N 两点，则当直线MN 的斜率为19-时，00x y =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【详解】由已知得12(2,0),(2,0)F F -，所以直线1PF 的方程为：1(2)y k x =+（其中0102y k x =+）， 与椭圆方程联立得()222211151202050k x k x k +++-=，由韦达定理22100221020205149M k y x x k x --+==++，所以200000209204949M y x x x x x -+=-=-++， 故()00002249M M y yy x x x =+=-++； 类似得0092049N x x x -=-，0049N y y x =-，所以()0000002200001594545995545M X MN M M y y x y x y x x k x x x y y y -====-=-⇒=----，故选：D ． 2．（2022·四川·仁寿一中二模（文））已知,A B 分别为椭圆222:1(04)16x y C b b+=<<的左、右顶点，,P Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，若1234k k =，则椭圆的短轴长为（ ） A．B．C．D．【答案】C【详解】根据椭圆的标准方程222116x y b +=知()(4)004A B -，，，， 设00()P x y ，，则00()Q x y -，，且22002116x y b +=，0104y k x =+，0204y k x -=-，所以2201220316164y b k k x -===-，解得b =，即椭圆的短轴长为2b =故选C ． 题型二：椭圆的弦长例2：（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知椭圆M ：()222210x y a b a b +=>>，AB 为过椭圆右焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2． (1)求椭圆M 的方程．(2)若斜率为1的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点()2,0P ，直线PC 的斜率为12，求线段CD 的长度．【解析】(1)因为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>c a ==过椭圆右焦点的弦长的最小值为222b a=，所以2a =，c =b =M 的方程为22142x y +=．(2)设直线PC 的方程为()122y x =-，联立直线PC 与椭圆M 的方程得()2221223440142y x x x x y ⎧=-⎪⎪⇒--=⎨⎪+=⎪⎩，则43P C x x +=，因为点()2,0P ，所以C 点坐标为24,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以可得直线l 的方程为4233y x +=+，即23y x =-．联立直线l 与椭圆M 的方程，消去y 得28283039x x --=，解得123x =-，2149x =，所以12209CD x x =-=． 举一反三1．（2022·河南郑州·三模（文））斜率为1的直线l 与椭圆2212x y +=相交于A ，B 两点，则||AB 的最大值为（ ）A ．2 BCD【答案】D【详解】设A B ，两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，直线l 的方程为y x m =+， 由2212y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得22342(1)0x mx m ++-=， 则1243m x x +=-，2122(1)3m x x -=.∴12AB x =-==，∴当0m =时，AB :D. 2．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））设A ，B 两点坐标分别为()2,0-，()2,0，直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为14-．(1)求点M 的轨迹方程E ；(2)求曲线E 内接矩形面积S 的最大值． 【解析】(1)设(),M x y ，∵()2,0A -，()2,0B ，则()22122244MA MB y y y k k x x x x ⋅=⋅==-≠±+--， ∴点M 的轨迹方程E ：()22124x y x +=≠±．(2)设第一象限内曲线E 内接矩形的顶点为()(),0,0P x y x y >>， 则221242x xy y +=≥⋅⋅，∴1xy ≤， ∴44S xy =≤，当且仅当2x =，22y =时取等号；所以曲线E 内接矩形面积S 最大值为4． 题型三：椭圆的焦点弦例3：（2019·浙江·高考真题）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是____. 【答案】15【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y 可得22(2)16x y -+=，联立方程22195x y +=可解得321,22x x =-=（舍），点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 求得315,22P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k == 方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-求得3152P ⎛- ⎝⎭，所以1521512PFk == 举一反三（2021·全国·模拟预测）如图，椭圆22:154x y C +=的左､右焦点分别为1F ，2F ，过点1F ，2F 分别作弦AB ，CD .若//AB CD ，则12AF CF +的取值范围为（ ）A ．16545⎡⎢⎣B ．1655⎡⎢⎣C ．855⎡⎢⎣D ．855⎡⎤⎢⎥⎣ 【答案】C 【详解】由椭圆的对称性可知AB CD =，12AF DF =，12BF CF =.设点()11,A x y ，()22,B x y .若直线AB 的斜率不存在，则点45A ⎛- ⎝⎭，451,B ⎛- ⎝⎭，所以85AB =，所以12AF CF AB +=85=. 若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)(0)y k x k =+≠，联立22(1),1,54y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()222245105200k x k x k +++-=，0∆>，则21221045k x x k +=-+.又()()22221111114511455AF x y x x =++=++-，同理可得1255BF =，所以)21212525||525k AF CF AB x x +==+==28525,25255⎝+，所以128525AF CF +∈⎝.综上，12AF CF +的取值范围为8525⎡⎢⎣，故选:C. 题型四：椭圆的中点弦例4：（2022·全国·高考真题）已知直线l 与椭圆22163x y +=在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||23MA NB MN ==l 的方程为___________． 【答案】2220x y -解：令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=， 所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+= 所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，所以,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1222mk m k ⨯=--，解得22k =-或22k =（舍去），又23MN =，即()22223MN m m=+=，解得2m =或2m =-（舍去）， 所以直线2:22AB y x =-+，即2220x y +-=； 故答案为：220x +-=举一反三（2022·上海·模拟预测）已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)与直线220x y +-=交于A 、B 两点，||5AB =且AB 中点的坐标为1(,)2m ，则此椭圆的方程为________．【答案】2214x y +=【详解】由于AB 的中点坐标为1,2m ⎛⎫⎪⎝⎭且满足直线方程220x y +-=，即有12202m +⨯-=，解得1m =，则AB 的中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭．设()11,A x y ，()22,B x y ，由22222201x y x y ab +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222222244440a b x a x a a b +-+-=，则2122244a x x a b +=+，2221222444a a b x x a b -=+， ∵AB 的中点坐标为11,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴1212x x +=，即122x x +=，则222424a a b=+，即224a b =，故2222122244224a a b x x b a b -==-+， 又()()2222212121141242252AB k x x x x b ⎛⎫++-=+--⋅- ⎪⎝⎭，解得21b =，故2244a b ==．∴椭圆方程为2214x y +=．故答案为：2214x y +=．题型五：椭圆中参数的范围及最值例5：（2018·浙江·高考真题）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大． 【答案】5详解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=-因为A ,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+=2222222243(23),()4424x x m y m y ∴+-=∴+-=，与22224x y m +=对应相减得222231,(109)444m y x m m +==--+≤，当且仅当5m =时取最大值 举一反三1．（2021·全国·高考真题（文））设B 是椭圆22:15x C y +=的上顶点，点P 在C 上，则PB 的最大值为（ ）A ．52B C D ．2【答案】A【详解】点()00,P x y ，因为()0,1B ，220015x y +=，所以()()()222222200000001251511426444PB x y y y y y y ⎛⎫=+-=-+-=--+=-++ ⎪⎝⎭，而011y -≤≤，所以当014y =-时，PB 的最大值为52．故选：A ．（2017·全国·高考真题（文））（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞【答案】A【详解】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞，选A ． 题型六：椭圆中的定点、定值问题例6：（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．(1)求E 的方程；(2)设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．(1)解：设椭圆E 的方程为221mx ny +=，过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭，则41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.(2)3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得(1,M，N ，代入AB 方程223y x =-，可得(3,T ，由MT TH =得到(5,H -.求得HN 方程：(22y x =-，过点(0,2)-. ②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=. 联立22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=， 可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩， 且1221224(*)34k x y x y k -+=+联立1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++- 可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--， 将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=， 将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--= 显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).- 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.举一反三（2020·山东·高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【详解】（1）由题意可得：22222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)［方法一］：通性通法 设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260k x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m kmk km k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=， 因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -， 由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故123DQ AP ==， 若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163x y +++=，设直线MN的方程为4mx ny ．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+，即3m n =--． 代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP ==．［方法三］：建立曲线系 A 点处的切线方程为21163x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭（其中λ为系数）． 用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭． 对比xy 项、x 项及y 项系数得()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP =．［方法四］：设()()1122,,,M x y N x y ．若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -． 因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅=，即()1221210x y -+-=．由2211163x y +=，解得123x =或12x =（舍）．所以直线MN 的方程为23x =． 若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．令2x =，则()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=+．又()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+． 因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+--2(21)(231)12k m k m k +-++=+0=，即21m k =-+或2133m k =--．当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意； 当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以||AP =又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动． 取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1||||2DQ AP =所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值． 题型七：椭圆的定直线例7：（2022·河北沧州·二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. (1)求椭圆C 的方程；(2)点A 关于原点O 的对称点为点B ，与直线AB 平行的直线l 与C 交于点,M N ，直线AM 与BN 交于点P ，点P 是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.【解析】(1)由题意得222222412⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩c ab a b a bc ，解得2282⎧=⎨=⎩a b ，所以椭圆C 的方程是22182x y +=. (2)点P 是在定直线12y x =-上，理由如下，由（1）知()()2,1,2,1A B --，设()()1122,,,M x y N x y ，1:,02l y x m m =+≠，将l 的方程与22182x y +=联立消y ，得222240x mx m ++-=，则()22Δ44240m m =-->，得22m -<<且0m ≠，且212122,24x x m x x m +=-=-，因为12121112221111111122,22222222AMBN x m x m y y m m kk x x x x x x +-++-+===+===+---+++， 所以直线AM 的方程为()111222m y x x ⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭，即1112222m my x x x ⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭， 直线BN 的方程为()211222m y x x ⎛⎫+=++ ⎪+⎝⎭，即2212222m my x x x ⎛⎫=++⎪++⎝⎭， 联立直线AM 与直线BN 的方程，得1212222222m m m mx x x x x ⎛⎫-=+ ⎪-+-+⎝⎭， 得()121211212,4222P P P x x m mx y x x x x x +⎛⎫=-=+-⎪----⎝⎭， 所以()()()()()121212111211244121222222P P x x x x y x x m m m x x x x x x x x ++--⎛⎫--=++⋅=+⋅ ⎪--+-+⎝⎭ ()()111212241121.2222x m m x x x x x -=+⋅=+=--++所以点P 在定直线12y x =-上. 举一反三（2022·全国·模拟预测）已知椭圆C ：22184x y +=的右焦点为F ，23OF OE =，过点F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)若直线l 的斜率为3，求MN 的值．(2)过点M 且与y 轴垂直的直线l '交直线EN 于点G ，探究：点G 是否在某一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．(1)设()11,M x y ，()22,N x y ，依题意，()2,0F ，直线l ：y ＝3x －6，联立2218436x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 整理得：21972640x x -+=， 10∆>，则127219x x +=，126419x x =，故MN == (2)由题易知直线l 不与y 轴垂直，设直线MN 的方程为x ＝my ＋2，联立222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得：()222440m y my ++-=，()22221644232320m m m ∆=+⨯+=+>，则12242m y y m +=-+，12242y y m =-+，得1212y y my y +=．由23OF OE =，可知点E 的坐标为()3,0，则直线EN 的方程为()2233y y x x =--，①，直线l '的方程为1y y =，② （根据点G 是直线l '与直线EN 的交点，联立方程求解即可） 联立①②可得，()()1212121222313334G y x y my y y yx y y y --+-=+=+=+=， 故点G 在定直线上，该直线的方程为x ＝4． 题型八：椭圆中的向量问题例8：（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））已知曲线C 上动点(),P x y到定点(1F与定直线1:l y =的距(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)以曲线C 的上顶点T 为圆心作半径为()0r r >的圆，设圆T 与曲线C 交于点M 与点N ，求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程．【解析】(1)动点(),P x y到定点(1F与定直线1:l y ==2214y x +=(2)点M 与点N 关于y 轴对称，设()00,M x y ，()00,N x y -，不妨设00x >．由于点M 在椭圆C 上，所以22014y x =-．由已知()0,2T ，则TM ()00,2x y =-，()00,2TN x y =--， ∴()22220000055812434455TM TN x y y y y ⎛⎫⋅=-+-=-+=-- ⎪⎝⎭ 由于022y -<<，故当085y =时，TM TN ⋅取得最小值为15-．此时38,55M ⎛⎫⎪⎝⎭，r MT =故圆T 的方程为()2213225x y +-=． 举一反三（2022·天津红桥·二模）已知椭圆C ：22221x ya b +=（0a b >>）的离心率e =，点(),0A a 、()0,B b 之间的距离(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ，则是否存在常数k ，使得OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由.【解析】(1)因为点(),0A a 、()0,B b=e =c a =，而222a b c =+，因此组成方程组为：2222221a c a b a b c =⎧⎪==⇒⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩2212x y +=； (2)设l的方程为y kx =22221(12)202x y k x y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=⎩，于是有2221)4(12)202k k -+⋅>⇒>，此时设1222(,),(,)P x y Q x y ，于是有12x x +=，假设存在常数k ，使得OP OQ +与AB 共线，因为1212(,)OP OQ x x y y +=++，(,)(AB a b =-=，12121212)()()y y x x kx kx x x +=-+=-+，1212()4()x x x x ++=-+，因为12x x +=4k ==，不满足212k >， 因此不存在常数k ，使得OP OQ +与AB 共线.。
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：直线与圆、圆与圆的位置关系
3－4sin25θ＋1，
所以 1≤4sin25θ＋1<3，
所以 2 r2－d2＝2 3－4sin25θ＋1∈(0,2 2]. 所以当 4sin2θ＋1＝5，即 sin2θ＝1 时，弦长有最大值 2 2.
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (1)(2023·扬州联考)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2 2)2＝16和两点A(0，－m)， B(0，m)，若圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为
则直线l与圆C相离，故B正确； 若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
所以 d＝ a2r＋2 b2<|r|，则直线 l 与圆 C 相交，故 C 错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0， 即a2＋b2＝r2， 所以 d＝ a2r＋2 b2＝|r|，则直线 l 与圆 C 相切，故 D 正确.
第八章 直线和圆、圆锥曲线
§8.4 直线与圆、圆与 圆的位置关系
考试要求
1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.( × ) (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线
与圆相切.( √ ) (4)在圆中最长的弦是直径.( √ )
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2020年高中数学课时跟踪检测含解析新人教A版课时跟踪检测一变化率问题导数的概念课时跟踪检测二导数的几何意义课时跟踪检测三几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课时跟踪检测四复合函数求导及应用课时跟踪检测五函数的单调性与导数课时跟踪检测六函数的极值与导数课时跟踪检测七函数的最大小值与导数课时跟踪检测八生活中的优化问题举例课时跟踪检测九定积分的概念课时跟踪检测十微积分基本定理课时跟踪检测十一定积分的简单应用课时跟踪检测十二合情推理课时跟踪检测十三演绎推理课时跟踪检测十四综合法和分析法课时跟踪检测十五反证法课时跟踪检测十六数学归纳法课时跟踪检测十七数系的扩充和复数的概念课时跟踪检测十八 复数的几何意义课时跟踪检测十九 复数代数形式的加减运算及其几何意义 课时跟踪检测二十 复数代数形式的乘除运算课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念一、题组对点训练对点练一 函数的平均变化率1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义,可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b )2－1＝a ＝3.2．若函数f (x )＝－x 2＋10的图象上一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，314及邻近一点⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx ，314＋Δy ,则Δy Δx ＝( )A ．3B ．－3C ．－3－(Δx )2D ．－Δx －3解析：选D ∵Δy ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋Δx －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－3Δx －(Δx )2,∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝1x在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率．解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx )(1＋1＋Δx )1＋Δx＝－Δx(1＋1＋Δx )1＋Δx, ∴Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx. 对点练二 求瞬时速度4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示,则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为( )A ．1B ．3C ．－1D ．0 答案：B5．求第4题中的物体在t 0时的瞬时速度． 解：物体在t 0时的平均速度为v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt ＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2.因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20,故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20 m/s. 6．若第4题中的物体在t 0时刻的瞬时速度为27 m/s,求t 0的值．解：由v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt ＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2,因为lim Δt →0 [3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20. 所以由3t 20＝27,解得t 0＝±3, 因为t 0>0,故t 0＝3,所以物体在3 s 时的瞬时速度为27 m/s. 对点练三 利用定义求函数在某一点处的导数 7．设函数f (x )可导,则lim Δx →0 f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C ．13f ′(1) D ．f ′(3)解析：选A lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1)．8．设函数f (x )＝ax ＋3,若f ′(1)＝3,则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－3 解析：选C ∵f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0a (1＋Δx )＋3－(a ＋3)Δx＝a ,∴a ＝3.9．求函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数f ′(1)．解：由导数的定义知,函数在x ＝1处的导数f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx,而f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1,又lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12,所以f ′(1)＝12.二、综合过关训练1．若f (x )在x ＝x 0处存在导数,则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0,h 都有关B ．仅与x 0有关,而与h 无关C ．仅与h 有关,而与x 0无关D ．以上答案都不对解析：选B 由导数的定义知,函数在x ＝x 0处的导数只与x 0有关．2．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1,在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2,则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1>k 2B ．k 2<k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝(x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＋Δx ；k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝x 20－(x 0－Δx )2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可正也可负,所以k 1与k 2的大小关系不确定． 3．A ,B 两机关开展节能活动,活动开始后两机关的用电量W 1(t ),W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示,则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0,t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大解析：选B 由题图可知,A 机关所对应的图象比较陡峭,B 机关所对应的图象比较平缓,且用电量在[0,t 0]上的平均变化率都小于0,故一定有A 机关比B 机关节能效果好．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2,其中s 的单位是：m,t 的单位是：s,那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt ,∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (5＋Δt )＝5 (m/s)． 5．如图是函数y ＝f (x )的图象,则(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为________； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 解析：(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数f (x )的图象知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以,函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.答案：(1)12 (2)346．函数y ＝－1x在点x ＝4处的导数是________．解析：∵Δy ＝－14＋Δx＋14＝12－14＋Δx ＝4＋Δx －224＋Δx ＝Δx24＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴Δy Δx ＝124＋Δx (4＋Δx ＋2). ∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0124＋Δx (4＋Δx ＋2) ＝12×4×(4＋2)＝116.∴y ′|x ＝4＝116.答案：1167．一做直线运动的物体,其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ；时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时平均速度．解：(1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt 2)Δt＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0 －(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1(m/s)． 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s,方向与初速度相反． (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1(m/s)．即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.8．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋Δx ](Δx >0)上的平均变化率不大于－1,求Δx 的范围．解：因为函数f (x )在[2,2＋Δx ]上的平均变化率为： Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx ＝－3－Δx ,所以由－3－Δx ≤－1, 得Δx ≥－2. 又因为Δx >0,即Δx 的取值范围是(0,＋∞)．课时跟踪检测（二） 导数的几何意义一、题组对点训练对点练一 求曲线的切线方程1．曲线y ＝x 3＋11在点(1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9 D ．15解析：选C ∵切线的斜率k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (1＋Δx )3＋11－12Δx ＝lim Δx →0 1＋3·Δx ＋3·(Δx )2＋(Δx )3－1Δx ＝lim Δx →0[3＋3(Δx )＋(Δx )2]＝3, ∴切线的方程为y －12＝3(x －1)． 令x ＝0得y ＝12－3＝9.2．求曲线y ＝1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线方程．解：因为y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x 2＋x ·Δx ＝－1x 2, 所以曲线在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的切线斜率为k ＝y ′|x ＝12＝－4.故所求切线方程为y －2＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,即4x ＋y －4＝0.对点练二 求切点坐标3．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0,b )处的切线方程是x －y ＋1＝0,则( ) A ．a ＝1,b ＝1 B ．a ＝－1,b ＝1 C ．a ＝1,b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1解析：选A ∵点(0,b )在直线x －y ＋1＝0上,∴b ＝1. 又y ′＝lim Δx →0 (x ＋Δx )2＋a (x ＋Δx )＋1－x 2－ax －1Δx ＝2x ＋a , ∴过点(0,b )的切线的斜率为y ′|x ＝0＝a ＝1.4．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16,则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0),则f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 2(Δx )2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4, 又∵f ′(x 0)＝16,∴4x 0＋4＝16,∴x 0＝3,∴P (3,30)． 答案：(3,30)5．曲线y ＝f (x )＝x 2的切线分别满足下列条件,求出切点的坐标． (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)切线的倾斜角为135°.解：f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0(x ＋Δx )2－x2Δx＝2x , 设P (x 0,y 0)是满足条件的点．(1)∵切线与直线y ＝4x －5平行,∴2x 0＝4,∴x 0＝2,y 0＝4,即P (2,4),显然P (2,4)不在直线y ＝4x －5上,∴符合题意．(2)∵切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直,∴2x 0·13＝－1,∴x 0＝－32,y 0＝94,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)∵切线的倾斜角为135°,∴其斜率为－1,即2x 0＝－1,∴x 0＝－12,y 0＝14,即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 对点练三 导数几何意义的应用 6．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )点(x 0,f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在,则曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0,f (x 0))处没有切线,则f ′(x 0)有可能存在解析：选C 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x 0,y 0)处有导数,则切线一定存在,但反之不一定成立,故A,B,D 错误．7．设曲线y ＝f (x )在某点处的导数值为0,则过曲线上该点的切线( ) A ．垂直于x 轴B ．垂直于y 轴C ．既不垂直于x 轴也不垂直于y 轴D ．方向不能确定解析：选B 由导数的几何意义知曲线f (x )在此点处的切线的斜率为0,故切线与y 轴垂直．8．如图所示,单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数y ＝f (x )的图象是( )解析：选D 不妨设A 固定,B 从A 点出发绕圆周旋转一周,刚开始时x 很小,即弧AB 长度很小,这时给x 一个改变量Δx ,那么弦AB 与弧AB 所围成的弓形面积的改变量非常小,即弓形面积的变化较慢；当弦AB 接近于圆的直径时,同样给x 一个改变量Δx ,那么弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的改变量将较大,即弓形面积的变化较快；从直径的位置开始,随着B点的继续旋转,弓形面积的变化又由变化较快变为越来越慢．由上可知函数y ＝f (x )图象的上升趋势应该是首先比较平缓,然后变得比较陡峭,最后又变得比较平缓,对比各选项知D 正确．9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示, 则函数y ＝f ′(x )的图象可能是________(填序号)．解析：由y ＝f (x )的图象及导数的几何意义可知,当x <0时f ′(x )>0,当x ＝0时,f ′(x )＝0,当x >0时,f ′(x )<0,故②符合．答案：②二、综合过关训练1．函数f (x )的图象如图所示,则下列结论正确的是( ) A ．0<f ′(a )<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a ) B ．0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a ) C ．0<f ′(a ＋1)<f ′(a )<f (a ＋1)－f (a ) D ．0<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )<f ′(a ＋1)解析：选B f ′(a ),f ′(a ＋1)分别为曲线f (x )在x ＝a ,x ＝a ＋1处的切线的斜率,由题图可知f ′(a )>f ′(a ＋1)>0,而f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a表示(a ,f (a ))与(a ＋1,f (a＋1))两点连线的斜率,且在f ′(a )与f ′(a ＋1)之间．∴0<f ′(a ＋1)<f (a ＋1)－f (a )<f ′(a )．2．曲线y ＝1x －1在点P (2,1)处的切线的倾斜角为( ) A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．3π4解析：选D Δy ＝12＋Δx －1－12－1＝11＋Δx －1＝－Δx 1＋Δx ,lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 －11＋Δx ＝－1,斜率为－1,倾斜角为3π4.3．曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x ＋2解析：选 A 由Δy ＝(1＋Δx )3－2(1＋Δx )＋1－(1－2＋1)＝(Δx )3＋3(Δx )2＋Δx 得lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2＋3Δx ＋1＝1,所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1,切线过点(1,0),根据直线的点斜式可得切线方程为y ＝x －1.4．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点,且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1,－4)D ．(2,8)或(－1,－4)解析：选C f ′(x )＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3＋(x ＋Δx )－2－(x 3＋x －2)Δx＝lim Δx →0 (3x 2＋1)Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3Δx ＝3x 2＋1.由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1,所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0,y 0),则有f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4,解得x 0＝±1,P 0的坐标为(1,0)或(－1,－4)．5．已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示,则y ＝f (x )在A 、B 两点处的导数f ′(a )与f ′(b )的大小关系为：f ′(a )________f ′(b )(填“<”或“>”)．解析：f ′(a )与f ′(b )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率,故f ′(a )>f ′(b )．答案：>6．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程为____________．解析：曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →03(1＋Δx )2－4(1＋Δx )＋2－3＋4－2Δx＝lim Δx →0 (3Δx ＋2)＝2.所以过点 P (－1,2)的直线的斜率为2.由点斜式得y－2＝2(x＋1),即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.答案：2x－y＋4＝07．甲、乙二人跑步的路程与时间关系以及百米赛跑路程和时间关系分别如图①②,试问：(1)甲、乙二人哪一个跑得快？(2)甲、乙二人百米赛跑,问快到终点时,谁跑得较快？解：(1)图①中乙的切线斜率比甲的切线斜率大,故乙跑得快；(2)图②中在快到终点时乙的瞬时速度大,故快到终点时,乙跑得快．8．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时通常期望它在达到最高时爆裂．如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)＝－4.9t2＋14.7t.其示意图如图所示．根据图象,结合导数的几何意义解释烟花升空后的运动状况．解：如图,结合导数的几何意义,我们可以看出：在t＝1.5 s附近曲线比较平坦,也就是说此时烟花的瞬时速度几乎为0,达到最高点并爆裂；在0～1.5 s之间,曲线在任何点的切线斜率大于0且切线的倾斜程度越来越小,也就是说烟花在达到最高点前,以越来越小的速度升空；在1.5 s后,曲线在任何点的切线斜率小于0且切线的倾斜程度越来越大,即烟花达到最高点后,以越来越大的速度下降,直到落地．课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、题组对点训练对点练一 利用导数公式求函数的导数 1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2,则y ′＝－1x ；④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B 因为(cos x )′＝－sin x ,所以①错误．sin π3＝32,而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0,所以②错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x 4＝－2x 3,所以③错误.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x －12x ＝12x －32＝12x x,所以④正确． 2．已知f (x )＝x α(α∈Q *),若f ′(1)＝14,则α等于( )A ．13B ．12C ．18D ．14 解析：选D ∵f (x )＝x α,∴f ′(x )＝αx α－1.∴f ′(1)＝α＝14.对点练二 利用导数的运算法则求导数 3．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x －sin 2x C ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析：选B y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x －sin 2x . 4．函数y ＝x 2x ＋3的导数为________．解析：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝(x 2)′(x ＋3)－x 2(x ＋3)′(x ＋3)2＝2x (x ＋3)－x 2(x ＋3)2＝x 2＋6x (x ＋3)2.答案：x 2＋6x (x ＋3)25．已知函数f (x )＝ax ln x ,x ∈(0,＋∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3,则a 的值为________．解析：f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ,又f ′(1)＝3, 所以a ＝3.答案：36．求下列函数的导数．(1)y ＝sin x －2x 2；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝exsin x.解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x .(2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e x sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2x ＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x(sin x －cos x )sin 2x. 对点练三 利用导数公式研究曲线的切线问题7．(2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x在点(0,0)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3(2x ＋1)e x ＋3(x 2＋x )e x ＝e x (3x 2＋9x ＋3), ∴切线斜率k ＝e 0×3＝3,∴切线方程为y ＝3x . 答案：y ＝3x8．若曲线f (x )＝x ·sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直,则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ,所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2,所以根据题意得1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1,解得a ＝2.答案：29．已知a ∈R,设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为________．解析：因为f ′(x )＝a －1x,所以f ′(1)＝a －1,又f (1)＝a ,所以切线l 的方程为y －a＝(a －1)(x －1),令x ＝0,得y ＝1.答案：110．在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋13上,且在第一象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,求点P 的坐标．解：设点P 的坐标为(x 0,y 0),因为y ′＝3x 2－10,所以3x 20－10＝2,解得x 0＝±2.又点P 在第一象限内,所以x 0＝2,又点P 在曲线C 上,所以y 0＝23－10×2＋13＝1,所以点P 的坐标为(2,1)．二、综合过关训练1．f 0(x )＝sin x ,f 1(x )＝f ′0(x ),f 2(x )＝f ′1(x ),…,f n ＋1(x )＝f ′n (x ),n ∈N,则f 2 019(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选D 因为f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ,f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ,f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ,f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ,f 5(x )＝(sin x )′＝cos x ,所以循环周期为4,因此f 2 019(x )＝f 3(x )＝－cos x .2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A 因为y ′＝x 2－3x ,所以根据导数的几何意义可知,x 2－3x ＝12,解得x ＝3(x ＝－2不合题意,舍去)．3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( )A ．－12B ．12C ．－22D ．22解析：选B y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝11＋sin 2x ,把x ＝π4代入得导数值为12,即为所求切线的斜率．4．已知直线y ＝3x ＋1与曲线y ＝ax 3＋3相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C ．－1D ．－2解析：选A 设切点为(x 0,y 0),则y 0＝3x 0＋1,且y 0＝ax 30＋3,所以3x 0＋1＝ax 30＋3…①.对y ＝ax 3＋3求导得y ′＝3ax 2,则3ax 20＝3,ax 20＝1…②,由①②可得x 0＝1,所以a ＝1.5．设a 为实数,函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数为f ′(x ),且f ′(x )是偶函数,则曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为____________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －3, ∵f ′(x )是偶函数,∴a ＝0, ∴f (x )＝x 3－3x ,f ′(x )＝3x 2－3, ∴f (2)＝8－6＝2,f ′(2)＝9,∴曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程为y －2＝9(x －2), 即9x －y －16＝0. 答案：9x －y －16＝06．设f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f ′(0)＝________. 解析：令g (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n ),则f (x )＝xg (x ), 求导得f ′(x )＝x ′g (x )＋xg ′(x )＝g (x )＋xg ′(x ), 所以f ′(0)＝g (0)＋0×g ′(0)＝g (0)＝1×2×3×…×n . 答案：1×2×3×…×n7．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,则a ＝________.解析：法一：∵y ＝x ＋ln x , ∴y ′＝1＋1x,y ′|x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1),即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切,∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ,得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0,解得a ＝8. 法二：同法一得切线方程为y ＝2x －1.设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0,ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)． ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2), ∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2ax 0＋(a ＋2)＝2，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－12，a ＝8.答案：88．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ,f ′(2)＝－b ,其中常数a ,b ∈R.求曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程．解：因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1,所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1,得f ′(1)＝3＋2a ＋b , 又f ′(1)＝2a,3＋2a ＋b ＝2a , 解得b ＝－3,令x ＝2得f ′(2)＝12＋4a ＋b , 又f ′(2)＝－b , 所以12＋4a ＋b ＝－b , 解得a ＝－32.则f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1,从而f (1)＝－52.又f ′(1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3, 所以曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1), 即6x ＋2y －1＝0.9．已知两条直线y ＝sin x ,y ＝cos x ,是否存在这两条曲线的一个公共点,使在这一点处,两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：不存在．由于y ＝sin x ,y ＝cos x ,设两条曲线的一个公共点为P (x 0,y 0),所以两条曲线在P (x 0,y 0)处的斜率分别为k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0,k 2＝y ′|x ＝x 0＝－sinx 0.若使两条切线互相垂直,必须使cos x 0·(－sin x 0)＝－1,即sin x 0·cos x 0＝1,也就是sin 2x 0＝2,这是不可能的,所以两条曲线不存在公共点,使在这一点处的两条切线互相垂直．课时跟踪检测（四） 复合函数求导及应用一、题组对点训练对点练一 简单复合函数求导问题 1．y ＝cos 3x 的导数是( ) A ．y ′＝－3cos 2x sin x B ．y ′＝－3cos 2x C ．y ′＝－3sin 2xD ．y ′＝－3cos x sin 2x解析：选A 令t ＝cos x ,则y ＝t 3,y ′＝y t ′·t x ′＝3t 2·(－sin x )＝－3cos 2x sin x . 2．求下列函数的导数． (1)y ＝ln(e x ＋x 2)； (2)y ＝102x ＋3；(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x .解：(1)令u ＝e x ＋x 2,则y ＝ln u .∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝1u ·(e x ＋x 2)′＝1e x ＋x 2·(e x＋2x )＝e x＋2x e x ＋x2.(2)令u ＝2x ＋3,则y ＝10u,∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝10u·ln 10·(2x ＋3)′＝2×102x ＋3ln10.(3)y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x ·cos 2x ＝1－12sin 22x ＝1－14(1－cos 4x )＝34＋14cos 4x . 所以y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34＋14cos 4x ′＝－sin 4x . 对点练二 复合函数与导数运算法则的综合应用 3．函数y ＝x 2cos 2x 的导数为( ) A ．y ′＝2x cos 2x －x 2sin 2x B ．y ′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x C ．y ′＝x 2cos 2x －2x sin 2xD ．y ′＝2x cos 2x ＋2x 2sin 2x解析：选B y ′＝(x 2)′cos 2x ＋x 2(cos 2x )′＝2x cos 2x ＋x 2(－sin 2x )·(2x )′＝2x cos 2x －2x 2sin 2x .4．函数y ＝x ln(2x ＋5)的导数为( ) A ．ln(2x ＋5)－x2x ＋5B ．ln(2x ＋5)＋2x2x ＋5C ．2x ln(2x ＋5)D ．x2x ＋5解析：选 B y ′＝[x ln(2x ＋5)]′＝x ′ln(2x ＋5)＋x [ln(2x ＋5)]′＝ln(2x ＋5)＋x ·12x ＋5·(2x ＋5)′＝ln(2x ＋5)＋2x 2x ＋5. 5．函数y ＝sin 2x cos 3x 的导数是________． 解析：∵y ＝sin 2x cos 3x ,∴y ′＝(sin 2x )′cos 3x ＋sin 2x (cos 3x )′＝2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x . 答案：2cos 2x cos 3x －3sin 2x sin 3x6．已知f (x )＝e πxsin πx ,求f ′(x )及f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12.解：∵f (x )＝e πxsin πx ,∴f ′(x )＝πe πxsin πx ＋πe πxcos πx ＝πe πx(sin πx ＋cos πx )． f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝πe π2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋cos π2＝πe 2π. 对点练三 复合函数导数的综合问题7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ,则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D 令y ＝ax －ln(x ＋1),则f ′(x )＝a －1x ＋1.所以f (0)＝0,且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3.8．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A. 5 B ．2 5 C ．3 5D ．0解析：选A 设曲线y ＝ln(2x －1)在点(x 0,y 0)处的切线与直线2x －y ＋3＝0平行． ∵y ′＝22x －1,∴y ′|x ＝x 0＝22x 0－1＝2,解得x 0＝1,∴y 0＝ln(2－1)＝0,即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x －y ＋3＝0的距离为d ＝|2－0＋3|4＋1＝5,即曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是 5.9．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30,其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时,铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年),则M (60)＝( )A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2 太贝克D ．150太贝克解析：选D M ′(t )＝－130ln 2×M 02-t30,由M ′(30)＝－130ln 2×M 02-3030＝－10 ln 2,解得M 0＝600, 所以M (t )＝600×2-t 30,所以t ＝60时,铯137的含量为M (60)＝600×2-6030＝600×14＝150(太贝克)．二、综合过关训练1．函数y ＝(2 019－8x )3的导数y ′＝( ) A ．3(2 019－8x )2B ．－24xC ．－24(2 019－8x )2D ．24(2 019－8x 2)解析：选C y ′＝3(2 019－8x )2×(2 019－8x )′＝3(2 019－8x )2×(－8)＝－24(2 019－8x )2.2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A ．12(e x －e －x) B ．12(e x ＋e －x) C ．e x－e －xD ．e x＋e －x解析：选A y ′＝12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x)．3．已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．－2解析：选B 设切点坐标是(x 0,x 0＋1),依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a＝1，x 0＋1＝ln (x 0＋a )，由此得x 0＋1＝0,x 0＝－1,a ＝2.4．函数y ＝ln ex1＋ex 在x ＝0处的导数为________．解析：y ＝ln e x1＋e x ＝ln e x －ln(1＋e x )＝x －ln(1＋e x),则y ′＝1－e x1＋e x .当x ＝0时,y ′＝1－11＋1＝12. 答案：125．设曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,则a ＝________. 解析：令y ＝f (x ),则曲线y ＝e ax在点(0,1)处的切线的斜率为f ′(0),又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直,所以f ′(0)＝2.因为f (x )＝e ax ,所以f ′(x )＝(e ax )′＝e ax ·(ax )′＝a e ax,所以f ′(0)＝a e 0＝a ,故a ＝2.答案：26．f (x )＝ax 2－1且f ′(1)＝2,则a 的值为________．解析：∵f (x )＝(ax 2－1)12,∴f ′(x )＝12(ax 2－1)－12·(ax 2－1)′＝ax ax 2－1 .又f ′(1)＝2,∴aa －1＝2,∴a ＝2. 答案：27．求函数y ＝a sin x3＋b cos 22x (a ,b 是实常数)的导数．解：∵⎝⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＝a cos x 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3′＝a 3cos x3,又(cos 22x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12cos 4x ′＝12(－sin 4x )×4＝－2sin 4x , ∴y ＝a sin x3＋b cos 22x 的导数为y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin x 3′＋b (cos 22x )′＝a 3cos x 3－2b sin 4x .8．曲线y ＝e 2xcos 3x 在(0,1)处的切线与l 的距离为5,求l 的方程． 解：由题意知y ′＝(e 2x)′cos 3x ＋e 2x(cos 3x )′ ＝2e 2x cos 3x ＋3(－sin 3x )·e 2x＝2e 2x cos 3x －3e 2xsin 3x ,所以曲线在(0,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝0＝2. 所以该切线方程为y －1＝2x ,即y ＝2x ＋1. 设l 的方程为y ＝2x ＋m ,则d ＝|m －1|5＝ 5.解得m ＝－4或m ＝6.当m ＝－4时,l 的方程为y ＝2x －4;当m＝6时,l的方程为y＝2x＋6.综上,可知l的方程为y＝2x－4或y＝2x＋6.课时跟踪检测（五）函数的单调性与导数一、题组对点训练对点练一函数与导函数图象间的关系1．f′(x)是函数f(x)的导函数,y＝f′(x)的图象如图所示,则y＝f(x)的图象最有可能是下列选项中的( )解析：选C 题目所给出的是导函数的图象,导函数的图象在x轴的上方,表示导函数大于零,原函数的图象呈上升趋势；导函数的图象在x轴的下方,表示导函数小于零,原函数的图象呈下降趋势．由x∈(－∞,0)时导函数图象在x轴的上方,表示在此区间上,原函数的图象呈上升趋势,可排除B、D两选项．由x∈(0,2)时导函数图象在x轴的下方,表示在此区间上,原函数的图象呈下降趋势,可排除A选项．故选C.2．若函数y＝f′(x)在区间(x1,x2)内是单调递减函数,则函数y＝f(x)在区间(x1,x2)内的图象可以是( )解析：选B 选项A中,f′(x)>0且为常数函数；选项C中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内单调递增；选项D中,f′(x)>0且f′(x)在(x1,x2)内先增后减．故选B.3．如图所示的是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象,则在[－2,5]上函数f(x)的递增区间为________．解析：因为在(－1,2)和(4,5]上f′(x)>0,所以f(x)在[－2,5]上的单调递增区间为(－1,2)和(4,5]．答案：(－1,2)和(4,5]对点练二判断(证明)函数的单调性、求函数的单调区间4．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( )A．(－∞,2)B．(0,3)C．(1,4) D．(2,＋∞)解析：选D f′(x)＝(x－3)′e x＋(x－3)(e x)′＝e x(x－2)．由f′(x)>0得x>2,∴f(x)的单调递增区间是(2,＋∞)．5．函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12解析：选C 由题意得,函数的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x＝(2x ＋1)(2x －1)x ,令f ′(x )＝(2x ＋1)(2x －1)x >0,解得x >12,故函数f (x )＝2x 2－ln x 的递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.故选C. 6．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),且在x ＝1处的切线方程是y ＝x . (1)求y ＝f (x )的解析式； (2)求y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1),∴c ＝1,f ′(x )＝3ax 2＋2bx ,f ′(1)＝3a ＋2b ＝1,切点为(1,1),则f (x )＝ax 3＋bx 2＋c 的图象经过点(1,1),得a ＋b ＋c ＝1,解得a ＝1,b ＝－1,即f (x )＝x 3－x 2＋1.(2)由f ′(x )＝3x 2－2x >0得x <0或x >23,所以单调递增区间为(－∞,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.对点练三 与参数有关的函数单调性问题7．若函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,则实数a 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．5解析：选C 函数f (x )＝x －a x 在[1,4]上单调递减,只需f ′(x )≤0在[1,4]上恒成立即可,令f ′(x )＝1－12ax －12≤0,解得a ≥2x ,则a ≥4.∴a min ＝4.8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2),则b ＝________,c ＝________.解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ,由题意知－1<x <2是不等式f ′(x )<0的解,即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根,把－1,2分别代入方程,解得b ＝－32,c ＝－6.答案：－32－69．已知函数f (x )＝(x －2)e x＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性． 解：f ′(x )＝(x －1)e x＋2a (x －1)＝(x －1)·(e x＋2a )．(1)设a ≥0,则当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞,1)上单调递减,在(1,＋∞)上单调递增．(2)设a <0,由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．①若a ＝－e 2,则f ′(x )＝(x －1)(e x－e),所以f (x )在(－∞,＋∞)上单调递增；②若－e2<a <0,则ln(－2a )<1,故当x ∈(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)时,f ′(x )>0；当x∈(ln(－2a ),1)时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,ln(－2a ))∪(1,＋∞)上单调递增,在(ln(－2a ),1)上单调递减；③若a <－e2,则ln(－2a )>1,故当x ∈(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,ln(－2a ))时,f ′(x )<0.所以f (x )在(－∞,1)∪(ln(－2a ),＋∞)上单调递增,在(1,ln(－2a ))上单调递减．二、综合过关训练1．若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增,则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中具有M 性质的是( )A ．f (x )＝2－xB ．f (x )＝x 2C ．f (x )＝3－xD ．f (x )＝cos x解析：选A 对于选项A,f (x )＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ,∵e 2＞1,∴e x f (x )在R 上单调递增,∴f (x )＝2－x具有M 性质．对于选项B,f (x )＝x 2,e xf (x )＝e x x 2,[e xf (x )]′＝e x(x 2＋2x ),令e x (x 2＋2x )＞0,得x ＞0或x ＜－2；令e x (x 2＋2x )＜0,得－2＜x ＜0,∴函数e xf (x )在(－∞,－2)和(0,＋∞)上单调递增,在(－2,0)上单调递减,∴f (x )＝x 2不具有M 性质．对于选项C,f (x )＝3－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ,则e x f (x )＝e x·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x ,∵e3＜1, ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在R 上单调递减,∴f (x )＝3－x不具有M 性质．对于选项D,f (x )＝cos x ,e xf (x )＝e xcos x ,则[e x f (x )]′＝e x (cos x －sin x )≥0在R 上不恒成立,故e x f (x )＝e xcos x 在R 上不是单调递增的,∴f (x )＝cos x 不具有M 性质．故选A.2．若函数f (x )＝x －eln x,0<a <e<b ,则下列说法一定正确的是( ) A ．f (a )<f (b ) B ．f (a )>f (b ) C ．f (a )>f (e)D ．f (e)>f (b )解析：选C f ′(x )＝1－e x ＝x －ex,x >0,令f ′(x )＝0,得x ＝e,f (x )在(0,e)上为减函数,在(e,＋∞)上为增函数,所以f (a )>f (e),f (b )>f (e),f (a )与f (b )的大小不确定．3．设f ′(x )是函数f (x )的导函数,将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一直角坐标系中,不可能正确的是( )解析：选D 对于选项A,若曲线C 1为y ＝f (x )的图象,曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则函数y ＝f (x )在(－∞,0)内是减函数,从而在(－∞,0)内有f ′(x )<0；y ＝f (x )在(0,＋∞)内是增函数,从而在(0,＋∞)内有f ′(x )>0.因此,选项A 可能正确．同理,选项B 、C 也可能正确．对于选项D,若曲线C 1为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为增函数,与C 2不相符；若曲线C 2为y ＝f ′(x )的图象,则y ＝f (x )在(－∞,＋∞)内应为减函数,与C 1不相符．因此,选项D 不可能正确．4．设f (x ),g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数,且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,则当a <x <b 时有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2,又因为f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0,所以f (x )g (x )在R 上为减函数．又因为a <x <b ,所以f (a )g (a )>f (x )g (x )>f (b )g (b ),又因为f (x )>0,g (x )>0,所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．5．(2019·北京高考)设函数f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数,则a ＝________；若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )＝e x ＋a e －x(a 为常数)的定义域为R, ∴f (0)＝e 0＋a e －0＝1＋a ＝0,∴a ＝－1.∵f (x )＝e x ＋a e －x ,∴f ′(x )＝e x －a e －x ＝e x－ae x .∵f (x )是R 上的增函数,∴f ′(x )≥0在R 上恒成立, 即e x≥ae x 在R 上恒成立,∴a ≤e 2x在R 上恒成立．又e 2x>0,∴a ≤0,即a 的取值范围是(－∞,0]． 答案：－1 (－∞,0]6．如果函数f (x )＝2x 2－ln x 在定义域内的一个子区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,则实数k 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.由f ′(x )>0,得函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞；由f ′(x )<0,得函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.由于函数在区间(k －1,k ＋1)上不是单调函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧k －1<12<k ＋1，k －1≥0.解得：1≤k <32.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 7．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )在区间(0,t ](t >0)上的单调性． 解：(1)f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝ln x ＋1. 曲线f (x )在x ＝1处的切线的斜率为k ＝f ′(1)＝1.把x ＝1代入f (x )＝x ln x 中得f (1)＝0,即切点坐标为(1,0)．所以曲线f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －1.(2)令f ′(x )＝1＋ln x ＝0,得x ＝1e.①当0<t <1e时,在区间(0,t ]上,f ′(x )<0,函数f (x )为减函数．②当t >1e 时,在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上,f ′(x )<0,f (x )为减函数；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，t 上,f ′(x )>0,f (x )为增函数．8．已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝12ax 2＋2x ,a ≠0.若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减,求a 的取值范围．解：h (x )＝ln x －12ax 2－2x ,x ∈(0,＋∞),所以h ′(x )＝1x －ax －2.因为h (x )在[1,4]上单调递减,所以x ∈[1,4]时,h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立,即a ≥1x 2－2x恒成立,令G (x )＝1x 2－2x,则a ≥G (x )max .而G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－12－1.因为x ∈[1,4],所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1,所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4),所以a ≥－716.当a ＝－716时,h ′(x )＝1x ＋716x －2＝16＋7x 2－32x 16x ＝(7x －4)(x －4)16x .因为x ∈[1,4],所以h ′(x )＝(7x －4)(x －4)16x ≤0,即h (x )在[1,4]上为减函数． 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数一、题组对点训练对点练一 求函数的极值1．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2<x <2)有( ) A ．极大值5,极小值－27 B ．极大值5,极小值－11 C ．极大值5,无极小值D ．极小值－27,无极大值解析：选C 由y ′＝3x 2－6x －9＝0, 得x ＝－1或x ＝3.当x <－1或x >3时,y ′>0； 当－1<x <3时,y ′<0.∴当x ＝－1时,函数有极大值5； 3∉(－2,2),故无极小值．2．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于(1,0)点,则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．427,0 B ．0,427C ．－427,0D ．0,－427解析：选A f ′(x )＝3x 2－2px －q , 由f ′(1)＝0,f (1)＝0,得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1,易得当x ＝13时f (x )取极大值427,当x ＝1时f (x )取极小值0.3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ,其导函数y ＝f ′(x )的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中不正确的序号是________． ①当x ＝32时,函数取得极小值；②f (x )有两个极值点； ③当x ＝2时,函数取得极小值； ④当x ＝1时,函数取得极大值．解析：由题图知,当x ∈(－∞,1)时,f ′(x )>0；当x ∈(1,2)时,f ′(x )<0；当x ∈(2,＋∞)时,f ′(x )>0,所以f (x )有两个极值点,分别为1和2,且当x ＝2时函数取得极小值,当x ＝1时函数取得极大值．只有①不正确．答案：①对点练二 已知函数的极值求参数4．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2,则a ,b 的值分别为( )A ．1,－3B ．1,3C ．－1,3D ．－1,－3解析：选A f ′(x )＝3ax 2＋b , 由题意知f ′(1)＝0,f (1)＝－2,∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b ＝0，a ＋b ＝－2，∴a ＝1,b ＝－3.5．若函数f (x )＝x 2－2bx ＋3a 在区间(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是( ) A ．b <1 B ．b >1 C ．0<b <1 D ．b <12解析：选C f ′(x )＝2x －2b ＝2(x －b ),令f ′(x )＝0,解得x ＝b ,由于函数f (x )在区间(0,1)内有极小值,则有0<b <1.当0<x <b 时,f ′(x )<0；当b <x <1时,f ′(x )>0,符合题意．所以实数b 的取值范围是0<b <1.6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值,则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2),∵函数f (x )既有极大值又有极小值,∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根,∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)>0.即a 2－a －2>0,解之得a >2或a <－1.答案：(－∞,－1)∪(2,＋∞) 对点练三 函数极值的综合问题7．设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ,a ∈R. (1)令g (x )＝f ′(x ),求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值,求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a , 可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ,x ∈(0,＋∞)． 则g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.当a ≤0时,x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增；当a >0时,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a 时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞时,函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时,g (x )的单调增区间为(0,＋∞)； 当a >0时,g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12a ,单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知,f ′(1)＝0.。
新人教版高中数学一轮复习直线与椭圆的位置关系培优课件
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目录
考点二 弦长及中点弦问题
【多维探究】
角度 1
例1
弦长问题
(2023·湖南模拟)已知椭圆
2
C: +y2=1,F1 为右焦点,直线
2
l:y=t(x-1)与椭圆 C 相交
于 A,B 两点,取点 A 关于 x 轴的对称点 S,设线段 AS 与线段 BS 的中垂线交于点 Q.
(1)当 t=2 时,求|QF1|;
2.P(x0,y0)在椭圆上⇔ 2
02
3.P(x0,y0)在椭圆外⇔ 2
+
+
+
02
⑤
2
02
⑥
2
02
⑦
2
<
1;
=
1;
>
1.
三、直线与椭圆的相交弦长问题
设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1 + 2 |x1x2|= 1 + 2 ⑧
2
4
4
4
所以 kMQ=2kOM=
令 y=0,则
2
|AF1|= (1 -1) +
12 =
(1 -1) +
1
x ,|AB|=|AF1|+|BF1|=2
2 2
1
2
12
-21
2
1
2
+ 2= 2- x1,同理,|BF1|= 2-
1
2
2- (x1+x2),
1- ( 1 + 2 )
|1 |
2
= 41
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新课标人教A版选修2-1辅导资料—直线和椭圆的位置关系(含答案)
直线和椭圆的位置关系一、要点精讲1．直线和椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.判定方法——代数法。
将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，判断方程解的情况：△＞0，方程有两个不同的解，则直线与椭圆相交； △＝0，方程有两个相等的解，则直线与椭圆相切； △＜0，方程无解，则直线与椭圆相离．2．直线与椭圆相交所得的弦长公式：设直线b kx y +=交椭圆于()111,y x P ，()222,y x P ，则1212PP x x =-=或()01122121≠+-=k k y y P P ． 说明：过焦点的弦中，以垂直于长轴的弦为最短.ab CD 22=3、弦中点问题的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。
可通过根与系数的关系来解决中点弦问题；这其中的解题方法就是常说的“设而不求，整体代入”；由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x b y a x 用两式相减，即可将问题转化为斜率与中点关系来解决（点差法）。
4．研究直线与椭圆位置关系的通性通法解决直线与椭圆位置关系时，一般通过直线与椭圆交点个数进行研究，用一元二次方程的判别式，根与系数的关系，求根公式等来处理问题，还要注意数形结合思想的运用，通过图形的直观性帮助分析、解决间题．三、基础自测1. 椭圆13422=+y x 的右焦点到直线x y 3=的距离是A.21B.23 C.1D.32．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3. 直线0=--m y x 与椭圆1922=+y x 只有一个公共点，则=m . 4. 已知斜率为1的直线过椭圆2214x y +=的右焦点交椭圆与A 、B 两点，则弦AB 的长为.85 四、典例精析题型一：直线与椭圆的交点问题1. 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=.⑴ 当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； ⑵ 求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程．2、已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：22142x y +=，试问：当m 取何值时，直线l 与椭圆C ， (1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点？解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.其Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)由Δ>0，得－32<m <32，此时直线与椭圆C 有两个不同的公共点； (2)由Δ＝0，得m ＝±32，此时直线与椭圆C 有且只有一个公共点； (3)由Δ<0，得m <－32或m >32，此时直线与椭圆C 没有公共点．综上所述，当－32<m <32时，直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点；当m ＝±32时，直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点；当m <－32或m >32时，直线l 与椭圆C 没有公共点．题型二：弦长问题3．（2011天津）已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的离心率e =面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ．已知点A 的坐标为(),0a -．若5AB =,求直线l 的倾斜角;4、已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点．(1) 若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦MN 的长．(2) 如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．解：(1)由已知得b ＝4，且c a ＝55，即c 2a 2＝15.∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20.∴椭圆方程为x 220＋y216＝1. 则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立．消去y ，得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409.∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029.(2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知＝2.又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)．故得x 0＝3，y 0＝－2，即得Q 的坐标为(3，－2)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1.以上两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0.∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－45×6－4＝65.故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)，即6x －5y －28＝0.(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，如本题(2)的求解中，常因忽略直线l 与x 轴重合的特殊形式而失分．5、 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与该椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程. 【解前点津】由题设条件，不能确定焦点是在x 轴，还是在y 轴上，且对于a 、b 、c 的关系条件未作定性说明，故可设椭圆方程为：mx 2+ny 2=1(m >0，n >0)简便.【规范解答】设椭圆方程为：mx 2+ny 2=1(m >0，n >0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 中消去y 并依x 聚项整理得：(m +n )·x 2+2nx +(n -1)=0，Δ=4n 2-4(m +n )·(n -1)>0，即m +n -mn >0，OP ⊥OQ 等价于x 1x 2+y 1y 2=0，将y 1=x 1+1，y 2=x 2+1代入得：2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0， ∴2012)1(2=+⇒=++-+-n m nm nn m n ①又|PQ |=221221221221)]1()1[()()()(+-++-=-+-x x x x y y x x＝212212214)(2)(2x x x x x x -+∙=-21014222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=n m n n m n ②联立①②并解之得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==21232321n m n m 或 经检验这两组解都满足Δ>0，故所求椭圆方程为x 2+3y 2=2或3x 2+y 2=2.【解后归纳】 中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程可用统一形式：mx 2+ny 2=1 (m >0，n >0)，m 与n 的大小关系，决定了焦点位置. 题型三：中点弦问题6. (2014江西)过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 解：7．（2013新课标）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B两点.若AB 的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（ ）A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y += 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b += ① 2222221x y a b += ②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=， ∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选D.8. 在椭圆16422=+y x 中，求过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线方程和弦长．9. 已知椭圆12122=+y x 和椭圆外一点()2,0，过这点任意引直线与椭圆交于A,B 两点，求弦AB 的中点P 的轨迹方程．10．椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的两个焦点F 1、F 2，点P 在椭圆C 上，且11212414,,.33PF F F PF PF ⊥==（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线l 过圆22420x y x y ++-=的圆心M 交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程。
椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。
专题51 直线与椭圆-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)
专题51直线与椭圆最新考纲1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.重点难点突破【题型一】直线与椭圆的位置关系【典型例题】已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l的最大距离为（）A．B．C．D．2【解答】解：椭圆，和直线，设椭圆上的点P（cosθ，sinθ），∴椭圆上的点P到直线l的距离：d，其中tanγ∴当cos（θ+γ）＝1时，椭圆上的点到直线l的距离取最大值：．故选：C．【再练一题】椭圆E：1的右焦点为F2，直线y＝x+m与椭圆E交于A，B两点，当△F2AB的周长最大值为8时，则m的值为（）A．2 B．C．3 D．【解答】解：椭圆E：1的右焦点为F2，F1为左焦点，直线y＝x+m与椭圆E交于A，B两点，则△F2AB的周长l＝AB+F2A+F2B＝AB+2a﹣F1A+2a﹣F1B＝4a+（AB﹣F1A﹣F1B）由于F1A+F1B≥AB，∴当F1、A、B三点共线时，△F2AB的周长最大，为4a＝8，则a＝2．椭圆的方程为：．∵直线直线y＝x+m经过左焦点（），∴m．故选：B．思维升华研究直线与椭圆位置关系的方法(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．【题型二】弦长及弦中点问题命题点1 弦长问题【典型例题】已知椭圆的短轴长为2，且椭圆的一个焦点在圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝18上．（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的焦距小于4，过椭圆的左焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，求|AB|．【解答】解：（1）由题意可得2b＝2，即b＝1，∵椭圆的一个焦点在圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝18上，当y＝0时，解得x＝﹣1或x＝5，∴c＝1或c＝5，当c＝1时，a2＝b2+c2＝2，此时椭圆方程为y2＝1，当c＝5时，a2＝b2+c2＝26，y2＝1，（2）椭圆的焦距小于4，则2c＜4，则c＜2，故c＝1，此时椭圆方程为y2＝1，此时椭圆的左焦点F（﹣1，0），设直线l的方程为x＝my﹣1，由，消x可得（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2，①，y1y2，②∵，∴（﹣1﹣x1，﹣y1）＝3（x2+1，y2），∴y1＝﹣3y2，③，由①②③可得m2＝2，∴|AB|•••．【再练一题】已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，且其焦点和短轴端点都在圆C：x2+y2＝2上．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）点P是圆C上一点，过点P作圆C的切线交椭圆E于A，B两点，求|AB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵焦点和短轴端点都在圆C上，∴b＝c，∴a＝2，∵椭圆焦点在x轴上，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）显然切线斜率不为0；当AB⊥x轴时，易得|AB|＝2；当AB有斜率时，设其方程为y＝kx+m，（k≠0），则，得m2＝2k2+2，…①直线方程与椭圆方程联立消去y得，（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4＝0，x1+x2，x1x2，∴4x1x2②把①代入②得，，∴|AB||x1﹣x2|＝4＝4，∵44，∴|AB|，综上可知，|AB|≤2，故|AB|的最大值为2．命题点2 弦中点问题【典型例题】已知椭圆C：1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），过点F的直线交椭圆于M．N两点且MN的中点坐标为（1，）．（1）求C的方程；（2）设直线，不经过点P（0，b）且与C相交于A，B两点，若直线PA与直线PB的斜率的和为l，试判断直线，是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由．【解答】解：（1）设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，两式相减得0，∴•，∵MN的中点坐标为（1，），且M，N，F，O共线，∴•，∴．∵a2＝b2+4，∴a2＝8，b2＝4，∴椭圆C的方程为1．（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）．①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+m，易知m≠2．将直线l的方程与椭圆C的方程联立，消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，由韦达定理得，x1+x2，x1x2．直线PA和直线PB的斜率之和为k PA+k PB2k+（m﹣2）（）＝1．化简得（2k﹣1）x1x2+（m﹣2）（x1+x2）＝0，即（2k﹣1）•（m﹣2）（）＝0，由于m≠2，∴2k﹣1）（m+2）﹣2km＝0，∴m＝4k﹣2．∴直线l的方程为y＝kx+4k﹣2，直线l过定点（﹣4，﹣2）；②当直线l与x轴垂直时，设直线l的方程为x＝n，此时点A与点B关于x轴对称，则y1+y2＝0，直线PA和直线PB的斜率之和为1，得n＝﹣4．此时，直线l也过点（﹣4，﹣2）．综上所述，直线l过定点（﹣4，﹣2）．【再练一题】已知中心在原点，一焦点为F（0，4）的椭圆被直线l：y＝3x﹣2截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．【解答】解：椭圆被直线l：y＝3x﹣2截得的弦的中点横坐标为，可得宗坐标为y，可得中点M．设椭圆标准方程为：1（a＞b＞0）．设直线l与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）．则1，1，相减可得：0，又y1+y2＝﹣1，x1+x2＝1，3，∴0，又a2﹣b2＝42，联立解得a2＝24，b2＝8．∴椭圆的标准方程为：．命题点3 椭圆与向量等知识的综合【典型例题】已知点P是椭圆1上的动点，F1，F2是左、右焦点．点Q满足与是方向相同的向量，且||＝||．（1）求点Q的轨迹C的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l，使直线l与曲线C的两个交点A、B满足AF2⊥BF2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵F1，F2是左、右焦点．点Q满足与是方向相同的向量，且||＝||．∴|QF1|＝2a＝4，∵F1（﹣1，0），∴点Q的轨迹C的方程是（x+1）2+y2＝16；（2）设斜率为1的直线方程为x﹣y+a＝0设A（x1，y1），B（x2，y2），与圆方程联立消去y，得方程2x2+（2a+2）x+a2﹣15＝0，∴△＝124+8a﹣4a2＞0．利用根与系数的关系，得到x1+x2＝﹣1﹣a，x1x2（a2﹣15）①，若AF2⊥BF2，则可得1﹣（x1+x2）+x1x2+y1y2＝0，结合y1＝x1+a，y2＝x2+a，代入可得1+2x1x2+（﹣1+a）（x1+x2）+a2＝0②由①②联解可得a＝±，此时△＝124+8a﹣4a2＞0．∴a＝±，∴存在斜率为1的直线x﹣y±0，使其与圆C交于A、B两点满足AF2⊥BF2．【再练一题】已知椭圆C：1（0＜b），斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，向量与向量（2，﹣1）共线．（Ⅰ）求b；（Ⅱ）点P（x0，y0）在椭圆上移动（直线AB不过点P），且直线PA、PB分别与直线l：x＝2相交，交点记为M、N，试问M、N两点的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设直线AB：y＝x﹣c，联立椭圆方程得：（b2﹣2）x2﹣4cx+2c2﹣2b2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得：x1+x2，x1•x2，∴（x 1+x 2，y 1+y 2）＝（，），而向量与向量（2，﹣1）共线，∴，∴b ＝1．（Ⅱ）易得A （，），B （0，﹣1）， 设点P （x 0，y 0），则直线PB 的方程：y x ﹣1，令x ＝2可得：y N ，同理y M ，∴y M •y N1．思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单． (2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y22－4y 1y 2](k 为直线斜率)．(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．【题型三】高考中求椭圆的离心率问题考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．基础知识训练1．【湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3，左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为相圆C 上一点，1AF 与y 轴交于B ，2||AB F B =，||6OB =.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过右焦点2F 的直线(2)(0)y k x k =−≠交椭圆于P 、Q 两点若PQ 的中点为N ，O 为原点，直线ON交直线3x =于点M .求2||PQ MF 的最大值.【答案】（I ）22162x y +=；（II【解析】（I ）连接2AF ，由题意得21||AB F B F B ==，所以BO 为12F AF ∆的中位线，又因为12BO F F ⊥，所以212AF F F ⊥，且222||3b AF BO a ===又3c e a ==，222a b c =+，得26a =，22b =， 故所求椭圆方程为22162x y +=.（II ）联立22162(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩，可得()222231121260k x k x k +−+−=.设()11,P x y 、()22,Q x y ，则21221231k x x k +=+，212212631k x x k −=+， 所以为()121224431ky y k x x k k −+=+−=+ 所以PQ 的中点N 坐标为22262,3131k k k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭，||PQ =因此直线ON 的方程为13y x k =−，从而点M 为13,k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，2MF =设()()2222222241||31k k PQ I MF k+==+，令231u k =+，则2(1)(2)83u u I u −+=216111322u u ⎛⎫=−−− ⎪⎝⎭2161193416u ⎡⎤⎛⎫=−−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因此当4u =，即1k =±时2||PQ MF2．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟】动点(,)M x y满足6=.（1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知D ，直线l：y kx =−交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DB λ=且12λ<<，求k 的取值范围.【答案】（1）2219x y +=（2）k >k <.【解析】（1）解：M点的轨迹是以()，()−为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219xy +=.（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=得12y y λ=−……① 由12λ<<得0k ≠，由y kx =−得y x k+=代入2219x y +=整理()222190k y k ++−=……②显然②的判别式∆>0恒成立，由根与系数的关系得12219y y k+=−+……③ 212219k y y k=−+……④由①③得()()12119k y k λ=−+，()()22119y kλ=−−+代入④整理得()22323219112k λλλλ+==−+−. 设()12f λλλ=+−，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<.所以21964k +>，即k的取值范围是k >k <3．【山东省日照市2019届高三5月校际联合考试】如图，已知椭圆()222210x y E a b a b+=：＞＞，()4,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且213213cos OACA OC OB BC BA〈〉=−=−，，．（1）求椭圆E 的方程．（2）过椭圆E 右焦点F 的直线，交椭圆E 于11,A B 两点，交直线8x =于点M ，判定直线11,,CA CM CB 的斜率是否依次构成等差数列？请说明理由．【答案】（1）2211612x y +=；（2）是，理由见详解. 【解析】 （1）由2OC OB BC BA −=−，得2B A C C =，即2O A C C =，所以AOC ∆是等腰三角形，又4a OA ==，∴点C 的横坐标为2；又213cos OACA 〈〉=，， 设点C的纵坐标为C y=，解得3C y =±， 应取(2,3)C ，又点C 在椭圆上，∴22222314b +=，解得212b =，∴所求椭圆的方程为2211612x y +=；（2）由题意知椭圆的右焦点为(2,0)F ，(2,3)C ， 由题意可知直线11,,CA CM CB 的斜率存在， 设直线11A B 的方程为(2)y k x =−，代入椭圆2211612x y +=并整理，得2222(34)1616480k x k x k +−+−=；设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线11,,CA CM CB 的斜率分别为123,,k k k ，则有21221634k x x k +=+，2122164834k x x k −=+，可知M 的坐标为(8,6)M k ；∴()()12121312122323332222k x k x y y k k x x x x −−−−−−+=+=+−−−− 1212124232142()x x k k x x x x +−=−•=−+−+，又263222182k k k −=•=−−； 所以1322k k k +=，即直线11,,CA CM CB 的斜率成等差数列．4．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模)】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a＞b ＞0)经过点(0，)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（220y ±=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c−，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与x 轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意； 当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x ＝my+1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=−+ ①，1229y y 3m 4=−+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③， 联立①③得，1222126,3434m my y m m =−=++，代入②得，()22227293434m m m−=−++，解得m 5=±20y ±=； （3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （x 0，y 0）， 则PM•PN＝|（x 0﹣2）（x 0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴x 0﹣2，x 0+2同号， 又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=−∴−+=−，解得052x =． 当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=−=−++，10200PM y ,PN y ,PF =−=−=．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号，∴PM•PN＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201m y y y y y y ⎡⎤+−++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++−=+ ⎪++⎝⎭，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 在定直线52x =上． 5．【吉林省长春市北京师范大学长春市附属中学2019届高三第四次模拟考试】已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>与y 轴正半轴交于点(M ，离心率为12．直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ．且与椭图E 交于A 、B 两点（点A 在第二象限）． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若AP PB λ=，当03t <≤时，求λ的取值范围．【答案】（1）22143x y +=（2）λ⎛∈ ⎝⎦【解析】解析：（1）．由题意，12c e a ==且b =，所以2a =， 所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=．（2）．因为直线l 经过点()(),00P t t a <<和点()0,1Q ，所以直线l 的斜率为1t −，设1:1l y x t=−+，将其代入椭圆方程22143x y +=中，消去x 得()22223463120t y t y t +−+−=，当∆>0时，设()11,A x y 、()22,B x y ， 则2122634t y y t +=+……①，212231234t y y t −=+……② 因为AP PB λ=，所以()()1122,,t x y x t y λ−−=−，所以12y y λ=−……③ 联立①②③，消去1y 、2y ，整理得()222124141t λλ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭−．当03t <≤时，()[)2221241412,1t λλ⎛⎫=+−∈+∞ ⎪⎝⎭−，解351,2λ⎫⎛+∈⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦由()2122261034t y y y t λ+=−=>+且20y <，故1λ>，所以λ⎛∈ ⎝⎦． 6．【江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆. （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.【答案】（1）22143x y +=（2）12或32 【解析】(1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △.所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩C 的方程为:22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =−，当0k ≠时，()1y k x =−代入22143x y+=，得:()22223484120k x k x k +−+−=.设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，212024234x x k x k+==+，()1200231234y y k y k x k +−==−=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=−，所以222314381443k k k k k −−+⋅=−+，化简得24830k k −+=，解得12k =或32k =，即直线PQ 的斜率为12或32.7．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】已知ABC ∆的周长为6，B ，C 关于原点对称，且(1,0)B −.点A 的轨迹为Γ. （Ⅰ）求Γ的方程；（Ⅱ）若(2,0)D −，直线l ：(1)(0)y k x k =−≠与Γ交于E ，F 两点，若1DE k ，k λ，1DFk 成等差数列，求λ的值.【答案】（Ⅰ）()221243x y x +=≠±；（Ⅱ）2.【解析】（Ⅰ）依题意，(1,0)B −，(1,0)C ，故2BC =，则42AB AC BC +=>=，故点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左、右两顶点），故Γ的方程为221(2)43x y x +=≠±.（Ⅱ）依题意，112DE DFk k k λ⋅=+，故2DE DFk k k k λ=+. 联立22(1)34120y k x x y =−⎧⎨+−=⎩整理得()22223484120k x k x k +−+−=. 设11(,)E x y ，22(,)F x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k −=+. 故()()121222DE DF k x k x k kk k y y +++=+()()()()12122211k x k x k x k x ++=+−− ()()()1212123233221111x x x x x x +−=++=+−−−−()()1212123221x x x x x x +−=+−++222222832342412813434k k k k k k ⎛⎫− ⎪+⎝⎭=+−−+++()22222386822242412834k k k k k λ−−=+=+==−−++， 则2λ=.8．【山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷】圆O ：x 2+y 2＝9上的动点P 在x 轴、y 轴上的射影分别是P 1，P 2，点M 满足122133OM OP OP =+． （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）点A （0，1），B （0，﹣3），过点B 的直线与轨迹C 交于点S ，N ，且直线AS 、AN 的斜率k AS ，k AN 存在，求证：k AS •k AN 为常数．【答案】（1）2214x y +=；（2）12 【解析】（1）设P （x 0，y 0），M （x ，y ），则1OP ＝（x 0，0），2OP ＝（0，y 0），由122133OM OP OP =+ ．得00002332133x x x x y y y y ⎧=⎧⎪=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎪⎩代入x 02+y 02＝9，所以点M 的轨迹C 的方程为2214x y +=.（2）当SN 的斜率不存在时，AS ，AN 的斜率也不存在，故不适合题意； 当SN 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线SN 的方程为y ＝kx ﹣3代入椭圆方程整理得（1+4k 2）x 2﹣24kx+32＝0，△＞0⇒k 2＞2 设S （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2＝22414k k +，x 1x 2＝23214k +， 则k AS •k AN ＝()()()212121212121212kx 4kx 4k x x 4k x x 16y 1y 1x x x x x x −−−++−−⋅== ＝2222222322441632961664114143232214k k k k k k k k k ⋅−⋅+−++++==+， 故k AS •k AN 为常数12.9．【北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试】已知椭圆C 的两个焦点分别为()()121,0,1,0F F −，长轴长为（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程及离心率；（Ⅱ）过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若点M 满足0MA MB MO ++=，求证：由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称． 【答案】（Ⅰ）22132x y +=，离心率3e =；（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）由已知，得1a c ==，所以3c e a ===， 又222a b c =+，所以b =所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=，离心率3e =. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，(),m m M x y ，①直线l 与x 轴垂直时，点,A B的坐标分别为(0,，(．因为()0,m m MA x y =−，()0m mMB x y =−−，()0,0m mMO x y=−−，所以()3,30m m MA MB MC x y ++=−−=uuu r uuu r uuu r r ．所以0,0m m x y ==，即点M 与原点重合;②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1y kx =+，由221321x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2232630k x kx ++−=，()22236123272240k k k ∆=++=+>．所以122632kx x k −+=+. 则1224032y y k +=>+， 因为()11,m m MA x x y y =−−，()22,m m MB x x y y =−−，(),m m MO x y =−−，所以()121203,030m m MA MB MO x x x y y y ++=++−++−=uuu r uuu r uuu r r ．所以123m x x x +=，123m y y y +=．2232m kx k −=+，243032m y k =>+， 消去k 得()2223200m m m m x y y y +−=>．综上，点M 构成的曲线L 的方程为222320x y y +−= 对于曲线L 的任意一点(),M x y ，它关于直线13y =的对称点为2,3M x y ⎛⎫'− ⎪⎝⎭． 把2,3M x y ⎛⎫'− ⎪⎝⎭的坐标代入曲线L 的方程的左端：2222222244232243223203333x y y x y y y x y y ⎛⎫⎛⎫+−−−=+−+−+=+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以点M '也在曲线L 上．所以由点M 构成的曲线L 关于直线13y =对称. 10．【北京市清华附中2017-2018学年高三数学十月月考】已知椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>过点A 和点(0,1)B −. （1）求椭圆G 的方程；（2）设直线y x m =+与椭圆G 相交于不同的两点M ，N ，记线段MN 的中点为P ，是否存在实数m ，使得BM BN =？若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由【答案】（1）2213x y +=（2）不存在【解析】（1）椭圆G ：22221(0)x y a b a b +=>>过点3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和点(0,1)B −， 所以1b =，由22111a ⎝⎭+=，解得23a =，所以椭圆G ：2213x y +=. （2）假设存在实数m 满足题设，由2213y x mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2246310x mx m ++−=， 因为直线与椭圆有两个交点，所以()22364810m m ∆=−−>，即24m <，设MN 的中点为(,)P P P x y ，M x ，N x 分别为点M ，N 的横坐标，则324M N p x x mx +==−，从而4p p m y x m =+=，所以143p BP py m k x m ++==−， 因为BM BN =，所以BP MN ⊥，所以1BP MN k k ⋅=−，而1MN k =，所以413m m+−=−，即2m =，与24m <矛盾，因此，不存在这样的实数m ，使得BM BN =.11．【重庆一中2019届高三下学期5月月考】已知点)1,0(−D ，过点D 作抛物线1C ：22(0)x py p =>的切线l ，切点A 在第二象限. （1）求切点A 的纵坐标；（2）有一离心率为2的椭圆2C ：22221(0)x y a b a b+=>>恰好经过切点A ，设切线l 与椭圆2C 的另一交点为点B ，记切线l 、OA 、OB 的斜率分别为k 、1k 、2k ，若124k k k +=，求椭圆2C 的方程.【答案】(1) 01y =.(2) 22142x y+=.【解析】（1）设切点00(,)A x y 则有202x y p=，由切线l 的斜率为0x k p =，得l 的方程为2002x x y x p p=−，又点)1,0(−D 在l 上，所以212x p=，即01y =，所以点A 的纵坐标01y =.由（1）得(A ，切线斜率k =， 设11(,)B x y ，切线方程为1y kx =−，由22=e 得2212ca =，又222c ab =−，所以222b a =，所以椭圆方程为122222=+by b x ，由222122y kx x y b=−⎧⎨+=⎩得()222124220k x kx b +−+−=， ∴012412k x x k +=+，20122212b x x k−=+，又因为124k k k +=，即010*******y x y x y y x x x x ++=()()()1001100101112x kx x kx x x k x x x x −+−+==− 2222421222422112kk k k k k b b k +=−=−=−−+， 解得22b =，所以2224a b ==，所以椭圆方程为22142x y +=.12．【2019年江苏省高考】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a −+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E −−. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 232==， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1. 将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨−+=⎪⎩，得256110x x +−=， 解得1x =或115x =−. 将115x =−代入22y x =+，得125y =−， 因此1112(,)55B −−.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =−.由223(1)4143y x x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x −−=，解得1x =−或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =−. 将1x =−代入3(1)4y x =−，得32y =−.因此3(1,)2E −−.解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =−. 因此3(1,)2E −−.13．【湖北省十堰市2019年高三年级四月调研考试】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，F 是椭圆C 的一个焦点．点(02)M ,，直线MF的斜率为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的中点为N ，且AB MN ＝．求l 的方程．【答案】（1）22182x y +=；（2）22y x =±+【解析】（1）由题意，可得2c a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则222=2b ac =-，故椭圆C 的方程为22182x y +=．（2）当l 的斜率不存在时，=2AB MN AB MN ≠=，，，不合题意，故l 的斜率存在． 设l 的方程为2y kx =+，联立221822x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(14)1680k x kx +++＝， 设1122(()A x y B x y ，)，，，则12122216k 8,14k 14k x x x x +=−=++， ()222(16)3214128320k k k ∆=−+=−>即214k >，设00()N x y ，，则12028214x x kx k +==−+，120||||,0AB MN x =−=−0x =，即228||1414k k k =++整理得21124k =>．故2k =±，l 的方程为22y x =±+．14．【安徽省定远重点中学2019届高三下学期第三次模拟考试】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22x C y 13+=：，如图所示，斜率为k （k ＞0）且不过原点的直线l 交椭圆C 于两点A ，B ，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝﹣3于点D （﹣3，m ）．（1）求m 2+k 2的最小值；（2）若|OG|2＝|OD|•|OE|，求证：直线l 过定点． 【答案】（1）2；（2）见解析 【解析】（1）设直线l 的方程为y ＝kx+t （k ＞0），由题意，t ＞0，由方程组22y kx tx y 13=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3k 2+1）x 2+6ktx+3t 2﹣3＝0，由题意△＞0，所以3k 2+1＞t 2， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由根与系数的关系得1226kt x x 3k 1+=−+，所以1222ty y 3k 1+=+， 由于E 为线段AB 的中点，因此E E223kt tx y 3k 13k 1，=−=++， 此时E OE E y 1k x 3k ==−，所以OE 所在直线的方程为1y x 3k=−， 又由题意知D （﹣3，m ），令x ＝﹣3，得1m k=，即mk ＝1， 所以m 2+k 2≥2mk＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由△＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2+k 2取最小值2． （2）证明：由（1）知D 所在直线的方程为1y x 3k=−， 将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0，解得G ⎛⎫ ⎝，又1E D 3k ，，⎛⎫⎛⎫− ⎪⎝⎭⎝， 由距离公式及t ＞0得222229k 1|OG |(3k 1+=+=+，OD k ==，OE ==， 由|OG|2＝|OD|•|OE|，得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k （x+1），所以直线l 恒过定点（﹣1，0）．15．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试】已知点()1,0F ，动点P 到直线2x =的距离与动点P到点F （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 作任一直线交曲线C 于A ，B 两点，过点F 作AB 的垂线交直线2x =于点N ，求证：ON 平分线段AB .【答案】（1）2212x y +=（2）见证明【解析】（1）设(),P x y ，由动点P 到直线2x =的距离与动点P到点F ，=，化简得2212x y +=.（2）设AB 的直线方程为1x my =+，则NF 的直线方程为()1y m x =−−，联立()12y m x x ⎧=−−⎨=⎩，解得()2,N m −，∴直线ON 的方程为2m y x =−，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my ++−=， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222my y m +=−+， 设AB 的中点为()00,M x y ，则120222y y my m +==−+， ∴002212x my m =+=+，∴222,22m M m m ⎛⎫− ⎪++⎝⎭， 将点M 坐标代入直线ON 的方程222222m my m m =−⋅=−++， ∴点M 在直线ON 上，∴ON 平分线段AB .能力提升训练1．【安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查】已知点，是平面内一动点，可以与点重合.当不与重合时，直线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹方程；（2）一个矩形的四条边与动点的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）当与点不重合时，，得，即，当与点重合时，.综上，动点的轨迹方程为.（2）记矩形面积为，当矩形一边与坐标轴平行时，易知.当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为，则对边方程为另一边所在的直线为，则对边方程为，联立：，得，则，即.矩形的一边长为，同理：，矩形的另一边长为，，综上：.2．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷】已知椭圆的左、右焦点为，点在椭圆上.（1）设点到直线的距离为，证明：为定值；（2）若是椭圆上的两个动点（都不与重合），直线的斜率互为相反数，求直线的斜率（结果用表示）【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由已知，得，所以，即因为点在椭圆上，所以，即又所以为定值.（2）当时，则，直线的斜率一定存在.设，直线的斜率为，则的方程为，即，与椭圆的方程，联立组成方程组，消去，整理得由韦达定理，得，于是根据直线的斜率为，将上式中的代替，得于是注意到，于是因此，直线的斜率为3．【江西省宜春市2019届高三4月模拟】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线相切，过点的直线与椭圆相交于两点. （1）求椭圆的方程；（2）若原点在以线段为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】解（1）由可得，又.故椭圆的方程为.（2）由题意知直线方程为.联立.由，得.①设，则..原点在以线段为直径的圆外，，②由①②，解得.当原点在以线段为直径的圆外时，直线的斜率.4．【北京市房山区2019年高考第一次模拟测试】已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点为F，且|AF|=3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点F做互相垂直的两条直线l1，l2分别交直线l：x=4于M，N两点，直线AM，AN分别交椭圆于P，Q两点，求证：P，F，Q三点共线．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意：，得b2=a2-c2=3，所以椭圆的方程是．（Ⅱ）由题意可知，直线l1，l2的斜率均存在且不为0，A（-2，0），F（1，0），设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1•k2=-1．直线l1的方程为y=k1（x-1），则M点坐标为（4，3k1），得，设直线AM的方程为，由得：因为x=-2是方程的根，所以．同理可得．当，即时，可得，又F（1，0），所以P，F，Q三点共线；当，即时，，，得k QF=k PF，所以P，F，Q三点共线；综上所述：P，F，Q三点共线.5．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模】椭圆的离心率，过点的直线与原点间的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，且点位于第一象限，当时，求直线的方程.【答案】（1）；（2） .【解析】（1）据题知，直线的方程为.依题意得.解得，所以椭圆的方程为.（2）设），设直线的方程为.代入椭圆方程整理得：∴.①由，依题意可得：，②结合①②得，消去解得（不合题意）.所以直线的方程为.6．【辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模】设D是圆O：x2+y2＝16上的任意一点，m是过点D且与x轴垂直的直线，E是直线m与x轴的交点，点Q在直线m上，且满足2|EQ|=ED|．当点D在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程．（2）已知点P（2，3），过F（2，0）的直线l交曲线C于A，B两点，交直线x＝8于点M．判定直线P A，PM，PB的斜率是否依次构成等差数列？并说明理由．【答案】（1）221612x y+=1，（2）成等差数列【解析】解：（1）设Q（x，y），D（x0，y0），∵2|EQ|=ED|，Q在直线m上，∴x0＝x，|y0|＝y|．①∵点D在圆x2+y2＝16上运动，∴x02+y02＝16，将①式代入②式即得曲线C的方程为x243+y2＝16，即221612x y+=1，（2）直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，证明如下： 由（1）知椭圆C ：3x 2+4y 2＝48， 直线l 的方程为y ＝k （x ﹣2），代入椭圆方程并整理，得（3+4k 2）x 2﹣16k 2x +16k 2﹣48＝0．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线P A ，PM ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则有x 1+x 2221634k k =+，x 1x 222164834k k−=+， 可知M 的坐标为（8，6k ）．∴k 1+k 3()()121212122323332222k x k x y y x x x x −−−−−−=+=+−−−− ＝2k ﹣3•()121212442x x x x x x +−=+−+2k ﹣3•1236−=−2k ﹣1， 2k 2＝2•6382k −=−2k ﹣1． ∴k 1+k 3＝2k 2．故直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列．7．【天津市部分区2019年高三质量调查试题（二)】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为1(1,0)F −，上顶点为1B ，原点O 到直线11B F的距离为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点T 在圆222x y +=上，点A 为椭圆的右顶点，是否存在过点A 的直线l 交椭圆C 于点B （异于点A ），使得14()7OT OA OB =+成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 22143x y += (2) 存在满足条件的直线l ，其方程为)2y x =−.【解析】解：（1）由椭圆的一个焦点为()11,0F −知:1c =，即221a b −=.①.又因为直线11B F 的方程为0bx y b −+=2=，所以b =由①解得24a =.故所求椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）假设存在过点A 的直线l 适合题意，则结合图形易判断知直线l 的斜率必存在， 于是可设直线l 的方程为()2y k x =−，由()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩，得()2222341616120k x k x k +−+−=.（*） 因为点A 是直线l 与椭圆C 的一个交点，且2A x =所以22161234A B k x x k −⋅=+，所以228634B k x k−=+， 即点2228612,3434k k B k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭. 所以2221612,3434k k OA OB k k ⎛⎫+=− ⎪++⎝⎭，即222141612,73434k k OT k k ⎫=−⎪++⎝⎭.因为点T 在圆222x y +=上，所以2222221612273434k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 化简得42488210k k −−=，解得234k =，所以k =.经检验知，此时（*）对应的判别式0∆>，满足题意. 故存在满足条件的直线l ，其方程为)22yx =±−. 8．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试】已知椭圆的离心率为，直线被圆截得的弦长为.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标和的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵椭圆的离心率为，∴,∵圆的圆心到直线的距离为,∴直线被圆截得的弦长为.解得，故，∴椭圆的方程为.（2）设，当直线轴不重合时，设的方程：.由，∴，，当，即时，的值与无关，此时.当直线轴重合且时，.∴存在点，使得为定值.9．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】已知椭圆E 的左、右焦点分别为()(),0,,0A c B c −（0c >）．点M 在E 上，MB AB ⊥，△MAB 的周长为6，面积为32c ． （1）求E 的方程；（2）过A 的直线l 与E 交于,P Q 两点，以,P Q 为直径的圆与直线MB 相切，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）)1l y x =+：【解析】（1）设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，依题意知△MAB 的周长为6，得226a c +=，…①又因为MB AB ⊥，所以2=b MB a，所以△MAB 的面积()21132222b S AB MB c c a =⋅⋅=⋅⋅=，所以232b a =，即2232a c a −=…②，联立①②解得2,1a c ==，则2223b a c =−=，所以E 的方程为22143x y +=．（2）当直线l 斜率为0时，不满足题意．设直线l 的方程为1x my =−，()()1122,,,P x y Q x y ，由221,1,43x my x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得()2234690m y my +−−=，从而12122269,3434m y y y y m m −+==++， 所以21PQ y y ==−== 2211234m m ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭， 设以,P Q 为直径的圆的圆心(),N N N x y ，半径为r ，则22116234m r PQ m ⎛⎫+== ⎪+⎝⎭，又1223234N y y m y m +==+，24134N N x my m −=−=+,又因为圆N 与直线MB 相切，则1N x r −=，即22241163434m m m ⎛⎫−+−= ⎪++⎝⎭，解得m =．所以直线l 的方程为13l x y =±−：，即()12l y x =±+： 10．【河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（二)】已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其右焦点F 与抛物线2y =的焦点重合，过F 且垂直于抛物线对称轴的直线与椭圆交于M 、N 两点，与抛物线交于C 、D 两点．||||CD MN =（1）求椭圆的方程；（2）若直线l 与(1)中椭圆相交于A ,B 两点, 直线OA , l ,OB 的斜率分别为1k ,k ,2k (其中k 0>)，且1k ,k ,2k 成等比数列；设OAB 的面积为S , 以OA 、OB 为直径的圆的面积分别为1S , 2S , 求12S S S+的取值范围.【答案】(1) 2214x y += (2) 5π[)4+∞， 【解析】（1）由抛物线方程得)F，椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，过F 垂直于抛物线对称轴的直线与椭圆交于M,N 两点，可得22||b MN a=，与抛物线交于C,D 两点可得CD =，22CD a b MNa==⇒= ， 223a b −=，∴ 21a b =⎧⎨=⎩， 所以椭圆方程为2214x y += .(2)设直线的方程为()()1122,,,,y kx m A x y B x y =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()222148410k x kmx m +++−= ， 由韦达定理：()()221222122161408144114k m kmx x k m x x k ⎧⎪∆=+−>⎪⎪+=−⎨+⎪⎪−⎪=+⎩， ∵1k ，k ，2k 构成等比数列，1222112y x k x k k y =⋅=()()1212kx m kx m x x ++=， 即()2120km x x m ++=由韦达定理代入化简得：214k =，∵ 0k >，12k =． 此时()21620m∆=−>，即(m ∈．又由A O B 、、三点不共线得0m ≠，从而()(m ∈⋃．故1212S AB d x =⋅=−m m ==∵22221212144x x y y +=+=，122x x m +=−，21222x x m ⋅=−，则()222222121122123324444S S x y x y x x ππ⎛⎫+=⋅+++=⋅++ ⎪⎝⎭()212123521624x x x x πππ⎡⎤=⋅+−+=⎣⎦为定值．()1222551544422S S S m m πππ+=⋅=−+…， 当且仅当222−=m m 即1m =±时等号成立． 综上：12S S S +的取值范围是5π4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．。
新教材高考数学一轮复习课时质量评价50直线与圆锥曲线的位置关系含解析新人教A版
新教材高考数学一轮复习：课时质量评价(五十)(建议用时：45分钟) A 组 全考点巩固练1．(2020·鹤壁高中高三月考)已知直线l ：x －y ＋3＝0与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，点P (1,4)是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为( )A ．43B ．2C ．52 D ．5D 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 因为点P (1,4)是弦AB 的中点，根据中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝8.因为A ，B 两点在直线l ：x －y ＋3＝0上， 根据两点斜率公式可得y 1－y 2x 1－x 2＝1.因为A ，B 两点在双曲线C 上，所以⎩⎨⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，所以x 21－x 22a 2－y 21－y 22b2＝0，即b 2a 2＝y 21－y 22x 21－x 22＝(y 1＋y 2)(y 1－y 2)(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝82×1＝4，解得b a＝2. 所以e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 5.2．(2020·大连一中模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为π3，且双曲线过点P (2,3)，双曲线两条渐近线与过右焦点F 且垂直于x 轴的直线交于A ，B 两点，则△AOB 的面积为( )A ．4 3B ．2 3C ．8D ．12A 解析：由题意得，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，可得双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ>0)，把点(2,3)代入可得4－3＝λ，得λ＝1，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1，c 2＝1＋3＝4，c ＝2，F (2,0)，可得A (2，23)，B (2，－23)，可得S △AOB ＝12×2×43＝4 3.故选A ．3．(2020·重庆高三月考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F (－c,0)，过点F 且斜率为1的直线与双曲线C 交于A ，B 两点．若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (2c ，0)，则双曲线C 的离心率为( )A ．52B ． 2C ． 3D ．2 D 解析：设线段AB 的中点坐标为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋c ＝1，y0x 0－2c ＝－1⇒x 0＝c 2，y 0＝32c ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入双曲线方程有x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0，可得b 2a 2＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝3，即b 2＝3a 2，所以c ＝2a ，e ＝2.4．(2020·新高考全国卷Ⅰ)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.163 解析：(方法一)在抛物线y 2＝4x 中，2p ＝4，斜率为3的直线倾斜角θ＝π3， 所以过焦点的弦长|AB |＝2p sin 2θ＝4sin 2π3＝434＝163.(方法二)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由已知可得抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，过点F 且斜率k ＝3的直线方程为y ＝3(x －1)，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝3(x －1)，消去y 得3x 2－10x ＋3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝103，x 1x 2＝1，所以|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋3×1009－4＝163. 5．过点P (1,1)作直线l 与双曲线x 2－y 22＝λ交于A ，B 两点．若点P 恰为线段AB 的中点，则实数λ的取值范围是____________．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 解析：因为双曲线方程为x 2－y22＝λ，所以λ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为点P 恰为线段AB 的中点， 所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2.将A ，B 两点坐标代入双曲线方程，得⎩⎨⎧x 21－y 212＝λ，x 22－y222＝λ.两式相减并化简可得y 1－y 2x 1－x 2＝2×x 1＋x 2y 1＋y 2＝2.即直线l 的斜率为2，所以直线的方程为y ＝2x －1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y22＝λ，化简可得2x 2－4x ＋2λ＋1＝0. 因为直线l 与双曲线有两个不同的交点， 所以Δ＝16－4×2×(2λ＋1)>0， 解得λ<12且λ≠0.所以λ的取值范围为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 6．(2020·雅安市高三二模)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，过F 作直线与C 相交于P ，Q 两点，且Q 在第一象限．若2PF →＝FQ →，则直线PQ 的斜率是________．22 解析：设l 是准线，过P 作PM ⊥l 于M ，过Q 作QN ⊥l 于N ，过P 作PH ⊥QN 于H ，如图，则|PM |＝|PF |，|QN |＝|QF |. 因为2PF →＝FQ →，所以|QF |＝2|PF |， 所以|QN |＝2|PM |，所以|QH |＝|NH |＝|PM |＝|PF |， |PH |＝(3|PF |)2－|PF |2＝22|PF |，所以tan ∠HQF ＝|PH ||QH |＝22，所以直线PQ 的斜率为2 2.7．(2020·鹤壁市高三模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线与x 轴交于点A ，点M (2，p )在抛物线C 上．(1)求C 的方程；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于另一点N .若△AMN 的面积为649，求直线l 的方程．解：(1)因为点M (2，p )在抛物线y 2＝2px 上， 所以p 2＝4p ，所以p ＝4或p ＝0(舍去)， 所以抛物线C 的方程为y 2＝8x . (2)由(1)知抛物线C 的方程为y 2＝8x ，M (2,4)，A (－2，0)，k MA ＝4－02－(－2)＝1，所以直线MA 的方程为y ＝x ＋2，即x －y ＋2＝0， 且|MA |＝42，所以点N 到直线MA 的距离d ＝2S △AMN |MA |＝1629.设N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫y 28，y 0， 则d ＝y 208－y 0＋22＝1629，解得y 0＝283或y 0＝－43，即N 点的坐标为⎝⎛⎭⎫989，283或⎝⎛⎭⎫29，－43. 若取N ⎝⎛⎭⎫989，283， 则k MN ＝283－4989－2＝35，所以直线l 的方程为y －4＝35(x －2)，即3x －5y ＋14＝0；若取N ⎝⎛⎭⎫29，－43， 则k MN ＝－43－429－2＝3，所以直线l 的方程为y －4＝3(x －2)，即3x －y －2＝0. 所以直线l 的方程为3x －5y ＋14＝0或3x －y －2＝0.8．(2020·桂林模拟)椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，过点A (－a,0)和B (0，b )的直线与原点间的距离为63. (1)求椭圆M 的方程；(2)过点E (1,0)的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，且点D 位于第一象限，当|CE ||DE |＝3时，求直线l 的方程．解：(1)由题意可得直线AB 的方程为bx －ay ＋ab ＝0. 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab a 2＋b 2＝63，e ＝a 2－b 2a 2＝22，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆M 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)(x 2>0，y 2>0)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ∈R )． 代入椭圆方程整理得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0. Δ＝8m 2＋8>0，所以y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.①由|CE ||DE |＝3，依题意可得y 1＝－3y 2.②结合①②得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝mm 2＋2，3y 22＝1m 2＋2，消去y 2解得m ＝1，m ＝－1(不合题意)． 所以直线l 的方程为y ＝x －1.B 组 新高考培优练9．(2020·大连市高考模拟)已知直线y ＝2x ＋m 与椭圆C ：x 25＋y 2＝1相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．当△AOB 的面积取得最大值时，|AB |＝( )A ．54221B ．21021C ．2427D ．24221A 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 25＋y 2＝1，得21x 2＋20mx ＋5m 2－5＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－20m21，x 1x 2＝5m 2－521，|AB |＝1＋22(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5×20(21－m 2)21＝1021－m 221.又O 到直线AB 的距离d ＝|m |5， 则△AOB 的面积S ＝12d ·|AB |＝5×m 2(21－m 2)21≤5×m 2＋21－m 221＝10521，当且仅当m 2＝21－m 2，即m 2＝212时，△AOB 的面积取得最大值．此时，|AB |＝1021－m 221＝54221.10．(多选题)已知曲线C 的方程为x 2＋y 29＝1(0＜x ≤1)，A (0，－3)，B (0,3)，D (－1,0)，点P 是C 上的动点，直线AP 与直线x ＝5交于点M ，直线BP 与直线x ＝5交于点N ，则△DMN 的面积可能为( )A ．73B ．76C ．68D ．72ABD 解析：设P (x 0，y 0)，则k P A ·k PB ＝y 20－9x 20＝y 20－91－y 209＝－9. 设kp A ＝k (k ＞0)，则k PB ＝－9k.直线AP 的方程为y ＝kx －3，则点M 的坐标为(5,5k －3)， 直线BP 的方程为y ＝－9kx ＋3，则点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫5，－45k ＋3. 所以|MN |＝⎪⎪⎪⎪5k －3－⎝⎛⎭⎫－45k ＋3 ＝⎪⎪⎪⎪5k ＋45k －6 ≥⎪⎪⎪⎪25k ·45k －6＝24，当且仅当5k ＝45k ，即k ＝3时等号成立．从而△DMN 面积的最小值为12×24×6＝72.故选ABD ．11．(2020·宜宾市高二月考)设A ，B 是抛物线y 2＝4x 上两点，抛物线的准线与x 轴交于点N .已知弦AB 的中点M 的横坐标为3，记直线AB 和MN 的斜率分别为k 1和k 2，则k 21＋k 22的最小值为( )A ．2 2B ．2C ． 2D ．1D 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (3，t )，N (－1，0)，可得y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.相减可得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝4(x 1－x 2)，可得k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42t ＝2t.又由k 2＝t 4，所以k 1k 2＝12，则k 21＋k 22≥2|k 1k 2|＝1，当且仅当|k 1|＝|k 2|＝22时取等号，即k 21＋k 22的最小值为1.12．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与抛物线交于A ，B 两点，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，∠MAF 的角平分线与抛物线的准线交于点P ，线段AB 的中点为Q .若|AB |＝8，则|PQ |＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8B 解析：如图，过点B 作抛物线准线的垂线，垂足为N .由题意得∠MAP ＝∠QAP ，|AF |＝|AM |，所以AP ⊥MF ，|MG |＝|GF |.所以|PM |＝|PF |.所以△MP A ≌△FP A ．所以∠PFB ＝∠PNB ＝90°. 所以△PFB ≌△PNB ．所以|PF |＝|PN |. 所以|PM |＝|PN |，即点P 是MN 的中点．所以|PQ |＝12(|AM |＋|BN |)＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝4.13．(多选题)(2020·滕州期末)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，∠EPF 的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN ⊥PE 交EP 的延长线于N ，作QM ⊥PF 交线段PF 于点M ，则( )A ．|PE |＝|PF |B ．|PF |＝|QF |C ．|PN |＝|MF |D ．|PN |＝|KF | ABD 解析：由抛物线的定义，知|PE |＝|PF |，A 正确；因为PN ∥QF ，PQ 是∠FPN 的平分线，所以∠FQP ＝∠NPQ ＝∠FPQ ，所以|PF |＝|QF |，B 正确；若|PN |＝|MF |，由PQ 是∠FPN 的平分线，QN ⊥PE ，QM ⊥PF 得|QM |＝|QN |，从而有|PM |＝|PN |，于是有|PM |＝|FM |，这样就有|QP |＝|QF |，△PFQ 为等边三角形，∠FPQ ＝60°，也即有∠FPE ＝60°，这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；由A ，B 知|PE |＝|QF |，因为|EN |＝|KQ |，所以|KF |＝|PN |，D 正确．14．(2020·邢台市高三三模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝kx ＋m (k >0)交椭圆E ：x 24＋y 2＝1于C ，D 两点． (1)若m ＝k ＝1，且点P 满足OC →＋OD →＋OP →＝0，证明：点P 不在椭圆E 上；(2)若椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 与线段F 1F 2和椭圆E 的短轴分别交于两个不同点M ，N ，且|CM |＝|DN |，求四边形CF 1DF 2面积的最小值．解：设直线l ：y ＝kx ＋m (k >0)交椭圆E ：x 24＋y 2＝1于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)两点．(1)把y ＝x ＋1代入x 24＋y 2＝1，得5x 2＋8x ＝0，所以x 1＋x 2＝－85，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2＝－85＋2＝25.因为OC →＋OD →＋OP →＝0，所以OP →＝－(OC →＋OD →)＝(－x 1－x 2，－y 1－y 2)＝⎝⎛⎭⎫85，－25， 即P ⎝⎛⎭⎫85，－25. 因为⎝⎛⎭⎫8524＋⎝⎛⎭⎫－252＝45≠1，所以点P 不在椭圆E 上．(2)将y ＝kx ＋m (k >0)代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.又M ⎝⎛⎭⎫－mk ，0，N (0，m )． 因为|CM |＝|DN |， 所以x M －x 1＝x 2－x N ， 即x M ＋x N ＝x 1＋x 2， 所以－8km 1＋4k 2＝－mk .因为直线y ＝kx ＋m (k >0)与线段F 1F 2及椭圆的短轴分别交于不同的两点，所以m ≠0.又k >0，则k ＝12，故x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2.由－3≤－2m ≤3，得－32≤m ≤32.因为y 1＝12x 1＋m ，y 2＝12x 2＋m ，所以|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 1＋m －⎝⎛⎭⎫12x 2＋m ＝12|x 1－x 2|＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(－2m )2－4(2m 2－2)＝2－m 2.S 四边形CF 1DF 2＝S △F 1F 2C ＋S △F 1F 2D＝12|F 1F 2|·|y 1|＋12|F 1F 2|·|y 2|＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2| ＝3×2－m 2≥3×52＝152. 故当m ＝32或m ＝－32时，四边形CF 1DF 2面积的最小值为152.。
新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测五十一直线与椭圆的位置关系含解析新人教A版
课时跟踪检测（五十一） 直线与椭圆的位置关系一、题点全面练1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0解析：选B 由题意知4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是( ) A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 解析：选C 由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝a 2－10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝t 2－5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×t 2－5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4 B.3 C ．2D ．1解析：选D ∵(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝(OP ―→－OF 1―→)·PF 2―→＝F 1P ―→·PF 2―→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝(m ＋n )2－m 2－n 2＝4，mn ＝2，∴＝12mn ＝1. 5.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13＜k ＜12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a a ＋c .又13＜k ＜12，所以13＜a 2－c 2a a ＋c ＜12，化简可得13＜1－e 21＋e ＜12，从而可得12＜e ＜23，选C.6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为__________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．解析：过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆方程化简得(2k 21＋1)x2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1，直线OP 的斜率k 2＝－12k 1，所以k 1k 2＝－12.答案：－128．(2019·广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为__________． 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可知c ＝1，即a 2－b 2＝1①，设点F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(m ，n )，可得n －0m －1＝－2②.又因为点F 与其对称点的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，n 2，且中点在直线y ＝12x 上，所以有n 2＝12×m ＋12③，联立②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45，即对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，代入椭圆方程可得925a 2＋1625b 2＝1④，联立①④，解得a 2＝95，b 2＝45，所以椭圆方程为5x 29＋5y24＝1.答案：5x 29＋5y24＝19．(2019·长春监测)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直线l 的斜率k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 24＋y23＝1，整理得⎝⎛⎭⎪⎫3k2＋4y 2－6ky －9＝0，Δ＝144k2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6k 3＋4k 2，y 1y 2＝－9k23＋4k 2，又AF 1―→＝2F 1B ―→，所以y 1＝－2y 2， 所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8， 解得k ＝±52，又k ＞0，所以k ＝52. 10．(2018·成都模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 2＝1，消去x 可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0.Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m2. ∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m 4＋m 2＋2＝0，整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53.∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点． ∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22＜|PF 2|＜4或4＜|PF 2|＜4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．2．已知椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6) B.(1,5) C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞6－a 2，6－a 2＞1，解得3＜a 2＜5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)．3.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＞0，即e 2＋e－1＞0，解得e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1(二)难点专练——适情自主选4．(2018·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k ＜0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍，求k 的值．[解] (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知得c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .又|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2. 所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)， 由题意知，x 2＞x 1＞0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)． 因为△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍， 所以|PM |＝2|P Q|，所以x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1. 易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)， 两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0， 解得k ＝－89或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9＜0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意．所以k 的值为－12.5．(2018·成都一诊)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求|AB |的值；(2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 解：由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)． (1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53.∴|AB |＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659. (2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. 而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k x 1－x 1－3－k (x 2－1)＝3kx 1＋x 2－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .。
高考数学一轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系跟踪检测 理(含解析)新人教A版
高考数学一轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系跟踪检测 理（含解析）新人教A 版(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页) 第Ⅰ卷：夯基保分卷1．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2 为直角三角形，则这样的点P 有 ( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个2. 椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝03．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ＝λFB (λ＞1)，则λ的值为( )A ．5B ．4 C.43D.524．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32D. 35．(2013·兰州名校检测) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设|AM |＝e |AB |，则该椭圆的离心率e ＝________.6．(2014·沈阳模拟)已知点A (－2，0)，点B (2，0)，且动点P 满足|P A |－|PB |＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点的充要条件为k ∈________.7. 如图，椭圆长轴的端点为A ，B ，O 为椭圆的中心，F 为椭圆的右焦点，且AF ·FB ＝1，|OF |＝1. (1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为M ，直线l 交椭圆于P ，Q 两点，问：是否存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．8．(2013·郑州模拟)已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，设点M 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)过点P (1,0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A ，B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ＝45，求直线AB 的方程．第Ⅱ卷：提能增分卷1. 已知中心在坐标原点的椭圆E 的长轴的一个端点是抛物线y 2＝45x 的焦点，且椭圆E 的离心率是63. (1)求椭圆E 的方程；(2)过点C (－1,0)的动直线与椭圆E 相交于A ，B 两点．若线段AB 的中点的横坐标是－12，求直线AB 的方程．2．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，椭圆C 的短轴的一个端点P 到焦点的距离为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋3与椭圆C 交于A ，B 两点，是否存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．3. (2013·广州二模)已知对称中心为坐标原点的椭圆C 1与抛物线C 2：x 2＝4y 有一个相同的焦点F 1，直线l ：y ＝2x ＋m 与抛物线C 2只有一个公共点．(1)求直线l 的方程；(2)若椭圆C 1经过直线l 上的点P ，当椭圆C 1的离心率取得最大值时，求椭圆C 1的方程及点P 的坐标．答 案第Ⅰ卷：夯基保分卷1．选C 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个，同理当 ∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．2．选B 依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率为－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)．即4x ＋6y －7＝0. 3．选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF ＝λFB 得⎝⎛⎭⎫p 2－x 1，－y 1＝λx 2－p2，y 2, 故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝⎛⎭⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消元得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，y 1＋y 22y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4.4．选D 由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 5．解析：因为点A ，B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以点A ，B 的坐标分别是⎝⎛⎭⎫－a e ，0，(0，a )．设点M 的坐标是(x 0，y 0)，由|AM |＝e |AB |, 得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a e (e －1)，y 0＝ea .(*)因为点M 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，将(*)式代入，得(e －1)2e 2＋e 2a 2b2＝1，整理得，e 2＋e－1＝0, 解得e ＝5－12.答案：5－126．解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x ＞0)，其一条渐近线方程为y ＝x .若P 点的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)7．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝1，又∵AF ·FB ＝(a ＋c )·(a －c )＝a 2－c 2＝1. ∴a 2＝2，b 2＝1， 故椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且F 恰为△PQM 的垂心，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，∵M (0,1)，F (1,0)， ∴直线l 的斜率k ＝1.于是设直线l 为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1.得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，x 1＋x 2＝－43m ，①x 1x 2＝2m 2－23.②∵MP ·FQ ＝x 1(x 2－1)＋y 2(y 1－1)＝0. 又y i ＝x i ＋m (i ＝1,2)，∴x 1(x 2－1)＋(x 2＋m )(x 1＋m －1)＝0，即 2x 1x 2＋(x 1＋x 2)(m －1)＋m 2－m ＝0.将①②代入得2·2m 2－23－4m 3(m －1)＋m 2－m ＝0，解得m ＝－43或m ＝1，经检验m ＝－43符合条件．故存在直线l ，使点F 恰为△PQM 的垂心，直线l 的方程为y ＝x －43.8．解：(1)由题意|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝4>23，所以轨迹E 是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线AB 的斜率不可能为0， 而直线x ＝1也不满足条件， 故可设AB 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1，消去x 得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1·y 2＝－34＋m 2.S ＝12|OP ||y 1－y 2|＝ 12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2m 2＋3m 2＋4.由S ＝45，解得m 2＝1，即m ＝±1.故直线AB 的方程为x ＝±y ＋1， 即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0为所求． 第Ⅱ卷：提能增分卷1．解：(1)由题知椭圆E 的焦点在x 轴上，且a ＝5，又c ＝ea ＝63×5＝303， 故b ＝a 2－c 2＝5－103＝53，故椭圆E 的方程为x 25＋y 253＝1，即x 2＋3y 2＝5. (2)依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，将其代入x 2＋3y 2＝5，消去y ，整理得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0.设A ，B 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．则⎩⎨⎧Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)＞0，(*)，x 1＋x 2＝－6k23k 2＋1.由线段AB 中点的横坐标是－12，得x 1＋x 22＝－3k 23k 2＋1＝－12，解得k ＝±33，符合(*)式．所以直线AB 的方程为x －3y ＋1＝0或x ＋3y ＋1＝0.2．解：(1)设椭圆的焦半距为c ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3，故所求C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)存在k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O .理由如下：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线l 的方程y ＝kx ＋3代入y 24＋x 2＝1并整理得(k 2＋4)x 2＋23kx －1＝0. (*)则x 1＋x 2＝－23k k 2＋4，x 1x 2＝－1k 2＋4.因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以OA ·OB ＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. 又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋3， 即y 1y 2＝－k 2k 2＋4－6k 2k 2＋4＋3＝－4k 2＋12k 2＋4，于是有－1k 2＋4＋－4k 2＋12k 2＋4＝0，解得k ＝±112. 经检验知：此时(*)的判别式Δ＞0，适合题意． 即(*)的判别式Δ＞0恒成立． 所以当k ＝±112时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O . 3．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 2＝4y .消去y ，得x 2－8x －4m ＝0，∵ 直线l 与抛物线C 2只有一个公共点， ∴Δ＝82＋4×4m ＝0，解得m ＝－4. ∴直线l 的方程为y ＝2x －4. (2)∵抛物线C 2的焦点为F 1(0,1)， 依题意知椭圆C 1的两个焦点的坐标为 F 1(0,1)，F 2(0，－1)设椭圆C 1的方程为y 2a 2＋x 2a 2－1＝1(a ＞1)，由⎩⎨⎧y ＝2x －4，y 2a 2＋x2a 2－1＝1.消去y, 得(5a 2－4)x 2－16(a 2－1)x ＋(a 2－1)(16－a 2)＝0.(*)由Δ＝162(a 2－1)2－4(5a 2－4)(a 2－1)(16－a 2)≥0，得a 4－4a 2≥0(a 2＞0且a 2－1＞0)，解得a 2≥4.∵a ＞1，∴a ≥2，∴e ＝1a ≤12，当a ＝2时，e max ＝12，此时椭圆C 1的方程为y 24＋x 23＝1.把a ＝2代入方程(*)，解得x ＝32.又y ＝2x －4，∴y ＝－1， ∴点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－1.。
高考数学一轮复习 直线与椭圆调研课件 文 新人教A
不存在的情况，适当时候要分类讨论．
(2)在解决有关弦长问题时，常用设而不求思想．
思考题2 (2010·新课标全国，文 )设F1，F2分别是椭圆E：
x2＋
y2 b2＝
1(0＜
b＜
1)的
左、右
焦点，
过
F1的直线
l与
E相
交于A，B两点，且|AF2|，|AB|， |BF2|成等差数列．
(1)求 |AB|； (2)若直线l的斜率为1，求b的值． 【解析】 (1)由椭圆定义知|AF2|＋ |AB|＋|BF2|＝4，
4 又2|AB|＝ |AF2|＋|BF2|，得|AB|＝3. (2)l的方程为y＝ x＋c，其中c＝ 1－ b2. 设A(x1， y1)，B(x2， y2)，则A， B两点坐标满足方程组
y＝ x＋c， x2＋by22＝1.
化简得(1＋b2)x2＋ 2cx＋1－2b2＝ 0.
－2c
1－ 2b2
则x1＋ x2＝1＋ b2，x1x2＝ 1＋ b2 .
第6课时 直线与椭圆
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1．能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的 问题，会根据韦达定理及判别式解决问题． 2．通过对椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想.
请注意!
作为高考热点的直线与圆锥曲线的位置关系主要体现在直线与椭圆 中，所以我们必需对直线与椭圆的位置关系要熟练掌握，并适度强 化.
思考题3 已知中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与
圆x2＋ y2－4x－2y＋
即 3a2＋ b2 ＝ 2·
3a2＋ b2
.
得离心率e＝ca＝23.
1
2 4 3ab2 15
(2)因为|AB|＝ 1＋3|y2－y1|，所以所以54a＝145，得a＝3，b＝ 5. x2 y2
高中数学课时跟踪检测七直线与椭圆的位置关系新人教A版选修3
学 习 资 料 汇编课时跟踪检测（七） 直线与椭圆的位置关系层级一 学业水平达标1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k (x －1)，故直线恒过定点(1,1)，而该点在椭圆x 29＋y 24＝1内部，所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1相交，故选B ．2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn 的值是( ) A ．22B ．233C ．922D ．2327解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝2n m ＋n ，∴x 0＝n m ＋n， 代入y ＝1－x 得y 0＝mm ＋n．由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A ． 3．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1·MF 2＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B ．0，12C ．0，22D ．22，1解析：选C ∵MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M 在椭圆内部，∴c <b ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，∴c 2a 2<12，即c a <22．又e >0，∴0<e <22．4．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交椭圆C 于点B ，若FA ＝3FB ，则|AF |＝( )A ． 2B ．2C ． 3D ．3解析：选A 设点A (2，n )，B (x 0，y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝1，即c ＝1．∴右焦点F (1,0)． 由FA ＝3FB 得(1，n )＝3(x 0－1，y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0． ∴x 0＝43，y 0＝13n ．将x 0，y 0代入x 22＋y 2＝1，得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1． 解得n 2＝1， ∴|AF |＝－2＋n 2＝1＋1＝2．5．(全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1 C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝1 解析：选D 因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)， 所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1消去y ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3． 所以E 的方程为x 218＋y 29＝1．6．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为______．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0．设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6． ∴弦长|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝54x 1＋x 22－4x 1x 2]＝54＋＝35．答案：357．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3,0)，|AM |＝1，且PM ·AM ＝0，则|PM |的最小值是________．解析：易知点A (3,0)是椭圆的右焦点． ∵PM ·AM ＝0， ∴AM ⊥PM ．∴|PM |2＝|AP |2－|AM |2＝|AP |2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，故|AP |min ＝2，∴|PM |min ＝3． 答案： 38．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ·FP 的最大值为________．解析：由x 24＋y 23＝1可得F (－1,0)．设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP ·FP ＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋31－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP ·FP 取得最大值6． 答案：69．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．解：∵a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝3， ∴右焦点F (3，0)，∴直线l 的方程y ＝x －3．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理，得5x 2－83x ＋8＝0．设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85，∴|AB |＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85， 即弦AB 的长为85．10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(0,4)，离心率为35．(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4．又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1．(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x225＋x －225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＋x 2＝3，∴AB 的中点坐标 x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65．层级二 应试能力达标1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1解析：选A 由题意，得4m 2＋n2>2，所以m 2＋n 2<4，则－2<m <2，－2<n <2，所以点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1内，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1有2个交点．故选A ．2．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y 24＝1有两个公共点，则实数k 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫54，－54C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y24＝1得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0，当Δ＝16(16k 2－5)>0，即k >54或k <－54时，直线与椭圆有两个公共点．故选C ． 3．若点(x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则yx －2的最小值为( )A ．1B ．－1C ．－233D ．以上都不对解析：选C 设yx －2＝k ，则y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝4，y ＝k x －消去y ，整理得(k 2＋4)x 2－4k 2x 2＋4(k 2－1)＝0， Δ＝16k 4－4×4(k 2－1)(k 2＋4)＝0， 解得k ＝±233，∴k min ＝－233．选C ．4．已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的两个焦点，P (不在x 轴上)为椭圆上一点，且满足PF 1·PF 2＝c 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，22 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 解析：选C 由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2． ①又PF 1·PF 2＝c 2，∴|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2＝c 2， ②由余弦定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ③ 由①②③，得cos ∠F 1PF 2＝c 22a 2－3c2<1，所以2c <a ，即e <22． 又|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2，∴2a 2－3c 2≤a 2，a 2≤3c 2，e ≥33， 则椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，22，故选C ． 5．若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程是________．解析：设弦的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减并将x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入，得y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以所求直线的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0．答案：x ＋2y －4＝06．过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2，所以c a ＝22，即e＝22． 答案：227．已知F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，且∠AOB (O 为坐标原点)为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：显然直线x ＝0不满足题设条件，故设直线l ：y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 2＝1消去y 并整理，得⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14x 2＋4kx ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝－4kk 2＋14，x 1x 2＝3k 2＋14． 由Δ＝(4k )2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋14＝4k 2－3>0，得k >32或k <－32．①又0°<∠AOB <90°⇒cos ∠AOB >0⇒OA ·OB >0， 所以OA ·OB ＝x 1x 2＋y 1y 2>0．又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝3k2k 2＋14＋－8k 2k 2＋14＋4＝－k 2＋1k 2＋14，所以3k 2＋14＋－k 2＋1k 2＋14>0，即k 2<4，所以－2<k <2．②综合①②，得直线l 的斜率k 的取值范围为－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2．8．(2016·浙江高考)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)．(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 解：(1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AP ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k2.因此|AP |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋k21＋a 2k2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足|AP |＝|AQ |.记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2. 由(1)知，|AP |＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21， |AQ |＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0. 由k 1≠k 2，k 1，k 2＞0得 1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)． ①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是 1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2.因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤ 2.由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0＜e ≤22.所求离心率的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 敬请批评指正。
高考数学一轮复习课时过关检测五十一直线与椭圆的位置关系含解析
课时过关检测(五十一) 直线与椭圆的位置关系A 级——基础达标1．直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．12≤m ＜9 B ．9＜m ＜10 C ．1≤m ＜9D ．1＜m ＜9解析：C 直线y ＝kx ＋1恒过定点P (0,1)，焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m ＝1，可得0＜m＜9 ①，由直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2m＝1总有公共点，可得P 在椭圆上或椭圆内，即有09＋1m≤1，解得m ≥1 ②，由①②可得1≤m ＜9．故选C ．2．若直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有( )A ．1个B ．至多一个C ．2个D ．0个解析：C 因为直线mx ＋ny ＝9和圆x 2＋y 2＝9没有交点，所以9m 2＋n2＞3，即m 2＋n 2＜9，所以m 29＋n 216≤m 29＋n 29＜1，即点(m ，n )在椭圆x 29＋y 216＝1内，所以过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 216＝1的交点有2个，故选C ． 3．已知F 1，F 2是椭圆G ：x 252＋y 242＝1的左、右焦点，过F 1作直线l 交G 于A ，B 两点，若|AB |＝325，则△F 2AB 的面积为( )A ．245B ．485C ．965D ．16415解析：C 由G ：x 252＋y 242＝1知c 2＝52－42＝32，所以F 1(－3，0)，把x ＝－3代入椭圆方程可得y 2＝4425，故y ＝±165，又|AB |＝325，所以AB ⊥x 轴，则S △F 2AB ＝12|AB |×2c ＝12×325×6＝965，故选C ． 4．已知点P (x ，y )是椭圆x 29＋y 24＝1上任意一点，则点P 到直线l ：y ＝x ＋5的最大距离为( )A ．52＋262B ．52－262C ．52＋26D ．52－26解析：A 设直线y ＝x ＋m 与椭圆相切，由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝x ＋m得13x 2＋18mx ＋9m 2－36＝0，∴Δ＝(18m )2－4×13(9m 2－36)＝0，解得m ＝±13，切线方程为y ＝x ＋13和y ＝x －13，与l 距离较远的是y ＝x －13，∴所求最大距离为d ＝|－13－5|2＝52＋262．故选A ．5．(2022·青岛质检)国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图①所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆．某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图②所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于－58，则椭圆的离心率为( )A ．34 B ．58 C ．74D ．64解析：D 设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵内外椭圆离心率相同，∴外层椭圆可设成x 2ma2＋y 2mb2＝1(m ＞1)，设切线AC 的方程为y ＝k 1(x ＋ma )，与x 2a 2＋y 2b2＝1联立得：(b 2＋a 2k 21)x 2＋2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0，由Δ＝0, 则k 21＝b 2a 2·1m 2－1，同理可得k 22＝b 2a2·(m2－1)，∴k 21·k 22＝b 4a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－582, 则b 2a 2＝58，因此，e ＝ca＝1－b 2a2＝1－58＝64．故选D ． 6．(多选)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则( )A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 的周长的取值范围是[6,12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形 D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为 6解析：ACD 设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF |，∴|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF ′|＝6为定值，A 正确；△ABF 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |，∵|AF |＋|BF |为定值6，且|AB |的取值范围是(0,6)，∴△ABF 的周长的取值范围是(6,12)，B 错误；设点A 在点B 的左侧，将y ＝32与椭圆方程联立，可解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－332，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，32，又∵F (6，0)，∴AF ―→·BF ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫6＋332×⎝ ⎛⎭⎪⎫6－332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝0．∴△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A (－6，1)，B (6，1)，∴S △ABF ＝12×26×1＝6，D 正确．故选A 、C 、D ．7．已知F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，|F 1F 2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为2的直线交椭圆于A ，B 两点，若S △ABF 2＝4，则弦长|AB |＝________．解析：∵S △ABF 2＝4，∴12×2c ×|y A －y B |＝4，又∵|F 1F 2|＝2，∴|y A －y B |＝4，∵直线过椭圆左焦点且斜率为2，∴|AB |＝1＋1k2|y A －y B |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×4＝25． 答案：2 58．直线5x ＋4y －1＝0交椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)于M ，N 两点，设MN 中点为P ，直线OP 的斜率等于54，O 为坐标原点，则椭圆C 的离心率为________．解析：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b2＝1，y 22a 2＋x22b 2＝1，两式相减得b 2(y 21－y 22)＋a 2(x 21－x 22)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－a 2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2y 1＋y 2，即k MN ＝－a 2b 2·1k OP ，因为k MN ＝－54，k OP＝54，所以b 2a 2＝1625，所以e ＝c a＝1－b 2a 2＝35． 答案：359． (2022·衡水模拟)已知直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 23＝1交于点A ，B ，与y 轴交于点P ，若AP ―→＝3PB ―→，则实数k 的值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线y ＝kx －1与y 轴交于点P ，所以P (0，－1)．联立直线与椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 24＋y23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8kx －8＝0，Δ＞0．由根与系数的关系得x 1＋x 2＝8k 3＋4k 2，x 1x 2＝－83＋4k2．因为AP ―→＝3PB ―→，所以(－x 1，－1－y 1)＝3(x 2，y 2＋1)，所以x 1＝－3x 2，将其代入x 1＋x 2＝8k 3＋4k 2，得x 2＝－4k 3＋4k 2．将x 1＝－3x 2，x 2＝－4k3＋4k2代入x 1x 2＝－83＋4k 2，可得－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 3＋4k 22＝－83＋4k 2，解得k 2＝32，所以k ＝±62．答案：±6210．已知点B 是圆C ：(x －1)2＋y 2＝16上的任意一点，点F (－1,0)，线段BF 的垂直平分线交BC 于点P ．(1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)直线l ：y ＝2x ＋m 与E 交于点M ，N ，且|MN |＝123019，求m 的值．解：(1)由条件可得|PC |＋|PF |＝|PC |＋|PB |＝|BC |＝4＞|FC |＝2，所以动点P 的轨迹E 是以F ，C 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以2a ＝4,2c ＝2，所以a ＝2，c ＝1，b ＝3， 所以动点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1．(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝2x ＋m可得19x 2＋16mx ＋4m 2－12＝0，由Δ＝256m 2－76(4m 2－12)＞0，得m ∈(－19，19)，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－16m 19，x 1x 2＝4m 2－1219，因为|MN |＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫256m 2361－16m 2－4819＝123019，解得m ＝±1．B 级——综合应用11．(多选)已知P 是椭圆E ：x 24＋y 2m＝1(m ＞0)上任意一点，M ，N 是椭圆上关于坐标原点对称的两点，且直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则下列结论正确的是( )A ．椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1B ．椭圆E 的离心率为12C ．曲线y ＝log 3x －12经过E 的一个焦点D ．直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点解析：ACD 设P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，x 0≠±x 1，y 0≠±y 1，则N (－x 1，－y 1)，x 204＋y 20m＝1，x 214＋y 21m ＝1，所以y 20＝m －mx 204，y 21＝m －mx 214，k 1k 2＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0＋y 1x 0＋x 1＝y 20－y 21x 20－x 21＝－m 4．于是|k 1|＋|k 2|≥2|k 1|·|k 2|＝2|k 1k 2|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m 4＝m ，依题意，得m ＝1，解得m ＝1，故E的方程为x 24＋y 2＝1，A 正确；离心率为32，B 错误；焦点坐标为(±3，0)，曲线y ＝log 3x－12经过焦点(3，0)，C 正确；又直线2x －y －2＝0过点(1,0)，且点(1,0)在E 内，故直线2x －y －2＝0与E 有两个公共点，D 正确．故选A 、C 、D ．12．已知椭圆x 22＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线AB 与椭圆交于A ，B两点，则△F 1AB 的周长是________，△F 1AB 内切圆面积的最大值是________．解析：根据椭圆定义可知△F 1AB 的周长C ＝4a ＝42；在△F 1AB 内，S ＝12Cr ＝22r ，问题转化为求△F 1AB 面积最大值，设AB ：x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2，于是S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m m 2＋22＋4m 2＋2＝2 2 m 2＋1m 2＋2＝22m 2＋1＋1m 2＋1≤222m 2＋1·1m 2＋1＝2，则22r ≤2⇒r ≤12⇒πr 2≤π4，等号在m ＝0时取到．答案：4 2π413．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)左焦点为F 1(－1,0)，经过点F 1的直线l 与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8相交于P ，Q 两点，M 是线段PF 2与C 的公共点，且|MF 1|＝|MP |．(1)求椭圆C 的方程；(2)l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求△ABF 2的面积． 解：(1)由圆F 2：(x －1)2＋y 2＝8可得|PF 2|＝22，因为|MF 1|＝|MP |，所以2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝|MP |＋|MF 2|＝|PF 2|＝22，即a ＝2，又c ＝1，故b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A 为线段PQ 的中点，则AF 1⊥AF 2，所以AF 1―→·AF 2―→＝x 21＋y 21－1＝0，又x 212＋y 21＝1，解得x 1＝0，y 1＝±1，若y 1＝1，则A (0,1)，直线l 的方程为y ＝x ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－43，y 2＝－13，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－13，所以△ABF 2的面积S ＝12|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12×2×43＝43，若y 1＝－1，同理可求得△ABF 2的面积S ＝43，综上所述，△ABF 2的面积为43．C 级——迁移创新14．如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H ．若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( )A ．20B ．10C ．2 5D ．4 5解析：D 由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N的横坐标为c ，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2＋y24＝1，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，4a ，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，－2a ．把点M 的坐标代入椭圆方程得4c2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 24＝1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a2－4，得a 2＝5，∴a ＝5．由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D ．15．定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1．(1)若椭圆C 2：x 216＋y 24＝1，试判断C 2与C 1是否相似？如果相似，求出C 2与C 1的相似比；如果不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C 1相似且短半轴长为b 的焦点在x 轴上的椭圆C b 的标准方程．若在椭圆C b 上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋1对称，求实数b 的取值范围．解：(1)椭圆C 2与C 1相似．如图，在同一坐标系中作出C 1，C 2的图象． ∵椭圆C 2的“特征三角形”是腰长为4，底边长为43的等腰三角形，而椭圆C 1的“特征三角形”是腰长为2，底边长为23的等腰三角形，∴两三角形的三边对应成比例，∴这两个等腰三角形相似，且相似比为2∶1，∴椭圆C 2和C 1相似，且相似比为2∶1．(2)椭圆C b 的方程为x 24b 2＋y 2b2＝1(b ＞0)．由题意，可设l MN ：y ＝－x ＋t ，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为(x 0，y 0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋t ，x 24b 2＋y 2b2＝1，消去y ，整理得5x 2－8tx ＋4(t 2－b 2)＝0， 则x 0＝x 1＋x 22＝45t ，y 0＝t5．∵MN 的中点在直线y ＝x ＋1上，∴t 5＝45t ＋1，解得t ＝－53． 故直线l MN 的方程为y ＝－x －53．若M ，N 存在，则方程5x 2－8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53x ＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－532－b 2＝0有两个不同的实数解，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4032－4×5×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫259－b 2＞0，解得b ＞53．。
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课时跟踪检测（五十一） 直线与椭圆的位置关系一、题点全面练1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0解析：选B 由题意知4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是( ) A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 解析：选C 由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝a 2－10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝t 2－5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×t 2－5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4 B.3 C ．2D ．1解析：选D ∵(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝(OP ―→－OF 1―→)·PF 2―→＝F 1P ―→·PF 2―→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝(m ＋n )2－m 2－n 2＝4，mn ＝2，∴＝12mn ＝1. 5.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13＜k ＜12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a a ＋c .又13＜k ＜12，所以13＜a 2－c 2a a ＋c ＜12，化简可得13＜1－e 21＋e ＜12，从而可得12＜e ＜23，选C.6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为__________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．解析：过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆方程化简得(2k 21＋1)x2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1，直线OP 的斜率k 2＝－12k 1，所以k 1k 2＝－12.答案：－128．(2019·广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为__________． 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可知c ＝1，即a 2－b 2＝1①，设点F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(m ，n )，可得n －0m －1＝－2②.又因为点F 与其对称点的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，n 2，且中点在直线y ＝12x 上，所以有n 2＝12×m ＋12③，联立②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45，即对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，代入椭圆方程可得925a 2＋1625b 2＝1④，联立①④，解得a 2＝95，b 2＝45，所以椭圆方程为5x 29＋5y24＝1.答案：5x 29＋5y24＝19．(2019·长春监测)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直线l 的斜率k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 24＋y23＝1，整理得⎝⎛⎭⎪⎫3k2＋4y 2－6ky －9＝0，Δ＝144k2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6k 3＋4k 2，y 1y 2＝－9k23＋4k 2，又AF 1―→＝2F 1B ―→，所以y 1＝－2y 2， 所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8， 解得k ＝±52，又k ＞0，所以k ＝52. 10．(2018·成都模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 2＝1，消去x 可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0.Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m2. ∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m 4＋m 2＋2＝0，整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53.∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点． ∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22＜|PF 2|＜4或4＜|PF 2|＜4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．2．已知椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6) B.(1,5) C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞6－a 2，6－a 2＞1，解得3＜a 2＜5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)．3.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＞0，即e 2＋e－1＞0，解得e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1(二)难点专练——适情自主选4．(2018·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k ＜0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍，求k 的值．[解] (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知得c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .又|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2. 所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)， 由题意知，x 2＞x 1＞0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)． 因为△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍， 所以|PM |＝2|P Q|，所以x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1. 易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)， 两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0， 解得k ＝－89或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9＜0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意．所以k 的值为－12.5．(2018·成都一诊)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求|AB |的值；(2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 解：由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)． (1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53.∴|AB |＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659. (2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. 而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k x 1－x 1－3－k (x 2－1)＝3kx 1＋x 2－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .。