高中数学 第三课时：恒等、伸压变换课件 苏教版选修4-3
高中新课程数学(苏教版必修四)《第三章 三角恒等变换》归纳整合课件
1 ＝sin αsin β－cos αcos β＋cos α＋cos β－ 2
2 2 2 2 2 2
1 ＝sin αsin β＋cos α(1－cos β)＋cos β－2
2 2 2 2 2
1 ＝sin αsin β＋cos αsin β＋cos β－2
2 2 2 2 2
1 ＝sin β(sin α＋cos α)＋cos β－ 2
2
3．常用角的变换 在和(差)公式中，需分析已知角与已知角、目标角与已知角间 的关系． 常见角的变换有：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； 2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(β＋α)－(β－α)； 2α＋β＝(α＋β)＋α；α＋2β＝(α＋β)＋β； α＋β α＋β α＋β＝ 2 ＋ 2 ，
α－β α＋β β α β α ＝α－2－2－β； ＝α＋2－2＋β 2 2
1 1 ＝ (1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋ (1＋cos 2αcos 2β＋ 4 4 1 1 1 1 cos 2α＋cos 2β)－ cos 2αcos 2β＝ ＋ ＝ . 2 4 4 2
法四 原式＝(sin αsin β－cos αcos β)2＋2sin αsin β· cos αcos β 1 －2cos 2αcos 2β 1 1 ＝cos (α＋β)＋ sin 2αsin 2β－ cos 2αcos 2β 2 2
4 1 【例 2】 已知 α，β 为锐角，cos α＝ ，tan(α－β)＝－ ，求 5 3 cos β 的值．
π π 解 ∵0＜α＜2，0＜β＜2， π π ∴－2＜α－β＜2， 1 π 又 tan(α－β)＝－3，∴－2＜α－β＜0. 1 sinα－β 由 tan(α－β)＝－ ＝ ， 3 cosα－β
高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式课件苏教版必修4
并求其单调减区间．
【精彩点拨】
化简fx 的解析式 → fx＝Asinωx＋φ＋B
→ ωx＋φ的范围 → 求最小值，单调减区间
【自主解答】
f(x)＝5
1＋cos 3· 2
2x＋
1－cos 3· 2
2x－2sin
2x
＝3 3＋2 3cos 2x－2sin 2x
＝3
3＋4
3 2 cos
2x－12sin
2x
第二十四页，共34页。
[再练一题]
3．已知函数 f(x)＝ 3sin2x－π6＋2sin2x－1π2(x∈R)． (1)求函数 f(x)的最小正周期；
(2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合．
【解】 (1)∵f(x)＝ 3sin 2·x－1π2＋1－cos 2x－1π2
＝2
3 2 sin
2x－1π2－12cos
【提示】
降幂公式：sin2α＝1－c2os
2α，cos2α＝1＋c2os
2α .
辅助角公式：asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋θ)，其中 tan θ＝ba.
第二十页，共34页。
求函数 f(x)＝5 3cos2x＋ 3sin2x－4sin xcos x，x∈4π，72π4的最小值，
第二十一页，共34页。
＝3
3＋4sin
π 3cos
2x－cos
π 3sin
2x
＝3 3＋4sin3π－2x
＝3 3－4sin2x－π3，
∵π4≤x≤72π4，
∴π6≤2x－π3≤4π.
∴sin2x－π3∈12， 22.
第二十二页，共34页。
∴当 2x－π3＝π4，即 x＝72π4时， f(x)取最小值为 3 3－2 2. ∵y＝sin2x－3π在π4，274π上单调递增， ∴f(x)在4π，72π4上单调递减．
高中数学2.2几种常见的平面变换2.2.2.2.2几种常见的平面变换恒等变换伸压变换教学案苏教版选修
2. 2.1〜222 恒等变换伸压变换1 •恒等变换矩阵和恒等变换1 0对平面上任何一点（向量）或图形施以矩阵对应的变换，都把自己变成自己. 我们0 1把这种特殊的矩阵称为恒等变换矩阵或单位矩阵（简记为E）,所实施的对应的变换称作恒等变换.2.伸压变换矩阵和伸压变换1 02 0像矩阵 1 , 这种将平面图形作沿y轴方向伸长或压缩，作沿x轴方向伸长或0—012压缩的变换矩阵，通常称做沿y或x轴的垂直伸压变换矩阵；对应的变换称为垂直伸压变换，简称伸压变换.［说明］（1）线段经过伸压变换以后仍然是线段，直线仍然是直线，恒等变换是伸压变换的特例.k 0 （2）将平面图形F作沿x轴方向的伸压变换，其对应的变换矩阵的一般形式是0 11 0（k>。
），沿y轴方向的伸压变换对应的矩阵形式是0 k（k>0）.求点在变换作用下的象高场為点麵粗化-名肺一点就通［对应学生用书P8］1 0［例1］在直角坐标系xOy内矩阵1 2对应的坐标变换公式是什么？叙述这个变换0 2的几何意义，并求出点P（4 , - 3）在这个变换作用下的象P'.［思路点拨］根据矩阵与变换之间的关系求出变换公式，此变换为伸缩变换，然后写出点P在此变换下的象.10［精解详析］由20 2， x ,x x = x=，得2y y2y=y1 X 对应的坐标变换公式为1= 2，这个变换把平面上的点的横坐标缩短到原来的y = 3 4 5yi2,纵坐标伸长到原来的 2倍；当x = 4, y =- 3时，x ' = 2, y ' =- 6，故点P 在这个变换下的象为P （2 , - 6）.把变换与矩阵之间的对应关系理解清楚，用数（即二阶矩阵与列向量的乘法 ）研究形（即变换作用下的象）.形，其中 00,0) , B (2,0) , Q2,2) , D (0,2)O B 、C 、D 在矩阵对应的恒等变换作用下变成自身，即分别为 0' (0,0) , B (2,0) , C (2,2) , D' (0,2)，仍然是正方形 OBCD用下得到曲线F ,求曲线F 的方程.［思路点拨］求曲线F 的方程即求F 上的任意一点的坐标（X o , y o ）满足的关系式.［精解详析］设F （X 0, y 。
高中数学 第三课时：恒等、伸压变换课件 苏教版选修4-2
解： (1 )将 曲 线 C ： yco sx上 每 一 点 的 横 坐 标 变 为 原 来 的 2 倍
（ 纵 坐 标 不 变 ） ， 就 可 得 到 曲 线 C 1 ： yco s1 2x.
恒等变换、伸压变换
复习 什么是变换？
对于平面上的任意一点（x,y）若按照对应法则T，总能对 应惟一的一个平面点（x′,Y′）则称T为一个变换。
T:(x,y) (x,y)
或T
:
x y
x y
T:xyxycaxxdbyy
坐 标 变 换 的 形 式
x x a bx T:yyc dy
矩 阵 乘 法 的 形 式
矩 阵 或 单 位 矩 阵 .
数学应用：
例 1、 求 出 直 角 梯 形 A B C D 在 矩 阵 M = 1 0 1 0 作 用 后 的 图 形 ， 其 中 A (-3,0),B (2,0),C (2， 3),D (-3,2).
EX、在平面直角坐标系下求:
1 0
（1）点A（2，2）在矩阵M= 0
x T1:y
x y
1 0
102xy;
x x 2 0x T2:yy0 1y;
数学建构：
1 像
0
102， 02 10这 样 的 矩 阵 ， 称 为 沿y轴 或x轴 的
垂 直 伸 压 变 换 矩 阵 .
一般地，在直角坐标系xoy内，将每个点的纵坐标变为 原来的k倍（k是非零常数），横坐标保持不变的线性
数学建构：
通过上例可以发现，在变换的T的作用下，ΔABC上 所有点的位置都没有发生改变：
苏教版高中数学高二选修4-22.2.1恒等变换 伸压变换
选修4－2矩阵与变换 2.2.1恒等变换 2.2.2伸压变换编写人： 编号：003学习目标1、 理解可以用矩阵来表示平面中常见的几何变换。
2、 掌握恒等、伸压变换的几何意义及其矩阵表示。
学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：问题：给定一个矩阵,就确定了一个变换,它的作用是将平面上的一个点(向量)变换成另外一个点(向量). 反过来,平面中常见变换是否都可以用矩阵来表示呢? 如果可以,又该怎样表示呢?如：1、已知△ABC, A(2,0), B(-1,0), C(0,2), 它们在变换T作用下保持位置不变, 能否用矩阵M 来表示这一变换?2、将图中所示的四边形ABCD 保持位置不变，能否用矩阵M 来表示？（二）由矩阵M= 确定的变换T M 称为恒等变换，这时称矩阵M 为恒等变换矩阵 或单位矩阵，二阶单位矩阵一般记为 E.平面是任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己.（３）由矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 或M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001)0k (>确定的变换T M 称为（垂直） 变换，这时称矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 或M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001 变换矩阵． 当M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k 时确定的变换将平面图形作沿x 轴方向伸长或压缩,当1k >时伸长,当1k 0<<时压缩.变换T M 确定的变换不是简单地把平面上的点(向量) 沿x 轴方向“向下压”或“向外伸”,它是x 轴方向伸长或压缩,以1k 0<<为例，对于x 轴上方的点向下压缩，对于x 轴下方的点向上压缩，对于x 轴上的点变换前后原地不动．当M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡k 001时确定的变换将平面图形作沿y 轴方向伸长或压缩,当1k >时伸长,当1k 0<<时压缩．在伸压变换之下，直线仍然变为直线，线段仍然变为线段．恒等变换是伸压变换的特例，伸压变换多与三角函数图象的变换联系起来研究．练习1、已知四边形ABCD 的顶点分别为A （-1，0），B （1，0），C （1，1），D （-1，1），四边形ABCD 在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡100a 变换作用下变成正方形，则a ＝（ ）. Ａ、21 Ｂ、2 Ｃ、3 Ｄ、31 2、若直线y=4x-4在矩阵M 对应的伸压变换下变成另一条直线y=x-1，则 M=__________.3、求圆C ：224x y +=在矩阵2001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的伸压变换下的曲线方程，并判断曲线的类型二、课堂训练：例1．求122=+y x 在矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 作用下的图形.例2．已知曲线y ＝sinx 经过变换T 作用后变为新的曲线y ＝sin2x ，画出相关的图象，并求出变换T 对应的矩阵M 。
高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式课件苏教版必修4[1]
![高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式课件苏教版必修4[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/24b7990e9e314332386893ba.png)
利用(lìyòng)公式求值
已知 α 为钝角，β 为锐角，且 sin α＝45，sin β＝1123，
求
α－β cos 2 .
(链接教材 P131 复习题 T7)
[解] ∵α 为钝角，β 为锐角，sin α＝45，sin β＝1123，
∴cos α＝－35，cos β＝153.
22αα＝1.
第十二页，共31页。
方法归纳 对于三角函数式的化简有下面(xià mian)的要求：(1)能求出值的 应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3)使三角函数式中的项数 尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函数．(5)尽量使被开方数不含 三角函数．
第十三页，共31页。
1.化简 cos2(θ＋15°)＋sin2(θ－15°)＋sin(θ＋180°)cos(θ－180°)． 解：原式＝1＋cos（22θ＋30°）＋1－cos（22θ－30°）＋12sin 2θ ＝1＋12[cos(2θ＋30°)－cos(2θ－30°)]＋12sin 2θ ＝1＋12[cos 2θcos 30°－sin 2θsin 30°－(cos 2θcos 30°＋sin 2θsin 30°)]＋12sin 2θ ＝1＋(－sin 2θsin 30°)＋12sin 2θ＝1.
2
Tα：tanα2＝± 2
1－cos 1＋cos
αα，tanα2＝1＋sincoαs
＝1－cos α sin α
α .
第四页，共31页。
3．万能代换公式
2tanα2
1－tan2α2
sin α＝___1_＋__t_a_n_2α2___，cos α＝__1_＋__t_a_n_2_α2___，
α tan α＝1－2tatann22α2.
苏教版数学高二选修4-2矩阵与变换学案第03课时 恒等变换与伸压变换
第03课时 恒等变换与伸压变换一、要点讲解1．恒等变换：2．伸压变换：二、知识梳理1．______________________________称为恒等变换，这时称矩阵M 为__________________，二阶单位矩阵一般记为E ，平面上任何一点（向量）或图形，在恒等变换之下都把自己变为自己．2．_____________________________________________称为（垂直）伸压变换，这时称矩阵M = 001k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦或M = 100k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦伸压变换矩阵． 3．当k > 1时，伸压变换M =001k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦确定的变换，将原来平面图形上的横坐标_________，纵坐标__________；当0 < k < 1时，伸压变换M =001k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦确定的变换，将原来平面图形上的横坐标_____________，纵坐标__________．4．当k > 1时，伸压变换M =100k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦确定的变换，将原来平面图形上的横坐标________，纵坐标_________________；当0 < k < 1时，伸压变换M =100k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦确定的变换，将原来平面图形上的横坐标_________，纵坐标________________________．5．在伸压变换之下，直线仍然变为_________，线段仍然变为___________．6．恒等变换是_______________的特例，伸压变换多与三角函数图象的变换联系起来研究．三、例题讲解例1． 设1100,20201M N ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，试求曲线C ：y = sin x 在矩阵M ，N 对应的变换先后两次作用下得到曲线的方程．例2． 验证圆C ：224x y +=在矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的伸压变换下为一椭圆，并求此椭圆的方程．四、巩固练习1.若矩阵M=0120⎡⎤⎢⎥⎣⎦，向量12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α，11-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦β，求证：()()()λμλμ+=+M M Mαβαβ．2.在平面直角坐标系中xOy中，设椭圆2241x y+=在矩阵2001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M对应的变换作用下得到曲线F，求曲线F的方程．3.若直线y= 5x- 5在二阶矩阵M对应的伸压变换下变成另一条直线y=x- 1，求矩阵M．4.二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)，(－2，1)变换成点(－1，－1)，(0，－2)．(1) 求变换矩阵M．(2) 设直线l在变换作用下得到了直线m：x-y= 4，求直线l的方程．。
苏教版高中数学必修4课件 3.3 几个三角恒等式课件2
αcos
α－
33sin2α
＝12sin
2α－
63(1－cos
2α)＝12sin
2α＋
3 6 cos
2α－
3 6
本 课
＝
1 3
3 2 sin
2α＋12cos
2α－
3 6
时 栏 目
＝
13sin2α＋π6－
3 6.
开 关
由 0<α<3π，得π6<2α＋6π<56π，所以当 2α＋π6＝2π，
即
α＝6π时，S
栏 目
答案
7 25
开
关
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3.3
本 课
1．函数 f(x)＝sinx＋π3＋sinx－π3的最大值是___1___．
时 栏 目
解析 f(x)＝2sin xcos π3＝sin x.
时 栏 目 开 关
研一研·问题探究、课堂更高效
3.3
跟踪训练 3 2002 年在北京召开的国际数学家
大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为
基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一
个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果
本 课
小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中
时 较小的锐角为 θ，那么 cos 2θ 的值等于______．
[典型例题]
例 1 已知 cos α＝13，α 为第四象限角，求 sin α2、cos α2、tanα2.
本
解 sin α2＝±
1－cos 2
α＝±
1－2 13＝± 33，
课
时 栏 目
cos α2＝±
1＋cos 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0 1 和 1 0
1 0
0 1 2
, 求曲线C在σ和ρ变换下曲线C′的方程，并说明曲线的特征.
【解析】设点P(x , y)为曲线C上任意一点，通过变换后对应的点为P′(x′, y′).
1 由 0 x 0 x x ' 1 1 , y y ' y 2 2
对于平面上的任意一点（x,y）若按照对应法则T，总能对应惟一的一个平面 点（x′,Y′）则称T为一个变换。 给定一个矩阵 确定一个变换
作用：把平面上是点（向量）变换成另一个点（向量）.
反过来，平面中常用的变换能否都用矩阵来表示呢？如果可以，又该怎样表示呢？
EX 、在平面直角坐标系下点A(2,0),B(-1,0),C(0,2), 1 0 求在矩阵M= 对应变换下的点A，B，C. 0 1
得 x x ' ，代入 x2+y2=1， 得 x '2 4 y '2 1 , y 2 y' 即曲线C在伸缩变换σ的作用下的曲线C′的方程为 x '2 4 y '2 1 上，中心在坐标原点的椭圆 由 0
1 x y x ' 1 0 y x y '
通过上例可以发现，在变换的T的作用下，ΔABC上所有点的位置都没有发生改变： x x x x x 1 0 x 即：T: = , 或 = y y y y y 0 1 y
1 0 ，2 0 这样的矩阵，称为沿y轴或x轴的 像 0 1 0 1 2 垂直伸压变换矩阵.
一般地，在直角坐标系xoy内，将每个点的纵坐标变为 原来的k倍（k是非零常数），横坐标保持不变的线性
x =x 变换，其坐标变换公式是 y=ky
将每个点的横坐标变为原来的k倍（k是非零常数），纵坐
把一个几何图形变换为与之关于直线y=-x对称的图形；
一般地，称形如这样 M1 , M 2 , M 3 , M 4 , M 5 的矩阵为反 射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换，其中（2）叫 做中心反射，其余叫轴反射.其中定直线叫做反射轴， 定点称为反射点.
例1、求出曲线y x 2 所得的图形.
1 0 ( x 0) 在矩阵M 作用变换下 0 1
1 0 对平面上任意一点（向量）或图形施以矩阵 对应 0 1 的变换，都把自己变为自己，这种特殊的矩阵是恒等变换 矩阵或单位矩阵.
EX、在平面直角坐标系下求: 1 （1）点A（2，2）在矩阵M= 0 0 1 对应变换下的点A. 2
2 0 (2)点A（2，2）在矩阵M= 对应变换下的点A. 0 1 A（2，2） A(2,1) 横坐标不变，纵坐标变为原来的 1 . 2
1 0 M3 0 1
0 1 M4 1 0
0 1 M5 1 0
把一个几何图形变换为与之关于 x 轴对称的图形；
(2)
把一个几何图形变换为与之关于原点对称的图形；
(3)
把一个几何图形变换为与之关于直线y=x对称的图形；
(4)
而点P0在圆C上，则x0 y0 9，代入,
x2 得： y 2 9， 4
x2 y 2 即： 1， 36 9
2 0 1 0 变:A= 为B = 0 2 0 1
1 0 求圆C： 2) ( y 2) 2在矩阵M (x 作用下 0 1 变换的曲线.
其图形为焦点在 x 轴
x y' y x'
y '2 x '2 1
故曲线C在反射变换ρ的作用下的曲线C′的 图形仍为圆心在坐标原点，半径为1的圆
0 作用下 1
解： 设P(x,y)为所求图形上的任意一点，对应圆C上的一点P0 (x 0 ,y0 )，
x 2 0 x0 则 y , y 0 1 0
x 2 x0 , y y0
2 2
x x0 2, y0 y
y
y x2 ( x 0)
1
O -1
y
y 10 x
y lg x ( x 0)
1
y x
2
( x 0)
x
例2.求出曲线
பைடு நூலகம்
y lg x( x 0)
在矩阵
作用下变换得到的曲线.
0 1 M 1 0
1 O
1
x
已知曲线C的方程为
x y
2
2
1
，伸缩变换σ和反射变换ρ的矩阵分别为
1 x.上每一点的纵坐标变为原来的3倍 2 1 （横坐标不变），就可得到曲线C2：y 3cos x. 2
x x x 所以T2： = , y y 3y
1 0 故M 2 . 0 3
2 例3、求出圆C : x 2 y 2 9在矩阵 0 得到的图形及方程.
1 0 其对应的二阶矩阵是 . 0 k
k 0 其对应的二阶矩阵是 . 0 1
标保持不变的线性变换，其坐标变换公式是
x =kx y=y
将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为k2倍（k1， k2是非零正常数)的线性变换，其坐标变换公式是
x =k1 x y=k 2y
k 其对应的二阶矩阵是 1 0
0 . k2
例2、已知曲线C：y cos x经过变换T1作用后变为曲线C1：y cos (1)求变换T1对应的矩阵M 1.
(2)若曲线C1经过变换T2作用后变为新曲线C2：y 3cos 求变换T2 对应的矩阵M 2 . 1 x. 2
1 x. 2
1 x x T1: y y 0 0 x ; 1 y 2
压 伸
B（2，2） B(4, 2) 纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍.
x x 2 0 x T2 : y ; y y 0 1
2 2
y
反思：两个几何图形有何特点？ 思考1：
( x 2) 2 ( y 2) 2 2
(2, 2)
O
(2, 2)
( x 2)2 ( y 2) 2 2
若将一个平面图形F在矩阵 M 的作用变换下 得到关于y轴对称的几何图形，则如何来求出 这个矩阵呢？
x
x x -x T1： y y y
x x 1 0 x 即： y y 0 1 y
1 0 所对应的矩阵M 1 0 1
思考2：我们能否找出其它类似的变换矩阵呢？
(1 )
1 0 M2 0 1
(1)将曲线C：y cos x上每一点的横坐标变为原来的2倍 （纵坐标不变），就可得到曲线C1：y cos
x x 2x 所以T1： = , y y y
(2)将曲线C1：y cos
1 x. 2
2 0 故M 1 . 0 1