概率论考试复习要点第六章
第六章 概率论基础知识
• 事实上，若事件A相对于事件B是独立的，即P(A｜B)=P(A),那么,当
P(A)>0时,有P(B｜A)= 独立的。
P( AB) P( A)
=
P( A) P( B) =P(B)即事件B相对于事件A也是 P( A)
• 若两事件A，B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立。若四对事件
{A,B},{ A ,B},{A, B },{ A , B }中有一对是相互独立的,则另外三对 也是相互独立的。任意两个事件A、B，满足下列条件之一，就称为相 互独立的随机事件： ⑴P(A｜B)=P(A)且P(B)>0； ⑵P(B︱A)=P(B)且P(A)>0。 对任意两个相互独立的事件A、B,有 P(AB)=P(AB)=P(A｜B)P(B)=P(A)P(B)
P A 乙 P 乙
0.08 0.5714 0.14
• 4.随机事件的独立性
设A,B是两个事件,一般而言P(A)P(A｜B),这表示事件B的发生对事件 A的发生的概率有影响,只有当P(A)=P(A｜B)时才可以认为B的发生与 否对A的发生毫无影响,就称两事件是独立的.其直观意义也比较明确: 若无论事件B的发生与否,对事件A的概率都没有影响,那么,事件A对于 事件B是独立的。由于从“A相对于B独立”，推导出“B相对于A独 立”，所以，只要P(A｜B)= P(A)成立,我们就说,A与B是相互独立的。
表6-2 分布计算表
离散型随机变量
X的取值
－1
2
3
X的概率 1／6
1／2
1／3
2.离散随机变量的累积概率
P(X≤x)的概率，称为随机变量X(小于等于x)的累积概率，在例1中，随机 变量X≤2的累积概率为P(X≤2)=2／3。
概率论与数理统计第六章
概率论与数理统计第六章一、估计及其性质“估计”在中文里既可以作名词，也可以作动词。
用英文的话，可以表示成不同的单词：estimate：所谓的“估计”（动词）就是根据样本预测总体分布中的未知参数。
例如，已知总体服从正态分布[公式] ，但总体均值[公式] 未知，我们通过某个函数“估计”总体均值，[公式] 。
estimator：“估计量”（名词）[公式] 实际上是一个统计量，它是通过一个不含未知参数的样本函数计算出来的结果。
一般使用[公式] 表示总体的参数，[公式] 表示参数的估计量。
estimation：“估计法”（名词）表示寻找函数[公式] 的过程，可以理解为一种估计方法。
例如：Maximum Likelihood Estimation，最大似然估计法。
随着样本不同，同一估计法得到的结果可能是不一样的，因此“估计量”也是一个随机变量。
对于同一个参数，有不同的估计方法，而且看起来都是合理的。
如何比较它们的优劣呢？（1）均方误差MSE Mean Square Error评价一个估计量的好坏，很自然地会想到：衡量“估计量”与“真实值”之间的距离，距离越小表示估计量的性能越好。
也就是所谓的“均方误差”函数：[公式] 也就是距离平方的期望值，如果将其进一步展开：[公式]注意：[公式] 和[公式] 均为数值，[公式] 表示参数的真实值，[公式] 表示估计量的数学期望。
由此看见，均方误差由两部分组成：一是估计量的方差（Variances），即[公式] ；二是估计量的系统偏差（Bias）的平方，即[公式] 。
从“马同学”处借来此图，它可以帮助理解“方差”与“偏差”：备注：靶心表示“真实值”，红叉表示“估计值”“方差”衡量估计值的分散程度，“偏差”衡量估计值的期望与真实值的距离。
左上图：估计值落在靶心四周，此时“方差”较大但“偏差”较小；右上图：估计值落在靶心邻近，此时“方差”、“偏差”均较小；左下图：估计值离靶心较远，呈分散状，此时“方差”、“偏差”均较大；右下图：估计值离靶心较远，落点集中，此时“偏差”较大但“方差”较小。
第六章样本及样本函数的分布
∼ t(n −1). .
Sn
177
概率论与数理统计全程学习指导
∑ = ∑ 【评注】 10
1 统计量 σ 2
n
(X i
−
μ)2
和
i =1
(n −1)S2 σ2
1 σ2
n
(X i
−
X )2
的分布在自由度上是
i =1
∑ ∑ 1
有差别的，这是因为在 σ2
n
(X i
−
X )2
中有一个约束条件
X
i =1
=1 n
x(1) ≤ x(2) ≤
≤x (k)
，并假设
x( i )
出现的频数为
ni
，那么
x( i )
出现的频率为
i = 1, 2, , k, k ≤ n . 函数
fi
=
ni n
，
⎧ 0,
⎪
∑ Fn (x)
=
⎪ ⎨
i
fj,
⎪ j=1
⎪⎩ 1,
x < x(1),
x(i) ≤ x < x(i+1), i = 1, 2, , k −1, x ≥ x(k).
③ χ2 分布的性质
10 若 χ2 ∼ χ2 (n) ，则 E(χ2 ) = n ， D(χ2 ) = 2n ；
20
（可加性）若
χ
2
1
∼
χ2 (n1) ，
χ
2
2
∼
χ2 (n2 )
，且
χ
2
1
和
χ
2
2
相互独立，则
χ
2
1
+
χ
2
概率论 第六章 样本及抽样分布
一般，设 x1,x2, …,xn 是总体F的一个容 量为n的样本值，先将x1,x2, …,xn 按自小到 大的次序排列，并重新编号，设为
x(1) ≤x(2) ≤…≤x(n) 则经验分布函数Fn(x)的观察值为
0,
若x x(1) ,
性质：
(1) limf (t)
1
e ; t2 2
n
2
(2)当n 45时 取t (n) Z .
（三）设Ｘ~２(n1), Y~ ２(n2), 且Ｘ 与Ｙ相互独立，则随机变量
F X/ n1 Y / n2
则称F服从第一自由度为n1，第二自由 度为n2的F分布，记作
F~F(n1 ，n2)
F分布的分布密度为
2 2
E( X 2 ) D( X ) (E( X ))2
2 2
n
E(S 2 )
E[ 1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2 ]
E[
1
n
(
n 1 i1
X
2 i
2
n X )]
1
n
E(
n 1 i1
X
2 i
nX
2
)
1 [E( n 1
n i 1
X
2 i
)
E(n X
2
)]
1[ n 1
n i 1
考察某厂生产的电容器
的使用寿命。在这个试验 中什么是总体，什么是个 体。
解 个体是每一个电容器 的使用寿命；总体X是各个 电容器的使用寿命的集合。
2. 样本
为推断总体分布及各种特征，按一定规 则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以 获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样 本中所包含的个体数称为样本容量.
概率论第六章 数理统计的基本概念(2)
15 March 2020
概率论与数理统计
理学院数学系
第六章 数理统计的基本概念
6.3.4 正态总体的抽样分布
第10页
一、单个正态总体的抽样分布
定理6.3.1(抽样分布基本定理)设( X1, X2 ,..., Xn )是来自总体X ~ N (0,1)
的一个样本, 则样本均值X
~
N (0,
1 n
)，样本方差Sn2
满足：nSn2
~
2 (n 1),
并且X 与Sn2 相互独立.
注：
Sn2
1 n
n i 1
(Xi
X )2
为
X 的函数,
但两者独立.
15 March 2020
概率论与数理统计
理学院数学系
第六章 数理统计的基本概念
第11页
推论6.3.1 设 (X1,X2,…,Xn) 是来自总体X~N(μ,σ2) 的一个样本, 则
概率论与数理统计
理学院数学系
第六章 数理统计的基本概念
第13页
例 2: 设 X1, X 2 , , X10 是来自总体 X ~ N(,4) 的样本,
求修正样本方差 Sn*2 大于 2.622 的概率.
解 ：由于
(10 1)Sn*2 ~ 2 (9)
4
P(Sn*2
2.622)
P
9 4
推论6.3.2 设(X1, X2,..., X n )是来自总体X ~ N (, 2 )的
一个样本, X与Sn2分别为其样本均值与样本方差,则
(X )
Sn*
n = X
Sn
n-1 ~ t(n 1)
概率论与数理统计总结之第六章
第六章 统计量及其抽样分布第二节 总体与样本：1.研究对像的全体叫总体,,构成总体的每个成员称为个体总体就是一个分布，而其数量指标就是服从这个分布的随机变量。
从总体中抽样＝从某分布中抽样2.样本:从总体中随机抽取n 个样本，记其指标值为12,....n x x x 则称为12,....n x x x 总体的一个样本，n 称为样本容量，或样本量，样本中的个体称为样品。
样本二重性：a) 样本是随机变量。
用12,,X X …,n X 表示 b) 样本是一组数值。
用12,.....x x在有限总体中进行放回抽样，是独立的随机抽样。
若是不放回的，则是不独立的抽样。
当总体容量Ｎ很大，但样本容量n 很小时（10%≤nN），不放回可近似看作放回抽样，是独立抽样。
简单随机抽样的要求：a) 样本具有随机性。
B)样本要有独立性。
用简单随机抽样方法得到的样本称为简单随机样本，简称样本，样本12,,x x …,n x 可看成是相互独立的具有同一分布的随机变量，其共同分布即为总体分布。
设总体具有分布函数(),F x 12,....n x x x 是取自该总体的容量为n 的样本，则 样本的联合分布函数为： 1 2.1(,....)()==∏nn i i F x x x F x若总体X 具有概率密度为(),f x 则样本的联合密度函数为：12(,......)n f x x x 1().==∏ni i f x若总体X 为离散型随机变量，则样本的联合密度函数为：12(,......)n p x x x 1().===∏ni i P X x通常：样本分布是指多维随机变量的联合分布。
3.样本数据的整理与显示 数据（样本）整理步骤： a) 对样本进行分组。
b) 确定每组组距 c) 确定每组组限d) 统计样本数据落入每个区间的个数——频数。
表格式，图形式1.直方图法 最常用的在组距相等场合常用宽度相等的长条矩形表示，矩形的高低表示频数的大小。
《概率论与数理统计》第六章 讲义
最大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模 型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。 简单而言，假设我们要统计全国人口的身高，首 先假设这个身高服从服从正态分布，但是该分布 的均值与方差未知。我们没有人力与物力去统计 全国每个人的身高，但是可以通过采样，获取部 分人的身高，然后通过最大似然估计来获取上述 假设中的正态分布的均值与方差。
Page 9
Chapter 6 参数估计
ˆ ˆ ( x ,, x ) 定义6.2.1 设 ∈Θ为未知参数， n n 1 n 是 的一个估计量，n 是样本容量，若对任何 一个ε>0，有
ˆ | ) 0 limn P(| n
ˆ 为 参数的相合估计。 则称
n
(6.2.1)
2
ˆ 1/ s 1
s 为样本标准差。这说明矩估计可能是不唯一的， 这是矩法估计的一个缺点，此时通常应该尽量采用 低阶矩给出未知参数的估计。
Page 7
Chapter 6 参数估计
例 6.1.3 x 1 , x 2 , … , x n 是来自 ( a,b ) 上的均匀分布 U(a,b)的样本，a与b均是未知参数，这里k=2， 由于 2
ˆ1 ) 2 , Var( ˆ2 ) 2 / n Var(
ˆ2 比 ˆ1 有效。这表明用全部数据的 显然，只要 n>1， 平均估计总体均值要比只使用部分数据更有效。
Page 20
Chapter 6 参数估计
例6.2.7 均匀总体U(0, )中 的极大似然估计是x(n) n Ex ，由于 x(n)不是 的无偏估计，而是 (n) n ，所以 1 的渐近无偏估计。经过修偏后可以得到 的一个 ˆ n 1 x 。且 无偏估计： 1 (n )
概率论第六章样本及抽样分布
本相互独立，记
1 n1 X Xi n1 i 1 1 n2 Y Yi n2 i 1
则有 ⑴
2 1 2 2 2 1 2 2
1 n1 S12 ( X k X )2 n1 1 k 1 1 n2 2 S2 (Yk Y ) 2 n2 1 k 1
S / ~ F (n1 1, n2 1) S /
⑵ 当 时
2 1 2 2 2
X Y ( 1 2 ) ~ N (0,1) 1 1 n1 n2
(n1 1) S12
2 1
2 (n2 1) S2
2 2
~ 2 (n1 n2 2)
X Y ( 1 2 ) ~ t (n1 n2 2) 1 1 S n1 n2
2
又因为
(n 1)S 2
2
~ (n 1)
2
X n1 X n
故 Y
(n 1) S 2
n n 1 ~ t (n 1) /(n 1)
2
X n1 X n Y S
n ~ t (n 1) n 1
例4
设总体X , Y 相互独立 X ~ N (0,32 ) , Y ~ N (0,32 ) ,
2
X n1 X n n X 1 , X 2 ,, X n , X n1 , 求 Y 的分布 . S n 1 1 n 1 n 2 2 其中 X n X i , S ( Xi X n ) n i 1 n 1 i 1
1 2 解 由已知得 X n1 ~ N ( , ) , X n ~ N ( , ) , n n 1 2 所以 X n1 X n ~ N (0, ) n n 标准化得 X n1 X n ~ N (0,1) n 1
概率论第六章 窄带随机过程
pB (
ut )
1
2
2
exp(
ut
2
2
)
ut 0
可见，窄带高斯过程包络平方的一维概率密度函数 为指数分布。一个重要的特例是σ2=1的情况，此时有
pu (ut )
1 exp( ut ),
2
2
ut
0
其均值为E[ut]=2,方差为D[ut]=4.
§6.5余弦信号与窄带高斯过程之 和的概率分布
一、余弦信号加窄带高斯过程的包络和相位概率分布
类似地，如果一个随机过程的功率谱密度，只分 布在高频载波ω0附近的一个窄频率范围Δω内，在 此范围之外全为零，且满足ω0>>Δω时，则称之为 窄带过程。
一、窄带过程的物理模型和数学模型
一个典型的确定性窄带信号可表示为
x(t) a(t) cos[0t (t)]
其中，a(t)为幅度调制或包络调制信号，Ф(t)为 相位调制信号，它们相对于载频ω0而言都是慢变化的。
根据希尔伯特变换的性质： RXˆ ( ) RX ( )
RXˆX ( ) RXXˆ ( ) RˆX ( )
整理，得 RX ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
同理可以证明 RY ( ) RZ ( )cos0 RˆZ ( )sin0
RX ( ) RY ( )
窄带过程性质的证明
第六章 窄带随机过程
6.1 窄带随机过程的一般概念 6.2希尔伯特变换 6.3 窄带随机过程的性质 6.4窄带高斯随机过程的包络和相位的概率分布 6.5余弦信号与窄带高斯过程之和的概率分布
§ 6.1 窄带随机过程的一般概念
窄带信号的频率或窄带系统的频率响应被限制在 中心频率ω0附近一个比较窄的范围内，而中心频率ω0 又离开零频足够远。
概率论与数理统计第六章
Ch 6 数理统计的基本概念§6.1 基本概念 一、总体与样本1、总体——研究对象的全体，记为X 。
2、个体——构成总体的每一个对象，记为i X 。
3、总体容量——总体中包含的个体的个数。
有限总体——容量有限；无限总体——容量无限。
为推断总体X 的分布，从总体中抽取n 个个体，则对应n 个r.v.n X X X .....2,1——来自于总体X 的一个样本。
n X X X ......,21的取值（（n x x x ,.....,21）--观测结果）称为样本的观测值，简称为样本值，整个抽取过程称之为抽样。
抽取的目的是根据样本的取值情况推断总体情况，因此应尽可能的使抽取的样本能反映总体的状况，故要求抽取的样本具有以下性质：文档收集自网络，仅用于个人学习⑴ 代表性：样本中每个r.v.i X 与总体X 具有相同的分布。
文档收集自网络，仅用于个人学习⑵ 独立性：n X X X ......,21相互独立。
——简单的随机抽样所得的样本称为简单的随机样本；若总体X 的分布函数为F （x ），则样本n X X X .....2,1的联合分布函数)().....,(121*i ni n x F x x x F =∏=。
文档收集自网络，仅用于个人学习若X 为连续型，且d.f 为f(x),且联合p.d.f 为：)()....,(121*i ni n x f x x x f =∏= 若X 为离散型，且分布律为：....2,1,)(===k p x X P k k 则联合分布律：in i i in n i i p p p x X x X x X P ....).....,(212211⋅⋅====。
...2,1.....3,2,1=in i i i 二、统计量Def:不含有任何未知数的关于样本空本空间的函数称为统计量。
e.g.1 设总体X~),(2σμN ，其中2,σμ未知，（n X X X .....2,1）为取自总体X 的一个样本，则：∑∑==--==n i i n i i X X n S X n X 1221)(11,1均为统计量。
概率论与数理统计 --- 第六章{样本及抽样分布} 第四节：抽样分布
P T 1.059
0.15.
例2:
从正态总体N ( , 0.5 )中抽取样本X 1 , , X 10 .
2
数理统计
10 2 （1）已知 0，求概率P X i 4 ; i 1 10 2 （2）未知，求概率P ( X i X ) 2.85 . i 1
S1 和S2 分别是这两个样本的样本方差, 则有:
2 2
(1)
S1
2 2
S2
~ F ( n1 1, n2 1);
2 2
若两方差 1 2，则
S1 1
2 2
2 2
S2 2
~ F ( n1 1, n2 1);
(2)
X Y ( 1 2 ) ( n1 1) S1 ( n2 1) S2
n取不同值时
( n 1) S
2
2
的分布
定理3 (样本均值的分布) 数理统计 设X1, X2, …, Xn是取自正态总体 N(μ, σ2)的样本, 2 X和S 分别为样本均值和样本方差, 则有:
X S n ~ t ( n 1)
证:由定理1、和t分布的定义可得： 2
X ~ N (0,1), ( n 1) S
2) F分布的分位点:
对于给定的， 1, 称满足条件: 0
P F F ( n1 , n2 )
( y )dy
F ( n1 , n2 )
的点F ( n1 , n2 )为F ( n1 , n2 )分布的上 分位点.
F分布的上分位点的性质：
F1 ( n1 , n2 ) 1 F ( n2 , n1 )
概率论 第六章条件数学期望和特征函数
1 ,y 1− x
∈ (x, 1), x ∈ (0, 1)
2 6.8 解 由定理 2.1 知 X |{Y = 63} ∼ N (µ1 + ρ(σ1 /σ2 )(63 − µ2 ), (1 − ρ2 )σ1 ), Y |{X = 1.7} ∼ 2 2 N (µ2 + ρ(σ2 /σ1 )(1.7 − µ1 ), (1 − ρ )σ2 ) 故 2 (a)EY |{X = 1.7} = µ2 + ρ(σ2 /σ1 )(1.7 − µ1 ), Y |{X = 1.7}的标准差为 (1 − ρ2 )σ2 ,
P (Y =y,N =n) P (N =n)
=
βα 1 Γ(n+α) n!Γ(α) (β +1)n+α
f (y,n)dy
=
(β +1)n+α y n+α−1 exp(−(β +1)y ) dy, Γ(α+1)
(β +1)n+α y n+α−1 exp(−(β +1)y ) . Γ(α+1)
6.16 解 (a) 设 Xi 为第 i 个人的等待时间, 则第一个电话的到达时间为 X(1) = min(X1 , X2 , . . . , Xn ), 最后一个电话的到达时间为 X(n) = max(X1 , X2 , · · · , Xn ), 对 ∀x > 0 有 P (X(1) ≤ x) = = = = = = 1 − P (X(1) > x) 1 − P (X1 > x, X2 > x, · · · , Xn > x) 1 − P (X1 > x)P (X2 > x) · · · P (Xn > x) 1 − P (X1 > x)n 1 − [1 − F (x)]n 1 − exp(−nxβ ),
概率论与数理统计6.第六章：样本及抽样分布
),
,
,
,
是来
Z=
(
－
证明统计量 Z 服从自由度为 2 的 t 分布。
14
),
,
,
,
是来 ， ．ຫໍສະໝຸດ 自 总 体 X 的 样 本 ， E( ) 则 ，D( )=
是来自总体 X ，D(X)= ． ，
，D( )=
11
3. 设 , 本 ,E(X)=
, , 为来自总体 X 的样 ,D(X)=9, 为样本均值 , 试用 ＜ ≥ ,
切比雪夫不等式估计 P{ P{ 4.设 , 则当 K= ＞ ≤ , , . 是总体 X
lim f (t ) (t )
n
1 e 2
t2 2
, x
3.分位点 设 T～t(n)， 若对 :0<<1,存在 t(n)>0，
4
满足 P{Tt(n)}=， 则称 t(n)为 t(n)的上侧分位点 注: t1 (n) t (n) 三、F—分布 1.构造 若 1 ~2(n1)， 2~2(n2)，1， 2 独立，则
y0
2. F—分布的分位点 对于 ：0<<1，若存在 F(n1, n2)>0， 满足 P{FF(n1, n2)}=， 则称 F(n1, n2)
5
为 F(n1, n2)的上侧 分位点； 注： F1 (n1 , n2 )
1 F (n2 , n1 )
§ 6.3 正态总体的抽样分布定理
X Y /n ~ t ( n)
t(n)称为自由度为 n 的 t—分布。 t(n) 的概率密度为
n 1 ) 1 t 2 n2 2 f (t ) (1 ) , t n n n ( ) 2 (
概率论考试复习要点第六章
习题6-11、设总体X 的数学期望为μ，X 1，X 1，…，X n 是来自X 的一个样本，12,,...n a a a 是任意常数，验证：11nniiii i a Xa==∑∑（10ni i a =≠∑）是μ的无偏估计量。
解：11111111()()(...)n nni ii i i n nni i i iii i E a X a E a X a a aaμμ=======++=∑∑∑∑∑，所以其是μ的无偏估计量。
2、设总体X ~N （μ，σ 2），X 1，X 1，…，X n 是来自X 的一个样本。
（1）试确定常数c 使21121)(σX X c n i i i 为∑-=+-的无偏估计。
（2）试确定常数c 使22()X cS -是2μ的无偏估计 解：由于∑∑∑-=++-=+-=+-+-=-=-11212111211121]))(()(])([])([n i i i i i n i i i n i i i X X E X X D c X X E c X X c E=∑∑-=-=++-=+=-++11112222111)12()02(])()()([n i n i i i i σn c σcEX EXX D X D c当的无偏估计为时21121)(,)1(21σ∑-=+--=n i i i X X c n c（2）由于2~(,/)X N n μσ，所以2,/EX D X n μσ==，所以2222()()E X DX EX nσμ=+=+而22ES σ=，所以22222[()]E X cS c nσμσ-=+-，要使其为2μ的无偏估计需220c nσσ-=，即1c n=3、设 θ是参数θ的无偏估计量，且有 0D θ>，试证明 2θ不是2θ的无偏估计量。
证 2222()E D E D θθθθθθ=+=+≠， 即 2θ不是2θ的无偏估计量. 注：该题说明：当 θ是未知参数θ的无偏估计时， θ的函数 ()g θ不一定是θ的函数()g θ的无偏估计。
第六章重要知识点简介
第六章概率初步
1感受可能性
一、在一定条件下，有些事情我们事先
能肯定它一定发生，这些事情称为
必然事件。
二、有些事情我们事先能肯定它一定不
会发生，这些事情称为不可能事件。
三、必然事件与不可能事件统称为确定
事件。
四、但是，也有许多事情我们事先无法
肯定它会不会发生，这些事情称为
不确定事件，也称为随机事件。
2频率的稳定性
一、必然事件发生的概率为1；不可能
事件发生的概率为0；不确定事件A
发生的概率P(A)是0与1之间的一个
常数。
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习题6-11、设总体X 的数学期望为μ，X 1，X 1，…，X n 是来自X 的一个样本，12,,...n a a a 是任意常数，验证：11nniiii i a Xa==∑∑（10ni i a =≠∑）是μ的无偏估计量。
解：11111111()()(...)n nni ii i i n nni i i iii i E a X a E a X a a aaμμ=======++=∑∑∑∑∑，所以其是μ的无偏估计量。
2、设总体X ~N （μ，σ 2），X 1，X 1，…，X n 是来自X 的一个样本。
（1）试确定常数c 使21121)(σX X c n i i i 为∑-=+-的无偏估计。
（2）试确定常数c 使22()X cS -是2μ的无偏估计 解：由于∑∑∑-=++-=+-=+-+-=-=-11212111211121]))(()(])([])([n i i i i i n i i i n i i i X X E X X D c X X E c X X c E=∑∑-=-=++-=+=-++11112222111)12()02(])()()([n i n i i i i σn c σcEX EXX D X D c当的无偏估计为时21121)(,)1(21σ∑-=+--=n i i i X X c n c（2）由于2~(,/)X N n μσ，所以2,/EX D X n μσ==，所以2222()()E X DX EX nσμ=+=+而22ES σ=，所以22222[()]E X cS c nσμσ-=+-，要使其为2μ的无偏估计需220c nσσ-=，即1c n=3、设 θ是参数θ的无偏估计量，且有 0D θ>，试证明 2θ不是2θ的无偏估计量。
证 2222()E D E D θθθθθθ=+=+≠， 即 2θ不是2θ的无偏估计量. 注：该题说明：当 θ是未知参数θ的无偏估计时， θ的函数 ()g θ不一定是θ的函数()g θ的无偏估计。
4、设12,,,n X X X 是来自参数为λ的泊松分布总体的样本，求2λ的无偏估计量 解：因为,EX DX λλ==，所以2222()EXD X EX EX λλλ=+=+=+所以22EX EX λ=-，而由于样本的一阶矩和二阶矩是总体的一阶矩和二阶矩的无偏估计，所以取21211,2nii A X A X ===∑,则得2λ的无偏估计量222111nii A A X X nλ==-=-∑4*、设12,,,n X X X 是来自参数为λ的泊松分布总体的样本，试证对任意的常数k ，统计量2(1)kX k S +-是λ的无偏估计量。
证 22((1))(1)E kX k S kEX k ES k k λλλλ+-=+-=+-=（此处利用了X 是E X 的无偏估计，2S 是D X 的无偏估计），所以对任意的2(1)kX k S +-是λ的无偏估计。
5、设12,,,n X X X 是来自参数为,n p 的二项分布总体的样本，求2p 的无偏估计量。
解：因为2,(1)EX np D X np p np np ==-=-， 所以222222()(1)EXDX EX np np n p EX n n p =+=-+=+-所以22(1)EXEXp n n -=-，而由于样本的一阶矩和二阶矩是总体的一阶矩和二阶矩的无偏估计，所以取21211,2nii A X A X ===∑,则得2p 的无偏估计量22211111()()(1)(1)nii p A A X X n n n n n==-=---∑6、设总体服从参数为λ的指数分布，12,,,n X X X 为样本，令12m in{,,,}n Y X X X = ，问常数c 为何值时，才能使cY 为λ的无偏估计。
【可能错误，要改成1/λ 解：（分析，需求出Y 的分布函数及期望） 因为12,,,n X X X 独立同分布于X ，所以1,0()0,x e x F x other λ-⎧->=⎨⎩12(){}(m in{,,,}}1[1()]nY n F x P Y x P X X X x F x =≤=≤=-- =1,00,n x e x otherλ-⎧->⎨⎩所以~()Y e n λ，1E Y n λ=要使cY 为1/λ的无偏估计，则由于1E cY c n λ=，所以11cn λλ=，即c n =。
7、设总体服从参数为θ的指数分布，其分布函数为11,0()0,x e x F x otherθ-⎧⎪->=⎨⎪⎩，θ未知，设12,,,nX X X 为样本，证明：X ，12m in{,,,}n n X X X 都是θ的无偏估计量，并比较那一个更有效。
证：因为11,0~()0,x e x X F x otherθ-⎧⎪->=⎨⎪⎩，所以2,EX D X θθ==，而EX EX θ==，所以X 是θ的无偏估计量； 令12m in{,,,}n Y X X X = ，则12(){}(m in{,,,}}1[1()]nY n F x P Y x P X X X x F x =≤=≤=-- 1,00,nx e x otherθ-⎧⎪->=⎨⎪⎩所以~()nY e θ，所以/E Y n θ=，即12(m in(,,...)n E n X X X EnY θ==，所以是无偏估计量。
又由于2,i i E X D X θθ==，所以221111()nniii i D X D X D Xnnnθ=====∑∑而由于~()n Y e θ，所以22DY n θ=，所以212(m in(,,...)n D n X X X D nY n D Y θ===由于12(m in(,,...)n D X D n X X X ≤，所以X 更有效。
8、设X 1，X 2， X 3， X 4是来自均值为θ的指数分布总体的样本，其中θ未知，设有估计量)(31)(6143211X X X X T +++=5)432(43212X X X X T +++=，4)(43213X X XX T +++=（1）指出T 1，T 2， T 3哪几个是θ的无偏估计量； （2）在上述θ的无偏估计中指出哪一个较为有效。
解：（1）由于X i 服从均值为θ的指数分布，所以E (X i )= θ,D (X i )= θ 2,i=1,2,3,4由数学期望的性质2°，3°有θX E X E X E X E T E =+++=)]()([31)]()([61)(43211 θX E X E X E X E T E 2)](4)(3)(2)([51)(43212=+++= θX E X E X E X E T E =+++=)]()()()([41)(43213 即T 1，T 2是θ的无偏估计量（2）由方差的性质2°，3°并注意到X 1，X 2， X 3， X 4独立，知243211185)]()([91)]()([361)(θX D X D X D X D T D =+++=24321241)]()()()([161)(θX D X D X D X D T D =+++=D (T 1)> D (T 2) 所以T 2较为有效。
9、设总体~(,1)X N m ，12,X X 为样本，试验证：1122133m X X =+，2121344m X X =+，3121122m X X =+都是m 的无偏估计量，并问哪一个估计量的方差更小。
解：因为12,X X 独立同分布于~(,1)X N m ，所以,1i i EX m D X ==， 由于11221()33E m E X X m =+=，所以1m是m 的无偏估计量；同理可验证其余两个。
而112215()339D m D X X m =+=，212149()4416D m D X X m =+= ，312111()222D m D X X m =+=所以312Dm Dm Dm <<10、设~[,1X U θθ+，其中θ未知，12,,,n X X X 为样本，X 为样本均值，(1)12m i n (,,,)n X X X X = 是最小观测值。
证明：（1）112X θ=-和2(1)11X n θ=-+都是θ的无偏估计量。
（2）比较两个估计量的方差，说明哪一个更有效。
证：因为~[,1]X U θθ+，所以211,212E X D X θ+==（1）12E X θ=+，所以11()2E E X θθ=-=，所以112X θ=-是θ的无偏估计量。
下求(1)X 的概率密度。
由于~[,1]X U θθ+，所以0,(),11,1x F x x x x θθθθθ<⎧⎪=-≤<+⎨⎪≥+⎩(1)(1)12(){}{min(,,,)}1[1()]nX n F x P X x P X X X x F x =≤=≤=--当1x θθ≤≤+时，(1)11(1)()(){1[1()]}[1()]()(1)n n n X f x F x F x n F x f x n x θ--''==--=-=+- 所以11(1)1(1)1n E X xn x dx n θθθθ+-=+-=++⎰， 所以2(1)1()1E E X n θθ=-=+ ，所以2(1)11X n θ=-+ 是θ的无偏估计量 （2）由于112D X D X n n ==，所以111()212D D X nθ=-= 下求(1)X 的方差， 由于12212(1)2(1)(1)(1)12n n n EX x n x dx n n θθθθθ+-=+-=+-++++⎰所以2222(1)(1)(1)221[](1)(1)[]121(1)(2)n n n DX EX EX n n n n n θθθ=-=+-++-+=+++++所以2(1)(1)21()1(1)(2)nD D X DX n n n θ=-==+++显然有12D D θθ>11、设从均值为μ，方差为2σ的总体中，分别抽取容量为12,n n 的两独立样本，12,X X 为均值。
试证：对于任意常数,(1)a b a b +=，12Y aX bX =+都是μ的无偏估计，并确定常数,(1)a b a b +=使DY 达到最小。
证：由题意12,E X E X μμ==，所以12()()EY E aX bX a b μμ=+=+=，即12Y aX bX =+都是μ的无偏估计。
而221212,D X D X n n σσ==，所以2221212()()abD Y D aX bX n n σ=+=+，因而，要使DY 达到最小，需22221212(1)abaa t n n n n -=+=+达到最小值，而当112n a n n =+时t 达到最小，所以当121212,n n a b n n n n ==++时DY 达到最小12、设有k 台仪器。