概率论与数理统计课件习题课4-1

解
因为 f ( x ) 是偶函数,
1 1
所以 E ( X ) xf ( x )dx cx(1 x 2 ) d) [ E ( X )]2 E ( X 2 )
cx 2 (1 x 2 ) dx
1
1
1 c c 2 1 1 2 1 x(1 x ) 1 ( 1 x ) dx 2( 1) 2( 1) 1 1 1 1 1 2 2 2 c(1 x ) dx cx (1 x ) dx 1 1 2( 1) 2( 1)
n 1 一般的 P{ X k } ( n k 1) , k 1, 2,, n. 2 n n n 1 n 2 E ( X ) kP{ X k } k ( n k 1) . 2 3 k 1 k 1

π π 2 2 0 0

1 2 cos ( x y ) sin( x y )dxdy 2
1 6
2 . 9
π 2 0
π 3 3 cos x cos x dx 2
例8 设二维连续型随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度
6 2 1 ( x xy ), 0 x 1, 0 y 2, 函数为 f ( x , y ) 7 2 其他 0, 求 ( X ,Y ) 的协方差矩阵及相关系数.
例7 设二维连续型随机变量 ( X ,Y ) 的联合密度 π π 1 sin( x y ), 0 x , 0 y , 函数为 f ( x , y ) 2 2 2 其他 0, 且 Z cos( X Y ), 求 E ( Z ) 和 D( Z ).
解 E( Z )
先计算一个户头的得奖金数 X 的期望.
分布列为
X p
500 100 10 1 1 1 10 4 10 3 10 2
2 0 1 8889 10 10 4
X 的数学期望为
1 1 1 1 E ( X ) 4 500 3 100 2 10 2 10 10 10 10
0.45 (元),
cos( x y ) f ( x , y )dxdy
π π 2 2 0 0



1 cos( x y ) sin( x y )dxdy 2
π 2 0
1 [cos 2 x cos( π 2 x )]dx 0, 2
D( Z ) E ( Z 2 )
X 与 Y 的相关系数 XY
17 5 8 1 , 21 7 7 147
Cov ( X ,Y ) 15 . D( X ) D(Y ) 69
概率论与数理统计
主讲：秦茂玲 手机：13287772827 Email：ml.qin@
第四章 随机变量的数字特征 习 题 课 一、重点与难点
二、主要内容 三、典型例题
一、重点与难点
1.重点
数学期望的性质和计算
方差的性质和计算 相关系数的性质和计算
2.难点
数字特征的计算
二、主要内容
解 E( X )
1 2
x f ( x , y )dxdy

1 12 6 1 6 2 2 3 x ( x xy )dydx x x dx 0 0 7 0 7 2 7 5 , 7
E( X )
2
1 2
0 0

6 2 2 1 39 x ( x xy )dxdy , 7 2 70
D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
2
2
1 q 1 q 2 2 2. p p p
例2 从数字0, 1, 2, …, n中任取两个不同的数字, 求这两个数字之差的绝对值的数学期望. 解 设 X 为所选的两个数字之差的绝对值, 则 X 的所有可能取值为 1, 2, 3,, n, n 1 n 1 P{ X 1} n , P{ X 2} ( n 1) , 2 2
例3 设随机变量 X 取非负整数值 n 0 的概率
AB n 为 pn ,已知 E ( X ) a , 求 A 与 B 的值. n! 解 因为 pn 是 X 的分布列,
B B A P { X n } Ae 1, n! n0 n0



n
得A e B ,
2
39 5 23 故 D( X ) , 70 7 490
6 1 8 2 因为E (Y ) y( x xy )dydx , 0 0 7 2 7 1 2 6 1 34 2 2 2 E (Y ) y ( x xy )dydx , 0 0 7 2 21
xf ( x )dx 1


x f ( x )dx D( X )
2

1 1 于是 D( X ) D( X ), 2( 1) 2( 1) 1 故 D( X ) . 2 3
1 例6 设随机变量 X 的概率密度 f ( x ) 2 , π(1 x ) 求 E[min( X ,1)].
Bn A Bn B E ( X ) nA ABe a , n! n1 ( n 1)! n0
因此 A e a , B a .
例4 某银行开展定期定额有奖储蓄, 定期一年, 定额60元, 按规定10000个户头中, 头等奖一个, 奖 金500元; 二等奖10个, 各奖100元; 三等奖100个, 各奖10元; 四等奖1000个, 各奖2元. 某人买了五个 户头, 他期望得奖多少元? 解 因为任何一个户头获奖都是等可能的,
1 2
34 8 46 故 D(Y ) , 21 7 147
2
E ( XY )
1 2
0 0

6 1 17 2 xy( x xy )dydx , 7 2 21
故 Cov ( X ,Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
1 23 490 147 . 于是 ( X ,Y ) 的协方差矩阵为 46 1 147 147
解
E ( X ) k q k 1 p
k 1

(其中 q 1 p )
p k q
k 1

k 1
1 p , 2 p (1 q )
E( X ) k q
2 2 k 1

k 1
2 k 1 p k q p k 1

p(1 q ) 1 q 2 , 3 (1 q ) p
买五个户头的期望得奖金额为
E (5 X ) 5 E ( X ) 5 0.45 2.25 (元).
例5
设随机变量 X 的密度函数为 c(1 x 2 ) , 1 x 1, f ( x) ( 0) 其他. 0, 求 E ( X ) 和 D( X ).
方 差
定义
二 维 随 机 变 量 的 数 学 期 望
数学期望
计算 性质
离 散 型
连 续 型
性 质
随机变量函数的 数学期望
协 方 差 与 相 关 系 数
定义 协方差 的性质 相关系数 定理
二、略
三、典型例题
例1 设 X 服从几何分布, 它的分布律为
P{ X k } (1 p)k 1 p, k 1,2,, 求 E ( X ) 和 D( X ).
解
E[min( X ,1)] min( x , 1 ) f ( x )dx


x f ( x )dx f ( x )dx x 1 x 1
1 1 x 1 1 dx dx 2 2 π 1 1 x π x 1 1 x 2 1 x 2 1 1 1 ln 2 . 2 dx 2 dx 0 1 π 1 x π π 2 1 x