【高考总复习】2013高中数学(文)课时作业3-8word版含答案(新人教版)
【高考总复习】高中数学(文)课时作业2-7 word版含答案(新人教版)
一、选择题1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f ⎝⎛⎭⎫14的值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设f (x )＝x a ，则12＝4a ，∴a ＝－12∴f (x )＝∴f ⎝⎛⎭⎫14＝2.答案：B2．设函数f (x ) = 若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪[0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：由得x 0∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：D3．若x ∈(0，1)，则下列结论正确的是( )解析：∵x ∈(0，1)，∴2＞2x ＞1，0＜＜1，lg x ＜0.故选A.答案：A4．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )解析：y ＝是非奇非偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，y ＝3x 是非奇非偶函数，在R 上是增函数．y ＝是奇函数，在R 上是增函数．y ＝lg|x |是偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．故选C.答案：C5．已知函数f (x )＝ 的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，则最小的自然数a 等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：∵f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠0}，∴1－a ＜0，即a ＞1.又∵f (x )在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，∴a －1＝2，即a ＝3.故选D.答案：D二、填空题6．(2012年黄冈模拟)若实数a ，b ，c 满足2a ＋2b ＝2a ＋b ，2a ＋2b ＋2c ＝2a ＋b ＋c ，则c 的最大值是________．答案：7．已知幂函数f (x )＝，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝的定义域为(0，＋∞)，且f (x )在(0，＋∞)上递减，由f (a ＋1)＜f (10－2a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，10－2a ＞0，a ＋1＞10－2a ，故3＜a ＜5.答案：(3，5)8．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1，1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为________．解析：y ′＝(n ＋1)x n ，∴在点(1，1)处切线斜率为k ＝n ＋1，此切线方程为y －1＝(n ＋1)( x －1)．令y ＝0得x n ＝n n ＋1， ∴a n ＝lg n n ＋1，则a 1＋a 2＋…＋a 99 ＝lg ⎝⎛⎭⎫12·23·…·99100＝lg 1100＝－2. 答案：－29．f (x )＝ (n ∈Z)是偶函数，且y ＝f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则n ＝________．解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n 2－3n <0，即0<n <3，又因为f (x )是偶函数，所以n 2－3n 是偶数，只有n ＝1或2满足条件．答案：1或2三、解答题10．已知函数f (x )＝2x －x m 且f (4)＝－72. (1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．解析：(1)∵f (4)＝－72， ∴24－4m ＝－72. ∴m ＝1.(2)f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下： 任取0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1－x 1)－(2x 2－x 2) ＝(x 2－x 1)(2x 1x 2＋1)． ∵0＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，2x 1x 2＋1＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，f (x )＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减．11．已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4. (1)求f (x )的单调区间；(2)比较f (－π)与f (－22)的大小． 解析：(1)法一：f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4＝1＋(x ＋2)－2， 其图象可由幂函数y ＝x －2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，如图，所示该函数在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数．法二：f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4＝1＋(x ＋2)－2，设x 1＜x 2，x 1，x 2∈R ，则f (x 2)－f (x 1)＝[1＋(x 2＋2)－2]－[1＋(x 1＋2)－2]＝1（x 2＋2）2－1（x 1＋2）2＝（x 1－x 2）（x 1＋x 2＋4）（x 2＋2）2（x 1＋2）2， 当x 1，x 2∈(－∞，－2)时，f (x 2)－f (x 1)＞0，y ＝f (x )在(－∞，－2)上是增函数，即增区间为(－∞，－2)；当x 1，x 2∈(－2，＋∞)时，f (x 2)－f (x 1)＜0，y ＝f (x )在(－2，＋∞)上是减函数，即减区间为(－2，＋∞)．(2)∵图象关于直线x ＝－2对称，又∵－2－(－π)＝π－2＜－22－(－2)＝2－22， ∴f (－π)＞f (－22)． 12．已知幂函数f (x )的图象过(2，2)点且幂函数g (x )＝xm 2－m －2(m ∈Z)的图象与x 轴、y轴都无公共点，且关于y轴对称．(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)当x为何值时①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x)．解析：(1)设f(x)＝xα，∵其图象过(2，2)点，故2＝(2)α，∴α＝2，即f(x)＝x2.∵g(x)的图象与x轴、y轴无交点，∴幂函数的指数m2－m－2≤0，即－1≤m≤2.又∵m∈Z，∴m＝－1，0，1，2，当m＝－1，或2时，g(x)＝x0，当m＝0，1时，g(x)＝x－2；(2)不论m为何值，当x＞1，或x＜－1时，f(x)＞g(x)；当x＝±1时，f(x)＝g(x)；当－1＜x＜1且x≠0时，f(x)＜g(x)．。
高三数学文科 课时作业(含答案) (2)
1．三视图如图的几何体是( )A．三棱锥 B．四棱锥C．四棱台 D．三棱台3．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )A.a2 B．2a2C.a2D.a24.(2009年高考福建卷)如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是( )5.(2009年高考全国卷Ⅱ)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北．现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是( ) A．南 B．北C．西 D．下解析：选B.如图所示．7．如图所示为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由__________块木块堆成．8.(2010年温州模拟)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C-ABD，其正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为 .9．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线长是10 cm，则圆锥的母线长为________cm.10．一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长．11.已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝2AB＝4.根据已经给出的此四棱锥的正视图，画出其俯视图和侧视图．解：12．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．解：如图①、②所示的实际图形和直观图．由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D ′⊥A′B′于D′，则C′D′＝O′C′＝a.∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.。
【高考总复习】2013高中数学(文)课时作业x4-4-2word版含答案(新人教版)
一、填空题1．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1－22ty ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为：( )A ．1B ．－1 C.22D ．－22解析：直线l 的参数方程可化为⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos 3π4，y ＝2＋t sin 3π4，故直线的斜率为tan 3π4＝－1.答案：B2．参数方程⎩⎨⎧x ＝1ty ＝1tt 2－1(t 为参数)所表示的曲线是( )解析：由y ＝1tt 2－1⇒t 2y 2＝t 2－1，把t ＝1x代入，得x 2＋y 2＝1.由于t 2－1≥0得t ≥1或t ≤－1，当t ≥1时，得0＜x ≤1且y ≥0，当t ≤－1时，－1≤x ＜0且y ≤0，故选D.答案：D二、填空题3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)化成普通方程为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，(α为参数)∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α ①y －1＝sin α ②(α为参数) ①2＋②2得x 2＋(y －1)2＝1，此即为所求普通方程． 答案：x 2＋(y －1)2＝14．已知圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________．解析：圆C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，直线l 的直角坐标方程为y ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －2＝1，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故直线l 与圆C 的交点的直角坐标为(－1,1)，(1,1)． 答案：(－1,1)，(1,1)5．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t2y ＝4t －3(t 为参数)与x 轴交点的坐标是________．解析：令y ＝0，得t ＝34，代入x ＝1＋t 2，得x ＝2516，交点为(2516，0)．答案：⎝⎛⎭⎫2516，06．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t sin 40°y ＝－1＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________．解析：将参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos 50°，y ＝－1＋t sin 50°，得直线的倾斜角为50°.答案：50°7．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝－2＋sin θ (θ为参数)没有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析：把圆的参数方程化成普通方程为 (x －1)2＋(y ＋2)2＝1， 由已知直线与圆相离， ∴|3×1＋4×－＋m |5＞1，解得m ＜0或m ＞10.答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)．8．动点M (3cos θ－4sin θ，125cos θ＋95sin θ)(θ为参数)的轨迹的普通方程为________． 解析：设动点M 的坐标为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ－4sin θ，y ＝125cos θ＋95sin θ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ－4sin θ， ①53y ＝4cos θ＋3sin θ， ②①2＋②2得x 2＋259y 2＝25， ∴x 225＋y 29＝1. 答案：x 225＋y 29＝19．(2011年广东)已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R)，它们的交点坐标为________．解析：消去参数θ得曲线方程为x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1)，表示椭圆的一部分．消去参数t 得曲线方程为y 2＝45x ，表示抛物线，可得两曲线有一个交点，联立两方程，解得交点坐标为(1，255)． 答案：(1，255)二、解答题10．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解析：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3x －，x 2＋y 2＝1.解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0. A 点坐标为(sin 2 α，－cos αsin α)． 故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12sin 2 α，y ＝－12sin αcos α.(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎫x －142＋y 2＝116. 故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎫14，0，半径为14的圆． 11．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解析：(1)直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t (t 为参数)．(2)把直线⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t 代入x 2＋y 2＝4，得(1＋32t )2＋(1＋12t )2＝4， 化简得t 2＋(3＋1)t －2＝0，所以t 1t 2＝－2，则点P 到A ，B 两点的距离之积为2.12．(2011年辽宁)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ∶θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明，C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1.当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积． 解析：(1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形． 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为x ′＋2xx ′－x2＝25.。
【高考总复习】高中数学(文)课时作业7-3 word版含答案(新人教版)
一、选择题1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是() A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：当l⊥m，m⊂α时，l可能在平面α内，也可能平行平面α或与平面α相交．故A 不对；因为两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于该平面，故B正确；当l∥α，m⊂α时，l∥m或l与m异面，故C不对；当l∥α，m∥α时，l∥m或l与m 相交或l与m异面，故D不对．答案：B2．(2012年烟台二模)已知直线m、n、l不重合，平面α、β不重合，下列命题正确的是() A．若m⊂β，n⊂β，m∥α，n∥α，则α∥βB．若m⊂β，n⊂β，l⊥m，l⊥n，则l⊥βC．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nD．若m⊥α，m∥n，则n⊥α解析：由两平面平行的判定定理知，A不正确；由线面垂直的判定定理知．B不正确；由平面垂直的性质定理知，C不正确，故选D.答案：D3．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：如图，可补成一个正方体，∴AC1∥BD1.∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形，∴∠A1BD1＝60°.∴BA1与AC1成60°的角．答案：C4．如图，已知E 、F 分别为正四面体ABCD 所在棱的中点，则异面直线AC 与EF 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：如图，取BC 中点G ，连结EG ，FG ，则∠GEF 为异面直线AC 与EF 所成角，∵EG ＝12AC ＝12BD ＝GF ，又可证AC ⊥BD ， ∴∠EGF ＝90°，则∠GEF ＝45°.答案：B5．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°解析：法一：如右图，取BC 的中点D ，连结AD ，B 1D ，由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1知AD ⊥平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥BC 1，又BB 1BD ＝B 1C 1BB 1＝2知△BB 1C 1∽△DBB 1， ∴∠B 1C 1B ＝∠BB 1D ，因此B 1D ⊥BC 1，∴BC 1⊥平面ADB 1，则BC 1⊥AB 1.法二：如右图，取AB 、BB 1、B 1C 1、BC 的中点D 、E 、F 、G ，连结DE 、EF 、DF 、FG 、DG ，设AB ＝1可求出DG ＝12，GF ＝22， 可证明FG ⊥平面ABC ，在Rt △DGF 中DF 2＝DG 2＋GF 2＝34，又可求出DE ＝12AB 1＝64， EF ＝12BC 1＝64，在△DEF 中DF 2＝DE 2＋EF 2， ∴∠DEF ＝90°即AB 1⊥C 1B .法三：设AB ＝a ，AC ＝b ，AA 1→＝c ，AB 1→＝a ＋c ，BC 1→＝b －a ＋c ，AB 1→·BC 1→＝(a ＋c )·(b －a＋c )＝a ·b －a 2＋a ·c ＋c ·b －c ·a ＋c 2＝12|a |2－a 2＋12|a |2＝0.∴AB 1→⊥BC 1→. 答案：B二、填空题6．如图，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，且PA ＝AC ＝BC ＝a ，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于________． 答案： 27．如图，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有________对．解析：原来的正方体应为右图．其中AB 与CD 、AB 与GH 、EF 和GH 三对异面直线．答案：38．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1、BB 1的中点，则异面直线AM 与CN所成角的余弦值为________．解析：如图，取AB 的中点E ，连B 1E ，则AM ∥B1E ，取EB 的中点F 连FN ，则B 1E ∥FN ，因此AM ∥FN ，连CF ，则直线FN 与CN 所夹锐角或直角为异面直线AM 与CN 所成的角．设AB ＝1，在△CFN 中，CN ＝52，FN ＝54，CF ＝174. 由余弦定理cos ∠CNF ＝CN 2＋FN 2－CF 22CN ·FN ＝25. 答案： 259．在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝BC ，则PC 与AB 所成角的大小为________．解析：取PA 、AC 、CB 的中点分别为E 、F 、G ，连接EF 、FG 、GE .则∠EFG 或其补角为PC 与AB 所成的角，设PA ＝1，则EF ＝12PC ＝22， FG ＝12AB ＝22， EG 2＝EA 2＋AC 2＋CG 2＝32， 在△EFG 中，cos ∠EFG ＝EF 2＋FG 2－EG 22EF ·FG ＝－12， 则∠EFG ＝120°∴PC 与AB 所成角的大小为60°.答案：60°三、解答题10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．解析：(1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD ⊥BC .又BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)设点A 到平面PBC 的距离为h ，∵V A －PBC ＝V P －ABC ， ∴13·S △PBC ·h ＝13·S △ABC ·PD 即，13×22·h ＝13×1×1， ∴h ＝ 2.即点A 到平面PBC 的距离为 2.11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、CC 1的中点，求AE 、BF 所成角的余弦值．解析：如图，取DD 1中点M ，连结AM 、MF 、ME ，由AB 綊CD 綊MF 知四边形ABFM 为平行四边形，∴AM ∥BF ，则AM 与AE 所夹锐角或直角为异面直线AE ，BF 所成的角， 设AB ＝1，则在△AEM 中AE ＝AM ＝52，ME ＝ 2. ∴cos ∠MAE ＝AM 2＋AE 2－ME 22AM ·AE ＝15， 即异面直线AE 、BF 成角的余弦值为15.12．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，平面B 1ED 交A 1D 1于F .(1)指出F 在A 1D 1上的位置，并说明理由；(2)求直线A 1C 与DE 所成的角的余弦值．解析：(1)F 为A 1D 1的中点．(如图)由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知面ABCD ∥面A 1B 1C 1D 1，面B 1EDF ∩面ABCD ＝DE ，面B 1EDF ∩面A 1B 1C 1D 1＝B 1F ，∴B 1F ∥DE ，同理B 1E ∥DF ，∴四边形DEB 1F 为平行四边形，∴B 1F ＝DE ，又A 1B 1＝CD ，∴Rt △A 1B 1F ≌Rt △CDE ，∴A 1F ＝CE ＝12＝12A 1D 1，∴F 为A 1D 1的中点． (2)过点C 作CH ∥DE 交AD 的延长线于H ，连结A 1H ，则A 1C 与DE 所成的角就等于A 1C 与CH 所成的锐角，即∠A 1CH (或其补角)， 由于正方体的棱长为1，E 为BC 中点，∴可求得A 1C ＝3，CH ＝52，A 1H ＝132. 在△A 1CH 中，由余弦定理得cos ∠A 1CH ＝A 1C 2＋CH 2－A 1H 22·CH ·A 1C ＝3＋54－13423×52＝1515， ∴直线A 1C 与DE 所成角的余弦值为1515.。
高考数学总复习高效课时作业8-3文新人教版
一、选择题1．已知两点( － 2，0)， (0 ，2) ，点C 是圆x2＋y2－ 2x＝0 上随意一点，则△面积的最A B ABC 小值是 ()A．3－ 2B．3＋ 223－ 2C．3－2 D.2分析： l AB：x－ y＋2＝0，圆心(1，0)到 l 的距离 d＝|3|＝32，2∴AB边上的高的最小值是3－1.2∴ S△min＝1×(2 2) ×(3－1) ＝3－ 2. ∴选 A.22答案： A2．对于a ∈R，直线 (a－1)x－＋＋1＝0 恒过定点，则以C为圆心，以5为半径的圆的方y a C程为 ()A．x2＋y2－2x＋ 4y＝0B．x2＋y2＋2x＋ 4y＝0C．x2＋y2＋2x－ 4y＝0D．x2＋y2－2x－ 4y＝0分析：直线方程可化为( x＋ 1) a－x－y＋ 1＝ 0，易得直线恒过定点( － 1， 2) ，故所求圆的方程 ( x＋ 1) 2＋ ( y－ 2) 2＝ 5，即为x2＋y2＋ 2x－ 4y＝ 0.答案： C3．已知⊙C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ 0，则F＝E＝ 0 且D＜ 0 是⊙C与y轴相切于原点的() A．充足不用要条件 B ．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件D分析：由题意可知，要求圆心坐标为( －2， 0) ，而D能够大于 0，应选 A.答案： A4．若圆x2＋y2－ax＋ 2y＋ 1＝0 与圆x2＋y2＝ 1 对于直线y＝ x－1对称，过点C(－ a，a)的圆 P 与 y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为()A．y2－ 4x＋ 4y＋ 8＝0B．y2＋ 2x－ 2y＋ 2＝0C．y2＋ 4x－ 4y＋ 8＝0D．y2－ 2x－y－ 1＝ 0分析：由圆x2＋y2－ ax＋2y＋1＝0与圆 x2＋ y2＝1对于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得 a＝2，即点 C(－2，2)，所以过点 C(－2， 2) 且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为( x＋ 2) 2＋ ( y－ 2) 2＝x2，整理即得y2＋4x－4y＋ 8＝0，应选 C.答案： C5．直线l： 4x－ 3y－ 12＝ 0 与x、y轴的交点分别为A、 B， O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为()A． ( x－1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 1B． ( x－1) 2＋ ( y－ 1) 2＝ 1C． ( x－1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 2D． ( x－1) 2＋ ( y＋ 1) 2＝ 2分析： (3 ，0) ， (0 ，－ 4)， (0 ，0)，A B O∴内切圆的半径| OA| ＋| OB| － | AB|r ＝2＝ 1.又圆心为 (1 ，－ 1) ，22∴方程为 ( x－ 1) ＋ ( y＋ 1) ＝1，应选 A.二、填空题6．(2011 年辽宁 ) 已知圆C经过A(5 ，1) ，B(1 ，3) 两点，圆心在x轴上，则C的方程为 ________．分析：依题意设所求圆的方程为：( x－a) 2＋y2＝r2，把所给两点坐标代入方程得，（5－a）2＋1＝r 2，a＝2，22（1－a） 2＋9＝r 2，解得r 2＝10，所以所求圆的方程为( x－ 2)＋ y＝ 10.答案： ( x－ 2) 2＋y2＝107．圆心在原点且与直线x＋ y－2＝0相切的圆的方程为________．分析：依据圆与直线相切可知2＝ 2. r ＝ d＝2∴所求圆的方程为x2＋ y2＝2.答案： x2＋ y2＝28．已知圆心在x 轴上，半径为2的圆位于y轴左边，且与直线＋＝ 0 相切，则圆O的方O x y程是 ________．分析：由题意可设圆O的方程为( x－a) 2＋y2＝ 2( a＜ 0) ，由题意得| a＋ 0|2，＝2即 | a| ＝2，所以a＝－ 2，故所求圆 O的方程为( x＋2)2＋ y2＝2.答案： ( x＋ 2) 2＋y2＝29． (2011 年重庆 ) 设圆C位于抛物线y2＝2x 与直线 x＝3所围成的关闭地区( 包括界限 ) 内，则圆C的半径能取到的最大值为________．分析：C需圆与抛物线及直线x ＝ 3 同时相切，设圆心的坐标为 ( a ， 0)( a ＜ 3) ，则圆的方程为 ( x － a ) 2＋ y 2＝(3 － a ) 2，与抛物线方程 y 2＝ 2x 联立得 x 2＋ (2 － 2a ) x ＋ 6a －9＝ 0，由鉴别式＝ (2 － 2a ) 2－ 4(6 a － 9) ＝ 0，得 a ＝4－ 6，故此时半径为 3－(4 － 6) ＝ 6－ 1.答案：6－ 1三、解答题10．如图，圆 C 经过不一样的三点P ( k ，0) 、Q (2 ， 0) 、R (0 ， 1) ，已知圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1，试求圆 C 的方程．分析：设圆 C 的方程为 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0，则 k 、 2 为 x 2＋ Dx ＋F ＝ 0 的两根，∴ k ＋ 2＝－ D ， 2k ＝ F ，即 D ＝－ ( k ＋2) ， F ＝2k ，又圆过 R (0 ， 1) ，故 1＋ E ＋F ＝ 0.∴ E ＝－ 2k － 1.故所求圆的方程为x 2＋ y 2－ ( k ＋ 2) x － (2 k ＋ 1) y ＋2k ＝ 0，k ＋2 2k ＋ 1圆心坐标为(2，2)．∵圆 C 在点 P 处的切线斜率为1，2k ＋ 1∴ k CP ＝－ 1＝ 2－ k ，∴ k ＝－ 3.∴所求圆 C 的方程为 x 2＋ y 2＋x ＋ 5y － 6＝ 0.211．已知以点 C ( t ， t )( t ∈R ， t ≠0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O 、 A ，与 y 轴交于点 O 、 B ，其中 O 为原点．(1) 求证：△ OAB 的面积为定值；(2) 设直线 y ＝－ 2x ＋ 4 与圆 C 交于点 M ， N ，若 OM ＝ ON ，求圆 C 的方程．分析： (1) 证明：设圆的方程为 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＝0，24因为圆心 C ( t ， t ) ，∴ D ＝－ 2t ， E ＝－ t ， 令 y ＝ 0 得 x ＝ 0 或 x ＝－ ＝2 ，∴ (2 t ，0)，D tA44令 x ＝ 0 得 y ＝ 0 或 y ＝－ E ＝ t ，∴ B (0 ， t ) ，1∴ S△OAB＝2| OA|·| OB|14＝2· |2 t | · | t | ＝ 4( 定值 ) ．(2) ∵OM＝ON，∴O在MN的垂直均分线上，而MN的垂直均分线过圆心C，21t 1∴k OC＝2，∴t＝2，解得 t ＝2或 t ＝－2，而当 t ＝－2时，直线与圆C不订交，∴ t ＝2，∴ D＝－4， E＝－2，∴圆 C的方程为 x2＋y2－4x－2y＝0.12． (2011 年课标全国 ) 在平面直角坐标系xOy中，曲线 y＝ x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆 C的方程；(2)若圆 C与直线 x－ y＋ a＝0交于 A， B 两点，且 OA⊥ OB，求 a 的值．分析： (1) 曲线y＝x2－ 6x＋ 1 与y轴的交点为 (0 ，1) ，与x轴的交点为 (3 ＋ 22， 0) ， (3－2 2，0) ．故可设 C的圆心为(3， t )，则有32＋ ( t－ 1) 2＝ (22) 2＋t2，解得 t ＝1.则圆 C的半径为2＋（ t23－1）＝3.所以圆 C的方程为( x－3)2＋( y－1)2＝9.(2)设 A( x1， y1)， B( x2， y2)，其坐标知足方程组x－ y＋ a＝0，（ x－3）2＋（ y－1）2＝9.消去 y，得方程2x2＋(2 a－8) x＋ a2－2a＋1＝0.由已知可得，鉴别式＝56－ 16a－4a2＞ 0.所以 x1，2＝（ 8－2a）± 56－ 16a－ 4a2，4a2－2a＋1进而 x1＋ x2＝4－ a， x1x2＝.①2因为 OA⊥ OB，可得 x1x2＋ y1y2＝0.又 y1＝ x1＋a， y2＝ x2＋ a，所以 2x1x2＋a( x1＋x2) ＋a2＝0. ②由①②得 a＝－1，知足＞1，故a＝－ 1.。
【高考总复习】高中数学(文)课时作业7-7 word版含答案(新人教版)
一、选择题1．下列命题中，正确命题的个数为( )①若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则n 1∥n 2⇔α∥β；②若n 1，n 2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n 1·n 2＝0；③若n 是平面α的法向量，a 与α共面，则n·a ＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①中平面α，β可能平行，也可能重合，结合平面法向量的概念，易知②③④正确，故选C. 答案：C2．在空间直角坐标系O －xyz 中，平面OAB 的法向量为n ＝(2，－2，1)，已知P (－1，3，2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于( ) A ．4 B ．2 C ．3D ．1解析：∵平面OAB 的单位法向量为n 0＝⎝⎛⎭⎫23，－23，13， ∴d ＝|n 0·OP →|＝|－23＋3×⎝⎛⎭⎫－23＋2×13|＝2，故选B. 答案：B3．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为 a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．垂直D ．不能确定解析：分别以C 1B 1、C 1D 1，C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．如图， ∵A 1M ＝AN ＝23a ， ∴M ⎝⎛⎭⎫a ，23a ，a 3， N ⎝⎛⎭⎫23a ，23a ，a ，∴MN →＝⎝⎛⎭⎫－a 3，0，23a . 又C 1(0，0，0)，D 1(0，a ，0)， ∴C 1D 1→＝(0，a ，0)， ∴MN →·C 1D 1→＝0，∴MN →⊥C 1D 1→. ∵C 1D 1→是平面BB 1C 1C 的法向量， 且MN ⊄平面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B4．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( ) A.64 B.104 C.22D.32解析：在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，取A 1C 1中点为D ， 连结AD 、B 1D ，由B 1D ⊥A 1C 1知B 1D ⊥面AA 1C 1C ， 故∠DAB 1为AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角，设棱长为a ， 则B 1D ＝32a ，AB 1＝2a ， ∴Rt △AB 1D 中，sin ∠DAB 1＝B 1D AB 1＝32a2a ＝64.答案：A5．在直角坐标系中，A (－2，3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为( ) A. 2 B ．211 C ．3 2D ．4 2解析：设A 、B 在x 轴上的射影分别为C 、D ，则AC ＝3，BD ＝2，CD ＝5，又AB →＝AC →＋CD →＋DB →，〈AC →，DB →〉＝60°，易求得|AB →|＝211. 答案：B 二、填空题6．设平面α与向量a ＝(－1，2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2，3，1)垂直，则平面α与β的位置关系是________．解析：由题知a ，b 分别为平面α，β的法向量， 又a ·b ＝(－1)×2＋2×3＋(－4)×1＝0， ∴a ⊥b ，∴α⊥β. 答案：垂直7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别为BB 1、CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E的距离为________．解析：取AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图．则 A 1(0，0，1)，E ⎝⎛⎭⎫1，0，12，D (0，1，0)，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0，D 1(0，1，1)． ∴A 1E →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－12，A 1D 1→＝(0，1，0)． 设平面A 1D 1E 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1E →＝0，n · A 1D 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12z ＝0，y ＝0.令z ＝2，则x ＝1.∴n ＝(1，0，2)．又A 1F →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－1，∴点F 到平面A 1D 1E 的距离 d ＝|A 1F →·n ||n |＝|12－2|5＝3510.答案：35108．(2012年四川高考)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．答案：90°9．正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是________．解析：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O －xyz .设 OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ， 则A (a ，0，0)，B (0，a ，0)，C (－a ，0，0)，P ⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a 2，则CA →＝(2a ，0，0)，AP →＝⎝⎛⎭⎫－a ，－a 2，a2，CB ＝(a ，a ，0)， 设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0，1，1)， 则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →|·|n |＝a 2a 2·2＝12，∴〈CB →，n 〉＝60°，∴直线BC 与平面PAC 所成的角为90°－60°＝30°. 答案：30° 三、解答题10．(2012年黄冈模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q为AD 的中点．PA ＝PD ＝AD ＝2.(1)点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，试确定t 的值，使PA ∥平面MQB ； (2)在(1)的条件下，若平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M －BQ －C 的大小．解析：(1)当t ＝13时，PA ∥平面MQB下面证明：若PA ∥平面MQB ，连AC 交BQ 于N ，连MN .如图，由AQ ∥BC 可得，△ANQ ∽△BNC ，∴AQ BC ＝AN NC ＝12∵PA ∥平面MQB ，PA ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面 MQB ＝MN ，∴PA ∥MN∴PM PC ＝AN AC ＝13 即：PM ＝13PC ∴t ＝13.(2)由PA ＝PD ＝AD ＝2，Q 为AD 的中点，则PQ ⊥AD . 又平面PAD ⊥平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD ，连 BD ，四边形ABCD 为菱形，∵AD ＝AB ， ∠BAD ＝60° △ABD 为正三角形， Q 为AD 中点， ∴AD ⊥BQ以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A (1，0，0)，B (0，3，0)，Q (0，0，0)，P (0，0，3)设平面MQB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，可得⎩⎪⎨⎪⎧ n ·QB →＝0 n ·MN →＝0，∵PA ∥MN ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·QB →＝0n ·PA →＝0，⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝0x －3z ＝0 取z ＝1，解得n ＝(3，0，1)取平面ABCD 的法向量QP →＝(0，0，3)设所求二面角为θ， 则cos θ＝|QP →·n ||QP →||n |＝12故二面角M －BQ －C 的大小为60°.11．(2012年四川高考)如图，在三棱锥P －ABC 中，∠APB ＝90°，∠PAB ＝60°，AB ＝BC ＝CA ，平面PAB⊥平面ABC.(1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小；(2)求二面角B－AP－C的大小．解析：解法一：(1)设AB的中点为D，AD的中点为O，连结PO、CO、CD.由已知，△PAD为等边三角形．所以PD⊥AD.又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AD，所以PO⊥平面ABC.所以∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．不妨设AB＝4，则PD＝2，CD＝23，OD＝1，PO＝ 3.在Rt△OCD中，CO＝OD2＋CD2＝13.所以，在Rt△POC中，tan∠OCP＝POCO＝313＝3913.故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan39 13.(2)过D作DE⊥AP于E，连结CE.由已知可得，CD⊥平PAB.根据三垂线定理知，CE⊥PA.所以，∠CED为二面角B－AP－C的平面角．由(1)知，DE＝ 3.在Rt△CDE中，tan∠CED＝CDDE＝233＝2.故二面角B－AP－C的大小为arctan 2.解法二：(1)设AB的中点为D，作PO⊥AB于点O，连结CD.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AD，所以PO⊥平面ABC.所以PO⊥CD.由AB＝BC＝CA，知CD⊥AB.设E 为AC 中点，则EO ∥CD ，从而OE ⊥PO ，OE ⊥AB . 如图，以O 为坐标原点，OB 、OE 、OP 所在直线分别为 x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .不妨设PA ＝2，由已知可得，AB ＝4，OA ＝OD ＝1，OP ＝3，CD ＝2 3. 所以O (0，0，0)，A (－1，0，0)，C (1，23，0)，P (0，0，3)．所以CP →＝(－1，－23，3)，而OP →＝(0，0，3)为平面ABC 的一个法向量． 则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CP →·OP →|CP →|·|OP →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0＋0＋316·3＝34. 故直线PC 与平面ABC 所成的角的大小为arcsin34. (2)由(1)有，AP →＝(1，0，3)，AC →＝(2，23，0)． 设平面APC 的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧n ⊥AP →，n ⊥AC →.⇔⎩⎪⎨⎪⎧n ·AP →＝0，n ·AC →＝0.⇔⎩⎪⎨⎪⎧（x 1，y 1，z 1）·（1，0，3）＝0，（x 1，y 1，z 1）·（2，23，0）＝0. 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋3·z 1＝0，2x 1＋23·y 1＝0.取x 1＝－3，则y 1＝，z 1＝1，所以n ＝(－3，1，1)． 设二面角B －AP －C 的平面角为β，易知β为锐角． 而面ABP 的一个法向量为m ＝(0，1，0)，则 cos β＝⎪⎪⎪⎪n ·m |n |·|m |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪13＋1＋1＝55. 故二面角B －AP －C 的大小为arccos55. 12．(2011湖北)如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合． (1)当CF ＝1时，求证：EF ⊥A 1C ；(2)设二面角C －AF －E 的大小为θ，求tan θ的最小值．解析：(1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系，连接EF ，AF ，则由已知可得 A (0，0，0)，B (23，2，0)，C (0，4，0)， A 1(0，0，4)，E (3，3，0)，F (0，4，1)， 则CA 1→＝(0，－4，4)，EF →＝(－3，1，1)．因为CA 1→·EF →＝0，所以EF ⊥A 1C .(2)设CF ＝λ，(0<λ≤4)，则由(1)得F (0，4，λ)． 设平面AEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )．AE →＝(3，3，0)，AF →＝(0，4，λ)，于是由m ⊥AE →，m ⊥AF →可得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋3y ＝0，4y ＋λz ＝0.取m ＝(3λ，－λ，4)．又由直三棱柱的性质可取侧面A 1C 的一个法向量为n ＝(1，0，0)， 于是由θ为锐角可得cos θ＝|m ·n ||m |·|n |＝3λ2λ2＋4所以tan θ＝λ2＋163λ＝13＋163λ2. 由0<λ≤4，得1λ≥14，即tan θ≥13＋13＝63. 故当λ＝4，即点F 与点C 1重合时，tan θ取得最小值63.。
【高考总复习】2013高中数学(文)课时作业9-2word版含答案(新人教版)
一、选择题1．以下各数中有可能是五进制数的为()A．55B．106 C．732 D．2 134 解析：五进制使用0～4五个数字．答案：D2．当a＝3时，下面的程序段输出的结果是()IF a<10 THENy＝2*aELSEy＝a*aPRINT yA．9 B．3C．10 D．6解析：根据条件3<10，故y＝2×3＝6，故选D.答案：D3．根据下列程序，可知输出的结果S为()I＝1WHILE I<8I＝I＋2S＝2*I＋3WENDPRINT SENDA．17 B．19C．21 D．23解析：当I＝9时，结束循环，此时S＝2×9＋3＝21.答案：C4．程序：a＝12b＝a MOD 10c＝ABS(a－b)d＝SQR(10*c)PRINT dEND运行结果是()A．10 B．0C．11 D．6解析：由于b＝2，c＝10，d＝10×10＝10，故选A.答案：A5．下列程序执行后输出的结果是()n＝5s＝0WHIF s<14s＝s＋nn＝n－1WENDPRINT nENDA．－1 B．0C．1 D．2解析：本题为当型循环结构，对应的程序框图如图．由框图可知，该程序的功能是计算s＝5＋4＋…＋n到首次不小于14的n－1的值，即(s，n)由以下运算得：(0，5)→(0＋5，5－1)→(5＋4，4－1)→(9＋3，3－1)→(12＋2，2－1)所以输出n ＝1.答案：C二、填空题6．下面程序在输入两个值3，24，运行后输出的结果是________．INPUT“a，b＝”；a，bIF b>a THENt＝aa＝bb＝tEND IFa＝a－bb＝a＋bPRINT“a，b＝”；a，bEND解析：输入a＝3，b＝24后，由于b>a，程序通过中间变量t将a与b交换，得a＝24，b＝3，然后计算a－b＝24－3＝21，并将它赋给a，即此时a＝21，再计算a＋b＝21＋3＝24，并将它赋给b，即此时b＝24，故最后输出的结果为a，b＝21，24.答案：a，b＝21，247．阅读下面的程序，并写出a＝3，b＝5时，输出的值a＝____．INPUT a ，b a ＝a ＋b b ＝a －b b ＝(a －b)/2 a ＝(a ＋b)/2 PRINT a END解析：当a ＝3，b ＝5时，赋值语句按顺序执行， ∴a ＝a ＋b ＝8，b ＝8－5＝3，b ＝a －b 2＝8－32＝52，a ＝a ＋b 2＝8＋522＝214.答案：214 8．下面程序输出的结果为________．S ＝1i ＝1WHILE i<＝9S ＝S ＋ii ＝i ＋2WENDPRINT SEND解析：该程序表示的是求S ＝1＋1＋3＋5＋7＋9＝26.答案：269．下图中x 1，x 2，x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分．当x 1＝6，x 2＝9，p ＝8.5时，x 3等于( )A ．11B ．10C ．8D ．7 解析：由于p ＝8.5，6<p <9，根据程序图可知应执行x 1＝x 3，以x 3＋x 22＝8.5，所以x 3＝8.所以选C.答案：C三、解答题10．一球从100 m的高度落下，每次落地后又反跳回原高度的一半，再落下，在第10次落地时，小球共经过的路程是多少？画出程序框图，并写出程序．解析：程序框图如图根据以上程序框图，可设计程序如下：s＝0h＝100i＝1WHILE i<＝10s＝s＋2hh＝h/2i＝i＋1WENDs＝s－100PRINT sEND11．现欲求1＋13＋15＋…＋12n－1的和(其中n的值由键盘输入)，已给出了其程序框图，请将其补充完整并设计出程序．解析：这是一个利用循环结构来解决的求和问题，而且选用的当型循环结构，故①i＝i＋1，②S＝S＋12i－1.程序：INPUT nS＝0i＝0WHILE i<ni＝i＋1S＝S＋1/(2*i－1)WENDPRINT SEND12．设计一个程序将全班50名学生中考试及格者(60分及格)的分数打印出来，并统计及格人数．解析：我们可假定n为1，若n大于50则结束，否则输入G且与60比较，若G≥60，则输出分数，使n的值增加1，继续输入分数G，重复进行．算法程序框图如图所示．程序：n＝1i＝0WHILE n<＝50INPUT“请输入学生成绩”；GIF G≥60i＝i＋1PRINT，GENDn＝n＋1ENDPRINT，i。
【高考总复习】高中数学(文)课时作业1-3 word版含答案(新人教版)
一、选择题1．设p 和q 是两个简单命题，若綈p 是q 的充分不必要条件，则p 是綈q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵綈p ⇒q 但qD ⇒/綈p ，∴綈q ⇒p 但pD ⇒/綈q ，∴p 是綈q 的必要不充分条件，故选B.答案：B2．(2011年安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )A ．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数答案：D3．(2012年湖北卷)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：利用特称命题的否定是全称命题，故答案选B.答案：B 4．(河北省唐山市2012届高三第二次模拟文)已知命题p ：“a ＞b ”是“2a ＞2b ”的充要条件；q ：∃x ∈R ，|x ＋1|≤x ，则( )A ．綈p ∨q 为真命题B ．p ∨q 为真命题C ．p ∧q 为真命题D ．p ∧綈q 为假命题解析：因为y ＝2x 为增函数，所以2a ＞2b ⇔a ＞b ，所以命题p 为真命题；|x ＋1|≤x ⇔－x ≤x ＋1≤x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤x ＋1x ＋1≤x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－12x ∈∅⇔x ∈∅所以命题q 为假命题． 所以p ∨q 为真命题，故选B.答案：B5．已知a ，b 是两个非零向量，给定命题p ：|a ＋b |＝|a |＋|b |，命题q ：∃t ∈R ，使得a ＝tb ，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：本题以平面向量为载体，考查逻辑推理能力，对于命题p ，可知a 与b 同向；对于命题q ，可知a 与b 共线，即同向一定共线，而共线不一定同向，所以选A.答案：A二、填空题6．命题“∀x ∈R ，x 2＋1≥0”的否定是________．解析：因为原命题是全称命题，所以它的否定应为特称命题形式．答案：∃x ∈R ，x 2＋1＜07．已知命题：“∃x ∈[1，2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则a 的取值范围是________．解析：当1≤x ≤2时，8≥x 2＋2x ≥3，如果“∃x ∈[1，2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题应有－a ≤8，所以a ≥－8.答案：a ≥－88．已知命题p ：∃m ∈R ，m ＋1＜0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立，若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．解析：因为p ∧q 为假命题，所以p 、q 中至少有一个为假命题，而命题p ：∃m ∈R ，m ＋1＜0为真命题，所以命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0恒成立必定为假命题，所以Δ＝m 2－4×1≥0，解得m ≤－2或m ≥2，又命题p ：∃m ∈R ，m ＋1＜0为真命题，所以m ＜－1，故综上可知：m ≤－2.答案：m ≤－29．下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a b＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为____________．(把你认为正确结论的序号都填上)解析：①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确；②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；③正确，所以正确结论的序号为①③.答案：①③三、解答题10．已知命题p ：|x 2－x |≥6，q ：x ∈Z ，且“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，求x 的值．解析：∵p 且q 为假，∴p 、q 至少有一命题为假，又“非q ”为假，∴q 为真，从而可知p 为假．由p 为假且q 为真，可得：⎩⎪⎨⎪⎧|x 2－x |<6，x ∈Z ，即⎩⎨⎧x 2－x <6，x 2－x >－6，x ∈Z.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6<0，x 2－x ＋6>0，x ∈Z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <3，x ∈R ，x ∈Z ，故x 的取值为：－1、0、1、2.11．已知a 、b 、c 、d 均为实数，且2bd －c －a ＝0.命题p ：关于x 的二次方程ax 2＋2bx ＋1＝0有实根；命题q ：关于x 的二次方程cx 2＋2dx ＋1＝0有实根；求证：“p 或q ”为真命题．证明：由ax 2＋2bx ＋1＝0，得Δ1＝4b 2－4a ，由cx 2＋2dx ＋1＝0，得Δ2＝4d 2－4c ，又∵2bd －c －a ＝0，∴a ＋c ＝2bd .∴Δ1＋Δ2＝4[b 2＋d 2－(a ＋c )]＝4(b 2＋d 2－2bd )＝4(b －d )2≥0.即Δ1、Δ2中至少有一个大于或等于0.∴ax 2＋2bx ＋1＝0，cx 2＋2dx ＋1＝0中至少有一个方程有实根．∴“p 或q ”为真命题．12．已知c >0，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c恒成立．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题．求c 的取值范围． 解析：由命题p 知：0<c <1.由命题q 知：2≤x ＋1x ≤52， 要使x ＋1x >1c恒成立， 则2>1c ，即c >12. 又由p 或q 为真，p 且q 为假知，p 、q 必有一真一假，当p 为真，q 为假时，c 的取值范围为0<c ≤12. 当p 为假，q 为真时，c ≥1.综上，c 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫c |0<c ≤12或c ≥1.。
【高考总复习】高中数学(文)课时作业7-8 word版含答案(新人教版)
一、选择题1．以下命题中，不正确的命题个数为( )①已知A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0；②若{a ，b ，c }为空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ③若空间向量m 、n 、p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；④对空间任意一点O 和不共线三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R)，则P 、A 、B 、C 四点共面． A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由向量的和运算知①正确．∵a ，b ，c 为空间一个基底，则a ，b ，c 为两两不共线的非零向量． ∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 也为两两不共线的非零向量． 故②正确．命题③显然正确；④中若加入x ＋y ＋z ＝1 则结论正确，故④错误． 答案：A2．对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R)，则x ＋y ＋z ＝1是四点P 、A 、B 、C 共面的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：根据空间向量基本定理进行推导可知，C 正确． 答案：C3．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →＜0，BC →·CD →＜0，CD →·DA →＜0，DA →·AB →＜0，则该四边形为( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．平面四边形D ．空间四边形解析：由已知条件得四边形的四个外角均为钝角，但在平面四边形中任一四边形的外角和都是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．答案：D4．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( ) A ．a 2 B.12a 2 C.14a 2 D.34a 2解析：如图，设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ，∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c ＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案：C5．在空间四边形ABCD 中，若△BCD 是正三角形，且点E 是其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD→等于( ) A ．0 B ．2 BD → C ．2 DE →D ．0 解析：选取基底，AB →＝b ，AC →＝c ，AD →＝d ，则AE →＝13(b ＋c ＋d )，原式＝b ＋12(c －b )－32⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c ＋d 3－d －d ＝0. 答案： D 二、填空题6．正四面体ABCD 棱长为2，E 、F 分别为BC 、AD 中点，则EF 的长为________．解析：|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2[1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°]＝2∴|EF →|＝2∴EF 的长为 2. 答案： 27．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE→＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：OE →＝OA →＋12AD →＝OA →＋12×12(AB →＋AC →)＝OA →＋14×(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝12OA →＋14OB →＋14OC → ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14c8．正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点在底面的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成角是______．解析：如右图，以O 为原点建立空间直角坐标系．设OD ＝SO ＝OA ＝OB ＝OC ＝a ， 则A (a ，0，0)，B (0，a ，0)， C (－a ，0，0)，P ⎝⎛⎭⎫0，－a 2，a2， 则CA →＝(2a ，0，0)，AP →＝⎝⎛⎭⎫－a ，－a 2，a 2，CB →＝(a ，a ，0)，设平面PAC 的法向量为n ，可求得n ＝(0，1，1)， 则cos 〈CB →，n 〉＝CB →·n |CB →|·|n |＝a 2a 2·2＝12， ∴〈CB →，n 〉＝60°，∴直线BC 与平面PAC 所成角为90°－60°＝30°.答案：30°9．已知点A (1，2，1)，B (－1，3，4)，D (1，1，1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|的值是________．解析：设P (x ，y ，z )， ∵AP →＝2PB →，∴(x －1，y －2，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－2－2x ，y －2＝6－2y ，z －1＝8－2z ，∴⎩⎨⎧x ＝－13，y ＝83，z ＝3.∴P (－13，83，3) PD →＝⎝⎛⎭⎫43，－53，－2，∴|PD →|＝773.答案：773三、解答题10．(安徽省“江南十校”2012年3月高三联考)如图，在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABG 、平面ADF 、平面CDE 都与平面ABCD 垂直，且△ABG ，△ADF ，△CDE 都是正三角形． (1)求证：AC ∥EF ；(2)求多面体ABCDEFG 的体积． 解析：(1)证明：以A 点作为坐标原点， 以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直 线为y 轴，过点A 垂直于xAy 平面的直 线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．根据题意可得，A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，E (1，2，3)，F (0，1，3)，G (1，0，3)．∴AC →＝(2，2，0)，FE →(1，1，0)，则AC →＝2FE →， ∴AC →∥FE →，即有AC ∥EF .(2)V 多面体ABCDEFG ＝V 三棱柱ABG －CDE ＋V 四棱锥F －ADEG ＝V 三棱锥ABG －CDE ＋2V 三棱锥D －GEF ＝(12×2×3)×2＋2×[13(12×2×1)×3] ＝23＋233＝833.11．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面边长AB ＝2， AB 1⊥BC 1，点O 、O 1分别是边AC 、A 1C 1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求正三棱柱的侧棱长；(2)若M 为BC 1的中点，试用基向量AA 1→、AB →、AC →表示向量AM →； (3)求异面直线AM 与BC 所成的角．解析：(1)设侧棱长为b ，则A (0，－1，0)，B 1(3，0，b )， B (3，0，0)，C 1(0，1，b )．∴AB 1→＝(3，1，b )，BC 1→＝(－3，1，b )． ∵AB 1⊥BC 1，∴－3＋1＋b 2＝0，∴b ＝2， ∴正三棱柱的侧棱长为 2.(2)AM →＝12(AB →＋AC 1→)＝12(AB →＋AC →＋AA 1→)．(3)BC →＝(－3，1，0)，AM →＝⎝⎛⎭⎫32，32，22，∴BC →·AM →＝－32＋32＋0＝0，∴〈BC →·AM →〉＝90°，即异面直线AM 与BC 所成的角为90°.12．如图所示，以棱长为a 的正方体的三条棱所在 的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点P 在正方体的对角线AB 上，点Q 在棱CD 上．(1)当点P 为对角线AB 的中点时，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ |的最小值； (2)当点P 在对角线AB 上运动，点Q 在棱CD 上运动时，探究|PQ |的最小值． 解析：(1)因为B (0，0，a )，A (a ，a ，0)，P 为AB 的中点，所以P ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2. 又因为Q 在CD 上运动，所以可设Q (0，a ，z 0)，其中z 0∈[0，a ]，因此|PQ |＝⎝⎛⎭⎫a 2－02＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＋⎝⎛⎭⎫a 2－z 02＝⎝⎛⎭⎫z 0－a 22＋a 22， 可知，当z 0＝a 2时，|PQ |取最小值22a .(2)显然，当P 在AB 上运动时，P 到坐标平面xOz 、yOz 的距离相等，且P 在第一卦限，所以可设P (t ，t ， a －t )，t ∈[0，a ]，又Q 在CD 上运动，所以可设Q (0，a ，z 0)，z 0∈[0，a ]， 所以|PQ |＝（t －0）2＋（t －a ）2＋（a －t －z 0）2＝2t 2－2at ＋a 2＋（a －t －z 0）2 ＝（z 0＋t －a ）2＋2⎝⎛⎭⎫t －a 22＋a22， 当且仅当z 0＝t ＝a 2时，|PQ |取最小值22a .。
【高考总复习】高中数学(文)课时作业8-2 word版含答案(新人教版)
一、选择题1．直线x ＋ay ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行的一个必要不充分条件是( )A ．a ＝－1B ．a ＝3C ．a ≠0D ．－1＜a ＜3解析：若两直线平行，则a (a －2)＝1×3，且1×2a ≠(a －2)×6，解得a ＝－1，于是可以推出a ≠0；反之，当a ≠0时，不一定能推出两直线平行，故选C. 答案：C2．若三条直线x －2y ＋3＝0，3x ＋4y －21＝0，2x ＋3y －k ＝0交于一点，则k 的值等于( )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝03x ＋4y －21＝0得交点P (3，3)，代入2x ＋3y －k ＝0得k ＝15.答案：C3．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，直线l 2与l 1关于直线y ＝x 对称，直线l 3⊥l 2，则l 3的斜率为( )A.12 B ．－12C ．－2D ．2解析：由于直线l 1与l 2关于y ＝x 对称，则直线l 2的方程为x ＝2y ＋3，即y ＝12x －32，∴kl 2＝12. 又l 3⊥l 2，∴kl 3＝－1kl 2＝－2. 答案：C4．已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C ，D ，则直线AB 与CD ( ) A ．相交，且交点在第一象限 B ．相交，且交点在第二象限 C ．相交，且交点在第四象限 D ．相交，且交点为坐标原点解析：k AB ＝log 24－log 224－2＝12，k CD ＝lg 4－lg 24－2＝lg 22，因此k AB ＞k CD ，则直线AB 与直线CD 相交．直线AB 的方程为2y ＝x ，直线CD 的方程为2y ＝x lg 2，故两直线的交点为坐标原点． 答案：D5．(2011年北京)已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：设点C (t ，t 2)，直线AB 的方程是x ＋y －2＝0，|AB |＝22，由于△ABC 的面积为2，则这个三角形中AB 边上的高h 满足方程12×22h ＝2，即h ＝2，由点到直线的距离公式得2＝|t ＋t 2－2|2，即|t 2＋t －2|＝2，即t 2＋t －2＝2或者t 2＋t －2＝－2，这两个方程各自有两个不相等的实数根，故这样的点C 有4个． 答案：A 二、填空题6．已知点P 在直线2x －y ＋4＝0上，且到x 轴的距离是到y 轴的距离的13倍，则点P 的坐标是________．解析：设P (a ，b )，则：2a －b ＋4＝0， ∴b ＝2a ＋4. ∴|2a ＋4|＝13|a |，解得：a ＝－125或－127，∴P 点坐标为：(－125，－45)或(－127，47)． 答案：(－125，－45)或(－127，47) 7．经过两条直线2x －3y ＋3＝0，x －y ＋2＝0的交点，且与直线x －3y －1＝0平行的直线一般式方程为________．解析：两条直线2x －3y ＋3＝0，x －y ＋2＝0的交点为(－3，－1)，所以与直线x －3y －1＝0平行的直线为y ＋1＝13(x ＋3)，即x －3y ＝0.答案：x －3y ＝08．已知曲线f (x )＝x sin x ＋1在点(π2，1)处的切线与直线ax －y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x ， ∴f ′(π2)＝1.∴a ＝－1.答案：－19．(广东省肇庆市2012年高中毕业班第一次模拟)如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________． 答案：[43，＋∞)三、解答题10．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0.求分别满足下列条件的a ，b 的值．(1)直线l 1过点(－3，－1)，并且直线l 1与l 2垂直；(2)直线l 1与直线l 2平行，并且坐标原点到l 1，l 2的距离相等． 解析：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)＋(－b )·1＝0，即a 2－a －b ＝0①又点(－3，－1)在l 1上， ∴－3a ＋b ＋4＝0②由①②得a ＝2，b ＝2.(2)∵l 1∥l 2，∴a b ＝1－a ，∴b ＝a1－a ，故l 1和l 2的方程可分别表示为： (a －1)x ＋y ＋4（a －1）a ＝0，(a －1)x ＋y ＋a1－a ＝0， 又原点到l 1与l 2的距离相等． ∴4|a －1a |＝|a 1－a |，∴a ＝2或a ＝23，∴a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.11．直线2x ＋3y －6＝0交x ，y 轴于A ，B 两点，试在直线y ＝－x 上求一点P 1，使|P 1A |＋|P 1B |最小，在y ＝x 上求一点P 2，使||P 2A |－|P 2B ||最大，并求出两个最值及|P 1P 2|的值． 解析：令x ＝0，得y ＝2；令y ＝0，得x ＝3. ∴A (3，0)，B (0，2)，点B 关于y ＝－x 的对称点为B ′(－2，0)， 直线AB ′即x 轴交y ＝－x 于(0，0)，即为P 1点， 因为|P 1B |＋|P 1A |＝|P 1B ′|＋|P 1A |≥|B ′A |， ∴当P 1在直线AB ′上，即AB ′与y ＝－x 相交时， |P 1B |＋|P 1A |最小，最小值为|B ′A |＝3－(－2)＝5. 又B 关于y ＝x 的对称点B ″(2，0)， ||P 2A |－|P 2B ||＝||P 2A |－|P 2B ″||≤|AB ″| ＝3－2＝1，当且仅当P 2，B ″，A 共线(又在y ＝x 上)， 即P 2为直线B ″A (即x 轴)与y ＝x 交点(0，0)时， ||P 2A |－|P 2B ||最大，其值为1， 故P 1，P 2重合，∴|P 1P 2|＝0.12．已知n 条直线：l 1：x －y ＋C 1＝0，C 1＝2且l 2：x －y ＋C 2＝0，l 3：x －y ＋C 3＝0，…，l n ：x －y ＋C n ＝0，其中C 1＜C 2＜C 3＜…＜C n ，这n 条平行直线中，每相邻两条之间的距离顺次为2，3，4，…n . (1)求C n ；(2)求x －y ＋C n ＝0与x 轴、y 轴围成的图形的面积．解析：(1)由已知条件可得l 1：x －y ＋2＝0，则原点O 到l 1的距离d 1＝1，由平行直线间的距离可得原点O 到l n 的距离d n 为1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2，∵C n ＝2d n ，∴C n ＝2·n （n ＋1）2.(2)方程x －y ＋C n ＝0的纵横截距为：C n ，－C n ，∴图形面积为S ＝12(C n )2＝12(2·n （n ＋1）2)2＝n 2（n ＋1）24.。
【高考总复习】高中数学(文)课时作业2-6 word版含答案(新人教版)
一、选择题1．(2011年北京)如果 y ＜0，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x解析：∵∴x ＞y ＞1答案：D2．(2011年安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝⎛⎭⎫1a ，bB ．(10a ，1－b ) C.⎝⎛⎭⎫10a ，b ＋1D ．(a 2，2b ) 解析：由已知，得b ＝lg a .∴2b ＝2 lg a ＝lg a 2即(a 2，2b )在y ＝lg x 的图象上．答案：D3．(2011年重庆)设a ＝ ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a答案：B4．(2011年天津)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解析：a ＝log 23.6＝log 43.62＝log 412.96，∴y ＝log 4x (x ＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96，∴a ＞c ＞b .故选B.答案：B5．(2012年泰安二模)已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－log 3x ，实数a 、b 、c 满足f (a )f (b )f (c )＜0，且0＜a ＜b＜c ，若实数x 0是函数f (x )的一个零点，那么下列不等式中，不可能．．．成立的是( ) A ．x 0＜aB ．x 0＞bC ．x 0＜cD ．x 0＞c 解析：易知f (x )在(0，＋∞)上递减，若x 0＞c ，则0＜a ＜b ＜c ＜x 0，又f (x 0)＝0，∴f (a )＞f (b )＞f (c )＞f (0)＝0，与f (a )f (b )f (c )＜0矛盾，故x 0＞c 不可能成立．答案：D二、填空题6．(2011年江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析：由题意知，函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－12，所以该函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2·t x ， x <2log t （x 2－1）， x ≥2且f (2)＝1，则f (f (5))的值为________． 解析：由f (2)＝1得t ＝3，f (5)＝log 34∈(1，2)，故f (f (5))＝f (log 34)＝2×3log 34＝2×4＝8.答案：88．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b （x ≤0）log c（x ＋19）（x ＞0）的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝________．解析：由题中图象可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，又函数y ＝log c (x ＋19)的图象过点(0，2)， 将其坐标代入可得c ＝13， 所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.答案：1339．已知f (x )＝log a (ax 2－x )(a ＞0，且a ≠1)在区间[2，4]上是增函数，实数a 的取值范围为________．解析：设t ＝ax 2－x ＝a ⎝⎛⎭⎫x －12a 2－14a ， 若f (x )＝log a (ax 2－x )在[2，4]上是增函数，需⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，12a ≥4，16a －4＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，12a ≤2，4a －2＞0，即⎩⎨⎧0＜a ＜1，a ≤18，a ＞14，或⎩⎨⎧a ＞1，a ≥14，a ＞12，∴a ＞1. 所以实数a 的取值范围为(1，＋∞)． 答案：(1，＋∞)三、解答题 10．设函数f (x )＝log 2(a x －b x )，且f (1)＝1，f (2)＝log 212.(1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1，2]时，求f (x )的最大值．解析：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －b ）＝1，log 2（a 2－b 2）＝log 212， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2.(2)f (x )＝log 2(4x －2x )＝log 2[⎝⎛⎭⎫2x －122－14]， ∵u (x )＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14在[1，2]上是增函数， ∴u (x )max ＝⎝⎛⎭⎫22－122－14＝12. ∴f (x )的最大值为log 212＝2＋log 23.11．若函数y ＝(log a x )2－2log a x ＋b (0＜a ＜1)的定义域为[2，4]，值域为[254，8]，求a ，b 的值． 解析：令t ＝log a x ，x ∈[2，4]，又知0＜a ＜1，∴log a 4≤t ≤log a 2＜0，∴y ＝t 2－2t ＋b .由二次函数图象知y ＝t 2－2t ＋b 在[log a 4，log a 2]上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧（log a 4）2－2log a 4＋b ＝8（log a 2）2－2log a 2＋b ＝254⇔⎩⎪⎨⎪⎧4（log a 2）2－4log a 2＋b ＝8（log a 2）2－2log a 2＋b ＝254. 解得log a 2＝－12或log a 2＝76(舍去)．即a ＝14，b ＝5. 12．函数y ＝log a x (x ＞1，a ＞1)图象上有A 、B 、C 三点，横坐标分别为m 、m ＋2、m ＋4.(1)求△ABC 的面积S ＝f (m )；(2)判断S ＝f (m )的单调性和值域．解析：(1)首先作出y ＝log a x (x ＞1，a ＞1)的图象，如图，过A 、B 、C 分别向x 轴作垂线，垂足为A 1、B 1、C 1，则S △ABC ＝S 梯形AA 1B 1B ＋S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C＝12[log a m ＋log a (m ＋2)]×2＋12[log a (m ＋2)＋ log a (m ＋4)]×2－12[log a m ＋log a (m ＋4)]×4 ＝2log a (m ＋2)－log a m －log a (m ＋4)＝log a （m ＋2）2m （m ＋4）. 又log a m ＞0，∴m ＞1.故S ＝f (m )＝log a （m ＋2）2m （m ＋4）(m ＞1)． (2)由f (m )＝log a （m ＋2）2m （m ＋4）＝log a [1＋4m （m ＋4）]， ∵1＋4m （m ＋4）在(1，＋∞)上为减函数， 又a ＞1，故f (m )在(1，＋∞)上为减函数．下面求值域：∵m ＞1，∴m (m ＋4)＝m 2＋4m ＝(m ＋2)2－4＞5.则0＜4m （m ＋4）＜45， 从而有1＜1＋4m （m ＋4）＜95. 又a ＞1，∴0＜log a [1＋4m （m ＋4）]＜log a 95， 即0＜f (m )＜log a 95. 故f (m )的值域为(0，log a 95)．。
【高考总复习】高中数学(文)课时作业7-1 word版含答案(新人教版)
一、选择题1．利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是正方形，④菱形的直观图是菱形，以上结论正确的是() A．①②B．①C．③④D．①②③④解析：因为斜二测画法规则依据的是平行投影的性质，则①②正确；对于③④，只有平行于x轴的线段长度不变，所以不正确，故选A.答案：A2．(2012年日照二模)已知正三棱柱ABC—A′B′C′的主视图和左视图如图所示．设△ABC，△A′B′C′的中心分别是O，O′，现将此三棱柱绕直线OO′旋转，在旋转过程中对应的俯视图的面积为S，则S的最大值为()A．8 B．4C．12 D．16解析：由题中图可知，正三棱柱的高为4，底面正三角形的边长是2.底面一边水平时，俯视图面积最大，此时俯视图一边长为4，另一边长为2，面积为8.选A.答案：A3．(2011北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是()A．32 B．16＋16 2C．48 D．16＋32 2解析：该空间几何体是底面边长为4、高为2的正四棱锥，这个四棱锥的斜高为22，故其表面积是4×4＋4×12×4×22＝16＋16 2.答案：B4．(2011山东)右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是()A．3 B．2C．1 D．0解析：把底面三角形为等腰直角三角形的直三棱柱的一个侧面放在水平面上，当这个直三棱柱的底面三角形的高等于放在水平面上的侧面的宽度就可以使得这个三棱柱的正视图和俯视图符合要求，故命题①是真命题；把一个正四棱柱的一个侧面放置在水平面上即可满足要求，故命题②是真命题；只要把圆柱侧面的一条母线放置在水平面上即可符合要求，故命题③是真命题，选A.答案：A5．(2012年陕西卷)将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为()解析：由长对正，高平齐，宽相等选择B.答案：B二、填空题6．(2011辽宁)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是______．解析：设正三棱柱的底面边长为a，利用体积为23，很容易求出这个正三棱柱的底面边长和侧棱长都是2，所以底面正三角形的高为3，故所求矩形的面积为2 3.答案：237．(2012年安徽卷)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是________．解析：该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱． 几何体的体积是V ＝12×(2＋5)×4×4＝56.答案：568．如图，点O 为正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．解析：空间四边形D ′OEF 在面ABB ′A ′，面DCC ′D ′上的正投影为①，在面ADD ′A ′，面BCC ′B ′上的正投影为②，在面ABCD ，面A ′B ′C ′D ′上的正投影为③，故可能是①②③. 答案：①②③9．(2011天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m 3.解析：由题中三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、宽、高分别为3、2、1；上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3， 所以该几何体的体积为3×2×1＋13π×3＝(6＋π)m 3.答案：(6＋π) 三、解答题10．如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积． 解析：(1)由该几何体的正视图和俯视图 可知该几何体是一个正六棱锥． (2)该几何体的侧视图，如图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a .AD 是正棱锥的高，即AD ＝3a ，所以该平面图形的面积为S ＝12×3a ×3a ＝32a 2.11．已知正三棱锥V －ABC 的正视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的侧视图和直观图； (2)求出侧视图的面积．解析：(1)如图．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，侧视图中VA 为42－⎝⎛⎭⎫23×32×232＝12＝23，∴S△VBC ＝12×23×23＝6.12．(2010年上海卷)如图所示，为了制作一个圆柱 形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计 耗用9.6米铁丝．再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．(1)当圆柱底面半径r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)； (2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．解析：(1)由题意得16r ＋8l ＝9.6(l 为圆柱母线长)， 即2r ＋l ＝1.2，S ＝2πr ·l ＋πr 2＝2πr (1.2－2r )＋πr 2＝－3πr 2＋2.4πr ， 即S ＝3π(－r 2＋0.8r )(0＜r ＜0.6)， 故当r ＝0.4时，S 有最大值， S max ＝3π×(－0.42＋0.8×0.4) ＝1.5072≈1.51(平方米)． (2)当r ＝0.3时，l ＝0.6， 三视图为。
【高考总复习】高中数学(文)课时作业8-7 word版含答案(新人教版)
一、选择题1．(2011年山东)设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是 ( )A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：圆心到抛物线准线的距离为p ，即4，根据已知只要|FM |＞4即可．根据抛物线定义，|FM |＝y 0＋2，由y 0＋2＞4，解得y 0＞2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．答案：C2．(2012年四川卷)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4D ．2 5解析：M (2，y 0)若点M 到该抛物线焦点距离为3，则p2＝1.∴焦点坐标为(p2，0)即(1,0)∴(2－p2)2＋(y 0－0)2＝3即y 20＝8 ∴|OM |＝22＋y 20＝2 3.答案：B3．(2011年课标全国)已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于 A ，B 两点，|AB |＝12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为( ) A ．18 B ．24 C ．36D ．48解析：设抛物线方程为y 2＝2px ，则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，将x ＝p2代入y 2＝2px 可得y 2＝ p 2，|AB |＝12，即2p ＝12，∴p ＝6.点P 在准线上，到AB 的距离为p ＝6，∴△PAB 的面积为12×6×12＝36.答案：C4．(2012年黄冈模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点， 它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( ) A ．有且仅有一条 B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条 D ．不存在解析：由抛物线定义知，|AB |＝3，又抛物线的通径长为4，故满足条件的直线不存在．答案：D5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线 段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点M (x 0，y 0)，则AB 直线方程为y ＝x －p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2y 2＝2px 消去x 得：y 2－2py －p 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2p ，∴y 0＝y 1＋y 22＝p ， ∴p ＝2，∴准线方程为x ＝－p2＝－1.答案：B二、填空题6．若抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点F 倾斜角为60°的直线l 交抛物线于A 、B 两点， 且|AB |＝4.则此抛物线的方程为__________________． 解析：抛物线的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以得直线l 的方程为： y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p2，将其与y 2＝2px (p ＞0)，联立消去y 得：3x 2－5xp ＋34p 2＝0，∴x 1＋x 2＝53p ，又|AB |＝x 1＋x 2＋p . ∴有5p 3＋p ＝4，解得：p ＝32. ∴抛物线方程为：y 2＝3x .答案：y 2＝3x7．如果直线l 过定点M (1，2)，且与抛物线y ＝2x 2有且仅有一个公共点，那么直线l 的 方程为____________．解析：点M 在抛物线上，由题意知直线l 与抛物线相切于点M (1，2)，∴y ′|x ＝1＝4， ∴直线l 的方程为y －2＝4(x －1)， 即4x －y －2＝0.当l 与抛物线相交时，l 的方程为x ＝1.答案：4x －y －2＝0，x ＝18．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1，0)且斜率为3的直线与l 相交于点 A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝MB →，则p ＝________．解析：过M (1，0)直线为y ＝3(x －1)，交准线l 于(－p 2，－3(p2＋1))，∵AM →＝MB →， ∴M 为A 、B 中点，∴B 为(2＋p 2，3(p2＋1))，代入抛物线方程得p ＝2.答案：29．已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF →＝3FB →，则弦AB 的中点到准线的距离为________．解析：如图，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由题意设AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∴x A ·x B ＝1， 又∵AF →＝3FB →， ∴x A ＋3x B ＝4，解得：x A ＝3，x B ＝13，∴AB 的中点M 到准线的距离MN ＝x A ＋x B ＋22＝83.答案：83三、解答题10．(2011年福建)如图，直线l ：y ＝x ＋b 与抛物线C ：x 2＝4y 相切于点A .(1)求实数b 的值；(2)求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．解析：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＝4y 得x 2－4x －4b ＝0，(*)因为直线l 与抛物线C 相切， 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b )＝0. 解得b ＝－1.(2)由(1)可知b ＝－1，故方程(*)为x 2－4x ＋4＝0. 解得x ＝2，代入x 2＝4y ，得y ＝1， 故点A (2，1)．因为圆A 与抛物线C 的准线相切，所以圆A 的半径r 就等于圆心A 到抛物线的准线y ＝－1的距离，即r ＝|1－(－1)|＝2，所以圆A 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.11．(2011年湖南)已知平面内一动点P 到点F (1，0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等 于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2 与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值． 解析：(1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有（x －1）2＋y 2－|x |＝1.化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x ＜0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0(x ＜0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1.因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k .设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得 x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1. 故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB ＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k2＝16.当且仅当k 2＝1k2，即k ＝±1时，AD →·EB →取最小值16.12．(2011年福建)已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R. (1)若以点M (2，0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程； (2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解析：法一：(1)依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0，2)． 从而圆的半径 r ＝|MP |＝（2－0）2＋（0－2）2＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ，所以直线l ′的方程为y ＝－x －m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，消去y 整理得x 2＋4x ＋4m ＝0.Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．(1)当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； (2)当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切． 法二：(1)设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2.依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则 ⎩⎨⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)同解法一．。
【高考总复习】高中数学(文)课时作业3-2 word版含答案(新人教版)
一、选择题1．已知sin α＝23，则cos (π－2α)＝( )A ．－53B ．－19C.19D.53解析：cos (π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝89－1＝－19.答案：B2．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43B.54 C ．－34D.45解析：由于tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1 ＝22＋2－222＋1＝45，故选D.答案：D3．下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°解析：注意到sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，且0°<11°<12°<80°<90°，因此sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°，选C. 答案：C4．(2012年河北省唐山市高三第二次模拟)已知α是第三象限的角，且tan α＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A ．－1010B.1010C ．－31010 D.31010解析：因为tan α＝2，α为第三象限， 所以sin α＝－255，cos α＝－55，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－31010，故选C.答案：C5．若cos 2αsin （α－π4）＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72B ．－12C.12D.72解析：依题意得cos 2α－sin 2α22（sin α－cos α）＝－2(sin α＋cos α)＝－22. 因此sin α＋cos α＝12，选C.答案：C 二、填空题6．已知α是第二象限的角，tan α＝－12，则cos α＝________．解析：∵tan α＝－12，∴sin 2αcos 2α＝14， ∴4sin 2α＝cos 2α， ∴4(1－cos 2α)＝cos 2 α， ∴cos 2α＝45，∵α为第二象限的角，∴cos α＝－255.答案：－2557．(2011年重庆)若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝________．解析：由已知，得sin α＝－1－cos 2α＝－45，因此，tan α＝43.答案：438．(2011年江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________． 解析：因为r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，且sin θ＝－255，所以sin θ＝y r ＝y16＋y 2＝－255，所以θ为第四象限角，解得y ＝－8. 答案：－89．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝________．解析：∵2k π＋π<α<2k π＋3π2，∴4k π＋2π<2α<4k π＋3π. 又cos 2α＝－35，∴2α的终边在第二象限， ∴sin 2α＝45，∴tan 2α＝－43.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝1＋tan 2α1－tan 2α＝1－431＋43＝－17.答案：－17三、解答题10．已知3cos 2(π＋x )＋5cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1.求6sin x ＋4tan 2x －3cos 2(π－x )的值．解析：由条件3cos 2x ＋5sin x ＝1， 即3sin 2x －5sin x －2＝0， ∴sin x ＝－13或sin x ＝2(舍去)，∴cos 2x ＝1－sin 2x ＝89，∴tan 2x ＝18，∴6sin x ＋4tan 2x －3cos 2(π－x ) ＝6sin x ＋4tan 2x －3cos 2x ＝6⎝⎛⎭⎫－13＋4×18－3×89 ＝－256.11．如果sin α·cos α＞0，且sin α·tan α＞0.化简：cosα2·1－sinα21＋sinα2＋cos α2·1＋sinα21－sinα2. 解析：由sin α·tan α＞0，得sin 2αcos α＞0，cos α＞0.又sin α·cos α＞0，∴sin α＞0， ∴2k π＜α＜2k π＋π2(k ∈Z)，即k π＜α2＜k π＋π4(k ∈Z)．当k 为偶数时，α2位于第一象限；当k 为奇数时，α2位于第三象限；∴原式＝cos α2·（1－sin α2）2cos2α2＋cos α2·（1＋sin α2）2cos2α2＝cos α2·1－sin α2|cos α2|＋cos α2·1＋sin α2|cos α2|＝2cos α2|cos α2|＝⎩⎨⎧2 （α2在第一象限时），－2（α2在第三象限时）.12．已知f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫－α＋π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α·tan ()α＋5πtan （－α－π）·sin （α－3π）(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值． 解析：(1)f (α)＝cos α（－sin α）tan α（－tan α）（－sin α）＝－cos α.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α， ∴sin α＝－15，cos α＝－52－15＝－256. ∴f (α)＝256. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.。
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一、选择题1．在地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为β，则山顶的仰角为( ) A ．α＋β B ．α－β C ．β－αD ．α解析：如图，设站在A 处，CD 表示山顶建筑物，C 为山顶，则∠DAC ＝α，∠DAB ＝β， 所以观测山顶的仰角为∠CAB ＝β－α.答案：C2．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度由B 向C 航行，其方位角(∠NBC )为140°.在A 处有一灯塔，其方位角(∠NBA )为110°.在C 处观测灯塔A 的方位角(∠N ′CA )为35°.由B 到C 需航行半小时，则C 到灯塔A 的距离是( )A ．10 6 kmB ．10 2 kmC ．10(6－2) kmD ．10(6＋2) km解析：由已知得∠ABC ＝30°，∠BCA ＝40°＋35°＝75°， ∠A ＝75°.由正弦定理得CA sin ∠ABC ＝BC sin A ，所以CA ＝BC sin ∠ABCsin A ＝20×12sin 75°＝10(6－2)km.答案：C3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( ) A.1762海里/小时 B ．346海里/小时C.1722海里/小时 D ．342海里/小时解析：如图所示，在△PMN 中，PM sin 45°＝MNsin 120°，∴MN ＝68×32＝346，∴v ＝MN 4＝1726(海里/小时)．故选A.答案：A4．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，面积为3，则△ABC 外接圆的半径是( )A.8133B.433C.2393D.393解析：由S ＝12bc sin A ，得3＝12c sin 60°，所以c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝1＋16－2×1×4cos 60°＝13，所以a ＝13， 所以R ＝12·a sin A ＝393.答案：D5．(2011年重庆)若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）2－c 2＝4，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos 60°＝ab ，两式相减得ab ＝43，选A. 答案：A 二、填空题6．轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港O ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是________n mile. 解析：如图，两船航行的时间为t ，则有OA ＝50，OB ＝30.而AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos 120°＝502＋302－2×50×30×(－12)＝2 500＋900＋1 500＝4 900. ∴AB ＝70. 答案：707．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．解析：由题图知，连接OC ，在三角形OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500，∴OC ＝507.答案：5078．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin A ＝____．解析：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，可得B ＝π3，根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，1sin A＝3sinπ3，sin A ＝12.答案：129．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________．解析：如图，∠ADB ＝120°⇒∠ADC ＝60°，S △ADC ＝12AD ·DC ·sin ∠ADC＝12×2CD ×32＝3－3，∴CD ＝2（3－3）3＝2(3－1)．又∵BD ＝12CD ，∴BD ＝3－1.在△ADB 中，由余弦定理可得 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD · cos 120° ＝4＋(3－1)2－2×2×(3－1)×(－12)＝6，∴AB ＝ 6.同理在△ADC 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos 60° ＝4＋4(3－1)2－2×2×2(3－1)×12＝12(2－3)．在△ABC 中，cos ∠BAC ＝＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝6＋24－123－9（3－1）22×6×24－123＝12.∵在△ABC 中，∠BAC ∈(0°，180°)， ∴∠BAC ＝60°. 答案：60° 三、解答题10．(2012年黄冈模拟)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，1.n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，cos 2x4，记f (x )＝m ·n . (1)若f (α)＝32，求cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α的值；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，若f (A )＝1＋32，试判断△ABC 的形状． 解析：f (x )＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin(x 2＋π6)＋12(1)由已知f (α)＝32得sin ⎝⎛⎭⎫α2＋π6＋12＝32，于是α＝4k π＋2π3，k ∈Z ，∴cos(2π3－α)＝cos(2π3－4k π－2π3)＝1.(2)根据正弦定理知：(2a －c )cos B ＝b cos C ⇒(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C⇒2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ⇒cos B ＝12⇒B ＝π3∵f (A )＝1＋32，∴sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6＋12＝1＋32⇒A 2＋π6＝π3或2π3⇒A ＝π3或π而0＜A ＜2π3，所以A ＝π3，因此△ABC 为等边三角形．11．(2011年湖南)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cosC .(1)求角C 的大小； (2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 解析：(1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0，从而sin C ＝cos C . 又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A . 于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos (π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6.因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取得最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2， 此时A ＝π3，B ＝5π12.12．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？解析：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，∴DB ＝AB ·sin ∠DABsin ∠ADB＝5（3＋3）·sin 45°sin 105°＝5（3＋3）·sin 45°sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝103(海里)，又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203海里， 在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．故救援船到达D 点需要1小时．。