2016届内蒙古包头九中高三上学期期中数学试卷(理科)【解析版】

2016届内蒙古包头九中高三上学期期中数学试卷（理科）【解析版】一、选择题（每小题5分，满分60分）1．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}2．已知复数z满足（1﹣i）=2，则z5=( )A．16 B．﹣4+4i C．﹣16 D．﹣16i3．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是( )A．5 B．6 C．7 D．84．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是( )A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( )A．B．C．D．36．在等差数列{a n}中，其前n项和是S n，若S15＞0，S16＜0，则在，，…，中最大的是( )A．B．C．D．7．若6＜a＜10，≤b≤2a，c=a+b，那么c的取值范围是( )A．9≤c≤18 B．15＜c＜30 C．9≤c≤30 D．9＜c＜308．已知函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同实数解的充要条件是( )A．b＜﹣2且c＞0 B．b＞﹣2且c＜0 C．b＜﹣2且c=0 D．b≥﹣2且c=09．若x，y∈[﹣，]，且xsinx﹣ysiny＞0，那么下面关系正确的是( )A．x＞y B．x+y＞0 C．x＜y D．x2＞y210．已知a=，则展开式中，x3项的系数为( )A．B．C．D．11．若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数y=f（x）的图象上；②P和Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数，则此函数的“友好点对”有( )A．0对B．1对C．2对D．3对12．在下面四个图中，有一个是函数f（x）=x3+ax2+（a2﹣1）x+1（a∈R，a≠0）的导函f′（x）的图象，f（﹣1）等于( )A． B． C． D．或二、填空题（每小题5分，满分20分）13．如图，在△ABC中，AH⊥BC于BC于H，M为AH的中点，若=λ+μ，则λ+μ=__________．14．设函数f（x）=x m+ax的导数为f′（x）=2x+1，则数列的前n 项和为__________．15．若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为__________．16．给出下列四个命题：①命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题为假命题；②命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p：∃x0∈R，使sinx0＞1；③“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，使sinx0+cosx0=”；命题q：“若sinα＞sinβ，则α＞β”，那么（￢p）∧q 为真命题．其中正确的序号是__________．三、解答题（满分60分）17．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB，acosA，bcosC成等差数列（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）若a=1，cosB+cosC=，求△ABC的面积．19．已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n；（Ⅲ）设b n=，试求数列{b n}的最大项．20．已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足S n=a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）将数列{a n}的项按上小下大，左小右大的原则排列成一个如图所示的三角形数阵，那么2015是否在该数阵中，若在，排在了第几行第几列？21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．请在下面的三个题中任选一题作答【选修4-1:几何证明选讲】22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．2015-2016学年内蒙古包头九中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，满分60分）1．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为( )A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】计算题；集合．【分析】由题意，2x（x﹣2）＜1，1﹣x＞0，从而解出集合A、B，再解图中阴影部分表示的集合．【解答】解：∵2x（x﹣2）＜1，∴x（x﹣2）＜0，∴0＜x＜2；∴A={x|2x（x﹣2）＜1}=（0，2）；又∵B={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1），∴图中阴影部分表示的集合为[1，2）；故选D．【点评】本题考查了学生的识图能力及集合的化简与运算，属于基础题．2．已知复数z满足（1﹣i）=2，则z5=( )A．16 B．﹣4+4i C．﹣16 D．﹣16i【考点】复数代数形式的混合运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】由已知的等式利用复数代数形式的乘除运算求出，得到z，再由复数代数形式的乘法运算求得答案．【解答】解：∵（1﹣i）=2，∴，则z=1﹣i．∴25=（1﹣i）5=（1﹣i）4（1﹣i）=﹣4（1﹣i）=﹣4+4i．故选：B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是( )A．5 B．6 C．7 D．8【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的S，k的值，当S=126，K=7时不满足条件S ＜100，输出K的值为7．【解答】解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件S＜100，S=2，K=2；满足条件S＜100，S=6，K=3；满足条件S＜100，S=14，K=4；满足条件S＜100，S=30，K=5；满足条件S＜100，S=62，K=6；满足条件S＜100，S=126，K=7；不满足条件S＜100，输出K的值为7．故选：C．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．4．已知，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，则φ的值可以是( )A．B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；运用诱导公式化简求值；图形的对称性．【专题】计算题．【分析】化简函数的表达式，函数y=f（x+φ）的图象关于直线x=0对称，说明是偶函数，求出选项中的一个φ即可．【解答】解：=2sin（x+），函数y=f（x+φ）=2sin（x+φ+）的图象关于直线x=0对称，函数为偶函数，∴φ=故选D．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，运用诱导公式化简求值，图形的对称性，考查计算能力，是基础题．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( )A．B．C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论．【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱锥A﹣BCDE的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，则S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的侧面积的求法，考查计算能力．6．在等差数列{a n}中，其前n项和是S n，若S15＞0，S16＜0，则在，，…，中最大的是( )A．B．C．D．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】计算题．【分析】由题意知a8＞0，a9＜0．由此可知＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，＜0，所以在，，…，中最大的是．【解答】解：由于S15==15a8＞0，S16==8（a8+a9）＜0，所以可得a8＞0，a9＜0．这样＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0，而S1＜S2＜＜S8，a1＞a2＞＞a8，所以在，，…，中最大的是．故选B【点评】本题考查等数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．7．若6＜a＜10，≤b≤2a，c=a+b，那么c的取值范围是( )A．9≤c≤18 B．15＜c＜30 C．9≤c≤30 D．9＜c＜30【考点】不等式的基本性质．【专题】对应思想；综合法；不等式．【分析】由c=a+b，≤b≤2a，得≤c≤3a，然后根据a的取值范围得出答案．【解答】解：∵≤b≤2a，∴≤a+b≤3a即≤c≤3a∵6＜a＜10，∴9＜c＜30．故选D．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．8．已知函数f（x）=，则关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同实数解的充要条件是( )A．b＜﹣2且c＞0 B．b＞﹣2且c＜0 C．b＜﹣2且c=0 D．b≥﹣2且c=0【考点】根的存在性及根的个数判断；充要条件．【专题】计算题；压轴题．【分析】题中原方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有5个不同实数解，即要求对应于f（x）=某个常数有4个不同实数解且必有一个根为0，故先根据题意作出f（x）的简图，由图可知，当f（x）等于何值时，它有四个根．从而得出关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有5个不同实数解．【解答】解：∵题中原方程f2（x）+bf（x）+c=0有且只有5个不同实数解，∴即要求对应于f（x）等于某个常数有4个不同实数解，∴故先根据题意作出f（x）的简图：由图可知，只有当f（x）=0时，它有﹣个根．且f（x）=﹣b时有四个根，由图得：﹣b＞2，∴b＜﹣2．充要条件是b＜﹣2且c=0，故选C．【点评】数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．9．若x，y∈[﹣，]，且xsinx﹣ysiny＞0，那么下面关系正确的是( )A．x＞y B．x+y＞0 C．x＜y D．x2＞y2【考点】函数的单调性与导数的关系；不等式的基本性质．【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】构造函数f（x）=xsinx，判断f（x）在[﹣，]上的增减性和对称性，画出函数草图，结合图象即可得出答案．【解答】解：令f（x）=xsinx，x∈[﹣，]，则f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），∴f（x）是偶函数．∵f′（x）=sinx+xcosx，∴当x∈（0，]时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，]上是增函数，∵f（x）是偶函数．∴f（x）在[﹣，0）上是减函数，且f（0）=0，做出函数f（x）图象如图所示∵xsinx﹣ysiny＞0，即xsinx＞ysiny，∴f（x）＞f（y），由图象可知|x|＞|y|，即x2＞y2．故选D．【点评】本题考查了利用函数单调性和奇偶性比较大小，属于基础题．10．已知a=，则展开式中，x3项的系数为( )A．B．C．D．【考点】二项式系数的性质；定积分．【专题】计算题；二项式定理．【分析】求定积分可得a的值，求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的x3的系数．【解答】解：a=dx=﹣sinx=﹣1，则二项式的展开式的通项公式为T r+1=﹣•（）r•x9﹣2r，令9﹣2r=3，求得r=3，∴展开式中x3项的系数为﹣•=﹣，故选：C【点评】本题主要考查求定积分，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．11．若直角坐标平面内的两个点P和Q满足条件：①P和Q都在函数y=f（x）的图象上；②P和Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数，则此函数的“友好点对”有( )A．0对B．1对C．2对D．3对【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【专题】压轴题；新定义；函数的性质及应用．【分析】根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可．【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x2﹣4x，则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x＞0）的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数．如图，观察图象可得：它们的交点个数是：2．即f（x）的“友好点对”有：2个．故答案选C．【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．12．在下面四个图中，有一个是函数f （x ）=x 3+ax 2+（a 2﹣1）x+1（a ∈R ，a ≠0）的导函f ′（x ）的图象，f （﹣1）等于( )A ．B ．C ．D ．或【考点】导数的加法与减法法则． 【专题】导数的概念及应用．【分析】求函数的导数，确定f ′（x ）的图象，即可确定a 的值．【解答】解：函数的f （x ）的导数f ′（x ）=x 2+2ax+（a 2﹣1）=[x+（a ﹣1）][x+（a+1）]， 则f ′（x ）的图象开口向上，排除（2）（3），若是（1）则，对称轴关于y 轴对称，则2a=0，即a=0，与条件矛盾，排除（1）， 则对应的图象应为（4），则函数过原点，则小根为﹣a ﹣1=0，解得a=﹣1，则f （x ）=x 3﹣x 2+（a 2﹣1）x+1，即f （﹣1）=﹣﹣1+1=， 故选：B【点评】本题主要考查函数图象的确定，以及导数的基本运算．二、填空题（每小题5分，满分20分）13．如图，在△ABC 中，AH ⊥BC 于BC 于H ，M 为AH 的中点，若=λ+μ，则λ+μ=．【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【专题】计算题．【分析】根据=（+）= [+x （﹣）]= [（1+x ）﹣x]，可得1+x=2λ，2μ=﹣x ，由此求出λ+μ的值．【解答】解：∵=（+）= [+x （﹣）]= [（1+x ）﹣x]1+x=2λ，2μ=﹣x ，∴λ+μ=． 故答案为：．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得1+x=2λ，2μ=﹣x ，是解题的关键．14．设函数f（x）=x m+ax的导数为f′（x）=2x+1，则数列的前n项和为．【考点】数列的求和．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意求出数列通项，观察通项特点，裂项求和．【解答】解：∵f'（x）=（x m+ax）′′=mx m﹣1+a=2x+1，∴m=2，a=1，∴f（x）=x2+x，∴数列的前n项和为=（）+（）+…+（）==故答案为：【点评】若数列的通项公式为型时，可首先考虑裂项相消求和．15．若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=4，则实数t的值为2．【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意f（x）=t+g（x），其中g（x）=是奇函数，从而2t=4，即可求出实数t的值．【解答】解：由题意，f（x）==t+，显然函数g（x）=是奇函数，∵函数f（x）最大值为M，最小值为N，且M+N=4，∴M﹣t=﹣（N﹣t），即2t=M+N=4，∴t=2，故答案为：2．【点评】本题考查函数的最大值、最小值，考查函数是奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．给出下列四个命题：①命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题为假命题；②命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p：∃x0∈R，使sinx0＞1；③“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，使sinx0+cosx0=”；命题q：“若sinα＞sinβ，则α＞β”，那么（￢p）∧q 为真命题．其中正确的序号是②③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；简易逻辑．【分析】①可由互为逆否命题的等价性，先判断原命题的真假；②由含有一个量词的命题的否定形式，即可判断；③运用诱导公式，以及余弦函数为偶函数，即可判断；④首先判断命题p，q的真假，再由复合命题的真假，即可判断．【解答】解：①命题“若α=，则tanα=1”为真命题，由互为逆否命题的等价性可知，其逆否命题是真命题，故①错；②命题p：∀x∈R，sinx≤1．则￢p：∃x0∈R，使sinx0＞1，故②对；③函数y=sin（2x+φ）为偶函数，由诱导公式可知，φ=+kπ（k∈Z），反之成立，故③对；④由于sinx+cosx=sin（x）≤，故命题p为假命题，比如α=﹣300°，β=30°，满足sinα＞sinβ，但α＜β，故命题q为假命题．则（￢p）∧q为假命题，故④错．故答案为：②③【点评】本题考查简易逻辑的知识：四种命题的真假、命题的否定、充分必要条件的判断，同时考查函数的奇偶性，三角函数的化简，属于基础题．三、解答题（满分60分）17．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sinα的值．【考点】解三角形的实际应用．【专题】计算题．【分析】（1）由题意推出∠BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出渔船甲的速度；（2）方法一：在△ABC中，直接利用正弦定理求出sinα．方法二：在△ABC中，利用余弦定理求出cosα，然后转化为sinα．【解答】解：（1）依题意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．在△ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cos∠BAC=122+202﹣2×12×20×cos120°=784．解得BC=28．所以渔船甲的速度为海里/小时．答：渔船甲的速度为14海里/小时．（2）方法1：在△ABC中，因为AB=12，∠BAC=120°，BC=28，∠BCA=α，由正弦定理，得．即．答：sinα的值为．方法2：在△ABC中，因为AB=12，AC=20，BC=28，∠BCA=α，由余弦定理，得．即．因为α为锐角，所以=．答：sinα的值为．【点评】本题是中档题，考查三角函数在实际问题中的应用，正弦定理、余弦定理的应用，考查计算能力．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosB，acosA，bcosC成等差数列（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）若a=1，cosB+cosC=，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）ccosB，acosA，bcosC成等差数列，则有2acosA=ccosB+bcosC化简为2sinAcosA=sinA，而sinA≠0，所以，故可求A的值；（Ⅱ）由（I）和已知可得，从而可求得，或，从而由三角形面积公式直接求值．【解答】解：（Ⅰ）∵ccosB，acosA，bcosC成等差数列，∴2acosA=ccosB+bcosC由正弦定理知：a=2RsinA，c=2RsinC，b=2RsinB代入上式得：2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosA=sin（B+C）．又B+C=π﹣A，所以有2sinAcosA=sin（π﹣A），即2sinAcosA=sinA．而sinA≠0，所以，由及0＜A＜π，得A=．（Ⅱ）由，得，得．由，知．于是，或．所以，或．若，则．在直角△ABC中，，面积为．若，在直角△ABC中，，面积为总之有面积为．【点评】本题主要考察了正弦定理，余弦定理的综合应用，考察了三角形面积公式的应用，属于基础题．19．已知数列{a n}满足a1=1，且a n=2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n；（Ⅲ）设b n=，试求数列{b n}的最大项．【考点】数列递推式；数列的函数特性；数列的求和．【专题】点列、递归数列与数学归纳法．【分析】（Ⅰ）根据数列的递推关系即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法即可求数列{a n}的前n项和为S n；（Ⅲ）求出b n=的通项公式，建立不等式关系即可试求数列{b n}的最大项．【解答】解：（Ⅰ）由a n=2a n﹣1+2n（n≥2且n∈N*）．得，即{}是首项为，公差d=1的等差数列，则=，数列{a n}的通项公式a n=（2n﹣1）•2n﹣1；（Ⅱ）设数列{a n}的前n项和为S n，求S n；∵a n=（2n﹣1）•2n﹣1；∴S n=1•20+3•21+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1；2S n=1•21+3•22+…+（2n﹣1）•2n；两式相减得﹣S n=1+2（21+22+…+2n﹣1﹣（2n﹣1）•2n=1+=﹣3+（3﹣2n）•2n；∴S n=（2n﹣3）•2n+3（Ⅲ）∵b n=，∴b n═（2n﹣3）•（）n，由，即，解得，即n=4，即数列{b n}的最大项为．【点评】本题主要考查递递推数列的应用，综合考查学生的运算能力，要求熟练掌握求和的常见方法．20．已知数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足S n=a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）将数列{a n}的项按上小下大，左小右大的原则排列成一个如图所示的三角形数阵，那么2015是否在该数阵中，若在，排在了第几行第几列？【考点】数列的求和．【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）S n=a n，得n≥2时，，两式相减整理得，由此利用累乘法能得到a n=2n﹣1．（Ⅱ）由a n=2n﹣1=2015，则n=1008，求出前44行和前45行的值，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足S n=a n．∴n≥2时，，两式相减整理得，依次得，=，…，，上面n﹣2个等式相乘得，而a2=3，∴a n=2n﹣1，n≥2，a1=1也满足该式，∴a n=2n﹣1．（Ⅱ）a n=2n﹣1=2015，则n=1008，前44行共1+2+3+…+44==990，前45行共1+2+3+…+45=990+45=1035，∴2015应在第45行，第1008﹣990=18列．【点评】本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．21．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由函数，知（x＞0）．由曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，能求出a的值．（Ⅱ）（x＞0）．根据a的取值范围进行分类讨论能求出f（x）的单调区间．（Ⅲ）对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]，使得f（x1）＜g（x2），等价于在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由此能求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数，∴（x＞0）．∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，∴f'（1）=f'（3），即，解得．（Ⅱ）（x＞0）．①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．②当时，，在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．（Ⅲ）由已知，在（0，2]上有f（x）max＜g（x）max．由已知，g（x）max=0，由（Ⅱ）可知，①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，故f（x）max=f（2）=2a﹣2（2a+1）+2ln2=﹣2a﹣2+2ln2，所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故．由可知，2lna＞﹣2，﹣2lna＜2，所以，﹣2﹣2lna＜0，f（x）max＜0，综上所述，a＞ln2﹣1．【点评】本题考查导数在求函数的最大值与最小值问题中的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．易错点是分类不清导致致出错，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．请在下面的三个题中任选一题作答【选修4-1:几何证明选讲】22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】立体几何．【分析】（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果【解答】（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=2【点评】本题考查的知识点：证明切线的方法：连半径，证垂直．三角形相似的判定，勾股定理的应用．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）应用代入法，将t=x+3代入y=t，即可得到直线l的普通方程；将x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入曲线C的极坐标方程，即得曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）由圆的参数方程设出点P（2+2cosθ，2sinθ），θ∈R，根据点到直线的距离公式得到d 的式子，并应用三角函数的两角和的余弦公式，以及三角函数的值域化简，即可得到d的范围．【解答】解：（I）直线l的参数方程为（t为参数），将t=x+3代入y=t，得直线l的普通方程为x﹣y=0；曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入即得曲线C的直角坐标方程：（x﹣2）2+y2=4；（II）设点P（2+2cosθ，2sinθ），θ∈R，则d==，∴d的取值范围是：[，]．【点评】本题考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，同时考查圆上一点到直线的距离的最值，本题也可利用圆上一点到直线的距离的最大（最小）是圆心到直线的距离加半径（减半径）．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=+的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．【考点】二维形式的柯西不等式；绝对值不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）根据函数f（x）=+=•+≤•=3，求得实数M的值．（Ⅱ）关于x的不等式即|x﹣1|+|x+2|≤3，由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥3，可得|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得x的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=+=•+≤•=3，当且仅当=，即x=4时，取等号，故实数M=3．（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，∴|x﹣1|+|x+2|=3．根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，故不等式的解集为[﹣2，1]．【点评】本题主要考查二维形式的柯西不等式的应用，绝对值的意义，绝对值三角不等式，属于基础题．。