高2021届高2018级高三第一轮复习小专题训练30分钟第三章小专题15
高三数学南方凤凰台高2021届高2018级高三一轮数学提高版完整版学案第三章
第三章 导数及其应用第15讲 导数的几何意义和四则运算A 应知应会一、 选择题1. 已知f (x )＝x (2 018＋ln x ),若f ′(x 0)＝2 019,则x 0等于( )A. e 2B. 1C. ln 2D. e2. 若函数f (x )＝33x 3＋ln x －x ,则曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线的倾斜角是( ) A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π63. 已知函数f (x )＝ln (x ＋1)·cos x －ax 在(0,f (0))处的切线倾斜角为45°,则a 等于( )A. －2B. －1C. 0D. 34. (2019·泰安一模)已知函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 2 ＝x 3－3x ,则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线斜率为( )A. 0B. 9C. 18D. 275. 已知曲线y ＝sin x 在点P (x 0,sin x 0)(0≤x 0≤π)处的切线为l ,则下列各点中不可能在直线l 上的是( )A. (－1,－1)B. (－2,0)C. (1,－2)D. (4,1)二、 解答题6. 求下列函数的导数．(1) y ＝5x 3 ； (2) y ＝1x4 ； (3) y ＝－2sin x 2 ⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .7. 已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0,且点P 0在第三象限．(1) 求P 0的坐标；(2) 若直线l ⊥l 1,且l 也过切点P 0,求直线l 的方程．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·全国卷Ⅰ)曲线y ＝3(x 2＋x )e x 在点(0,0)处的切线方程为________．2. 已知函数f (x )满足满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2,则f (x )的解析式为________________.3. (2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,点A 在曲线y ＝ln x 上,且该曲线在点A 处的切线经过点(－e,－1)(e 为自然对数的底数),则点A 的坐标是________．4. (2019·厦门一模)在平面直角坐标系xOy 中,已知x 21 －ln x 1－y 1＝0,x 2－y 2－2＝0,则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为________．二、 解答题5. 已知曲线y ＝(ax －1)e x 在点A (x 0,y 1)处的切线为l 1,曲线y ＝1－x e x 在点B (x 0,y 2)处的切线为l 2.若存在x 0∈⎣⎡⎦⎤0，32 ,使得l 1⊥l 2,求实数a 的取值范围．6. 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11,g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9,且f ′(－1)＝0.(1) 求a 的值；(2) 是否存在k ,使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线,又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在,求出k 的值；如果不存在,请说明理由．第16讲 导数与函数的单调性A 应知应会一、 选择题1. (2019·福建四校二联)函数f (x )＝(x 2－2x )e x 的图象大致是( )A BC D2. 若函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示,则下列判断中正确的是 ( )(第2题)A. 在区间(－3,1)内f (x )是增函数B. 在区间(1,3)内f (x )是增函数C. 在区间(5,6)内f (x )是增函数D. 在区间(－∞,1)内f (x )是增函数3. (2019·宣城二调)若函数f (x )＝43x 3－2ax 2－(a －2)x ＋5恰好有三个单调区间,则实数a 的取值范围为( )A. [－1,2]B. [－2,1]C. (－∞,－1)∪(2,＋∞)D. (－∞,－2)∪(1,＋∞)4. 若函数f (x )＝e x (－x 2＋2x ＋a )在区间[a ,a ＋1]上单调递增,则实数a 的最大值为( )A. －1＋52B. 1＋52C. 1－52D. －1－525. (多选)已知函数f (x )＝e x －1,对于满足0<x 1<x 2<e 的任意x 1,x 2,下列结论中正确的是( )A. (x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]<0B. x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)C. f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1D. f （x 1）＋f （x 2）2 ＞f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22二、 解答题 6. (2019·太原一模节选)已知函数f (x )＝x 3－32 ax 2(a ＞0),若函数h (x )＝f （x ）·e x x 在(0,1)上单调递减,求a 的取值范围．7. (2019·南昌一模)已知函数f (x )＝(x ＋a )e x (x ＞－3),其中a ∈R ．(1) 若曲线y ＝f (x )在点A (0,a )处的切线l 与直线y ＝|2a －2|x 平行,求直线l 的方程；(2) 讨论函数y ＝f (x )的单调性．B 巩固提升一、 填空题1. (2019·泰州一模)已知函数f (x )＝2x 4＋4x 2,若f (a ＋3)＞f (a －1),则实数a 的取值范围为________．2. 已知函数f (x )的定义域为R,f (0)＝2,对任意x ∈R,都有f (x )＋f ′(x )＞1,则不等式e x ·f (x )＞e x ＋1的解集为________．3. 已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ,t ＋1]上不单调,则t 的取值范围是________．4. (2019·盐城期中)已知函数f (x )＝(x －a )ln x (a ∈R),若函数f (x )存在三个单调区间,则实数a 的取值范围是________．二、 解答题5. 已知函数f (x )＝x e x －a ⎝⎛⎭⎫x 22＋x (a ∈R),讨论函数f (x )的单调性．6. 已知函数f (x )＝e x ln x －a e x (a ∈R).(1) 若f (x )在点(1,f (1))处的切线与直线y ＝1ex ＋1垂直,求a 的值； (2) 若f (x )在(0,＋∞)上是单调函数,求实数a 的取值范围．第17讲 导数与函数的极值、最值A 应知应会一、 选择题1. 函数f (x )＝x 3＋3x 2＋3x －a 的极值点的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 32. (2019·安庆二模)已知函数f (x )＝2e f ′(e)ln x －x e(e 是自然对数的底数),则f (x )的极大值为( )A. 2e －1B. －1eC. 1D. 2ln 2 3. 若函数f (x )＝x 3－3x 在(a ,6－a 2)上有最小值,则实数a 的取值范围是( )A. (－5 ,1)B. [－5 ,1)C. [－2,1)D. (－2,1)4. 设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2,g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ,N ,则当|MN |达到最小时t 的值是( )A. 1B. 12C. 52D. 225. (多选)设函数f (x )＝ax 22e－ln |ax |(a ＞0),若f (x )有4个零点,则a 的可能取值个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、 解答题6. 已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1) 求曲线y ＝f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；(2) 求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2 上的最大值和最小值．7. (2019·邵阳期末)已知a ∈R,函数f (x )＝a x＋ln x －1. (1) 当a ＝1时,求曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处的切线方程；(2) 求f (x )在区间(0,e]上的最小值．B 巩固提升一、 填空题1. 若函数f (x )＝12x 2f ′(2)＋ln x ,则f (x )的极大值点为________,极大值为________． 2. 已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1,若函数f (x )在(1,2)上有极值,则实数a 的取值范围为________．3. (2019·滁州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3－3x 2＋1，x ≥0，e ax ＋1，x <0 在[－2,2]上的最大值为5,则实数a 的取值范围是________．4. (2019·唐山一模)在△ABC 中,a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,若函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋(a 2＋c 2－ac )x ＋1有极值点,则sin ⎝⎛⎭⎫2B －π3 的最小值为________． 二、 解答题5. (2019·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1) 讨论f (x )的单调性；(2) 当0<a <3时,记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ,最小值为m ,求M －m 的取值范围．6. 解答一个问题后,将结论作为条件之一,提出与原问题有关的新问题,我们把它称为原问题的一个“逆向问题”．例如：原问题是“若矩形的边长为3和4,则其周长为14”,它的一个“逆向问题”是：“若矩形的周长为14,一边长为3,求另一边长”,也可以是“若矩形的周长为14,求其面积的最大值”等等．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1) 求f (x )在[－1,e](e 为自然对数的底数)上的最大值； (2) 请对(1)提出两个“逆向问题”,并作解答．第18讲生活中的优化问题举例A应知应会一、解答题1. 某连锁分店销售某种商品,每件商品的成本为4元,并且每件商品需向总店交a(1≤a≤3)元的管理费,预计当每件商品的售价为x(8≤x≤9)元时,一年的销售量为(10－x)2万件．(1) 求该连锁分店一年的利润L(万元)与每件商品的售价x的函数关系式L(x)；(2) 当每件商品的售价为多少元时,该连锁分店一年的利润L最大？并求出L的最大值．2. 如图所示是一个帐篷,它下部分的形状是一个正六棱柱,上部分的形状是一个正六棱锥,其中帐篷的高为PO,正六棱锥的高为PO1,且PO＝3PO1.设PO1＝x.(1) 当x＝2 m,P A1＝4 m时,求搭建的帐篷的表面积；(2) 在P A1的长为定值l m的条件下,已知当且仅当x＝23m时,帐篷的容积V最大,求l的值．(第2题)B 巩固提升一、 解答题1. (2019·徐州期中)如图所示是一个半径为2 km,圆心角为π3的扇形游览区的平面示意图,点C 是半径OB 上一点,点D 是圆弧AB 上一点,且CD ∥OA .现在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位,经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元,线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设∠AOD ＝x 弧度,广告位出租的总收入为y 元．(1) 求y 关于x 的函数解析式,并指出该函数的定义域；(2) 试问x 为何值时,广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．(第1题)2. (2019·盐城期中)某厂生产一种仪器,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品．根据以往的经验知道,该厂生产这种仪器次品率P 与日产量x (件)之间近似满足关系：P ＝⎩⎨⎧196－x ，1≤x ≤c ，x ∈N ，1≤c <96，23，x >c ，x ∈N (注：次品率P ＝次品数总生产量,如P ＝0.1表示每生产10件产品,约有1件为次品,其余为合格品).已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元,但每生产一件次品将亏损A 2元,故厂方希望定出合适的日产量． (1) 试将生产这种仪器每天的盈利额T (元)表示为日产量x (件)的函数；(2) 当日产量x 为多少时,可获得最大利润？微难点4 构造函数研究不等关系一、 选择题1. 当x ∈[－2,1]时,不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立,则实数a 的取值范围是( )A. [－5,－3]B. ⎣⎡⎦⎤－6，－98 C. [－6,－2] D. [－4,－3] 2. (2019·上饶一模)已知函数f (x )＝ln x ＋a 的导数为f ′(x ),若方程f ′(x )＝f (x )的根x 0小于1,则实数a 的取值范围为( )A. (1,＋∞)B. (0,1)C. (1,2 )D. (1,3 )3. 已知函数f (x )＝x ＋1x 2 ,g (x )＝log 2x ＋m ,若对x 1∈[1,2],x 2∈[1,4],使得f (x 1)≥g (x 2),则m 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎦⎤－∞，－54B. (－∞,2]C. ⎝⎛⎦⎤－∞，34 D. (－∞,0] 二、 填空题4. 设函数f (x )在R 上存在导数f ′(x ),对任意的x ∈R,有f (－x )＋f (x )＝x 2,当x ∈(0, ＋∞)时,f ′(x )＜x .若f (4－m )－f (m )≥8－4m ,则实数m 的取值范围为________．5. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数,其导函数为f ′(x ),若f ′(x )＜f (x ),且f (x ＋1)＝f (3－x ),f (2 019)＝2,则不等式f (x )＜2e x －1的解集为________．6. 若定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f ′(x )＞1,f (0)＝4,则不等式e x f (x )＞e x ＋3(其中e 为自然对数的底数)的解集为________．三、 解答题7. 已知函数f (x )＝(x 2－3x ＋3)e x ,若不等式f （x ）ex ＋7x －2＞k (x ln x －1)(k 为正整数)对任意正实数x 恒成立,求k 的最大值．(参考数据：ln 7≈1.95,ln 8≈2.08)8. 已知函数f (x )＝ln x －ax 3,g (x )＝a e xe. (1) 若直线y ＝x 与y ＝g (x )的图象相切,求实数a 的值；(2) 若存在x 0∈[1,e],使得f (x 0)＞(1－3a )x 0＋1成立,求实数a 的取值范围．微难点5 利用导数研究函数的零点一、 解答题1. 已知函数f (x )＝2e x ＋ax .(1) 求f (x )的单调区间；(2) 讨论f (x )在(0,＋∞)上的零点个数．2. (2019·抚州调研)已知函数f (x )＝a 6 x 3－a 4x 2－ax －2的图象过点A ⎝⎛⎭⎫4，103 . (1) 求函数f (x )的单调增区间；(2) 若函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有3个零点,求m 的取值范围．3. 已知函数f (x )＝ln x ,g (x )＝3x －2a 2x. (1) 求函数F (x )＝f (x )－x ＋2在x ∈[4,＋∞)上的最大值；(2) 若函数H (x )＝2f (x )－ln [g (x )]在区间⎣⎡⎦⎤12，1 上有零点,求实数a 的取值范围．4. 已知函数f (x )＝(2－a )(x －1)－2ln x (a ∈R,e 为自然对数的底数).(1) 当a ＝1时,求f (x )的单调区间；(2) 若函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12 上无零点,求a 的最小值．。
高2021届高2018级高三物理一轮复习课件
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3
第一章 运动的描述 匀变速直线运动的研究
基础课1 运动的描述 1-考点强化:对质点、参考系、位移的理解 2-考点强化:平均速度和瞬时速度 3-考点强化:对速度与加速度关系的理解 4-素养培养:用极限法求瞬时速度 基础课2 匀变速直线运动的规律 1-考点强化:匀变速直线运动规律的基本应用 2-考点强化:自由落体运动和竖直上抛运动 3-考点强化:多物体的匀变速直线运动 4-素养培养:“形异质同”类问题 能力课 运动图象 追及相遇问题 1-考点强化:运动图象的理解及应用 2-考点强化:追及与相遇问题 实验一 研究匀变速直线运动
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7
第五章 机械能
基础课1 功和功率 1-考点强化:功的分析与计算 2-考点强化:功率的理解与计算 3-考点强化:机动车启动问题 4-素养培养:变力做功的计算方法 基础课2 动能 动能定理 1-考点强化:对动能定理的理解和应用 2-考点强化:应用动能定理求解多过程问题 3-考点强化:动能定理与图象结合的问题 4-素养培养:动能定理的综合应用 基础课3 机械能守恒定律及其应用 1-考点强化:机械能守恒的判断 2-考点强化:机械能守恒定律的应用 3-素养培养:系统机械能守恒的两类连接体模型 能力课 功能关系 能量守恒定律 1-考点强化:功能关系的理解和应用 2-考点强化:能量守恒定律的应用 3-考点强化:与摩擦生热相关的两个物理模型 1-实验五 探究动能定理 2-实验六 验证机械能守恒定律
2021版
高三一轮总复习实用课件
物理
1
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2
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第一章 运动的描述 匀变速直线运动的研究 第二章 相互作用 第三章 牛顿运动定律 第四章 曲线运动 万有引力与航天 第五章 机械能 第六章 动量 第七章 静电场 第八章 恒定电流 第九章 磁场 第十章 电磁感应 第十一章 交变电流 传感器 选修３－５ 第十二章 波粒二相性 原子结构与原子核 选修３－３ 热学 选修３－４ 机械振动 机械波 光 电磁波 相对论简介 辅助阅读 课堂演示实验
高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及考试参考答案 (5)
[考案5]第五章 综合过关规范限时检测(时间：120分钟 满分150分)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.数列32，－54，78，－916，…的一个通项公式为( D )A.a n ＝(－1)n·2n ＋12nB.a n ＝(－1)n ·2n ＋12nC.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n D.a n ＝(－1)n ＋1·2n ＋12n【试题解答】 该数列是分数形式，分子为奇数2n ＋1，分母是指数2n ，各项的符号由(－1)n＋1来确定，所以D 选项正确.2.(2020·湖北八校联考)已知数列{a n }满足a n ＝5n －1(n ∈N *)，将数列{a n }中的整数项按原来的顺序组成新数列{b n }，则b 2 019的末位数字为( D )A.8B.2C.3D.7【试题解答】 由a n ＝5n －1(n ∈N *)，可得此数列为4，9，14，19，24，29，34，39，44，49，54，59，64，…，整数项为4，9，49，64，144，169，…，所以数列{b n }的各项依次为2,3,7,8,12,13,17,18，…，末位数字分别是2,3,7,8,2,3,7,8，…，因为2 019＝4×504＋3，所以b 2 019的末位数字为7.故选D.3.(2020·贵州贵阳监测)如果在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝( C ) A.14 B.21 C.28D.35【试题解答】 由题意得3a 4＝12，则a 4＝4，所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28.故选C.4.(2020·山东潍坊期末)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，则数列{a n }的公比为( B )A.2B.3C.12D.13【试题解答】 设数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1，因为S 2m S m ＝28，a 2m a m ＝2m ＋21m －2，所以1＋q m ＝28，q m ＝2m ＋21m －2，所以m ＝3，q ＝3.故选B.5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14＜0，则S n 取最大值时n 的值为( B ) A.6 B.7 C.8D.13【试题解答】 根据S 13>0，S 14＜0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8＜0.所以a 7>0，a 8＜0，则S n 取最大值时n 的值为7.故选B.6.(2020·江西南昌三中模拟)在等比数列{a n }中，已知对任意的正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( A )A.13(4n －1) B.2n －1 C.13(2n －1) D.4n －1【试题解答】 通解：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m 对任意的正整数n 均成立，∴a 1＝2＋m ，a 2＝2，a 3＝4.∵{a n }是等比数列，∴m ＝－1，a 1＝1，q ＝2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A. 优解：∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n ＋m ，∴当n ≥2时，a n ＝2n －1，又a 1＝2＋m ，满足上式，∴m ＝－1，即等比数列{a n }的首项为1，公比为2，∴a n ＝2n －1，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋4＋42＋…＋4n －1＝1－4n 1－4＝13(4n－1).故选A.7. (2020·河北六校第三次联考)“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光.”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述.假设一条螺旋线是用以下方法画成(如图)：△ABC 是边长为1的正三角形，曲线CA 1，A 1A 2，A 2A 3分别是以A ，B ，C 为圆心，AC ，BA 1，CA 2为半径画的弧，曲线CA 1A 2A 3称为螺旋线，再以A 为圆心，AA 3为半径画弧，……如此画下去，则所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为( A )A.310πB.1103πC.58πD.110π【试题解答】 根据弧长公式知，弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －2A n －1，A n －1A n 的长度分别为23π，2×23π，3×23π，…，(n －1)×23π，n ×23π，该数列是首项为23π，公差为23π的等差数列，所以该数列的前n 项和S n ＝π3n (n ＋1)，所以所得弧CA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A 28A 29，A 29A 30的总长度为S 30＝π3×30×(30＋1)＝310π.故选A.8.(2020·河北衡水中学调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n为数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3的最小值为( B ) A.3 B.4 C.23－2D.92【试题解答】 由已知有a 23＝a 1a 13，所以有(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋12d )，d ＝2(d ≠0)，数列{a n }通项公式a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，所以2S n ＋16a n ＋3＝n 2＋8n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2≥4，当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝2时等号成立.故选B. 二、多选题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.等比数列{a n }的前三项和S 3＝14，若a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则公比q ＝( AD ) A.2 B.13 C.3D.12【试题解答】 由a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 得2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，即2(1＋a 1q )＝a 1＋a 1q 2， 即a 1(q 2－2q ＋1)＝2，①又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝14，② ①÷②得：q 2－2q ＋11＋q ＋q 2＝214，解得q ＝2或q ＝12.另解：由2(a 2＋1)＝a 1＋a 3，得3a 2＋2＝a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝14，解得a 2＝4， 则S 3＝4q ＋4＋4q ＝14，解得q ＝2或q ＝12.故选A 、D.10.若数列{a n }满足对任意n ≥2(n ∈N )都有(a n －a n －1－2)·(a n －2a n －1)＝0，则下面选项中正确的是( ABD )A.{a n }可以是等差数列B.{a n }可以是等比数列C.{a n }可以既是等差数列又是等比数列D.{a n }可以既不是等差数列又不是等比数列 【试题解答】 因为(a n －a n －1－2)(a n －2a n －1)＝0， 所以a n －a n －1－2＝0或a n －2a n －1＝0， 即a n －a n －1＝2或a n ＝2a n －1，当a n ≠0，a n －1≠0时，{a n }是等差数列或等比数列；当a n ＝0或a n －1＝0时，{a n }可以不是等差数列，也可以不是等比数列，比如数列，2,0,0,0，…….故选A 、B 、D.11.已知等比数列{x n }的公比为q ，若恒有|x n |>|x n ＋1|，且x 11＋q ＝12，则首项x 1的取值范围可以是( AC ) A.(12，1) B.(0,1) C.(0，12)D.(1,2)【试题解答】 由|x n |>|x n ＋1|，得1>|x n ＋1x n|＝|q |，故－1＜q ＜0或0＜q ＜1.0＜1＋q ＜1或1＜1＋q ＜2，又x 11＋q ＝12，所以x 1＝1＋q 2，所以x 1∈(0，12)∪(12，1).故选A 、C.12.(2020·山东十校联考)设数列{a n }和{b n }分别是等差数列与等比数列，且a 1＝b 1＝4，a 4＝b 4＝1，则以下结论不正确的是( BCD )A.a 2>b 2B.a 3＜b 3C.a 5>b 5D.a 6>b 6【试题解答】 设等差数列的公差、等比数列的公比分别为d ，q ，则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧4＋3d ＝1，4q 3＝1，解得⎩⎨⎧d ＝－1，q ＝314，则a 2－b 2＝3－316>3－327＝0；故A 正确.同理，其余都错，故选B 、C 、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2020·云南师大附中月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝3S n ＋1，则S 4＝__85__. 【试题解答】 a n ＋1＝3S n ＋1①，a n ＝3S n －1＋1(n ≥2)②，①－②得：a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝3a 1＋1＝4，∴{a n }是首项为1，公比为4的等比数列，∴S 4＝1－441－4＝85.或S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋4＋16＋64＝85.14.(2020·福建莆田月考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＋a 3＋a 11＝6，则S 9＝__18__. 【试题解答】 设等差数列{a n }的公差为d .∵a 1＋a 3＋a 11＝6，∴3a 1＋12d ＝6，即a 1＋4d ＝2，∴a 5＝2，∴S 9＝(a 1＋a 9)×92＝2a 5×92＝18.15.设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝2S n ＋n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝__2n－1__.【试题解答】 因为S n ＋1＝2S n ＋n ＋1， 当n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ， 两式相减得，a n ＋1＝2a n ＋1， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝2. 又S 2＝2S 1＋1＋1，a 1＝S 1＝1，所以a 2＝3，所以a 2＋1a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1.故填2n －1.16.已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意的n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为 [23，＋∞) .【试题解答】 因为数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，所以当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝2(n －1)2，则a n ＝22n －1，a 1＝2也适合，所以1a n ＝122n －1，数列{1a n }是首项为12，公比为14的等比数列，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12(1－14n )1－14＝23(1－14n )＜23，则实数t 的取值范围为[23，＋∞).故填[23，＋∞). 四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4. (1)证明：数列{a n ＋4}是等比数列； (2)求数列{|a n |}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)证明：∵a 1＝－2，∴a 1＋4＝2. ∵a n ＋1＝2a n ＋4，∴a n ＋1＋4＝2a n ＋8＝2(a n ＋4)， ∴a n ＋1＋4a n ＋4＝2，∴{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列. (2)由(1)可知a n ＋4＝2n ，∴a n ＝2n －4. 当n ＝1时，a 1＝－2＜0，∴S 1＝|a 1|＝2； 当n ≥2时，a n ≥0.∴S n ＝－a 1＋a 2＋…＋a n ＝2＋(22－4)＋…＋(2n －4)＝2＋22＋…＋2n －4(n －1)＝2(1－2n )1－2－4(n －1)＝2n＋1－4n ＋2.又当n ＝1时，上式也满足. ∴当n ∈N *时，S n ＝2n ＋1－4n ＋2.18.(本小题满分12分)(2020·山东省济南第一中学期中考试)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n3n ，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .【试题解答】 (1)∵S 3＝12，即a 1＋a 2＋a 3＝12， ∴3a 2＝12，所以a 2＝4， 又∵2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，∴a 22＝2a 1·(a 3＋1)，即a 22＝2(a 2－d )·(a 2＋d ＋1)， 解得，d ＝3或d ＝－4(舍去)，∴a 1＝a 2－d ＝1，故a n ＝3n －2. (2)b n ＝a n 3n ＝3n －23n ＝(3n －2)·13n ，∴T n ＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n －2)×13n ，①①×13得13T n ＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n －5)×13n ＋(3n －2)×13n ＋1.②①－②得23T n ＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋…＋3×13n －(3n －2)×13n ＋1＝13＋3×132(1－13n －1)1－13－(3n －2)×13n ＋1＝56－12×13n －1－(3n －2)×13n ＋1，∴T n ＝54－14×13n －2－3n －22×13n ＝54－6n ＋54×13n .19.(本小题满分12分)(2020·河南洛阳孟津二中月考)在数列{a n }中，设f (n )＝a n ，且f (n )满足f (n ＋1)－2f (n )＝2n (n ∈N *)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{3a n －1}的前n 项和S n .【试题解答】 (1)由已知得a n ＋1＝2a n ＋2n ，得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，又a 1＝1，∴b 1＝1， ∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知，b n ＝a n2n －1＝n ，∴a n ＝n ·2n－1,3a n －1＝3n ·2n －1－1.∴S n ＝3×1×20＋3×2×21＋3×3×22＋…＋3(n －1)×2n －2＋3n ×2n －1－n ， 两边同时乘以2，得2S n ＝3×1×21＋3×2×22＋…＋3(n －1)×2n －1＋3n ×2n －2n ，两式相减，得－S n ＝3×(1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n )＋n ＝3×(2n －1－n ×2n )＋n ＝3(1－n )2n －3＋n ， ∴S n ＝3(n －1)2n ＋3－n .20.(本小题满分12分)(2020·河北衡水模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1，求数列b n 的通项公式.【试题解答】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ， 易知a 1＝2满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1(n ≥1)，①a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1，②②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，故b n ＝2(3n ＋1)(n ≥2).又a 1＝b 13＋1＝2，即b 1＝8，也满足上式，所以b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *).21.(本小题满分12分)(2020·广东广州一测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【试题解答】 (1)因为数列{S nn }是首项为1，公差为2的等差数列，所以S nn ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以S n ＝2n 2－n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－2)－[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －3. (2)当n ＝1时，a 1b 1＝12，所以b 1＝2a 1＝2.当n ≥2时，由a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝5－(4n ＋5)(12)n ，①得a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝5－(4n ＋1)(12)n －1.② ①－②，得a n b n ＝(4n －3)(12)n .因为a n ＝4n －3，所以b n ＝4n －3(4n －3)(12)n＝2n (当n ＝1时也符合)，所以b n ＋1b n ＝2n ＋12n ＝2，所以数列{b n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以T n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.22.(本小题满分12分)已知正项数列{a n }的前n 项和S n 满足4S n ＝a 2n ＋2a n＋1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n ；(3)在(2)的条件下，若b n1－T n≤λ(n ＋4)－1对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.【试题解答】 (1)由已知得4S n ＝(a n ＋1)2，① 当n ＝1时，4S 1＝(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1. 当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2.② ①－②得，4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2， 则(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 因为a n >0，所以a n －a n －1＝2，即数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列. 所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝2n －13n ，则T n ＝1·13＋3·(13)2＋5·(13)3＋…＋(2n －3)·(13)n －1＋(2n －1)·(13)n .13T n ＝1·(13)2＋3·(13)3＋5·(13)4＋…＋(2n －3)·(13)n ＋(2n －1)·(13)n ＋1， 两式相减得23T n ＝13＋2[(13)2＋(13)3＋…＋(13)n ]－(2n －1)(13)n ＋1＝23－2n ＋23·(13)n ，所以T n ＝1－n ＋13n .(3)由b n1－T n≤λ(n ＋4)－1得， 则λ≥3n (n ＋1)(n ＋4)＝3n ＋4n ＋5，因为n ＋4n≥2n ·4n＝4， 所以当且仅当n ＝2时，3n ＋4n ＋5有最大值13，即λ≥13.。
高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及参考答案 (31)
[高2021届高2018级高三数学一轮专题训练31]第五讲 数系的扩充与复数的引入A 组基础巩固一、单选题1.(2020·3月份北京市高考适应性测试)在复平面内，复数i(i ＋2)对应的点的坐标为＝( B ) A.(1,2) B.(－1,2) C.(2,1)D.(2，－1)【试题解答】 i(i ＋2)＝i 2＋2i ＝－1＋2i 对应点(－1,2)，故选B.2.(2019·全国卷Ⅱ)设z ＝i(2＋i)，则z －＝( D ) A.1＋2i B.－1＋2i C.1－2iD.－1－2i【试题解答】 依题意得z ＝i 2＋2i ＝－1＋2i ，z －＝－1－2i ，故选D. 3.(2020·沈阳市教学质量监测)若i 是虚数单位，则复数2＋3i1＋i的实部与虚部之积为( B ) A.－54B.54C.54i D.－54i【试题解答】 因为2＋3i 1＋i ＝(2＋3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝52＋12i ，所以实部为52，虚部为12，实部与虚部之积为54.故选B.4.(2020·贵州37校联考)复数z ＝1＋i1－i 的共轭复数是( D )A.1＋iB.1－iC.iD.－i【试题解答】 因为z ＝1＋i1－i＝i ，故z 的共轭复数z －＝－i ，故选D.5.(2020·湖南株洲质检)已知复数z 满足(1－i)z ＝|2i|，i 为虚数单位，则z 等于( B ) A.1－i B.1＋i C.12－12i D.12＋12i 【试题解答】 由(1－i)z ＝|2i|，可得z ＝21－i＝2(1＋i )2＝1＋i ，故选B.6.(2020·五省优创名校联考)若复数z 1，z 2满足z 1＝12－i －12＋i，z 1(z 2－2)＝1，则|z 2|＝( A ) A.52B.3C.72D.4【试题解答】 因为z 1＝12－i －12＋i ＝2i 3，z 2＝1z 1＋2＝4－3i 2，所以|z 2|＝52.7.(2020·陕西部分学校摸底检测)已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( B ) A.12 B.22C.2D.1【试题解答】 解法一：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以z ＝1＋i (1－i )2＝1＋i －2i ＝－12＋12i ，所以|z |＝22，故选B.解法二：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i 所以|z |＝|1＋i (1－i )2|＝|1＋i||1－i|2＝22，故选B. 8.(2020·江西临川一中模拟)设复数z 1＝i ，z 2＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点到原点的距离是( B )A.1B.2C.2D.22【试题解答】 因为z ＝i(1＋i)＝－1＋i ，所以z 在复平面内对应的点为(－1,1)，该点到原点的距离是|z |＝2，故选B.二、多选题9.如果复数z ＝2－1＋i ，则下面正确的是( AD )A.z 的共轭复数为－1＋iB.z 的虚部为－1C.|z |＝2D.z 的实部为－1【试题解答】 因为z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－2－2i 2＝－1－i ，所以z 的实部为－1，共轭复数为－1＋i ，故选A 、D.10.已知复数z 满足i 2k ＋1·z ＝2＋i ，(k ∈Z )则复数z 在复平面内对应的点可能位于( BD ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【试题解答】 ∵i 2k ＋1·z ＝2＋i ，∴z ＝2＋i i 2k ＋1当k 为奇数时，i 2k ＋1＝－i ， ∴z ＝－1＋2i ，位于第二象限 当k 为偶数时，i 2k ＋1＝i ∴z ＝1－2i ，位于第四象限故选B 、D. 三、填空题11.1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝__－1__. 【试题解答】 (1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，∴原式＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝－2i2i＝－1.12.(2019·江苏)已知复数(a ＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是__2__. 【试题解答】 (a ＋2i)(1＋i)＝a －2＋(a ＋2)i ，∵实部是0，∴a －2＝0，a ＝2. 13.(2019·天津)i 是虚数单位，则|5－i 1＋i|的值为13 .【试题解答】 方法一：5－i 1＋i ＝(5－i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－6i 2＝2－3i ，于是|5－i1＋i |＝|2－3i|＝22＋(－3)2＝13.方法二：|5－i 1＋i |＝|5－i||1＋i|＝52＋(－1)212＋12＝262＝13. 14.已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a ＋2i 3－i 为实数，则实数a 的值为__－6__.【试题解答】 解法一：因为a ＋2i 3－i ＝(a ＋2i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝(3a －2)(a ＋6)i 10＝3a －210＋a ＋610i 为实数，所以a ＋610＝0，解得a ＝－6.解法二：令a ＋2i 3－i＝t (t ∈R )，则a ＋2i ＝t (3－i)＝3t －t i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3t 2＝－t ，解得a ＝－6.B 组能力提升1.(2020·河南商丘九校联考)若复数z ＝1＋ia －i (a ∈R ，i 为虚数单位.)为纯虚数，则|z |的值为( A )A.1B.2C.3D.2【试题解答】 由题意可设z ＝1＋ia －i ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则b ＋ab i ＝1＋i ，解得b ＝1，即z ＝i ，则|z |＝1，故选A.2.(2020·广东七校联考)设z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数2z ＋z 2在复平面内对应的点位于( A )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【试题解答】 因为z ＝1＋i ，所以2z ＋z 2＝21＋i ＋(1＋i)2＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＋1＋2i ＋i 2＝2(1－i )2＋2i ＝1＋i ，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第一象限，故选A.3.(2020·福建福州五校联考)若复数1－b i2＋i(b ∈R ，i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则b 的值为( B )A.－6B.－3C.3D.6【试题解答】 解法一：由题意可设1－b i2＋i ＝a ＋a i(a ∈R )，即1－b i ＝(2＋i)(a ＋a i)，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ，－b ＝3a ∴b＝－3.解法二：1－b i 2＋i ＝(1－b i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝(2－b )－(1＋2b )i5，∴2－b ＝－(1＋2b )，解得b ＝－3.4.(2020·安徽合肥教学质量检测)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z 2＝－4，则1z ＝( D )A.－12B.－12iC.±12D.±12i【试题解答】 设z ＝x ＋y i(x ∈R ，y ∈R )，则(x ＋y i)2＝－4，即x 2－y 2＋2xy i ＝－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－4，2xy ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝±2，所以z ＝±2i ，1z ＝1±2i ＝±12i ，故选D.5.(2020·西藏拉萨十校联考)已知复数z 满足：|z |＝|3－2z |，且z 的实部为2，则|z －1|＝( B ) A.3 B.2 C.32D.2 3【试题解答】 设z ＝2＋b i(b ∈R )，根据题意得到4＋b 2＝1＋4b 2⇒b ＝±1，∴z ＝2±i.则|z －1|＝2，故选B.。
高2021届高2018级高三物理一轮复习第三章第1讲
五年高考(全国卷)命题分析五年常考热点五年未考重点牛顿第二定律的理解和应用201820161卷15题1卷18题1.牛顿第一定律和牛顿第三定律2.超重和失重问题3.瞬时问题4.动力学中的连接体问题5.动力学中的临界与极值问题6.传送带模型问题7.动力学两类基本问题v－t图象与牛顿第二定律的结合201920153卷20题1卷20题动力学方法处理滑块—木板模型问题201720153卷25题1卷25题、2卷25题实验：探究加速度与力、质量的关系20163卷23题拓展实验：测定物块与木板间的动摩擦因数2019201820152卷22题2卷23题2卷22题1.考查方式：牛顿运动定律的理解和应用是高中物理教学中最重要的问题,并且从近几年高考看,考查的频率很高,不只在选择题中考查牛顿运动定律的应用,在实验题和计算题中仍然是考查的重点.2.命题趋势：本部分内容高考命题存在以下特点和趋势：一是高考考查的重点,命题次数较多；二是题型全面,从选择题到实验题、再到计算题；三是命题趋势大体呈现以下特点：从以匀变速直线运动规律的应用为重点转向以动力学方法的应用为重点.第1讲牛顿三定律的理解一、牛顿第一定律惯性1.牛顿第一定律(1)内容：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态,除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态.(2)意义：①揭示了物体的固有属性：一切物体都有惯性,因此牛顿第一定律又叫惯性定律；②揭示了力与运动的关系：力不是维持物体运动的原因,而是改变物体运动状态的原因,即力是产生加速度的原因.2.惯性(1)定义：物体具有保持原来匀速直线运动状态或静止状态的性质.(2)量度：质量是惯性大小的唯一量度,质量大的物体惯性大,质量小的物体惯性小.(3)普遍性：惯性是物体的固有属性,一切物体都具有惯性,与物体的运动情况和受力情况无关. 判断正误(1)物体只有在不受外力作用时,才会有保持原有运动状态不变的性质,这个性质叫惯性,故牛顿第一定律又叫惯性定律.(×)(2)牛顿第一定律是牛顿第二定律在物体的加速度a＝0条件下的特例.(×)(3)伽利略根据理想实验推出,如果没有摩擦,在水平面上的物体,一旦具有某一个速度,将保持这个速度继续运动下去.(√)二、牛顿第二定律力学单位制1.牛顿第二定律(1)内容：物体加速度的大小跟它受到的作用力成正比、跟它的质量成反比,加速度的方向跟作用力的方向相同.(2)表达式：F＝ma.(3)适用范围①牛顿第二定律只适用于惯性参考系,即相对于地面静止或匀速直线运动的参考系.②牛顿第二定律只适用于宏观物体(相对于分子、原子等)、低速运动(远小于光速)的情况.2.力学单位制(1)单位制：基本单位和导出单位一起组成了单位制.(2)基本单位：基本物理量的单位.国际单位制中基本物理量共七个,其中力学有三个,是长度、质量、时间,单位分别是米、千克、秒.(3)导出单位：由基本物理量根据物理关系推导出来的其他物理量的单位.自测1(多选)关于运动状态与所受外力的关系,下列说法中正确的是()A.物体受到恒定的力作用时,它的运动状态不发生改变B.物体受到不为零的合力作用时,它的运动状态要发生改变C.物体受到的合力为零时,它一定处于静止状态D.物体的运动方向与它所受的合力的方向可能相同[参考答案]BD三、牛顿第三定律1.作用力和反作用力：两个物体之间的作用总是相互的,一个物体对另一个物体施加了力,后一个物体同时对前一个物体也施加力.2.内容：两个物体之间的作用力和反作用力总是大小相等、方向相反、作用在同一条直线上.3.表达式：F＝－F′.自测2某物体静止在水平桌面上,下列对它的描述正确的是()A.桌面对物体支持力的大小等于物体重力的大小,这两个力是一对平衡力B.物体所受的重力和桌面对它的支持力是一对作用力和反作用力C.物体对桌面的压力就是物体的重力,这两个力是同一种性质的力D.物体对桌面的压力和桌面对物体的支持力是一对平衡力[参考答案]A[试题解析] 桌面对物体支持力的大小等于物体重力的大小,作用在同一物体上,这两个力是一对平衡力,故A正确,B错误；物体对桌面的压力不是重力,它们的施力物体、受力物体、作用点都不相同,它们也不是同种性质的力,故C错误；物体对桌面的压力和桌面对物体的支持力是一对作用力与反作用力,故D错误.1.理想化状态牛顿第一定律描述的是物体不受外力时的状态,而物体不受外力的情形是不存在的.如果物体所受的合外力等于零,其运动效果跟不受外力作用时相同,物体保持静止状态或匀速直线运动状态.2.明确了惯性的概念牛顿第一定律揭示了一切物体所具有的一种固有属性——惯性,即物体保持原来的匀速直线运动状态或静止状态的性质.3.揭示了力与物体运动状态的关系力是改变物体运动状态的原因,而不是维持物体运动状态的原因.4.与牛顿第二定律的关系牛顿第一定律和牛顿第二定律是相互独立的.力是如何改变物体运动状态的问题由牛顿第二定律来回答.牛顿第一定律是经过科学抽象、归纳推理总结出来的,而牛顿第二定律是一条实验定律.例1如图1所示,滑板运动员沿水平地面向前滑行,在横杆前相对于滑板竖直向上起跳,人与滑板分离,分别从横杆的上、下通过,忽略人和滑板在运动中受到的阻力,则运动员()图1A.起跳时脚对滑板的作用力斜向后B.在空中水平方向先加速后减速C.越过杆后落在滑板的后方D.越过杆后仍落在滑板上起跳的位置[参考答案]D[试题解析] 由于运动员相对于滑板竖直向上起跳,与滑板在水平方向无力的作用,故二者水平方向速度始终相同.变式1伽利略对自由落体运动及运动和力的关系的研究,开创了科学实验和逻辑推理相结合的重要科学研究方法.图2(a)、(b)分别表示这两项研究中实验和逻辑推理的过程,对这两项研究,下列说法正确的是()图2A.图(a)通过对自由落体运动的研究,合理外推得出小球在斜面上做匀变速运动B.图(a)中先在倾角较小的斜面上进行实验,可“冲淡”重力,使时间测量更容易C.图(b)中完全没有摩擦阻力的斜面是实际存在的,实验可实际完成D.图(b)的实验为“理想实验”,通过逻辑推理得出物体的运动需要力来维持[参考答案]B[试题解析] 伽利略设想物体下落的速度与时间成正比,因为当时无法测量物体的瞬时速度,所以伽利略通过数学推导证明,如果速度与时间成正比,那么位移与时间的二次方就成正比.由于当时用滴水法计时,无法记录自由落体的较短时间,伽利略设计了让铜球沿阻力很小的斜面滚下,来“冲淡”重力的作用效果,而小球在斜面上运动的加速度要比它竖直下落的加速度小得多,运动相同位移所用时间长得多,所以容易测量.伽利略做了上百次实验,并通过抽象思维在实验结果上做了合理外推,得出了正确结论,故A错误,B正确；完全没有摩擦阻力的斜面是不存在的,故C错误；伽利略用抽象思维、数学推导和科学实验相结合的方法得到物体的运动不需要力来维持的结论,故D错误.变式2某同学为了取出如图3所示羽毛球筒中的羽毛球,一只手拿着球筒的中部,另一只手用力击打羽毛球筒的上端,则()图3A.此同学无法取出羽毛球B.羽毛球会从筒的下端出来C.羽毛球筒向下运动过程中,羽毛球受到向上的摩擦力才会从上端出来D.该同学是在利用羽毛球的惯性[参考答案]D[试题解析] 羽毛球筒被手击打后迅速向下运动,而羽毛球具有惯性要保持原来的静止状态,所以会从筒的上端出来,D正确.1.对牛顿第二定律的理解2.解题的思路和关键(1)取研究对象进行受力分析；(2)应用平行四边形定则或正交分解法求合力；(3)根据F合＝ma求物体的加速度a.例2(多选)(2016·全国卷Ⅰ·18)一质点做匀速直线运动,现对其施加一恒力,且原来作用在质点上的力不发生改变,则()A.质点速度的方向总是与该恒力的方向相同B.质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直C.质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同D.质点单位时间内速率的变化量总是不变 [参考答案]BC[试题解析] 质点一开始做匀速直线运动,处于平衡状态,施加恒力后,则该质点所受的合外力为该恒力.若该恒力方向与质点原运动方向不共线,则质点做曲线运动,质点速度方向与恒力方向不同,故A 错误；若恒力的方向某一时刻与质点运动方向垂直,之后质点做曲线运动,力与速度方向不再垂直,例如平抛运动,故B 正确；由牛顿第二定律可知,质点加速度方向总是与其所受合外力方向相同,C 正确；根据加速度的定义知,单位时间内速度变化量相同,而速率变化量不一定相同,故D 错误.变式3 关于速度、加速度和合外力之间的关系,下述说法正确的是( ) A.做匀变速直线运动的物体,它所受合外力是恒定不变的B.做匀变速直线运动的物体,它的速度、加速度、合外力三者总是在同一方向上C.物体受到的合外力增大时,物体的运动速度一定加快D.物体所受合外力为零时,一定处于静止状态 [参考答案]A[试题解析] 做匀变速直线运动的物体,加速度恒定不变,由牛顿第二定律知,它所受合外力是恒定不变的,且加速度与合外力方向相同,与速度方向在同一直线上,不一定在同一方向上,故A 正确,B 错误；物体受到的合外力增大时,加速度一定增大,物体的运动速度变化一定加快,而速度不一定加快,故C 错误；物体所受合外力为零时,物体的加速度一定等于零,速度不一定为零,故D 错误.例3 (2019·湖北十堰市上学期期末)如图4所示,处于自然状态下的轻弹簧一端固定在水平地面上,质量为m 的小球从弹簧的另一端所在位置由静止释放,设小球和弹簧一直处于竖直方向,弹簧的劲度系数为k ,重力加速度为g .在小球将弹簧压缩到最短的过程中,下列叙述中不正．．确．的是( )图4A.小球的速度先增大后减小B.小球的加速度先减小后增大C.小球速度最大时弹簧的形变量为mg kD.弹簧的最大形变量为mgk[参考答案]D[试题解析] 开始时,小球的重力大于弹力,加速度方向向下,小球向下加速运动,随着弹簧的压缩,弹力逐渐变大,则加速度逐渐减小,当弹力等于重力时,加速度为零,即mg ＝kx ,即x ＝mgk ,此时小球的速度最大,然后小球继续向下运动压缩弹簧,弹力大于重力,加速度变为向上,速度逐渐减小,直到速度减小到零,到达最低点,由对称性可知,此时弹簧的压缩量为2x ＝2mgk ,故选项A 、B 、C 正确,D 错误.变式4 (2019·宁夏银川市上学期期末)一个质量为2 kg 的物体,放在光滑水平面上,在水平面内3个共点力作用下处于平衡状态.现同时撤去大小分别为8 N 和12 N 的两个力,其余的力保持不变,关于此后该物体运动的说法正确的是( ) A.一定做匀变速直线运动,加速度大小可能是5 m/s 2B.一定做匀变速运动,加速度大小可能等于重力加速度的大小C.可能做匀减速直线运动,加速度大小是1.5 m/s 2D.可能做匀速圆周运动,向心加速度大小是6 m/s 2 [参考答案]B[试题解析] 由平衡条件得知,余下力的合力与撤去的两个力的合力大小相等、方向相反,则撤去大小分别为8 N 和12 N 的两个力后,物体的合力大小范围为4 N ≤F 合≤20 N,物体的加速度大小范围为：2 m/s 2≤a ≤10 m/s 2；若物体原来做匀速直线运动,撤去的两个力的合力方向与速度方向不在同一直线上时,物体做匀变速曲线运动,加速度大小可能是5 m/s 2,故A 错误；若物体原来做匀速直线运动,撤去的两个力的合力方向与速度方向相同时,物体做匀减速直线运动,加速度大小最小可能是2 m/s 2,不可能为1.5 m/s 2,故C 错误；撤去两个力后,一定做匀变速运动,加速度大小可能等于重力加速度的大小,故B 正确；撤去两个力后,物体受到的合力恒定,不可能做匀速圆周运动,故D 错误.变式5 (多选)(2019·山东泰安市3月第一轮模拟)雨滴在空气中下落时会受到空气阻力的作用.假设阻力大小只与雨滴的速率成正比,所有雨滴均从相同高度处由静止开始下落,到达地面前均达到最大速率.下列判断正确的是( ) A.达到最大速率前,所有雨滴均做匀加速运动 B.所有雨滴的最大速率均相等 C.较大的雨滴最大速率也较大 D.较小的雨滴在空中运动的时间较长 [参考答案]CD[试题解析] 根据牛顿第二定律可得a ＝mg －k v m,则雨滴下落时,随速度的增加,加速度逐渐减小,则达到最大速率前,所有雨滴均做加速度减小的变加速运动,选项A 错误；当a ＝0时速度最大,v m ＝mgk,则质量越大,最大速度越大,选项B 错误,C 正确；较小的雨滴在空中运动的最大速度较小,整个过程的平均速度较小,则在空中运动的时间较长,选项D 正确.1.相互作用力的特点(1)三同⎩⎪⎨⎪⎧同大小同时产生、变化、消失同性质(2)三异⎩⎪⎨⎪⎧反向异体，即作用力、反作用力作用在不同物体上不同效果(3)二无关⎩⎪⎨⎪⎧与相互作用的两物体的运动状态无关与是否和其他物体相互作用无关2.一对平衡力与作用力、反作用力的比较名称项目 一对平衡力 作用力与反作用力 作用对象 同一个物体两个相互作用的不同物体 作用时间 不一定同时产生、同时消失一定同时产生、同时消失力的性质 不一定相同 一定相同 作用效果可相互抵消不可抵消例4 (2020·广东深圳市上学期模拟)如图5所示,手推车的篮子里装有一篮球,女孩把手推车沿斜面向上匀速推动,篮子的底面平行于斜面,靠近女孩的右侧面垂直于底面,下列说法正确的有( )图5A.篮子底面受到的压力大于篮球的重力B.篮子对篮球的作用力小于篮球的重力C.人对篮球的作用力等于篮球的重力D.篮子右侧面受到的压力小于篮球的重力[参考答案]D[试题解析] 对篮球受力分析,并运用合成法如图所示：设斜面倾角为θ,根据几何知识可知,篮子底部对篮球的支持力大小F N1＝mg cos θ,根据牛顿第三定律,则篮子底面受到的压力大小为mg cos θ＜mg,A错误；篮子右侧面对篮球的支持力大小F N2＝mg sin θ,根据牛顿第三定律,则篮子右侧面受到的压力大小为mg sin θ＜mg,篮子对篮球的作用力为F N1、F N2的合力,大小等于篮球的重力,B错误,D正确；人对篮球没有作用力,C错误. 变式6如图6所示,跳水运动员最后踏板的过程可以简化为下述模型：运动员从高处落到处于自然状态的跳板上,随跳板一同向下做变速运动到达最低点,然后随跳板反弹,则()图6A.运动员与跳板接触的全过程中只有超重状态B.运动员把跳板压到最低点时,他所受外力的合力为零C.运动员能跳得高的原因从受力角度来看,是因为跳板对他的作用力远大于他的重力D.运动员能跳得高的原因从受力角度来看,是因为跳板对他的作用力远大于他对跳板的作用力[参考答案]C[试题解析] 运动员与跳板接触的下降过程中,先向下加速,然后向下减速,最后速度为零,则加速度先向下,然后向上,所以下降过程中既有失重状态也有超重状态,同理上升过程中也存在超重和失重状态,故A错误；运动员把跳板压到最低点时,跳板给运动员的弹力大于运动员受到的重力,合外力不为零,故B错误；从最低点到运动员离开跳板过程中,跳板对运动员的作用力做正功,重力做负功,二力做功位移一样,运动员动能增加,跳板对他的作用力大于他的重力,所以运动员跳得高,故C正确；跳板对运动员的作用力与运动员对跳板的作用力是一对作用力与反作用力,大小相等,故D错误.变式7(多选)如图7所示,用水平力F把一个物体紧压在竖直墙壁上静止,下列说法中正确的是()图7A.水平力F与墙壁对物体的弹力是一对作用力与反作用力B.物体的重力与墙壁对物体的静摩擦力是一对平衡力C.水平力F与物体对墙壁的压力是一对作用力与反作用力D.物体对墙壁的压力与墙壁对物体的弹力是一对作用力与反作用力[参考答案]BD[试题解析] 水平力F与墙壁对物体的弹力作用在同一物体上,大小相等、方向相反,且作用在同一条直线上,是一对平衡力,选项A错误；物体在竖直方向上受竖直向下的重力以及墙壁对物体竖直向上的静摩擦力的作用,因物体处于静止状态,这两个力是一对平衡力,选项B正确；水平力F作用在物体上,而物体对墙壁的压力作用在墙壁上,这两个力不是平衡力,也不是相互作用力,选项C错误；物体对墙壁的压力与墙壁对物体的弹力是两个物体间的相互作用力,是一对作用力与反作用力,选项D正确.拓展点牛顿第三定律在受力分析中的应用由于作用力与反作用力的关系,当待求的某个力不容易求时,可先求它的反作用力,再反过来求待求力.如求压力时,可先求支持力.例5(2020·河北邢台市质检)一个箱子放在水平地面上,箱内有一固定的竖直杆,在杆上套着一个环,箱与杆的质量为M,环的质量为m,如图8所示.已知环沿杆匀加速下滑时,环与杆间的摩擦力大小为F f,重力加速度为g,则此时箱子对地面的压力大小为()图8A.Mg＋F fB.Mg－F fC.Mg＋mgD.Mg－mg[参考答案]A[试题解析] 环在竖直方向上受重力及箱子内的杆给它的竖直向上的摩擦力F f,受力情况如图甲所示,根据牛顿第三定律,环应给杆一个竖直向下的摩擦力F f′,故箱子竖直方向上受重力Mg、地面对它的支持力F N及环给它的摩擦力F f′,受力情况如图乙所示,由于箱子处于平衡状态,可得F N＝F f′＋Mg＝F f＋Mg.根据牛顿第三定律,箱子对地面的压力大小等于地面对箱子的支持力大小,即F N′＝Mg＋F f,故选项A正确.变式8(2019·辽宁沈阳市模拟)如图9所示,质量为m的物体放在质量为M、倾角为θ的斜面体上,斜面体置于粗糙的水平地面上,用平行于斜面的力F拉物体使其沿斜面向下匀速运动,斜面体始终静止,重力加速度为g,则下列说法正确的是()图9A.斜面体对地面的摩擦力大小为F cos θB.斜面体对地面的支持力为(M＋m)gC.物体对斜面体的摩擦力的大小为FD.斜面体对物体的作用力竖直向上[参考答案]A[试题解析] 由于斜面体和物体都处于平衡状态,将斜面体和物体看成一个整体,由受力情况可得：地面对斜面体的摩擦力大小为F cos θ,地面对斜面体的支持力大小为(M＋m)g＋F sin θ,由牛顿第三定律可知,A对,B错；隔离物体进行受力分析,斜面体对物体的摩擦力大小为F＋mg sin θ,由牛顿第三定律可知,C错；斜面体对物体的作用力即为物体受到的支持力与摩擦力的合力,由力的合成可知斜面体对物体的作用力与物体的重力和F的合力大小相等、方向相反,故斜面体对物体的作用力不在竖直方向上,D错.1.下列说法正确的是()A.力是维持物体运动的原因B.物体的速度方向改变,则加速度方向一定改变C.物体运动状态的改变是指其加速度在变化D.物体运动状态的改变是指其速度在变化[参考答案]D[试题解析] 力是改变物体运动状态的原因,不是维持物体运动的原因,故A 错误；速度方向改变,但加速度方向不一定改变,如平抛运动,故B 错误；运动状态是指物体的速度,故运动状态的改变即为速度的改变,故C 错误,D 正确.2.在某次交通事故中一辆载有30吨“工”字形钢材的载重汽车由于避让横穿马路的电动车而紧急制动,结果车厢上的钢材向前冲出,压扁驾驶室.关于这起事故原因的分析正确的是( )A.由于车厢上的钢材有惯性,在汽车制动时,继续向前运动,压扁驾驶室B.由于汽车紧急制动,使其惯性减小,而钢材惯性较大,所以继续向前运动C.由于车厢上的钢材所受阻力太小,不足以克服其惯性,所以继续向前运动D.由于汽车制动前的速度太大,汽车的惯性比钢材的惯性大,在汽车制动后,钢材继续向前运动[参考答案]A3.夸克(quark)是一种基本粒子,也是构成物质的基本单元.其中正、反顶夸克之间的强相互作用势能可写为E p ＝－k 4αs 3r,式中r 是正、反顶夸克之间的距离,αs 是无单位的常量,k 是与单位制有关的常数,则在国际单位制中常数k 的单位是( )A.N·mB.NC.J/mD.J·m[参考答案]D[试题解析] 由题意有k ＝－3E p r 4αs ,αs 是无单位的常量,E p 的国际单位是J,r 的国际单位是m,则在国际单位制中常数k 的单位是J·m,D 正确,A 、B 、C 错误.4.(2020·陕西黄陵中学模拟)我国首台新型墙壁清洁机器人“蜘蛛侠”是由青岛大学学生自主研制开发的,“蜘蛛侠”利用8只“爪子”上的吸盘吸附在接触面上,通过“爪子”交替伸缩,就能在墙壁或玻璃上自由移动.如图1所示,假设“蜘蛛侠”在竖直玻璃墙面上由A 点沿直线匀加速“爬行”到右上方B 点,在这一过程中,关于“蜘蛛侠”在竖直面内的受力分析正确的是( )图1[参考答案]C[试题解析] “蜘蛛侠”由A点到B点做匀加速直线运动,则根据牛顿第二定律可知,在竖直平面内“蜘蛛侠”所受合力方向应该是从A点指向B点,故C正确,A、B、D错误.5.(2019·福建宁德市期末质检)我国自主研制的水陆两栖飞机“鲲龙”AG600已试飞成功.当“鲲龙”AG600在水面加速直线滑行时,受到的合力()A.大小为零B.方向竖直向上C.方向与滑行方向相同D.方向沿滑行方向斜向上[参考答案]C[试题解析] “鲲龙”AG600在水面做加速直线运动,加速度方向与滑行方向相同,由牛顿第二定律知合外力方向与加速度方向相同,所以合外力方向与滑行方向相同,故选C.6.(2019·河南九师联盟质检)如图2所示,物块M左侧贴着一竖直墙面,物块N置于物块M上.现将竖直向上的恒力F作用在M上,M、N一起向上做匀减速直线运动.M、N之间相对静止,物块N的质量为m,重力加速度为g,不计空气阻力.下列说法正确的是()图2A.物块N可能只受到一个力B.物块M与墙面之间一定没有摩擦力C.物块N对物块M的作用力大小可能为mgD.物块M与N之间可能没有摩擦力,但一定有弹力[参考答案]B[试题解析] 若物块N只受到一个力,那一定是重力,则N的加速度是向下的g,整体的加速度也是向下的g,则F只能为零,故假设错误,选项A错误；对MN的整体,水平方向合力为零,则M 与墙壁之间无压力,则物块M与墙面之间一定没有摩擦力,选项B正确；对物块N受力分析,重力向下、物块M对N的弹力斜向右上方,因N所受合力竖直向下,可知M一定对N有沿斜面向上的摩擦力,D错误；对物块N,根据牛顿第二定律：mg－F MN＝ma,可知F MN＜mg,结合牛顿第三定律可知,物块N对物块M的作用力小于mg,选项C错误.7.(2019·山东淄博市二模)一个质量为m的物块放在倾角为θ的固定斜面上.现对物块施加一个。
高2021届高2018级高三第一轮复习小专题训练30分钟第二章小题型7
类型一连续反应型1.向NaOH溶液中通入CO2至过量2.向澄清石灰水中通入CO2至过量3.向氨水中通入少量SO24.向氨水中通入过量SO25.向AlCl3溶液中逐滴滴入NaOH溶液至过量6.向NaOH溶液中逐滴滴入AlCl3溶液至过量7.向NaAlO2溶液中逐滴滴入盐酸至过量8.向盐酸中逐滴滴入NaAlO2至过量9.向NaAlO2溶液中通入CO2,由少量至过量类型二酸式盐和碱反应型10.向NaHCO3溶液中加入足量澄清石灰水11.向NaHCO3溶液中加入少量澄清石灰水12.向Ca(HCO3)2溶液中加入少量NaOH溶液13.向Ca(HCO3)2溶液中加入足量NaOH溶液14.向Mg(HCO3)2溶液中加入少量的澄清石灰水15.向Mg(HCO3)2溶液中加入足量的澄清石灰水类型三限制条件型16.向Ba(OH)2溶液中逐滴加入NaHSO4溶液至刚好沉淀完全17.向NaHSO4溶液中逐滴加入Ba(OH)2溶液至中性18.氢氧化钡溶液与KAl(SO4)2·12H2O(明矾)的反应生成沉淀的物质的量最大：____________________________________________________ ________________________________________________________________________。
生成沉淀的质量最大：________________________________________________________ ________________________________________________________________________。
类型四反应顺序竞争型19.向NH4HCO3溶液中加入少量NaOH溶液20.向稀HNO3中逐渐加入铁至过量21.向FeBr2溶液中通入Cl2从少量至过量22.向FeI2溶液中通入Cl2从少量至过量综合训练23.(2020·太原质检)向含a mol Ba(OH)2的溶液中加入b mol NaHSO4,下列说法不正确的是()A.当a≥b时,发生的离子反应为Ba2＋＋SO2－4＋H＋＋OH－===BaSO4↓＋H2OB.当2a≤b时,发生的离子反应为Ba2＋＋SO2－4＋2H＋＋2OH－===BaSO4↓＋2H2OC.当3a＝2b时,发生的离子反应为2Ba2＋＋2SO2－4＋3H＋＋3OH－===2BaSO4↓＋3H2OD.当a<b<2a时,溶液中SO2－4与OH－的物质的量之比为(b－a)∶(2b－a)24.(2019·衡阳八中质检)向FeCl3、Al2(SO4)3的混合溶液中逐滴加入Ba(OH)2(aq),形成沉淀的情况如图所示。
【高考推荐】2020-2021高考语文二轮复习第一部分考点定向突破练考点练5简明、得体、准确、鲜明、生动
考点练5 简明、得体、准确、鲜明、生动1．[2018·全国卷Ⅰ]下面是某校一则启事初稿的片段，其中有五处不合书面语体的要求，请找出并作修改。
(5分)我校学生宿舍下水道时常堵住。
后勤处认真调查了原因，发现管子陈旧，需要换掉。
学校打算7月15日开始施工。
施工期间正遇上暑假，为安全起见，请全体学生暑假期间不要在校住宿。
望大家配合。
答：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．[2018·全国卷Ⅱ]下面是某报社一则启事初稿的片段，其中有五处词语使用不当，请找出并作修改。
要求修改后语意准确，语体风格一致。
(5分)如果您是重大事件的参加者，事故现场的目击者，业界内幕的打探者，社会热点的关爱者……请与我报“社会深度”栏目联系。
本栏目长期公开征询有价值的新闻线索，等着您的支持。
答：________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3．[2018·全国卷Ⅲ]下面是一封信的主要内容，其中有五处不得体，请找出并作修改。
高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及参考答案 (14)
[高2021届高2018级高三数学一轮专题训练14]第十一讲 导数的概念及运算A 组基础巩固一、单选题1.已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′(π2)＝( C )A.－3π2B.－1π2C.－3πD.－1π【试题解答】 f (π)＝－1π，f ′(x )＝－x sin x －cos x x 2，f ′(π2)＝－2π，∴f (π)＋f ′(π2)＝－3π.故选C. 2.(2020·江西上高二中月考)函数f (x )＝e 2xx 的导函数为( B )A.f ′(x )＝2e 2xB.f ′(x )＝(2x －1)e 2xx 2C.f ′(x )＝2e 2xxD.f ′(x )＝(x －1)e 2xx 2【试题解答】 f ′(x )＝(e 2x )′x －e 2x ·x ′x 2＝2e 2x ·x －e 2x x 2＝(2x －1)e 2xx 2.故选B.3.(2020·福建福州八县联考，11)已知函数f (x )的导函数是f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln 1x ，则f (1)＝( B )A.－eB.2C.－2D.e【试题解答】 由已知得f ′(x )＝2f ′(1)－1x ，令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)－1，解得f ′(1)＝1，则f (1)＝2f ′(1)＝2.4.(2020·广东深圳模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋(1－a )x ＋2x 是奇函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的倾斜角为( B )A.π4B.3π4C.π3D.2π3【试题解答】 由函数f (x )＝ax 2＋(1－a )x ＋2x 是奇函数，得f (－x )＝－f (x )，可得a ＝0，则f (x )＝x ＋2x ，f ′(x )＝1－2x 2，故曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率k ＝1－2＝－1，可得所求切线的倾斜角为3π4，故选B.5.(2020·湖北黄冈模拟，4)已知直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则实数m 的值为( B )A.－1eB.－eC.1eD.e【试题解答】 设切点坐标为(n ，1m )，对y ＝x e x 求导得y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ，若直线y ＝1m 是曲线y＝x e x 的一条切线，则有y ′|x ＝n ＝e n ＋n e n ＝0，解得n ＝－1，此时有1m ＝n e n ＝－1e，∴m ＝－e.故选B.6.(2020·湖南娄底二模，5)已知f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝－xx －2，则函数图象在x ＝－1处的切线方程是( A )A.2x －y ＋1＝0B.x －2y ＋2＝0C.2x －y －1＝0D.x ＋2y －2＝0【试题解答】 当x ＜0时，－x >0，∴f (－x )＝－x x ＋2，∴f (x )＝xx ＋2(x ＜0)，又f ′(－1)＝2，f (－1)＝－1，∴切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即2x －y ＋1＝0.故选A.7.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( B )A.－1B.0C.2D.4【试题解答】 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×(－13)＝0.二、多选题8.(2020·珠海调考改编)下列求导运算不正确的是( ACD ) A.(x ＋1x )′＝1＋1x 2B.(log 2x )′＝1x ln 2C.(3x )′＝3x ·log 3eD.(x 2cos x )′＝－2x sin x【试题解答】 因为(x ＋1x )′＝1－1x 2，所以选项A 不正确；因为(log 2x )′＝1x ln 2，所以选项B 正确；因为(3x )′＝3x ln 3，所以选项C 不正确；因为(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以选项D 不正确.故选A 、C 、D.9.已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，如果f ′(x )是二次函数，f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点处的切线的倾斜角α的值可能为( CD )A.π6 B.π4 C.π3D.5π12【试题解答】 依题意得f ′(x )≥3，即曲线y ＝f (x )在任意一点处的切线斜率不小于3，故其倾斜角为不小于π3的锐角，故选C 、D.10.(2020·山东模拟改编)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质.下列函数中不具有T 性质的是( BCD )A.y ＝sin xB.y ＝ln xC.y ＝e xD.y ＝x 3【试题解答】 设函数y ＝f (x )图象上的两点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则由题意知只需函数y ＝f (x )满足f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1即可.y ＝f (x )＝sin x 的导函数为f ′(x )＝cos x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1有无数组解，故函数y ＝sin x 具有T 性质；y ＝f (x )＝ln x 的导函数为f ′(x )＝1x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝1x 1x 2>0，故函数y ＝ln x 不具有T 性质；y ＝f (x )＝e x 的导函数为f ′(x )＝e x ，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝e x 1＋x 2>0，故函数y ＝e x 不具有T 性质；y ＝f (x )＝x 3的导函数为f ′(x )＝3x 2，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝9x 21x 22≥0，故函数y ＝x 3不具有T 性质.故选B 、C 、D.三、填空题11.(1)(2018·天津，10)已知函数f (x )＝e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(1)的值为__e__； (2)(2020·长春模拟)若函数f (x )＝ln xx ，则f ′(2)＝ 1－ln24； (3)函数y ＝x ·tan x 的导数为y ′＝ tan x ＋xcos x .【试题解答】 (1)本题主要考查导数的计算. ∵f (x )＝e x ln x ，∴f ′(x )＝e x (ln x ＋1x )，∴f ′(1)＝e 1×(ln1＋1)＝e.(2)由f ′(x )＝1－ln x x 2，得f ′(2)＝1－ln24.(3)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·(sin xcos x )′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋xcos 2x.12.(2020·广州调研)已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为__1＋ln_2__.【试题解答】 由y ＝x ln x 得，y ′＝ln x ＋1.设直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切于点P (x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，又直线y ＝kx －2恒过点(0，－2)，所以点(0，－2)在切线上，把(0，－2)以及y 0＝x 0ln x 0代入切线方程，得x 0＝2，故P (2,2ln 2).把(2,2ln 2)代入直线方程y ＝kx －2，得k ＝1＋ln 2.13.(2020·上饶模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小值为2 .【试题解答】 因为定义域为(0，＋∞)，由y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1，则在P (1,1)处的切线方程为x －y ＝0，所以两平行线间的距离为d ＝22＝ 2. B 组能力提升1.(2020·湖南长沙长郡中学模拟)等比数列{a n }中，a 2＝2，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)(x －a 3)，则f ′(0)＝( B )A.8B.－8C.4D.－4【试题解答】 f ′(x )＝(x －a 1)(x －a 2)(x －a 3)＋x [(x －a 1)(x －a 2)(x －a 3)]′，∴f ′(0)＝－a 1a 2a 3＝－a 32＝－8.2.如图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图象，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象可能是( D )【试题解答】 由y ＝f ′(x )的图象知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A ，C.又由图象知y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图象在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故可排除B.3.(2020·山西太原模拟)已知函数f (x )＝x ln x ＋a 的图象在点(1，f (1))处的切线经过原点，则实数a 的值为( A )A.1B.0C.1eD.－1【试题解答】 ∵f (x )＝x ln x ＋a ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，f (1)＝a ，∴切线方程为y ＝x －1＋a ，∴0＝0－1＋a ，解得a ＝1.故选A.4.(2020·四川名校联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( C )A.0＜f ′(2)＜f ′(3)＜f (3)－f (2)B.0＜f ′(3)＜f ′(2)＜f (3)－f (2)C.0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)D.0＜f (3)－f (2)＜f ′(2)＜f ′(3)【试题解答】 设f ′(3)，f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，f ′(2)分别表示直线n ，m ，l 的斜率，数形结合知0＜f ′(3)＜f (3)－f (2)＜f ′(2)，故选C.5.已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ，b ∈R )，f ′(x )为f (x )的导函数，则f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝( D )A.0B.2 014C.2 015D.8【试题解答】 因为f (x )＝a sin x ＋bx 3＋4(a ，b ∈R )，所以f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2，则f (x )－4＝a sin x ＋bx 3是奇函数，且f ′(x )＝a cos x ＋3bx 2为偶函数，所以f (2 014)＋f (－2 014)＋f ′(2 015)－f ′(－2 015)＝[f (2 014)－4]＋[f (－2 014)－4]＋8＝8.。
高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及考试参考答案 (1)
[考案1]第一章综合过关规范限时检测(时间：45分钟满分100分)一、单选题(本大题共7个小题，每小题5分，共35分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1.(2020·兰州市高三诊断考试)已知集合A＝{x∈N|－1＜x＜4}，B⊆A，则集合B中的元素个数至多是(B)A.3B.4C.5D.6【试题解答】因为A＝|x∈N|－1＜x＜4}＝{0,1,2,3}，且B⊆A，所以集合B中的元素个数至多是4，故选B.2.(2018·课标全国Ⅲ，1)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(C)A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【试题解答】本题考查集合的运算.∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}，故选C.3.(2020·成都市二诊)设全集U＝R，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|x≤－2或x≥1}，则A∩(∁U B)＝(A)A.{x|－1＜x＜1}B.{x|－2＜x＜3}C.{x|－2≤x＜3}D.{x|x≤－2或x>－1}【试题解答】由题意知∁U B＝{x|－2＜x＜1}，则A∩(∁U B)＝{x|－1＜x＜3}∩{x|－2＜x＜1}＝{x|－1＜x＜1}.4.(2020·宁夏中卫模拟)命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是(D)A.若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B.若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C.若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D.若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0【试题解答】命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.5.(2020·山东潍坊重点高中联考)毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的(B)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【试题解答】解法一：由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城，因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.解法二：设¬p为不到长城，推出¬q非好汉，即¬p⇒¬q，由原命题与其逆否命题等价可知q⇒p，即好汉⇒到长城，故“到长城”是“好汉”的必要不充分条件.故选B.6.下列命题中，真命题是( D )A.命题“若a >b ，则ac 2>bc 2”B.命题“若a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆命题C.命题“当x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题D.命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”的逆否命题【试题解答】 命题“若a >b ，则ac 2>bc 2”是假命题，如a >b 且c ＝0时，ac 2＝bc 2；命题“若a ＝b ，则|a |＝|b |”的逆命题为“若|a |＝|b |，则a ＝b ”是假命题；命题“当x ＝2时，x 2－5x ＋6＝0”的否命题为“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”是假命题；命题“终边相同的角的同名三角函数值相等”是真命题，其逆否命题与原命题等价，为真命题，故选D.7.(2020·广东汕头模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0，均有2x －a >0.若“¬p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( C )A.(－∞，－2)B.(－2,1]C.(1,2)D.(1，＋∞)【试题解答】 若方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根，则判别式Δ＝a 2－4＜0，即－2＜a ＜2，即p ：－2＜a ＜2.∀x >0,2x －a >0则a ＜2x ，当x >0时，2x >1，则a ≤1，即q ：a ≤1.∵¬p 是假命题，∴p 是真命题.∵p ∧q 是假命题，∴q 是假命题，即⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1＜a ＜2.故选C. 二、多选题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)8.(2020·重庆市第一次调研抽测改编)已知集合A ＝{1,2，m }，B ＝{3,4}，若A ∪B ＝{1,2,3,4}，则实数m 可以为( CD )A.1B.2C.3D.4 【试题解答】 解法一：由题意知m 是B 中的元素，则m ＝3或4，故选C 、D.解法二：由集合中元素的互异性知，m ≠1且m ≠2，故排除选项A 、B ，选C 、D.9.(2020·福建三明一中期中改编)下列选项中错误的有( ABC )A.命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”B.“A ≠∅”是“A ∩B ≠∅”的充分不必要条件C.命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x －1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x －1>0”D.命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题【试题解答】 对于A ，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2≠1，则x ≠1”∴A 错误； 对于B ，由“A ≠∅”是得不到“A ∩B ≠∅”，即“A ≠∅”是“A ∩B ≠∅”不充分条件，由“A ∩B ≠∅”可知“A ≠∅”，即“A ≠∅”是“A ∩B ≠∅”必要条件，故“A ≠∅”是“A ∩B ≠∅”必要不充分条件，∴B 错误；对于C ，命题“∃x ∈R ，使得x 2＋x －1＜0”的否定是“∀x ∈R ，使得x 2＋x －1≥0”，∴C 错误； 对于D ，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，根据互为逆否命题的两个命题同真假，可知，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题，∴D 正确；故A 、B 、C.10.(2020·凤城市第一中学高一月考改编)不等式1≤|x |≤4成立的充分不必要条件为( AB )A.[－4，－1]B.[1,4]C.[－4，－1]∪[1,4]D.[－4,4]【试题解答】 由不等式1≤|x |≤4，解得：－1≤x ≤－1或1≤x ≤4，对于A ，B 选项中的集合是不等式解集的真子集，∴不等式1≤|x |≤4成立的充分不必要条件为A ，B.故选A 、B.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)11.(2018·湖南卷)已知集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∪(∁U B )＝__{1,2,3}__. 【试题解答】 ∵∁U B ＝{2}，∴A ∪(∁U B )＝{1,2,3}.12.(2020·江西上饶模拟)命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是 ∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0 .【试题解答】 因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是“∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0”.13.(2020·湖南常德一中模拟)条件p ：1－x ＜0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是__(－∞，1)__.【试题解答】 p ：x >1，若p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 但qp ，也就是说，p 对应的集合是q 对应的集合的真子集，所以a ＜1.14.(2020·衡水金卷A 信息卷(五)，14)命题p ：若x >0，则x >a ；命题q ：若m ≤a －2，则m ＜sin x (x ∈R )恒成立.若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是__[0,1)__.【试题解答】 命题p 的逆命题是若x >a ，则x >0，故a ≥0.因为命题q 的逆否命题为真命题，所以命题q 为真命题，则a －2＜－1，解得a ＜1.则实数a 的取值范围是[0,1).四、解答题(本大题共2个小题，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分15分)已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}，a ∈R .(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围.【试题解答】 A ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －a )(x －3a )＜0}.(1)当a ＝0时，B ＝∅，不符合题意，当a >0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，要满足题设条件，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4，解得43≤a ≤2. 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，要满足题设条件，则⎩⎪⎨⎪⎧3a ≤2，a ≥4，无解. 综上可知：43≤a ≤2. (2)要满足A ∩B ＝∅.当a >0时，B ＝{x |a ＜x ＜3a }，则a ≥4或3a ≤2，即0＜a ≤23或a ≥4， 当a ＜0时，B ＝{x |3a ＜x ＜a }，则a ≤2或3a ≥4，即a ＜0，当a ＝0时，B ＝∅，满足题意.综上可知：a ≤23或a ≥4. 16.(本小题满分15分)设命题p ：方程x 28－a ＋y 2a －4＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：函数f (x )＝13x 3＋3(3－a )2x 2＋9x 无极值. (1)若p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若“p ∧q ”为假命题，“p ∨q ”为真命题，求实数a 的取值范围.【试题解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ 8－a >0a －4>08－a >a －4得4＜a ＜6， ∴实数a 的取值范围为(4,6).(2)由题意知p ，q 一真一假，q 为真时，则f ′(x )＝x 2＋3(3－a )x ＋9≥0恒成立，∴Δ＝9(3－a )2－36≤0得1≤a ≤5，若p 真q 假，5＜a ＜6；若q 真p 假，1≤a ≤4.综上，实数a 的取值范围是[1,4]∪(5,6).。
高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及参考答案 (23)
[高2021届高2018级高三数学一轮专题训练23]第四讲 三角函数的图象与性质A 组基础巩固一、单选题1.(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin (2x ＋π3)的最小正周期为( C )A.4πB.2πC.πD.π2【试题解答】 函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.故选C.2.(2020·山东省实验中学高三第一次诊断)设函数f (x )＝sin (2x －π2)(x ∈R )，则f (x )是( B )A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数D.最小正周期为π2的偶函数【试题解答】 ∵f (x )＝sin (2x －π2)＝－sin (π2－2x )＝－cos 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且为偶函数.故选B.3.已知函数y ＝2cos x 的定义域为[π3，π]，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( B )A.2B.3C.3＋2D.2－ 3【试题解答】 因为x ∈[π3，π]，所以cos x ∈[－1，12]，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b －a ＝3.4.y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( D ) A.[－π2，π2]B. [0，π]C.[π，3π2]D.[3π2，2π]【试题解答】 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图).故选D.5.若函数y ＝sin (ωx ＋π6)在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( D )A.π2B.π3C.π4D.π6【试题解答】 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，因为ω>0，所以当k ＝0时，ωmin ＝π6.故选D.6.(2020·辽宁抚顺调研)设函数f (x )＝sin(12x ＋θ)－3cos(12x ＋θ)(|θ|＜π2)的图象关于原点对称，则角θ＝( D )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【试题解答】 ∵f (x )＝2sin(12x ＋θ－π3)，且f (x )的图象关于原点对称，∴f (0)＝2sin(θ－π3)＝0，即sin(θ－π3)＝0，∴θ－π3＝k π(k ∈Z )，即θ＝π3＋k π(k ∈Z )，又|θ|＜π2，∴θ＝π3. 二、多选题7.(2020·海淀区模拟改编)已知函数f (x )＝sin (ωx ＋π4)的最小正周期为π，则ω＝( CD )A.1B.－1C.2D.－2【试题解答】 因为T ＝2π|ω|，所以|ω|＝2πT＝2，故ω＝±2.故选C 、D. 8.(2020·河南南阳四校联考改编)已知函数f (x )＝3cos (2x －π3)(x ∈R )，下列结论错误的是( BC )A.函数f (x )的最小正周期为πB.函数f (x )的图象关于点(5π6，0)对称C.函数f (x )在区间[0，π2]上是减函数D.函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称【试题解答】 由题意可得函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故A 正确；当x ＝5π6时，f (5π6)＝3cos (2×5π6－π3)＝1，所以函数f (x )的图象不关于点(5π6，0)对称，故B 不正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，函数f (x )不单调，故C 不正确；当x ＝π6时，f (π6)＝3cos (2×π6－π3)＝3，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，故D 正确.综上选B 、C.三、填空题9.若y ＝cos x 在区间[－π，α]上为增函数，则实数α的取值范围是__－π＜α≤0__.10.(2018·江苏，7)已知函数y ＝sin (2x ＋φ)(－π2＜φ＜π2)的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值是 －π6 .【试题解答】 本题考查正弦函数的图象和性质. ∵函数y ＝sin (2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π3对称，∴x ＝π3时，函数取得最大值或最小值，∴sin (2π3＋φ)＝±1，∴2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π－π6(k ∈Z )， 又－π2＜φ＜π2，∴φ＝－π6.11.(2020·山东师范大学附属中学模拟)函数y ＝sin 2x －4cos x ＋1的最大值为__5__.【试题解答】 y ＝sin 2x －4cos x ＋1＝－cos 2x －4cos x ＋2＝－(cos x ＋2)2＋6，∵－1≤cos x ≤1，∴cos x ＝－1时，y 取得最大值为5.12.函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是__π__，单调减区间是 [k π＋3π8，k π＋7π8]，k ∈Z .【试题解答】 ∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝12(1－cos 2x )＋12sin 2x ＋1＝22sin (2x －π4)＋32，∴最小正周期是π.由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z ).∴单调减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8]，k ∈Z . 四、解答题13.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω>0,0＜φ＜2π3)的最小正周期为π.(1)当f (x )为偶函数时，求φ的值；(2)若f (x )的图象过点(π6，32)，求f (x )的单调递增区间.【试题解答】 由f (x )的最小正周期为π， 则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin (2x ＋φ).(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x ). 所以sin (2x ＋φ)＝sin (－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立，所以cos φ＝0.因为0＜φ＜2π3，所以φ＝π2.(2)因为f (π6)＝32，所以sin (2×π6＋φ)＝32，即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又因为0＜φ＜2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin (2x ＋π3)，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，故f (x )的递增区间为[k π－5π12，k π＋π12](k ∈Z ).14.(2020·武汉市调研测试)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋a (a 为常数). (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在[0，π2]上有最小值1，求a 的值.【试题解答】 (1)f (x )＝2(32sin 2x ＋12cos 2x )＋a ＝2sin (2x ＋π6)＋a ，令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，所以k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z ).(2)当0≤x ≤π2时，π6≤2x ＋π6≤76π，所以－12≤sin (2x ＋π6)≤1，所以当x ＝π2时，f (x )有最小值，最小值为a －1＝1，所以a ＝2.B 组能力提升1.(多选题)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( AD ) A.f (x )的最小正周期为π B.f (x )最大值为3 C.f (x )的最小正周期为2π D.f (x )最大值为4【试题解答】 本题主要考查三角函数变换及三角函数的性质.f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝2(1－sin 2x )－sin 2x ＋2＝4－3sin 2x ＝4－3×1－cos 2x 2＝52＋3cos 2x2，∴f (x )的最小正周期T ＝π，当cos 2x ＝1时，f (x )取最大值为4，故选A 、D.2.(多选题)(2020·武汉调研测试改编)已知函数f (x )＝sin (2x ＋φ)＋a cos (2x ＋φ)(0＜φ＜π)的最大值为2，且满足f (x )＝f (π2－x )，则φ＝( BC) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6【试题解答】 由f (x )的最大值为2，知1＋a 2＝2，即a ＝±3，所以f (x )＝2sin (2x ＋φ±π3)，由f (x )＝f (π2－x )知f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以当x ＝π4时，2x ＋φ±π3＝k π＋π2，即φ＝k π±π3(k ∈Z ).又因为0＜φ＜π，所以φ＝π3或2π3.故选B 、C.3.如果函数y ＝12sin ωx 在区间[－π8，π12]上单调递减，那么ω的取值范围是( B )A.[－6,0)B.[－4,0)C.(0,4]D.(0,6]【试题解答】 解法一：因为函数y ＝12sin ωx 在区间[－π8，π12]上单调递减，所以ω＜0且函数y ＝12sin(－ωx )在区间[－π12，π8]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ω<0，－ω·(－π12)≥2k π－π2，k ∈Z ，－ω·π8≤2k π＋π2，即⎩⎪⎨⎪⎧ω<0，ω≥24k －6，k ∈Z ，ω≥－16k －4，求得－4≤ω＜0.故选B.解法二：代值检验法，当ω＝1时，y ＝12sin x 在[－π2，π2]上单调递增，排除选项C ，D ；当ω＝－6时，y ＝12sin (－6x )＝－12sin 6x 在[－π8，－π12]上单调递增，在[－π12，π12]上单调递减，排除选项A.故选B. 4.(2020·广东高三六校第一次联考)已知A 是函数f (x )＝sin(2 018x ＋π6)＋cos (2 018x －π3)的最大值，若存在实数x 1，x 2使得对任意实数x 总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则A ·|x 1－x 2|的最小值为( B )A.π2 018 B.π1 009 C.2π1 009D.π4 036【试题解答】 函数f (x )＝sin (2 018x ＋π6)＋cos [－π2＋(2 018x ＋π6)]＝sin (2 018x ＋π6)＋cos [π2－(2 018x＋π6)]＝2sin (2 018x ＋π6)，所以A ＝2.因为存在实数x 1，x 2使得对任意实数x 总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值是函数f (x )＝2sin (2 018x ＋π6)的周期的二分之一，则A ·|x 1－x 2|的最小值为函数的一个周期2π2 018＝π1 009.故选B. 5.已知函数f (x )＝4tan x sin (π2－x )cos (x －π3)－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间[－π4，π4]上的单调性.【试题解答】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z ， f (x )＝4tan x cos x cos (x －π3)－ 3＝4sin x cos (x －π3)－3＝4sin x (12cos x ＋32sin x )－ 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin (2x －π3).所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .所以，当x ∈[－π4，π4]时，f (x )在区间[－π12，π4]上单调递增，在区间[－π4，－π12]上单调递减.。
2018版高考物理一轮复习(练习)：第三章 牛顿运动定律 第2讲 Word版含解析
必修一 第三章 第2讲一、选择题(本题共8小题，1～4题为单选，5～8题为多选)1．(2017·河南中原名校联考)如图所示，质量为m 的球置于斜面上，被一个竖直挡板挡住，现用一个力F 拉斜面，使斜面在水平面上做加速度为a 的匀加速直线运动，忽略一切摩擦，以下说法中正确的是导学号 51342298( D )A ．若加速度足够小，竖直挡板对球的弹力可能为零B ．若加速度足够大，斜面对球的弹力可能为零C ．斜面和挡板对球的弹力的合力等于maD ．斜面对球的弹力不仅有，而且是一个定值[解析] 小球受到重力mg 、斜面的支持力F N2、竖直挡板的水平弹力F N1，设斜面的倾角为α，则竖直方向有：F N2cos α＝mg ；因为mg 和α不变，故无论加速度如何变化，F N2不变且不可能为零，故B 错误，D 正确。
水平方向有：F N1－F N2sin α＝ma ，因为F N2sin α≠0，若加速度足够小，竖直挡板的水平弹力不可能为零，故A 错误。
斜面和挡板对球的弹力的合力即为竖直方向的F N2cos α与水平方向的ma 的合力，因此不等于ma ，故C 错误。
2．(2016·河北“五个一名校联盟教学质量监测”)如图，A 、B 、C 三个小球的质量均为m ，A 、B 之间用一根没有弹性的轻绳连在一起，B 、C 之间用轻弹簧拴接，用细线悬挂在天花板上，整个系统均静止，现将A 上面的细线烧断，使A 的上端失去拉力，则在烧断细线瞬间，A 、B 、C 的加速度的大小分别为导学号 51342299( A )A ．1.5g 1.5g 0B ．g 2g 0C ．g g gD ．g g 0[解析] 开始时，A 、B 、C 均静止，隔离C ，受力分析，弹簧的弹力F 弹＝mg ，剪断A 上面的细线瞬间，A 、B 成为运动状态相同的一个整体，在该瞬间弹簧的弹力不变，隔离A 、B 整体，受力分析，A 、B 整体的加速度a ＝a A ＝a B ＝2mg ＋F 弹2m ＝3mg 2m＝1.5g ；C 所受合力为零，加速度为零，故A 正确。
2018高考一轮数学浙江专版练习第3章 第1节 课时分层训
课时分层训练(十五)任意角、弧度制及任意角的三角函数A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角； ③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个C [－3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．]2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1C [由题设知，圆弧的半径r ＝1sin 1， ∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1.]3．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限B [由题意可得⎩⎨⎧ cos α＜0，tan α＜0，则⎩⎨⎧sin α＞0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限，故选B.]4．(2017·宁波镇海中学)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3C [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33，则θ＝116π.]5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35D.45B [取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.]二、填空题6．已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________.【导学号：51062095】π3[设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.]7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.－8 [因为sin θ＝y 42＋y 2＝－255，所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8.]8．在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围为________.【导学号：51062096】⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4 [如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律找出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.]三、解答题9．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .[解] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，l ＝2.4分∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad.8分 ∴AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)， ∴AB ＝2sin 1(cm)．∴圆心角的弧度数为2，弦长AB 为2sin 1 cm.14分10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ.[解] ∵θ的终边过点P (x ，－1)(x ≠0)， ∴tan θ＝－1x ，2分 又tan θ＝－x ， ∴x 2＝1，即x ＝±1.4分当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；9分当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22， 因此sin θ＋cos θ＝－ 2.故sin θ＋cos θ的值为0或－ 2.14分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·杭州二中模拟)已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为( )A.35B.45 C ．－35D ．－45D [由于角φ的终边经过点P (－4,3)，所以cos φ＝－45.再根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得2πω＝2×π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝cos φ＝－45.故选D.]2．函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是________. 【导学号：51062097】⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z ) [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤12，∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .] 3．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．[解] (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上． 由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z.4分(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ， 故α2终边在第二、四象限.8分 (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0， sin α2＞0，cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；10分 当α2在第四象限时，tan α2＜0， sin α2＜0，cos α2＞0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号． 因此，tan α2sin α2cos α2取正号.14分。
高2021届高2018级版步步高3-5高中物理第三章 4
4 原子核的结合能[学习目标] 1.理解原子核的结合能的概念.2.知道质量亏损的概念, 了解爱因斯坦的质能方程.3.学会根据质能方程和质量亏损的概念进行核能的计算.一、原子核的结合能和比结合能曲线1.结合能:核子结合成原子核时释放的能量或原子核分解为核子时吸收的能量叫做原子核的结合能.2.比结合能:把原子核的结合能ΔE 除以核子数A , 即ΔE A称为原子核的比结合能.比结合能越大, 核就越稳定.3.比结合能曲线(如图1所示)图1由原子核的比结合能曲线可以看出:第一, 比结合能越大, 取出一个核子就越困难, 核就越稳定, 比结合能是原子核稳定程度的量度；第二, 曲线中间高两头低, 说明中等质量的原子核的比结合能最大, 近似于一个常数, 表明中等质量的核最稳定；第三, 质量较大的重核和质量较小的轻核比结合能都较小, 且轻核的比结合能还有些起伏.二、原子核的结合能的计算对质能方程和质量亏损的理解(1)质能方程爱因斯坦的相对论指出, 物体的能量和质量之间存在着密切的联系, 其关系是E＝mc2.(2)质量亏损:核反应中原子核的质量小于组成它的核子的质量.(3)质量亏损与释放核能的关系:ΔE＝Δmc2.[即学即用]1.判断下列说法的正误.(1)一切原子核均具有结合能.(√)(2)组成原子核的核子越多, 它的结合能就越高.(√)(3)结合能越大, 核子结合得越牢固, 原子越稳定.(×)(4)自由核子结合为原子核时, 可能吸收能量.(×)(5)因在核反应中能产生能量, 有质量的转化, 所以系统只有质量数守恒, 系统的总能量和总质量并不守恒.(×)2.已知α粒子(42He)是由2个质子、2个中子组成的, 取质子的质量m p＝1.672 6×10－27 kg, 中子的质量m n＝1.674 9×10－27kg, α粒子的质量mα＝6.646 7×10－27kg, 真空中光速c＝3.0×108 m/s.则α粒子的结合能为________.(计算结果保留两位有效数字)答案 4.3×10－12 J解析组成α粒子的核子与α粒子的质量差Δm＝(2m p＋2m n)－mαα粒子的结合能ΔE＝Δmc2代入数据得ΔE≈4.3×10－12 J.一、对结合能的理解[导学探究]1.设有一个质子和一个中子在核力作用下靠近碰撞并结合成一个氘核.质子和中子结合成氘核的过程中是释放能量还是吸收能量？使氘核分解为质子和中子的过程中呢？答案质子和中子结合成氘核的过程中要释放能量；氘核分解成质子和中子时要吸收能量.2.如图2所示是不同原子核的比结合能随质量数变化的曲线.图2(1)从图中看出, 中等质量的原子核与重核、轻核相比比结合能有什么特点？比结合能的大小反映了什么？(2)比结合能较小的原子核转化为比结合能较大的原子核时是吸收能量还是释放能量？答案(1)中等质量的原子核比结合能较大, 比结合能的大小反映了原子核的稳定性, 比结合能越大, 原子核越稳定.1.中等质量原子核的比结合能最大, 轻核和重核的比结合能都比中等质量原子核的比结合能要小.2.比结合能与原子核稳定的关系(1)比结合能的大小能够反映原子核的稳定程度, 比结合能越大, 原子核就越难拆开, 表示该原子核就越稳定.(2)核子数较小的轻核与核子数较大的重核, 比结合能都比较小, 表示原子核不太稳定；中等核子数的原子核, 比结合能较大, 表示原子核较稳定.(3)当比结合能较小的原子核转化成比结合能较大的原子核时, 就能释放核能.例如, 一个核子数较大的重核分裂成两个核子数小一些的核, 或者两个核子数很小的轻核结合成一个核子数大一些的核, 都能释放出巨大的核能.例1下列关于结合能和比结合能的说法中, 正确的是()A.核子结合成原子核吸收的能量或原子核拆解成核子放出的能量称为结合能B.比结合能越大的原子核越稳定, 因此它的结合能也一定越大C.重核与中等质量的原子核相比较, 重核的结合能和比结合能都大D.中等质量原子核的结合能和比结合能均比轻核的要大答案 D解析核子结合成原子核是放出能量, 原子核拆解成核子是吸收能量, A选项错误；比结合能越大的原子核越稳定, 但比结合能越大的原子核, 其结合能不一定大, 例如中等质量原子核的比结合能比重核大, 但由于核子数比重核少, 其结合能比重核小, B、C选项错误；中等质量原子核的比结合能比轻核的大, 它的核子数又比轻核多, 因此它的结合能也比轻核大, D选项正确.1.核子结合成原子核时一定释放能量, 原子核分开成核子时一定吸收能量, 吸收或释放的能量越大, 表明原子核的结合能越大.2.比结合能越大表明原子核越稳定.一般情况下, 中等质量的原子核比轻核和重核的比结合能大.二、质量亏损和核能的计算[导学探究]如图3所示是原子核转变示意图.图3(1)在核反应过程中质量数、核电荷数是否守恒？(2)在该核反应过程中会释放出能量, 反应前后原子核的质量是否会发生变化？答案(1)在核反应中, 质量数、核电荷数是守恒的.(2)会发生变化, 是减少的.[知识深化]1.质量亏损:所谓质量亏损, 并不是质量消失, 减少的质量在核子结合成核的过程中以能量的形式辐射出去了.反过来, 把原子核分裂成核子, 总质量要增加, 总能量也要增加, 增加的能量要由外部提供.2.质能方程E＝mc2(1)质能方程说明一定的质量总是跟一定的能量相联系.具体地说, 一定质量的物体所具有的总能量是一定的, E＝mc2, 不是单指物体的动能、核能或其他哪一种能量, 而是物体所具有的各种能量的总和.(2)根据质能方程, 物体的总能量与其质量成正比.物体质量增加, 则总能量随之增加；物体质量减少, 总能量也随之减少, 这时质能方程也写成ΔE＝Δmc2.3.核能的计算方法(1)根据质量亏损计算:①根据核反应方程, 计算核反应前和核反应后的质量亏损Δm.②根据爱因斯坦质能方程ΔE＝Δmc2计算核能.其中Δm的单位是千克, ΔE的单位是焦耳.③利用原子质量单位u和电子伏特计算1原子质量单位(u)相当于931.5 MeV的能量, ΔE＝Δm×931.5 MeV, 其中Δm的单位为u, ΔE 的单位为MeV.(2)利用平均结合能来计算核能.原子核的结合能＝核子的平均结合能×核子数.核反应中反应前系统内所有原子核的总结合能与反应后生成的所有新核的总结合能之差, 就是该次核反应所释放(或吸收)的核能.4.判断核反应过程是释放能量还是吸收能量的方法(1)根据反应前后质量的变化情况进行判断, 若质量减少即发生了质量亏损, 则释放能量；若质量增加, 则吸收能量.(2)根据动能变化判断, 若不吸收光子而动能增加则放出能量.例231H的质量是3.016 050 u, 质子的质量是1.007 277 u, 中子的质量为1.008 665 u.求:(质量亏损1 u相当于释放931.5 MeV的能量)(1)一个质子和两个中子结合为氚核时, 是吸收还是放出能量？该能量为多少？(2)氚核的结合能和比结合能各是多少？答案(1)放出能量7.97 MeV(2)7.97 MeV 2.66 MeV解析(1)一个质子和两个中子结合成氚核的反应方程式是11H＋210n―→31H,反应前各核子总质量为m p ＋2m n ＝(1.007 277＋2×1.008 665) u ＝3.024 607 u,反应后新核的质量为m H ＝3.016 050 u,质量亏损为Δm ＝(3.024 607－3.016 050) u ＝0.008 557 u.因反应前的总质量大于反应后的总质量, 故此核反应放出能量.释放的核能为ΔE ＝0.008 557×931.5 MeV ≈7.97 MeV .(2)氚核的结合能即为ΔE ＝7.97 MeV ,它的比结合能为ΔE 3≈2.66 MeV .核能的两种单位换算技巧1.若以kg 为质量亏损Δm 的单位, 则计算时应用公式ΔE ＝Δmc 2, 核能的单位为J.2.若以原子质量单位“u ”为质量亏损Δm 的单位, 则ΔE ＝Δm ×931.5 MeV, 核能的单位为MeV .3.两种单位的换算:1 MeV ＝1×106×1.6×10－19 J ＝1.6×10－13 J.针对训练 一个锂核(73Li)受到一个质子的轰击, 变成两个α粒子.已知质子的质量是1.672 6×10－27 kg, 锂核的质量是11.650 5×10－27 kg, 氦核的质量是6.646 6×10－27 kg.(1)写出上述核反应的方程；(2)计算上述核反应释放出的能量.答案 (1)73Li ＋11H →242He (2)2.691×10－12 J解析 (1)73Li ＋11H →242He (2)核反应的质量亏损Δm ＝m Li ＋m p －2m α＝(11.650 5×10－27＋1.672 6×10－27－2×6.646 6×10－27) kg ＝2.99×10－29 kg 释放的能量ΔE ＝Δmc 2＝2.99×10－29×(3×108)2 J ＝2.691×10－12 J1.(对结合能和比结合能的理解)(多选)关于原子核的结合能, 下列说法正确的是()A.原子核的结合能等于使其完全分解成自由核子所需的最小能量B.一重原子核衰变成α粒子和另一原子核, 衰变产物的结合能之和一定大于原来重核的结合能C.铯原子核(133 55Cs)的结合能小于铅原子核(208 82Pb)的结合能D.比结合能越大, 原子核越不稳定答案ABC解析结合能是把核子分开所需的最小能量, 选项A正确；一重原子核衰变成α粒子和另一原子核, 存在质量亏损, 核子比结合能增大, 衰变产物的结合能之和一定大于原来重核的结合能, 选项B正确；核子数越多, 结合能越大, 选项C正确；比结合能越大, 分开核子所需的能量越大, 原子核越稳定, 选项D错误.2.(质能方程的理解)(多选)关于质能方程, 下列哪些说法是正确的()A.质量减少, 能量就会增加, 在一定条件下质量转化为能量B.物体获得一定的能量, 它的质量也相应地增加一定值C.物体一定有质量, 但不一定有能量, 所以质能方程仅是某种特殊条件下的数量关系D.某一定量的质量总是与一定量的能量相联系的答案BD解析质能方程E＝mc2表明某一定量的质量与一定量的能量是相联系的, 当物体获得一定的能量, 即能量增加某一定值时, 它的质量也相应增加一定值, 并可根据ΔE＝Δmc2进行计算, 所以B、D正确.3.(核能的计算)原子质量单位为u,1 u相当于931.5 MeV的能量, 真空中光速为c, 当质量分别为m1和m2的原子核结合为质量为M的原子核时释放出的能量是()A.(M－m1－m2) u×c2B.(m 1＋m 2－M ) u ×931.5 JC.(m 1＋m 2－M )cD.(m 1＋m 2－M ) u ×931.5 MeV答案 D4.(核能的计算)一个α粒子轰击硼(11 5B)核变成碳14和一个未知粒子, 并放出7.5×105 eV 的能量, 写出核反应方程并求出反应过程中的质量亏损.答案 42He ＋11 5B →14 6C ＋11H 1.3×10－30 kg解析 根据质量数守恒和核电荷数守恒可得42He ＋11 5B →14 6C ＋11HΔE ＝7.5×105×1.6×10－19 J ＝1.2×10－13 J.由ΔE ＝Δmc 2可得 Δm ＝ΔE c 2≈1.3×10－30 kg.一、选择题考点一 对结合能的理解1.下列关于平均结合能的说法正确的是( )A.核子数越多, 平均结合能越大B.核子数越多, 平均结合能越小C.结合能越大, 平均结合能越大D.平均结合能越大, 原子核越稳定答案 D2.关于原子核的结合能与平均结合能, 下列说法中不正确的是( )A.原子核的结合能等于核子与核子之间结合成原子核时, 核力做的功B.原子核的结合能等于核子从原子核中分离, 外力克服核力做的功C.平均结合能是核子与核子结合成原子核时平均每个核子放出的能量D.不同原子核的平均结合能不同, 重核的平均结合能比轻核的平均结合能大答案 D解析原子核中, 核子与核子之间存在核力, 要将核子从原子核中分离, 需要外力克服核力做功.当自由核子结合成原子核时, 核力将做正功, 释放能量.对某种原子核, 平均每个核子的结合能称为比结合能也称为平均结合能.不同原子核的平均结合能不同.重核的平均结合能比中等质量核的平均结合能要小, 轻核的平均结合能比稍重核的平均结合能要小.考点二质能方程的理解、质量亏损和核能的计算3.(多选)对公式ΔE＝Δmc2的正确理解是()A.如果物体的能量减少了ΔE, 它的质量也一定相应地减少ΔmB.如果物体的质量增加了Δm, 它的能量也一定相应地增加Δmc2C.Δm是某原子核在衰变过程中增加的质量D.在把核子结合成原子核时, 若放出的能量是ΔE, 则这些核子的质量和与组成原子核的质量之差就是Δm答案ABD解析一定的质量对应一定的能量, 物体的能量减少了ΔE, 它的质量也一定相应地减少Δm, 即发生质量亏损, 所以选项A、D正确.如果物体的质量增加了Δm, 它的能量一定相应地增加Δmc2, 所以选项B正确.某原子核衰变时, 一定发生质量亏损, 所以选项C错误.4.(多选)一个质子和一个中子结合成氘核, 同时放出γ光子, 核反应方程是11H＋10n→21H＋γ, 以下说法中正确的是()A.反应后氘核的质量一定小于反应前质子和中子的质量之和B.反应前后的质量数不变, 因而质量不变C.γ光子的能量为Δmc2, Δm为反应中的质量亏损, c为光在真空中的速度D.因存在质量亏损Δm, 所以“物质不灭”的说法不正确答案AC解析核反应中质量数与电荷数及能量均守恒.由于反应中要释放核能, 会出现质量亏损, 反应后氘核的质量一定小于反应前质子和中子的质量之和, 所以质量不守恒, 但质量数不变, 且能量守恒, 释放的能量会以光子的形式向外释放, 则光子的能量为Δm·c2(Δm为反应中的质量亏损, c为真空中的光速), 故正确答案为A、C.5.如图1所示是描述原子核核子的平均质量m与原子序数Z的关系曲线, 由图可知下列说法正确的是()图1A.将原子核A分解为原子核B、C可能吸收能量B.将原子核D、E结合成原子核F可能吸收能量C.将原子核A分解为原子核B、F一定释放能量D.将原子核F、C结合成原子核B一定释放能量答案 C解析因B、C核子平均质量小于A的核子平均质量, 故A分解为B、C时, 会出现质量亏损, 故放出核能, 故A错误, 同理可得B、D错误, C正确.6.(多选)在某些恒星内, 3个α粒子结合成1个C原子, C原子的质量是12.000 0 u, He原子的质量是4.002 6 u.已知1 u＝1.66×10－27 kg, 则()A.反应过程中的质量亏损是0.007 8 uB.反应过程中的质量亏损是1.29×10－29 kgC.反应过程中释放的能量是7.26 MeVD.反应过程中释放的能量是1.16×10－19 J答案ABC解析由题意可得核反应方程为342He→12 6C＋ΔE.则核反应中的质量亏损为Δm＝(3×4.002 6－12.000 0) u＝0.007 8 u＝0.007 8×1.66×10－27 kg≈1.29×10－29 kg, 由质能方程得ΔE＝Δmc2＝1.29×10－29×(3×108)2 J＝1.161×10－12 J≈7.26 MeV.故正确答案为A、B、C.7.质子、中子和氘核的质量分别为m1、m2和m3.当一个质子和一个中子结合成氘核时, 释放的能量是(c表示真空中的光速)()A.(m1＋m2－m3)cB.(m1－m2－m3)cC.(m1＋m2－m3)c2D.(m1－m2－m3)c2答案 C解析一个质子和一个中子结合成氘核时, 质量亏损Δm＝m1＋m2－m3, 根据质能方程, 释放的能量ΔE＝Δmc2＝(m1＋m2－m3)c2, 选项C正确, A、B、D错误.8.一个氘核21H 质量为m 1, 一个氚核31H 质量为m 2, 它们结合成一个质量为m 3的氦核.核反应方程如下:21H ＋31H ―→42He ＋X.在这一核反应过程中释放的能量为ΔE .已知真空中光速为c , 则以下判断正确的是( )A.X 是质子B.X 是正电子C.X 的质量为m 1＋m 2－m 3D.X 的质量为m 1＋m 2－m 3－ΔE c 2答案 D解析 由电荷数守恒知, X 的质子数为0, 由质量数守恒知, X 的质量数为1, 故X 为中子, 设X 的质量为m , 反应中的质量亏损Δm ＝m 1＋m 2－m 3－m , 释放的能量ΔE ＝Δmc 2＝(m 1＋m 2－m 3－m )c 2, 则X 的质量为m 1＋m 2－m 3－ΔE c 2, 故选项D 正确. 9.(多选)关于核反应方程234 90Th ―→234 91Pa ＋X ＋ΔE (ΔE 为释放出的核能, X 为新生成的粒子), 已知234 90Th 的半衰期为T , 则下列说法正确的是( )A.234 91Pa 没有放射性 B.234 91Pa 比234 90Th 少1个中子, X 粒子是从原子核中射出的, 此核反应为β衰变 C.N 0个234 90Th 经2T 时间因发生上述核反应而放出的核能为34N 0ΔE (N 0数值很大) D.234 90Th 的比结合能为ΔE 234答案 BC解析 原子序数大于83的原子核都具有放射性, A 项错误；该核反应为β衰变, 是原子核内的一个中子转化为一个质子, 同时释放出一个电子, B 项正确；N 0个234 90Th 原子核经2T 时间发生衰变的个数为34N 0, 由核反应方程知, 放出的核能为34N 0ΔE , C 项正确；由比结合能的定义知, D 项错误.二、非选择题10.(质量亏损与核能的计算)一个静止的镭核226 88Ra 发生衰变放出一个粒子变为氡核222 86Rn.已知镭核226质量为226.025 4 u, 氡核222质量为222.016 3 u, 放出粒子的质量为4.002 6 u,1 u 相当于931.5 MeV 的能量.(1)写出核反应方程；(2)求镭核衰变放出的能量；(3)若衰变放出的能量均转变为氡核和放出粒子的动能, 求放出粒子的动能.答案 (1)226 88Ra →222 86Rn ＋42He (2)6.05 MeV (3)5.94 MeV解析 (1)核反应方程为226 88Ra →222 86Rn ＋42He.(2)镭核衰变放出的能量为ΔE ＝Δm ·c 2＝(226.025 4－4.002 6－222.016 3)×931.5 MeV≈6.05 MeV.(3)镭核衰变前静止, 镭核衰变时动量守恒, 则由动量守恒定律可得m Rn v Rn －m αv α＝0①又因为衰变放出的能量均转变为氡核和α粒子的动能, 则ΔE ＝12m Rn v Rn 2＋12m αv α2② 由①②可得E kα＝m Rn m Rn ＋m α·ΔE ＝222.016 3222.016 3＋4.002 6×6.05 MeV ≈5.94 MeV . 11.(质量亏损与核能的计算)氘核与氚核的核反应为:21H ＋31H →42He ＋b a X ＋17.6×106 eV, 求:(1)核反应式中的X 是什么粒子.(2)这一过程的质量亏损是多少？(3)1 g 氘核完全参与上述反应, 共释放核能多少？氘核的摩尔质量M ＝2 g/mol, 阿伏伽德罗常量N A ＝6.0×1023 mol －1.答案 (1)中子 (2)3.1×10－29 kg (3)8.448×1011 J解析 (1)由质量数和电荷数守恒可知, 氘核与氚核的核反应:21H ＋31H →42He ＋b a X ＋17.6×106eV, X 的质量数是1, 电荷数是0, 故X 是中子.(2)根据爱因斯坦的质能方程ΔE ＝Δmc 2, 得Δm ＝ΔE c 2＝17.6×106×1.6×10－19(3×108)2 kg ≈3.1×10－29 kg(3)1 g 氘核完全与氚核发生反应释放的核能为:ΔE ′＝m MN A ×17.6×106 eV ＝5.28×1030 eV ＝8.448×1011 J.。
高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及参考答案 (60)
[高2021届高2018级高三数学一轮专题训练60]第三课时 定点、定值、探索性问题A 组基础巩固一、单选题1.(2020·湖北宜昌部分示范高中协作体联考)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( D )A.2B.3C.2D.52【试题解答】 椭圆离心率e 1＝c a ＝32，∴e 21＝1－b 2a 2＝34，即b 2a 2＝14，∴双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a 2＝52.故选D. 2.已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2＝2π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则3e 21＋1e 22＝( A )A.4B.23C.2D.3【试题解答】 设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，不妨设点P 在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，所以|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2.又|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝2π3，所以在△F 1PF 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，即4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)cos 2π3，化简得3a 21＋a 22＝4c 2，两边同除以c 2，得3e 21＋1e 22＝4.故选A. 3.直线l 与抛物线C ：y 2＝2x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若直线OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，且满足k 1k 2＝23，则直线l 过定点( A )A.(－3,0)B.(0，－3)C.(3,0)D.(0,3)【试题解答】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为k 1k 2＝23，所以y 1x 1·y 2x 2＝23.又y 21＝2x 1，y 22＝2x 2，所以y 1y 2＝6.将直线l ：x ＝my ＋b 代入抛物线C ：y 2＝2x 得y 2－2my －2b ＝0，所以y 1y 2＝－2b ＝6，得b ＝－3，即直线l 的方程为x ＝my －3，所以直线l 过定点(－3,0).4.(2019·长春监测)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线左支上任一点，过点F 1作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( A )A.1B.2C.4D.12【试题解答】 如图所示，延长F 1H 交PF 2于点Q ，由PH 为∠F 1PF 2的平分线及PH ⊥F 1Q ，可知|PF 1|＝|PQ |，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2，从而|QF 2|＝2，在△F 1QF 2中，易知OH 为中位线，故|OH |＝1.故选A.5.(2020·安徽1号卷A10联盟联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上存在两点M 、N 关于直线2x －3y－1＝0对称，且线段MN 中点的纵坐标为23，则椭圆C 的离心率是( B )A.13B.33C.23D.223【试题解答】 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，两式相减可得 (x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.∵线段MN 中点的纵坐标为23，∴2x －3×23－1＝0，解得x ＝32，于是－32＝－b 2a 2·94，解得b 2a 2＝23，∴椭圆C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝33，故选B. (或直接利用性质k MN ·k OP )＝－b 2a2，其中P 为线段MN 的中点).6.(2020·福建莆田质检)已知直线l 过抛物线C ：x 2＝6y 的焦点F ，交C 于A ，B 两点，交C 的准线于点P ，若AF →＝FP →，则|AB |＝( A )A.8B.9C.11D.16【试题解答】 过A 作准线的垂线，垂足为H ，则|AF |＝|AH |， 又AF →＝FP →，∴|AH |＝12|AP |，∴k AP ＝33，又F (0，32)， ∴AB 的方程为y ＝33x ＋32， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋32x 2＝6y，得y 2－5y ＋94＝0，∴y A ＋y B ＝5， ∴|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝5＋3＝8，故选A.7.(2020·广东惠州调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别是F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，点P 为椭圆上的任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是( D )A.[1,2]B.[2，3]C.[2，4]D.[1,4]【试题解答】 由已知得2b ＝2，故b ＝1， ∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32，∴a －c ＝2－3， 又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1，∴a ＝2，c ＝3， ∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1||PF 2|＝2a |PF 1|(4－|PF 1|)＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|， 又2－3≤|PF 1|≤2＋3，∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4， ∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4.即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1,4].故选D. 二、多选题8.已知双曲线C 上的点到(2,0)和(－2,0)的距离之差的绝对值为2，则下列结论正确的是( AC ) A.C 的标准方程为x 2－y 23＝1 B.C 的渐近线方程为y ＝±2x C.C 的焦点到渐近线的距离为 3 D.圆x 2＋y 2＝4与C 恰有两个公共点【试题解答】 根据双曲线的定义，c ＝2,2a ＝2，得a ＝1，b ＝3，所以C 的方程为x 2－y 23＝1，A 正确；渐近线为y ＝±3x ，B 错；双曲线C 的一个焦点为(2,0)，到渐近线的距离为|±23|1＋3＝3，C 正确；圆x 2＋y 2＝4的圆心为原点，半径为2，而双曲线的实轴端点为(±1,0)，可知圆与双曲线的公共点有4个，D 错误.9.已知斜率为3的直线l 经过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F ，与抛物线C 交于点A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ，若|AB |＝8，则以下结论正确的是( BCD )A.1|AF |＋1|BF |＝1 B.|AF |＝6 C.|BD |＝2|BF |D.F 为AD 的中点【试题解答】 由题意知直线l 的方程为y ＝3(x －p 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px y ＝3(x －p 2)得3x 2－5px ＋3p 24＝0，∴x 1＋x 2＝5p3，∴|AB |＝5p 3＋p ＝8p 3＝8，∴p ＝3.∴4x 2－20x ＋9＝0解得x A ＝92，x B ＝12，∴|AF |＝x A ＋p2＝6，|BF |＝2，∴1|AF |＋1|BF |＝23，A 错，B 正确；作BH 垂直准线于H ，则∠HBD ＝60°，∴|BD |＝2|BH |＝2|BF |，C 正确；又x D ＝－32，则x D ＋x A 2＝92－322＝32＝x F ，∴F 为AD 的中点，D 正确；故选BCD.三、填空题10.(2019·山西重点中学联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，过双曲线上一点M 作直线MA ，MB 交双曲线于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若直线AB 过原点，则k 1·k 2的值为__3__.【试题解答】 由题意知，e ＝ca ＝1＋b 2a2＝2⇒b 2＝3a 2， 则双曲线方程可化为3x 2－y 2＝3a 2，设A (m ，n )，M (x ，y )(x ≠±m )，则B (－m ，－n )， k 1·k 2＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝3x 2－3a 2－3m 2＋3a 2x 2－m 2＝3.11.直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为 －12.【试题解答】 由点差法可求出k 1＝－12·x 中y 中，∴k 1·y 中x 中＝－12，即k 1k 2＝－12.12.(2017·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝__6__.【试题解答】 依题意知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )位于第一象限，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0，42)，|FN |＝4＋32＝6.四、解答题13.(2020·河南顶尖名校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，以A 为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y 轴的交点分别为(0,3)，(0，－1).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于两点，且AP →·AQ →＝0，试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由.【试题解答】 (1)依题意知A 的坐标为(0，b )， 则以点A 圆心，以a 为半径的方程为x 2＋(y －b )2＝a 2， 令x ＝0得y ＝b ±a ，由圆A 与y 轴的交点分别为(0,3)，(0，－1).可得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋a ＝3，b －a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故所求椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由AP →·AQ →＝0得AP →⊥AQ →， 可知P A 的斜率存在且不为0. 设直线l P A ：y ＝kx ＋1① 则l QA ：y ＝－1kx ＋1②将①代入椭圆方程并整理，得(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0， 可得x P ＝－8k1＋4k 2，则y P ＝1－4k 21＋4k 2.同理，可得x Q ＝8kk 2＋4，y Q ＝k 2－4k 2＋4.由直线方程的两点式，得直线l 的方程为y ＝k 2－15k x －35，即直线l 过定点，该定点的坐标为(0，－35).14.(2019·山东滨州市期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点M (－1，32)在椭圆C 上，椭圆C 的离心率是12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点A 为椭圆长轴的左端点，P ，Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP ，AQ 斜率分别为k 1，k 2，若k 1k 2＝－14，请判断直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.【试题解答】 (1)由点M (－1，32)在椭圆C 上，且椭圆C 的离心率是12，可得⎩⎨⎧1a 2＋94b 2＝1c a ＝12，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝3c 2＝1，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(ⅰ)当直线PQ 斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得：P (1，32)，Q (1，－32)，(ⅱ)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m 消去y 得：(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋(4m 2－12)＝0，由Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝48(4k 2－m 2＋3)>0， 有4k 2＋3>m 2，由韦达定理得：x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3，故k 1k 2＝y 1y 2(x 1＋2)(x 2＋2)＝－14，可得：4y 1y 2＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝0，可得：4(kx 1＋m )(kx 2＋m )＋(x 1＋2)(x 2＋2)＝0， 整理为：(4k 2＋1)x 1x 2＋(4km ＋2)(x 1＋x 2)＋4m 2＋4＝0， 故有(4k 2＋1)4m 2－124k 2＋3－(4km ＋2)8km 4k 2＋3＋4m 2＋4＝0，化简整理得：m 2－km －2k 2＝0，解得：m ＝2k 或m ＝－k ， 当m ＝2k 时直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2k ， 即y ＝k (x ＋2)，过定点(－2,0)不合题意，当m ＝－k 时直线PQ 的方程为y ＝kx －k ，即y ＝k (x －1)，过定点(1,0)， 综上，由(ⅰ)(ⅱ)如，直线PQ 过定点(1,0).B 组能力提升1.(2019·大连模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( A ) A.－4 B.4 C.p 2D.－p 2【试题解答】 ①若焦点弦AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝p 2，则x 1x 2＝p 24；②若焦点弦AB 不垂直于x 轴，可设直线AB ：y ＝k (x －p 2)，联立y 2＝2px 得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋p 2k 24＝0，则x 1x 2＝p 24.∵y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，∴y 21y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4.又∵y 1y 2＜0，∴y 1y 2＝－p 2.故y 1y 2x 1x 2＝－4. 2.如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB →⊥AB →时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e 等于( A )A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1【试题解答】 椭圆中“和”对应双曲线中“差”，故选A.事实上，设“黄金双曲线”方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则B (0，b )，F (－c,0)，A (a,0). 在“黄金双曲线”中， 因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝0. 又FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b ).所以b 2＝ac .而b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2＝ac . 在等号两边同除以a 2，解得e ＝5＋12. 3.(2019·陕西省渭南市模拟)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P (x ，y )为该抛物线上的动点，又点A (－1,0)，则|PF ||P A |的最小值是( B ) A.12 B.22C.32D.232【试题解答】 由题意可知，抛物线的准线方程为x ＝－1，A (－1,0)，过P 作PN 垂直直线x ＝－1于N ， 由抛物线的定义可知PF ＝PN ，连结P A ，|PF ||P A |＝|PN ||P A |最小⇔∠NAP 最小⇔∠P AF 最大⇔P A 与抛物线y 2＝4x 相切.设P A 的方程为：y ＝k (x ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)y 2＝4x ，解得：k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，所以Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1， 所以∠NP A ＝45°，|PF ||P A |＝cos ∠NP A ＝22，故选B. 4.(2019·河南中原名校联考)直线l 与抛物线y 2＝4x 交于两不同点A ，B ，其中A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若y 1y 2＝－36，则直线l 恒过点的坐标是__(9,0)__.【试题解答】 设直线l 的方程为x ＝my ＋n ，则由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋n ，y 2＝4x ，得y 2－4my －4n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n .又y 1y 2＝－36，∴－4n ＝－36，∴n ＝9，∴直线l 方程为x ＝my ＋9，恒过(9,0).5.(2020·江西临川一中月考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率32，一个长轴顶点在直线y ＝x ＋2上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为k 1，直线OQ 的斜率为k 2.(1)求该椭圆的方程.(2)若k 1·k 2＝－14，试问△OPQ 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【试题解答】 (1)由e ＝c a ＝32，又由a >b >0，一个长轴顶点在直线y ＝x ＋2上， 可得：a ＝2，c ＝3，b ＝1， 故此椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 1，y 1)，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m 联立椭圆的方程得：(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，由Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0， 可得m 2＜4k 2＋1，则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋1，x 1·x 2＝4m 2－44k 2＋1，|PQ |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝41＋k 2·4k 2－m 2＋14k 2＋1又点O 到直线y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |1＋k 2， S △OPQ ＝12·d ·|PQ |＝2|m |·4k 2－m 2＋14k 2＋1，由于k 1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝－14，可得：4k 2＝2m 2－1，故S △OPQ ＝2|m |·2m 2－1－m 2＋12m 2＝1，当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：S △OPQ ＝1， 故△OPQ 的面积为定值1.6.(2020·广、深、珠三校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且经过点(－1，32).(1)求椭圆C 的方程；(2)过点(3，0)作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.【试题解答】 (1)由题意可得32＝c a ，1a 2＋34b2＝1， 又a 2－b 2＝c 2， 解得a 2＝4，b 2＝1.所以，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，(2)存在定点Q (433，0)，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称.设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 联立， 整理得，(4＋m 2)y 2－23my －1＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t,0).(依题意t ≠x 1，t ≠x 2) 则由韦达定理可得，y 1＋y 2＝23m4＋m 2， y 1y 2＝－14＋m 2.直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数. 所以，y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0，即得y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0.又x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0， 所以，y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0， 整理得，(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0. 从而可得，(3－t )·23m4＋m 2－2m ·－14＋m 2＝0，即2m (4－3t )＝0，所以，当t ＝433，即Q (433，0)时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立.特别地，当直线l 为x轴时，Q (433，0)也符合题意.综上所述，存在x 轴上的定点Q (433，0)，满足直线QA 与直线QB 关于x轴对称.。
高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及参考答案 (6)
[高2021届高2018级高三数学一轮专题训练6]第三讲 函数的单调性与最值A 组基础巩固一、选择题1.(2020·3月份北京市高考适应性测试)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是( B ) A.y ＝x ＋1 B.y ＝x 2－1 C.y ＝(12)xD.y ＝log 2x【试题解答】 y ＝x ＋1，y ＝x 2－1，y ＝log 2x 在(0，＋∞)上都为增函数，y ＝(12)x 在(0，＋∞)上为减函数，故选B.2.函数f (x )＝1x －1在区间[3,7]上的最大值是M ，最小值是N ，则MN ＝( C )A.13 B.12 C.3D.2【试题解答】 f (x )在[3,7]单调递减，故最大值为f (3)＝12.最小值f (7)＝16，则MN ＝3，故选C.3.若函数y ＝ax 与y ＝－bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( B )A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数【试题解答】 由y ＝ax 在(0，＋∞)上是减函数，知a ＜0；由y ＝－bx 在(0，＋∞)上是减函数，知b＜0.所以y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程为x ＝－b2a ＜0.又因为y ＝ax 2＋bx 的图象是开口向下的抛物线，所以y＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减函数.故选B.4.若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则实数a 的值为( C ) A.－2 B.2 C.－6D.6【试题解答】 由图象易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[－a 2，＋∞)，令－a2＝3，所以a ＝－6.故选C.5.(2020·云南玉溪一中调研)函数f (x )＝ln(x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( D ) A.(－∞，1) B.(－∞，2) C.(2，＋∞)D.(3，＋∞)【试题解答】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x >2，解得x >3.故选D.6.已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，则f (12)与f (a 2－a ＋1)的大小关系为( B )A.f (12)＜f (a 2－a ＋1)B.f (12)>f (a 2－a ＋1)C.f (12)＝f (a 2－a ＋1)D.无法比较大小【试题解答】 ∵a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≥34>12，且函数f (x )是(0，＋∞)上的减函数，∴f (a 2－a ＋1)＜f (12).故选B.7.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2(x ≤0)，x ＋1x ＋a (x >0)的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( D )A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2]【试题解答】 当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时，等号成立，故当x ＝1时取得最小值2＋a ，∵f (0)是函数f (x )的最小值，∴当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2单调递减，故a ≥0，此时的最小值为f (0)＝a 2，∴2＋a ≥a 2，解得－1≤a ≤2.又a ≥0.可得0≤a ≤2.故选D.二、多选题8.(2020·陕西西安中学期中改编)若函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－a2x ＋8，x ≤1ax ，x >1为R 上的减函数，则实数a 的取值可能为( ABC )A.4B.5C.6D.7【试题解答】 因为函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－a2x ＋8，x ≤1，ax ，x >1为R 上的减函数，所以y ＝x 2－a2x ＋8，x ≤1，y ＝a x ，x >1是减函数，且当x ＝1时，9－a2≥a ，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤a4，a >0，9－a 2≥a ，解得4≤a ≤6，故选A 、B 、C.三、填空题9.函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为 14 ；增区间为 [0，14] .【试题解答】 令t ＝x ，则t ≥0， 所以y ＝t －t 2＝－(t －12)2＋14，所以当t ＝12时，y max ＝14.t ＝x 为增函数，y ＝t －t 2在(－∞，12)上递增，所以增区间为[0，14].10.已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值范围为__(－∞，1]∪[2，＋∞)__.【试题解答】 函数f (x )＝x 2－2ax －3的图象开口向上，对称轴为直线x ＝a ，函数在(－∞，a ]和[a ，＋∞)上都分别具有单调性，因此要使函数f (x )在区间[1,2]上具有单调性，只需a ≤1或a ≥2，从而a ∈(－∞，1]∪[2，＋∞).11.已知函数f (x )＝2x －2－x .若f (a －2)＜f (a 2－2a )则a 的取值范围是__(－∞，1)∪(2，＋∞)__. 【试题解答】 ∵y ＝2x 和y ＝－2－x 在R 上都是增函数，∴f (x )＝2x －2－x 在R 上单调递增.∴由f (a －2)＜f (a 2－2a )得，a －2＜a 2－2a ，∴a 2－3a ＋2>0，解得a ＜1或a >2，∴a 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞).12.(2020·浙江省临安市於潜中学高三模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0x ＋1x ＋a ，x >0，若f (1)是f (x )的最小值，则a的范围__(－∞，－2]∪[2，＋∞)__.【试题解答】 当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，此时x ＝1，∴f (x )≥f (1)；当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2①a ≥0时，f (x )最小值为f (0)＝a 2应满足a 2≥a ＋2，解得a ≥2；②a ＜0时，f (x )最小值为f (a )＝0应满足0≥a ＋2，解得a ≤－2，(－∞，－2]∪[2，＋∞).四、解答题13.已知函数f (x )＝x 2x －3.(1)试判断f (x )在[1,2]上的单调性； (2)求函数f (x )在[1,2]上的最值.【试题解答】 (1)解法一：任取x 1，x 2∈[1,2]，且x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝x 22x 2－3－x 21x 1－3＝x 22(x 1－3)－x 21(x 2－3)(x 2－3)(x 1－3)＝(x 2－x 1)[x 1x 2－3(x 1＋x 2)](x 2－3)(x 1－3)，＝(x 2－x 1)[(x 1－3)(x 2－3)－9](x 2－3)(x 1－3)∵x 1，x 2∈[1,2]，∴－2≤x 2－3≤－1，－2≤x 1－3≤－1， ∴1≤(x 2－3)(x 1－3)≤4，∴(x 1－3)(x 2－3)－9＜0. 又x 2－x 1>0，(x 2－3)(x 1－3)>0， ∴(x 2－x 1)[(x 1－3)(x 2－3)－9](x 2－3)(x 1－3)＜0，即f (x 2)＜f (x 1).∴f (x )在[1,2]上为减函数.解法二：∵f (x )＝x 2x －3，∴f ′(x )＝2x (x －3)－x 2(x －3)2＝x (x －6)(x －3)2，∵1≤x ≤2，∴f ′(x )＜0，∴f (x )在[1,2]上为减函数. (2)由(1)知f (x )在[1,2]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝42－3＝－4，f (x )max ＝f (1)＝11－3＝－12.14.(2020·天水模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]， (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数. 【试题解答】 (1)a ＝－1，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1， 因为x ∈[－5,5]，所以x ＝1时，f (x )取最小值1， x ＝－5时，f (x )取最大值37.(2)f (x )的对称轴为x ＝－a ；因为f (x )在[－5,5]上是单调函数， 所以－a ≤－5，或－a ≥5，所以实数a 的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞).B 组能力提升1.(多选题)函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 2)－f (x 1)x 1－x 2>0”的可以是( AC )A.f (x )＝1xB.f (x )＝(1－x )2C.f (x )＝e 1－xD.f (x )＝ln(x ＋1)【试题解答】 由题意知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 中，f (x )＝1x 满足要求；B 中，f (x )＝(1－x )2在(0,1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；C 中，f (x )＝e 1－x 是减函数；D 中，f (x )＝ln(x ＋1)是增函数.故选A 、C.2.(2020·广西来宾实验中学诊断)函数f (x )＝(12)x －x 2的单调递增区间为( D )A.(－∞，12]B.[0，12]C.[12，＋∞) D.[12，1] 【试题解答】 由x －x 2≥0得f (x )的定义域为0≤x ≤1，又y ＝x －x 2的图象开口向下且对称轴为x ＝12.∴由复合函数的单调性知所求函数的增区间为y ＝x －x 2，x ∈[0,1]的减区间为[12，1]，故选D.3.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x在区间(1，＋∞)上一定( D )A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数【试题解答】 由已知得x ＝a ＜1，g (x )＝f (x )x ＝x ＋ax －2a ，当a ≤0时，g (x )在(1，＋∞)上为增函数，当0＜a ＜1时，g (x )在(1，＋∞)上也为增函数，故选D.4.已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 1＜x 2，有f (x 1)－f (x 2)＜x 1－x 2，且f (3)＝4，则不等式f (2x －1)>2x 的解集为( A )A.(2，＋∞)B.(1，＋∞)C.(0，＋∞)D.(－1，＋∞)【试题解答】 ∵函数f (x )的定义域为R ，对任意x 1＜x 2，有f (x 1)－f (x 2)＜x 1－x 2，即[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2>0，∴函数R (x )＝f (x )－x 是R 上的增函数，f (2x －1)>2x ，即f (2x －1)－(2x －1)>1，即R (2x －1)>1.而R (3)＝f (3)－3＝1，故R (2x －1)>R (3)，2x －1>3，解得x >2，故选A.5.已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0. (1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调增函数；(3)若f (15)＝－1，求f (x )在[125，125]上的最值.【试题解答】 (1)∵函数f (x )满足f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， 令x 1＝x 2＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0. (2)证明：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，∴f (x 1x 2)>0，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 2·x 1x 2)－f (x 2)＝f (x 2)＋f (x 1x 2)－f (x 2)＝f (x 1x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数. (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 若f (15)＝－1，则f (15)＋f (15)＝f (125)＝－2，即f (15×5)＝f (1)＝f (15)＋f (5)＝0，即f (5)＝1，∴f (5)＋f (5)＝f (25)＝2，f (5)＋f (25)＝f (125)＝3， ∴f (x )在[125，125]的最小值为－2，最大值为3.。
高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及参考答案 (48)
[高2021届高2018级高三数学一轮专题训练48]第七讲 立体几何中的向量方法A 组基础巩固一、单选题1.(2020·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( C ) A.±66B.66C.－66D.±6【试题解答】 OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， cos120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－66.2.在空间直角坐标系O －xyz 中，平面OAB 的法向量为a ＝(2，－2,1)，已知P (－1,3,2)，则P 到平面OAB 的距离等于( B )A.4B.2C.3D.1【试题解答】 设点P 到平面OAB 的距离为d ，则d ＝|OP →·a ||a |，因为a ＝(2，－2,1)，P (－1,3,2)，所以d ＝|(－1，3，2)·(2，－2，1)|4＋4＋1＝2.故选B.3.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为下底面ABCD 和上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则B 1M 与AN 所成角的余弦值等于( B )A.－23B.23C.－13D.13【试题解答】 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D －xyz .设AB ＝2，B 1M 与AN 所成角为θ，则A (2,0,0)，M (1,1,0)，B 1(2,2,2)，N (1,1,2)， 所以AN →＝(－1,1,2)，B 1M →＝(－1，－1，－2). 故cos AN →，B 1M →＝AN →·B 1M →|AN →||B 1M →|＝－1×(－1)＋1×(－1)＋2×(－2)(－1)2＋12＋22×(－1)2＋(－1)2＋(－2)2＝－23.因为两异面直线所成角的范围是(0，π2]，所以cos θ＝23.故选B.4.在各棱长均相等的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知M 是棱BB 1的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线A 1M 与BN 所成角的正切值为( C )A.3B.1C.63D.22【试题解答】 以N 为坐标原点，NB ，NC 所在的直线分别为x 轴，y 轴，过点N 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝2，则N (0,0,0)，A 1(0，－1,2)，B (3，0,0)，M (3，0,1)，所以NB →＝(3，0,0)，A 1M →＝(3，1，－1)，设直线A 1M 与BN 所成的角为θ，则cos θ＝|cos NB →，A 1M →|＝|NB →·A 1M →||NB →|·|A 1M →|＝33×5＝155，则sin θ＝105，tan θ＝63，故选C 项.5.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( C )A.110 B.25 C.3010D.22【试题解答】 以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则可得A (2,0,0)，B (0,2,0)，M (1,1,2)，N (1,0,2)， ∴BM →＝(1，－1,2)，AN →＝(－1,0,2). ∴cos BM →，AN →＝BM →·AN →|BM →||AN →|＝1×(－1)＋(－1)×0＋2×212＋(－1)2＋22×(－1)2＋02＋22＝36×5＝3010.6.(2019·黑龙江哈尔滨期末)三棱柱ABC －A 1B 1C 1底面为正三角形，侧棱与底面垂直，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( B )A.34B.32C.334D. 3【试题解答】 如图建立空间直角坐标系，则AA 1→＝(0,0,1)，A 1B →＝(3，1，－1)，A 1C →＝(0,2，－1)，设平面A 1BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝3x ＋y －z ＝0，n ·A 1C →＝2y －z ＝0，不妨取z ＝2，则x ＝33，y ＝1，∴n ＝(33，1,2)， ∴A 到平面A 1BC 的距离d ＝|AA 1→·n ||n |＝32.故选B.7.(2019·河南安阳)二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( C )A.150°B.45°C.60°D.120°【试题解答】 二面角的大小为AC →，BD →， ∵DC →＝AC →－AB →－BD →，两边平方得68＝36＋16＋64－96cos AC →，BD →， ∴cos AC ，BD →＝12，∴AC →，BD →＝60°，故选C.二、多选题8.已知空间中两条直线a ，b 所成的角为50°，P 为空间中给定的一个定点，直线l 过点P 且与直线a 和直线b 所成的角都是θ(0°＜θ≤90°)，则下列选项正确的是( ABCD )A.当θ＝15°时，满足题意的直线l 不存在B.当θ＝25°时，满足题意的直线l 有且仅有1条C.当θ＝40°时，满足题意的直线l 有且仅有2条D.当θ＝65°时，满足题意的直线l 有且仅有3条【试题解答】 过点P 分别作a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所成的角为50°，由题意可知25°≤θ≤90°，∴当θ＝15°时，满足题意的直线不存在，故A 正确；当θ＝25°时，直线l 过点P 且与a ′，b ′在同一平面内，且平分a ′与b ′所成角，∴满足题意的直线有且仅有1条；故B 正确；当25°＜θ＜65°时，满足题意的直线l 有且仅有2条，故C 正确；当θ＝65°时，满足题意的直线有且仅有3条，故D 正确.9.(2020·山东济南期末)给定两个不共线的空间向量a 与b ，定义叉乘运算；a ×b .规定：①a ×b 为同时与a ，b 垂直的向量；②a ，b ，a ×b 三个向量构成右手系(如图1)；③|a ×b |＝|a ||b |sin 〈a ，b 〉.如图2，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝2，AA 1＝4，则下列结论正确的是( ACD )A.AB →×AD →＝AA 1→B.AB →×AD →＝AD →×AB →C.(AB →＋AD →)×AA 1→＝AB →×AA 1→＋AD →×AA 1→D.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V ＝(AB →×AD →)·CC 1→【试题解答】 由叉乘运算定义知A 正确；AB →×AD →＝－AD →×AB →，B 错误；(AB →＋AD →)×AA 1→＝AC →×AA 1→＝λDB →，由|AC →×AA 1→|＝|λBD →|知22×4sin90°＝22λ，∴λ＝4，∴(AB →＋AD →)×AA 1→＝4DB →①.同理可知AB →×AA 1→＝4DA →，AD →×AA 1→＝4AB →，∴AB →×AA 1→＋AD →×AA 1→＝4(DA →＋AB →)＝4DB →②，由①、②知C 正确.又(AB →×AD →)·CC 1→＝|AB →×AD →|·|CC 1→|＝|AB →|·|AD →|·|CC 1→|＝V 长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，D 正确，故选ACD.三、填空题10.(2020·山东枣庄期末)如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，PC ⊥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝2BC ＝2，PC＝5，则P A 与平面ABC 所成角的大小为__45°__；三棱锥P －ABC 外接球的表面积是__6π__.【试题解答】 如图，作PO ⊥平面ABC 于O ，连OA ，OC ，则∠P AO 即为P A 与平面ABC 所成的角.∵AB ⊥P A ，AB ⊥PO ，∴AB ⊥平面P AO ，从而AB ⊥AO ， 同理BC ⊥CO ，又AB ⊥BC ，∴ABCO 为矩形，又由题意易知PB ＝6，P A ＝2，AO ＝1，PO ＝1，∴∠P AO ＝45°，即P A 与平面ABC 所成角为45°，又PB 为三棱锥P －ABC 外接球的直径， ∴S 球＝4π·(62)2＝6π. 11.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝AC ＝BC ＝1，则异面直线BC 1与A 1B 1所成角为__60°__；二面角A －BC 1－C 的余弦值是33.【试题解答】 由题意可知BC 1＝AB ＝AC 1＝2，∴BC 1与A 1B 1所成的角为∠ABC 1＝60°，连B 1C 交BC 1于H ，连AH ，则HC ⊥BC 1，AH ⊥BC 1， ∴∠AHC 即为二面角A －BC 1－C 的平面角，且cos ∠AHC ＝CH AH ＝33.注：本题也可如图建立空间直角坐标系，用向量法求解.四、解答题12.(2020·3月份北京市高考适应性考试)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ＝2AD ，PD ⊥DA ，PD ⊥DC ，底面ABCD 为正方形，M 、N 分别为AD ，PD 的中点.(1)求证：P A ∥平面MNC ；(2)求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值.【试题解答】 (1)证明：因为M ，N 分别为AD ，PD 的中点，所以P A ∥MN ， 又因P A ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ， 所以P A ∥平面MNC .(2)由题意建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .设AD ＝2，则P (0,0,4)，B (2,2,0)，M (1,0,0)，N (0,0,2)，C (0,2,0)， 则PB →＝(2,2，－4)，MN →＝(－1,0,2)，MC →＝(－1,2,0). 设平面MNC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·MN →＝－x ＋2z ＝0n ·MC →＝－x ＋2y ＝0，令x ＝2，则y ＝1，z ＝1，即n ＝(2,1,1). 设直线PB 与平面MNC 所成角为α， 则sin α＝|n ·PB →||n |·|PB →|＝4＋2－46·26＝16.即直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值为16.13.(2020·广东惠州调研)在四棱锥P －ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，BC ∥AD ，∠ADC ＝90°，BC ＝CD ＝1，AD ＝2，P A ＝PD ＝3，E 为AD 的中点，F 为PC 的中点.(1)求证：P A ∥平面BEF ； (2)求二面角F －BE －A 的余弦值.【试题解答】 (1)连接AC 交BE 于N ，并连接CE ，FN ， ∵BC ∥AD ，BC ＝12AD ，E 为AD 的中点，∴AE ∥BC ，且AE ＝BC ， ∴四边形ABCE 为平行四边形，∴N 为AC 中点，又F 为PC 中点，∴NF ∥P A ， ∵NF ⊂平面BEF ，P A ⊄平面BEF ， ∴P A ∥平面BEF .(2)连接PE ，由E 为AD 的中点及P A ＝PD ＝3， 得PE ⊥AD ，则PE ＝2，∵侧面P AD ⊥底面ABCD ，且交于AD ， ∴PE ⊥面ABCD ，如图所示，以E 为原点，EA 、EB 、EP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则E (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,1,0)，P (0,0，2). ∵F 为PC 的中点，∴F (－12，12，22)，∴EB →＝(0,1,0)，EF →＝(－12，12，22)，设平面EBF 法向量为m ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ·EB →＝0m ·EF →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0＋y ＋0＝0－12x ＋12y ＋22z ＝0，取m ＝(2，0,1)，平面EBA 法向量可取：n ＝(0,0,1)， 设二面角F －BE －A 的大小为θ，显然θ为钝角， ∴cos θ＝－|cos m ，n |＝－|m ·n ||m |·|n |＝－33，∴二面角F －BE －A 的余弦值为－33. 14.(2019·银川模拟)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是矩形，∠BAC ＝90°，AA 1⊥BC ，AA 1＝AC ＝2AB ＝4，且BC 1⊥A 1C .(1)求证：平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1；(2)设D 是A 1C 1的中点，判断并证明在线段BB 1上是否存在点E ，使得DE ∥平面ABC 1.若存在，求二面角E －AC 1－B 的余弦值.【试题解答】 (1)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ABB 1A 1是矩形， ∴AA 1⊥AB ，又AA 1⊥BC ，AB ∩BC ＝B ， ∴A 1A ⊥平面ABC ，∴A 1A ⊥AC . 又A 1A ＝AC ，∴A 1C ⊥AC 1. 又BC 1⊥A 1C ，BC 1∩AC 1＝C 1， ∴A 1C ⊥平面ABC 1， 又A 1C ⊂平面A 1ACC 1， ∴平面ABC 1⊥平面A 1ACC 1.(2)当E 为BB 1的中点时，连接AE ，EC 1，DE ，如图1，取A 1A 的中点F ，连接EF ，FD ，∵EF ∥AB ，DF ∥AC 1， 又EF ∩DE ＝F ，AB ∩AC 1＝A ，∴平面EFD ∥平面ABC 1，则有DE ∥平面ABC 1.以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AA 1＝AC ＝2AB ＝4，∴A (0,0,0)，B (2,0,0)，C 1(0,4,4)，C (0,4,0)，E (2,0,2)，A 1(0,0,4)， 由(1)知，A 1C →＝(0,4，－4)是平面ABC 1的一个法向量.设n ＝(x ，y ，z )为平面AC 1E 的法向量， ∵AC 1→＝(0,4,4)，AE →＝(2,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC 1→＝0n ·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋4z ＝02x ＋2z ＝0，令z ＝1，则x ＝－1，y ＝－1，∴n ＝(－1，－1,1)为平面AC 1E 的一个法向量. 设A 1C →与n 的夹角为θ，则cos θ＝0－4－43×42＝－63，由图知二面角E －AC 1－B 为锐角， ∴二面角E －AC 1－B 的余弦值为63. B 组能力提升1.(2019·广东江门模拟)如左图，平面五边形ABCDE 中，∠B ＝∠BAD ＝∠E ＝∠CDE ＝90°，CD ＝DE ＝AE ，将△ADE 沿AD 折起，得到如右图的四棱锥P －ABCD .(1)证明：PC ⊥AD ；(2)若平面P AD ⊥平面ABCD ，求直线PB 与平面PCD 用成角的正弦值. 【试题解答】 (1)证明：取AD 的中点F ，连接PF 、CF .由已知，左图CDEA 是正方形，因为正方形的对角线互相垂直平分，所以PF ⊥AD (即EF ⊥AD )、CF ⊥AD ，因为PF ∩CF ＝F ，所以AD ⊥平面PCF ， PC ⊂平面PCF ，所以PC ⊥AD .(2)由(1)和平面P AD ⊥平面ABCD 知，PF ⊥平面ABCD ，从而PF 、CF 、AF 两两互相垂直，以F 为原点，以F A →、FC →、FP →为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ，则P (0,0,1)、B (1,1,0)、C (0,1,0)、D (－1,0,0)， 设n ＝(x ，y ，z )是平面PCD 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DP →＝x ＋z ＝0n ·DC →＝x ＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝z ＝－1，故n ＝(1，－1，－1)，PB →＝(1,1，－1)， 直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为 |cosPB →，n |＝|PB →·n ||PB →|·|n |＝13.2.(2019·黑龙江省大庆实验中学押题卷)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，E ，F 分别为AC ，B 1C 1的中点.(1)求证：直线EF ∥平面ABB 1A 1； (2)求二面角A 1－BC －B 1的余弦值.【试题解答】 (1)证明：取A 1C 1的中点G ，连接EG ，FG ，由于E ，F 分别为AC ，B 1C 1的中点，所以FG ∥A 1B 1.又A 1B 1⊂平面ABB 1A 1，FG ⊄平面ABB 1A 1， 所以FG ∥平面ABB 1A 1.又AE ∥A 1G 且AE ＝A 1G ， 所以四边形AEGA 1是平行四边形.则EG ∥AA 1.又AA 1⊂平面ABB 1A 1，EG ⊄平面ABB 1A 1，所以EG ∥平面ABB 1A 1. 所以平面EFG ∥平面ABB 1A 1.又EF ⊂平面EFG ， 所以直线EF ∥平面ABB 1A 1. (2)令AA 1＝A 1C ＝AC ＝2， 由于E 为AC 中点，则A 1E ⊥AC ，又侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，交线为AC ，A 1E ⊂平面A 1AC ， 则A 1E ⊥平面ABC ，连接EB ，可知EB ，EC ，EA 1两两垂直.以E 为原点，分别以EB ，EC ，EA 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，C (0,1,0)，A 1(0,0，3)，A (0，－1,0)，B 1(1,1，3)， 所以BC →＝(－1,1,0)，BA 1→＝(－1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(0,1，3)，令平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·BC →＝－x 1＋y 1＝0n 1·BA 1→＝－x 1＋3z 1＝0， 令x 1＝3，则n 1＝(3，3，1)令平面B 1BC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →＝－x 2＋y 2＝0n 2·BB 1→＝y 2＋3z 2＝0， 令x 2＝3，则n 2＝(3，3，－1)由cos n 1，n 2＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝57， 故二面角A 1－BC －B 1的余弦值为57. 3.(2019·海南模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且AD ＝CD ＝22，BC ＝42，P A ＝2.(1)求证：AB ⊥PC ；(2)在线段PD 上是否存在一点M ，使得二面角M －AC －D 的大小为45°，如果存在，求BM 与平面MAC 所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.【试题解答】(1)证明：如图， 由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由AD ＝CD ＝22，BC ＝42，可得△ABC 是等腰直角三角形，即AB ⊥AC ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，又P A ∩AC ＝A ，所以AB ⊥平面P AC ，所以AB ⊥PC .(2)建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，C (22，22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)，B (22，－22，0)，PD →＝(0,22，－2)，AC →＝(22，22，0).设PM →＝tPD →(0＜t ＜1)，则点M 的坐标为(0,22t,2－2t )，所以AM →＝(0,22t,2－2t ).设平面MAC 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AC →＝0n ·AM →＝0，得⎩⎨⎧22x ＋22y ＝022ty ＋(2－2t )z ＝0， 则可取n ＝(1，－1，2t 1－t). 又m ＝(0,0,1)是平面ACD 的一个法向量，所以|cos m ，n |＝|m ·n ||m ||n |＝|2t t －1|2＋(2t t －1)2＝cos45°＝22， 解得t ＝12，即点M 是线段PD 的中点. 此时平面MAC 的一个法向量可取n 0＝(1，－1，2)， BM →＝(－22，32，1).设BM 与平面MAC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos n 0，BM →＝269.。
高2021届高2018级高三第一轮复习小专题训练30分钟第一章小题型1
命题角度122.4 L·mol－1适用条件的分析1.设N A为阿伏加德罗常数的值。
下列有关叙述正确的是()A.22.4 L(标准状况)氩气含有的质子数为18N A(2018·全国卷Ⅰ,10B)B.标准状况下,2.24 L CCl4含有的共价键数为0.4N A(2016·全国卷Ⅰ,8D)C.2.24 L(标准状况)苯在O2中完全燃烧,得到0.6N A个CO2分子(2017·全国卷Ⅲ,10C)D.标准状况下,22.4 L氨水含有N A个NH3分子(2014·广东理综,10C)命题角度2一定量的物质中微粒数目的分析2.N A表示阿伏加德罗常数的值,下列说法正确的是()A.标准状况下,2.24 L N2和O2的混合气体中分子数为0.2N A(2017·全国卷Ⅱ,8C)B.3 g 3He含有的中子数为1N A(2019·全国卷Ⅱ,8A)C.92.0 g甘油(丙三醇)中含有羟基数为1.0N A(2018·全国卷Ⅰ,10C)D.1 mol的羟基与1 mol的氢氧根离子所含电子数均为9N A(2013·新课标全国卷Ⅱ,9D)命题角度3和物质所处状态无关的量的分析3.N A代表阿伏加德罗常数的值,下列说法错误的是()A.常温常压下,8 g O2含有4N A个电子(2013·广东理综,9A)B.常温下,4 g CH4含有N A个C—H共价键(2012·广东理综,11A)C.常温常压下,18 g H2O中含有的原子总数为3N A(2012·江苏,8B)D.常温常压下,124 g P4中所含P—P键数目为4N A(2018·全国卷Ⅱ,11A)命题角度4一定量的物质中共价键(或共用电子对)数目的分析4.N A代表阿伏加德罗常数的值,下列说法正确的是()A.密闭容器中1 mol PCl3与1 mol Cl2反应制备PCl5(g),增加2N A个P—Cl键(2017·全国卷Ⅲ,10D)B.60 g丙醇中存在的共价键总数为10N A(2015·全国卷Ⅱ,10A)C.1 mol乙烷与1 mol乙烯中,化学键数相同(2018·全国卷Ⅲ,8D)D.48 g正丁烷和10 g异丁烷的混合物中共价键数目为13N A(2019·全国卷Ⅱ,8D)命题角度5反应中电子转移数目的分析5.设N A为阿伏加德罗常数的值,下列有关叙述正确的是()A.1 mol Fe溶于过量硝酸,电子转移数为2N A(2016·全国卷Ⅰ,8C)B.2.4 g Mg与H2SO4完全反应,转移的电子数为0.1N A(2017·全国卷Ⅱ,8B)C.1 mol K2Cr2O7被还原为Cr3＋转移的电子数为6N A(2019·全国卷Ⅱ,8C)D.氢氧燃料电池正极消耗22.4 L(标准状况)气体时,电路中通过的电子数目为2N A (2014·四川理综,5C)命题角度6 特殊反应或隐含反应中N A 的分析6.N A 表示阿伏加德罗常数的值。
高2021届高2018级高三第一轮复习小专题训练30分钟第六章小专题48
1.一种光化学电池的结构如图所示,电池总反应式为AgCl(s)＋Cu＋(aq)===Ag(s)＋Cu2＋(aq)＋Cl－(aq),下列关于该电池在工作时的说法中正确的是()A.生成108 g银,转移电子个数为2N AB.Cu＋在负极发生氧化反应C.Ag电极活泼,Ag失电子发生氧化反应D.Cl－由负极迁移到正极2.(2019·深圳调研)如图是一种正投入生产的大型蓄电系统,放电前,被膜隔开的电解质为Na2S2和NaBr3,放电后分别变为Na2S4和NaBr。
下列叙述正确的是()A.放电时,负极反应为3NaBr－2e－===NaBr3＋2Na＋B.充电时,阳极反应为2Na2S2－2e－===Na2S4＋2Na＋C.放电时,Na＋经过离子交换膜,由b池移向a池D.用该电池电解饱和食盐水,产生2.24 L H2时,b池生成17.40 g Na2S43.Zn—ZnSO4—PbSO4—Pb电池装置如图,下列说法错误的是()A.SO2－4从右向左迁移B.电池的正极反应为Pb2＋＋2e－===PbC.左边ZnSO4浓度增大,右边ZnSO4浓度不变D.若有6.5 g锌溶解,有0.1 mol SO2－4通过离子交换膜4.(2020·杭州质检)科学家用氮化镓材料与铜组装成如图所示的人工光合系统,利用该装置成功地实现了以CO2和H2O合成CH4。
下列关于该电池叙述错误的是()A.电池工作时,整个过程是将太阳能转化为电能B.铜电极为正极,电极反应式为CO2＋8e－＋8H＋===CH4＋2H2OC.电池内部H＋透过质子交换膜从左向右移动D.为提高该人工光合系统的工作效率,可向装置中加入少量硝酸溶液5.(2019·咸阳质检)利用如图所示电池装置可以将温室气体CO2转化为可燃气体CO,其中含有的固体电解质能传导质子(H＋)。
下列说法正确的是()A.该过程中有两种形式的能量转化B.a电极表面的反应为4OH－－4e－===2H2O＋O2↑C.该装置工作时,H＋从b电极区向a电极区移动D.该装置中每生成2 mol CO,同时生成1 mol O26.某实验小组同学对电化学原理进行了一系列探究活动。
高2021届高2018级高三数学高考复习资料第三章微专题二
微专题二 导数中的函数构造问题[解题技法]函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想,而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现.一、利用f (x )进行抽象函数构造(一)利用f (x )与x 构造1.常用构造形式有xf (x ),f (x )x,这类形式是对u ·v ,u v 型函数导数计算的推广及应用.我们对u ·v ,u v 的导函数观察可得知,u ·v 型导函数中体现的是“＋”法,u v 型导函数中体现的是“－”法,由此,我们可以猜测,当导函数形式出现的是“＋”法形式时,优先考虑构造u ·v 型,当导函数形式出现的是“－”法形式时,优先考虑构造u v .例1 设f (x )是定义在R 上的偶函数,当x <0时,f (x )＋xf ′(x )<0,且f (－4)＝0,则不等式xf (x )>0的解集为________.思路点拨 出现“＋”法形式,优先构造F (x )＝xf (x ),然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.【参考答案】 (－∞,－4)∪(0,4)【试题解析】 构造F (x )＝xf (x ),则F ′(x )＝f (x )＋xf ′(x ),当x <0时,f (x )＋xf ′(x )<0,可以推出当x <0时,F ′(x )<0,∴F (x )在(－∞,0)上单调递减.∵f (x )为偶函数,x 为奇函数,∴F (x )为奇函数,∴F (x )在(0,＋∞)上也单调递减.根据f (－4)＝0可得F (－4)＝0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略),根据图象可知xf (x )>0的解集为(－∞,－4)∪(0,4).例2 设f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (1)＝0,当x <0时,有xf ′(x )－f (x )>0恒成立,则不等式f (x )>0的解集为________.思路点拨 出现“－”法形式,优先构造F (x )＝f (x )x,然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.【参考答案】 (－∞,－1)∪(1,＋∞)【试题解析】 构造F (x )＝f (x )x ,则F ′(x )＝f ′(x )·x －f (x )x 2,当x <0时,xf ′(x )－f (x )>0,可以推出当x <0时,F ′(x )>0,F (x )在(－∞,0)上单调递增.∵f (x )为偶函数,x 为奇函数,∴F (x )为奇函数,∴F (x )在(0,＋∞)上也单调递增.根据f (1)＝0可得F (1)＝0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略),根据图象可知f (x )>0的解集为(－∞,－1)∪(1,＋∞).2.xf (x ),f (x )x是比较简单常见的f (x )与x 之间的函数关系式,如果碰见复杂的,不易想的我们该如何处理,由此我们可以思考形如此类函数的一般形式.F (x )＝x n f (x ),F ′(x )＝nx n －1f (x )＋x n f ′(x )＝x n －1[nf (x )＋xf ′(x )]；F (x )＝f (x )x n , F ′(x )＝f ′(x )·x n －nx n －1f (x )x 2n ＝xf ′(x )－nf (x )x n ＋1； 结论：(1)出现nf (x )＋xf ′(x )形式,构造函数F (x )＝x n f (x )；(2)出现xf ′(x )－nf (x )形式,构造函数F (x )＝f (x )x n . 我们根据得出的结论去解决例3.例3 已知偶函数f (x )(x ≠0)的导函数为f ′(x ),且满足f (－1)＝0,当x >0时,2f (x )>xf ′(x ),则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________.思路点拨 满足“xf ′(x )－nf (x )”形式,优先构造F (x )＝f (x )x n ,然后利用函数的单调性、奇偶性和数形结合求解即可.【参考答案】 (－1,0)∪(0,1)【试题解析】 构造F (x )＝f (x )x 2,则F ′(x )＝f ′(x )·x －2f (x )x 3,当x >0时,xf ′(x )－2f (x )<0,可以推出当x >0时,F ′(x )<0,F (x )在(0,＋∞)上单调递减.∵f (x )为偶函数,x 2为偶函数,∴F (x )为偶函数,∴F (x )在(－∞,0)上单调递增.根据f (－1)＝0可得F (－1)＝0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略),根据图象可知f (x )>0的解集为(－1,0)∪(0,1).(二)利用f (x )与e x 构造1.f (x )与e x 构造,一方面是对u ·v ,u v 函数形式的考察,另外一方面是对(e x )′＝e x 的考察.所以对于f (x )±f ′(x )类型,我们可以等同xf (x ),f (x )x的类型处理,“＋”法优先考虑构造 F (x )＝f (x )·e x ,“－”法优先考虑构造F (x )＝f (x )e x . 例4 已知f (x )是定义在(－∞,＋∞)上的函数,导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立,则( )A.f (2)>e 2f (0),f (2 019)>e 2 019f (0)B.f (2)<e 2f (0),f (2 019)>e 2 019f (0)C.f (2)>e 2f (0),f (2 019)<e 2 019f (0)D.f (2)<e 2f (0),f (2 019)<e 2 019f (0)思路点拨 满足“f ′(x )－f (x )<0”形式,优先构造F (x )＝f (x )e x ,然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.【参考答案】 D【试题解析】 构造F (x )＝f (x )e x 形式,则F ′(x )＝e x f ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x,导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x ),则F ′(x )<0,F (x )在R 上单调递减,根据单调性可知选D.2.同样e x f (x ),f (x )e x 是比较简单常见的f (x )与e x 之间的函数关系式,如果碰见复杂的,我们是否也能找出此类函数的一般形式呢？F (x )＝e nx f (x ),F ′(x )＝n ·e nx f (x )＋e nx f ′(x )＝e nx [f ′(x )＋nf (x )]；F (x )＝f (x )e nx ,F ′(x )＝f ′(x )e nx －n e nx f (x )e 2nx ＝f ′(x )－nf (x )e nx； 结论：(1)出现f ′(x )＋nf (x )形式,构造函数F (x )＝e nx f (x )；(2)出现f ′(x )－nf (x )形式,构造函数F (x )＝f (x )e nx . 我们根据得出的结论去解决例5,例6.例5 若定义在R 上的函数f (x )满足f ′(x )－2f (x )>0,f (0)＝1,则不等式f (x )>e 2x 的解集为________.思路点拨 满足“f ′(x )－2f (x )>0”形式,优先构造F (x )＝f (x )e 2x,然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.【参考答案】 {x |x >0}【试题解析】 构造F (x )＝f (x )e 2x 形式, 则F ′(x )＝e 2x f ′(x )－2e 2x f (x )e 4x ＝f ′(x )－2f (x )e 2x, 函数f (x )满足f ′(x )－2f (x )>0,则F ′(x )>0,F (x )在R 上单调递增.又∵f (0)＝1,则F (0)＝1,f (x )>e 2x ⇔f (x )e2x >1⇔F (x )>F (0),根据单调性得x >0.例6 已知函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),若f (x )满足：(x －1)[f ′(x )－f (x )]>0, f (2－x )＝f (x )·e 2－2x ,则下列判断一定正确的是( ) A.f (1)<f (0)B.f (2)>e 2f (0)C.f (3)>e 3f (0)D.f (4)<e 4f (0)思路点拨 满足“f ′(x )－f (x )”形式,优先构造F (x )＝f (x )e x ,然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.【参考答案】 C【试题解析】 构造F (x )＝f (x )e x 形式,则F ′(x )＝e x f ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x,导函数f ′(x )满足(x －1)[f ′(x )－f (x )]>0,则x ≥1时F ′(x )≥0,F (x )在[1,＋∞)上单调递增.当x <1时F ′(x )<0,F (x )在(－∞,1]上单调递减.又由f (2－x )＝f (x )e 2－2x ⇔F (2－x )＝F (x )⇒F (x )关于x ＝1对称,根据单调性和图象,可知选C.(三)利用f (x )与sin x ,cos x 构造sin x ,cos x 因为导函数存在一定的特殊性,所以也是重点考察的范畴,我们一起看看常考的几种形式.F (x )＝f (x )sin x ,F ′(x )＝f ′(x )sin x ＋f (x )cos x ；F (x )＝f (x )sin x ,F ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos x sin 2x； F (x )＝f (x )cos x ,F ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )sin x ；F (x )＝f (x )cos x ,F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x. 根据得出的关系式,我们来看一下例7.例7 已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数),则下列不等式不成立的是( ) A.2f ⎝⎛⎭⎫π3<f ⎝⎛⎭⎫π4 B.2f ⎝⎛⎭⎫－π3<f ⎝⎛⎭⎫－π4 C.f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π4D.f (0)<2f ⎝⎛⎭⎫π3思路点拨 满足“f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0”形式,优先构造F (x )＝f (x )cos x ,然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.注意选项的转化.【参考答案】 A【试题解析】 构造 F (x )＝f (x )cos x 形式,则F ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x,导函数f ′(x )满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0,则F ′(x )>0,F (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增.把选项转化后可知选A. 二、具体函数关系式构造这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式,通过具体的关系式去解决不等式及求值问题.例8 已知α,β∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2,且αsin α－βsin β>0,则下列结论正确的是( ) A.α>β B.α2>β2 C.α<β D.α＋β>0思路点拨 构造函数f (x )＝x sin x ,然后利用函数的单调性和数形结合求解即可.【参考答案】 B【试题解析】 构造f (x )＝x sin x 形式,则f ′(x )＝sin x ＋x cos x ,x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时导函数f ′(x )≥0,f (x )单调递增；x ∈⎣⎡⎭⎫－π2，0时导函数f ′(x )<0,f (x )单调递减.又∵f (x )为偶函数,根据单调性和图象可知选B.例9 已知实数a ,b ,c 满足a －2e a b ＝1－c d －1＝1,其中e 是自然对数的底数,那么(a －c )2＋(b －d )2的最小值为( )A.8B.10C.12D.18思路点拨 把(a －c )2＋(b －d )2看成两点距离的平方,然后利用数形结合以及点到直线的距离即可.【参考答案】 A【试题解析】 由a －2e a b ＝1⇒b ＝a －2e a 进而⇒f (x )＝x －2e x ；又由1－c d －1＝1⇒d ＝2－c ⇒g (x )＝2－x ；由f ′(x )＝1－2e x ＝－1,得x ＝0,所以切点坐标为(0,－2),所以(a －c )2＋(b －d )2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－2－2|1＋12＝8.。
高2021届高2018级高三数学一轮专题训练试题及参考答案 (64)
[高2021届高2018级高三数学一轮专题训练64]第三讲 二项式定理A 组基础巩固一、单选题1.(2020·郑州模拟)(x －1x )9的展开式中的常数项为( D )A.64B.－64C.84D.－84【试题解答】 (x －1x )9的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9·(x )9－r ·(－1x )r ＝(－1)r ·C r 9·x 9－3r 2，由9－3r 2＝0，得r ＝3，∴(x －1x)9的展开式中的常数项为T 4＝(－1)3×C 39＝－84.故选D. 2.(2020·河北保定期末)(3x －1x)6的展开式中，有理项共有( D ) A.1项 B.2项 C.3项D.4项【试题解答】 (3x －1x)6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·(－1)r ·36－r ·x 6－32r ，令6－32r 为整数，求得r ＝0,2,4,6，共计4项.3.(2019·甘肃张掖诊断)已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( D )A.212B.211C.210D.29【试题解答】 已知(1＋x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，可得C 3n ＝C 7n，可得n ＝3＋7＝10.(1＋x )10的展开式中奇数项的二项式系数和为：12×210＝29.故选D.4.(2020·广州调研)(x －12x )9的展开式中x 3的系数为( A )A.－212B.－92C.92D.212【试题解答】 二项展开式的通项T r ＋1＝C r 9x 9－r (－12x )r ＝(－12)r C r 9x 9－2r ，令9－2r ＝3，得r ＝3，展开式中x 3的系数为(－12)3C 39＝－212.故选A. 5.(2019·烟台模拟)已知(x 3＋2x )n 的展开式的各项系数和为243，则展开式中x 7的系数为( B )A.5B.40C.20D.10【试题解答】 由(x 3＋2x )n 的展开式的各项系数和为243，令x ＝1得3n ＝243，即n ＝5，∴(x 3＋2x )n ＝(x 3＋2x )5，则T r ＋1＝C r 5·(x 3)5－r ·(2x )r ＝2r ·C r 5·x 15－4r ，令15－4r ＝7，得r ＝2，∴展开式中x 7的系数为22×C 25＝40.6.(ax ＋1x )(2x －1)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( C )A.－20B.－10C.10D.20【试题解答】 令x ＝1，可得a ＋1＝2，所以a ＝1，所以(ax ＋1x )(2x －1)5＝(x ＋1x)(2x －1)5，则展开式中常数项为(2x －1)5展开式中x 项的系数，即2C 45(－1)4＝10.7.(2019·内蒙古包头模拟)已知(2x －1)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝( B )A.1B.243C.121D.122【试题解答】 令x ＝1，得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝1，① 令x ＝－1，得－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝－243，② ①＋②，得2(a 4＋a 2＋a 0)＝－242， 即a 4＋a 2＋a 0＝－121.①－②，得2(a 5＋a 3＋a 1)＝244， 即a 5＋a 3＋a 1＝122.所以|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 5|＝122＋121＝243.故选B.8.(2019·广州测试)使(3x ＋1x x )n(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( B )A.4B.5C.6D.7【试题解答】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r·x －32r ＝C r n ·3n －r ·xn －5r 2(r ＝0,1,2，…，n )，若T r ＋1是常数项，则有n －52r ＝0，即2n ＝5r (r ＝0,1，…，n )，当r ＝0,1时，n ＝0，52，不满足条件：当r ＝2时，n ＝5，故选B.9.(2020·四川省联合诊断)(1－x 3)(1－x )9的展开式中x 4的系数为( B ) A.124 B.135 C.615D.625【试题解答】 (1－x )9的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 9(－x )r ，故所求x 4项的系数为C 49－(－1)C 19＝135.故选B.二、多选题10.若(1x －x x )n 展开式中含有x 2项，则n 的值可以是( BD )A.15B.8C.7D.3【试题解答】 注意到二项式(1x －x x )n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n ·(1x )n －r ·(－x x )r ＝C r n ·(－1)r ·x 52r －n .令52r －n ＝2，即r ＝2(n ＋2)5有正整数解；又2与5互质，因此n ＋2必是5的倍数，即n ＋2＝5k ，n ＝5k －2，故选BD.11.已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的值可以是( ABC )A.4B.5C.6D.7【试题解答】 由二项式定理知a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，n ).又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项.∴a 6＝C 510，则k 的最大值为6.故选ABC.三、填空题12.(2018·天津高考)在(x －12x )5的展开式中，x 2的系数为 52 .【试题解答】 (x －12x)5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5x5－r (－12x)r ＝(－12)r C r 5x 5－3r2. 令5－3r2＝2，可得r ＝2.所以(x －12x)5的展开式中的x 2的系数为(－12)2C 25＝52. 13.(2020·河南八校重点高中联盟联考)已知(2x －1)(x ＋a )6的展开式中x 5的系数为24，则a ＝ 1或－45. 【试题解答】 根据题意，(x ＋a )6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r a r ，其中当r ＝1时，有T 2＝C 16x 5a ，当r ＝2时，有T 3＝C 26x 4a 2，则(2x －1)(x ＋a )6的展开式中x 5的系数为－C 16a ＋2C 26a 2＝－6a ＋30a 2，则有－6a＋30a 2＝24，可得5a 2－a －4＝0，∴(a －1)(5a ＋4)＝0，∴a ＝1或a ＝－45.14.(2020·广东省东莞市期末)若(3＋ax )(1＋x )4展开式中x 的系数为13，则展开式中各项系数和为__64__.(用数字作答)【试题解答】 由题意得3C 14＋a ＝13，∴a ＝1.令x ＝1得(3＋ax )(1＋x )4的展开式中各项系数和为(3＋1)(1＋1)4＝64.15.(2019·陕西西安模拟)已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8＝__180__. 【试题解答】 令1－x ＝t ，则x ＝1－t ， ∴(2－t )10＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a 10t 10，由T r ＋1＝C r 10210－r (－t )r 知r ＝8时， a 8＝22C 810(－1)8＝180.B 组能力提升1.(2019·浙江，13)在二项式(2＋x )9的展开式中，常数项是 162 ，系数为有理数的项的个数是__5__.【试题解答】 (2＋x )9展开式的通项T r ＋1＝C r 9(2)9－r x r＝C r 9·29－r 2·x r(r ＝0,1,2，…，9)，令r ＝0，得常数项T 1＝C 09·292·x 0＝292＝162，要使系数为有理数，则只需9－r 2∈Z ，则r 必为奇数，满足条件的r 有1,3,5,7,9，共五种，故系数为有理数的项的个数是5.2.(2020·广西柳州铁路一中、玉林一中联考)(2－x )·(1＋2x )5展开式中，含x 2项的系数为__70__. 【试题解答】 (1＋2x )5展开式的通项公式为：T k ＋1＝C k 5(2x )k ＝2k·C k 5·x k ， 故所求x 2项的系数为2×22C 25－2C 15＝70.3.(2019·上海普陀区二模)502 019＋1被7除后的余数为__2__.【试题解答】 502 019＋1＝(1＋72)2019＋1＝1＋C 12 019·72＋C 22 019·74＋…＋C 2 0192 01974 038＋1＝72C 12 019＋C 22 01974＋…＋C 2 0192 01974 038＋2.故余数为2. 4.(2019·吉林实验中学月考)若(2x －3)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝__10__.【试题解答】 等式两边求导得10(2x －3)4＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋4a 4x 3＋5a 5x 4， 令x ＝1得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4＋5a 5＝10(2－3)4＝10. 5.(2020·广东茂名联考)在(x ＋x )6(1＋1y )6的展开式中，x 4y2项的系数为( C ) A.200 B.180 C.150D.120【试题解答】 (x ＋x )6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x )6－r x r ＝C r 6x 6＋r 2，令6＋r 2＝4，得r ＝2，则T 3＝C 26x 6＋22＝15x 4. (1＋1y )5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(1y )r ＝C r 5y －r ，令r ＝2可得T 3＝C 25y －2＝10y －2.故x 4y 2项的系数为15×10＝150.6.(2019·衡水模拟)S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727除以9的余数为( B )A.8B.7C.6D.5【试题解答】 依题意S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2.∵C 09×98－C 19×97＋…＋C 89是正整数，∴S 被9除的余数为7.7.(2020·河北省邢台市期末)(x ＋y －1x －1y )4的展开式中的常数项为( A )A.36B.－36C.48D.－48【试题解答】 ∵(x ＋y －1x －1y )4＝(x ＋y －x ＋y xy )4＝(x ＋y )4(1－1xy )4，∴(x ＋y －1x －1y)4的展开式中的常数项为C 24×C 24＝36.8.(2019·江西重点中学联考)若多项式(2x＋3y)n展开式仅在第5项的二项式系数最大，则多项式(x2＋1x2－4)n－4展开式中x2的系数为(A)A.－304B.304C.－208D.208【试题解答】多项式(2x＋3y)n展开式仅在第5项的二项式系数最大，故n＝8，多项式(x2＋1x2－4)4展开式中x2的系数为C14·(－4)3＋C24·C12·(－4)＝－256－48＝－304，故选A.。
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命题角度1铝及其化合物的主要性质及应用
1.化学在生产和日常生活中有着重要的应用。
下列说法中不正确的是()
A.铝比铁活泼,但铝制品比铁制品在空气中耐腐蚀
B.铝热反应不仅被用于焊接钢轨,而且还常被用于冶炼熔点较高的金属
C.电解AlCl3饱和溶液,可制得金属铝
D.Al2O3、MgO的熔点很高,可用于制作耐高温材料
2.(2020·桂林质检)向集满CO2的铝制易拉罐中加入过量NaOH浓溶液,立即封闭罐口,易拉罐渐渐凹瘪；再过一段时间,罐壁又重新凸起。
上述实验过程中没有发生的离子反应是()
A.CO2＋2OH－===CO2－3＋H2O
B.Al2O3＋2OH－===2AlO－2＋H2O
C.2Al＋2OH－＋2H2O===2AlO－2＋3H2↑
D.Al3＋＋4OH－===AlO－2＋2H2O
命题角度2铝及其重要化合物的转化关系
3.(2019·遵义联考)现有Al、Cl2、Al2O3、HCl(aq)、Al(OH)3、NaOH(aq)六种物质,它们之间有如图所示转化关系,图中每条线两端的物质之间都可以发生反应,下列推断中不合理的是()
A.N一定是HCl(aq)
B.X可能为Al或Cl2
C.Y一定为NaOH(aq)
D.Q、Z中的一种必定为Al2O3
4.某校化学兴趣小组用如图所示过程除去AlCl3溶液中含有的Mg2＋、K＋杂质离子并尽可能减少AlCl3的损失。
下列说法正确的是()
A.NaOH溶液可以用氨水来代替
B.溶液a中含有Al3＋、K＋、Cl－、Na＋、OH－
C.溶液b中只含有NaCl
D.向溶液a中滴加盐酸需控制溶液的pH
命题角度3Al(OH)3的图像分析与计算
5.(2019·重庆质检)某实验小组对一含有Al3＋的未知溶液进行了如下分析：
①滴入少量氢氧化钠,无明显变化；
②继续滴加NaOH溶液,有白色沉淀；
③滴入过量的氢氧化钠,白色沉淀明显减少。
实验小组经定量分析,得出如图所示沉淀与滴入氢氧化钠体积的关系。
下列说法错误的是()
A.该未知溶液中至少含有3种阳离子
B.滴加的NaOH溶液的物质的量浓度为5 mol·L－1
C.若另一种离子为二价阳离子,则a＝10
D.若将最终沉淀过滤、洗涤、灼烧,其质量一定是6 g
命题角度4关于冶炼铝的工艺流程
6.(2020·南昌联考)工业上用某种氧化铝矿石(含Fe2O3杂质)为原料冶炼铝的工艺流程如下：
对上述流程中的判断正确的是()
A.试剂X可以为氨水,沉淀中含有铁的化合物
B.CO2可以用H2SO4溶液或稀盐酸代替
C.反应Ⅱ中的离子方程式为CO2＋AlO－2＋2H2O===Al(OH)3↓＋HCO－3
D.工业上还可采用Fe还原Al2O3的方法制Al,成本更低
7.(2020·陕西联考)工业上用铝土矿(主要成分为Al2O3,含有少量SiO2、FeO·x Fe2O3等杂质)制取铝的一种工艺流程示意图如下：
已知：生成氢氧化物沉淀的pH如下表。
Al(OH)3Fe(OH)2Fe(OH)3
开始沉淀时 3.4 6.3 1.5
(1)为提高浸出速率,除适当增加硫酸浓度外,还可采取的措施有_______________________
_____________________________________________________________(写出两条)。
(2)浸渣的主要成分为________________。
(3)净化除杂操作分为两步：第一步是通入气体a,其目的是___________________________。
第二步是控制溶液pH,只使Fe3＋转化为Fe(OH)3沉淀。
净化除杂生成的沉淀中还含有溶液中的悬浮杂质,溶液中的悬浮杂质被共同沉淀的原因是_________________________________ ________________________________________________________________________。
(4)写出沉淀反应操作中主要发生反应的离子方程式：
________________________________________________________________________。
(5)实验室高温焙烧时,用于盛放固体的仪器名称是__________________。
答案精析
1.C
2.D[向集满CO2的铝罐中加入过量氢氧化钠,首先CO2与氢氧化钠反应,表现为铝罐变瘪,接着过量的氢氧化钠再与铝罐反应,铝罐表面有氧化膜Al2O3,故可发生A、B、C的反应。
]
3.B
4.D[NaOH溶液用氨水来代替,不能溶解氢氧化铝,A错误；溶液a中不含有Al3＋,B错误；溶液b中也含有KCl,C错误；向溶液a中滴加盐酸需控制溶液的pH,防止生成的Al(OH)3溶解,D 正确。
]
5.D
6.C[A项,试剂X应为强碱溶液,使Al2O3溶解；B项,若用强酸代替CO2,强酸过量时,Al(OH)3会溶解,不能保证生成Al(OH)3沉淀；D项,因Al比Fe活泼,不能用Fe置换Al。
]
7.(1)加热、将铝土矿粉碎成粉末(或其他合理答案)
(2)SiO2
(3)将Fe2＋氧化为Fe3＋Fe(OH)3胶粒具有吸附性
(4)Al3＋＋3NH3·H2O===Al(OH)3↓＋3NH＋4
(5)坩埚
【试题解析】(1)为提高浸出速率,还可以适当升高温度、将铝土矿粉碎成粉末等。
(2)铝土矿的成分中只有SiO2与硫酸不反应,所以浸渣的主要成分是SiO2。
(3)根据流程分析可知,气体a 是氧气,通入氧气的目的是将Fe2＋氧化为Fe3＋。
由于生成的Fe(OH)3胶粒具有吸附性,故能吸附溶液中的悬浮杂质,并共同沉淀。
(4)沉淀反应操作中Al2(SO4)3与NH3·H2O反应生成Al(OH)3沉淀,离子方程式为Al3＋＋3NH3·H2O===Al(OH)3↓＋3NH＋4。
(5)实验室高温焙烧时,盛放固体的仪器是坩埚。