高中数学人教A必修5学业分层测评5 三角形中的几何计算 Word版含解析
高中数学人教A版必修五 第一章解三角形 学业分层测评2 Word版含答案
高中数学必修五 解三角形 单元测试（内含答案）一、选择题1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形【解析】 由题意知a 2＋b 2－c 22ab <0，即cos C <0，∴△ABC 为钝角三角形．【答案】 C2．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19【解析】 由余弦定理的推论知cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19. 【答案】 D3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D ． 3【解析】 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，∴b ＝2.【答案】 C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 ∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.【答案】 A5．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π 【解析】 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac 2ac＝(a －c )22ac ＋12≥12，∵0<B <π，∴B ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.故选A. 【答案】 A二、填空题6．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于 ．【解析】 ∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1，即AB ＝1.【答案】 17．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 的大小是 ．【解析】 由正弦定理知：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．设sin A ＝5k ，sin B ＝7k ，sin C ＝8k ，∴a ＝10Rk ，b ＝14Rk ，c ＝16Rk ，∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴cos B ＝25＋64－492×5×8＝12，∴B ＝π3. 【答案】 π38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为 ．【解析】由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c，即b＝32c.又b－c＝14a，∴12c＝14a，即a＝2c.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝94c2＋c2－4c22×32c2＝－34c23c2＝－14.【答案】－1 4三、解答题9．A，B，C，D四个景点，如图1-2-14，∠CDB＝45°，∠BCD＝75°，∠ADC＝15°.A，D 相距2 km，C，D相距(32－6)km，求A，B两景点的距离．图1-2-14【解】在△BCD中，∠CBD＝180°－∠BCD－∠CDB＝60°，由正弦定理得BDsin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，即BD＝CD·sin 75°sin 60°＝2.在△ABD中，∠ADB＝45°＋15°＝60°，BD＝AD，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝2.答：A，B两景点的距离为2 km.10．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离．【解】如图所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB ＝30(m)，∴BC ＝30(m)，在Rt △ABD 中，BD ＝30tan 30°＝303(m)．在△BCD 中，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos 30°＝900，∴CD ＝30(m)，即两船相距30 m.[能力提升]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【解析】 由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab 得，a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab2ab ＝－14<0，所以90°<C <180°，即三角形为钝角三角形，故选A.【答案】 A2．已知锐角三角形边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是( )A ．(5，5)B ．(1, 5)C ．(5，13)D ．(13，5) 【解析】 三边需构成三角形，且保证3与x 所对的角都为锐角，由余弦定理得⎩⎨⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，解得5<x <13. 【答案】 C3．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C ＝ .【解析】 由正弦定理得sin A sin C ＝a c ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin A sin C ·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1. 【答案】 14．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B )的值．【解】 (1)由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝429， 由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝223. 因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝13.因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝10227.。
高中数学必修5解三角形测试题及答案(K12教育文档)
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高中数学必修5解三角形测试题及答案一、选择题：（每小题5分，共60分）1．在ABC中，45,75AB A C==︒=︒，则BC= （ A )A．3．．2 D．32．下列关于正弦定理的叙述或变形中错误．．的是（ B ）A．在ABC中,a:b:c=sinA:sinB:sinCB．ABC⇔中,a=b sin2A=sin2BC．ABC a b+c中,=sinA sinB+sinCD．ABC中,正弦值较大的角所对的边也较大3．ABC中,若sin cos,A BBa b=∠则的值为 ( B )A．30︒ B．45︒ C．60︒ D．90︒4．ABC在中，若c=a b=cosA cosB cosC，则ABC是（ B ）A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形5．下列命题正确的是（ D ）A．当a=4,b=5，A=30︒时，三角形有一解。
B．当a=5,b=4,A=60︒时，三角形有两解。
C．当a=，B=120︒时，三角形有一解。
D．当a=A=60︒时,三角形有一解。
6．ΔABC中,a=1，b=3，∠A=30°，则∠B等于 ( B ）A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°7．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ D ）A．a=1,b=2 ，c=3 B．a=1,b=2，∠A=30°C．a=1，b=2,∠A=100°D．b=c=1, ∠B=45°8．若（a+b+c ）（b+c －a ）=3abc,且sinA=2sinBcosC ， 那么ΔABC 是 （ B ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形9．在ΔABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A=3π,a=3，b=1,则c= （ B ）（A ）1 (B)2 (C) 3－1 (D) 310．（2009重庆理)设ABC ∆的三个内角,,A B C ，向量(3,sin )A B=m ,(cos )B A =n ，若1cos()A B =++m n ，则C =（ C )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 11．已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（D ） Ａ．2Ｃ．8Ｄ．712．如图：D ，C ，B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C ，D两点测得A 点仰角分别是β, α(α〈β）,则A 点离地面的高度AB 等于（ A ）A ．)sin(sin sin αββα-a B ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a二、填空题：(每小题5分,共20分）13．已知2sin a A =,则sin sin sin a b cA B C++=++_______2_______ 14．在ΔABC 中,若S ΔABC =41 （a 2+b 2－c 2)，那么角∠C=_4π_____.AD8π ．16．已知2,4,a b a b ==与的夹角为3π，以,ab 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为____ 三、解答题：（17题10分，其余小题均为12分） 17．在ΔABC 中 ，已知045,332,2===B b c，解三角形ABC 。
学探诊必修5完美word版(含答案及检测题)
第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理Ⅰ 学习目标1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60°(B)30°(C)60°或120°(D)30°或150°2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，cos C ＝－41，则c 等于( ) (A)2(B)3(C)4(D)53．在△ABC 中，已知32sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)512 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形(C)直角三角形(D)等腰三角形或直角三角形5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3 (B)1∶3∶2(C)1∶4∶9(D)1∶2∶3二、填空题6．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，B＝45°，C＝75°，则b＝________.7．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝23，c＝4，则A＝________.8．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2cos B cos C＝1－cos A，则△ABC形状是________三角形.9．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝3，b＝4，B＝60°，则c＝________.10．在△ABC中，若tan A＝2，B＝45°，BC＝5，则AC＝________.三、解答题11．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝2，b＝4，C＝60°，试解△ABC.12．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝13.(1)求角B的大小；(2)若D是BC的中点，求中线AD的长.13．如图，△OAB的顶点为O(0，0)，A(5，2)和B(－9，8)，求角A的大小.14．在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积.测试二 解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角A 等于( ) (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π 2．在△ABC 中，给出下列关系式： ①sin(A ＋B )＝sin C②cos(A ＋B )＝cos C③2cos 2sinCB A =+ 其中正确的个数是( ) (A)0(B)1(C)2(D)33．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝3，sin A ＝32，sin(A ＋C )＝43，则b 等于( ) (A)4(B)38(C)6(D)827 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，sin C ＝32，则此三角形的面积是( )(A)8 (B)6 (C)4 (D)35．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，则此三角形的形状是( ) (A)直角三角形 (B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形 二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝________.7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝19，则角C ＝________.8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝4，cos A ＝53，则此三角形的面积为________.9．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，C (4，4)，则cos A ＝________.10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________. 三、解答题11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝3，b ＝4，C ＝60°.(1)求c ； (2)求sin B .12．设向量a ，b 满足a ·b ＝3，|a |＝3，|b |＝2.(1)求〈a ，b 〉； (2)求|a －b |.13．设△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，若BD ⊥OA 于D .(1)求高线BD 的长； (2)求△OAB 的面积.14．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，求证：C 为锐角.(提示：利用正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，其中R 为△ABC 外接圆半径)Ⅱ 拓展训练题15．如图，两条直路OX 与OY 相交于O 点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX 、OY 上的A 、B 两点，| OA |＝3km ，| OB |＝1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿XO 方向，乙沿OY 方向.问：(1)经过t 小时后，两人距离是多少(表示为t 的函数)？(2)何时两人距离最近？16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且ca bC B +-=2cos cos . (1)求角B 的值；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积.第二章 数列测试三 数列Ⅰ 学习目标1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数.2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{a n }的通项公式可以是( ) (A)a n ＝4n (B)a n ＝4n (C)a n ＝94(10n－1) (D)a n ＝4×11n2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x ，48，63，……中，x 的值是( ) (A)30 (B)35 (C)36 (D)42 3．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n ，则a 4等于( ) (A)4 (B)13 (C)28 (D)43 4．156是下列哪个数列中的一项( ) (A){n 2＋1} (B){n 2－1} (C){n 2＋n } (D){n 2＋n －1} 5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则数列{a n }是( ) (A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对 二、填空题6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：(1)n a ,,31,52,21,32,1 ＝________；(2)0，1，0，1，0，…，a n ＝________.7．一个数列的通项公式是a n ＝122+n n .(1)它的前五项依次是________； (2)0.98是其中的第________项.8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋1，则a 4＝________. 9．数列{a n }的通项公式为)12(3211-++++=n a n (n ∈N *)，则a 3＝________.10．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－15n ＋3，则它的最小项是第________项. 三、解答题11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝14－3n .(1)写出数列{a n }的前6项； (2)当n ≥5时，证明a n ＜0.12．在数列{a n }中，已知a n ＝312-+n n (n ∈N *).(1)写出a 10，a n ＋1，2n a ； (2)7932是否是此数列中的项？若是，是第几项？13．已知函数xx x f 1)(-=，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋). (1)写出数列{a n }的前4项；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？测试四 等差数列Ⅰ 学习目标1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等差数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝a n －2，则a 100等于( ) (A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－1982．数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2008，那么n 等于( ) (A)667 (B)668 (C)669 (D)670 3．在等差数列{a n }中，若a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) (A)15 (B)30 (C)31 (D)644．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( )(A)n a b - (B)1+-n a b (C)1++n a b (D)2+-n ab 5．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) (A)S 4＜S 5 (B)S 4＝S 5 (C)S 6＜S 5 (D)S 6＝S 5 二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项是________.7．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝9，那么a 5＋a 6＝________. 8．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 17＝102，则a 9＝________.9．如果一个数列的前n 项和S n ＝3n 2＋2n ，那么它的第n 项a n ＝________.10．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，设{a n }的前n 项和是S n ，则S 10＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．求数列{a n }的通项公式.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .13．数列{a n }是等差数列，且a 1＝50，d ＝－0.6．(1)从第几项开始a n ＜0；(2)写出数列的前n 项和公式S n ，并求S n 的最大值.Ⅲ 拓展训练题14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若3a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝90，求S 100．测试五 等比数列Ⅰ 学习目标1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等比数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，则a 4等于( )(A)83 (B)24 (C)48 (D)542．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) (A)33 (B)72 (C)84 (D)189 3．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3等于( )(A)4(B)23 (C)916 (D)3 4．在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前四项和为( ) (A)81 (B)120 (C)168 (D)1925．若数列{a n }满足a n ＝a 1q n －1(q ＞1)，给出以下四个结论： ①{a n }是等比数列； ②{a n }可能是等差数列也可能是等比数列； ③{a n }是递增数列； ④{a n }可能是递减数列. 其中正确的结论是( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 二、填空题6．在等比数列{a n }中,a 1，a 10是方程3x 2＋7x －9＝0的两根，则a 4a 7＝________. 7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝6，那么a 5＋a 6＝________. 8．在等比数列{a n }中，若a 5＝9，q ＝21，则{a n }的前5项和为________. 9．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q ＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝6，a 5＝162.设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .12．在等比数列{a n }中，若a 2a 6＝36，a 3＋a 5＝15，求公比q .13．已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，且a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c .Ⅲ 拓展训练题14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列.a ij 表示位于第i 行第j 列的数，其中a 24＝81，a 42＝1，a 54＝165. a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 … a 1j … a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 … a 2j … a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 … a 3j … a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 … a 4j … … … … … … … … … a i 1 a i 2 a i 3 a i 4 a i 5 a ij ……………………(1)求q 的值；(2)求a ij 的计算公式.测试六 数列求和Ⅰ 学习目标1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和.2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21 2．若数列{a n }是公差为21的等差数列，它的前100项和为145，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为( ) (A)60 (B)72.5 (C)85 (D)1203．数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·2n (n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则S 100等于( ) (A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200 4．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)12)(12(1n n 的前n 项和为( )(A)12+n n (B)122+n n (C)24+n n (D)12+n n5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝a n ＋3(n ＝1，2，3，…)，则S 100等于( ) (A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950 二、填空题 6．nn +++++++++11341231121 ＝________.7．数列{n ＋n 21}的前n 项和为________. 8．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________. 9．设n ∈N *，a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝________. 10．n n 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯＝________. 三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝－11，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，求数列{|a n |}的前n 项和S n .12．已知函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *，x ∈R )，且对一切正整数n 都有f (1)＝n 2成立.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求13221111++++n n a a a a a a .13．在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝12141211-++++n，求数列的前n项和S n.Ⅲ拓展训练题14．已知数列{a n}是等差数列，且a1＝2，a1＋a2＋a3＝12.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝a n x n(x∈R)，求数列{b n}的前n项和公式.测试七数列综合问题Ⅰ基础训练题一、选择题1．等差数列{a n}中，a1＝1，公差d≠0，如果a1，a2，a5成等比数列，那么d等于( )(A)3 (B)2 (C)－2 (D)2或－22．等比数列{a n}中，a n＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5等于( )(A)5 (B)10 (C)15 (D)203．如果a1，a2，a3，…，a8为各项都是正数的等差数列，公差d≠0，则( )(A)a1a8＞a4a5 (B)a1a8＜a4a5(C)a1＋a8＞a4＋a5(D)a1a8＝a4a54．一给定函数y＝f(x)的图象在下列图中，并且对任意a1∈(0，1)，由关系式a n＋1＝f(a n)得到的数列{a n}满足a n＋1＞a n(n∈N*)，则该函数的图象是( )5．已知数列{a n}满足a1＝0，1331+-=+nnn aaa(n∈N*)，则a20等于( )(A)0 (B)－3(C)3(D)23二、填空题6．设数列{a n}的首项a1＝41，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+.,,41,211为奇数为偶数nanaannn则a2＝________，a3＝________.7．已知等差数列{a n}的公差为2，前20项和等于150，那么a2＋a4＋a6＋…＋a20＝________. 8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成________个.9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n (n ∈N *)，则a n ＝________.10．在数列{a n }和{b n }中，a 1＝2，且对任意正整数n 等式3a n ＋1－a n ＝0成立，若b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，则{b n }的前n 项和为________. 三、解答题11．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)求a 1＋a 3＋…＋a 2n －1的和. 12．已知函数f (x )＝422+x (x ＞0)，设a 1＝1，a 21+n ·f (a n )＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪个值最大，并说明理由.Ⅲ 拓展训练题14．甲、乙两物体分别从相距70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m . (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n ＝|a n －1－a n －2|，n ＝3，4，5，…则称{a n }为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)； (2)若“绝对差数列”{a n }中，a 1＝3，a 2＝0，试求出通项a n ； (3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.测试八 数列全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝12，那么a 5＋a 6等于( ) (A)16 (B)20 (C)24 (D)36 2．在50和350间所有末位数是1的整数和( ) (A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)48773．若a ，b ，c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定 4．在等差数列{a n }中，如果前5项的和为S 5＝20，那么a 3等于( ) (A)－2 (B)2 (C)－4 (D)45．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2007＋a 2008＞0，a 2007·a 2008＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( ) (A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015 二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________. 7．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和S 20＝________. 8．数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S n ＝n 2－3n ＋1，则a n ＝________.9．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1074963a a a a a a ++++＝________.10．设数列{a n }是首项为1的正数数列，且(n ＋1)a 21+n －na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________. 三、解答题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，求S 13.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1＋1)(n ∈N *)在函数f (x )＝2x ＋1的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设c n ＝S n ，求数列{c n }的前n 项和T n .13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件S n ＝3a n ＋2.(1)求证：数列{a n }成等比数列； (2)求通项公式a n .14．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.(1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？Ⅱ 拓展训练题15．已知函数f (x )＝412-x (x ＜－2)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (－11+n a )(n ∈N *).(1)求a n ；(2)设b n ＝a 21+n ＋a 22+n ＋…＋a 212+n ，是否存在最小正整数m ，使对任意n ∈N *有b n ＜25m 成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.16．已知f 是直角坐标系平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作Q＝f (P ).设P 1(x 1，y 1)，P 2＝f (P 1)，P 3＝f (P 2)，…，P n ＝f (P n －1)，….如果存在一个圆，使所有的点P n (x n ，y n )(n ∈N *)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n (x n ，y n )的一个收敛圆.特别地，当P 1＝f (P 1)时，则称点P 1为映射f 下的不动点.若点P (x ，y )在映射f 下的象为点Q (－x ＋1，21y ). (1)求映射f 下不动点的坐标；(2)若P 1的坐标为(2，2)，求证：点P n (x n ，y n )(n ∈N *)存在一个半径为2的收敛圆.第三章 不等式测试九 不等式的概念与性质Ⅰ 学习目标1．了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小.2．理解不等式的基本性质及其证明.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( ) (A)a ＞b ⇒a －c ＞b －c (B)a ＞b ⇒ac ＞bc (C)a ＞b ⇒a 2＞b 2 (D)a ＞b ⇒ac 2＞bc 2 2．若－1＜α＜β＜1，则α－β 的取值范围是( ) (A)(－2，2) (B)(－2，－1) (C)(－1，0) (D)(－2，0) 3．设a ＞2，b ＞2，则ab 与a ＋b 的大小关系是( ) (A)ab ＞a ＋b (B)ab ＜a ＋b (C)ab ＝a ＋b (D)不能确定4．使不等式a ＞b 和ba 11>同时成立的条件是( ) (A)a ＞b ＞0 (B)a ＞0＞b (C)b ＞a ＞0 (D)b ＞0＞a 5．设1＜x ＜10，则下列不等关系正确的是( ) (A)lg 2x ＞lg x 2＞lg(lg x ) (B)lg 2x ＞lg(lg x )＞lg x 2 (C)lg x 2＞lg 2x ＞1g (lg x ) (D)lg x 2＞lg(lg x )＞lg 2x 二、填空题6．已知a ＜b ＜0，c ＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号： (1)(a －2)c ________(b －2)c ； (2)a c ________bc； (3)b －a ________|a |－|b |. 7．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a 、ab 、ab 2按从小到大排列为________.8．已知60＜a ＜84，28＜b ＜33，则a －b 的取值范围是________；ba的取值范围是________. 9．已知a ，b ，c ∈R ，给出四个论断：①a ＞b ；②ac 2＞bc 2；③cbc a >；④a －c ＞b －c .以其中一个论断作条件，另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是________⇒________；________⇒________.(在“⇒”的两侧填上论断序号).10．设a ＞0，0＜b ＜1，则P ＝23+a b 与)2)(1(++=a a bQ 的大小关系是________.三、解答题11．若a ＞b ＞0，m ＞0，判断a b 与ma mb ++的大小关系并加以证明.12．设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，b a q a b ba p +=+=,22.证明：p ＞q .注：解题时可参考公式x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2).Ⅲ 拓展训练题13．已知a ＞0，且a ≠1，设M ＝log a (a 3－a ＋1)，N ＝log a (a 2－a ＋1).求证：M ＞N .14．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，试比较a 5和b 5的大小.测试十 均值不等式Ⅰ 学习目标1．了解基本不等式的证明过程.2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则ab ( )(A)有最小值41 (B)有最小值21 (C)有最大值41 (D)有最大值21 2．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则( ) (A)2222b a ab ba +<<+ (B)2222b a ba ab +<+< (C)2222ba b a ab +<+<(D)2222ba ab b a +<<+ 3．若矩形的面积为a 2(a ＞0)，则其周长的最小值为( )(A)a (B)2a (C)3a(D)4a4．设a ，b ∈R ，且2a ＋b －2＝0，则4a ＋2b 的最小值是( ) (A)22(B)4(C)24(D)85．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) (A)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (B)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (C)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 (D)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 二、填空题6．若x ＞0，则变量xx 9+的最小值是________；取到最小值时，x ＝________. 7．函数y ＝142+x x(x ＞0)的最大值是________；取到最大值时，x ＝________.8．已知a ＜0，则316-+a a 的最大值是________. 9．函数f (x )＝2log 2(x ＋2)－log 2x 的最小值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 成等比数列，则b 的取值范围是________. 三、解答题 11．四个互不相等的正数a ，b ，c ，d 成等比数列，判断2da +和bc 的大小关系并加以证明.12．已知a ＞0，a ≠1，t ＞0，试比较21log a t 与21log +t a 的大小.Ⅲ 拓展训练题13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式a y x ≤+恒成立，求a 的取值范围.14．(1)用函数单调性的定义讨论函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性； (2)设函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，2]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式.测试十一 一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 2．会解简单的一元二次不等式.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．不等式5x ＋4＞－x 2的解集是( ) (A){x |x ＞－1，或x ＜－4} (B){x |－4＜x ＜－1} (C){x |x ＞4，或x ＜1}(D){x |1＜x ＜4}2．不等式－x 2＋x －2＞0的解集是( ) (A){x |x ＞1，或x ＜－2} (B){x |－2＜x ＜1}(C)R(D)∅3．不等式x 2＞a 2(a ＜0)的解集为( ) (A){x |x ＞±a }(B){x |－a ＜x ＜a } (C){x |x ＞－a ，或x ＜a }(D){x |x ＞a ，或x ＜－a }4．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为}231|{<<-x x ，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是( )(A){x |－3＜x ＜21} (B){x |x ＜－3，或x ＞21} (C){x －2＜x ＜31}(D){x |x ＜－2，或x ＞31}5．若函数y ＝px 2－px －1(p ∈R )的图象永远在x 轴的下方，则p 的取值范围是( ) (A)(－∞，0) (B)(－4，0] (C)(－∞，－4) (D)[－4，0) 二、填空题6．不等式x 2＋x －12＜0的解集是________.7．不等式05213≤+-x x 的解集是________. 8．不等式|x 2－1|＜1的解集是________. 9．不等式0＜x 2－3x ＜4的解集是________. 10．已知关于x 的不等式x 2－(a ＋a 1)x ＋1＜0的解集为非空集合｛x |a ＜x ＜a1}，则实数a 的取值范围是________.三、解答题11．求不等式x 2－2ax －3a 2＜0(a ∈R )的解集.12．k 在什么范围内取值时，方程组⎩⎨⎧=+-=-+0430222k y x x y x 有两组不同的实数解？Ⅲ 拓展训练题13．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x 2＋2x －8＞0}，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}.(1)求实数a 的取值范围，使C ⊇(A ∩B )；(2)求实数a 的取值范围，使C ⊇(U A )∩(U B ).14．设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋1＜0.测试十二 不等式的实际应用Ⅰ 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题 1．函数241xy -=的定义域是( )(A){x |－2＜x ＜2}(B){x |－2≤x ≤2} (C){x |x ＞2，或x ＜－2}(D){x |x ≥2，或x ≤－2}2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)的关系为p ＝300－2x ，生产x 件的成本r ＝500＋30x (元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x 满足( ) (A)55≤x ≤60 (B)60≤x ≤65 (C)65≤x ≤70 (D)70≤x ≤753．国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r 元，则每年产销量减少10r 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，那么r 的取值范围为( ) (A)2≤r ≤10 (B)8≤r ≤10 (C)2≤r ≤8 (D)0≤r ≤84．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) (A)2∈M ，0∈M (B)2∉M ，0∉M (C)2∈M ，0∉M (D)2∉M ，0∈M 二、填空题5．已知矩形的周长为36cm ，则其面积的最大值为________.6．不等式2x 2＋ax ＋2＞0的解集是R ，则实数a 的取值范围是________. 7．已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (x )＜3的解集为________.8．若不等式|x ＋1|≥kx 对任意x ∈R 均成立，则k 的取值范围是________. 三、解答题9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.10．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40km/h 的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .已知甲乙两种车型的刹车距离s (km)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s乙＝0.05x ＋0.005x 2．问交通事故的主要责任方是谁？Ⅲ 拓展训练题11．当x ∈[－1，3]时，不等式－x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，求实数a 的取值范围.12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm 的空白，上下留有都为6cm 的空白，中间排版面积为2400cm 2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ⅰ 学习目标1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知点A (2，0)，B (－1，3)及直线l ：x －2y ＝0，那么( ) (A)A ，B 都在l 上方 (B)A ，B 都在l 下方 (C)A 在l 上方，B 在l 下方 (D)A 在l 下方，B 在l 上方 2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2,0,0y x y x 所表示的平面区域的面积为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43．三条直线y ＝x ，y ＝－x ，y ＝2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )(A)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥.2,,y x y x y(B)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤.2,,y x y x y(C)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤.2,,y x y x y(D)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.2,,y x y x y4．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,05x y x y x 则z ＝2x ＋4y 的最小值是( )(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)105．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) (A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种 二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧<>00y x 所表示的平面区域内的点位于第________象限.7．若不等式|2x ＋y ＋m |＜3表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则m 的取值范围是________. 8．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,033,3,1y x y x 那么z ＝x －y 的取值范围是________.9．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,022,2,1y x y x 那么x y 的取值范围是________.10．方程|x |＋|y |≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________. 三、解答题11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：(1)3x ＋2y ＋6＞0 (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤.01,2,1y x y x12．某实验室需购某种化工原料106kg ，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg ，价格为140元；另一种是每袋24kg ，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？Ⅲ 拓展训练题13．商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0.5元；第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖，每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14．甲、乙两个粮库要向A ，B 两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A 镇需大米70吨，B 镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表： 路程(千米) 运费(元/吨·千米) 甲库 乙库 甲库乙库 A 镇 20 15 12 12 B 镇 2520108问：(1)这两个粮库各运往A 、B 两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？测试十四 不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式中一定正确的是( ) (A)ac 2＞bc 2(B)ba 11< (C)a －c ＞b －c (D)|a |＞|b |2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+2,042,04y y x y x 表示的平面区域的面积是( )(A)23 (B)3 (C)4 (D)6 3．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m ，则这个矩形的面积最大值是( ) (A)50m 2 (B)100m 2 (C)200m 2 (D)250m 2 4．设函数f (x )＝222x x x +-，若对x ＞0恒有xf (x )＋a ＞0成立，则实数a 的取值范围是( )(A)a ＜1－22(B)a ＜22－1(C)a ＞22－1(D)a ＞1－22 5．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0，则( ) (A)a ＞1 (B)a ＜－1 (C)－1＜a ＜1 (D)|a |＞1二、填空题6．已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么2a －b 的取值范围是________，ba 的取值范围是________. 7．若不等式x 2－ax －b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＋b ＝________.8．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________. 9．若函数f (x )＝1222--⋅+aax x的定义域为R ，则a 的取值范围为________.10．三个同学对问题“关于x 的不等式x 2＋25＋|x 3－5x 2|≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.” 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值.” 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象.” 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是________. 三、解答题11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | |x －1|＜6}，B ＝{x |128--x x ＞0}.(1)求A ∩B ； (2)求(U A )∪B .12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？Ⅱ 拓展训练题13．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与ij a a 两数中至少有一个属于A .(1)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P ，并说明理由； (2)证明：a 1＝1，且n nna a a a a a a =++++++---1121121 .测试十五必修5模块自我检测题一、选择题1．函数42-=xy的定义域是( )(A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞)(C)[－2，2] (D)(－∞，－2]∪[2，＋∞)2．设a＞b＞0，则下列不等式中一定成立的是( )(A)a－b＜0 (B)0＜ba＜1(C)ab＜2ba+(D)ab＞a＋b3．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≤,0,1yxyx所表示的平面区域是W，则下列各点中，在区域W内的点是( )(A))31,21((B))31,21(-(C))31,21(--(D))31,21(-4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，则下列不等式中一定成立的是( )(A)a1＋a3＞0 (B)a1a3＞0 (C)S1＋S3＜0 (D)S1S3＜05．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c等于( )(A)1∶3∶2 (B)1∶2∶3 (C)2∶3∶1 (D)3∶2∶16．已知等差数列{a n}的前20项和S20＝340，则a6＋a9＋a11＋a16等于( )(A)31 (B)34 (C)68 (D)707．已知正数x、y满足x＋y＝4，则log2x＋log2y的最大值是( )(A)－4 (B)4 (C)－2 (D)28．如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为0.08 km，距测速区终点B的距离为0.05 km，且∠APB＝60°.现测得某辆汽车从A 点行驶到B点所用的时间为3s，则此车的速度介于( )(A)60～70km/h (B)70～80km/h(C)80～90km/h (D)90～100km/h二、填空题9．不等式x(x－1)＜2的解集为________.10．在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则cos(A＋C)的值为________.11．已知{a n}是公差为－2的等差数列，其前5项的和S5＝0，那么a1等于________.12．在△ABC中，BC＝1，角C＝120°，cos A＝32，则AB＝________.13．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥≥342,0yxyxyx，所表示的平面区域的面积是________；变量z＝x＋3y的最大值是________.14．如图，n2(n≥4)个正数排成n行n列方阵，符号a ij(1≤i≤n，1≤j≤n，i，j∈N)表示位于第i行第j列的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q.若a11＝21，a24＝1，a32＝41，则q＝________；a ij＝________.三、解答题15．已知函数f(x)＝x2＋ax＋6.(1)当a＝5时，解不等式f(x)＜0；(2)若不等式f(x)＞0的解集为R，求实数a的取值范围.16．已知{a n}是等差数列，a2＝5，a5＝14.(1)求{a n}的通项公式；(2)设{a n}的前n项和S n＝155，求n的值.17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，A，B是锐角，c＝10，且34coscos==abBA.(1)证明角C＝90°；(2)求△ABC的面积.18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，用煤(吨) 用电(千瓦) 产值(万元) 甲种产品7 2 8乙种产品 3 5 1119．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos A ＝31.(1)求A CB 2cos 2sin 2++的值； (2)若a ＝3，求bc 的最大值.20．数列{a n }的前n 项和是S n ，a 1＝5，且a n ＝S n －1(n ＝2，3，4，…).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：⋅<++++531111321n a a a a参考答案第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理一、选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 提示：4．由正弦定理，得sin C ＝23，所以C ＝60°或C ＝120°， 当C ＝60°时，∵B ＝30°，∴A ＝90°，△ABC 是直角三角形； 当C ＝120°时，∵B ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 是等腰三角形. 5．因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，所以A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==＝k ， 得a ＝k ·sin30°＝21k ，b ＝k ·sin60°＝23k ，c ＝k ·sin90°＝k ，所以a ∶b ∶c ＝1∶3∶2. 二、填空题6．362 7．30° 8．等腰三角形 9．2373+ 10．425 提示：8．∵A ＋B ＋C ＝π，∴－cos A ＝cos(B ＋C ).∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos(B ＋C )＋1， ∴2cos B cos C ＝cos B cos C －sin B sin C ＋1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 9．利用余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 10．由tan A ＝2，得52sin =A ，根据正弦定理，得ABC B AC sin sin =，得AC ＝425.三、解答题11．c ＝23，A ＝30°，B ＝90°. 12．(1)60°；(2)AD ＝7. 13．如右图，由两点间距离公式，得OA ＝29)02()05(22=-+-，同理得232,145==AB OB .由余弦定理，得cos A ＝222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA ， ∴A ＝45°.14．(1)因为2cos(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝60°，故C ＝120°.(2)由题意，得a ＋b ＝23，ab ＝2，又AB 2＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C＝12－4－4×(21-)＝10. 所以AB ＝10. (3)S △ABC ＝21ab sin C ＝21·2·23＝23.测试二 解三角形全章综合练习1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 提示：5．化简(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 由余弦定理，得cos A ＝212222=-+bc a c b ，所以∠A ＝60°.因为sin A ＝2sin B cos C ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C . 所以sin(B －C )＝0，故B ＝C . 故△ABC 是正三角形. 二、填空题6．30° 7．120° 8．524 9．55 10．3三、解答题11．(1)由余弦定理，得c ＝13；(2)由正弦定理，得sin B ＝13392. 12．(1)由a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉，得〈a ，b 〉＝60°；(2)由向量减法几何意义，知|a |，|b |，|a －b |可以组成三角形，所以|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝7，故|a －b |＝7.13．(1)如右图，由两点间距离公式，得29)02()05(22=-+-=OA ， 同理得232,145==AB OB . 由余弦定理，得,222cos 222=⨯⨯-+=AB OA OB AB OA A所以A ＝45°.故BD ＝AB ×sin A ＝229.(2)S △OAB ＝21·OA ·BD ＝21·29·229＝29. 14．由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，得C Rc B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===. 因为sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，所以222)2()2()2(R cR b R a >+， 即a 2＋b 2＞c 2. 所以cos C ＝abc b a 2222-+＞0， 由C ∈(0，π)，得角C 为锐角.15．(1)设t 小时后甲、乙分别到达P 、Q 点，如图，则|AP |＝4t ，|BQ |＝4t ，因为|OA |＝3，所以t ＝43h 时，P 与O 重合. 故当t ∈[0，43]时， |PQ |2＝(3－4t )2＋(1＋4t )2－2×(3－4t )×(1＋4t )×cos60°； 当t ＞43h 时，|PQ |2＝(4t －3)2＋(1＋4t )2－2×(4t －3)×(1＋4t )×cos120°. 故得|PQ |＝724482+-t t (t ≥0). (2)当t ＝h 4148224=⨯--时，两人距离最近，最近距离为2km . 16．(1)由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===， 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC . 所以等式c a b C B +-=2cos cos 可化为CR A R BR C B sin 2sin 22sin 2cos cos +⋅-=， 即CA BC B sin sin 2sin cos cos +-=， 2sin A cos B ＋sin C cos B ＝－cos C ·sin B ，故2sin A cos B ＝－cos C sin B －sin C cos B ＝－sin(B ＋C )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )， 故cos B ＝－21， 所以B ＝120°.(2)由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－2ac ×cos120°， 即a 2＋c 2＋ac ＝13 又a ＋c ＝4， 解得⎩⎨⎧==31c a ，或⎩⎨⎧==13c a .所以S △ABC ＝21ac sin B ＝21×1×3×23＝433.第二章 数列测试三 数列一、选择题1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 二、填空题6．(1)12+=n a n (或其他符合要求的答案) (2)2)1(1n n a -+=(或其他符合要求的答案)7．(1)2625,1716,109,54,21 (2)7 8．67 9．151 10．4提示：9．注意a n 的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.10．将数列{a n }的通项a n 看成函数f (n )＝2n 2－15n ＋3，利用二次函数图象可得答案. 三、解答题11．(1)数列{a n }的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；(2)证明：∵n ≥5，∴－3n ＜－15，∴14－3n ＜－1， 故当n ≥5时，a n ＝14－3n ＜0.12．(1)31,313,31092421102-+=++==+n n a n n a a n n ； (2)7932是该数列的第15项. 13．(1)因为a n ＝n －n1，所以a 1＝0，a 2＝23，a 3＝38，a 4＝415；(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)11+-n ]－(n －n1)＝1＋)1(1+n n又因为n ∈N ＋，所以a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n .所以数列{a n }是递增数列.测试四 等差数列一、选择题1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 二、填空题6．a 4 7．13 8．6 9．6n －1 10．35 提示：10．方法一：求出前10项，再求和即可；方法二：当n 为奇数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝0，所以a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2m －1＝1(m∈N *).当n 为偶数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝2，即a 4－a 2＝a 6－a 4＝…＝a 2m ＋2－a 2m ＝2(m ∈N *). 所以数列{a 2m }是等差数列.故S 10＝5a 1＋5a 2＋2)15(5-⨯×2＝35. 三、解答题11．设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+.242344,7211d a d a 解得⎩⎨⎧==.2,31d a ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1. 12．(1)设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得。
2020高中数学人教A版必修五 第一章解三角形 学业分层测评4 Word版含答案
学业分层测评（四）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为( ) A ．α>β B ．α＝β C ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°【解析】 根据题意和仰角、俯角的概念画出草图，如图．知α＝β，故应选B.【答案】 B2．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流的上游并与河岸垂直方向所成的角为( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【解析】 如图所示，sin ∠CAB ＝2040＝12，∴∠CAB ＝30°.【答案】 B3．我舰在敌岛A 处南偏西50°的B 处，且A 、B 距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为( )A．28海里/小时B．14海里/小时C．142海里/小时D．20海里/小时【解析】如图，设我舰在C处追上敌舰，速度为v，在△ABC中，AC＝10×2＝20(海里)，AB＝12海里，∠BAC＝120°，∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 120°＝784，∴BC＝28海里，∴v＝14海里/小时．【答案】 B4．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达△BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为( )A．14米B．15米C．16米D．17米【解析】如图，设DN＝x m，则142＝102＋x2－2×10×x cos 60°，∴x2－10x－96＝0.∴(x－16)(x＋6)＝0.∴x＝16或x＝－6(舍)．∴N与D之间的距离为16米．【答案】 C二、填空题5．(2015·湖北高考)如图1226，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝m.图1226【解析】由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600 m，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC＝300 2 m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×3 3＝1006(m)．【答案】100 66．某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处，然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处，若A处与C处的距离为3海里，则x的值为．【解析】x2＋9－2·x·3cos 30°＝(3)2，解得x＝23或x＝ 3.【答案】3或2 37．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为 km. 【导学号：05920062】【解析】 如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°， ∠AMB ＝45°， 在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝302(km)． 【答案】 30 28．一船自西向东航行，上午10：00到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68 n mile 的M 处，下午14：00到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为n mile/h.【解析】 如图，由题意知∠MPN ＝75°＋45°＝120°，∠PNM ＝45°. 在△PMN 中，由正弦定理，得 MN sin 120°＝PMsin 45°，∴MN ＝68×3222＝34 6.又由M 到N 所用时间为14－10＝4(h)，∴船的航行速度v ＝3464＝1726(n mile/h)．【答案】1726 三、解答题9．平面内三个力F 1、F 2、F 3作用于同一点且处于平衡状态．已知F 1、F 2的大小分别为1 N 、6＋22 N ，F 1与F 2的夹角为45°，求F 3的大小及F 3与F 1的夹角的大小．【解】 如图，设F 1与F 2的合力为F ，则F 3＝－F . ∵∠BOC ＝45°， ∴∠ABO ＝135°.在△OBA 中，由余弦定理得|F |2＝|F 1|2＋|F 2|2－2|F 1|·|F 2|cos 135° ＝4＋2 3.∴|F |＝1＋3，即|F 3|＝3＋1. 又由正弦定理得sin ∠BOA ＝|F 2|sin ∠ABO |F |＝12.∴∠BOA ＝30°. ∴∠BOD ＝150°.故F 3的大小为(3＋1)N ，F 1与F 3的夹角为150°.10. (2016·焦作模拟)如图1227，正在海上A 处执行任务的渔政船甲和在B 处执行任务的渔政船乙，同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70 km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏西20°方向的B处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线AC航行前去救援，渔政船乙仍留在B处执行任务，渔政船甲航行30 km到达D处时，收到新的指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在B 处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙(渔政船乙沿直线BC航行前去救援渔船丙)，此时B、D两处相距42 km，问渔政船乙要航行多少距离才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救．图1227【解】设∠ABD＝α，在△ABD中，AD＝30，BD＝42，∠BAD＝60°.由正弦定理得ADsin α＝BDsin∠BAD，sin α＝ADBD sin∠BAD＝3042sin 60°＝5314，又∵AD<BD，∴0°<α<60°，cos α＝1－sin2α＝11 14，cos∠BDC＝cos(60°＋α)＝－1 7 .在△BDC中，由余弦定理得BC2＝DC2＋BD2－2DC·BD cos∠BDC＝402＋422－2×40×42cos(60°＋α)＝3 844，BC＝62 km，即渔政船乙要航行62 km才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救．[能力提升]1．(2016·湖南师大附中期中)为了测量某塔的高度，某人在一条水平公路C，D两点处进行测量．在C点测得塔底B在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿着南偏东40°方向前进10米到D点，测得塔顶的仰角为30°，则塔的高度为( ) A．5米B．10米C．15米D．20米【解析】如图，由题意得，AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD.设塔高AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，所以BC＝AB＝x，在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝ABtan 30°＝3x，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CB2＋CD2－2CB·CD·cos 120°，∴(3x)2＝x2＋100＋10x，解得x＝10或x＝－5(舍去)，故选B.【答案】 B2．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507分钟 B.157分钟 C ．21.5分钟D ．2.15小时【解析】 如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处，则AC ＝6t .∵∠BAC ＝120°，∴DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos 120°＝28t 2－20t ＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫t －5142＋6757.当t ＝514时，DC 2最小，即DC 最小，此时它们所航行的时间为514×60＝1507分钟．【答案】 A3．如图1228所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ＝ .图1228【解析】 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217， ∠BAC ＝120°，则∠ACB 为锐角，cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，则cos θ＝cos(∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB ·cos 30°－sin ∠ACB ·sin 30°＝2114.【答案】 2114。
2020年高中数学人教A版 必修5 同步作业本《解三角形应用举例-三角形中的几何计算》(含答案解析)
2020年高中数学人教A 版 必修5 同步作业本 《解三角形应用举例-三角形中的几何计算》一、选择题1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，a=5，b=4，cos C=45，则△ABC 的面积是( )A ．8B ．6C ．4D ．22.在△ABC 中，三边a ，b ，c 与面积S 的关系式为a 2＋4S=b 2＋c 2，则角A 为( )A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°3.在△ABC 中，A =60°，AB=1，AC=2，则S △ABC 的值为( )A.12B.32 C.3 D ．2 34.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a=1，B=π3，当△ABC 的面积等于3时，tan C 等于( )A. 3 B ．－ 3 C ．－2 3 D ．－25.在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2=0，且a=6，cos A=78，则△ABC 的面积等于( )A.152B.15 C ．2 D ．36.在△ABC 中，若cos B=14，sin C sin A =2，且S △ABC =154，则b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题7.△ABC 中，下述表达式：①sin(A ＋B)＋sin C ；②cos(B ＋C)＋cos A 表示常数的是________．8.在△ABC 中，已知a －b=4，a ＋c=2b ，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．9.在△ABC 中，若A=60°，b=16，此三角形的面积S=2203，则a 的值为________．10.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知a=23，c=22，1＋tan A tan B =2cb，则角C 的值为________．三、解答题11.某市在进行城市环境建设时，要把一个三角形的区域改造成一个公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为70 m，90 m，120 m，这个区域面积是多少？12.在△ABC中，c=22，a>b，tan A＋tan B=5，tan A·tan B=6，试求a，b及△ABC的面积．13.已知△ABC 的面积为1，tan B=12，tan C=－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．答案解析1.答案为：B ；解析：因为cos C=45，C ∈(0，π)，所以sin C=35，所以S △ABC =12absin C=12×5×4×35=6.2.答案为：A ；解析：4S=b 2＋c 2－a 2=2bccos A ，所以4·12bcsin A=2bccos A ，所以tan A=1，又因为A∈(0°，180°)，所以A=45°.3.答案为：B ；解析：S △ABC =12AB ·AC ·sin A=32.4.答案为：C ；解析：S △ABC =12acsin B=12·1·c ·32=3，所以c=4，由余弦定理得b 2=a 2＋c 2－2accos B=13，所以b=13， 所以cos C=a 2＋b 2－c 22ab =－113，所以sin C=1213，所以tan C=sin Ccos C =－12=－2 3.5.答案为：A ；解析：因为b 2－bc －2c 2=0，所以(b －2c)(b ＋c)=0，所以b=2c.由a 2=b 2＋c 2－2bccos A ，解得c=2，b=4，因为cos A=78，所以sin A=158，所以S △ABC =12bcsin A=12×4×2×158=152.6.答案为：C ；解析：依题意得：c=2a ，b 2=a 2＋c 2－2accos B=a 2＋(2a)2－2×a×2a×14=4a 2，所以b=c=2a.因为B∈(0，π)，所以sin B=1－cos 2B=154， 又S △ABC =12acsin B=12×b 2×b ×154=154，所以b=2.7.答案为：②；解析：①sin(A ＋B)＋sin C=sin(π－C)＋sin C=2sin C ，不是常数； ②cos(B ＋C)＋cos A=cos(π－A)＋cos A=0，是常数．8.答案为：30；解析：因为a －b=4，所以a ＞b ，又因为a ＋c=2b ，所以b ＋4＋c=2b ，所以b=4＋c ，所以a ＞b ＞c.所以最大角为A ，所以A=120°，所以cos A=b 2＋c 2－a 22bc =－12，所以b 2＋c 2－a 2=－bc ，所以b 2＋(b －4)2－(b ＋4)2=－b(b －4)，即b 2＋b 2＋16－8b －b 2－16－8b=－b 2＋4b ，所以b=10，所以a=14，c=6. 故周长为30.9.答案为：49；解析：因为12bcsin A=2203，所以c=55，又a 2=b 2＋c 2－2bccos A=2 401.所以a=49.10.答案为：π4；解析：由正弦定理得1＋sin A cos A ·cos B sin B =2sin C sin B ，即sin （A ＋B ）sin Bcos A =2sin Csin B，所以cos A=12，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，A=π3，sin A=32，由a sin A =c sin C 得sin C=22，又c<a ，C<A ，所以C=π4.11.解：设a=70 m ，b=90 m ，c=120 m.根据余弦定理的推论，cos B=a 2＋c 2－b 22ac =702＋1202－9022×70×120=23，sin B=1－（23）2=53.应用S=12casin B ，得S=12×120×70×53=1 400 5 (m 2)，即这个区域的面积为1 400 5 m 2.12.解：因为tan A ＋tan B=5，tan A ·tan B=6，且a>b ，所以A>B ，tan A>tan B ，所以tan A=3，tan B=2，A ，B 都是锐角．所以sin A=31010，cos A=1010，cos B=55，sin B=255，所以sin C=sin(A ＋B)=sin Acos B ＋cos Asin B=22. 由正弦定理a sin A =b sin B =c sin C 得，a=6105，b=855，所以S △ABC =12absin C=12×6105×855×22=245.13.解：因为tan B=12＞0，所以B 为锐角．所以sin B=55，cos B=255. 因为tan C=－2＜0，所以C 为钝角．所以sin C=255，cos C=－55.所以sin A=sin (B ＋C)=sin Bcos C ＋cos Bsin C=55·⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255·255=35. 因为S △ABC =12absin C=2R 2 sin Asin Bsin C=2R 2×35×55×255=1.所以R 2=2512，R=536.所以πR 2=2512 π，即外接圆的面积为2512 π.所以a=2Rsin A=3，b=2Rsin B=153，c=2Rsin C=2153.。
人教A版必修5：第一章1.2第3课时三角形中的几何计算 Word版含解析
第一章解三角形1.2 应用举例第3课时三角形中的几何计算A级基础巩固一、选择题1．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，a＝5，b＝4，cos C＝45，则△ABC的面积是()A．8 B．6 C．4 D．2解析：因为cos C＝45，C∈(0，π)，所以sin C＝35，所以S△ABC＝12ab sin C＝12×5×4×35＝6.答案：B2．已知△ABC的面积为32，且b＝2，c＝3，则() A．A＝30°B．A＝60°C．A＝30°或150°D．A＝60°或120°解析：因为S＝12bc sin A＝32，所以12×2× 3 sin A＝32，所以sin A＝32，所以A＝60°或120°.答案：D3．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32 C.3 D ．2 3 解析：S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32.答案：B4．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝120°，则S △ABC ＝( ) A.32 B.332C. 3 D ．3 解析：S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝332.答案：B5．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152B.15 C ．2 D ．3 解析：因为b 2－bc －2c 2＝0， 所以(b －2c )(b ＋c )＝0， 所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4， 因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.答案：A 二、填空题6．△ABC 中，下述表达式：①sin(A ＋B )＋sin C ； ②cos(B ＋C )＋cos A 表示常数的是________．解析：①sin(A＋B)＋sin C＝sin(π－C)＋sin C＝2sin C，不是常数；②cos(B＋C)＋cos A＝cos(π－A)＋cos A＝0，是常数．答案：②7．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．解析：因为a－b＝4，所以a＞b，又因为a＋c＝2b，所以b＋4＋c＝2b，所以b＝4＋c，所以a＞b＞c.所以最大角为A，所以A＝120°，所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝－12，所以b2＋c2－a2＝－bc，所以b2＋(b－4)2－(b＋4)2＝－b(b－4)，即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b＝－b2＋4b，所以b＝10，所以a＝14，c＝6.故周长为30.答案：308．在△ABC中，已知B＝45°，C＝60°，a＝2(3＋1)，则三角形的面积S ＝________．解析：由正弦定理asin A＝bsin B，且B＝45°，A＝180°－B－C＝75°，a＝2(3＋1)，得b＝a sin Bsin A＝4，S＝12ab sin C＝12×2(3＋1)×4×sin 60°＝6＋2 3.答案：6＋2 3三、解答题9．某市在进行城市环境建设时，要把一个三角形的区域改造成一个公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为70 m，90 m，120 m，这个区域面积是多少？解：设a ＝70 m ，b ＝90 m ，c ＝120 m. 根据余弦定理的推论，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝702＋1202－9022×70×120＝23，sin B ＝1－（23）2＝53.应用S ＝12ca sin B ，得S ＝12×120×70×53＝1 400 5 (m 2)，即这个区域的面积为1 400 5 m 2. 10.如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝3＋14－2×3×12×cos 30°＝74，故PA＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin （30°－α），化简得3cos α＝4sin α，所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.B 级 能力提升1．在△ABC 中，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，且S △ABC ＝154，则b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：依题意得：c ＝2a ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋(2a )2－2×a ×2a ×14＝4a 2，所以b ＝c ＝2a .因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝154，又S △ABC＝12ac sin B ＝12×b 2×b ×154＝154，所以b ＝2. 答案：C2．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西处40°，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔的距离为________km.解析：由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔的距离为x ，即BC ＝x .由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×(－12)，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x＝－1＋ 6.答案：6－13．已知△ABC 的面积为1，tan B ＝12，tan C ＝－2，求△ABC 的各边长以及△ABC 外接圆的面积．解：因为tan B ＝12＞0，所以B 为锐角．所以sin B ＝55，cos B ＝255.因为tan C ＝－2＜0，所以C 为钝角．所以sin C ＝255，cos C ＝－55.所以sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝ 55·⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255·255＝35. 因为S △ABC ＝12ab sin C ＝2R 2 sin A sin B sin C ＝ 2R 2×35×55×255＝1.所以R 2＝2512，R ＝536.所以πR 2＝2512 π，即外接圆的面积为2512π.所以a ＝2R sin A ＝3，b ＝2R sin B ＝153， c ＝2R sin C ＝2153.。
高中数学人教A必修5学业分层测评3 解三角形的实际应用 Word版含解析
学业分层测评（三）(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．为了测量，之间的距离，在河岸，处测量，如图--，测得下面四组数据，较合理的是( )图--．与α．与．，与β．，α与γ【解析】因为测量者在，处测量，所以较合理的应该是，α与γ.【答案】．轮船和轮船在中午时同时离开海港，两船航行方向的夹角为°，两船的航行速度分别为，，则时两船之间的距离是( )．．．．【解析】到时，轮船和轮船分别走了，，由余弦定理得两船之间的距离为＝°)＝( )．【答案】．如图--，要测量河对岸，两点间的距离，今沿河岸选取相距米的，两点，测得∠＝°，∠＝°，∠＝°，∠＝°，＝(＋)，则，间距离是( )图--．米．米．米．米【解析】可得＝＝，＝(＋)，∠＝°，所以在△中，由余弦定理得＝(米)．【答案】．在地面上点处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端与底部的仰角分别为°和°，已知建筑物底部高出地面点，则建筑物高度为( )．．．．【解析】如图，设为顶端在地面的射影，在△中，∠＝°，＝，＝，＝，在△中，＝· °＝，∴＝－＝()．【答案】．如图--所示，在地面上共线的三点，，处测得一建筑物的仰角分别为°，°，°，且＝＝，则建筑物的高度为( )图--．．．．【解析】设建筑物的高度为，由题图知，＝，＝，＝，∴在△和△中，分别由余弦定理，得∠＝，①∠＝.②∵∠＋∠＝°，∴∠＋∠＝.③由①②③，解得＝或＝－(舍去)，即建筑物的高度为.。
高二数学人教A必修5章末检测：第一章 解三角形 Word版含解析
章末检测一、选择题1．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若A ＋C ＝2B ，有a ＝1，b ＝3，则S △ABC 等于( ) A. 2 B. 3 C.32 D ．2答案 C解析 由A ＋C ＝2B ，解得B ＝π3.由余弦定理得(3)2＝1＋c 2－2c cos π3，解得c ＝2或c ＝－1(舍去)．于是，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2sin π3＝32.2．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，403 答案 D解析 ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.3．在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.53 B.54 C.55 D.56答案 B解析 由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，∴a ＝52b 可化为sin A sin B ＝52.又A ＝2B ，∴sin 2B sin B ＝52，∴cos B ＝54.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定答案 A解析 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，又C ＝120°，∴2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，∴a 2＝b 2＋ab ＞b 2，∴a ＞b ，故选A.5．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝k ∶(k ＋1)∶2k ，则k 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－12，0)D ．(12，＋∞)答案 D解析 由正弦定理得：a ＝mk ，b ＝m (k ＋1)，c ＝2mk (m >0)，∵⎩⎨⎧ a ＋b >ca ＋c >b 即⎩⎨⎧ m (2k ＋1)>2mk3mk >m (k ＋1)，∴k >12.6．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为() A.922 B.924 C.928 D ．9 2答案 C解析 设另一条边为x ，则x 2＝22＋32－2×2×3×13，∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13，则sin θ＝223.∴2R ＝3sin θ＝3223＝924，R ＝928.7．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形答案 B解析 ∵sin A ＝sin C 且A 、C 是三角形内角，∴A ＝C 或A ＋C ＝π(舍去)．∴△ABC 是等腰三角形．8．在锐角△ABC 中，BC ＝1，∠B ＝2∠A ，则AC 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．(0,2]D ．(2，3)答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜π－3∠A ＜π2，0＜2∠A ＜π2⇒π6＜∠A ＜π4，由正弦定理AC sin B ＝BCsin A 得AC ＝2cos A .∵∠A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π4，∴AC ∈(2，3)．9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( )A ．a ＝8，b ＝16，A ＝30°，有两解B ．b ＝18，c ＝20，B ＝60°，有一解C ．a ＝5，c ＝2，A ＝90°，无解D ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解答案 D解析 A 中，因a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝16×sin 30°8＝1，∴B ＝90°，即只有一解；B 中，sinC ＝20sin 60°18＝539，且c >b ，∴C >B ，故有两解；C 中，∵A ＝90°，a ＝5，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝25－4＝21，即有解； 故A 、B 、C 都不正确．用排除法应选D.10．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于() A.21 B.106 C.69 D.154答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ②①＋②得：72＋62＝42＋42＋12a 2，∴a ＝106.二、填空题11．已知△ABC 中，3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，则cos C 的大小是________．答案 13解析 由3a 2－2ab ＋3b 2－3c 2＝0，得c 2＝a 2＋b 2－23ab .根据余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－a 2－b 2＋23ab2ab ＝13，所以cos C ＝13. 12．在△ABC 中，若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________.答案 2π3解析 由已知3sin A ＝5sin B ，利用正弦定理可得3a ＝5b .由3a ＝5b ，b ＋c ＝2a ，利用余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.C ∈(0，π)，C ＝23π.13．在△ABC 中，已知cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.答案 145解析 在△ABC 中，∵cos A ＝35>0，∴sin A ＝45.∵cos B ＝513>0，∴sin B ＝1213.∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×513＋35×1213＝5665.由正弦定理知b sin B ＝c sin C ，∴c ＝b sin C sin B ＝3×56651213＝145.14．太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.答案 36解析 如图，∠CAB ＝15°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠ACB ＝180°－105°－15°＝60°，AB ＝1 (km)．由正弦定理得BC sin ∠CAB ＝AB sin ∠ACB， ∴BC ＝1sin 60°·sin 15°＝6－223(km)． 设C 到直线AB 的距离为d ，则d ＝BC ·sin 75°＝6－223·6＋24＝36 (km)． 三、解答题15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45. 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin B b ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.16.如图所示，我艇在A 处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B 处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．解 设我艇追上走私船所需时间为t 小时，则BC ＝10t ，AC ＝14t ，在△ABC 中，由∠ABC ＝180°＋45°－105°＝120°，根据余弦定理知(14t )2＝(10t )2＋122－2·12·10t cos 120°，∴t ＝2(t ＝－34舍去)．答 我艇追上走私船所需要的时间为2小时．17．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A .(1)求cos A 的值；(2)求c 的值．解 (1)因为a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin A ＝26sin 2A .所以2sin A cos A sin A ＝263.故cos A ＝63.(2)由(1)知cos A ＝63，所以sin A ＝1－cos 2A ＝33.又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝539.所以c ＝a sin C sin A ＝5.18．已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．(1)证明 ∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ， 即a ·a 2R ＝b ·b 2R ，其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b.∴△ABC为等腰三角形．(2)解由题意知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.∴a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0.∴ab＝4(舍去ab＝－1)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
2019_2020学年高中数学课时分层作业5三角形中的几何计算(含解析)新人教B版必修5
课时分层作业(五) 三角形中的几何计算(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则∠A 的对边的长为( ) A ．57 B ．37 C ．21D ．13D [∵S △ABC ＝12bc sin A ＝3，∠A ＝60°，b ＝1∴c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝13.∴a ＝13.]2．已知△ABC 的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足sin B －sin A sin B －sin C ＝ca ＋b ，则∠A ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．π3或2π3B [由sin B －sin A sin B －sinC ＝c a ＋b ，结合正弦定理，得b －a b －c ＝c a ＋b，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，由∠A 为三角形的内角，知∠A ＝π3.]3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，∠B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A ．32 B ．332C ．3＋62D ．3＋394B [作图，AD ⊥BC 于D ．在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，代入数值得AB ＝3.在Rt △ABD 中，AD ＝AB sin 60°＝332.]4．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，∠C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3B ．932C ．332D ．3 3C [由题意得，c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，又由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－aB ．∴－2ab ＋6＝－ab ，即ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝332.]5．已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A ．32 B ．34 C ．32或 3 D ．34或32D [AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝1或BC ＝2，当BC ＝1时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34；当BC ＝2时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.] 二、填空题6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．4 3 [∵cos C ＝13，0<∠C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.]7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.6 [解方程5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35，∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝45.故S ＝12×3×5×45＝6(cm 2)．]8．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＋∠C ＝2π3，a ＝3，b＝1，则S △ABC 等于________．32 [因为∠B ＋∠C ＝23π，所以∠A ＝π－23π＝π3， 由a sin A ＝bsin B，得3sinπ3＝1sin B ，则sin B ＝12， 因为a >b ，所以∠A >∠B ，则∠B ＝π6，所以∠C ＝π2，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×1×1＝32.]三、解答题9．在△ABC 中，求证：a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.[证明] 法一：左边＝a －c (a 2＋c 2－b 2)2acb －c (b 2＋c 2－a 2)2bc ＝a 2－c 2＋b 22a ·2b b 2－c 2＋a 2＝b a ＝2R sin B 2R sin A ＝sin B sin A＝右边， (其中R 为△ABC 外接圆的半径) ∴a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.法二：左边＝sin A －sin C cos Bsin B －sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C ·cos Bsin (A ＋C )－sin C ·cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边(cos C ≠0)，∴a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.10．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求∠A 和∠B 的大小； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0<∠A <π，∴∠A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C <0，即∠C 为钝角，∴∠B 为锐角，且∠B ＋∠C ＝5π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，得∠C ＝2π3，∴∠B ＝π6.(2)由(1)知a ＝b ，则AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ×a 2×co s C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.[能力提升练]1．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积为( ) A ．32 3 B ．16C ．323或16D ．323或16 3D [在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝83×128＝32，又b >a ，∴∠B ＝60°或120°.当∠B ＝60°时，∠C ＝180°－30°－60°＝90°， ∴S △ABC ＝12×8×83＝323；当∠B ＝120°时，∠C ＝180°－30°－120°＝30°， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×83×12＝16 3.]2．△ABC 的周长为20，面积为103，∠A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8C [如图，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a)2－3×40，∴a ＝7.]3．在△ABC 中，ab ＝60，S △ABC ＝153，△ABC 的外接圆半径为3，则边c 的长为________． 3 [S △ABC ＝12ab sin C ＝153，∴sin C ＝32.由正弦定理csin C＝2R ，∴c ＝2R ×sin C ＝3.] 4．已知△ABC 的面积为32，a ＋c ＝210，cos B ＝－13，则b 的值为________．27 [在△ABC 中，由cos B ＝－13可得sin B ＝223，根据面积为32得，12ac sin B ＝32得ac ＝9，由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝40－18＋6＝28，则b ＝27.]5．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ．已知3cos(B －C )－1＝6cos B cosC ．(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，C ． [解] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos (B ＋C )＝13.(2)由于0<∠A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.。
高中数学人教A版必修五 第一章解三角形 学业分层测评1 Word版含答案
学业分层测评（一）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1B ．23＋1C ．2 6D ．2＋2 3【解析】 由已知及正弦定理，得4sin 45°＝b sin 60°，∴b ＝4sin 60°sin 45°＝4×3222＝2 6. 【答案】 C2．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则∠B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对【解析】 ∵sin B ＝b sin A a ＝42×3243＝22， ∴∠B ＝45°或135°.但当∠B ＝135°时，不符合题意，所以∠B ＝45°，故选C.【答案】 C3．若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是( )A ．1∶2∶3B ．1∶3∶2C ．2∶3∶1D ．3∶1∶2【解析】 设三角形内角∠A 、∠B 、∠C 分别为x,2x,3x ， 则x ＋2x ＋3x ＝180°，∴x ＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，可知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，∴a∶b∶c＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝12∶32∶1＝1∶3∶2.【答案】 B4．在△ABC中，若3b＝23a sin B，cos A＝cos C，则△ABC形状为() A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【解析】由正弦定理知b＝2R·sin B，a＝2R·sin A，则3b＝23a·sin B可化为：3sin B＝23sin A·sin B.∵0°<∠B<180°，∴sin B≠0，∴sin A＝3 2，∴∠A＝60°或120°，又cos A＝cos C，∴∠A＝∠C，∴∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形．【答案】 C二、填空题5．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________．【解析】由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理bsin B＝csin C得b＝c sin Bsin C＝1×2232＝63.【答案】6 36．(2015·广东高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，sin B＝12，C＝π6，则b＝________.【解析】在△ABC中，∵sin B＝12，0<B<π，∴B＝π6或B＝56π.又∵B＋C<π，C＝π6，∴B＝π6，∴A＝π－π6－π6＝23π.∵asin A＝bsin B，∴b＝a sin Bsin A＝1.【答案】 17．在△ABC中，若3a＝2b sin A，则B＝________. 【解析】由正弦定理得3sin A＝2sin B·sin A，∵sin A≠0，∴sin B＝3 2.又0<B<180°，∴B＝60°或120°.【答案】60°或120°三、解答题8．在△ABC中，已知acos A＝bcos B＝ccos C，试判断△ABC的形状. 【导学号：05920059】【解】令asin A＝k，由正弦定理得a＝k sin A，b＝k sin B，c＝k sin C.代入已知条件，得sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，即tan A＝tan B＝tan C.又A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，∴△ABC为等边三角形．9．在△ABC中，∠A＝60°，sin B＝12，a＝3，求三角形中其它边与角的大小．【解】由正弦定理得asin A＝bsin B，即b＝a·sin Bsin A＝3×12sin 60°＝ 3.由于∠A＝60°，则∠B<120°，又sin B＝1 2，∴∠B＝30°，则∠C＝90°，则c＝a sin Csin A＝2 3.[能力提升]1．(2014·江西高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D．72【解析】∵asin A＝bsin B，∴sin Bsin A＝ba.∵3a＝2b，∴ba＝32.∴sin Bsin A＝32.∴2sin2B－sin2Asin2A＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin Bsin A2－1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫322－1＝92－1＝72.【答案】 D2．在△ABC中，下列关系中一定成立的是() A．a>b sin A B．a＝b sin A C．a<b sin A D．a≥b sin A【解析】由正弦定理asin A＝bsin B，∴a sin B＝b sin A，在△ABC中，0<sinB≤1，故a sin B≤a，∴a≥b sin A．故选D.【答案】 D3．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，B＝π4，________，求角A .”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝π6.(试在横线上将条件补充完整)【解析】 分两种情况：(1)若破损处的条件为边b 的长度，则由a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝3sin π4sin π6＝6；(2)若破损处的条件为边c 的长度，由A ＋B ＋C ＝π，B ＝π4，A ＝π6，知C ＝7π12，再运用正弦定理，得c ＝32＋62. 【答案】 b ＝6或c ＝32＋624．已知方程x 2－b cos Ax ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a ，b 为△ABC 的两边，∠A 、∠B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状．【解】 设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数关系得x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，由题意得b cos A ＝a cos B .由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B .∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0.在△ABC 中，0<∠A <π，0<∠B <π，－π<∠A －∠B <π.∴∠A －∠B ＝0即∠A ＝∠B ，∴△ABC 为等腰三角形.。
(word版)必修5解三角形单元测试题(含答案),文档
高一数学必修5第一章专题：正弦定理、余弦定理的应用正弦定理、余弦定理应用的常见题型：⑴两角与一边，解三角形，有一解。
⑵两边及其中一边的对角，解三角形，可能有两解、一解或无解〔如右图〕。
⑶三边，解三角形，有一解。
⑷两边及夹角，解三角形，有一解。
达标试题：1.在△ABC中，A=30°，B=45°，a=1，那么b=〔〕A.2 B.3 C.2D.3 222.在△ABC中，C=π，b=4，ABC的面积为23，那么c=〔〕3A.72373 .在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，那么这个三角形的最大角是〔〕°°°°4.在△ABC中，a、b、c 分别是角A、B、C的对边，如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,那么A=()°°°°5 .在△ABC中，角A，B的对边分别为a、b且A=2B，sinB=4，那么a的值是〔〕5bA .6B.3C.4D.8 55356.在△ABC中，a=2，b=3，B=π，那么A等于〔〕3A.πB.πC.3πD.π或3π644447 .△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，假设B=2A，a=1，b=3，那么c=〔〕C.2或28 .在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，假设bsinA-32a+c〕acosB=0，且b=ac，那么的值为〔bA .2B.2 D.4 29 .在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，sinC+sin(A-B)=3sin2B.假设C=π，那么a=〔〕1或13bA. C.或324高一数学必修5第一章10.在△ABC中，如果a+c=2b，B=30°，△ABC的面积为3，那么b等于〔〕2A.1+31+3C.2+32+3 B.2D.211.△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a=5，b=3，c=22，那么角A=.12.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.b-c=1a，2sinB=3sinC，那么cosA的值为_______.413.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，假设a2-c2=2b，且sinB=6cosA?sinC，那么b=.14.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，假设c2<a2+b2+2abcos2C，那么C的取值范围为.15.设的内角所对的边分别为，且。
高中数学人教A版必修五 第一章解三角形 学业分层测评3 Word版含答案
高中数学必修五解三角形单元测试（含答案）一、选择题1．为了测量B，C之间的距离，在河岸A，C处测量，如图1-2-9，测得下面四组数据，较合理的是()图1-2-9A．c与αB．c与bC．b，c与βD．b，α与γ【解析】因为测量者在A，C处测量，所以较合理的应该是b，α与γ.【答案】 D2．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则14时两船之间的距离是() A．50 n mile B．70 n mileC．90 n mile D．110 n mile【解析】到14时，轮船A和轮船B分别走了50 n mile，30 n mile，由余弦定理得两船之间的距离为l＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝70 (n mile)．【答案】 B3．如图1-2-10，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，AD＝20(3＋1)，则A，B 间距离是()图1-2-10A．202米B．203米C．206米D．402米【解析】可得DB＝DC＝40，AD＝20(3＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝206(米)．【答案】 C4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为()A．20 m B．30 mC．40 m D．60 m【解析】如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝203，在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．【答案】 C5．如图1-2-11所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为()图1-2-11A．15 6 m B．20 6 mC．25 6 m D．30 6 m【解析】设建筑物的高度为h，由题图知，P A＝2h，PB＝2h，PC＝233h，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA ＝602＋2h2－4h22×60×2h，①cos∠PBC＝602＋2h2－43h22×60×2h. ②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③由①②③，解得h＝306或h＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.【答案】 D二、填空题6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长千米．【解析】如图，∠BAO＝75°，C＝30°，AB＝1，∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.在△ABC中，ABsin C＝ACsin ∠ABC，∴AC＝AB·sin ∠ABCsin C＝1×2212＝2(千米)．【答案】 27．如图1-2-12，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是m.图1-2-12【解析】tan 30°＝CDAD，tan 75°＝CDDB，又AD＋DB＝120，∴AD ·tan 30°＝(120－AD )·tan 75°， ∴AD ＝603，故CD ＝60. 【答案】 608．一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A 开始做匀速直线运动，到达点B 时，发现足球在点D 处正以2倍于自己的速度向点A 做匀速直线滚动，如图1-2-13所示，已知AB ＝4 2 dm ，AD ＝17 dm ，∠BAC ＝45°，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A 点 dm 的C 处截住足球.图1-2-13【解析】 设机器人最快可在点C 处截住足球，点C 在线段AD 上，设BC ＝x dm ，由题意知CD ＝2x dm ，AC ＝AD －CD ＝(17－2x )dm. 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ， 即x 2＝(42)2＋(17－2x )2－82(17－2x )cos 45°，解得x 1＝5，x 2＝373. ∴AC ＝17－2x ＝7(dm)，或AC ＝－233(dm)(舍去)．∴该机器人最快可在线段AD 上距A 点7 dm 的点C 处截住足球． 【答案】 7 三、解答题 9．在△ABC 中，(1)a ＝3，b ＝4，c ＝37，求最大角． (2)b ＝6，c ＝2，B ＝60°，求a . 【解】 (1)显然角C 最大，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－372×3×4＝－12，∴C ＝120°.(2)法一 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin C ＝c sin B b ＝2sin 60°6＝36＝22，∴C ＝45°或C ＝135°.∵b >c ，∴B >C ，又∵B ＝60°，∴C ＝45°.∵A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝180°－(60°＋45°)＝75°，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝6＋4－46×cos 75°＝10－46×6－24＝4＋23，∴a ＝4＋23＝3＋1. 法二 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴6＝a 2＋4－4a cos 60°＝a 2＋4－2a . ∴a 2－2a －2＝0.解得a ＝1＋3或a ＝1－3(不合题意，舍去)， ∴a ＝1＋ 3.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．【解】 (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)， ∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2， ∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10， ∴AB ＝10.[能力提升]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A 的值为( )A.19B.13 C ．1 D ．72 【解析】 ∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B sin A ＝ba . ∵3a ＝2b ，∴b a ＝32. ∴sin B sin A ＝32.∴2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B sin A 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫322－1 ＝92－1＝72. 【答案】 D2．在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A ．a >b sin A B ．a ＝b sin A C ．a <b sin AD ．a ≥b sin A【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，∴a sin B ＝b sin A ，在△ABC 中，0<sin B ≤1，故a sin B ≤a ，∴a ≥b sin A ．故选D.【答案】 D3．有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，B ＝π4，________，求角A .”经推断，破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示A ＝π6.(试在横线上将条件补充完整)【解析】 分两种情况：(1)若破损处的条件为边b 的长度，则由a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin Bsin A ＝3sin π4sin π6＝6；(2)若破损处的条件为边c 的长度，由A ＋B ＋C ＝π，B ＝π4，A ＝π6，知C ＝7π12，再运用正弦定理，得c ＝32＋62. 【答案】 b ＝6或c ＝32＋624．已知方程x 2－b cos Ax ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a ，b 为△ABC 的两边，∠A 、∠B 为a 、b 的对角，试判断△ABC 的形状．【解】 设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数关系得x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，由题意得b cos A ＝a cos B .由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B . ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0. 在△ABC 中，0<∠A <π，0<∠B <π，－π<∠A －∠B <π.∴∠A－∠B＝0即∠A＝∠B，∴△ABC为等腰三角形.。
(完整word版)高中数学必修五第一章解三角形章末测试(人教A版必修5)
答案： B4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ ）高中数学必修五 第一章 解三角形章末测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分•在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ） 1 .在△ ABC 中，已知 a = 3, b = 4, c^ ^.,13，则角 C 为（ ） A . 90 ° B . 60° C . 45° D . 30° 解析： 根据余弦定理： -a 2+ b 2— c 2 32 + 42_锁2 1 C0S C = —20b — = —2 X 3X 4 = 2， ••C = 60 °答案： B2.在△ ABC 中，a = 5, b = 15, A = 30°，贝U c 等于（A . 2 ,5 B. ,5C . 2 .5或,5D .以上都不对解析： 由于 sin B = bsin A =¥，故 B = 60 或 120 °a 2当 B = 60 时，C = 90 时，c = 30 ° = a 2+ b 2= 2 ,5; 当 B = 120 时，C = 30 °, c = a=^5.答案： C 3.已知三角形的两边长分别为 4,5，它们夹角的余弦是方程 三边长是（ ） A. 20 C. 22 B. .21 D. .61 解析：设长为4,5的两边的夹角为 0, 1 由 2X 2 + 3X — 2= 0 得：X = 或 X = — 2（舍）. ••cos 0= 2, 第三边长为 + 52 — 2 X 4X 5 X 2= 21.2X 2+ 3x — 2 = 0的根，则第A . a = 1, b = 2, c = 3B . a = 1, b =玄2, A = 30 °C . a = 1, b = 2, A = 100 °D . b = c = 1, B = 45 °解析： A : a + b = 3= c ,不能构成三角形；B : bsin A<a<b ，故有两解.C : a<b ,故A 应为锐角，而已知 A = 100 °,故不能构成三角形.D : b = c = 1,故△ABC 为等腰三角形， •°C = B = 45 °, —A = 90；故只有一解.答案： D5.在△ ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,若 a 2 + b 2= c 2+ ab ,贝V C =( )A . 60°B . 120°C . 45°D . 30°解析： 由余弦定理得又v C € （0 ； 180 ）••C = 60 :答案： A6 .在△ ABC 中，若 a 2 + b 2- c 2<0，则△ ABC 是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .都有可能解析：由余弦定理，得cos C = " +"-* <0.2ab所以C 为钝角.于是△ ABC 为钝角三角形.答案： C7.在△ ABC 中，sin A : sin B : sin C = 3 : 2 : 4，贝U cos C 的值为（ ）解析：由正弦定理及 sin A : sin B : sin C = 3 ： 2 ： 4 知，a : b : c = 3 ： 2 ： 4，令 a =3xC .D.4a 2+b 2-c 2cos C =ab 12ab2ab —2则b= 2x, c= 4x（x>0）,3x 2+ 2x 2— 4x 212X 3x X 2x =— 4.答案： C&在△ ABC 中，A = 60 ° AB = 2，且△ ABC 的面积 S ABC =专，则边BC 的长为( )A. . 3 B . 3 C. 7D . 71解析： 由 S = 2AB x AC x Sin A 得 AC = 1由余弦定理得 BC 2 = AB 2 + AC 2 — 2AB x AC X cos A=22 + 12— 2X 2X 1 X cos 60 =°•'BC = ,3,故选 A.答案： A取值范围是( )A . (— 2,2)B . (0,2)C . ( 2,3)D . (.2, 2)b sin B sin 2A•a =而==2cos A ，B = 2A<90 °又•△k BC 是锐角三角形，•,A + 2A>90 °” _ _••30 °A<45 ° 则 b= 2cos A € ^[2, 需). a答案： C10. 某海上缉私小分队驾驶缉私艇以 40km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东 60方向航 行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达 B 处时，发现北偏西45。
高二数学人教A必修5练习：1.2.2 三角形中的几何计算 Word版含解析
课时训练4 三角形中的几何计算一、与三角形面积有关的计算1.在△ABC 中,c=√3,b=1,B=30°,则△ABC 的面积为( )A.√32或√3 B.√32或√34 C.√3或√34 D.√3答案:B解析:由余弦定理得:b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,即1=a 2+3-2√3a cos 30°, 化简得a 2-3a+2=0.∴a=1或a=2.又S △ABC =12ac sin B=√34a ,∴S △ABC =√34或√32.2.钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=√2,则AC=( ) A.5 B.√5C.2D.1答案:B解析:根据三角形面积公式,得12BA ·BC ·sin B=12,即12×1×√2×sin B=12,得sin B=√22,其中C<A.若B 为锐角,则B=π4,所以AC=1+2-2×1×√2×√22=1=AB ,易知A 为直角,此时△ABC 为直角三角形,不符合题意,所以B 为钝角,即B=3π4,所以AC=√1+2-2×1×√2×(-√22)=√5.3.(2015山东威海高二期中,10)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是A ,B ,C 的对边,2sin (2A +π6)=1,b=1,△ABC 的面积是√32,则边c 等于( ) A.2 B.√3C.2√3D.2√7答案:A解析:∵sin (2A +π6)=12,A ∈(0,π),∴2A+π6=5π6,可得A=π3. ∵b=1,△ABC 的面积为√32.∴S=12bc sin A=√32,即12×1×c×√32=√32,解得c=2,故选A .4.在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2√3,则△ABC 的面积等于 . 答案:2√3解析:在△ABC 中,根据正弦定理,得ACsinB =BCsinA ,所以4sinB =2√3sin60°,解得sin B=1.因为B ∈(0°,120°),所以B=90°,所以C=30° 所以△ABC 的面积S △ABC =12·AC ·BC ·sin C=2√3.5.(2015河南郑州高二期末,19)在锐角△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且√3b=2c sin B. (1)求角C 的大小;(2)若c 2=(a-b )2+6,求△ABC 的面积.解:(1)由正弦定理asinA =bsinB =c sinC ,及√3b=2c sin B ,得√3sin B=2sin C sin B ,∵sin B ≠0,∴sin C=√32. ∵C 为锐角,∴C=60°.(2)由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=a 2+b 2-ab=(a-b )2+ab ,∵c 2=(a-b )2+6,∴ab=6.则S △ABC =12ab sin C=3√32. 二、三角形中的有关计算6.如图,在△ABC 中,B=45°,D 是BC 边上一点,AD=10,AC=14,DC=6,则AB 的长为( )A.5B.5√2C.5√3D.5√6答案:D解析:在△ACD 中,cos C=AC 2+DC 2-AD 22·AC ·DC =142+62-1022×14×6=1114.∴sin C=5√314.在△ABC 中,由正弦定理得AB sinC =ACsinB ,∴AB=AC ·sinCsinB =14×5√31422=5√6.7.如图,四边形ABCD 中,B=C=120°,AB=4,BC=CD=2,该四边形面积为 .答案:5√3解析:连接BD ,BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD cos 120°=4+4+4,∴BD=2√3.S 四边形=S △ABD +S △BCD=12×4×2√3+12×2×2sin 120°=5√3.8.(2015福建宁德五校联考,20)如图,在平面四边形ABCD 中,AB=3√2,AC=6,∠ACB=45°.(1)求∠ACB 的大小;(2)若∠CAD=∠CBD=60°,求CD 的长.解:(1)在△ABC 中,由正弦定理,得ACsin∠ABC =ABsin∠ACB ,即6sin∠ABC =3√2sin45°.整理,得sin ∠ABC=1,则∠ABC=90°. (2)由(1)得∠CAB=180°-90°-45°=45°, 又∵∠CAD=∠CBD=60°,∴∠ABD=30°. 在△ABD 中,∠ADB=180°-105°-30°=45°, 由正弦定理ADsin∠ABD =ABsin∠ADB ,得AD=12×3√2√22=3,在△ABD 中,由余弦定理得,CD 2=AD 2+AC 2-2AD ·AC ·cos ∠DAC=9+36-18=27,∴CD=3√3.三、与三角形有关的证明问题9.在△ABC 中,求证:a 2-b 2c2=sin (A -B )sinC .证明:右边=sinAcosB -cosAsinB sinC=sinAsinC ·cos B-sinBsinC ·cos A=a c ·a 2+c 2-b 22ac −b c ·b 2+c 2-a 22bc =a 2-b2c2=左边, 故结论成立.10.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,求证:a b −b a =c (cosB b -cosAa).证明:由余弦定理的推论得cos B=a 2+c 2-b 22ac ,cos A=b 2+c 2-a 22bc ,代入等式右边,得右边=c (a 2+c 2-b 22abc -b 2+c 2-a 22abc ) =2a 2-2b 22ab =a 2-b 2ab =a b −ba =左边,∴a b −b a =c (cosB b -cosAa ).(建议用时:30分钟)1.已知方程x 2sin A+2x sin B+sin C=0有重根,则△ABC 的三边a ,b ,c 的关系满足( )A.b=acB.b 2=acC.a=b=cD.c=ab答案:B解析:由方程有重根,∴Δ=4sin 2B-4sin A sin C=0,即sin 2B=sin A sin C ,∴b 2=ac.2.在△ABC 中,A=60°,b=1,S △ABC =√3,则角A 的对边的长为( )A.√57B.√37C.√21D.√13答案:D解析:∵S △ABC =12bc sin A=12×1×c×sin 60°=√3,∴c=4.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos 60°=1+16-2×4×12=13. ∴a=√13.3.在△ABC 中,已知a=3√2,cos C=13,S △ABC =4√3,则b=( ) A.√3 B.2√3 C.4√3D.3√2答案:B解析:在△ABC 中,sin C=√1-cos 2C =2√23,则由S △ABC =12ab sin C ,得12×3√2×2√23×b=4√3,∴b=2√3.4.(2015河南南阳高二期中,5)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知三角形ABC 的面积S=a 2+b 2-c 24,则C 的大小是( ) A.45° B.30° C.90° D.135°答案:A解析:∵△ABC 中,S=12ab sin C ,a 2+b 2-c 2=2ab cos C ,且S=a 2+b 2-c 24,∴12ab sin C=12ab cos C.整理,得sin C=cos C ,即tan C=1,则C=45°. 故选A .5.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,如果2b=a+c ,B=30°,△ABC 的面积为32,则b 等于( ) A.1+√3 B.1+√32C.2+√32 D.2+√3答案:A解析:由12ac ·sin 30°=32,得ac=6,由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos 30° =(a+c )2-2ac-√3ac=4b 2-12-6√3,∴b=√3+1.6.在△ABC 中,B=60°,AB=1,BC=4,则BC 边上的中线AD 的长为 . 答案:√3解析:∵AD 2=AB 2+BD 2-2AB ·BD cos 60°=3,∴AD=√3.7.在△ABC 中,BC=2,B=π3,当△ABC 的面积等于√32时,sin C= . 答案:12解析:由三角形的面积公式S=12AB ·BC sin π3=√32,易求得AB=1,由余弦定理得AC=√3,再由三角形的面积公式S=12AC ·BC sin C=√32,即可得出sin C=12.8.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c.若C=120°,c=√2a ,则a 与b 的大小关系是 . 答案:a>b解析:由正弦定理得,asinA =csinC .∴sin A=asinCc=asin120°√2a =√32√2=√64>12.∴A>30°,则B<30°.∴a>b.9.(2015陕西高考,理17)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,向量m =(a ,√3b )与n =(cos A ,sin B )平行. (1)求A ;(2)若a=√7,b=2,求△ABC 的面积. (1)解:因为m ∥n ,所以a sin B-√3b cos A=0.由正弦定理,得sin A sin B-√3sin B cos A=0. 又sin B ≠0,从而tan A=√3. 由于0<A<π,所以A=π3.(2)解法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a=√7,b=2,A=π3,得7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0. 因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin A=3√32. 解法二:由正弦定理,得√7sin π3=2sinB ,从而sin B=√217.又由a>b ,知A>B ,所以cos B=2√77. 故sin C=sin(A+B )=sin (B +π3) =sin B cos π3+cos B sin π3=3√2114. 所以△ABC 的面积为12ab sin C=3√32.10.△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin B+b cos 2A=√2a. (1)求ba ;(2)若c 2=b 2+√3a 2,求B.解:(1)由正弦定理,得sin 2A sin B+sin B cos 2A=√2sin A ,即sin B (sin 2A+cos 2A )=√2sin A. 故sin B=√2sin A ,所以ba =√2. (2)由余弦定理和c 2=b 2+√3a 2, 得cos B=(1+√3)a2c. 由(1)知b 2=2a 2,故c 2=(2+√3)a 2. 可得cos 2B=12, 又cos B>0,故cos B=√22,所以B=45°.。
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学业分层测评（五）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知方程x2sin A＋2x sin B＋sin C＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c 的关系满足()A．b＝ac B．b2＝acC．a＝b＝c D．c＝ab【解析】由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sin A sin C＝0，即sin2B＝sin A sin C，∴b2＝ac.【答案】 B2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则角A的对边的长为()A.57B.37C.21 D．13【解析】∵S△ABC ＝12bc sin A＝12×1×c×sin 60°＝3，∴c＝4.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝1＋16－2×1×4×12＝13.∴a＝13.【答案】 D3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R ＝()A.12B．1C．2 2 D．52 2【解析】S△ABC ＝12ac sin B＝24c＝2，∴c＝4 2.b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－82×22＝25，∴b＝5.∴R＝b2sin B＝52×22＝522.4．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62D ．3＋394【解析】在△ABC 中，由余弦定理可知： AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ， 即7＝AB 2＋4－2×2×AB ×12. 整理得AB 2－2AB －3＝0. 解得AB ＝－1(舍去)或AB ＝3.故BC 边上的高AD ＝AB ·sin B ＝3×sin 60°＝332. 【答案】 B5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )A ．4∶3∶2B ．5∶6∶7C ．5∶4∶3D ．6∶5∶4【解析】 由题意知：a ＝b ＋1，c ＝b －1， 所以3b ＝20a cos A ＝20(b ＋1)·b 2＋c 2－a 22bc ＝20(b ＋1)·b 2＋(b －1)2－(b ＋1)22b (b －1)，整理得7b 2－27b －40＝0，解之得：b ＝5(负值舍去)，可知a ＝6，c ＝4. 结合正弦定理可知sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4.二、填空题6．在△ABC中，B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为．【解析】画出三角形知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 60°＝3，∴AD＝ 3.【答案】 37．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm，其夹角α的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是cm2.【解析】解方程5x2－7x－6＝0，得x＝2或x＝－3 5，∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝45.故S△＝12×3×5×45＝6(cm2)．【答案】 68．(2016·郑州模拟)在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为．【解析】由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即49＝a2＋25－2×5×a cos 120°.整理得a2＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)．∴S△ABC ＝12ac sin B＝12×3×5sin 120°＝1534.【答案】153 4三、解答题9．已知△ABC的三内角满足cos(A＋B)cos(A－B)＝1－5sin2C，求证：a2＋b2＝5c2. 【导学号：05920063】【证明】由已知得cos2A cos2B－sin2A sin2B＝1－5sin2C，∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2A sin2B＝1－5sin2C，∴1－sin2A－sin2B＝1－5sin2C，∴sin2A＋sin2B＝5sin2C.由正弦定理得，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，即a 2＋b 2＝5c 2.10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 【解】 (1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ， ①BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ． ② 由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2·sin 60°＝2 3. [能力提升]1．已知锐角△ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4【解析】 由题意S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝3， 得sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝2. 【答案】 A2．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2 D ．3π4【解析】 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，所以角A ＝π4.【答案】 A3．(2015·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为 ．【解析】 在△ABC 中，由cos A ＝－14可得sin A ＝154，所以有⎩⎪⎨⎪⎧12bc ×154＝315，b －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2－2bc ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得⎩⎨⎧a ＝8，b ＝6，c ＝4.【答案】 84．(2015·陕西高考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．【解】 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332. 法二 由正弦定理，得7sin π3＝2sin B ，从而sin B ＝217. 又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277. 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114. 所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。
人教A版数学高二必修5检测 三角形中的几何计算
课时跟踪检测（四） 三角形中的几何计算层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝1，AC ＝2，则S △ABC 的值为( ) A.12 B.32 C.3 D ．2 3 解析：选B S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝32.2．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为( ) A ．－78 B.78 C ．－87 D.87解析：选B 设等腰三角形的底边长为a ，顶角为θ，则腰长为2a ，由余弦定理得，cos θ＝4a 2＋4a 2－a 28a 2＝78.3．在△ABC 中，已知面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 的大小为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选B ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，由余弦定理得：sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1.又0°<C <180°，∴C ＝45°.4．在△ABC 中，若cos B ＝14，sin C sin A ＝2，且S △ABC ＝154，则b ＝( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 依题意得，c ＝2a ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋(2a )2－2×a ×2a ×14＝4a 2，所以b ＝c ＝2a .因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝154，又S △ABC ＝12ac sin B ＝12×b2×b ×154＝154，所以b ＝2，选C. 5．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．20 2 解析：选A 设另两边长为8x,5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2或x ＝－2(舍去)．故两边长分别为16与10，所以三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．解析：∵cos C ＝13，0<C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.答案：4 37.如图，在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB ＝________.解析：在△ADC 中，cos C ＝AC 2＋DC 2－AD 22·AC ·DC ＝72＋32－522×7×3＝1114.又0°<C <180°，∴sin C ＝5314. 在△ABC 中，AC sin B ＝ABsin C ，∴AB ＝sin C sin B ·AC ＝5314×2×7＝562.答案：5628．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆的半径为________．解析：不妨设b ＝2，c ＝3，cos A ＝13，则a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ＝9，∴a ＝3. 又∵sin A ＝1－cos 2 A ＝223，∴外接圆半径为R ＝a 2sin A ＝32·223＝928.答案：9289．在△ABC中，求证：b2cos 2A－a2cos 2B＝b2－a2.证明：左边＝b2(1－2sin2A)－a2(1－2sin2B)＝b2－a2－2(b2sin2A－a2sin2B)，由正弦定理asin A＝bsin B，得b sin A＝a sin B，∴b2sin2A－a2sin2B＝0，∴左边＝b2－a2＝右边，∴b2cos 2A－a2cos 2B＝b2－a2.10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．解：在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，由正弦定理，得ABsin∠BCA＝ACsin∠ABC，∴sin∠ABC＝AC·sin∠BCAAB＝9×sin 30°5＝910.∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝910.在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝910，∠ADB＝45°，由正弦定理，得ABsin∠ADB＝BDsin∠BAD，解得BD＝922，故BD的长为922.层级二应试能力达标1．△ABC的周长为20，面积为103，A＝60°，则BC的边长等于() A．5B．6C．7D．8解析：选C如图，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a＋b＋c＝20，12bc sin 60°＝103，a2＝b2＋c2－2bc cos 60°，则bc＝40，a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－3×40，∴a ＝7.2．在△ABC 中，已知b 2－bc －2c 2＝0，且a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积等于( )A.152B.15 C ．2 D ．3 解析：选A 因为b 2－bc －2c 2＝0， 所以(b －2c )(b ＋c )＝0，所以b ＝2c .由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，解得c ＝2，b ＝4， 因为cos A ＝78，所以sin A ＝158，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×158＝152.3．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，其面积S ＝3，则△ABC 外接圆的半径为( ) A. 3 B ． C ．2 3 D ．4 解析：选B ∵S ＝12bc sin A ，∴3＝12×2c sin 120°，∴c ＝2，∴a ＝b 2＋c 2－2bc cos A＝4＋4－2×2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝23， 设△ABC 外接圆的半径为R ，∴2R ＝a sin A ＝2332＝4， ∴R ＝2.4．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞) C ．(0,10)D.⎝⎛⎦⎤0，403 解析：选D ∵c sin C ＝a sin A ＝403，∴c ＝403sin C ．∴0<c ≤403.5．已知△ABC 的面积S ＝3，A ＝π3，则AB ·AC ＝________.解析：S △ABC ＝12·|AB |·|AC |·sin A ，即3＝12·|AB |·|AC |·32，所以|AB |·|AC |＝4，于是AB ·AC ＝|AB |·|AC |·cos A ＝4×12＝2.答案：26．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b a ＋a b ＝6cos C ，则tan Ctan A ＋tan C tan B＝________. 解析：∵b a ＋ab ＝6cos C ， ∴a 2＋b 2ab ＝6×a 2＋b 2－c 22ab ， ∴2a 2＋2b 2－2c 2＝c 2， 又tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos A sin A cos C ＋sin C cos Bsin B cos C＝sin C (sin B cos A ＋cos B sin A )sin A sin B cos C＝sin C sin (B ＋A )sin A sin B cos C ＝sin 2C sin A sin B cos C ＝c 2ab cos C ＝c 2aba 2＋b 2－c 22ab ＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝4. 答案：47．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知sin A sin B ＝sin C tan C . (1)求a 2＋b 2c 2的值；(2)若a ＝22c ，且△ABC 的面积为4，求c 的值． 解：(1)由已知sin A sin B ＝sin C tan C 得cos C ＝c 2ab . 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，故a 2＋b 2＝3c 2，故a 2＋b 2c2的值为3.(2)由a ＝22c, a 2＋b 2＝3c 2得b ＝102c . 由余弦定理得cos C ＝255，故sin C ＝55. 所以12×22c ×102c ×55＝4，解得c ＝4.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a ＝2,2cos 2 B ＋C2＋sin A ＝45. (1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，求b 的取值范围； (2)当△ABC 的周长取最大值时，求b 的值.解：2cos 2 B ＋C 2＋sin A ＝45⇒1＋cos(B ＋C )＋sin A ＝45⇒sin A －cos A ＝－15.又0<A <π，且sin 2A ＋cos 2A ＝1，有⎩⎨⎧sin A ＝35，cos A ＝45.(1)若满足条件的△ABC 有且只有一个，则有a ＝b sin A 或a ≥b ，则b 的取值范围为(0,2]∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫103. (2)设△ABC 的周长为l ，由正弦定理得 l ＝a ＋b ＋c ＝a ＋asin A (sin B ＋sin C )＝2＋103[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝2＋103[sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ] ＝2＋2(3sin B ＋cos B ) ＝2＋210sin(B ＋θ)，其中θ为锐角，且⎩⎨⎧sin θ＝1010，cos θ＝31010，l max ＝2＋210，当cos B ＝1010，sin B ＝31010时a取到．此时b＝sin A sin B＝10.。
高中数学课时分层作业5三角形中的几何计算含解析新人教B版必修5
课时分层作业(五) 三角形中的几何计算(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则∠A 的对边的长为( ) A ．57 B ．37 C ．21D ．13D [∵S △ABC ＝12bc sin A ＝3，∠A ＝60°，b ＝1∴c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝13.∴a ＝13.]2．已知△ABC 的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足sin B －sin A sin B －sin C ＝ca ＋b ，则∠A ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．π3或2π3B [由sin B －sin A sin B －sinC ＝c a ＋b ，结合正弦定理，得b －a b －c ＝c a ＋b，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，由∠A 为三角形的内角，知∠A ＝π3.]3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，∠B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A ．32 B ．332C ．3＋62D ．3＋394B [作图，AD ⊥BC 于D ．在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，代入数值得AB ＝3.在Rt △ABD 中，AD ＝AB sin 60°＝332.]4．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，∠C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3B ．932C ．332D ．3 3C [由题意得，c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，又由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－aB ．∴－2ab ＋6＝－ab ，即ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝332.]5．已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A ．32 B ．34 C ．32或 3 D ．34或32D [AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝1或BC ＝2，当BC ＝1时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34；当BC ＝2时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.] 二、填空题6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．4 3 [∵cos C ＝13，0<∠C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.]7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.6 [解方程5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35，∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝45.故S ＝12×3×5×45＝6(cm 2)．]8．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＋∠C ＝2π3，a ＝3，b＝1，则S △ABC 等于________．32 [因为∠B ＋∠C ＝23π，所以∠A ＝π－23π＝π3， 由a sin A ＝bsin B，得3sinπ3＝1sin B ，则sin B ＝12， 因为a >b ，所以∠A >∠B ，则∠B ＝π6，所以∠C ＝π2，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×1×1＝32.]三、解答题9．在△ABC 中，求证：a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.[证明] 法一：左边＝a －c (a 2＋c 2－b 2)2acb －c (b 2＋c 2－a 2)2bc ＝a 2－c 2＋b 22a ·2b b 2－c 2＋a 2＝b a ＝2R sin B 2R sin A ＝sin B sin A＝右边， (其中R 为△ABC 外接圆的半径) ∴a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.法二：左边＝sin A －sin C cos Bsin B －sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C ·cos Bsin (A ＋C )－sin C ·cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边(cos C ≠0)，∴a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.10．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求∠A 和∠B 的大小； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0<∠A <π，∴∠A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C <0，即∠C 为钝角，∴∠B 为锐角，且∠B ＋∠C ＝5π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，得∠C ＝2π3，∴∠B ＝π6.(2)由(1)知a ＝b ，则AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ×a 2×cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.[能力提升练]1．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积为( ) A ．32 3 B ．16C ．323或16D ．323或16 3D [在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝83×128＝32，又b >a ，∴∠B ＝60°或120°.当∠B ＝60°时，∠C ＝180°－30°－60°＝90°， ∴S △ABC ＝12×8×83＝323；当∠B ＝120°时，∠C ＝180°－30°－120°＝30°， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×83×12＝16 3.]2．△ABC 的周长为20，面积为103，∠A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8C [如图，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a )2－3×40，∴a ＝7.]3．在△ABC 中，ab ＝60，S △ABC ＝153，△ABC 的外接圆半径为3，则边c 的长为________． 3 [S △ABC ＝12ab sin C ＝153，∴sin C ＝32.由正弦定理csin C＝2R ，∴c ＝2R ×sin C ＝3.] 4．已知△ABC 的面积为32，a ＋c ＝210，cos B ＝－13，则b 的值为________．27 [在△ABC 中，由cos B ＝－13可得sin B ＝223，根据面积为32得，12ac sin B ＝32得ac ＝9，由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝40－18＋6＝28，则b ＝27.]5．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ．已知3cos(B －C )－1＝6cos B cosC ．(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，C ． [解] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos (B ＋C )＝13.(2)由于0<∠A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.。
2022版人教a版高中数学必修5课时作业5三角形中的几何计算(含答案)
2022版人教a版高中数学必修5课时作业5三角形中的几何计算（含答案）时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．在△ABC中，a＝2，A＝45°，则△ABC外接圆的半径R等于() A．1C．4a解析：2R＝inA＝2，所以R＝1.答案：A2．在△ABC中，下列关系一定成立的是()A．abinAB．a＝binAD．a≥binAB．2D．无法确定ab解析：由正弦定理知inA＝inB，b∴inB＝ainA.又∵在△ABC中，b0ACcoB3．在△ABC中，若AB＝coC，则()A．A＝CB．A＝BC．B＝CD．以上都不正确ACinBcoB解析：∵AB＝inC＝coC，∴inBcoC＝coBinC.∴in(B－C)＝0.又∵－π34．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝2，则边BC的长为()A.3C.7B．3D．713解析：∵S△ABC＝2AB·ACinA＝2，∴AC＝1.由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcoA＝4＋1－2某2某1某co60°＝3.即BC ＝3.答案：A5．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则coθ是()3A.53C．±51解析：∵S△ABC＝2AB·BCin∠ABC3B．－54D．±514＝2某2某5某inθ＝4，∴inθ＝5.3又θ∈(0，π)，∴coθ＝±1－inθ＝±5.2答案：Cπ36．在△ABC中，BC＝2，B＝3，当△ABC的面积等于2时，inC＝() 3A.23C.31B.23D.41π3解析：由三角形的面积公式S＝2AB·BCin3＝2，易求得AB＝1，13由余弦定理得AC＝3，再由三角形的面积公式S＝2AC·BCinC＝2，1即可得出inC＝2.答案：B二、填空题(每小题8分，共计24分)7．在△ABC中，已知a＝5，b＝7，B＝120°，则△ABC的面积为________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accoB即c2＋5c＝24，解得c＝3，11153∴S△ABC＝2acinB＝2某5某3in120°＝4.153答案：4。
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学业分层测评（五）
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知方程x2sin A＋2x sin B＋sin C＝0有重根，则△ABC的三边a，b，c 的关系满足()
A．b＝ac B．b2＝ac
C．a＝b＝c D．c＝ab
【解析】由方程有重根，∴Δ＝4sin2B－4sin A sin C＝0，即sin2B＝sin A sin C，∴b2＝ac.
【答案】 B
2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝3，则角A的对边的长为()
A.57
B.37
C.21 D．13
【解析】∵S
△ABC ＝
1
2bc sin A＝
1
2×1×c×sin 60°＝3，∴c＝4.由余弦定理
a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝1＋16－2×1×4×1
2＝13.
∴a＝13.
【答案】 D
3．在△ABC中，a＝1，B＝45°，S△ABC＝2，则此三角形的外接圆的半径R ＝()
A.1
2B．1
C．2 2 D．52 2
【解析】S
△ABC ＝
1
2ac sin B＝
2
4c＝2，∴c＝4 2.
b2＝a2＋c2－2ac cos B＝1＋32－82×
2
2＝25，
∴b＝5.∴R＝
b
2sin B＝
5
2×
2
2
＝
52
2.
4．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32 B.332 C.3＋62 D ．3＋394
【解析】
在△ABC 中，由余弦定理可知： AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ， 即7＝AB 2＋4－2×2×AB ×12. 整理得AB 2－2AB －3＝0. 解得AB ＝－1(舍去)或AB ＝3.
故BC 边上的高AD ＝AB ·sin B ＝3×sin 60°＝33
2. 【答案】 B
5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( )
A ．4∶3∶2
B ．5∶6∶7
C ．5∶4∶3
D ．6∶5∶4
【解析】 由题意知：a ＝b ＋1，c ＝b －1， 所以3b ＝20a cos A ＝20(b ＋1)·b 2＋c 2－a 22bc ＝20(b ＋1)·b 2＋(b －1)2－(b ＋1)22b (b －1)，
整理得7b 2－27b －40＝0，
解之得：b ＝5(负值舍去)，可知a ＝6，c ＝4. 结合正弦定理可知sin A ∶sin B ∶sin C ＝6∶5∶4.
二、填空题
6．在△ABC中，B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为．
【解析】画出三角形知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 60°＝3，∴AD＝ 3.
【答案】 3
7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm，其夹角α的余弦值是方程5x2－7x－6＝0的根，则此三角形的面积是cm2.
【解析】解方程5x2－7x－6＝0，得x＝2或x＝－3 5，
∵|cos α|≤1，∴cos α＝－3
5，sin α＝
4
5.
故S
△＝
1
2×3×5×
4
5＝6(cm
2)．
【答案】 6
8．(2016·郑州模拟)在△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为．
【解析】由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即49＝a2＋25－2×5×a cos 120°.
整理得a2＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)．
∴S
△ABC ＝
1
2ac sin B＝
1
2×3×5sin 120°＝
153
4.
【答案】153 4
三、解答题
9．已知△ABC的三内角满足cos(A＋B)cos(A－B)＝1－5sin2C，求证：a2＋b2＝5c2. 【导学号：05920063】
【证明】由已知得cos2A cos2B－sin2A sin2B＝1－5sin2C，
∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2A sin2B＝1－5sin2C，
∴1－sin2A－sin2B＝1－5sin2C，
∴sin2A＋sin2B＝5sin2C.
由正弦定理得，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2
，
即a 2＋b 2＝5c 2.
10．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.
(1)求C 和BD ；
(2)求四边形ABCD 的面积． 【解】 (1)由题设及余弦定理得
BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ， ①
BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ． ② 由①，②得cos C ＝1
2，故C ＝60°，BD ＝7. (2)四边形ABCD 的面积 S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×1×2＋12×3×2·sin 60°＝2 3. [能力提升]
1．已知锐角△ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．4
D ．－4
【解析】 由题意S △ABC ＝12|AB →||AC →
|sin A ＝3， 得sin A ＝
3
2
，又△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝1
2，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝2. 【答案】 A
2．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )
A.π4
B.π3
C.π2 D ．3π4
【解析】 由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，tan(B ＋C )＝
tan B ＋tan C 1－tan B tan C
＝－1＝－tan A ，所以角A ＝π
4.
【答案】 A
3．(2015·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－1
4
，则a 的值为 ．
【解析】 在△ABC 中，由cos A ＝－14可得sin A ＝15
4，
所以有⎩⎪⎨⎪
⎧
12bc ×15
4＝315，
b －
c ＝2，
a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，
解得⎩⎨⎧
a ＝8，
b ＝6，
c ＝4.
【答案】 8
4．(2015·陕西高考)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．
(1)求A ；
(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．
【解】 (1)因为m ∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0<A <π，所以A ＝π3.
(2)法一 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而a ＝7，b ＝2，A ＝π
3，
得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c >0，所以c ＝3.
故△ABC 的面积为12bc sin A ＝33
2. 法二 由正弦定理，得
7sin π3
＝2sin B ，从而sin B ＝217. 又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝27
7. 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫B ＋π3
＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝321
14. 所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝33
2.。