2.13-1 函数定义域求法总结讲义
求函数定义域的方法技巧
求函数定义域的方法技巧1500字函数的定义域是指函数的自变量所能取的实数范围，即使函数有定义并能计算得出对应的函数值。
在求函数的定义域时，一般可以采用以下方法和技巧：1. 明确函数的基本操作和限制：首先要了解函数所涉及的基本操作，包括四则运算、开方、对数、指数函数等。
同时，要注意函数可能存在的限制条件，如分母不能为零、不能取负数等。
2. 分析有理函数和无理函数的定义域：对于有理函数（包括多项式函数和有理分式函数）来说，其定义域一般是全体实数集R，除非函数中存在某些限制条件，如分母不能为零等。
对于无理函数（包括开方函数、指数函数和对数函数）来说，要注意其底数和指数、对数的定义域。
3. 求解不等式：当函数中存在不等式时，可通过求解不等式来获取函数的定义域。
例如，如果函数涉及开方运算，可通过求解根式不等式来求得基本不等式；如果函数涉及对数运算，可通过求解指数不等式来求得基本不等式。
4. 观察函数的图像：通过观察函数的图像可以得到一些定义域的信息。
例如，如果函数图像在某个区间上单调增加或单调减少，那么函数的定义域可以看出是这个区间。
如果函数图像在某一点处存在断点，那么这个点可能是函数的不连续点，需要排查其他相关的限制条件。
5. 分析复合函数的定义域：如果给定的函数是由多个函数进行复合得到的，可以先分析每个函数的定义域，然后求出它们交集的范围，得到最终的定义域。
6. 注意特殊情况：有些函数在定义域中存在特殊情况，需要单独考虑。
例如，绝对值函数的定义域是全体实数集R，但要注意其在零点处不可导；分段函数的定义域需要分别考虑每个分段的定义域。
7. 使用数学工具和技巧：在一些复杂的函数中，可以利用数学工具和技巧来求解定义域。
例如，利用数列极限的性质来判断函数的定义域是否存在极限；利用微分学的知识来求解函数的定义域。
总之，对于给定的函数，需要根据函数的基本操作和限制、不等式、图像分析、复合函数、特殊情况以及数学工具和技巧等方面进行综合考虑，才能准确求出函数的定义域。
函数的定义域及其求法(知识点)(教师版)
函数的定义域及其求法（知识点）一．定义域定义域、值域、对应法则合称为函数的三要素．本词条主要介绍函数定义域的概念及其求法.二．函数定义域的概念函数的定义域就是指自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分．定义域必须是非空数集，且必须写成区间或集合的形式．例如：一次函数()(0)f x kx b k =+≠的定义域为(或写成(,)-∞+∞)．三．函数定义域的求法在处理函数的相关问题时，首先应明确函数的定义域是什么，求函数定义域主要包括具体函数的定义域、抽象函数的定义域以及实际问题中函数的定义域三种．四．具体函数的定义域对于已知解析式的具体函数，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数x 的取值集合．常见情形如下：1. 若函数()f x 为整式，则其定义域为实数集． 例如，二次函数2()1f x x x =++的定义域为． 2. 若函数()f x 是分式，则其定义域是使分母不为零的全体实数的集合. 例如，函数1()1f x x =-的定义域为{1}x x ≠． 3. 若函数()f x 是偶次根式，则其定义域是使得根号内的式子大于或等于零的全体实数构成的集合.例如，函数()f x =[1,)-+∞.4. 若函数()f x 是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使是使各部分都有意义的实数的集合， 即交集.例如，函数1()1f x x =-[1,1)(1,)-+∞. 5. 若函数0()f x x =，则其定义域是{0}x x ∈≠． 注：除了上述情形，还应注意指数函数和对数函数均需满足底数大于零且不等于1，对数函数的真数必须大于零，以及三角函数的定义域，如正切函数的定义域为ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭例：求下列函数的定义域：①y =2310x y x x --；③()f x =. 解：①由80,30,x x +⎧⎨-⎩≥≥得83x -≤≤．所以原函数的定义域为[]8,3-． ②由220,3100,x x x +⎧⎪⎨--≠⎪⎩≥解得()() 2250x x x -⎧⎪⎨+-≠⎪⎩≥所以2,2,5,x x x -⎧⎨≠-≠⎩≥即25x -<<或5x >．所以原函数的定义域为()()2,55,-+∞．③由函数的解析式有意义，得240,210,x x x +>⎧⎪⎨-->⎪⎩即()()4,2110,x x x >-⎧⎪⎨+->⎪⎩∴4,11,2x x x >-⎧⎪⎨<->⎪⎩或∴142x -<<-或1x >．∴所求函数的定义域为()14,1,2⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭．五．抽象函数的定义域求抽象函数的定义域时，应充分理解定义域的含义，即：函数()f x 的定义域是指x 的取值范围，具体如下：1. 若已知函数()f x 的定义域为[,]a b ，则其复合函数(())f g x 的定义域由()a g x b ≤≤求出．例如：已知函数()f x 的定义域为[1,2]，则函数(1)f x +的定义域为[0,1]．2. 若已知函数(())f g x 的定义域为[,]a b ，则()f x 的定义域为()g x 在[,]x a b ∈上的值域.例如：已知函数(1)f x +的定义域为[1,2]，则函数()f x 的定义域为[2,3]．六．实际问题中函数的定义域在实际问题中求函数()f x 的定义域，除了考虑解析式本身有意义外，还应该考虑自变量x 所代表的具体量的实际取值范围．例如：圆的面积S 与圆的半径r 之间的函数关系式为2πS r =，其定义域为{0}r r >．。
函数的定义域及其求法(知识讲解)(教师版)
函数的定义域及其求法（知识讲解）一．求定义域问题概述在处理函数的相关问题时，首先应明确函数的定义域是什么，求函数定义域主要包括具体函数的定义域、抽象函数的定义域以及实际问题中函数的定义域三种．1．对于已知解析式的具体函数，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数x 的取值集合．2．求[[抽象函数的定义域求法|抽象函数的定义域]]时，应充分理解定义域的含义，即：函数()f x 的定义域是指x 的取值范围．3．在实际问题中求函数()f x 的定义域，除了考虑解析式本身有意义外，还应该考虑自变量x 所代表的具体量的实际取值范围．应用举例求具体函数定义域1．求函数()256lg 3x x f x x -+=-的定义域． 解：由二次根号和对数函数，可得 24||0,560.3x x x x -⎧⎪⎨-+>⎪-⎩ 解得233 4.x x <<<或因此，函数的定义域为{|2334}x x x <<<或注：函数的定义域就是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数x 的取值集合．二．求抽象函数的定义域1．已知函数()f x 的定义域为(2,1)-，求函数(21)f x +的定义域．解：由题意知21(2,1),x +∈- 解得302x -<<，故定义域为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭． 2．已知函数(3)f x -的定义域为(1,4)，求函数(21)f x +的定义域．解：由题意得14,x <<因此，231,x -<-<故可以得出，21(2,1),x +∈- 解得302x -<<，故定义域为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭． 注：①.定义域是自变量x 的取值范围. ②.被同一个对应法则f 作用下的对象的取值范围相同.三．实际应用中的函数求定义域1．将长为8的铁丝折成矩形，则矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式为24y x x =-+,求其定义域.解：由函数的实际意义，知自变量x 应满足 0,1(82)0.2x x >⎧⎪⎨->⎪⎩ 解得04x <<.所以定义域为(0,4).注：实际应用中的函数定义域不仅受到函数自身表达式的限制，而且还受实际意义的影响.四．拓展有些问题是给出了函数的定义域，而求参数的值或范围.此时需要找出定义域的限制条件对其进行分析解答.例如：1．函数2743kx y kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围. 解：由题意，2430kx kx ++≠恒成立，所以20,0,30.(4)120.k k k k ≠⎧=⎧⎪⎨⎨≠∆=-<⎪⎩⎩或 得304k <. 注：不要忽略分母式子形的讨论.。
求函数定义域和值域方法对应法则归纳1
<一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳一、基础知识整合1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。
则称f:为A 到B 的一个函数。
2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。
由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。
3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是：（1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。
（2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。
4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。
（1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。
（2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。
5．函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法6．分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．二、求函数定义域（一）求函数定义域的情形和方法总结1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。
（1）常见要是满足有意义的情况简总：①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0；②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。
③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0.④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0.⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1）⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于1.（2()log (1)x f x x =-）注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。
函数定义域及求法讲解 关于
函数作者：刘铁峰 (高中数学赤峰数学一班) 评论数/浏览数： 1 / 37 发表日期： 2011-07-0816:32:19性质及其应用函数的性质及其应用是高考数学的重点和热点．熟练掌握函数的性质，能灵活运用函数的性质解决有关问题，是高考数学获胜的一个重要方面．因此，临考前对函数的性质及应用作适当的复习和思路整理是有必要的．一、函数的定义域及求法1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0；2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1；3、正切函数：x ≠ kπ+ π/2 ,k∈Z；余切函数：x ≠ kπ,k∈Z ；4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R；5、定义域的相关求法：利用函数的图象（或数轴）法；利用其反函数的值域法；6、复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论．[例题]：1、求下列函数的定义域3、已知函数y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为R，求实数m的取值范围．[解析]：[利用复合函数的定义域进行分类讨论]当m=0时，则mx2-4mx+m+3=3，→ 原函数的定义域为R；当m≠0时，则 mx2-4mx+m+3＞0，①m＜0时，显然原函数定义域不为R；②m＞0，且△＝(-4m)2-4m(m+3)<0 时，即０＜m＜１，原函数定义域为R，所以当m∈[0,1) 时，原函数定义域为R．4、求函数y=logx + 1 (x≥4) 的反函数的定义域．2[解析]：［求原函数的值域］由题意可知，即求原函数的值域，∵x≥4,∴logx≥2∴y≥32x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域是[3，+∞)．所以函数y=log2x)的定义域．5、函数f(2x)的定义域是[-1，1]，求f(log2[解析]：由题意可知2-1≤2x≤21→ f(x)定义域为[1/2，2]x≤2→ √￣2≤x≤4．→ 1/2≤log2所以f(logx)的定义域是[√￣2,4]．2二、函数的值域及求法1、一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R；2、二次函数的值域：当a＞0时，y≥-△/4a ，当a＜0时，y≤-△/4a ；3、反比例函数的值域：y≠0 ；4、指数函数的值域为（0，+∞）；对数函数的值域为R；5、正弦、余弦函数的值域为[-1，1]（即有界性）；正切余切函数的值域为R；6、值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．[例题]：：求下列函数的值域[解析]：1、[利用求反函数的定义域求值域]先求其反函数：f-1(x)=(3x+1)/(x-2) ，其中x≠2，由其反函数的定义域，可得原函数的值域是y∈{y∈R|y≠2} 2、[利用反比例函数的值域不等于0]由题意可得，因此，原函数的值域为[1/2,+∞)4、[利用分离变量法和换元法]设法2x＝t，其中t＞0，则原函数可化为y=(t+1)/(t-1) → t=(y+1)/(y-1) ＞０∴y>1或y<-15、[利用零点讨论法]由题意可知函数有3个零点-3，1，2，①当x<-3 时，y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x ∴y>9②当-3≤x<1 时，y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6 ∴5<y≤9③当1≤x<2 时，y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4 ∴5≤y<6④当x ≥2时，y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x ∴y≥6 综合前面四种情况可得，原函数的值域是[5,+∞) 6、[利用函数的有界性]三、函数的单调性及应用1、 A为函数f(x)定义域内某一区间，2、单调性的判定：作差f(x1)-f(x2)判定；根据函数图象判定；3、复合函数的单调性的判定：f(x),g(x) 同增、同减，f(g(x)) 为增函数，f(x),g(x)一增、一减，f(g(x)) 为减函数．[例题]：(4+3x-x2)的单调递增区间．2、设a＞0且a≠1，试求函数y=loga[解析]：[利用复合函数的单调性的判定]由题意可得原函数的定义域是（－１，４），设u=4+3x-x2，其对称轴是 x=3/2 ，所以函数u=4+3x-x2，在区间（－１，3/2 ]上单调递增；在区间[3/2 ，4）上单调递减．u 在其定义域内为增函数，由x↑→u↑→y↑ ，①a＞１时，y=loga(4+3x-x2) 得函数u=4+3x-x2的单调递增区间（－１，3/2 ]，即为函数y=loga的单调递增区间．②０＜a＜１时，y=logu 在其定义域内为减函数，由ax↑→u↓→y↑ ，得函数u=4+3x-x2的单调递减区间[3/2 ，4），即为函数y=log(4+3x-x2)的单调递增区间．a(2-ax) 在[0，1]上是x 的减函数，求a的取值范围。
函数定义域值域求法总结
函数定义域值域求法总结函数的定义域（Domain）和值域（Range）是函数的基本性质之一，它们是通过对函数的规则、图像以及问题的具体要求进行分析和计算得出的。
在数学中，定义域和值域的求法可能会因函数类型的不同而有所不同。
本文将总结一些常见的函数定义域和值域求法方法，并提供一些示例。
一、函数定义域的求法方法1. 使用函数规则：根据函数的定义和规则，确定函数所能接受的变量范围。
例如，对于一个有理函数（Rational Function） f(x) = 1/(x-2)，由于分母不能为零，所以定义域为除去 x=2 的所有实数。
2. 图像法：绘制函数的图像，观察函数在整个定义域上是否有意义。
一般来说，如果函数在一些点处没有定义或出现断点，则这个点不属于定义域。
例如，对于一个分段函数（Piecewise Function）f(x) = ，x，其图像是一条 V 型曲线，因此定义域为所有实数。
3.非负实数法：有些函数定义域存在特定的限制，负数、零或者正数。
例如，对于一个以平方根为主的函数f(x)=√(x-3)，它的定义域要求x-3≥0，即x≥34. 根式定义域法：对于一些函数，如开方函数、对数函数，可以通过求解不等式来确定函数的定义域。
例如，对于对数函数 f(x) = log(x)，由于 log 函数的定义域要求 x > 0，所以它的定义域为所有正实数。
5.分式的定义域法：对于一个分式函数，要求分母不为零。
因此，可以根据分式的分母求解不等式来确定函数的定义域。
例如，对于一个分式函数f(x)=2/(x+1)，由于分母要求不等于零，所以定义域为除去x=-1的所有实数。
二、函数值域的求法方法1. 观察法：通过观察函数的定义和规则，或者通过观察函数的图像，推测函数的值域。
例如，对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，如果 a > 0，那么函数的值域是 (−∞, f(v)]，其中 f(v) 是顶点的纵坐标。
高中数学-函数定义域、值域求法总结.doc
函数定义域、值域求法总结一 .求函数的定义域需要从这几个方面入手：（ 1）分母不为零（ 2）偶次根式的被开方数非负。
（ 3）对数中的真数部分大于 0。
（ 4）指数、对数的底数大于 0，且不等于 1（5） y=tanx 中 x ≠ k π +π/2 ； y=cotx 中 x ≠ k π等等。
( 6 )x 0 中 x 0二、值域是函数 y=f(x) 中 y 的取值范围。
常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元） （6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（ 11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。
定义域的求法1、直接定义域问题例 1 求下列函数的定义域：①f ( x)13x 2 ；③ f ( x)1 ；② f ( x)x 1x 22 x解： ①∵ x-2=0 ，即 x=2 时，分式1 无意义，x 2而 x2 时，分式1 有意义，∴这个函数的定义域是 x | x2 .x 2②∵ 3x+2<0，即 x<-2时，根式 3x2 无意义，32而 3x2 0 ，即 x3x 2 才有意义，时，根式32∴这个函数的定义域是{ x | x}.3③∵当 x 1 0且 2x 0，即 x 1且 x 2 时，根式 x 1 和分式1 同时有2x意义，∴这个函数的定义域是{x | x 1 且 x 2 }另解：要使函数有意义，必须：x 1 0 x 12 xx2例 2 求下列函数的定义域：① f (x)4 x 21③ f (x)1 1111xx 2 3x 4 ② f ( x)1 2 x( x 1) 0④ f ( x)xx1 ⑤ yx 2333x 7解： ①要使函数有意义，必须：4 x 21 即： 3 x 3∴函数 f ( x) 4x21 的定义域为： [ 3, 3]②要使函数有意义，必须： x 2 3x 4 0x 4或 x 1x 1 2x3且 x 1x 3或 3x 1或x 4∴定义域为： { x|x3或 3 x1或x4 }x 01x 0③要使函数有意义，必须：x 11xx11 1 0211x1} ∴函数的定义域为：{ x | xR 且x 0, 1,2④要使函数有意义，必须： x 1x 1x x 0x 0∴定义域为：x | x1或 1 x 0x 2 30 x R ⑤ 要使函数有意义，必须：7 073x x3即 x<7 7 7} 或 x>∴定义域为： { x | x3332 定义域的逆向问题例 3若函数 yax 2 ax 1 的定义域是 R ，求实数 a 的取值范围(定义域的逆向问题 )aax 2 ax 1 0恒成立，解： ∵定义域是 R, ∴a等价于a 010 a 224a 0∴a aylog 2 x 2 mx 3m 的取值范围；练习：定义域是一切实数，则3 复合函数定义域的求法例 4 若函数 yf ( x) 的定义域为 [ 1， 1]，求函数 yf (x1) f ( x1) 的定义域4 4解： 要使函数有意义，必须：1 x1 1 5 x 33 34 4 4135x41 x 1x 44 4 4y f ( x1) f ( x 1 )3 3x |x∴函数4 4 的定义域为：44例 5 已知 f(x) 的定义域为 [ －1， 1]，求 f(2x － 1)的定义域。
函数定义域的求法整理整理详细版
函数定义域的求法整理(整理详细版) 函数定义域的求法是数学中一个重要的主题。
函数的定义域是函数中自变量的取值范围，它是函数能够正确运算的基础。
下面是求函数定义域的一些常见方法和步骤：一、理解基本的求定义域的方法1.常见初等函数的定义域：对于一些常见的初等函数，如二次函数、反比例函数、正比例函数等，我们需要了解它们的定义域是如何求解的。
例如，对于二次函数 f(x) = x^2，它的定义域是实数集。
2.抽象函数的定义域：对于较为抽象的函数，我们需要根据函数的解析式和性质来确定其定义域。
例如，对于函数 f(x) = 1/x，它的定义域是除了0以外的所有实数。
二、求定义域的步骤1.确定函数的类型：首先需要确定所给函数的类型，如一次函数、二次函数、对数函数等，这将有助于我们确定定义域的求解方法。
2.观察解析式：解析式是求函数定义域的关键。
我们需要观察解析式中有哪些部分，如常数、幂函数、指数函数、三角函数等。
3.根据解析式和性质确定定义域：根据所给函数的解析式和性质来确定定义域。
例如，对于幂函数 f(x) = x^a，当 a > 0 时，它的定义域是所有正实数；当 a < 0 时，它的定义域是所有负实数。
4.注意特殊情况：在确定函数的定义域时，需要注意一些特殊情况。
例如，对于含有开方的函数，它的定义域可能是大于等于0的实数或者复数。
5.特殊符号：有时候解析式中会出现特殊符号，如对数符号、平方根符号等，这些符号会对定义域产生影响。
需要了解这些符号的定义域。
6.根据实际应用确定定义域：在某些情况下，函数的定义域可能需要根据实际应用来确定。
例如，对于三角函数的定义域，通常取一切实数；但是对于某些特定的函数，如正弦函数和余弦函数的变种，它们的定义域可能只取一段区间。
7.训练方法和思维：除了掌握求定义域的基本步骤，还需要通过大量的训练来提高解题的速度和准确性，并逐渐形成科学合理的思维方式。
通过对各种题型进行分类整理，深入分析问题中的知识点和求解方法。
函数的定义域和值域知识点总结
函数的定义域和值域知识点总结1.函数的定义域：2.函数的值域：函数的值域是指函数的所有可能输出的集合，也就是因变量的取值范围。
值域是函数输出的范围，表示函数的所有可能结果。
3.定义域的确定方法：在定义一个函数时，常常需要确定函数的定义域。
一般来说，常见的函数的定义域有以下几种确定方法：-首先，需要考虑自变量存在的实值范围。
对于多项式函数和有理函数而言，一般情况下定义域为实数集。
-其次，需要考虑函数中出现开方运算、对数运算、分式运算等，这些运算存在定义范围的限制。
-最后，需要考虑函数中的分母是否为零。
当分母为零时，函数的定义域将受到限制。
4.常见函数的定义域和值域：-多项式函数的定义域为实数集，值域也是实数集。
-幂函数的定义域和值域根据指数的奇偶性来确定，如果指数为偶数，定义域为非负实数集，值域为非负实数集；如果指数为奇数，定义域和值域为实数集。
-指数函数的定义域为实数集，值域为正实数集。
-对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
-三角函数的定义域为实数集，值域在[-1,1]之间。
5.确定函数的定义域和值域的方法：-对于一次函数、二次函数和绝对值函数，可以直接通过函数的图像来确定定义域和值域。
-对于有更复杂形式的函数，可以通过对函数进行分析，将函数表达式中存在定义域限制的部分找出来，确定函数的定义域。
-对于一些特殊的函数，可以通过函数性质和运算性质推断其定义域和值域。
-同时，也可以通过计算等式的解或者不等式的解来确定定义域和值域。
总结起来，函数的定义域和值域是数学中对于函数输入和输出范围的描述，了解它们对于理解函数的性质和应用具有重要意义。
确定函数的定义域和值域需要考虑函数中各个运算的定义范围，分析函数表达式的性质和图像，并可以利用计算等式和不等式的解来确定。
函数的定义域和值域的确定对于函数的应用具有重要的指导意义。
求定义域的方法
求定义域的方法定义域是函数中最基本的概念之一，它描述了函数的自变量（输入）的取值范围，也就是函数能够接受的输入的集合。
在数学中，我们常常需要求解一个函数的定义域，以便更好地理解函数的性质和特点。
本文将介绍一些常见的方法，帮助大家更好地求解函数的定义域。
一、通过函数的表达式求解定义域。
对于给定的函数表达式，我们可以通过分析表达式中的各个部分，来确定函数的定义域。
首先，我们需要注意到一些特殊的情况，比如分母不能为零，以及根号内不能为负数。
这些都是确定定义域的重要因素。
例如，对于函数 f(x) = 1/x，我们知道分母不能为零，所以我们可以得出定义域为x ≠ 0。
再比如，对于函数g(x) = √x，根号内不能为负数，所以定义域为x ≥ 0。
在实际应用中，函数的表达式可能会更加复杂，但通过对各个部分进行分析，我们同样可以求解出函数的定义域。
二、通过图像求解定义域。
有时，我们可以通过函数的图像来直观地判断函数的定义域。
通过观察函数在坐标系中的图像，我们可以看出函数的定义域大致是什么样的。
例如，对于函数 h(x) = x^2，我们知道这是一个开口朝上的抛物线，定义域为全体实数。
再比如，对于函数 k(x) = 1/x，我们可以看出这是一个经过原点的双曲线，从图像中可以清楚地看出定义域为x ≠ 0。
通过观察函数的图像，我们可以更直观地理解函数的定义域，这对于一些复杂的函数尤为有用。
三、通过数学推导求解定义域。
除了通过函数表达式和图像来求解定义域外，我们还可以通过一些数学推导的方法来确定函数的定义域。
比如，对于一些复合函数，我们可以通过对函数进行分解，然后分别求解各个部分的定义域，最终得出整个函数的定义域。
另外，对于一些特殊的函数，比如对数函数、指数函数、三角函数等，我们也可以通过一些特定的性质和公式来求解其定义域。
总结起来，求解函数的定义域是函数分析中的重要内容之一。
通过对函数表达式、图像以及数学推导的分析，我们可以更清晰地了解函数的定义域，从而更好地应用和理解函数的性质。
函数定义域的求法
函数定义域的求法函数定义域是指函数能够接受哪些特定的输入值。
确定函数定义域的主要目的是确保函数在被定义的集合上有良好的意义。
对于某些函数，定义域可能是实数集、整数集或其他特定集合。
在本文中，我们将介绍不同类型函数定义域的求法。
一元函数的定义域求法：对于一元函数，即只有一个自变量x的函数，通常有几种常见的定义域求法方法。
下面将详细介绍其中的几种方法。
1. 显式定义域：某些函数可以通过直接观察其定义式来确定其定义域。
例如，对于函数f(x) = √x，由于不能计算负数的平方根，因此定义域需要满足x ≥ 0。
因此，该函数的定义域为非负实数集合{ x | x ≥0 }。
2. 对数函数的定义域求法：对于对数函数，由于对数函数的自变量必须是正实数才有定义，因此对数函数的定义域必然是自变量大于0的实数集。
例如，对数函数f(x) = log(x)，定义域为x > 0。
3. 分式函数的定义域求法：对于分式函数，要注意分母不可以为0，因此我们需要找出分母为0的条件，以确定定义域。
例如，考虑函数f(x) = 1 / (x - 2)，由于分母不能为0，因此需要求解方程x - 2 = 0，解得x = 2。
所以，该函数的定义域为{x | x ≠ 2}。
两个自变量的函数的定义域求法：对于具有两个自变量的函数，我们需要同时考虑两个自变量的定义域条件。
下面将介绍两种常见的两个自变量函数的定义域求法方法。
1. 二元函数的显式定义域求法：对于某些二元函数，可以通过观察定义式来确定其定义域。
例如，考虑函数f(x, y) = √(x^2 - y)，由于不能计算负数的平方根，因此要求x^2 - y ≥ 0。
因此，该函数的定义域为{(x, y) | x^2 ≥ y }。
2. 二元函数的隐式定义域求法：有些二元函数的定义域比较复杂，无法通过观察得到。
对于这种情况，可以利用方程求解的方法来求解定义域。
例如，考虑函数f(x, y) = 1 / (x - y)，分母不可以为0，所以需要求解方程x - y = 0。
函数定义域的一般求法
函数定义域的一般求法函数可以将一个值映射到另一个值，其中一个值叫做函数的输入，而另一个值叫做函数的输出。
函数定义域是每个函数的输入可能取值的一个区间，或者所有可取值的集合。
不同函数有不同的定义域，因此，确定函数定义域是非常重要的，可以确定哪些值是函数可以接受的值，而哪些是不可接受的。
函数定义域的一般求法可以分为三个步骤。
首先，确定函数的变量，并确定每个变量的取值范围。
其次，根据函数定义的内容，确定函数中的约束条件，以确定变量的取值范围的边界。
最后，根据函数的性质，确定有效的变量取值范围，确定函数定义域。
第一步：确定变量并确定取值范围函数定义域的求法首先需要确定函数中变量的取值范围。
所谓变量，是指函数中的未知量。
变量的取值范围一般指变量可以取到哪些数值。
通常，变量取值范围由它的取值集合决定，其中可以分为三类：有界取值范围、无界取值范围和定义域取值范围。
有界取值范围是指变量的取值是有限的，比如整数的取值范围，它的取值是从0到正无穷。
无界取值范围是指变量取值是无限的，比如实数的取值范围，它的取值是从负无穷到正无穷。
定义域取值范围是指函数定义域中变量的取值范围，也就是说定义域取值范围也是一种有限的取值范围。
第二步：根据函数定义确定约束条件在确定变量的取值范围后，我们可以根据函数定义的内容，确定函数中的约束条件，以确定变量的取值范围的边界。
所谓约束条件，就是指变量的取值范围受到的限制，它可以是函数中的等式、不等式、数学公式或者其它形式。
约束条件可以帮助我们确定变量取值范围的边界，也可以帮助我们确定变量的取值范围是否是定义域取值范围。
第三步：根据函数性质确定函数定义域最后，根据函数的性质，确定函数定义域。
函数的性质是指函数的特性，比如偶函数、奇函数、可导函数等，这些性质会影响函数的定义域。
比如：偶函数有自变量的取值范围是[0,+∞]；奇函数有自变量的取值范围是[-∞,+∞]；可导函数的取值一般是所有实数的集合。
函数定义域的求法
函数定义域的求法函数定义域是描述函数图像值与变量取值范围之间关系的术语，它定义了函数的变量可取的值集合。
在数学中，函数定义域是一个非常重要的概念，它的定义能帮助我们更好地理解和解决函数的问题。
本文将讨论函数定义域的求法以及定义域的特殊情况。
一、定义域的求法1、定义域的求法主要有三种：(1)式定义域。
即函数的变量可取的值集合是函数定义中定义明确的，在这种情况下，定义域就是函数定义中列出的取值范围。
例如：函数 f(x)=2x+3定义域为全体实数。
(2)式定义域。
此时函数的变量可取的值集合不能从函数定义中直接获取，它是由函数的不等式约束所决定的，即需要将函数的不等式解出取值范围，这就是函数的定义域。
例如：函数 f(x)=2x-3>0定义域为x>3/2。
(3)合定义域。
当函数中既有显式定义域又有隐式定义域时，这种定义域叫做混合定义域。
例如：函数 f(x)=2x-3，其定义域为x>3/2 且 x∈R，即混合定义域。
2、定义域特殊情况特殊情况一：当函数定义域为全体实数时，即f(x):R→R，其定义域为R。
特殊情况二：当函数定义域为实数正部分时，即f(x):R+→R+，其定义域为R+。
特殊情况三：当函数定义域为实数负部分时，即f(x):R-→R-，其定义域为R-。
二、定义域的示例下面给出三个定义域的示例：例1：f(x)=x+1，其定义域为R；例2：f(x)=2x+2，其定义域为R；例3：f(x)=√(x-1)，其定义域为x≥1。
三、结论从上面的内容可以看出，定义域是描述函数图像值与变量取值范围之间关系的术语，它定义了函数的变量可取的值集合。
定义域的求法主要有显式定义域、隐式定义域和混合定义域，它们对理解和解决函数的问题有重要意义。
函数定义域求法总结详细版课件
其解法是：若 f g(x) 的定义域为 m≤ x ≤n ，
则由 m≤ x ≤n 确定的 g(x) 的范围即为 f (x) 的定义 域．
15
.精品课件.
已知f 2x 1的定义域为(1,5],求f ( x)的定义域.
解：由题意知: 1 x 5,
3 2x 1 9,
f (x)的定义域为3,9.
如果f(x)实际问题中的自变量取值，需要考虑实际意义。
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.精品课件.
练习
求函数y 4 x 2 的定义域 | x 1| 2
解：依题意有： 4 x2 0 | x 1| 2 0
解得：x21且 xx
2 3
函数的定义域为{x | 2 x 1或1 x 2}
.精品课件.
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练习（1）已知函数f (x) 的定义域为 0 x 2 2 求 f (x 2)的定义域；
（2）已知函数 f (x 1的) 定义域为 {x | 2 x 3} 求 f (1 2的) 定义域. x
.精品课件.
25
函数定义域的逆向应用问题
例、（1）若函数
y
ax
2
ax 1 2ax
的定义域为
3
R
求实数a 的取值范围；
（2）若函数f (x) mx2 mx 1 的定义域为R
求实数m 的取值范围.
a的取值范围是0 a 3
.精品课件.
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例：若函数f
(x)
3 x 1 mx2 mx
的定义域为R，求m的取值范围。 3
解：要使原函数有意义，必须mx2 m 3 0, 由于函数的定义域是R，故mx2 mx 3 0 对一切实数x恒成立。
① 当m 0时，3 0成立，则m 0满足条件。
② 当m 0时，有 m2 12m 0,解得0 m 12.
归纳求函数定义域的方法
归纳求函数定义域的方法求函数定义域的方法是求解一元函数的最基本的原理，用于确定一元函数中的变量可以取到的取值范围，即函数定义域。
在统计学、数学分析和微积分等课程中，都会了解函数定义域的概念，掌握如何求解函数定义域对于更好地理解函数运算有重大意义。
那么，求函数定义域的方法有哪些呢？首先，正式定义函数定义域。
函数定义域就是函数f(x)中x可以取到的所有可能取值的集合，求函数定义域就是要确定这个集合。
其次，把函数定义域分解成几个个子集。
通常情况下，函数定义域可以分解为三个子集：函数值有界，有理界限和无理界限。
1. 函数值有界：如果函数f(x)中x可以取到有限个取值，则函数定义域就被称为函数值有界。
例如，函数f(x)=x^2，当x取到0或1时，函数的值都有界。
2. 有理界限：如果函数f(x)中x可以取到有理数，则函数定义域就被称为有理界限。
例如，函数f(x)=x^2 - 3x + 2，当x取到有理数时，函数的值都有理界限。
3. 无理界限：如果函数f(x)中x可以取到无理数，则函数定义域就被称为无理界限。
例如，函数f(x)=lnx，当x取到无理数时，函数的值都无理界限。
最后，对几个子集中的变量可能取到的取值范围，进行综合考虑。
根据上文提出的三个子集，可以简单总结函数定义域的求解过程：先确定函数f(x)是否有限个取值，如果有，则函数定义域是函数值有界；如果函数f(x)的取值范围包括有理数，则函数定义域是有理界限；如果函数f(x)的取值范围包括有无理数，则函数定义域是无理界限。
总结起来，求函数定义域的方法主要是先正式定义函数定义域，然后把函数定义域分解成几个个子集，最后对几个子集中的变量可能取到的取值范围，进行综合考虑。
求解函数定义域有助于更好地理解函数运算，是统计学、数学分析和微积分等课程中最基本的原理。
求函数定义域的方法技巧
求函数定义域的方法技巧函数定义域怎么求，非常有用的方法有几种？不知道的小伙伴看过来，下面由小编为你精心准备了“求函数定义域的方法技巧”仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯!求函数定义域的方法技巧已知函数解析式时1、分式时：分母不为0。
2、根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0。
3、指数时：当指数为0时，底数一定不能为0。
4、根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0。
5、指数函数形式时：底数和指数都含有x，指数底数大于0且不等于1。
6、对数函数形式，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1。
抽象函数换元法1、给出了定义域就是给出了所给式子中x的取值范围。
2、在同在同一个题中x不是同一个x。
3、只要对应关系不变，括号的取值范围不变。
4、求抽象函数的定义域，关键在于求函数的取值范围，及括号的取值范围。
复合函数定义域：理解复合函数就是可以看作由几个我们熟悉的函数组成的函数，或是可以看作几个函数组成一个新的函数形式。
拓展阅读：函数定义域的七种情况1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示;2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题;3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等;4、对复合函数y=f[g(x)]的定义域的求解，应先由y=f(u)求出u 的范围，即g(x)的范围，再从中解出x的范围I1;再由g(x)求出y=g(x)的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域;5、分段函数的定义域是各个区间的并集;6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明;7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域。
函数定义域、值域的求法及其解析式的变换讲义
函数的定义域和值域讲义 课 题函数定义域、值域的求法及其解析式的变换 教学目标 （1）明确函数的三种表示方法；（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；重点、难点 （1）会求一些简单函数的定义域与值域，并能用“区间”的符号表示；（2）掌握复合函数定义域的求法；考点及考试要求1、求函数的解析式2、会求一些简单函数的定义域与值域。
3、复合函数定义域的求法。
教学内容知识框架【基础知识回顾】：1、函数()y f x =，其中x 叫做 ，x 的的取值集合叫做函数的 ；与x 的值相对应的y 值叫做 ，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的 。
2、根据函数的解析式求函数定义域的依据有：①分式的分母不得为 ；②偶次方根的被开方数不得小于 ；③对数函数的真数必须大于 ；④指数函数和对数函数的底数必须 ；3、实际问题或几何问题给出的函数的定义域；这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使 有 意义。
4、已知函数()f x 的定义域是[],a b ， [()]f g x 的定义域是指满足 的x 的取值集合；已知[()]f g x 的定义域是[],a b ，求函数()f x 的定义域，是指在x ∈ 的条件下， 求()g x 的值域。
5、如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有 的实数集合。
6、确定函数值域的原则①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中的 取值集合。
②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影对应的 取值集合。
③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的 及其 唯一确定。
④当函数由实际问题给出时，函数的值域应结合问题的实际意义确定。
8、设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M ，满足：（1）对 的x I ∈，都有()f x M ，存在0x I ∈，使得0()f x M =，则称M 是函数()y f x =的最大值（2）如果存在常数N ，满足对任意的x ∈ ，都有()f x N ≥。
函数定义域的求法整理整理详细版
函数定义域的求法整理一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。
例1 求函数8|3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧≠-+≥--②①08|3x |015x 2x 2由①解得 3x -≤或5x ≥。
③由②解得 5x ≠或11x -≠ ④③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。
故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。
例2 求函数2x 161x sin y -+=的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③由②解得4x 4<<-④ 由③和④求公共部分，得π≤<π-≤<-x 0x 4或故函数的定义域为]0(]4(ππ--，，二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
（1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。
（2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。
例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。
解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。
（2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。
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函数定义域求法总结
函数定义域求法的总结
若函数y=f(u ）的定义域是B,u=g(x ）的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D={x|x ∈A,且g(x ）∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
求函数的定义域主要应考虑以下几点：
⑴当为整式或奇次根式时，R ；
⑵当为偶次根式时，被开方数不小于0（即≥0）；
⑶当为分式时，分母不为0；当分母是偶次根式时，被开方数大于0；
⑷当为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为0（如，中）。
⑸当是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，它的定义域应是使各部分都有意义的自变量的值组成的集合，即求各部分定义域集合的交集。
⑹分段函数的定义域是各段上自变量的取值集合的并集。
⑺由实际问题建立的函数，除了要考虑使解析式有意义外，还要考虑实际意义对自变量的要求
⑻对于含参数字母的函数，求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论，并要注意函数的定义域为非空集合。
⑼对数函数的真数必须大于零，底数大于零且不等于1。
⑽三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。
类型一：f （x ）是整式
F （x ）=2x
F （x ）= —3x+2
F （x ）=2x2+x — 1
如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .
类型二：f(x)是分式
如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合
||11y x -=2
1y 2-+=x x
类型三：f （x ）根式
F （x ） 如果f(x)是 偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于0的实数的集合. 如果f(x)是 奇次根式，那么函数的定义域根号内式子有意义的数的集合 类型四：f （x ）是代数式的
0次 如果
f(x)为代数式的0
次 ，那么函数的定义域是使代数式不等于0的实数的集合
. 类型五：f （
x ）是组合式
如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各部分集合的交集） 类型六：考虑f （x ）的实际意义 某种笔记本每个5元，买 x 个笔记本需要y （元），试求函数解析式并写出自变量的取值范围如果f(x)实际问题中的自变量取值，需要考虑实际意义。
.类型七：复合函数求定义域的几种题型
x
-3y =328-x 2x x f +=）（02)2()(--=x x x f 2(1)232(3)y y x x y y ==--==+; (2) (4)():(),[()]f x f g x 题型一已知的定义域求的定义域1.()[0,2],(21)f x f x -例若的定义域是求的定义域
函数作为高中数学的主线,贯穿于高中数学的始终.函数的定义域是构成函数的三大要素之一,是函数的灵魂. 函数的定义域在函数的概念中指函数对应关系中的原象的集合,即自变量x 的取值范围.研究函数时首先要考虑定义域,忽视定义域往往会导致错误.本文主要介绍函数定义域求法的几个类型.
一、求解一般函数的定义域
如果函数解析式是由一些基本函数通过四则运算得到的,那么它的定义域为各基本函数定义域的交集.
例1 求下列函数的定义域:
(1) 011y x x =++; (2)
3
y x =-. 分析:对于用解析式表示的函数,如果没有给出定义域,那么就认为函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的取值范围.
由题意知: 解: 2120≤-≤x 2
321≤≤∴x }2321{)12(:≤≤-x x x f 的定义域是故():,()f g x f x ⎡⎤⎣⎦题型(二)已知的定义域求的定义域():21(1,5],()f x f x --例2已知的定义域求的定义域解: 由题意知: 51≤<-x 9
123≤-<-∴x ](9,3)(-∴的定义域为
x f
解: (1) 根据题意,由不等式组100x x +≠⎧⎨≠⎩ 解得 10
x x ≠-⎧⎨≠⎩ 因此,函数的定义域为{}1,0x x x ≠-≠且.
(2) 根据题意,由不等式组 203040x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪-≥⎩
解得 23x ≤<或 34x <<,
因此,函数的定义域为{}2334x x x ≤<<<或.
点评:由函数解析式求函数定义域时,主要依据是:分母不为零;偶次根式中被开方数大于等于零;零次幂的底数不能为零等.
二、求复合函数的定义域
1.已知()y f x =的定义域是A ,求[]()y f g x =的定义域的方法是:解不等式()g x A ∈,求出x 的范围.
2.已知[]()y f g x =的定义域是A ,求()y f x =的定义域的方法是:x A ∈时,求()g x 的范围(即()y g x =的值域).
例2 已知函数(21)y f x =+的定义域为[]1,4,求函数(3)y f x =的定义域. 解: 由函数(21)y f x =+的定义域为[]1,4,
可得14x ≤≤,则3219x ≤+≤,
所以函数 ()y f x =的定义域为[]3,9.
由339x ≤≤, 解得 13x ≤≤,
所以函数 (3)y f x =的定义域为[]1,3.
点评:在复合函数的定义域中,要注意求一个函数的定义域一定是求它的自变量x 本身的取值范围,并非其他形式,同时还要注意函数()y f x =中的x 与函数[]()y f g x =中的()g x 取值等价.
三、求实际应用问题的定义域
对于实际问题或几何问题求定义域,除要考虑函数的解析式有意义外,还要考虑使实际问题或几何问题有意义.
例3 某单位计划建筑一矩形围墙,现有材料可筑墙的总长度为50米,求矩形的面积S 关于矩形长x 的解析式,并写出定义域.
解: 设矩形长为x 米，则宽为)25(x -米，
由题意得 )25(x x S -==x x 252+-.
又⎩⎨⎧>->0
250x x 解得 250<<x , 故所求函数解析式为 =S x x 252+-(250<<x ).
点评:由实际问题确定的函数,不仅要确定函数的解析式,同时要求写出函数的定义域,一般情况下,必须注意函数定义域的取值范围都要受实际问题或几何问题的约束.
总之,在研究函数问题时,必须牢固树立定义域优先原则,正确求取定义域,这样,不仅是解题程序的需要,同时可以避免许多错误,简化解题过程.。